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MATEMÁTICAS 3er Grado Volumen II III Libro para el maestro

Matemáticas Tercero Vol. 2 del Maestro

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    matemticaS3er Grado Volumen II

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  • Libro para el maestro

    3er Grado Volumen II

    IIImatemticas

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  • Matemticas III. Libro para el maestro. Volumen II fue elaborado en la Coordinacin de Informtica Educativa del Instituto Latinoamericano de la Comunicacin Educativa (ILCE), de acuerdo con el convenio de colaboracin entre la Subsecretara de Educacin Bsica y el ILCE.

    AutoresAna Laura Barriendos Rodrguez, Ernesto Manuel Espinosa Asuar

    Asesora acadmicaMara Teresa Rojano Ceballos (DME-Cinvestav)Judith Kalman Landman (DIE-Cinvestav)

    Revisores acadmicos externosDavid Francisco Block Sevilla, Diana Violeta Solares Pineda

    Apoyo tcnico y pedaggicoMara Catalina Ortega Nez

    ColaboradoresAraceli Castillo Macas, Rafael Durn Ponce, Silvia Garca Pea, Jos Cruz Garca Zagal, Olga Leticia Lpez Escudero, Jess Rodrguez Viorato

    Diseo de actividades tecnolgicasMauricio Hctor Cano Pineda, Emilio Domnguez Bravo,Deyanira Monroy Zarin

    Coordinacin editorialSandra Hussein Domnguez

    Primera edicin, 2008Quinta reimpresin, 2012 (ciclo escolar 2013-2014)

    D.R. Secretara de Educacin Pblica, 2008 Argentina 28, Centro, 06020, Mxico, D.F.

    ISBN 978-968-01-1718-5 (obra completa)ISBN 978-968-01-1720-8 (volumen II)

    Impreso en MxicoDistribucin gratuita-ProhibiDa su venta

    Servicios editorialesDireccin de arteRoco Mireles Gavito

    DiseoZona Grfica

    DiagramacinBruno Contreras, Vctor Vilchis

    IconografaCynthia Valdespino

    IlustracinCurro Gmez, Vctor Eduardo Sandoval, Gabriela Podest, Juan Pablo Romo

    FotografaBruno Contreras, Cynthia Valdespino, Fernando Villafn, Art Explosion 2007

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  • C I N C O S U G E R E N C I A S PA R A E N S E A R E N L A T E L E S E C U N D A R I A

    1 Crear un ambiente de confianza 2 Incorporar estrategias de enseanza de manera permanente 3 Fomentar la interaccin en el aula 4 Utilizar recursos mltiples 5 Desplegar ideas en el aula para consultas rpidasPistas didcticas

    Mapa-ndiceClave de logos

    BLOqUE 3secuencia 14 Relaciones funcionales y expresiones algebraicassecuencia 15 Resolucin de ecuaciones cuadrticas por la frmula generalsecuencia 16 Teorema de Talessecuencia 17 Figuras homotticassecuencia 18 Grficas de relaciones funcionalessecuencia 19 Algunas carctersticas de graficas no linealessecuencia 20 Grficas por pedazos

    BLOqUE 4secuencia 21 Diferencias en sucesionessecuencia 22 Teorema de Pitgorassecuencia 23 Razones trigonomtricassecuencia 24 El crecimiento exponencial y el linealsecuencia 25 Representacin de la informacin

    BLOqUE 5secuencia 26 Ecuaciones y sistemas de ecuacionessecuencia 27 Conos y cilindrossecuencia 28 Volumen del cono y del cilindrosecuencia 29 Estimar volmenessecuencia 30 Grfica cajabrazos

    Examen bloque 3Examen bloque 4Examen bloque 5Bibliografa

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    ndice

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  • MAT3 B3 PREL maestro.indd 4 12/11/08 10:42:43 PM

  • Cinco sugerencias para ensear en la Telesecundaria

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  • L ib ro para e l maest ro

    C I N C O S U G E R E N C I A S PA R A E N S E A R E N L A T E L E S E C U N D A R I A

    Aprender significa tomar riesgos: Lo nuevo siempre causa cierta inseguridad e intentar algo por primera vez implica estar dispuesto a equivocarse. Por eso es importante crear un ambiente de confianza en el cual los alumnos puedan decir lo que piensan, hacer preguntas o intentar procedimientos nuevos sin temor. Algunas ideas para lograr esto son:

    Antes de calificar una respuesta, reflexione sobre su origen, en muchas ocasiones las preguntas tienen ms de una solucin. Por ello, es importante valorar planteamientos diferentes y no obligar a todos a llegar a una solucin nica. Ayude a los alumnos a aprender a escuchar a sus compaeros y a encontrar diferencias y semejanzas en las propuestas, analizando sus partes y detectando hasta qu punto se acerca a una respuesta satisfactoria. En Matemticas, por ejemplo, muchas veces los alumnos obtienen soluciones diferentes, que corresponden a interpretaciones distintas del problema. Es una tarea colectiva comprender las distintas interpretaciones que pueden aparecer en la clase sobre un mismo problema.

    Los alumnos pueden aprender unos de otros: en el trabajo de equipo es conveniente que los alumnos tengan diferentes niveles de conocimientos y experiencias. Algunos sern lectores fluidos, otros sabrn argumentar con detalle sus ideas, otros dibujarn con mucha facilidad, otros harn clculos y estimaciones con soltura. Formar equipos heterogneos propicia que unos puedan compartir lo que saben con otros. Esto es particularmente til para la realizacin de los proyectos de Ciencias, debido a que stos integran contenidos conceptuales, habilidades y actitudes desarrolladas a lo largo de un bloque o al final del ao escolar.

    Crear un ambiente de confianza1

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  • L ib ro para e l maest ro

    Los docentes pueden modelar las actividades para los alumnos usando su propio trabajo para ejemplificar alguna actividad o situacin que desea introducir al grupo. Si los alumnos tienen que escribir, leer en silencio, o trabajar de manera individual en alguna tarea, el maestro puede hacer lo mismo. Esto lo ayudar a darse cuenta de cunto tiempo toma, qu retos especiales presenta o qu aspectos hay que tomar en cuenta para realizarla. Al compartir su propio trabajo, tambin puede escuchar comentarios, responder preguntas, ampliar informacin y tomar sugerencias.

    Mientras los alumnos trabajan en grupos, el maestro debe estar atento a qu ocurre en los equipos: aprovechar la oportunidad para hacer intervenciones ms directas y cercanas con los alumnos, sin abordarlos de manera individual. Mientras ellos desarrollan una tarea, puede pasar a los equipos y escuchar brevemente, registrando frases o palabras de los alumnos para retomarlas en las discusiones generales; tambin puede participar en algunos grupos para conocer la dinmica del trabajo en equipo. Adems, en algunos momentos, puede orientar el dilogo de los alumnos, si considera pertinente destacar algn contenido conceptual.

    Considere tiempo para mejorar los productos y/o las actividades: en ocasiones los alumnos concluyen una actividad y despus de discutirla con otros se dan cuenta de que les gustara modificarla. Puede resultar de gran provecho dar oportunidad a los alumnos para revisar algn aspecto de su trabajo. Cuando lo considere pertinente, dles tiempo para reelaborar y sentirse ms satisfechos con su trabajo.

    Cmo hacer una lluvia de ideasuna lluvia de ideasuna lluvia de ideas

    Cmo coordinar la discusin de

    un dilema moral

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  • L ib ro para e l maest ro

    Es importante usar diferentes prcticas acadmicas de manera constante y reiterada. Se trata de guiar la lectura de distintos tipos de textos, grficas, esquemas, mapas, frmulas e imgenes; demostrar diversas formas de expresar y argumentar las ideas, utilizar trminos tcnicos; plantear preguntas, elaborar textos, registrar datos y realizar operaciones matemticas. Las siguientes estrategias pueden servir como lineamientos generales para la enseanza en el aula:

    Invite a los alumnos a leer atentamente y dar sentido a lo que leen: las diferentes frmulas, grficas, mapas, tablas e imgenes que se les presentan en los libros para el alumno, libros de las Bibliotecas Escolares y de Aula, recursos digitales, videos, etc. Reflexione con ellos sobre por qu se incluyen estos recursos en la actividad, qu tipo de informacin aportan y en qu aspectos deben poner atencin para comprenderlos mejor.

    Las actividades relacionadas con los mapas, imgenes, grficas, problemas y textos incluidos en las secuencias, tienen la finalidad de favorecer la construccin colectiva de significados: en lugar de utilizarlas para verificar la comprensin de lectura o la interpretacin de la informacin representada, se busca construir con el grupo, con la participacin de todos, qu dice el texto o las otras representaciones, qu conocemos acerca de lo que dice, qu podemos aprender de ellos y qu nos dicen para comprender mejor nuestro mundo.

    Utilice diferentes modalidades de lectura: la lectura en voz alta constituye una situacin privilegiada para escuchar un texto y comentarlo sobre la marcha, haciendo pausas para plantear preguntas o explicar su significado; la lectura en pequeos grupos crea oportunidades para que todos lean; la lectura en silencio favorece la reflexin personal y la relectura de fragmentos. Segn la ocasin y el propsito, tambin puede preparar lecturas dramatizadas con todo el grupo o en equipos.

    Ayude a los alumnos a construir el sentido de sus respuestas: en lugar de ver estas actividades como pautas para verificar la comprensin de los estudiantes, utilcelas para construir, junto con ellos, los significados de los textos incluidos en las secuencias.

    Cuando los alumnos deben escribir respuestas o componer pequeos textos, puede modelarse cmo iniciar el escrito en el pizarrn: pida a dos o tres estudiantes que den ejemplos de frases iniciales para ayudar a todos a empezar a escribir.

    Incorporar estrategias de enseanza de manera permanente

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  • L ib ro para e l maest ro

    Invite a los alumnos a leer en voz alta los diferentes textos que van escribiendo: proporcione pautas para revisar colectivamente los escritos, dando oportunidad a los alumnos para reconsiderar sus textos y escuchar otras maneras de redactar lo que quieren expresar. Esto los ayudar a escuchar cmo se oyen (y cmo se entienden) sus escritos. Propicie la valoracin y aceptacin de las opiniones de los otros con el fin de mejorar la composicin de textos. Modele y propicie el uso de oraciones completas, en lugar de respuestas breves y recortadas.

    Plantee preguntas relacionadas con los temas que tienden a extender el conocimiento disciplinario y sociocultural de los estudiantes: algunas preguntas pueden promover el pensamiento crtico en los estudiantes porque no slo se dirigen a los contenidos conceptuales, tambin se involucra el desarrollo de actitudes, porque se promueve la reflexin de aspectos ticos, de salud, ambiente e interculturales, entre otros.

    Busque ejemplos de uso del lenguaje de acuerdo a la temtica o contenido acadmico: para ejemplificar algn tipo de expresin, identifique fragmentos en los libros de las Bibliotecas Escolares y de Aula y lalos en clase. Incorpore la consulta puntual de materiales mltiples y la lectura de muchas fuentes como parte de la rutina en clase.

    Busque ejemplos del contexto cotidiano y de la experiencia de los alumnos, de acuerdo a la temtica o contenido acadmico.

    Utilice la escritura como una herramienta de aprendizaje; no todo lo que se escribe en el aula tiene que ser un texto acabado: muchas veces, cuando intentamos poner una idea por escrito, nos damos cuenta de nuestras preguntas y dudas. Tambin se puede usar la escritura para ensayar relaciones y procesos, hacer predicciones, formular hiptesis o registrar interrogantes que pueden retomarse en una ocasin posterior. En matemticas, por ejemplo, el carcter formal o acabado del procedimiento de solucin depende del problema que trata de resolverse. Por ejemplo, para un problema de tipo multiplicativo, la suma es un procedimiento informal, pero esta misma operacin es un procedimiento experto para un problema de tipo aditivo. El conocimiento matemtico est en construccin permanente.

    Cmo apoyar la elaboracin de resmenes

    Cmo introducir otros recursos

    Para hacer uso del diccionario

    Cmo leerun mapa

    Cmo concluirun dilogo o actividad

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  • 10 L ib ro para e l maest ro10 L ib ro para e l maest ro

    El dilogo e interaccin entre los pares es una parte central en el proceso de aprendizaje: la participacin con otros nos ayuda a desplegar nuestros conocimientos, demostrar lo que sabemos hacer, anticipar procesos, reconocer nuestras dudas, or las ideas de los dems y compararlas con las propias. Por ello, es deseable:

    Fomentar la interaccin en el aula con mltiples oportunidades para opinar, explicar, argumentar, fundamentar, referirse a los textos, hacer preguntas y contestar: las preguntas que se responden con s o no, o las que buscan respuestas muy delimitadas tienden a restringir las oportunidades de los alumnos para elaborar sus ideas. Las preguntas abiertas, en cambio, pueden provocar una variedad de respuestas que permiten el anlisis, la comparacin y la profundizacin en las problemticas a tratar; tambin permiten explorar razonamientos diferentes y plantear nuevas interrogantes. Adems, dan pie a un uso ms extenso de la expresin oral.

    Crear espacios para que los alumnos expresen lo que saben sobre el tema nuevo o lo que estn aprendiendo: en diferentes momentos de las secuencias (al inicio, desarrollo, al final) pueden abrirse dilogos, con el fin de que contrasten sus conocimientos con los de otros alumnos, y con ello enriquecer y promover la construccin compartida de conocimientos.

    Fomentar la interaccin en el aula

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  • 11L ib ro para e l maest ro

    Incorporar en las actividades cotidianas los dilogos en pequeos grupos: algunos estudiantes que no participan en un grupo grande, es ms probable que lo hagan en un grupo ms pequeo o en parejas.

    Utilizar ciertos formatos de interaccin de manera reiterada, con materiales de apoyo escritos y/o grficos para organizar actividades: algunos ejemplos de estos formatos son la presentacin oral de reseas de libros, la revisin de textos escritos por los alumnos, realizacin de debates, el trabajo en equipo en el que cada alumno tiene una tarea asignada (coordinador, relator, buscador de informacin, analista, etctera).

    Realizar cierres de las actividades: obtener conclusiones que pueden ser listas de preguntas, dudas o diversas opiniones; los acuerdos del grupo; un registro de diferentes formas de expresin o propuestas de cmo decir algo; un resumen de lo aprendido, un diagrama, una tabla, un procedimiento eficaz para resolver un problema, entre otros.

    Cmo llevar a cabo un debate

    Cmo conducir una revisin grupal de textos

    Cmo conducir un dilogo grupal

    Cmo coordinar la discusin de

    un dilema moral

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  • 12 L ib ro para e l maest ro

    Una parte fundamental de la educacin secundaria es aprender a utilizar recursos impresos y tecnolgicos para conocer diversas expresiones culturales, buscar informacin y resolver problemas. Por ello es indispensable explorar y conocer diferentes materiales como parte de la preparacin de las clases y

    Llevar al aula materiales complementarios: para compartir con los alumnos y animarlos a buscar y compartir con el grupo diferentes recursos.

    Promover el uso constante de otros recursos tecnolgicos y bibliogrficos disponibles en la escuela: si tienen acceso a computadoras, puede

    Utilizar recursos mltiples

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  • 13L ib ro para e l maest ro

    fomentarse su uso para la realizacin de los trabajos escolares y, de contar con conectividad, para buscar informacin en Internet. Asimismo las colecciones de Bibliotecas Escolares y de Aula, la biblioteca de la escuela y la biblioteca pblica son fuentes de informacin potenciales importantes. Por otro lado, el uso de recursos tecnolgicos, como los videos, los simuladores para computadora y otras actividades ejecutables en pantalla facilitan la comprensin de fenmenos o procesos matemticos, biolgicos, fsicos y qumicos que muchas veces son difciles de replicar en el laboratorio o a travs de alguna actividad experimental.

    Cmo anotar referencias de las fuentes utilizadas

    Cmo introducir otros recursos

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  • 14 L ib ro para e l maest ro

    Las paredes del aula constituyen un espacio importante para exponer diferentes recursos de consulta rpida y constante. Por ejemplo, se puede:

    Crear un banco de palabras en orden alfabtico de los trminos importantes que se estn aprendiendo en las distintas materias. Sirven de recordatorio para los estudiantes cuando tienen que resolver sus guas, escribir pequeos textos, participar en los dilogos, etc.

    Dejar apuntadas diferentes ideas aportadas por todos para resolver algn tipo de problema. Por ejemplo, puede hacerse un cartel para orientar qu hacer cuando uno encuentra una palabra desconocida en un texto:

    Desplegar ideas en el aula para consultas rpidas

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    tratar de inferir el significado del texto.

    Buscarla en el diccionario.

    Preguntar al maestro o a un compaero.

    saltarla y seguir leyendo.

    Qu hacer cuando no sabes Qu significa una palabra?

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  • 15L ib ro para e l maest ro

    Colgar mapas, tablas, grficas, frmulas, diagramas y listas para la consulta continua.

    Puede involucrar a los alumnos en el registro de la historia del grupo y la evolucin de las clases. Una forma de hacer esto es llevar una bitcora donde se escribe cada da lo que ocurri en las diferentes clases. Los alumnos, por turnos, toman la responsabilidad de llevar el registro del trabajo y experiencias del da. La bitcora se pone a disposicin de todos para consultar. Esta no es una actividad para calificar o corregir. Se trata de darle importancia y presencia a la memoria del grupo durante el ao escolar. Cada alumno podr seleccionar qu fue lo relevante durante el da y escribir de acuerdo a su estilo y sus intereses.

    Cmo organizar la bitcora del grupo

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  • 1 L ib ro para e l maest ro

    Pistas didcticas

    Cmo anotar referencias de las fuentes utilizadas Cuando se utilizan textos o imgenes que aparecen en distintos medios, se cita

    su procedencia, usando alguno de los siguientes cdigos:

    Libro: apellido del autor, nombre del autor, ttulo, lugar de edicin, editorial y ao de publicacin. Si se trata de un diccionario o enciclopedia, anotar tambin las palabras o pginas consultadas.

    Revista o peridico: ttulo, nmero, lugar y fecha de publicacin, pginas consultadas.

    Programa de TV: Nombre del programa, horario de transmisin y canal.

    Cmo conducir una revisin grupal de textos individuales Solicite un voluntario para leer su texto frente al grupo. Copie fragmentos breves de los

    textos en el pizarrn o usando el procesador de textos, para ejemplificar frases o expresiones que puedan ser mejoradas.

    Acepte dos o tres intervenciones, para hacer comentarios sobre el contenido cotejando lo que plantea el libro para los alumnos. En el pizarrn haga las modificaciones sugeridas por los comentaristas y pregunte al autor si est de acuerdo, si su texto mejora con las aportaciones o se le ha ocurrido otra idea para mejorarlo. Permita que sea el propio autor el que concluya cul es la manera que mejor se acerca a lo que quiere relatar, la corrija en el pizarrn y despus en su cuaderno.

    Solicite que todos relean y revisen sus textos, hagan las correcciones necesarias y lo reescriban con claridad para, posteriormente, poder leerlo con facilidad ante el grupo.

    En cada ocasin invite a alumnos distintos a revisar sus textos con todo el grupo, incluyendo a los que no se autopropongan.

    Siempre propicie actitudes positivas hacia la revisin para el mejoramiento de la expresin escrita.

    Cmo conducir un dilogo grupal Acepte dos o tres intervenciones de los alumnos. Anote algunas respuestas en el pizarrn,

    para recuperarlas en la discusin o conclusiones.

    Acepte respuestas distintas; sugiera que se basen en lo que dice el texto (video, mapa o problema) o en situaciones parecidas.

    Para avanzar en el dilogo, resalte las diferencias y semejanzas entre las participaciones de los alumnos. Por ejemplo: Juan dijo tal cosa, pero Mara piensa esta otra, qu otras observaciones se podran hacer?

    Cierre cada punto y d pie al siguiente inciso. Por ejemplo: Ya vimos las caractersticas comunes a todos los seres vivos, ahora pasaremos a las diferencias entre un ser vivo y un objeto inanimado.

    En cada ocasin otorgue la palabra a distintos alumnos, incluyendo los que no levanten la mano.

    Seale claramente el momento de las conclusiones y el cierre de los comentarios.

    textos en el pizarrn o usando el procesador de textos, para ejemplificar frases o expresio

    cepte dos o tres intervenciones, para hacer comentarios sobre el contenido cotejando lo que plantea el libro para los alumnos. En el pizarrn haga las modificaciones sugeridas por

    aportaciones o se le ha ocurrido otra idea para mejorarlo. Permita que sea el propio autor el que concluya cul es la manera que mejor se acerca a lo que quiere relatar, la corrija en el

    olicite que todos relean y revisen sus textos, hagan las correcciones necesarias y lo reescriban

    n cada ocasin invite a alumnos distintos a revisar sus textos con todo el grupo, incluyendo a los que no

    iempre propicie actitudes positivas hacia la revisin para el mejoramiento de la expresin escrita.

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  • 1L ib ro para e l maest ro

    Cmo hacer una lluvia de ideas Plantee una pregunta abierta relacionada con una actividad, texto, imagen o situacin (Qu

    pasara si? Cmo podramos? Por qu creen que esto ocurre as? Qu les sugiere esto?).

    Permita y promueva que los alumnos den su opinin, anote ideas y sugerencias y planteen dudas.

    Conforme los alumnos van participando, apunte en el pizarrn, de manera abreviada, sus comentarios y aportaciones. Tambin puede anotar sus ideas en un procesador de palabras y proyectarlas en la pantalla.

    Cuando los alumnos han terminado de participar, revise con ellos la lista y busquen diferentes formas de organizar sus ideas (juntar todas las similares, ordenarlas cronolgicamente, agruparlas por contenido, etctera).

    Resuma con el grupo las principales aportaciones.

    Retome las participaciones cuando sea pertinente relacionarlas con otras intervenciones.

    lantee una pregunta abierta relacionada con una actividad, texto, imagen o situacin (Qu pasara si? Cmo podramos? Por qu creen que esto ocurre as? Qu les sugiere esto?).

    onforme los alumnos van participando, apunte en el pizarrn, de manera abreviada,

    etome las participaciones cuando sea pertinente relacionarlas con otras intervenciones.

    Cmo concluir un dilogo o una actividad Hacia el final del dilogo o de una actividad, resuma los comentarios de todos los

    participantes.

    Seale las principales semejanzas y diferencias en las aportaciones. Recurdele al grupo cmo se plantearon y cmo se resolvieron.

    Ayude a los alumnos a definir las conclusiones, inferencias y acuerdos principales de la actividad y de sus reflexiones.

    Permita a los alumnos expresar sus dudas y contestarlas entre ellos.

    Anote en el pizarrn las ideas y conclusiones ms importantes.

    Cmo organizar la bitcora del grupo La bitcora es una actividad compartida por todos los miembros del grupo. Se busca

    escribir da a da la vida del grupo escolar. Es una actividad libre de escritura en el sentido de que cada alumno puede elegir qu aspecto del da comentar y cmo comentarlo. No se trata de corregirlo sino de compartir las diferentes perspectivas acerca de los eventos centrales de la convivencia en el aula.

    Cada da un alumno diferente se hace responsable de escribir, dibujar, insertar fotografas, etctera.

    Es una actividad que los alumnos pueden realizar en un procesador de palabras.

    Si cuenta con conectividad, se puede crear un blog (bitcora electrnica) del grupo que se despliegue en Internet. En la pgina www.blogspot.com se explica cmo hacerlo.

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  • 1 L ib ro para e l maest ro

    Cmo coordinar la discusin de un dilema moral Pida a los alumnos que lean el dilema individualmente y respondan las preguntas. Indique que

    los comentarios se harn ms adelante.

    Aclare con el grupo el sentido del dilema, preguntndoles, por qu es un dilema?, cul es el tema central?, qu habr pensado el personaje en cuestin?

    Invite a los alumnos a intercambiar ideas en plenaria.

    Explique previamente dos reglas bsicas: a) Debatir argumentos y no agredir ni elogiar a personas, y b) turnarse el uso de la palabra, de modo que se ofrezcan equilibradamente argumentos a favor y en contra de cada postura.

    A medida que el grupo identifique las posturas y argumentos posibles, antelos en el pizarrn e invite al grupo a organizarlos, mediante preguntas como: Cul es el mejor argumento a favor de X postura y por qu? Habra otros argumentos?, cules?

    Para cerrar, invite al grupo a redefinir o confirmar sus posturas iniciales, con base en los argumentos dados, y a buscar salidas diversas y ms satisfactorias al dilema.

    medida que el grupo identifique las posturas y argumentos posibles, antelos en el pizarrn e

    Cmo introducir otros recursos Explore y lea con anticipacin los materiales, seleccionando aquellos que desea compartir con

    el grupo.

    Presente el material (libro, revista, artculo de peridico, mapa, imagen, etctera) al grupo, comentando qu tipo de material es, el autor o artista, el ao.

    Lea o mustrelo al grupo.

    Converse con los alumnos acerca de la relacin de este material con el trabajo que se est desarrollando. Propicie la reflexin sobre la relacin del material presentado con la actividad que se realiza o el contenido que se trabaja.

    Invtelos a revisar el material y conocerlo ms a detalle, o que ellos sugieran, aporten, lleven o busquen material relevante para los temas que estn abordando en el curso.

    Cmo llevar a cabo un debate Antes de empezar, solicite a dos alumnos que desempeen las funciones de moderador y

    de secretario, explicndoles en qu consiste su labor.

    Defina con claridad los aspectos del tema seleccionado que se van a debatir; debe plantearse con claridad cul o cules son los puntos o aspectos que se estn confrontando.

    El moderador anota en una lista los nombres de quienes desean participar e inicia la primera ronda de participaciones para que cada uno exprese su punto de vista y sus argumentos acerca del tema.

    El secretario toma notas de las participaciones poniendo nfasis en las ideas o conceptos que aportan.

    Al agotar la lista de participaciones, el moderador hace un resumen de los comentarios. De ser necesario y contar con tiempo, puede abrirse una nueva lista de participaciones; o bien, al final resume las principales conclusiones o puntos de vista para que el secretario tome nota de ellas.

    Cada vez que sea necesario, es importante que el moderador les recuerde a los participantes cules son los puntos centrales del debate, para evitar distracciones.

    Al final, el secretario lee sus anotaciones y reporta al grupo las conclusiones o puntos de vista.

    ntes de empezar, solicite a dos alumnos que desempeen las funciones de moderador y

    efina con claridad los aspectos del tema seleccionado que se van a debatir; debe plantearse

    l secretario toma notas de las participaciones poniendo nfasis en las ideas o conceptos

    l agotar la lista de participaciones, el moderador hace un resumen de los comentarios. De ser necesario y contar con tiempo, puede abrirse una nueva lista de participaciones;

    ada vez que sea necesario, es importante que el moderador les recuerde a los participan

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  • 1L ib ro para e l maest ro 1L ib ro para e l maest ro

    Cmo leer un mapa Pida a los alumnos que identifiquen el ttulo del mapa para saber qu tipo de informacin

    representa. Si se trata de un mapa histrico, solicite a los estudiantes que identifiquen de cundo data y si representa hechos o procesos del pasado.

    Revise con los alumnos las referencias o simbologa.

    Seale claramente cul es la escala empleada en el mapa.

    Revise con el grupo la simbologa utilizada y su explicacin.

    Comente con el grupo la informacin que se puede obtener a partir del mapa o relacionndolo con otras informaciones previas.

    Interprete la orientacin a partir de leer la rosa de los vientos.

    Cmo conducir una revisin grupal de textos colectivos Solicite a un equipo voluntario para leer su texto frente al grupo y otro para comentarlo. Copie fragmen

    tos breves del texto en el pizarrn para ejemplificar frases o expresiones que puedan ser mejoradas.

    Acepte dos o tres observaciones de los comentaristas, basadas en las pautas de revisin. En el pizarrn haga las modificaciones sugeridas y pregunte a los autores si estn de acuerdo, si su texto mejora con las aportaciones o se les ocurre otra idea para mejorarlo. Permita que los autores sean quienes decidan sobre la manera que mejor se acerca a lo que quieren decir, reelaboren su idea en el pizarrn y luego en su cuaderno.

    Solicite que en cada equipo relean y revisen sus textos, hagan las correcciones necesarias y lo reescriban con claridad para, posteriormente, leerlo con facilidad ante el grupo.

    En cada ocasin, invite a equipos distintos a que revisen y comenten sus textos con todo el grupo. Siempre propicie actitudes positivas hacia la revisin para el mejoramiento de la expresin escrita.

    Cmo apoyar la elaboracin de resmenes Elija el texto que se va a resumir y lalo con el grupo.

    Solicite participaciones a partir de las preguntas: cul consideran que es la idea principal de cada prrafo?, cules sern las ideas secundarias o ejemplos? Acepte participaciones de los alumnos, escriba algunas en el pizarrn o con el procesador de textos y despus proponga usted sus respuestas a las mismas preguntas.

    A partir de las respuestas, ejemplifique en el pizarrn cmo retomar la idea principal de cada prrafo. Puede incluir definiciones textuales, vocabulario tcnico y ejemplos del texto.

    De ser posible, muestre a los alumnos ejemplos de resmenes elaborados por usted o por otros estudiantes.

    Para hacer uso del diccionario Haga una lista, con sus alumnos, de las palabras que no conocen o no comprenden.

    Bsquenlas en el diccionario en orden alfabtico.

    Lea el significado e intenten utilizarlo dentro de un contexto. Tambin pueden hacer uso de sinnimos.

    Relea las oraciones que contienen las palabras consultadas para comprenderlas ampliamente.

    Si an quedan dudas, busque la palabra en un libro especializado.

    Cmo conducir una revisin grupal de textos colectivosCmo conducir una revisin grupal de textos colectivos otro para comentarlo. Copie fragmen

    tos breves del texto en el pizarrn para ejemplificar frases o expresiones que puedan ser mejoradas.

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    ms

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    ioso

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    22

    12.4

    Ms

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    dice

    sIn

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    o

    13.S

    imul

    aci

    n.

    Uti

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    itua

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    tica

    s.13

    .1S

    imul

    aci

    nPr

    ogra

    ma

    23

    13.2

    Apl

    ican

    dola

    sim

    ulac

    in

    13.3

    Sim

    ulac

    in

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    ogra

    ma

    24In

    tera

    ctiv

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    ade

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    MAT3 B3 PREL maestro.indd 21 12/11/08 10:44:19 PM

  • 22 L ib ro de l maest ro

    Blo

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    e3

    SEC

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    CIA

    SESI

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    REC

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    exp

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    ones

    alg

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    .[2

    8-37

    ]

    Reco

    noce

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    acio

    nes

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    de

    laf

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    ade

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    que

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    aen

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    rla

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    odel

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    una

    expr

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    .

    14.1

    El

    rea

    dela

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    tera

    ctiv

    o

    14.2

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    Prog

    ram

    a25

    14.3

    Elm

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    26

    15.

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    rm

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    [38-

    51]

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    tiliz

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    dola

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    a28

    16.

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    .[5

    2-63

    ]

    Det

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    ales

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    ade

    Tal

    ese

    ndi

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    ricos

    .

    16.1

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    para

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    29In

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    ade

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    es(G

    eom

    etra

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    16.2

    Pro

    porc

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    con

    tra

    para

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    Rec

    proc

    ode

    lteo

    rem

    ade

    Tal

    es

    (Geo

    met

    rad

    inm

    ica)

    16.3

    Ah

    est

    el

    teo

    rem

    ade

    Tal

    esPr

    ogra

    ma

    30

    17.

    Figu

    ras

    hom

    ott

    icas

    .[6

    4-73

    ]

    Det

    erm

    inar

    los

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    ltad

    osd

    eun

    aho

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    ecia

    cua

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    zn

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    1.

    Det

    erm

    inar

    las

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    des

    que

    perm

    anec

    enin

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    ntes

    ala

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    hom

    otec

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    una

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    Co

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    que

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    de

    hom

    otec

    ias

    con

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    oce

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    es

    igua

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    dela

    sra

    zone

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    17.1

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    ecia

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    ante

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    31In

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    aci

    nde

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    ade

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    es(G

    eom

    etra

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    17.2

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    de

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    Prog

    ram

    a32

    Inte

    ract

    ivo

    18.

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    ficas

    de

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    cion

    esf

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    onal

    es.

    [74-

    83]

    In

    terp

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    iliza

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    rela

    cion

    esf

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    onal

    esn

    olin

    eale

    spa

    ram

    odel

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    iver

    sas

    situ

    acio

    nes

    ofe

    nm

    enos

    .

    18.1

    Pla

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    clin

    ado

    Prog

    ram

    a33

    Inte

    ract

    ivo

    18.2

    La

    ley

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    Prog

    ram

    a34

    18.3

    La

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    19.

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    cas

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    olin

    eale

    s.[8

    4-10

    9]

    Esta

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    erla

    rela

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    que

    exi

    ste

    entr

    ela

    for

    ma

    yla

    pos

    ici

    nde

    lac

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    de

    fun

    cion

    esn

    olin

    eale

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    los

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    res

    dela

    slit

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    ela

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    ione

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    aica

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    ede

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    ae

    stas

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    cion

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    19.1

    Ab

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    dec

    lcu

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    19.2

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    Inte

    ract

    ivo

    19.3

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    ram

    a35

    Inte

    ract

    ivo

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    ogra

    ma

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    Ah

    les

    van

    una

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    olas

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    ogra

    ma

    37In

    tera

    ctiv

    o

    19.6

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    Inte

    ract

    ivo

    20.

    Gr

    ficas

    por

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    .[1

    04-1

    19]

    In

    terp

    reta

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    gr

    ficas

    for

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    ones

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    cur

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    que

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    20.2

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    ract

    ivo

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    MAT3 B3 PREL maestro.indd 22 12/11/08 10:44:20 PM

  • 23L ib ro de l maest ro

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    CIA

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    -135

    ]

    Det

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    ng

    ener

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    tic

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    rad

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    rel

    en

    sim

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    rmin

    oen

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    vas

    utili

    zand

    oel

    mt

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    ifer

    enci

    as.

    21.1

    Nm

    eros

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    rado

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    ogra

    ma

    39In

    tera

    ctiv

    o

    21.2

    Las

    dif

    eren

    cias

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    expr

    esio

    nes

    cuad

    rti

    cas

    21.3

    Elm

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    ode

    dif

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    cias

    Prog

    ram

    a40

    21.4

    Apl

    ique

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    loa

    pren

    dido

    22.

    Teor

    ema

    deP

    itg

    oras

    .[1

    36-1

    45]

    Ap

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    itg

    oras

    en

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    solu

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    de

    prob

    lem

    as.

    22.1

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    un

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    deP

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    oras

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    41In

    tera

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    Pit

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    (Geo

    met

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    inm

    ica)

    22.2

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    rem

    ade

    Pit

    gor

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    Prog

    ram

    a42

    Inte

    ract

    ivo

    22.3

    Apl

    icac

    ione

    sde

    lteo

    rem

    ade

    Pit

    gor

    asII

    23.

    Razo

    nes

    trig

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    tric

    as.

    [146

    -161

    ]

    Reco

    noce

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    dete

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    arla

    sra

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    igon

    omt

    ricas

    en

    fam

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    ngul

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    s,co

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    sen

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    las

    med

    idas

    de

    los

    lado

    s.

    Calc

    ular

    med

    idas

    de

    lado

    sy

    de

    ngul

    osd

    etr

    ing

    ulos

    rect

    ngu

    los

    apa

    rtir

    delo

    sva

    lore

    sde

    razo

    nes

    trig

    onom

    tric

    as.

    Re

    solv

    erp

    robl

    emas

    sen

    cillo

    s,en

    div

    erso

    sm

    bito

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    iliza

    ndo

    las

    razo

    -ne

    s tr

    igon

    omt

    ricas

    .

    23.1

    La

    com

    pete

    ncia

    Inte

    ract

    ivo

    ngu

    lod

    eel

    evac

    in

    yde

    pres

    in

    (H

    oja

    dec

    lcu

    lo)

    23.2

    Cos

    enos

    ys

    enos

    Prog

    ram

    a43

    23.3

    30

    ,45

    y6

    0

    23.4

    Are

    solv

    erp

    robl

    emas

    Prog

    ram

    a44

    Inte

    ract

    ivo

    24.

    Elc

    reci

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    expo

    nenc

    ialy

    ell

    inea

    l.[1

    62-1

    75]

    In

    terp

    reta

    ry

    com

    para

    rla

    sre

    pres

    enta

    cion

    esg

    rfic

    asd

    ecr

    ecim

    ient

    oar

    itm

    tic

    oo

    linea

    lyg

    eom

    tric

    oo

    expo

    nenc

    iald

    edi

    vers

    as

    situ

    acio

    nes.

    24.1

    Cre

    cim

    ient

    ode

    pob

    laci

    ones

    Prog

    ram

    a45

    Inte

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  • 24 L ib ro de l maest ro

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    MAT3 B3 PREL maestro.indd 24 12/11/08 10:44:21 PM

  • 25L ib ro de l maest ro

    Clave de logos

    Trabajo individual

    En parEjas

    En Equipos

    Todo El grupo

    ConExin Con oTras asignaTuras

    glosario

    ConsulTa oTros maTErialEs

    Cd dE rECursos

    siTios dE inTErnET

    biblioTECas EsColarEs y dE aula

    programa dE TElEvisin

    inTEraCTivo

    audioTExTo

    aula dE mEdios

    oTros TExTos

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    BLOQUE 3

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  • 28 L ib ro para e l maest ro

    Propsito de la sesin. Establecer la expresin que describe la relacin entre el rea de una imagen proyectada y la distancia del proyector a la pantalla.

    Propsito del Interactivo.Presentar problemas de la vida real y modelarlos mediante expresio-nes algebraicas.

    Analizar las expresiones algebraicas mediante el uso de tablas.

    Sugerencia didctica. Una vez que hayan ledo este prrafo, analicen juntos las imgenes: haga notar que cuando el proyector est a una distancia de 1 m de la pantalla, la imagen tiene una altura de 0.5 m; mientras que cuando el proyector est al doble de distancia (2 m), la imagen tiene el doble de altura (1 m). Por ello se afirma que es una relacin de proporcionali-dad directa.

    Haga la siguiente pregunta: Si el proyector se encuentra a 5 m de distancia cul sera la altura de la imagen?

    Propsito de la actividad. Se pretende que los alumnos escriban una expresin que describa la relacin entre la distancia a la que se encuentra el proyector y el tamao de la imagen.

    Respuestas.

    a) El lado medir 1 m y el rea 1 m2.

    b) A tres metros, el rea sera 2.25 m2 porque el lado medira 1.5 m.

    c) A medio metro, el rea sera 0.0625 m2 porque el lado medira 0.25 m.

    12

    secuencia 14

    En esta secuencia encontrars las expresiones algebraicas que corresponden a distintas relaciones funcionales.

    EL REA DE LA IMAGENPara empezarCuando una imagen se proyecta sobre una pantalla, su tamao aumenta. Dicho aumento puede ser mayor o menor dependiendo de la distancia a la que se encuentre el proyector respecto de la pantalla.

    2 m

    1 m

    1 m

    0.5 m

    Ms an, la relacin entre la distancia a la que se coloca el proyector y las dimensionesde la imagen (largo y ancho) es de proporcionalidad directa. Es decir, si se duplica, triplica, reduce a la mitad, etc. la distancia a la que se encuentra el proyector, se duplicarn,triplicarn, reducirn a la mitad, etc. el largo y el ancho de la imagen.

    Consideremos lo siguienteEn la imagen superior se est proyectando un cuadrado. Cuando el proyector se colocaa 1 m de distancia de la pantalla, la imagen proyectada resulta ser un cuadrado de lado0.5 m.

    a) Si el proyector se colocara a 2 m de distancia, cunto medir el lado del cuadrado

    proyectado? m; cul sera su rea? m2.

    b) Si el proyector se colocara a 3 m, cul sera el rea de la imagen proyectada?

    m2.

    c) Y si se colocara a 12 m? m2.

    sEsIN 1

    Relaciones funcionales y expresiones algebraicas

    Eje

    Sentido numrico y pensamiento algebraico.

    Tema

    Significado y uso de las literales.

    Subtema

    Relacin funcional.

    Antecedentes

    Desde el primer grado de secundaria los alumnos han estudiado las relaciones entre cantidades que varan una en funcin de la otra. En esta secuencia continuarn trabajando ese tema resolviendo situaciones de otras disciplinas.

    Propsitos de la secuencia Reconocer en otras disciplinas la presencia de cantidades que varan una en funcin de la otra

    y representar la variacin mediante una tabla o una expresin algebraica.

    Sesin Propsitos de la sesin Recursos

    1

    El rea de la imagen Establecer la expresin que describe la relacin entre el rea de una imagen proyectada y la distancia del proyector a la pantalla.

    Interactivo

    2El corral de los conejos Utilizar una relacin cuadrtica para encontrar el rea mxima de un corral con permetro fijo.

    Programa 25

    3El medio litro de leche Conocer otras expresiones algebraicas que modelan distintos fenmenos.

    Programa 26

    MAT3 B3 S14 maestro.indd 28 12/11/08 10:46:55 PM

  • 29L ib ro para e l maest ro

    Respuestas.

    d) Si x es la distancia a la que se encuentra el proyector, y y el rea de la imagen, entonces la expresin sera y = 0.25x 2.

    e) 0.49 m2

    Posibles respuestas para la pregunta d). La expresin y = 0.25x 2 puede escribirse de otras maneras, como:

    y = (0.5x)2

    y = (0.5x) (0.5x)

    y = ( x2 )2

    y = x 2

    4Posibles dificultades. Quiz los alumnos escriban y = 0.5x para expresar la relacin entre la distancia del proyector y el rea de la imagen, pero sera errneo. La expresin en realidad sirve para hallar el lado del cuadrado de la imagen (y ) conociendo la distancia a la que se encuentra el proyector (x ).

    Otro posible fuente de error ocurre cuando al querer denotar la operacin multiplicar 0.5 por x y el resultado elevarlo al cuadrado, escriben y = 0.5x 2. La jerarqua de operaciones prioriza la exponenciacin sobre la multiplicacin, por lo que primero debe elevarse x al cuadrado, y luego multiplicarse por 0.5. Si se le agregan parntesis, la expresin es correcta: y = (0.5x )2.

    Sugerencia didctica. Si los alumnos escriben distintas expresiones correctas, pdales que pasen al pizarrn a explicarlas y que las comparen. Si encuentran una sola forma correcta de escribir la expresin, o si no logran escribir ninguna, permtales avanzar en la sesin, ms adelante podrn retomarlas y hacer correcciones.

    Sugerencia didctica. Aunque algunos de los estudiantes no hayan logrado escribir una expresin correcta, es importante que se cercioren de que la que escribieron en realidad denote las operaciones que quieren hacer. Es decir, deben estar seguros de que no han cometido errores como olvidar la jerarqua de operaciones. Para hacer esta verificacin, pdales a todos que escriban sus expresiones en el pizarrn. Descarte las repetidas, y para todas las dems, digan cunto vale y si x es igual a 1, 2 y 4, por ejemplo. Lo importante en este punto no es decir quin escribi una expresin correcta, sino corregir errores algebraicos.

    Sugerencia didctica. Para analizar la relacin que existe entre la distancia a la que se coloca el proyector y el tamao de la imagen, diga a los alumnos que observen la tabla que llenaron en el apartado Manos a la obra. Cuando x vale 1, y vale 0.25. Si la relacin fuera de proporciona-lidad directa, se esperara que cuando x vale el doble (2) y valiera el doble (0.5), pero esto no ocurre. Analicen varios casos para que quede claro que la relacin no es de proporcionalidad directa.

    13

    IIIMATEMTICASd) Escribe una expresin que sirva para calcular el rea de la imagen proyectada a partir

    de la distancia a la que se encuentra el proyector.

    Aydate de la expresin anterior para contestar la siguiente pregunta:

    e) Si el proyector se colocara a 1.4 m de distancia, cul sera el rea del cuadrado?

    m2.

    Comparen sus respuestas y comenten cmo las obtuvieron.

    Manos a la obraI. Completen la siguiente tabla.

    Distanciadel proyector a la pantalla

    (m)

    Longitud del lado del cuadrado

    proyectado(m)

    rea del cuadrado

    proyectado (m2)

    0.5

    1.0 0.5 0.25

    1.5

    2.0

    2.5

    3.0

    II. Contesten las siguientes preguntas:

    a) Qu operacin hay que hacer para completar la segunda columna a partir de la

    primera?

    b) Si se denota con la letra x a la distancia entre el proyector y la pantalla, cul esla expresin que representa la longitud del lado del cuadrado?

    Lado =

    c) Qu operacin hay que hacer para completar la tercera columna a partir de la

    segunda?

    d) Qu operaciones hay que hacer para completar la tercera columna a partir de la

    primera?

    e) Si denotamos con la letra y el rea de la imagen proyectada, cul es la expresin

    que relaciona y con x ? y =

    Comparen sus respuestas y comenten si la relacin entre la x y la y es de proporcionalidad directa.

    Relaciones funcionales y expresiones algebraicas

    MAT3 B3 S14.indd 13 12/10/08 6:02:18 PM

    0.25 0.625 0.75 0.5625 1 1 1.25 1.5625 1.5 2.25

    Respuestas.a) Dividir entre 2 o multiplicar por 0.5

    b) Lado = 0.5x, tambin podra escribirse Lado = x

    2c) Elevar al cuadrado.

    d) Dividir entre dos y despus elevar al cuadrado, o bien, multiplicar por 0.5 y despus elevar al cuadrado.

    e) y = (0.5x )2

    y = ( x2 )2 o alguna otra equivalente.

    Sugerencia didctica. Diga a los alumnos que revisen la expresin que escribieron en el apartado Consideremos lo siguiente y que hagan correcciones si fuera necesario. Este puede ser tambin un buen momento para que les plantee expresiones equivalentes a y = (0.5x )2 como:

    y = 0.25x 2

    y = (0.5x ) (0.5x )

    y = ( x2 )2

    y = x 2

    4Utilicen cada expresin para obtener el valor de y asignando tres o cuatro valores a x y comprenlas. Se espera que logren decir cosas como:

    Es lo mismo escribir (0.5x )2 que (0.5x ) (0.5x ), y si se efecta esa multiplicacin, se obtiene otra de las expresiones de la lista 0.25x 2. Es lo mismo (0.5x)2 que ( x2 )

    2 porque da igual

    multiplicar por 0.5 que dividir entre 2.

    La expresin x 2

    2 es equivalente a 0.25x 2

    porque da lo mismo dividir entre 4 que multiplicar por 0.25.Cuando terminen de comparar las expresio-nes, planteles como reto que escriban otra que sea equivalente a las anteriores.

    MAT3 B3 S14 maestro.indd 29 12/11/08 10:47:01 PM

  • 30 L ib ro para e l maest ro

    Respuestas.

    a) 3.4225 m2

    b) Aproximadamente a 2.8 m.

    Posibles procedimientos. Para contestar la pregunta del inciso b) los alumnos debern emplear de distinta forma la expresin y = 0.25x 2.

    Si ya se conoce el rea (y), para encontrar la distancia a la que se encuentra el proyector (x), la expresin sera x = y 0.25

    Los alumnos ya saben utilizar operaciones inversas, por lo que podran plantearse 2 = 0.25x 2 cunto debe valer x para obtener y = 2?

    Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas a estas dos actividades.

    Respuestas.

    1. Si el lado de la imagen mide 30 cm, entonces su rea es de 900 cm2 o 0.09 m2. La expresin sera y = 0.09x 2.

    2. Ya se sabe que las medidas de los lados de la imagen y distancia a la que se encuentra el proyector (x ), tienen una relacin de proporcionalidad directa: para cualquier valor de x los lados del rectngulo medirn 0.6x y 0.4x. Entonces, basta multiplicar esas dos expresiones para obtener el rea: y = (0.6x) (0.4x) = 0.24x 2.

    Ahora bien, si x = 4.3, entonces y = 0.24 (4.3)2 = 4.4376 m2.

    14

    secuencia 14iii. Usen la expresin que encontraron para contestar lo siguiente:

    a) Si el proyector se colocara a 3.7 m, cul sera el rea de la imagen?

    b) Si se quiere que la imagen tenga un rea de 2 m2, a qu distancia deber colo

    carse el proyector?

    A lo que llegamosEn algunas situaciones, como en el caso de la proyeccin, la relacin entre dos cantidades x, y puede ser escrita de la forma y=y=y ax 2, donde a es un nmero fijo. A esta relacin se le conoce como relacin cuadrtica, pues la variable y depende del cuadrado de la variable x, es decir, de x 2.A diferencia de las relaciones de proporcionalidad directa, al incrementar al doble el valor de x no se duplica el valor de y , sino que se cuadruplica.

    Lo que aprendimos1. Un proyector despliega un cuadrado de lado 30 cm al colocarse a 1 m de la pantalla.

    Al colocar el proyector a otra distancia x se producir un cuadrado de una ciertarea y en metros cuadrados, cul es la expresin que relaciona x con y?y?y

    y =

    2. En la siguiente figura se muestran las medidas de un rectngulo que se proyect auna distancia de 1 m. Cul sera el rea de la imagen si se proyectara a una distancia

    de 4.3 m de la pantalla?

    1 m

    0.4 m

    0.6 m

    Cuando terminen de llenar la tabla, escriba en el pizarrn lo siguiente: cuando x = 1, el lado menor del rectngulo mide 0.4x y el lado mayor 0.6x. Pregnteles si ocurrir lo mismo cuando x tiene otros valores, es cierto que si x = 3 los lados del rectngulo miden 0.4x y 0.6x? Cuando estn seguros de que lo anterior es cierto, explqueles que para obtener el rea del rectngulo, hay que multiplicar las dos expresiones que ya obtuvieron: (0.6x ) (0.4x ) = 0.24x 2. Verifiquen la expresin dando distintos valores a x.

    Posibles dificultades. Es probable que los alumnos encuentren difcil el problema 2. Para resolverlo, lo primero que les tiene que quedar claro es que la relacin entre la distancia del proyector y el tamao de los lados de la imagen, es de proporcionalidad directa. Si lo considera necesario, plantee algunas preguntas como: cuando el proyector est a 2 m de qu tamao son los lados del rectngulo?, y si est a 2.5 m? Tambin pueden llenar una tabla similar a la que hicieron en el apartado Manos a la obra:

    Distancia del proyector a la pantalla (m)

    Longitud del lado menor

    del rectngulo proyectado (m)

    Longitud del lado mayor

    del rectngulo proyectado (m)

    rea del cuadrado

    proyectado (m2)

    0.5

    1.0 0.4 0.6 0.24

    1.5

    2.0

    2.5

    3.0

    MAT3 B3 S14 maestro.indd 30 12/11/08 10:47:06 PM

  • 31L ib ro para e l maest ro

    15

    MATEMTICAS IIIEL CORRAL DE LOs CONEJOsPara empezarDon Chon tiene una malla de 100 m de longitud para hacer un cerco. Ha decido usar elmaterial para hacerle un corral rectangular a sus conejos. No sabe todava de qu dimensiones hacerlo, pues quiere que sus conejos tengan el mayor terreno posible.

    a) De qu medidas se puede construir el corral rectangular usando los 100 m de malla?Encuentren cuatro posibilidades para el frente y cuatro para el fondo y antenlas enlas columnas A, B, C y D.

    Rectngulo A B C D

    Frente (m)

    Fondo (m)

    b) Calculen el rea de cada uno de los corrales que propusieron.

    rea de A = m2. rea de B = m2.

    rea de C = m2. rea de D = m2.

    c) Cul de los cuatro rectngulos que propusieron tiene mayor rea?

    Comparen las medidas de los corrales que propusieron y elijan de entre todos ellos cules el que tiene mayor rea.

    Consideremos lo siguientePara encontrar las medidas del corral que encierra la mayor rea posible, conviene teneruna expresin para el rea.

    Denoten con x la longitud del frente del corral. Recuerden que el corral debe usar los100 m de malla.

    a) Cul deber ser la medida del fondo? Fondo =

    b) Representen con la letra y el rea del corral que mide x metros de frente y escriban

    una expresin que relacione x con y . y =

    Verifiquen que las expresiones que escribieron sirven para calcular el rea de los corralesA, B, C y D a partir de las medidas de sus frentes.

    sEsIN 2

    Frente

    Fon

    do

    MAT3 B3 S14.indd 15 12/10/08 6:02:23 PM

    Propsito de la sesin. Utilizar una relacin cuadrtica para encontrar el rea mxima de un corral rectangular con permetro fijo.

    Posibles respuestas. Los alumnos deben dar las medidas de cuatro rectngulos con permetro 100 m, buscando que las reas a las que den lugar dichos rectngulos, sean las mayores posibles. Es buena idea que los alumnos hagan en su cuaderno una tabla con las medidas de cada rectngulo que se les vaya ocurriendo.

    Como la actividad es en parejas, pueden incluir en la tabla del libro dos posibilidades de un compaero, y dos del otro.

    Sugerencia didctica. Es importante que los alumnos comparen las medidas que surjan en el saln. Aunque desde la escuela primaria aprendieron que dos figuras con igual permetro no necesariamente tienen igual rea, lo que hay que resaltar en este momento es cules fueron las medidas que dieron lugar a la mayor rea.

    Propsito de la actividad. Que los alumnos obtengan una expresin cuadrtica para obtener el corral con mayor rea posible.

    Posibles respuestas.

    a) Los alumnos pueden expresar la medida del fondo del corral de distintas maneras:

    50 x

    (100 2x )2b) Los alumnos ya saben que el frente del corral

    mide x y en el inciso a) obtuvieron la medida del fondo. El rea ser el resultado de multiplicar ambas medidas, y pueden expresarla de distintas maneras, como:

    y = x (50 x ), y al efectuar las multiplicacio-nes quedara y = 50x x 2.

    y = x (100 2x )2 y al efectuar las

    multiplicaciones quedara y = 100x 2x 2

    2

    Sugerencia didctica. Pida a cada pareja de alumnos que use los datos de la tabla llenada en el apartado Para empezar para ver si la expresin a la que llegaron es correcta. Recuerden que x es igual a la medida del Frente del corral (entonces, en la tabla tienen 4 valores distintos para x). Utilizando la expresin a la que llegaron, deben obtener el rea de ese rectngulo. En el caso que no concuerde algn valor, podr comentarse con todo el grupo. La dificultad podra estar en:

    Una ecuacin mal escrita.

    Que el rectngulo no tenga permetro 100 m.

    Un clculo errneo.

    MAT3 B3 S14 maestro.indd 31 12/11/08 10:47:12 PM

  • 32 L ib ro para e l maest ro

    16

    secuencia 14

    Manos a la obrai. De las siguientes expresiones, cul es la que permite calcular el rea y a partir de la

    medida del frente x ? Subryenla.

    a) y = 50x x 2

    b) y = 50x + x 2

    c) y = x 2 50x

    d) y = 50x 2 x

    Comparen sus respuestas, comenten cmo hicieronpara elegirla y decidan si esa expresin es equivalente a la que haban contestado en el apartadoConsideremos lo siguiente.

    ii. Escriban la expresin que eligieron en la actividad i en la casilla correspondiente acontinuacin, y despus completen la tabla usando esa expresin.

    x 5 10 15 20 25 30 35 40

    y =

    a) Si y vale 625, cul debe ser el valor de x?

    b) Puede ser y igual a 600? . Por qu?

    c) Puede ser y igual a 650? . Por qu?

    Comparen sus respuestas y comenten si el valor de y puede ser mayor que 625.

    A lo que llegamosLas relaciones de la forma y=ax 2+bx y, en particular, y=ax 2, son llamadas relaciones cuadrticas. Como se puede observar, la expresin para y contiene x 2, equis cuadrada.

    Por ejemplo, las siguientes expresiones corresponden a relaciones cuadrticas:

    y = 50x x 2 y = 50x + x 2 y = x 2 50x y = 50x 2 x

    Recuerden que:

    Se dice que dos expresiones son equivalentes si dan

    el mismo resultado al evaluarlas para todo valor.

    Por ejemplo, al evaluar la expresin 2x+2 en

    x=5 da como resultado 12. Ese mismo resultado

    se obtiene al evaluar la expresin 2(x+1) en

    x=5. Y al evaluar esas dos expresiones en cual-

    quier otro valor de x, darn el mismo resultado.

    Por esa razn, las expresiones 2x+2 y 2(x+1)

    son equivalentes.

    MAT3 B3 S14.indd 16 12/10/08 6:02:25 PM

    Respuesta. La opcin a).

    Posibles dificultades. Para decidir cul es la expresin correcta, los alumnos podran comparar las 4 opciones con la que obtuvieron en la actividad anterior. Sin embargo, esto podra requerir de una buena habilidad algebraica si la expresin no les qued idntica a la correcta. Para evitar esta dificultad, sugiera a los alumnos que evalen las cuatro opciones con las medidas de los terrenos A, B, C y D de la tabla del apartado Para empezar.

    Sugerencia didctica. Este momento puede aprovecharse para explicar algebraicamente por qu las diferentes expresiones presentadas como posibles respuestas a la pregunta b) del apartado Consideremos lo siguiente, son equivalentes a la expresin y = 50x x 2.

    1) x (50 x ) = 50x x 2

    (efectuando la multiplicacin).

    2) x (100 2x )2 = 100x 2x 2

    2 (efectuando la multiplicacin).

    3) x (100 2x )2 = 100x

    2 2x 22

    (efectuando la multiplicacin y dejando sealada la divisin de cada trmino entre 2).

    4) x (100 2x )2 = 50x x 2

    (efectuando la multiplicacin y la divisin de cada trmino entre 2).

    Propsito de la actividad. La tabla y las siguientes preguntas pretenden apoyar el anlisis del comportamiento de la expresin obtenida: para cierto valor de x se obtiene un rea mxima, pero si se sigue aumentando x el rea disminuye. Es importante que no adelante a los alumnos esta informacin, permita que lo verifiquen por s mismos.

    Respuestas.a) 25

    b) S es posible. Las explicaciones que den los alumnos pueden ser muy variadas, pero se espera que giren en torno a lo siguiente: en la tabla es posible ver que cuando x vale 20, y = 600.

    c) No es posible, sin embargo, para los alumnos puede ser difcil explicar por qu. Lo importante es que observen que al mover el valor de x desde casi 0 hasta 25, el valor de y va creciendo y luego se reduce. Tambin puede afirmarse que la ecuacin 50x x 2 = 650 no tiene solucin, aunque las herramientas matemticas necesarias para justificarlo no estn al alcance de los alumnos. Lo que aprendan en la siguiente secuencia les servir para argumentar mejor esta cuestin.

    Sugerencia didctica. Pregunte a los alumnos por otros valores de y que no aparecen en la tabla. Por ejemplo: es posible que y = 609?, cunto vale x es ese caso?

    Para saber ms. Aunque con esta actividad lo que se pretende es que los alumnos observen qu ocurre con los valores que toma y cuando la x crece o decrece, es posible explicar por qu la expresin 50x x 2 no puede ser mayor a 625. Si usted lo considera conveniente, comprtala con sus alumnos, pero no es obligatorio que la aprendan.

    y = 50x x 2

    Sumando y restando 625 se obtiene:

    y = 625 625 + 50x x 2

    Factorizando el signo menos se obtiene la expresin equivalente:

    y = 625 (625 50x + x 2)

    La parte entre parntesis es un trinomio cuadrado perfecto por lo que la expresin puede cambiarse a:

    y = 625 (x 25)2

    En esta tlima expresin puede verse que a 625 se le est restando algo, y ese algo es un nmero mayor o igual a cero (no puede ser negativo porque est elevado al cuadrado). Esa es la razn por la que el valor de y no puede ser mayor que 625 : para cualquier valor de x es cierto que (x 25)2 0.

    Notemos lo importante de sealar que algo es mayor o igual a cero, pues de ser negativo incrementara el valor de y por encima de 625. En una expresin como y = 10 x no se puede afirmar que y es menor que 10, ya que x podra ser igual 1 y en tal caso y sera 11.

    La factorizacin del trinomio cuadrado perfecto fue parte clave de este razonamiento, pues gracias a sta se pudo expresar y como la resta de 625 menos algo que ciertamente es mayor o igual a cero.

    50x x 2 225 400 525 600 625 600 525 400

    MAT3 B3 S14 maestro.indd 32 12/11/08 10:47:18 PM

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    17

    MATEMTICAS IIIPara conocer ms de las relaciones cuadrticas, pueden ver el programa El rea mxima.

    III. A don Chon le pareci que 625 m2 era demasiada superficie y prefiere que el corral sereduzca a 400 m2. De qu medidas puede hacerse el corral, haciendo uso de los 100 mde malla (sin que sobre malla) y cubriendo los 400 m2 que quiere don Chon.

    Frente = Fondo =

    Lo que aprendimosSe quiere cercar una regin pegada a la paed de un jardn parasembrar chayotes, como se muestra en la figura. Pero slo secuenta con 50 m de malla para cercar y se quiere usar toda lamalla. Escriban una expresin para calcular el rea de la regin de siembra a partir de la longitud x que se marca en lafigura.

    y =

    EL MEDIO LITRO DE LECHEPara empezarUna empresa empacadora de leche quiere hacer un recipiente de 500 ml. La forma delrecipiente deber ser un prisma rectangular con base cuadrada, como se muestra en lafigura. El deseo de los fabricantes es hacer el empaque con la menor cantidad de material posible.

    Altura h

    Lado

    Lado

    Altura h

    Volumen rea

    SESIN 3

    x

    MAT3 B3 S14.indd 17 12/10/08 6:02:27 PM

    Propsito del programa 25. Modelar situaciones que tienen asociada una expresin cuadrtica.

    Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y das de transmisin.

    Propsito de la actividad. Esta actividad permite que el alumno plantee una ecuacin cuadrtica y que la resuelva con sus propios mtodos.

    Sugerencia didctica. La solucin no es exacta, por lo que es conveniente que los alumnos busquen slo una aproximacin. Pueden emplear mtodos personales y otros aprendidos en las sesiones 7 y 8 (como el tanteo, las operaciones inversas y la factorizacin).

    Respuesta. La ecuacin es 50x x 2 = 400. El corral tendra aproximadamente 10 m de frente y 40 m de fondo; o al revs, 40 m de frente y 10 m de fondo.

    Integrar al portafolios. Guarde una copia de la respuesta de los alumnos a esta actividad.

    Respuesta. Como el total de malla es 50 m y 2 de los lados medirn x, entonces el otro pedazo de malla mide 50 2x. Por otro lado, como la regin es rectangular, el rea sera x (50 2x).

    Propsito de la sesin. Conocer otras expresiones algebraicas que modelan distintos fenmenos.

    Sugerencia didctica. Al observar el desarrollo plano, los alumnos podran notar la falta de pestaas. Aclreles que en general, se da por hecho que las pestaas deben ponerse para construir