MATEMATİK - yaricap.com · • Grafik çizerken x yerine bazı değerler konularak ... log 2 (x + 1) = 3 5. log 3 (2x – 1) = 3 6. log 2 (3x – 1) = 5 Logaritma Fonksiyonu - 2

12SINIF

MATEMATİKÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR

DİZİLER

1

YAYIN KOORDİNATÖRÜOğuz GÜMÜŞ

EDİTÖRHazal ÖZNAR - Uğurcan AYDIN

DİZGİMuhammed KARATAŞ

SAYFA TASARIM - KAPAKF. Özgür OFLAZ

1. BASKIEylül 2018

İLETİŞİM

Ostim Mah. 1207 Sokak No: 3/C–D Ostim / Ankara

Tel: 0312 395 13 36Fax: 0312 394 10 04

[email protected]

twitter.com/yaricappfacebook.com/yaricapyayinlari

instagram.com/yaricapyayinlari

Bu kitabın her hakkı Yarıçap Yayınlarına aittir. 5846 ve 2936 sayılı Fikir ve

Sanat Eserleri Yasası’na göre Yarıçap Yayınlarının yazılı izni olmaksızın,

kitabın tamamı veya bir kısmı herhangi bir yöntemle basılamaz, yayınlanamaz,

bilgisayarda depolanamaz, çoğaltılamaz ve dağıtım yapılamaz.

Eğer bir gün sözlerim bilim ile ters düşerse, bilimi seçin...

M. Kemal Atatürk

SUNUSevgili Gençler,

Matematik ve geometri hem okul derslerinde hem de üniversiteye giriş sınavlarına hazırlıkta en önemli yere sahiptir.

Yarıçap Yayınları olarak eğitim - öğretim hayatınızda bu derslerle ilgili sorunlarınızı temelden çözebilmeniz için TAMAMI VİDEO ANLATIMLI

olan kitaplarımızı sizlere sunuyoruz.

Yarıçap Yayınları matematik ve geometri fasikülleri konuları en temelden kavramanızı ve öğrendiklerinizi pekiştirebilmenizi sağlamak

amacıyla birbirini bütünleyen “BİLGİ - BİRLİKTE ÇÖZELİM - SIRA SİZDE - ÖĞRENDİKLERİMİZİ PEKİŞTİRELİM - KONU TESTİ” olmak üzere 5 bölümden oluşmaktadır.

® “BİLGİ” bölümünde kazanımlarla ilgili açıklayıcı ve öğretici bilgiler verilmiştir.

® “BİRLİKTE ÇÖZELİM” bölümleri “BİLGİ” ile ilişkilendirilmiş örneklerin bulunduğu alandır.

® “SIRA SİZDE” bölümlerinde konuyu kavramayı ve pekiştirmeyi sağlayacak sorular verilmiştir.

® “ÖĞRENDİKLERİMİZİ PEKİŞTİRELİM” bölümünde çoktan seçmeli sorular aracılığıyla öğrendiklerinizin daha sağlam hâle getirilmesi amaçlanmıştır.

® “KONU TESTİ” bölümlerinde konuyla ilgili çoktan seçmeli sorular verilmiştir.

“Başlamak, başarmanın yarısıdır.” sloganıyla çıktığımz yolculukta sizlere başarılar dileriz.

Oğuz GÜMÜŞDevrim ÖZATA

Seçkin KARAASLAN

İÇİNDEKİLERBÖLÜM 1: ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR .........................................................5

Üstel Fonksiyon ...................................................................................................................6

Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 1.............................................................................................9

Logaritma Fonksiyonu .......................................................................................................11

Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 2...........................................................................................16

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri .................................................................................17

Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 3 ..........................................................................................24


Üstel ve Logaritmik Denklemler Eşitsizlikler ......................................................................31


Konu Testi 1, 2, 3...............................................................................................................43

BÖLÜM 2: DİZİLER ................................................................................................................50

Dizi Kavramı ......................................................................................................................50


Toplam Sembolü................................................................................................................60

Aritmetik Dizi ......................................................................................................................61


Geometrik Dizi ...................................................................................................................70


Konu Testi 1, 2...................................................................................................................75

Cevap Anahtarı ................................................................................................................79

1BÖLÜM

ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR

YARI

ÇAP

YAYI

NLAR

I

6ÜSTEL VE LOGARITMIK FONKSIYONLAR

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üslü Sayılar (Hatırlatma)a, b Œ R ve m, n Œ Q olmak üzere, • a0 = 1 ( a ≠ 0) a1 = a 1n = 1

• aa b

aab1n

nn n

= =--

c cm m

• am · an = am + n an · bn = (a · b)n

• (am)n = am·n

•aa a

ba

ba

n

mm n

n

n n= =- c m

• (–1)2n = 1 (–1)2n + 1 = –1 (nŒZ)

• ( , )a a m n Z ve n 0≠nm mn !=

BİLGİ

BİRLİKTE ÇÖZELİM

Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.1. 43·84

(22)3 · (23)4 = 26 · 212 = 218 dir.

2. ·3334

5

6-

-

-^^^hhh

. .tir33 3

33 35

4 6

55

10

-

-=-

-=

^ h

3. §·2 23

·2 2 2 231

21

65

56= =

4. (–1)7·(–16) · (–1)4

(–1) · (–1) · (1) = 1 dir.

5. 2–1 + 3–2

.dir21

91 11

18+ =

SIRA SİZDE - 1

Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.

1. 93·272

2. (–2)5·(–4)2

3. ·3

27 99

2 4

4. ·3 93

5. §33

3

6. (–1)4 + (–1)5 + (–1)6

YARI

ÇAP

YAYI

NLAR

I

7 ÜSTEL VE LOGARITMIK FONKSIYONLAR

SIRA SİZDE - 2

1. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri üstel fonk-siyondur?a) ( )f x 2

3 x= c m

b) g(x) = 5–x

c) h(x) = (–2)x

d) k(x) = (–1)x

e) t(x) = 3·2x + 1

2. Aşağıdaki üstel fonksiyonlardan hangileri ar-tandır?a) f(x) = 4–x

b) ( )g x 32 x

= c m

c) h(x) = 3–x

d) k(x) = 3·5x

e) t(x) = 2·2x – 1

Üstel Fonksiyon • a Œ R+ – {1} olmak üzere

f : R → R+, f(x) = ax fonksiyonuna, tabanı a olan üstel fonksiyon denir. • Üstel fonksiyonda taban pozitif reel sayıdır ve 1

olamaz. • a > 1 ise fonksiyon artan, 0 < a < 1 ise fonksiyon

azalandır.

BİLGİ


1. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri üstel fonk-siyondur?

a) f(x) = 2x b) g(x) = 3–x

c) h(x) = (–4)x d) k(x) = 2x + 1

e) s(x) = 1x f) m(x) = –3x

f, g, k ve m birer üstel fonksiyondur. h(x) fonksiyonunda taban –4 ve s(x) fonksiyonunda taban 1 olduğu için üstel fonksiyon değillerdir.

2. Aşağıdaki üstel fonksiyonların artan ve azalan-lığını inceleyiniz.

a) f(x) = 3x b) g(x) = 2–x

c) ( )h x 43 x

= c m d) ( )k x 45 x

= c m

f(x) ve k(x) fonksiyonlarının tabanları 1’den büyük oldu-ğu için artan, g(x) ve h(x) fonksiyonlarının tabanları 1’den küçük olduğu için azalandır.

YARI

ÇAP

YAYI

NLAR

I


SIRA SİZDE - 3

Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz.1. f(x) = 3x

2. f(x) = 2x – 1

3. f(x) = 21 – x

Üstel Fonksiyonun Grafiği • Üstel fonksiyonun tanım kümesi R dir. • Grafik çizerken x yerine bazı değerler konularak

tablo oluşturmak kolaylık sağlar.

BİLGİ


1. f: R → R+, f(x) = 2x

fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

x –2 –1 0 1 2f(x) 1/4 1/2 1 2 4

4

y

x

2

0 1 2

11/2

–1–2

2. f: R → R+, f(x) = 3–x

fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

x –2 –1 0 1 2f(x) 9 3 1 1/3 1/9

9

y

x

3

1

101/3

–1–2

YARI

ÇAP

YAYI

NLAR

I

9

ÖĞRENDİKLERİMİZİ PEKİŞTİRELİM

ÜSTEL VE LOGARITMIK FONKSIYONLAR

1. 3–1 + 2–2 + (–1)4

işleminin sonucu kaçtır?A) 12

7 B) 211 C) 12

19 D) 21 E) 2

3

2. ·4 816

2x5 2

3 =

eşitsizliğini sağlayan x değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

3. (–3)4·(–3)3·(–3)–6

işleminin sonucu kaçtır?

A) –3 B) 31- C) 1 D) 3

1 E) 3

4. f: R → R f(x) = 2·3x–1 – 4

olduğuna göre, f(2) kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 7 D) 13 E) 14

5. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi bir üstel fonksiyon değildir?A) f(x) = 31 – x

B) g(x) = 4–x

C) ( )h x 21 x

= c mD) s(x) = 1x – 1

E) f(x) = 2·3x + 1

6. Aşağıdaki üstel fonksiyonlardan hangisi artan-dır?

A) f(x) = 2x – 1 B) g(x) = 31 – x

C) ( )h x 41 x

= c m D) ( )s x 43 x 2

=-

c mE) f(x) = 2·31 – x

7. Aşağıda f(x), g(x) ve h(x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.

y f(x) = ax

g(x) = bx

h(x) = cx

x

1

0

Buna göre, a, b ve c sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisdir?

A) a > b > c B) a > c > bD) b > a > c D) b > c > a

E) c > a > b

1

YARI

ÇAP

YAYI

NLAR

I


12. y

y = f(x)

x

12

0

4

3

Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu aşağıdakiler-den hangisi olabilir?

A) f(x) = 2x B) f(x) = 2x – 1

C) f(x) = 2x + 1 D) f(x) = 2x + 1E) f(x) = 2x – 1

13. Aşağıda f(x), g(x) ve f(x) fonksiyonlarıyla ilgili verilen bilgilerden hangileri doğrudur?I. f(x) = 3x + 1 artandır.II. g(x) = 21 – x azalandır.

III. ( )h x 21 x

=-

c m azalandır.

A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II

D) II ve III E) I, II ve III

8. ·4 816

6 3

4

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) 64

9. 93

271

x

x 1=

-

denklemini sağlayan x değeri kaçtır?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

10. 5x·5x + 1·5x + 2 = 25x+ 4

denklemini sağlayan x değeri kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

11. f(x) = 3x – 1 + 2

olduğuna göre, f(3) değeri kaçtır?

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

YARI

ÇAP

YAYI

NLAR

I


SIRA SİZDE - 4

Aşağıda verilen üstel eşitliklerdeki x değerlerini logaritma kullanarak ifade ediniz.

1. ax = b

2. 3x = 8

3. 5 = 7x

4. 3x – 1 = 2

5. 5x + 2 = 3

6. 5 7x2 =

7. 1-2 5x2 =

Logaritma Fonksiyonu - 13x = 9 eşitliğinde x = 2 olduğu kolayca görülebilir.

Ancak 3x = 5 eşitliğindeki x değerini bulmak için farklı bir fonksiyona ihtiyaç duyulmuştur. Bu fonksiyon f : R → R+, f(x) = ax üstel fonksiyonunun tersi olan logaritma fonksiyonudur.

• f(x) = ax ¡ f–1: R+ →R, f–1(x) = logax şeklinde gösterilir.

• y = ax ⇒ x = logay olur.

BİLGİ


Aşağıda verilen üstel ifadelerdeki x değerlerini logaritma kullanarak bulunuz.

1. 2x = 5

x = log25

2. 3x = 10

x = log310

3. ab = c

b = logac

4. 2x – 1 = 3

x – 1 = log23 ¡ x = log23 + 1

5. 3 6x2 =

¡log logx x2 6 2 63 3= =

YARI

ÇAP

YAYI

NLAR

I


SIRA SİZDE - 5

Aşağıda verilen ifadelerdeki x değerlerini bulu-nuz.

1. log24 = x

2. log3 27 = x

3. log x5

15 =

4. log2(x + 1) = 3

5. log3(2x – 1) = 3

6. log2(3x – 1) = 5

Logaritma Fonksiyonu - 2a > 0, a ≠ 1 ve x > 0 olmak üzere

logax = b ¡ ab = x olur.

BİLGİ


Aşağıda verilen ifadelerdeki x değerlerini bulu-nuz.

1. log28 = x

2x = 8 ¡ x = 3 tür.

2. log39 = x

3x = 9 ¡ x = 2 dir.

3. log x41

2 =

.x dir2 41 2¡x = =-

4. log3§3 = x

3x = §3 ¡ 3x = ¡ .x dir3 21

21

=

5. log3(2x – 1) = 2

2x – 1 = 32 ¡ 2x – 1 = 9 ¡ x = 5 dir.

YARI

ÇAP

YAYI

NLAR

I


SIRA SİZDE - 6

Aşağıda verilen fonksiyonların en geniş tanım kümelerini bulunuz.

1. f(x) = log3(x + 2)

2. f(x) = log(7 – x)(x – 1)

3. f(x) = log3 (x2 – x – 12)

4. f(x) = log4 (9 – x2)

Logaritma Fonksiyonunun Tanım Kümesif : R+ →R

f(x) = logax

fonksiyonunda a > 0, a ≠ 1 ve x > 0 dır.

BİLGİ


Aşağıdaki fonksiyonların en geniş tanım küme-lerini bulunuz.

1. f(x) = log3 (x – 5)

x – 5 > 0 ¡ x > 5En geniş T. K = (5, ∞) dır.

2. f(x) = log(7 – x)(x – 2)

x – 2 > 0 ¡ x > 27 – x > 0 ¡ 7 > x7 – x ≠ 1 ¡ x ≠ 6 olmalıdır.En geniş T. K = (2, 7) – {6} olur.

3. f(x) = log2(x2 – 2x – 8)

x2 – 2x – 8 > 0 ¡ (x – 4)(x + 2) > 0x

x

–4

+2

işaret tablosu yapılırsa

–� +�x –2 4

f(x) +–+

En geniş T.K. = (–∞, –2) » (4, ∞) olur.

YARI

ÇAP

YAYI

NLAR

I


SIRA SİZDE - 7

Aşağıda verilen fonksiyonların terslerini bulu-nuz.

1. f(x) = 3x

2. f(x) = 5x – 1

3. f(x) = 2·3x

4. f(x) = log2x

5. f(x) = log3(x + 4)

Bir Fonksiyonun TersiHerhangi bir fonksiyonun tersi bulunurken aşağıdaki adımlar uygulanır.

1. Fonksiyon y ye eşitlenir.

2. x yalnız bırakılır.

3. y yerine x, x yerine y yazılır.

Örneğin

f(x) = 2x – 1 fonksiyonun tersi bulunurken,

• y = 2x – 1 eşitliğinde x yalnız bırakılır.

•y

x21+= ifadesinde y yerine, x yazılarak fonksi-

yonun tersi bulunmuş olur.

• ( )f x x211 =+-

Üstel ve logaritma fonksiyonlarının tersi bulunurken logaritma tanımından faydalanılır.f(x) = 2x ⇒ y = 2x

⇒ x = log2y ⇒ y = log2x ⇒ f(x) = 2x ğ f–1(x) = log2x olur.

BİLGİ


Aşağıda verilen fonksiyonların terslerini bulu-nuz.

1. f(x) = 2x – 1

x = 2y – 1 ¡ y – 1 = log2x ¡ y = log2x + 1f–1(x) = log2x + 1 bulunur.

2. f(x) = log2(3x – 1)

x = log2(3y – 1) ¡ 3y – 1 = 2x

¡ ( )y f x32 1

32 1x x

1=+

=+-

YARI

ÇAP

YAYI

NLAR

I


SIRA SİZDE - 8

Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz.

1. f(x) = log3x

2. ( ) logf x x21=

3. f(x) = log2x + 1

Logaritma Fonksiyonunun GrafiğiBir fonksiyonun grafiği ile tersininin grafiği y = x doğrusuna göre simetriktir.

y f(x) = ax

f–1(x) = logax

x0

y = x

• f(x) = logax

fonksiyonunda 0 < a < 1 ise fonksiyon azalan ve a > 1 ise fonksiyon artandır.

BİLGİ


Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz.1. f(x) = log2 x

y

x

2

1

1–1

2 4

f(x)

0

x1 –1

011224

2 12

f(x)

2. ( ) logf x x31=

y

x

1

1

–1

30

x1 1

01

–13

313

f(x)

Documents

MATEMATİK - yaricap.com · • Grafik çizerken x yerine bazı değerler konularak ... log 2 (x + 1) = 3 5. log 3 (2x – 1) = 3 6. log 2 (3x – 1) = 5 Logaritma Fonksiyonu - 2