Matemáticas I

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Matemáticas I. Telesecundaria fue elaborado por la Dirección General de Materiales Educativos (dgme) de la Subsecretaría de Educación Básica, Secretaría de Educación Pública.

Coordinación técnico-pedagógicaDirección de Desarrollo e Innovación de Materiales Educativos, dgme/sep María Cristina Martínez Mercado, Gabriel Calderón López, Alexis González Dulzaides

AutoresDiana Karina Hernández Castro, José Alfredo Rutz Machorro, Citlali Yacapantli Servín Martínez, Eladio Escobedo Trujillo, Francisco Ángel Vela Sánchez, Leonardo Jiménez Hernández, Adriana Rodríguez Domínguez, Olga Leticia López Escudero, Manuel García Minjares, Jesús Manuel Hernández Soto, Víctor Manuel García Montes, Ana María López Avilés, Mauricio Héctor Cano Pineda, Jesús Miguel Buendía Solorio

Revisión técnico-pedagógicaÁngel Daniel Ávila Mujica

Coordinación editorialDirección Editorial dgme/sep

Alejandro Portilla de Buen, Olga Correa Inostroza

Cuidado editorial Anne Alberro Semerena

Producción editorialMartín Aguilar Gallegos

Primera edición, 2012 (ciclo escolar 2013-2014)

D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2012 Argentina 28, Centro, 06020, México, D.F.

ISBN: 978-607-514-022-3

Impreso en Méxicodistribución gratuita-prohibida su venta

Servicios editorialesRocío Mireles Gavito

Diseño y diagramaciónRocío Mireles Gavito, Bruno Contreras, Fernando Villafán

Investigación iconográficaCynthia Valdespino, Erandi Alvarado

Corrección de textosEduardo Méndez Olmedo

IlustracionesLeonardo Olguín Landa (pp. 20b, 73, 75, 83, 107, 129, 159, 169, 180, 183, 184, 185, 191c, 194, 203, 211, 212, 220, 244, 250, 259).

Créditos iconográficosAdam Wiseman (p. 239); Bruno Contreras (pp. 27, 28, 50, 53, 57, 59, 60, 147, 191b, 214-216, 271a); Cynthia Valdespino (pp. 8, 12, 14, 63, 78, 81, 93, 96, 99, 118, 119, 131, 134, 157, 160, 164, 176, 189, 207, 227, 234); Fernando Villafán (pp. 20a, 33, 62, 67, 166, 191a, 210, 242, 278); Rocío Mireles Gavito (pp. 98, 243); iStockphoto (pp. 22, 23, 29, 66, 71, 88, 94, 101, 103, 104, 105, 124, 128, 150, 151, 162, 175, 208, 248, 249, 252, 271, 279, 282)

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Presentación institucionalPresentación

En el marco del Acuerdo 592, por medio del cual se establece la Articulación de la Educación Básica, así como del Acuerdo 593 que señala los programas de estudio de la asignatura de Tecnología para la educación secundaria, la Secretaría de Educación Pública ha consolidado una propuesta de libros de texto, a partir de un nuevo enfoque centrado en la participación de los alumnos en su proceso de aprendizaje y en el desarrollo de las competencias básicas para la vida y el trabajo. Especialmente en el contexto de la Telesecundaria, el libro de texto se complementa con las Tecnologías de la Información y Comunicación (tic), con los objetos digitales de aprendizaje, los materiales y equipos audiovisuales e informáticos que, junto con las bibliotecas escolares, representan el soporte pedagógico de los niños mexicanos en su proceso de adquisición del conocimiento escolarizado.

Esta nueva generación de libros de texto para Telesecundaria responde al principio de mejora continua, por lo que ha puesto atención en el replanteamiento de las cargas de contenido para centrarse en estrategias innovadoras para el trabajo escolar, incentiva habilidades orientadas al aprovechamiento de distintas fuentes de información, busca que los estudiantes adquieran habilidades para aprender de manera autónoma incentivando el uso intensivo de la tecnología informática. Asimismo, con la intención de dar continuidad a la propuesta editorial iniciada en los libros de texto de primaria, en este libro se ha fortalecido la línea editorial que promueve una lectura integral capaz de interpretar tanto el discurso textual como el visual. Se ha incluido en sus páginas una muestra representativa de géneros y técnicas plásticas, así como propuestas iconográficas que no sólo complementan el contenido textual, sino lo enriquecen y conforman por sí mismos una fuente de información para el alumno.

En la preparación de este libro confluyen numerosas acciones de colaboración de organismos y profesionales, entre los que destacan asociaciones de padres de familia, investigadores del campo de la educación, instituciones evaluadoras, maestros, editores y expertos en diversas disciplinas. A todos ellos la Secretaría de Educación Pública les extiende un agradecimiento por el compromiso demostrado con cada niño residente en el territorio nacional y con aquellos mexicanos que se encuentran fuera de él.

Secretaría de Educación Pública

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Bloque 2

Bloque 1

Índice

Conoce tu libro 6

8

Secuencia 1 De fracción a número decimal 10

Secuencia 2 Fracciones y decimales en la recta 18

Secuencia 3 Sumas y restas de fracciones 26

Secuencia 4 Sucesiones de números y figuras 31

Secuencia 5 Literales en fórmulas geométricas 40

Secuencia 6 Trazo de triángulos y cuadriláteros 50

Secuencia 7 Alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en los triángulos 56

Secuencia 8 Reparto proporcional 62

Secuencia 9 Juegos de azar 68

78

Secuencia 10 Criterios de divisibilidad 80

Secuencia 11 MCD y mcm 88

Secuencia 12 Sumas con fracciones y decimales 93

Secuencia 13 Multiplicación y división con fracciones 98

Secuencia 14 Propiedades de la mediatriz y bisectriz 106

Secuencia 15 Fórmulas para calcular área y perímetro 112

Secuencia 16 Proporcionalidad directa 118

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Bloque 5

Bloque 4

Bloque 3 124

Secuencia 17 Multiplicación con decimales 126

Secuencia 18 División con decimales 130

Secuencia 19 Ecuaciones de primer grado 134

Secuencia 20 Construcción de polígonos regulares 142

Secuencia 21 Cálculo de área y perímetro 149

Secuencia 22 Factor de proporcionalidad 154

Secuencia 23 Registro de una experiencia aleatoria 162

Secuencia 24 Análisis de frecuencia absoluta y relativa 170

178

Secuencia 25 Números positivos y negativos 180

Secuencia 26 El círculo y cómo construirlo 189

Secuencia 27 Pi en el círculo 196

Secuencia 28 Regla de tres 203

Secuencia 29 Proporcionalidad utilizando escala 210

Secuencia 30 Problemas de conteo 214

Secuencia 31 Tipos de gráficas 225

234

Secuencia 32 Sumas y restas con enteros 236

Secuencia 33 Notación exponencial 244

Secuencia 34 Raíz cuadrada 252

Secuencia 35 Sucesiones con progresión aritmética 262

Secuencia 36 Área y perímetro del círculo 269

Secuencia 37 Proporcionalidad múltiple 278

Hoja para las familias 284

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6

Bloque 1• Convertir números fraccionarios a decimales y viceversa.

• Conocer y utilizar las convenciones para representar

números fraccionarios y decimales en la recta numérica.

• Representar sucesiones de números o de figuras a partir

de una regla dada y viceversa.

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Bloque 2• Resolver problemas utilizando el máximo común divisor

y el mínimo común múltiplo.

• Resolver problemas geométricos que impliquen

el uso de las propiedades de las alturas, las medianas,

las mediatrices y las bisectrices en triángulos

y cuadriláteros.

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Bloque 3• Resolver problemas en los que se tengan que efectuar

multiplicaciones y/o divisiones con fracciones y números

decimales.

• Resolver problemas que impliquen el uso de ecuaciones

de las formas: x + a = b; ax = b y ax + b = c, donde

a, b y c son números naturales y/o decimales.

• Resolver problemas que impliquen el cálculo de

cualquiera de las variables de las fórmulas para encontrar

el perímetro y el área de triángulos, cuadriláteros y

polígonos regulares. Explicar la relación que existe entre

el perímetro y el área de las figuras.

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Bloque 4• Construir círculos y polígonos regulares que cumplan con

ciertas condiciones establecidas.

• Leer información presentada en gráficas de barras

y circulares. Utilizar estos tipos de gráficas para

comunicar información.

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Bloque 5• Resolver problemas aditivos que impliquen el uso de

números enteros, fraccionarios o decimales positivos

y negativos.

• Resolver problemas que impliquen el cálculo de la raíz

cuadrada y potencias de números naturales y decimales.

• Resolver problemas de proporcionalidad directa del tipo

“valor faltante”, en los que la razón interna o externa es

un número fraccionario.

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Has estudiado Matemáticas durante toda la primaria. Ahora que inicias la se-cundaria, uno de los propósitos del plan de estudios es que uses lo que ya sa-bes para aprender los nuevos conocimientos que te serán presentados. Tu profesor, con el apoyo de este libro y con el uso de algunos recursos tecnológi-cos, te ayudará a que lo logres.

Lo primero será conocer tu libro y familiarizarte con los elementos que lo forman.

Tu libro de Matemáticas consta de cinco bloques. Cada uno contiene varias secuencias de aprendizaje. En cada secuencia estudiarás un tema del programa de Matemáticas a través de varias sesiones. Una sesión está diseñada para que la trabajes en una clase, aunque en oca-siones será necesario que le dediques un poco más de tiempo.

Conoce tu libro

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7

En cada secuencia de aprendizaje podrás encontrar los apartados siguientes:

196

Secuencia 27Pi en el círculo

Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente). Explicación del número π (pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro.

Sesión 108En esta sesión medirás el perímetro de una circunferencia.

 ¿Qué sabes tú?Observa la siguiente imagen.

Formen parejas y propongan cómo calcular la longitud de la circunferencia (perímetro) y el área del círculo de la imagen anterior.

¿Qué métodos se les ocurrieron y qué resultados obtienen utilizándolos?

círculocircunferencia

radi

o

diámetro

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176 177

Sesión 98Evaluación

Aplica lo aprendido y selecciona la respuesta correcta a cada problema.

1. Jacinto requiere comprar 150.45 dólares para pagar un artículo que se ofrece en una tienda en internet. ¿Cuántos pesos debe juntar para poder pagar, si el tipo de cambio está en $14.30?

a) $ 2 152.534

b) $ 2 152.354

c) $ 2 152.435

d) $ 2 152.4035

2. Considera la ecuación 9 x = 270.

¿Cuál de los siguientes problemas se puede resolver con la ecuación anterior?

a) El volumen de un eneágono regular mide 270 cm.

b) El área de un eneágono regular mide 270 cm.

c) El perímetro de un eneágono regular mide 270 cm.

d) El perímetro de un eneágono irregular mide 270 cm.

3. Un corredor tarda cierta cantidad de minutos para recorrer diferentes distancias, como se muestra en la tabla.

Tiempo (minutos) 21 min 42 min 55 min 84 min

Distancia 7 km 14 km 28 km

Si corre durante 55 minutos, ¿qué distancia recorrió?

a) 15.00 km

b) 20 km

c) 18.33 km

d) 22 km

4. Un rollo higiénico contiene 43.7 metros de papel. Si cada hoja mide 10.4 cm, ¿cuántas hojas higiénicas contiene el rollo?

a) 300.23

b) 499.10

c) 400.51

d) 420.19

5. ¿En cuál de los siguientes polígonos regulares el área es de 20 m2?

2 cm

a = 4

2 cm

a = 1.37

2 cm

a = 2.61

2 cm

a = 5.00

6. En una caja se colocan 12 lápices del mismo tamaño y textura, 3 son azules, 3 rojos, 2 amarillos, 2 negros, 1 verde y 1 morado. ¿Cuál de las siguientes frases es verdadera?

a) Hay más posibilidades de sacar un lápiz color morado que uno verde.

b) Hay más posibilidades de sacar un lápiz color azul que uno rojo.

c) Hay más posibilidades de sacar un lápiz color rojo que uno amarillo.

d) Hay más posibilidades de sacar un lápiz color amarillo que uno negro.

La siguiente tabla ilustra el consumo de energía eléctrica en kilowatts (kW) de 4 casas durante 5 meses.

Mes Noviembre Diciembre Enero Febrero Marzo

Casa 1 86 95 105 88 102

Casa 2 78 89 110 80 97

Casa 3 76 98 89 78 114

Casa 4 89 100 65 117 76

7. ¿En qué mes se consumió la mayor cantidad de ener-gía eléctrica?

a) Enero

b) Febrero

c) Diciembre

d) Marzo

8. ¿Qué casa consumió menos energía durante los cinco meses?

a) Casa 1

b) Casa 2

c) Casa 3

d) Casa 4

9. ¿Qué polígono regular se puede generar a partir del ángulo mostrado?

a) Dodecágono

b) Undecágono

c) Pentadecágono

d) Icoságono

156°

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76

3. Comparen sus resultados con los obtenidos por otras parejas que seleccionaron la misma

bolsa. ¿Obtuvieron los mismos resultados?

Si algún equipo eligió la bolsa 4, pregúntenle ¿cuál fue el color de canica que más veces salió?

¿Por qué consideran que se obtuvieron esos resultados?

Si algún equipo eligió la bolsa 2, pregúntenle ¿cuál fue el color de canica que más veces salió?

¿Consideran que infl uye el hecho de que hay igual número de canicas azules que de blancas?

Al considerar todos los resultados que obtuvieron en el grupo, ¿qué color ha salido con más

frecuencia?

¿Se puede saber el color de la canica que sale en una extracción?

Comparen los cálculos que hicieron y vean quiénes se acercaron más.

Si el juego se gana cuando se saca más veces una canica azul, ¿qué bolsa conviene elegir?

AutoevaluaciónResponde lo siguiente.

1. Describe un juego que sea de azar.

2. Si se lanza una canica por cada laberinto, ¿en cuál de ellos es más probable que salga la canica por la salida 1?

a)1 1 112 2 223 33 4

b) c) d)

En los juegos de azar no podemos predecir quién ganará porque no se puede controlar los resultados. Sin embargo, al registrar y analizar sus resultados podemos encontar alguna estrategia de juego.

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Sesión 129En esta sesión resolverás problemas utilizando gráficas circulares.

 Manos a la obra1. La siguiente información se refiere a la distribución porcentual de horas a la semana que los

integrantes del hogar de 12 y más años de edad dedican a actividades de esparcimiento.

Convivencia social

Asistencia a eventos culturales, deportivos y de entretenimiento

Deportes y ejercicio físico

Participación en juegos y aficiones

Utilización de medios masivos de comunicación

59.0

4.2

2.16.7

28.1

Fuente: INEGI, Encuesta Nacional de Uso del Tiempo 2009.

¿A qué actividad le dedican más tiempo?

¿A qué actividad le dedican menos tiempo?

A la gráfica circular se le llama también “de pastel”, o diagrama de sectores, y se construye empleando la frecuencia relativa (fracción o número decimal) de cada dato.

Al sumar los porcentajes de todos los sectores siempre da como resultado 100%.

Consulta en…

Explora los siguientes sitios para conocer otras interesantes gráficas de estadísticas:

<http://eleconomista.com.mx/industrias/2012/01/26/buen-fin-impulsa-ventas-minoristas-mexico>

<http://revistadelconsumidor.gob.mx/wp-content/uploads/2011/05/estudio-cereales2.pdf>

<http://revistadelconsumidor.gob.mx/wp-content/uploads/2011/11/bebidas-hidratantes.pdf>

<http://cuentame.inegi.org.mx/poblacion/default.aspx?tema=P>

<http://www.imcine.gob.mx/informes-y-estadsticas.html>

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B2 S14

110 111

La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos ángulos iguales.

También es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a la misma distancia (equidistan) de las semirrectas de un ángulo.

Sólo en un triángulo equilátero la bisectriz de sus tres ángulos internos es también la mediatriz de los lados opuestos.

Sesión 60 Sesión 61En esta sesión continuarás aplicando las propiedades de la bisectriz de un ángulo.

 Manos a la obraFormen equipos, analicen el siguiente problema y contesten.

Un dato interesante…

Un problema que interesó durante mucho tiempo a los griegos fue trisecar (dividir en tres ángulos iguales) un ángulo, utilizando sólo regla y compás. En el siglo XIX se demostró que esto es imposible.

Elige un punto sobre la primera bisectriz trazada, y con ayuda de tus escuadras dibuja rectas perpendiculares de este punto a los lados del ángulo. Mídelas.

¿Qué observas?

En grupo, y con ayuda de su profesor, concluyan las pro-piedades de la bisectriz que utilizaron en la solución y tra-zo de esta situación.

Dibujen en su cuaderno tres ángulos de diferentes tama-ños y amplitudes, tracen la bisectriz a cada uno y señalen con color rojo las partes en las que se observen las propie-dades de dicho lugar geométrico.

En la figura de la derecha podemos observar un triángulo rectángulo. Si el segmento BC representa el pilar central de un puente, el segmento AB el tirante principal, y se pretenden colocar tres tirantes más que salgan del vérti-ce B dividiendo al ángulo en partes iguales, ¿en qué pun-tos deben colocarse los extremos de los tirantes sobre el puente?

b

ca

A

B

C

¿En cuántas partes es necesario dividir el ángulo B para colocar las tres cuerdas?

¿Los extremos sobre el segmento “b” quedan a la misma distancia uno del otro?

¿Cuántas veces se puede dividir un ángulo?

En esta sesión resolverás distintos problemas geométricos que implican el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y de la bisectriz de un ángulo.

 Manos a la obra1. Resuelve lo siguiente.

a) Une los puntos y traza la mediatriz al segmento PQ.

b) Traza los ejes de simetría de cada figura. Marca con un color los que, además de ser ejes de simetría, también sean mediatrices de algún lado de las figu-ras, y con otro color los que sean bisectrices de algún ángulo de las figuras.

c) Encuentra un punto que esté a la misma distancia de los tres lados del siguiente triángulo (pista: re-cuerda que cualquier punto de la bisectriz de un ángulo está a la misma distancia de los dos lados que lo forman).

 AutoevaluaciónTraza en tu cuaderno un segmento, su mediatriz, marca dos puntos sobre ella y traza con color rojo las distancias de los puntos a los extremos del segmento. Define la propiedad.

Traza en tu cuaderno un ángulo, su bisectriz, marca puntos sobre la bisectriz y traza con color rojo las distancias de los puntos a los lados del ángulo. Define la propiedad.

Consulta en…

Para conocer más sobre este tema busca en las bibliotecas escolares y de aula el siguiente libro: Carlos Bosch y Claudia Gómez, “Construcciones básicas” y “Paralelas con doblado de papel”, en Una ventana a las formas, México, sep-Santillana, 2003 (Libros del Rincón).

P Q

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200

Sesión 111En esta sesión encontrarás una fórmula para calcular el área de un círculo.

 Manos a la obraLleva a cabo las siguientes actividades.

1. Observa la imagen.

Mide y calcula el perímetro y el área de los polígonos. Anótalos abajo de cada uno.

¿Qué sucede con los perímetros conforme aumenta el número de lados del polígono?

¿Y con el área?

¿Qué relación hay entre el perímetro de los polígonos y el perímetro de la circunferencia?

¿Qué relación hay entre el área de los polígonos y el área del círculo?

2. En equipos, analicen las construcciones de la sesión anterior.

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EvaluaciónSe te presentarán tanto ejercicios como problemas en los que podrás elegir la respuesta correcta entre cuatro opcio-nes, aunque en algunos casos tendrás que escribir una respuesta breve.

Consulta en…

Son sugerencias para que revises otros ma-teriales, de modo que puedas ampliar y ejercitar tus aprendizajes por medio de vi-deos, libros de la biblioteca y sitios de in-ternet, entre otros.

En cada bloque encontrarás:

Un dato interesante…

Es una información curiosa y a veces poco conocida.

AutoevaluaciónSu propósito es que valores los aprendi-zajes, tanto de conocimientos como de habilidades, que desarrollaste durante la secuencia, contestando una pregunta o completando alguna información.

 Manos a la obraInicia con una breve introducción, la cual continúa con una actividad en la que hallarás preguntas que te ayudarán a construir tu conocimiento y a analizar lo que estés aprendiendo. Algunas veces trabajarás individual mente y otras en equipo o con todo el gru-po. En esta sección también encontrarás las conclu-siones sobre los conceptos estudiados.

¿Qué sabes tú?Es una actividad que te permitirá diagnosticar y rescatar las ideas previas. Aquí se relaciona el nuevo conocimiento que aprenderás con algo que ya hayas estudiado.

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Bloque 1

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• Convertir números fraccionarios a decimales y viceversa.

• Conocer y utilizar las convenciones para representar

números fraccionarios y decimales en la recta numérica.

• Representar sucesiones de números o de figuras a partir

de una regla dada y viceversa.

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10

Secuencia 1

De fracción a número decimal

Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa.

Sesión 1En esta sesión identificarás lo que es una fracción decimal.

 ¿Qué sabes tú?Reúnete con un compañero y organicen en la tabla las fracciones siguientes, considerando si son decimales o no.

34

37

12

310

59

31100

16

58

231000

9210

411

Fracciones decimales Fracciones no decimales

Escriban en la tabla dos ejemplos más en cada columna.

Comenta con tu compañero cómo establecieron cuáles son las fracciones decimales.

Recuerda que toda expresión de la forma ab ,

donde b es diferente de cero, recibe el nombre de fracción común.

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11

1. Junto con tu compañero, revisen la tabla donde clasificaron las fracciones.

Contesten lo siguiente:

Las que se encuentran en la columna denominada fracciones decimales, ¿son también

fracciones comunes?

Observen las fracciones siguientes:

310

31100

231000

¿Qué pueden comentar sobre los denominadores?

2. En equipos, contesten lo que se les pide.

Escriban una fracción decimal que sea equivalente a 25 =

¿Cómo obtuvieron esa fracción decimal equivalente?

Encuentren una fracción decimal que sea equivalente a 23 =

¿Pudieron obtenerla?

¿Por qué?

Completen el siguiente enunciado:

Una fracción común puede expresarse como fracción decimal cuando…

A las fracciones comunes que tienen como denominador una potencia de 10, es decir 10, 100 y 1 000… se les conoce como fracciones decimales.

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12

Sesión 2En esta sesión representarás fracciones comunes en su notación decimal.

 Manos a la obra 1. En parejas, resuelvan el problema siguiente.

Adrián compró cuatro carretes de listón de 15 m cada uno, necesita hacer moños de dife-rentes tamaños y para ello cortará un carrete en 10 trozos iguales, un segundo en 30, el tercero en 5 y el cuarto en 2.

¿Cuánto medirá cada trozo?

Del primer carrete Del segundo carrete

Del tercer carrete Del cuarto carrete

¿Cómo determinaron lo que debe medir cada tramo de listón?

¿Realizaron alguna operación?

¿Cuál?

¿Cuáles trozos se pueden representar con una fracción decimal?

2. En equipos, realicen las divisiones que indican las fracciones comunes siguientes. Aproxi-men sus resultados a dos o tres cifras decimales.

a) 45 = b) 3

10 = c) 214 = d) 35

100 =

e) 57 = f) 4

9 = g) 715 = h) 3

2 =

Pongan atención en los residuos de las divisiones que efectuaron y contesten lo siguiente:

¿En cuáles casos pudieron calcular el cociente exacto, es decir, obtuvieron como residuo 0?

¿Qué observan en los cocientes donde no se obtuvo residuo 0?

Con la participación de todo el grupo y con la guía de su profesor concluyan cómo obtener la notación decimal de una fracción común. Anótalo en tu cuaderno.

En algunas ocasiones, las fracciones comunes representan divisiones como en el problema anterior, donde el numerador es el dividendo y el denominador es el divisor, esto es

nd = d n

Una fracción se puede escribir también con nota-ción decimal.

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S1

13

En esta sesión obtendrás la representación de números decimales como fracciones comunes.

Sesión 3

 Manos a la obra1. En parejas, resuelvan el problema siguiente.

Al dividir ciertos números enteros entre una potencia de 10 (por ejemplo 10, 100 o 1 000) Noemí obtuvo los siguientes cocientes: 0.4, 0.45, 0.125, 0.564, 2.6 y 13.567. Indiquen un posible divisor y un posible dividendo correspondiente a cada cociente.

Cociente 0.4: divisor , dividendo

Cociente 0.45: divisor , dividendo

Cociente 0.125: divisor , dividendo

Cociente 0.564: divisor , dividendo

Cociente 2.6: divisor , dividendo

Cociente 13.567: divisor , dividendo

Comparen sus respuestas con las de otros equipos.

Obtengan las fracciones decimales correspondientes a las divisiones anteriores.

2. En parejas, contesten las preguntas siguientes.

a) En una clase de telesecundaria Martín dice que 0.4 corresponde a 410 , y Héctor que a 25 .

¿Quién de los dos tiene la razón?

b) Salvador afirma que 0.45 corresponde a 920 , y Guadalupe que a 45

100 .

¿Quién de los dos está en lo correcto?

¿Son equivalentes las fracciones 920 y 45

100 ? ¿Por qué?

c) Rosa dijo que al transformar ciento veinticinco milésimas a una fracción decimal y sim-

plificarla, obtuvo 18 . ¿Es correcto lo dicho por Rosa?

Expliquen brevemente por qué.

d) ¿Cómo se convierte un número decimal a fracción?

e) Describe en tu cuaderno cómo se puede simplificar una fracción a su mínima expresión.

Comparen sus respuestas con las de otras parejas y con ayuda del profesor determinen un procedimiento para escribir un número decimal como fracción común representada en su mínima expresión.

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3. Relacionen los números decimales con su respectiva fracción.

0.9

0.58

0.276

0.75

0. 840

a) 69250

b) 34

c) 2125

d) 910

e) 2950

4. Resuelvan los siguientes problemas.

a) Víctor pidió 1 34 kg de tortillas, el encargado colocó en su báscula digital una pila de

tortillas y en la pantalla apareció 1.750 kg. Expliquen si le despacharon correctamente o no las tortillas a Víctor.

b) La mamá de Rubén quiere cambiar en el banco unos cheques que le dieron, por las si-guientes cantidades:

Ya en la ventanilla, la cajera le dijo que una cantidad está mal representada.

¿Cuál es la cantidad incorrecta?

Expliquen en su cuaderno por qué.

Comenta con tu grupo y con tu profesor un procedimiento que permita representar un número decimal como fracción común.

Su Banco Fecha:

Pague por este cheque a: $

CHEQUE 0000101 Firma

15 de agosto 2013

Luz María Archundia 2 538. 68Dos mil quinientos treinta y ocho pesos 68

100 M.N.

Su Banco Fecha:

Pague por este cheque a: $

CHEQUE 0000211 Firma

10 de agosto 2013

Luz María Archundia 561. 220

Quinientos sesenta y un pesos 220100 M.N.

Su Banco Fecha:

Pague por este cheque a: $

CHEQUE 0001201 Firma

11 de agosto 2013

Luz María Archundia 5 000. 06

Cinco mil pesos 6100 M.N.

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En esta sesión representarás números decimales como fracciones no decimales.

Sesión 4

 Manos a la obra 1. Reúnete con dos compañeros para realizar lo que se plantea a continuación.

a) Sumen el número que quieran en ambos lados de la siguiente igualdad:

8 = 6 + 2

Expliquen brevemente en su cuaderno por qué el resultado es otra igualdad.

b) Resten el número que quieran en ambos lados de la siguiente igualdad:

750 = 500 + 250

Expliquen brevemente en su cuaderno por qué el resultado es otra igualdad.

c) Multipliquen por el número que quieran en ambos lados de la siguiente igualdad:

15 = 20 − 5

Expliquen brevemente en su cuaderno por qué el resultado es otra igualdad.

d) Dividan entre el número que quieran distinto de 0, en ambos lados de la siguiente igualdad:

1000 = 500 × 2

Expliquen brevemente en su cuaderno por qué el resultado es otra igualdad.

Después de haber conocido algunas propiedades de las igualdades, las cua-les usarás en este tema de fracciones, retoma el estudio sobre cómo repre-sentar las fracciones en su forma común o decimal.

2. Con tu mismo equipo, identifiquen un decimal o un grupo de decimales (periodo) que se repiten varias veces en los cocientes siguientes y enciérrenlo con color rojo.

29 = 0.2222… 3

11 = 0.27272727… 41333 = 0.123123123123… 1

6 = 0.16666…

Al expresar una fracción común en su forma decimal, en ocasiones el cociente se repite indefinidamente, se dice entonces que el cociente es periódico y esto se representa colo-cando un segmento sobre dicho periodo. Por ejemplo,

29 = 0.2 3

11 = 0.27 41333 = 0.123 1

6 = 0.16

De los números decimales anteriores:

a) ¿Cuál es el decimal periódico del primer cociente?

b) ¿Cuál de las fracciones tiene un cociente periódico de tres dígitos?

Cuando se tiene una igualdad, al operar en ambos lados de ésta con un mismo número, sumando, restando, multipli-cando o dividiendo se obten-drá otra igualdad.

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3. Continúa con tu equipo para analizar el siguiente procedimiento que permite obtener la fracción común de los números decimales periódicos.

Se quiere encontrar la fracción común correspondiente al número decimal 0.3

Como no se conoce la fracción, se dejará el espacio, representado por un cuadrado.

Para encontrar cuánto vale se iguala con el número decimal periódico:

= 0.3 Se multiplican ambos términos de la igualdad por 10 para tener una nueva igualdad, porque el periodo está formado por un decimal que se repite. Si el periodo tuviera dos dígitos que se repiten, se multipli-caría por 100, si tuviera 3 por 1 000, y así consecutivamente.

Entonces:

= 0.333 1

10 × = 10 × 0.333

10 × = 3.333 2

Para eliminar los decimales periódicos se resta la igualdad 1 de la igualdad 2 :

10 × − = 3.333 − 0.333

9 × = 3

Se dividen entre nueve los dos lados de la igualdad para dejar al sólo de un lado de la igualdad:

9 ×9 = 3

9

Entonces, como 99 = 1 se tiene:

= 39

Esto quiere decir que, 0.3 = = 39

Como 39 se puede expresar como 1

3 , se concluye que 0.3 = 13

4. Identifiquen el decimal periódico de los números decimales siguientes y con el procedi-miento anterior obtengan las fracciones comunes correspondientes.

a) 0.6666...

b) 0.36363636...

c) 0.135135135135135...

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Consulta en…

Busca en las bibliotecas escolares y de aula el siguiente libro para conocer más sobre el tema: Luz María Marván, “Escritura decimal infinita” y “Otros símbolos para números no enteros”, en Representación numérica, México, SEP-Santillana, 2003 (Libros del Rincón).

Entra al sitio: <http://www.thatquiz.org/es-e/matematicas/fracciones/reducir/>. Elige en el recuadro de la izquierda las opciones “Fracción a decimal” y “Decimal a fracción”. Selecciona el nivel en el que quieras practicar estas conversiones.

AutoevaluaciónEscribe en tu cuaderno lo siguiente.

• Un procedimiento para expresar una fracción común como número decimal.

• Un procedimiento para expresar un número decimal como fracción común.

5. En equipos, contesten lo siguiente.

a) ¿Qué tipo de fracción da como resultado un número decimal periódico?

b) ¿Cuál es el denominador de las fracciones que obtuvieron en cada inciso del ejercicio

anterior?

c) ¿Qué relación encuentran entre la cantidad de nueves que tiene el denominador y la

cantidad de cifras que tiene el periodo?

d) Si se expresan 0.3 y 0.3 como fracción común, ¿se obtiene la misma fracción?

¿Por qué?

Comparen sus resultados y sus respuestas con otros equipos.

6. Relaciona ambas columnas escribiendo den-tro del paréntesis la letra que corresponda.

( ) 0.7

( ) 0.45

( ) 0.405

a) 511

b) 1537

c) 79

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Secuencia 2

Fracciones y decimales en la recta

Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.

Sesión 5En esta sesión aprenderás que en la recta numérica se pueden representar números enteros, fracciones comunes y decimales, lo cual es muy útil porque permite comparar números o comprobar equivalencias.

 ¿Qué sabes tú?Gradúa las siguientes rectas numéricas según se te indique, es decir, marca las partes que corresponden a cada división.

En cuartos.

0 1

En quintos.

0 1

En décimos.

0 1

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 Manos a la obra1. En equipos de a lo más tres integrantes, escriban los números que hagan falta para com-

pletar la graduación de cada recta.

a)

0 210 5

10 910

b)

0 0.3 0.8

c)

0 0.4 510 0.9

2. Expliquen por qué en una recta se pueden ubicar tanto fracciones comunes como decimales.

3. En la siguiente recta escriban la fracción común o el número decimal correspondiente al punto donde se ubica cada letra.

0 a c b = 12 d

Ahora comenten qué es lo que deben considerar para representar en una recta numérica una fracción común y un número decimal.

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Sesión 6En esta sesión observarás cómo se puede representar en la recta numérica una fracción si se conoce la ubicación de otro par de fracciones.

 Manos a la obra1. En una escuela telesecundaria realizaron

competencias atléticas para conmemo-rar el 40 aniversario de su fundación.

En la tabla se muestran las tres mejores mar-cas obtenidas en salto de longitud por distin-tos alumnos:

En la siguiente recta se ha representado el salto de Erik López.

4 4 35

Reúnete con un compañero y representen en la recta anterior los saltos de los otros dos alumnos.

Considerando que el ganador es el que realizó el salto más largo, ¿cómo otorgarías las medallas?

Alumno Longitud aproximada del salto (metros)

Juan Godínez 4 12

José Sandoval 4 23

Erik López 4 35

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2. En parejas, ubiquen en la siguiente recta los números 73 , 1

3 , 126 , 0, 1 16 y 2

5 .

56 1

¿Qué hicieron para ubicar el 0?

¿Cuántos sextos se representan en la marca de 13 ?

¿Qué otro número representa 126 ?

¿Qué hicieron para ubicar a 25 ?

Comparen sus respuestas con las de otros equipos y escriban en su cuaderno un procedi-miento que les permita ubicar cualquier fracción cuando se tienen como referencia otras dos fracciones.

3. Localiza las fracciones que se indican en cada inciso.

a) En la siguiente recta numérica ubica las fracciones 23 , 7

9 y 96 .

0 13 4

6

b) En la siguiente recta numérica ubica el 0 y las fracciones 32 , 3

10 y 115 .

25

c) En la siguiente recta numérica ubica las fracciones 14 , 3

5 y 512 .

13 1

2

Comenta con un compañero qué deben hacer cuando en una recta hay previamente locali-zadas al menos dos fracciones que no tienen un denominador común y se desea ubicar otra.

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Sesión 7En esta sesión representarás números decimales en la recta numérica.

 Manos a la obra1. En parejas, completen la graduación de las siguientes rectas.

a)

5 5.5 6

¿Cuánto representa cada segmento de la recta?

b)

7.2 7.24 7.29 7.3

¿Cuánto representa cada segmento de la recta anterior?

2. En parejas, lean la información siguiente y realicen lo que se indica.

Entre las competencias atléticas, la carrera de 100 m planos es considerada la reina de las pruebas. Para determinar quién es el ganador se requiere manejar números decimales. Para tal efecto, consideren la siguiente tabla de resultados obtenidos por las tres alumnas más rápidas en las competencias conmemorativas del aniversario de su telesecundaria.

Alumna Tiempo (en segundos)

Ana Juárez 13.6

Sonia Martínez 13.3

Claudia Pérez 13.4

Ubiquen cada una de las marcas en la recta numérica siguiente.

12 14

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3. Lee la siguiente situación y realiza lo que se pide.

En la escuela también se hizo un torneo de salto de altura, en la tabla de abajo se registra-ron los diez mejores saltos.

Competidor Altura del salto (m) Competidor Altura del salto (m)

Braulio 1.43 Alexa 1.55

Efrén 1.50 Antonia 1.43

Teresa 1.45 Jesús 1.49

Daniel 1.48 Emmanuel 1.54

Reyna 1.51 Aline 1.40

a) Ubica en la recta numérica los saltos registrados.

1.3 1.7

b) Contesta las preguntas.

¿Por qué la recta numérica no inicia en 0?

Para ubicar saltos como 1.45, 1.48 y 1.49, ¿en cuántas partes se tendrá que dividir el

espacio que hay entre 1.4 y 1.5?

c) Compara tus resultados con los de tus compañeros de grupo y contesten.

¿Hay saltos que estén ubicados en el mismo lugar en la recta numérica?

Andrea dice que 1.06 y 1.60 se ubican en el mismo punto de la recta. Expliquen si es co-rrecta o no la afirmación de Andrea.

¿Qué otro decimal se ubica en el punto 1.5?

1.5 1.51 1.52 1.53 1.54 1.55 1.56 1.57 1.58 1.59 1.6

1.52 1.521 1.522 1.523 1.524 1.525 1.526 1.527 1.528 1.529 1.530

1.4 1.5 1.6

Para ubicar números decimales en la recta, como 1.5, 1.52, 1.524, etcétera, es necesario dividir cada segmento en 10 partes iguales y cada una de éstas en otras 10, y así sucesivamente.

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Consulta en…

Entra al sitio: <http://miayudante.upn.mx/ficha.html?rgrado=5&rconsul=4&numfich=42>, ahí encontrarás más información sobre la ubicación de números en la recta numérica.

Sesión 8En esta sesión continuarás trabajando con la ubicación de fracciones y decimales en la recta numérica.

 Manos a la obra1. Realiza lo que se te indica y contesta.

a) Ubica 12 , 3

5 , 14 y 7

8 en la recta numérica.

0 1

b) Ubica 0.75, 0.5, 0.6 y 0.25.

0 1

Al comparar las rectas numéricas de los incisos a y b, ¿qué fracciones comunes y números

decimales se ubican en el mismo punto?

¿Cómo puedes usar una sola recta numérica para ubicar fracciones comunes y números

decimales?

2. En parejas, ubiquen en la recta numérica 310 , 0.5, 1

4 , 0.75 y 34 .

0 1

¿Cómo ubicaron fracciones y decimales en la misma recta?

a) ¿Cómo graduaron la recta?

b) En una recta graduada con fracciones, ¿es posible ubicar también decimales?

c) ¿Cómo se haría?

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AutoevaluaciónResponde en tu cuaderno lo siguiente.

• ¿Cómo se ubica una fracción en la recta numérica cuando ya están localiza-das otras dos?

• Describe una estrategia que te permita ubicar fracciones y números decima-les en la misma recta numérica.

3. Expresa las siguientes fracciones en notación decimal y ubícalas en la siguiente recta.

a) 38100 = b) 3

8 = c) 25 =

d) 720 = e) 365

1000 =

0 1

Explica cómo ubicaste las fracciones anteriores en la recta.

Para ubicar una fracción común en una recta numérica graduada con decimales, ¿qué im-portancia tiene expresarla en notación decimal?

4. Ubica 0.25, 0.3, 0.2 y 0.295 en la siguiente recta.

0 12

¿Qué hiciste para ubicar en la recta los números decimales?

Compara tus respuestas con las de otros compañeros y escriban un procedimiento que les permita ubicar fracciones comunes y decimales en la misma recta numérica.

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Secuencia 3

Sumas y restas de fracciones

Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones.

Sesión 9En esta sesión identificarás cuándo un problema se puede resolver con una adición, y para solucionarlo aplicarás tus conocimientos sobre números fraccionarios.

 ¿Qué sabes tú? En la vida cotidiana no siempre se emplean cifras exactas; por ejemplo, al comprar ciertos productos es común el uso de fracciones para señalar la cantidad que se desea adquirir, por lo que es habitual escuchar expresiones como: “quiero un cuarto de queso, y medio de jamón”. Otro caso similar es indicar el nivel de combustible con el que cuenta un vehículo en términos fraccionarios, al decir: “le queda un cuarto de gasolina”, o alguna otra expresión semejante.

1. En parejas, resuelvan lo siguiente.

En carpintería, es habitual expresar las medidas en fracciones de pulgada. Observa la siguiente ima-gen y escribe abajo de cada clavo su medida en pulgadas.

Compara tus medidas de los clavos con las de otro compañero.

¿Cuál de los clavos mide 78 de pulgada?

¿Cuál clavo mide 23 de pulgada?

¿Cuántos clavos miden más de 12 pulgada?

¿Cuáles clavos miden menos de 34 de pulgada?

1 pulgada

12 pulgada

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 Manos a la obra1. En parejas, resuelvan los siguientes problemas.

a) En el esquema de al lado se presentan pa-res de clavos de distinta medida, calculen cuál sería el tamaño total de cada pareja de clavos. Consideren las medidas de los cla-vos anteriores.

¿Cómo realizan una suma de fracciones con diferente denominador?

b) Las distancias entre la telesecundaria y las casas de Juan, Laura y María se ilustran en el siguiente esquema.

Con base en la información que se presenta contesten lo siguiente:

¿Cuál es la distancia total que recorrerá Juan si primero va por María y después van

juntos a la telesecundaria?

¿Qué distancia recorrerá Juan para ir a la telesecundaria si previamente va por Laura y

luego por María?

Comparen sus respuestas con las de otras parejas.

c) Con base en la información del ejercicio an-terior resuelvan en equipos las siguientes preguntas.

Si consideramos el recorrido más corto de sus casas a la telesecundaria, ¿cuál es la distancia que recorren los tres estudiantes

en total?

Indiquen la ruta que muestra la siguiente suma de fracciones y elaboren un enunciado que describa el problema.

12 + 1

4 + 34

Para llevar a cabo la suma de números fraccionarios con denominadores distintos se emplean fracciones equivalen-

tes. Por ejemplo, para efectuar la operación 23 + 3

4 se

deben buscar fracciones equivalentes para ambos térmi-nos, con la consigna de que tengan el mismo denominador.

Algunas fracciones equivalentes de 23 son 4

6 , 69 , 8

12 y 1015 ,

y de 34 son 6

8 , 912 y 12

16 .

Para este problema las fracciones que tienen el mismo

denominador son 812 y 9

12 .

De esta manera:

23 + 3

4 = 812 + 9

12 = 1712

1 12 km

34 km

12 km

34 km

14 km

45 km

TELEsecundariaCasa María

Casa Juan

Casa Laura

Distancias entre las casas de Juan, Laura y María con la telesecundaria

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Sesión 10En esta sesión aplicarás tus conocimientos sobre sustracción de fracciones para resolver problemas.

Para resolver una sustracción de fracciones con diferentes denominadores deben buscarse fracciones equivalentes con el mismo denominador. Un problema que se soluciona con una sustracción de fraccio-nes responde a preguntas como: ¿cuánto falta?, ¿cuánto sobra?, ¿por cuánto es mayor?, ¿por cuánto es menor?, ¿cuál es la diferencia?

12 pulgada

 Manos a la obra1. Resuelve el problema que se plantea.

En la siguiente imagen se muestra un conjunto de clavos que se van a clavar en un bloque de madera. Considerando las medidas de los clavos de la sesión anterior, indica qué longitud de cada clavo quedará fuera de la madera.

¿Hay algún clavo cuya longitud coincida con el

grosor de la madera?

¿Cómo resolviste el problema?

2. En parejas, resuelvan los siguientes problemas.

a) A una madera de 38 de pulgada se le colocó un clavo de 3

4 de pulgada. Si la punta del

clavo llega exactamente al otro lado de la madera, ¿qué longitud del clavo quedó sin

ser clavado?

b) La señora Julia compró 2 34 kilogramos de guayabas y 1 kilogramo y medio de naranjas,

¿qué cantidad de guayabas compró más que de naranjas?

c) Una jarra contiene 3 14 litros de agua de tuna. Si Marisol, Sara, Ángel,

Alejandro y Sofía se sirvieron cada quien un vaso con 12 litro de agua,

¿qué cantidad de agua queda en la jarra?

d) En parejas, planteen un problema que se resuelva con la operación 34 − 5

12 y resuélvanlo.

¿Cuál es el resultado?

Comparen su problema con el de otras parejas y revisen que éste impli-que una sustracción de fracciones.

e) Para que un problema pueda resolverse mediante una sustracción,

¿qué tipo de preguntas se deben hacer?

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Sesión 11En esta sesión aplicarás tu conocimiento sobre adición y sustracción de fracciones para resolver problemas.

 Manos a la obra1. En parejas, resuelvan los problemas que se plantean.

a) El siguiente cuadro presenta el total de litros de agua embotellada que consumen al día los alumnos de la telesecundaria 10 en los tres grados que la integran, divididos entre hombres y mujeres.

GéneroGrado

Primero Segundo Tercero

Masculino 6 14 L 7 18 L 7 34 L

Femenino 5 12 L 7 12 L 9 14 L

¿Qué cantidad total de agua toman los alumnos de la telesecundaria 10?

¿Quiénes toman más agua, los hombres o las mujeres?

¿Cuál es la diferencia en litros?

¿Cuál es la diferencia de la cantidad total de agua ingerida por las alumnas de segundo

respecto de las de primer grado?

La fracción 38 es resultado de sustraer…

9 14 − 7 34

7 12 − 7 18

De acuerdo con este contexto, escribe una pregunta que se resuelva con la operación del inciso anterior.

b) En cierta población, el canal XW es visto por 13 de los hombres y por 12 de las mujeres,

mientras que el canal XZ es visto por 15 de los hombres y por 5

8 de las mujeres.

¿Qué canal es más visto por la población?

¿En qué medida es más visto este canal?

Hasta aquí has aprendido a determinar cuándo aplicar una adición o una sustracción para resolver problemas de fracciones.

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Sesión 12En esta sesión aprenderás a identificar cómo resolver problemas, cuáles y cuántas operaciones son necesarias para su solución.

 Manos a la obra1. En parejas, resuelvan los problemas que se plantean.

a) Andrea compró y puso en una bolsa 12 kg de jamón, 3

4 kg de queso y 14 kg de salchi-

chas, y en otra bolsa lleva 12 kg de cebollas, 12 kg de jitomates, 14 kg de chile de árbol, 12 kg de tomates y 1

4 kg de aguacates. ¿Cuál de las dos bolsas pesa más?

b) El tiempo que destinó un joven para visitar a su novia la semana pasada fue: el lunes 34 de hora, el martes 1 hora 15 minutos, el miércoles 1

4 de hora, el viernes 2 horas 12 ,

el sábado 4 horas y media, y finalmente el domingo, 2 horas 34 .

¿Cuál fue el tiempo total que dedicó el joven a visitar a su novia?

¿Cuál fue el tiempo total de visita el fin de semana?

¿Qué diferencia hubo entre el tiempo total de viernes, sábado y domingo respecto del

resto de la semana?

2. En equipos, comparen sus resultados de los problemas anteriores y describan una estrate-gia para identificar cuándo deben utilizar la adición y cuándo la sustracción.

AutoevaluaciónResponde lo siguiente.

• Indica la operación + o −, según corresponda en cada inciso.

24 2

8 = 68

13 1

9 = 29

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Secuencia 4

Sucesiones de números y figuras

31

Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras.

Sesión 13En esta sesión estudiarás la relación que existe entre varias figuras que se forman con un patrón, lo cual te permitirá conocer la formación de otras figuras que tengan las mismas características.

 ¿Qué sabes tú?Cuando al analizar una colección de figuras ordenadas es posible encontrar un patrón o una regla a partir de la cual se pueden generar cada uno de los elementos de dicha colección, se dice que conforman una sucesión.

Observa la siguiente sucesión y en tu cuaderno complétala hasta la figura 6.

Figura 1 Figura 2 Figura 3

Escribe con tus propias palabras una regla para encontrar cada figura de la sucesión.

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 Manos a la obra1. En parejas, analicen la siguiente sucesión de figuras y realicen lo que se indica en cada

inciso.

a) En su cuaderno, completen la sucesión dibujando hasta el término 10.

Término 1 Término 2 Término 3 Término 4

b) Completen la tabla con la información obtenida de la sucesión anterior y contesten las preguntas.

Número de término 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Número de puntos 1 3 5

¿Cuántos puntos debe tener el término 15?

¿Cuántos puntos tendrá el término 22?

¿Y cuántos el término 27?

¿Cómo determinaron el número de puntos en cada término?

c) Agreguen a su tabla una fila en la que puedan calcular la diferencia entre el número de puntos que tiene cada término.

Número de término 1 2 3

Número de puntos 1 3 5

Diferencia 3 − 1= 2 5 − 3 = 2

¿Cuántas puntos hay de diferencia entre cada término?

Escriban una regla que permita calcular la cantidad de puntos que tiene cada término.

d) Subrayen la regla que permite determinar el número de puntos que tendrá cada término de la sucesión.

• Losnúmerosimpares.

• Semultiplicapordoselnúmerodecadatérmino.

• Apartirdelsegundotérminoseagregadosalnúmerodepuntosdeltérminoanterior.

• Semultiplicapordoselnúmerodecadatérminoyselerestauno.

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33

2. A continuación se muestran algunos elementos de una sucesión.

a) Dibujen en su cuaderno los primeros diez términos de esta sucesión.

Término 5Término 2Término 1

b) Completen las siguientes tablas.

Número de término 1 2 3 4 5 8 10

Número de cerillos

Diferencia

Número de término 15 21 26 30

Número de cerillos

¿Cuántos cerillos hay de diferencia entre una figura y la siguiente?

c) Contesten las siguientes preguntas.

¿Cuál será el término con 51 cerillos?

¿Cuál será el término que tenga 63 cerillos?

¿Habrá algún término con 100 cerillos?

Explica tu respuesta.

Una sucesión de figuras es una colección de las mismas que está determinada por una regla de formación o de crecimiento, de tal manera que si se identifica la regla podemos generar los elementos de esa sucesión.

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Sesión 14En esta sesión estudiarás sucesiones con progresión aritmética.

 Manos a la obra1. Realiza lo siguiente.

a) Completa la sucesión

15, 27, , 51, 63, , 87, , 111, , , 147,…

Una sucesión numérica es una secuencia de números que siguen una regla. Se llama término a cada uno de los números que la componen.

b) Encuentra una regla para obtener cualquiera de los términos de la sucesión anterior.

c) Completa la siguiente tabla.

Término 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Número de la sucesión 15 27 51 63 87 111

Diferencia 27 − 15 =

d) Encuentra una regla para obtener cualquier término de la sucesión anterior y completa la tabla siguiente, que es su continuación.

Término 21 22 23 24 25 30 40 50

Número de la sucesión 375 519

e) De las siguientes reglas, ¿cuáles son equivalentes a la que encontraste para obtener los términos de la sucesión?

• Sumar 12 al término anterior.

• Calcular algunos múltiplos del 12.

• Multiplicar por 12 el término y sumar 15.

• Multiplicar por 12 el término y sumar 3.

Compara las respuestas que obtuviste con las de tus compañeros.

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2. Relaciona ambas columnas escribiendo dentro del paréntesis la letra que contenga la regla de formación correspondiente a cada sucesión.

Términos de la sucesión Reglas de formación de la sucesión

( ) 7, 11, 15, 19, 23,…

( ) 8, 13, 18, 23, 28, 33,…

( ) 2, 6, 10, 14, 18, 22,…

( ) 3, 8, 13, 18, 23, 28,…

( ) 7, 16, 25, 34, 43, 52,…

( ) 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 45,…

a) Sumar 4 al término anterior

b) Multiplicar el término por 5 y quitarle 2

c) A cuatro veces el término agregarle 3

d) Multiplicar el término por 5 e incrementarle 3

e) Multiplicar el término por 5 y sumar 4

f) Nueve veces el término y 2 unidades menos

Compara tus respuestas con las de tus compañeros.

3. Escribe un ejemplo de una sucesión numérica que sea progresión aritmética.

4. Crea una sucesión cuya regla de formación no genere una progresión aritmética.

5. Intercambia con un compañero las sucesiones que crearon en los incisos 3 y 4 y pídele que identifique cuál es la progresión aritmética. En caso de que su respuesta no sea correcta, explícale la regla de formación de tu progresión aritmética. Si no logran un acuerdo, consul-ten con su profesor.

Una sucesión numérica es una progresión aritmética si para obtener cada uno de sus términos se suma una cantidad constante, llamada diferencia, al término anterior.

Las reglas que permiten obtener los términos de una sucesión se pueden dar a partir del lugar que ocupa un término y la diferencia (es decir, la cantidad constante) que hay entre dos términos consecutivos.

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Sesión 15En esta sesión estudiarás cómo se forman las sucesiones de figuras con progresión geométrica.

 Manos a la obra

1. En equipos, analicen la siguiente sucesión.

a) Dibujen las dos figuras siguientes.

b) Respondan las siguientes preguntas.

¿Cuántos y de qué color serán los triángulos que forman la séptima figura?

¿Cuántos triángulos tendrá la octava figura?

¿De qué color serán los triángulos que forman la décima figura?

c) Completen la tabla.

Figura Número de triángulos Diferencia

1 2

2 4 4 – 2 = 2

3 8 8 – 4 = 4

4 16

5

6

¿Es constante la diferencia entre los triángulos que forman cada figura?

¿Encuentran alguna relación entre el número de triángulos de cada figura nueva respec-

to de la que le precede?

¿Cómo obtuvieron los triángulos que conforman la quinta y la sexta figura?

¿Cómo obtendrían el número de triángulos de cualquier figura de esta sucesión?

d) Andrea afirma que la regla es: El número de triángulos de cada figura se genera duplican-do el total de triángulos de la figura anterior. Expliquen si es o no correcta su afirmación.

Figura 4Figura 3Figura 2Figura 1

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2. Analiza la siguiente sucesión y completa la tabla.

Figura 2Figura 1 Figura 3

Figura 1 2 3 4 5 6

Cantidad de triángulos

Azules 1 4 16 36

Naranjas

Total 108 324

¿Cómo estableciste la cantidad de triángulos de la cuarta figura?

¿Cómo determinaste el número de triángulos azules de cada figura?

¿Y de los triángulos naranjas?

¿Y el total de triángulos de cada término?

¿Cuál es la regla que determina la cantidad total de triángulos de cada figura (o término) de

esta sucesión?

3. Lee las siguientes afirmaciones con respecto a la regla de formación anterior.

• Raúl afirma que para obtener el número total de cada término se debe triplicar la canti-dad de triángulos del término anterior.

• Guadalupe dice que se obtiene multiplicando por 3 la cantidad de triángulos del término que le antecede.

• Ángel, por el contrario, dice que se suman 8 triángulos al término que le antecede.

De estas tres afirmaciones, ¿cuál es correcta?

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Sesión 16En esta sesión estudiarás sucesiones numéricas con progresión geométrica.

 Manos a la obra

Contesta lo que se te pide.

1. Con la siguiente regla dibuja las estrellas para cada uno de los términos que se marcan en la sucesión.

El quíntuple del anterior.

Término 1 Término 2 Término 3

Completa la tabla.

Término 1 2 3 4 6 9

Cantidad de estrellas 3 ¿Es constante la diferencia de la cantidad de estrellas entre los términos consecutivos de

esta sucesión?

2. Completa los términos que hacen falta en cada sucesión.

a) 2, 6, , 54, , ,…

¿Cuál es la regla para esta sucesión?

b) 2, 12, , 432, , ,…

Explica por qué la regla de esta sucesión es: El séxtuple del término anterior.

c) 3, , 48, 192, , ,…

Escribe la regla para esta sucesión

d) Encuentra el cociente entre cada par de términos consecutivos de la última sucesión.

3 = 48 =

19248 = 192 =

¿Cómo son los cocientes de dos términos consecutivos?

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AutoevaluaciónResponde lo siguiente.

1. Si se conocen dos términos consecutivos de una progresión aritmética, ¿cómo se obtiene la

regla de toda la sucesión?

2. Si se conocen dos términos consecutivos de una progresión geométrica, ¿cómo se obtiene la

regla para generar la sucesión?

3. Indica con una A si la sucesión es una progresión aritmética, con una G si es una progresión geométrica, y con una X si no es ninguna de las dos.

5, 10, 15, 20, 25,… 15, 18, 17, 20, 19, 22

4, 6, 9, 13.5, 20.25 0, 3, 6, 9, 12,…

3. En parejas, organicen las piezas para crear dos sucesiones cuyas reglas son:

a) Cuatro veces el término anterior.

b) El triple del término anterior.

Las piezas son las siguientes:

20

80

270

90 12805

320 1030

810

Sucesión A: , , , , .

Sucesión B: , , , , .

¿Cuál es la razón de la sucesión A?

¿Y de la B?

4. En parejas, escriban la regla para generar una sucesión con progresión geométrica e inter-cámbienla con la de otra pareja. Obtengan los primeros cinco términos de la sucesión y revisen que sea correcta la construcción de los mismos.

Una sucesión numérica se denomina progresión geométrica cuando cada término se obtiene multipli-cando al anterior por una constante llamada razón.

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Secuencia 5

Literales en fórmulas geométricas

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Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar a las literales como números generales con los que es posible operar.

Sesión 17En esta sesión representarás números por medio de literales,

con las que realizarás operaciones.

 ¿Qué sabes tú?

4 cm

Figura 1

4 cm

4 cm 4 cm

3 cm

Figura 2

3 cm3 cm

2.5 cm

Figura 3

2.5 cm2.5 cm

2.5 cm 2.5 cm

¿Cuánto mide el perímetro de la figura 1?

¿Y el de la figura 2?

¿Y el de la 3?

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 Manos a la obra1. En parejas, calculen el perímetro de los siguientes triángulos equiláteros.

3 cm

Figura 1

3 cm3 cm

4 cm

Figura 2

a

Figura 3

¿Cuánto mide el perímetro de la figura 1?

¿Y el de la figura 2?

¿Y el de la figura 3?

Expliquen cómo calcularon el perímetro de las figuras, en particular el de las figuras 2 y 3, en las que solamente se conoce la medida de uno de sus lados.

Un triángulo equilátero mide b por lado, ¿cuál de las siguientes expresiones pueden utilizar para calcular su perímetro? Subrayen sus respuestas.

b + b + b b + 3 3b b 3

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2. Completen la tabla.

3 cm3 cm

3 cm

Figura 1

5 cm

Figura 2 Figura 3

Figura geométrica Longitud de sus lados Perímetro

Figura 1

Figura 2

Figura 3

¿Cómo representaron la longitud de los lados de la figura 3?

¿Cómo calcularon el perímetro de la figura 3?

Comparen sus respuestas con las de otras parejas.

3. Usa literales para expresar el perímetro de las siguientes figuras.

Perímetro Perímetro Perímetro

3 cm3 cm

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Sesión 18En esta sesión trabajarás con figuras geométricas que se parecen en su forma y en sus propiedades, así como en la manera en que se calcula su perímetro.

 Manos a la obra1. En parejas, contesten las preguntas.

A algunos estudiantes les pidieron utilizar literales para indicar las longitudes de un rectán-gulo. Observen sus respuestas.

b

Figura 2

a

b

a

a

Figura 1

aa

a

Figura 3

ca

a

Figura 4

b

b

a

a) ¿En cuál de los rectángulos expresaron correctamente la longitud de los lados?

b) Expliquen por qué es o no correcta la forma en que se señalaron las longitudes en los rectángulos anteriores.

c) ¿Cuántos pares de lados de la misma longitud tiene el rectángulo?

d) ¿Cómo se calcula el perímetro de un rectángulo?

e) Para calcular el perímetro de un rectángulo se puede emplear alguna de las siguientes expresiones algebraicas:

a + b + a + b 2a + 2b 2(a + b)

¿Por qué son correctas estas expresiones algebraicas?

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2. En parejas, empleen cualquier literal para expresar la longitud de los lados de los siguientes romboides.

Usen las letras que anotaron y escriban una expresión algebraica para calcular el perímetro de cada romboide.

¿Es posible calcular el perímetro del romboide con la misma expresión algebraica que em-

plearon para el rectángulo? ¿Por qué?

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Sesión 19En esta sesión trabajarás con las fórmulas para calcular el perímetro de triángulos y trapecios isósceles.

 Manos a la obra1. En parejas, asignen una letra a la longitud de los lados de las figuras siguientes, tomen en

cuenta que son triángulos isósceles. Completen la tabla.

Figura 1 Figura 2 Figura 3

Figura Longitud de los dos lados iguales Longitud del tercer lado Perímetro

1

2

3

Una expresión algebraica que permite obtener el perímetro de un triángulo isósceles es:

¿Es la única? , ¿por qué?

Un triángulo escaleno tiene todos sus lados de diferente longitud, ¿cómo se puede expresar

su perímetro?

2. Observa el siguiente trapecio isósceles.

B (base mayor)

b (base menor)

ll

¿Cómo se puede expresar su perímetro?

En una figura geométrica señalamos con la misma lite-ral los lados que tienen igual longitud, y si éstos tuvie-ran longitudes diferentes se emplearían más literales. Por ejemplo, en un rectángulo, el perímetro se puede expresar como:

P = a + a + b + b, o bien P = 2a + 2b o P = 2(a + b)

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Para calcular el perímetro de un polígono regular se debe conocer el número de lados que lo forman y multiplicarlo por su longitud.

Sesión 20En esta sesión trabajarás con las fórmulas de los perímetros de polígonos regulares.

 Manos a la obra1. En grupo, contesten las preguntas que se plantean.

¿Qué figuras regulares conocen?

¿Cómo se calcula el perímetro de una figura geométrica que tiene todos sus lados iguales?

Escriban una expresión algebraica que les permita calcular el perímetro de una figura

regular.

¿Cómo se calcularía el perímetro de un polígono regular de 38 lados?

2. Completa la tabla.

Nombre de la figura Longitud de sus lados

Número de lados Perímetro

Pentágono regular a

Hexágono regular b

Octágono regular m

Decágono regular h

Heptadecágono x 17

Triacontágono s 30

Observa que en la tabla anterior la letra m representa una literal, sin embargo, la misma letra también es el símbolo de “metro”. Por ejemplo:

5m = m + m + m + m + m,

mientras que 5 m representa 5 metros.

Lo mismo ocurre con otras letras que también son utilizadas como sím-bolos de unidad de medida, tales como s (segundo), h (hora), etcétera.

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Sesión 21En esta sesión trabajarás con las fórmulas para calcular el área de distintas figuras.

Manos a la obra1. Lee la siguiente información y contesta.

Un ejemplo de unidad de superficie es un centímetro cuadrado, que es de este tamaño:

y se abrevia cm2.

Observa los siguientes rectángulos y mide su área.

6 cm

Rectángulo A

5 cm

1 cm

Rectángulo B

3 cm

s

Rectángulo C

t

El área del rectángulo B es:

Del rectángulo A es:

Del rectángulo C es:

2. Si e es el largo de un rectángulo y f el ancho, subraya de las siguientes expresiones alge-braicas cuáles son equivalentes y permiten calcular el área del rectángulo con resultados iguales.

A = e × f = e f A = 2(e + f) A = (2 e) (2 f)

A = 2 e + 2 f A = f e

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3. Subraya la fórmula que te permita calcular el área del siguiente cuadrado.

x

x

x

x

Expresiones algebraicas.

4 x x + x ( x )( x )( x )( x ) x + x + x + x ( x )( x ) 4 + x x 2

4. En parejas, observen las siguientes figuras y contesten.

b

a

b

a

a

¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un cuadrado?

¿Y la del rectángulo?

¿Cómo determinan el área de la parte naranja del cuadrado?

¿Y la parte naranja de los rectángulos?

¿Qué fracción representa el área naranja con respecto a toda la figura?

a

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Sólo una de las siguientes expresiones no determina el área del triángulo azul, ¿cuál es? Márquenla.

A = 12 (a × b) A = a

2 × b2 A = a

2 × b A = a × b2

De manera grupal expliquen por qué la fórmula que comunmente usamos para calcular el

área de un triángulo es: A = b h2 , donde b es la base y h es la altura.

b

h

AutoevaluaciónResponde lo siguiente.

• ¿Qué representan las letras o literales en una expresión algebraica?

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Secuencia 6

Trazo de triángulos y cuadriláteros

Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría.

Sesión 22En esta sesión aprenderás a trazar cuadriláteros y triángulos a partir de líneas paralelas, utilizando escuadras.

 ¿Qué sabes tú?¿Cómo puedes trazar líneas paralelas y perpendiculares con tu juego de geometría? Realiza tus trazos en hojas blancas.

Observa la imagen de la derecha. Sobre una hoja blanca coloca de la misma manera tu regla y tu escuadra y traza líneas paralelas y perpendiculares. Mueve la escuadra como lo indican las flechas.

Ahora observa las siguientes imágenes para trazar las lí-neas perpendiculares y paralelas que se obtienen al mover la escuadra.

Compara tus trazos con los de tus compañeros.

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 Manos a la obra1. Realiza las siguientes construcciones y responde las preguntas.

Usa las escuadras y el compás para trazar en una hoja blanca dos líneas rectas paralelas de 20 cm cada una. Las líneas deben tener una distancia de 5 cm entre ellas.

Traza las siguientes figuras geométricas, considerando que dos de sus lados deben estar sobre las líneas paralelas que ya trazaste.

• Un cuadrado.

• Un rectángulo, uno de sus lados mide 3 cm.

• Un romboide cuya base mide 7 cm.

• Un romboide, dos de sus lados miden 4 cm y uno de sus ángulos mide 60º.

Contesta en tu cuaderno las siguientes preguntas.

a) ¿Cuánto mide cada lado del cuadrado?

b) ¿Cuánto miden los otros lados del rectángulo?

c) ¿Cuánto mide la altura de cada romboide?

Compara tus respuestas con las de tus compañeros.

2. Formen parejas y, en una hoja blanca, tracen un par de líneas paralelas para construir sobre ellas los trapecios que se enlistan a continuación.

• Trapecio recto.

• Trapecio isósceles.

• Trapecio escaleno.

Cada uno de los trapecios debe cumplir con las siguientes condiciones: la base mayor mide 8 cm; la base menor, 6 cm, y la altura, 4 cm.

¿A qué distancia deben trazarse las líneas paralelas?

¿Qué tienen en común los tres trapecios que trazaste, el perímetro o el área?

¿Por qué?

3. En una hoja blanca, y a partir de dos líneas paralelas, traza tres triángulos diferentes cuya base mida 6 cm y su altura mida 5 cm.

¿Cuánto mide el área de cada triángulo?

4. En grupo, construyan un romboide, un trapecio y un triángulo cuyas áreas sean iguales.

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Sesión 23En esta sesión construirás triángulos utilizando el juego de geometría.

 Manos a la obra1. Lee con atención las siguientes instrucciones y en una hoja blanca construye lo que se indica.

• Con tu regla traza una línea recta y marca en ella dos puntos; de esta manera has tra-zado un segmento. Los puntos son sus extremos.

• Ahora utiliza tu compás, su apertura debe ser mayor a la longitud del segmento que marcaste.

• Coloca la punta de metal del compás en uno de los puntos extremos del segmento y traza un círculo.

• Sin cambiar la apertura del compás y colocando la punta metálica en el otro extremo, traza otro círculo.

De las construcciones de la izquierda, marca con una palomita ( ) la que se parece a la que tú trazaste.

¿En cuál de las construcciones anteriores obtienes un triángulo equilátero al unir los extre-mos del segmento con uno de los puntos de intersección de las circunferencias?

¿Qué tipo de triángulo se obtiene con las instrucciones que seguiste?

2. Reúnete con un compañero y en sus cuadernos escriban las instrucciones para obtener un triángulo equilátero.

Lean sus instrucciones a otra pareja para verificar que sí se obtiene ese triángulo. Es impor-tante que solamente digan en voz alta lo que ustedes escribieron.

Hagan las correcciones necesarias para que sus instrucciones sean claras, de modo que cualquiera pueda construir un triángulo equilátero al seguirlas.

3. Identifiquen en cuál de las cuatro construcciones anteriores se obtiene un triángulo isósce-les. Trácenlo.

Comparen sus construcciones y sus respuestas con las de otras parejas.

4. En grupo, comenten qué cambios deben hacer al seguir las instrucciones para construir un triángulo equilátero que mida 3 cm por lado.

5. Con regla y compás, traza en tu cuaderno un triángulo escaleno cuyos lados midan 3 cm, 4 cm y 2 cm.

a) Al trazar la primera línea, ¿cuál es la apertura del compás con respecto a la distancia que hay entre los dos puntos que se marcan en ella?

Compara tu construcción con la de otros compañeros.

Construcción 1

Construcción 2

Construcción 3

Construcción 4

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Sesión 24En esta sesión seguirás construyendo triángulos y cuadriláteros utilizando el juego de geometría.

 Manos a la obra1. Considera las cuatro construcciones que aparecen en

la sesión anterior e identifica aquellas dos en las que al unir los puntos extremos del segmento con los dos puntos de intersección de las circunferencias se traza un rombo. ¿Cuáles son esas construcciones? Subraya tu respuesta.

• Construcción 1

• Construcción 2

• Construcción 3

• Construcción 4

2. Traza los rombos y marca en cada uno la diagonal me-nor y la diagonal mayor.

¿Qué tipo de ángulo se forma en el punto donde se

cortan?

3. En tu cuaderno escribe las instrucciones para cons-truir un rombo.

Intercámbialas con algún compañero y comprueba si al seguir tus instrucciones logra construir esa figura. Si es necesario hacer correcciones, anótalas y com-prueba nuevamente el procedimiento, pero ahora con la ayuda de otro compañero.

4. Observa los pasos de la columna de la derecha para trazar un triángulo cuyos lados miden 5 cm, 3.5 cm y 4.5 cm. Síguelos y traza en tu cuaderno ese triángulo.

5. En tu cuaderno traza un triángulo con un lado de 6 cm y otro de 5 cm.

Compara el triángulo que construiste con los de tus compañeros y contesten las siguientes preguntas.

¿Por qué los triángulos no son todos iguales?

¿Qué dato hay que determinar para que todos los triángulos sean iguales?

Paso 3. Abrir el compás a 4.5 cm y apoyarlo en el otro extremo del segmento, trazar otro arco que corte al primero.

Paso 2. Abrir el compás a 3.5 cm y colocarlo en un extremo del segmento, trazar un arco.

Paso 1. Trazar un segmento de 5 cm.

Paso 4. Unir cada extremo del segmento con el punto de corte de los arcos para obtener el triángulo.

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Sesión 25En esta sesión trazarás cuadriláteros que cumplan con ciertas condiciones.

 Manos a la obra 1. Utiliza tu juego de geometría para completar los trazos y construir las figuras que se piden

en cada inciso.

a) Traza un rectángulo a partir del siguiente segmento. b) Traza un cuadrado.

c) El segmento siguiente es la base de un rectángulo. d) El segmento siguiente es una diagonal de un cuadrado.

2. En equipos, comparen los cuadrados y rectángulos que trazaron. Contesten las siguientes preguntas.

¿Cuáles de las figuras trazadas son iguales? ¿Por qué?

En el caso del rectángulo a), ¿qué datos habría que definir para que todos los rectángulos

que construyeron fueran iguales?

¿Y en el caso del rectángulo c)?

3. Utilicen el juego de geometría para trazar de manera individual lo que se indica a continuación.

a) Un rombo con una diagonal de 3 cm y la otra de 7 cm.

b) Un romboide de base 7 cm y altura de 4.5 cm.

Comparen sus trazos con los de sus compañeros, ¿todas las figuras fueron iguales?

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Sesión 26En esta sesión trazarás triángulos y cuadriláteros a partir de ciertas condiciones.

 Manos a la obra1. En equipos, contesten en sus cuadernos las preguntas

siguientes.

a) ¿Se puede trazar un trapecio con 10 cm de base mayor y 5 cm de base menor?

Si se puede trazar, ¿cuántas soluciones tiene?

Si se puede trazar más de una figura, ¿qué otro dato o datos se tienen que definir para que sea única la solución?

b) ¿Se puede trazar un romboide con base de 7 cm?

Si se puede trazar, ¿cuántas soluciones tiene?

Si se puede trazar más de una figura, ¿qué otro dato o datos se tienen que especificar para que sea única la solución?

c) ¿Se puede trazar un triángulo con lados de 3 cm, 2 cm y 4 cm, y un ángulo de 90º?

Si se puede trazar, ¿cuántas soluciones tiene?

Si se puede trazar más de una figura, ¿qué otro dato o datos se tienen que dar para que sea única la solución?

d) ¿Se puede trazar un rombo con una diagonal de 5 cm?

Si se puede trazar, ¿cuántas soluciones tiene?

Si se puede trazar más de una figura, ¿qué otro dato o datos se tienen que dar para que sea única la solución?

e) ¿Se puede trazar un cuadrado que tenga diagona-les de 4 cm?

Si se puede trazar, ¿cuántas soluciones tiene?

Si se puede trazar más de una figura, ¿qué otro dato o datos se tienen que dar para que sea única la solución?

2. En seguida, verifiquen sus respuestas trazando las fi-guras en su cuaderno.

3. En grupo, y con ayuda de su profesor, comparen sus respuestas. Si se requiere, hagan las correcciones ne-cesarias.

AutoevaluaciónResponde lo siguiente.

1. Utiliza tu regla y tus escuadras para trazar en tu cuaderno un cuadrado que tenga 3 cm por lado y un rectángulo que mida 7 cm de largo y 4 cm de altura.

2. ¿Cuántos rombos diferentes pueden construirse si se da la medida de sus lados?

Consulta en…

Entra al sitio: http://www.rena.edu.ve/TerceraEtapa/dibujoTecnico/trazadodetriangulos.html, donde encontrarás animaciones que muestran paso a paso procedimientos interesantes para que, dadas ciertas condiciones, construyas triángulos o cuadriláteros empleando solamente regla y compás.

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Secuencia 7

Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.

Sesión 27En esta sesión aprenderás a trazar las alturas de cualquier tipo de triángulo,

y sus propiedades.

 ¿Qué sabes tú?Relaciona las imágenes con el nombre de la recta correspondiente.

( ) Altura

( ) Mediana

( ) Mediatriz1 2 3

A

B

C

 Manos a la obra1. En equipos, observen que en el siguiente

triángulo se marcaron con rojo las alturas. Contesten las preguntas en su cuaderno.

¿De dónde a dónde van los segmentos que indican las alturas del triángulo?

Alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en los triángulos

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a) ¿Qué tipo de ángulo se forma entre el segmento AB y su altura?

b) ¿Y entre el segmento BC y su altura?

c) Sin medirlo, ¿qué tipo de ángulo crees que se formará entre el segmento AC y su altura? Utiliza tu juego de geometría para comprobarlo.

d) ¿Cómo pueden trazar una altura en un triángulo empleando las escuadras?

e) ¿A qué se le llama altura en un triángulo?

f) Comparen sus respuestas con las de otros equipos y elijan la técnica más práctica para encontrar las alturas en diferentes triángulos.

2. Encuentra el punto en que se unen las alturas en los siguientes triángulos.

La altura en un triángulo es el segmento de recta que va desde el vértice de un ángulo hasta el lado opuesto, formando un ángulo de 90º con el mismo. Las escuadras son un buen recurso para trazar la altura: se coloca la escuadra de 60° sobre el segmento al que se le va a trazar la altura, se desliza la otra escuadra, usando su ángulo de 90°, hasta encontrar el vértice opuesto a dicho segmento y se traza la altura.

altu

ra

Paso 1. Paso 2. Paso 3.Dado un triángulo, sus alturas siempre se intersecan en un único punto, llamado ortocentro.

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A B

CA B

C

A B

C

La mediana es el segmento que une un vértice de un triángulo con el punto medio del lado opuesto.

Las medianas se intersecan siempre en un único punto llamado baricentro.

Sesión 28En esta sesión conocerás otra recta notable de los triángulos: la mediana.

 Manos a la obra1. En equipos, analicen el segmento azul trazado en el triángulo ABC. A este segmento se le

denomina mediana.

a) ¿Cuánto mide la distancia de A a D?

b) ¿Cuánto mide la distancia de D a B?

c) ¿Desde dónde hasta dónde va la mediana que lle-

ga al segmento AB?

d) Comparen sus respuestas con las de otros equipos y contesten.

e) ¿Cuáles son las características de una mediana?

f) ¿Cuáles son los pasos a seguir para trazar una me-diana en un triángulo?

g) Tracen las medianas sobre los segmentos BC y CA de tal forma que tengan las mismas propiedades que el trazo de color azul.

h) ¿Las medianas tienen algún punto de intersección?

2. Traza las medianas en los siguientes triángulos y observa dónde se intersecan.

D

A

C

B

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Sesión 29En esta sesión te presentamos otra recta notable de los triángulos, llamada

mediatriz, y sus propiedades.

 Manos a la obra1. En equipos, observen la secuencia de trazo de la mediatriz en un segmento y coloquen en

el recuadro una instrucción que describa claramente lo que se hace en cada paso.

A

P

BA B A B

El segmento trazado en color rojo se llama mediatriz.

Respondan las siguientes preguntas.

a) ¿Cómo son los segmentos AP y PB?

b) ¿Qué ángulo forman la mediatriz y el segmento AB?

c) ¿De qué otra forma se podrá trazar la mediatriz de un segmento?

d) Comparen sus respuestas con las de otros equipos y describan el procedimiento para trazar una mediatriz sin usar el compás.

e) Explica brevemente qué es una mediatriz

2. Ahora dibuja en tu cuaderno tres triángu-los de diferentes formas y tamaños y traza las mediatrices de los lados de cada uno de ellos.

Llamen O al punto en el que se cortan las mediatrices.

En un triángulo, la mediatriz es la recta perpendicular a uno de sus lados que pasa por su punto medio.

El punto en el que siempre se intersecan las tres mediatrices de un triángulo se llama circuncentro.

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Sesión 30En esta sesión trazarás las bisectrices de un triángulo.

 Manos a la obraFormen equipos de tres personas y desarrollen las actividades que se indican.

1. Tracen las diagonales en la siguiente figura.

A

BD

C

¿Cómo quedaron divididos los ángulos por las diago-

nales que trazaron?

Observen ahora la siguiente figura.

BD

C

Midan los ángulos en los que quedó dividido el án - gulo C.

¿Qué hace la recta roja al ángulo C?

Dividan los ángulos D y B de la misma forma en que está dividido el ángulo C.

Las rectas que trazaron se llaman bisectrices.

2. Observen detenidamente los pasos a seguir para trazar la bisectriz de un ángulo y escriban en cada recuadro una instrucción clara para realizar dicho trazo.

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3. Dibuja en tu cuaderno un triángulo equilátero de 5 cm, un triángulo escaleno de 3 cm, 5 cm y 7 cm respectivamente, y un triángulo isósceles cuyos lados iguales midan 5 cm y el lado diferente, 3 cm. Traza las bisectrices de los ángulos interiores de cada triángulo con el método anterior.

Resalta en color rojo el punto de intersección de las bisectrices de cada uno de los triángulos. ¿Todas las bisectrices tienen un mismo

punto en común?

Ahora traza un triángulo cualquiera y sus bisectrices. Observa qué sucede con el punto que tienen en común las bisectrices.

Comenta tus observaciones con tus compañeros.

La bisectriz es la recta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.

En un triángulo las bisectrices siempre se intersecan en un solo punto, llamado incentro.

AutoevaluaciónResponde en tu cuaderno lo siguiente.

• ¿Cómo se puede diferenciar la altura de la mediana en cualquier triángulo?

• ¿En qué tipo de triángulo coinciden las alturas, las medianas, las mediatrices y las bisectrices?

Consulta en…

Para conocer más sobre este tema busca en las bibliotecas escolares y de aula el libro: Carlos Bosch y Claudia Gómez, “Construcciones básicas” y “Paralelas con doblado de papel”, en Una ventana a las formas, México, sep-Santillana, 2003 (Libros del Rincón).

Un dato interesante…

La recta de Euler

En un triángulo, el ortocentro, el circuncentro y el baricentro se encuentran en una misma recta (son colineales), a la que se denomina recta de Euler. Se llama así en honor del matemático suizo Leonhard Euler, quien descubrió este hecho a mediados del siglo XVIII.

alturas H: ortocentro

medianas G: baricentro

mediatrices O: circuncentro

H

GO

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Secuencia 8Reparto proporcional

Resolución de problemas de reparto proporcional.

Sesión 31En esta sesión aprenderás a repartir basándote en ciertos criterios o en determinados factores.

 ¿Qué sabes tú?1. En parejas, resuelvan los siguientes problemas.

a) Don Ernesto tiene un terreno de 94.5 hectáreas, él quiere repartirlo por partes iguales a sus hijos: Salvador, Martín, Héctor, Ricardo y Jesús, y a sus hijas: Rosa, Juana, Guada-

lupe y Carmen. ¿Qué cantidad de terreno le corresponde cada uno?

b) Tres amigos ganaron un premio de lotería de $100 000.00 con un boleto que costó $40.00. Para comprar el boleto Raúl aportó $8.00, Andrés colaboró con 4 pesos más que Raúl, y Braulio pagó el resto. Si reparten el premio de acuerdo con lo que aportaron,

¿a quién le corresponde la mayor cantidad del premio y a quién la menor?

¿Por qué?

¿Cómo resolvieron el primer problema?

¿Y el segundo? Ver

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 Manos a la obra1. En parejas, de acuerdo con el problema del premio, contesten.

¿Qué cantidad de dinero le corresponde a Andrés?

¿Y cuánto a Braulio?

¿Y a Raúl?

Registren en su cuaderno las operaciones que realizaron para obtener sus respuestas.

Comparen sus procedimientos con los de otras parejas, verifiquen que las cantidades ob-tenidas sean las mismas.

Si hay algún procedimiento diferente al suyo, explíquenlo.

2. Lee el siguiente problema y resuélvelo.

De los 24 metros de listón que trae un carrete, María ocupó 8 metros para hacer una tarea escolar, Ramiro empleó 11 metros, y Javier, el resto. El carrete les costó $60.00. Si se re-parten el costo del carrete de acuerdo con la cantidad de listón que cada quien utilizó,

¿quién de ellos deberá aportar $20.00? ¿Por qué?

¿Con cuánto dinero deberá contribuir Javier?

Verifica tu respuesta con un procedimiento diferente al que empleaste.

Reflexionen sobre cuáles son las diferencias que hay entre un reparto proporcional y un reparto equitativo.

De manera grupal escriban en su cuaderno las características que tiene un problema de reparto proporcional.

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Sesión 32En esta sesión continuarás con la solución de problemas de reparto proporcional, sólo que ahora utilizarás tus conocimientos sobre fracciones.

 Manos a la obra

Albañil Cantidad de m2 construidos

Fracción que representan del

total de m2

Cantidad de dinero que le corresponde

Alberto

Flavio

Gonzalo

Total

1. En parejas, resuelvan el siguiente problema.

a) Tres albañiles levantaron una barda de 30 m2. Al-berto levantó 10 m2, Flavio 5 m2 y Gonzalo 15 m2. Por esta construcción les pagaron $2 100.00, y se repartieron el dinero de acuerdo con el número de metros cuadrados que cada quien levantó. Comple-ten la tabla.

¿Cómo obtuvieron la cantidad de dinero que le co-

rresponde a cada uno?

2. De acuerdo con el problema del premio de lotería de la sesión anterior, contesten las siguientes preguntas.

¿Quién de los tres contribuyó con la mitad del costo

del boleto?

¿Qué fracción del total del boleto aportó Raúl?

¿Qué cantidad del premio le habría tocado a Braulio si hubiera colaborado con la cuarta parte del costo del

boleto?

Comparen sus respuestas con las de otras parejas y en su cuaderno empleen fracciones para comprobar las cantidades que corresponden a cada uno de los tres amigos.

Expliquen si obtuvieron o no los mismos resultados que en la sesión anterior.

3. En equipos, resuelvan los siguientes problemas.

a) Para completar un pedido que deben exportar, cin-co artesanos de una comunidad juntaron los suéte-res de lana que tejen. Hortensia fabricó 24 prendas; Alonso, 40; Tomás, 30; Guadalupe, 16, y Blanca 10 piezas. Por este pedido les pagaron $22 200.00, que repartieron proporcionalmente de acuerdo con la cantidad de prendas que cada uno confeccionó.

¿Qué cantidad de dinero le corresponde a cada

uno de los artesanos?

b) Entre Angélica, Mónica y Francisco sacaron 400 co-pias fotostáticas de una invitación. El costo total lo pagaron en proporción a las invitaciones que cada uno quiere repartir. Angélica pagó $22.00 por la

cuarta parte de las copias; Mónica, 35 partes, y lo

demás lo aportó Francisco.

¿Cuánto pagó Francisco?

¿Cuánto se pagó en total por todas las copias?

¿Cómo obtuvieron la respuesta de la pregunta an-

terior?

Comparen sus respuestas con las de otros compañeros y verifiquen que sean correctas. Reflexionen sobre el empleo de fracciones en los problemas de reparto proporcional. Ex-pliquen en qué situaciones de reparto proporcional es conveniente emplear fracciones.

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Sesión 33En esta sesión resolverás problemas de reparto proporcional considerando el valor unitario.

 Manos a la obra1. Lean la siguiente información y contesten.

¿Recuerdan que en el problema del boleto de lotería Raúl aportó $8.00 para comprar el boleto, Andrés, cuatro pesos más que Raúl, y el resto lo pagó Braulio?

¿Cuánto aportó cada uno de ellos?

Si se repartieron los $100 000.00 de acuerdo con lo que pusieron, ¿cuánto le habría toca-do a Raúl si únicamente hubiera aportado un peso de los $40.00 que costó el boleto?

¿Qué importancia crees que tiene saber la cantidad del premio que corresponde por cada

peso invertido?

2. En parejas, resuelvan los siguientes problemas.

a) Cuatro campesinos rentaron un camión por la can-tidad de $4 200.00 para llevar al mercado las 2.5 toneladas de aguacate que recolectaron y que transportan en 120 cajas de madera. Observa el registro que realizaron y completa la tabla.

¿A quién de ellos le conviene más que se reparta el pago del camión de acuerdo con la cantidad de

cajas?

¿Cuál reparto le conviene más a Efrén?

¿Emplearon fracciones para resolver este problema? ¿Por qué?

¿Cuánto se pagó por cada caja que se transportó?

¿Y cuánto por kilogramo de aguacate transportado?

b) Yolanda pagó $2 280.00 por los 60 m2 de barda que pintaron entre Ernesto, Lorena y José. El prime-ro pintó 28 m2, Lorena, 19 m2, y José el resto. De acuerdo con el trabajo que cada uno realizó, ¿cuán-to se le debió pagar? Para responder, completa la siguiente tabla y en la última fila escribe la canti-dad de metros cuadrados que pintó José.

Comparen sus respuestas con las de otras parejas y comprueben con algún otro procedi-miento sus resultados.

Nombre Cantidad de cajas

Peso (kilogramos)

Cantidad de dinero a pagar por el flete, de

acuerdo con:

Cajas Peso

Irma 30 605

Lorena 45 945

Armando 20 450

Efrén 25 500

Total 120 2 500

Metros cuadrados pintados Cantidad de dinero a pagar

60

1

28

19

El valor unitario se refiere a la cantidad que le corresponde a una pieza, objeto o unidad.

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Sesión 34En esta sesión aplicarás tus conocimientos sobre las diferentes formas aprendidas del reparto proporcional y resolverás diversos problemas que lo involucran.

 Manos a la obra1. Resuelve los problemas siguientes.

a) A Marina le pagaron $300.00 por podar la quinta parte de los 60 m2 de césped de un jardín. ¿Cuánto le pagaron a Anselmo si podó únicamente una cuarta parte de todo el

césped?

b) Cuatro amigos fueron al cine. Para pagar el total del costo de los boletos, Noemí aportó $80.00, Abraham, $50.00 y Jesús dio $70.00. Adriana dijo que a la salida los recom-pensaría. En agradecimiento por haber pagado su entrada, Adriana les obsequió $500.00 para los tres, con la condición de que se repartieran conforme a lo que cada uno de ellos aportó para su boleto.

¿Qué cantidad de dinero de los $500.00 le corresponde a cada uno?

c) El dueño de una fábrica de calzado quiere repartir un bono de $15 000.00 entre los cuatro vendedores que tiene. Para ello cuenta con la información de las siguientes grá-ficas, que corresponden a las ventas del tercer bimestre; además se sabe que en junio se vendieron 140 unidades.

35

30

25

20

15

10

5

0 Andrés Ana Lizbeth José

Ventas de mayo

Uni

dade

s ve

ndid

as

Andrés50%

Ana28%

Lizbeth10%

José12%

Ventas de junio

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AutoevaluaciónResponde lo siguiente.

• ¿Cómo se calcula el valor unitario?

• ¿Qué diferencia hay entre el reparto proporcional y el reparto equitativo?

• ¿Cómo se debe interpretar el cociente de dividir 2 500 kilogramos entre $4 200.00?

Además, observamos que un problema de reparto proporcional también se puede resolver a través de fracciones, al determinar la fracción de la cantidad a repartir. Por ejemplo, Braulio aportó $20.00 de los $40.00 que costó el boleto, él aportó la mitad, por lo que le corresponde la mitad del premio, es decir, $50 000.00.

Para resolver un problema de reparto proporcional deben tomarse en cuenta distintos criterios a fin de llevar a cabo la distribución correcta. Entre otras formas, se puede resolver calculando el valor unitario, es decir, lo que le corres-ponde a una unidad; por ejemplo, en el problema del premio de lotería se gana-ron $100 000 y el boleto costó $40, por lo que por cada peso aportado a una

persona le corresponde el cociente de 100 00040 , es decir, 2 500.

Si el bono se reparte de acuerdo con la cantidad de unidades vendidas, ¿qué cantidad

del bono le corresponde a Andrés?

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Secuencia 9Juegos de azar

Identificación y práctica de juegos de azar sencillos, y el registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles.

Sesión 35En esta sesión aprenderás a identificar cuándo un juego es de azar.

 ¿Qué sabes tú? ¿Alguna vez has jugado “gato”? Si es así, describe en qué consiste y cómo se determina al ganador.

¿Alguna vez has jugado “volados”? Describe en qué consisten y cómo se determina al ganador.

 Manos a la obra1. Reúnete con un compañero para jugar “gato” cin-

co veces. Uno de los jugadores inicia marcando una cruz en una de las casillas. Luego, el siguiente jugador marca un círculo en otra casilla. Gana el primero que logra completar una fila, una columna o una diagonal.

Antes de empezar, contesta de manera individual las siguientes preguntas.

¿Quién ganará el primer juego?

¿Quién va a ganar más juegos?

¿Cuántos juegos ganará cada jugador?

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Después de jugar, contesta en tu cuaderno las siguientes preguntas.

¿Es cierto que en el juego del “gato”, el que inicia siempre gana?

¿Existe una estrategia para no perder en el juego? ¿Cuál es?

¿Conoces algún otro juego parecido al “gato”? ¿Cómo se llama y en qué consiste?

¿Hay alguna estrategia para ganar?

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y lleguen a una conclusión grupal con la guía de su profesor.

2. Reúnete con un compañero para jugar el juego de la “es-calera”. Cada jugador deberá escribir su nombre en un extremo de la escalera. Coloquen una ficha sobre el centro de la escalera. Utilicen una moneda para hacer los lanza-mientos por turnos; cuando sale águila, la ficha se baja un escalón, y cuando sale sol, se sube uno. Gana el jugador cuyo nombre está escrito en el escalón al que llega antes la ficha.

Antes de empezar, contesta:

¿Quién consideras que va a ganar el juego?

Después de jugar, contesta las siguientes preguntas.

¿Consideras que existe una manera de ganar siempre en el juego de la escalera?

¿Es cierto o no que en el juego de la escalera el que pide primero siempre gana?

Si en un “volado” la moneda cae águila, ¿es seguro que en el siguiente “volado” no caerá águila?

¿Qué puede ocurrir?

¿Conoces algún otro juego, parecido al de la escalera, en el que antes de empezar no se sepa quién va a ganar? ¿Cómo se llama

y en qué consiste?

¿Es el juego del “gato” un juego de azar? Justifica tu respuesta.

En un juego de azar, como el de la escalera, no se puede saber con anterioridad cuál será el resultado, por lo que no se tiene seguridad de si se va a ganar o se va a perder.

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Sesión 36En esta sesión continuarás identificando si un juego es de azar o no.

 Manos a la obra1. En parejas, jueguen a “adivina el número”.

Tienes que pensar un número mayor que 0 y menor que 50. Lo anotas en un papelito, sin que lo vea tu compañero. Él debe adivinar el número que pensaste, y para ello puede ha-certe hasta seis preguntas. Tú sólo puedes contestar sí o no. Anoten las preguntas y res-puestas en la siguiente tabla.

Preguntas Respuestas

¿Tu compañero o compañera adivinó el número que pensaste?

¿Qué número pensaste? ¿Cuántas preguntas te hizo?

Ahora es tu turno, ¿podrás adivinar el número que piense tu compañero con menos de seis preguntas? Inténtalo.

Si este juego lo realizan muchas veces más, ¿podrían encontrar una manera segura de

adivinar el número? ¿Cuál? Ver

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2. En equipos, jueguen a la “oca”. Necesitan un par de dados y una ficha por jugador. Todos salen de Inicio y por turnos avanzan lo que sumen los dados. Gana el primero que logra llegar a 63.

¿Ganó quien avanzó primero?

Realicen el juego una vez más.

¿Consideran que hay una manera segura de ganar el juego?

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y con su profesor. Comenten cuál de los dos juegos anteriores es de azar y cuál no lo es, y por qué. Si encontraron estrategias para ganar en cada juego, pruébenlas para ver si lo logran.

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Sesión 37En esta sesión identificarás las principales características de un juego de azar.

 Manos a la obra1. Reúnete con un compañero para jugar “carrera al 10”. Las reglas del juego son las siguientes:

Se requieren dos jugadores. El jugador que inicia el juego puede anotar sólo el número 1 o el 2. El otro jugador puede sumar 1 o 2 al número que anotó el primer jugador. En los si-guientes turnos, siempre se le suma 1 o 2 al número que anotó el jugador anterior. Gana el juego el primero que llegue a 10. Observa lo siguiente:

Toño Manuel Los jugadores son Toño y Manuel:

Toño inició el juego y anotó el número 1.

Manuel decidió sumar dos y anotó el 3.

1

5

8

3

7

10

¿Qué número anotó después Toño? ¿Quién ganó?

Ahora juega con tu compañero y anota en cada caso quién ganó.

Jugador 1 Jugador 2 Jugador 1 Jugador 2 Jugador 1 Jugador 2 Jugador 1 Jugador 2

Ganador: Ganador: Ganador: Ganador:

Jueguen varias veces hasta que encuentren alguna estrategia para ganar.

Comenten con sus compañeros si este juego es de azar o no y por qué. Ver

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2. Observa las siguientes tres cajas con canicas. Debes extraer una canica de una de las ca-jas, sin ver; ganas si la canica es blanca.

Caja A Caja B Caja C

¿De qué caja prefieres hacer la extracción?

Utiliza canicas y una caja o una bolsa para realizar varias extracciones. Recuerda que no debes ver la canica hasta que esté afuera, y después de registrar su color debes regresarla a la caja para seguir jugando.

Realicen el juego varias veces más, ¿hay una manera segura de ganar el juego?

Comenten en grupo y con su profesor si este juego es de azar o no y digan por qué.

3. Completa la siguiente tabla contestando Sí o No, para ello deberás tomar en cuenta los seis juegos que has realizado en esta secuencia.

Juego Se puede anticipar quién ganará

Se puede encontrar una estrategia para ganar

Se puede controlar el resultado

Es un juego de azar

Gato

Volados

Adivina el número

Oca

Carrera a 10

Extracción de canicas Comparen sus respuestas con las de sus compañeros de grupo, y con ayuda de su profesor contesten las siguientes preguntas.

¿Al lanzar un dado, se puede determinar el número de puntos que se mostrarán en la cara

superior? ¿Por qué?

¿Se puede determinar la cara que quedará a la vista al lanzar una moneda al aire?

¿Por qué?

¿Se puede determinar el color de la canica que se extrae de una caja o urna, sin ver?

¿Por qué?

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Sesión 38En esta sesión aprenderás a registrar los resultados posibles de un juego de azar.

 Manos a la obra1. En parejas, lleven a cabo la siguiente actividad, que consiste en lanzar varias veces

un dado.

a) Primero contesten las siguientes preguntas.

Antes de lanzar un dado, ¿saben en qué número caerá?

Si lanzan un dado muchas veces, ¿qué número saldrá más veces?

b) Ahora, lancen su dado veinte veces y registren sus resultados en la siguiente tabla.

Número de lanzamiento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Puntos que marca el dado

¿Cuál es el número de puntos que más veces salió?

¿Qué número de puntos no salió?

¿Los resultados coinciden con lo que predijeron antes de lanzar el dado?

2. Comparen los resultados obtenidos por las diferentes parejas del grupo.

Concentren en una gráfica como la siguiente los resultados de cada equipo.

Núm

ero

de v

eces

que

sal

ió

Número de puntos

1 2 3 4 5 6

Si elaboraron una tabla, cópienla en el pizarrón y comparen los resultados con los de la gráfica.

¿Qué número se repitió más veces?

¿Qué número se repitió menos veces?

¿Hubo algún número de puntos que no saliera al

lanzar el dado?

Si se realiza un nuevo lanzamiento, y quieren ga-

nar, ¿qué número escogerían?

Hagan el lanzamiento, ¿ganó el número que es-

cogieron?

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Sesión 39En esta sesión encontrarás alguna estrategia para jugar un juego de azar en función del análisis de los resultados posibles.

 Manos a la obra1. En parejas, seleccionen una bolsa de canicas del siguiente grupo.

Bolsa 1 Bolsa 2 Bolsa 3 Bolsa 4

Consideren que utilizan esa bolsa para realizar el experimento de sacar canicas al azar, devolviendo cada vez la canica que se saca antes de la siguiente extracción. Si se realizan veinte extracciones, ¿cuántas canicas azules y blancas estiman que van a salir? Anoten sus predicciones en el siguiente cuadro.

Predicciones

Azules

Blancas

2. Utilicen una bolsa no transparente y canicas, de acuerdo con el número de bolsa que se-leccionaron, para realizar el experimento. Uno por uno deberá extraer una canica. Registren en sus cuadernos los resultados; por ejemplo, anoten A cuando sale una canica azul, y una B cuando sale una blanca. No olviden regresar la canica a la bolsa. Realicen cada uno veinte extracciones.

Después de hacer el experimento completen el cuadro con el total de canicas azules y blancas que salieron.

Resultado de veinte extracciones

Azules

Blancas

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3. Comparen sus resultados con los obtenidos por otras parejas que seleccionaron la misma

bolsa. ¿Obtuvieron los mismos resultados?

Si algún equipo eligió la bolsa 4, pregúntenle ¿cuál fue el color de canica que más veces salió?

¿Por qué consideran que se obtuvieron esos resultados?

Si algún equipo eligió la bolsa 2, pregúntenle ¿cuál fue el color de canica que más veces salió?

¿Consideran que influye el hecho de que hay igual número de canicas azules que de blancas?

Al considerar todos los resultados que obtuvieron en el grupo, ¿qué color ha salido con más

frecuencia?

¿Se puede saber el color de la canica que sale en una extracción?

Comparen los cálculos que hicieron y vean quiénes se acercaron más.

Si el juego se gana cuando se saca más veces una canica azul, ¿qué bolsa conviene elegir?

AutoevaluaciónResponde lo siguiente.

1. Describe un juego que sea de azar.

2. Si se lanza una canica por cada laberinto, ¿en cuál de ellos es más probable que salga la canica por la salida 1?

a)1 1 112 2 223 33 4

b) c) d)

En los juegos de azar no podemos predecir quién ganará porque no se puede controlar los resultados. Sin embargo, al registrar y analizar sus resultados podemos encontrar alguna estrategia de juego.

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Sesión 40

Evaluación

Aplica lo aprendido y selecciona la respuesta a cada problema.

1. ¿Qué notación decimal corresponde a 510

?

a) 0.50 b) 0.050 c) 0.0050 d) 0.00050

2. ¿Qué punto corresponde a la ubicación de la fracción 216

?

0 a b c d 4

a) d b) c c) b d) a

3. Dos tablas, una de 34

de pulgada y otra de 78 de

pulgada, son unidas por un clavo de 2 pulgadas, ¿qué parte del clavo sobresale de las tablas?

a) 14

b) 38

c) 18

d) 34

4. La sucesión numérica 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512,…

a) Aumenta de dos en dos.

b) Disminuye de dos en dos.

c) Cada término es el doble del anterior.

d) Cada término es el cuadrado del anterior.

5. ¿Qué expresión algebraica se puede usar para calcular el perímetro de un triángulo isósceles?

a) P = a + b + c c) P = 2(a + b)

b) P = 2a + b d) P = 3(a + b)

6. Dos mujeres compraron 80 gallinas en $3 200; Andrea aportó $1 420 y Susana el resto. ¿Cuántas gallinas corresponden al dinero que aportó Susana?

a) 50 b) 48 c) 42 d) 36

7. Utilizando sólo un compás marca los cuatro vértices que definen a un cuadrado. Toma como una de las aristas del cuadrado el segmento de recta siguiente.

A

B

8. ¿Cómo se llama la recta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales?

a) Mediatriz c) Bisectriz

b) Mediana d) Altura

9. Se lanzaron dos dados, gana Alberto si la suma es menor a 7; Gonzalo si cae 7; Carmen si cae una suma mayor de 10, y Ximena si cae 8, 9 o 10. ¿Quién de ellos tiene más posibilidades de ganar?

a) Alberto c) Gonzalo

b) Carmen d) Ximena

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Bloque 2

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• Resolver problemas utilizando el máximo común divisor

y el mínimo común múltiplo.

• Resolver problemas geométricos que impliquen

el uso de las propiedades de las alturas, las medianas,

las mediatrices y las bisectrices en triángulos

y cuadriláteros.

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Secuencia 10Criterios de divisibilidad

Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3, 5 y 7. Distinción entre números primos y compuestos.

Sesión 41En esta sesión determinarás los criterios para distinguir cuándo un número es divisible entre 2 o entre 3.

 ¿Qué sabes tú?Trabaja con un compañero para resolver el problema siguiente.

Beatriz quiere repartir los productos que se muestran en la tabla, de tal forma que al número de personas que se indica les toque exactamente la misma cantidad entera.

Escriban en la tabla la cantidad que le corresponde a cada persona, cuando esto sea posible, o pongan una cuando no se pueda dividir exactamente. Si tienen dudas con alguna reparti-ción, pueden hacer una división para comprobar.

Número de personas

$1 140 125 naranjas

77 manzanas

439 nueces

56 huevos

181 hojas de

papel

48 lápices

12 gomas

14 sacapuntas

2

3

5

7

¿Pudieron realizar la repartición de todos los productos entre el número de personas señalado en cada renglón?

De las cantidades que se repartieron:

¿Cuáles son divisibles entre 2, esto es, que se pudieron

dividir exactamente entre 2?

¿Cuáles son divisibles entre 3?

¿Cuáles son divisibles entre 5?

¿Cuáles son divisibles entre 7?

¿Podrían establecer un procedimiento para determinar cuándo un número es divisible entre 2, 3, 5 o 7, sin realizar

la división?

¿Todas las cantidades se podrán dividir exactamente entre

el 1 y ellas mismas? ¿Por qué?

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 Manos a la obraEn parejas, realicen las actividades siguientes.

1. En un deportivo se van a dar clases de seis deportes en los que se requiere repartir a los participantes en dos o tres grupos. Con la información de alumnos inscritos que se muestra en la siguiente tabla contesten en qué disciplinas es posible formar dos o tres grupos con el mismo número de integrantes. Escriban SÍ en el caso de que sea posible, y NO cuando no lo sea. Si tienen dudas, hagan las divisiones.

Especialidad Inscritos¿Es posible formar 2 grupos

con el mismo número de integrantes?

¿Es posible formar 3 grupos con el mismo número de

integrantes?

Natación 220

Futbol 213

Beisbol 111

Volibol 146

Tenis 98

Atletismo 132

¿En qué deportes sí fue posible formar 2 grupos exactos?

¿En cuáles fue posible formar 3 grupos exactos?

Escriban los números que se pudieron dividir exactamente entre 2, es decir que son divisi-

bles entre 2. ¿Qué característica tienen en común estos números?

Expliquen brevemente cómo es posible determinar, sin realizar la división, cuándo un núme-

ro es divisible entre 2.

Escriban los números que se pudieron dividir exactamente entre 3, es decir que son divisi-

bles entre 3. ¿Qué característica tienen en común estos números?

¿Tiene algo que ver la terminación de los números para que sean divisibles entre 3?

¿Por qué?

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2. En la siguiente tabla hay diez números que al dividirlos entre 3 dejan residuo cero. Subráyenlos.

123 528 111 923 611

326 327 259 405 102

420 936 639 412 984

Busquen alguna característica que tengan en común los números divisibles entre 3.

Pueden realizar operaciones (suma, resta, multiplicación, división) con los dígitos de cada número y ver si hay alguna característica común.

Comparen sus observaciones en el grupo y saquen una conclusión respecto a cómo deter-minar cuándo un número es divisible entre 3 sin realizar la división.

Los números cuya última cifra es un número par son divisibles entre 2.

Por ejemplo:

458 es divisible entre 2, porque la última cifra es par.

1 080 es divisible entre 2, porque la última cifra es 0.

Son divisibles entre 3 los números en los que la suma de los dígitos que lo forman es un múltiplo de 3.

Ejemplos:

285 es divisible entre 3, porque la suma de 2 + 8 + 5 es 15, y 15 es múltiplo de 3.

542 319 es divisible entre 3, porque la suma de 5 + 4 + 2 + 3 + 1+ 9 es 24, y 24 es múltiplo de 3.

Un número natural a es divisible entre otro natural b distinto de cero, cuando puede dividirse exactamente entre éste, es decir que existe un natural c, de tal forma que bc = a. b a = c

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Sesión 42En esta sesión conocerás los criterios para determinar cuándo un número es divisible entre 5 o 7.

 Manos a la obraEn parejas, lleven a cabo las actividades siguientes.

1. Catalina quiere comprar unas estampas para repartirlas entre sus cinco hijos, pero quiere que a cada uno le toque un número exacto de estampas y que no sobre ninguna. ¿Qué paquetes puede comprar para que se cumplan estas condiciones?

Escriban qué paquetes cumplieron con las condiciones marcadas.

Escriban qué características tienen en común los paquetes que sí cumplieron las condiciones.

2. Encierren los números que sean divisibles entre 5.

¿Qué característica observan en los nú-meros que pueden dividirse entre 5?

3. Analicen el procedimiento siguiente, que permite saber cuándo un número es divisible entre 7.

a) ¿El número 386 es divisible entre 7?

Separen el dígito de las unidades: 38 6

Dupliquen el dígito de las unidades: 6 × 2 = 12

Resten el producto a las cifras de la izquierda: 38 − 12 = 26

Si el resultado es cero o múltiplo de 7 el número será divisible entre 7. Como 26 no es múltiplo de 7, entonces 386 no es divisible entre 7. Realicen la división y compruébenlo.

123 365 258 415 780 965

589 333 200 555 145 789

235 350 625 380 415 100

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b) ¿El número 875 es divisible entre 7?

Separen el dígito de las unidades: 87 5

Dupliquen el dígito de las unidades: 5 × 2 = 10

Resten el producto a las cifras de la izquierda: 87 − 10 = 77

Como el 77 es múltiplo de 7, entonces el 875 es divisible entre 7. Realicen la división y compruébenlo.

c) Cuando el número es mayor, por ejemplo 2 982, el proceso se repite tantas ve-ces como sea necesario. Analicemos si 2 982 es múltiplo de 7.

Separen el dígito de las unidades: 298 2

Dupliquen el dígito separado: 2 × 2 = 4

Resten el producto a las cifras que quedaron a la izquierda: 298 − 4 = 294

Se repite el procedimiento con el número obtenido en el paso anterior, para ver si es múltiplo de 7, es decir, el 294.

Separen el dígito de las unidades: 29 4

Dupliquen el dígito de las unidades: 4 × 2 = 8

Resten el producto a las cifras que quedaron a la izquierda: 29 – 8 = 21

El 21 es múltiplo de 7, entonces el 2 982 es divisible entre 7.

907 2520

875

787

602

644

339

337

Un dato interesante…

Se cree, pero no se ha demostrado, que todo número par mayor que 2 se puede escribir como suma de dos números primos. Este resultado se conoce como la conjetura de Goldbach.

Ejemplos:

4 = 2 + 2

6 = 3 + 3

8 = 3 + 5

10 = 3 + 7 = 5 + 5

4. Analiza los siguientes números. Emplea el procedi-miento anterior para determinar si el número es divisi-ble entre 7, y si el número es divisible, subráyalo.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Si tienen resultados distintos, comprueben realizando la división.

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Sesión 43En esta sesión conocerás qué son los números primos y los números compuestos.

 Manos a la obra¿Qué tipos de números conoces?

1. En parejas, escriban qué tipos de números son los siguientes:

1°, 2°, 3°…

1, 2, 3, 4,…

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

0, 2, 4, 6, 8…

2. Escriban qué otro tipo de números conocen y den un ejemplo de ellos.

Comparen sus respuestas con las de otra pareja y en caso de duda comenten con su maestro.

3. En equipos, resuelvan el problema siguiente.

Fátima tiene un pasatiempo: le gusta analizar números y determinar cuáles son sus divisores. Ella sabe que un número es divisor de otro cuando lo divide exactamente.

Ayúdale a completar la tabla.

¿Entre qué números fue divisible el 43?

¿y el 47?

Esta fue la forma en que Jorge analizó los números 43 y 47.

No son divisibles entre 2 porque no terminan en número par. No son divisibles entre 3 porque sus dígitos no suman un múltiplo de 3. No son divisibles entre 5 porque no terminan en 0 o en 5. No son divisibles entre 7 porque al duplicar el dígito de las unidades y restarlo a lo demás no da un múltiplo de 7. ¡No son divisibles entre esos números!

¿Qué opinan del análisis que hizo Jorge?

Número Divisible entre…

240 1, 2, 3, 4, 5, 6,

43

246

47

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

• En la siguiente tabla tachen el 1 porque no es número primo.

• Encierren con un círculo el 2 y tachen to-dos sus múltiplos (4, 6, 8, etcétera).

• Encierren con otro círculo el siguiente nú-mero que no esté tachado, en este caso el 3, y tachen todos sus múltiplos (6, 9, 12, etcétera).

• Encierren con un nuevo círculo el siguiente número que no esté tachado, ahora sería el 5, y tachen todos sus múltiplos (5, 10, 15, etcétera).

• Encierren con un círculo el siguiente nú-mero que no esté tachado, que será el 7, y tachen todos sus múltiplos.

• Busquen el siguiente número sin tachar y enciérrenlo en un círculo. Después tachen todos sus múltiplos.

• Continúen así hasta que todos los núme-ros estén tachados o encerrados.

En su cuaderno dividan los números 43 y 47 entre sí mismos y comenten lo que sucede.

¿Pudieron dividirse entre sí mismos? ¿Qué cociente obtuvieron?

Ahora dividan entre 1 los números señalados.

¿Qué cociente obtuvieron?

¿Qué pueden concluir?

De acuerdo con la definición anterior, ¿el número 1 es un

número primo?

4. En equipos, realicen la actividad siguiente.

La criba de Eratóstenes

Eratóstenes (276-194 a.n.e.) fue un matemático griego que ideó una forma para reconocer cuáles números son primos. Háganla ustedes también.

Hay números que sólo tienen dos divisores diferentes: ellos mismos y la unidad. Los números que sólo tienen dos divisores diferentes se llaman números primos.

1 13 , 13 13 ; 1 43 , 43 43 ; 1 47 , 47 47

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AutoevaluaciónResponde lo siguiente.

• Determina entre qué números primos son divisibles los siguientes números:

210, 105, 77, 184, 91.

Consulta en…

Entra a los sitios: <http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/primos.htm> y <http://thales.cica.es/cadiz2/ecoweb/ed0898/recursos/sabiasque.htm>, donde encontrarás otros aspectos interesantes de los números primos.

Los números encerrados en círculo, es decir, los que quedaron sin tachar, son los números

primos menores de 100. Escríbanlos a continuación.

Todos los números que fueron tachados, a partir del 4 reciben el nombre de números com-puestos.

Escriban con sus propias palabras lo que entienden por número compuesto.

Comparen su texto con el de otros equipos, y si tienen alguna duda coméntenla con el maestro.

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Secuencia 11MCD y mcm

Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.

 ¿Qué sabes tú?1. Reúnete con un compañero para resolver el problema siguiente.

Se inscribieron 240 personas en un curso de idiomas. Todas deben pertenecer a algún grupo. Si se forman grupos con el mismo número de integrantes, cuántas personas habrá en cada uno si se tienen:

Cinco grupos

Seis grupos

Ocho grupos

Doce grupos

¿Qué hicieron para saber cuántas personas correspondían a cada grupo?

Comprueben si 240 tiene como divisores a 5, 6, 8 y 12.

Sesión 44En esta sesión resolverás problemas efectuando el cálculo del máximo común divisor.

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 Manos a la obra1. En equipos, resuelvan los problemas siguientes.

En la tabla se muestran los participantes que se han inscrito para las distintas disciplinas de las pruebas de atletismo.

Disciplina Número de participantes

Carreras 60

Salto 48

Lanzamientos 30

Marcha 120

a) Se trata de formar equipos de manera que haya el mismo número de participantes de

cada disciplina. ¿Cuál es el mayor número de equipos que se pueden crear?

¿Cuántos integrantes de cada prueba habrá por equipo?

b) Diana dice que para contestar las preguntas la operación que se necesita emplear es la

división. ¿Tiene razón? ¿Qué números son los que hay que dividir?

¿Entre qué número habría que dividir?

c) Pedro dice que hay que multiplicar. ¿Tiene razón? ¿Qué números son los que

hay que multiplicar? ¿Por qué número habría que mul-

tiplicar?

d) Escriban en la tabla todos los divisores que tiene cada número

Número Divisores

60

48

30

120

¿Cuáles divisores son comunes a todos los números?

e) Comenten lo siguiente.

De los divisores comunes, ¿cuál es el mayor?

¿Cómo se relaciona este número con la solución del problema?

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El máximo común divisor (mcd) de varios números corresponde al divisor que es común para todos los números dados y además es el mayor.

Por ejemplo:

El mcd de los números

108 132 120 144

Números Divisores

108 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108

132 1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 22, 33, 44, 66, 132

120 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120

144 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144

Los divisores comunes son: 1, 2, 3, 4, 6 y 12, y el mayor es el 12.

Por lo tanto, el mcd de 108, 132, 120 y 144 es 12, esto quiere decir que el número 12 es el número mayor que puede dividir exactamente a todos los números mencionados.

Sesión 45En esta sesión resolverás problemas encontrando el mínimo común múltiplo.

 Manos a la obra1. En parejas, resuelvan los problemas siguientes.

a) Rosa, Raúl y Rita juegan a la pulga y las trampas en una tira que llega hasta el 50. Rosa dice que su pulga saltará de 3 en 3 empezando en el 1, Raúl dice que su pulga saltará de 5 en 5 empezando en el 2, Rita podrá poner 2 trampas.

¿Los podrá atrapar con las dos trampas o necesitará más?

¿Podría atraparlos con una trampa o necesitará las dos?

Escriban los números por los que pasará la pulga de cada uno.

Rosa:

Raúl:

¿En qué números le conviene a Rita poner sus trampas para atrapar a sus compañeros?

Comparen sus respuestas con las de otros compañeros, y en caso de duda pidan que justifiquen sus respuestas.

2. En equipos, resuelvan el problema siguiente.

Edna horneó galletas de diferentes sabo-res: nuez, 216 piezas; vainilla, 264; cho-colate, 240; fresa, 288, y con azúcar, 144. Quiere empacarlas en bolsas distri-buidas equitativamente.

¿Cuál es el número máximo de bolsas que

puede llenar sin que le sobren o le falten

galletas? ¿Cuántas galletas

de cada sabor deberá poner en cada bol-

sa?

Comparen sus respuestas con las de otro equipo, y en caso de duda pidan que jus-tifiquen su respuesta y analicen cuál con-sideran que es el procedimiento correcto.

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b) Luis, Leti, Luci y Lalo juegan a la pulga y las trampas en una tira que llega hasta el 100. Todos iniciarán en el cero. Luis saltará de 4 en 4, Leti de 6 en 6, Luci de 3 en 3, y Lalo solamente tendrá oportunidad de colocar una trampa.

¿Bastará una trampa para atraparlos a todos?

¿En dónde le conviene a Lalo colocar la trampa para atrapar al mayor número de com-pañeros?

Si quiere atraparlos a todos lo antes posible, ¿en qué casilla deberá poner la trampa?

Escriban los números por los que pasará la pulga de cada uno.

Luis:

Leti:

Luci:

Observen los números por los que pasarán las pulgas y contesten:

¿Cuáles son los números comunes a todos?

¿Cuál es el número menor por el que pasarán todas las pulgas?

¿En qué número le conviene a Lalo poner la trampa?

Comparen sus respuestas con las de otro equipo, y en caso de duda pidan que las justifiquen.

El mínimo común múltiplo (mcm) de varios números corresponde al múltiplo positivo que es común para todos los números dados y además es el menor.

Por ejemplo:

El mcm de los números

18 12 10

Números Divisores

18 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180, 198, 216, 234,…

12 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, 168, 180, 192, 204,…

10 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, 130, 140, 150, 160, 170, 180,…

El primer múltiplo común es 180.

Por lo tanto, el mcm de 18, 12 y 10 es 180. Esto quiere decir que el número 180 es el menor múltiplo común y que puede ser dividido exactamente entre todos los números mencionados.

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Sesión 46

AutoevaluaciónResponde en tu cuaderno lo siguiente.

• Escribe una forma de calcular el mínimo común múltiplo de varios números.

• Escribe una forma de calcular el máximo común divisor de varios números.

• Usando los números 18, 12 y 36, inventa dos problemas, uno que involucre el cálculo del mínimo común múltiplo y otro que requiera el cálculo del máximo común divisor.

Avenida Central

para

da

para

dapa

rada

Enriq

ue

En esta sesión resolverás problemas realizando el cálculo del máximo común divisor o del mínimo común múltiplo.

 Manos a la obra1. En parejas, resuelvan los problemas siguientes.

a) Carlos tiene los dulces que se enlistan a continuación: 40 higos, 56 alegrías, 48 pepitorias y 24 calabazas. Los quiere empacar en cajas para su venta, de tal forma que use el mayor número de cajas y que en cada una haya la misma cantidad de cada tipo de dulces. ¿Cuántas cajas usará y cuántos dulces de

cada tipo habrá en cada una?

b) Para cubrir una ruta de 60 cuadras hay tres líneas de autobuses que suben o bajan pasaje al final de las cuadras de la siguiente forma: la línea verde hace parada cada 3 cuadras; la azul, cada 4 cuadras, y la rápida solamente se detiene cada 6 cuadras.

Si Enrique vive en la esquina del final de la cuadra 7 y quiere caminar hasta la calle más próxima en la que hagan parada las tres líneas, para que pueda

tomar cualquiera de ellas, ¿cuál es la cuadra a la que debe caminar?

Mónica vive en la esquina del principio de la calle 15 y quiere caminar a su casa desde cualquier cuadra en la que pare una de las líneas. ¿Cuál parada

le queda más cerca? ¿De qué línea de autobús es?

Comparen sus respuestas con las de otro equipo, y en caso de duda pidan que las justifiquen.

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Secuencia 12

Sumas con fracciones y decimales

Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales.

Sesión 47En esta sesión resolverás problemas utilizando la equivalencia entre fracciones.

 ¿Qué sabes tú?Trabajen en parejas para resolver la siguiente actividad.

Al comienzo del año, doce personas participan en una tanda, que es una modalidad de ahorro en la que todos aportan al mes la misma cantidad de dinero, la cual se entrega en su totalidad en cada ocasión a una persona diferente. En el mes de agosto un integrante salió de viaje y otro tuvo un accidente, lo que les impidió hacer su aportación.

¿Qué fracción de la tanda recibió la persona en turno?

 Manos a la obra1. Resuelve los problemas siguientes.

a) Hoy en la mañana Luis Adrián tomó medio litro de leche antes de ir a la escuela. Por la tarde, al regresar a su casa, tomó otro vaso de leche, equivalente a un cuarto de litro, y finalmente, antes de irse a dormir bebió leche en un vaso con capacidad de tres cuartos de litro. Si consideramos que un vaso equivale a un cuarto de litro, ¿cuántos vasos de

leche tomó el día de hoy Luis Adrián?

b) El señor López utiliza la tercera parte de su día de trabajo en contestar llamadas; asi-mismo, durante la mitad de la jornada laboral se encuentra en juntas con clientes. El tiempo restante lo considera como su momento productivo. Conforme a la percepción del señor López, ¿a cuántos momentos productivos es equivalente el tiempo destinado a atender llamadas y a estar en juntas con clientes?

Comenta tus resultados con el grupo.

Cuando dos o más fracciones representan la misma cantidad, entonces son equivalentes;

es decir, 12 = 2

4 .

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Para sumar o restar dos o más fracciones que tienen diferente denominador se deben obtener fracciones equivalentes con denominador común.

Sesión 48En esta sesión resolverás problemas que implican el empleo de fracciones.

 Manos a la obraEn equipos, resuelvan los siguientes problemas.

a) Tres hermanos reciben cada uno de sus papás la misma cantidad de dinero para utilizarla

en lo que quieran durante la semana. Pasados tres días los niños deciden juntar la cantidad

de dinero con que cuentan en ese momento porque quieren comprar un juguete que vale

1 13 veces lo que recibió alguno de ellos. Si al primero le queda la mitad de lo que recibió,

al segundo 26

y al tercero 78 , ¿será posible que les alcance el total de su dinero para com-

prar el juguete que quieren?

b) La señora Tina decidió hacer la dieta de la luna para bajar de peso. Al terminarla pesaba 910

de lo que tenía al comienzo de su dieta, sin embargo, debido a que tuvo una descom-

pensación estuvo en el hospital una semana. Al salir pesaba 18

menos que cuando inició la

dieta. ¿Qué fracción de peso perdió en total la señora Tina?

Un denominador común es cualquier múltiplo común de los denominadores de las fracciones,

así que por conveniencia utilizaremos el mínimo común múltiplo. Por ejemplo, en el caso de 32 + 53 − 1

6 el mínimo común múltiplo de los denominadores es 6, de forma que las fracciones

equivalentes son 96 , 10

6 y 16 , siendo el resultado de la operación 18

6 = 3.

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Sesión 49En esta sesión compararás fracciones.

 Manos a la obraEn parejas, resuelvan los problemas siguientes.

a) En el siguiente cuadro se muestra la fracción que representan los maestros de secundaria con respecto al número de alumnos de ese nivel en siete países. Esto es, la tabla nos dice cuántos maestros hay por número de alumnos.

País Maestros por número de alumnos

Argentina 350

Brasil 350

Chile 125

Corea 120

España 225

Estados Unidos 7100

México 120

Fuente: Elaboración propia con base en información del INEE. Panorama educativo de México 2009, p. 40.

¿Qué países superan a México en mayor número de maestros por número de alumnos?

¿Por cuánto más?

¿Qué país es el que tiene mayor número de maestros por número de alumnos?

b) La familia Pérez fue a Acapulco, realizando el trayecto en un tiempo de 6 18 horas. Estando

allí se encontraron a la familia López, quienes llegaron por otro camino, empleando un

tiempo de 3 23 horas.

¿Cuánto tiempo se hubiera ahorrado la familia Pérez de haber tomado el mismo camino que

la familia López?

Para hacer una suma o una resta de números mixtos se acostumbra convertirlos a fracciones impropias. Luego, las fracciones impropias se transforman en fraccio-nes equivalentes con denominador común para poder efectuar la operación.

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Para realizar la adición o la sustracción con números decimales se escriben los números en forma vertical, de manera tal que las cifras queden alineadas a partir del punto decimal, esto permite sumar décimos con décimos, centésimos con centésimos, y así sucesivamente.

Ejemplo:

9.05 + 12.50 25.00 46.55

Sesión 50En esta sesión verás cómo se trabaja con números decimales en ciertas actividades cotidianas.

 Manos a la obraTrabajen en equipos la actividad siguiente.

Los precios de algunos productos que se venden en la papelería “La Goma” son los siguientes:

Producto Precio

Lápiz de 2 12

$ 3.00

Cuaderno profesional $ 17.80

Goma $ 6.20

Bolígrafo $ 4.20

Fotocopia $ 0.60

Fólder $ 1.50

Encuentren el costo de:

Diez copias, un fólder y un bolígrafo

Un cuaderno profesional, lápiz de 2 12 y una goma

80 copias, dos fólderes y tres cuadernos

Si una persona que va a “La Goma” tiene destinado pagar $100.00, ¿qué podría comprar?

Escriban una opción.

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Sesión 51En esta sesión resolverás problemas utilizando tanto fracciones como decimales.

 Manos a la obraEn parejas, resuelvan los problemas siguientes.

a) En un grupo de secundaria la mitad de los hombres está en el taller de electrónica, mientras que la tercera parte de las mujeres cursa el de computación, ¿cuál es la diferen-cia entre la fracción de hombres que estudian electrónica y la de mujeres que cursan

computación?

b) Una persona tiene que trabajar 40 horas a la semana. Si el lunes laboró 7 14 h, el mar-

tes 9 12 h, el miércoles 10 23 h, y el jueves 6 56 h, ¿cuánto tiempo tendrá que laborar el

viernes?

c) En una tlapalería, el señor Robles pagó por un kilogramo de cemento la cantidad de $35.60, y por dos kilogramos de estopa, $15.06. Al pagar con un billete de $200, el encargado le dice que no cuenta con centavos, por lo que el señor Robles acepta que no le dé los centavos

de cambio. ¿Cuánto recibió de cambio?

d) En el refrigerador de la casa de Juan hay un recipiente con 3.5 litros de leche; si él toma 14 L de leche por día, ¿para cuántos días le alcanza la leche que hay?

e) En un frutero hay 2 12 kg de fruta; si hay 0.125 kg de melón, 14

kg de manzana y medio

kilogramo de sandía, ¿qué cantidad de kilogramos hay de otras frutas?

AutoevaluaciónResponde lo siguiente.

• ¿Cómo resolverías la siguiente operación?

35 + 7 2

10 + 0.85

• ¿Cuál es el resultado expresado en fracción?

• ¿Cuál es el resultado expresado con número decimal?

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Secuencia 13

Multiplicación y división con fracciones

Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y la división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales.

Sesión 52En esta sesión resolverás problemas cotidianos empleando la multiplicación y la división de fracciones.

 ¿Qué sabes tú?1. Contesta lo siguiente.

Óscar compra 12 kg de carne, 3

4 kg de cebolla, 34 kg de tortillas, 1 1

2 kg de jitomate y

verdura que pesó 2 12 kg, y todo lo pone en una bolsa, ¿cuánto peso lleva la bolsa?

Si su hermana le ayuda con la verdura y la carne, ¿cuánto peso lleva cada uno?

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 Manos a la obra1. En parejas, completen la tabla y contesten las preguntas.

Una persona compró en el mercado las siguientes mercancías para su despensa.

Mercancías Cantidad de kilogramos

Precios por kilogramo

Cantidad de dinero a pagar

Cebollas 3 $6

Azúcar 1 12 $18

Carne 34 $80

Huevo 14 $24

¿Por cuál de las cuatro mercancías pagó más?

¿Cuánto pagó en total?

Si compran tres veces esa cantidad de cebollas, ¿cuánto deben pagar?

¿Cuánto cuesta 12 kg de azúcar?

Si compran 2 kg de carne, ¿cuánto deben pagar?

¿Y si compran 12 kg de huevo?

¿Cómo calculan cuánto pagó esa persona por la carne?

Si por 14 de kg de huevo paga 6 pesos, ¿cuánto dinero pagará por 3

4 kg?

2. Resuelve el problema siguiente.

El señor Pedro compró una pieza de 15 m de tela. Va a utilizar 4 12 m para hacer sus pan-

talones. El resto de la tela lo va a repartir en partes iguales a sus tres hijos.

¿Cuántos metros de tela le corresponden a cada hijo?

Pedro va a confeccionar dos pantalones con la tela que tiene, ¿cuántos metros utilizará

para cada pantalón?

Analiza con un compañero la estrategia seguida para resolver los problemas anteriores.

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Sesión 53En esta sesión seguirás aplicando la multiplicación y la división de fracciones en diferentes contextos, ahora las estudiarás para calcular áreas.

 Manos a la obra1. Contesta lo siguiente.

¿Cuánto tendrá de área un espejo rectangular que mide 2 m de alto y 5 m de largo?

alto

largo

2. En parejas, realicen la actividad siguiente y anoten los resultados en su cuaderno.

Una persona necesita comprar tres hojas de triplay con las siguientes medidas:

Hoja 1: 13 m × 1

6 m Hoja 2: 1 12 m × 3

5 m Hoja 3: 56 m × 3 m

La hoja de triplay que mide 6.10 m × 1.83 m vale $250.00.

Calculen el área y el costo de las hojas 1, 2 y 3.

Describan brevemente el método que siguieron para calcular el costo de las hojas.

Si se necesita una hoja de triplay que mida 3 m de largo y 14 m de ancho, ¿cuánto medirá

su área?, ¿y cuál será su costo?

Comparen sus respuestas y los procedimientos que emplearon con los de otras parejas.

3. Contesta lo siguiente.

Don José tiene una parcela de forma cuadrada. Si aró las 34 partes de su parcela y sembró 23 partes de la parte arada, ¿qué parte de la parcela sembró?

En la parte de la parcela que está sin arar construyó un corral que ocupa la mitad de ésta.

¿Qué parte de la parcela ocupa el corral?

Si el terreno mide de largo 15 de kilómetro, ¿cuál es el área en metros cuadrados de la

parcela de don José?

4. Comenten en grupo cómo se obtiene el producto y el cociente de dos fracciones.

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Sesión 54En esta sesión resolverás problemas de multiplicación de fracciones.

 Manos a la obraEn el museo Universum de la UNAM, en la ciudad de México, se tienen simuladores en los que se representa la fuerza de gravedad de los planetas de nuestro sistema solar.

Los planetas atraen a los objetos con distinta intensidad.

La fuerza de gravedad en la Tierra es 56 veces la fuerza en Neptuno. Esto significa que en Nep-

tuno una persona saltaría 56 veces menos alto de lo que salta en la Tierra, y que su peso sería 65 veces mayor.

Si en la Tierra el récord de salto de altura es cercano a 2.5 m, ¿cuál sería la altura de este

récord en Neptuno?

Una persona que pesa 80 kg en la Tierra, ¿cuánto pesaría en Neptuno?

1. En equipos, completen la tabla siguiente.

Integrantes del equipo

Peso en la Tierra (en kg)

Peso en la Luna ( 16 del peso en la Tierra)

Peso en Marte ( 25 del peso en la Tierra)

Peso en Neptuno

Cuando se multiplica cualquier número por una fracción menor que 1, el producto es menor que ese número, porque se toma sólo una parte de él:

56 × 9 = 45

6 = 7 36 = 7 1

2 ; 7 12 es menor que 9;

56 × 1

2 = 512 ; 5

12 es menor que 12 .

Y cuando se multiplica cualquier número por una fracción mayor que 1, el producto es mayor que ese número, porque se toma más de una vez:

52 × 4 = 20

2 = 10; 10 es mayor que 4;

52 × 2

3 = 106 ; 10

6 es mayor que 23 .

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Sesión 55En esta sesión resolverás problemas de división de fracciones en distintos contextos.

 Manos a la obra1. Resuelve el problema siguiente.

Si en una papelería tienen un rollo de hule para forrar de 12 m y necesitan cortar trozos

de 23 m cada uno, ¿cuántos trozos se obtienen?

Si el rollo tuviera 15 12 m y necesitaran cortar trozos de 14 m cada uno, ¿cuántos trozos

se obtendrían?

2. En equipos, realicen las siguientes actividades.

La siguiente figura representa un rollo de hule de 12 m de largo.

Marquen la medida del largo de los trozos ( 23 m) tantas veces como se pueda a lo

largo del hule.

¿Cuántos trozos obtuvieron?

1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m

2. Contesta lo siguiente.

La fracción recíproca o inversa de una fracción es otra frac-

ción que se obtiene al invertir sus términos. Por ejemplo:

de 23 su recíproca o inversa es 3

2 .

¿Cuál será el resultado de multiplicar una fracción por su

recíproca?

Consulta en…

Entra al sitio <http://www.universum.unam.mx/> y analiza la información que contiene acerca de los planetas y la fuerza de gravedad.

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Dividir un entero entre una fracción es equivalente a multiplicar el entero por el recíproco de la fracción. Por ejemplo:

12 ÷ 34 = 12 × 4

3 = 121 × 4

3 = 483 = 16

12 ÷ 12 = 12 × 2

1 = 121 × 2

1 = 241 = 24

Dividir cualquier fracción (dividendo) entre otra (divisor) es equivalente a multiplicar el dividendo por el recíproco del divisor.

Por ejemplo:

95 ÷ 3

4 = 95 × 4

3 = 3615 = 12

5

Completen la siguiente tabla.

Cantidad de hule disponible

12 m 12 m 12 m 12 m 12 m 12 m 12 m

Medida del largo de los trozos

12 m 6 m 3 m 1 14 m 1 3

4 m 16 m 1

8 m

Número de trozos que se obtienen

Si el rollo de hule mide 12 m y cortan trozos de 13 de m, ¿cuántos trozos se obtienen?

Escriban la división que corresponde a cada situación:

Si el rollo de hule mide 15 12 m y cortan trozos de 1

6 m, ¿cuántos trozos se obtienen?

Escriban la división que modela esta situación:

÷ =

Si tienen 10 trozos de 12 m y los unen, ¿cuántos metros de hule tienen en total?

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Sesión 56En esta sesión estudiarás problemas de multiplicación y división de fracciones en diversos contextos.

 Manos a la obra1. Resuelve los problemas siguientes.

a) En una planta lechera se tienen distintas presentaciones de un mismo producto. Un tanque de leche deslactosada tiene 36 000 L, con los que se llenarán 20 000 garrafo-nes, sin que sobre leche.

¿De qué capacidad deben ser los garrafones?

¿Qué operación realizaron para encontrar la respuesta?

b) Se van a repartir 6 34 L de leche light en 27 en vases. Se quiere que en cada envase haya

la misma cantidad de líquido y que no sobre.

Encierra la operación que resuelve correcta mente el problema.

6 34 ÷ 27 27 ÷ 6 3

4

274 × 18

4 6 34 × 27

¿Qué cantidad de leche quedará en cada envase?

2. En parejas, analicen las siguientes divisiones y, sin resolverlas, escriban frente a cada una: cociente entero, resultado menor que el dividendo o resultado mayor que el dividendo, se-gún sea el caso. Resuelvan las operaciones en su cuaderno y corroboren sus cálculos.

3 ÷ 24 = 2 1

3 ÷ 3=

5 34 ÷ 3 2

3 = 27 ÷ 3

5 =

47 ÷ 3

4 = 243 ÷ 14

7 =

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AutoevaluaciónResponde en tu cuaderno lo siguiente.

En una escuela presentaron examen 240 alumnos.

1. Si 36 de los alumnos que aprobaron son mujeres, ¿cuántas mujeres aprobaron?

a) 82 b) 104 c) 98 d) 72

2. Del total de alumnos que presentaron el examen, 512 están en primer grado, y de éstos,

45 lo aprobaron. ¿Cuántos alumnos de primer grado aprobaron?

a) 80 b) 65 c) 102 d) 78

3. En parejas, resuelvan los siguientes problemas.

a) Se tienen 9 litros de miel y se van a envasar en botellas de 34 , ¿cuántas botellas se

llenarán?

b) El rendimiento de gasolina de un automóvil A es de 11 12 km/L, y el del automóvil B es

de 15 14 km/L. Si con el tanque lleno el automóvil A recorre 690 km, ¿cuál es la capa-

cidad del tanque A? ¿Cuánto recorre el automóvil B

con la misma cantidad de gasolina?

Comparen sus procedimientos con los de otras parejas.

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Secuencia 14

Propiedades de la mediatriz y la bisectriz

Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y de la bisectriz de un ángulo.

Sesión 57En esta sesión conocerás las aplicaciones que tienen las diferentes propiedades de la mediatriz de un segmento.

 ¿Qué sabes tú?En temas del bloque anterior viste el trazo de la mediatriz de un segmento y de la bisectriz de un ángulo. Algunos problemas y situaciones generales en geometría implican el conocimiento y análisis de las propiedades de dichos lugares geométricos.

El maestro de Matemáticas de 1°B ha organizado un concurso de construcción de papalotes entre sus alumnos, con la condición de que los papalotes sean diseñados con figuras geomé-tricas y que contengan representaciones de la mediatriz de un segmento y de la bisectriz de un ángulo. El papalote ganador será premiado.

Chucho y su amigo entraron al concurso e investigaron algunos esquemas de figuras que cum-plen con las condiciones solicitadas.

¿Qué necesitan saber Chucho y su amigo acerca de la mediatriz y la bisectriz para armar el

papalote y ganar el concurso?

Dibuja algunas figuras geométricas que conozcas, con las condiciones que puso el profesor.

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 Manos a la obra1. En equipos, analicen el siguiente problema y contesten.

En un concurso de tiro con arco se colocan cinco blancos frente al tirador en turno; a éste se le indica que debe situarse en el centro de la línea de tiro y desde ahí efectuar sus disparos.

Localiza el punto P sobre la línea de tiro desde donde su disparo al punto C sea una per-pendicular. Dibuja ahora los segmentos que parten del centro de la línea de tiro hacia cada uno de los blancos marcados con las letras A, B, D y E.

¿Cuántos pares de segmentos iguales hay y cuáles son?

Si acercamos la línea de tiro, ¿cuántos pares de segmentos iguales quedan?

En caso de que se decida alejar la línea de tiro, ¿cuántos pares de segmentos iguales

quedan?

¿Cuál es el segmento que tiene diferente medida que los demás?

¿Qué lugar geométrico representa dicho segmento si pasa por el punto medio de la línea

de blancos?

C

A

B

D

E

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Sesión 58En esta sesión definiremos las propiedades de la mediatriz que nos ayuden a resolver ciertas situaciones de la vida cotidiana.

 Manos a la obra1. Lee la información siguiente y contesta.

Al padre de Pepe, que es herrero, le solicitaron una puerta que tenga un diseño como el que se muestra en la siguiente figura:

Largo

Alto

Por la carga de trabajo, el papá le encargó a Pepe que realizara los cortes para la construc-ción de la puerta, considerando su diseño y el ahorro de material. Reúnanse en equipos y contesten las siguientes preguntas para ayudar a Pepe con el trabajo. Pueden hacer trazos en su cuaderno para explicar sus procedimientos.

• ¿Cómo son entre sí las varillas que forman el contorno de cada figura?

• Si se pretende utilizar dos varillas para el centro de cada figura, ¿cuántas se necesitan

para armar la secuencia?

• ¿Qué condición deben cumplir las dos varillas centrales para que la figura se arme co-

rrectamente?

• Observa la secuencia de figuras, ¿cuántas mediatrices encuentras?

¿Cuál es la propiedad de la mediatriz que se usa en el armado del centro de cada rombo?

¿Cuál es la propiedad de la mediatriz que se usa en el armado del contorno de cada

figura?

En equipos, y con ayuda de su profesor, concluyan qué tipo de propiedades de la mediatriz y su correcto trazo hemos analizado, y que podrían ayudar al padre de Pepe a entregar un mejor diseño en su trabajo.

Para finalizar, tracen en su cuaderno un diseño parecido al que debe entregar el padre de Pepe con las medidas que ustedes determinen, y mar-quen con color rojo la distancia de la mediatriz a los extremos del segmento que divide y con color azul el ángulo recto que forma la mediatriz con el segmento que divide.

La mediatriz es la recta perpendicular a un segmento que lo corta en su punto medio.

La mediatriz tiene una importante propiedad: la distancia de cualquier punto de esa recta a cada uno de los dos extremos del segmento al que divide es la misma.

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Sesión 59En esta sesión resolverás algunos problemas usando las propiedades de la bisectriz de un ángulo.

 Manos a la obra1. En parejas, analicen el siguiente problema y contesten.

El maestro de Matemáticas del 1ºC propuso al grupo construir relojes de manecillas para analizar las propiedades de la bisectriz de un ángulo , y luego procedió a plantear lo siguiente:

¿Qué hora exacta será cuando el minutero esté en las doce, el horario en las cuatro y el

segundero sea la bisectriz que forman las dos anteriores?

¿Qué tuvieron que hacer para encontrar la respuesta más adecuada?

¿Cómo es la distancia que hay entre cada manecilla a esa hora?

2. Realiza lo que se indica.

Traza en tu cuaderno tres círculos de 5 cm de radio, marca la división de las horas como si fuera un reloj de manecillas y determina tres ángulos con sus bisectrices, como se hizo en la actividad anterior.

Compara tus trazos con los de tus compañeros.

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La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos ángulos iguales.

También es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a la misma distancia (equidistan) de las semirrectas de un ángulo.

Sólo en un triángulo equilátero la bisectriz de sus tres ángulos internos es también la mediatriz de los lados opuestos.

Sesión 60En esta sesión continuarás aplicando las propiedades de la bisectriz de un ángulo.

 Manos a la obra1. Formen equipos, analicen el siguiente problema y contesten.

Un dato interesante…

Un problema que interesó durante mucho tiempo a los griegos fue trisecar (dividir en tres ángulos iguales) un ángulo, utilizando sólo regla y compás. En el siglo XIX se demostró que esto es imposible.

Elige un punto sobre la primera bisectriz trazada, y con ayuda de tus escuadras dibuja rectas perpendiculares de este punto a los lados del ángulo. Mídelas.

¿Qué observas?

En grupo, y con ayuda de su profesor, concluyan las pro-piedades de la bisectriz que utilizaron en la solución y tra-zo de esta situación.

Dibujen en su cuaderno tres ángulos de diferentes tama-ños y amplitudes, tracen la bisectriz a cada uno y señalen con color rojo las partes en las que se observen las propie-dades de dicho lugar geométrico.

En la figura de la derecha podemos observar un triángulo rectángulo. Si el segmento BC representa el pilar central de un puente, el segmento AB el tirante principal, y se pretenden colocar tres tirantes más que salgan del vérti-ce B dividiendo al ángulo en partes iguales, ¿en qué pun-tos deben colocarse los extremos de los tirantes sobre el puente?

b

ca

A

B

C

¿En cuántas partes es necesario dividir el ángulo B para colocar las tres cuerdas?

¿Los extremos sobre el segmento “b” quedan a la misma distancia uno del otro?

¿Cuántas veces se puede dividir un ángulo?

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Sesión 61En esta sesión resolverás distintos problemas geométricos que implican el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y de la bisectriz de un ángulo.

 Manos a la obra1. Resuelve lo siguiente.

a) Une los puntos y traza la mediatriz al segmento PQ.

b) Traza los ejes de simetría de cada figura. Marca con un color los que, además de ser ejes de simetría, también sean mediatrices de algún lado de las figu-ras, y con otro color los que sean bisectrices de algún ángulo de las figuras.

c) Encuentra un punto que esté a la misma distancia de los tres lados del siguiente triángulo (pista: re-cuerda que cualquier punto de la bisectriz de un ángulo está a la misma distancia de los dos lados que lo forman).

AutoevaluaciónTraza en tu cuaderno un segmento, su mediatriz, marca dos puntos sobre ella y traza con color rojo las distancias de los puntos a los extremos del segmento. Define la propiedad.

Traza en tu cuaderno un ángulo, su bisectriz, marca puntos sobre la bisectriz y traza con color rojo las distancias de los puntos a los lados del ángulo. Define la propiedad.

Consulta en…

Para conocer más sobre este tema busca en las bibliotecas escolares y de aula el siguiente libro: Carlos Bosch y Claudia Gómez, “Construcciones básicas” y “Paralelas con doblado de papel”, en Una ventana a las formas, México, sep-Santillana, 2003 (Libros del Rincón).

P Q

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Secuencia 15

Fórmulas para calcular el área y el perímetro

Justificación de las fórmulas del perímetro y del área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras.

Sesión 62En esta sesión trabajarás con los perímetros y las áreas de triángulos y rectángulos.

 ¿Qué sabes tú?Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras.

Cuadrado

3 cm

Triángulo

3 cm

4 cm

Rectángulo

4 cm

3 cm

Hexágono

2 cm

Compara tus respuestas con las de otro compañero, y comenten los métodos utilizados para obtenerlas.

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 Manos a la obraRealiza las siguientes actividades.

a) Dibuja y recorta dos triángulos rectángulos cuyos lados midan 3 cm, 4 cm y 5 cm res-pectivamente (igual al de la figura anterior).

Luego pégalos sobre el rectángulo de la figura anterior.

¿Cuál es la relación entre el área del rectángulo y la de cada uno de los triángulos?

¿Qué puedes decir del perímetro del rectángulo y de los triángulos?

b) Ahora dibuja en tu cuaderno un triángulo, con las medidas que desees. Haz dos copias de tu triángulo y recórtalas.

Recorta cada uno de estos triángulos en dos partes por la altura del lado más largo. Con las cuatro piezas obtenidas forma dos rectángulos. Describe cómo los acomodaste.

b

h hh

a c

Pega los rectángulos en tu cuaderno, a un lado del triángulo original.

¿Qué tienen en común estos rectángulos?

¿Qué relación hay entre el área de tu triángulo original y la suma de las áreas de los rectángulos obtenidos?

c) Compara y comenta tus respuestas con las de otro compañero.

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Sesión 63En esta sesión trabajarás con las áreas de rombos, romboides y trapecios.

 Manos a la obraRealiza las actividades siguientes.

1. Dibuja en tu cuaderno un rombo del tamaño que desees. Después haz una copia del rombo y recórtala.

Dibuja en ambos rombos su diagonal mayor y su diagonal menor. Ahora recorta la copia a través de sus diagonales para que obtengas cuatro triángulos.

Utiliza los triángulos para formar un rectángulo, y pégalo a un lado del rombo original.

¿Qué relación tienen las medidas de las diagonales del rombo con los lados del rectángulo formado?

¿Cuál es la relación entre el área del rombo y la del rectángulo?

2. Dibuja un romboide en tu cuaderno. Haz una copia del romboide y recórtala.

Recorta la copia en dos partes, de modo que con éstas formes un rectángulo. Pega el rec-tángulo formado a un lado del romboide original.

¿Qué relación tienen las medidas del romboide y las del rectángulo?

¿Cuál es la relación entre sus respectivas áreas?

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3. Dibuja en tu cuaderno un trapecio. Haz dos copias del trapecio y recórtalas.

Con las dos copias recortadas forma un romboide y pégalo a un lado del trapecio original.

¿Qué relación hay entre las medidas del trapecio y las del romboide?

¿Qué relación hay entre las áreas respectivas?

Compara y comenta tus resultados con los de otro compañero.

Los ejercicios realizados en esta sesión justifican estas fórmulas. Comenten en grupo sus aná-lisis y con ayuda del profesor establezcan una conclusión.

En la siguiente tabla se anotan las fórmulas para calcular el área del rombo, el romboide y el trapecio.

Área

dD

(diagonal mayor × diagonal menor)

2

h

b

base × altura

h

b

B

(base mayor + base menor) × altura

2

Rombo

Romboide

Trapecio Ver

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Cualquier polígono regular se puede dividir en tantos triángulos como lados tenga, uniendo cada vértice del polígono con su centro. La altura de los triángulos que va de un lado del polígono al centro se llama apotema.

El centro de un polígono regular es el punto que equidista de cada uno de sus vértices; por lo tanto, el centro del polígono es el centro de la circunferencia que circunscribe al polígono.

Sesión 64En esta sesión trabajarás con las áreas de polígonos regulares.

 Manos a la obra1. Realiza las actividades siguientes.

a) Dibuja y recorta seis triángulos equiláteros con lados de 2 cm.

Utiliza los triángulos para cubrir el hexágono que aparece al principio de esta secuencia (pág. 112).

¿Qué relación hay entre el área del hexágono y la de uno de los triángulos?

¿Cómo calculas el perímetro del hexágono?

b) Dibuja un pentágono regular en tu cuaderno y ubica su centro.

Une cada uno de los vértices del pentágono con el centro mediante una línea recta.

¿En cuántos triángulos queda dividido el pentágono?

¿Qué tienen en común los triángulos?

¿Qué relación hay entre el área del pentágono y la de los triángulos?

2. En parejas, comenten lo siguiente.

¿Es posible hacer algo similar a lo realizado en el ejercicio anterior con un polígono regular de más de seis lados?

¿Y con un polígono regular de menos de cinco lados?

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Sesión 65En esta sesión continuarás trabajando las áreas de polígonos regulares.

 Manos a la obra1. Realiza la siguiente actividad.

Dado un polígono regular de n lados, se puede calcular su área mediante la siguiente fórmula:

Área = perímetro × apotema

2

a) ¿Cómo calculas su perímetro? Da una fórmula.

b) Justifica la fórmula del área de un polígono regular.

2. Calcula el área de la siguiente figura.

Compara y comenta tus resultados con los de otro compañero.

AutoevaluaciónCompleta la siguiente tabla con las fórmulas para calcular las áreas y los perímetros que se piden.

Perímetro ÁreaTriánguloRomboRomboide

Polígono regular de n lados

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Secuencia 16Proporcionalidad directa

Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios.

Sesión 66En esta sesión comenzarás a utilizar las nociones de proporcionalidad.

 ¿Qué sabes tú?Para el cumpleaños de Mario se esperan veinte invitados. A cada uno le darán dos tamales oaxaqueños preparados con la receta de la abuelita Carlota.

Tamales oaxaqueños (para 10 porciones)4 hojas de plátano grandes lavadas y hechas rollo1 Pollo mediano14 kg de pierna de puerco12 kg de mole negro

250 g de manteca de cerdo1 kg de masa blanca para tortillasCebolla, ajo y sal al gusto

¿Para cuántos tamales es la receta?

¿Cuántos tamales necesitan preparar?

Escribe a continuación las cantidades adecuadas para preparar los tamales que se necesitan.

Tamales oaxaqueños (40 porciones)

hojas de plátano grandes lavadas y hechas rollo

pollo mediano

kg de pierna de puerco

kg de mole negro

g de manteca de cerdo

kg de masa blanca para tortillas

Cebolla, ajo y sal al gusto

Si disminuimos la cantidad de porciones, ¿qué sucederá con la cantidad de hojas de plátano

que se requiere?

Si aumentan las porciones, ¿qué sucederá con la cantidad de manteca de cerdo que se requiere?

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 Manos a la obra1. Con la información de la receta de la abuelita Carlota resuelve el siguiente problema. Como

gustaron tanto los tamales oaxaqueños, la mamá de Mario decidió abrir su propio negocio de tamales. Mario desea elaborar una tabla para ayudarle a calcular la cantidad de ingre-dientes que requiere, de acuerdo con el número de porciones que va a preparar. Ayúdale a completarla.

Ingredientes

(en kg)

Números de Porciones

4 10 15

Masa blanca

Carne de cerdo 38

Mole negro 12

Para 12 porciones, Ana dice que se necesita 12 kg de carne de cerdo. Explica si ella tiene o

no razón.

Verifica con otro compañero tus respuestas.

2. En parejas, resuelvan los problemas siguientes.

a) Para hornear 25 donas se requiere 14

kg de harina, ¿cuántas donas se hornearán con

7 kg de harina?

b) En la construcción de una casa, con 34 partes de un bulto de mortero se pueden pegar

300 tabiques. Si se solicitaron 2 millares de tabiques, ¿qué cantidad de mortero se

necesita para pegar todo ese material?

Expliquen cómo encontraron la solución de cada problema.

Comparen sus procedimientos con los de otras parejas y reflexionen sobre lo siguiente.

Expliquen la importancia de conocer el valor unitario para resolver este tipo de problemas.

Verifiquen sus respuestas empleando el valor unitario.

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Sesión 67En esta sesión aplicarás la constante de proporcionalidad para resolver problemas de proporcionalidad directa.

 Manos a la obra1. En parejas, realicen la siguiente actividad con las figuras que se muestran.

a) Contesten las preguntas.

¿Cuánto miden los lados del cuadrado naranja en el A?

¿Cuánto miden en el B?

¿Cuánto mide el lado más largo del triángulo azul en A?

¿Cuánto mide el lado más largo del triángulo azul en B?

¿Cuál es la constante de proporcionalidad, es de-cir, cuántas veces es ma-yor el Tangram B del A respecto a los lados?

A

B

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Uno de los lados del triángulo rosa en el Tangram A mide 3 cm, conociendo la constan-te de proporcionalidad y sin medir el triángulo rosa en el Tangram B, ¿cómo podrían

saber la longitud de su lado?

En el Tangram B la base del romboide mide 6 cm, sin medirla en el Tangram A y usando la constante de proporcionalidad, ¿cómo obtendrían la longitud de la base del romboide?

Comparen sus respuestas con las de otros compañeros, comprueben que sean correctas.

2. En parejas, resuelvan lo siguiente.

a) Una estatuilla de madera que se talló en una telesecundaria mide 36 cm de altura y 13 cm de ancho. La estatuilla ha gustado tanto que se mandará reproducir de manera tal que el ancho mida 87.75 cm. ¿Cuánto medirá la altura de dicha reproducción?

b) En una telesecundaria de Guanajuato se tiene la maqueta del taller de carpintería, el cual mide 28 cm de largo y 12 cm de ancho. Si realmente el taller mide de ancho 14 m y 3.2 m de altura, ¿cuántos centímetros mide la altura del taller en la maqueta?

¿Cuántos metros de ancho mide el taller?

Comparen sus respuestas con las de otros compañeros.

Cuando una cantidad aumenta o disminuye en la misma constante de proporcionalidad respecto de otra, se dice que están en proporción directa.

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3. Resuelve los siguientes problemas.

a) Para ilustrar una revista se va a utilizar una foto-grafía original de 16 cm de largo por 8 cm de alto. La ilustración para la portada se obtendrá de re-ducir la fotografía original a la mitad, ¿cuáles se-rán las medidas de la reproducción?

Si la ilustración de un reportaje se obtendrá de redu-cir la fotografía de la portada a la cuarta parte, ¿cuá-les serán las medidas de esta reproducción?

b) Óscar sabe que requiere 4.5 litros de gasolina para recorrer aproximadamente una distancia de 42.75 km, ¿qué cantidad de gasolina requiere para llegar a cada uno de los lugares menciona-dos en la tabla?

Distancia recorrida (km)

Cantidad de gasolina (l)

San Juan de los Lagos

38

Arandas 60.05

Tepatitlán 70.63

Tonalá 130

AutoevaluaciónResponde lo siguiente.

• ¿Cómo se puede identificar un problema de proporción directa?

• ¿Qué es la constante de proporcionalidad y cómo se emplea?

Consulta en…

Entra al sitio <http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Proporcionalidad_lbc/magdirectprop.htm>, y consulta acerca de la proporcionalidad directa.

¿Cuántos litros de gasolina necesita para recorrer la distancia de un kilómetro?

¿Cuántos kilómetros recorrerá con un litro de ga-solina?

c) Para limpiar un terreno de tres hectáreas, Andrés y María emplearon 22 jornadas de trabajo de 6 horas cada una. Si ellos trabajan al mismo ritmo, ¿cuán-tas horas se tardarán en limpiar un terreno de 7.5 hectáreas?

Comparen sus respuestas con las de otros compañeros y comprueben que sean correctas empleando un método diferente al que usaron.

Planteen en su cuaderno un problema de proporcionalidad directa, resuélvanlo e intercámbienlo con otro compañero.

A lo largo de esta secuencia hemos visto que los proble-mas de proporción directa se pueden resolver empleando el valor unitario o la constante de proporcionalidad, esta última se determina al comparar dos magnitudes; por ejemplo, en el problema del Tangram, como cada lado del A mide 6 cm y el del B 12 cm, la constante de proporcio-

nalidad es 612, o bien 1

2. La constante se multiplica o se

divide según se quiera determinar una cantidad mayor o una menor a la que se tiene.

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Sesión 68

Evaluación

Aplica lo aprendido a lo largo del bloque y selecciona la respuesta a cada problema.

1. La respuesta a la siguiente operación 34 + 1

9 – 0.8 es:

a) 11180

b) 11360 c) 11

18d) 22

18

2. La distancia de cada uno de sus puntos a los lados del ángulo que divide siempre es la misma:

a) mediana b) mediatriz c) recta d) bisectriz

3. Juan desea comprar un vidrio para cubrir una mesa rectangular, cuyos lados miden 1 m y 1.5 m. Si el me-tro cuadrado de vidrio cuesta $70, ¿cuánto le costara el vidrio a Juan?

a) $75 b) $85 c) $95 d) $105

4. Entre qué números primos son divisibles los siguientes números: 945, 735, 525.

a) 2, 3 b) 2, 3, 5 c) 3, 5, 7 d) 3, 7

5. Una línea de autobuses viaja a tres ciudades distintas, A, B y C. Rumbo a la ciudad A sale un camión cada 3 horas, a la ciudad B cada 4, y a la ciudad C cada 5. Si a las 7 de la mañana del lunes salieron los 3 camiones al mismo tiempo, ¿qué día y a qué hora volverán a salir al mismo tiempo los camiones?

a) El mismo lunes a las 7 p.m.

b) El mismo lunes a las 10 p.m.

c) El martes a las 3 a.m.

d) El miércoles a las 7 p.m.

6. Se tiene un terreno de forma irregular, como el de la imagen. Si se desea saber cuál es su superficie, ¿con cuál de los procedimientos siguientes se puede obte-ner esa información?

a) Se mide la longitud de los lados del terreno y se suman.

b) Se divide el terreno en cuadrados y la suma de las superficies de cada cuadrado será la superficie del terreno completo.

c) Se encuentra el centro del terreno, se calcula el apotema y se multiplica por el número de lados del terreno.

d) Se segmenta el terreno en triángulos, se calcula la superficie de cada uno, se suman las superficies obtenidas y esa es la superficie del terreno.

7. Mariana y Adriana sembraron 280 arbolitos. Si trabaja-ron 5 horas diarias durante 4 fines de semana sem-brando arbolitos, ¿cuántas horas se tardarán en sembrar 1 400 arbolitos?

a) 280 horas c) 56 horas

b) 200 horas d) 25 horas

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Bloque 3

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• Resolver problemas en los que se tengan que efectuar

multiplicaciones y/o divisiones con fracciones y números

decimales.

• Resolver problemas que impliquen el uso de ecuaciones

de las formas: x + a = b; ax = b y ax + b = c, donde

a, b y c son números naturales y/o decimales.

• Resolver problemas que impliquen el cálculo de

cualquiera de las variables de las fórmulas para encontrar

el perímetro y el área de triángulos, cuadriláteros y

polígonos regulares. Explicar la relación que existe entre

el perímetro y el área de las figuras.

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Secuencia 17Multiplicación con decimales

Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.

Sesión 69En esta sesión realizarás multiplicaciones de números decimales para resolver problemas de escalas.

 ¿Qué sabes tú?En una fotografía las medidas son proporcionales a las reales. La imagen de una persona en una foto está a escala 1 a 35, es decir que cada centímetro en la foto corresponde a 35 cm en la realidad.

Si en la foto la persona mide 5 cm, ¿cuánto mide en la realidad?

 Manos a la obra1. En parejas, observen la siguiente imagen y reprodúzcanla a escala en su cuaderno, de ma-

nera que su dibujo sea 4 15

veces más grande que el original.

6 cm

4 cm

8.24 cm

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2. Completen la tabla.

Multiplicación Producto (resultado de la multiplicación)

4.2 × 4

4.2 × 6

4.2 × 8.24

3. Calculen las medidas de los lados que miden 4 cm y 8.24 cm con los factores de escala que aparecen en la tabla.

Factor de escala Medida del lado de 4 cm Medida del lado de 8.24 cm

0.15 0.6 cm 1.236 cm

0.7

1

2.2

3.4

8.3

Con base en la información de la tabla, contesten lo siguiente.

¿Qué tienen en común las escalas que amplifican el dibujo?

¿Qué tienen en común las escalas que reducen el dibujo?

4. Calcula mentalmente lo siguiente.

1.25 × 4 =

0.5 × 0.5 =

1.4 × 10 =

0.7 × 0.3 =

0.125 × 8 =

1.52 × 5 =

Comenten con otras parejas qué sucede cuando se multiplica un número natural por un factor menor que la unidad.

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Sesión 70En esta sesión multiplicarás números decimales en diferentes contextos.

 Manos a la obra1. En parejas, contesten lo siguiente.

a) El papá de Pedro, que trabaja en California, manda 75 dólares semanalmente para el gasto familiar. Si el tipo de cambio es 1 dólar = 13.80 pesos…

¿Cuánto reciben a la semana en pesos?

¿Cuánto reciben al mes en pesos?

b) Una lámina de acero mide 6 × 20 pies. Si 1 pie = 30.48 cm, ¿cuáles son las medidas

de la lámina en centímetros?

¿Cuál es el área en metros cuadrados?

c) En un almacén están estibadas cajas A y B de 45.3 cm y 25.4 cm de altura respectiva-mente. Si en una primera estiba hay 4 cajas A y 8 cajas B, ¿qué altura alcanza esta

estiba?

Si en otra estiba se encuentran 6 cajas B y 7 cajas A, ¿qué altura alcanza esta otra estiba?

d) En la telesecundaria 11 se organiza un campamento que durará tres días, con un costo de $125.50 por día. ¿Cuánto pagará cada alumno por el campamento?

Si asistirán 79 alumnos, ¿cuánto dinero se recaudará?

e) A la semana, un automóvil consume 32.8 L de gasolina. Si el costo del litro de gasolina es de $10.48, ¿cuánto dinero se gasta cada quincena en gasolina?

Comparen sus resultados con los de otra pareja y corrijan de ser necesario. Ver

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Sesión 71En esta sesión pondrás en práctica los conocimientos aprendidos en las sesiones anteriores.

 Manos a la obra1. Resuelve los problemas siguientes.

I. Adriana quiere cambiar el piso de la sala de su casa por duela. Si las dimensiones de la sala son 3.50 m por 4.80 m.

a) ¿Cuántos metros cuadrados de duela com-

prará?

b) Si el metro cuadrado de duela cuesta $435.50, ¿cuánto invertirá?

c) La mano de obra del carpintero le va a costar $160.00 por metro cuadrado, ¿cuánto le

pagará?

d) ¿Cuánto gastará en total Adriana?

AutoevaluaciónResponde lo siguiente.

• Leonardo debe comprar cuatro y medio manojos de espinacas; si el manojo cuesta $7.75,

¿cuánto pagará Leonardo en total?

Consulta en…

Entra al sitio <http://www.sectormatematica.cl/educbasica.htm> y da clic en “Multiplicando con decimales” y en “Multiplicando decimales menores que 1”.

II. En la clase de Tecnología se va a elaborar una con-serva de frutas de la región. Para ello se utilizan 0.450 kg de pulpa de fruta, 0.225 kg de azúcar y 0.125 L de agua. ¿Cuántos gramos de pulpa de fruta, azúcar y agua se requieren para elaborar tres y media veces la cantidad de conserva?

III. En el año 2011 México sufrió un fuerte problema de sequía en la mayoría de los estados, lo que afectó a un total de 974.92 mil hectáreas de cultivo. Del total de hectáreas afectadas, Coahuila, Chihuahua

y Zacatecas concentran 13

parte. ¿Cuántas hectá-

reas fueron afectadas en dichos estados?

Comenta con un compañero tus estrategias de solución y compara los procedimientos que sean diferentes.

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Secuencia 18División con decimales

Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.

Sesión 72En esta sesión resolverás problemas de contextos cotidianos utilizando la división de números decimales.

 ¿Qué sabes tú?Resuelve el problema siguiente.

Jugando futbol, los compañeros del grupo de primer grado rompieron un cristal de la ventana del salón. Si el costo del cristal es de $55.20 y deben pagarlo entre los 12 alumnos que esta-

ban jugando, ¿cuánto pagará cada uno?

Comenten con sus compañeros los procedimientos que siguieron.

 Manos a la obra1. En parejas, lleven a cabo las actividades siguientes.

a) Para asistir a un paseo se alquiló un autobús en $1 820.00 y cada niño pagó $45.50,

¿cuántos niños asistieron?

Si el alquiler hubiera costado $2 755.00 y cada niño hubiese pagado $72.50, ¿cuántos

niños habrían asistido?

b) Un alumno dedica 12 12 horas a la semana para estudiar 8 asignaturas, dedicando el

mismo tiempo a cada una. ¿Cuántas horas a la semana dedica a cada asignatura?

¿Cuántos minutos?

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2. Resuelve mentalmente las divisiones siguientes.

3 ÷ 1.5 = 3 ÷ 0.25 =

6 ÷ 0.1 = 13.5 ÷ 0.5 =

2.5 ÷ 0.125 = 4 ÷ 0.1 =

16. 5 ÷ 0.3 = 6 ÷ 0.2 =

Comenta con tus compañeros qué sucede cuando se divide un número natural entre un número decimal menor que la unidad.

Algunas divisiones entre números con punto decimal pueden resolverse con una multiplica-

ción, convirtiendo el decimal a fracción. Por ejemplo, 5 ÷ 0.2 puede escribirse como 5 ÷ 15 que, como estudiaron en la división de fracciones, equivale a multiplicar 5 × 5 = 25.

3. Resuelve el problema siguiente.

Raúl va a leer un libro que tiene 184 páginas. Si al día lee 40 páginas, ¿en cuántos días

leerá el libro?

Si lee las 40 páginas en 2 horas, ¿en cuántos minutos lee una página?

Si el libro costó $335.60 y lo compraron entre 4 amigos, ¿con cuánto cooperó cada uno?

Observa la división que se realizó para resolver el problema.

8 3 . 9 0

4 3 3 5 . 6 0

3 2

1 5

1 2

3 6

3 6

0 0

A cada uno le tocarán $83.90.

El algoritmo para dividir un decimal entre un natural es el mismo que cuando se dividen dos naturales, sólo debe conservarse la posición del punto decimal, es decir que se sube el punto al cociente.

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Sesión 73En esta sesión resolverás problemas de cambio de dinero utilizando la división de números decimales.

 Manos a la obra1. En equipos, contesten lo siguiente.

Pedro pagó $67.50 por varias copias de una guía; si cada juego de copias le costó $7.50, ¿cuántos juegos de copias sacó?

Describan un procedimiento para poder realizar la división que resuelve el problema.

7.50 67.50

Expliquen a sus compañeros cómo resolvieron la división anterior y por qué lo hicieron así.

2. Resuelvan las siguientes divisiones:

5 6 50 60 500 600 5000 6000

a) ¿Cómo son los resultados que obtuvieron?

b) Observen que el dividendo (6) y el divisor (5) de la primera división se multiplicaron por 10 para obtener la segunda división (60 y 50).

c) ¿Por qué número se multiplicaron el dividendo y el divisor de la primera división para

obtener la cuarta división?

3. Consideren que se tiene la siguiente división:

3.4 17

Multipliquen dividendo y divisor por 10, ¿qué división obtienen? Anótenla y resuélvanla.

Esta división es más sencilla que 17 ÷ 3.4, y por la propiedad utilizada en el ejercicio anterior saben que el resultado de esta división es el mismo para ambas.

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AutoevaluaciónSelecciona la respuesta correcta al problema.

1. Daniela cuenta con $420.00 y desea comprar trompos para regalarlos a sus sobrinos. Si cada trompo cuesta $21.50, ¿cuántos trompos podrá comprar?

a) 21 b) 18 c) 19 d) 15

2. ¿Cuánto dinero le sobrará?

a) $13.00 b) $11.50 c) $12.50 d) $10.50

Consulta en…

Entra al sitio <http://www.sectormatematica.cl/educbasica.htm> y da clic en “Dividiendo con decimales”. Aprenderás sobre la división de números decimales.

Una división con punto decimal en el divisor se resuelve:

1º Se transforma la división en otra que no tenga punto decimal en el divisor, para ello se multiplican el dividendo y el divisor por 10, 100, 1 000,... según el divisor tenga 1, 2, 3,... cifras decimales.

2º Se resuelve la división equivalente una vez que el divisor está expresado como un número natural.

Por ejemplo, para resolver:

0.25 4.217

Se multiplican por 100 el dividendo y el divisor, porque el divisor tiene dos cifras decima-les, para obtener la división:

25 4.217

Y se resuelve.

El resultado de dividir 421.7 ÷ 25 es el mismo que el de dividir 42.17 ÷ 2.5 o 4.217 ÷ 0.25. Compruébenlo con una calculadora.

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Secuencia 19Ecuaciones de primer grado

Resolución de problemas que impliquen el planteamiento de ecuaciones de primer grado de las formas x + b = c; a x = b; a x + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios.

Sesión 74En esta sesión resolverás problemas mediante ecuaciones de primer grado de la forma x + b = c.

¿Qué sabes tú?En parejas, lleven a cabo las actividades siguientes.

Si tengo $80.00, ¿cuánto dinero debo ahorrar para reunir $225.00?

a) En este problema hay dos números que sí se conocen, ¿cuáles son?

b) ¿Cuál es el número que al sumarle 80 da como resultado 225?

Comenten con sus compañeros cómo resolvieron el problema.

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 Manos a la obraEn parejas, lleven a cabo las actividades siguientes.

1. Pedro desea saber qué cantidad tenía inicialmente en su cuenta de ahorros si efectuó un depósito de $150.00 y al final le quedaron $750.00.

a) ¿Cuál es el valor desconocido en este problema? Subráyenlo.

La cantidad que depositó

La cantidad ahorrada que tenía

El saldo final de su cuenta

b) En el problema hay dos valores que sí se conocen, ¿cuáles son?

c) En la siguiente igualdad el valor desconocido del problema es el número que debe estar en el recuadro. Encuéntralo.

+ 150 = 750

d) ¿Qué operación hicieron con los valores conocidos para encontrar el número que va en

el recuadro?

e) ¿Qué cantidad tenía Pedro inicialmente en su cuenta de ahorros?

2. Representen con una igualdad el problema siguiente.

¿Cuál es el número que al sumarle 85 da como resultado 220?

a) ¿Cuál es la igualdad algebraica que representa el problema?

b) ¿Qué operación deben hacer para encontrar el resultado?

En Matemáticas se emplean letras para representar los valores desconocidos o incógnitas. Para representar estos valores comúnmente se usan las últimas letras del abecedario en minúsculas, siendo x la más utilizada.

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3. El problema anterior podemos representarlo como:

x + 85 = 220, donde x representa el valor desconocido.

a) ¿Cuánto vale x ? x =

b) Comprueben su resultado sustituyendo el valor obtenido en lugar de x en la igualdad anterior.

+ 85 = 220

La ecuación x + 85 = 220 se resuelve de la manera siguiente.

Se resta 85 a ambos lados de la igualdad:

x + 85 − 85 = 220 − 85

x + 0 = 135

x = 135

4. Ana realizó dos depósitos, uno de $300.00 y otro de $200.00. Ella desea saber cuánto tenía ahorrado antes de realizarlos, si su saldo actual es de $ 1 400.00.

a) ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones representan el problema?

x − 300 – 200 + 1 400 x − 300 + 200 = 1 400 x + 300 + 200 = 1 400 x + 500 = 1 400

b) Resuelvan la ecuación, es decir, encuentren el valor de x.

x =

c) ¿Qué cantidad tenía ahorrada al principio?

d) Hay dos ecuaciones que representan el problema, comprueben la solución sustituyendo la x en ambas.

+ 500 = 1400 + 300 + 200 = 1400

5. Luis reparte volantes de publicidad. Sale de su casa con una cantidad y recoge 1 200 vo-lantes antes de empezar su labor. Reparte 450 en la mañana, 680 en la tarde y al final le sobran 260 volantes.

a) En este problema hay cuatro valores conocidos, ¿cuáles son?

, , ,

b) La ecuación x + 1200 − 450 − 680 = 260 permite representar el problema. Resuélvanla.

c) ¿Cuántos volantes tenía al salir de casa?

Las igualdades en las que hay un valor desconocido o incógnita reciben el nombre de ecuaciones.

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Sesión 75En esta sesión resolverás problemas utilizando ecuaciones de primer grado de la forma ax = b.

 Manos a la obraEn parejas, realicen lo que se les pide a continuación.

1. Una persona tiene un empleo y recibe un salario mensual. Al final de 9 meses ha ganado $40 500.00. ¿Cuál es su salario mensual?

a) ¿Cuál es el valor desconocido? Subráyenlo.

El número de meses trabajados

El salario de los 9 meses

El salario que cobró cada mes

b) Usando la letra z para representar la incógnita (valor desconocido) escriban una ecua-ción que represente el problema.

c) Encuentren el valor de z.

d) ¿Cuál es la ecuación que representa el problema anterior? Subráyenla.

40 500 z = 9 40 500 + z = 9 z + 9 = 40 500 9 z = 40 500

e) ¿Cuál de las siguientes operaciones permite encontrar el valor de z ? Subráyenla.

9 ÷ 40 500 40 500 ÷ 9 40 500 – 9 9 × 40 500

f) Usando la operación que señalaron, encuentren el valor de z .

z =

g) ¿Cuánto ganó cada mes?

Recuerden que 9z es lo mismo que 9 × z, pues usualmente en las expresiones algebraicas no se utiliza el signo × para evitar confundirlo con otro número desconocido o incógnita representado con la letra x.

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2. El perímetro de un cuadrado es igual a 50 cm, ¿cuál es la longitud de cada lado?

a) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a este problema? Se usa la letra L para representar la longitud de cada lado. Subráyenla.

4 L = 50 L ÷ 4 = 50 L ÷ 50 = 4 4 + L = 50

b) ¿Cuánto mide cada lado?

c) Comprueben la solución en la ecuación que eligieron.

d) ¿Qué operación hicieron para encontrar la longitud?

3. Completen la tabla siguiente, que presenta algunos problemas. Escriban las ecuaciones correspondientes y las operaciones con las que se pueden resolver hasta obtener el valor de la incógnita.

Problema Ecuación Operación Valor de la incógnita

¿Cuál es el número que al multiplicarlo por 11 da 132?

¿Cuál es el número que al dividirlo entre 9 da 172?

Comparen con sus compañeros las respuestas de los problemas de esta sesión y comenten qué estrategias siguieron para resolverlos.

La ecuación 6 x = 36 se resuelve de la siguiente manera:

Como 6 multiplica a la incógnita x, multiplicamos ambos miembros de la ecuación por 16 ,

que es el recíproco del 6.

16 × 6 x = 1

6 × 36

16 × 6 × x = 1

6 × 36

66 × x = 36

6

1 × x = 6,

por lo que x = 6

Compruébenlo sustituyendo el valor de x en la ecuación.

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Sesión 76En esta sesión continuarás analizando diferentes tipos de ecuaciones y la forma de resolverlas. Ahora trabajarás con ecuaciones de la forma ax + b = c.

 Manos a la obraEn parejas, resuelvan los problemas siguientes.

1. Cristina ha leído un libro más que el doble de los que ha leído Antonio. Si Cristina ha leído 19 libros, ¿cuántos ha leído Antonio?

a) ¿Cuál es la incógnita en este problema?

Subráyenla.

Libros que ha leído Cristina

Libros que ha leído Antonio

Total de libros leídos por los dos

b) Escriban una ecuación para representar el proble-ma. Usen la letra L para representar la incógnita.

c) Resuelvan la ecuación y escriban un enunciado con

su respuesta.

Comenten en grupo qué operaciones efectuaron para resolver la ecuación.

2. En parejas, completen el proceso para resolver la ecuación 2 x + 1 = 19.

Observen que hay expresadas dos operaciones: primero se multiplica 2 por x, y después al resultado se le suma 1.

2 x + 1 = 19

2 x + 1 − = 19 −

2 x + =

× 2 × x = × 18

1 × x =

Por lo que x =

Comparen sus procedimientos con los de otras parejas.

3. En parejas, contesten lo siguiente.

El papá de Julia le dio cierta cantidad de dinero para que la repartiera equitativamente entre ella y sus tres hermanos, después le dio $6.00 más. Cuando Julia hizo el reparto final, a cada uno le tocaron $11.00.

a) ¿Qué tuvo que hacer Julia para repartir el dinero?

b) Escribe una ecuación que repre-sente lo anterior.

c) ¿Qué cantidad de dinero recibió inicialmente Julia?

Comprueben la solución y compárenla con la de otras parejas.

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Sesión 77En esta sesión resolverás problemas que se pueden representar con las ecuaciones vistas anteriormente.

 Manos a la obra1. En parejas, resuelvan los problemas siguientes.

En el rectángulo que se muestra en la figura, la medida de la base es igual al triple de la medida de la altura menos 1 cm.

a

9.5 cm

De las siguientes ecuaciones, subrayen las que sirven para encontrar la altura.

a × 3 + 9.5 = 1

3a − 1 = 9.5

(a ÷ 3 ) − 1 = 9.5

a ÷ 3 + 1 = 9.5

Con la ecuación seleccionada calculen el valor de la altura y comprueben su respuesta sustituyéndolo en la ecuación.

2. La tercera parte del número de alumnos que hay en el grupo A, más 15, es igual a 29.

a) Escriban una ecuación para resolver este problema.

b) ¿Cuántos alumnos hay en el grupo A?

3. Asombra a tus compañeros adivinando su edad por medio de las ecuaciones algebraicas que has aprendido.

Les dices: “Multiplica tu edad por 3, agrega 10 al resultado, réstale el doble de tu edad y a lo que te resulte quítale 6”. A continuación pregúntales qué número obtuvieron. Su edad será ese resultado menos 4.

Escriban una ecuación que les permita resolver este problema.

Comenten en grupo si obtuvieron la edad de sus compañeros.

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AutoevaluaciónResuelve el siguiente problema planteando una ecuación.

• De una caja de mangos, Luis vendió 6 en la mañana. A media tarde vendió el doble que en la mañana y por la tarde sólo vendió 8. Si en la noche sólo le quedaban 10 piezas,

¿cuántos mangos había en la caja?

Consulta en…

Entra al sitio <http://www.librosmaravillosos.com/hombrecalculaba/capitulo37.html>. Juega y aprende “Cómo se adivina un objeto” utilizando ecuaciones.

En las bibliotecas escolares y de aula busca los libros con las siguientes referencias para conocer más sobre este tema:

Carlos Bosch y Claudia Gómez, Una ventana a las incógnitas, México, sep-Santillana, 2003 (Libros del Rincón).

Malba Tahan, El hombre que calculaba, trad. Basilio Lozada, México, sep-Limusa, 2005 (Libros del Rincón).

Para la clase siguiente debes traer recortados 30 triángulos, 10 de cada uno de los modelos de la página 144.

4. Encuentra el valor de x en las siguientes ecuaciones. Resuélvelas en tu cuaderno y después comprueba tus resultados sustituyendo el valor obtenido en la ecuación.

a) 5x + 0.5 = 12

b) ( x ÷ 4 ) + 38 = 120

c) x + 32 − 21 = 45.7

d) 7 x − 14 = 28

En grupo, den a conocer sus resultados, y en caso de tener resultados diferentes analícenlos con su profesor.

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Secuencia 20

Construcción de polígonos regulares

Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, del ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella.

Sesión 78En esta sesión trabajarás con polígonos regulares.

 ¿Qué sabes tú?Describe con tus propias palabras qué es un polígono.

Comenten en grupo sus descripciones.

Con los triángulos que recortaste, de cada uno de los siguientes modelos,

trata de armar los polígonos siguientes:

1 2 3

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¿Qué polígono se puede formar con triángulos como el 1?

¿Cuántos triángulos utilizarías?

¿Qué polígono se puede formar con triángulos como el 2?

¿Qué polígono se puede formar utilizando triángulos como el 3?

Calca los triángulos y verifica tus respuestas.

¿Se pueden formar otros polígonos?

¿Qué relación encuentras entre el número de lados y el número de triángulos que forman cada

polígono?

¿Cómo es la medida de los ángulos de los triángulos cuyo vértice coincide con el centro del

polígono?

Un polígono es regular cuando sus lados son iguales y la medida de sus ángulos es la misma.

 Manos a la obraFormen equipos, realicen la siguiente actividad y contesten las preguntas.

1. En hojas blancas o de color tracen tres diferentes polígonos regulares de 5 cm, 8 cm y 10 cm por lado respectivamente.

¿Cómo trazaron cada polígono para que todos sus lados fueran iguales?

¿Cuántos polígonos más se pueden trazar con las medidas que tienen?

¿Se puede trazar el mismo polígono de tres tamaños diferentes?

Comenten en grupo sus respuestas, y con apoyo de su profesor determinen cómo influye la medida de los lados de un polígono regular en su construcción.

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Sesión 79En esta sesión estudiarás las propiedades del ángulo interior de un polígono regular.

 Manos a la obraEn parejas, realicen la siguiente actividad.

1. En los siguientes polígonos regulares marquen con un color los ángulos interiores.

¿Cuántos ángulos tienen cada uno de los polígonos regulares?

Organizados en equipos:

2. Midan con ayuda del transportador y anoten la medida de los ángulos interiores de los siguientes polígonos regulares.

Como habrás observado, el ángulo interior de un polígono regular es la abertura que forman los lados consecutivos de la figura.

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3. Escriban en la tabla los datos que obtuvieron.

Nombre del polígono regular Medida de cada ángulo interior

4. Contesten lo siguiente.

a) ¿Cómo podemos construir un polígono regular a partir de la medida de su ángulo interior?

b) ¿Cuánto mide el ángulo interior de un decágono regular?

¿Y el de un dodecágono regular?

Analicen en grupo y con su profesor cómo se puede construir un polígono regular a partir de la medida de su ángulo interior.

5. Tracen en su cuaderno un polígono para cada ángulo interior proporcionado.

a) 90°

b) 108°

c) 120°

Comparen sus trazos con los de sus compañeros.V

ersi

ón d

e ev

alua

ción

23/

04/1

2

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Sesión 80En esta sesión estudiarás las propiedades del ángulo central de un polígono regular.

 Manos a la obraEn parejas, realicen la siguiente actividad.

1. En los siguientes polígonos regulares marquen con un color los ángulos centrales.

¿Cuántos ángulos marcaron en cada uno de los polígo-nos regulares?

Como habrán observado, los ángulos centrales de un polígono regular son los que tienen su vértice en el centro del polígono.

Organizados en equipos, lleven a cabo las actividades si-guientes.

2. Tracen en su cuaderno al menos dos polígonos regulares utilizando la medida de los ángu-los de las escuadras de su juego de geometría y contesten las siguientes preguntas.

¿Qué procedimiento siguieron para trazar sus polígonos?

¿Cómo son los ángulos centrales de los polígonos trazados en relación con el vértice de la

escuadra que usaron?

3. El número de ángulos centrales en un polígono regular es el mismo que el número de lados de la figura.

Con base en esta información, completen la siguiente tabla.

Nombre del polígono Número de lados Número de ángulos centrales

Medida de cada ángulo central

Suma de los ángulos centrales

Cuadrado

Pentágono

Hexágono

Octágono

Dodecágono

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Sesión 81

4. Contesten las preguntas siguientes.

a) ¿Cuál es el resultado de multiplicar el número de lados de un polígono regular por la

medida de su ángulo central?

b) Si el número de lados de un polígono regular es 10, ¿cuál es la medida de su ángulo

central?

c) La medida de cada ángulo central de un polígono regular es 40°, ¿cuántos lados tiene

ese polígono?

d) ¿Qué polígono regular tiene un ángulo central de 90°?

Comenten en grupo sus respuestas.

En esta sesión construirás polígonos regulares a partir de la medida de su ángulo interno, de su ángulo central o de la medida de uno de sus lados.

 Manos a la obraEn el trazo de polígonos regulares inscritos en una circun-ferencia podemos identificar algunos elementos importan-tes de la misma.

1. En equipos, realicen lo siguiente.

Ordenen la secuencia de construcción de un pentágo-no regular y pongan dentro de los recuadros la instruc-ción que corresponde al trazo realizado.

Contesten lo siguiente.

¿Cuál es la relación entre el total de grados de la circunferencia y los ángulos centrales de un polígono regular?

¿Qué procedimiento deben seguir si quieren saber la medida del ángulo central de un polígono regular con n número de lados?

Utilicen su procedimiento para construir un eneágono.

Comenten sus respuestas con el grupo y con su profesor.

72 °

B

72 °

A

B

72 °

A

B

72 °

A

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AutoevaluaciónSelecciona la respuesta correcta al problema.

1. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular con un ángulo interior de 150º?

a) 15 b) 14 c) 13 d) 12

2. ¿Qué polígono regular tiene un ángulo central de 40º?

a) Pentágono b) Octágono c) Undecágono d) Eneágono

Consulta en…

En las bibliotecas escolares y de aula busca el libro con la siguiente referencia para conocer más sobre este tema: Carlos Bosch y Claudia Gómez, “Nombre de los polígonos”, “La miel de los hexágonos”, “Recubrimientos”, “Los reflejos del caleidoscopio” y “Construcción de un caleidoscopio”, en Una ventana a las formas, México, sep-Santillana, 2003 (Libros del Rincón).

2. En parejas, completen lo que se les pide.

A partir del siguiente triángulo isósceles, cuyo ángulo desigual es de 72º, formen el polígo-no regular.

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Secuencia 21Cálculo de área y perímetro

Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares.

Sesión 82En esta sesión resolverás problemas que implican calcular el perímetro y el área del triángulo y del cuadrado.

 ¿Qué sabes tú?En la siguiente imagen aparece el tablero de un juego de mesa llamado “damas chinas”.

El tablero está dividido en pequeños triángulos equiláteros, los cuales señalan los posibles movimientos de las piezas. Cada uno de estos triángulos tiene lados de 1 cm y una altura aproximada de 0.866 cm.

En parejas, contesten las siguientes preguntas.

¿Cuánto mide el perímetro del tablero?

¿Cuánto mide el área del tablero?

¿Cómo calcularon el perímetro y el área?

Comenten sus respuestas con el grupo y con su profesor.

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 Manos a la obra1. Contesta lo que se te pide.

El ajedrez y las damas son otros juegos de mesa muy populares, los cuales emplean un tablero cuadrado dividido a su vez en 64 casillas cuadradas, como se muestra en la si-guiente imagen.

A B C D E F G H

8

7

6

5

4

3

2

1

8

7

6

5

4

3

2

1

A B C D E F G H

Si cada casilla del tablero de ajedrez mide 1 cm, ¿cuánto miden el área y el perímetro del

tablero?

2. Ahora, junto con otro compañero, construirán un tablero de damas que tenga un área de 256 cm2.

¿Cuánto medirán los lados del tablero y los lados de las casillas?

Investiguen las reglas para que puedan jugar con su tablero de damas.

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S21

Sesión 83En esta sesión realizarás cálculos relacionados con el perímetro y el área de polígonos regulares de cinco y seis lados.

 Manos a la obraResuelve los siguientes problemas.

1. Regresando al tablero de damas chinas, observa que puedes dividirlo en un hexágono y seis triángulos equiláteros, los cuales forman las puntas de la estrella de seis picos. Conside-rando las medidas del tablero de damas chinas, ¿cuánto mide el área de cada uno de los

triángulos que forman los picos de la estrella?

¿Cuánto miden el perímetro y el área del hexágono?

2. Si se quisiera un tablero de damas chinas cuyo perímetro fuera de 96 cm, ¿cuánto mediría

cada lado del hexágono?

¿Cuál sería el perímetro del hexágono?

3. Si en lugar de hexágono tuviéramos un pentágono con un área igual a 17.32 cm y lados de

4 cm, ¿cuánto mediría el apotema del pentágono?

Si sólo conocieras el área y el apotema del pentágono, ¿cómo calcularías su perímetro? Coméntalo con un compañero.

Un dato interesante…

Un lugar en la naturaleza donde puedes encontrar hexágonos es en una colmena de abejas. Sobre este hecho, Pappus de Alejandría dijo:

Las abejas…, en virtud de una cierta intuición geométrica…, saben que el hexágono posee una superficie mayor que el cuadrado y que el triángulo, y que podrá contener más miel con el mismo gasto de material.1

1 http://www.arrakis.es/~mcj/abejas.htm

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Sesión 84En esta sesión calcularás el área y el perímetro de polígonos regulares de siete o más lados.

 Manos a la obra1. Considera los siguientes polígonos.

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S21

Haz las mediciones necesarias y completa la siguiente tabla.

Polígono regular Medida de lado Apotema Perímetro Área

Heptágono

Octágono

Decágono

Dodecágono

Pentadecágono

Como se observa en la tabla, el perímetro de los polígonos depende del número de lados.

2. Resuelve los ejercicios siguientes.

a) Calcula el área de un octágono cuyo lado mide 6.2 cm y su apotema 7.48 cm.

¿Cuánto mide su perímetro?

b) José quiere saber si con un pliego de papel china de 40 cm de ancho y 60 cm de largo puede hacer una cometa con forma de decágono regular, con lados iguales a 4 cm

y apotema de 6.15 cm. ¿Logrará José realizar la cometa?

¿Qué cantidad de papel china utilizará? ¿Se puede hacer más

grande la cometa?

c) ¿Cuánto medirán los lados de un dodecágono con un área de 100 cm2, si su apotema

mide 5.5 cm?

El perímetro de un polígono regular se puede calcular con la fórmula P = n × L

donde P es el perímetro, n el número de lados y L lo que mide el lado de la figura con que se está trabajando.

La fórmula para encontrar el área es la misma para todos los polígonos regulares, es decir:

Área = P × a

donde a es el apotema de la figura a la que se le está calculando el área.

AutoevaluaciónSelecciona la respuesta correcta al problema.

1. ¿Cuánta malla se necesita para cercar un jardín en forma de hexágono, con un apotema de 2 m y un área de 13.85 m2?

a) 2.30 m b) 13.85 m c) 16 m d) 11.74 m

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Secuencia 22Factor de proporcionalidad

Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas.

Sesión 85En esta sesión observarás qué sucede al aplicar sucesivamente un factor de proporcionalidad entero.

¿Qué sabes tú?1. En una clase de Artes Plásticas el profesor pidió a sus estudiantes organizarse en equipos

para dibujar la siguiente imagen, de acuerdo con estas indicaciones:

c

d

f

e

a

“Elaboren dos copias del dibujo original. • Las medidas de la copia 1 son dos veces

mayores que las medidas del dibujo original.• Las medidas de la copia 2 son tres veces

mayores que las medidas de la copia 1.”

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a) Dibuja las copias 1 y 2 en papel cuadriculado.

b) Anota en la tabla las medidas que faltan. Comprueba tus respuestas dibujando las copias.

Medida Original Copia 1 Copia 2a

b

c

d

e

f

c) ¿Cuántas veces son más grandes las medidas de la copia 2 con respecto a las medidas del original?

d) Completa el esquema. Escribe en cada recuadro el número por el que se deben multi-plicar las medidas de un dibujo para conocer las medidas de otro dibujo.

Medidas del dibujo

Medidas de la copia 1

Medidas de la copia 2

×3

2. Compara tus resultados con los de tus compañeros, y con ayuda de su profesor completen las siguientes afirmaciones.

• Aplicar el factor de escala ×3 a un dibujo, y después, a la copia resultante aplicarle el

factor ×2, equivale a aplicar al dibujo original el factor .

• Al aplicar un factor de escala ×p y después ×q es equivalente a aplicar un solo factor,

que es igual .

El número por el cual se multiplica cada medida de un dibujo para producir otro se llama factor de escala.

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Sesión 86En esta sesión determinarás el efecto que produce la aplicación sucesiva de un factor de proporcionalidad fraccionario.

 Manos a la obra1. En la clase de Artes Plásticas continúan dibujando. Ahora el profesor ha dado las siguientes

indicaciones:

a) En tu cuaderno dibuja las copias 3 y 4.

b) Escribe en la tabla las medidas que faltan.

Medida Original Copia 3 Copia 4

a

b

c

d

e

f

c) Completa el esquema y anota el factor de escala que se aplica en cada di-bujo. Luego determina el factor que al aplicarlo en el dibujo original produce la copia 4.

Medidas del dibujo

Medidas de la copia 3

Medidas de la copia 4

2. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Comenten qué ocurre cuando cambian el orden en que se aplican los factores, ¿la nueva copia es igual o diferente a la copia 4?

Completen la siguiente tabla.

×2 × 13

Medida Original Copia 3 Copia 4

a

b

c

d

e

f

Recuerda que dividir entre un número, por ejemplo entre 2,

equivale a multiplicar por 12 .

• “Las medidas de la copia 3 son tres veces menores que las del dibujo original.

• Las medidas de la copia 4 son dos veces mayores que las de la copia 3.”

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3. Observa la copia 5, sus medidas son 23 de las del dibujo

original. Anótalas sobre la copia.

¿A las de qué copia son iguales esas medidas?

Por lo tanto, aplicar el factor de escala × 23 equivale a

primero obtener la reducción × 13 y después obtener la

ampliación ×2. También se cumple si primero se produce

la ampliación ×2 y luego se reduce × 13 .

c

d

b

f

e

a

Copia 5

Sesión 87En esta sesión resolverás problemas que implican aplicar un factor de proporcionalidad fraccionario.

 Manos a la obra1. Andrés quiere preparar un postre. Observa los ingredientes que

necesita.

Si Andrés lo desea preparar para 6 porciones, ¿qué cantidades de cada ingrediente debe tener? Completa:

de azúcar

de leche

yemas de huevo

cucharadas de harina de maíz

cáscara de limón

palito de canela

Compara tus respuestas con las de otros compañeros y co-menten cómo determinaron cada cantidad.

NatillaIngredientes para 4 porciones:100 g de azúcar500 ml de leche3 yemas de huevo1 12 cucharadas rasas de harina de maíz1 cáscara de limón1 palito de canelacanela en polvo al gusto

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2. Observa la manera en que Andrés determinó la cantidad que requiere de cada ingrediente.

“Primero calculó los ingredientes para una porción y luego multiplicó por 6”.

Por ejemplo:

Ingredientes para 4 porciones

Ingredientes para una porción

Ingredientes para 6 porciones

100 g de azúcar100 g de azúcar

4 porciones = 25 g de azúcar por porción. 25 g de azúcar por porción × 6 porciones = 150 g de azúcar.

a) Utiliza el procedimiento anterior para calcular la cantidad que se requiere de los otros ingredientes.

Ingredientes para 4 porciones

Ingredientes para una porción

Ingredientes para 6 porciones

500 ml de leche

3 yemas de huevo

1 12 cucharadas de harina de maíz

b) Para calcular la cantidad de cada ingrediente por porción, ¿por cuál número se divide? Completa el siguiente esquema.

Ingredientes para 4 porciones

Ingredientes para 1 porción

Ingredientes para 6 porciones

×

c) Considerando la receta original, ¿cuál es el número por el que se multiplica o divide para calcular de manera directa la cantidad de cada ingrediente, es decir, de 4 a 6 porciones?

Ingredientes para 4 porciones

Ingredientes para 6 porciones

Compara tus respuestas y utiliza el número que encon-traste para verificar la cantidad que se requiere de cada ingrediente para preparar el postre.

El número que te permite calcular la cantidad requerida de cada ingrediente es la constante de proporcionalidad.

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159

Sesión 88En esta sesión determinarás qué factor de proporcionalidad se aplica.

 Manos a la obra1. En parejas, contesten lo siguiente.

Con tres engranes de diferente tamaño se forma una maquinaria. Observen la imagen.

a) Si el engrane A da 2 vueltas, ¿cuántas vueltas da

el engrane B? y ¿cuántas

vueltas da el C?

b) Completen la tabla, deben calcular los valores que faltan.

Engrane A Engrane B Engrane C

12 1

1 2

3

2 4

2 12 5

6 15

4

30

c) Anoten los factores de proporcionalidad en el si-guiente esquema.

Número de vueltas del engrane A

Número de vueltas del engrane B

Número de vueltas del engrane C

A

B

C

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Sesión 89

2. Otra maquinaria está formada de la siguiente manera: el engrane A da cuatro vueltas mien-tras el B completa una y el C da tres.

a) Completen la tabla, y en el esquema ano-ten los factores de proporcionalidad.

b) ¿Cuál de los engranes es el menor? ¿Por

qué?

c) ¿Cuántos dientes tendrá cada engrane? Hay más de una respuesta, anoten dos

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y verifíquenlas con ayuda de su profesor.

En esta sesión resolverás problemas que implican la aplicación de factores de proporcionalidad.

 Manos a la obra1. La siguiente tabla muestra las medidas reales de un automóvil deportivo y algunas de las

medidas que tendrían sus modelos a escala. Organizados en equipos, complétenla.

Medidas Medidas reales Modelo A Modelo B Modelo C

Largo 4.2 m 4.83 cm

Ancho 2.2 m 5.12 cm 9.17 cm

Altura 1.5 m 6.25 cm

a) ¿Cuál es el factor de escala de cada modelo?

b) ¿Qué factor de proporcionalidad produjo las longitudes más pequeñas?

c) Los tres factores de proporcionalidad son fraccionarios. Analizando las operaciones que

realizaron, contesten: ¿de qué manera influye el denominador del factor de proporciona-

lidad?

Número de vueltas del engrane A

Número de vueltas del engrane B

Número de vueltas del engrane C

4 1

2 6

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161

AutoevaluaciónLa mamá de Ernesto tiene una fotografía rectangular que mide 10 cm × 15 cm. Ernesto y sus hermanas quieren reproducirla en diferentes tamaños. En el estudio fotográfico, él pide

una reproducción a 4 ×. Rosaura pide que su copia sea a 12 × de la de su hermano, mientras

que Laura pide que su copia sea 3 × de la copia de su hermana.

a) ¿La fotografía de Ernesto es más grande o más pequeña que la original?

b) ¿Cuál de las tres fotografías es la de mayor tamaño?

c) ¿Cuáles son las dimensiones de la copia de Laura?

2. En la siguiente tabla se muestran las medidas que tiene un modelo de automóvil (A) con un

factor de escala de 164 . A partir de esas medidas y del factor de proporcionalidad comple-

ten la tabla.

Medidas Medidas reales Modelo A Modelo B

Largo 4.47 m 6.98 cm cm

Ancho m 2.66 cm cm

Altura m 2.42 cm cm

a) ¿Cuántas veces es más grande la medida real del largo del automóvil que la medida en

el modelo B?

b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que te permite pasar de una medida real del

automóvil a su medida en el modelo B?

Comparen sus respuestas y verifiquen que hayan aplicado correctamente los factores de proporcionalidad.

Cuando se refiere al factor de escala de una ampliación o reducción de una fotografía, la equis representa la cantidad de aumentos (o de reducciones) con respecto al original.

164 × 2

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Secuencia 23

Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias.

Registro de una experiencia aleatoria

Sesión 90En esta sesión estimarás el resultado de un juego de azar.

 ¿Qué sabes tú?En Matemáticas decimos que una situación es de azar o aleatoria si presenta varios resultados posibles y no se puede asegurar cuál de ellos se obtendrá.

a) Si lanzas una moneda al aire, ¿caerá al piso?

¿Es posible asegurar que siempre pasará lo mismo?

Menciona por qué.

Esta situación, ¿es de azar? ¿Por qué?

b) Si la moneda cae al piso, ¿qué cara quedará hacia arriba? ¿Por qué?

Esta situación, ¿es de azar? ¿Por qué?

Si lo que se quiere es observar la cara que queda hacia arriba al lanzar una moneda, ¿cuá-

les son los resultados posibles?

Si se lanza una moneda y se observa la cara que queda hacia arriba, ¿puedes afirmar qué

ocurrirá en un siguiente lanzamiento? ¿Por qué?

Si lanzas diez veces una moneda al aire, ¿caerán más águilas o más soles?

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En una situación de azar, la frecuencia es el número de veces que ocurre un resultado.

 Manos a la obra1. Formen equipos y cada integrante, por turnos, lanzará una moneda al aire diez veces. Regis-

tren en la siguiente tabla los resultados de cada uno. Tachen A si cae águila y S si cae sol.

Primer juego

JugadorNúmero de volado Total por resultado

1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º

1 A A A A A A A A A A

S S S S S S S S S S

2A A A A A A A A A A

S S S S S S S S S S

3A A A A A A A A A A

S S S S S S S S S S

(Si su equipo tiene más de tres integrantes, copien la tabla en su cuaderno, agregando tantos jugadores como sea necesarios.)

Contesten las siguientes preguntas.

a) ¿Cuántas águilas cayeron por jugador? b) ¿Cuántos soles por jugador?

c) Si vuelven a jugar, ¿obtendrán los mismos resultados?

Al número de veces que cae águila al lanzar diez veces una moneda al aire se le identifica como su frecuencia. Tam-bién se puede referir a la frecuencia con que cae sol en diez lanzamientos.

2. Consideren los resultados que obtuvieron y compárenlos con los de otros equipos. Descri-ban cuál es el comportamiento de los resultados. ¿La frecuencia es mayor que la que re-

gistraron en su equipo? ¿Es menor? ¿Es igual?

Si los equipos ganan cuando caen más águilas, ¿cuántos equipos ganaron?

En la siguiente tabla escriban los resultados obtenidos por todo el grupo.

Resultados de lanzar una moneda al aire en el grupo

Resultado Frecuencia

Caer águila

Caer sol

Total de lanzamientos

¿Cuál es la diferencia entre el número total de águilas y de soles?

¿Cuál de los siguientes resultados tiene más posibilidades de ocurrir en una serie de diez lanzamientos de moneda?

a) AAASSAAASS b) SSSSSSAAAA c) SASASASAAS d) Cualquiera de las series puede ocurrir

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Sesión 91En esta sesión registrarás los resultados de otro juego de azar. Analizarás dichos resultados para poder proponer alguna manera de ganar.

 Manos a la obra1. En equipos de seis compañeros jueguen a las carreras. Cada jugador elige un carrito y co-

loca una ficha sobre él. Por turnos, cada quien lanza el dado, y avanza una casilla el jugador cuyo carrito corresponde al número que se muestra en la cara superior del dado. Gana el jugador que llegue primero a la meta.

Número de carrito META

1

2

3

4

5

6

(Si su equipo tiene menos integrantes pueden elegir más de un carrito.)

¿Quién ganó?

Si se realiza nuevamente el juego, ¿crees que tienes más posibilidades de ganar? ¿Por qué?

Realicen una vez más el juego.

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2. En la siguiente tabla anoten el número de carrito que ganó en cada equipo.

Número de equipo Número de carrito que ganó en la primera carrera

Número de carrito que ganó en la segunda carrera

Contesten las siguientes preguntas.

¿Cuál es el número de carrito que más veces aparece como ganador en la primera carrera?

¿Cuál es el número de carrito que más veces aparece como ganador en la segunda carrera?

¿Cuál es el número de carrito que más veces aparece como ganador al considerar ambas

carreras?

De acuerdo con los resultados obtenidos, si vuelven a jugar a las carreras, ¿existe algún

número que tenga ventaja sobre los demás?

Si así lo consideran, pruébenlo jugando una carrera más.

3. En un grupo, al analizar los resultados obtenidos, un equipo propuso que para ganar una carrera conviene apostar por los carritos que tienen un número par.

¿Creen que tienen razón? ¿Por qué?

Otro equipo propuso apostarle a los carritos con el número 3 o más.

Organicen una carrera más y observen los resultados.

Describan una estrategia en la cual tengan más posibilidades de ganar una carrera.

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Sesión 92En esta sesión anticiparás el resultado de una extracción y lo verificarás. Para ello deberás anotar los resultados en una tabla de frecuencias.

 Manos a la obra1. Recorta cuatro cuadritos de papel iguales y escribe en cada uno de ellos una de las letras

de la palabra AZAR. Dóblalos, colócalos en una bolsa o en una caja y revuélvelos.

Si sacas de la caja uno de los papelitos doblados, ¿qué letra es más posible que saques?

¿Por qué?

¿Qué letras tienen las mismas posibilidades de salir?

¿Por qué?

2. Repite el experimento cincuenta veces. En cada extracción, registra una rayita en la columna de conteo que corresponde a la letra que sale. Luego debes doblar de nuevo el papelito que sacaste y regresarlo a la caja. Anota los resultados en la siguiente tabla de frecuencias.

Letras Conteo Frecuencia

A

Z

R

Total de extracciones 50

¿Qué letra fue la más frecuente? ¿Era lo que esperabas?

¿Por qué?

A

ZA

R

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3. Compara tus resultados con los de tus compañeros, ¿cuál fue la letra que se extrajo con mayor frecuencia?

¿Para qué letras la frecuencia fue la misma?

¿Por qué consideras que los resultados no son siempre los mismos?

¿Qué esperas que ocurra si repiten el experimento otras cincuenta veces?

4. Ahora reúnete con un compañero o compañera para realizar el experimento con la palabra ALEATORIO.

Al sacar de la caja uno de los papelitos, ¿qué letra es más posible que saquen?

¿Por qué?

¿Qué letras consideran que tienen las mismas posibilidades de salir?

¿Por qué?

Elaboren en su cuaderno una tabla de frecuencias como la que utilizaron para registrar los resultados del experimento con la palabra AZAR, pero ahora para las letras de la palabra ALEATORIO.

5. Comparen sus resultados con los de sus compañeros y contesten las siguientes preguntas.

¿Qué letra fue la más frecuente? ¿Era lo que esperaban?

¿Por qué?

¿Alguna vez se han preguntado cuál es la letra que más se utiliza en nuestro idioma? ¿Cuál

letra suponen que es?

Propongan una manera de averiguarlo, llévenla a cabo y registren sus resultados en una tabla de frecuencias. Después muestren sus resultados al grupo. V

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Sesión 93En esta sesión anticiparás y registrarás los resultados al extraer una canica de una bolsa.

 Manos a la obra1. Lee y realiza lo siguiente.

Dos compañeros, María y Joel, colocan dos canicas en una urna; una de las canicas es azul y la otra es blanca. Después de remover las canicas extraen una, sin mirar, y resulta ser blanca. Regresan la canica a la bolsa, la remueven y hacen una extracción más. ¿De qué color piensas que será la canica en esta ocasión?

Haz el experimento varias veces y comprueba si aciertas. ¿Qué piensas que es más fácil,

sacar la canica blanca o la azul?

María y Joel hicieron el experimento diez veces. Para registrar sus resultados, anotan una A si sale azul, y una B si sale blanca. Observa sus resultados:

A B B A B A B B A B

¿Cuántas canicas azules sacaron?

¿Y cuántas canicas blancas?

2. Reúnete con un compañero y lleven a cabo el experimento descrito en el problema anterior, pero primero anoten sus estimaciones en la siguiente tabla.

Estimaciones

Canicas azules que salen en 20 extracciones Canicas blancas que salen en 20 extracciones

Registren en una tabla de frecuencias sus resultados. Pueden anotar una rayita o escribir una A si sale azul y una B si sale blanca.

Color Conteo Frecuencia

Azul

Blanco

Total

Comparen los resultados obtenidos en la estimación que hicieron previamente, ¿acertaron?

3. Comparen sus respuestas con las de otros compañeros y comenten:

¿Qué color de canica es más frecuente de obtener?

¿Podrían adivinar el color de la canica que saldrá en la próxima extracción?

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4. Repitan el experimento, pero esta vez pongan en la bolsa tres canicas: dos azules y una blanca.

¿Consideran que ahora será más fácil obtener una canica blanca o una azul?

Cálculo

Canicas azules que salen en 30 extracciones de la bolsa 2

Canicas blancas que salen en 30 extracciones de la bolsa 2

Resultados de 30 extracciones

Canicas azules que salen en 30 extracciones de la bolsa 2

Canicas blancas que salen en 30 extracciones de la bolsa 2

¿Qué color de canica es más frecuente sacar en esta situación?

¿Podrían adivinar el color de la canica que saldrá en la próxima extracción?

AutoevaluaciónResponde lo siguiente.

Observa las cuatro bolsas que se muestran a continuación:

bolsa 1 bolsa 2 bolsa 3 bolsa 4

Contienen canicas de color azul (A) y blanco (B).

Marca con una palomita ( ) las frases que son verdaderas.

Es más fácil obtener una canica azul de la bolsa 1 que de la bolsa 2.

Es más fácil obtener una canica azul de la bolsa 2 que de la bolsa 4.

Es más fácil obtener una canica azul de la bolsa 1 que de la bolsa 3.

Es más fácil obtener una canica azul de la bolsa 3 que de la bolsa 4.

Consulta en…

Entra al sitio <http://www.acanomas.com/Biblioteca.php> y consulta la información sobre otros juegos de azar.

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Secuencia 24

Análisis de frecuencia absoluta y relativa

Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa.

Sesión 94En esta sesión utilizarás tablas de frecuencia absoluta para obtener la información resumida en ellas.

¿Qué sabes tú?El manejo y la interpretación de información dependen de la cantidad de datos que se tengan; por ejemplo, si se cuenta con un conjunto de diez datos, sólo bastaría enlistarlos y ordenarlos para poder describir su comportamiento. Sin embargo, para el análisis de un número mayor de datos se recomienda utilizar una tabla de frecuencia, la cual concentra y organiza la información.

A continuación se muestran las horas a la semana que cada alumno de tercer grado de la es-cuela A invierte en estudiar después de clase. El grupo se compone de 50 estudiantes.

4 9 1 10 4

6 3 6 3 1

1 2 2 6 10

5 2 10 10 6

6 2 0 4 6

7 0 8 5 7

8 7 0 10 9

6 0 9 6 0

7 0 4 10 7

1 4 6 2 8

a) ¿Cuál es el mayor número de horas de estudio invertidas por un alumno?

b) ¿Cuál es la diferencia entre el alumno que invierte menos horas de estudio con respecto al

que invierte más horas?

c) ¿Cuántas horas estudian la mayoría de los alumnos?

e) ¿Cómo organizaron los datos para responder las preguntas?

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 Manos a la obra1. En parejas, completen la siguiente tabla de frecuencias y contesten las preguntas.

Número de horas invertidas Conteo Frecuencia

absoluta

0

4

6

3

a) ¿Cuántas horas diferentes se registraron?

b) ¿Cuáles fueron esas horas?

2. Usen la información que proporciona la tabla para contestar las preguntas siguientes.

a) ¿Cuántos alumnos invierten 4 horas de estudio?

c) ¿Cuántos alumnos invierten 10 horas de estudio?

d) ¿Cuántos alumnos no invierten tiempo en estudiar?

En este ejemplo, el total de datos es de 50 alumnos.

En una tabla de frecuencias, la columna de frecuencia absoluta se refiere a la cantidad de veces que aparece un dato en toda la información, por lo que al sumar dicha columna nos dará el total de datos u observaciones registrados.

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Sesión 95En esta sesión utilizarás tablas de frecuencia relativa para obtener información.

 Manos a la obra1. Continuaremos trabajando con los datos de la tabla de la sesión anterior. Agregaremos a

nuestra tabla de frecuencias las columnas de frecuencia relativa y el porcentaje referente a cada dato.

En parejas, completen la siguiente tabla (realicen los cálculos que sean necesarios).

Número de horas invertidas Conteo Frecuencia

absolutaFrecuencia relativa Porcentaje

Cálculo Resultado Cálculo Resultado

0

4 450

0.08 0.08 × 100 8%

6

3 350 0.06 0.06 × 100 6%

Total 50 5050 1 1 × 100 100%

Al dividir la frecuencia absoluta de cada dato entre el número total de datos se obtiene la frecuencia relativa.

Al sumar los valores de la columna de frecuencia relativa el resultado debe ser igual a uno. Al multiplicar por 100 la frecuencia relativa de cada dato, obtendremos el porcentaje que representa ese dato con respecto al total.

2. Con base en los datos de la tabla, contesta las siguientes preguntas.

a) ¿Qué número de horas invertidas en estudiar tiene el mayor porcentaje?

b) ¿Cómo comprobarías que la columna de frecuencia relativa es correcta?

Compara tus respuestas con las de tus compañeros.

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Sesión 96En esta sesión continuarás trabajando con tablas de frecuencia relativa.

 Manos a la obra1. Se realizó un concurso entre 30 telese-

cundarias del país para ver cuál reunía la mayor cantidad de material reciclado en kilogramos, los resultados se muestran a continuación.

Con la información del cuadro anterior completa la tabla siguiente.

Cantidad de material reciclado (kg) Conteo Frecuencia

absolutaFrecuencia relativa Porcentaje

Cálculo Resultado Cálculo Resultado

1

34

40 3 330 0.10 0.1 × 100 10%

2

98

1

114

116

Total 30 1 × 100 100%

En equipos, comparen los resultados y contesten las preguntas siguientes.

a) La telesecundaria que ganó, ¿qué cantidad de material reciclado reunió?

b) ¿Qué cantidades de material reciclado reunieron las telesecundarias que quedaron

en segundo y tercer lugar?

c) ¿Cuál fue la menor cantidad de material reciclado que se recolectó?

34 34 115 52 106 72 52 40 89 116

114 110 89 67 115 80 96 89 40 89

89 62 40 98 80 46 111 111 29 25

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Sesión 97En esta sesión interpretarás la información que se presenta en distintas tablas.

 Manos a la obra1. La siguiente tabla muestra el número de viviendas particulares habitadas, por entidad

federativa, con disponibilidad de computadora en los años 2000, 2005 y 2010.

Entidad federativa 2000 2005 2010Aguascalientes 25 927 61 954 99 579Baja California 84 377 188 340 374 234Baja California Sur 11 793 32 352 72 319Campeche 8 532 27 061 55 160Coahuila de Zaragoza 52 571 129 265 230 582Colima 11 813 29 665 58 737Chiapas 22 018 63 584 135 322Chihuahua 72 885 183 005 312 615Distrito Federal 451 553 825 157 1 171 631Durango 21 445 59 870 105 076Guanajuato 67 668 163 484 301 818Guerrero 19 619 59 908 129 170Hidalgo 23 971 72 311 134 561Jalisco 163 935 371 642 652 230Estado de México 289 186 697 749 1 162 156Michoacán de Ocampo 46 557 118 615 221 817Morelos 31 704 73 340 137 530Nayarit 11 795 36 568 78 882Nuevo León 127 178 261 981 468 025Oaxaca 20 482 65 558 134 557Puebla 64 339 166 162 287 815Querétaro 38 673 86 444 153 832Quintana Roo 18 557 47 916 115 058San Luis Potosí 32 387 87 448 151 052Sinaloa 37 781 104 451 220 665Sonora 53 505 135 318 267 201Tabasco 20 729 59 110 117 126Tamaulipas 54 062 136 969 256 467Tlaxcala 9 042 28 374 53 921Veracruz de Ignacio de la Llave 72 247 202 314 405 608Yucatán 28 494 69 669 129 964Zacatecas 16 610 49 343 84 909Estados Unidos Mexicanos 2 011 425 4 694 927 8 279 619

Nota: Cifras correspondientes a las siguientes fechas censales: 14 de febrero (2000), 17 de octubre (2005), y 12 de junio (2010).

Fuente: http://www.inegi.org.mx/sistemas/sisept/default.aspx?t=mviv41&s=est&c=26573

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AutoevaluaciónResponde lo siguiente.

• ¿Qué significaría que el total de la columna de frecuencia relativa fuera mayor a uno?

Consulta en…

Entra a la página del INEGI para conocer otros interesantes datos estadísticos sobre nuestro país.

En parejas, utilicen la información anterior y calculen el porcentaje por año para cada enti-dad con respecto al total nacional.

Contesten las siguientes preguntas.

a) Cada uno explique a su compañero, con sus propias palabras, qué información muestra

la tabla.

b) ¿A qué años corresponde la información que presenta la tabla?

c) ¿Qué entidad muestra el mayor porcentaje y en qué año?

d) Indiquen por cada año las entidades que tienen los tres primeros lugares en porcentaje.

1º año

2º año

3º año

e) ¿Qué entidades mantienen el mismo porcentaje durante los tres años de análisis?

f) En cada año aumentó el número de computadoras en las viviendas particulares. ¿En qué

año hubo un mayor aumento?

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Sesión 98Evaluación

Aplica lo aprendido y selecciona la respuesta correcta a cada problema.

1. Jacinto requiere comprar 150.45 dólares para pagar un artículo que se ofrece en una tienda en internet. ¿Cuántos pesos debe juntar para poder pagar, si el tipo de cambio está en $14.30?

a) $ 2 151.354

b) $ 2 151.4035

c) $ 2 151.435

d) $ 2 151.536

2. Considera la ecuación 9 x = 270.

¿Cuál de los siguientes problemas se puede resolver con la ecuación anterior?

a) El volumen de un eneágono regular mide 270 cm.

b) El área de un eneágono regular mide 270 cm.

c) El perímetro de un eneágono regular mide 270 cm.

d) El perímetro de un eneágono irregular mide 270 cm.

3. Un corredor tarda cierta cantidad de minutos para recorrer diferentes distancias, como se muestra en la tabla.

Tiempo (minutos) 21 min 42 min 55 min 84 min

Distancia 7 km 14 km 28 km

Si corre durante 55 minutos, ¿qué distancia recorrió?

a) 15.00 km

b) 18.33 km

c) 20 km

d) 22 km

4. Un rollo higiénico contiene 43.7 metros de papel. Si cada hoja mide 10.4 cm, ¿cuántas hojas higiénicas contiene el rollo?

a) 300.23

b) 400.51

c) 420.19

d) 499.10

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5. ¿En cuál de los siguientes polígonos regulares el área es de 20 m2?

2 cm

a = 4

2 cm

a = 1.37

2 cm

a = 2.61

2 cm

a = 5.00

6. En una caja se colocan 12 lápices del mismo tamaño y textura, 3 son azules, 3 rojos, 2 amarillos, 2 negros, 1 verde y 1 morado. ¿Cuál de las siguientes frases es verdadera?

a) Hay más posibilidades de sacar un lápiz color morado que uno verde.

b) Hay más posibilidades de sacar un lápiz color azul que uno rojo.

c) Hay más posibilidades de sacar un lápiz color rojo que uno amarillo.

d) Hay más posibilidades de sacar un lápiz color amarillo que uno negro.

La siguiente tabla ilustra el consumo de energía eléctrica en kilowatts (kW) de 4 casas durante 5 meses.

Mes Noviembre Diciembre Enero Febrero Marzo

Casa 1 86 95 105 88 102

Casa 2 78 89 110 80 97

Casa 3 76 98 89 78 114

Casa 4 89 100 65 117 76

7. ¿En qué mes se consumió la mayor cantidad de ener-gía eléctrica?

a) Enero

b) Febrero

c) Diciembre

d) Marzo

8. ¿Qué casa consumió menos energía durante los cinco meses?

a) Casa 1

b) Casa 2

c) Casa 3

d) Casa 4

9. ¿Qué polígono regular se puede generar a partir del ángulo mostrado?

a) Dodecágono

b) Undecágono

c) Pentadecágono

d) Icoságono

156°

a) b) c) d)

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Bloque 4

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• Construir círculos y polígonos regulares que cumplan con

ciertas condiciones establecidas.

• Leer información presentada en gráficas de barras

y circulares. Utilizar estos tipos de gráficas para

comunicar información.

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Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos.

Secuencia 25Números positivos y negativos

Sesión 99En esta sesión resolverás problemas que implican utilizar números enteros.

 ¿Qué sabes tú?En equipos, cada uno de los integrantes escoja un objeto de la ilustración. Luego describan en un trozo de papel la ubicación de los objetos que eligieron y muéstrenlo a uno de sus compa-ñeros; pueden emplear números y símbolos para la descripción, pero no palabras. Cada uno debe interpretar el mensaje de su compañero para saber qué objeto eligió. Anoten en el papel el nombre del objeto y devuélvanlo a su compañero. Finalmente revisen si interpretaron correc-tamente la descripción y pudieron identificar el objeto. Si hubo equivocaciones, deben encon-trar en dónde estuvo la falla y corregirla.

40 m

10 m

4 m

1 m

1 m

10 m

4 m

22 m

40 m

60 m

ESCUELA Ver

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 Manos a la obra1. En otra telesecundaria,

un equipo elaboró un mensaje que fue co-rrectamente interpreta-do. Observen y analicen cómo lo hicieron.

Objetos que se eligieron: La persona que recibió el mensaje cree que es:

60 m Helicóptero

1 m Tubería de gas

4 m Rata

a) Utilicen ese mismo sistema y comple-ten la tabla.

Ubicación Dibujo

Carro del metro

4 m

Tubería de agua potable

10 m

b) Hay objetos sobre el nivel del suelo, como el helicóptero, y por debajo de su nivel, como el metro.

En esta propuesta ¿cómo se representaron los objetos que están ubicados sobre el

nivel del suelo?

¿Y los que se encuentran bajo el nivel del suelo?

Con este sistema, escriban cómo representarían la ubicación de un bache sobre la calle.

2. En parejas, contesten las siguientes preguntas.

En la primera actividad de la sesión, ¿cómo representaron ustedes los objetos que están

sobre el nivel del suelo? ¿Por qué?

¿Cómo lo hicieron con los objetos que están ubicados bajo

el nivel del suelo?

¿Por qué?

Comparen sus mensajes con los de otros equipos. ¿Cuáles les parecen más claros y por qué?

Como hay distintas maneras de comunicar la ubicación de los objetos, se debe establecer un acuerdo. En este ejemplo podríamos repre-sentar el nivel del suelo con el cero, lo que está sobre el nivel del suelo con signo positivo + y lo que está bajo el nivel del suelo con signo negativo − .

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Sesión 100En esta sesión localizarás números enteros en un recta númerica.

 Manos a la obra1. En parejas, completen la siguiente tabla usando los signos + y – según corresponda.

Objeto Ubicación

Palomas a 20 m sobre el nivel del suelo. + 20 m

Una señal de tránsito a nivel del suelo.

Un cable de la luz a 4 m de altura.

Una estación del metro a 15 m bajo el nivel del suelo.

2. En parejas, localicen en la siguiente recta numérica los objetos que se mencionan en la tabla anterior. Cada división equivale a 5 unidades.

3. Localicen los siguientes números en la recta numérica. Cada división equivale a una unidad.

1, 3, 7, –1, –5, –6, 0

Los números con signo positivo, o simplemente positivos, se ubican a la derecha del cero en la recta numérica y se escriben con el signo + o sin él; por ejemplo, el 1 positivo se escribe +1 o sólo 1.

Los números negativos se ubican a la izquierda del cero en la recta numérica y siempre se escriben anteponiéndoles un signo −; por ejemplo, el 16 negativo se escribe −16.

El cero no es ni positivo ni negativo, es neutro, por lo que se escribe sin signo (no se le pone + ni –).

Los números enteros están formados por los enteros positi-vos, los enteros negativos y el cero. Se pueden representar en la recta numérica tal y como se hizo con las fracciones y los decimales. Para ubicarlos, primero se determina el lugar del cero, a continuación se sitúan a su derecha los números con signo + (enteros positivos) y a su izquierda los números con signo – (enteros negativos).

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Sesión 101En esta sesión identificarás el orden que tienen los números enteros.

 Manos a la obraConocer la temperatura ambiental es importante para realizar nuestras actividades cotidianas. Para medirla se emplean los termómetros ambientales, como el de la ilustración, que muestran tanto temperaturas sobre cero o temperaturas positivas, como temperaturas bajo cero o tem-peraturas negativas. Las temperaturas bajo cero se acostumbra representarlas anteponiéndo-les el signo –.

Conocer los cambios o las variaciones de la temperatura nos permite, entre otras cosas, tener un mayor control de las cosechas y cuidar mejor nuestra salud.

1. En parejas, contesten las preguntas con los datos de la tabla.

El 16 de enero de 2012 el Servicio Meteorológico Nacional publicó un aviso de las heladas que se esperaban para ese día en distintas ciudades.

Ciudad Estado Temperatura máxima (°C)

Temperatura mínima (°C)

La Rosilla Durango 16.0 –8.5

El Vergel Chihuahua 14.0 –5.0

Creel Chihuahua 22.0 –4.0

La Ascensión Nuevo León 23.0 –3.0

¿Qué temperaturas máximas se esperaban en La Rosilla y El Vergel?

¿Cuál es mayor?

¿Cuál de las temperaturas mínimas que se esperaban en Creel y La Ascensión es menor?

¿De cuánto se esperaba la variación de temperatura en El Vergel?

¿Y en Creel?

2. En grupo, comparen sus resultados y comenten sus procedimientos.

En el equipo 1 señalaron que la variación de temperatura que se esperaba en El Vergel es de 9 °C, porque 14 − 5 = 9.

En el equipo 2 utilizaron el termómetro ambiental para localizar las temperaturas y dijeron que la variación es de 19 °C, porque es el número de grados que hay entre ambas tempe-raturas.

¿Cuál de los dos equipos obtuvo la variación de temperatura correcta?

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La variación de temperatura es el número de grados que hay entre dos tempe-raturas dadas.

Por ejemplo,

Máxima Mínima Diferencia

Guapoca 21.3 –2.9 24.2

La variación de temperatura también la podemos interpretar como la distancia que hay entre dos números en una recta numérica horizontal.

Por ejemplo: entre −12° y 7° hay una distancia de 19 unidades.

Es decir, la distancia entre dos números es igual a la longitud del segmento que los une.

−12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7

19

3. En equipos, empleen la imagen del termómetro para contestar las preguntas siguientes.

a) En un cierto día, la temperatura máxima en Toluca fue de 25 °C y la temperatura mínima fue de −1.5 °C. ¿De cuánto fue la variación de temperatura en esa ciudad?

b) La temperatura mínima de Pachuca fue de −2.9 °C. Si se sabe que la variación de tem-peratura es de 23.4 °C, ¿cuál fue la temperatura máxima de dicha ciudad?

c) ¿Cuántos grados hay de −9 °C a −26 °C?

d) ¿Cuántos grados hay de −1.5 °C a −15.5 °C?

e) En el termómetro ubiquen las temperaturas 13 °C y 4 °C, ¿cuál de las dos es menor?

f) ¿Cuál es la variación entre estas temperaturas?

g) Ahora ubiquen las temperaturas –13 °C y –4 °C, ¿cuál de las dos es menor?

h) ¿Cuál es la variación entre estas temperaturas?

i) Entre –13 °C y 4 °C, ¿cuál de las dos temperaturas es menor?

j) Analicen sus respuestas en grupo y en caso de controversia consulten con su profesor.

24.2

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4. Calcula la distancia que hay entre cada par de marcas del mismo color.

Distancia entre marcas naranjas

Distancia entre marcas azules

Distancia entre marcas verdes

Distancia entre marcas rojas

Distancia entre marcas azules

Distancia entre marcas verdes

Consulta en…

Entra al sitio <http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1025>, ahí encon-trarás más información sobre los números enteros.

-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

20°C16°C

1°C−1°C

−8°C

−29°C

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Sesión 102En esta sesión conocerás el valor absoluto y el simétrico de los números con signo.

 Manos a la obraLa distancia que hay entre un número dado y el cero se conoce como valor absoluto. Observa que este valor es siempre positivo porque corresponde a la longitud del segmento que une a dicho número con el cero.

El valor absoluto de un número se representa por medio de dos barras paralelas.

Por ejemplo: la longitud entre el –11 y el 0 es 11, es decir, el valor absoluto de –11 es 11 y se escribe |–11| = 11.

La longitud entre el 7 y el 0 es 7, es decir, el valor absoluto de 7 es 7 y se escribe |7| = 7.

1. En la recta numérica se han representado algunos números.

−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

−7.5 −6.5 −112

12 1

12 3.5

a) ¿Qué número positivo tiene el mismo valor absoluto que −6.5?

b) ¿Qué número negativo tiene el mismo valor absoluto que 12

?

c) ¿Cuáles números tienen valor absoluto 5?

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y comenten los procedimientos que em-plearon.

2. Contesta las siguientes preguntas.

a) ¿Qué número negativo tiene el mismo valor absoluto que 11?

b) ¿Qué valor absoluto tienen los números 18 y −18?

c) ¿Qué número positivo tiene el mismo valor absoluto que −7.5?

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3. En parejas, contesten las siguientes preguntas.

a) ¿Cuál es el simétrico del 5?

b) ¿Cuál es el simétrico del −3?

c) ¿Cuál es el simétrico del −18.9?

d) ¿Cuál es el simétrico del 16.1?

e) ¿Son simétricos los números 32 y − 3

2 ?

f) ¿Cuál es el simétrico de − 14 ?

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros.

El valor absoluto de los números positivos y negativos siempre es un número positivo.

Por ejemplo: |–10.2| = 10.2 y |10.5| = 10.5

Dos números que están a la misma distancia del cero se llaman números simétricos.

Por ejemplo: +3 y –3 son números simétricos.

-3 0 3

|-3|=3 |3|=3

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Sesión 103

AutoevaluaciónResponde lo siguiente.

1. Ubica sobre la recta numérica los números siguientes: –1.5, 12

, –0.25, – 13 , 2.25

-3 -2 -1 0 1 2 3

2. Abajo de cada uno de los números anteriores escribe su valor absoluto.

3. Encuentra el simétrico del mayor número positivo y del menor número negativo.

Consulta en…

Busca en las bibliotecas escolares y de aula las siguientes referencias con lecturas interesantes sobre este tema:

Carlos Bosch y Claudia Gómez, “Números enteros”, en Una ventana al infinito, México, sep-Santillana, 2002 (Libros del Rincón).

Luz María, Marván, “Números simétricos”, “Números con signo”, “¿Mayor o menor?” y “El valor absoluto”, en Representación numérica, México, sep-Santillana, 2002 (Libros del Rincón).

En esta sesión resolverás ejercicios aplicando lo que estudiaste anteriormente.

 Manos a la obra1. En una recta numérica, ¿de qué lado del cero se ubican los siguientes números?

28 –27 33

–18 –16 8

2. ¿Qué distancia hay entre los siguientes pares de números?

a) −6 y 10 b) 10.3 y 26 c) −9 y −0.5

d) −15 y 3.9 e) −6.1 y 0 f) 0.9 y 8.1

g) −4.25 y 0.5

3. Escriban mayor que (>) o menor que (<) según corresponda.

a) 14.7 6.1 b) −9.5 5 c) −4.3 −15.7

d) –0.98 –0.1 e) –15.6 10.6

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Secuencia 26El círculo y cómo construirlo

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Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas.

Sesión 104En esta sesión reconocerás la diferencia entre círculo y circunferencia.

 ¿Qué sabes tú?1. Completa la siguiente definición.

Una línea curva cerrada, que cumple con la condición de que todos sus puntos mantienen

la misma distancia con el centro es

2. Organizados en equipos lleven a cabo la siguiente actividad y contesten las preguntas.

Para permitirle a Víctor salir a jugar futbol con sus amigos, su mamá le puso como condición que armara el siguiente rompecabezas de un círculo, en cuyas piezas se han señalado algunas rectas notables y ciertos puntos sobre la circunferencia.

A

BC

En una hoja, calquen el rompecabezas de Víctor, recórtenlo y ármenlo.

¿Cuánto tiempo les tomó armarlo?

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 Manos a la obraResponde las preguntas siguientes.

1. En la imagen del rompecabezas, los puntos A, B y C ¿están sobre la circunferencia o dentro

del círculo?

2. ¿Es lo mismo círculo que circunferencia? . Si consideras que son distin-tos, escribe con tus propias palabras una definición de círculo y una de circunferencia.

3. En las siguientes imágenes escribe el nombre de los elementos del círculo y su definición.

Comenten en grupo las respuestas que dieron.

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Sesión 105En esta sesión trazarás circunferencias a partir de dos puntos dados.

 Manos a la obra1. Organizados en equipos, observen la siguiente situación y contesten

las preguntas.

Javi y Ale jugaban con una cuerda en el patio de su casa. Ale perma-necía firme mientras Javi daba vueltas manteniendo tensa la cuerda.

a) ¿Qué figura describe el movimiento de Javi?

b) ¿Qué elemento representa en la figura descrita el punto donde

se paró Ale?

c) ¿Qué elemento de la circunferencia representa la cuerda con la

que jugaban?

d) ¿Se puede trazar una circunferencia conociendo la longitud

de su radio?

3. Don Cheto amarró un chivo a una estaca con una cuerda, como se muestra en la figura de la derecha.

Cuando está completamente extendida, la cuerda mide 6 metros.

Colorea la región de pasto que puede co-mer el chivo mientras está amarrado.

2. Observa la siguiente figura y escribe un procedimiento para trazar una circunfe-rencia, con ayuda del compás, conocien-do la longitud de su radio.

a) Si se traza otro segmento del centro a un punto cualquiera de la circunferen-cia dibujada, ¿cómo es en relación al

radio?

b) ¿Cuántos radios tiene una circunfe-

rencia?

10 m

5 m

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Sesión 106En esta sesión encontrarás un procedimiento para trazar una circunferencia a partir de su diámetro o de una cuerda de la misma.

 Manos a la obra1. En parejas, resuelvan la siguiente actividad.

Para una obra de teatro de la asignatura de Artes se nece-sitan unas máscaras de cartulina de forma circular. Para hacerlas, cada alumno midió la distancia de su frente a su barbilla. A continuación están los segmentos que indican las distancias obtenidas por dos alumnas.

Conociendo estas distancias, ¿cómo construirán la base de las máscaras?

¿Qué elemento del círculo representarán estos segmentos?

Ahora midan la distancia que hay entre su frente y su barbilla y hagan su propia máscara.

Compartan con el grupo el procedimiento que siguieron para elaborar su máscara y elijan la mejor máscara (recuerden que debe tener forma circular).

2. Realiza lo siguiente.

a) Marca un punto en tu cuaderno y traza una circunferencia de 5 cm de radio.

b) Señala dos puntos sobre la misma y únelos, procurando que no definan el diámetro.

¿Cómo se llama este segmento?

c) Traza la mediatriz del segmento resultante.

18 cmYoyis

20 cmArucha

Observa que al trazar la mediatriz del segmento que definen dos puntos sobre la circunferencia, el centro está sobre dicha mediatriz.

El segmento que determina la unión de dos puntos dentro de la circunferencia se llama cuerda.

Responde las siguientes preguntas.

¿Cómo son las distancias del centro a los puntos mar-

cados sobre la circunferencia?

¿Es posible trazar otras circunferencias que pasen por

los mismos puntos que elegiste?

Comenta tus respuestas con tus compañeros.

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Como ya viste, la mediatriz de un segmento que une dos puntos de la circunferencia pasa por el centro de la misma; por lo tanto, conociendo dos puntos y tomando un punto sobre la me-diatriz como centro, se puede trazar una circunferencia que pase por ellos.

Mediatriz

B

A

3. Encuentra el centro de las circunferencias aplicando los conceptos que manejamos en la sesión.

Figura 1 Figura 2 Figura 3

Analicen en grupo lo que sucede en el caso de la figura 3.

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Sesión 107En esta sesión trazarás circunferencias a partir de tres puntos dados.

 Manos a la obraEn parejas, resuelvan lo que se les solicita.

1. La tienda de ropa Mores tiene tres sucursales ubicadas en diferentes puntos de la ciudad. Si se decide colocar una bodega a la misma distancia de cada una de las tres sucursales, ¿en qué lugar se debe ubicar la bodega? Señálenlo en el croquis.

Los puntos marcados con rojo son los sitios donde se localizan las tiendas.

a) ¿Es posible determinar un punto que se encuentre a la misma distancia de los puntos

rojos?

b) Describan el procedimiento que siguieron para determinarlo y compártanlo con el grupo.

c) ¿Podemos auxiliarnos del trazo de mediatrices para ubicar la bodega del problema

anterior?

d) Para encontrar un punto que equidiste de los puntos rojos, ¿será necesario trazar las

tres mediatrices o será suficiente con trazar sólo dos de ellas?

2. El dueño de la tienda de ropa finalmente construyó la bodega y ahora desea abrir una nue-va sucursal. Quiere que ésta se ubique a la misma distancia de la bodega, al igual que las demás sucursales.

Encuentren en el croquis anterior cinco posibles lugares donde instalarla.

Comparen sus propuestas con las de sus compañeros.

¿Cuáles son todos los posibles lugares en donde pueden situar la nueva sucursal?

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Consulta en…

En las bibliotecas escolares y de aula busca los libros con las siguientes referencias para saber más sobre este tema:

José Antonio de la Peña, Geometría y el mundo, México, sep-Santillana, 2002 (Libros del Rincón).

Carlos Hernández, La geometría en el deporte, México, sep-Santillana, 2002 (Libros del Rincón).

AutoevaluaciónResponde lo siguiente.

1. Describe el procedimiento para construir un círculo a partir de tres puntos dados.

2. Si tienes tres puntos, ¿cuántas circunferencias puedes trazar que pasen por ellos?

3. Y si solamente tienes dos puntos, ¿cuántas circunferencias puedes trazar que pasen

por ellos?

3. En su cuaderno marquen tres puntos a diferentes distancias, cuidando de que no sean colineales (es decir, que no estén en una misma línea recta).

a) Unan los puntos mediante segmentos.

b) Tracen las mediatrices de los segmentos.

c) Encuentren la intersección de las mediatrices y llámenlo O.

d) Tomando como centro el punto O y como radio la distancia de O a cualquiera de los puntos, tracen una circunferencia. Comprueben que ésta pasa por los puntos marcados.

Comparen con otras parejas los puntos que dibujaron y las circunferencias que trazaron.

4. En grupo, analicen lo siguiente.

Dado que los tres puntos de la actividad anterior no están en una misma recta, ¿por qué se intersecan en el mismo punto las mediatrices de los segmen-

tos que los unen?

¿Cuál fue el objetivo de encontrar este punto de in-

tersección?

Dados tres puntos no colineales siempre se puede trazar una única circunferencia que pase por ellos. El centro de la misma es el punto de intersección de las mediatrices.

Cuando los tres puntos son colineales (es decir, cuando están sobre la misma recta), no se puede trazar la circunferencia.

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Secuencia 27Pi en el círculo

Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente). Explicación del número π (pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro.

Sesión 108En esta sesión medirás el perímetro de una circunferencia.

 ¿Qué sabes tú?Observa la siguiente imagen.

Formen parejas y propongan cómo calcular la longitud de la circunferencia (perímetro) y el área del círculo de la imagen anterior.

¿Qué métodos se les ocurrieron y qué resultados obtienen utilizándolos?

círculocircunferenciara

dio

diámetro

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 Manos a la obraLleva a cabo las siguientes actividades.

1. Usa tu compás para trazar dos círculos distintos en tu cuaderno. Tú determinarás la medida de los radios. Ahora mide la longitud de las circunferencias. Dos posibles formas de hacer-lo son:

a) Utiliza un trozo de hilo (lo bastante largo), colócalo sobre la circunferencia y marca el punto donde se encuentra con el extremo inicial del hilo, y ahora mide la distancia entre este extremo y la marca que realizaste. Haz lo mismo con la otra circunferencia.

b) Recorta una copia de cada círculo. Colócala sobre el borde más largo de una hoja de papel (como se muestra en la imagen). Marca en la hoja y en el círculo un punto inicial. Ahora rueda el círculo sobre el borde hasta que gire completamente (lo sabrás cuando la marca que hiciste vuelva a estar sobre el borde). Mide lo que abarcó el reco-rrido de la circunferencia.

2. Para cada uno de los círculos que trazaste en tu cuaderno, mide el diámetro, el perímetro

y calcula perímetrodiámetro .

3. ¿Qué notas en los resultados de los dos cocientes calculados?

4, Formen equipos, comparen sus resultados y coméntelos.

¿Qué tienen en común los resultados?

Borde de la hoja

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Sesión 109En esta sesión aprenderás a calcular el perímetro de una circunferencia.

 Manos a la obraEn la sesión anterior calculaste el cociente perímetro/diámetro en círculos distintos, y notaste que este cociente es aproximadamente 3.14.

1. Utilizando esta fórmula y un valor aproximado para π de 3.14, calcula el perímetro de los dos círculos que dibujaste en la sesión anterior.

Anota los resultados en tu cuaderno.

¿Es distinto el resultado al del perímetro que habías medido?

¿A qué se podría deber la diferencia?

2. ¿Cuál es la longitud de una circunferencia cuyo radio mide 10 cm?

3. Lee el siguiente poema.

Soy y seré a todos definible,

mi nombre tengo que daros,

cociente diametral siempre inmedible

soy de los redondos aros.

Manuel Golmayo

Este poema está dedicado al número π, ¿notas alguna relación entre el poema y el valor de π?

Comenta tu respuesta con tu grupo y con ayuda del profesor lleguen a una conclusión.

Para cualquier círculo este cociente da el mismo valor, el cual se denomina pi y se representa con la letra griega π. El valor de π es aproximadamente 3.1416.

Entonces, dado que para todo círculo tenemos perímetrodiámetro = π ,

podemos calcular el perímetro del círculo con la fórmula: perímetro = π × diámetro.

Un dato interesante…

Las cifras decimales de π nunca terminan, y además no se puede encontrar un periodo en ellas. Te presentamos las primeras veinte cifras de π:

3.1415926535897932384…

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Sesión 110En esta sesión calcularás el área de círculos.

 Manos a la obraLleva a cabo las siguientes actividades.

1. En tu cuaderno traza con color azul un polígono regular (puede ser un triángulo, un cuadra-do, un pentágono, un hexágono) y encuentra el punto medio de todos sus lados. Luego traza una circunferencia que pase por tres de estos puntos, y ahora une con color verde los puntos medios anteriores.

¿Cuál es el área de cada polígono que dibujaste?

¿Qué relación hay entre estas áreas y el área del círculo?

Comenten sus resultados en parejas.

2. En parejas comenten cómo obtener un valor más aproximado para el área del círculo, y con ayuda de su profesor den una mejor aproximación.

Cuando una circunferencia pasa por todos los vértices de un polígono regular se dice que ésta circunscribe al polígono, o que el polígono está circunscrito por la circunferencia. Por ejemplo, el polígono verde que trazaste está circunscrito por la circunferencia.

En cambio, una circunferencia está inscrita en un polígono regular cuando pasa por todos los puntos medios de los lados de dicho polígono. Este es el caso del polígono que trazaste en color azul.

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Sesión 111En esta sesión encontrarás una fórmula para calcular el área de un círculo.

 Manos a la obraLleva a cabo las siguientes actividades.

1. Observa la imagen.

Mide y calcula el perímetro y el área de los polígonos. Anótalos abajo de cada uno.

¿Qué sucede con los perímetros conforme aumenta el número de lados del polígono?

¿Y con el área?

¿Qué relación hay entre el perímetro de los polígonos y el perímetro de la circunferencia?

¿Qué relación hay entre el área de los polígonos y el área del círculo?

2. En equipos, analicen las construcciones de la sesión anterior.

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¿Qué sucede con los perímetros de los polígonos azules conforme aumenta el número

de lados del polígono?

¿Y con el área?

¿Qué relación hay entre el perímetro de estos polígonos y el perímetro de la circunferencia?

¿Qué relación hay entre el área de estos polígonos y el área del círculo?

Imagina que cada vez hay más lados en el polígono regular que está inscrito en la circunfe-rencia. ¿Cómo será el perímetro del polígono respecto al de la circunferencia?

¿Y el área?

Una circunferencia se puede pensar como un polígono regular con una cantidad infinita de lados, cuyo apotema coincide con el radio (en la imagen se puede notar cómo al aumentar el número de lados del polígono el apotema es cada vez más cercana a la longitud del radio).

ra ra ra ra

Entonces calculamos el área del círculo utilizando la fórmula del área para polígonos regulares:

Área = perímetro × apotema

2

Pero sabemos que,

perímetro = π × diámetro

apotema = radio

Así que sustituyéndolos en la fórmula de área se obtiene:

Área = π × diámetro × apotema

2

Ahora dado que, diámetro = 2 × radio, la fórmula para calcular el área del círculo es:

Área = π × radio × radio, o lo que es lo mismo:

A = π × r2

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Sesión 112En esta sesión aplicarás las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo.

 Manos a la obra1. En parejas, completen la siguiente tabla. En ella se encuentran los datos de cinco círculos

distintos. Consideren π = 3.14.

Radio Diámetro Perímetro Área

2 cm

2 cm

3 cm

8 cm

5 cm Analicen los resultados de la tabla. ¿Qué sucede con el perímetro del círculo cuando se

duplica y se triplica el tamaño de su diámetro?

¿Existe una razón de proporcionalidad? Coméntalo con un compañero.

¿Sucede lo mismo con el área?

Si el diámetro de un círculo aumenta en una unidad, ¿qué sucede con el perímetro?

Resuelvan mentalmente las preguntas siguientes.

a) Si el radio de un círculo mide 6 cm, ¿cuánto será su perímetro?

b) Si el diámetro de otro círculo mide 7 cm, ¿cuánto mide el perímetro?

Comenten sus respuestas para llegar a una conclusión, con la orientación de su profesor.

AutoevaluaciónResponde lo siguiente.

1. Una aproximación del número π

es:

2. ¿Cuáles son las fórmulas del perímetro y el área del círculo?

Consulta en…

En las bibliotecas escolares y de aula busca los libros con las siguientes referencias para saber más sobre este tema:

José Antonio de la Peña, “¿De dónde sale el famoso número Pi?”, en Geometría y el mundo, México, sep-Santillana, 2002 (Libros del Rincón).

Carlos Hernández, La geometría en el deporte, México, sep-Santi-llana, 2002 (Libros del Rincón).

Carlos Hernández, “Perímetro del círculo”, en La geometría en el deporte, México, sep-Santillana, 2002 (Libros del Rincón).

Luz María Marván, “Números de cuento y de película”, en Representación numérica, México, sep-Santillana, 2002 (Libros del Rincón).

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Secuencia 28Regla de tres

Análisis de la regla de tres empleando valores enteros o fraccionarios.

Sesión 113En esta sesión resolverás problemas para encontrar el valor unitario.

 ¿Qué sabes tú?Contesta lo siguiente.

Si se quieren comprar seis latas de rajas, ¿en cuál de las dos tiendas conviene comprar?

$6.74

promoción2x1

“AbarrotesDon Domingo”

APROVECHE3x2

“TIENDITADE LA ESQUINA”

$5.90

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 Manos a la obra1. Resuelve los problemas siguientes.

a) Arturo compró 4 kg de azúcar y pagó $48.00, ¿cuánto habría pagado por 2 kg?

¿Y por 13 kg?

¿Cómo obtuviste el precio para 2 kg?

¿Y para 13 kg?

b) Con $71.50 se compraron tres gorras. ¿Cuánto cuesta una gorra?

Completa la tabla.

Núm. de gorras 15 21 55 109 210

Precio

Para saber el precio de cualquier cantidad de gorras, ¿es importante conocer el valor de

una sola gorra? ¿Por qué?

¿Cómo obtuviste el valor de una sola gorra?

2. Resuelve el problema siguiente.

La siguiente nota de remisión es del mate-rial que compró Jesús para la instalación hidráulica de su baño. El vendedor no lle-nó la columna de valor unitario.

a) ¿Cuánto cuesta un codo de 90° de 12 pulgada?

b) ¿Cuánto se pagará por 3 T de 12 ?

c) ¿Cuánto cuesta un metro de tubo

de 12 ?

d) Si se compran 2 llaves de paso y 3 pa-quetes de soldadura, ¿cuánto se debe

pagar?

Nombre: JesúsDomicilio: Central #23Teléfono: 663 0543Cant. Descripción Precio Unitario Importe

5 Codos de 90° 12 pulgada $32.50

2 Tubos de 12 pulgada, 6m $688.00

8 T de 12 pulgada $88.00

3 Llaves de paso $162.00

4 Paquetes de soldadura $280.00

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Sesión 114

Dados dos números a y b, al cociente ab se le denomina la razón

de a respecto a b.

Dos razones están en proporción si los cocientes respectivos son equivalentes, esto es:

ab = c

d = constante de proporcionalidad.

Los términos a y d se denominan extremos, y los términos b y c se denominan medios.

En toda proporción se cumple que el producto de los extremos es igual al producto de los medios, o lo que es lo mismo, a d = b c.

En esta sesión resolverás problemas con la constante de proporcionalidad.

 Manos a la obra1. En parejas resuelvan el problema siguiente.

En la tabla se muestra la cantidad de piezas del mismo modelo adquiridas por cada perso-na y lo que pagaron en total.

Nombre Cantidad de piezas Pago total

Víctor 13 $195.00

Mariana 8 $120.00

Angélica 21 $315.00

Daniel 4 $60.00

a) ¿Cuánto pagaría Víctor por una sola pieza?

b) ¿Cuánto pagaría Mariana por 30 piezas?

c) Si se sabe la cantidad de piezas adquiridas, ¿cómo se puede determinar la cantidad a

pagar?

e) Gabriela pagó $270.00 por todas las piezas adquiridas. ¿Cuántas piezas compró?

f) Si se conoce la cantidad pagada, ¿cómo se puede determinar la cantidad de piezas

adquiridas?

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2. Resuelve los problemas.

a) Rosalba compró 3 kg de azúcar en $57.00, y su mamá compró 5 kg, ¿cuánto pagó la

mamá de Rosalba por el azúcar que compró?

b) Juan es taquero, y para no equivocarse al hacer las cuentas y determinar la cantidad de dinero que debe cobrar, decidió elaborar una tabla, sólo que no la concluyó. Escribe los valores que faltan.

Cantidad de tacos 1 2 3 5 10

Cantidad a cobrar (pesos) 60 204

c) Gonzalo y Felipe corrieron a la misma velocidad. Gonzalo corrió 12 km en 48 minutos,

¿en cuánto tiempo corrió Felipe 7 km?

d) Ana, Jesús y Lizbeth tienen el mismo rendimiento de gasolina en sus autos. El auto de

Ana consumió 15 litros de gasolina al recorrer 135 km, Lizbeth recorrió en su auto

99 km, y el auto de Jesús consumió 9 litros de gasolina en su recorrido, ¿cuántos litros

de gasolina consumió el auto de Lizbeth?

La regla de tres es una manera de resolver problemas con valores relacionados en proporción directa, ésta se denota como a:b : : c:d

también se representa como ab = c

d , que es igual que ad = bc

La regla de tres se aplica cuando se conocen tres valores y necesitamos averiguar un cuarto, y se basa en el hecho de que en una proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

Por ejemplo, en los autos del problema anterior, el gasto de gasolina está en proporción directa con los kilómetros que se recorren.

Para saber qué distancia recorrió Jesús en su automóvil con 9 litros de gasolina formamos la siguiente proporción:

Lizbeth Jesús

15 L135 km = 9 L

x km

De acuerdo con la propiedad de las proporciones que establece que a d = b c, sustituimos los datos y tenemos que:

15x = 135(9) Se forma una ecuación

x = 135 (9)15 Se resuelve la ecuación

x = 81

Jesús recorre 81 km con 9 L de gasolina.

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Sesión 115

Ensalada de atún(4 porciones)

2 latas de atún

250 gramos de lechuga

4 zanahorias

4 jitomates

3. Contesten en parejas.

a) Para preparar este platillo para 6 personas, ¿cuántas latas de atún se

necesitan?

b) Para 20 personas, ¿cuántos kilogramos de lechuga se necesitan?

c) En la familia de Reyna prepararon la receta y ocuparon 30 jitomates,

¿para cuántas porciones alcanzará la ensalada?

4. En equipos, comenten cómo encontraron las respuestas a los problemas de la sesión.

En esta sesión resolverás problemas encontrando el valor faltante en una proporción.

 Manos a la obra1. Analiza el procedimiento propuesto y después responde lo que se te pide.

Para transportar a 124 personas se requieren 4 autobuses. Si se emplearon 7 autobuses, ¿cuántas personas se transportaron?

Lo que se tiene es una proporción directa, y para encontrar el valor faltante se multiplican extremo por extremo y medio por medio.

(124) (7) = (x) (4) Se forma una igualdad (ecuación)

868 = 4 x Se resuelve la ecuación

x = 8684

x = 217

Entonces, en 7 autobuses se transportaron 217 personas.

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La información anterior también se puede representar de las siguientes maneras:

a) 124 personas son a 4 autobuses como x perso-nas son a 7 autobuses

124 : 4 : : x : 7

b) 4 autobuses son a 124 personas como 7 auto-buses son a x personas

4 : 124 : : 7 : x

¿Se colocaron los valores en cualquier orden ? ¿Por qué?

¿Qué valores son los extremos en el inciso b?

¿Qué valores son los medios en el inciso b?

Para la forma representada en el inciso a), 124 y 7 son los extremos, mientras que x y 4 son los medios.

Una forma más de expresar lo anterior es:

124 : 4

x : 7

Si aumentan las personas, ¿aumentará la cantidad de autobuses?

Si disminuye la cantidad de personas, ¿qué sucederá con la cantidad

de autobuses?

2. Lee los siguientes problemas y contesta las preguntas.

a) Por 3 árboles frutales del mismo precio Ernesto pagó $270. Laura también compró de

los mismos tipos de árboles. Si terminó pagando $630, ¿cuántos árboles frutales com-

pró Laura?

¿Cómo plantearías la proporción?

¿Cuál es la ecuación que se forma?

Encuentra la solución y escribe un enunciado con tu respuesta.

b) Para recorrer 85 kilómetros se emplearon 17 litros de gasolina. Si en total se emplearon

25 litros de gasolina, ¿cuántos kilómetros se recorrieron?

c) Para construir 5 m2 de pared se emplean 140 tabiques; con 476 tabiques, ¿cuántos

metros cuadrados de barda se pueden construir?

En equipos, comparen sus procedimientos y sus resultados.

En una proporción se tiene a : b : : c : d (se lee: a es a b como c es a d)

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209

Sesión 116En esta sesión resolverás problemas aplicando lo aprendido en las sesiones anteriores.

 Manos a la obra1. Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas.

a) En un edificio todos los departamentos tienen la misma cantidad de puertas. Si para 5 departamentos se colocaron 24 puertas y el edificio tiene 24 departamentos, ¿cuántas puertas se deben colocar?

b) Por 200 gramos de jamón se pagaron $25, ¿cuánto se deberá pagar por 750 gramos?

c) De un terreno de 8 hectáreas se cosecharon 72.8 toneladas de aguacate, ¿cuántas toneladas de aguacate se cosecharán en 15.7 hectáreas?

d) Si el rendimiento de un automóvil es de 18 kilómetros por litro de gasolina, ¿cuántos kilómetros recorrerá ese automóvil con 2 litros de gasolina?

¿Cuál es la expresión algebraica que permite calcular la distancia recorrida para cual-quier cantidad de litros de gasolina?

¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el consumo de gaso-lina a partir de la distancia que se recorre?

¿Cuál es la expresión algebraica que corresponde a esta situación de proporcionalidad?

Consulta en…

Entra al sitio:

<http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_1eso_pro-porcionalidad/index_1quincena6.htm>, ahí podrás conocer más y resolver ejercicios sobre proporcionalidad.

AutoevaluaciónResponde lo siguiente.

1. María fue de vacaciones a Acapulco en su camioneta. Desde su casa recorrió 522 kiló-metros y gastó 63 litros de gasolina. En cambio Pepe, en su automóvil, gastó 21 litros de gasolina para recorrer los 190 kilómetros que lo separaban de Cuernavaca.

¿El rendimiento de estos vehículos es proporcional? Explica por qué.

2. Si el auto de Javier tiene el mismo rendimiento que la camioneta de María, ¿cuánta

gasolina necesitará para recorrer los 28.8 kilómetros de la avenida Insurgentes, que es la

más extensa de la ciudad de México?

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Secuencia 29

Proporcionalidad utilizando escala

Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala.

Sesión 117En esta sesión trabajarás con problemas de escalas.

 ¿Qué sabes tú?Existen varios objetos que se realizan a escala con fines diversos. Por ejemplo, los mapas cartográficos, las ma-quetas que utilizan los arquitectos o los autos a escala. En la imagen de al lado se muestran las principales escalas usadas en autos, y una medida aproximada.

Si se hiciera un modelo a tamaño real, ¿a qué escala es-

taría?

¿En la imagen, a qué escala está el primer auto con res-

pecto al último?

 Manos a la obra1. Contesten en parejas.

Si el auto a escala 1:64 mide aproximadamente 7 cm de largo, ¿cuál es la medida aproxi-

mada del auto original?

¿Cuánto medirían los autos de las otras escalas?

Además de estas escalas, también se utiliza la escala 1:87, ¿cuál sería el tamaño del auto

en esta escala?

Comparen sus resultados con los de otras parejas.

1 : 1824 cm

1 : 2418 cm

1 : 4310 cm

1 : 647 cm

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El producto de dos números recíprocos siempre es uno. Por ejemplo,

7 multiplicado por su recíproco 17 es igual a 1, y 2

3 multiplicado

por su recíproco 32 es igual a 1.

Sesión 118En esta sesión continuarás trabajando con escalas en distintos contextos.

 Manos a la obra1. La siguiente imagen muestra el dibujo de un chip, he-

cho a una escala de 10:1 cm.

¿De qué tamaño es el chip real?

¿Cuál es la diferencia entre la escala utilizada en este

dibujo y las que emplearon en los autos de la sesión

anterior?

¿Cómo calculas la razón de proporcionalidad a partir

de la escala?

¿Cuál es la razón de proporcionalidad en este caso?

Si a partir del dibujo anterior se hiciera una réplica que coincidiera en medidas con el chip real, ¿cuál sería la escala del segundo dibujo, respecto del primero?

¿Cuál sería la razón de proporcionalidad?

¿La multiplicación de ambas razones de proporcionali-

dad es igual a uno? ¿Por qué?

¿Cuál sería la escala del segundo dibujo respecto del

chip original?

Comenten sus respuestas con sus compañeros.

10 : 1 cm

5 cm

10 cm

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212

Sesión 119En esta sesión aplicarás lo aprendido en las sesiones anteriores.

 Manos a la obra1. Contesten en parejas.

Se sabe que un rectángulo tiene un área de 24 cm2 y que su base mide 6 cm de longitud.

a) ¿Cuánto mide su altura?

b) Si se conserva el valor del área del rectángulo pero la base midiera 12 cm, ¿cuántos

centímetros medirá su altura?

c) Si ahora la base del rectángulo midiera 8 cm de longitud y conservara la misma área,

¿cuántos centímetros medirá su altura?

d) ¿Habría alguna relación de escala entre estos rectángulos?

Comenta tus respuestas con tus compañeros.

Consulta en…

Entra al sitio <http://vela.sep.gob.mx/index.php/primero> y selecciona la materia Matemáticas para ver el video “Proporcionalidad inversa”.

2. Resuelve esta actividad de manera individual.

La siguiente es una imagen de una habitación hecha a escala 1:12.

a) ¿Cuánto mide la habitación real?

b) ¿Cuál es la razón de proporcionalidad?

c) Si quisieras colocar una réplica tuya en la habita-

ción, ¿cuánto mediría de estatura?

Si quisieras hacer la habitación con las medidas origi-

nales, ¿a qué escala la harías, tomando como base

la habitación de la imagen?

¿Cuál es la relación entre ambas escalas?

En grupo, analicen las respuestas de esta actividad y obtengan una conclusión.

160 mm

127 mm

200 mm

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S29

213

Sesión 120En esta sesión aplicarás una proporción para ir de una escala a otra.

 Manos a la obra1. En equipos, realicen la siguiente actividad.

En su libro de Geografía ubiquen un mapa a escala.

¿A qué escala está el mapa?

Midan la distancia entre dos puntos del mapa, ¿qué distancia encontraron?

¿Cuál es la distancia real entre estos puntos?

Si en el mapa dibujas un cuadrado con lados de 1 cm, ¿cuál sería el área real de la región

que abarca el cuadrado?

Comparen y comenten sus resultados con otros equipos.

2. Responde las siguientes preguntas.

Si hicieras una estatua tuya, ¿de qué tamaño la harías?

¿Qué escala usarías?

Si se hiciera una réplica de tu estatua al doble del tamaño, ¿cuál sería la escala con res-

pecto a la estatua original? ¿Y cuál sería su escala con respecto a ti?

Comenta tus respuestas con un compañero.

AutoevaluaciónResponde lo siguiente, completando la afirmación para que sea verdadera.

1. El producto de dos números recíprocos es:

2. Un busto que mide 84 pulgadas de altura está hecho a una escala 7:1 pulgadas, ¿cuál es

su medida original en centímetros?

3. El muñeco de un superhéroe está hecho a una escala 1:7 pies, ¿cuál es su estatura

original en metros?

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Secuencia 30Problemas de conteo

Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados.

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A

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33

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34

A

T

Sesión 121En esta sesión aprenderás a enumerar todos los resultados posibles de una situación.

 ¿Qué sabes tú?Adriana vive cerca del centro de Ciudad Nezahualcóyotl, en la esquina que forman las calles 25 y Valle de Bravo. Ella va a la tienda que se encuentra en la calle 32 esquina con Chalco. El mapa muestra el recorrido que ayer hizo Adriana para ir a la tienda.

Realiza la siguiente actividad.

a) Sobre la imagen anterior marca con rojo otro recorrido que podría hacer Adriana para ir de su casa a la tienda.

En este recorrido, ¿por qué calles pasa Adriana para

llegar a la tienda?

Marca en la imagen, con color naranja, el recorrido que hizo alguno de tus compañeros. ¿Por qué calles pasa

este nuevo recorrido?

Casi todas las calles de Ciudad Nezahualcóyotl son rectas, por lo que es posible representar el recorrido que hizo Adriana de su casa (A) a la tienda (T), como muestra el croquis 1.

Croquis 1

Croquis

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A

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Croquis pareja 2

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A 1E

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1N

1N

2E

2S

T

b) Encuentren en el croquis 2 un recorrido en el que Adriana camine el menor número de cuadras para llegar a la tienda (T) y represéntenlo.

¿Cuántas cuadras tiene ese recorrido?

¿Cuántos recorridos diferentes hay con este número

de cuadras?

Comparen su solución con las de los otros equipos.

Marquen esos recorridos de distintos colores en el croquis 2.

 Manos a la obra1. Contesten en parejas.

Una pareja de alumnos señaló el recorrido que siguió Adriana en color naranja y otra en color rosa, como sigue:

a) ¿Puede llegar Adriana a la tienda siguiendo el camino 2N, 5E, 2S, 1N?

Utilicen las letras N, S y E para representar en su cuaderno los recorridos que puede hacer Adriana para ir de su casa a la tienda caminando el menor número de cuadras.

Croquis 2

Croquis pareja 1 Croquis pareja 2

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b) Jessica (J) es prima de Adriana y vive en la esquina de la calle 28 y Chimalhuacán. Utilicen el croquis 3 para contestar las preguntas.

¿Cuál es el menor número de cuadras que debe caminar Jessica para ir de su casa a la tienda (T)?

c) ¿De cuántas formas diferentes puede ir de su casa a la tienda caminando el menor número de cuadras?

Utiliza el código de las letras N, S y E para repre-sentar en tu cuaderno los recorridos más cortos que puede hacer Jessica.

A los recorridos que constan del menor número de cuadras se les llamará “recorrido óptimo”.

3. Consideren el croquis 4. Si alguien vive en la esquina

de las calles 23 y Valle de Bravo, ¿de cuántas formas

diferentes puede llegar a la tienda (T) caminando el

menor número de cuadras?

Al encontrar cuántas formas diferentes hay de realizar un recorrido se está resolviendo un problema de conteo. En los problemas de conteo es conveniente utilizar una manera de distinguir un resultado de otro.

Por ejemplo, en el caso de Adriana se puede diferenciar un camino de otro si cada uno de ellos se distingue con un símbolo, una letra o un nombre. Una manera de representar uno de los ocho recorridos óptimos que Adriana puede hacer es: 1E, 1N, 6E.

Esta manera de resolver problemas de conteo se llama “procedimiento de enumeración”.

Croquis 4

Croquis 3

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Sesión 122En esta sesión utilizarás tablas de doble entrada como recurso para ordenar y contar datos.

 Manos a la obra1. Contesta lo siguiente.

En la chocolatería La Delicia elaboran chocolates de dife-rentes tipos, formas y rellenos. Cuando alguien hace un pedido, el vendedor debe llenar un formato como el si-guiente:

a) ¿Habrá más de diez chocolates diferentes?

¿Más de veinte? ¿Más de cuarenta?

b) ¿Cuántos chocolates diferentes pueden elaborarse en

La Delicia?

Compara tus respuestas con las del resto del grupo.

2. En parejas, completen las siguientes tablas.

a) ¿Cuántas variedades de chocolates en forma de bolita

hay de chocolate amargo?

b) ¿Cuántas variedades hay de chocolate oscuro con re-

lleno de nuez?

c) Si alguien pide un chocolate con relleno de almendra, ¿entre cuántas variedades de chocolate puede elegir?

d) Observen las tablas. En la primera casilla de cada ta-bla está identificada la forma del chocolate, de la se-gunda columna en adelante están los rellenos, y del segundo renglón hacia abajo, los tipos. Si en vez de construir las tablas a partir de la forma del choco-late se construyen a partir de los diferentes tipos,

¿cuántas tablas tendrían que hacerse? . Elabórenlas en su cuaderno.

e) ¿Cambia el número total de variedades de chocolate?

¿Por qué?

Analicen sus resultados con ayuda del profesor.

La Delicia ChocolateríaCliente:

Pedido: Precio:

Fecha de entrega:

Marcar la opción deseada

Forma Barra

Bolitas

Tipo de chocolate

Oscuro

Blanco

Amargo

Relleno

Nuez

Almendras

Cacahuate

Chocolate en barra

Relleno nuez (n)

Relleno almendras

(a)

Relleno cacahuate

(c)

Oscuro (O) O-n

Blanco (B) B-a

Amargo (A)

Chocolate en bolitas

Relleno nuez (n)

Relleno almendras

(a)

Relleno cacahuate

(c)

Oscuro (O)

Blanco (B)

Amargo (A) A-a

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Sesión 123En esta sesión utilizarás como recurso de conteo el diagrama de árbol.

 Manos a la obra1. En parejas, completen el siguiente diagrama de árbol.

RellenoFormaTipo

Chocolate

Nuez

Bolitas

Obscuro

Blanco

a) ¿Cuántos chocolates diferentes de tipo amargo se pueden elaborar?

b) ¿Cuántos chocolate diferentes se pueden elaborar con relleno cacahuate?

c) ¿Cuántos chocolates diferentes se pueden elaborar en forma de barra?

d) ¿Cuántos chocolates diferentes se pueden elaborar?

e) ¿Obtuvieron el mismo número de chocolates diferentes con las tablas y con el diagrama

de árbol?

f) El diagrama de árbol anterior tiene tres niveles, uno por cada uno de los conjuntos que definen las características del chocolate, ¿cuál de las tres características del chocolate

se utiliza en el primer nivel del árbol?

g) Supongan que en La Delicia tienen un nuevo relleno: cajeta. ¿Cuántos chocolates dis-tintos podrían elaborarse ahora? Elaboren en su cuaderno el diagrama de árbol que represente esta situación.

Un diagrama de árbol es un recurso que permite visualizar y enumerar todos los resultados de un problema de conteo. Los diagramas de árbol están compuestos por niveles y ramas.

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2. En parejas, resuelvan el problema siguiente.

La Delicia puede decorar los chocolates con dos ingredientes: café o azúcar glass.

Ahora los ha incluido en el formato de pedidos.

a) ¿Cuántas opciones distintas de chocolates ofrece ahora La Delicia?

b) ¿Qué recurso les parece más conveniente utilizar para resolver este problema, el diagra-ma de árbol o las tablas? Empléenlo para resolver este problema en su cuaderno.

3. De los caracteres que los seres vivos heredan hay algunos que son dominantes y otros re-cesivos. Por ejemplo, en tu familia, ¿cuál color de ojos es un carácter dominante?,

¿cuál color de ojos es un carácter recesivo?

4. Supón que en cierto tipo de maíz, el blanco es un ca-rácter dominante y el azul es recesivo. Identifica el blanco con BB (dos letras porque la información de la herencia biológica se transmite en pares) y el azul con aa. Si en la primera generación se cruzan una planta de maíz blanco y otra de maíz azul, tendrás la siguiente tabla:

En esta generación todo el maíz que se cosecha es blanco porque B representa al carácter dominante. Una planta Ba indica que el maíz es blanco, pero lleva información del maíz azul (aunque no se manifieste). La única manera de que el maíz sea azul, por ser ca-rácter recesivo, es cuando ambas letras son aa.

Si se toman dos de los cuatro descendientes y se cru-zan, ¿de qué color será el maíz? Averígualo completan-do la tabla:

a) ¿Cuántas plantas dan maíz blanco? (recuerda que son las que por lo menos tienen una letra B)

b) ¿Cuántas plantas dan maíz azul (aa)?

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros.

Las tablas y los diagramas de árbol son dos recursos para encontrar de manera sistemática todos los resultados posibles en un problema de conteo. En ambos casos se ha hecho uso de códigos para enumerar los diferentes resultados. Cuando se realiza un conteo de modo sistemático, el resultado será siempre el mismo, no importa el recurso que se utilice.

Planta BB (blanco)

Planta aa (azul)

a a

B Ba Ba

B Ba Ba

Planta Ba

Planta Ba

B a

B

a

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Sesión 124En esta sesión resolverás un problema de conteo utilizando diferentes recursos para hacer el recuento.

 Manos a la obra

Monterrey

Huatulco

Cancún

Cuidad deMéxicoGuadalajara

Ciudad de salida Ciudad de llegada

1. Contesta lo siguiente.

Una aerolínea cubre los siguientes desti-

nos turísticos del país: ciudad de México,

Guadalajara, Monterrey, Huatulco, Can-

cún. La aerolínea ofrece vuelos directos;

por ejemplo, va de Guadalajara a Cancún

sin hacer escalas, ¿cuántos viajes diferen-

tes ofrece la aerolínea?

Compara tus respuestas con las de tus compañeros.

2. En parejas, realicen lo que se les pide.

a) Completen la tabla.

b) Si una persona sale de Monterrey, via-jando en esta aerolínea, ¿a cuántos destinos diferentes puede llegar?

c) Si una persona llega a Huatulco, ¿de

cuántas ciudades diferentes pudo ha-

ber salido?

d) En total, ¿cuántos viajes diferentes

hay? Ver

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3. La aerolínea ha decidido dar servicio a la ciudad de Los Cabos.

a) ¿Cuántos viajes diferentes ofrece ahora la aerolínea?

Un equipo empezó a resolver el problema mediante el siguiente diagrama de árbol.

b) Complétenlo en su cuaderno.

Avión

Ciudades de salida Ciudades de llegada Resultados viaje

Huatulco Huatulco-MonterreyGuadalajaraMonterreyCancúnMéxico

4. En equipos, contesten lo siguiente.

a) ¿Cuántos niveles tiene el diagrama de árbol?

b) ¿A qué corresponde cada nivel?

c) ¿Cuántas ramas tiene el primer nivel?

d) ¿A qué corresponde cada rama?

e) ¿Cuántas ramas tiene el segundo nivel?

f) ¿A qué corresponde cada rama?

g) Consideren una ciudad como punto de salida, ¿cuántas opciones

diferentes de viaje hay?

h) Si hay cinco ciudades como punto de salida, ¿cuántas opciones

diferentes de viaje hay?

i) ¿Qué relación encuentran entre el número de ciudades de salida,

el número de ciudades de llegada y el total de viajes que se pue-

den realizar?

Para determinar el número total de viajes que la aerolínea ofrece se puede multiplicar el número de ciudades de salida por el número de ciudades de llegada. Por ejemplo, si hay cuatro ciudades de salida y tres ciudades de llegada el número total de viajes es 4 × 3 = 12.

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Sesión 125En esta sesión resolverás problemas de conteo a partir de reconocer algunas regularidades y de utilizar distintos recursos y diferentes estrategias.

 Manos a la obra1. En parejas, contesten las siguientes preguntas, considerando la información de la sesión

anterior.

a) Ahora la aerolínea da servicio a siete ciudades del país. ¿Cuántos viajes diferentes

ofrece la aerolínea?

b) La aerolínea ahora da servicio a diez ciudades. ¿Cuántos viajes diferentes ofrece?

c) Otra aerolínea tiene como destinos las capitales de los 31 estados del país y la ciudad

de México. ¿Cuántos viajes diferentes ofrece esta otra aerolínea?

Los diagramas de árbol y las tablas son recursos que ayudan a encontrar todas y cada una de las opciones existentes en un problema de conteo. En ocasiones la multiplicación es la operación que permite encontrar el número total de opciones existentes.

2. Enrique necesita ponerle una clave a su celular para que nadie pueda ver las fotos que guarda en él. La clave debe tener dos cifras y ninguna de las dos puede ser 0 y deben ser diferentes entre sí.

a) ¿Qué números puede utilizar Enrique como primera

cifra?

¿Cuántos son en total?

b) Si la primera cifra fuera 8, ¿qué números podría

utilizar como segunda cifra?

¿Cuántos son en total?

c) Entonces, ¿qué números de dos cifras pueden

ser el número de la clave del celular de Enrique?

¿Cuántos pares de números existen

en total que cumplen con las condiciones del pro-

blema?

3. En parejas, resuelvan el problema siguiente.

Para tener una mayor seguridad Enrique decide que, en lugar de dos dígitos, su clave tenga tres dígitos, ahora sí puede utilizar el 0 y repetir dígitos. Supongan que el primero debe elegirse de los números del 5 al 8, el segundo tiene que ser 1 o 2 y el tercero es menor que 5.

a) ¿Cuántas claves distintas se pueden formar?

b) Elaboren tablas de doble entrada para representar los resultados.

c) ¿Cuántas claves para el celular inician con 51?

d) ¿Cuántas claves terminan con 0?

e) ¿Cuántas claves tienen el mismo número en los

tres dígitos?

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Sesión 126En esta sesión aprenderás a leer e interpretar un diagrama de árbol.

 Manos a la obraEn parejas, realicen lo que se indica.

1. El siguiente diagrama de árbol muestra algunas de las posibles placas de identificación vehicular que se pueden formar utilizando únicamente dos dígitos en cada una. Compléten-lo en su cuaderno.

a) Contesten las siguientes pre-guntas.

El resultado (2,1) significa que

en la placa se tiene el 2 en el

primer dígito, ¿qué número tie-

ne en el segundo dígito?

¿Qué significa el resultado

(1,2)?

¿Y el resultado (6,6)?

¿Cuántas placas distintas pue-

de haber?

b) De esas placas, ¿en cuántas se cumplen las siguientes con-diciones?:

• Los dígitos se repiten.

• En el primer dígito hay un

número mayor que en el

segundo.

• En el primer dígito hay un

número par.

c) Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y con-testen lo que se les pide.

¿Cuántas placas hay en las

que ambos dígitos son núme-

ros impares?

¿Y cuántas en las que ambos

dígitos son pares?

ALN–8111

ALN–8112

ALN–8113

ALN–8114

ALN–8115

ALN–8116

ALN–8117

ALN–8118

ALN–8119

Posibles placas

1 1

1 2

1 3

1 4

1 5

1 6

1 7

1 8

1 9

Combinación dígitosSegundo dígito

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Primer dígito

1

2

3

4

5

6

7

8

9

ALN–81 _ _

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Consulta en…

En las bibliotecas escolares y de aula busca las siguientes referencias para conocer otros ejemplos de problemas de conteo:

Akiro Nozaki, Trucos con sombreros, México, sep-fce, 2005 (Libros del Rincón).

Mitsumasa Anno, El jarrón mágico. Una aventura matemática, México, sep-Editorial Juventud, 2005 (Libros del Rincón).

AutoevaluaciónCompleta lo que se te pide.

1. Un recurso que permite visualizar y enumerar todos los resultados de un problema de

conteo es:

2. ¿Qué palabras de cuatro letras se pueden crear con las letras de la palabra A M O R?

¿Cuáles de esas palabras tienen un significado?

2. Del diagrama de árbol se ha tomado el siguiente conjunto de resultados:

(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (4,7), (4,8), (4,9), (4,0).

¿Qué característica tienen en común estos resultados?

¿Qué característica tienen en común los siguientes conjuntos de resultados?

a) (1,3), (2,3), (3,3), (4,3), (5,3), (6,3)

b) (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)

c) (1,3), (2,2), (3,1)

d) (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)

Comenten con el grupo sus resultados.

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Secuencia 31Tipos de gráficas

Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada.

Sesión 127En esta sesión reconocerás algunos tipos de gráficas.

 ¿Qué sabes tú?Una forma de presentar la información para que sea analizada de manera visual es mediante gráficas. Las más sencillas son la gráfica de barras y la gráfica circular. En ellas se muestra el comportamiento de los datos de la población que se está estudiando.

Los diferentes medios de comunicación, como los periódicos y las revistas, utilizan las gráficas de barra y circular para mostrar a los lectores el comportamiento de diferentes noticias o investigaciones que realizan, ya sea de manera impresa o electrónica. Ejemplo de ello son las gráficas siguientes.

Fuente: El economista.mx

¿Con qué frecuencia los niños de 3 a 12 años consumen cereales?

37%Diario

50%De 2 a 3 veces por semana

9%Cada

semana

3%Cada mes

1%Nunca

¿Cuál es la razón principal por la que compras cereales a los niños?

42% Los niños lo piden (les gusta) 33% Por sus propiedades alimenticias (son nutritivos) 7% Para que desayunen los niños 5% Para darle variedad al desayuno 3% Por costumbre 10% Es práctico (fácil preparación)

REVISTADELCONSUMIDOR•MARZO11>43

Fuente: Revista del Consumidor.

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1. Observa las gráficas y contesta la pregunta siguiente.

a) ¿Qué tema muestran cada uno de los gráficos?

2. En equipos de cuatro integrantes, realicen la actividad siguiente.

a) Cada uno de los miembros del equipo escojan una de las imágenes anteriores, obsér-venla, analícenla y, con sus palabras, expliquen al resto del equipo lo que la gráfica informa.

 Manos a la obra

1. En parejas, observen la gráfica y contesten.

De acuerdo con la Encuesta Nacional sobre Prácticas de Lectura 2006, el promedio de li-bros leídos por los alumnos de cuarto a sexto de primaria y de secundaria según el servicio educativo es de 3.6 a nivel nacional.

5

4

3

2

1

0

3.6

4.8

4.1

1.72.5 2.4 2.3

Primari

a Mult

igrad

o

Primari

a Ind

ígena

Primari

a Gen

eral

Secu

ndari

a Gen

eral

Secu

ndari

a Téc

nica

Teles

ecun

daria

Nacion

al

Promedio de libros leídos

a) En promedio, ¿qué alumnos leen más libros?

b) ¿Cuál es la diferencia entre el mayor promedio de lectura y el promedio nacional?

c) ¿Qué promedio de libros leídos tiene el servicio educativo que menos lee?

d) Al comparar sólo el nivel de secundaria, ¿en qué lugar se ubica el promedio de lectura

de la telesecundaria?

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227

2. La siguiente gráfica muestra información sobre el promedio de libros leídos por los alumnos de cuarto a sexto de primaria y de secundaria, agrupados por rangos de edad.

Promedio de libros leídos por grupos de edad

1.9

2.9

4.5De 8 a 11 años

De 12 a 15 años

De 16 años y más

a) ¿En qué grupo de edad se presenta el mayor promedio de libros leídos?

b) ¿Qué grupos de edad presentan un promedio mayor al nacional?

c) ¿Qué promedio de libros leídos presenta el grupo de edad de 8 a 11 años?

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Sesión 128En esta sesión resolverás problemas utilizando gráficas de barras.

 Manos a la obra1. En parejas, resuelvan el problema siguiente.

Un documento del Instituto Mexicano de Cinematografía presenta toda la información per-tinente sobre el desarrollo anual del cine mexicano. La siguiente tabla muestra la asistencia al cine por día de la semana.

El miércoles el precio promedio de la entrada fue 18% menor respecto al precio habitual.

21%

26%

14%15%

8%8% 7%

Doming

o

Sába

do

Vierne

s

Jueve

s

Distribución de asistencia

Miérco

les

Martes

Lune

s

30%

25%

20%

15%

10%

5%

0%

Fuente: IMCINE, con datos de Rentrak / Anuario estadístico 2010.

a) ¿Qué porcentaje de asistencia se presentó el fin de semana en los cines?

b) ¿Qué día se presenta el mayor número de asistentes?

c) El miércoles se presenta un 15% de asistencia. ¿Podrías justificar el motivo?

En grupo, comparen sus respuestas.

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2. Observa la siguiente gráfica y contesta.

Fuente: IMCINE, con datos de Rentrak / Anuario estadístico 2010.

Otra pe

lícula

de hu

evos

y un

pollo

Una pe

lícula

de hu

evos

Arrán

came l

a vida

No eres

tú, s

oy yo

Rudo

y cu

rsi

La m

isma l

una

Y tu m

amá t

ambié

nKm 31

Amore

s perr

os

El cri

men de

l pad

re Am

aro

Películas mexicanas con mayor número de espectadores. 2000–2010

6

5

4

3

2

1

0Espe

ctad

ores

en

mill

ones 5.2

4.0 3.53.3 3.2 3.1 3.0 2.9

2.5 2.4

a) ¿Cuál es la película con mayor audiencia?

b) ¿Cuál es la diferencia en audiencia entre la película más vista y la menos vista?

En una gráfica de barras, la altura de cada barra es la cantidad que representa. Su principal finalidad es comparar datos de las distintas categorías de información. Para comparar catego-rías es recomendable ordenar las frecuencias, ya sea en orden ascendente o descendente.

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Sesión 129En esta sesión resolverás problemas utilizando gráficas circulares.

 Manos a la obra1. La siguiente información se refiere a la distribución porcentual de horas a la semana que los

integrantes del hogar de 12 y más años de edad dedican a actividades de esparcimiento.

Convivencia social

Asistencia a eventos culturales, deportivos y de entretenimiento

Deportes y ejercicio físico

Participación en juegos y aficiones

Utilización de medios masivos de comunicación

59.0

4.2

2.16.7

28.1

Fuente: INEGI, Encuesta Nacional de Uso del Tiempo 2009.

¿A qué actividad le dedican más tiempo?

¿A qué actividad le dedican menos tiempo?

A la gráfica circular se le llama también “de pastel”, o diagrama de sectores, y se construye empleando la frecuencia relativa (fracción o número decimal) de cada dato.

Al sumar los porcentajes de todos los sectores siempre da como resultado 100%.

Consulta en…

Explora los siguientes sitios para conocer otras interesantes gráficas de estadísticas:

<http://eleconomista.com.mx/industrias/2012/01/26/buen-fin-impulsa-ventas-minoristas-mexico>

<http://revistadelconsumidor.gob.mx/wp-content/uploads/2011/05/estudio-cereales2.pdf>

<http://revistadelconsumidor.gob.mx/wp-content/uploads/2011/11/bebidas-hidratantes.pdf>

<http://cuentame.inegi.org.mx/poblacion/default.aspx?tema=P>

<http://www.imcine.gob.mx/informes-y-estadsticas.html>

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AutoevaluaciónResponde lo siguiente.

• ¿Es correcto utilizar una gráfica de barras para comparar porcentajes, y una gráfica circular para comparar frecuencias? Justifica tu respuesta.

2. El gráfico siguiente muestra el tipo de actividad que desempeña el personal de los gobier-nos estatales de la República Mexicana.

Actividades de gobierno

Servicios educativos

Servicios de salud y asistencia social

38%

9%

53%

¿En qué actividad se desempeña el mayor número de personas?

¿En qué actividad se desempeña el menor número de personas?

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Sesión 130Evaluación

Aplica lo aprendido a lo largo del bloque y selecciona la respuesta a cada problema.

1. ¿Qué distancia hay entre los números –16.01 y 1.08?

a) –15.07

b) –14.93

c) 15.07

d) 14.93

2. Coloca la letra V cuando la afirmación sea verdadera, y la letra F cuando la afirmación sea falsa.

Para encontrar el centro de un círculo dadas dos paralelas, se traza la mediana a una de las cuerdas, se identifica el diámetro que está sobre la mediatriz, se obtiene el punto medio del diámetro, el cual es el centro del círculo.

Dados tres puntos que no son colineales siempre se puede trazar una circunferencia que pase por ellos. El centro de la circunferencia que pasa por ellos es el punto de intersección de las mediatrices.

Para encontrar el centro de un círculo dadas dos cuerdas no paralelas, se traza la mediatriz a cada cuerda y el punto de intersección de las mediatrices trazadas es el centro de la circunferencia.

3. ¿Cuál es el área de un círculo cuyo diámetro es de 7 cm?

a) 10.9 cm2

b) 21.9 cm2

c) 38.48 cm2

d) 153.93 cm2

4. Si 5 paquetes de arroz cuestan $49.5, ¿cuánto costarán 12 paquetes?

a) $117.6

b) $118.8

c) $119.8

d) $130.8

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5. Si dos albañiles construyen una barda en 3 días, ¿cuánto tardarían en construirla 4 albañiles?

a) Un día y medio

b) Un día

c) Dos días

d) Dos días y medio

6. ¿Cuántas placas como la siguiente es posible obtener si se pueden repetir los dígitos?

a) 72

b) 81

c) 90

d) 100 A – 30 –7. Con la información de la siguiente tabla construye una gráfica de barras usando la columna

“ambos sexos”.

2012Nacimientos totales

Ambos sexos Varones Mujeres

Estado de Colima 10 133 5 191 4 942

Armería 365 187 178

Colima 1 842 943 899

Comala 312 160 152

Coquimatlán 246 126 120

Cuauhtémoc 381 195 186

Ixtlahuacán 50 26 24

Manzanillo 2 950 1 511 1 439

Minatitlán 84 44 40

Tecomán 1 800 922 878

Villa de Álvarez 2 103 1 077 1 026

Fuente: SINAIS, Estadística de nacimientos estimados por sexo en el estado de Colima para el año 2012: <http://www.sinais.salud.gob.mx/nacimientos/index.html> [Fecha de consulta: 15-12-2011]

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Bloque 5

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• Resolver problemas aditivos que impliquen el uso de

números enteros, fraccionarios o decimales positivos

y negativos.

• Resolver problemas que impliquen el cálculo de la raíz

cuadrada y potencias de números naturales y decimales.

• Resolver problemas de proporcionalidad directa del tipo

“valor faltante”, en los que la razón interna o externa es

un número fraccionario.

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Secuencia 32Sumas y restas con enteros

Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros.

Sesión 131En esta sesión realizarás operaciones con números enteros.

Recuerda que los enteros son el conjunto de números que incluye a los naturales, sus negativos y al cero.

 ¿Qué sabes tú?En los torneos de futbol, si un equipo gana un partido se le asignan tres puntos, si empata uno, y si pierde no se le contabiliza nada. Al final del torneo se suman todos los puntos acumulados y el que tenga más es el ganador. Si dos equipos tuvieran el mismo número de puntos se utili-za como criterio de desempate la diferencia de goles, es decir, los goles anotados menos los goles recibidos, de manera que el equipo que tenga un número mayor tendrá mejor posición.

En el mundial de 2010 celebrado en Sudáfrica, la selección mexicana jugó en la primera fase del torneo contra Sudáfrica, Francia y Uruguay. Los dos primeros lugares del grupo clasificaron a la segunda ronda. Los resultados de los encuentros de los equipos del grupo se muestran a continuación.

Sudáfrica 1-1 México

Francia 0-0 Uruguay

Francia 0-2 México

Sudáfrica 0-3 Uruguay

Uruguay 1-0 México

Sudáfrica 2-1 FranciaFuente: FIFA, World Cup South Africa 2010.

¿Cuántos puntos tuvieron al final de la primera ronda cada uno de los equipos?

¿Qué equipos clasificaron a la siguiente ronda?

¿Por qué?

Comenta con tu grupo tus respuestas.

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 Manos a la obraEn parejas, realicen las siguientes actividades.

1. A continuación se muestran los tiros penales a favor y en contra marcados a los equipos participantes en el torneo de apertura 2011-2012 del futbol mexicano. Completen la tabla.

Equipo Penales a favor Penales en contra Diferencia

UNAM 2 2 0

Atlante 6 0

Monterrey 6 2

Querétaro 6 3

Puebla 4 4

San Luis 3 4

Guadalajara 3 2

Morelia 3 3

Pachuca 3 1

Jaguares 2 4 −2

Toluca 2 3

Santos 1 2

América 1 0

Tijuana 1 5

UAG 1 5

Cruz Azul 1 1

Atlas 1 3

UANL 0 2Fuente: Federación Mexicana de Futbol.

¿Qué equipos tuvieron más penales a favor?

¿Qué equipos tuvieron más penales en contra?

¿Qué equipos tuvieron la misma cantidad de penales a favor y en contra?

¿Qué equipos tuvieron menos penales a favor que en contra?

Comenten sus resultados con el grupo.

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238

2. El ingreso y el gasto mensual de cinco familias de cierto poblado se muestran a continuación.

Familia Ingreso Gasto

López $5 000.00 $4 500.00

Hernández $8 500.00 $7 800.00

Pérez $3 500.00 $3 400.00

Rodríguez $6 200.00 $4 950.00

García $7 490.00 $6 325.00

Después de haber realizado sus gastos, ¿qué familia dispone de mayor cantidad de dinero

para hacer frente a alguna eventualidad?

Supóngase que una de estas familias tiene que hacer un desembolso adicional de $900.00

para la atención médica de uno de sus hijos, ¿qué familia podría realizar este pago sin

necesidad de pedir prestado?

Comenten sus respuestas con sus compañeros.

En una adición de dos números enteros, que cuentan con el mismo signo, el resultado mantendrá el mismo signo.

En una adición de dos números enteros con diferente signo, el resultado será positivo si el valor absoluto del número positivo es mayor que el valor absoluto del número negativo; en caso contrario el resultado es negativo, y es cero si ambos valores absolutos son iguales. Por ejemplo:

9 + (–5) = 4, pues |9| > |–5|

–9 + 5 = –4, pues |5| < |–9|

–9 + 9 = 0, pues |–9| = |9|

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Sesión 132En esta sesión resolverás problemas haciendo sumas de números enteros.

 Manos a la obra1. En parejas, realicen las siguientes actividades.

a) Un juego de lotería tiene 12 planillas (divididas en 9 casillas) y 52 cartas en las que se encuentran los personajes. Regularmente, para marcar las casillas se utilizan piedras o algunas semillas. Si hay 12 personas jugando, ¿cuántas piedras o semillas se necesitan

para llenar todas las planillas?

b) La familia Martínez adquirió una casa a través de un crédito bancario y cada mes va a pagar al banco $3 500.00, que representan la tercera parte de su ingreso. Por otra parte, el señor Martínez está preocupado porque uno de sus hijos va a estudiar la pre-paratoria y mensualmente requiere $1 500.00 para cubrir sus nuevas responsabilida-des, y además sus gastos habituales por mes ascienden a $4 500.00. ¿Con su ingreso

actual puede cubrir sus gastos?

c) Debido a problemas con el transporte público, Juan casi siempre llega tarde a su traba-jo. Su jefe y él acordaron que cada vez que llegue tarde deberá quedarse más tiempo al final de la jornada, o de lo contrario se le descontará un día por cada hora acumulada. A continuación se muestra el tiempo que Juan llegó tarde en la última semana.

Día Tiempo que llega tarde en minutos

Lunes 68

Martes 43

Miércoles 94

Jueves 16

Viernes 19

¿Cuál fue el total de tiempo que tuvo que reponer Juan en esa semana?

Si no hubiera repuesto el tiempo que llegó tarde, y al día gana $200.00, ¿cuánto dinero

le hubieran descontado?

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y coméntenlas.

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240

Sesión 133En esta sesión realizarás adiciones con enteros.

 Manos a la obraPara realizar sumas de números enteros tienes que considerar el valor absoluto de las cifras y sus signos.

1. Resuelve las siguientes sumas de números enteros.

(+427) + (+180) =

(110) + (150) =

(−9470) + (+842) =

(+108) + (−487) =

(−57) + (−84) =

2 ¿Qué número se debe sumar en las siguientes operaciones?

+ (−5792) = 0

+ 4865 = 0

Compara tus resultados con el grupo.

3. En parejas, resuelvan la siguiente actividad.

Durante el ciclo escolar 2006-2007, en Veracruz había en total 1 628 telesecundarias. Si 489 eran consideradas urbanas, ¿cuántas telesecundarias eran rurales?

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Sesión 134En esta sesión realizarás sustracciones de números enteros.

 Manos a la obraResuelve las actividades siguientes.

1. José va a la feria del pueblo a jugar, lleva $125.00 para gastar. Si gastó $60.00 en juegos de destreza y $75.00 en juegos mecánicos, ¿cuánto dinero le queda para seguir jugando?

2. Luis va a presentar un informe de la administración de su edificio; los datos de los movi-mientos del último mes se muestran en la tabla siguiente.

Concepto Entrada Salida

Saldo al cierre del mes anterior $6 530.00

Pago de conserje $1 750.00

Pago de luz $487.00

Pago de agua $230.00

Pago de vigilancia $1 200.00

¿Cuál es el saldo al final del mes?

3. Juan recibe en su tarjeta de débito $1 800.00 por su beca. Durante el mes en curso realiza tres compras, una de $950.00, otra de $300.00 y una más de $250.00, ¿Cuánto será su

saldo para el siguiente mes?

Si antes del corte le depositan $500.00, ¿cuánto tendrá el próximo mes?

4. En equipos, con las siguientes frases construyan un ejemplo para cada una de ellas, com-pleten la información faltante y comenten sus resultados.

Un número positivo “grande” – un número positivo “pequeño” =

Un número positivo “pequeño” – un número positivo “grande” =

Un número negativo “grande” – un número positivo “pequeño” =

Un número positivo “pequeño” – un número positivo “grande” =

Un número positivo “grande” – un número negativo “pequeño” =

Un número positivo “pequeño” – un número negativo “grande” =

Un número negativo “grande” – un número negativo “pequeño” =

Un número positivo “pequeño” – un número negativo “grande” =

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242

Sesión 135En esta sesión usarás sumas y restas de números enteros para resolver problemas.

 Manos a la obraResuelvan en parejas los siguientes problemas.

1. Un vehículo de transporte público recorre su ruta generalmente en una hora. La ruta se conforma de cinco paradas; en la siguiente tabla se muestra el número de pasajeros que utilizaron el vehículo en la ruta de las 9 a las 10 de la mañana del pasado lunes. Completen la tabla.

Parada Pasajeros que suben al vehículo

Pasajeros que descienden del

vehículo

Pasajeros a bordo al dejar la parada

Base 60 0 60

La Loma 15 8

El Centro 25 49 43

El Fuerte 13 21

La Plaza 3 29

Base 0 0

¿Cuántos pasajeros descendieron en total del vehículo durante toda la ruta?

Si el vehículo cobra $8.00 por persona, ¿cuánto llevaba recaudado al salir de El Fuerte?

Comenten sus resultados con el grupo.

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S32

243

2. En la tabla siguiente se muestran los ingresos y egresos del mes de agosto de una taquería.

Costos $

Ventas de la primera semana 12 000.00

Ventas de la segunda semana 8 000.00

Ventas de la tercera semana 13 500.00

Ventas de la cuarta semana 15 000.00

Renta (mensual) –5 000.00

Agua (bimestral) –200.00

Luz (bimestral) –1 500.00

Pago por seguridad social (mensual) –1 200.00

Salario de tres personas (quincenal) –9 000.00

Materia prima (semanal) –3 500.00

¿Cuál es la ganancia neta del mes de agosto?

Comenten sus respuestas con el resto del grupo.

AutoevaluaciónResponde lo siguiente.

• ¿Cuáles de las siguientes operaciones resultan en un número negativo? Subráyalas.

–54 + 53

–38 + (–37)

1 – 2

2 – (3) Ver

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244

Secuencia 33Notación exponencial

Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.

Sesión 136En esta secuencia aprenderás a representar dichas cantidades en una forma abreviada, llamada notación científica, que ayuda a realizar cálculos con cantidades muy grandes, como la distancia entre la Tierra y el Sol, que es de 149 597 870 000 m; o con cantidades muy pequeñas, como la longitud de una bacteria, que puede ser de 0.000005 m.

 ¿Qué sabes tú?La imagen muestra las medidas de un abrevadero que se construirá en un rancho.

1. Completa la tabla con las medidas del abrevadero en las unidades que correspondan.

Metros (m) Centímetros (cm) Milímetros (mm)

Largo 10 10 000

Ancho 100

Altura 70

2. Calcula el área de las caras laterales del abrevadero, según la unidad de medida que se

solicita.

a) ¿Cuántos milímetros cuadrados tienen de área las caras laterales del abrevadero?

b) Comparen sus resultados con el grupo.

10m

1000mm

70cm

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245

 Manos a la obra1. Escribe las siguientes potencias como productos y obtén sus resultados.

26 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64

53 = = 125

= 10 × 10 =

35 = =

Recuerda que un número que se multiplica varias veces por sí mismo se representa como una potencia. Por ejemplo: 3 × 3 × 3 × 3 = 34. En la expresión 34, 3 es la base y 4 es el exponente.

2. Calcula las potencias de 10 que se indican en las tablas. Si lo requieres usa números decimales.

Potencia de 10 Cantidad

10–1

10–2

10–3

10–4

10–5 = 1105 = ( 1

10)50.00001

10–6

Potencia de 10 Cantidad

105

104

103

102 100

101

100

a) ¿Cuántos ceros hay después del 1 al calcular 103?

b) ¿Cuántos ceros hay después del 1 al calcular 1012?

c) ¿Cuántas cifras (ceros y 1) hay después del punto decimal al calcular 10–4?

d) ¿Cuántas cifras hay después del punto decimal al calcular 10–15?

3. Analiza tus respuestas y contesta las siguientes preguntas.

a) ¿Qué relación hay entre el exponente positivo de la potencia de 10 con el número de

ceros que van después del 1?

b) ¿Qué relación hay entre el exponente negativo de la potencia de 10 con el número de

cifras que van después del punto decimal?

En grupo, comenten sus respuestas y entre todos establezcan sus conclusiones.

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246

B5

Sesión 137

1. Expresa cada cantidad como una potencia de 10.

1 000 = 0.00001 =

10 000 000 = 0.000000001 =

10 = 0.001 =

100 000 = 0.1 =

a) ¿Cómo obtuviste los resultados de la columna izquierda?

b) ¿Cómo obtuviste los resultados de la columna derecha?

2. Analiza los siguientes casos y responde las preguntas. Justifica tus respuestas.

a) Para escribir 10 000 000 como potencia de 10, Ana recorrió el punto decimal hacia la izquierda hasta llegar a la derecha del 1, luego contó el número de cifras que lo recorrió y escribió ese número como exponente de la potencia de 10.

10 000 000 = 107

• ¿Es correcto el procedimiento que siguió Ana?

• ¿Se puede aplicar este procedimiento en los demás casos de números naturales?

b) Para expresar 0.00001 como potencia de 10, José recorrió el punto decimal hacia la derecha hasta después del 1, luego contó el número de cifras que lo recorrió y escribió ese número como exponente de la potencia de 10, pero con signo negativo.

0.00001 = 10−5

• ¿Es correcto el procedimiento seguido por José?

• ¿Se puede aplicar este procedimiento en los demás casos de números decimales?

En grupo, comparen sus respuestas. Entre todos redacten en su cuaderno una regla para escribir la cantidad que le corresponde a una potencia de 10 (consideren que hay exponentes positivos y negativos).

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247

S33

3. Expresa las cantidades como el producto de un número natural por una potencia de 10.

30 000 =

150 000 =

0.12 =

0.04 =

a) José escribió la siguiente respuesta: 30 000 = 34

¿Es correcto el resultado de José? Explica por qué.

b) Ana escribió la siguiente respuesta: 30 000 = 3 × 10 000 = 3 × 104

¿Es correcto el resultado de Ana? Explica por qué.

4. Expresa cada cantidad como el producto de un número por un múltiplo de 10; y luego como potencia de 10.

a) 200 000 = 2 × 100 000 = 2 × 105

b) 4 000 = × 1 000 = × 103

c) 350 000 000 = 3.5 × =

d) = 1.25 × 1 000 000 =

6. En equipos, comenten lo siguiente.

¿Qué procedimiento se debe realizar para expresar 0.04 en notación científica?

Se le llama notación científica a la forma abreviada de expresar un número muy grande, con una multipli-cación donde uno de los factores es una potencia de 10 y el otro es un número menor que 10, por ejemplo: 351 000 000 se puede expresar como 3.51 × 108 V

ersi

ón d

e ev

alua

ción

23/

04/1

2

248

B5

Sesión 138En esta sesión transformarás números muy grandes.

 Manos a la obra1. Resuelve los problemas siguientes.

a) La distancia media entre la Luna y la Tierra es aproximadamente de 380 000 000 m. Expresa esta cantidad en notación científica.

Distancia Luna a Tierra = m

b) La vida media de un muón (partícula elemental similar al electrón) es de 0.0000022 s. Expresa esta cantidad en notación científica.

Vida media del muón = s

2. Escribe cada número en notación científica.

a) 3 640 000 =

b) 0.0000000000000034 =

c) 47 090 000 000 000 000 =

d) 0.000001006 =

e) 21 890 000 000 =

f) 0.00000005402 =

3. En grupo, redacten una regla para escribir números muy grandes o muy pequeños en nota-

ción científica.

En notación científica un número decimal muy pequeño se expresa con una multiplicación donde uno de los factores es una potencia de 10 con exponente negativo, por ejemplo: 0.0000000017 se expresa como 1.7 × 10–9

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249

S33

Sesión 139En esta sesión utilizarás la notación científica para expresar la resolución de un problema.

 Manos a la obra¿Sabías que la luz que nos llega del Sol es historia?, esto se debe a que tarda cerca de 8.3 mi-nutos en recorrer una distancia aproximada de 149 597 870 km que hay entre el Sol y la Tierra. Piensa en cuánto tardará en llegar la luz de estrellas que están a miles de millones de kilóme-tros de nuestro planeta.

1. Resuelve los problemas siguientes.

a) En números redondos, la distancia media entre la Tierra y el Sol es de 150 000 000 000 m, y la distancia entre la Tierra y Neptuno es de 4 308 000 000 000 m.

¿Cuál es la distancia aproximada que hay entre el Sol y Neptuno?

b) Expresa las medidas de las distancias de la Tierra al Sol y a Neptuno en notación científica:

Distancia entre la Tierra y el Sol = 150 000 000 000 m = m

Distancia entre la Tierra y Neptuno = 4 308 000 000 000 m = m

Realiza la suma de las dos cantidades expresadas en notación científica.

¿Qué resultado obtuviste?

c) En grupo, comenten los procedimientos que siguieron y sus resultados. ¿Hubo diferen-tes respuestas? Verifiquen sus resultados escribiéndolos en notación decimal.

2. En parejas, lean los siguientes procedimientos.

Emilio resolvió la suma del problema de la siguiente manera:

• Primero escribió las cantidades como potencias de 10, de manera que ambas tuviesen el mismo exponente en la potencia de 10.

Distancia entre la Tierra y el Sol = 150 000 000 000 m = 1.5 × 1011 m

Distancia entre la Tierra y Neptuno = 4 308 000 000 000 m = 43.08 × 1011 m

• Luego sumó sólo la parte decimal de cada cantidad: 43.08 + 1.5 = 44.58

• Al resultado de esta suma le escribió el producto por la potencia de 10 de las cantida-des en notación científica: 44.58 × 1011

• Al final corrió el punto decimal una cifra hacia la izquierda y cambió el exponente: 4.458 × 1012

a) ¿El resultado que obtuviste es igual al de Emilio?

b) Analiza este procedimiento y determina si es correcto o no. Sigue todos los pasos y verifica la suma: 39 900 000 + 5 470 100 000 = 5.51 × 109

c) En equipos, comenten lo siguiente: ¿se puede aplicar este procedimiento para la resta de cantidades escritas en notación científica? Entre todos propongan un ejemplo y realicen las operaciones necesarias.

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250

B5

Sesión 140En esta sesión trabajarás con notación científica para resolver problemas con números pequeños.

 Manos a la obra¿Sabías que en nuestro cuerpo hay más células bacterianas que células humanas? Se calcula que hay diez veces más, y el mayor número se localiza en el tracto digestivo y en la piel. Las bacterias son microorganismos unicelulares de formas diversas que alcanzan un tamaño que va de algunos milímetros hasta milésimas de milímetro o micrómetros (μm).

No todas las bacterias son perjudiciales para el cuerpo humano; de hecho, necesitamos de ellas para muchas funciones, como la digestión. ¿Qué otros beneficios generan las bacterias?

1. En equipos, contesten lo siguiente.

Se calcula que en un mililitro de agua dulce hay cerca de un millón de células bacterianas, mientras que en un gra-mo de tierra hay hasta 40 millones.

¿Cuántas bacterias habrá en 1 34 litros de agua dulce?

Comenten el procedimiento que siguieron y sus resulta-dos. Verifiquen sus respuestas usando la calculadora.

3. Escribe en el paréntesis de cada operación la letra que corresponda al resultado.

( ) 2.3 × 107 + 608 000 000 =

( ) 971 000 – 77 000 =

( ) 4 806 000 000 + 133 300 000 000 =

( ) 6.501 × 10−11 − 512 × 10−13 =

( ) 3.4 × 10−6 + 0.00000692 =

( ) 778 000 000 − 1.57 × 108 =

( ) 8.22 × 10–10 + 4.51 × 10−10 =

(T) 1.381 × 1011

(I) 6.21 × 108

(U) 1.381 × 10–11

(E) 6.31 × 108

(D) 0.00001032

(S) 8.94 × 105

(A) 0.000000001273

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251

S33

2. Realiza los siguientes pasos para calcular el producto de 1 000 000 por 1 750:

• Escribe 1 000 000 en notación científica:

• Multiplica 1 750 por la parte decimal (sin la potencia de 10) del número escrito en no-

tación científica: 1 750 × =

• Multiplica el resultado anterior por la potencia de 10 del número en notación científica:

1 750 × =

• Escribe el resultado en notación científica:

a) ¿El resultado que obtuviste fue 1.75 × 107? Si no es así, repasa el procedimiento ante-rior y rectifica.

b) Sigue los pasos anteriores y calcula el producto de 0.000000812 × 1 500.

En grupo, comenten cómo resolvieron los problemas de las actividades 1 y 2. Entre todos propongan un ejemplo y realicen los pasos anteriores para calcular el producto de un nú-mero escrito en notación científica por otro escrito en notación decimal.

3. Usa los datos del problema anterior y calcula la cantidad de células bacterianas que hay en 455 g de tierra.

AutoevaluaciónRealiza en tu cuaderno las siguientes operaciones.

• 6.91 × 10–10 × 585 = • 1 071 000 000 − 4.3 × 108 =

• 590 000 000 + 9 060 000 000 = • 4.04 × 10−11 + 0.000000000839 =

• 5.23 × 105 + 692 000 − 6.7 × 104 = • 38 000 000 000 × 9 500 =

En general, un número está escrito en notación científica si se expresa de la forma a × 10n, donde a es un número decimal mayor o igual que 1 y menor que 10.

Para sumar o restar dos números expresados en notación científica es necesario escribirlos de manera que sus respectivas potencias de 10 tengan el mismo exponente. Por ejemplo:

(4.6 × 108) + (5.7 × 106) = (46 × 107) + (0.57 × 107) = 46.57 × 107 = 4.657 × 108

Un dato interesante…

El número 1 seguido de cien ceros, esto es 1 × 10100, se denomina googol. Para darnos una idea de lo que representa este número: un googol es mayor que el número de átomos en el universo conocido.

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252

Secuencia 34Raíz cuadrada

Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales.

Sesión 141En esta secuencia estudiarás potencias y la raíz cuadrada.

 ¿Qué sabes tú?De manera individual contesta lo que se te pide.

1. Una de las primeras fórmulas que aprendiste en tus cursos de Matemáticas es la que se utiliza para calcular el área de un cuadrado. Si la medida del lado de un cuadrado es L, se tiene que su área A se calcula con la fórmula: A = L × L . Esta expresión suele expresarse como A = L2. ¿Sabes cómo calcular la medida del lado de un cuadrado si se conoce la medida de su área?

2. Don Luis va a cercar su terreno para formar parcelas de superficie cuadrada, por lo cual está calculando las medidas que deben tener los lados y el área de diferentes cuadrados.

Calcula las siguientes medidas.

a) Si el lado de un cuadrado mide 2 m, ¿cuánto mide su área?

b) Si el lado de un cuadrado mide 5 m, ¿cuánto mide su área?

c) Si el lado de un cuadrado mide 3 m, ¿cuánto mide su área?

d) Si un cuadrado tiene un área de 16 m2, ¿cuánto mide su lado?

e) Si un cuadrado tiene un área de 36 m2, ¿cuánto mide su lado?

f) Si un cuadrado tiene un área de 32 m2, ¿cuánto mide su lado?

De manera grupal comparen sus respuestas. Comenten cómo calcularon la medida del área de un cuadrado cuando se conoce la medida de su lado.

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253

 Manos a la obra1. La imagen representa parte del terreno que va a cercar don Luis. Se trata de un cuadrado

del cual sólo conoce la medida de la diagonal.

Lado

Contesta las siguientes preguntas.

a) Con una regla traza la otra diagonal del cuadrado, así obtendrás cuatro triángulos rec-tángulos iguales.

¿Cuánto mide el área de cada triángulo?

¿Cuánto mide el área del cuadrado?

¿Cuánto mide el lado del cuadrado?

b) Mide con una regla la longitud del lado del cuadrado.

Aplica la fórmula del área del cuadrado A = L × L y verifica la medida que obtuviste para el lado del cuadrado.

¿Qué medida del área del cuadrado obtuviste usando la fórmula?

c) Compara los resultados que obtuviste con los procedimientos anteriores y contesta:

De los valores del área que obtuviste con la fórmula, ¿cuál se aproxima más a 32 m2?

¿Cuál es la mejor aproximación que obtuviste de la medida del lado del cuadrado?

Compara tus respuestas con las de tus compañeros.

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254

Sesión 142En esta sesión obtendrás valores aproximados de la raíz cuadrada de números naturales.

 Manos a la obraMedida del lado (m) Área (m2)

2

3

16

5

36

5.5

5.6

5.7

5.65

1. Completa la tabla para encontrar valores aproximados de la medi-da del lado del cuadrado con 32 m2 de área.

a) ¿Cuál es la mejor aproximación que obtuviste para la medida

del lado del cuadrado?

b) ¿Crees que se puede encontrar una mejor aproximación para la

medida del lado? , ¿cuál?

Compartan sus respuestas y entre todos establezcan sus conclu-siones con respecto a la obtención del lado de un cuadrado cuan-do se conoce la medida de su área.

2. En parejas, realicen la actividad siguiente.

Un ayudante de don Luis dice que no existe cuadrado alguno que tenga 42 m2 de área; don Luis asegura que sí.

Medida del lado (m) Área (m2)

6 36

6.3

6.4

6.5

6.6

7

a) ¿Cuánto medirían los lados del cuadrado?

b) Encuentra algunas aproximaciones a la medida de los lados que debe tener un cuadrado de 42 m2 de área. Completa la tabla.

c) ¿Qué valor de la medida del lado genera la mejor aproximación

a 42 m2?

d) Determina un valor de la medida del lado de un cuadrado, que se encuentre entre 6.4 m y 6.5 m, cuya área se aproxime más

a 42 m2.

¿Qué valor del área obtuviste?

e) De acuerdo con tu resultado anterior, ¿entre qué valores se encuentra ahora la mejor aproximación a la medida del lado del

cuadrado?

¿Qué valor del área obtuviste?

De manera grupal, comparen sus resultados y los procedimientos que siguieron. Comenten en qué consiste el método que han veni-do empleando para obtener la medida del lado de un cuadrado, cuando se conoce la medida del área.

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255

Sesión 143

3. Aplica el procedimiento anterior y obtén la mejor aproximación de la medida del lado de un cuadrado que tiene 53 m2.

En las actividades anteriores has visto que al multiplicar un número por sí mismo, como en el cálculo del área de un cuadrado L × L , decimos que se calcula el cuadrado del número o la segunda potencia. La forma de escribir esto es L 2 .

Por otra parte, al calcular el lado de un cuadrado cuando se conoce la medida de su área, decimos que se calcula la raíz cuadrada. La raíz cuadrada de a es el número que multipli-cado por sí mismo da a. La forma de escribir esto es a .

En esta sesión conocerás un procedimiento para calcular la raíz cuadrada de un número natural.

 Manos a la obra1. Completa la tabla. Puedes usar calculado-

ra para verificar los resultados.

Número (x)

Cuadrado del número (x 2)

6

49

8

81

10

11

144

169

14

225

16

2. Anota en el paréntesis la letra que relacione correctamente cada pregunta con su respuesta.

Preguntas Respuestas

( ) ¿Cuánto mide el área de un terreno cuadrado si sus lados miden 15 m?

( ) ¿Cuál es la raíz cuadrada de 144 ?

( ) ¿Cuál es el resultado de 289 ?

( ) ¿Cuál es el resultado de 142 ?

( ) ¿Cuánto mide el área de un cuadrado de 10 cm por lado?

( ) ¿Cuál es el resultado de 121 ?

a) 100 cm2

b) 196

c) 11

d) 12

e) 225 m2

f) 17

Comparen sus respuestas y verifiquen sus procedimientos.

Un dato interesante…

A lo largo de la historia se han desarrollado y perfeccionado muchos de los procedimientos que en la actualidad empleamos. En el caso del cálculo de la raíz de cuadrada, gracias al Papiro de Ahmes (1650 a.n.e.) se sabe que los antiguos egipcios extraían la raíz cuadrada al resolver problemas geométricos. Las antiguas culturas india y griega también desarrolla-ron conocimiento en este tema.

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Sesión 144

3. Aplica los procedimientos que has practicado a lo largo de la secuencia y obtén una aproxi-mación de la medida del lado de los siguientes cuadrados:

a) Área = 2 cm2

b) Área = 5 cm2

4. Analiza el siguiente ejemplo:

El cuadrado de 12 está dado por: 122 = 12 × 12 = 144

La raíz cuadrada de 144 está dada por: 144 = 12

¿Qué observas?

Cuando un número natural ( n ) se eleva al cuadrado ( n 2 ) y al resultado le aplicas la raíz cuadrada, el resultado que se obtiene es el número original ( n ). Por ello decimos que el cuadrado de un número y la raíz cuadrada son operaciones inversas.

En esta sesión conocerás otro procedimiento para calcular la raíz cuadrada de un número natural.

 Manos a la obra1. Se va a cercar un terreno de forma cuadrada que tiene de 24 m2. ¿Cuál es la medida del

lado del terreno?

Para resolver este problema emplearemos un método desarrollado hace varios siglos.

Sigue los pasos que a continuación se describen. En tu cuaderno construye las figuras que se indican.

Paso 1. Elige dos números que multiplicados den 24, por ejemplo 6 y 4. Estas serán las medidas del primer rectángulo que construirás.

Con ayuda de regla y escuadra, en tu cuaderno constru-ye un rectángulo cuyos lados midan 6 cm y 4 cm. Su área es de 24 cm2 (ilumínalo de amarillo).

Paso 2. Calcula el promedio de las medidas de los la-dos del rectángulo:6 + 4 = 2

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257

Paso 3. Ahora debes construir otro rectángulo que ten-ga un lado de 5 cm y área igual a 24 cm2, por lo tanto hay que calcular la medida del otro lado del rectángulo.

El área de un rectángulo se obtiene multiplicando la medida de sus lados. Llamemos x a la medida del lado desconocida, así obtenemos la ecuación:

5 x = 24

Resuelve la ecuación.

Construye un rectángulo cuyos lados midan 5 cm y 4.8 cm (ilumínalo de verde).

Repite el paso 2. Calcula el promedio de las medidas de los lados del último rectángulo:

Repite el paso 3. Debes construir otro rectángulo que tenga un lado de 4.9 cm y área igual a 24 cm2, por lo tanto hay que calcular la medida del otro lado del rec-tángulo.

Llamemos x a la medida del lado desconocida, así ob-tenemos la ecuación:

4.9 x = 24

Resuelve la ecuación.

Construye un nuevo rectángulo cuyos lados midan 4.9 cm y 4.89 cm (ilumínalo de azul).

Continúa con este procedimiento para aproximar cada vez más el valor exacto de la raíz cuadrada de 24.

Observa que el rectángulo azul es casi un cuadrado. Sus lados miden 4.9 cm y 4.89 cm, esto significa que la raíz de 24 está entre estos dos números.

El procedimiento que acabas de desarrollar para calcular la raíz cuadrada de 24 es semejan-te al que empleaban los antiguos babilónicos, por lo que se conoce como método babilónico para el cálculo de la raíz cuadrada de un número. El método consiste básicamente en obtener rectángulos cada vez más parecidos a un cuadrado de igual medida del área.

2. Calcula lo siguiente (puedes usar calculadora):

• 4.92 =

• 4.892 =

¿Cuál de los dos números es una mejor aproximación

a 24?

3. Los lados del rectángulo verde miden 5 cm y 4.8 cm. Calcula (pueden usar calculadora):

• 52 =

• 4.82 =

Comenta con tus compañeros qué rectángulo da mejo-res aproximaciones a 24, ¿el verde o el azul?

5 + 4.8 = 2

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Sesión 145En esta sesión aplicarás el método babilónico para calcular la raíz cuadrada.

 Manos a la obraEl método babilónico se puede emplear para calcular la raíz cuadrada de cualquier número. Sigue el procedimiento descrito en la sesión anterior y calcula las raíces cuadradas que se in-dican en cada caso.

Usa una calculadora para efectuar las operaciones necesarias y tu juego de geometría para construir los rectángulos.

1. ¿Cuál es la raíz cuadrada de 11.5?

Paso 1. Se eligen dos números que multiplicados den 11.5 (sugerencia: inicia con 1 y 11.5). Construye en tu cuaderno un rectángulo cuyos lados tengan esas medidas.

Recuerda que a partir del siguiente paso el objetivo es encontrar rectángulos cada vez más parecidos a un cuadrado.

Paso 2. Calcula el promedio de 1 cm y 11.5 cm, ¿cuánto resultó?

Este valor es la medida de uno de los lados del nuevo rectángulo.

Paso 3. Calcula la medida del otro lado del rectángulo.

Para hallar dicha medida resuelve la ecuación: 6.25 x = 11.5

Construye en tu cuaderno un rectángulo cuyas medidas sean las que acabas de obtener.

Se repite el paso 2. Calcula el promedio de 6.25 cm y 1.84 cm, ¿cuánto resultó?

Este valor es la medida de uno de los lados del nuevo rectángulo.

Se repite el paso 3. Calcula la medida del otro lado del nuevo rectángulo.

Para hallar dicha medida resuelve la ecuación: 4.045 x = 11.5

Construye en tu cuaderno un rectángulo cuyas medidas sean las que acabas de obtener.

Continua aplicando los pasos de forma sucesiva hasta que encuentres la mejor aproxi-mación al valor exacto de la raíz cuadrada de 11.5.

¿Cuánto es 11.5 ?

Comparen las medidas que obtuvieron siguiendo los pasos del método babilónico.

2. Calcula la raíz cuadrada de 20. Realiza el procedimiento y las construcciones en tu cuaderno.

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Sesión 146En esta sesión observarás que las potencias y los exponentes ayudan a obtener modelos matemáticos que representan fenómenos biológicos.

 Manos a la obra¿Sabías que las células se reproducen por división? La división es parte importante del ciclo celular, pues en ella sucede que una célula inicial se divide para formar células hijas, luego éstas se dividen para formar otras, y así sucesivamente.

1. Existe un tipo de división celular que presentan bacterias y amebas, llamada bipartición, la cual consiste en que una célula madre se divide en dos células hijas idénticas a la célula madre.

Llamemos nivel 0 a la etapa en que está solamente la célu-la madre, sin dividirse.

• Llamemos nivel 1 a la etapa en que la célula madre se ha dividido en dos células.

• Llamemos nivel 2 a la etapa en que las dos células se dividen cada una en otras dos. Y así sucesivamente.

a) Dibuja las células que se formarán en el nivel 3.

b) ¿Cuántas células hay en el nivel 4?

c) ¿Cuántas células hay en el nivel 6?

d) Si hay 128 células, ¿en qué nivel se encuentra la división

celular?

e) ¿Cuál de las siguientes multiplicaciones permite obtener el número de células en el nivel 7?

• 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

• 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

Comparen sus respuestas y expliquen sus procedimientos.

Comenten cómo calcularían el número de células que habrá en el nivel 20, o en el nivel 50.

2. Expresa las multiplicaciones como potencia:

a) 3 × 3 × 3 × 3 =

b) 5 × 5 × 5 =

c) 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 =

d) 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 =

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3. Fernanda decidió poner en práctica una forma de enviar buenos deseos a muchas perso-nas. Para iniciar, ella enviará buenos deseos a tres amigos. Luego, cada uno de éstos ten-drá que enviar buenos deseos a tres amigos más, quienes también enviarán buenos deseos a otros tres, y así sucesivamente. Cada persona tendrá que enviar tres buenos deseos.

a) Completa el diagrama de árbol hasta el nivel 3 de envíos de buenos deseos.

b) Cuántos envíos de buenos deseos hay en el nivel 3?

c) ¿Cuántos buenos deseos hay en el nivel 5?

d) ¿Cuál de las siguientes multiplicaciones permite calcular el número de envíos de buenos deseos en el nivel 10?

• 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3

• 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3

Expresa la multiplicación correcta como una potencia:

e) Si en vez de enviar buenos deseos a tres personas se envían a cinco, ¿cuántos envíos

de buenos deseos hay en el nivel 4?

f) ¿Cuántos envíos de buenos deseos hay en el nivel 7?

g) ¿Cuál de las siguientes multiplicaciones permite encontrar el número de envíos de bue-nos deseos en el nivel 11?

• 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5

• 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5

Expresa la multiplicación correcta como una potencia:

Las potencias permiten expresar multiplicaciones de manera breve. Por ejemplo, 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 se abrevia al escribir 36; y se lee “la sexta potencia de 3”.

Nivel cero (Fernanda inicia el envío)

Nivel 1

Nivel 2

Nivel 3

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Sesión 147En esta sesión obtendrás potencias y raíces cuadradas de números naturales y decimales.

 Manos a la obra1. Completa la tabla con los números y potencias que

faltan.

a) ¿Qué número multiplicado tres veces por sí mismo

da 2 197?

b) ¿Cuál es la raíz cuadrada de 16?

c) ¿Qué número tiene raíz cuadrada igual a 10?

d) ¿Qué número tiene segunda potencia igual a 25?

f) ¿Qué número tiene cuarta potencia igual a 0.1296?

g) ¿Cuál es la raíz cúbica de 1 000?

h) ¿Cuál es la raíz cuarta de 10 000?

i) La raíz de 1.44 es 1.2.

j) ¿Cuál es la raíz cúbica de 3.375?

k) ¿Cuál es la raíz cuarta de 0.0081?

l) ¿Cuál es la raíz cuadrada de 1?

m) ¿Cuál es la raíz cúbica de 0?

2. Resuelve lo siguiente.

Considera que la raíz cúbica de 27 es 3 y que la raíz cúbica de 64 es 4. Obtén una aproximación de la raíz cúbica de 40, con una cifra decimal. Puedes utilizar tu calculadora.

Número x

Cuadrado x 2

Tercera potencia x 3

Cuarta potencia x 4

4 256

5 125

100

0.36 0.216

1.2

169 28 561

0.3 0.027

0 0

1

1.5 2.25

16

225 50625

La raíz cúbica de 125 es 5, porque 53 = 125. La raíz cúbica de 125 se expresa como 3 125 .

De forma general, la raíz cúbica de un número n es aquel número que tiene tercera potencia igual a n.

La raíz cuarta de 1 296 es 6, porque 64 = 1 296. La raíz cuarta de 1 296 se expresa como .

De forma general, la raíz cuarta de un número n es aquel número que tiene cuarta potencia igual a n.

AutoevaluaciónCalcula en tu cuaderno la raíz cuadrada de 53 empleando el método babilónico.

4 1 296V

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Secuencia 35

Sucesiones con progresión aritmética

Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética.

Sesión 148En esta sesión aprenderás a obtener la regla para determinar

los términos de una sucesión dada.

 ¿Qué sabes tú?Dibuja los siguientes dos términos que completan la sucesión.

 Manos a la obra1. Escribe los términos que faltan en la siguiente sucesión numérica.

−5, −2, , 4, 7, 10, , 16, , , 25, 28,

31, , 37, , …

a) Escribe una regla para obtener cada uno de los términos de la sucesión.

b) ¿Cuál es el término que está en el lugar 30?

c) ¿Qué lugar ocupa el número 121 en esta sucesión?

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y analicen qué estrategia siguieron para encontrar la regla de esta sucesión.

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2. Subraya cuáles de las siguientes sucesiones se pueden obtener utilizando la regla sumar tres al término anterior.

−15, −11, −7, −3, 1, 5,… 3, 6, 9, 12, 15, 18,…

−4, −1, 2, 5, 8, 11,… −8, −3, 2, 7, 12, 17,…

−7, −4, −1, 2, 5, 8, 11,… −12, −9, −6, −3, 0,3,…

−14, −6, 2, 10, 18, 26,…

3. En parejas, respondan las preguntas.

a) ¿Con la regla suma cinco al término anterior, podemos obtener muchas sucesiones o

una sola sucesión?

b) Propongan un ejemplo de una sucesión que se obtenga con esta regla.

c) Una regla más precisa para obtener la sucesión que propusieron es: sumar cinco al

término anterior y el primer término es

¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de las sucesiones que encontra-

ron en el inciso b)?

d) Obtengan tres sucesiones en las que se cumpla la regla: la diferencia entre dos términos

consecutivos es 7.

En grupo, comparen sus respuestas.

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4. Completen lo que falta en las siguientes expresiones y respondan las preguntas.

a) Una regla para obtener la sucesión 5, 11, 17, 23, 29, 35,… es: sumar seis al término

anterior y el primer término es

¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?

b) Una regla para obtener la sucesión −12, −10, −8, −6, −4, −2,… es sumar

al término anterior, y el primer término es

¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?

c) Escriban la sucesión que se obtiene con la regla sumar cinco al término anterior y el

primer término es −14 :

¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de esta sucesión?

5. En parejas, contesten lo siguiente.

Anoten el primer dígito de la sucesión siguiente y completen la regla.

, −9, −3, 3, 9, 15,…

La regla es sumar al término anterior y el primer término es .

a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?

Comparen sus resultados con los de otras parejas.

La regla para obtener este tipo de sucesiones se puede expresar diciendo cuánto hay que sumar a cada término para obtener el siguiente y cuál es el primer término. Por ejemplo: en la sucesión −8, −3, 2, 7, 12, 17,… la diferencia entre dos términos consecutivos sería

.

Por lo tanto, la regla sería: sumar 5 al término anterior, y el primer término es −8.

Es importante indicar cuál es el primer término de una sucesión, ya que de lo contrario se pueden obtener muchas sucesiones usando la misma regla.

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Sesión 149En esta sesión estudiarás la relación que hay entre un término en la sucesión y la posición que ocupa en ella.

 Manos a la obraEn parejas, contesten.

1. Para la siguiente sucesión de números: −11, −8, −5, −2, 1, 4, 7, 10, 13,…

a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?

b) ¿Cuál es la regla?

2. Para esta sucesión de números: 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34,…

a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?

b) ¿Cuál es la regla?

Para las siguientes sucesiones, n indicará el lugar que ocupa un término en ellas.

Obtengan los términos faltantes en la tabla que corresponden a la sucesión establecida por la expresión algebraica 4n − 2.

Lugar que ocupa el término (n)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Expresión algebraica 4n − 2

4 × 5 − 2 = 18

Término 18

Comparen los términos obtenidos en la tabla con

los de la sucesión anterior, ¿qué observan en ellos?

¿Las sucesiones son distintas?

¿Por qué?

¿Cómo es la regla que establecieron en el inciso b) respecto a la dada por la expresión algebraica?

En grupo, comparen sus respuestas.

Cuando hay varias reglas para obtener la misma sucesión de números se dice que son reglas equivalentes. Por ejemplo, las siguientes reglas son equivalentes:

a) Sumar 5 al término anterior y el primer término es 12,

b) La regla dada por la expresión algebraica 5n + 7, donde n representa el lugar que ocupa cada término en la sucesión.

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Sesión 150En esta sesión encontrarás expresiones equivalentes

para obtener una sucesión.

 Manos a la obra1. Responde las preguntas sobre la sucesión que se obtiene con la regla 3n − 7.

a) Una regla equivalente para obtener esta sucesión es sumar al término

anterior y el primer término es .

b) ¿Cuál es el término que está en el lugar 40?

c) ¿Cuál de las dos reglas utilizaste para encontrar ese término?

d) ¿Cuál es el término que está en el lugar 48?

2. En parejas, respondan.

¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión 1, 4, 7, 10, 13, 16,…?

Observen las dos sucesiones y respondan.

3, 6, 9, 12, 15, 18,… 1, 4, 7, 10, 13, 16,…

¿Cuál es la expresión algebraica para obtener la primera sucesión?

En las sucesiones en que la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante (k), podemos obtener la expresión algebraica: multiplicando el lugar del término (n) por la diferencia de los términos consecutivos (k) y sumando o restando, según sea conveniente, la diferencia (r) entre k y el primer término de la sucesión, esto es, kn ± r.

Por ejemplo: en la sucesión 2, 7, 12, 17,… para encontrar la expresión algebraica que la define obtenemos la diferencia entre dos términos consecutivos, que es k = 5. Ahora obtenemos la diferencia entre k = 5 y el primer término de la sucesión, que es 2, por lo que r = 3. De aquí la expresión algebraica podría ser 5n + 3 o 5n − 3; para determinar cuál es la expresión conveniente calculamos el valor del primer término empleando las dos expresiones. En este caso la expresión conveniente es 5n − 3.

Subrayen la operación que debemos hacer para pasar de un término en la primera sucesión a su correspondiente tér-mino en la segunda sucesión:

Restar 2 Sumar 2

¿Cuál es la expresión algebraica para obtener la segunda

sucesión?

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros. Comenten qué hicieron para encontrar las expresiones algebraicas.

3. En parejas, encuentren la regla y la expresión algebraica para obtener la sucesión −11, −6, −1, 4, 9, 14,…

4. Realicen lo siguiente en parejas. Obtengan la expresión al-gebraica que defina la sucesión −3, 2, 7, 12, 17, 22,…

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Sesión 151En esta sesión completarán sucesiones.

 Manos a la obraTrabajen en equipos para realizar las siguientes actividades.

1. Encuentren los primeros diez términos de la sucesión que se obtiene con la regla 9n − 3

2. Completen la siguiente sucesión de números:

6, 2, , , −10, , −18, −22, ,

, …

¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?

Comenten cómo hicieron para encontrar la diferencia entre dos términos consecutivos.

Comparen con sus compañeros sus respuestas.

3. Dada la regla 7n − 5 obtengan los términos que se encuentran en los lugares 20, 21, 32, 100, 150.

4. Completen la siguiente tabla.

Lugar del término 4 n + 6 4 n − 2 4 n – 5

35

45

74

324

En grupo, comparen y comenten sus respuestas. Ver

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Consulta en…

En las bibliotecas escolares y de aula y busca el libro con la siguiente referencia para conocer más sobre este tema:

Concepción Ruiz y Sergio Régules, El piropo matemático, de los números a las estrellas, México, sep-Editorial Lectorum, 2003 (Libros del Rincón).

Entra a la página del Proyecto Descartes <http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/Bach_HCS_2/Sucesiones_numeros_reales_limites/Progresiones_aritmeticas.htm>, y explora las actividades del interactivo “Sucesiones geométricas con Logo”.

Sesión 152En esta sesión aplicarás lo aprendido en sesiones anteriores.

 Manos a la obraEn parejas, den una expresión algebraica que determine las siguientes sucesiones.

a) −12, −7, −2, 3, 8, 13,…

b) 5, 10, 15, 20, 25, 30,…

c) 9, 22, 35, 48, 61,…

AutoevaluaciónResponde lo siguiente.

• Determina una expresión algebraica y encuentra los primeros diez términos de la suce-sión dada por la regla sumar 15 al término anterior y el primer término es 3.

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Secuencia 36Área y perímetro del círculo

Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas.

Sesión 153En esta sesión resolverás problemas usando la fórmula del perímetro del círculo.

 ¿Qué sabes tú?En la siguiente figura marca con rojo el contorno del círculo y su superficie con azul; traza con verde el radio y con negro el diámetro.

Contesta las siguientes preguntas.

¿A qué se le llama π?

¿Cuál es un valor aproximado de pi?

¿Cómo se calcula el perímetro de un círculo?

¿Qué datos se necesitan para calcular el perímetro del círculo?

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 Manos a la obra1. En parejas, calculen el perímetro de los siguientes círculos.

2. Completen la tabla, tomen π = 3.14

CírculoRadio

R

Diámetro

DPerímetro

1 5 cm

2 22 cm

3 103.30 cm

4 40.8 cm

¿Cómo obtuvieron el radio del círculo 3?

¿Cómo obtuvieron el radio del círculo 4?

3. Resuelve los problemas siguientes.

a) Ernesto es herrero y le pidieron que hiciera con perfil redondo dos aros para tableros de basquetbol. Uno de ellos debe tener 27 cm de radio y el otro 27 cm de diámetro.

¿Qué cantidad de perfil debe cortar para ambos aros?

b) Para reforzar un barril se necesitan tres cinturones de acero inoxidable de 4 cm de an-cho. Dos de los cinturones tienen 60 cm de diámetro, mientras que el radio del cinturón que se coloca a la mitad del barril es 4.5 cm más grande que el de los otros dos. ¿Qué cantidad de lámina se necesita para reforzar medio centenar de barriles?

Comparen sus procedimientos y respuestas, verifiquen que sean correctas. Si hay algún proce-dimiento diferente verifiquen que sea efectivo.

10 cm 22 cm 32.9 cm 40.8 cm

Para calcular el perímetro de un círculo podemos usar la fórmula P = 2rπ, donde r es el radio del círculo, o P = D π, si recorda-mos que el diámetro es dos veces el radio.

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Sesión 154En esta sesión resolverás problemas utilizando la fórmula del perímetro del círculo.

 Manos a la obra1. En equipos, resuelvan los siguientes problemas. Tomen π = 3.14

a) ¿Cuál es la longitud de la línea AB?

157.39 m

36.5

0 m

9.76 m 9.76 m

73.0

0 m

92.5

2 m

9.76

m9.

76 m

BA

b) La imagen anterior corresponde a la ciclopista del deportivo de la comunidad. Edna la recorre diaria-mente con su bicicleta hasta 9 veces, mientras que Braulio sólo recorre 5 km.

¿Quién de los dos da más vueltas al circuito?

¿Cómo resolvieron los problemas anteriores?

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2. En parejas, diseñen una figura empleando círculos del mismo diámetro y planteen un pro-blema que se resuelva tomando como base su diseño.

¿Cuántos círculos completos tienen en su diseño?

¿Cuánto mide su radio?

¿Cuál es el perímetro?

Intercambien su problema con alguno de sus compañeros y verifiquen que la solución sea correcta.

Para resolver problemas por medio del cálculo de períme-tros de figuras compuestas con círculos de un mismo radio, debemos determinar la cantidad de círculos que forman la figura para multiplicarla por su perímetro.

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Sesión 155En esta sesión resolverás problemas utilizando la fórmula del área del círculo.

 Manos a la obra1. Calcula el área del siguiente círculo.

¿Cómo se determina el área de un círculo?

Si sólo se conoce el diámetro del círculo, ¿cómo se calcula el área?

2. En equipos, resuelvan los siguientes problemas. Usen 3.14 para π.

a) Una tapa de forma circular de 18 cm de diámetro se empleó para marcar una circun-ferencia sobre un pedazo de tela de forma cuadrada de 20 cm por lado. Después de recortar el círculo de tela, ¿cuál es el área de la tela que se desperdicia?

b) En el patio de la secundaria el profesor de Educación Física trazó tres círculos para pintarlos de color amarillo, rojo y azul, como se muestra en la imagen.

Alberto dice que el área de los círculos pequeños es igual a la del círculo azul. ¿Tiene

razón? ¿Por qué?

Para que el área del círculo amarillo, más el área del círculo rojo, sea el área del azul,

¿cuánto tendrá que medir el radio del círculo amarillo?

1 m 1 m80 cm

6 cm

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c) Reyna decora tablas circulares como las de la imagen para usarlas como portarretratos.

Le han solicitado media docena de cada modelo, ¿cuál es el área total que pintará de

azul?

¿Cómo determinaron el área de la superficie azul?

¿Qué portarretrato tiene la mayor superficie pintada de azul?

Para calcular el área de un círculo se emplea la formula A= π r2, donde el radio se multiplica por sí mismo y luego por π. Cuando un círculo está dentro de otro, sin importar si tienen o no el mismo centro, una forma de calcular el área limitada entre las dos circunferencias es restar los cuadrados de los radios y la diferencia multiplicarla por π. Por ejemplo, para calcular el área limitada entre un círculo cuyo radio mide 4 cm que está dentro de otro cuyo radio mide 6 cm es: 20π = 62.8 cm2, dado que 36 – 16 = 20.

3 cm

3 cm

5 cm

5 cm

6 cm 2 cm

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Sesión 156En esta sesión resolverás problemas utilizando la fórmula del área del círculo.

 Manos a la obra1. En parejas, resuelvan el siguiente problema.

¿Cuál es área de cada una de las siguientes figuras?

¿Cómo calcularon el área de la figura naranja?

¿Qué figuras forman la figura verde?

¿Qué figuras forman la figura azul?

¿Cuál de las figuras está formada por más círculos?

2. Resuelvan los problemas.

12 cm

6 cm

40 cm

1.2 m

30 cm

80 cm1.2 m

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a) La siguiente figura es el modelo de un aspa que se fabrica en acero, ¿cuál es el área del

aspa?

b) Para una ruleta se cortó un círculo de 60 cm de radio y se decoró como se muestra en

la imagen. ¿Cuál es el área de la superficie en rojo?

c) ¿Cómo determinaron el área solicitada?

d) ¿Cuál es el área de la superficie en negro?

e) Con respecto al problema del aspa y al de la ruleta, ¿cuántos círculos forman las figuras?

¿Cómo resolvieron ambos problemas?

3. Resuelve el problema.

60 cm

60 cm

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Alexa es pintora y las obras de arte que muestra a continuación están hechas sobre un cuadra-

do de 90 cm por lado. ¿En cuál de ellas utilizó más pintura?

¿Por qué?

AutoevaluaciónContesta lo siguiente.

• ¿Cómo determinarías el perímetro de la siguiente figura?

• ¿Y el área de la superficie naranja?

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Secuencia 37Proporcionalidad múltiple

Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple.

Sesión 157En esta sesión reconocerás y resolverás problemas que implican el uso de distintos tipos de proporcionalidad en situaciones de la vida cotidiana.

 ¿Qué sabes tú?Para organizar su convivio, los 25 alumnos de 1º A llevaron tostadas y agua de jamaica. Como la mamá de uno de ellos tiene una fonda les dio la siguiente información:

• Un paquete de tostadas tiene 20 piezas.

• 3 12 vasos de crema alcanzan para cubrir 40 tostadas.

• 1 kg de pata de res es suficiente para 10 tostadas.

• 14 kg de queso rallado alcanza para 50 tostadas.

• 1 kg de pechuga de pollo es suficiente para 25 tostadas.

Si quedaron de acuerdo en que se llevaría lo necesario para que cada quien comiera dos tos-

tadas de pata y dos de pollo, ¿qué cantidad de tostadas se deben comprar?

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 Manos a la obra1. En parejas, con la información del problema de las tostadas, completen la tabla.

Ingredientes Cantidad que se requiere

Paquetes de tostadas

Kilogramos de pata

Vasos de crema

Queso rallado

Kilogramos de pechuga de pollo

a) ¿Usaron el mismo procedimiento para encontrar la cantidad de cada ingrediente que se

necesita?

b) Para la kermés de la escuela el grupo decidió preparar todas las tostadas que salieran con 9 kg de pechuga, ¿qué cantidad de queso rallado se necesitará para las tostadas

que se preparen?

Comparen sus respuestas con las de otras parejas y escriban el procedimiento que siguie-ron para obtener la respuesta de la última pregunta.

De manera grupal, verifiquen sus procedimientos y reflexionen sobre el uso de distintos tipos de proporcionalidad para la solución de este problema.

2. Resuelve los siguientes problemas.

a) En una escuela se va a realizar una excursión. Los organizadores saben que, en prome-dio, 12 niños consumen 144 litros de agua durante 6 días. ¿Cuántos litros de agua hay

que llevar a una excursión de 3 días, si van a ir 60 niños?

b) Rubén tiene 5 vacas, cada una de ellas produce 6 litros de leche diariamente; con 15 litros de leche obtiene 2.5 litros de crema y vende 2 litros de crema por $75.00. Si destinó la producción de dos semanas para obtener crema, ¿cuánto dinero recibirá por

la venta de toda la crema producida en el tiempo mencionado?

Compara tus respuestas con las de otros compañeros. Cuando se usan la proporcionalidad directa y la inversa

en la solución de un mismo problema, se dice que este problema es de proporcionalidad múltiple.

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Sesión 158En esta sesión resolverás problemas de proporcionalidad múltiple en situaciones como el cálculo de perímetros y áreas.

 Manos a la obra1. En parejas, realicen la siguiente actividad y contesten las preguntas.

Tracen en hojas blancas tres rectángulos con las siguientes medidas y recórtenlos: Rectán-gulo 1: 3 cm de base y 4 cm de altura.

Rectángulo 2: 6 cm de base y 8 cm de altura.

Rectángulo 3: 15 cm de base y 20 cm de altura.

Calculen el perímetro y el área y completen la tabla.

Rectángulo 1 Rectángulo 2 Rectángulo 3

Base 3 15

Altura 8 20

Perímetro

Área

¿Cuántas veces es mayor la base del rectángulo 2 con respecto a la base del rectángulo 1?

¿Cuántas veces es mayor el perímetro del rectángulo 2 con respecto al perímetro del rec-

tángulo 1?

¿Cuál es la razón entre el área del rectángulo 1 y el área del rectángulo 2?

¿Cuántas veces es mayor el perímetro del rectángulo 3 con respecto al perímetro del rec-

tángulo 1?

¿Cuál es la razón entre el área del rectángulo 3 y el área del rectángulo 1?

Comparen sus respuestas con las de otras parejas y reflexionen sobre la forma en que au-mentan el área y el perímetro de un rectángulo cuando aumentan las medidas de sus lados.

2. Contesta lo siguiente.

Los lados de un rectángulo han aumentado tres veces su tamaño, ¿cuál será la razón

entre los perímetros de los rectángulos?

¿Cuál es la razón entre las áreas de los rectángulos?

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Sesión 159

3. Resuelve los siguientes problemas.

a) A un cuadrado de 4.5 cm por lado se le triplicó la longitud de cada uno de sus lados,

¿cuánto mide el perímetro del nuevo cuadrado?

b) Se reproduce un rectángulo con perímetro de 35 cm y 75 cm2 de área hasta obtener otro rectángulo con un perímetro de 157.5 cm, ¿cuánto mide el área de la figura repro-

ducida?

c) Se tienen dos círculos, uno de 4 cm de radio y otro de 12 cm de radio, ¿cómo es el

perímetro del segundo círculo con respecto al perímetro del primero?

Compara tus respuestas con las de otros compañeros y reflexionen si al duplicar o triplicar las medidas de los lados en un polígono regular su perímetro y su área también se duplican o triplican, respectivamente. Escriban sus conclusiones en su cuaderno.

En esta sesión resolverás problemas de proporcionalidad múltiple en diferentes contextos.

 Manos a la obra1. En equipos, observen el prisma.

¿Cuántos cubos verdes tiene?

¿Cuántos cubos en total lo forman?

a) Si se aumentan al doble los cubos del ancho, del largo y de la altura, ¿cuántos cubos formarán

el nuevo prisma?

b) ¿Cuántas veces será mayor el número de cubos del prisma nuevo con respecto al de la ilustración?

c) ¿Habrá alguna forma directa de conocer el número de cubos sin contarlos uno a uno?

Si al prisma de la ilustración se le triplican los cubos del ancho, del largo y de la altura,

¿cuántos cubos formarán el nuevo prisma?

¿Cuántas veces es mayor el número de cubos de este nuevo prisma con respecto al de

la ilustración?

Largo

Ancho

Alto

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2. Se sabe que para construir un muro de 3 m de largo y 2 m de altura se necesitan 150 ta-

biques, y que para construir 2 m2 de barda se necesitan 34 de un bulto de cemento.

Si el albañil mezcló tres bultos, ¿cuántos tabiques pegará con esa mezcla?

Si en la construcción del baño se ocuparon 600 tabiques, ¿cuántos bultos se emplearon

para levantar las bardas del baño?

Para la cocina se levantaron tres bardas de 12 m2 y una de 9 m2, ¿qué cantidad de tabiques

y de bultos se emplearon?

3. Damián es un granjero que se dedica a la crianza de guajolotes. Él sabe que 10 guajolotes consumen aproximadamente 120 kg de alimento durante tres días. También sabe que cada bulto de alimento contiene aproximadamente 50 kg. ¿Cuántos bultos deberá comprar para

alimentar por tres semanas a las tres docenas de guajolotes que tiene?

Comparen sus resultados con los de otros compañeros, verifiquen que sean correctos y reflexionen en qué otros contextos se pueden encontrar problemas de proporcionalidad múltiple.

En esta secuencia observamos que las situaciones de proporcionalidad múltiple se caracterizan porque dos o más cantidades están relacionadas proporcionalmente. Una proporción múltiple se denota como:

a : b : : c : d : : e : f , o también se representa como ab = c

d = ef , y cumple que

ad = bc = cf = de = af = be

Consulta en…

Entra al sitio: <http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursoslinea/MATEGENERAL/t5geometria/Geometria/node9.html>, y consulta la información sobre los prismas rectangulares y otras figuras geométricas.

AutoevaluaciónPlantea en tu cuaderno un problema de proporción múltiple.

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Sesión 160

Evaluación

1. En un congelador se registraron las siguientes variaciones de temperatura: −7°, 12°, −5°, −10°, 6°; si la temperatura inicial era de −20°, en cuántos grados quedó la temperatura.

a) 40° b) 18° c) −22° d) −24°

2. La distancia media de Urano al Sol es aproximadamente de 525 000 000 km. Señala cuál de las siguientes expresiones es igual a esta cantidad en notación científica.

a) 525 × 10 6 km b) 5.25 × 10 8 km c) 5.25 × 10 9 km d) 525 × 10 8 km

3. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado que tiene de área 289 cm 2?

a) 72.25 cm b) 28.9 cm c) 28 cm d) 17 cm

4. Si una persona cuenta una historia a tres personas, y cada una de éstas, a su vez, la cuen-tan a otras tres, y éstas hacen lo mismo, ¿cuántas personas escucharon la historia?

a) 9 b) 18 c) 27 d) 81

5. ¿Cuál es la regla que forma la sucesión 1, 3, 5, 7, 9,…?

a) 2 x + 1 b) 2 x c) x + 2 d) x − 2

6. ¿Qué operación debe realizarse para obtener el área de un círculo con 15 cm de diámetro?

a) 15 × 3.14 b) 7.5 × 3.14 c) 15 × 15 × 3.14 d) 7.5 × 7.5 × 3.14

7. Si el perímetro de un cuadrado aumenta al doble, su área aumenta:

a) al doble b) al triple c) al cuádruple d) al séxtuple

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Hoja para las familias

Seguimiento de los avances de los niños en la escuela

Estimada familia y tutoresCon el propósito de fortalecer su participación en la escuela para impulsar las actividades escola-res y extraescolares que sus niños y niñas realizan, les presentamos el siguiente cuestionario en el cual pueden registrar sus avances y tomar decisiones junto con los docentes para mejorar el apro-vechamiento escolar.

Algunas recomendaciones:• Si a usted se le dificulta el llenado del cuestionario, solicite ayuda a un familiar o

amigo para responderlo e interpretar el resultado. Recuerde que es muy importante dar seguimiento a los avances y logros de su niña o niño.

• asesoría sobre cómo apoyar al niño en su formación académica.

• Si al revisar las tareas y ejercicios del niño no están registradas las calificaciones o algún dato que le permita responder cuestionario, pida ayuda al maestro para determinar con él cómo puede dar seguimiento a los resultados del niño.

• Recuerde que este cuestionario no es una evaluación o examen, es un registro que sirve para reconocer y ayudar a las niñas y los niños a nuestro cargo de una manera oportuna y eficaz.

Para dar seguimiento a los avances de los niños es importante que:• Revise con atención las tareas, los ejercicios y las actividades del libro de texto y del

cuaderno de trabajo al menos cada dos meses (duración aproximada de un bloque).• Observe su conducta al realizar las actividades extraescolares y ponga atención en lo que

platica de sus actividades en la escuela.

CuestionarioCon base en sus observaciones sobre el trabajo del niño, marque la respuesta que corresponde a cada pregunta.

A. Excelente B. Bueno o bien C. Mal o malo D. No lo he observado

N˚ ReactivosBloque

i ii iii iv v

1Las calificaciones obtenidas en las tareas del libro de texto reflejan que su trabajo fue

2Las calificaciones obtenidas en los ejercicios realizados en su cuaderno reflejan que su trabajo fue

3 Al realizar actividades fuera de la escuela su desempeño fue

Desempeño del niño Ver

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Cuando su desempeño no sea óptimo, usted puede acudir a la escuela para recibir

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N˚ ReactivosBloque

i ii iii iv v

4 He observado que trabaja en equipo y lo hace

5 Las actividades de estudio extras las hace

6 Su actitud para sistir a la escuela generalmente es

Mi desempeño

N˚ ReactivosBloque

i ii iii iv v

1 Su asistencia a la escuela es

2 Su puntualidad en la escuela es

3 Su aseo personal y de sus útiles para asistir a la escuela es

Recomendaciones para contribuir a mejorar el desempeño de su niño

Si obtuvo de 7 a 10 respuestas

A. Excelente

Se recomienda felicitar a su niño o niña y

preguntarle sobre el tipo de apoyo que requiere para seguir con ese

avance y mantener los buenos resultados.

Si obtuvo de 5 a 7 respuestas

B. Bien, aunque necesita apoyo

Se recomienda poner atención en aquellas

actividades en las que se obtuvo esta valoración y acompañar a los niños para repasar las tareas

y/o ejercicios en los cuales no obtuvo un buen desempeño. Si

tiene dudas al respecto, es recomendable que se acerque con el maestro

de grupo.

Si obtuvo en más de 4 preguntas

C. Mal. Requiere apoyo urgente

Se recomienda consultar con el maestro de su hijo o hija sobre cómo puede

ayudarlo a mejorar el desempeño educativo.

Si en 2 o más preguntas respondió

D. No lo he observado

Recuerde que en el buen desempeño de sus hijos en la escuela también influye la familia. Le

recomendamos contribuir con la escuela estando al pendiente de sus avances. V

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