Modul ke:

Fakultas

Program Studi

Ekonomi Bisnis

Manajemen

Muhammad Kahfi, MSM

MATEMATIKA BISNIS

Himpunan

http://www.mercubuana.ac.id

Konsep

• Konsep Himpunan merupakan suatu konsep yang paling mendasar bagi Ilmu Matematika Modern dan Ilmu Ekonomi dan Bisnis

• Hal ini dikarenakan Setiap pembentukan model atau kasus, diperlukan Sehimpunan atau Sekelompok data observasi dari Lapangan atau penelitian

Definisi

• Himpunan adalah suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah obyek dan didefinisikan dgn jelas.

• Obyek-obyek yang mengisi atau membentuk sebuah himpunan disebut anggota, atau elemen, atau unsur.

• Simbol himpunan : A, B, C, P, Q, R, X, Y atau Z (dengan huruf kapital)

• Simbol anggota suatu himpunan : a, b, c, p, q, r, x, y atau z.

Definisi

• Penyajian sebuah himpunan dapat dituliskan dengan dua macam cara yaitu :

1. Cara daftar2. Cara kaidah

Cara Daftar

• Cara daftar ialah dengan mencantumkan seluruh obyek yang menjadi anggota suatu himpunan.Contoh :HIMPUNAN A YANG BERISI EMPAT BILANGAN ASLI PERTAMA DAPAT DITULIS SEBAGAI A = {1, 2, 3, 4}

Cara Kaidah

• Cara kaidah ialah dengan menyebutkan karakteristik tertentu dari obyek-obyek yang menjadi anggota himpunan tersebut

• Dengan cara penyajian ini, himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi oleh anggotanya.Notasi : {x | syarat yang harus dipenuhi oleh x}

Cara Kaidah

Aturan dalam penulisan syarat keanggotaan :• Bagian di kiri tanda ‘ | ‘ melambangkan

elemen himpunan• Tanda ‘ | ‘ dibaca dimana atau sedemikian

sehingga• Bagian di kanan tanda ‘|’ menunjukkan syarat

keanggotaan himpunan• Setiap tanda ‘ , ‘ di dalam syarat keanggotaan

dibaca sebagai dan.

ContohI. A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5,

dinyatakan sebagai A = {x | x adalah himpunan bilangan bulat positif lebih kecil

dari 5 }atau dalam notasi yang lebih ringkas :A = {x | x ∈ P, x < 5} yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}

II. B adalah himpunan bilangan genap positif yang lebih kecil atau sama dengan 8, dinyatakan sebgai B = {x | x adalah himpunan bilangan genap positif lebih kecil

atau sama dengan 8}atau dalam notasi yang lebih ringkas :B = { x | x/2 ∈ P, 2 ≤ x ≤8} yang ekuivalen dengan B = {2, 4, 6, 8}

Jenis-jenis Himpunan

HimpunanSemesta

HimpunanKosong

HimpunanBagian

HimpunanSama

HimpunanSalingLepas

Jenis-jenis Himpunan• Himpunan Semesta

Himpunan semesta adalah himpunan yang anggotanya semua objek pembicaraan.Simbol himpunan semesta : S atau U.

• Himpunan KosongHimpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).Notasi : ∅ atau { }Contoh :– E = {x | x < x}, maka n(E) = 0– P = {orang Indonesia yang pernah ke bulan}, maka n(P) = 0

Jenis-jenis Himpunan• Himpunan Bagian (Subset)

Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A

Notasi : A ⊆ BContoh :{1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3, 4, 5}

• Himpunan yang SamaHimpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap B merupakan elemen A. Dengan kata lain, A sama dengan B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka dikatakan A tidak sama dengan B.Jika A = {0, 1} dan B = {x | x(x-1) = 0}, maka A = BJika A = {3, 5, 8, 5} dan B = {5, 3, 8}, maka A = BJika A = {3, 5, 8, 5} dan B = {3, 8}, maka A ≠ B

Jenis-jenis Himpunan• Himpunan yang saling lepas

Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.Notasi : A // BContoh :

Jika A = {x | x ∈ P, x < 8} dan B = {10, 20, 30,…}, maka A // B

Operasi Himpunan

1. Gabungan (Union)A U B = {x| x Є A atau x Є B}

2. Irisan (Intersection)A ∩ B = {x| x Є A dan x Є B}

3. SelisihA - B = A|B {x| x Є A tetapi x Є B}

4. Pelengkap (Complement)Ā atau Ac= {x| x Є U tetapi x Є A} = U – A

Kaidah-kaidah Matematika – Himpunan

Kaidah Idempotena. A U A = A b. A ∩ A = A

Kaidah Asosiatifa. ( A U B ) U C = A U ( B U C ) b. ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )

Kaidah Komutatifa. A U B = B U A b. A ∩ B = B ∩ A

Kaidah Distributifa. A U ( B ∩ C ) = ( A U B ) ∩ ( A U C ) b. A ∩ ( B U C ) = ( A ∩ B ) U ( A ∩ C )

Kaidah-kaidah Matematika – Himpunan

Kaidah Identitasa. A U Ø = A b. A ∩ Ø = Ø

c. A U U = U d. A ∩ U = A

Kaidah Kelengkapana. A U Ā = U b. A ∩ Ā= Ø

c. ( Ā ) = A d. U = Ø Ø = U

Kaidah De Morgan

a. (A U B)= Ā ∩ B b. (A ∩ B) = Ā U B

Terima KasihMuhammad Kahfi, MSM