Matematika 1

Katedra za matematiku, FSB

Zagreb, 2012

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 1 / 55

Sadržaj

Sadržaj:

1 Vektorska algebraVektori-uvodZbrajanje vektoraSuprotni vektor i oduzimanje vektoraMnoženje vektora brojem

2 Razlaganje vektora

3 Vektori u geometrijiVektori i točkePravac AB i dužina ABRavnina ABC i trokut 4ABC

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 2 / 55

Vektorska algebra Vektori-uvod

Skalarna veličina-veličina odredena iznosom.-npr. skalarne veličine su masa, temperatura,. . .

Vektorska veličina-veličina odredena iznosom i smjerom.-npr. vektorske veličine su pomak, brzina,sila. . .

Sa slike desno zaključujemo~a = ~b jer imaju isti iznos ismjer.|−→a | = |−→c | ali −→a 6= −→c jer suim smjerovi različiti.

~a ~b

~c

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 3 / 55

Vektorska algebra Vektori-uvod

Skalarna veličina-veličina odredena iznosom.-npr. skalarne veličine su masa, temperatura,. . .

Vektorska veličina-veličina odredena iznosom i smjerom.-npr. vektorske veličine su pomak, brzina,sila. . .

Sa slike desno zaključujemo~a = ~b jer imaju isti iznos ismjer.|−→a | = |−→c | ali −→a 6= −→c jer suim smjerovi različiti.

~a ~b

~c

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 3 / 55

Vektorska algebra Vektori-uvod

Zadatak 1.

Koje su od sjedećih tvrdnjiistinite:

(1) −→a i ~d imaju isti smjer(2) |−→a |> |−→e |(3) |−→b |= |−→c |(4) −→e =~d

~a

~b

~c

~d

~e

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 4 / 55

Vektorska algebra Zbrajanje vektora

Zbrajanje vektora

~a+~b

~a

~b

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 5 / 55

Vektorska algebra Zbrajanje vektora

Zbrajanje vektora je asocijativno:

(−→a +−→b )+−→c =−→a +(−→b +−→c )

~a+~b+

~c

~a

~b

~c

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 6 / 55

Vektorska algebra Zbrajanje vektora

Zbrajanje vektora je asocijativno:

−→a +−→b +−→c = (−→a +−→b )+−→c

~a+~b+

~c

~a

~b

~c

~a +~b

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 7 / 55

Vektorska algebra Zbrajanje vektora

Zbrajanje vektora je asocijativno:

−→a +−→b +−→c =−→a +(−→b +−→c )

~a+~b+

~c

~a

~b

~c

~ b+~c

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 8 / 55

Vektorska algebra Zbrajanje vektora

Zbrajanje vektora je komutativno:

−→a +−→b =−→b +−→a

~a +~b

~a

~b~b

~a

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 9 / 55

Vektorska algebra Suprotni vektor i oduzimanje vektora

Suprotni vektor

~a

−~a

|−−→a |= |−→a | ali su to vektori suprotnog smjera

−→a −−→b :=−→a +(−−→b )

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 10 / 55

Vektorska algebra Suprotni vektor i oduzimanje vektora

Nul-vektor

Zbroj vektora i njemu suprotnog vektora je nul-vektor, u oznaci−→0 .

−→a +(−−→a ) =−→0

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 11 / 55

Vektorska algebra Suprotni vektor i oduzimanje vektora

Oduzimanje vektora

Oduzimanje vektora je definirano na sljedeći način:

−→a −−→b :=−→a +(−−→b )

~a−~b

~a

−~b~b

~a

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 12 / 55

Vektorska algebra Suprotni vektor i oduzimanje vektora

PRAVILO PARALELOGRAMA

~a−~b

~a+~b

~a

~b

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 13 / 55

Vektorska algebra Suprotni vektor i oduzimanje vektora

Zadatak 2.

(a)

~a

~b(b)

~a

~b

Precrtajte vektore i skicirajte vektore:(i) −→a +−→b (ii) −→a −−→b (iii) −→b −−→a

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 14 / 55

Vektorska algebra Suprotni vektor i oduzimanje vektora

Rješenje:(a)

(i)

~a

~b~b

~a +~b

(ii)

~a

−~b ~a−~b

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 15 / 55

Vektorska algebra Suprotni vektor i oduzimanje vektora

(iii)

−~a

~b

~b−~a

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 16 / 55

Vektorska algebra Suprotni vektor i oduzimanje vektora

(b)(i)

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 17 / 55

Vektorska algebra Suprotni vektor i oduzimanje vektora

(ii)~a

~b

−~b

~a− ~b(iii)

−~a

~b

~b

~b−~a

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 18 / 55

Vektorska algebra Suprotni vektor i oduzimanje vektora

Zadatak 3.

~a

~b

~c Precrtajte vektore i skicirajtevektore:(i) −→a +−→b(ii) −→a +−→b −−→c(iii) −→a −−→b −−→c

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 19 / 55

Vektorska algebra Množenje vektora brojem

Množenje vektora brojem

~a

k~a

k > 0

k < 0

k~a

|k−→a |= |k ||−→a |

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 20 / 55

Vektorska algebra Množenje vektora brojem

Množenje vektora brojem

Vektori −→a i k−→a su kolinearni.Npr.

~a

3~a

12~a−2~a~a

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 21 / 55

Vektorska algebra Množenje vektora brojem

Distributivnost

Distributivnost: k(−→a +−→b ) = k−→a +k−→b

~a k~a

~b

k~b

~a+~b

k(~a+

~b)

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 22 / 55

Vektorska algebra Množenje vektora brojem

Distributivnost

Distributivnost: k(−→a +−→b ) = k−→a +k−→b

~a k~a

~b

k~b

~a+~b

k(~a+

~b)

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 22 / 55

Vektorska algebra Množenje vektora brojem

Zadatak 4.

Zadan je vektor −→a na slici.Skicirajte vektore

2−→a , −3−→a , −0.5−→a , 1.2−→a ~a

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 23 / 55

Vektorska algebra Množenje vektora brojem

Zadatak 5.

Zadani su vektori −→a i −→b na slici.Skicirajte vektore

2−→a −3−→b ,12−→a +−→b ,

−−→a − 32−→b .

~a

~b

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 24 / 55

Razlaganje vektora

Razlaganje vektora

Ako razložimo vektor −→c sa slike pomoću vektora −→a i −→b

~c0.7~b

~b

~a 1.5~a

onda je −→c = 0.7−→a +1.5−→b .

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 25 / 55

Razlaganje vektora

Razlaganje vektora

Ako razložimo vektor −→c sa slike pomoću vektora −→a i −→b

~c0.7~b

~b

~a 1.5~a

onda je −→c = 0.7−→a +1.5−→b .

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 25 / 55

Razlaganje vektora

Općenito−→c = t1−→a + t2

−→b

t1, t2 su realni brojevi.

Primjer 1.

Razložite vektor −→c sa slikepomoću vektora −→a i −→b

~a

~b

~c

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 26 / 55

Razlaganje vektora

Općenito−→c = t1−→a + t2

−→b

t1, t2 su realni brojevi.

Primjer 1.

Razložite vektor −→c sa slikepomoću vektora −→a i −→b

~a

~b

~c

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 26 / 55

Razlaganje vektora

Rješenje :

~a

~b

~c−2~b

0.8~a

−→c = 0.8−→a −2−→b .

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 27 / 55

Razlaganje vektora

Zadatak 6.

Zadani su vektori −→a , −→b i −→c . Razložite vektor −→c u smjeru vektora−→a i −→b (otprilike sa slike napravite razlaganje):(a)

~a

~b

~c

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 28 / 55

Razlaganje vektora

(b)

~a

~b

~c(c)

~a

~b

~c

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 29 / 55

Razlaganje vektora

(c)

~a

~b

~c

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 30 / 55

Razlaganje vektora

Primjer 2.Srednjica je 1/2 osnovice i s njom je paralelna.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 31 / 55

Razlaganje vektora

Vektorski dokaz :

~a ~b

~a−~b

12~a− 1

2~b

12~a 1

2~b

12−→a − 12

−→b = 12(

−→a −−→b ).

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 32 / 55

Razlaganje vektora

Primjer 3.Polovišta stranica bilo kojeg četverokuta čine paralelogram.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 33 / 55

Vektori u geometriji Vektori i točke

Vektori i točke

A

B

−→AB

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 34 / 55

Vektori u geometriji Vektori i točke

Vektori i točke

A

B

C

D

−→AB+

−→BC +

−→CD =

−→AD

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 35 / 55

Vektori u geometriji Vektori i točke

Vektori i točke

A

B

C

D

−→A�B+

−→�BC +

−→CD =

−→AD

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 35 / 55

Vektori u geometriji Vektori i točke

Vektori i točke

A

B

C

D

−→A�B+

−→�B��C +

−→��CD =

−→AD

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 35 / 55

Vektori u geometriji Vektori i točke

Vektori i točke

A

B

C

D

E

−→AB+

−→BC +

−→CD+

−→DE +

−→EA =

=−→AA =

−→0 (nul−vektor)

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 36 / 55

Vektori u geometriji Vektori i točke

Radijvektori s ishodištem O

A

B

C

O−→rA = −→OA

−→rB = −−→OB

−→rC = −→OC

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 37 / 55

Vektori u geometriji Vektori i točke

Radijvektori s ishodištem O

Bilo koji vektor−→AB može se izraziti preko radijvektora:

O

B

A

−→OB =

−→OA+

−→AB

⇒−→AB =−→OB−−→OA⇒−→AB =−→rB −−→rA

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 38 / 55

Vektori u geometriji Vektori i točke

Zadatak 7.

Zadane su točke A, B, C, D.Ucrtaj radijvektore −→rA , −→rB ,−→rC , −→rD . Pomoću njih izrazi vek-tore(a)−→AB,

−→BA,

−→AC,

−→BC,

−→CD

(b) 2−→AB−−→CD, 12

−→BC + 13

−→AB

−→BC +

−→CD,

−→AB+

−→BC +

−→CA.

A

B

C

D

O

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 39 / 55

Vektori u geometriji Vektori i točke

Rješenje :

A

B

C

D

O

−→rA

−→rB−→rC

−→rD

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 40 / 55

Vektori u geometriji Vektori i točke

(a)

−→AB =−→rB −−→rA−→BA =−→rA −−→rB−→AC =−→rC −−→rA−→BC =−→rC −−→rB−→CD =−→rD −−→rC

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 41 / 55

Vektori u geometriji Vektori i točke

(b)

2−→AB−−→CD = 2(−→rB −−→rA)− (−→rD −−→rC)

= 2−→rB −2−→rA −−→rD +−→rC

12−→BC +

13−→AB =

12(−→rC −−→rB )+

13(−→rB −−→rA)

=12−→rC −

16−→rB −

13−→rA

−→BC +

−→CD =−→rC −−→rB +−→rD −−→rC

=−→rD −−→rB =

−→BD

−→AB+

−→BC +

−→CA =−→rB −−→rA +−→rC −−→rB +−→rA −−→rC =

−→0

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 42 / 55

Vektori u geometriji Vektori i točke

(b)

2−→AB−−→CD = 2(−→rB −−→rA)− (−→rD −−→rC)

= 2−→rB −2−→rA −−→rD +−→rC12−→BC +

13−→AB =

12(−→rC −−→rB )+

13(−→rB −−→rA)

=12−→rC −

16−→rB −

13−→rA

−→BC +

−→CD =−→rC −−→rB +−→rD −−→rC

=−→rD −−→rB =

−→BD

−→AB+

−→BC +

−→CA =−→rB −−→rA +−→rC −−→rB +−→rA −−→rC =

−→0

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 42 / 55

Vektori u geometriji Vektori i točke

(b)

2−→AB−−→CD = 2(−→rB −−→rA)− (−→rD −−→rC)

= 2−→rB −2−→rA −−→rD +−→rC12−→BC +

13−→AB =

12(−→rC −−→rB )+

13(−→rB −−→rA)

=12−→rC −

16−→rB −

13−→rA

−→BC +

−→CD =−→rC −−→rB +−→rD −−→rC

=−→rD −−→rB =

−→BD

−→AB+

−→BC +

−→CA =−→rB −−→rA +−→rC −−→rB +−→rA −−→rC =

−→0

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 42 / 55

Vektori u geometriji Vektori i točke

(b)

2−→AB−−→CD = 2(−→rB −−→rA)− (−→rD −−→rC)

= 2−→rB −2−→rA −−→rD +−→rC12−→BC +

13−→AB =

12(−→rC −−→rB )+

13(−→rB −−→rA)

=12−→rC −

16−→rB −

13−→rA

−→BC +

−→CD =−→rC −−→rB +−→rD −−→rC

=−→rD −−→rB =

−→BD

−→AB+

−→BC +

−→CA =−→rB −−→rA +−→rC −−→rB +−→rA −−→rC =

−→0

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 42 / 55

Vektori u geometriji Pravac AB i dužina AB

Pravac AB i dužina AB

O

A

B

0 <t <

1

−→rA−→rB

−→r

t <0

t >1

−→r =−→rA + t−→AB =−→rA + t(−→rB −−→rA)

⇒−→r = (1− t)−→rA + t−→rB⇒−→r = λ−→rA +µ−→rB ,

λ+µ = 1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 43 / 55

Vektori u geometriji Pravac AB i dužina AB

DUŽINA AB : λ, µ≥ 0

POLOVIŠTE OD AB :12−→rA +

12−→rB

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 44 / 55

Vektori u geometriji Pravac AB i dužina AB

DUŽINA AB : λ, µ≥ 0

POLOVIŠTE OD AB :12−→rA +

12−→rB

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 44 / 55

Vektori u geometriji Pravac AB i dužina AB

Zadatak 8.Zadan je pravac

−→r =−→rA + t−→AB.

Ucrtaj na pravcu točke ko-jima odgovaraju vrijednosti t =0, 1, −12 , −2, 3 i uz svaku točkuupiši odgovarajuću vrijednost zat .

A

B

O

−→rA−→rB

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 45 / 55

Vektori u geometriji Pravac AB i dužina AB

Rješenje :

A

B

t = −2

t = −12 t = 0

t = 1

t = 3

O

−→rA−→rB

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 46 / 55

Vektori u geometriji Pravac AB i dužina AB

Zadatak 9.Na pravcu

−→r =−→rM + t−−→MN

odredi točke (podebljaj) za kojevrijedi(a) −1≤ t ≤ 2(b) t ≥ 1(c) t < 2

M

N

O

−→rM−→rN

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 47 / 55

Vektori u geometriji Pravac AB i dužina AB

Rješenje :(a)

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 48 / 55

Vektori u geometriji Pravac AB i dužina AB

Rješenje :(b)

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 49 / 55

Vektori u geometriji Pravac AB i dužina AB

Rješenje :(c)

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 50 / 55

Vektori u geometriji Ravnina ABC i trokut 4ABC

Ravnina ABC trokut 4ABC

A

O

C

B

T

−→rA−→r

−→r =−→rA +−→AT =−→rA + t1

−→AB+ t2

−→AC

=−→rA + t1(−→rB −−→rA)+ t2(−→rC −−→rB )

= (1− t1− t2)−→rA + t1−→rB + t2−→rC

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 51 / 55

Vektori u geometriji Ravnina ABC i trokut 4ABC

−→r = λ−→rA +µ−→rB +ν−→rC , λ+µ+ν = 1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 52 / 55

Vektori u geometriji Ravnina ABC i trokut 4ABC

4ABC :λ, µ, ν≥ 0

težište 4ABC :λ = µ = ν = 13

−→rT =13−→rA +

13−→rB +

13−→rC

Dokaz∗.

−→rT =13−→rA +

23(12−→rB +

12−→rC)

=13−→rA +

13−→rB +

13−→rC

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 53 / 55

Vektori u geometriji Ravnina ABC i trokut 4ABC

Zadatak 10.Zadana je ravnina

−→r =−→rA + t1−→AB+ t2

−→AC

(a)Ucrtaj(otprilike) točkeza koje je (t1, t2) =

(2,3),(0,0),(1,−2),(−12, 32)

i upiši uz točke odgovarajući parvrijednosti (t1, t2).(b) Koji parovi pripadajutočkama B i C?(c) Gdje se nalaze točke(t1, t2) = (0, t)?

A

B

C

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 53 / 55

Vektori u geometriji Ravnina ABC i trokut 4ABC

Rješenje :(a), (b)

(2, 3)

(1,−2)

(−12, 32)

A(0, 0)

B(1, 0)

C(0, 1)

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 54 / 55

Vektori u geometriji Ravnina ABC i trokut 4ABC

Rješenje :(c)Točke (t1, t2) = (0, t) se nalaze na pravcu koji prolazi kroz točke A i C.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 55 / 55

Vektorska algebraVektori-uvodZbrajanje vektoraSuprotni vektor i oduzimanje vektoraMnoženje vektora brojem

Razlaganje vektoraVektori u geometrijiVektori i tockePravac AB i dužina ABRavnina ABC i trokut ABC

0.0: 0.1: 0.2: 0.3: 0.4: 0.5: 0.6: 0.7: 0.8: 0.9: 0.10: 0.11: 0.12: 0.13: 0.14: 0.15: 0.16: 0.17: 0.18: 0.19: 0.20: 0.21: 0.22: 0.23: 0.24: 0.25: 0.26: 0.27: 0.28: 0.29: 0.30: 0.31: 0.32: 0.33: 0.34: 0.35: 0.36: 0.37: 0.38: 0.39: 0.40: 0.41: 0.42: 0.43: 0.44: 0.45: 0.46: 0.47: 0.48: 0.49: 0.50: 0.51: 0.52: 0.53: 0.54: 0.55: 0.56: 0.57: 0.58: 0.59: 0.60: 0.61: 0.62: 0.63: 0.64: 0.65: 0.66: 0.67: 0.68: 0.69: 0.70: 0.71: 0.72: 0.73: 0.74: 0.75: 0.76: 0.77: 0.78: 0.79: 0.80: 0.81: 0.82: 0.83: 0.84: 0.85: 0.86: 0.87: 0.88: 0.89: 0.90: 0.91: 0.92: 0.93: 0.94: 0.95: 0.96: 0.97: 0.98: 0.99: 0.100: anm0: 1.0: 1.1: 1.2: 1.3: 1.4: 1.5: 1.6: 1.7: 1.8: 1.9: 1.10: 1.11: 1.12: 1.13: 1.14: 1.15: 1.16: 1.17: 1.18: 1.19: 1.20: 1.21: 1.22: anm1: 2.0: 2.1: 2.2: 2.3: 2.4: 2.5: 2.6: 2.7: 2.8: 2.9: 2.10: 2.11: 2.12: 2.13: 2.14: 2.15: 2.16: 2.17: 2.18: 2.19: 2.20: 2.21: 2.22: 2.23: 2.24: 2.25: 2.26: 2.27: 2.28: 2.29: 2.30: 2.31: 2.32: 2.33: 2.34: 2.35: 2.36: 2.37: 2.38: 2.39: 2.40: 2.41: 2.42: 2.43: 2.44: 2.45: 2.46: 2.47: 2.48: 2.49: 2.50: 2.51: 2.52: 2.53: 2.54: 2.55: 2.56: 2.57: 2.58: 2.59: 2.60: 2.61: 2.62: 2.63: 2.64: 2.65: 2.66: 2.67: 2.68: 2.69: 2.70: 2.71: 2.72: 2.73: 2.74: 2.75: 2.76: 2.77: 2.78: 2.79: 2.80: 2.81: 2.82: 2.83: 2.84: 2.85: 2.86: 2.87: anm2: 3.0: 3.1: 3.2: 3.3: 3.4: 3.5: 3.6: 3.7: 3.8: 3.9: 3.10: 3.11: 3.12: 3.13: 3.14: 3.15: 3.16: 3.17: 3.18: 3.19: 3.20: 3.21: 3.22: 3.23: 3.24: 3.25: 3.26: 3.27: 3.28: 3.29: 3.30: 3.31: 3.32: 3.33: 3.34: 3.35: 3.36: 3.37: 3.38: 3.39: 3.40: 3.41: 3.42: 3.43: 3.44: 3.45: 3.46: 3.47: 3.48: 3.49: 3.50: 3.51: 3.52: 3.53: 3.54: 3.55: 3.56: 3.57: 3.58: 3.59: anm3: 4.0: 4.1: 4.2: 4.3: 4.4: 4.5: 4.6: 4.7: 4.8: 4.9: 4.10: 4.11: 4.12: 4.13: 4.14: 4.15: 4.16: 4.17: 4.18: 4.19: 4.20: 4.21: 4.22: 4.23: 4.24: 4.25: 4.26: 4.27: 4.28: 4.29: 4.30: 4.31: 4.32: 4.33: 4.34: 4.35: 4.36: 4.37: 4.38: 4.39: 4.40: 4.41: 4.42: 4.43: 4.44: 4.45: 4.46: 4.47: 4.48: 4.49: 4.50: 4.51: 4.52: 4.53: 4.54: 4.55: 4.56: 4.57: 4.58: 4.59: 4.60: 4.61: 4.62: 4.63: 4.64: 4.65: 4.66: 4.67: 4.68: 4.69: 4.70: 4.71: 4.72: 4.73: 4.74: 4.75: 4.76: 4.77: 4.78: 4.79: 4.80: 4.81: 4.82: 4.83: 4.84: 4.85: 4.86: 4.87: anm4: