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8/16/2019 Matemáticas III_CNCI_1
1/60
Taller de Matemáticas III Semana 1 y 2
1 Universidad CNCI de México
Taller de Matemáticas III
8/16/2019 Matemáticas III_CNCI_1
2/60
Taller de Matemáticas III Semana 1 y 2
2 Universidad CNCI de México
Temario
1. Sistemas coordenados rectangulares
1.1. Coordenadas cartesianas de un punto
1.1.1. Ejes
coordenados
1.1.2. Parejas ordenadas 1.1.3. Identidad de parejas ordenadas 1.1.4. Punto en el plano
1.2. Lugares geométricos
1.2.1. Concepto de lugar geométrico 1.2.2. Tabulación de valores 1.2.3. Intersecciones con los ejes 1.2.4. Simetrías respecto al origen y los ejes
1.2.4.1. Simetría con respecto a los ejes
1.2.4.2.
Simetría
con
respecto
al
origen
1.3. Segmentos rectilíneos
1.3.1. Segmentos dirigidos y no dirigidos 1.3.2. Longitud de un segmento 1.3.3. Distancia entre dos puntos 1.3.4. División de un segmento en una razón dada 1.3.5. Punto medio
1.4. Polígonos
1.4.1. Perímetros 1.4.2. Áreas
2. La línea recta
2.1. Propiedades de la recta
2.1.1. Ecuación de la recta como lugar geométrico 2.1.2. Ángulo de inclinación y pendiente de una recta 2.1.3. Pendiente como razón de cambio 2.1.4. Paralelismo entre rectas 2.1.5. Perpendicularidad entre rectas
2.2. Formas de la ecuación de la recta
2.2.1. Ecuación de una recta conocidos su pendiente y uno de sus puntos 2.2.2. Ecuación de una recta conocidos dos de sus puntos 2.2.3.
Forma
pendiente
‐ordenada
al
origen
2.2.3.1. Intersección de una recta con el eje “y” 2.2.3.2. Ecuación de una recta dada su pendiente y su intersección con el
eje “y” 2.2.4. Forma simétrica
2.2.4.1. Intersecciones de una recta con los ejes coordenados 2.2.4.2. Ecuación de una recta conocidas sus intersecciones con los ejes
coordenados 2.2.5. Forma general de la ecuación de una recta
2.2.5.1. Conversión de la ecuación de una recta de la forma simplificada a
la forma
general
y viceversa
2.2.5.2. La línea recta y la ecuación general de primer grado
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Taller de Matemáticas III Semana 1 y 2
3 Universidad CNCI de México
2.2.6. Forma normal de la ecuación de la recta 2.2.6.1. Obtención de la ecuación de una recta en su forma normal a
partir de su forma general
2.3.
Distancias
que
involucran
la
recta
2.3.1. Distancia de una recta al origen 2.3.2. Distancia entre una recta y un punto 2.3.3. Distancia entre rectas paralelas
3. La circunferencia
3.1. Caracterización geométrica
3.1.1. Secciones cónicas 3.1.2. La circunferencia como lugar geométrico 3.1.3. Elementos asociados con una circunferencia
3.2. Circunferencia con centro en el origen
3.2.1. Obtención de la ecuación de una circunferencia a partir del centro y radio
3.2.2. Obtención del centro y del radio a partir de la ecuación. 3.3. Circunferencia con centro fuera del origen
3.3.1. Obtención de la ecuación ordinaria de una circunferencia a partir del centro y radio
3.3.2. Obtención del centro y radio de una circunferencia a partir de su ecuación ordinaria
3.4. Ecuación general de la circunferencia
3.4.1. Conversión de la ecuación en su forma ordinaria a su forma general 3.4.2.
Conversión
de
la
ecuación
en
su
forma
general
a su
forma
ordinaria
3.5. Circunferencia que pasa por tres puntos
3.5.1. Condiciones geométricas y analíticas para determinar una circunferencia
3.5.2. Obtención de la ecuación de una circunferencia dados tres de sus puntos
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Taller de Matemáticas III Semana 1 y 2
4 Universidad CNCI de México
Semana 1
Sesión 1
Los temas
a revisar
el
día
de
hoy
son:
1. Sistemas coordenados rectangulares
1.1. Coordenadas cartesianas de un punto
1.1.1. Ejes coordenados 1.1.2. Parejas ordenadas 1.1.3. Identidad de parejas ordenadas 1.1.4. Punto en el plano
1.2. Lugares geométricos
1.2.1. Concepto de lugar geométrico
1.2.2. Tabulación
de
valores
1.2.3. Intersecciones con los ejes 1.2.4. Simetrías respecto al origen y los ejes
1.2.4.1. Simetría con respecto a los ejes 1.2.4.2. Simetría con respecto al origen
1. Sistemas coordenados rectangulares
1.1. Coordenadas cartesianas de un punto
Para determinar las coordenadas de un punto es preciso crear un plano cartesiano a través de un punto de referencia, y en función de éste, se ubica cualquier otro punto en el plano mediante valores proporcionados a los ejes coordenados, y conforme a su posición se ubican sus valores correspondientes a cada eje, para formar la pareja ordenada llamada también coordenada de un punto.
1.1.1. Ejes coordenados
En los ejes coordenados, el punto de intersección es el punto de origen de donde parte
la
numeración
de
las
rectas.
Los ejes coordenados parten al plano en cuatro espacios denominados cuadrantes. Cada uno se distingue por la posición que ocupa respecto a la numeración (positiva o negativa) de los ejes coordenados.
Nota: es muy importante que sepas que hablar de un sistema de ejes rectangulares o coordenados, es hablar de un plano cartesiano.
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Taller de Matemáticas III Semana 1 y 2
5 Universidad CNCI de México
1.1.2. Parejas
ordenadas
Un punto en el plano es la correspondencia de las referencias dadas, es decir, lo que en matemáticas se llama coordenada o pareja ordenada.
Ejemplo:
Camelia tiene que ir a una fiesta por la noche pero no sabe aún qué ponerse, entre las prendas que seleccionó como posibles casos para portar se encuentran en un conjunto de pantalones de vestir uno negro, otro azul, uno rojo y uno café, y dentro del conjunto de blusas tiene una crema estampada, una blanca, otra amarilla y una rosa.
Mediante un
diagrama
de
flechas
representa
las
posibles
combinaciones
que
podría
hacer Camila para ir a la fiesta en la noche, y además integra en un sólo conjunto mediante parejas ordenadas las combinaciones posibles de pantalones con blusas.
Solución:
1.1.3. Identidad de parejas ordenadas
De la misma manera, un punto en el plano cartesiano es la correspondencia de un elemento en el eje “x” (abscisa) y otro en el eje “y” (ordenada), el cual es representado por la pareja ordenada (x, y).
• Al eje horizontal se le llama eje de
las
“x”
o
“de
las
abscisas”.
• Al eje vertical se le llama eje de las
“y” o “de las ordenadas”
El conjunto de parejas ordenadas queda
determinado de la siguiente manera:
{(negro, crema), (negro, blanca), (negro,
rosa), (azul, crema), (azul, blanca), (rojo,
crema), (rojo,
blanca),
(rojo,
rosa),
(café,
crema), (café, amarilla), (café, rosa)}.
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1.1.El pry) es
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Taller de Matemáticas III Semana 1 y 2
7 Universidad CNCI de México
Práctica 1
a) Identifica en el plano cartesiano el siguiente conjunto de parejas ordenadas que
muestran
la
relación
entre
los
días
de
la semana y la temperatura ambiental.
{(Lunes, 38ºC), (Martes, 35ºC), (Miércoles, 39ºC), (Jueves, 41ºC), (Viernes, 33ºC), (Sábado, 31ºC), (Domingo, 29ºC)}
¿Qué día fue el más caluroso? y ¿qué día estuvo más baja la temperatura?
Práctica 2
b) Realiza los siguientes ejercicios.
• Dados los puntos en el plano, identifica y
escribe
sobre
el
mismo
su
pareja
ordenada.
• Localiza los siguientes puntos en el plano dadas sus coordenadas:
a) (2, 3) b) ( – 6, 1) c) (5, – 4) d) (0, 0) e) (0, 3) f) (1, – 2) g) (4, 0)
1.2. Lugares geométricos
En tu vida cotidiana y en tu entorno, si observas con atención cada situación o fenómeno, descubrirás que pueden estar vinculados siempre a figuras geométricas, algunas de ellas con estética y armonía visual representada por simetrías y proporcionalidad.
En muchos
casos
la
obtención
de
esta
estética
o armonía
se
logra
en
base
a un
detallado estudio matemático que involucra el lugar geométrico.
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Taller de Matemáticas III Semana 1 y 2
8 Universidad CNCI de México
1.2.1. Concepto de lugar geométrico
El lugar geométrico es el conjunto de puntos en el plano que tienen una propiedad en común, la cual se enuncia habitualmente en términos de distancias a puntos, rectas o circunferencias fijas en el plano y/o en términos del valor de un ángulo.
Ya conociste la forma de algunas figuras geométricas, has visto que las puedes encontrar en el mundo que nos rodea y que son de gran utilidad.
En la siguiente imagen se ilustran algunas formas geométricas con sus respectivos nombres, la cuestión ahora es saber: ¿Cuál ecuación le corresponde a cada una de ellas? Puesto que como a cada punto en el plano le corresponde una pareja ordenada, también a cada lugar geométrico le corresponde una ecuación específica.
Para verificar que una ecuación corresponde a un lugar geométrico dado, y que el lugar geométrico corresponde a cierta ecuación, la geometría analítica posee el siguiente principio fundamental:
a) Si las coordenadas de un punto satisfacen una ecuación, el punto está en el lugar geométrico de la misma.
b) Si un punto está en el lugar geométrico de una ecuación, las coordenadas del mismo la satisfacen.
Recta Circunferencia Elipse Parábola
• Recta y = ax + b
• Circunferencia x2+y2 = r2
• Elipse x2 + y2 = 1 b2x2 + a2y2 = a2b2
a2 b2
• Parábola y = ax2 x = ay2
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1.2.
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1.2.3. Intersecciones con los ejes
1.2.4. Simetrías respecto al origen y los ejes
En el tema de “Lugares geométricos” clasificaste las figuras con respecto a su forma. ¿Habrá alguna otra manera de clasificarlas?
Si se
toma
un
punto
de
referencia
sobre
cada
una
y se
traza
un
sistema
de
ejes
coordenados sobre dicho punto, se podría observar otra característica, una manera distinta de clasificarlas.
Si se traza una línea recta por la mitad de la figura y los puntos extremos (arriba/abajo o izquierda/derecha) se encuentran a la misma distancia de la recta trazada, las partes cortadas son iguales, es decir simétricas.
Recta Circunferencia Elipse Parábola
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11 Universidad CNCI de México
Si las partes cortadas son iguales (simétricas) se puede decir que la línea recta que las divide es un eje simétrico y por lo tanto que la figura es simétrica. ¿Qué ocurre con el resto de las figuras?
De lo
anterior
se
puede
concluir
que
dos
puntos
son
simétricos
en
un
plano
si
se
encuentran a la misma distancia de otro punto (x0, y0). Los puntos simétricos equidistan del eje de simetría, y éste es una recta perpendicular a los segmentos de rectas que se forman al unir los puntos simétricos.
Existen dos tipos de simetría: • Con respecto a los ejes
• Con respecto al origen
Práctica 4
Las siguientes figuras muestran al menos un tipo de simetría. ¿De qué tipo de simetría se trata?
1.2.4.1. Simetría con respecto a los ejes
En el ejemplo de la figura de la naranja, se ilustra muy bien el tipo de simetría con respecto a los ejes. Tanto al eje “x” como al eje “y”.
Puntos de Intersección
Eje simétrico
ddd
Eje
simétrico
d
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12 Universidad CNCI de México
1.2.4.2. Simetría con respecto al origen
Práctica 5
Revisa la información que se te proporciona y realiza lo que se te pide. • Convierte a texto simbólico en caso de que así lo requiera. • Traza su lugar geométrico e identifica la condición que la caracteriza.
Identifica si posee simetría, y si la tuviera indica de qué tipo de simetría se trata.
1. 5y – 20 x = 15 2. El triple de la mitad del cuadrado de conejos que tiene Ángel es el triple de la
cuarta parte
de
conejos
que
tiene
Juan
menos
una
unidad.
3. | 5x – 3| = y
Si f(x) = f(-x) entonces, es simétricarespecto al eje y; es decir, a todo valor de“y” le corresponden dos valores de “x” ,iguales en valor absoluto pero con diferentesigno.
Si f(y) = f(-y) entonces, es simétricarespecto al eje x; es decir, a todo valor de“x” le corresponden dos valores de “y” ,iguales en valor absoluto pero con diferentesigno.
Como en el ejemplo de la figura de la naranja
es simétrica con respecto a los dos ejes, sepuede decir que también es simétrica conrespectoal origen.
Si una ecuación no se altera al sustituir “x” por “–x” y “y” por “–y” entonces surepresentación gráfica es simétrica con
respecto alorigen.
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Taller de Matemáticas III Semana 1 y 2
13 Universidad CNCI de México
Sesión 2
Los temas a revisar el día de hoy son:
1.3.
Segmentos
rectilíneos
1.3.1. Segmentos dirigidos y no dirigidos 1.3.2. Longitud de un segmento 1.3.3. Distancia entre dos puntos 1.3.4. División de un segmento en una razón dada 1.3.5. Punto medio
1.4. Polígonos
1.4.1. Perímetros 1.4.2. Áreas
1.3. Segmentos rectilíneos
En los temas anteriores ya has visto una introducción de lo que es una línea recta y su utilidad. Ahora verás algunas de sus propiedades.
1.3.1. Segmentos dirigidos y no dirigidos
1.3.2. Longitud de un segmento
¿Cómo calculas la distancia del punto 4 al punto 5? ¿Cuentas la cantidad de cuadras
y lo multiplicas por su longitud? ¿Tardado no?
Segmento rectilíneo:es la porción de una línea
recta comprendida entre dos puntos llamadosextremos. Por ejemplo: en el plano de Monterreylos puntos 1 y 3 forman una porción de la calle
Carlos Salazar.
Segmento dirigido: segmento conmagnitud, dirección y sentido. Su magnitudse define como positiva y su direcciónopuesta como negativa.
Recta: es una línea que se prolongaindefinidamente en dos sentidos opuestosy en la misma dirección.
Recta
A B
Segmento Dirigido AB
Segmento no dirigido: segmento conmagnitud, sin prolongarse a ningunadirección.
A B
Segmento No Dirigido AB
A B
Segmento AB
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8/16/2019 Matemáticas III_CNCI_1
15/60
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Taller de Matemáticas III Semana 1 y 2
16 Universidad CNCI de México
1.3.5. Punto medio
Cuando el punto de división es el punto medio entre los dos triángulos, entonces se deduce que:
1) Considerar los puntos A y B y la recta que determinan.
2) Se considera un tercer punto C (x, y) que corta al segmento en la relación:3) Dado que AC y CB son en el mismo sentido, dicha relación es positiva.4) Si el punto de división se presenta fuera de la prolongación del segmento, la relación dada
anteriormente será negativa, ya que AC y CB tendrían sentidos opuestos.5) Al identificar dos triángulos semejantes se tiene lo siguiente:
6) De la ecuación obtenida despejar“x” y “y” respectivamente
y
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B (x , y )2 2
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Taller de Matemáticas III Semana 1 y 2
17 Universidad CNCI de México
Práctica 7
Obtén el punto de división y el punto medio del segmento trazado en la siguiente gráfica.
Práctica
8
Toma como referencia el siguiente plano cartesiano y realiza lo que se te pide.
Un cazador desea tener un buen tino al tirar al pájaro, pero, el cazador sólo conoce los puntos de ubicación de la flor y el árbol, entonces para lograr su objetivo necesita calcular lo siguiente:
1) Calcular la distancia entre el árbol y la flor.
2) Determinar
el
punto
donde
se
encuentra
el pájaro (P) dada la razón de 1/3. 3) Calcular el punto medio entre el árbol y la
flor.
y
x0 1 2-1-2-3-4-5-61
2
5
4
6
-1
-2
-3
-4
3
A( –2, 6)
B( –5, –3)
A( x1, y1)
B( x2, y2)
r= 2/3
8/16/2019 Matemáticas III_CNCI_1
18/60
1.4. Una que
que
1.4.El pe
Comfigur
Para de l
Prá
Se corigisabecontdim
Los de amuerequ
Ubiccalcnúm
1.4.Com
multsup
18 Univer
Polígonos pista de hies una fig
coinciden
e
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o la pista a geométri
calcular el s segment
tica 9
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sidad CNCI
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s que se tis tres colugráfica. O
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e México
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un polígo
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Matem
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.
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ticas II
métrica lltos de re
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conoces de ancho.
I Semana
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1 y 2
ono, ados
una
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8/16/2019 Matemáticas III_CNCI_1
19/60
Conm2. Entodeli
En eobti
Dadded
A = trap
En
detecont
19 Univer
iderando l
nces, se pitada por l
l caso de qne de la si
un triángce como:
P1P2P3 = ácio M1P1P2
l caso
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rminante inuación:
sidad CNCI
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ue se trate uiente ma
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t
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e México
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pecio M1P
engan polí
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puntos P1(
P3M3 + ár
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Matem
do es el si
erficie es l
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x1, y1), P2 (
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más
de
los vérti
ticas II
uiente: 22
a región in
tos en el
2, y2) y P3(
ecio M3P3
tres lados,
ces como
I Semana
m x 18m
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3, y3), su ár
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se
utili
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1 y 2
396
lano
ea se
ea se
a del
a un
ra a
8/16/2019 Matemáticas III_CNCI_1
20/60
Taller de Matemáticas III Semana 1 y 2
20 Universidad CNCI de México
Práctica 10
En la esquina de la colonia Roma se encuentra un terreno baldío, un
arquitecto
compró
el
terreno
y
desea
construir un centro de diversión infantil con juegos mexicanos, para poder hacer la construcción el arquitecto necesita conocer el área que ocupa el terreno, la información que posee se encuentra sobre la gráfica de la figura, solamente conoce los puntos de ubicación de cada esquina del terreno.
Calcula el
área
a partir
de
la
información
proporcionada.
y
0 1 2 3 54-1-2-3-4-5-6 6
1
2
3
5
4
6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
xP(4, 1)
P(-2, -4)
P(1, 1)
P(4, -4)
8/16/2019 Matemáticas III_CNCI_1
21/60
Sesi
2. La 2.1Las ecuasea lsobr
La gpor conj
mano inen ela si
2.1.
EjeEl vde 5sobral crfuer
VolcáSe ubialta d
21 Univer
ón 3
L
2
línea rect. Propiedaropiedadeción reprea situación e la línea re
2.1.1. Ecua
áfica de la ejemplo, nto infin
tiene siem
linación y l plano se ruiente figu
. Ángulo
d
plo: lcán Pico ,750 m, sue la superf áter su grae es de 40
Pico de Orizaca en los límite México con u
sidad CNCI
os temas a
.
La
línea
r 2.1. Propi
2.1.12.1.22.1.32.1.2.1.5
es de la res de una entativa, bajo estudcta.
ción de la
ecuación stá formaito de p
re la
mism
uyo lugar epresenta ra:
inclinació
e Orizaba elevación icie terrestdo de incli.
ba s territoriales na altura de 5,
e México
revisar el
cta
edades de . Ecuación . Ángulo d. Pendient. Paralelis. Perpendi
cta ecta pued
geométricio. En esta
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tiene una inicial es dre y al aceación pro
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lugar geo
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(-3, -11
(-2
Matem
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inguidas adiante su ionsideran
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recta
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y
0-1-2-3
2
4
6
10
8
12
-2
-4
-6
-8
-10
-12
14
)
, -8)
(-1, -5)
(0, -2)
(1,
ticas II
geométrite de una io
alíticamenterpretacilos dos asp
a. Es el volcán
1 2 3
)
(2, 4)
(3, 7)
I Semana
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y la montaña
x5 6
1 y 2
te su egún tudio
ás
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22/60
Taller de Matemáticas III Semana 1 y 2
22 Universidad CNCI de México
El volcán Pico de Orizaba varía en su grado de inclinación, conforme se desplaza sobre la horizontal la elevación de la recta se incrementa. A este ángulo se le conoce como ángulo de inclinación, y a la razón de cambio que es la elevación entre el desplazamiento se le denomina pendiente, pero, ¿cómo se obtienen?
Al representar gráficamente la inclinación del volcán sobre un plano cartesiano, se trazan dos líneas punteadas para formar un triángulo rectángulo. Si observas bien en cada una de las dos rectas, la inclinación está dada por la razón del cambio en “y” (elevación) con respecto al cambio en “x” (desplazamiento).
Por lo tanto, la pendiente de la recta se puede
def inir como la razón del cambio en “y” conrespecto al cambio en “x” y se denota con laletra “m”:
entodesplazami
elevación
x x
y ym =
−
−=
12
12 (1)
y
10º40º
x1
y1
y2
|x - x |2 1
|x - 0|1| y - 0|1
|y - y |2 1
12 x x ≠
A partir de la misma gráfica se obtiene la función
trigonométrica tangente:
12
12
.
.tan
x x
y y
adyacentec
opuestoc
−
−==α (2)
De las ecuaciones (1) y (2) se observa que lapendiente (m) y la función trigonométricatangentetienenla mismaigualdad,porlo tanto:
α tan12
12 =−−= x x y ym
Pendiente de una recta
12 x x ≠
m
m
1tan
tan
−=
=
α
α
Ángulo de inclinaciónSi se despeja
el ángulo,la fórmula queda:
Con estas fórmulas se calcula la pendiente de una recta, dados los puntos de la recta en el plano o
dadosu ángulode inclinación.
y
10º40º
x1
y1
y2
|x - x |2 1
|x - 0|1
| y - 0|1
|y -2
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Taller de Matemáticas III Semana 1 y 2
23 Universidad CNCI de México
Práctica 11 a) Obtener la pendiente y ángulo de inclinación de la recta dada en el plano
cartesiano.
b) Obtener la pendiente y ángulo de inclinación de la recta dada en el plano cartesiano.
y
x0 1 2 3 54-1-2-3 61
2
3
5
4
6
-1
-2
-3
-4
-5
7
(-2, -3.2)
(3, 4.8)
α
m
y
x0 1 2 3 54-1-2-3 61
2
3
5
4
6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
(3, -1.875)
(-3, 1.875)
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24/60
Taller de Matemáticas III Semana 1 y 2
24 Universidad CNCI de México
Se concluyen las siguientes características de una recta en el plano, según su pendiente y ángulo de inclinación:
2.1.4. Paralelismo entre rectas
Sabes que una característica de las rectas paralelas es que nunca se cortan, ¿qué otra característica describe a las rectas paralelas?
2.1.4. Perpendicularidad entre rectas
y
x
y
x
y
xx
y
Pendiente negativa
Ángulo > 90º y < 180ºLa recta decrece
porque al aumentarlos valores de “x” losde “y” disminuyen.
Pendiente positiva
Ángulo < 90ºLa recta crece
porque al aumentarlos valores de “x”
aumentan los de “y”.
No existe pendiente
Ángulo = 90ºPendiente = cero
Ángulo = 0º
y
x0 1 2 3 4-1-2-31
2
3
5
4
-1
-2
-3
-4-5
(-2, -4)
(3, 4)
α
(-2, -3.2)
(3, 4.8) Considerando
el
siguiente
ejemplo
puedes
observar que las rectas nunca se cortan entre sí, por lo tanto son paralelas, y al analizar tanto su pendiente como el ángulo de inclinación se descubre que ambas son iguales.
De lo anterior se concluye que otra característica de las rectas paralelas es que poseen el mismo ángulo de
inclinación y la
misma
pendiente.
Sobre las vías del tren se encuentran los
rieles y los durmientes, si observas bien,
cada durmiente es perpendicular al riel, ya
que la posición de los durmientes forma
un ángulo recto (90º) con respecto a los
rieles.
8/16/2019 Matemáticas III_CNCI_1
25/60
Taller de Matemáticas III Semana 1 y 2
25 Universidad CNCI de México
Revisando el siguiente ejemplo, al empalmar las rectas forman un ángulo recto, por lo tanto son perpendiculares, y al analizar tanto su pendiente como el ángulo de inclinación se descubre que:
Práctica 12
Toma como referencia la siguiente imagen y realiza lo que se te pide.
12
1
2
º909946.57º90º9946.147
1
6.1
1626.0
α α +=+==
−=−=−=m
m
x0 1 2 3-1-2-31
2
3
5
4
-1
-2
-3(-2, -3.2)
(3, 4.8)
(3, -1.875)
(-3, 1.875)
º9946.57
6.1
1
1
=
=
α
m
5y = 8x
8y = - 5x
º9946.147
626.0
2
2
=
−=
α
m
De lo anterior se concluye que otra característica de las rectas perpendiculares es que la multiplicación de sus
pendientes es igual a – 1.
1) Identifica los puntos de intersección de cada recta.
2) Determina la ecuación de cada
recta.
3) Obtén la pendiente de cada una de las rectas.
4) Establece la relación (paralelas o perpendiculares) entre ellas a partir de sus pendientes.
8/16/2019 Matemáticas III_CNCI_1
26/60
Sesi
2.2. 2.2.
Ya geodetesu á
Al a
la fórect
EjeSi la ecuaAl to
26 Univer
ón 4
L
2.2.
For 2.2. 2.2.
2.2.
2.2.
Formas de . Ecuación
prendiste étrico en rminada a gulo de in
alizar las
c
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sidad CNCI
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2.2.3.2. E c
. Forma si 2.2.4.1. I 2.2.4.2. E e
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ndiciones
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e México
revisar el
cuación
de
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por la
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Forma punt
Matem
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iente y un
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ticas II
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s ejes coors intersec
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punto dad
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I Semana
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según su na recta tos, un puuntos.
, y al
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1 y 2
os
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8/16/2019 Matemáticas III_CNCI_1
27/60
Taller de Matemáticas III Semana 1 y 2
27 Universidad CNCI de México
Se sustituye la pendiente y el punto dado:
Práctica 13
Si la pendiente está dada por m= 2/5 y la recta pasa por el punto (‐3, 0), obtén la ecuación de la recta.
2.2.2. Ecuación de una recta conocidos dos de sus puntos
Otra forma distinta de la ecuación de la recta se obtiene a partir de dos puntos
pertenecientes a la
misma.
Si
se
conocen
dos
puntos
de
la
recta
y al
considerar
tanto
la
fórmula de la pendiente como la ecuación forma punto‐pendiente, la ecuación de la recta en su forma punto‐punto queda de la siguiente manera:
)2(64
)2(6)4(
)( 11
−=+
−=−−
−=−
x y
x y
x xm y y
)( 11 x xm y y −=−Forma punto-pendiente
y
x
A(x , y )1 1
B(x , y )2 2
12
12
x x
y ym
−
−=
12 x x ≠
Se sustituye la fórmula de la pendiente en la ecuación de la
recta en su forma punto-pendiente y resulta:
12
12
1
1
x x
y y
x x
y y
−
−=
−
−Forma punto-punto
12 x x ≠
Ejemplo:
Determinar la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente que pasa por los puntos: (-3, -5) y (0, 7)
Al tomar la ecuación:
Se sustituyen los puntos dados:
12
12
1
1
x x y y
x x y y
−−=
−−
Forma punto-punto
A( x1, y1) = (-3, -5) y B( x2, y2) = ( 0, 7)
)3(453
12
3
5
3
57
3
5
)3(0
)5(7
)3(
)5(
+=+
=
+
+
+=
+
+
−−
−−=
−−
−−
x y x
y
x
y
x
y
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28/60
Prá
•
Prá
Reali•
•
2.2.
Otra la in
tamformorig
Eje
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han los d
efica
2.2.
Para cons
Si la ecua
28 Univer
tica 14
Determipuntos:
tica 15
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1)
2) 3) 4) 5) 6)
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del
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puntos (2,
9) y m = 4 puntos (0, asa por (‐4 puntos (4,
denada al
s de reprea con el
a de
la
líne
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tipos de
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4 metros cho?
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3) y (1, ‐3), 0) 3) y (‐2, ‐3)
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Es
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rucción euvial fluidcharco y sho objetiv
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rio establ resolverlo
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Matem
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5 metros
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I Semana
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1 y 2
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ar la
8/16/2019 Matemáticas III_CNCI_1
29/60
Taller de Matemáticas III Semana 1 y 2
29 Universidad CNCI de México
Anteriormente clasificaste algunas rectas en función de sus características, y según sus características era su ecuación. Ahora, al incluir la intersección de la recta con el eje “y” se concluye que:
Cuando la recta pasa por el origen su ecuación es de la siguiente forma: y = mx La ecuación de la recta que no pasa por el origen es de la forma: y = mx + b, en donde “b” se le conoce como la ordenada al origen ya que es la distancia desde el origen hasta la ordenada donde la recta corta al eje de las “y”.
Para el tipo de recta que no pasa por el origen, se concluye que el punto de intersección con el eje de las “y” es la ordenada al origen b, y cuya coordenada es (0, b). En los ejemplos anteriores, al analizar la ecuación de la recta que no pasa por el origen, se observa que la recta en el plano está recorrida del origen sobre el eje de las “y” (‐4/5), dicho valor corresponde al de la ordenada al origen (b) de la ecuación.
En el caso del techo plano, a partir del sistema de ejes coordenados se ubica el punto de intersección del techo con el eje de las “y” y corresponde al punto (0, 5).
2.2.3.2. Ecuación de una recta dada su pendiente y su intersección con el eje “y”
Otra manera distinta para obtener la ecuación de la recta del techo de la construcción es a partir de la pendiente (m) de la recta y su intersección con el eje de las “y” , la cual está dada bajo la forma pendiente‐ordenada al origen: y = mx + b.
Para obtener su ecuación correspondiente se sustituyen los valores en: y = mx + b. Para representar la ecuación en el plano cartesiano:
y
x0 1 2 3 4-1-2-31
2
3
5
4
-1
-2
-3
-4
-5
x y 5
8
=
5
4
5
8−= x y
y
0 1 2 3 4
1
2
3
5
4
x
0.08
m
y
0 1 2 3 4
1
2
3
5
4
x
0.08
m
y
0 1 2 3 4
1
2
3
5
4
x
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30/60
Taller de Matemáticas III Semana 1 y 2
30 Universidad CNCI de México
1) Se toma el valor de la ordenada, la cual forma el punto (0,b) en el plano. 2) Dada la pendiente (Dy/Dx), se consideran por separado los valores de
desplazamiento (Dx) y de elevación (Dy). 3) A partir del punto (0, b) se desplaza (se traslada horizontalmente) hasta el valor
(Dx).
4) Sobre tal posición se eleva (se traslada verticalmente) el valor (Dy). 5) El punto de término forma parte de la ecuación de la recta. 6) Se traza la línea recta sobre (0, b) y el punto de término de la operación anterior.
Nota: si el valor de la pendiente es negativo, el signo se puede aplicar ya sea al numerador o al denominador.
Ejemplo:
Si la ordenada al origen es 4 y la pendiente de la recta es ‐2/3, ¿cuál es la ecuación y representación gráfica de la misma?
Al sustituir los valores de la ordenada al origen y de la pendiente en la ecuación de la recta que no pasa por el origen queda: y = (‐2/3) x + 4.
Para representar la recta en el plano, con b = 4 se obtiene la coordenada de intersección con el eje “y” que es (0, 4) y la pendiente en este caso, con una elevación correspondiente de 2 y desplazamiento de ‐3, el signo negativo se le puede asignar ya sea al
numerador o denominador.
A partir del punto de intersección con el eje “y” se desplaza sobre el eje “x” el valor correspondiente dado por la pendiente y sobre esta posición se traslada verticalmente el valor de elevación dado por la pendiente.
Para determinar la ecuación de la recta del techo plano es necesario conocer otro punto para obtener la pendiente.
Si la inclinación del techo debe ser el 2% del ancho de la construcción, entonces, a esta casa hay que levantarle el techo ese 2%, para resolverlo se usa la regla de tres:
Obtenidas las parejas ordenadas de la recta del techo: (0, 5) y (4, 5.08), se calcula la pendiente.
4 m son 100%? son 2%
cmmm xm
808.0100
8
%100
%24===
El punto de elevación en el plano es (4, 5.08)
y
0 1 2 3 54-1-2-3-4-5-6 6
1
2
3
5
4
6
-1
-2
-3
-4
-5
xy = (-2/3) x + 4
(4, 0)
-3
2
50
102.0
4
08.0
04
508.5
12
12 ===−
−=
−
−=
x x
y ym
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Taller de Matemáticas III Semana 1 y 2
31 Universidad CNCI de México
Al encontrar los puntos y la pendiente, ambos se sustituyen en la ecuación pendiente‐ordenada al origen.
2.2.4. Forma simétrica
2.2.4.1. Intersecciones de una recta con los ejes coordenados
Otra de las distintas formas de representar la línea recta es a través de su intersección con los ejes coordenados “x” y “y”. Es posible obtener la ecuación bajo esta forma a través de su interpretación gráfica o determinadas las coordenadas de intersección de la recta con los ejes, la abscisa al origen (a, 0) o la ordenada al origen (0, b).
2.2.4.2. Ecuación de una recta conocidas sus intersecciones con los ejes coordenados
Si una recta corta al eje de las “y”, el punto de intersección es (0, y) y el punto de intersección con el eje de las “x” es el punto (x, 0), al considerar la ecuación punto‐punto, la forma de la recta queda:
Práctica 16
Si los puntos de intersección con los ejes de una recta son (–2, 0) y (0, –3), ¿cuál es su ecuación simétrica?
abbxay
bxabay
xbb ya
a
b
x
b y
a
b
x
b y
x x
y y
x x
y y
=+
−=−
−=−
−=−
−
−=
−
−
−
−=
−
−
)()(
0
0
0
12
12
1
1y
0
x
(a, 0)(0, b)
Al dividir la ecuación entre “ab” queda:
Al sustituir los puntos en la ecuación:
Se simplifica:
1=+
=+
b
y
a
x
ab
ab
ab
bx
ab
ay
Forma simétrica:
550
1+=+= x ybmx y
y
x0 1 2 3 4-1-2-31
2
3
5
4
6
-1
-2
-3
-4
-5
7
(0, -3)
(-2, 0)
-6
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32/60
Taller de Matemáticas III Semana 1 y 2
32 Universidad CNCI de México
Práctica 17
Instrucciones: determina la ecuación de la recta en su forma pendiente‐ordenada al
origen dados
los
siguientes
datos.
1) m = – 3/5 y b = – 4 2) m = 0 y b = 3 3) m = – 1 y b = 8
Práctica 18
Instrucciones: a partir de las ecuaciones dadas encuentra el valor de la pendiente de la ordenada al origen y realiza la gráfica correspondiente.
1) y = – 2 x – 5
2) 4x –
6y
= 8
3) 7 + 2y = 3x
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33/60
Sesi
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2.2.
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ticas II
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I Semana
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Taller de Matemáticas III Semana 1 y 2
34 Universidad CNCI de México
perspectivas del entorno parecen una más pequeña que otra cuando en realidad las tres son del mismo tamaño. Siguiendo con el análisis de la ecuación de la recta de la colina observas que se trata de una ecuación lineal porque la variable independiente “x” es de grado uno.
Has aprendido que existen distintas maneras de representar la ecuación de una recta, ¿cuál es la forma general de representarla e identificarla?
Es muy sencillo, sólo tienes que igualar a cero la ecuación y obtienes la ecuación general de la recta. De tal manera que la ecuación general de la línea recta es del tipo: Ax + By + C = 0, donde A, B y C son números constantes.
A partir de la forma general de la ecuación de la recta se analizan los posibles casos de ecuaciones para valores propios de las letras A ,B y C:
Si la ecuación de la carretera en la colina de Guatemala está dada por y = – 0.00197x + 1.289, la ecuación en su forma general es:
Los resultados
cuantitativos
obtenidos
en
el
estudio
topográfico
realizado
en
el
tramo de carretera denominado, El Paso Misterioso, indican que la cuesta desciende en forma constante en dirección hacia San Lucas Tolimán‐Patulul aunque visualmente se observe una inclinación hacia arriba.
2.2.5.1. Conversión de la ecuación de una recta de la forma simplificada a la forma
general y viceversa.
De la forma simplificada a la forma general.
a) Cuando 000 ≠≠≠ C B A
B
C b
B
Axm −=−=
0=++ C By Ax
c) Cuando 000 ≠≠= C B A
B
C bm −== 0
0
0)0(
0
0
=+
=++
=
=++
C By
C By x
A si
C By Ax
b) Cuando 000 =≠≠ C B A
0
0
0
=+
=
=++
By Ax
C si
C By Ax
0=−= b B
Axm
d) Cuando 000 =≠= C B A
00
00
0
==
===++
y By
C y A si
C By Ax
00 == bm
e) Cuando 000 ≠=≠ C B A
0)(
0)0(
00
=+
=++
==++
C x A
C y Ax
B siC By Ax
f) Cuando 000 ==≠ C B A
0
00)0(
000
=
=++
===++
x
y Ax
C y B siC By Ax
Forma Simplificada: y = mx + b Forma General: Ax + By + C = 0
0289.100197.0
289.100197.0
=−+
+−=
y x
x y
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Taller de Matemáticas III Semana 1 y 2
35 Universidad CNCI de México
Ejemplo. Dada la pendiente de la recta m = 2/3 y la ordenada al origen b = ‐ 2 se obtiene la forma simplificada de la recta a través del siguiente procedimiento:
Se
sustituyen
los
valores
de
la
pendiente
y
de
la
ordenada
al
origen
en
la
Forma
simplificada de la ecuación de la recta: y = mx + b = (2/3) x + (‐ 2)
A partir de la forma simplificada de la ecuación de la recta, para transformarla a la forma general se iguala a cero la ecuación:
Práctica 19
Dada la ecuación general de la recta 4x – 6y = 8, convertirla a la forma simplificada.
2.2.5.2. La línea recta y la ecuación general de primer grado
En la vida diaria existen muchas situaciones en las que se usan las funciones, por ejemplo:
a) El salario de un empleado está en función del tiempo trabajado. b) El grado de inclinación del volcán en función del desplazamiento. c) La fluidez del drenaje pluvial en función de la inclinación del techo. d) La cantidad de maíz cosechada en función del tiempo. e) Los chirridos de un grillo están en función de la temperatura.
De los ejemplos anteriores se puede decir que una función matemática es una
relación entre
dos
conjuntos,
definida
una
regla
de
correspondencia
en
la
que
a cada
elemento del primer conjunto (variable independiente), le corresponde un único elemento del segundo conjunto (variable dependiente).
Las letras con las que se representa una función son: f, g, h, y las variables se denotan con las letras t, p, x, y, z. Si la función se escribe de la forma: y = f(x), “x” es la variable independiente y “y” es la variable dependiente.
La función f(x) es lineal si en su modelo algebraico expresa la relación entre la variable independiente “x” de grado (exponente) uno y la variable dependiente “y”.
La forma
de
la
función
lineal
es:
f(x)
= mx
+ b
“m” y “b”
son
números
constantes.
Forma Simplificada de la Recta23
2−= x y
Se multiplica toda la ecuación por 3
Se iguala a 0
Forma General de la Recta
623
)3(23
2
−=
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
x y
x y
0632 =−− y x
0≠m
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Taller de Matemáticas III Semana 1 y 2
36 Universidad CNCI de México
2.2.6. Forma normal de la ecuación de una recta
En la imagen que representa el camino misterioso de Guatemala habrás notado que la vegetación sobre la carretera crece perpendicularmente respecto a la superficie de la Tierra, esa línea recta perpendicular a la superficie de la Tierra se llama recta normal. ¿Cuál es la ecuación de la recta normal correspondiente a la recta de inclinación de la carretera? Para resolver esta cuestión es necesario hacer un análisis
sobre la
línea
recta
y su
forma
normal.
Al tomar la ecuación de la recta en su forma punto – pendiente se determina lo siguiente:
La gráfica de una función lineal esuna línea recta, cuando la funciónse iguala a cero se obtiene unaecuación lineal o ecuación deprimergrado.
Ejemplo:
Graficar la función f(x)= 3x + 5 cuando y = 0 ycuando y = 1.
Si y = 0 0 = 3x + 5 x = – 5 / 3Si y = 1 1 = 3x + 5 x = – 4 / 3
Al considerar una recta L se traza su recta normal (N)correspondiente, que pase por el origen y perpendicular a L. Dichasrectas se intersectan en un punto P1(x1, y1), de tal manera que elsegmento de recta que se forma del origen al punto P1 es P, y θ elánguloformadopor la recta normal N con respecto al eje delas “x”.
θ
senθ m N
cos
tan == θ
De acuerdo con la gráfica, la pendiente de la recta normal estádadapor:
Por fórmula trigonométrica
senθ
θ m L
cos−=La pendiente de la recta L es:
Puesto que N y L son perpendiculares ya que forman unángulo de 90º entre sí, se concluye que:
y
0 x
N
L
P ( x
, )
1
1
y 1
x1
y1
9 0 º
Pθ
)(coscos
)( 1111 x x
sen
y y
sen
m si x xm y y L −−=−−=−=−
θ
θ
θ
θ
8/16/2019 Matemáticas III_CNCI_1
37/60
Segú
Prá
Traz
Res
•
37 Univer
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tica 20
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A
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Traza la
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sidad CNCI
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1 Ps
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P
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1 yen =θ
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Matem
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y q = 240º
P
x1s =θ
0=− P la rect
ticas II
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y determin
cos P
I Semana
ecuación.
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1 x=
1 y 2
ón.
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Taller de Matemáticas III Semana 1 y 2
38 Universidad CNCI de México
2.2.6.1. Obtención de la ecuación de la recta en su forma normal a partir de su
forma general
Para obtener la ecuación de la recta en su forma normal a partir de su forma general, hay que suponer la ecuación de la recta en su forma general: Ax + By + C = 0 y la
ecuación de
la
misma
recta
en
su
forma
normal:
x cosq
+ y senq
+ P = 0,
como
las
ecuaciones determinan la misma recta sus coeficientes son proporcionales:
En donde K es la constante de proporcionalidad
A partir de lo anterior se tiene:
Al elevar al cuadrado las ecuaciones (1) y (2) y al sumarlas se obtiene:
KC P KB sen KA −=== )3()2(cos)1( θ θ
2222
222222
222
222
1
cos
cos
B K A K
B K A K sen
B K sen
A K
+=
+=+
=
=
θ θ
θ
θ
Identidad Trigonométrica
1cos22 =+ θ θ sen
0222222=
+±+
+±+
+± B A
C y
B A
B x
B A
A
Al despejar K de la ecuación se tiene:
Obtenida K se sustituye en :
Por lo tanto la forma normal de la ecuación Ax + By +C = 0 es:
22
22
2
222
1
1
)(1
B A K
B A K
B A K
+±=
+=
+=
222222cos
)3()2(cos)1(
B A
C
P B A
B
sen B A
A
KC P KB sen KA
+±=−
+±=
+±=
−===
θ θ
θ θ
(4)
C
P K
B
sen K
A K −===
θ θ cos
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39/60
Taller de Matemáticas III Semana 1 y 2
39 Universidad CNCI de México
La ecuación obtenida de la recta de su forma general convertida a su forma normal es mucho más simple que la que depende de las funciones trigonométricas. ¿Qué diferencia encuentras entre la forma general de la ecuación de una recta y la
obtenida en su forma normal?
Al observar la ecuación en la forma general de la recta y la ecuación (4), lograste darte cuenta que la única diferencia es el radical que divide a cada término de la ecuación (4). Ese radical es clave para obtener la conversión de la ecuación de la recta de su forma general a su forma normal.
Práctica 21
Convertir a la forma normal la ecuación: – 2x + 8y – 7 = 0
Instrucciones: realiza lo que se te indica a continuación.
A partir de la recta que pasa por los puntos (1, 6) y (‐2, ‐ 4.5), determina la ecuación según las siguientes formas:
1) Punto – pendiente; considera el punto (1, 6). 2) Punto – pendiente; considera el punto (‐2, ‐4.5). 3) Pendiente – ordenada al origen.
A partir
de
la
ecuación
de
la
recta
determinada
en
su
forma
pendiente
‐ordenada
al
origen en el ejercicio anterior, realiza la siguiente conversión: 1) A su forma general. 2) A su forma simétrica. 3) A partir de la ecuación obtenida en su forma general, conviértela a su
forma normal. 4) Traza la gráfica.
0222222=
+±+
+±+
+± B A
C y
B A
B x
B A
A Ax + By + C = 0
El signo del radical se determina mediante los siguientes criterios:
1) Si C ≠ 0 el radical es de signo contrario a C.
2) Si C=0 y B ≠ 0, el radical y B tienen el mismo signo.
3) Si C=B=0, el radical y A tienen el mismo signo.
22 B A +
22 B A +
22 B A +
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Taller de Matemáticas III Semana 1 y 2
40 Universidad CNCI de México
2.3 Distancias que involucran la recta.
Ejemplo:
2.3.1. Distancia de una recta al origen
Los sentidos no son del todo precisos, ya has visto algunos ejemplos que lo demuestran. ¿Cómo evitar caer en el engaño? Las matemáticas aportan certeza al analizar cuantitativamente los posibles casos ambiguos y al dar resultados precisos y creíbles. En la imagen 3 del ejemplo anterior, para determinar cómo son las rectas entre sí, se toma un punto de referencia y se traza un plano cartesiano.
Al analizar las rectas grises, se calcula la distancia de cada una de ellas al origen y si las distancias son proporcionales, las rectas son paralelas.
Para calcular la distancia de la recta al origen se procede de la siguiente manera:
Imagen 1
Imagen 2
Imagen 3
• Observa la imagen 1. ¿Cómo son las rectas entre
sí? ¿Paralelas o torcidas?
• Observa la imagen 2. ¿A cuál punto entre A, B y C
corresponde la recta que sale del rectángulo del
lado izquierdo?
• Observa la imagen 3. ¿Las rectas son paralelas,
perpendiculares o torcidas?
y
0 1 2 3 54-1-2-3-4-5-6 6
1
2
3
5
4
6
-1
-2
-3
-4
-5
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Taller de Matemáticas III Semana 1 y 2
41 Universidad CNCI de México
La recta intersecta al eje “x” en el punto A y al eje “y” en el punto B. La longitud del segmento OB = b, la longitud del segmento OA = a. Según la figura de la gráfica, se forma un triángulo rectángulo OBA, con catetos a y b, y como hipotenusa el segmento AB.
Para encontrar entonces la distancia de la recta de la imagen 3 del ejemplo anterior al origen, basta saber los puntos donde la recta corta con los ejes.
2.3.2. Distancia entre una recta y un punto
Para determinar la relación entre las rectas de la imagen 1, se elige un punto de referencia y se traza un plano cartesiano sobre éste. Se elige una de las rectas y se crea una recta paralela (L1) punteada a ésta.
Según la fórmula del Teorema de Pitágoras, lo anterior queda de la forma:22 ba AB +=
Una propiedad del triángulo rectángulo establece que elproducto de sus catetos es igual al producto de lahipotenusa por la altura:
d ABab =
Al juntar las dos ecuaciones se obtiene:
22
22
ba
abd
bad ab
d ABab
+=
+=
=
Fórmula de la
distancia entre unarecta y el origen
22ba
abd
+=y
0 3 54-1-2-3-4-5-6 6
2
3
5
4
6
-1
-2
-3
-4
-5
x
1
2
1 2
(2, 0)(0, 1)
Al sustituir los valores a= 2 y b= 1 en la ecuación
resultaque la distancia delorigena la recta es de:
8928.0
5
2
14
2
)1()2(
)1)(2(
22
=
=
+=
+=
d
d
d
d
Si otra recta cortara en los puntos(1, 0) y (0, 0.5), ¿cuál sería la distancia de la recta al origen?
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Taller de Matemáticas III Semana 1 y 2
42 Universidad CNCI de México
Para facilitar la fórmula de la distancia de un punto a una recta, se sustituyen las
equivalencias de
las
funciones
trigonométricas.
Distancia dirigida de una recta a un punto.
Si la distancia se calcula con la fórmula obtenida, el signo del radical se determina a través de los siguientes criterios:
a) Será positivo si el punto P1 está situado por encima de la recta y negativa si está por debajo de ella. Es posible determinar lo anterior al considerar que el signo del radical es el mismo que tiene B, o sea, el coeficiente de la variable “y”.
pα
y
0 1 2 3 54-1-2-3-4 6
1
2
3
5
4
-1
-2
x
dA( x
1, y
1)
L
L1
La ecuación de la recta L está dada por:
0cos =−+ p ysen x α α
La ecuación de la recta L1 está dada por:
0)(cos =+−+ d p ysen x α α
Como el punto A satisface la recta L1 entonces:
p sen y xd
d despejar al
d p sen y x
++=
=+−+
α α
α α
11
11
cos
0)(cos
Al sustituir en la ecuación:
Se simplifica:
222222cos
B A
C P
B A
B sen
B A
A
+±=−
+±=
+±= θ θ
Fórmula para calcular la distancia
entre una recta y un punto
22
11
22122122
11 cos
B A
C By Axd
B A
C y
B A
B x
B A
Ad
p sen y xd
+±
++=
+±+
+±+
+±=
++= α
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43/60
Dist
Si el abso
2.3.
Para ecuacorrdista
Eje
Para calcen d
Segúpor lestá
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•
43 Univer
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n el plano os puntos dada por:
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-3-4-5
ticas II
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2 B
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+
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1 y 2
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Taller de Matemáticas III Semana 1 y 2
44 Universidad CNCI de México
Sesión 6 Los temas a revisar el día de hoy son:
3. La circunferencia
3.1.
Caracterización
geométrica
3.1.1. Secciones cónicas 3.1.2. La circunferencia como lugar geométrico 3.1.3. Elementos asociados con una circunferencia
3.2. Circunferencia con centro en el origen 3.2.1. Obtención de la ecuación de una circunferencia a partir del
centro y radio 3.2.2. Obtención del centro y del radio a partir de la ecuación
3. La circunferencia
3.1. Caracterización Geométrica
Ejemplo: Locomotora
El invento del tren de vapor fue de gran utilidad en la Revolución Industrial porque podía transportar cargas pesadas y en grandes cantidades, además que con mayor velocidad. Una de las velocidades máximas alcanzadas fue de 200 Km./h.
Para evitar el descarrilamiento de un tren es necesario verificar el desgaste de sus ruedas, si éste ha hecho un recorrido superior a los 150,000 Km. Las ruedas son fundamentales para el funcionamiento del tren; pero, ¿qué es lo que se inspecciona
en una
rueda
de
tren
para
garantizar
la
seguridad
de
su
uso?
Es preciso distinguir el círculo de la circunferencia. La circunferencia es el conjunto de puntos que se encuentran a la misma distancia de otro punto dado, mientras que el círculo es el área encerrada por la c