Matemáticas III_CNCI_1

8/16/2019 Matemáticas III_CNCI_1

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Taller de Matemáticas III Semana 1 y 2

1 Universidad CNCI de México

Taller de Matemáticas III


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Temario

1. Sistemas coordenados rectangulares

1.1. Coordenadas cartesianas de un punto

1.1.1. Ejes

coordenados

1.1.2. Parejas ordenadas 1.1.3. Identidad de parejas ordenadas 1.1.4. Punto en el plano

1.2. Lugares geométricos

1.2.1. Concepto de lugar geométrico 1.2.2. Tabulación de valores 1.2.3. Intersecciones con los ejes 1.2.4. Simetrías respecto al origen y los ejes

1.2.4.1. Simetría con respecto a los ejes

1.2.4.2.

Simetría

con

respecto

al

origen

1.3. Segmentos rectilíneos

1.3.1. Segmentos dirigidos y no dirigidos 1.3.2. Longitud de un segmento 1.3.3. Distancia entre dos puntos 1.3.4. División de un segmento en una razón dada 1.3.5. Punto medio

1.4. Polígonos

1.4.1. Perímetros 1.4.2. Áreas

2. La línea recta

2.1. Propiedades de la recta

2.1.1. Ecuación de la recta como lugar geométrico 2.1.2. Ángulo de inclinación y pendiente de una recta 2.1.3. Pendiente como razón de cambio 2.1.4. Paralelismo entre rectas 2.1.5. Perpendicularidad entre rectas

2.2. Formas de la ecuación de la recta

2.2.1. Ecuación de una recta conocidos su pendiente y uno de sus puntos 2.2.2. Ecuación de una recta conocidos dos de sus puntos 2.2.3.

Forma

pendiente

‐ordenada

al

origen

2.2.3.1. Intersección de una recta con el eje “y” 2.2.3.2. Ecuación de una recta dada su pendiente y su intersección con el

eje “y” 2.2.4. Forma simétrica

2.2.4.1. Intersecciones de una recta con los ejes coordenados 2.2.4.2. Ecuación de una recta conocidas sus intersecciones con los ejes

coordenados 2.2.5. Forma general de la ecuación de una recta

2.2.5.1. Conversión de la ecuación de una recta de la forma simplificada a

la forma

general

y viceversa

2.2.5.2. La línea recta y la ecuación general de primer grado


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2.2.6. Forma normal de la ecuación de la recta 2.2.6.1. Obtención de la ecuación de una recta en su forma normal a

partir de su forma general

2.3.

Distancias

que

involucran

la

recta

2.3.1. Distancia de una recta al origen 2.3.2. Distancia entre una recta y un punto 2.3.3. Distancia entre rectas paralelas

3. La circunferencia

3.1. Caracterización geométrica

3.1.1. Secciones cónicas 3.1.2. La circunferencia como lugar geométrico 3.1.3. Elementos asociados con una circunferencia

3.2. Circunferencia con centro en el origen

3.2.1. Obtención de la ecuación de una circunferencia a partir del centro y radio

3.2.2. Obtención del centro y del radio a partir de la ecuación. 3.3. Circunferencia con centro fuera del origen

3.3.1. Obtención de la ecuación ordinaria de una circunferencia a partir del centro y radio

3.3.2. Obtención del centro y radio de una circunferencia a partir de su ecuación ordinaria

3.4. Ecuación general de la circunferencia

3.4.1. Conversión de la ecuación en su forma ordinaria a su forma general 3.4.2.

Conversión

de

la

ecuación

en

su

forma

general

a su

forma

ordinaria

3.5. Circunferencia que pasa por tres puntos

3.5.1. Condiciones geométricas y analíticas para determinar una circunferencia

3.5.2. Obtención de la ecuación de una circunferencia dados tres de sus puntos


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Semana 1

Sesión 1

Los temas

a revisar

el

día

de

hoy

son:



1.1.1. Ejes coordenados 1.1.2. Parejas ordenadas 1.1.3. Identidad de parejas ordenadas 1.1.4. Punto en el plano


1.2.1. Concepto de lugar geométrico

1.2.2. Tabulación

de

valores

1.2.3. Intersecciones con los ejes 1.2.4. Simetrías respecto al origen y los ejes

1.2.4.1. Simetría con respecto a los ejes 1.2.4.2. Simetría con respecto al origen



Para determinar las coordenadas de un punto es preciso crear un plano cartesiano a través de un punto de referencia, y en función de éste, se ubica cualquier otro punto en el plano mediante valores proporcionados a los ejes coordenados, y conforme a su posición se ubican sus valores correspondientes a cada eje, para formar la pareja ordenada llamada también coordenada de un punto.

1.1.1. Ejes coordenados

En los ejes coordenados, el punto de intersección es el punto de origen de donde parte

la

numeración

de

las

rectas.

Los ejes coordenados parten al plano en cuatro espacios denominados cuadrantes. Cada uno se distingue por la posición que ocupa respecto a la numeración (positiva o negativa) de los ejes coordenados.

Nota: es muy importante que sepas que hablar de un sistema de ejes rectangulares o coordenados, es hablar de un plano cartesiano.


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1.1.2. Parejas

ordenadas

Un punto en el plano es la correspondencia de las referencias dadas, es decir, lo que en matemáticas se llama coordenada o pareja ordenada.

Ejemplo:

Camelia tiene que ir a una fiesta por la noche pero no sabe aún qué ponerse, entre las prendas que seleccionó como posibles casos para portar se encuentran en un conjunto de pantalones de vestir uno negro, otro azul, uno rojo y uno café, y dentro del conjunto de blusas tiene una crema estampada, una blanca, otra amarilla y una rosa.

Mediante un

diagrama

de

flechas

representa

las

posibles

combinaciones

que

podría

hacer Camila para ir a la fiesta en la noche, y además integra en un sólo conjunto mediante parejas ordenadas las combinaciones posibles de pantalones con blusas.

Solución:

1.1.3. Identidad de parejas ordenadas

De la misma manera, un punto en el plano cartesiano es la correspondencia de un elemento en el eje “x” (abscisa) y otro en el eje “y” (ordenada), el cual es representado por la pareja ordenada (x, y).

• Al eje horizontal se le llama eje de

las

“x”

o

“de

las

abscisas”.

• Al eje vertical se le llama eje de las

“y” o “de las ordenadas”

El conjunto de parejas ordenadas queda

determinado de la siguiente manera:

{(negro, crema), (negro, blanca), (negro,

rosa), (azul, crema), (azul, blanca), (rojo,

crema), (rojo,

blanca),

(rojo,

rosa),

(café,

crema), (café, amarilla), (café, rosa)}.


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1.1.El pry) es

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6 Univer

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I Semana

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7/60



Práctica 1

a) Identifica en el plano cartesiano el siguiente conjunto de parejas ordenadas que

muestran

la

relación

entre

los

días

de

la semana y la temperatura ambiental.

{(Lunes, 38ºC), (Martes, 35ºC), (Miércoles, 39ºC), (Jueves, 41ºC), (Viernes, 33ºC), (Sábado, 31ºC), (Domingo, 29ºC)}

¿Qué día fue el más caluroso? y ¿qué día estuvo más baja la temperatura?

Práctica 2

b) Realiza los siguientes ejercicios.

• Dados los puntos en el plano, identifica y

escribe

sobre

el

mismo

su

pareja

ordenada.

• Localiza los siguientes puntos en el plano dadas sus coordenadas:

a) (2, 3) b) ( – 6, 1) c) (5, – 4) d) (0, 0) e) (0, 3) f) (1, – 2) g) (4, 0)


En tu vida cotidiana y en tu entorno, si observas con atención cada situación o fenómeno, descubrirás que pueden estar vinculados siempre a figuras geométricas, algunas de ellas con estética y armonía visual representada por simetrías y proporcionalidad.

En muchos

casos

la

obtención

de

esta

estética

o armonía

se

logra

en

base

a un

detallado estudio matemático que involucra el lugar geométrico.


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1.2.1. Concepto de lugar geométrico

El lugar geométrico es el conjunto de puntos en el plano que tienen una propiedad en común, la cual se enuncia habitualmente en términos de distancias a puntos, rectas o circunferencias fijas en el plano y/o en términos del valor de un ángulo.

Ya conociste la forma de algunas figuras geométricas, has visto que las puedes encontrar en el mundo que nos rodea y que son de gran utilidad.

En la siguiente imagen se ilustran algunas formas geométricas con sus respectivos nombres, la cuestión ahora es saber: ¿Cuál ecuación le corresponde a cada una de ellas? Puesto que como a cada punto en el plano le corresponde una pareja ordenada, también a cada lugar geométrico le corresponde una ecuación específica.

Para verificar que una ecuación corresponde a un lugar geométrico dado, y que el lugar geométrico corresponde a cierta ecuación, la geometría analítica posee el siguiente principio fundamental:

a) Si las coordenadas de un punto satisfacen una ecuación, el punto está en el lugar geométrico de la misma.

b) Si un punto está en el lugar geométrico de una ecuación, las coordenadas del mismo la satisfacen.

Recta Circunferencia Elipse Parábola

• Recta y = ax + b

• Circunferencia x2+y2 = r2

• Elipse x2 + y2 = 1 b2x2 + a2y2 = a2b2

a2 b2

• Parábola y = ax2 x = ay2


9/60

1.2.

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ticas II

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I Semana

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- 11

- 8


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1.2.3. Intersecciones con los ejes

1.2.4. Simetrías respecto al origen y los ejes

En el tema de “Lugares geométricos” clasificaste las figuras con respecto a su forma. ¿Habrá alguna otra manera de clasificarlas?

Si se

toma

un

punto

de

referencia

sobre

cada

una

y se

traza

un

sistema

de

ejes

coordenados sobre dicho punto, se podría observar otra característica, una manera distinta de clasificarlas.

Si se traza una línea recta por la mitad de la figura y los puntos extremos (arriba/abajo o izquierda/derecha) se encuentran a la misma distancia de la recta trazada, las partes cortadas son iguales, es decir simétricas.

Recta Circunferencia Elipse Parábola


11/60



Si las partes cortadas son iguales (simétricas) se puede decir que la línea recta que las divide es un eje simétrico y por lo tanto que la figura es simétrica. ¿Qué ocurre con el resto de las figuras?

De lo

anterior

se

puede

concluir

que

dos

puntos

son

simétricos

en

un

plano

si

se

encuentran a la misma distancia de otro punto (x0, y0). Los puntos simétricos equidistan del eje de simetría, y éste es una recta perpendicular a los segmentos de rectas que se forman al unir los puntos simétricos.

Existen dos tipos de simetría: • Con respecto a los ejes

• Con respecto al origen

Práctica 4

Las siguientes figuras muestran al menos un tipo de simetría. ¿De qué tipo de simetría se trata?

1.2.4.1. Simetría con respecto a los ejes

En el ejemplo de la figura de la naranja, se ilustra muy bien el tipo de simetría con respecto a los ejes. Tanto al eje “x” como al eje “y”.

Puntos de Intersección

Eje simétrico

ddd

Eje

simétrico

d


12/60



1.2.4.2. Simetría con respecto al origen

Práctica 5

Revisa la información que se te proporciona y realiza lo que se te pide. • Convierte a texto simbólico en caso de que así lo requiera. • Traza su lugar geométrico e identifica la condición que la caracteriza.

Identifica si posee simetría, y si la tuviera indica de qué tipo de simetría se trata.

1. 5y – 20 x = 15 2. El triple de la mitad del cuadrado de conejos que tiene Ángel es el triple de la

cuarta parte

de

conejos

que

tiene

Juan

menos

una

unidad.

3. | 5x – 3| = y

Si f(x) = f(-x) entonces, es simétricarespecto al eje y; es decir, a todo valor de“y” le corresponden dos valores de “x” ,iguales en valor absoluto pero con diferentesigno.

Si f(y) = f(-y) entonces, es simétricarespecto al eje x; es decir, a todo valor de“x” le corresponden dos valores de “y” ,iguales en valor absoluto pero con diferentesigno.

Como en el ejemplo de la figura de la naranja

es simétrica con respecto a los dos ejes, sepuede decir que también es simétrica conrespectoal origen.

Si una ecuación no se altera al sustituir “x” por “–x” y “y” por “–y” entonces surepresentación gráfica es simétrica con

respecto alorigen.


13/60



Sesión 2

Los temas a revisar el día de hoy son:

1.3.

Segmentos

rectilíneos

1.3.1. Segmentos dirigidos y no dirigidos 1.3.2. Longitud de un segmento 1.3.3. Distancia entre dos puntos 1.3.4. División de un segmento en una razón dada 1.3.5. Punto medio

1.4. Polígonos

1.4.1. Perímetros 1.4.2. Áreas

1.3. Segmentos rectilíneos

En los temas anteriores ya has visto una introducción de lo que es una línea recta y su utilidad. Ahora verás algunas de sus propiedades.

1.3.1. Segmentos dirigidos y no dirigidos

1.3.2. Longitud de un segmento

¿Cómo calculas la distancia del punto 4 al punto 5? ¿Cuentas la cantidad de cuadras

y lo multiplicas por su longitud? ¿Tardado no?

Segmento rectilíneo:es la porción de una línea

recta comprendida entre dos puntos llamadosextremos. Por ejemplo: en el plano de Monterreylos puntos 1 y 3 forman una porción de la calle

Carlos Salazar.

Segmento dirigido: segmento conmagnitud, dirección y sentido. Su magnitudse define como positiva y su direcciónopuesta como negativa.

Recta: es una línea que se prolongaindefinidamente en dos sentidos opuestosy en la misma dirección.

Recta

A B

Segmento Dirigido AB

Segmento no dirigido: segmento conmagnitud, sin prolongarse a ningunadirección.

A B

Segmento No Dirigido AB

A B

Segmento AB


14/60

Una en ecompunt

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1

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15/60

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I Semana

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16/60



1.3.5. Punto medio

Cuando el punto de división es el punto medio entre los dos triángulos, entonces se deduce que:

1) Considerar los puntos A y B y la recta que determinan.

2) Se considera un tercer punto C (x, y) que corta al segmento en la relación:3) Dado que AC y CB son en el mismo sentido, dicha relación es positiva.4) Si el punto de división se presenta fuera de la prolongación del segmento, la relación dada

anteriormente será negativa, ya que AC y CB tendrían sentidos opuestos.5) Al identificar dos triángulos semejantes se tiene lo siguiente:

6) De la ecuación obtenida despejar“x” y “y” respectivamente

y

x0

A (x , y )1 1

B (x , y )2 2

C (x, y)

x – x1 M

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xx

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Punto de División

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Punto Medio

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2

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Práctica 7

Obtén el punto de división y el punto medio del segmento trazado en la siguiente gráfica.

Práctica

8

Toma como referencia el siguiente plano cartesiano y realiza lo que se te pide.

Un cazador desea tener un buen tino al tirar al pájaro, pero, el cazador sólo conoce los puntos de ubicación de la flor y el árbol, entonces para lograr su objetivo necesita calcular lo siguiente:

1) Calcular la distancia entre el árbol y la flor.

2) Determinar

el

punto

donde

se

encuentra

el pájaro (P) dada la razón de 1/3. 3) Calcular el punto medio entre el árbol y la

flor.

y

x0 1 2-1-2-3-4-5-61

2

5

4

6

-1

-2

-3

-4

3

A( –2, 6)

B( –5, –3)

A( x1, y1)

B( x2, y2)

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18/60

1.4. Una que

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1.4.El pe

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etros de l

Matem

figura geás segme

.

ista de hie

de concluide las mag

ica se obtincia.

io usar la l hacer la al mismo ti

ular, la su

as que

ya

rgo por 18

ticas II

métrica lltos de re

lo.

que el pnitudes de

ne la longi

órmula de uma total empo.

erficie se

conoces de ancho.

I Semana

mada polí ta no alin

rímetro dsus lados.

tud de cad

la distanciapara obte

puede me

obre el

á

1 y 2

ono, ados

una

uno

para er el

dir al

ea y


19/60

Conm2. Entodeli

En eobti

Dadded

A = trap

En

detecont

19 Univer

iderando l

nces, se pitada por l

l caso de qne de la si

un triángce como:

P1P2P3 = ácio M1P1P2

l caso

de

rminante inuación:

sidad CNCI

s medida

ede conclos lados d

ue se trate uiente ma

lo con vér

rea del traM2.

que se

t

con las p

e México

encionad

ir que el la figura.

de un polí nera:

ices en los

pecio M1P

engan polí

arejas ord

aller d

s, el result

rea o sup

gono form

puntos P1(

P3M3 + ár

gonos con

enadas d

Matem

do es el si

erficie es l

do con pu

x1, y1), P2 (

ea del tra

más

de

los vérti

ticas II

uiente: 22

a región in

tos en el

2, y2) y P3(

ecio M3P3

tres lados,

ces como

I Semana

m x 18m

terior del

lano, el ár

3, y3), su ár

2M2 – áre

se

utili

se mues

1 y 2

396

lano

ea se

ea se

a del

a un

ra a


20/60



Práctica 10

En la esquina de la colonia Roma se encuentra un terreno baldío, un

arquitecto

compró

el

terreno

y

desea

construir un centro de diversión infantil con juegos mexicanos, para poder hacer la construcción el arquitecto necesita conocer el área que ocupa el terreno, la información que posee se encuentra sobre la gráfica de la figura, solamente conoce los puntos de ubicación de cada esquina del terreno.

Calcula el

área

a partir

de

la

información

proporcionada.

y

0 1 2 3 54-1-2-3-4-5-6 6

1

2

3

5

4

6

-1

-2

-3

-4

-5

-6

xP(4, 1)

P(-2, -4)

P(1, 1)

P(4, -4)


21/60

Sesi

2. La 2.1Las ecuasea lsobr

La gpor conj

mano inen ela si

2.1.

EjeEl vde 5sobral crfuer

VolcáSe ubialta d

21 Univer

ón 3

L

2

línea rect. Propiedaropiedadeción reprea situación e la línea re

2.1.1. Ecua

áfica de la ejemplo, nto infin

tiene siem

linación y l plano se ruiente figu

. Ángulo

d

plo: lcán Pico ,750 m, sue la superf áter su grae es de 40

Pico de Orizaca en los límite México con u

sidad CNCI

os temas a

.

La

línea

r 2.1. Propi

2.1.12.1.22.1.32.1.2.1.5

es de la res de una entativa, bajo estudcta.

ción de la

ecuación stá formaito de p

re la

mism

uyo lugar epresenta ra:

inclinació

e Orizaba elevación icie terrestdo de incli.

ba s territoriales na altura de 5,

e México

revisar el

cta

edades de . Ecuación . Ángulo d. Pendient. Paralelis. Perpendi

cta ecta pued

geométricio. En esta

ecta como

e la recta,da por unntos que

a direccióneométricocomo el de

n y pendie

tiene una inicial es dre y al aceación pro

e Puebla y Ve50 m.

aller d

ía de hoy

la recta de la recta inclinació

e como razo entre reularidad e

en ser disamente mección se

lugar geo

te de

una

altura e 10º rcarse edio

acruz en la Re

(-3, -11

(-2

Matem

on:

como lugan y pendieón de camtas tre rectas

inguidas adiante su ionsideran

étrico

recta

ública Mexica

y

0-1-2-3

2

4

6

10

8

12

-2

-4

-6

-8

-10

-12

14

)

, -8)

(-1, -5)

(0, -2)

(1,

ticas II

geométrite de una io

alíticamenterpretacilos dos asp

a. Es el volcán

1 2 3

)

(2, 4)

(3, 7)

I Semana

o ecta

te medianón gráfica ectos de es

y la montaña

x5 6

1 y 2

te su egún tudio

ás


22/60



El volcán Pico de Orizaba varía en su grado de inclinación, conforme se desplaza sobre la horizontal la elevación de la recta se incrementa. A este ángulo se le conoce como ángulo de inclinación, y a la razón de cambio que es la elevación entre el desplazamiento se le denomina pendiente, pero, ¿cómo se obtienen?

Al representar gráficamente la inclinación del volcán sobre un plano cartesiano, se trazan dos líneas punteadas para formar un triángulo rectángulo. Si observas bien en cada una de las dos rectas, la inclinación está dada por la razón del cambio en “y” (elevación) con respecto al cambio en “x” (desplazamiento).

Por lo tanto, la pendiente de la recta se puede

def inir como la razón del cambio en “y” conrespecto al cambio en “x” y se denota con laletra “m”:

entodesplazami

elevación

x x

y ym =

−

−=

12

12 (1)

y

10º40º

x1

y1

y2

|x - x |2 1

|x - 0|1| y - 0|1

|y - y |2 1

12 x x ≠

A partir de la misma gráfica se obtiene la función

trigonométrica tangente:

12

12

.

.tan

x x

y y

adyacentec

opuestoc

−

−==α (2)

De las ecuaciones (1) y (2) se observa que lapendiente (m) y la función trigonométricatangentetienenla mismaigualdad,porlo tanto:

α tan12

12 =−−= x x y ym

Pendiente de una recta

12 x x ≠

m

m

1tan

tan

−=

=

α

α

Ángulo de inclinaciónSi se despeja

el ángulo,la fórmula queda:

Con estas fórmulas se calcula la pendiente de una recta, dados los puntos de la recta en el plano o

dadosu ángulode inclinación.

y

10º40º

x1

y1

y2

|x - x |2 1

|x - 0|1

| y - 0|1

|y -2


23/60



Práctica 11 a) Obtener la pendiente y ángulo de inclinación de la recta dada en el plano

cartesiano.

b) Obtener la pendiente y ángulo de inclinación de la recta dada en el plano cartesiano.

y

x0 1 2 3 54-1-2-3 61

2

3

5

4

6

-1

-2

-3

-4

-5

7

(-2, -3.2)

(3, 4.8)

α

m

y

x0 1 2 3 54-1-2-3 61

2

3

5

4

6

-1

-2

-3

-4

-5

-6

(3, -1.875)

(-3, 1.875)


24/60



Se concluyen las siguientes características de una recta en el plano, según su pendiente y ángulo de inclinación:

2.1.4. Paralelismo entre rectas

Sabes que una característica de las rectas paralelas es que nunca se cortan, ¿qué otra característica describe a las rectas paralelas?

2.1.4. Perpendicularidad entre rectas

y

x

y

x

y

xx

y

Pendiente negativa

Ángulo > 90º y < 180ºLa recta decrece

porque al aumentarlos valores de “x” losde “y” disminuyen.

Pendiente positiva

Ángulo < 90ºLa recta crece

porque al aumentarlos valores de “x”

aumentan los de “y”.

No existe pendiente

Ángulo = 90ºPendiente = cero

Ángulo = 0º

y

x0 1 2 3 4-1-2-31

2

3

5

4

-1

-2

-3

-4-5

(-2, -4)

(3, 4)

α

(-2, -3.2)

(3, 4.8) Considerando

el

siguiente

ejemplo

puedes

observar que las rectas nunca se cortan entre sí, por lo tanto son paralelas, y al analizar tanto su pendiente como el ángulo de inclinación se descubre que ambas son iguales.

De lo anterior se concluye que otra característica de las rectas paralelas es que poseen el mismo ángulo de

inclinación y la

misma

pendiente.

Sobre las vías del tren se encuentran los

rieles y los durmientes, si observas bien,

cada durmiente es perpendicular al riel, ya

que la posición de los durmientes forma

un ángulo recto (90º) con respecto a los

rieles.


25/60



Revisando el siguiente ejemplo, al empalmar las rectas forman un ángulo recto, por lo tanto son perpendiculares, y al analizar tanto su pendiente como el ángulo de inclinación se descubre que:

Práctica 12

Toma como referencia la siguiente imagen y realiza lo que se te pide.

12

1

2

º909946.57º90º9946.147

1

6.1

1626.0

α α +=+==

−=−=−=m

m

x0 1 2 3-1-2-31

2

3

5

4

-1

-2

-3(-2, -3.2)

(3, 4.8)

(3, -1.875)

(-3, 1.875)

º9946.57

6.1

1

1

=

=

α

m

5y = 8x

8y = - 5x

º9946.147

626.0

2

2

=

−=

α

m

De lo anterior se concluye que otra característica de las rectas perpendiculares es que la multiplicación de sus

pendientes es igual a – 1.

1) Identifica los puntos de intersección de cada recta.

2) Determina la ecuación de cada

recta.

3) Obtén la pendiente de cada una de las rectas.

4) Establece la relación (paralelas o perpendiculares) entre ellas a partir de sus pendientes.


26/60

Sesi

2.2. 2.2.

Ya geodetesu á

Al a

la fórect

EjeSi la ecuaAl to

26 Univer

ón 4

L

2.2.

For 2.2. 2.2.

2.2.

2.2.

Formas de . Ecuación

prendiste étrico en rminada a gulo de in

alizar las

c

rmula de l como se

plo: pendiente ción de la rmar la ecu

sidad CNCI

os temas a

as

de

la

e. Ecuación . Ecuación . Forma pe 2.2.3.1. I

2.2.3.2. E c

. Forma si 2.2.4.1. I 2.2.4.2. E e

la ecuació de una re

a identificel plano, partir de dlinación, y

ndiciones

pendienteuestra a c

stá dada cecta. ción:

e México

revisar el

cuación

de

de una recde una recndiente‐orterseccióncuación de on el eje “étrica terseccioncuación de jes coorde

de la rectta conocid

ar algunaconforme s condicioen este cas

de la

recta

, se obtienntinuació

omo m= 6

aller d

ía de hoy

la

recta

a conocida conociddenada al de una recuna recta ”

es de una runa recta ados

a os su pend

caracterí a eso se nes; por ejo, de la pe

por la

pen

la forma :

la recta p

1 y y =−

Forma punt

Matem

on:

s su pendis dos de surigen ta con el ejada su pe

ecta con loonocidas s

iente y un

ticas de puede demplo: dosdiente y u

iente y un

punto‐pen

sa por el p

)( 1 x x −

o-pendiente

ticas II

nte y uno s puntos

e “y” diente y s

s ejes coors intersec

de sus pu

na recta cir que u de sus puo de sus p

punto dad

iente de l

unto (2, ‐4)

I Semana

e sus punt

intersecci

enados iones con l

tos

según su na recta tos, un puuntos.

, y al

consi

a ecuación

, obtén la

1 y 2

os

n

os

lugar ueda nto y

derar

de la


27/60



Se sustituye la pendiente y el punto dado:

Práctica 13

Si la pendiente está dada por m= 2/5 y la recta pasa por el punto (‐3, 0), obtén la ecuación de la recta.

2.2.2. Ecuación de una recta conocidos dos de sus puntos

Otra forma distinta de la ecuación de la recta se obtiene a partir de dos puntos

pertenecientes a la

misma.

Si

se

conocen

dos

puntos

de

la

recta

y al

considerar

tanto

la

fórmula de la pendiente como la ecuación forma punto‐pendiente, la ecuación de la recta en su forma punto‐punto queda de la siguiente manera:

)2(64

)2(6)4(

)( 11

−=+

−=−−

−=−

x y

x y

x xm y y

)( 11 x xm y y −=−Forma punto-pendiente

y

x

A(x , y )1 1

B(x , y )2 2

12

12

x x

y ym

−

−=

12 x x ≠

Se sustituye la fórmula de la pendiente en la ecuación de la

recta en su forma punto-pendiente y resulta:

12

12

1

1

x x

y y

x x

y y

−

−=

−

−Forma punto-punto

12 x x ≠

Ejemplo:

Determinar la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente que pasa por los puntos: (-3, -5) y (0, 7)

Al tomar la ecuación:

Se sustituyen los puntos dados:

12

12

1

1

x x y y

x x y y

−−=

−−

Forma punto-punto

A( x1, y1) = (-3, -5) y B( x2, y2) = ( 0, 7)

)3(453

12

3

5

3

57

3

5

)3(0

)5(7

)3(

)5(

+=+

=

+

+

+=

+

+

−−

−−=

−−

−−

x y x

y

x

y

x

y


28/60

Prá

•

Prá

Reali•

•

2.2.

Otra la in

tamformorig

Eje

En impcon infilt

han los d

efica

2.2.

Para cons

Si la ecua

28 Univer

tica 14

Determipuntos:

tica 15

za los siguiObtén la continRepreseecuacio

1)

2) 3) 4) 5) 6)

. Forma pe

de las distitersección

ién forma

a a través n de la mis

plo:

arquitecturrtante conel fin de evre por la

propuesto e la figura.

z para un ó

.1 Intersec

calcular latrucción y

casa de la ción

de

la

sidad CNCI

na la ecua(2, ‐4) y (6,

entes ejerc ecuación uación se tnta en el es de la re = 2.5 y p

asa por

losasa por (2,

asa por los = ‐ 1.5 y asa por los

ndiente‐or

ntas formade la mis

simplificade su interma.

a, para siderar un itar que el laca. Para

diferentes ¿Cuál ser

ptimo dre

ción de un

inclinación función

figura midecta

del

te

e México

ción de la 3)

icios. e la recta proporcioplano cartcta obtenidsa por (3,

puntos (2,

9) y m = 4 puntos (0, asa por (‐4 puntos (4,

denada al

s de reprea con el

a de

la

líne

retación g

una constdrenaje plagua haga lograr dic

tipos de

á el tipo daje pluvial

recta con

es necese los dato

4 metros cho?

aller d

recta en s

n su formnan. siano el las en el pu1)

‐5)

y (2,

2)

3) y (1, ‐3), 0) 3) y (‐2, ‐3)

rigen

entar la lín je de las

a recta.

Es

áfica o de

rucción euvial fluidcharco y sho objetiv

echo com

techo má

el eje “y”

rio establ resolverlo

e ancho y

Matem

u forma p

punto‐pe

gar geomnto anterio

ea recta esy”, este ti

posible ob

erminados

s

cer un m.

5 metros

ticas II

nto‐pendi

diente dad

étrico de r.

a través do de ecu

tener la

ec

la pendien

rco de ref

e alto, ¿có

I Semana

nte dados

os los dato

ada una d

su pendieción es lla

uación baj

te y orden

erencia so

mo encont

1 y 2

sus

s que

e las

nte y mada

esta

da al

re la

ar la


29/60



Anteriormente clasificaste algunas rectas en función de sus características, y según sus características era su ecuación. Ahora, al incluir la intersección de la recta con el eje “y” se concluye que:

Cuando la recta pasa por el origen su ecuación es de la siguiente forma: y = mx La ecuación de la recta que no pasa por el origen es de la forma: y = mx + b, en donde “b” se le conoce como la ordenada al origen ya que es la distancia desde el origen hasta la ordenada donde la recta corta al eje de las “y”.

Para el tipo de recta que no pasa por el origen, se concluye que el punto de intersección con el eje de las “y” es la ordenada al origen b, y cuya coordenada es (0, b). En los ejemplos anteriores, al analizar la ecuación de la recta que no pasa por el origen, se observa que la recta en el plano está recorrida del origen sobre el eje de las “y” (‐4/5), dicho valor corresponde al de la ordenada al origen (b) de la ecuación.

En el caso del techo plano, a partir del sistema de ejes coordenados se ubica el punto de intersección del techo con el eje de las “y” y corresponde al punto (0, 5).

2.2.3.2. Ecuación de una recta dada su pendiente y su intersección con el eje “y”

Otra manera distinta para obtener la ecuación de la recta del techo de la construcción es a partir de la pendiente (m) de la recta y su intersección con el eje de las “y” , la cual está dada bajo la forma pendiente‐ordenada al origen: y = mx + b.

Para obtener su ecuación correspondiente se sustituyen los valores en: y = mx + b. Para representar la ecuación en el plano cartesiano:

y

x0 1 2 3 4-1-2-31

2

3

5

4

-1

-2

-3

-4

-5

x y 5

8

=

5

4

5

8−= x y

y

0 1 2 3 4

1

2

3

5

4

x

0.08

m

y

0 1 2 3 4

1

2

3

5

4

x

0.08

m

y

0 1 2 3 4

1

2

3

5

4

x


30/60



1) Se toma el valor de la ordenada, la cual forma el punto (0,b) en el plano. 2) Dada la pendiente (Dy/Dx), se consideran por separado los valores de

desplazamiento (Dx) y de elevación (Dy). 3) A partir del punto (0, b) se desplaza (se traslada horizontalmente) hasta el valor

(Dx).

4) Sobre tal posición se eleva (se traslada verticalmente) el valor (Dy). 5) El punto de término forma parte de la ecuación de la recta. 6) Se traza la línea recta sobre (0, b) y el punto de término de la operación anterior.

Nota: si el valor de la pendiente es negativo, el signo se puede aplicar ya sea al numerador o al denominador.

Ejemplo:

Si la ordenada al origen es 4 y la pendiente de la recta es ‐2/3, ¿cuál es la ecuación y representación gráfica de la misma?

Al sustituir los valores de la ordenada al origen y de la pendiente en la ecuación de la recta que no pasa por el origen queda: y = (‐2/3) x + 4.

Para representar la recta en el plano, con b = 4 se obtiene la coordenada de intersección con el eje “y” que es (0, 4) y la pendiente en este caso, con una elevación correspondiente de 2 y desplazamiento de ‐3, el signo negativo se le puede asignar ya sea al

numerador o denominador.

A partir del punto de intersección con el eje “y” se desplaza sobre el eje “x” el valor correspondiente dado por la pendiente y sobre esta posición se traslada verticalmente el valor de elevación dado por la pendiente.

Para determinar la ecuación de la recta del techo plano es necesario conocer otro punto para obtener la pendiente.

Si la inclinación del techo debe ser el 2% del ancho de la construcción, entonces, a esta casa hay que levantarle el techo ese 2%, para resolverlo se usa la regla de tres:

Obtenidas las parejas ordenadas de la recta del techo: (0, 5) y (4, 5.08), se calcula la pendiente.

4 m son 100%? son 2%

cmmm xm

808.0100

8

%100

%24===

El punto de elevación en el plano es (4, 5.08)

y

0 1 2 3 54-1-2-3-4-5-6 6

1

2

3

5

4

6

-1

-2

-3

-4

-5

xy = (-2/3) x + 4

(4, 0)

-3

2

50

102.0

4

08.0

04

508.5

12

12 ===−

−=

−

−=

x x

y ym


31/60



Al encontrar los puntos y la pendiente, ambos se sustituyen en la ecuación pendiente‐ordenada al origen.

2.2.4. Forma simétrica

2.2.4.1. Intersecciones de una recta con los ejes coordenados

Otra de las distintas formas de representar la línea recta es a través de su intersección con los ejes coordenados “x” y “y”. Es posible obtener la ecuación bajo esta forma a través de su interpretación gráfica o determinadas las coordenadas de intersección de la recta con los ejes, la abscisa al origen (a, 0) o la ordenada al origen (0, b).

2.2.4.2. Ecuación de una recta conocidas sus intersecciones con los ejes coordenados

Si una recta corta al eje de las “y”, el punto de intersección es (0, y) y el punto de intersección con el eje de las “x” es el punto (x, 0), al considerar la ecuación punto‐punto, la forma de la recta queda:

Práctica 16

Si los puntos de intersección con los ejes de una recta son (–2, 0) y (0, –3), ¿cuál es su ecuación simétrica?

abbxay

bxabay

xbb ya

a

b

x

b y

a

b

x

b y

x x

y y

x x

y y

=+

−=−

−=−

−=−

−

−=

−

−

−

−=

−

−

)()(

0

0

0

12

12

1

1y

0

x

(a, 0)(0, b)

Al dividir la ecuación entre “ab” queda:

Al sustituir los puntos en la ecuación:

Se simplifica:

1=+

=+

b

y

a

x

ab

ab

ab

bx

ab

ay

Forma simétrica:

550

1+=+= x ybmx y

y

x0 1 2 3 4-1-2-31

2

3

5

4

6

-1

-2

-3

-4

-5

7

(0, -3)

(-2, 0)

-6


32/60



Práctica 17

Instrucciones: determina la ecuación de la recta en su forma pendiente‐ordenada al

origen dados

los

siguientes

datos.

1) m = – 3/5 y b = – 4 2) m = 0 y b = 3 3) m = – 1 y b = 8

Práctica 18

Instrucciones: a partir de las ecuaciones dadas encuentra el valor de la pendiente de la ordenada al origen y realiza la gráfica correspondiente.

1) y = – 2 x – 5

2) 4x –

6y

= 8

3) 7 + 2y = 3x


33/60

Sesi

Los t

2.2.

Eje

En

Pcarrcoch

Segúesta

Siguianalifue l

La re

Graces ede s

El ees sobsefavo

Com

33 Univer

ón 5

emas a rev

2.3 Distanc 2.3.1. D 2.3.2. D 2.3.3. D

. Forma ge

plo: Colina

atulul,

Guatera y adve se detien

n la descricolina ocur

endo con zar este fea siguiente

spuesta es

ias al estu realidad bida.

gaño se deguido de rvador es rece la pe

o las

siluet

sidad CNCI

isar el día

2.2.5. For2.2.5

2.2.2.2.6. For

2.2.

ias que invistancia de istancia enistancia en

neral de la

s misterios

emala,

paiertes clare en medio

ción antere lo contr

el caso ejnómeno a ecuación:

á en la ecu

io de la rena ligera

be a una iuna gran una referrcepción d

s de

las

p

e México

e hoy son:

a general .1. Conver simplifi.2. La lína normal

.1. Obtenci normal

olucran la una recta re una recre rectas p

ecuación

as

a

algo

apamente qu de la carre

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I Semana

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1 y 2

a 2

o

una

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, en

ó a ida

ida nte


34/60



perspectivas del entorno parecen una más pequeña que otra cuando en realidad las tres son del mismo tamaño. Siguiendo con el análisis de la ecuación de la recta de la colina observas que se trata de una ecuación lineal porque la variable independiente “x” es de grado uno.

Has aprendido que existen distintas maneras de representar la ecuación de una recta, ¿cuál es la forma general de representarla e identificarla?

Es muy sencillo, sólo tienes que igualar a cero la ecuación y obtienes la ecuación general de la recta. De tal manera que la ecuación general de la línea recta es del tipo: Ax + By + C = 0, donde A, B y C son números constantes.

A partir de la forma general de la ecuación de la recta se analizan los posibles casos de ecuaciones para valores propios de las letras A ,B y C:

Si la ecuación de la carretera en la colina de Guatemala está dada por y = – 0.00197x + 1.289, la ecuación en su forma general es:

Los resultados

cuantitativos

obtenidos

en

el

estudio

topográfico

realizado

en

el

tramo de carretera denominado, El Paso Misterioso, indican que la cuesta desciende en forma constante en dirección hacia San Lucas Tolimán‐Patulul aunque visualmente se observe una inclinación hacia arriba.

2.2.5.1. Conversión de la ecuación de una recta de la forma simplificada a la forma

general y viceversa.

De la forma simplificada a la forma general.

a) Cuando 000 ≠≠≠ C B A

B

C b

B

Axm −=−=

0=++ C By Ax

c) Cuando 000 ≠≠= C B A

B

C bm −== 0

0

0)0(

0

0

=+

=++

=

=++

C By

C By x

A si

C By Ax

b) Cuando 000 =≠≠ C B A

0

0

0

=+

=

=++

By Ax

C si

C By Ax

0=−= b B

Axm

d) Cuando 000 =≠= C B A

00

00

0

==

===++

y By

C y A si

C By Ax

00 == bm

e) Cuando 000 ≠=≠ C B A

0)(

0)0(

00

=+

=++

==++

C x A

C y Ax

B siC By Ax

f) Cuando 000 ==≠ C B A

0

00)0(

000

=

=++

===++

x

y Ax

C y B siC By Ax

Forma Simplificada: y = mx + b Forma General: Ax + By + C = 0

0289.100197.0

289.100197.0

=−+

+−=

y x

x y


35/60



Ejemplo. Dada la pendiente de la recta m = 2/3 y la ordenada al origen b = ‐ 2 se obtiene la forma simplificada de la recta a través del siguiente procedimiento:

Se

sustituyen

los

valores

de

la

pendiente

y

de

la

ordenada

al

origen

en

la

Forma

simplificada de la ecuación de la recta: y = mx + b = (2/3) x + (‐ 2)

A partir de la forma simplificada de la ecuación de la recta, para transformarla a la forma general se iguala a cero la ecuación:

Práctica 19

Dada la ecuación general de la recta 4x – 6y = 8, convertirla a la forma simplificada.

2.2.5.2. La línea recta y la ecuación general de primer grado

En la vida diaria existen muchas situaciones en las que se usan las funciones, por ejemplo:

a) El salario de un empleado está en función del tiempo trabajado. b) El grado de inclinación del volcán en función del desplazamiento. c) La fluidez del drenaje pluvial en función de la inclinación del techo. d) La cantidad de maíz cosechada en función del tiempo. e) Los chirridos de un grillo están en función de la temperatura.

De los ejemplos anteriores se puede decir que una función matemática es una

relación entre

dos

conjuntos,

definida

una

regla

de

correspondencia

en

la

que

a cada

elemento del primer conjunto (variable independiente), le corresponde un único elemento del segundo conjunto (variable dependiente).

Las letras con las que se representa una función son: f, g, h, y las variables se denotan con las letras t, p, x, y, z. Si la función se escribe de la forma: y = f(x), “x” es la variable independiente y “y” es la variable dependiente.

La función f(x) es lineal si en su modelo algebraico expresa la relación entre la variable independiente “x” de grado (exponente) uno y la variable dependiente “y”.

La forma

de

la

función

lineal

es:

f(x)

= mx

+ b

“m” y “b”

son

números

constantes.

Forma Simplificada de la Recta23

2−= x y

Se multiplica toda la ecuación por 3

Se iguala a 0

Forma General de la Recta

623

)3(23

2

−=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

x y

x y

0632 =−− y x

0≠m


36/60



2.2.6. Forma normal de la ecuación de una recta

En la imagen que representa el camino misterioso de Guatemala habrás notado que la vegetación sobre la carretera crece perpendicularmente respecto a la superficie de la Tierra, esa línea recta perpendicular a la superficie de la Tierra se llama recta normal. ¿Cuál es la ecuación de la recta normal correspondiente a la recta de inclinación de la carretera? Para resolver esta cuestión es necesario hacer un análisis

sobre la

línea

recta

y su

forma

normal.

Al tomar la ecuación de la recta en su forma punto – pendiente se determina lo siguiente:

La gráfica de una función lineal esuna línea recta, cuando la funciónse iguala a cero se obtiene unaecuación lineal o ecuación deprimergrado.

Ejemplo:

Graficar la función f(x)= 3x + 5 cuando y = 0 ycuando y = 1.

Si y = 0 0 = 3x + 5 x = – 5 / 3Si y = 1 1 = 3x + 5 x = – 4 / 3

Al considerar una recta L se traza su recta normal (N)correspondiente, que pase por el origen y perpendicular a L. Dichasrectas se intersectan en un punto P1(x1, y1), de tal manera que elsegmento de recta que se forma del origen al punto P1 es P, y θ elánguloformadopor la recta normal N con respecto al eje delas “x”.

θ

senθ m N

cos

tan == θ

De acuerdo con la gráfica, la pendiente de la recta normal estádadapor:

Por fórmula trigonométrica

senθ

θ m L

cos−=La pendiente de la recta L es:

Puesto que N y L son perpendiculares ya que forman unángulo de 90º entre sí, se concluye que:

y

0 x

N

L

P ( x

, )

1

1

y 1

x1

y1

9 0 º

Pθ

)(coscos

)( 1111 x x

sen

y y

sen

m si x xm y y L −−=−−=−=−

θ

θ

θ

θ


37/60

Segú

Prá

Traz

Res

•

37 Univer

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la recta

A

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Traza la

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F

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Matem

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y q = 240º

P

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ticas II

etermina s

y determin

cos P

I Semana

ecuación.

a su ecuaci

1 x=

1 y 2

ón.


38/60



2.2.6.1. Obtención de la ecuación de la recta en su forma normal a partir de su

forma general

Para obtener la ecuación de la recta en su forma normal a partir de su forma general, hay que suponer la ecuación de la recta en su forma general: Ax + By + C = 0 y la

ecuación de

la

misma

recta

en

su

forma

normal:

x cosq

+ y senq

+ P = 0,

como

las

ecuaciones determinan la misma recta sus coeficientes son proporcionales:

En donde K es la constante de proporcionalidad

A partir de lo anterior se tiene:

Al elevar al cuadrado las ecuaciones (1) y (2) y al sumarlas se obtiene:

KC P KB sen KA −=== )3()2(cos)1( θ θ

2222

222222

222

222

1

cos

cos

B K A K

B K A K sen

B K sen

A K

+=

+=+

=

=

θ θ

θ

θ

Identidad Trigonométrica

1cos22 =+ θ θ sen

0222222=

+±+

+±+

+± B A

C y

B A

B x

B A

A

Al despejar K de la ecuación se tiene:

Obtenida K se sustituye en :

Por lo tanto la forma normal de la ecuación Ax + By +C = 0 es:

22

22

2

222

1

1

)(1

B A K

B A K

B A K

+±=

+=

+=

222222cos

)3()2(cos)1(

B A

C

P B A

B

sen B A

A

KC P KB sen KA

+±=−

+±=

+±=

−===

θ θ

θ θ

(4)

C

P K

B

sen K

A K −===

θ θ cos


39/60



La ecuación obtenida de la recta de su forma general convertida a su forma normal es mucho más simple que la que depende de las funciones trigonométricas. ¿Qué diferencia encuentras entre la forma general de la ecuación de una recta y la

obtenida en su forma normal?

Al observar la ecuación en la forma general de la recta y la ecuación (4), lograste darte cuenta que la única diferencia es el radical que divide a cada término de la ecuación (4). Ese radical es clave para obtener la conversión de la ecuación de la recta de su forma general a su forma normal.

Práctica 21

Convertir a la forma normal la ecuación: – 2x + 8y – 7 = 0

Instrucciones: realiza lo que se te indica a continuación.

A partir de la recta que pasa por los puntos (1, 6) y (‐2, ‐ 4.5), determina la ecuación según las siguientes formas:

1) Punto – pendiente; considera el punto (1, 6). 2) Punto – pendiente; considera el punto (‐2, ‐4.5). 3) Pendiente – ordenada al origen.

A partir

de

la

ecuación

de

la

recta

determinada

en

su

forma

pendiente

‐ordenada

al

origen en el ejercicio anterior, realiza la siguiente conversión: 1) A su forma general. 2) A su forma simétrica. 3) A partir de la ecuación obtenida en su forma general, conviértela a su

forma normal. 4) Traza la gráfica.

0222222=

+±+

+±+

+± B A

C y

B A

B x

B A

A Ax + By + C = 0

El signo del radical se determina mediante los siguientes criterios:

1) Si C ≠ 0 el radical es de signo contrario a C.

2) Si C=0 y B ≠ 0, el radical y B tienen el mismo signo.

3) Si C=B=0, el radical y A tienen el mismo signo.

22 B A +

22 B A +

22 B A +


40/60



2.3 Distancias que involucran la recta.

Ejemplo:

2.3.1. Distancia de una recta al origen

Los sentidos no son del todo precisos, ya has visto algunos ejemplos que lo demuestran. ¿Cómo evitar caer en el engaño? Las matemáticas aportan certeza al analizar cuantitativamente los posibles casos ambiguos y al dar resultados precisos y creíbles. En la imagen 3 del ejemplo anterior, para determinar cómo son las rectas entre sí, se toma un punto de referencia y se traza un plano cartesiano.

Al analizar las rectas grises, se calcula la distancia de cada una de ellas al origen y si las distancias son proporcionales, las rectas son paralelas.

Para calcular la distancia de la recta al origen se procede de la siguiente manera:

Imagen 1

Imagen 2

Imagen 3

• Observa la imagen 1. ¿Cómo son las rectas entre

sí? ¿Paralelas o torcidas?

• Observa la imagen 2. ¿A cuál punto entre A, B y C

corresponde la recta que sale del rectángulo del

lado izquierdo?

• Observa la imagen 3. ¿Las rectas son paralelas,

perpendiculares o torcidas?

y

0 1 2 3 54-1-2-3-4-5-6 6

1

2

3

5

4

6

-1

-2

-3

-4

-5


41/60



La recta intersecta al eje “x” en el punto A y al eje “y” en el punto B. La longitud del segmento OB = b, la longitud del segmento OA = a. Según la figura de la gráfica, se forma un triángulo rectángulo OBA, con catetos a y b, y como hipotenusa el segmento AB.

Para encontrar entonces la distancia de la recta de la imagen 3 del ejemplo anterior al origen, basta saber los puntos donde la recta corta con los ejes.

2.3.2. Distancia entre una recta y un punto

Para determinar la relación entre las rectas de la imagen 1, se elige un punto de referencia y se traza un plano cartesiano sobre éste. Se elige una de las rectas y se crea una recta paralela (L1) punteada a ésta.

Según la fórmula del Teorema de Pitágoras, lo anterior queda de la forma:22 ba AB +=

Una propiedad del triángulo rectángulo establece que elproducto de sus catetos es igual al producto de lahipotenusa por la altura:

d ABab =

Al juntar las dos ecuaciones se obtiene:

22

22

ba

abd

bad ab

d ABab

+=

+=

=

Fórmula de la

distancia entre unarecta y el origen

22ba

abd

+=y

0 3 54-1-2-3-4-5-6 6

2

3

5

4

6

-1

-2

-3

-4

-5

x

1

2

1 2

(2, 0)(0, 1)

Al sustituir los valores a= 2 y b= 1 en la ecuación

resultaque la distancia delorigena la recta es de:

8928.0

5

2

14

2

)1()2(

)1)(2(

22

=

=

+=

+=

d

d

d

d

Si otra recta cortara en los puntos(1, 0) y (0, 0.5), ¿cuál sería la distancia de la recta al origen?


42/60



Para facilitar la fórmula de la distancia de un punto a una recta, se sustituyen las

equivalencias de

las

funciones

trigonométricas.

Distancia dirigida de una recta a un punto.

Si la distancia se calcula con la fórmula obtenida, el signo del radical se determina a través de los siguientes criterios:

a) Será positivo si el punto P1 está situado por encima de la recta y negativa si está por debajo de ella. Es posible determinar lo anterior al considerar que el signo del radical es el mismo que tiene B, o sea, el coeficiente de la variable “y”.

pα

y

0 1 2 3 54-1-2-3-4 6

1

2

3

5

4

-1

-2

x

dA( x

1, y

1)

L

L1

La ecuación de la recta L está dada por:

0cos =−+ p ysen x α α

La ecuación de la recta L1 está dada por:

0)(cos =+−+ d p ysen x α α

Como el punto A satisface la recta L1 entonces:

p sen y xd

d despejar al

d p sen y x

++=

=+−+

α α

α α

11

11

cos

0)(cos

Al sustituir en la ecuación:

Se simplifica:

222222cos

B A

C P

B A

B sen

B A

A

+±=−

+±=

+±= θ θ

Fórmula para calcular la distancia

entre una recta y un punto

22

11

22122122

11 cos

B A

C By Axd

B A

C y

B A

B x

B A

Ad

p sen y xd

+±

++=

+±+

+±+

+±=

++= α


43/60

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B Ax

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+

2 3 4

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5 6

x


44/60



Sesión 6 Los temas a revisar el día de hoy son:


3.1.

Caracterización

geométrica

3.1.1. Secciones cónicas 3.1.2. La circunferencia como lugar geométrico 3.1.3. Elementos asociados con una circunferencia

3.2. Circunferencia con centro en el origen 3.2.1. Obtención de la ecuación de una circunferencia a partir del

centro y radio 3.2.2. Obtención del centro y del radio a partir de la ecuación


3.1. Caracterización Geométrica

Ejemplo: Locomotora

El invento del tren de vapor fue de gran utilidad en la Revolución Industrial porque podía transportar cargas pesadas y en grandes cantidades, además que con mayor velocidad. Una de las velocidades máximas alcanzadas fue de 200 Km./h.

Para evitar el descarrilamiento de un tren es necesario verificar el desgaste de sus ruedas, si éste ha hecho un recorrido superior a los 150,000 Km. Las ruedas son fundamentales para el funcionamiento del tren; pero, ¿qué es lo que se inspecciona

en una

rueda

de

tren

para

garantizar

la

seguridad

de

su

uso?

Es preciso distinguir el círculo de la circunferencia. La circunferencia es el conjunto de puntos que se encuentran a la misma distancia de otro punto dado, mientras que el círculo es el área encerrada por la c

Documents

Matemáticas III_CNCI_1