Upload
others
View
18
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
Matematika IDerivacija II
Katedra za matematiku, FSB
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 1 / 44
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja:Nauciti kako deriviramo slozenu funkciju
Nauciti sto su vezane brzineNauciti kako derivirati implicitno zadanu funkcijuSto su parametarske krivulje i funkcije i kako ih deriviramo
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 2 / 44
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja:Nauciti kako deriviramo slozenu funkcijuNauciti sto su vezane brzine
Nauciti kako derivirati implicitno zadanu funkcijuSto su parametarske krivulje i funkcije i kako ih deriviramo
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 2 / 44
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja:Nauciti kako deriviramo slozenu funkcijuNauciti sto su vezane brzineNauciti kako derivirati implicitno zadanu funkciju
Sto su parametarske krivulje i funkcije i kako ih deriviramo
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 2 / 44
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja:Nauciti kako deriviramo slozenu funkcijuNauciti sto su vezane brzineNauciti kako derivirati implicitno zadanu funkcijuSto su parametarske krivulje i funkcije i kako ih deriviramo
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 2 / 44
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja:Nauciti kako deriviramo slozenu funkcijuNauciti sto su vezane brzineNauciti kako derivirati implicitno zadanu funkcijuSto su parametarske krivulje i funkcije i kako ih deriviramo
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 2 / 44
Sadrzaj
Sadrzaj:
1 Lancano deriviranje i vezane brzineLancano deriviranjeVisestruko lancano deriviranjeVezane brzine
2 Implicitno deriviranje
3 Parametrasko deriviranjeParametarske krivulje i funkcijeDeriviranje parametarski zadanih krivulja
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 3 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Lancano deriviranje
LANCANO DERIVIRANJE I VEZANE BRZINE
Ako je y = y(u(x)
)onda je
dydx
=dydu· du
dx
LANCANO DERIVIRANJE
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 4 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Primjer
PRIMJER 1.
y =
√1+√
x,dydx
= ?
Rjesenje:
y =√
u, u = 1+√
x =⇒
dydx
=dydu· du
dx
=1
2√
u· 1
2√
x=
1
4√
1+√
x√
x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 5 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Primjer
PRIMJER 1.
y =
√1+√
x,dydx
= ?
Rjesenje:
y =√
u, u = 1+√
x =⇒
dydx
=dydu· du
dx
=1
2√
u· 1
2√
x=
1
4√
1+√
x√
x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 5 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Visestruko lancano deriviranje
Ako je z = z(y(u(v)
))onda je
dzdv
=dzdy· dy
du· du
dv
VISESTRUKO LANCANO DERIVIRANJE
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 6 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Primjeri
PRIMJER 2.
y = sin(√
x+ex),
dydx
= ?
Rjesenje:
y = sin(u), u =√
v , v = x +ex =⇒
dydx
=dydu· du
dv· dv
dx
= cos(u) · 12√
v· (1+ex)
= cos(√
x +ex)· 1
2√
x +ex· (1+ex)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 7 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Primjeri
PRIMJER 2.
y = sin(√
x+ex),
dydx
= ?
Rjesenje:
y = sin(u), u =√
v , v = x +ex =⇒
dydx
=dydu· du
dv· dv
dx
= cos(u) · 12√
v· (1+ex)
= cos(√
x +ex)· 1
2√
x +ex· (1+ex)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 7 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Primjeri
PRIMJER 3.
y = un, u = u(x);dydx
= ?
Rjesenje:dydx
=dydu
dudx
dydx
= n un−1 dudx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 8 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Primjeri
PRIMJER 3.
y = un, u = u(x);dydx
= ?
Rjesenje:dydx
=dydu
dudx
dydx
= n un−1 dudx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 8 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Primjeri
PRIMJER 4.
y =
[(x3−x2
)15+x]27
,dydx
= ?
Rjesenje:
y = u27, u =(
x3−x2)15
+x =⇒
dydx
=dydu· du
dx= 27u26 ·
[15(x3−x2)14 (3x2−2x
)+1]
= 27[(
x3−x2)15
+x]26
·[15(x3−x2)14 (3x2−2x
)+1]
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 9 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Primjeri
PRIMJER 4.
y =
[(x3−x2
)15+x]27
,dydx
= ?
Rjesenje:
y = u27, u =(
x3−x2)15
+x =⇒
dydx
=dydu· du
dx= 27u26 ·
[15(x3−x2)14 (3x2−2x
)+1]
= 27[(
x3−x2)15
+x]26
·[15(x3−x2)14 (3x2−2x
)+1]
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 9 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Zadaci
ZADATAK 1.Naci derivacije sljedecih funkcija
z1) y = sin(2x−3)
z2) y = ex2−x
z3) y = sin√
x
z4) y =√
sinx
z5) y = 1tgx + tg 1
x
z6) y = ln(x +2x3)
z7) y =3√
x lnx
z8) y = 2sinx
z9) y = sin(cosx)
z10) y =√
1−x1+x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 10 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Zadaci
ZADATAK 1.Naci derivacije sljedecih funkcija
z1) y = sin(2x−3)
z2) y = ex2−x
z3) y = sin√
x
z4) y =√
sinx
z5) y = 1tgx + tg 1
x
z6) y = ln(x +2x3)
z7) y =3√
x lnx
z8) y = 2sinx
z9) y = sin(cosx)
z10) y =√
1−x1+x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 10 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Zadaci
ZADATAK 1.Naci derivacije sljedecih funkcija
z1) y = sin(2x−3)
z2) y = ex2−x
z3) y = sin√
x
z4) y =√
sinx
z5) y = 1tgx + tg 1
x
z6) y = ln(x +2x3)
z7) y =3√
x lnx
z8) y = 2sinx
z9) y = sin(cosx)
z10) y =√
1−x1+x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 10 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Zadaci
ZADATAK 1.Naci derivacije sljedecih funkcija
z1) y = sin(2x−3)
z2) y = ex2−x
z3) y = sin√
x
z4) y =√
sinx
z5) y = 1tgx + tg 1
x
z6) y = ln(x +2x3)
z7) y =3√
x lnx
z8) y = 2sinx
z9) y = sin(cosx)
z10) y =√
1−x1+x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 10 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Zadaci
ZADATAK 1.Naci derivacije sljedecih funkcija
z1) y = sin(2x−3)
z2) y = ex2−x
z3) y = sin√
x
z4) y =√
sinx
z5) y = 1tgx + tg 1
x
z6) y = ln(x +2x3)
z7) y =3√
x lnx
z8) y = 2sinx
z9) y = sin(cosx)
z10) y =√
1−x1+x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 10 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Zadaci
ZADATAK 1.Naci derivacije sljedecih funkcija
z1) y = sin(2x−3)
z2) y = ex2−x
z3) y = sin√
x
z4) y =√
sinx
z5) y = 1tgx + tg 1
x
z6) y = ln(x +2x3)
z7) y =3√
x lnx
z8) y = 2sinx
z9) y = sin(cosx)
z10) y =√
1−x1+x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 10 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Zadaci
ZADATAK 1.Naci derivacije sljedecih funkcija
z1) y = sin(2x−3)
z2) y = ex2−x
z3) y = sin√
x
z4) y =√
sinx
z5) y = 1tgx + tg 1
x
z6) y = ln(x +2x3)
z7) y =3√
x lnx
z8) y = 2sinx
z9) y = sin(cosx)
z10) y =√
1−x1+x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 10 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Zadaci
ZADATAK 1.Naci derivacije sljedecih funkcija
z1) y = sin(2x−3)
z2) y = ex2−x
z3) y = sin√
x
z4) y =√
sinx
z5) y = 1tgx + tg 1
x
z6) y = ln(x +2x3)
z7) y =3√
x lnx
z8) y = 2sinx
z9) y = sin(cosx)
z10) y =√
1−x1+x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 10 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Zadaci
ZADATAK 1.Naci derivacije sljedecih funkcija
z1) y = sin(2x−3)
z2) y = ex2−x
z3) y = sin√
x
z4) y =√
sinx
z5) y = 1tgx + tg 1
x
z6) y = ln(x +2x3)
z7) y =3√
x lnx
z8) y = 2sinx
z9) y = sin(cosx)
z10) y =√
1−x1+x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 10 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Zadaci
Rjesenja:
z1){
y = sinuu = 2x−3
}=⇒ dy
dx = dydu ·
dudx = cosu ·2 = 2 cos(2x−3)
z2){
y = eu
u = x2−x
}=⇒ dy
dx = eu · (2x−1) = ex2−x (2x−1)
z3) y ′ =dydx
= cosu · 12√
x=
cos√
x2√
x
z4) y ′ =1
2√
sinx·cosx
z5) y ′ =−1
tg2 x· 1cos2 x
+1
cos2( 1
x
) ·(− 1x2
)=− 1
sin2 x− 1
x2 cos2( 1
x
)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 11 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Zadaci
z6) y ′ =1
x +2x3 ·(
1+6x2)=
1+6x2
x +2x3
z7) y ′ =13(x lnx)−
23 ·(
lnx +x · 1x︸︷︷︸
=1
)=
lnx +1
3 (x lnx)2/3
z8) y ′ = 2sinx · ln2 · cosx
z9) y ′ = cos(cosx) · (−sinx) =−sinx · cos(cosx)
z10) y ′ =1
2√
1−x1+x
·
=−2︷ ︸︸ ︷−1 · (1+x)− (1−x) ·1
(1+x)2 =− 1√1−x1+x (1+x)2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 12 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Vezane brzine
PRIMJENA LANCANOG DERIVIRANJA:
VEZANE BRZINE
Ako je veza izmedu x = x(t) i y = y(t) zadana jednadzbom
F(x,y)= 0,
onda vezu brzina dx/dt i dy/dt nalazimo ”lancanim deriviranjem tejednadzbe”:
F(x,y)= 0
∣∣∣∣ ddt
(=⇒ ∂F
∂x· dx
dt+
∂F∂y· dy
dt= 0)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 13 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Primjeri
PRIMJER 5.
Ako je x3 +3xy+y3 = 3 nadimo vezu brzina dx/dt i dy/dt.
Rjesenje:
dd t
(x3 +3xy +y3
)=
dd t(3)
�3x2 dxd t
+�3dxd t
y +�3xdyd t
+�3y2 dyd t
= 0(x2 +y
) dxd t
=−(x +y2) dy
d tVEZA BRZINA
⇓
dyd t
=−x2 +yx +y2
dxd t
&dxd t
=−x +y2
x2 +ydyd t
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 14 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Primjeri
PRIMJER 5.
Ako je x3 +3xy+y3 = 3 nadimo vezu brzina dx/dt i dy/dt.
Rjesenje:
dd t
(x3 +3xy +y3
)=
dd t(3)
�3x2 dxd t
+�3dxd t
y +�3xdyd t
+�3y2 dyd t
= 0(x2 +y
) dxd t
=−(x +y2) dy
d tVEZA BRZINA
⇓
dyd t
=−x2 +yx +y2
dxd t
&dxd t
=−x +y2
x2 +ydyd t
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 14 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Primjeri
PRIMJER 6.
Ulicna rasvjeta smjestena je na visini od 6m. Covjek visok 2mudaljava se od rasvjete brzinom od 2m/s.a) Kojom se brzinom izduzuje covjekova sjena?b) Kojom se brzinom vrh sjene udaljava od rasvjete?
Rjesenje:
OZNAKE: x- udaljenost c. od lampes- duljina sjene
ZADANO:dxd t
= 2
TRAZI SE: a)dsd t
=?
b) vrh sjene udaljen je y = x +s od lampe,
pa se trazidyd t
=?
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 15 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Primjeri
PRIMJER 6.
Ulicna rasvjeta smjestena je na visini od 6m. Covjek visok 2mudaljava se od rasvjete brzinom od 2m/s.a) Kojom se brzinom izduzuje covjekova sjena?b) Kojom se brzinom vrh sjene udaljava od rasvjete?
Rjesenje:
OZNAKE: x- udaljenost c. od lampes- duljina sjene
ZADANO:dxd t
= 2
TRAZI SE: a)dsd t
=?
b) vrh sjene udaljen je y = x +s od lampe,
pa se trazidyd t
=?
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 15 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Primjeri
a) VEZA VELICINA x i s (slicni trokuti!):
6x +s
=2s
=⇒ 6s = 2x +2s =⇒ x = 2s::::::
”LANCANO DERIVIRANJE” TE VEZE:
x = 2s∣∣∣∣ dd t
dxd t
= 2dsd t
=⇒ dsd t
=12
dxd t
DAKLE:dsd t
=12·2 = 1m/s
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 16 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Primjeri
b) VEZA VELICINA x i y (slicni trokuti!):
6y=
2y −x
=⇒ 6y −6x = 2y =⇒ y =32
x::::::
”LANCANO DERIVIRANJE” TE VEZE:
y =32
x∣∣∣∣ dd t
dyd t
=32
dxd t
DAKLE:dyd t
=32·2 = 3m/s
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 17 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Zadaci
ZADATAK 2.Kineticka energija tijela mase m, koje se giba brzinom v , iznosi:
K =12
mv2
Tijelo koje pada uslijed djelovanja sile teze ima konstantnu akceleracijuod 981cm/s2. Pretpostavimo da tijelo mase m = 100g uslijeddjelovanja sile teze pada na zemlju. Kojom brzinom raste kinetickaenergija tog tijela u trenutku kad ono dostigne brzinu v = 300cm/s?
ZADATAK 3.Meteoroloski balon (u obliku kugle) napuhuje se brzinom od 1 litreplina u sekundi. Kojom se brzinom mijenja radijus balona u trenutkukad je balon dostigao radijus r = 3dm?
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 18 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Zadaci
ZADATAK 2.Kineticka energija tijela mase m, koje se giba brzinom v , iznosi:
K =12
mv2
Tijelo koje pada uslijed djelovanja sile teze ima konstantnu akceleracijuod 981cm/s2. Pretpostavimo da tijelo mase m = 100g uslijeddjelovanja sile teze pada na zemlju. Kojom brzinom raste kinetickaenergija tog tijela u trenutku kad ono dostigne brzinu v = 300cm/s?
ZADATAK 3.Meteoroloski balon (u obliku kugle) napuhuje se brzinom od 1 litreplina u sekundi. Kojom se brzinom mijenja radijus balona u trenutkukad je balon dostigao radijus r = 3dm?
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 18 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Zadaci
Rjesenje 2:
OZNAKE: a - akceleracija slobodnog padam - masaK - kineticka energijav - brzina gibanja
ZADANO: a = 981 [cm/s2]
m = 100 [g]
TRAZI SE:dKd t
=? za v = 300
VEZA: K =12
mv2∣∣∣∣ dd t
”LANCANO DERIVIRANJE”:dKd t:::
=1�2
m ·�2v · dvd t
= mvdvd t:::::::
dvd t
= a = 981
=⇒ dKd t
∣∣∣∣v=300
= 100 ·300 ·981 = 2943 ·104 [g cm2/s2]
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 19 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Zadaci
Rjesenje 3:
OZNAKE: V - volumen balona [l = dm3]r - radijus balona [dm]t - vrijeme [s]
ZADANO:dVd t
= 1 [l/s = dm3/s]
TRAZI SE:d rd t
=? za r = 3 [dm]
VEZA: V =43
r3π
∣∣∣∣ dd t
”LANCANO DERIVIRANJE”:dVd t
=4�3·�3 r2 d r
d tπ = 4π r2 d r
d t
=⇒ d rd t
=1
4π r2dVd t:::::::::::::::
DAKLE:d rd t
∣∣∣∣r=3
=1
4π ·9·1 =
136π
[dm/s] ≈ 0.9 [mm/s]
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 20 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Zadaci
ZADATAK 4.Pijesak sipi na kup, koji stalno zadrzava oblik stosca, brzinom od9dm3/min. Radijus baze stosca stalno je 3 puta veci od visine stosca.Kojom se brzinom mijenja visina stosca u trenutku kad je on visok4dm?
ZADATAK 5.Iz nasukana tankera u more istjece 165 litara nafte u minuti. Naftna semrlja svakom dodatnom litrom siri za 1/6m2. Kojom se brzinom(mjereno u m2/min) siri naftna mrlja?
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 21 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Zadaci
ZADATAK 4.Pijesak sipi na kup, koji stalno zadrzava oblik stosca, brzinom od9dm3/min. Radijus baze stosca stalno je 3 puta veci od visine stosca.Kojom se brzinom mijenja visina stosca u trenutku kad je on visok4dm?
ZADATAK 5.Iz nasukana tankera u more istjece 165 litara nafte u minuti. Naftna semrlja svakom dodatnom litrom siri za 1/6m2. Kojom se brzinom(mjereno u m2/min) siri naftna mrlja?
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 21 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Zadaci
Rjesenje 4:
OZNAKE: r - radijus stosca [dm]; h - visina stosca [dm]V - volumen stosca [dm3]; t - vrijeme [min]
ZADANO:dVd t
= 9 [dm3/min], r = 3h
TRAZI SE:dhd t
=? za h = 4 [dm]
VEZA: V =13
B ·h =13
r2︸︷︷︸=(3h)2
π ·h = 3h3π
∣∣∣∣ dd t
”LANCANO DERIV.”:dVd t
= 3π ·3h2 dhd t
= 9πh2 dhd t
=⇒ dhd t
=1
9πh2dVd t:::::::::::::::
DAKLE:dhd t
∣∣∣∣h=4
=1
9π ·16·9 =
116π
[dm/min]
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 22 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Zadaci
Rjesenje 5:
OZNAKE: P - povrsina mrlje [m2]N - kolicina istekle nafte [l]t - vrijeme [min]
ZADANO:dNd t
= 165 [l/min]
dPdN
=16
[m2/l]
TRAZI SE:dPd t
=?
ZNAMO DA VRIJEDI LANCANO DERIVIRANJE:dPd t
=dPdN· dN
d t=
16·165
= 27.5 [m2/min]
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 23 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Zadaci
ZADATAK 6.∗
Uslijed nagle promjene visine moze doci do ”pucketanja” u usima, kadje brzina promjene tlaka prevelika za adaptaciju usnog bubnjica. Tlakzraka p pri razini mora opada za 12N/cm2 sa svakim metromnadmorske visine h. Poznato je da do pucketanja dolazi ako je brzinapromjene tlaka veca od 0.3N/cm2 u sekundi. Hoce li doci dopucketanja vozimo li niz strminu tako da u sekundi gubimo 3 metranadmorske visine?
Rjesenje: Tlak pada s nadmorskom visinom:dpdh
=−0.12N
cm2 mGubimo visinu brzinom:
dhd t
=−3ms
Zanima nas:
dpd t
=dpdh· dh
d t= 0.36
Ncm2 s
> 0.3N
cm2 s
Dakle, doci ce do pucketanja u usima.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 24 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Zadaci
ZADATAK 6.∗
Uslijed nagle promjene visine moze doci do ”pucketanja” u usima, kadje brzina promjene tlaka prevelika za adaptaciju usnog bubnjica. Tlakzraka p pri razini mora opada za 12N/cm2 sa svakim metromnadmorske visine h. Poznato je da do pucketanja dolazi ako je brzinapromjene tlaka veca od 0.3N/cm2 u sekundi. Hoce li doci dopucketanja vozimo li niz strminu tako da u sekundi gubimo 3 metranadmorske visine?
Rjesenje: Tlak pada s nadmorskom visinom:dpdh
=−0.12N
cm2 mGubimo visinu brzinom:
dhd t
=−3ms
Zanima nas:
dpd t
=dpdh· dh
d t= 0.36
Ncm2 s
> 0.3N
cm2 s
Dakle, doci ce do pucketanja u usima.Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 24 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Zadaci
ZADATAK 7.∗∗
Drugi vlak napusta stanicu 3 sata nakon prvog. Prvi ide na sjeverbrzinom od 100km/h, drugi na zapad brzinom od 60km/h. Kojom sebrzinom vlakovi medusobno udaljavaju 2 sata nakon polaska drugogvlaka?
Rjesenje:Oznacimo sa x i y udaljenost prvog, tj. drugogvlaka od stanice u trenutku t nakon polaskaprvog vlaka, sa z medusobnu udaljenost vla-kova. Smjerovi kretanja vlakova su okomiti, paje:
z2(t) = x2(t)+y2(t)∣∣∣∣ dd t
⇒ d(z2)
d t=
d(x2)
d t+
d(y2)
d t⇒ �2z
dzd t
=�2xdxd t
+�2ydyd t
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 25 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Zadaci
ZADATAK 7.∗∗
Drugi vlak napusta stanicu 3 sata nakon prvog. Prvi ide na sjeverbrzinom od 100km/h, drugi na zapad brzinom od 60km/h. Kojom sebrzinom vlakovi medusobno udaljavaju 2 sata nakon polaska drugogvlaka?
Rjesenje:Oznacimo sa x i y udaljenost prvog, tj. drugogvlaka od stanice u trenutku t nakon polaskaprvog vlaka, sa z medusobnu udaljenost vla-kova. Smjerovi kretanja vlakova su okomiti, paje:
z2(t) = x2(t)+y2(t)∣∣∣∣ dd t
⇒ d(z2)
d t=
d(x2)
d t+
d(y2)
d t⇒ �2z
dzd t
=�2xdxd t
+�2ydyd t
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 25 / 44
Lancano deriviranje i vezane brzine Zadaci
⇒(
zdzd t
)∣∣∣∣5=
(x
dxd t
+ydyd t
)∣∣∣∣5
⇒ dzd t
∣∣∣∣5=
1z(5)
(x(5) · dx
d t
∣∣∣∣5+y(5) · dy
d t
∣∣∣∣5
)(?)
S druge strane imamo:
dxd t = 100
x(0) = 0
}⇒ x(t) = 100t ⇒ x(5) = 500
dyd t = 60
y(3) = 0
}⇒ y(t) = 60t−180 ⇒ y(5) = 120
z(5) =√
x2(5)+y2(5) =√
502 ·102 +122 ·102 = 20√
661
(?) :dzd t
∣∣∣∣5=
120√
661(500 ·100+120 ·60) =
2860√661
≈ 111km/h
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 26 / 44
Implicitno deriviranje Primjer
IMPLICITNO DERIVIRANJE
PRIMJER 7.
x2 +y2 = 4 implicitno zadaje dvije funkcije y = y(x): y =±√
4−x2.Nadimo njihove derivacije direktno iz implicitne jednadzbe.
Rjesenje:
”LANCANO DERIVIRAJMO IMPLICITNU JEDNADZBU PO x”:
ddx
(x2 +y2
)=
ddx
(4), �2x +�2ydydx
= 0,dydx
=−xy
To isto nalazimo i iz y =±√
4−x2:
dydx
=± −2x2√
4−x2=
−x±√
4−x2=−x
y
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 27 / 44
Implicitno deriviranje Primjer
IMPLICITNO DERIVIRANJE
PRIMJER 7.
x2 +y2 = 4 implicitno zadaje dvije funkcije y = y(x): y =±√
4−x2.Nadimo njihove derivacije direktno iz implicitne jednadzbe.
Rjesenje:
”LANCANO DERIVIRAJMO IMPLICITNU JEDNADZBU PO x”:
ddx
(x2 +y2
)=
ddx
(4), �2x +�2ydydx
= 0,dydx
=−xy
To isto nalazimo i iz y =±√
4−x2:
dydx
=± −2x2√
4−x2=
−x±√
4−x2=−x
y
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 27 / 44
Implicitno deriviranje Primjer
IMPLICITNO DERIVIRANJE
Ako su x i y vezane jednadzbom koja implicitno definira y kaofunkciju od x, onda dy/dx nalazimo ”lancanim deriviranjem te im-plicitne jednadzbe”.
PRIMJER 8.
Funkcija y = y(x) implicitno je zadana s 2x5 +y3 = 5xy. Koji je nagibgrafa funkcije y = y(x) u tocki (1,2)?
Rjesenje:
10x4 +3y2 dydx
= 5y +5xdydx
=⇒ dydx
=5y −10x4
3y2−5x
Nagib u (1,2):dydx
∣∣∣∣(1,2)
=5 ·2−10 ·14
3 ·22−5 ·1= 0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 28 / 44
Implicitno deriviranje Primjer
IMPLICITNO DERIVIRANJE
Ako su x i y vezane jednadzbom koja implicitno definira y kaofunkciju od x, onda dy/dx nalazimo ”lancanim deriviranjem te im-plicitne jednadzbe”.
PRIMJER 8.
Funkcija y = y(x) implicitno je zadana s 2x5 +y3 = 5xy. Koji je nagibgrafa funkcije y = y(x) u tocki (1,2)?
Rjesenje:
10x4 +3y2 dydx
= 5y +5xdydx
=⇒ dydx
=5y −10x4
3y2−5x
Nagib u (1,2):dydx
∣∣∣∣(1,2)
=5 ·2−10 ·14
3 ·22−5 ·1= 0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 28 / 44
Implicitno deriviranje Primjer
IMPLICITNO DERIVIRANJE
Ako su x i y vezane jednadzbom koja implicitno definira y kaofunkciju od x, onda dy/dx nalazimo ”lancanim deriviranjem te im-plicitne jednadzbe”.
PRIMJER 8.
Funkcija y = y(x) implicitno je zadana s 2x5 +y3 = 5xy. Koji je nagibgrafa funkcije y = y(x) u tocki (1,2)?
Rjesenje:
10x4 +3y2 dydx
= 5y +5xdydx
=⇒ dydx
=5y −10x4
3y2−5x
Nagib u (1,2):dydx
∣∣∣∣(1,2)
=5 ·2−10 ·14
3 ·22−5 ·1= 0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 28 / 44
Implicitno deriviranje Primjer
PRIMJER 9.∗
Dokazimo: y = xmn , m,n ∈ Z =⇒ dy
dx=
mn·x
mn −1
Dokaz:
Podsjetimo se da smo prije dokazali da vrijedi:
y = xn, n ∈ Z =⇒ dydx
= n ·xn−1 (??)
Imamo: y = xmn ⇐⇒ yn = xm
ddx
yn =d
dxxm
(??) : n ·yn−1 dydx
= m ·xm−1
dydx
=mn· x
m−1
yn−1 =mn· xm−1(
xmn
)n−1 = · · ·= mn·x
mn −1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 29 / 44
Implicitno deriviranje Primjer
PRIMJER 9.∗
Dokazimo: y = xmn , m,n ∈ Z =⇒ dy
dx=
mn·x
mn −1
Dokaz:
Podsjetimo se da smo prije dokazali da vrijedi:
y = xn, n ∈ Z =⇒ dydx
= n ·xn−1 (??)
Imamo: y = xmn ⇐⇒ yn = xm
ddx
yn =d
dxxm
(??) : n ·yn−1 dydx
= m ·xm−1
dydx
=mn· x
m−1
yn−1 =mn· xm−1(
xmn
)n−1 = · · ·= mn·x
mn −1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 29 / 44
Implicitno deriviranje Zadaci
ZADATAK 8.Nadite derivacije implicitno zadanih funkcija
a) 3x2 y = y4 +5x2−15
b) x3 +y3 = 3x y
c)x2
a2 +y2
b2 = 1
d)(x2 +y2)2
= x2−y2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 30 / 44
Implicitno deriviranje Zadaci
ZADATAK 8.Nadite derivacije implicitno zadanih funkcija
a) 3x2 y = y4 +5x2−15
b) x3 +y3 = 3x y
c)x2
a2 +y2
b2 = 1
d)(x2 +y2)2
= x2−y2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 30 / 44
Implicitno deriviranje Zadaci
ZADATAK 8.Nadite derivacije implicitno zadanih funkcija
a) 3x2 y = y4 +5x2−15
b) x3 +y3 = 3x y
c)x2
a2 +y2
b2 = 1
d)(x2 +y2)2
= x2−y2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 30 / 44
Implicitno deriviranje Zadaci
ZADATAK 8.Nadite derivacije implicitno zadanih funkcija
a) 3x2 y = y4 +5x2−15
b) x3 +y3 = 3x y
c)x2
a2 +y2
b2 = 1
d)(x2 +y2)2
= x2−y2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 30 / 44
Implicitno deriviranje Zadaci
Rjesenja:
a)dydx
=10x−6x y3x2−4y3
b)dydx
=x2−yx−y2
c)dydx
=−b2 xa2 y
d)dydx
=x[1−2
(x2 +y2)]
y [1+2 (x2 +y2)]
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 31 / 44
Implicitno deriviranje Zadaci
ZADATAK 9.Nadite nagib tangente na krivulju
a) 2x6 +y4 = 9x y u T (1,2)
b) y3 = 5x y −2x5 u T (1,2)
Lezi li zadana tocka na odgovarajucoj krivulji?
Rjesenja:
a)dydx
=9y −12x5
4y3−9x=⇒ dy
dx
∣∣∣∣(1,2)
=6
23
T (1,2) lezi na krivulji: 2 ·16 +24 = 9 ·1 ·2, 18 = 18 X
a)dydx
=5y −10x4
3y2−5x=⇒ dy
dx
∣∣∣∣(1,2)
= 0
T (1,2) lezi na krivulji: 23 = 5 ·1 ·2−2 ·15, 8 = 8 X
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 32 / 44
Implicitno deriviranje Zadaci
ZADATAK 9.Nadite nagib tangente na krivulju
a) 2x6 +y4 = 9x y u T (1,2)
b) y3 = 5x y −2x5 u T (1,2)
Lezi li zadana tocka na odgovarajucoj krivulji?
Rjesenja:
a)dydx
=9y −12x5
4y3−9x=⇒ dy
dx
∣∣∣∣(1,2)
=6
23
T (1,2) lezi na krivulji: 2 ·16 +24 = 9 ·1 ·2, 18 = 18 X
a)dydx
=5y −10x4
3y2−5x=⇒ dy
dx
∣∣∣∣(1,2)
= 0
T (1,2) lezi na krivulji: 23 = 5 ·1 ·2−2 ·15, 8 = 8 X
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 32 / 44
Implicitno deriviranje Zadaci
ZADATAK 9.Nadite nagib tangente na krivulju
a) 2x6 +y4 = 9x y u T (1,2)
b) y3 = 5x y −2x5 u T (1,2)
Lezi li zadana tocka na odgovarajucoj krivulji?
Rjesenja:
a)dydx
=9y −12x5
4y3−9x=⇒ dy
dx
∣∣∣∣(1,2)
=6
23
T (1,2) lezi na krivulji: 2 ·16 +24 = 9 ·1 ·2, 18 = 18 X
a)dydx
=5y −10x4
3y2−5x=⇒ dy
dx
∣∣∣∣(1,2)
= 0
T (1,2) lezi na krivulji: 23 = 5 ·1 ·2−2 ·15, 8 = 8 X
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 32 / 44
Parametrasko deriviranje Primjer
PARAMETARSKE KRIVULJE I FUNKCIJE
PRIMJER 10.
x = t+2, y = t2
vezani su parametrom t .(a) Prikazimo tu vezu u koordinatnom sustavu x ,y ;(b) Izracunajmo vezu kao funkciju y = y(x).
Rjesenje:(a)
t x y−2 0 4−1 1 1
0 2 01 3 12 4 4
(b)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 33 / 44
Parametrasko deriviranje Primjer
PARAMETARSKE KRIVULJE I FUNKCIJE
PRIMJER 10.
x = t+2, y = t2
vezani su parametrom t .(a) Prikazimo tu vezu u koordinatnom sustavu x ,y ;(b) Izracunajmo vezu kao funkciju y = y(x).
Rjesenje:(a)
t x y−2 0 4−1 1 1
0 2 01 3 12 4 4
(b)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 33 / 44
Parametrasko deriviranje Parametarske krivulje i funkcije
PARAMETARSKI ZADANE KRIVULJE I FUNKCIJE
Tocka (x,y) cija je ovisnost o parametru t zadana jednadzbama{x = x(t)y = y(t)
opisuje krivulju koju kovemo parametarskom krivuljom zadanom(parametarskim) jednadzbama.Ako je tako zadana veza izraziva u funkcijskom obliku y = y(x),onda i tu funkciju zovemo parametarskom funkcijom zadanom timparametarskim jednadzbama.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 34 / 44
Parametrasko deriviranje Primjeri
PRIMJER 11.
Parametrizirajmo funkciju (krivulju) y =√
x tako da se rijesimokorijena.
Rjesenje:Odaberimo ime parametra npr. v . Korijena cemo se rijesiti akopostavimo da je x = v2, jer je tada y =
√v2 = |v |.
Dakle, rjesenje je: {x = v2
y = v (v ≥ 0)
Mogli smo uzeti i{
x = v4
y = v2 itd.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 35 / 44
Parametrasko deriviranje Primjeri
PRIMJER 11.
Parametrizirajmo funkciju (krivulju) y =√
x tako da se rijesimokorijena.
Rjesenje:Odaberimo ime parametra npr. v . Korijena cemo se rijesiti akopostavimo da je x = v2, jer je tada y =
√v2 = |v |.
Dakle, rjesenje je: {x = v2
y = v (v ≥ 0)
Mogli smo uzeti i{
x = v4
y = v2 itd.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 35 / 44
Parametrasko deriviranje Primjeri
PRIMJER 12.
Parametrizirajmo kruznicu x2 +y2 = 1 uz pomoc sljedecih parametara:
(a) (b)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 36 / 44
Parametrasko deriviranje Primjeri
Rjesenje:
(a)
{x = cosϕ
y = sinϕ
(b) Slicnost trokuta:y
1+x=
t1=
1−xy
⇓{x = 1−t2
1+t2
y = 2 t1+t2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 37 / 44
Parametrasko deriviranje Primjer
PRIMJER 12.
{ x = t2, y = t } ocito zadaje y =√
x.
Nadimodydx
direktno iz parametarskih jednadzbi.
Rjesenje:
dyd t
=dydx· dx
d t=⇒ dy
dx=
dyd tdxd t
Dakle:dydx
=d td td t2
d t
=12 t
=1
2y=
12√
x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 38 / 44
Parametrasko deriviranje Primjer
PRIMJER 12.
{ x = t2, y = t } ocito zadaje y =√
x.
Nadimodydx
direktno iz parametarskih jednadzbi.
Rjesenje:
dyd t
=dydx· dx
d t=⇒ dy
dx=
dyd tdxd t
Dakle:dydx
=d td td t2
d t
=12 t
=1
2y=
12√
x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 38 / 44
Parametrasko deriviranje Deriviranje parametarski zadanih krivulja
PARAMETARSK0 DERIVIRANJE
Ako je y = y(x) zadana parametraski s{x = x(t)y = y(t)
onda je
dydx
=dy/dtdx/dt
=yx↖ NEWTONOVA↙ NOTACIJA
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 39 / 44
Parametrasko deriviranje Zadaci
ZADATAK 10.Nadite derivacije y ′ parametarski zadanih funkcija
a){
x = ty = t2 b)
x = 1t+1
y =(
tt+1
)2
c){
x = e−t
y = e2 t b){
x = cos ty = sin t
Rjesenja:
a) y ′ = 2 t b) y ′ =− 2 tt +1
c) y ′ =−2e3 t d) y ′ =−ctg t
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 40 / 44
Parametrasko deriviranje Zadaci
ZADATAK 10.Nadite derivacije y ′ parametarski zadanih funkcija
a){
x = ty = t2 b)
x = 1t+1
y =(
tt+1
)2
c){
x = e−t
y = e2 t b){
x = cos ty = sin t
Rjesenja:
a) y ′ = 2 t b) y ′ =− 2 tt +1
c) y ′ =−2e3 t d) y ′ =−ctg t
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 40 / 44
Parametrasko deriviranje Zadaci
ZADATAK 11.
Nadite vrijednost derivacijedydx
za t = 1 ako je x = t ln t
y =ln tt
Rjesenja:
dydx
=1− ln t
t2 (1+ ln t)=⇒ dy
dx
∣∣∣∣t=1
=1− ln1
12 (1+ ln1)= 1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 41 / 44
Parametrasko deriviranje Zadaci
ZADATAK 11.
Nadite vrijednost derivacijedydx
za t = 1 ako je x = t ln t
y =ln tt
Rjesenja:
dydx
=1− ln t
t2 (1+ ln t)=⇒ dy
dx
∣∣∣∣t=1
=1− ln1
12 (1+ ln1)= 1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 41 / 44
Parametrasko deriviranje Zadaci
ZADATAK 12.Nadite tangentni nagib na jedinicnu kruznicu (danu donjimparametarskim jednadzbama) u proizvoljnoj tocki (odredenojparametrom) t :
x(t) =1− t2
1+ t2 y(t) =2 t
1+ t2
Rjesenja: Trazimo dydx u tocki (odredenoj s) t :
x = dxd t = d
d t
[1−t2
1+t2
]= · · ·=− 4 t
(1+t2)2
y = dyd t = d
d t
[2 t
1+t2
]= · · ·= 2(1−t2)
(1+t2)2
dydx = y
x = 2(1−t2)−4 t =−1−t2
2 t = · · ·=− xy
Isto dobivamo implicitnim deriviranjem x2 +y2 = 1:
2x +2y dydx = 0 =⇒ dy
dx =− xy
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 42 / 44
Parametrasko deriviranje Zadaci
ZADATAK 12.Nadite tangentni nagib na jedinicnu kruznicu (danu donjimparametarskim jednadzbama) u proizvoljnoj tocki (odredenojparametrom) t :
x(t) =1− t2
1+ t2 y(t) =2 t
1+ t2
Rjesenja: Trazimo dydx u tocki (odredenoj s) t :
x = dxd t = d
d t
[1−t2
1+t2
]= · · ·=− 4 t
(1+t2)2
y = dyd t = d
d t
[2 t
1+t2
]= · · ·= 2(1−t2)
(1+t2)2
dydx = y
x = 2(1−t2)−4 t =−1−t2
2 t = · · ·=− xy
Isto dobivamo implicitnim deriviranjem x2 +y2 = 1:
2x +2y dydx = 0 =⇒ dy
dx =− xy
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 42 / 44
Parametrasko deriviranje Zadaci
ZADATAK 13.Parametarska krivulja zadana je donjim jednadzbama. Naditetangentni nagib i jednadzbu tangente na tu krivulju u tocki t = 1.
x(t) = (1+ t2)3 y(t) = (t2 + t)2 +2
Rjesenja: Iako ne znamo eksplicitno izraziti vezu x i y , dovoljno jepretpostaviti da je tu vezu moguce reprezentirati nekom funkcijomy = h(x) u okolini od t = 1 kako bismo mogli racunati derivaciju.
x = dxd t = 3(1+ t2)2 2t , y = dy
d t = 2(t2 + t)(2t +1)
dydx
=yx= · · ·= (t +1)(2t+)
3(1+ t2)2 ,dydx
∣∣∣∣t=1
=12
Za t = 1 je x = 8 i y = 6, pa je jednadzba tangente:
y −6 = 12 (x−8) =⇒ x−2y +4 = 0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 43 / 44
Parametrasko deriviranje Zadaci
ZADATAK 13.Parametarska krivulja zadana je donjim jednadzbama. Naditetangentni nagib i jednadzbu tangente na tu krivulju u tocki t = 1.
x(t) = (1+ t2)3 y(t) = (t2 + t)2 +2
Rjesenja: Iako ne znamo eksplicitno izraziti vezu x i y , dovoljno jepretpostaviti da je tu vezu moguce reprezentirati nekom funkcijomy = h(x) u okolini od t = 1 kako bismo mogli racunati derivaciju.
x = dxd t = 3(1+ t2)2 2t , y = dy
d t = 2(t2 + t)(2t +1)
dydx
=yx= · · ·= (t +1)(2t+)
3(1+ t2)2 ,dydx
∣∣∣∣t=1
=12
Za t = 1 je x = 8 i y = 6, pa je jednadzba tangente:
y −6 = 12 (x−8) =⇒ x−2y +4 = 0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 43 / 44
Parametrasko deriviranje Zadaci
ZADATAK 14.Nadite tangentni nagib parametarske krivulje, dane donjimjednadzbama, u tocki t = 1:
x(t) =√
t4 + t2 +2 y(t) =t
1+√
t
Rjesenja:
x =dxd t
= · · ·= t (2t2 +1)√t4 + t2 +2
y =dyd t
= · · ·= 2+√
t2(1+
√t)2
dydx
=yx=
(2+√
t)√
t4 + t2 +22 t (2t2 +1)(1+
√t)2
dydx
∣∣∣∣t=1
= · · ·= 14
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 44 / 44
Parametrasko deriviranje Zadaci
ZADATAK 14.Nadite tangentni nagib parametarske krivulje, dane donjimjednadzbama, u tocki t = 1:
x(t) =√
t4 + t2 +2 y(t) =t
1+√
t
Rjesenja:
x =dxd t
= · · ·= t (2t2 +1)√t4 + t2 +2
y =dyd t
= · · ·= 2+√
t2(1+
√t)2
dydx
=yx=
(2+√
t)√
t4 + t2 +22 t (2t2 +1)(1+
√t)2
dydx
∣∣∣∣t=1
= · · ·= 14
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 18. studenoga 2018. 44 / 44