MATEMATICAS NUEVE DERIVADAS I.doc

8/18/2019 MATEMATICAS NUEVE DERIVADAS I.doc

1/15

Matemáticas

DERIVADAS

Q Q Q( )22 , y x ),( 11 y x P

Q ↓ y∆ P P

x∆

Figura 1 Figura 2 Figura 3

Definiciones:

Línea secante: Es la línea que intercepta la curva en dos o más puntos Fig! 1"!

Línea tangente a una curva en un punto P de la misma: Es la línea resultante de la posici#n límite delas líneas secantes PQ $ siendo Q un punto de la curva acercándose al punto P$ %a sea por laderec&a o por la i'quierda Fig! 2"!

Pendiente de una curva en un punto P de la misma: Es la pendiente$ en caso de que e(ista$ de lalínea tangente a la curva en el punto P!

)álculo de la pendiente de una curva )( x f y = en un punto ),( 11 y x P :

*aciendo referencia a la Figura 3$ sea 12 x x xh −=∆= $ entonces h x x += 12 ! +&ora ,ien:)()()()( 111212 x f h x f x f x f y y y −+=−=−=∆ ! Por tanto por las definiciones anteriores$ se tiene

que:

h

x f h x f

x

ym

h x p

)()(límlím 11

00

−+=

∆∆

=→→∆

E-emplos! Encontrar la pendiente de cada una de las siguientes curvas en el punto indicado:

1 ( ) :7,2;3)( 2 P x x f +=

( )( ) 44lím

4lím

732lím

)2()2(lím

0

2

0

2

00=+=

+=

−++=

−+=

→→→→h

h

hh

h

h

h

f h f m

hhhh p

2 ( ) :2,3;1

4 P

x y

−=

12

2lím

)2(

2lím

)2(

)2(24lím

22

4

lím)3()3(

lím00000

−=+−

=+

−=

++−

=−

+=−+

=→→→→→ hhh

h

hh

h

h

h

h

f h f m

hhhhh p

3 ( ) :3,4;5 P x y +=

0

x

y

x

y

x

y


2/15

( )( )( ) ( )

6

1

39

1lím

39lím

39

3939lím

39lím

)4()4(lím

0

0000

=++

=

++=

++++−+

=−+

=−+

=

→

→→→→

h

hh

h

hh

hh

h

h

h

f h f m

h

hhhh p

Definiciones:

Derivada de una funci#n )( x f : Es la funci#n denotada por )( x f ′ % definida por:

h

x f h x f x f

h

)()(lím)(

0

−+=′

→

siempre que el límite e(ista! .eom/tricamente representa la pendiente de la línea tangente a lacurva en cualquier punto de la misma!

Funci#n diferencia,le: 0na funci#n cu%a derivada e(iste dentro de su dominio!

Diferenciaci#n: El proceso de encontrar la derivada de una funci#n!

E-emplos! Encontrar las derivadas de las siguientes funciones:

1 32)( −= x x f ( )[ ] ( )

( ) 22lím2

lím32322

lím3232

lím)(0000

===+−−+

=−−−+

=′→→→→ hhhh h

h

h

xh x

h

xh x x f

2 4)( 3 += x x f

( ) ( ) ( ) 2220

33223

0

33

0333lím

4433lím

44lím)( xh xh x

h

xh xhh x x

h

xh x x f

hhh=++=

−−++++=

+−++=′

→→→3

222)( =−=−= x y xen x x f

( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( ) x xh x xh xh

h

xh xh

xh x xh xh

xh x xh x

h

xh x x f

hhh

hh

−−=

−+−−−

=−+−−

−=

−+−−−−−−

=−+−−

−+−−−−−−=

−−+−=′

→→→

→→

22

1

22

1lím

22lím

22

22lím

22

2222lím

22lím)(

000

00

4

1

42

1)2( −=−=−′ f →−=′

0

1)2( f no está definida no es diferencia,le"

Diferentes formas de representar la derivada de una funci#n )( x f y = :

[ ] [ ])(;;;;)(;)( x f D y D ydx

dy x f

dx

d x f x x′′ $ % en el punto

)(;;)(:),(1111 1

x ydx

dy x f y x P x x ′′ =

Encontrar la derivada de: )(532 2 q f pqq p =→+−=

( ) ( ) ( )2 2

0 0

2 3 5 2 3 5( ) ( )lím límh h

q h q h q qdp f q h f q

dq h q→ →

+ − + + − − ++ − = =

( )2 2 2

0 0

4 2 32 4 2 3 3 5 2 3 5lím lím 4 3h h

h q hq qh h q h q qq

h h→ →

+ −+ + − − + − + −= = = −

Determinaci#n de la ecuaci#n de la recta tangente a una curva )( x f y = en un punto dado:),( 11 y x P

1


3/15

1 Encontrar )( 1 x f ′ que es la pendiente de la curva en el punto ),( 11 y x P $ es decir lapendiente de la línea tangente a la curva en ese punto!

2 +plicar la e(presi#n para encontrar la ecuaci#n de una recta en su forma punto pendiente:)( 11 x xm y y −=− !

E-emplo: Determinar la ecuaci#n de la recta tangente a la curva x

y6

= en el punto )3,2( P !

20000

6

)(

6lím

)(

)(66lím

66

lím)()(

lím xh x xh xhx

h x x

h

xh x

h

x f h x f

dx

dy

hhhh−=

+−

=++−

=−

+=−+

=→→→→

mdx

dy x

=−==2

32

62

3)2(

2

33 +−=→−−=− x y x y o tam,i/n 01223 =−+ y x

eglas de diferenciaci#n:

*ip#tesis: )()( x g y x f son funciones diferencia,les4 c esuna constante % n un n5mero real!1! 0)( =c D x !

[ ] )()()()( x g x f x g x f D x ′+′=+

2! 1)( −= nn x nx x D 6![ ] )()()()( x g x f x g x f D x ′−′=−

3! [ ] )()( x f c xcf D x ′=

Demostraciones:

1 7ea ch x f c x f =+→= )()(

0)0(límlím)()(

lím)()(000

==−

=−+

=′=→→→ hhh x h

cc

h

x f h x f x f c D

2 7e dará una demostraci#n para el caso en que n sea un entero positivo:7ea ( ) nn h xh x f x x f +=+→= )()(

( )

11342321

0

221

000

......24

)3)(2)(1(

6

)2)(1(

2

)1(lím

...2

)1(

límlím)()(

lím)()(

−−−−−−

→

−−

→→→

=

++

−−−+

−−+

−+=

−

++

−++

=−+

=−+

=′=

nnnnnn

h

nnnnn

h

nn

hh

n

x

nxhh xnnnn

h xnnn

h xnn

nx

h

xhh xnn

hnx x

h

xh x

h

x f h x f x f x D

3 7ea )()()()( h xcf h x F xcf x F +=+→=

[ ] )()()(

lím)()(

lím)()(

lím)()(000

x f ch

x f h x f c

h

xcf h xcf

h

x F h x F x F xcf D

hhh x

′=

−+=

−+=

−+=′=

→→→

7ea )()()()()()( h x g h x f h x F x g x f x F +++=+→+=

2


4/15

[ ] [ ] [ ]

)()()()()()(

lím

)()(()(lím

)()(lím)()()(

0

00

x g x f h

x g h x g

h

x f h x f

h

x g x f h x g h x f

h

x F h x F x F x g x f D

h

hh x

′+′=

−++

−+=

+−+++=

−+=′=+

→

→→

6 7e demuestra de la misma forma que el !

E-emplos:

1 x x x x D x D x D x f x x x f x x x 1060)2(5)3(2)7()(5)(2)(752)( 222323 −=+−=+−=′→+−=

23 2

3/23/13

3

1

3

10)()3(3

x x x D D

dx

dy x y x x =+=+=→+=

−

3 )(4)(3)(5)(43

5)( 3/22/12/13 2

−− +−=′→+−= x D x D x D x g x x

x x g x x x

3 53

3/52/32/1

3

2

2

3

2

5

3

24

2

13

2

15)(

x x x x x x x g −+=

−+

−−

=′ −−−

)1(7

235)(2

h Evaluar p

p p p ph ′→

−+=

2

155

2

351545)1(

2

351545)(

2

135

2

310)3(15)(35)(10)(15)(

3

2

2/32/122/12/33

=++=′→++=′

−−

+=−+=′ −−

h p

p p ph

p p p p D p D p D ph p p p

6 Determinar la ecuaci#n de la recta tangente a la curva: 22

64 2

=−

= xen x

x y

m y x

x y x x y ==+=′→+=−−=′→−= −−4

11

4

32)2(

32)(3232

2

21

si 01241134

11)2(

4

11

2

5

2

5

4

616,2 =−−−=→−=−→=−== y xo x y x y y x

La derivada como ra'#n de cam,io!

Definici#n:

[ ]

∆

∆=

∆+∆

∆

→=

→∆ xarespectocon ydeainstantánecambioderazónlaes

x

y

dx

dy

x x xen xarespectocon yde promediocambioderazónlaes x

y

x f y si

x 0lím

,

)(

El intervalo [ ] x x x ∆+, se puede representar tam,i/n como [ ]21 , x x $ en donde x x x ∆+= 12 ! +sí )()()()(

111212 x f x x f x f x f y y y −∆+=−=−=∆

La ra'#n de cam,io instantánea se a,revia simplemente como ra'#n de cam,io )( x f ′= !

E-emplo: 7i mvt

st f s =

∆∆→= )( $ representa la velocidad promedio de 21 t at

% vdt

ds

t

t f t t f

t

s

t t ==

∆−∆+

=∆∆

→∆→∆

)()(límlím

00 $ es la velocidad instantánea para cualquier valor de t!

7i 12 2 += t s s en metros % t en segundos"$ la velocidad promedio de 2 a 6 segundos es:

3


5/15

2 1

2 1

51 9 4214 /

5 2 3m

s s sv m s

t t t

∆ − −= = = = =

∆ − − % la velocidad instantánea para cualquier valor de t es:

smt dt

dsv /4== ! Para 2=t % para 5=t las velocidades son: smv smv /20)5(,/8)2( == !

8nterpretaci#n de la derivada como ra'#n de cam,io:

7i 0→∆ x es decir$ es 9mu% pequeo9" xdxdy y

dxdy

x y ∆≅∆→≅∆∆→ % si dx

dy y x ≅∆→=∆ 1 !

Por tantodx

dy representa apro(imadamente el cam,io de % por cada cam,io unitario en (!

E-emplo: 22500 q p −= es la ecuaci#n de la demanda del producto de un fa,ricante$ donde q es eln5mero de artículos demandados % p es su precio unitario en d#lares! Determinar qu/ tan rápidoestá cam,iando el precio del artículo con respecto a los artículos demandados$ cuando /stos son 6!

20)5(445

−=−=→−==qdq

dpq

dq

dp ! Es decir$ cuando se demandan 6 artículos$ al incrementar la

demanda en un artículo el precio del mismo disminu%e en 2; d#lares!

)osto marginal! Es la ra'#n de cam,io del costo total con respecto al n5mero de artículosproducidos % comerciali'ados es decir$ el costo apro(imado de una unidad e(tra producida"!

7i )(q f c = es la funci#n del costo total de producci#n de q artículos )(q f dq

dc ′=→ es la funci#n

del costo marginal!El costo total está dado por: V F ccc += $ es decir la suma de los costos fi-os % los costos varia,les!

El costo medio unitario de producci#n de q artículos está dado por: qccq

cc =→=

E-emplos:

1 El costo total en d#lares de producci#n de q li,ras de cierta sustancia química está dado por:2

545 qc += ! Determinar el costo marginal cuando se producen 3 li,ras de dic&a sustancia!3010

3

=→==qdq

dcq

dq

dc $ es decir$ si la producci#n se incrementa de 3 a li,ras$ el costo

se incrementa 3; d#lares!

2 El costo medio unitario en la producci#n de q unidades esq

qqc000,100

504.0002.0 2 ++−= !

Determinar la ecuaci#n del costo marginal % el costo marginal para producir ; unidades!

508.0006.0000,100504.0002.0223 +−=→++−== qq

dq

dcqqqqcc

unidad dq

dc

q

/60.27$50326.940

=+−==

adicional producida!

8ngreso marginal! Es la ra'#n de cam,io del valor total reci,ido con respecto al n5mero de unidadesvendidas Es decir$ el ingreso apro(imado reci,ido por la venta de una unidad adicional producida"!

7i )(q f r = es la funci#n del ingreso total por la venta de q unidades )(q f dq

dr ′=→ es la

funci#n del ingreso marginal! 8ngreso < precio unitario"=o! de unidades vendidas" : pqr =

E-emplo: 0n fa,ricante vende un producto a 503 +q pesos>unidad! Determinar la ecuaci#n delingreso marginal % el ingreso marginal para 100=q !

( ) vendidaadicional unidad por dq

dr q

dq

dr qqqqr

q

/650$056503503100

2 =→+=→+=+==

4


6/15

a'ones de cam,io relativas % porcentuales:

7i

( )

′

′=

⇒=

porcentual cambioderazóndenomina se x f x f

relativacambioderazóndenomina se x f

x f

y

dxdy

x f y

100)()(

)(

)(

)(

E-emplo: El ingreso reci,ido por la venta de q unidades está dado por: 23300 qqr −= ! Determinarla ra'#n de cam,io relativa % la ra'#n de cam,io porcentual del ingreso$ para 20=q !

180)20(6300630020

=−=→−==q

dq

dr q

dq

dr % como 800,4)400(320(300)20( =−=r se tiene

que:

→==

=

0375.0800,4

180

20q

r

dqdr

3!?6@ $ es decir$ si se vende una unidad adicional a 2;$ el

ingreso aumenta apro(imadamente en 3!?6@!

Atros e-emplos:1 El costo total por producir q unidades es: 50404 2 ++= qqc ! Determinar la ra'#n de cam,io

de c con respecto a q cuando se producen 2; unidades! Determinar tam,i/n la ra'#n decam,io promedio cuando la producci#n se incrementa de 2; a 3; unidades!

2004016040820

=+=→+==q

dq

dcq

dq

dc pesos>unidad adicional producida!

[ ] [ ]240

10

400,2

2030

50)20(40)20(450)30(40)30(4 22

12

12 ==−

++−++=

−−

=∆∆

qq

cc

q

c pesos>unidad adic!

2 De,ido a la depreciaci#n$ el valor de cierta maquinaria despu/s de t aos está dada por:100,000,60000,800 ≤≤−= t dondet v ! Determinar que tan rápido cam,ia v con respectoa t a los 2 % a los 3 aos!

000,60000,60000,6032

−=−=→−=== t t dt

dv y

dt

dv

dt

dv $ es decir$ se deprecia o

disminu%e su valor a ra'#n constante de B C;$;;; > ao !

3 El volumen de cierto gas varía con la presi#n P de acuerdo con la ecuaci#n:V

P 200

= !

Determinar la ra'#n de cam,io de P con respecto a cuando 10=V !

2200

)(200)200(10

2

21 −=→−=−===

−−

v

V dV

dP

V V V D

dV

dP $ es decir$ la presi#n disminu%e a

ra'#n de 2 unidades de presi#n$ por cada unidad de volumen adicional a 1;!

Diferencia,ilidad % continuidad!eorema: 7i f(" es diferencia,le en ( < a → f(" es continua en ( < a

Demostraci#n: )omo f(" es diferencia,le enh

a f ha f a f a x

h

)()(lím)(

0

−+=′→=

→ e(iste!

7i a xh xha −=→=+ % si a xh →⇒→ 0 ! Por lo tanto:

5


7/15

)()()(

lím)()(

lím0

a f a x

a f x f

h

a f ha f

a xh′=

−−

=−+

→→! +&ora ,ien:

( ) [ ] ( ) →

−

−−

=−→−−−

=−→→

a xa x

a f x f a f x f a x

a x

a f x f a f x f

a xa x

)()(lím)()(lím

)()()()(

( ) ( ) )()(lím00)()()(límlím)()(

lím)(lím)(lím a f x f a f a f x f a xa x

a f x f a f x f

a xa xa xa xa xa x=→=′=−→−

−−

=−→→→→→→

Por

lo tanto f(" es continua en ( < a !

)omo consecuencia una funci#n que es discontinua en ( < a no puede ser diferencia,le en ( < a !

Es importante &acer notar que$ si ,ien la diferencia,ilidad en un punto implica continuidad en esepunto$ la continuidad en un punto no implica diferencia,ilidad en ese punto!

eglas de diferenciaci#n de productos % cocientes:

*ip#tesis: f(" % g(" son funciones diferencia,les!1! [ ] )()()()()()( x f x g x g x f x g x f D x ′+′=

2! [ ] 0)()(

)()()()(

)(

)(2 ≠

′−′=

x g si

x g

x g x f x f x g

x g

x f D x

Demostraciones:

1 7ea )()()()()()( h x g h x f h x F x g x f x F ++=+→= ! +&ora ,ien:

[ ] [ ]

h

x f hh f x g

h

x g h x g h x f

h

x f h x f x g x g h x g h x f

h

x g x f h x g h x f

h

x F h x F x F

hh

h

hh

)()()(lím

)()()(lím

)()()()()()(lím

)()())()(lím

)()(lím)(

00

0

00

−++

−++=

−++−++=

−++=

−+=′

→→

→

→→

Puesto que f(" es diferencia,le$ entonces es continua! Por tanto: )()(lím0

x f h x f h

=+→ ! Por lo

tanto: [ ] )()()()()()()( x f x g x g x f x g x f D x F x ′+′==′ !

2 7ea →′+′=′→=→≠= )()()()()()()()(0)()(

)()( x F x g x g x F x f x g x F x f x g siendo

x g

x f x F ,

[ ]2)(

)()()()(

)(

)()(

)()(

)(

)()()()(

x g

x g x f x f x g

x g

x g x g

x f x f

x g

x g x F x f x F

′−′=

′−′=

′−′=′

E-emplos:

1 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )153441534153 233232 +−−+−+−=′→−+−= x x D x x D x x y x x x y x x( ( ( ( ) 34234322 52062431595643153 x x x x x x x x x x x y +−−+−+−=−−+−+−=′

202432015234 −+−+−=′ x x x x y

2 Determinar la pendiente de la curva: ( )( )( ) 134123 2 =−−+= xen x x x y

6


8/15

( )( )[ ]( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) ( )( )[ ]

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

−++−+

−−+=′

−+−+−−+=′→−−+=

−− 2/122/12

222

2

1124334

2

3123

123343412334123

x x x x x x x x y

x x D x x D x x y x x x y x x

2

21

2

1166

2

1)1()4(4)1(

2

3)1(41 =++−=

++

−== xm

3 ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 2

72

72535372)(

72

53)(

222

−

−+−+−=′→

−+

= x

x D x x D x x f

x

x x f x x

( ) ( ) (( ) ( ) ( ) 2

2

2

22

2

2

72

10426

72

1064212

72

)2(53672)(

−

−−=

−

−−−=

−

+−−=′

x

x x

x

x x x

x

x x x x f

( )( ) ( )

x x

x x x

x

x x x

x x

x

x x

x x y

22

31511

1

412

3511

1

42

3511

2

222

−−+

+−=

+−+

−+−=

+−

−+−=

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )( )22

2

22

2431)1(3)1(12210

x x

x x x x x x x x y

− −−+−−++−+−=′

[ ]

( ) ( ) 22

2

22

223223

2

22

12

3610

14

6421284444410

)1(2

)24)(32()22)(22(10

−

−++−=

−

−−+++−+−−+−=′

−

−−−−−−+−=′

x x

x x x

x x

x x x x x x x x x x y

x x

x x x x x x x y

6 Determinar la ecuaci#n de la recta tangente a la curva: ( )38443

2 +−=

x x y en ( < 2

( )( ) ( ) 3

2

9

6

384

)1(6

38416

)88)(4(3)0(384422222

2

−=−

=→+−

−−=+−

−−+−=′ = xm x x

x

x x

x x x

y

→=→=4

1,2

4

12 P puntoel por pasa y xi

12

19

3

2

4

1

3

4

3

2)2(

3

2

4

1+−=→++−=→−−=− x y x y x y o tam,i/n : 019128 =−+ y x

C La ecuaci#n de la demanda del producto de un fa,ricante está dada por:25

000,5

+=q

p $ en

donde q son los artículos demandados % p es el precio de cada artículo! Determinar la funci#ndel ingreso marginal % evaluarla cuando q < 1;;!

( ) ( ) ( )( ) ( )

→+

=+

−+=→+== 22 25000,125

25)1(000,5000,525

25000,5

qqqq

dqdr

qq pqr

8625,15

000,125

100

==

=Qdq

dr ! Es decir que$ vender un artículo adicional más allá de 1;;$

proporciona apro(imadamente B más de ingreso!

Propensi#n marginal al consumo % al a&orro!

7i )( ! f " = es la funci#n de consumo$ en donde 8 es el ingreso nacional total % ) el consumonacional total$ am,os en miles de millones de d#lares % 7 < 8 G ) es el a&orro nacional total

7


9/15

)( ! f d!

d" ′=→ se define como la propensi#n marginal al consumo la ra'#n de cam,io del consumo

con respecto al ingreso" %d!

d"

d!

d −=1 se define como la propensi#n marginal al a&orro!

E-emplo: La funci#n de consumo de cierto país está dada por:( )

12

1046 3

+

+=

!

! " ! Determinar la

propensi#n marginal al a&orro cuando el ingreso es de ;;$;;; millones de d#lares 8 < ;;"!

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

+

+−+−=

+

+−+−=−=

22

32/1

12

10412661

12

104612611

!

! ! ! !

!

! ! !

d!

d"

d!

d

[ ]

( ) 384.0616.01

412

10)20)(400(4)412)(20(61

2 =−=

+−−=

d!

d $ o sea que cuando el ingreso nacional

es de ;;$;;; millones de d#lares$ por cada 1$;;; millones de d#lares de ingreso adicionales$ lanaci#n a&orra 3 millones de d#lares % consume C1C millones de d#lares!

Atros e-emplos:

1 El n5mero de &u/spedes con parásitos P en funci#n de la densidad de &u/spedes * es decir

&u/spedes por unidad de área"$ está dada por: #

# P

31

500

+= ! Determinar la ra'#n de cam,io

del n5mero de &u/spedes con parásitos$ con respecto a la densidad de &u/spedes$ cuando/sta es de 3 &u/spedes por unidad de área!

( )

( ) ( ) 5

5

500

31

500

31

)3(500)500(31

3

22 ==→

+=

+

−+=

= # d#

dP

# #

# #

d#

dP o sea que$ cuando e(iste

una densidad de 3 &u/spedes por unidad de área$ un incremento de una unidad en ladensidad de &u/spedes provoca un incremento de 6 &u/spedes con parásitos!

2 El n5mero = de seres vivos consumidos por un depredador es una funci#n de la densidad de

seres vivos es decir$ seres vivos por unidad de área" % está dada por la siguiente ecuaci#n:

V

V $

5.015

5.2

+= ! Determinar la ra'#n de cam,io del n5mero de seres vivos consumidos$ con

respecto a la densidad de seres vivos!

( ) ( ) ( ) 222 )5.015

5.37

)5.015

)5.2(15

)5.015

)5.0(5.2)5.2)(5.015(

V V V

V V

dV

d$

+=

+=

+

−+= !

egla de la cadena:

*ip#tesis: f % g son funciones diferencia,les!

)()()()( x g u f dxdu

dudy

dxdy x g u yu f yi ′′=

=→==

7e omite la demostraci#n de este teorema!

E-emplos:

1 13,452 32 +=+−= xuuu y ! Determinardx

dy !

8


10/15

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )( ) 2523232 9108911295134954 x x x x x x xudx

du

du

dy

dx

dy−=−=−+=−=

=

Atra forma: ( ) ( ) 4515212184135132 336323 +−−++=++−+= x x x x x y2536

91086318 x x y x x y −=′→+−=

2 .34,

93 x%% y −== Determinar dx

dy

( )( ) 44

4

34

8181)3(27

x%%

dx

d%

d%

dy

dx

dy

−==−−=

= −

3 .13,43 2t x x x z −=+= Determinar4=t dt

dz

( )

+−=−

+=

= − 4

2

3224

2

3 2/1

xt t x

dt

dx

dx

dz

dt

dz

362

984

)3(2

3)4(294

4

−=

−=

+−=⇒=→=

=t dt

dz xt i

.3

3,2 2

−+

==v

v z z s Determinar

2=vdv

ds

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 222 3

24

3

)6(4

3

)1(3)1(34

−−=

−

−=

−

+−−=

=

v

z

v

z

v

vv z

dv

dz

dz

ds

dv

ds

120)1(

)5(2452

2

2

=−−

−=⇒=→==vdv

ds z vi

egla de la potencia:

realnúmerouny ble!"eren#!a"un#!$nunae% )( :&!'$e%!% n x g u =

dxdunuu D nn

x

1)( −=

Demostraci#n:

=→==

dx

du

du

dy

dx

dy x g uu y n )( !'$e%!% 'or#omoy*ea

( ) ( )dx

dunu

dx

duu Du D y nn

u

n

x

1 : o*u%!uyen −== ! Atra forma de representar la regla de la potencia

es: [ ] [ ] )()()( 1 x g x g n x g D nn x

′= −

E-emplos! Determinar las derivadas de las siguientes funciones:

1 ( ) ( ) ( ) ( )932293103 12606121012 −=−=→−= x x x x

dxdy x y

2 ( ) ( ) ( ) x x x z x x x x z 1035322

1532532

2/122/122 +−+−=′→+−=+−= −

( ) 22/12 5322310

5322

310

x x

x

x x

x z

+−

−=

+−

−=′

3 ( ) 122

957)( )2(+aluar. 95

7)(

−−=→′

−= x x f f x

x f

9


11/15

( )( ) 121

140)2(

95

70)10(95)1(7)(

22

22 −=′→−

−=−−=′

− f

x

x x x x f

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) )2(25)2(252

11251251

2/12/122/122t t t t

dt

dst t t t s −+−−+=→−+=−+= −

( ) ( )t

t t

t

t t t

t

t t t t t

t

t

dt

ds

25

1105

25

4101

25

2521252

25

1 22222

−

−+−

=−

−+−−

=−

−++−

=−+−

+

−=

6 ( ) ( )

( )

+

−−+

+−

=′→

+−

=+−

=−

22

223/2

2

23/1

2

2

2

2

4

)2(13)6(4

4

13

3

1)(

4

13

4

13)(

x

x x x x

x

x x f

x

x

x

x x f

( ) ( ) ( )

3/2

2

2

2222

3/2

2

2

22

333/2

2

2

13

4

43

26

4

26

13

4

3

1

4

26246

13

4

3

1)(

−

+

+=

+

−

+=

+

+−+

−

+=′

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x x x x

x

x x f Determinar

la ecuaci#n de la recta tangente a la curva: 2en)3(3 22 =−= x x y

( )3

8)2(

33

4)2(3

3

22

3 2

3/12 ==′→−

=−=′ =−

xm y

x

x x x y

7i ( ) :-ue!ene%e :e%re#aunaee#ua#!$nla#omoy12 11 x xm y y y x −=−=→=

( ) 01338 amb!no 3

13

3

82

3

81 =−−−=→−=− y x x y x y

C( )

3#uano ,are%'e#o#one 'or#enual#amb!oera$nlabener.32

12

=+

= qq pq

p

( )( )

( )

( )

( )

( ) 32

4

32

32(4

32

1

32

4

32

4)2(322

3

2

2

3

3

3

+−

=+

+−=

+

+−

=→+

−=+−= −

qq

q

q

q

p

dq

dp

qq

dq

dp

44.444444.09

4

3

→−=−

=

=q

p

dqdp

Producto del ingreso marginal:

7i un fa,ricante emplea m tra,a-adores para o,tener q unidades de un producto por día % r es el

ingreso total que el fa,ricante reci,e por la venta de las unidades producidas$ entoncesdm

dr se

denomina producto del ingreso marginal! Por tanto$ es la ra'#n de cam,io del ingreso con respecto aln5mero de empleados$ es decir$ apro(imadamente el cam,io del ingreso cuando se emplea un

tra,a-ador adicional:)()()(y)( m g q f

dm

dq

dq

dr

dm

dr q f r m g q ′′=

=→==

ecordar que pqr = $ siendo p el precio unitario % )(qh p = es la ecuaci#n de la demanda!

E-emplos:

10


12/15

1 Para cierto fa,ricante$ la producci#n de q unidades por día en funci#n del n5mero de empleados

m está dada por:23

122

2

+=

m

mq ! La ecuaci#n de la demanda para el producto es:

11

000,1

+=q

p !

Determinar el producto del ingreso marginal si el n5mero de empleados es 11!

( ) ( ) 22 11

000,11

11

000,1)000,1)(11(

11

000,1

+=

+

−+=→

+=→=

qq

qq

dq

dr

q

qr pqr

( ) ( )( ) ( ) 32

3

2/32

32

2

2/1222

23

55212

23

122324

23

)2(232112)24(23

+

+=

+

−+=

+

+−+=

−

m

mm

m

mmm

m

mmmmm

dm

dq

/ía.8.01en#re#er!nre%oelr,rabaaouo#!mounaem'lea%e%!

-ue,e#!re% ,01.8)76.12)(6313.0(

76.12,6313.0)132(

000,11121

23)11(

)11(1211 *!

1112111

11

2

121

2

2

==

=→

=

===→=+

=→=

===

==

mqm

mq

dm

dq

dq

dr

dm

dr

dm

dq

dq

dr

dm

dr

dm

dq

dq

dr qm

2 Para cierto fa,ricante 2102.0,

30

300 2

+−=−

= q pmm

q $ en donde q es el n5mero total de

unidades producidas por día con m empleados % p es el precio de venta por unidad! Determinarel producto del ingreso marginal para 60=m !

48030

)60300(60

30

)60()60(30060

2

=−

=−

=→=

= qm si

dm

dq

dq

dr

dm

dr

182104.021002.480

2 =→+−=→+−===qdq

dr q

dq

dr qq pqr

108)6)(18(630

2300

604806060

==

=→=→

−=

==== mqmm dm

dq

dq

dr

dm

dr

dm

dqm

dm

dq o sea que si

se contrata un empleado más$ de los C;$ los ingresos se incrementan en B1;>día!

Atros e-emplos:

1 7i 40200 2 +−= q p es la ecuaci#n de la demanda para el producto de un fa,ricante$determinar: a" La ra'#n de cam,io de p con respecto a q $ ," La ra'#n de cam,io relativa dep con respecto a q $ c" La funci#n del ingreso marginal!

a" ( )40

)2(402

12

2/12

+=+−=

−

q

qqq

dq

dp

,"

( ) 4020040404020040200

40

22222

2

+−+=

+−+

−=

+−

+

−

=qq

q

qq

q

q

q

q

p

dqdp

c" ( )

+++−=→+−== −

40)2(402

1

20040200 22/122

qqqqdq

dr

qqq pqr

40

4024020040

40200

2

22

2

2

2

+

−−+=+−

+−=

q

qqq

q

q

dq

dr

2 Para cierta po,laci#n$ si E es el n5mero de aos de educaci#n % 7 representa un valor num/rico

de su condici#n social ,asada en ese nivel educativo$ entonces2

14

4

+= E

Determinar: a" Qu/ tan rápido está cam,iando la condici#n social con respecto a la educaci#n$cuando 16= E $ ," + qu/ nivel de educaci#n es igual a la ra'#n de cam,io de la condici#nsocial!

11


13/15

a" 1014

24

11

4)2(4

16

=→

+=

+=

= E dE

d E E

dE

d

," 7i ao%. 1234

414

814

28 =→=→=+→=

+→= E

E E E

dE

d

3 500= pq es la ecuaci#n de la demanda para el producto de un fa,ricante % c es el costo total!7i el costo marginal es ;!;6 cuando 000,1=q $ determine por la regla de la cadena$ la ra'#n decam,io del costo total con respecto al precio unitario cuando 000,1=q !

2

1

000,1

500500

500500#omo ,;05.0

pdp

dq p

pq pq

dp

dq

dq

dc

dp

dc

dq

dc

q

−=→==→=

== −

=

7i

000,24/1

50050.0

2

1

000,1

500000,1

2/1

−=−=→===→== p

dp

dq pq

100)000,2)(05.0(2/1000,2000,1

−=−=

=

=== pqq dp

dq

dq

dc

dp

dc

0n empresario que emplea m tra,a-adores encuentra que ellos producen ( ) 2/3122 += mmq

unidades de producto diariamente! El ingreso total está dado por:q

qr

3000,1

50

+= ! Determine

cuando &a% 12 empleados tra,a-ando: a" El precio por unidad$ ," El ingreso marginal$ c"El producto del ingreso marginal!

a" 50.0000,3)25(24123000,1

50 2/3 =→==→=+

==→= pqmiqq

r p pqr

,"

( )

( )( ) ( ) 32/3

2/1

3000,175000,50

3000,1753000,150

3000,1

)3(3000,1

2

150)50(3000,1

qq

qqq

q

qqq

dqdr

++=+ −+=+

+−+

=

−

27.0000,0001

000,275

)000,9000,1(

)000,3(75000,503

000,3

==+

+==qdq

dr

c" ( ) ( ) ( ) ( )15122122126122)2(122

32

32/32/1 ++=+++=+++= mmmmmmmmdm

dq

70.164)610)(27.0(61012000,31212

==

=→=

==== mqmm dm

dq

dq

dr

dm

dr

dm

dq

6 10)10(,80)10(,60)10(,50)10(,)()( =′==′=== f f g g sim g q yq f r ea

10

eerm!nar , 60)50(,500)50(,400)50(,300)50(=

=′==′=mdm

dr f f g g

→==→=′′=

= 50)10(10.)()( g qmim g q f

dm

dq

dq

dr

dm

dr

000,3)50(60)10()50(10

==′′==

g f dm

dr

m

!

12


14/15

DE8+D+7 DE F0=)8A=E7 LA.+HI8)+7

epaso de conceptos % propiedades logarítmicas!Definici#n: ℜ∈>≠>=⇔= cba yabacb ca 0,10;lo

+,reviaciones:10lo ln ; lo lo ; (lo ) lo

n n

e a au u u u u u= = =

Propiedades: 1! 01lo =a 2! 1lo =aa 3!

b

u

b

u

b

uu

a

a

bln

ln

lo

lo

lo

lolo ===

! vuuv aaa lolo)(lo += 6! vuv

uaaa lololo −= C! unu a

n

a lolo =

eoremas:

1 7i x

x D x x1

)(ln0 =→>

2 7i [ ]1 ( )

( ) 0 e% !"eren#!able (ln ) , o e ora "orma: ln ( ) ( ) xdu g x

u g x u D g xu dx g x

′

= > → = =Demostraciones:

1 7a,emos que: [ ] )(límln)(lnlím;)1(lím /1

0 x f x f e x

a xa x

x

x →→→==+

7ea )ln()(ln)( h xh x f x x f +=+→=

+=

+

=−+

=−+

=′=→→→→ x

h x

hh

x

h x

h

xh x

h

x f h x f x f x D

hhhh x

ln1

lím

ln

límln)ln(

lím)()(

lím)()(ln0000

+=

+

=

+=

+=

→→→→→

h x

h

h x

hh

h x

hh x

x

h

x x

h

x x

h

x x

h

h

x

x x D

/

0

/

00

/

001límln

11lnlím

1lím1ln

1lím1ln

1lím)(ln

7ea 00 %!;1 →⇒→=→= z h z h

x

x

h z

[ ] x x

e x

z x

x D z z

x

1)1(

1ln

1)1(límln

1)(ln /1

0===+=

→

3 7ea u y ln= ! )omo

=→=

dx

du

du

dy

dx

dy x g u )( $ regla de la cadena!

7ustitu%endo y en la regla de la cadena se tiene que: [ ]dx

du

udx

duu Du D u x

1)(ln)(ln =

=

E-emplos

1 x x x f x x f 31)3()(ln3)( −= −=′→−=

22222

2

2 )3(

ln23

)3(

)2(ln1

)3(

3

ln

+

−+=

+

−

+

=′→+

= x

x x x

x

x

x x x

x

y x

x y

33

10

3

25)()3ln(5)(

22

2

−=

−=′→−=

x

x

x

x x g x x g

[ ] )23ln(223

6)2()23ln(

23

6)()23ln()( 3

3

43

3

2232 x x

x

x x x

x

x x xh x x xh −+

−−=−+

−−

=′→−=

13


15/15

6 2 / 2 3

3ln(ln 2 ) 3ln 2 ln 2

x y x y

x x x

′= → = =

C ( )1/ 2 2 1

( ) ln 2 7 ln 2 7 (1/ 2)ln(2 7) ( )2(2 7) 2 7

f x x x x f x x x

′= + = + = + → = =+ +

? 3 5( ) ln (3 1)(2 5) (3 ) ln(3 1) 3ln(2 5) 5ln(3 ) f p p p p p p p

= − + − = − + + + − 3 6 5( )

3 1 2 5 3 f p

p p p′ = + −

− + −

2 2

2 232 2

2 5 2 55ln ln ln(2 ) ln( 3)

3 3 3 3

x x% x x

x x

− − = = = − − + + +

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2 2 2 2 2

10 3 10 25 2 2 10 10

3 2 3 3 2 3 3 2 3

x x x xd% x x x x

dx x x x x x x

− + − −− = − = − − = − + − + − +

( ) ( ) ( ) ( )

3 3

2 2 2 210 30 20 10 50

3 2 3 3 2 3d% x x x x xdx x x x x

− − − + −= =− + − +

J [ ] [ ]3

4 34 3 84ln (3 1)( ) 7 ln (3 1) 7 ln(3 1) ( ) 28 ln(3 1)

3 1 3 1

x f x x x f x x

x x

− ′= − = − → = − = − −

1; 2

2 2

6ln 6 1 63lo 6lo

ln 2 ln 2 ln 2

x dy y x x

dx x x

= = = → = =

11 ( ) ( )

( ) ( )

2

2

2

ln 3 5 3 10 3 10lo 3 5

ln10 3 5 ln10(ln10) 3 5

x x x x y x x y

x x x x

− − −′= − = → = =−−

12 La ecuaci#n de la demanda para el producto de un fa,ricante es50

ln( 7) p

q=

+$ en donde p es

el precio unitario % q son las unidades demandadas! Eval5a el ingreso marginal cuando lademanda es de unidades!

[ ]

[ ] ( )2 2

1 50(8)ln( 7) 50 50 50ln15750 15 14.8272

ln( 7) ln15ln( 7)

q qqq dr

r pqq dq q

+ − − + = = → = = =

+ +es decir$ B1!3>unidad adicional!

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