Matematika Analízis 1 (példatár)

Fritz Jzsefn, Knya Ilona,Pataki Gergely s Tasndi Tams

MATEMATIKA 1.GYAKORLATOK

2011.

Ismertet Szakmai vezetTartalomjegyzk LektorPlyzati tmogats Technikai szerkesztGondoz Copyright

ii

A Matematika 1. elektronikus oktatsi segdanyag a Budapesti Mszaki s Gazda-sgtudomnyi Egyetem Villamosmrnki s Informatika Karn a mrnk-informatikusszakos hallgatk Analzis 1 trgyhoz kszlt, de haszonnal forgathatjk ms szakok,karok vagy mszaki fiskolk, egyetemek hallgati is, akik hasonl mlysgben hasonlanyagot tanulnak matematikbl.

Az anyag numerikus sorok, sorozatok elmlett, egyvltozs vals fggvnyek hatr-rtkt, folytonossgt, differencilst s integrlst trgyalja. A defincik, ttelek,bizonytsok mellett kiemelt szerepet kapnak a pldk, s a gyakran elfordul feladat-tpusok megoldsai.

A mintegy 260 oldalas elmleti anyagot kiegszti egy tbb, mint 100 oldalas plda-tr, amely tbbsgben megoldott, tematizlt gyakorlfeladatokat tartalmaz. A kt pdfllomny klcsnsen hivatkozik egymsra. Az eligazodst tartalomjegyzk, valamintaz elmleti anyagban tallhat trgymutat segti. A megrtst sznes brk knny-tik, az rdekld olvas pedig a Thomas Calculus illetve a Calculusapplets kapcsoldweboldalaira is elltogathat kls hivatkozsokon keresztl. A httrsznezssel tagoltelmleti anyag fekete-fehr vltozata is rendelkezsre ll, amely nyomtatsra javasoltformtum.

Kulcsszavak: sor, sorozat, folytonossg, kalkulus, differencils, integrls.

tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

iii

Tmogats:Kszlt a TMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0028 szm, a Termszettudomnyos

(matematika s fizika) kpzs a mszaki s informatikai felsoktatsban cm projektkeretben.

Kszlt:A BME TTK Matematikai Intzet gondozsban.

Szakmai felels vezet:Ferenczi Mikls

Lektorlta:Prhle Pter

Az elektronikus kiadst elksztette:Fritz gnes, Knya Ilona, Pataki Gergely, Tasndi Tams

Cmlap grafikai terve:Cspny Gergely Lszl, Tth Norbert

ISBN 978-963-279-445-7

Copyright: Fritz gnes (BME), Knya Ilona (BME), Pataki Gergely (BME), TasndiTams (BME)

A c terminusai: A szerz nevnek feltntetse mellett nem kereskedelmi cllalszabadon msolhat, terjeszthet, megjelenthet s eladhat, de nem mdosthat.

c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

iv


Tartalomjegyzk

Tartalomjegyzk 1

1. Sorozatok 31.1. Specilis (vgtelenhez tart) sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Nagysgrendek sszehasonltsa (nn, n!, 2n, nk, n, log n) . . . . . . . . . 71.3. Sorozatok hatrrtke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Kt nevezetes hatrrtk ( np n 1, nn n 1) . . . . . . . . . . . . 141.5. Rekurzve megadott sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6. (1 + x/n)n n ex hatrrtkkel kapcsolatos feladatok . . . . . . . . . . 201.7. Limesz szuperior, limesz inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.8. Egy alkalmazs: a kr terlete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2. Sorok 292.1. Numerikus sorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2. Alternl sorok, Leibniz sorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3. Majorns kritrium, minorns kritrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4. Abszolt konvergencia, feltteles konvergencia . . . . . . . . . . . . . . . 352.5. Hibaszmts pozitv tag sorokra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3. Egyvltozs vals fggvnyek hatrrtke, folytonossga 413.1. Fggvny hatrrtke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2. Szakadsok tpusai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3. lim

x0sinxx

= 1 hatrrtkkel kapcsolatos pldk . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4. Egyvltozs vals fggvnyek derivlsa 534.1. Differencils a defincival . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2. A derivlsi szablyok gyakorlsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3. A derivlsi szablyok + definci gyakorlsa . . . . . . . . . . . . . . . . 584.4. Elemi fggvnyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.5. LHospital szably . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.6. Fggvnyvizsglat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.7. Abszolt szlsrtk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.8. Implicit megads fggvnyek derivlsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

1

2 TARTALOMJEGYZK

4.9. Paramteres megads grbk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5. Egyvltozs vals fggvnyek integrlsa 825.1. Hatrozatlan integrl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.2. Parcilis integrls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.3. Racionlis trtfggvnyek integrlsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.4. Hatrozott integrl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.5. Terletszmts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.6. Integrlfggvny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.7. Integrls helyettestssel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.8. Improprius integrl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.9. Integrlkritrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107


1. fejezet

SorozatokAppElm1.1. Specilis (vgtelenhez tart) sorozatokElm

Definci: Az an vals szmsorozat vgtelenhez tart, jelben limn

an = +(vagy ms jellssel an

n , vagy csak an ), ha P > 0 (P R) esetn N(P ) N , melyre

an > P , ha n > N(P ).

Definci: limn

an = , ha

M < 0 (M R) esetn N(M) N , melyrean < M , ha n > N(M).

(Lehet M > 0 -val is definilni, ekkor ... an < M ...)

1. Feladat: an = 6n3 + 3 , mert

6n3 + 3 > P 6n3 > P 3 n > 3P 36

,

teht N(P ) [

3

P 36

].

([x] az x egsz rszt jelli, mely az x -nl nem nagyobb legnagyobb egsz, pl.:[0.8] = 1 , [1.95] = 1.)

3

4 1. FEJEZET: SOROZATOK

2. Feladat: an = 6n3 + 3n ,6n3 + 3n > P : most gy nem megy. Helyette becsls:

6n3 + 3n 6n3 > P n > 3P

6 N(P )

[3

P

6

].

(Az als becslsnl a 6n3 helyett llhatna n3, 3n, n, stb.)

3. Feladat: an =n2 n , lim an =?

n2 n hatrozatlan, alak, de az an =n(n 1) alakbl mr ltszik,

hogy an .Az N(P ) kszbindex meghatrozsa:

Azn2 n > P egyenltlensget nehzkes egzaktul megoldani. Inkbb valamilyen

becslst alkalmazunk. Termszetesen tbb lehetsg van, pldul:n2 n =

n(n 1) >

(n 1)(n 1) = n 1 > P n > P + 1

Ennek megfelelen: N(P ) [P + 1].

Vagy:

n2 n >

n2 n

2

2=

n2> P n >

2 P.

Ez a becsls akkor igaz, han2

2> n , azaz ha n > 2 , teht a kszbindex:

N(P ) max{2 , [2 P ]}.

4. Feladat: an = n3 3n2 + 5n+ 9 , mert:

n3 3n2 + 5n+ 9 > n3 3n2 > n3 n3

2=n3

2> P n > 3

2P

A becsls akkor igaz, ha n3

2> 3n2, azaz ha n > 6 , gy

N(P ) max{ [ 32P ] , 6}tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

1.1. SPECILIS (VGTELENHEZ TART) SOROZATOK 5

5. Feladat: an =n3 + 3n

n2 + 2 , , mert:

n3 + 3n

n2 + 2 n

3

n2 + 2n2=

n

3> P n > 3P N(P )

[3P

].

6. Feladat: an = n2 + 3n 9 , mert: +++

n2 + 3n 9 < M (< 0) n2 3n+ 9 > M (> 0)Az egzakt megolds helyett most is rdemesebb elszr becslni:

n2 3n+ 9 > n2 3n > n2 n2

2=

n2

2> M

A becsls akkor igaz, ha n2

2> 3n , ami egy bizonyos N1 kszbindex esetn az

n > N1 indexekre teljesl. (Nem kell N1 -et meghatrozni, elg ltni, hogy ltezik.)Teht N(P ) max{N1, [2M ]}.

7. Feladat:

Gyakorl feladatok:

A megfelel defincival mutassa meg, hogy az albbi sorozatok -hez vagy -heztartanak!

a) an = 7n5 + 5 , bn = 7n5 5

b) an = 7n5 + 5n2 , bn = 7n5 5n2

c) an =2n5 3n2



d) an = n4 2n3 + 6n2 + 3

e) an = n3 + 50n2

Ttel: Ha limn

an = , s bn an , akkor limn

bn =.

Megjegyzs: Elegend, hogy bn an csak n > N0 indexekre teljesl.

Ttel:(an

n ) (bn = an n ).A tteleket nem bizonytjuk.

8. Feladat:

A fenti ttelek alkalmazsval mutassuk meg, hogy a kvetkez sorozatok-hez vagy -hez tartanak!

a) an = n5 7n2 + 5n+ 3

(an > n5 7n2 n5 n5

2=n5

2)

b) an =n5 + 2n2 , illetve

n5 2n2

c) an =n4 + 2n3

n4 5n3 (n 5)

(an =n4 + 2n3 (n4 5n3)n4 + 2n3 +

n4 5n3 =

n2

n27n

1 +2

n+

1 5

n

7n1 + 2 +

1 + 0

= const. n)

d) an =n6 n4

n6 + 2n4


1.2. NAGYSGRENDEK SSZEHASONLTSA (nn, n!, 2n, nk, n, log n) 7

(Legyen bn = an . Megmutatjuk, hogy bn , (ez knnyebb), ebbl mr kvetke-zik, hogy an .)

9. Feladat: an = 3n6 + n5 3n6 n5 +++

an =3 3

2 + + 2, ahol = 3

n6 + n5 , = 3

n6 n5.

1.2. Nagysgrendek sszehasonltsa (nn, n!, 2n, nk, n,log n)

ElmA hatrozatlan alak, konkrt esetekben klnbz hatrrtkeket kaphatunk, pl-

duln

n2 0 , n

3

n , 3n

5n 3

5.

Ttel:

a)nn

n!; b) n!

2n; c) 2

n

n; d) n

log2 n.

Bizonyts:a)

nn

n!=n n . . . n1 2 . . . n n 1 1 . . . 1 = n =

spec. rendrelv

nn

n!

b)

n!

2n=n(n 1)(n 2) . . . 2 1

2 2 . . . 2 n

2 1 1 . . . 1

2=n

4 =

spec. rendrelv

n!

2n

c) Legyen an =2n

n. +++



Egyrszt a sorozat monoton n, teht an+1 an , hiszen:2n+1

n+ 1

? 2n

n= 2n ? n+ 1 = n 1

Msrszt a pros index rszsorozat vgtelenhez tart:

a2n =22n

2n=

2n 2n2 n = 2

n1an 2n1a1 = 2n .E kt tulajdonsgbl kvetkezik, hogy an .

d) Legyen an =n

log2 n.+++

Belthat, hogy a sorozat monoton n (ezt csak ksbb tudjuk megmutatni), s a2k . Ebbl a kt tulajdonsgbl kvetkezik az llts.

A kvetkezt kaptuk:

nn n! 2n nk n 1k log n, k N+

Itt a jelet gy kell olvasni hogy ersebb, vagy nagyobb nagysgrend. Ezeket afogalmakat a flv vgn pontostjuk.

Belthat, hogy an -bl kvetkezik, hogy 1an 0 .

Ennek alapjn az elzekbl kvetkezik :

log n

n 0; n

2n 0; 2

n

n! 0; n!

nn 0

1.3. Sorozatok hatrrtkeElm

Szksges ismeretek:lim an = A defincija; pldk N() meghatrozsra; konvergens sorozat korltos;divergens sorozatok; mveletek konvergens szmsorozatokkal.

Nhny feladat az eladson tanultakkal kapcsolatban:


1.3. SOROZATOK HATRRTKE 9

10. Feladat: an =3n2 + 4n+ 7

n2 + n+ 1 3, N() =?

|an A| =3n2 + 4n+ 7n2 + n+ 1

3 = n+ 4

n2 + n+ 1 n+ 4n

n2=

5

n< ,

N() [5

]Persze mskpp is majorlhatunk. Ha egyszeren megoldhat, clszer olyan becslseketalkalmazni, melyek minden n -re jk.

11. Feladat: an =n2 108

5n6 + 2n3 1 , limn an =?, N() =?

an 0, mert an = n2

n6= 1n4 0

1 108n2

5 + 2n3 1

n6

0 1 05 + 0 0 = 0

|an A| = n2 1085n6 + 2n3 1

ha n 104= n2 1085n6 + 2n3 1 >0

1, k N+

A fenti bekeretezett formulkat bizonyts nlkl felhasznlhatjuk a feladatok meg-oldsnl.

Vizsglja konvergencia szempontjbl az albbi sorozatokat!

21. Feladat: an =(2)n + 35 + 7n

=

(27

)n 1 + 3 (12

)n5

(1

7

)n+ 1

0 1 + 00 + 1

= 0


1.3. SOROZATOK HATRRTKE 13

22. Feladat: an =(3)n+1 + 22n+3

8 + 5n=3 (3)n + 8 4n

8 + 5n=

=

3 (3

5

)n+ 8

(4

5

)n8 (1

5

)n+ 1

0 + 00 + 1

= 0

23. Feladat:

an =(3)2n

(3)n + 10n ? bn =(3)2n

3n + 9n ? cn = 9

n

3n + 2n ?

24. Feladat: an =n3 2n + 3n

22n 3n2 =n3 2n + 3n

4n 3n2 =n3(12

)n+(34

)n1 3n2(1

4

)n 0(Felhasznltuk, hogy nk an 0, ha |a| < 1.)

25. Feladat: +++A q R paramter fggvnyben hatrozzuk meg a kvetkez sorozat hatrrtkt:

an =22n

(3)n + qn ?

26. Feladat: Tovbbi gyakorl feladatok:

Vizsglja meg konvergencia szempontjbl az albbi sorozatokat!

a) an =5n+2 + (1)n

5n

b) an =(2)n 3n3n+1 + 22n

c) an =4n1 + n5 3n+3

22n+3 + 2n3



d) an =2n1 + n8 4n

7 + 23n+1

1.4. Kt nevezetes hatrrtk ( np

n 1, nn n 1)

limn

np = 1, p > 0 lim

nnn = 1

27. Feladat: Keresse meg a kvetkez sorozatok hatrrtkt!

a) an =2n2n , b) bn =

n2n , c) cn =

2nn

Megolds.

a) an 1 , mert az nn sorozat rszsorozata.

b) bn = n2n = n

2 nn 1 1 = 1

c) cn = 2n

2n

2=

2n2n

2n2 1

1= 1 , mert a szmll s a nevez is kt rszsorozat.

Vagy egyszerbben:

2nn =

nn

1 = 1

28. Feladat: Vizsglja meg konvergencia szempontjbl a kvetkez sorozatot!

an =nn+ 1

Megolds.A rendrelvvel dolgozunk:

nn1

bn = nn+ 1 nn+ n = n

2 nn

1 1= bn 1 .


1.4. KT NEVEZETES HATRRTK ( np

n 1, nn n 1) 15

Termszetesen 1 < bn als becsls is j.

29. Feladat:

an =n2n3 + 3 bn =

n

2n2 + 3

4n2 + n

Megolds. Ezek a pldk csak rendrelvvel oldhatk meg!!!! (Nem tudjk megkerlni.)

n31

an = n2n3 + 3 n

2n3 + 3n3 =

n5 ( nn)3

1 13 = 1= an 1 .

n

2

51

=n

2n2

4n2 + n2 bn = n

2n2 + 3

4n2 + n n

2n2 + 3n2

4n2=

n

5

41

= bn 1 .

Msik megolds: bn := nn

Megmutatjuk, hogy n 12

. . .

Ezrt0.4 < n < 0.6 , ha n > N0 (N0)

Ekkor n0.4 1

< bn =nn N0

= bn 1 (Most is a rendrelvet hasznltuk fel.)

30. Feladat:an =

n2n



Megolds.

an = n

nn

1s n1 1 GY NEM!!!!

Ez gy "letakars". Nem tanultunk olyan ttelt, amely szerint gy csinlhatnnk. Csaka sejtshez hasznlhat a "letakars".Egy helyes megolds:

nn 1 = 0.9 < nn < 1.1 , ha n > N0 (N0)

Ekkor n0.9 1

< an 0) = a2n 7 an + 10 = (an 2) (an 5)? 0

Mivel a)-ban belttuk, hogy 2 an 5 , ezrt az elz teljesl s gy (an)monoton n.

Megmutattuk, hogy a szmsorozat monoton s korltos= (an) konvergens, s fennll:

A = limn

an = limn

(7 10

an

)

A = 7 10A

= A = 5 vagy A = 2.

A = 2 nem lehet, mivel an a1 = 4 , ezrt an nem esik a 2 szm pl. 1 sugarkrnyezetbe. gy A = lim

nan = 5 .

33. Feladat: Vizsglja az albbi sorozatok konvergencijt!

an =2 an1 + 3

a) a1 = 1 : (an) = (1 , 2.236 , 2.73 , )

b) a1 = 5 : (an) = (5 , 3.605 , 3.195 , )


1.5. REKURZVE MEGADOTT SOROZATOK 19

Megolds.

A =2A+ 3 = A2 2A 3 = 0 = A = 1 vagy A = 3 .

Most csak A = 3 jhet szba, hiszen an > 0. Ha teht a szmsorozat konvergens,akkor A = 3 . Ezrt dolgozunk majd a korltossgnl is a 3 -mal. A megolds vzlata:

a) Megmutathat teljes indukcival, hogy (an) monoton n s szintn teljes indukci-val, hogy an < 3 . Teht a sorozat konvergens s az elzek miatt A = 3 .(A Segdletben van hasonl plda kidolgozva.)

b) Most teljes indukcival megmutathat, hogy (an) monoton cskken s an > 3 .Teht a sorozat konvergens s az elzek miatt A = 3 most is.

34. Feladat:Gyakorl pldk:

a)

an+1 =8 an 7 , n = 1, 2, s a1 = 4

(an) = (4 , 5 , 5.74 , )a) Bizonytsa be, hogy 1 < an < 7 !

b) Igazolja, hogy a sorozat monoton!

c) Konvergens-e ez a sorozat? Ha igen, mi a hatrrtke?

b)

an+1 =a2n 8

7, n = 1, 2, s a1 = 9

(an) = (9 , 10.43 , 14.4 , )

a) Mely vals szmok jhetnek szba a sorozat hatrrtkeknt?

b) Igazolja, hogy an > 8 , n N+c) Igazolja, hogy a sorozat monoton!

d) Konvergens-e a sorozat!



c) Legyen

a1 = 5, an+1 = 8 12an

rekurzve adott sorozat! (an) = (5 , 5.6 , 5.85 , )a) Mutassa meg, hogy 2 an 6 minden n N -re!b) Indokolja meg, hogy (an) konvergens! A felhasznlt ttelt rja le!c) Hatrozza meg az (an) hatrrtkt!

1.6. (1+x/n)n n ex hatrrtkkel kapcsolatos felada-tok

Elmlimn

(1 +

x

n

)n= ex felhasznlhat.

llaptsuk meg a kvetkez sorozatok hatrrtkt!

35. Feladat:

an =

(1 +

1

6n2

)6n2+2Megolds.

an =

(1 +

1

6n2

)6n2 (1 +

1

6n2

)2 e 12 = e

(en rszsorozatrl van sz.)

36. Feladat:

an =

(n+ 5

n 4)n+3

Megolds.

an =

(1 +

5

n

)n(1 +4n

)n (1 +

5

n

)3(1 +4n

)3 e5e4 1313 = e9


1.6. (1 + x/n)n n ex HATRRTKKEL KAPCSOLATOS FELADATOK 21

Ms talaktssal:

an =

(n 4 + 9n 4

)n4+7=

(1 +

9

n 4)n4

(1 +

9

n 4)7 e9 17 = e9

Ez a fajta talakts bizonyos pldknl sokkal hosszabb, ezrt az els mdszert hasz-nlata javasolt, de persze ez nem ktelez.

37. Feladat:

an =

(n2 + 2

n2 + 3

)n2+7Megolds.

an =

(n2 + 2

n2 + 3

)n2(n2 + 2

n2 + 3

)7=

(1 +

2

n2

)n2(1 +

3

n2

)n2 1 + 2n21 +

3

n2

7

e2

e3 17 = 1

e

Msik megolds:

an =

((n2 + 3) 1n2 + 3

)(n2+3)+4=

(1 +

1n2 + 3

)n2+3(1 +

1n2 + 3

)4 e114 = 1

e

38. Feladat:

an =

(3n+ 5

3n 4)3n

, bn =

(3n+ 5

3n 4)2n

Megolds.

an =

1 + 53n1 +43n

3n

e5

e4= e9

bn =

1 + 53n1 +43n

2n

=

1 + 5/3n1 +4/3n

n

2

(

e5/3

e4/3

)2= e6



39. Feladat:Gyakorl pldk:Keresse meg az albbi sorozatok hatrrtkt!

a) an =(1 +

1

n

)5nb) an =

(1 +

1

5n

)nc) an =

(1 +

1

5n

)6nd) an =

((1 +

1

n

)10)n

e) an =

(5 1

n

)n(5 +

1

n

)n f) an =(1 +

8

n

)2n

g) an =(n+ 7

n+ 4

)n+4h) an =

(n+ 7

n+ 3

)ni) an =

(2n+ 7

2n+ 3

)2nj) an =

(2n+ 7

2n+ 3

)n

k) an =(2n+ 7

2n+ 3

)2n+5

40. Feladat:

Gyakorl pldk:A paramterek megadott rtkeire keresse meg az albbi sorozat hatrrtkt!

an =

(3n3 + 5

3n3 + 3

)n3+a) = 3 , = 0 b) = 3 , = 2

c) = 1 , = 0 d) = 6 , = 0

41. Feladat:

an =

(1 +

1

n2

)ntankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

1.6. (1 + x/n)n n ex HATRRTKKEL KAPCSOLATOS FELADATOK 23

Megolds.

GY TILOS! : an =n

(1 +

1

n2

)n2 ne 1

Ez gy "letakars"! Ez a sejtshez hasznlhat:

n

(1 +

1

n2

)n2 ne 1

De preczen meg kell mutatni. (Persze kimondhat lenne hasznlhat ttel, de mi nemmondtunk ki ilyent.)Helyesen:

ne 0, 1 1

< an =

n

(1 +

1

n2

)n2

e

< ne + 0, 1 1

, ha n > N0

= an 1Persze ms becsls is j. Pl.: n

2 an < n

3 stb.

42. Feladat:

an =

(1 +

1

n

)n2Megolds.

an =

((1 +

1

n

)n)n 2n =

spec. rendrelvan

43. Feladat: +++

a) an =

(1 1

n4

)n3b) bn =

(1 1

n4

)n5Megolds.

44. Feladat:



Gyakorl pldk:Keresse meg az albbi sorozatok hatrrtkt!

a) an =(1 +

2

n

)n2b) an =

(1 2

n

)n2

c) an =(n2 + 3

n2 + 5

)n3

45. Feladat:

an =

(4n+ 1

4n+ 5

)n, bn =

(4n+ 1

7n+ 5

)n, cn =

(6n+ 1

4n+ 5

)nMegolds.

an =

(1 +

1/4

n

)n(1 +

5/4

n

)n e1/4e5/4

=1

e

0 < bn =

(4n+ 1

7n+ 5

)n 7

x : x+ 3 > 7

= x > 7 3 = P1()

x : (x+ 3) > 7

= x < (7

+ 3

)= P2()

3. Feladat: Tovbbi gyakorl feladatok

A megfelel defincival bizonytsa be az albbi hatrrtkeket!

a) limx 1

2x 2x 1 + 3x = 5


3.1. FGGVNY HATRRTKE 43

3.1. bra. Az f(x) = 12xx+3

fggvny grafikonja.

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

f(x)

b) limx2

2x+ 15 =

11

c) limx

(2x3 x2 + 4x+ 7) =

d) limx

31 + 2x =

e) limx

6x+ 1

3 2x = 3

Megolds.. . .

4. Feladat:

f(x) =x2 + 3x 10(x2 4)2 , limx2 f(x) = ? , limx 2 f(x) = ?


44 3. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK HATRRTKE, FOLYTONOSSGA

Megolds.

f(x) =(x 2) (x+ 5)(x 2)2 (x+ 2)2

limx2

1

(x+ 2)2 +

x2 + 3x 10(x 2)2 12/16

=

limx 20

x 2(x 2) (x 2) =

1

x 2

x+ 5(x+ 2)2 7/16

=

5. Feladat:

limx

2x5 3x2 + 1x7 + 4x3 + 5

=?

Megolds.

limx

x5

x7=1

x2 0

2 3

x3+

1

x5

1 +4

x4+

5

x7 2

= 0

6. Feladat:

limx 1

x 13x2 + 1 2x =? ,

Megolds.


3.1. FGGVNY HATRRTKE 45

limx 1

x 13x2 + 1 2x = limx 1

x 13x2 + 1 2x

3x2 + 1 + 2x3x2 + 1 + 2x

=

= limx 1

(x 1) (3x2 + 1 + 2x)3x2 + 1 4x2 = limx 1

x 1x 1

3x2 + 1 + 2x

(x+ 1) = 1 4

2 = 2

7. Feladat:

limx

x(

x2 + 1 x2 3) =?Megolds.

limx

x(

x2 + 1 x2 3

) x2 + 1 + x2 3x2 + 1 +

x2 3 =

= limx

xx2 + 1 (x2 3)x2 + 1 +

x2 3 =

= limx

xx2

=x

|x| =x

x =1

41 +

1

x2+

1 3

x2

= 1 41 + 1

= 2


a) limx

(4x2 + 3x 2x) = ?

b) limx

1

(x2 4x + x) = ?

c) limx

(2x6 x5 + 8x3 5x2 + 1) = ?

Megolds.. . .



9. Feladat:

a) limx 30

2 + 5{x} =? b) limx 30

[x 1] = ?

Megolds.

limx 3+0

2 + 5{x} = 2 + 5 0 = 0lim

x 302 + 5{x} = 2 + 5 1 = 7

limx 3+0

[x 1] = 2 , mert x (3, 4) esetn x 1 (2, 3) = [x 1] = 2lim

x 30[x 1] = 1 , mert x (2, 3) esetn x 1 (1, 2) = [x 1] = 1

10. Feladat:

+++

Bizonytsa be, hogy limx 0

cos1

xnem ltezik!Elm

Megolds. . . .


a) limx

sin 7x2 =?

b) limx

1

xsin 7x2 =?

Megolds.. . .


3.2. SZAKADSOK TPUSAI 47

3.2. Szakadsok tpusaiAppElm Hol s milyen szakadsai vannak az albbi fggvnyeknek?

(Mindig hatrozza meg a jobb s bal oldali hatrrtkeket a vizsgland pontokban!)

12. Feladat:

f(x) =x3 + x2 5x+ 3

x2 (x+ 3)

Megolds.

f kt folytonos fggvny hnyadosa, gy csak a nevez nullahelyeinl van szakadsa.Vizsgland pontok: x = 0 , illetve x = 3

limx 0

1

x2+

x3 + x2 5x+ 3

x+ 3 1

= + : x = 0 msodfaj szakadsi hely.

x = 3 -ban a hatrrtk 00

alak, teht a szmllbl is kiemelhet az (x + 3)gyktnyez.

x3 + x2 5x+ 3 = . . . = (x+ 3) (x2 2x+ 1)

limx3

x+ 3

x+ 3 1

x2 2x+ 1

x2 16/9

=16

9: x = 3 -ban megszntethet szakadsa

van.

13. Feladat:

f(x) =x4 3x3|2x2 6x|

Megolds.

f kt folytonos fggvny hnyadosa, gy csak a nevez nullahelyeinl van szakadsa.

f(x) =1

2 x

3

|x| x 3|x 3|



Vizsgland pontok: x = 0 , illetve x = 3

limx 0+0

1

2 x

3

x=x2 0

x 3|x 3| 1

= 0 limx 00

1

2 x

3

x=x2 0

x 3|x 3| 1

= 0 :

x = 0 megszntethet szakadsi hely.

limx 3+0

1

2 x2 9 x 3x 3 1

=9

2lim

x 301

2 x2 9 x 3(x 3)

1

=92

:

x = 3 -ban vges ugrsa van.

14. Feladat:

f(x) =

1

|4 x| +1

4 x , ha x 2

x2 10xx2 11x+ 10 , ha x < 2

Megolds.

Ha x < 2 : f(x) =x (x 10)

(x 1) (x 10)rtelmezsi tartomny: x 6= 4 , x 6= 1Vizsgland pontok: 1 , 2 , 4

f(1 0) = limx 10

1

x 1

xx 10x 10 = msodfaj (lnyeges) szakads.

f(2 0) = limx 20

x (x 10)(x 1) (x 10) = 2 f(2 + 0) = limx 2+0

(1

|4 x| +1

4 x)

=

1

f -nek x = 2 -ben vges ugrsa van (elsfaj szakads)

f(4 + 0) = limx 4+0

(1

(4 x) +1

4 x)

=0

= 0

f(4 0) = limx 40

(1

4 x +1

4 x)

= limx 40

2

4 x =


3.3. limx0

sin xx = 1 HATRRTKKEL KAPCSOLATOS PLDK 49

x = 4 : msodfaj szakadsi hely

15. Feladat:

+++

Hol folytonos, hol milyen szakadsa van?

f(x) =

2x , ha x rac.

x2 , ha x irrac.

Megolds. . . .

3.3. limx0

sinxx = 1 hatrrtkkel kapcsolatos pldk

Elm

16. Feladat:

limx 0

sin 5x2

tg 3x2=?

Megolds.

limx 0

sin 5x2

5x25x2

3x23x2

sin 3x2cos 3x2 = 1 5

3 1 1 = 5

3

17. Feladat:

limx 0

1 cos 9x2x2

=?

Megolds.



sin2 =1 cos 2

2alapjn: 1 cos 9x2 = 2 sin2 9x2

2

limx 0

2 sin2 9x2

2

x2= lim

x 02

sin 92x2

92x2

9

2sin 9

2x2 = 2 1 9

2 0 = 0

18. Feladat:

limx 0

cos 2 5x 1

sin 3x

=?

Megolds.

Most is az elz azonossgot hasznljuk:

limx 0

2 sin2 5xsin 3x

= limx 0

2(sin 5x

5x

)2( 5x)2

3x

...= 15x 0

3x

sin 3x

= 2 1 0 1 = 0

19. Feladat:Hol s milyen tpus szakadsa van az albbi fggvnyeknek?

f(x) =sin (1 x)x2 1 g(x) =

sin |2 x|x 2

Megolds.

f(x) = sin (1 x)1 x

1

x+ 1

Szakadsi helyek: x = 1 s x = 1

limx 1

f(x) = limx 1

sin (1 x)1 x 1

1

x+ 1 1/2

= 12

: megszntethet szakads

limx10

f(x) = limx10

1

x+ 1

( sin (1 x)

1 x)

sin 2

2< 0

= : msodfaj szakads


3.3. limx0

sin xx = 1 HATRRTKKEL KAPCSOLATOS PLDK 51

g(x) =sin |2 x|x 2 =

sin |x 2|x 2

(Nem muszj trni, de gy taln jobban rtik.)

Szakadsi hely: x = 2

g(2 + 0) = limx 2+0

sin (x 2)x 2 = 1

g(2 0) = limx 20

sin ((x 2))x 2 = limx 20

sin (x 2)x 2 = 1

Vges ugrs (elsfaj szakads).


a) limx 0

tg 7x

sin 9x=?

b) limx 0

sin 4x2

2x=?

c) limx 0

5x sin 8x7x + sin 2x

=?

d) limx

5x sin 8x7x + sin 2x

=?

e) limx 0

cos 5x 17x2

=?

f) limx 0

cos 2x2 16x3

=?

g) limx 0

1 cos 3x25x

=?

h) limx 0

1 cos 5xsin

3x2

=?



i) limx

x4 sin2

x4=?

j) limx 0

x4 sin2

x4=?

21. Feladat:Hol s milyen tpus szakadsa van az albbi fggvnynek?

f(x) =sin (x 2)

(x2 + 4)x2 4x+ 4

Megolds.


4. fejezet

Egyvltozs vals fggvnyekderivlsa

Elm4.1. Differencils a defincival AppA derivlt defincijval hatrozza meg az albbi derivltakat!

1. Feladat:

f(x) =6x+ 1 f (4) = ?

Megolds.

f (4) = limh 0

f(4 + h) f(4)h

= limh 0

6(4 + h) + 1 5

h=

= limh 0

25 + 6h 5

h

25 + 6h + 525 + 6h + 5

=

= limh 0

25 + 6h 25h (25 + 6h + 5)

= limh 0

h

h

625 + 6h + 5

=6

10

2. Feladat:

f(x) =1

2x+ 7f (1) = ?

53

54 4. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK DERIVLSA

Megolds.

f (1) = limh 0

f(1 + h) f(1)h

= limh 0

12(1 + h) + 7

13

h=

= limh 0

3 9 + 2hh 3 9 + 2h

3 +9 + 2h

3 +9 + 2h

= . . . =

= limh 0

23

h

h

19 + 2h (3 +

9 + 2h)

= 127

3. Feladat:

f(x) =1

3x+ 1f (1) = ?

Megolds. . . .


A defincival hatrozza meg az albbi derivltakat!

a) f(x) =1 3x f (3) = ?

b) f(x) =1

x 5 f(6) = ?

c) f(x) =x 1x+ 1

f (2) = ?

d) f(x) =x2 4x+ 4 sin (x 2) f (2) = ?

5. Feladat:


4.2. A DERIVLSI SZABLYOK GYAKORLSA 55

Ttel: (cosx) = sinx , x RBizonytsa be a ttelt!(Hasonlan igazolhat, hogy (sinx) = cos x )

Megolds.

f(x) := cosx

f (x) = limh 0

f(x+ h) f(x)h

= limh 0

cos (x+ h) cosxh

=

= limh 0

cosx cosh sinx sinh cosxh

=

= limh 0

cosx cosh 1h 0

sinx sinhh 1

= sinx

Ugyanis:

limh 0

cosh 1h

= limh 0

2 sin2 h2

h= lim

h 0 sin

h2

h2

sinh

2= 1 0 = 0

4.2. A derivlsi szablyok gyakorlsaApp 1App 2App 3App 4App 5

Szksges ismeretek: derivlsi szablyok, sszetett fggvny derivlsa.Tovbb: ( x) = x1, (sinx) = cosx, (cosx) = sinx.

6. Feladat:

Ttel:

a) (tg x) =1

cos2 x, x 6= pi

2+ kpi

b) (ctg x) = 1sin2 x

, x 6= kpi

Bizonytsa be az lltsokat!

1konstansszoros derivltja2sszeg derivltja3szorzat derivltja4sszetett fggvny derivltja5inverzfggvny derivltja



Megolds.

A hnyadosfggvny derivlsi szablyt s a fggvnyek defincijt hasznljuk fel.( (uv

)=

u v u vv2

)(tg x) =

(sinx

cosx

)=

(sinx) cosx sinx (cosx)cos2 x

= . . . =1

cos2 x, x 6= pi

2+ kpi

(ctg x) =(cosxsinx

)=

(cosx) sinx cosx (sinx)sin2 x

= . . . = 1sin2 x

, x 6= kpi

7. Feladat:

Derivljuk az albbi (vagy hasonl) fggvnyeket!

x2 2x+ 32x2 + 7

, (x2 + 1)1 + 2x4 ,

x2 + 5x32x6 + 3

, (x3 + 2x2 x)6 ,

sin 3x , sin3 2x , sinx3 , sin5 2x3 , (x3 + cos2 x4)3

Megolds.(x2 2x+ 32x2 + 7

)=

(2x 2) (2x2 + 7) (x2 2x+ 3) 4x(2x2 + 7)2(

(x2 + 1)1 + 2x4

)= (x2 + 1)

1 + 2x4 + (x2 + 1)

(1 + 2x4

) =(1+2x4)1/2

=

= 2x1 + 2x4 + x2

1

2(1 + 2x4)1/2 (1 + 2x4)

=8x3

Most mg ilyen rszletessggel dolgozzanak!(x2 + 5x32x6 + 3

)=

(x2 + 5x3)2x6 + 3 (x2 + 5x3) (2x6 + 3)

(2x6 + 3)2

=

=(2x+ 15x2)

2x6 + 3 (x2 + 5x3) 1

2(2x6 + 3)1/2 12x5

(2x6 + 3

( (x3 + 2x2 x)6 ) = 6 (x3 + 2x2 x)5 (x3 + 2x2 x) =3x2+4x1


4.2. A DERIVLSI SZABLYOK GYAKORLSA 57

( sin 3x ) = cos 3x 3(sin3 2x

)= 3 sin2 2x (sin 2x)

cos 2x 2

( sinx3 )= cos x3 3x2(

sin5 2x3)

= 5 sin4 2x3 (sin 2x3) cos 2x3 6x2(

(x3 + cos2 x4)3)

= 3 (x3 + cos2 x4)2 (x3 + cos2 x4)

(x3 + cos2 x4)= 3x2 + 2 cosx4 (cosx4)

sinx4 4x3

8. Feladat:

f(x) =

1

cos2 (4x) + 3 8

(x 2)4 , ha x 0

sin2 3x

7x2, ha x < 0

Hatrozza meg a derivltfggvnyt, ahol az ltezik!

Megolds.

f (2) @ , mert a fggvny nem rtelmezett x = 2 -ben.

f(0 + 0) = limx 0+0

(1

cos2 (4x) + 3 8

(x 2)4)

=1

4 1

2= 1

4

f(0 0) = limx 00

sin2 3x

7x2= lim

x 00

(sin 3x

3x

)2 97=

9

76= f(0 + 0)

f (0) @ , mert a fggvny nem folytonos x = 0 -ban (nem ltezik a hatrrtk itt).Ha x 6= 0 s x 6= 2 , akkor f derivlhat, mert derivlhat fggvnyek sszettele.

f (x) =

2 cos 4x ( sin 4x) 4

(cos2 4x+ 3)2 8 (4) (x 2)5 , ha x > 0 s x 6= 2

2 sin 3x cos 3x 3 7x2 sin2 3x 14x49x4

, ha x < 0



4.3. A derivlsi szablyok + definci gyakorlsaApp

9. Feladat:

f(x) = 3x Mutassuk meg, hogy f (0) @!

Megolds.

f (0) = limh 0

f(h) f(0)h

= limh 0

3h 0h

= limh 0

13h2

= Teht f (0) @ .

10. Feladat:

f(x) = 3x sin

3x2 f (x) = ?

(x = 0 -ban a defincival dolgozzon!)

Megolds.

Ha x 6= 0 , akkor derivlhat fggvnyek sszettele sf (x) =

1

3x2/3 sin 3

x2 + 3

x(cos

3x2) 2

3x1/3

Ha x = 0 , akkor a defincival dolgozunk:

f (0) = limh 0

3h sin

3h2 0

h= lim

h 0

3h

3h

sin3h2

3h2

= 1

11. Feladat:

f(x) = 5x3 tg (5x2) , |x| < 1

5

a) f (x) = ? , ha x 6= 0b) A derivlt defincija alapjn hatrozza meg f (0) rtkt!


4.3. A DERIVLSI SZABLYOK + DEFINCI GYAKORLSA 59

Megolds.

a) Ha x 6= 0 , akkor ltezik a derivlt, mert derivlhat fggvnyek sszettele:f (x) =

((x3 tg 5x2)

1/5)

=1

5(x3 tg 5x2)

4/5 (x3 tg 5x2)

(x3 tg 5x2)= 3x2 tg 5x2 + x3

1

cos2 5x2 10x

b) f (0) = limh 0

f(h) f(0)h

= limh 0

5h3 tg 5h2 0

h= lim

h 0

5

h3

sin 5h2

cos 5h25h5

=

= limh 0

5h3

5h3 5

sin 5h2

5h2

55

5cos 5h2

= 1 51 55

1= 55

12. Feladat:

f(x) = |x 1| sin (2x 2) f (x) = ?

Megolds.

g(x) := (x 1) sin (2x 2)Ez egy mindentt derivlhat fggvny:

g(x) = 1 sin (2x 2) + (x 1) cos (2x 2) 2g felhasznlsval:

f(x) =

{g(x) , ha x 1g(x) , ha x < 1

Ezrtf (x) =

{g(x) , ha x > 1g(x) , ha x < 1

x = 1-ben legjobb a defincival ellenrizni a derivlhatsgot. (Hasznlhat lenne asegdlet 26. oldaln kimondott ttel is, de taln jobb ilyenkor a definci.)

f (1) = limx 1

f(x) f(1)x 1 = limx 1

|x 1| sin (2x 2) 0x 1 =

= limx 1

|x 1| sin 2(x 1)2(x 1) 2 = 0 1 2 = 0



13. Feladat:

f(x) =

3x2 sin

1

x, ha x 6= 0

0 , ha x = 0

f (x) = ?

Megolds. . . .


a) f(x) = |x2 9| sin (x 3) , f (x) = ?

b) f(x) = |x3 3x2| , f (x) = ?

c) f(x) = 5x2 sin

5x3 , f (x) = ?

d) f(x) =

sin 2x2

7x2, ha x > 0

|x(x 1)| , ha x 0f (x) = ?

e) f(x) =

1

3x 1 , ha x 1

ax + b , ha x < 1

Adja meg a s b rtkt gy, hogy f (1) ltezzen!


4.4. ELEMI FGGVNYEK 61

4.4. Elemi fggvnyekElmApp 6App 7App 8App 9

15. Feladat:

Rajzolja fel a tg s az arctg fggvnyek grafikonjt! Hatrozza meg rtelmezsitartomnyukat, rtkkszletket, derivltjukat!

16. Feladat:

a) limx 0

arctg x

x=?

b) limx 3+0

arctg1

3 x =? limx 30 arctg1

3 x =?

limx

arctg1

3 x =?

c) limx 0

x arctg1

x=?

d) limx 3

arctgx2 3x3x 9 = ?

e) limx

arctgx2 12x+ 3

=?

Megolds.

6hatvnyfggvnyek7exponencilis fggvnyek8trigonometrikus fggvnyek9hiberbolikus fggvnyek



a) x = tg u , u = arctg x helyettestssel :

limx 0

arctg x

x= lim

u 0u

tg u= lim

u 0u

sinucosu = 1

b) limx 3+0

arctg1

3 x , mert 1/0 alak

= pi2

limx 30

arctg1

3 x , mert 1/+0 alak

=pi

2

limx

arctg1

3 x = arctg 0 = 0

c) limx 0

x arctg1

x= 0 , mert ( 0 korltos) alak.

d) limx 3

arctgx2 3x3x 9 = limx 3 arctg

x

3

x 3x 3 = arctg 1 =

pi

4

e) limx

arctgx2 12x+ 3

= limx

arctg

(x2

x

1 1x2

2 + 3x

)

=pi

2

17. Feladat:

f(x) = 3x arctg x2 , f (x) = ?

(x = 0 -ban a defincival dolgozzon!)

Megolds.

Fel kell hasznlni, hogy limx 0

arctg x2

x2= 1 az elz pldban ltottak alapjn.

Adjuk fel hzi feladatnak, mert nincs benne mr j dolog!



18. Feladat:

f(x) =

x arctg

1

x, ha x 6= 0

a , ha x = 0

g(x) =

x2 arctg

1

x, ha x 6= 0

b , ha x = 0

a) Hatrozza meg az a s b paramterek rtkt gy, hogy az f s g folytonoslegyen x = 0 -ban!

b) f (0) = ? , g(0) = ?

Megolds.

a) limx 0

x arctg 1x

= 0 , (0 korltos alak)Hasonlan lim

x 0g(x) = 0

Teht a = f(0) := 0 , b = g(0) := 0 . Vagyis

f(x) =

x arctg

1

x, ha x 6= 0

0 , ha x = 0

g(x) =

x2 arctg

1

x, ha x 6= 0

0 , ha x = 0fggvnyek mr mindentt folytonosak.

b) f (0) = limh 0

f(h) f(0)h

= limh 0

h arctg1

h 0

h= lim

h 0arctg

1

h@(

f +(0) =pi

2, f (0) =

pi

2

)

g(0) = limh 0

g(h) g(0)h

= limh 0

h2 arctg1

h 0

h= lim

h 0h arctg 1

h= 0

19. Feladat:



f(x) =

arctg

1 + x

1 x , ha x 6= 1

, ha x = 1

a) Megvlaszthat-e rtke gy, hogy az f fggvny folytonoslegyen x = 1 -ben?

b) f (x) = ? , ha x 6= 1

c) limx 1

f (x) = ?

Ltezik-e f (1) ?

Megolds.

a) limx 1+0

arctg1 + x

1 x

= pi26= lim

x 10arctg

1 + x

1 x

=pi

2

Mivel x = 1 -ben @ a hatrrtk, ezrt nincs olyan , melyre f folytonos lennex = 1 -ben.

b) Ha x 6= 1 :

f (x) =1

1 +

(1 + x

1 x)2 (1 + x1 x

)= . . . =

1

1 + x2

( (1 + x

1 x)

=1 (1 x) (1 + x) (1)

(1 x)2 =2

(1 x)2)

c) limx 1

f (x) =1

2, de f (1) @ , mert az f fggvny nem folytonos x = 1 -ben.

20. Feladat:

Ismertesse az arcsin fggvny tulajdonsgait (rtelmezsi tartomny, rtkkszlet, bra,derivlt)!



21. Feladat:

f(x) = 3pi 2 arcsin (3 2x)

a) Df =? , Rf =? , f (x) = ?

b) rja fel az x0 =7

4pontbeli rintegyenes egyenlett!

c) Indokolja meg, hogy f -nek ltezik az f1 inverze!f1(x) = ? , Df1 =? , Rf1 =?

Megolds.

a) 1 3 2x 1 . . . = Df = [1, 2]3 2x [1, 1] = arcsin (3 2x)

[pi2,pi

2

]= 2 arcsin (3 2x) [pi , pi] = Rf = [2pi , 4pi]

f (x) = 2 11 (3 2x)2 (2) =

41 (3 2x)2 , x (1, 2)

b) y = f(7

4

)+ f

(7

4

) (x 7

4

)=

10

3pi +

83

(x 7

4

)

c) f (x) > 0, ha x (1, 2) s f folytonos [1, 2] -ben, ezrt f szigoran monoton n Df -en, gy a teljes rtelmezsi tartomnyban invertlhat.

y = 3pi 2 arcsin (3 2x) = . . . f1(x) = 12

(3 sin 3pi x

2

)Df1 = Rf = [2pi , 4pi] , Rf1 = Df = [1, 2]

22. Feladat:



f(x) = arccos4

x2 pi

2

a) Df =? , Rf =?

b) Adja meg a 5 pontot tartalmaz azon legbvebb intervallumot, melyen finvertlhat!

f1(x) = ? , Df1 =? , Rf1 =?

Megolds.

a) f pros fggvny.

T.: 4x2 1 = |x| 2

0 2.f (x) < 0 , ha x (,2) s f folytonos I = (,2] -n = f szigoranmonoton cskken I -n, teht invertlhat I -n. (5 I)

y = arccos4

x2 pi

2= . . . f1(x) = 2

cos (x+pi

2)

Df1 = Rf =[pi2, 0), Rf1 = Df = (,2]

23. Feladat:

Derivlja az albbi fggvnyeket!

f(x) =

ch 5x2 , ha x 0

sh 2x 3x , ha x < 0; g(x) = (1 + x4)2x



Megolds.

Rajzoljuk fel az shx , chx fggvnyeket!

f(0 + 0) = f(0) = ch 0 = 1 6= f(0 0) = 0 = f nem folytonos x = 0 -ban= f (0) @

Egybknt f derivlhat fggvnyek sszettele s gy derivlhat:

f (x) =

10x sh 5x2 , ha x > 0

2 ch 2x 3 , ha x < 0g exponencilis hatvnyfggvny, ennek megfelelen derivljuk:g(x) = eln (1+x

4)2x = e2x ln (1+x4)

g(x) = e2x ln (1+x4) (2x ln (1 + x4)) = (1 + x4)2x

(2 ln (1 + x4) + 2x

4x3

1 + x4

)

24. Feladat:

f(x) =

x e

1

(x 2)2 , ha x > 2

ch2 (x 2)3 , ha x 2rja fel f (x) rtkt, ahol az ltezik!

Megolds. . . .

25. Feladat:

f(x) = 2 arctg1

x2 pi

Hol s milyen szakadsa van a fggvnynek?rja fel f (x) rtkt, ahol az ltezik!Adjon meg egy intervallumot, melyen ltezik f1 !f1(x) = ? , Df1 =? , Rf1 =?

Megolds. . . .



4.5. LHospital szablyElmApp

26. Feladat:

a) limx 0

arctg 2x3

arsh 5x3=?

b) limx 0

arcsin 3x2

tg2 x=?

c) limx

x2 e5x =?

d) limx+0

x lnx7 =?

e) limx 1

(x

x 1 1

lnx

)=?

f) limx+0

xtg x =?

g) limx

e8x 2 e3xe5x + e3x

=?

h) limx

sh (3x 2)ch (3x+ 4)

= ?

Megolds.

a) limx 0

arctg 2x3

arsh 5x3LH= lim

x 0

1

1 + (2x3)26x2

11 + (5x3)2

15x2= lim

x 02

5

1

1 + (2x3)2

11 + (5x3)2

=2

5

b) limx 0

arcsin 3x2

tg2 xLH= lim

x 0

11 (3x2)2 6x

2 tg x1

cos2 x

= limx 0

31

1 9x4x

sinxcos3 x = 3

c) limx

x2 e5x = limx

x2

e5xLH= lim

x2x

5 e5xLH= lim

x2

25 e5x= 0

d) limx+0

x lnx7 = lim

x+0lnx7

1x

= limx+0

7 ln x

x1/2LH= lim

x+0

71

x

12x3/2

=

= limx+0

14 x = 0


4.6. FGGVNYVIZSGLAT 69

e) limx 1

(x

x 1 1

lnx

)= lim

x 1x lnx x + 1(x 1) ln x

LH= lim

x 1

lnx + x1

x 1

lnx + (x 1) 1x

= limx 1

lnx

lnx + 1 1x

LH=

1

x1

x+

1

x2

=1

2

f) limx+0

xtg x = limx+0

elnxtg x

= limx+0

etg x lnx = e0 = 1 , mert

limx+0

tg x lnx = limx+0

lnx

ctg xLH= lim

x+0

1

x1sin2 x

= limx+0

sinxx

sinx = 0

g) A LHospital szably alkalmazsa most nem vezetne eredmnyre.

limx

e8x 2 e3xe5x + e3x

= limx

e3x

e3xe11x 2e8x + 1

= 1 0 20 + 1

= 2

h) Itt sem vezet eredmnyre a LHospital szably. Berva a fggvnyek defincijt, azelz pdhoz hasonlan jrhatunk el:

limx

sh (3x 2)ch (3x+ 4)

= limx

e3x2 e(3x2)e3x+4 + e(3x+4)

= limx

e3x

e3xe2 e6x+2e4 + e6x4

=e2

e4

4.6. Intervallumon derivlhat fggvnyek tulajdons-gai, fggvnyvizsglat

ElmAppApp27. Feladat:

f(x) = (x 3)3 (x+ 5)4

a) Adja meg azokat a legbvebb intervallumokat, melyeken a fggvny szigoran mo-noton!

b) Hol van loklis szlsrtke?



Megolds.

f (x) = 3(x3)2 (x+5)4 + (x3)34(x+5)3 = . . . = (x 3)2(x+ 5)2 0

(x+ 5)(7x+ 3) rajzoljuk fel!

x (,5) 5(5,3

7

)37

(37, 3

)3 (3,)

f + 0 0 + 0 +f

Teht f szigoran monoton n: (,5) s(37,)

intervallumokon,

f szigoran monoton cskken:(5,3

7

)-en.

x = 5 -ben loklis maximum van, mert f nvekvbl cskkenbe megy t.x = 3

7-ben loklis minimum van, mert f cskkenbl nvekvbe vltozik.

28. Feladat:

f(x) = ln (x2 + 2x+ 2)

Keresse meg azokat az intervallumokat, melyeken a fggvny- monoton n, illetve monoton cskken;- alulrl konvex, alulrl konkv.

Megolds.

f(x) = ln (x2 + 2x+ 2) = ln ((x+ 1)2 + 1) 1

= Df = R

f (x) =2x+ 2

x2 + 2x+ 2

x (,1) 1 (1,)f 0 +f

Teht f (szigoran) monoton cskken (,1) -en s (szigoran) monoton n (1,) -en.

f (x) =2(x2 + 2x+ 2) (2x+ 2)(2x+ 2)

(x2 + 2x+ 2)2=2x (x+ 2)(x2 + 2x+ 2)2



A nevez 1 , a szmllban lev parabolt pedig rajzoljuk fel!x (,2) 2 (2, 0) 0 (0,)f 0 + 0 f (infl. pont) (infl. pont)

29. Feladat:

f(x) = x e3x

Hol monoton nv, illetve cskken az f fggvny?Hol van loklis szlsrtke?

Megolds.

f (x) = 1 e3x + x e3x (3) = (1 3x) e3x = 0 , ha x = 13.

x

(, 1

3

)1

3

(1

3,)

f + 0 f lok.max.

f

(1

3

)=

1

3e1

30. Feladat:

f(x) = 2x6 15x5 + 20x4Hol konvex, hol konkv a fggvny? Hol van inflexis pontja?

Megolds.

f (x) = 12x5 75x4 + 80x3f (x) = 60x4 300x3 + 240x2 = 60x2

0(x2 5x + 4)

(x1) (x4)

x (, 0) 0 (0, 1) 1 (1, 4) 4 (4,)f + 0 + 0 0 +f infl.p. infl.p.



31. Feladat:

f(x) = x ex2

Keresse meg azokat az intervallumokat, amelyeken az f fggvny konvex, illetve konkv!Hol van inflexija az f fggvnynek?

Megolds.

f (x) = ex2+ x ex

2(2x) = ex2 2x2 ex2

f (x) = ex2(2x) 4x ex2 2x2 ex2 (2x) = ex2 (4x3 6x) = ex2 2x (2x2 3)

brzoljuk vzlatosan a 2x (2x2 3) fggvnyt, mert gy knnyebb az eljelvizsglat!

(Harmadfok polinom, nullahelyek:

3

2, 0 ,

3

2;

+ -ben + -hez tart a fggvny s -ben -hez tart a fggvny.)

Ennek alapjn:

x

(,

3

2

)

3

2

(

3

2, 0

)0

(0,

3

2

) 3

2

(3

2,)

f 0 + 0 0 +f infl.p. infl.p. infl.p.

32. Feladat: Hol konvex, hol konkv az

f(x) = x2 ln (ex)

fggvny? Van-e inflexis pontja?

Megolds. Df = (0,)

f (x) = 2x ln (ex) + x21

exe = 2x ln (ex) + x

f (x) = 2 ln (e x) + 2x1

exe + 1 = 2 ln (e x) + 3 = 0

= ln (ex) = 32

= ex = e3/2 = x = e5/2



x (0 , e5/2) e5/2 (e5/2 , )f 0 +f (infl. pont)

33. Feladat: Vizsglja meg s vzlatosan brzolja az

f(x) =ln (ex)

x

fggvnyt? Konvex-konkv tulajdonsgot, inflexit most ne vizsgljon!

Megolds. Df = (0,)

Nullahely: ex = 1 = x = 1e

limx+0

ln (ex)

x +0

alak

= limx

ln (ex)

x alak

LH= lim

x

1

x1

= 0

f (x) =x1

x ln (ex)x2

=1 ln (ex)

x2= 0 = ln (ex) = 1 = x =

1 , f(1) = 1

x (0 , 1) 1 (1 , )f + 0 f lok. max.

A fggvny grafikonja a 4.1 brn lthat.

34. Feladat:

Vgezzen fggvnyvizsglatot s vzlatosan brzolja a fggvnyt!

a) f(x) = x3 ex



4.1. bra. Az f(x) = ln(ex)x

fggvny grafikonja.

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

0 2 4 6 8 10

ln(ex)/x

b) f(x) =x2 + x 2

x

Megolds.

a) f(x) = x3 exDf = R ; Nullahely: x = 0

limx

x3 ex = limx

x3

exLH= . . . = 0 lim

xx3 ex =

Nem pros, nem pratlan, nem periodikus.

f (x) = 3x2 ex x3 ex = x2 ex (3 x)

x (, 0) 0 (0, 3) 3 (3,)f + 0 + 0 f lok. max.

f(3) = 27 e3 =27

e3

f (x) = 6x ex 3x2 ex 3x2 ex + x3 ex = x ex (x2 6x+ 6) =0 : x=33



x (, 0) 0 (0, 33) 33 (33, 3 +3) 3 +3 (3 +3,)f 0 + 0 0 +f infl.p. infl.p. infl.p.

Rf =

( , 27

e3

]

A fggvny grafikonja a 4.2.a) brn lthat.

4.2. bra. A kt vizsglt fggvny grafikonja.

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-2 0 2 4 6 8 10

a)

x3 e-x

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

b)

(x2+x-2)/xx+1

b) f(x) =x2 + x 2

x= x+ 1 2

x=

(x 1) (x+ 2)x

Df = R \ {0} ; limx+0

(x+ 1 2

x

)= ; lim

x0

(x+ 1 2

x

)= +

limx

(x+ 1 2

x

)=

Nullahelyek: x = 1 , x = 2

f (x) =(x+ 1 2

x

)= 1 +

2

x2> 0

x (, 0) 0 (0,)f + @ +f szak.h.



f (x) = 4x3

x (, 0) 0 (0,)f + @ f szak.h.

A fggvny grafikonja a 4.2.b) brn lthat.

Megjegyzs:

limx

(f(x) (x+ 1)) = limx

(2x

)= 0 = A fggvny, ha x

egyre kzelebb kerl az y = x+ 1 lineris fggvnyhez ( lineris aszimptota).

35. Feladat:

Van-e lineris aszimptotja az albbi fggvnynek + -ben?

a) f(x) = 2x + x sin 1x

b) f(x) =4x2 + 3x

c) f(x) =2x3 + 1

x2 + x 3

4.7. Abszolt szlsrtkElmApp

36. Feladat:

f(x) = x3 +48

x2

a) Vgezzen fggvnyvizsglatot s vzlatosan brzolja a fggvnyt!

b) Beszlhetnk-e a fggvny maximumrl illetve minimumrl az [1, 3] intervallu-mon? Ha igen, akkor mennyi ezek rtke?


4.7. ABSZOLT SZLSRTK 77

Megolds.

a) Df = R \ {0} ; limx 0

x3 +48

x2= +

limx

f(x) = + , limx

f(x) = Nem pros, nem pratlan, nem periodikus.

Nullahely: f(x) =x5 + 48

x2= 0 = f( 548) = 0

f (x) = 3x2 96x3

=3 (x5 32)

x3= 0 = x = 2 , f(2) = 20

x (, 0) 0 (0, 2) 2 (2,)f + @ 0 +f szak.h. lok. min.

f (x) = 6x +3 96x4

= 6 x5 + 48

x4= 0 = x = 548 , (f( 548) = 0)

x (, 548) 548 ( 548, 0) 0 (0,)f 0 + @ +f infl.p. szak.h.

A fggvny grafikonja a 4.3 brn lthat.

b) Mivel f folytonos [1, 3] -ban (zrt!) = min., max. ( Weierstrass II. ttele)Mivel f az intervallumon mindentt derivlhat, a szbajhet pontok:- a loklis szlsrtk: f(2) = 20,

- az intervallum vgpontjai: f(1) = 49 , f(3) = 27 +48

9

= minx[1,2]

{f(x)} = 20 , maxx[1,2]

{f(x)} = 49

37. Feladat:

f(x) = x2 e3x

Van-e minimuma, illetve maximuma az f fggvnynek a [0 , 1] intervallumon? (Indo-koljon!)Ha igen, hatrozza meg!



4.3. bra. A vizsglt fggvny grafikonja.

-60

-40

-20

0

20

40

60

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x3+48x-2

Megolds. . . . f (x) = x e3x (2 3x) . . .

minx[0,1]

{f(x)} = f(0) = 0 , maxx[0,1]

{f(x)} = f(2

3

)=

4

9e2

4.8. Implicit megads fggvnyek derivlsaElm

38. Feladat:

Az y(x) fggvny az x0 = e pont krnyezetben differencilhat s kielgti az

x ln y + y lnx = 1

implicit fggvnykapcsolatot.Hatrozza meg ezen fggvny (e,1) pontjabeli rint egyenesnek egyenlett!

Megolds.


4.8. IMPLICIT MEGADS FGGVNYEK DERIVLSA 79

Ellenrizzk a pontot!

e ln 1 + 1 ln e ?= 1 Igaz.

Teht az y(x) valban tmegy az adott ponton: y(e) = 1 .

x ln y(x) + y(x) ln x = 1

Mindkt oldalt x szerint derivljuk:

1 ln y(x) + x 1y(x)

y(x) + y(x) lnx + y(x) 1x

= 0

Behelyettestve x = e -t (y(e) = 1) , kapjuk y(e) -t:

ln 1 + e y(e) + y(e) ln e + 1e= 0 = y(e) = 1

e (e + 1)

Az rintegyenes egyenlete:

y = y(e) + y(e)(x e) = 1 1

e (e + 1)(x e)

39. Feladat:

A differencilhat y = y(x) tmegy az x0 = 1 , y0 = 1 ponton s x0 egy krnyezet-ben kielgti az albbi implicit egyenletet:

y2 + 2 y5 + e2x2 (x 1)4 = 0

Van-e ennek a fggvnynek loklis szlsrtke az x0 = 1 pontban?Van-e inflexija a fggvnynek ugyanitt?

Megolds.

1 2 + 1 0 ?= 0 Igaz.Az x -tl val fggst mr nem jellm, gy ttekinthetbb:

2y y + 10y4 y + 2e2x2 4(x 1)3 = 0

Behelyettests: x = 1 , y = 1

2y(1) + 10y(1) + 4 0 = 0 = y(1) = 14



Mivel y(1) 6= 0 = nincs loklis szlsrtke x = 1 -ben (nem teljesl a szksgesfelttel).

2y y + 2y y + 40y3 y y + 10 y4 y + 4e2x2 12(x 1)2 = 0

x = 1 , y = 1 , y = 14

:

1

8 2 y(1) 40

16+ 10 y(1) + 4 0 = 0

Elg csak felrni, hogy ebbl y(1) = 1364

(ha igaz).Mivel y(1) 6= 0 = nincs inflexis pontja x = 1 -ben (nem teljesl a szksgesfelttel).

4.9. Paramteres megads grbkElmAppApp 40. Feladat:

Legyenx = t + sin 4t , y = t + sin 2t

a) Indokolja meg, hogy a fenti paramteresen megadott grbnek van y = f(x) ell-ltsa a t0 =

pi

8paramterhez tartoz x0 = x(t0) pont egy krnyezetben!

b) f (x0) = ? , f (x0) = ? Van-e loklis szlsrtke, illetve inflexija az f fggvny-nek az x0 pontban?

c) rja fel a t0 paramter pontban az rint egyenes egyenlett!(Descartes koordintkkal.)

Megolds.

a) x(t) = 1 + 4 cos 4t

x(pi8

)= 1 > 0 s x(t) folytonos =

(pi8 , pi

8+ ), ahol x(t) > 0

= itt x(t) szigoran monoton n= inverze : t = t(x) s gy f(x) = y(t(x)) .


4.9. PARAMTERES MEGADS GRBK 81

b) y(t) = 1 + 2 cos 2t , y(pi8

)= 1 +

2

x0 = x(pi8

)=pi

8+ sin

pi

2= 1 +

pi

8

f (x0) =y(t0)

x(t0): f

(1 +

pi

8

)=

y(pi8

)x(pi8

) = 1 +2 > 0= f loklisan n x0 -ban. (Nincs loklis szlsrtk itt.)

x = 16 sin 4t , x(pi8

)= 16

y = 4 sin 2t , y(pi8

)= 4

2= 22

f (1 +

pi

8

)=

y x y xx3

t0

=22 (1 +2)(16)

1= 16 + 14

2 > 0

Nincs x0 -ban inflexis pont, mert nem teljesl a szksges felttel (f (x0) 6= 0) .

c) y = f(x0) + f (x0) (x x0) = y(t0) + y(t0)x(t0)

(x x(t0)) =

=pi

8+

12+ (1 +

2)(x (1 + pi

8))


5. fejezet

Egyvltozs vals fggvnyekintegrlsa

5.1. Hatrozatlan integrlAppAppAppElm

Szksges fogalmak: primitv fggvny, hatrozatlan integrl.

1. Feladat:

a)

(2x+ 3)5 dx =1

2

2 (2x+ 3)5 dx = 1

2

(2x+ 3)6

6+ C

f f 5

b)

1

(2x+ 3)5dx =

1

2

2 (2x+ 3)5 dx = 1

2

(2x+ 3)4

4 + Cf f5

c)

2

9x+ 1dx =

2

9

9

9x+ 1dx =

2

9ln |9x+ 1| + C

f /f

d)

2

(9x+ 1)2dx =

2

9

9 (9x+ 1)2 dx =

2

9

(9x+ 1)1

1 + Cf f2

82

5.1. HATROZATLAN INTEGRL 83

e)

2

9x2 + 1dx = 2

1

1 + (3x)2dx = 2

arctg 3x

3+ C

f)

2

9x2 + 3dx =

2

3

1

1 + (3x)2

dx =2

3

arctg3x

3+ C

g)

2x

9x2 + 3dx =

1

9

18x

9x2 + 3dx =

1

9ln (9x2 + 3) + C

f /f

h) A kvetkez kt feladatot az elz kett mintjra oldhatjuk meg.2x+ 4

9x2 + 3dx = (Hf.)

7x+ 5

9x2 + 3dx = (Hf.)

i)

2

9x2 + 6x+ 3dx = 2

1

(3x+ 1)2 + 2dx =

2

2

1

1 + (3x+12)2

dx =

=arctg 3x+1

232

+ C

j)

18x+ 8

9x2 + 6x+ 3dx

Felhasznljuk az elz plda eredmnyt:

I =

18x+ 6

9x2 + 6x+ 3dx +

2

9x2 + 6x+ 3dx =

= ln (9x2 + 6x+ 3) +arctg 3x+1

232

+ C

sszefoglalva az elz pldk tanulsgait


84 5. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK INTEGRLSA

x+

ax2 + bx+ cdx tpus integrlok megoldsa

f(x) := ax2 + bx+ c , D := b2 4acD 0 esetn rszlettrtekre bontssal dolgozunk. ( Ezt ksbb vesszk.)D < 0 esetn az albbi talaktssal dolgozunk:

x+

ax2 + bx+ cdx = k1

f (x)f(x)

dx + k2

1

f(x)dx =

= k1 ln |f(x)| + k2

1

f(x)dx

A megmaradt hatrozatlan integrl meghatrozsa:

A nevezben teljes ngyzett kiegszts s esetleges kiemels utn a kvetkez alakotkapjuk:

1

f(x)dx = k3

1

1 + (...)2dx = k3

arctg (...)

(...)+ C

Itt (...) : xnek lineris fggvnye, gy a nevezbe konstans kerlt.

Ezzel a mdszerrel oldja meg az albbi feladatot!

k)

9x+ 2

9x2 + 6x+ 3dx = (Hf.)

Most ttrnk az

x+ ax2 + bx+ c

dx tpus integrlok szmtsra.

Elszr egyszerbb pldkat csinlunk, majd ezt is megbeszljk ltalnosan.

l)

1x2 4x 12 dx =

1

(x 2)2 16 dx =1

4

1

(x24)2 1

dx =


5.1. HATROZATLAN INTEGRL 85

=1

4

arch x24

14

+ C

m)

x 2x2 4x 12 dx =

1

2

(2x 4) (x2 4x 12)1/2 dx =

f f1/2

=1

2

(x2 4x 12)1/212

+ C

n) A kvetkez plda megint az elz kt tpus egyestse, azok eredmnyt felhasznl-juk:

4x 2x2 4x 12 dx = 2

2x 4 + 3x2 4x 12 dx =

= 2

((2x 4) (x2 4x 12)1/2 dx + 3

1

x2 4x 12 dx)

=

= 2

((x2 4x 12)1/2

12

+ 3 14

arch x24

14

)+ C

sszefoglalva az elz pldk tanulsgait:x+ ax2 + bx+ c

dx tpus integrlok megoldsa

f(x) := ax2 + bx+ c

Az albbi talaktssal dolgozunk:

x+ f(x)

dx = k1

f (x) f1/2(x) dx + k2

1f(x)

dx =

= k1f 1/2(x)

1/2+ k2

1f(x)

dx

A megmaradt hatrozatlan integrl kiszmtsa:



A nevezben teljes ngyzett kiegszts s esetleges kiemels utn a kvetkez esetekegyikt kapjuk:

1f(x)

dx = k3

1

1 (...)2 dx = k3arcsin (...)

(...)+ C

Vagy:1f(x)

dx = k3

1

1 + (...)2dx = k3

arsh (...)

(...)+ C

Vagy:1f(x)

dx = k3

1

(...)2 1 dx = k3arch (...)

(...)+ C

Itt (...) : xnek lineris fggvnye.

Ezzel a mdszerrel oldja meg az albbi feladatot!

o) 1.)

4xx2 + 6x+ 11

dx (Hf.)

2.)

3x+ 1

3 x2 2x dx (Hf.)

2. Feladat:

Gyakorl pldk:cos (x) esinx dx =

1

(1 + x2) arctg xdx =

1

x lnx5dx =


5.2. PARCILIS INTEGRLS 87

1

x ln5 xdx =

e4x

(1 + e4x)4dx =

5.2. Parcilis integrlsElm

3. Feladat:

(3x 1) sin (5x+ 3) dx = I

u = 3x 1 , v = sin (5x+ 3)u = 3 , v =

cos (5x+ 3)5

I = (3x 1) cos (5x+ 3)5

+3

5

cos (5x+ 3) dx =

= 15(3x 1) cos (5x+ 3) + 3

5

sin (5x+ 3)

5+ C

x3 ln (2x) dx = I

u = x3 , v = ln (2x)

u =x4

4, v =

1

2x 2 = 1

x

I =x4

4ln (2x) 1

4

x3 dx =

x4

4ln (2x) 1

4

x4

4+ C

arctg 2x dx = I =

1 arctg 2x dx

u = 1 , v = arctg 2x

u = x , v =1

1 + 4x2 2



I = x arctg 2x

2x

1 + 4x2dx = x arctg 2x 1

4

8x

1 + 4x2dx =

= x arctg 2x 14ln (1 + 4x2) + C

ch 2x sin 5x dx = I

u = ch 2x , v = sin 5x

u = 2 sh 2x , v = cos 5x

5

I = 15ch 2x cos 5x +

2

5

sh 2x cos 5x dx

u = ch 2x , v = sin 5x

u =sh 2x

2, v = 5 cos 5x

I =1

2sh 2x sin 5x 5

2

sh 2x cos 5x dx

A kt egyenletbl kikszblve a fellp idegen integrlt kapjuk I -re a vgeredmnyt:

I =4

29

(54ch 2x cos 5x +

1

2sh 2x sin 5x

)+ C


a)

ln (5x) dx =?

b)

(2x+ 3) ln (5x) dx =?

c)

(5x+ 2) sh (4x) dx =?

d)

x2 cos (3x) dx =?


5.3. RACIONLIS TRTFGGVNYEK INTEGRLSA 89

e)

arcsin (2x) dx =?

f)

4x arctg (2x) dx =?

5.3. Racionlis trtfggvnyek integrlsaElm

5. Feladat:

x+ 1

x2 + 3xdx =?

Megolds.

x+ 1

x (x+ 3)=

A

x+

B

x+ 3

x (x+ 3)x+ 1 = A(x+ 3) + Bx

x := 3 : 2 = 3B = B = 23

x := 0 : 1 = 3A = A = 13

I =

(1

3

1

x+

2

3

1

x+ 3

)dx =

1

3ln |x| + 2

3ln |x+ 3| + C

6. Feladat:

2x+ 1

x2 5x+ 6 dx =?

Megolds.



2x+ 1

(x 2) (x 3) dx = (

A

x 2 +B

x 3)

dx =

=

(5 1

x 2 + 71

x 3)

dx = 5 ln |x 2| + 7 ln |x 3| + CUgyanis:

2x+ 1

(x 2) (x 3) =A

x 2 +B

x 3 (x 2) (x 3)

2x+ 1 = A(x 3) + B(x 2)x := 2 : 5 = A = A = 5x := 3 : 7 = B = B = 7

7. Feladat:

1

x3 + 2x2dx =?

Megolds.1

x2 (x+ 2)=

A

x2+B

x+

C

x+ 2

x2 (x+ 2)1 = A(x+ 2) + Bx(x+ 2) + Cx2

Most egytthat sszehasonltssal dolgozunk:1 = (B + C)x2 + (A+ 2B)x + 2A

Innen a kvetkez lineris egyenletrendszer addik:2A = 1A+ 2B = 0B + C = 0

Melynek megoldsa: A =1

2, B = 1

4, C =

1

4

I =

(1

2

1

x2 1

4

1

x+

1

4

1

x+ 2

)dx =

1

2

x1

1 1

4ln |x| + 1

4ln |x+ 2| + C

8. Feladat:

x+ 1

(x 1)2 (x 3) dx =?


5.3. RACIONLIS TRTFGGVNYEK INTEGRLSA 91

Megolds.x+ 1

(x 1)2 (x 3) =A

(x 1)2 +B

x 1 +C

x 3 = . . . =1

(x 1)2 +1x 1 +

1

x 3

I = (x 1)1

1 ln |x 1| + ln |x 3| + C

9. Feladat:

a)

x3

x4 16 dx =? b)x5 15xx4 16 dx =?

Megolds.

a)f

falak:

1

4

4x3

x4 16 dx =1

4ln |x4 16| + C

b) ltrt, t kell alaktani:x5 15xx4 16 = x +

x

x4 16x

x4 16 =A

x 2 +B

x+ 2+Cx+D

x2 + 4= . . . =

1/16

x 2 +1/16

x+ 2+1/8 xx2 + 4 (

x +1

16

1

x 2 +1

16

1

x+ 2 1

8

1

2

2x

x2 + 4

)dx =

=x2

2+

1

16ln |x 2| + 1

16ln |x+ 2| 1

16ln (x2 + 4) + C


a)

x2

x2 9 dx =?



b) )

1

(x 1)2 dx =? )

1

x2 1 dx =?

c) )

x2

x3 1 dx =? )

1

x3 1 dx =?

d)x5 + 2x4 + x3 + 3x2 2x+ 2

x3 + 2x2dx =?

5.4. Hatrozott integrlElmAppAppApp

A feladatok megoldshoz a NewtonLeibniz ttelt hasznljuk.

11. Feladat:

pi0

cos2 x dx =?

Megolds.

I =

pi0

cos2 x 1 + cos 2x

2

dx =1

2

(x +

sin 2x

2

)pi0

=1

2(pi + 0 (0 + 0)) = 1

2pi

cos 2x integrlja a megadott intervallumra 0 -nak addott, ami nem meglep, mivel afggvny pi szerint periodikus s egy teljes periodusra integrltunk.

12. Feladat:


5.4. HATROZOTT INTEGRL 93

pi/20

cos5 x sin2 x dx =?

Megolds.

I =

pi/20

cosx (cos2 x)2 (1sin2 x)2

sin2 x dx =

=

pi/20

(cosx sin2 x 2 cosx sin4 x + cosx sin6 x) dx =

=sin3 x

3 2 sin

5 x

5+

sin7 x

7

pi/20

=1

3 2

5+

1

7

13. Feladat:

20

e|2x1| dx =?

Megolds.

I =

1/20

e12x dx +

21/2

e2x1 dx =

= 12e12x

1/20

+1

2e2x1

21/2

= 12(1 e) + 1

2(e3 1)


a)pi

pi/2

cos3 x dx =?



b)2

1

|x2 3x| dx =?

c)4

0

x2 4x+ 4 dx =?

d)3

0

sign (x2 4) dx =?

e)1

0

(x+ 5) e3x dx =?

5.5. TerletszmtsElmApp Az f(x) s g(x) "kz" es terlet, ha x [a, b] :

T =

ba

|f(x) g(x)| dx

15. Feladat:

Szmtsa ki az f(x) = x2 + 2x s az g(x) = 4 x2 grbjekztti terletet!

Megolds.

Rajzoljuk fel az f(x) = x(x+ 2) , g(x) = (2 x)(2 + x) grbket.Az 5.1 brbl lthat, hogy :


5.5. TERLETSZMTS 95

5.1. bra. Az f s g fggvny kzti terlet.

f(x)g(x)

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 0 1 2

T =

12

(4 x2 (x2 + 2x)) dx = 1

2

(2x2 2x + 4) dx = 23x3 x2 + 4x

12

=

. . . = 9

16. Feladat:

Mekkora az y = lnx grbje, valamint az y = 0 , x =1

e, x = e egyenesek

kz es skrsz terlete!

Megolds.

Tekintsk az 5.2 brt!

T = 1

1/e

lnx dx +

e1

lnx dx = . . .

Parcilisan kell integrlni...

17. Feladat:



5.2. bra. A vizsglt terlet. Integrlskor az x tengely al es terletet negatv eljellelkapjuk meg.

1/ee

ln(x)

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

+-

Mekkora az f(x) = x2 4x+ 3 grbje, valamint az y = 0 , x = 0 , x = 5egyenesek kz es skrsz terlete!

Megolds. . . .

5.6. IntegrlfggvnyElmApp

18. Feladat:

f(x) = sg(x2 5x+ 4)

a) brzolja a fggvnyt!

b) rja fel az

F (x) =

x0

f(t) dt

n. integrlfggvnyt, ha x [0, 3] !


5.6. INTEGRLFGGVNY 97

Megolds.

a) Az f(x) = sg ((x 1)(x 4)) fggvny grafikonja az 5.3.a) brn lthat.

5.3. bra. Az f s az F fggvny grafikonja.

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1 0 1 2 3 4 5

a)

f(x)x2-5x+4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1 0 1 2 3 4 5

b)

F(x)

b) Az integrlfggvny meghatrozshoz az integrlsi tartomnyt kt rszre bontjuk:

x [0 , 1] : F (x) =x

0

1 dt = x

x (1 , 3] : F (x) =1

0

1 dt +

x1

1 dt = 1 t|x1 = 2 x

Teht:

F (x) =

x , ha 0 x 12 x , ha 1 < x 3

Az F (x) integrlfggvny az 5.3.b) brn lthat.

19. Feladat:



f(t) =

{2t , ha t [0, 1]2 , ha t > 1

Hatrozza meg az

F (x) =

x0

f(t) dt (x > 0)

integrlt! Hol derivlhat az F fggvny s mi a derivltja?

Megolds.

Az f fggvny grafikonja az 5.4.a) brn lthat.

5.4. bra. Az f s az F fggvny grafikonja.

-1

0

1

2

3

4

5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

a)

f(x)

-1

0

1

2

3

4

5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

b)

F(x)x22x-1

x [0 , 1] : F (x) =x

0

2t dt = t2x0= x2

x > 1 : F (x) =

10

2t dt +

x1

2 dt = 1 + 2t|x1 = 1 + (2x 2)


5.6. INTEGRLFGGVNY 99

Teht:

F (x) =

x2 , ha 0 x 1

2x 1 , ha 1 < xAz F intgrlfggvny grafikonjt az 5.4.b) bra mutatja.

Az integrandusz ( f ) folytonossga miatt F derivlhat ( integrlszmts II. alaptte-le) s

F (x) = f(x) =

{2x , ha x [0, 1]2 , ha x > 1

20. Feladat:

G(x) =

4x0

1 + t8 dt , (x > 0) ; G (x) = ?

Megolds.

1. megolds: megfelel helyettestssel integrlfggvnyt kapunk.t := 4u = dt = 4 dut = 0 : u = 0 ; t = 4x : u = x

Elvgezve a helyettestst:

G(x) =

x0

1 + (4u)8 4 dt

Az integrandusz folytonossga miatt G derivlhat ( integrlszmts II. alapttele) s

G(x) =1 + (4x)8 4

2. megolds:

F (x) :=

x0

1 + t8 dt = F (x) =

1 + x8 (az integrandusz folytonos)

Mivel G(x) = F (4x) , felhasznlhatjuk az sszetett fggvny derivlsi szablyt:

G(x) = F (4x) 4 = 1 + (4x)8 4



21. Feladat:

F (x) =

x0

11 + t4

dt , G(x) =

x30

11 + t4

dt , H(x) =

x3x

11 + t4

dt , (x 6= 0)

Hatrozza meg a derivltfggvnyeket!

Megolds.

f(t) =1

1 + t4folytonossga miatt az F integrlfggvny derivlhat

( integrlszmts II. alapttele) s

F (x) =1

1 + x4

G(x) = F (x3) derivlhat fggvnyek sszettele

= G(x) = F (x3) 3x2 = 11 + x12

3x2

H(x) = F (x3)F (x) = H (x) = F (x3)3x2F (x) = 11 + x12

3x2 11 + x4

22. Feladat:

limx 0

x0

ln (1 + t) dt

x2=?

5.7. Integrls helyettestsselElmApp 23. Feladat:

x2 4 dx =? x

2= ch t helyettestssel dolgozzon!


5.7. INTEGRLS HELYETTESTSSEL 101

Megolds.

X := 2

(x2

)2 1 dx :

Helyettestssel:x

2= ch t = x = 2 ch t = dx = 2 sh t dt

(t = arch

x

2

)2

2

ch t 12 sh t dt = 4

2

sh t dt = 4

ch 2t 1

2dt = 2

(ch 2t 1) dt =

= 2

(sh 2t

2 t)

+ C = 2(sh t ch t t) + C = 2(ch2 t 1 ch t t) + C

X = 2

((x2

)2 1 x

2 arch x

2

)+ C = x

(x2

)2 1 2 arch x

2+ C

24. Feladat:

a)

e2x

e2x + 1dx =? b)

e6x

e2x + 1dx =?

Szksg esetn alkalmazza az ex = t helyettestst!

Megolds.

a) Itt nem kell helyettests. f /f alak :1

2

2 e2x

e2x + 1dx =

1

2ln(e2x + 1

)+ C

b) Helyettestssel:

ex = t = dx = 1tdt

X :

t6

t2 + 1

1

tdt =

t5

t2 + 1dt =

(t3 t+ t

t2 + 1

)dt =

=t4

4 t

2

2+

1

2ln (t2 + 1) + C

X =e4x

4 e

2x

2+

1

2ln (e2x + 1) + C



25. Feladat:

9x

2 3x+ 1 dx =? t =2 3x helyettestssel dolgozzon!

Megolds.

x =2

3 1

3t2 = dx = 2

3t dt

X :

3 (2 t2)t+ 1

(23t

)dt = 2

t3 2tt+ 1

dt = 2

(t2 t 1 + 1

t+ 1

)dt =

= 2

(t3

3 t

2

2 t+ ln |t+ 1|

)+ C

X = 2

(1

3

(2 3x)3 1

2(2 3x) 2 3x + ln (2 3x+ 1)

)+ C

26. Feladat:

3x2 + 1

3x2 + x

dx =? t = 3x helyettestssel dolgozzon!

Megolds.

t = 3x = x = t3 = dx = 3t2 dt

X :

t2 + 1

t2 + t33t2 dt = 3

t2 + 1

t+ 1dt = 3

(t 1 + 2

t+ 1

)dt =

= 3

(t2

2 t+ 2 ln |t+ 1|

)+ C

X = 3

(1

23x2 3x+ 2 ln | 3x+ 1|

)+ C

27. Feladat:


5.8. IMPROPRIUS INTEGRL 103

a)

1

3(5x 1)2 dx =? b)

2x

3(5x 1)2 dx =?

Szksg esetn alkalmazza a t =5x 1 helyettestst!

Megolds. . . .


a)

e2x + 5ex

e2x + 4ex + 3dx =? ex = t

b) 20

ex 1ex + 1

dx =? ex = t

c) 11

x5 4x dx =? t =

5 4x

5.8. Improprius integrlElmApp

29. Feladat:

1

4

x2 + 2x+ 5dx =?

Megolds.



1

4

x2 + 2x+ 5dx = lim

1

4

4 + (x+ 1)2dx =

4

4lim

1

1

1 +

(x+ 1

2

)2 dx =

= lim

arctgx+ 1

21

2

1

= 2 lim

(arctg

+ 1

2 arctg 0

)= 2 pi

2= pi

30. Feladat:

4

1

x2 + 2x 3 dx =?

Megolds.

4

1

x2 + 2x 3 dx = lim4

1

x2 + 2x 3 dx = . . . =

= lim

1

4

4

(1

x 1 1

x+ 3

)dx = lim

1

4(ln |x 1| ln |x+ 3|)

4

=

=1

4lim

(ln 5 ln 1 (ln | 1| ln | + 3|)) =

=1

4lim

(ln 5 + ln

+ 3 1) = 14 (ln 5 + ln 1) = 14 ln 5

31. Feladat:

arctg2 2x

1 + 4 x2dx =?

Megolds.


5.8. IMPROPRIUS INTEGRL 105

arctg2 2x

1 + 4 x2dx = lim

1 , 2

21

arctg2 2x

1 + 4 x2dx =

=1

2lim

1 , 2

21

21

1 + 4 x22

arctg 2x f f2 alak

dx =

=1

2lim

1 , 2arctg3 2x

3

21

=1

6lim

1 , 2(

3arctg 22

3arctg 21) =

=1

6

((pi2

)3(pi2

)3)=

pi3

24

32. Feladat:

02

64 + 2x

dx =?

Megolds.0

2

64 + 2x

dx = lim 0+0

6 12

02+

2 (4 + 2x)1/2 f f1/2 alak

dx =

= 3 lim 0+0

(4 + 2x)1/2

1

2

0

2+

= 6 lim 0+0

(2 2 ) = 12

33. Feladat:

1/e0

ln2 x

xdx =?



Megolds.

lim 0+0

1/e

1

xln2 x

f f2 alak

dx = lim 0+0

ln3 x

3

1/e

=1

3lim

0+0

(ln3(1

e

) ln3

)=

Az improprius integrl divergens.

34. Feladat:

20

14x x2 dx =?

Megolds.

20

14x x2 dx = lim 0+0

1

2

2

11

(x 22

)2 dx = 12 lim 0+0 arcsinx 22

1

2

2

=

= lim 0+0

(arcsin 0 arcsin 2

2

)= arcsin (1) = pi

2


a)1

x

9 + 4x2dx =?

b)

5

4 + 7x2dx =?

c)0

25

x3 5x2 dx =?


5.9. INTEGRLKRITRIUM 107

d)0

4x e2x2

dx =?

e)0

(2x+ 3) e3x dx =?

f)128

x+ 1x 8 dx =? t =

x 8

g)0

ex dx =?

x = t

5.9. IntegrlkritriumElmApp

36. Feladat:

Vizsglja meg konvergencia szempontjbl az albbi sorokat!

a)n=2

2

3n lnn3b)n=2

2

3n (lnn+ 7)3

Konvergencia esetn adjon becslst az s s100 kzelts hibjra!

a) f(x) :=2

3x lnx3=

2

9

1

x lnx, x 2

f pozitv rtk monoton cskken fggvny a [2,) intervallumons f(n) = an > 0 = alkalmazhat az integrlkritrium.2

2

9

1

x lnxdx =

2

9lim

2

1

xlnx

f /f alak

dx =2

9lim

ln lnx|2 =



=2

9lim

(ln ln ln ln 2) =

Az improprius integrl divergens int. kr.= an=2

2

3n lnn3sor is divergens.

b) f(x) :=2

3x (lnx+ 7)3=

2

3

1

x (ln x+ 7)3, x 2

f pozitv rtk monoton cskken fggvny a [2,) intervallumonf(n) = an > 0 = most is alkalmazhat az integrlkritrium.

2

2

3

1

x (ln x+ 7)3dx =

2

3lim

2

1

x(lnx+ 7)3 f f3 alak

dx =

2

3lim

(lnx+ 7)2

22

= 13

lim

(1

(ln + 7)2 1

(ln 2 + 7)2

)=

1

3 (ln 2 + 7)2

Az improprius integrl konvergens int. kr.= an=2

2

3n (lnn+ 7)3sor is konvergens.

Hibaszmts az s s1000 kzeltsre:

0 < H = s s1000

1000

2

3

1

x(lnx+ 7)3 dx =

2

3lim

(lnx+ 7)2

21000

=

= 13

lim

(1

(ln + 7)2 1

(ln 1000 + 7)2

)=

1

3 (ln 1000 + 7)2


TartalomjegyzkSorozatokSpecilis (vgtelenhez tart) sorozatokNagysgrendek sszehasonltsa Sorozatok hatrrtkeKt nevezetes hatrrtk Rekurzve megadott sorozatok,,Exponencilis'' hatrrtkkel kapcsolatos feladatokLimesz szuperior, limesz inferiorEgy alkalmazs: a kr terlete

SorokNumerikus sorokAlternl sorok, Leibniz sorokMajorns kritrium, minorns kritriumAbszolt konvergencia, feltteles konvergenciaHibaszmts pozitv tag sorokra

Egyvltozs vals fggvnyek hatrrtke, folytonossgaFggvny hatrrtkeSzakadsok tpusaisin(x)/x hatrrtkkel kapcsolatos pldk

Egyvltozs vals fggvnyek derivlsaDifferencils a defincivalA derivlsi szablyok gyakorlsaA derivlsi szablyok + definci gyakorlsaElemi fggvnyekL'Hospital szablyFggvnyvizsglatAbszolt szlsrtkImplicit megads fggvnyek derivlsaParamteres megads grbk

Egyvltozs vals fggvnyek integrlsaHatrozatlan integrlParcilis integrlsRacionlis trtfggvnyek integrlsaHatrozott integrlTerletszmtsIntegrlfggvnyIntegrls helyettestsselImproprius integrlIntegrlkritrium

Documents

Matematika Analízis 1 (példatár)