MATEMATIKA X - Ida Lydiati | Keep faithfull and analitics · Web viewSederhanakan penjumlahan dan pengurangan bentuk akar berikut : 1. 7 6. 2. 6 7. 5 3. 8. 19 4. 3 9. 4 5. 10. 5 b

BAB I BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA

A. Bentuk Pangkat1. Pangkat Bulat Positif a. Pengertian Pangkat Bulat Positif.

Notasi eksponen sangat berguna untuk menuliskan hasil perkalian suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri secara berurutan .Misal : 2 x 2 x 2 ditulis 2 berarti 23 = 2 x 2x 2

Definisi :Jika a adalah bilangan real dan n bilangan bulat lebih dari satu , maka pangkat ke – n dari a ditulis an dan didefinisikan sebagai hasil perkalian n faktor masing-masing a yaitu :

an =

Untuk n = 1 didefinisikan a1 = a.

Keterangan :an dibaca “ a pangkat n “ disebut bilangan berpangkat.a disebut bilangan dasar atau bilangan pokok.n disebut eksponen atau pangkat.

b. Sifat-Sifat yang Berlaku pada Bilangan Berpangkat Bulat Positif.

Tugas 1Dengan menuliskan masing-masing faktornya buktikan bahwa :1. 34 x 3 2 = 36

2.

3. a5 x a2 = a7

Sifat 1:Jika a bilangan real dengan m dan n adalah bilangan bulat positif , maka am x an = a …

Bukti :

am x an =

=

= a …

Tugas 2.Dengan menuliskan masing-masing faktornya buktikan bahwa :1. 56 : 52 = 54

2.

3. a8 : a3 = a5

Sifat 2.

Jika a bilangan real untuk a 0 dengan m dan n bilangan bulat positif ,untuk m > n maka am : an = a…

Bukti :

am : an =

=

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma 1

= … .

Tugas 3Dengan menuliskan masing-masing faktornya ,buktikan bahwa :1. ( 42)3 = 46

2. ( 94)2 = 98 3. ( a3)4 = a12

Sifat 3.Jika a bilangan real dengan m dan n adalah bilangan bulat positif ,maka ( am )n = a…

Bukti :

( am )n =

=

=

= a…

Tugas 4.Dengan menuliskan masing-masing faktornya dan menggunakan hukum komutatif dan hukum asosiatif ,buktikan bahwa :1. ( 3 x 5 )4 = 34 x 54

2. 23 x 43 = ( 2 x 4)3

3. ( ab )5 = a5 b5

Sifat 4.Jika a dan b adalah bilangan real dan m adalah bilangan bulat positif , maka ( ab )m = a… b…

Bukti :

( ab)m =

=

= am x b…

= a… b…

Tugas 5.Dengan menuliskan masing-masing faktornya ,buktikan bahwa :

1.

2.

3.

Sifat 5.Jika a dan b adalah bilangan real untuk b 0 dan m bilangan bulat positif , maka

Bukti :


=

=

Latihan 1 Gunakan sifat –sifat berikut :Jika a dan b adalah bilangan real dengan m dan n adalah bilangan bulat positif maka berlaku sifat-sifat :Sifat 1 : am x an = a…

Sifat 2 : am : an = a… untuk m > n dan a 0Sifat 3 : ( am)n = a…

Sifat 4 : ( ab )m = a… b…

Sifat 5 : untuk b 0

Sederhanakanlah !

1. 34 x 32 6. 77 : 73 11. ( a5)3 16.

2. 86 x 8 7. a10 : a4 12. ( x2)7 17. ( 32 x 35 ) x 34

3. a7 x a2 8. k9 : k5 13. ( 2y )5 18. ( 62 )4 x 65

4. p5 x p8 9. ( 43)2 14. (pq2)6 19. ( 52 )4 : ( 53 )2

5. 26 : 22 10. ( 56)4 15. 20. Apakah benar bahwa 42 x 23 = 85 ? Jika tidak

benar , jelaskan mengapa tidak benar ?

c. Pangkat Bulat Negatif dan Pangkat Nol

Pada sifat 2 : am : an = am-n untuk m > n dan a 0.1. Bagaimana jika m = n .

Kita tahu bahwa = 1 dan 25 = 52

Seandainya sifat 2 berlaku maka :

= = 52- 2 = 50 = 1

Dari kenyataan ini didefinisikan Contoh :

1. ( 2004)0 = 1 2. = 1 3. (-0,003)0 = 1

2. Bagaimana jika m < n Perhatikan sifat : am : an untuk a 0Seandainya berlaku untuk m = 0 diperoleh :am : an = a0 : an pada bilangan a0 = 1 untuk a 0maka a0 : an = 1 : an

a0-n = 1 : an

a-n = 1 : an

a-n =

Dari kenyataan ini didefinisikan :

Contoh : 1. 2 -7 =


Jika a bilangan real dan a 0 maka a0 = 1

a -n = untuk a 0 dan n bilangan bulat positif

2. 5 -3 =

3. a -4 = untuk a 0

Latihan 2Sederhanakanlah kemudian nyatakan ke dalam bentuk pangkat positif .1. a-7 7. (p-1 + q-1)-1

2. 4b-2 8. (4a3b5)-2 x (8a-2 b3)4

3. (3c)-4 9.

4. (2p3 + 4q2)-2 10.

5. 11.

6. 12.

B. Bentuk Akar1. Himpunan Bilangan

Kita telah mempelajari sistem-sistem bilangan sebagai berikut :a. Himpunan bilangan asli , dapat dinyatakan A = { 1, 2, 3, … .}b. Himpunan bilangan cacah ,dapat dinyatakan C = { 0, 1, 2, 3, … .}c. Himpuanan bilangan bulat , dapat dinyatakan B = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}d. Himpunan bilangan rasional dapat dinyatakan Q yang terdiri atas himpunan bilangan bulat dan

himpunan bilangan pecahan.

Definisi 1

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dengan bentuk dengan a bilangan

bulat dan b bilangan asli.

Contoh :Bilangan 7 dapat dinyatakan

Bilangan 2,25 dapat dinyatakan

Bilangan 5 dapat dinyatakan

Definisi 2Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai pecahan desimal periodik.

Contoh : Bilangan dapat dinyatakan 8,000… = 8,

Bilangan dapat dinyatakan 0,171717… = 0,

Bilangan dapat dinyatakan 0,213213… = 0,

e. Himpunan bilangan real dapat dinyatakan R yang terdiri atas himpunan bilangan rasional dan bilangan irrasional .

Jadi bilangan irrasional adalah bilangan real yang bukan bilangan rasional.

Bilangan Irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dengan bentuk dengan

a bilangan bulat dan b bilangan asli.


Bilangan Irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan decimal periodik.

Contoh :1. = 1,414213562… .2. = 1,732050808… .3. = 2,236067977… .4. = 3,141592654… .5. e = 2,718281828… .

2. Bentuk AkarBilangan irrasional yang menggunakan tanda akar seperti , , disebut bentuk akar.Namun bilangan yang menggunakan tanda akar tetapi bukan bilangan irasional,seperti , ,

, , sehingga bentuk akar dapat dinyatakan sebagai berikut :Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang bukan merupakan bilangan rasional.

Tugas Dari bilangan –bilangan di bawah ini manakah yang merupakan bentuk akar ?Jika bukan bentuk akar ,tentukan nilainya seperti = 2.1. 6. 11. 2. 7. 12. 3. 8. 13. 4. 9. 14. 5. 10. 15.

3. Menyederhanakan Bentuk Akar

Teorema .Jika panjang p dan q bilangan non negatif maka Bukti .Misalkan p dan q bilangan rasional non negatif maka :

= = = p x q

Jika kedua ruas persamaan diambil akarnya,diperoleh :

atau

Tugas 1Sederhanakanlah Jawab



Latihan 1. Sederhanakanlah bentuk akar berikut :

a. b. c. d. e.


f. 3 g. 2 h. 6 i. 9 f. 102. Diketahui segitiga ABC siku – siku di C. Jika a, b, dan c berturut – turut menyatakan panjang

BC, AC, dan AB, hitunglah panjang sisi ketiga dan nyatakan dalam bentuk akar yang paling sederhana.a. a = 3 dan b = 6b. a = 4 dan b = 4c. a = 6 dan b = 8d. a = 10 dan b = 12e. b = 12 dan c = 18f. b = 4 dan c = 8

4. Operasi Aljabar pada Bentuk Akara. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar dapat disederhanakan apabila suku-sukunya sejenis.Misal : 1) m + n = (m + n)

2) m – n = (m – n)

Tugas 1Sederhanakanlah 4 Jawab:4 = (4 + 3)

Tugas 2Sederhanakanlah 6Jawab:6 = (6 – 2)

Tugas 3Sederhanakanlah 5Jawab :5 . 2

= (10 + … - …)= …

Latihan

Sederhanakan penjumlahan dan pengurangan bentuk akar berikut :1. 7 6. 2. 6 7. 53. 8. 194. 3 9. 4

5. 2712 10. 5

b. Perkalian Bentuk AkarSifat-sifat yang mungkin diperlukan untuk menyederhanakan perkalian bentuk akar anatara lain:1). 2). 3). a(b + c) = ab + ac4). a(b - c) = ab – ac5). (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

6). (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

7). (a + b)(a – b) = a2 – b2

Tugas 1Sederhanakan

Jawab :Cara 1 Cara 2


= = … x … = = … = = =

Latihan1. Sederhanakanlah :

a. f. b. g. c. h. d. i. e. j.

2. Jika p = dan g = sederhanakanlah :a. 3p + 3q d. p2 + q2

b. 4p – 4q e. p2 - q2

c. 6pq f. 2p2 + 3q2

3. Jika a = 4 + 3 dan b = 4 - 3 sederhanakanlah :a. 4a + 4b d. a2 + b2

b. 3a – 3b e. a2 – b2

c. 5ab f. 3a2 – 3b2

4. Suatu persegi panjang mempunyai panjang = (5 + 2 ) cm dan lebar = (5 - 2 ) cm.Hitunglah :a. luas persegi panjangb. diagonal persegi panjang (nyatakan hasilnya dalam bentuk yang paling sederhana)

5. Akar Suatu Bentuk Akar

Menentukan akar suatu bentuk akar.Perhatikan bahwa :

((

Jika kedua ruas persamaan diambil akarnya diperoleh :

atau

Dengan cara yang sama tunjukkan bahwa untuk a > b

Tugas 1Sederhanakanlah Jawab :

= =


= = Tugas 3Sederhankalah Jawab :

= = = =


=


= =

LatihanSederhanakanlah :1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. 10.

6. Merasionalkan Penyebut Pecahan

a. Merasionalkan Penyebut Pecahan Berbentuk

Tugas 1

Tanpa menggunakan kalkulator hitunglah teliti sampai 3 angka di belakang koma dengan

mengambil1,4142 sebagai pendekatan untuk .

Jawab :Menggunakan sifat bahwa x = 2

= x

=

= … = … x … = …

Catatan .

Perubahan menjadi disebut merasionalkan penyebut suatu pecahan.

Tugas 2Nyatakan tiap pecahan di bawah ini dalam bentuk yang paling sederhana dengan penyebut rasional.

1. 2.

Jawab :

1.

Cara 1 Cara 2


= x =

= = x

= =

. =

2.

Cara 1 Cara 2

= =

= x =

= = x

= =

Latihan 1. Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan di bawah ini .

Gunakan 1,414 sebagai pendekatan , 1,732 sebagai pendekatan , dan

2,236 sebagai pendekatan .Hitunglah tiap jawaban teliti sampai 2 angka di belakang koma.

a. d. g.

b. e. h.

c. f. i.

2. Nyatakan tiap pecahan di bawah ini dalam bentuk yang paling sederhana dengan penyebut rasional.

a. d. g.

b. e. h.

c. f. i.

b. Merasionalkan Penyebut Pecahan berbentuk dan .

Jika a dan b bilangan rasional , maka :(a + = a2 – b( = a – b2

( = a – b

Hasil dari perkalian-perkalian tersebut semua rasional


Sifat bentuk sekawan ini dapat digunakan untuk merasionalkan penyebut pecahan berbentuk

dan

Tugas 1Tentukan bentuk yang sekawan dengan bentuk –bentuk di bawah ini kemudian tentukan pula hasil perkalian pasangan – pasangan bentuk – bentuk yang sekawan itu.1. + 1 4. 5 - 2. - 3 5. 3. 4 + 6. -

Jawab :1. + 1 bentuk sekawannya adalah – 1 ( + 1) x ( –1) = … – …

= …2. - 3 bentuk sekawannya adalah … + …

( – 3) x ( … + … ) = … – …= ….

3. 4 + bentuk sekawannya adalah … – …(4 + ) x ( … – … ) = … – …

= …4. 5 – bentuk sekawannya adalah … – …

(5 – ) x ( … – … )= … – …= …

5. bentuk sekawannya adalah … –- … ( )x ( … – … ) = … – …

= …6. – bentuk sekawannya adalah … – …

( – ) x ( … – … ) = … – …= …

Tugas 2

Sederhanakanlah pecahan-pecahan di bawah ini dengan merasionalkan penyebut-penyebutnya !

1. 2. 3.

Jawab :

1. = x

=

=


2. = x

=

=

3. = x

=

=

Latihan1. Tentukan bentuk yang sekawan dengan bentuk-bentuk di bawah ini ,kemudian tentukan pula hasil

perkalian pasangan-pasangan bentuk itu .a. b. c. d. e.

2. Sederhanakalah pecahan-pecahan di bawah ini dengan jalan merasionalkan penyebutnya .

a. b. c. d. e.

3. Diketahui p = 5 + 3 dan q = 5 - 3 , hitunglah dan nyatakan hasilnya dalam bentuk yang palingsederhana.

a. b. c. d.

7. Pangkat Rasionala. Untuk a dan b bilangan real dan n bilangan asli lebih dari satu dapat dinyatakan : Jika an = b maka = atau a = .

(i) Untuk b 0 maka 0

misal : = = 2

(ii) Untuk b < 0 dan n bilangan asli ganjil maka < 0 .

misal : = - 3

(iii) Untuk b < 0 dan n bilangan asli genap maka tidak didefinisikan misal : ( tidak didefinisikan )

b. Untuk n 2 dan n bilangan asli maka

misal : 1). = 2

2). = - 3

Mengingat bahwa :

x m = m x maka untuk setiap a bilangan real , m bilangan bulat dan n bilangan asli

lebih dari 1 diperoleh : dan

Jadi

Tugas 1. Nyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat . a). b). c.

Jawab : a). =


b). =

c). =

2. Nyatakan dalam bentuk akar :

a). b. c.

Jawab :

a). =

b). =

c). =

c. Sifat – Sifat yang Berlaku pada Bilangan Berpangkat Rasional

Sifat – sifat yang berlaku pada bilangan berpangkat bulat positif berlaku juga pada bilangan berpangkat rasional.Untuk m, n, Q dan a 0 berlaku sifat – sifat sebagai berikut :1. am x an = a …

2. am : an = a …

3. (am)n = a …

4. (ab)n = a … b …

5.

6. a0 = …

7. a-n =

8.

Tugas Sederhanakanlah :

1. 2.

Jawab :

1. = = = … .

Cara lain :

= = … .

2. = = = … .

Cara lain :

= = … .

Latihan 1. Nyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat

a. d. g.

b. e. h.

c. f. i.

2. Nyatakan dalam bentuk akar :

a. d. 52

7 g.


b. 83

5 e. h.

c. f. i.

3. Sederhanakanlah !a. e. i.

b. 34

27)( f. j.

c. g. k.

d. h. 4. Hitunglah nilai dari bentuk di bawah ini :

a. Diketahui a = 16 dan b = 27, tentukan nilai dari .

b. Diketahui p = , q = 81 dan r = 25 tentukan nilai dari .


Documents

MATEMATIKA X - Ida Lydiati | Keep faithfull and analitics · Web viewSederhanakan penjumlahan dan pengurangan bentuk akar berikut : 1. 7 6. 2. 6 7. 5 3. 8. 19 4. 3 9. 4 5. 10. 5 b