1

Matematické metody rozhodování

Literatura:

[1] J. Fotr, M. Píšek: Exaktní metody ekonomického rozhodování. Academia, Praha 1986.

[2] J. Fotr, J. Dědina: Manažerské rozhodování. Skripta VŠE, Praha 1993.

[3] R. Hušek, M. Maňas: Matematické modely v ekonomii. SNTL, Praha 1989.

[4] J. Talašová: Fuzzy metody vícekriteriálního hodnocení a rozhodování. VUP Olomouc,

2003.

[5] jakákoliv učebnice lineární algebry nebo nějaký úvod do matematiky na VŠ (matice,

determinanty, vlastní čísla a vlastní vektory matic, relace, rozklad množiny).

1. Matematický úvod

Matice, typ matice, čtvercová matice, řádkový a sloupcový vektor, jednotková matice.

Operace s maticemi – sčítání, násobení matice reálným číslem, lineární kombinace matic,

násobení matic.

Determinant, výpočet determinantů 2., 3. a 4. řádu (Sarrussovo pravidlo, Laplaceův rozvoj).

Vlastní čísla a vlastní vektory matic, věta o výpočtu vlastních vektorů matice.

Kartézský součin množin, relace, vlastnosti relací (reflexivní, symetrická, tranzitivní, úplná,

antisymetrická, uspořádání, kvaziuspořádání, ekvivalence).

Rozklad množiny podle relace ekvivalence na třídy navzájem ekvivalentních prvků.

Kartézský součin množin, relace, rozklad množiny

Nechť S,T jsou dvě množiny. Potom jejich kartézským součinem rozumíme množinu všech

uspořádaných dvojic prvků z množin S a T.

S ×T = { (s,t) ; s ∈ S a t∈ T }

Pojem kartézského součinu můžeme rozšířit na n libovolných množin S1,…, Sn:

S1 ×…× Sn = { (s1, …, sn) ; si ∈ Si , pro každé i = 1, …, n }.

Speciálním případem kartézského součinu n množin je n-tá kartézská mocnina množiny S

Sn = {(s1, …, sn) ; si ∈ S, pro každé i =1, …, n}.

Relace

Jednou ze základních potřeb matematiky je srovnávání objektů, udávání vztahu mezi objekty

a na základě daných vztahů a vlastností vzájemné přiřazování objektů. Proto je jedním ze

základních stavebních kamenů matematiky relace.

2

Nechť S,T jsou libovolné množiny. Binární relací z množiny S do množiny T rozumíme

libovolnou podmnožinu kartézského součinu množin S a T.

Je-li uspořádaná dvojice (s, t) kartézského součinu S × T prvkem relace, potom zapisujeme

(s, t) ∈ R nebo také sRt.

Jestliže R je relace z množiny S do množiny S, tedy R ⊆ S × S, potom hovoříme o binární

relaci na množině S.

Relace R = a R = S × T, které jsou nevlastními podmnožinami kartézského součinu S × T,

nazýváme prázdná relace a univerzální relace.

Nechť R ⊆ S × T. Inverzní relací k relaci R nazveme relaci tvořenou všemi uspořádanými

dvojicemi (t, s) množin T, S takovými, že uspořádaná dvojice (s, t) náleží relaci R.

R-1 = { (t, s)∈ T × S ; (s, t) ∈ R}.

Příklady relací:

1. Uvažujme druhou kartézskou mocninu množiny celých čísel Z. Potom množina všech

dvojic celých čísel (a, b), pro které platí, že a dělí b je relace na množině Z. (Tuto relaci

značíme a | b.)

2. Nechť B je množina všech bodů v rovině, P množina všech přímek v rovině. Potom

množina všech dvojic (b, p) ∈ B × P, pro které platí, že bod b leží na přímce p, je relace z B

do P.

4. Nechť S je množina všech občanů České republiky.

Potom na této množině občanů můžeme definovat například následující relace:

a) R2 je množina všech uspořádaných dvojic (x, y) takových, že občan x bydlí ve stejném

městě jako občan y.

b) R3 je množina všech uspořádaných dvojic (x, y) takových, že občané x a y jsou sourozenci.

Nyní si uvedeme jednotlivé vlastnosti relací na množině. Nechť R je binární relace na

množině S. Potom tato relace se nazývá

i) reflexivní právě tehdy, když pro každé s ∈ S platí (s, s) ∈ R,

ii) symetrická právě tehdy, když pro každé s1, s2 ∈ S platí:

jestliže (s1, s2) ∈ R, potom (s2, s1) ∈ R,

iii) antisymetrická právě tehdy, když pro každé s1, s2 ∈ S platí:

jestliže (s1, s2) ∈ R a zároveň (s2, s1) ∈ R, potom s1 = s2 ,

iv) tranzitivní právě tehdy, když pro každé s1, s2, s3 ∈ S platí:

jestliže (s1, s2) ∈ R a zároveň (s2, s3) ∈ R, potom (s1, s3) ∈ R.

v) úplná právě tehdy, když pro každé s1, s2 ∈ S platí:

(s1, s2) ∈ R nebo (s2, s3) ∈ R

Relace, která je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní, se nazývá částečné (lineární)

uspořádání.

3

Příklady:

a) Relace ≤ neostré nerovnosti "menší nebo rovno" na přirozených, celých, racionálních nebo

reálných číslech je částečné uspořádání.

b) Nechť P(S) je systém všech neprázdných podmnožin množiny S. Potom množinová inkluze

⊆ je relací částečného uspořádání na P(S).

c) Relace dělení | na celých číslech je částečným uspořádáním.

Nechť S je množina. Identickou relací nazveme relaci R ⊆ S × S, která obsahuje všechny

dvojice prvků (s, s), s ∈ S a značíme ji id.

Mezi jednotlivými vlastnostmi relací existuje spousta vztahů:

Nechť R je relace na množině S.Potom tato relace je

i) reflexivní právě tehdy, když id ⊆ R,

ii) symetrická právě tehdy, když R-1= R,

iii) antisymetrická právě tehdy, když R-1 ∩ R = id,

iv) tranzitivní právě tehdy, když Ro R = R.

Binární relaci R na množině S nazveme ekvivalence, je-li reflexivní, symetrická a tranzitivní.

1. Rovnost = je relace ekvivalence.

2. Nechť n je přirozené číslo a nechť R je relace na množině všech celých čísel definována

předpisem

(x, y) ∈ R právě tehdy, když n | (x-y) pro každé x, y ∈ Z.

Potom říkáme, že prvek x je kongruentní s prvkem y modulo n, relaci R značíme ≡ a

nazýváme kongruence na celých číslech modulo n. Konkrétně například číslo 6 je kongruentní

s číslem 10 modulo 2, zapisujeme 6 ≡ 10 (mod 2).

Na následujícím důkazu toho, že relace kongruence je ekvivalence, si demonstrujeme, jak

obecně pracujeme s relacemi, jejich vlastnostmi a jak vlastnosti relací dokazujeme.

Musíme dokázat, že relace kongruence modulo n ∈N na Z je reflexivní, symetrická a

tranzitivní.

1. Nechť x ∈ Z. Potom n | x-x a odtud prvek x je kongruentní sám se sebou modulo n, čímž je

splněna vlastnost reflexivity.

2. Nechť x, y ∈ Z. Nechť prvek x je kongruentní prvku y modulo n. To je ekvivalentní tomu,

že rozdíl prvků x-y je dělitelný n, ovšem to platí právě tehdy, když i číslo opačné -(x-y) = y-x

je dělitelné n. Toto je ovšem ekvivalentní tomu, že prvek y je kongruentní prvku x modulo n a

tedy vlastnost symetrie je splněna.

3. Nechť x, y, z ∈ Z. Nechť prvek x je kongruentní s prvkem y modulo n a prvek y je

kongruentní s prvkem z modulo n. To je ekvivalentní tomu, že rozdíly prvků x-y a y-z jsou

dělitelné n. Tedy můžeme psát x= nk + y = nk + nl + z = n(k+l)+z,

kde k,l ∈Z a odtud n | x-z, čímž je splněna vlastnost tranzitivity.

Díky vlastnosti symetrie zjednodušeně říkáme, že prvky x, y jsou kongruentní modulo n.

4

Důležitým typem relace v teorii vícekriteriálního rozhodování je relace kvaziuspořádání:

Binární relace R na množině S se nazývá kvaziuspořádání, je-li reflexivní a tranzitivní

(někdy se definuje jako tranzitivní a úplná, reflexivnost plyne z úplnosti).

Rozkladem množiny S nazýváme každý systém jejích podmnožin, které jsou neprázdné, po

dvou disjunktní a jejich sjednocením je celá množina S.

Ke každé relaci ekvivalence R na množině S existuje rozklad množiny S na třídy navzájem

ekvivalentních prvků. Tento rozklad nazýváme rozklad příslušný ekvivalenci R a značíme

R/S.

Platí též obráceně, že ke každému rozkladu množiny S na třídy existuje ekvivalence R na

S taková , že je to rozklad příslušný k relaci R.

Např. relace kongruence modulo 2 na množině celých čísel Z vytváří rozklad množiny Z na

třídu sudých a třídu lichých čísel.

5

2. Rozhodování – základní pojmy

2.1 Úloha rozhodování v managementu

Rozhodování představuje jednu z nejvýznamnějších manažerských aktivit, někdy se chápe

jako jádro řízení.

Kvalita rozhodování ovlivňuje výsledky i efektivnost fungování organizací.

Manažerské funkce rozdělujeme na sekvenční a průběžné

Sekvenční – plánování, organizování, vedení, kontrolování (realizují se postupně)

Průběžné – analýza činností, rozhodování, komunikace

Ze sekvenčních manažerských funkcí se rozhodování nevýrazněji uplatňuje v plánování.

2.2 Stránky rozhodovacího procesu, teorie rozhodování

Rozhodovací procesy probíhající na různých úrovních řízení mají dvě stránky – věcnou

(meritorní) a procedurální (formálně logickou).

Meritorní stránka odráží odlišnosti rozhodovacích procesů v závislosti na obsahové náplni

dané věci.

Procedurální stránka znamená určité společné rysy rozhodovacích problémů, jejich rámcový

postup (proceduru) řešení – právě tato stránka rozhodovacích procesů je předmětem teorie

rozhodování.

V průběhu historického vývoje došlo ke koncipování různých teorií rozhodování

– teorie utility (užitku) – stanovuje se celkové ohodnocení variant při větším počtu

kritérií

– teorie sociálně-psychologické – zaměřené na subjekt a jeho chování

– teorie kvantitativně orientované – založené na aplikaci matematických modelů

– teorie normativního charakteru – poskytují návod, jak řešit rozhodovací problémy

– teorie deskriptivního charakteru – popisují již proběhlé rozhodovací procesy

2.3 Rozhodovací proces, rozhodovací problém

Rozhodovací proces – proces řešení rozhodovacího problému.

Základním atributem rozhodování je proces volby – posuzování jednotlivých variant a výběr

optimální varianty.

Problém je vymezen existencí diference (odchylky) mezi žádoucím stavem (standardem,

normou, plánem) a skutečným stavem. Tato diference musí být přirozeně nežádoucí (skutečný

stav je horší než stav žádoucí).

Problémy lze rozdělit na reálné (již existující – mohou být nebezpečné, nebudou-li se řešit) a

potenciální (mohou vzniknout v budoucnu).

Fáze rozhodovacích procesů

– identifikace problému,

– analýza a formulace,

– stanovení kritérií hodnocení variant, podle kterých se budou varianty posuzovat

– tvorba souboru variant,

6

– stanovení důsledků variant (dopadů, účinků jednotlivých variant z hlediska zvolených

kritérií),

– hodnocení důsledků variant a výběr optimální varianty (příp. preferenční uspořádání

variant),

– realizace zvolené varianty (praktická implementace rozhodnutí),

– kontrola výsledků realizované varianty, nápravná (korekční) opatření.

Cílem rozhodování (řešení rozhodovacího problému) chápeme určitý stav firmy, kterého se

má řešením problému dosáhnout. Cíle se vyjadřují nejčastěji číselně (např. rentabilita

kapitálu, výše podílu na trhu atd.) nebo slovním popisem (zlepšení pracovních podmínek,

zlepšení image firmy atd.).

Kritéria hodnocení představují hlediska zvolená rozhodovatelem sloužící k posouzení

výhodnosti jednotlivých variant z hlediska dosažení cílů.

Rozeznáváme kritéria výnosového typu (vyšší hodnoty preferovány před nižšími – např.

zisk) a kritéria nákladového typu (nižší hodnoty preferovány před vyššími – např. náklady).

Dále rozlišujeme kritéria kvantitativní (hodnoty vyjádřeny číselně) a kvalitativní (jejich

důsledky vyjádřeny slovně).

Subjektem rozhodování (rozhodovatelem) je ten, kdo rozhoduje. Může to být buď

jednotlivec, nebo skupina lidí (orgán). Hovoříme o individuálním a kolektivním subjektu

rozhodování.

V praxi se rozlišuje ještě statutární rozhodovatel (má pravomoci k volbě varianty) a

skutečný rozhodovatel (skutečně rozhoduje). Např. na nižší úrovni řízení se vybere nějaká

varianta a vyšší úroveň řízení ji jen schválí, nebo zamítne.

Klasifikace rozhodovacích problémů – dobře a špatně strukturované problémy, programovaná

a neprogramovaná rozhodnutí.

Dobře strukturované rozhodovací problémy – mají rutinní postupy řešení, řeší se

opakovaně na operativní úrovni řízení, mají zpravidla jediné kvantitativní kritérium

hodnocení.

Špatně strukturované rozhodovací problémy – vyskytují se zpravidla na vyšších úrovních

řízení, jsou do značné míry nové a neopakovatelné, vyžadují tvůrčí přístup, neexistují pro ně

standardní procedury řešení.

Rozhodování za jistoty – rozhodovatel s jistotou ví, co nastane, jaké budou důsledky variant.

Rozhodování za rizika – rozhodovatel zná možné budoucí situace, které mohou nastat, a

současně zná i jejich pravděpodobnosti

Rozhodování za nejistoty – nejsou známy pravděpodobnosti budoucích stavů.

(terminologie není v literatuře jednotná)

Další typy rozhodovacích procesů

– statické a dynamické – podle toho, zda se v čase mění nebo nemění množina variant

rozhodování

– jednokriteriální a vícekriteriální – podle počtu kritérií hodnocení

– strategické, taktické a operativní – podle řídící úrovně, na které procesy probíhají

7

3. Vícekriteriální rozhodování a hodnocení variant – základní pojmy

3.1 Úloha vícekriteriálního rozhodování

Úlohou vícekriteriálního rozhodování (s konečnou množinou variant) se rozumí následující

problém:

Je dána množina n variant nxxxX ,,, 21 , které jsou posuzovány dle m stanovených

hledisek (kritérií) z množiny mKKKK ,,, 21 . Úkolem je vybrat z dané množiny variant X

variantu x* , která je nejlepší vzhledem ke kritériím z množiny K.

K určení optimální varianty Xx * stačí, abychom byli schopni varianty z X na základě jejich

celkového posouzení vzhledem ke kritériím z K uspořádat. Varianta zajímající první místo

v tomto uspořádání je pak variantou optimální.

Matematická formulace problému:

Na množině variant nxxxX ,,, 21 definujeme m dílčích preferenčních relací (ke

každému kritériu jednu relaci) Rj, j = 1, 2, …, m, předpisem

:,2,1, nki kji xRx xi je podle Kj hodnocena stejně nebo lépe než xk

Na základě dílčích preferenčních relací můžeme stanovit celkovou preferenční relaci R na X:

:,2,1, nki ki xRx xi je celkově hodnocena stejně nebo lépe než xk

Optimální variantou je pak varianta Xx * , pro kterou platí

x* R xi pro všechna ni ,2,1

Druhý možný matematický přístup:

Předpokládáme, že preference na množině variant X vzhledem jednotlivým kritériím Kj, j =

1, 2, …, m, jsou vyjádřeny kvantitativně, pomocí dílčích hodnotících funkcí

,: RXu j , j = 1, 2, …, m

s vlastností

:,2,1, nki kjikjij xRxxuxu

a naším cílem je definovat celkovou hodnotící funkci

RXu :

s vlastností

:,2,1, nki kiki xRxxuxu

8

Funkce uj, j = 1, 2, …, m, a u se nazývají ordinální funkce utility. Optimální variantou je pak

varianta Xx * s nejvyšším celkovým hodnocením (utilitou)

ini

xuxu,2,1

* max

Uspořádání variant, dané celkovou preferenční relací R, popř. ordinální funkcí utility u,

představuje nejjednodušší typ hodnocení, hodnocení ordinální. Více informace z hlediska

celkového posouzení variant představuje kardinální hodnocení založené na kardinální funkci

utility. V jeho případě vedle uspořádání variant získáme i informaci o relativních rozdílech

v hodnocení variant z dané množiny X.

3.2 Kritéria hodnocení

Kritérii rozumíme takové charakteristiky variant, na základě kterých lze tyto varianty

posuzovat vzhledem k danému celkovému cíli hodnocení.

Požadavky na soubor kritérií:

- úplnost – celkový cíl hodnocení by měl být beze zbytku vyjádřen souborem kritérií

- neredundance – soubor bez nadbytečných kritérií

- minimálnost

- měřitelnost – vždy je možné formulovat hodnocení variant vzhledem k těmto kritériím

- jasně definovaný obsah

Strom kritérií (strom dílčích cílů) je metoda napomáhající vytvoření takového souboru

kritérií: Nejdříve jsou celkovému cíli hodnocení přiřazena značně abstraktní (obecná) kritéria,

která se pak rozloží do konkrétnějších kritérií. Tento postup se opakuje tak dlouho, dokud se

nedospěje k přímo měřitelným charakteristikám variant. Uvedeným způsobem vytvořená

hierarchie kritérií je znázorněna grafem typu strom.

Typy kritérií:

- kvalitativní – vyjadřují kvalitu určité vlastnosti, hodnoty zadány slovně

- kvantitativní – vyjadřují kvantitu určité vlastnosti, hodnoty zadány číselně

- ordinální – definují na množině variant preferenční relaci

- kardinální – umožňují kvantitativní porovnávání rozdílů v hodnocení variant

Není možné jednoduše ztotožňovat kritéria kvalitativní a ordinální na straně jedné a

kvantitativní a kardinální na straně druhé.

Podrobněji se budeme zabývat typem preferenčních relací používaných pro ordinální kritéria.

Ordinální kritérium je takové, které na množině variant generuje preferenční relaci:

:, Xyx yRx x je hodnocena stejně nebo lépe než y

9

V teorii vícekriteriálního rozhodování obvykle předpokládáme, že preferenční relace má

vlastnosti kvaziuspořádání, tj. jde o relaci tranzitivní a úplnou. (Z úplnosti plyne také

reflexivnost). Na rozdíl od uspořádání tak mohou být různé prvky hodnoceny stejně.

Kvaziuspořádání R, představujícímu neostrou preferenční relaci, lze přiřadit další dvě relace:

relaci ostré preference (P) a relaci indiference (I) variant:

xRynonyRxyPx

xRyyRxyIx

Kvaziuspořádání proto také někdy zapisujeme jako R = (P, I). Z definic relací P a I je zřejmé,

že platí

IPIPR ,

Z významu relace R a definice relací P a I dále plyne

:, Xyx yPx x je hodnocena lépe než y

:, Xyx yIx x je hodnocena stejně jako y

Věta:

Nechť je dáno kvaziuspořádání R na X. Pak pro relace P a I odvozené z R výše uvedeným

způsobem platí:

1. Xyx , nastává právě jedna z možností (trichotomie):

x P y, y P x, nebo x I y

2. I je relace ekvivalence (reflexivní, symetrická, tranzitivní).

3. P je tranzitivní relace.

4. Pro relace P a I jsou splněny podmínky tzv. smíšené tranzitivity:

zPxzPyyIxzPxzIyyPxXzyx ,:,,

Naopak, jsou-li na X definovány relace P a I splňující podmínky 1-4, pak relace IPR je

kvaziuspořádání.

Věta (o struktuře kvaziuspořádané množiny)

Nechť je dáno kvaziuspořádání R = (P, I) na X. Definujme relaci R* na rozkladu X/I množiny

X podle ekvivalence I následujícím způsobem:

yRxXyXxXRXIXXX :,:/, *

Pak R* je lineární uspořádání.

Je-li naopak dán rozklad množiny X na soustavu disjunktních podmnožin AX , , tj.

A

AXXXX

,,,pro,

10

a lineární uspořádání R* na tomto rozkladu, pak relace R definovaná na X vztahem

XRXXyXxyRxXyx *,,:,

je kvaziuspořádáním.

Každé kvaziuspořádání R lze tedy ekvivalentně vyjádřit pomocí lineárního uspořádání R* jeho

tříd indiference.

Další věty uvádí do vzájemného vztahu relaci kvaziuspořádání a ordinální funkcí utility.

Věta:

Nechť R je kvaziuspořádání na množině nxxxX ,,, 21 . Pak existuje ordinální funkce

utility RXu : , tj. funkce s vlastností

kiki xRxxuxunki :,2,1,

Věta:

Nechť je dána libovolná funkce RXu : . Pak relace R definovaná vztahem

yuxuyRxXyx :,

je kvaziuspořádání.

Poznámka:

Pro vztah mezi kvaziuspořádáním R = (P, I) a jemu odpovídající ordinální funkcí utility platí:

yuxuyPx

yuxuyIx

3.3 Normování dílčích hodnocení, nezávislost kritérií

V případě kvantitativního kritéria s rostoucí preferencí (tj. kritéria, jehož vyšší hodnota je

preferována před nižší) definují jeho hodnoty na uvažované množině variant ordinální funkci

utility. Protože v dále popisovaných metodách vícekriteriálního hodnocení je celkové

hodnocení počítáno jako vážený průměr hodnocení dílčích, je vhodné, aby tato dílčí

hodnocení byla normována.

Proto v případě daného kvantitativního kritéria s rostoucí preferencí budeme jeho hodnoty

lineárně transformovat z původního intervalu 10 , xx , kde x0 je nejmenší (a tedy nejhorší)

hodnota této charakteristiky dosažená na dané množině variant X, na interval 1,0 ,

představující jednotnou hodnotící škálu s rostoucí preferencí, podle vzorce

11

01

0

xx

xxy

Tuto transformační funkci lze pak považovat za normovanou ordinální funkci utility u

odpovídající danému kvantitativnímu kritériu.

Definice nezávislosti kritérií

Nechť celkové hledisko hodnocení variant je vyjádřeno množinou kritérií

mKKKK ,,, 21 . Nechť těmto kritériím jsou přiřazeny ordinální funkce utility

muuu ,,, 21 a celkové hodnocení variant je vyjádřeno ordinální funkcí utility u.

Pak řekneme, že kritérium Kj popsané ordinální funkcí utility uj, mj ,2,1 , je nezávislé

na kritériích ostatních, jestliže pro libovolné dvě varianty x a y, pro které platí

jimibyuxuyuxu iiijj ,,,2,1 pro,,

nezávisí jejich výsledné hodnocení (tj. pořadí dané celkovou ordinální funkcí utility u) na

pevně zvolených hodnotách bi.

Kritéria K1, K2, …, Km nazýváme nezávislá, je-li každé z těchto kritérií nezávislé na ostatních.

Příklad

Hodnotíme kalkulačky. Kritéria jsou cena, velikost tlačítek a velikost displeje. Nechť pro 2

konkrétní kalkulačky x, y platí, že jejich cena je různá, ale velikosti tlačítek i displeje jsou

stejné. Pak cena je nezávislá na ostatních kritériích, jestliže výsledné hodnocení kalkulaček

nezávisí na pevně zvolených hodnotách velikostí displeje a tlačítek.

4. Váhy kritérií

Váhami kritérií K1, K2, …, Km rozumíme nezáporná reálná čísla v1, v2, …, vm, která vyjadřují

rozdílnou významnost jednotlivých kritérií vzhledem k celkovému hodnocení variant.

Většina metod vícekriteriálního hodnocení pracuje s normovanými váhami, pro které platí

m

j

jv1

1

Máme-li stanoveny nenormované váhy ,,,2,1,0, mjww jj pak normované váhy vj

z nich vypočteme podle vzorce

m

k

k

j

j

w

wv

1

12

Váhy bývají v literatuře zabývající se vícekriteriálním rozhodováním vymezeny po

matematické stránce jen velmi obecně jako nezáporná reálná čísla, která v případě

normovaných vah dávají součet jedna, přičemž základní vlastností, kterou množina vah musí

splňovat vzhledem k preferencím na množině kritérií, je:

jkj Kvvmkj :,,2,1, je významnější nebo stejně významné jako Kk.

Je zřejmé, že k určení vah kritérií, které by respektovaly tento požadavek, stačí definovat

kvaziuspořádání na množině kritérií. Takto definované váhy však představují pouze ordinální

informaci o preferencích v množině kritérií.

Metody stanovení vah:

Metoda párového srovnávání kritérií

Metfesselova alokace (pomocí stromu kritérií)

Saatyho metoda (matice intenzit preferencí S)

4.1 Metoda párového srovnávání kritérií

Při použití této metody jsou váhy kritérií odvozeny z preferenční relace expertně definované

pro danou množinu kritérií. Pokud nepředpokládáme možnost stejně hodnocených kritérií,

vycházíme z incidenční matice relace ostré preference P definované na množině kritérií K,

pro jejíž prvky platí

tomu takli-není0

té,-k než ší významněvkritérium té-j li-je1,kjp

Významnost j-tého kritéria, jeho nenormovaná váha wj, je pak odvozena z počtu kritérií, před

kterými je dané kritérium preferováno, a vypočtena ze vzorce

m

k

kjj pw1

, 1

Připočtená 1 u každé váhy zabraňuje tomu, aby nejméně významné kritérium dostalo nulovou

váhu. Výpočet normovaných vah vj se pak provádí standardně podle výše uvedeného vzorce.

Příklad

Incidenční matice relace ostré preference pro 4 kritéria:

K1 K2 K3 K4

K1 0 0 0 0

K2 1 0 0 1

13

K3 1 1 0 1

K4 1 0 0 0

Nenormované váhy: w1 = 1, w2 = 3, w3 = 4, w4 = 2

Normované váhy: v1 = 0,1, v2 = 0,3, v3 = 0,4, v4 = 0,2

4.2 Metfesselova alokace (pomocí stromu kritérií)

Tato metoda je založena na myšlence seskupení kritérií daného souboru do dílčích skupin

podle příbuznosti jejich věcné náplně. Váhy kritérií se určí následujícím postupem:

a) nejprve se stanoví váhy jednotlivých skupin kritérií – tyto váhy jsou normovány

(součet vah skupin kritérií je roven jedné)

b) dále se stanoví váhy každého kritéria v jednotlivých skupinách – tyto váhy jsou opět

normovány (součet vah v rámci každé skupiny kritérií je roven jedné)

c) výsledné váhy kritérií se vždy stanoví vynásobením váhy kritéria v jeho skupině

váhou této skupiny kritérií

Normování vah skupin a vah kritérií v rámci skupiny zabezpečuje, že výsledné váhy kritérií

jsou opět normovány.

4.3 Saatyho metoda stanovení vah (matice intenzit preferencí S)

Saatyho metoda se liší od metody párového srovnávání v tom, že při jejím použití je místo

matice preferencí P zadávána matice intenzit preferencí S. Její prvky sj,k vždy představují

expertně stanovenou relativní významnost j-tého kritéria vzhledem ke k-tému (tj. vyjadřují,

kolikrát je j-té kritérium významnější než k-té). Při zadávání těchto hodnot využívá expert

základní pětibodové stupnice intenzit preferencí, opatřené jazykovými popisy:

té.-k než ší významněvabsolutně kritérium té-j li-je9

té,-k než ší významněvněprokazatel kritérium té-j li-je7

té,-k než ší významněvdosti kritérium té-j li-je5

té,-k než ší významněvslabě kritérium té-j li-je3

významná,stejně kritéria obě li-jsou1

,kjs

Pokud je naopak j-té kritérium méně významné než k-té, pak

jk

kjs

s,

,

1 (*)

14

Věta (Perron-Frobeniova)

Matice S s danou vlastností (*) má maximální reálné vlastní číslo max > 0 a odpovídající

vlastní vektor w má všechny složky kladné.

Lze ukázat, že pokud bude expert ve svých hodnoceních preferencí dostatečně konzistentní,

pak složky normovaného vlastního vektoru matice S odpovídajícího jejímu maximálnímu

vlastnímu číslu max lze považovat za normované váhy uvažovaných kritérií.

Jednodušší aproximaci vah kritérií získáme výpočtem geometrických průměrů čísel v řádcích

Saatyho matice a jejich následným normováním.

5. Metody vícekriteriálního hodnocení variant - úvod

Při hodnocení variant rozhodovacího problému podle různých hledisek (kritérií) je přirozené

vypočítat celkové hodnocení (utilitu, užitek) variant jako průměr hodnocení dílčích, která

musí být určitým způsobem standardizována, aby byla sčitatelná. Mají-li jednotlivá hlediska

hodnocení rozdílnou důležitost, pak aritmetický průměr je nahrazen průměrem váženým

(resp. váženým součtem).

Vícekriteriální funkce utility za jistoty (funkce užitku, užitková funkce, preferenční funkce) –

ozn. u – přiřazuje každé variantě rozhodování utilitu (užitek, ohodnocení, hodnotu)

vyjádřenou reálným číslem. Čím je toto číslo větší, tím více rozhodovatel danou variantu

rozhodování preferuje.

Konstrukce vícekriteriální funkce utility za jistoty je v obecném případě obtížná, proto se

v praxi nejčastěji pracuje s aditivním tvarem této funkce, který lze vyjádřit následující

formulí.

Společná formule pro všechny jednoduché metody vícekriteriálního hodnocení:

xuvxuvxuvxuvxu mm

m

j

jj

2211

1

kde pro mj ,,2,1 :

jv - nezáporná nenormovaná váha kritéria jK ,

xu j - dílčí hodnocení varianty x vzhledem ke kritériu jK (hodnota dílčí funkce utility

ordinálního nebo kardinálního charakteru),

15

xu - celkové hodnocení dané varianty vzhledem k celému souboru kritérií.

Jednotlivé metody se odlišují způsobem stanovení vah kritérií a způsobem určení dílčích

hodnocení xu j .

Vlastnosti dílčích funkcí utility

Dílčí funkce utility uj vyjadřují změnu ohodnocení (přínosu pro rozhodovatele) v závislosti na

změnách hodnoty daného kritéria hodnocení (změnách důsledků variant vzhledem k tomuto

kritériu).

Pro kritéria výnosového typu (kritéria s rostoucí preferencí) je odpovídající dílčí funkce utility

vždy rostoucí, přičemž může být konvexní, konkávní nebo lineární.

Konkávní rostoucí dílčí funkce utility odpovídá situaci, kdy rozhodovatel cení stejné přírůstky

hodnot daného kritéria stále méně (přírůstky dílčí utility pro stejně velké přírůstky daného

kritéria klesají). Konvexní rostoucí dílčí funkce utility zobrazuje naopak situaci, kdy stejné

přírůstky hodnot daného kritéria znamenají pro rozhodovatele stále větší přínos (přírůstky

dílčí utility pro stejně velké přírůstky daného kritéria rostou).

Pro kritéria nákladového typu (kritéria s klesající preferencí) je odpovídající dílčí funkce

utility vždy klesající, a to konkávní (konvexní) v případě, že rozhodovatel cení stejné poklesy

hodnot daného kritéria stále více (méně).

V praxi jsou dílčí funkce utility často lineární. V tomto případě znamenají pro rozhodovatele

stejné přírůstky (u rostoucí dílčí funkce utility), resp. stejné poklesy (u klesající dílčí funkce

utility) hodnot daného kritéria vždy stejný přínos.

Definičním oborem dílčích funkcí utility jsou intervaly hodnot jednotlivých kritérií.

Dílčí funkce utility je zvykem normovat tak, že nabývají hodnot z intervalu mezi 0 a 1. Pro

nejhorší hodnotu daného kritéria nabývá dílčí funkce utility hodnotu 0 a pro nejlepší hodnotu

kritéria nabývá hodnoty 1.

6. Jednoduché metody vícekriteriálního hodnocení variant (stanovení

hodnoty, utility variant)

Následující metody lze použít pouze v případě, že kritéria Kj jsou nezávislá.

6.1 Metoda bazické varianty

je určena pro kvantitativní kritéria s rostoucí nebo klesající preferencí

celkové hodnocení varianty x popsané vektorem (x1, x2,…, xm) naměřených hodnot

kritérií K1, K2, …, Km je při použití této metody dáno formulí

16

mjvvxuvxum

j

jj

m

j

jjj ,,2,1,0,1,11

kde váhy vj mohou být stanoveny libovolnou z metod (např. Metfesselova alokace,

Saatyho metoda)

j-té dílčí hodnocení je dáno vztahem

b

j

j

jjx

xxu v případě kritéria s rostoucí preferencí (výnosového typu) a

j

b

j

jjx

xxu v případě kritéria s klesající preferencí (nákladového typu)

vektor b

m

bb xxx ,,, 21 představuje tzv. bazickou variantu

bazická varianta je volena jako vektor nejlepších nebo předem zvolených

(požadovaných) hodnot kritérií na daném souboru

metoda je tedy založena na stanovení dílčích ohodnocení variant vzhledem

k jednotlivým kritériím pomocí porovnání hodnot důsledků variant vždy s hodnotami

bazické varianty

dílčí funkce utility uj (pro každé kritérium jiná) pro kritéria výnosového typu jsou

lineární (přímky), pro kritéria nákladového typu jsou to hyperboly

tato metoda standardizace dílčích kritérií odstraňuje vliv rozdílných jednotek měření

použitých pro jednotlivá kritéria

PŘÍKLAD:

hodnotíme soubor šesti investičních variant

máme 4 kritéria hodnocení:

o rentabilita kapitálu (v %)

o produktivita práce (1000 Kč/prac.)

o energetická náročnost (GJ/mil. Kč produkce)

o kilogramová cena (USD/kg produkce)

všechna kritéria jsou kvalitativní, navíc výnosového typu, jen energetická náročnost je

nákladového typu

některou z metod stanovíme váhy kritérií v1, v2, v3, v4

do tabulky zapíšeme hodnoty kritérií daného souboru variant

Krit./Var. Váhy vj V1 V2 V3 V4 V5 V6 Baz.

Rentabilita 0,40 18 15 35 17 28 18 35

Produktivita 0,10 360 390 380 300 450 320 450

En. náročnost 0,15 640 490 820 400 1000 700 400

Cena 0,35 20 40 30 35 25 20 40

17

nejprve prověříme, zda v souboru variant neexistuje tzv. dominovaná varianta, což je

taková (může jich být více) varianta, k níž existuje jiná varianta, která je aspoň podle

jednoho kritéria lepší a podle žádného kritéria horší než varianta dominovaná

v našem případě je dominovanou variantou V6 – je dominována variantou V1 (je ve 2

ohledech lepší než V6 a ve dvou stejná)

lze prověřit, že V1 až V5 už tvoří soubor nedominovaných variant (tento postup je

dobré uplatnit ve všech metodách vícekriteriálního hodnocení variant)

vypočítáme dílčí hodnocení všech 5 variant pro jednotlivá kritéria – např. pro variantu

V1 (její důsledky označíme x1 až x4):

514,035

18

1

111

bx

xxu 625,0

640

400

3

333

x

xxu

b

(nákl. typu)

8,0450

360

2

222

bx

xxu 5,0

40

20

4

444

bx

xxu

dílčí ohodnocení dle jednotlivých kritérií vynásobíme vahami kritérií a sečtením

dostaneme celkové hodnocení varianty V1 (podle úvodní formule):

56,018,009,008,021,05,035,0625,015,08,010,0514,040,01 Vu

tak postupujeme dále pro další varianty a výsledky metody bazické varianty shrneme

do tabulky:

Kritérium Váhy Baz.

var.

Varianta

V1 V2 V3 V4 V5

Rentabilita 0,40 35 0,21 0,17 0,40 0,19 0,32

Produktivita 0,10 450 0,08 0,09 0,08 0,07 0,10

En. náročnost 0,15 400 0,09 0,12 0,07 0,15 0,06

Cena 0,35 40 0,18 0,35 0,26 0,31 0,22

Celk. hodnocení 0,56 0,73 0,81 0,72 0,70

Pořadí 5 2 1 3 4

závěr: optimální variantou je varianta V3, nejhorší variantou je varianta V1

6.2 Bodovací metoda

je vhodná pro takové rozhodovací úlohy, kde převažují kvalitativní kritéria

při použití této metody expert provádí dílčí hodnocení varianty vzhledem k danému

kritériu podle obvykle slovně vyjádřené hodnoty kvalitativní charakteristiky

18

přiřazením bodů z bodové škály, která je jednotně stanovena pro všechna uvažovaná

kritéria

celkové hodnocení varianty x je dáno formulí

mjvvbvxum

j

jj

m

j

jj ,,2,1,0,1,11

kde b1, …, bm jsou bodová hodnocení varianty x dle jednotlivých kritérií

validita celkového hodnocení variant závisí především na kvalitě a kompetenci

hodnotitele

6.3 Metoda váženého pořadí

u této metody se dílčí ohodnocení variant vzhledem k jednotlivým kritériím určuje

podle pořadí variant vzhledem k těmto kritériím

určena pro rozhodovací úlohy s převahou kvalitativních kritérií, neboť využijeme-li

kvantitativní kritérium k pouhému uspořádání variant, ztrácí se část informace

využitelné pro hodnocení

celkové hodnocení varianty x je dáno formulí

mjvvpnvxum

j

jj

m

j

jj ,,2,1,0,1,111

kde pj je pořadí varianty x v lineárním uspořádání variant podle j-tého kritéria, n je

počet hodnocených variant a váhy jsou stanoveny analogicky jako u předchozích

metod

z tohoto vztahu plyne, že dílčí ohodnocení nejlepší varianty z hlediska jednotlivých

kritérií je rovno právě počtu kritérií, dílčí ohodnocení nejhorší varianty je rovno 1

6.4 Metoda lineárních dílčích funkcí utility (metoda univerzální standardizace)

19

připouští následující typy kritérií: kvantitativní kritéria s rostoucí a klesající preferencí,

kvalitativní kritéria se stanovenou preferenční relací (kvaziuspořádání) na množině

variant a kvalitativní kritéria s expertně stanoveným bodovým hodnocením z dané

bodovací škály

dílčí ohodnocení variant vzhledem k jednotlivým kritériím se v této metodě stanovuje

odlišně, a to v závislosti na povaze těchto kritérií

ať jde o kritérium kteréhokoliv typu, vždy jsou hodnocení pro danou množinu variant

standardizována tak, aby nejhorší hodnotě kritéria na daném souboru variant

odpovídala 0 a nejlepší naopak 1

kvantitativní kritéria

vychází se z předpokladu, že odpovídající dílčí funkce utility mají lineární

tvar

tyto funkce se stanoví tak, že nejhorší hodnotě j-tého kritéria (na daném

souboru variant) 0

jx se přiřadí dílčí utilita 0, nejlepší hodnotě 1

jx dílčí utilita

1 a spojnice těchto bodů jsou pak zobrazením lineárních dílčích funkcí utility

dílčí hodnotící funkce pro variantu mxxxx ,,, 21 je definována vztahem

01

0

jj

jj

jjxx

xxxu

kvalitativní kritéria

se stanovenou preferenční relací kvaziuspořádání na množině variant – dílčí

hodnotící funkce je definována vztahem

1

*

j

jj

jn

pnxu

kde *

jp značí pořadí třídy indiferentních variant, které náleží varianta x

v daném kvaziuspořádání, a 1jn značí počet indiferenčních tříd tohoto

kvaziuspořádání

s expertně stanoveným bodovým hodnocením bj varianty x (bodovací škála

může mít rostoucí nebo klesající preferenci) – dílčí hodnotící funkce je

definována analogicky jako pro kvantitativní kritérium

01

0

jj

jj

jbb

bbxu

kde 0

jb představuje nejhorší a 1

jb nejlepší bodové hodnocení variant dané

množiny vzhledem k tomuto kritériu

20

PŘÍKLAD (již dělán metodou bazické varianty):

Krit./Var. Váhy vj V1 V2 V3 V4 V5 0

jx 1

jx

Rentabilita 0,40 18 15 35 17 28 15 35

Produktivita 0,10 360 390 380 300 450 300 450

En. náročnost 0,15 640 490 820 400 1000 1000 400

Cena 0,35 20 40 30 35 25 20 40

dominovaná varianta V6 je již vynechána

nejprve stanovíme definiční obory dílčích funkcí utility jednotlivých kritérií

(vymezeny dolní hranicí 0

jx a horní hranicí 1

jx - nejhorší a nejlepší hodnotou

j-tého kritéria v souboru variant)

vypočítáme dílčí hodnocení variant podle vztahu

01

0

jj

jj

jjxx

xxxu

např. pro variantu V1 (její důsledky označíme x1 až x4):

15,01535

151811

xu 60,0

1000400

100064033

xu

40,0300450

30036022

xu 0

2040

202044

xu

dílčí ohodnocení dle jednotlivých kritérií vynásobíme vahami kritérií a sečtením

dostaneme celkové hodnocení varianty V1 (podle úvodní formule):

19,0009,004,006,0035,060,015,040,010,015,040,01 Vu

tak postupujeme dále pro další varianty a výsledky metody lineárních dílčích funkcí

utility shrneme do tabulky:

Kritérium Váhy 1

jx -0

jx Varianta

V1 V2 V3 V4 V5

Rentabilita 0,40 20 0,06 0 0,40 0,04 0,26

21

Produktivita 0,10 150 0,04 0,06 0,05 0 0,10

En. náročnost 0,15 -600 0,09 0,13 0,04 0,15 0

Cena 0,35 20 0 0,35 0,18 0,26 0,09

Celk. hodnocení 0,19 0,54 0,67 0,45 0,45

Pořadí 5 2 1 3-4 3-4

závěr: optimální variantou je opět (stejně jako v metodě baz. varianty) varianta V3,

nejhorší variantou je opět varianta V1

Graf lineární dílčí funkce utility pro kritérium K1 (rentabilita kapitálu):

6.5 Saatyho metoda (Analytický hierarchický proces – AHP, L. H. Saaty, 1980)

opět stanovuje ohodnocení variant jako vážený součet (průměr) dílčích hodnocení

vzhledem k jednotlivým kritériím

normované váhy kritérií se počítají Saatyho metodou stanovení vah, tj. jako složky

normovaného vlastního vektoru Saatyho matice S intenzit preferencí kritérií

odpovídajícího maximálnímu vlastnímu číslu této matice

stanovení dílčích ohodnocení variant je v Saatyho metodě analogické již známému

postupu stanovení vah pouze s tím rozdílem, že srovnávanými objekty nejsou kritéria,

ale varianty rozhodování

u1

x 15 35 0

1

22

pro každé kritérium Kj stanovíme Saatyho matici Sj na základě párového srovnávání

variant, při kterém se postupně určuje velikost preference všech dvojic variant, a to

přiřazením bodů ze stupnice (1, 3, 5, 7, 9)

dílčí hodnocení i

ju variant nixi ,,1, vzhledem k j-tému kritériu jsou definována

jako složky normovaného vlastního vektoru matice Sj odpovídajícího jejímu

maximálnímu vlastnímu číslu

celkové hodnocení i-té varianty nixi ,,1, , je pak dáno váženým průměrem

m

j

i

jj

i uvu1

kde platí

mjniuvn

i

i

j

m

j

j ,,2,1,,,2,1,1,111

předností Saatyho matice je možnost využití pro hodnocení variant vzhledem

k souboru kritérií obsahujícímu kritéria kvantitativní i kvalitativní

Poznámka:

Místo vlastního vektoru lze použít geometrický průměr řádků Saatyho matice. Celková

ohodnocení variant iu je nutné normovat tak, aby jejich součet byl roven jedné.