FARK FARK FARK FARK

DENKLEMLERİ DENKLEMLERİ DENKLEMLERİ DENKLEMLERİ DENKLEMLERİ DENKLEMLERİ

SİSTEMİSİSTEMİSİSTEMİSİSTEMİ

FARK FARK FARK FARK

DENKLEMLERİ DENKLEMLERİ DENKLEMLERİ DENKLEMLERİ DENKLEMLERİ DENKLEMLERİ

SİSTEMİSİSTEMİSİSTEMİSİSTEMİ

Daha önce altıncı bölümde tekDaha önce altıncı bölümde tek

denklemlerini ele almıştık. Burada

fazla olduğu fark denklemlerindenfazla olduğu fark denklemlerinden

üzerinde duracağız. Bazı örnekleri aşağıda

1 1t t tx ax by− −− −− −− −= += += += +

1 1

1 1

t t t

t t ty cx dy

− −− −− −− −

− −− −− −− −= += += += +(1)

1 1t t ty cx dy− −− −− −− −= += += += +

4 2x x= += += += +1

4 2

3 2 3

t tx x

y x y

−−−−= += += += +

= − − += − − += − − += − − +

(2)

1 13 2 3

t t ty x y− −− −− −− −= − − += − − += − − += − − +

tek değişken durumunda fark

22

tek değişken durumunda fark

değişken sayısının iki ya da daha

denklemlerinden oluşan bir sistemin çözümüdenklemlerinden oluşan bir sistemin çözümü

aşağıda görebiliriz.

1 1 12 3

t t t tx x y z− − −− − −− − −− − −= + += + += + += + +

1 1 1

10.8

t t t t

t ty x

− − −− − −− − −− − −

−−−−====(3) 1

1 11.4 2

t t

t t tz x y

−−−−

− −− −− −− −= −= −= −= −

3 2 3= − − += − − += − − += − − +

1 1t t t− −− −− −− −= −= −= −= −

3 2 3= − − += − − += − − += − − +

Yukarıda yer alan üç fark denklemiYukarıda yer alan üç fark denklemi

her bir sistem, değişkenlerin enher bir sistem, değişkenlerin en

yazılmıştır. Burada otonom (yaniyazılmıştır. Burada otonom (yani

denklemleri üzerinde yoğunlaşmaktayız

denklemler doğrusal ve homojense,

(doğrusal) homojen sistem diyoruz

birisi doğrusal değilse ya da homojen

homojen olmaktan çıkar. Örneğin 1homojen olmaktan çıkar. Örneğin 1

homojen, 2 numaralı sistem homojenhomojen, 2 numaralı sistem homojen

denklemi sistemi de birinci sıradandır. Yani

33

denklemi sistemi de birinci sıradandır. Yani

en yüksek birinci farkına göreen yüksek birinci farkına göre

(yani t değişkeninden bağımsız) fark(yani t değişkeninden bağımsız) fark

yoğunlaşmaktayız. Eğer sistemdeki tüm

homojense, bu sisteme birinci dereceden

diyoruz. Sistemdeki denklemlerden en az

homojen değilse, sistem doğrusal ve

1 ve 3 numaralı sistemler doğrusal1 ve 3 numaralı sistemler doğrusal

homojen olmayan doğrusaldır.homojen olmayan doğrusaldır.

Şimdi iki değişkenden oluşan birŞimdi iki değişkenden oluşan bir

sistemini tanımlayıp, bunu matris biçimde

1 1t t tx ax by− −− −− −− −= += += += + 1 1

1 1

t t t

t t t

x ax by

y cx dy

− −− −− −− −

− −− −− −− −

= += += += + = += += += + 1 1t t t

y cx dy− −− −− −− −= += += += +

ya da

u = Aut t-1

u = Au

Sistem homojen değilse,Sistem homojen değilse,

u = Au + st t-1

u = Au + s

doğrusal homojen fark denklemi

44

doğrusal homojen fark denklemi

biçimde yazalım.

1t tx xa b −−−−

====1

1

t t

t t

x xa b

y yc d

−−−−

−−−−

==== 1t t

y yc d −−−−

tu A t-1

ut

u A t-1u

Bu genel yazıma göre, 2 ve 3 numaralıBu genel yazıma göre, 2 ve 3 numaralı

biçimde gösterelim.biçimde gösterelim.

4 2x x= += += += + 14 2

3 2 3

t tx x

y x y

−−−−= += += += + = − − += − − += − − += − − + 1 1

3 2 3t t t

y x y− −− −− −− −= − − += − − += − − += − − +

2 3x x y z= + += + += + += + +1 1 1

2 3

0.8 0.8 0 0

t t t tx x y z

y x y y

− − −− − −− − −− − −= + += + += + += + +

= == == == =1 10.8 0.8 0 0

1.4 2

t t t ty x y y

z x y

− −− −− −− −

= == == == =

= −= −= −= −

1 11.4 2

t t tz x y− −− −− −− −

= −= −= −= −

numaralı denklem sistemlerini de matris

55

numaralı denklem sistemlerini de matris

4 0 2x x 14 0 2

3 2 3

t tx x

y y

−−−− = += += += +

− −− −− −− − 13 2 3t ty y −−−−

− −− −− −− −

12 1 3

0.8 0.8 0 0

t tx x

y x y y

−−−−

= == == == =1 1

1

0.8 0.8 0 0

1.4 2 0

t t t t

t t

y x y y

z z

− −− −− −− −

−−−−

= == == == =

−−−− 11.4 2 0

t tz z −−−− −−−−

Sistem dengedeyken, tüm değerlerindeSistem dengedeyken, tüm değerlerinde

olacağından, şunu yazabiliriz:

* *a bx x ====

* *

a bx x

c dy y

==== c dy y

Buna göre, denge çözümünü de şöyle

* * * *u = Au u - Au = 0→→→→

(((( )))) * *I - A u = 0 u = I - A 0 = 0→→→→(((( ))))I - A u = 0 u = I - A 0 = 0→→→→

değerlerinde xt=xt−1=x* ve yt=yt−1=y*

66

değerlerinde xt=xt−1=x ve yt=yt−1=y

* *u = Auya da

şöyle elde edebiliriz:

* * * *u = Au u - Au = 0

(((( ))))-1* *I - A u = 0 u = I - A 0 = 0(((( ))))I - A u = 0 u = I - A 0 = 0

Sistem homojen değilse, denge çözümü

* * sa bx x * *1

* *2

sa bx x

sc dy y

= += += += + 2

sc dy y

Buna göre, denge çözümünü de şöyle

* * * *u = Au + s u - Au = s→→→→

(((( )))) * *I - A u = s u = I - A s→→→→(((( ))))I - A u = s u = I - A s→→→→

(I−A)−1 var olduğu sürece, tanımlı denge

çözümü şöyle sağlanacaktır:77

s 1

2

s

s

* *u = Au + sya da

2s

şöyle elde edebiliriz:

* * * *u = Au + s u - Au = s

(((( ))))-1* *I - A u = s u = I - A s(((( ))))I - A u = s u = I - A s

denge değerleri elde edilir.

ÖrnekÖrnek 11::ÖrnekÖrnek 11::

2 3x x y− −− −= += += += + 1 12 3

2

t t tx x y

y x y

− −− −− −− −= += += += + = − += − += − += − + 1 1

2t t t

y x y− −− −− −− −= − += − += − += − +

1 3I - A

2 0

− −− −− −− − ====

−−−−I - A

2 0====

−−−−

(((( ))))* *

*1 3 0

I - A ux x − −− −− −− −

= = →= = →= = →= = → (((( )))) *

* *I - A u

2 0 0

x x

y y

− −− −− −− − = = →= = →= = →= = →

−−−−

88

2 3x x 1

1

2 3

2 1

t t

t t

x x

y y

−−−−

−−−−

====

−−−− 12 1t ty y −−−−−−−−

* *1 3 0 0x x ===== = →= = →= = →= = → * *

0

2 0 0 0

x x

y y

===== = →= = →= = →= = →

====

ÖrnekÖrnek 22::ÖrnekÖrnek 22::

4 2x x= += += += + 14 2

2 2 3

t tx x

y x y

−−−−= += += += + = − − += − − += − − += − − + 1 1

2 2 3t t t

y x y− −− −− −− −

= − − += − − += − − += − − +

(((( )))) (((( ))))-1 -1*u = I - A s , I - A(((( )))) (((( ))))

* 1* 3

20u

x −−−− = = →= = →= = →= = →

* 3

*u

31 1y= = →= = →= = →= = →

− −− −− −− −

99

4 0 2x x 14 0 2

3 2 3

t tx x

y y

−−−−

= += += += + −−−− 13 2 3t t

y y −−−−

−−−−

−−−− 1-1 -1 3

0

1 1

−−−− ====

− −− −− −− − 1 1

− −− −− −− −

* 2 3x = −= −= −= − = = →= = →= = →= = →

* 5 3y

= = →= = →= = →= = → ====

Yukarıda bir fark denklemi sisteminin

lenebileceğini gördük. Bundan sonraki

değerlerinden uzaklaştığında, yeniden

yakınsayıp yakınsamayacağınayakınsayıp yakınsamayacağına

belirlemek, sistemin çözülmesiyle görülebilirbelirlemek, sistemin çözülmesiyle görülebilir

doğrusal homojen bir sistemi dikkate

(((( ))))t t-1

u = Au

(((( ))))

(((( ))))

2

t-2 t-2= A Au = A u

(((( ))))2 3

t-3 t-3= A Au = A u

� �� �� �� �� �� �� �� �

sisteminin denge noktalarının nasıl belir-1010

sonraki aşamada, sistemin, denge

yeniden kararlı biçimde dengeye

bakacağız. Sürecin kararlılığınıbakacağız. Sürecin kararlılığını

görülebilir. Örneğin birinci sıradangörülebilir. Örneğin birinci sıradan

dikkate alalım.

2

t-2 t-2= A Au = A u

2 3

t-3 t-3= A Au = A u

� �� �� �� �� �� �� �� �

Bunun çözümü:

t

t 0u = A u

t 0

Birinci sıradan homojen olmayan

yukarıdaki gibi çözebiliriz.

(((( ))))t t-1

u = Au + s

(((( ))))

(((( ))))t-2 t-2

2 3 2

= A Au + s + s = A u + As + s

= A Au + s + As + s = A u + A s + As + s(((( ))))2 3 2

t-3 t-3= A Au + s + As + s = A u + A s + As + s

((((t 2 t-1

t 0u = A u + I + A + A + ... + A s((((t 0u = A u + I + A + A + ... + A s

1111

olmayan doğrusal fark denklemini de

22

t-2 t-2

2 3 2

= A Au + s + s = A u + As + s

= A Au + s + As + s = A u + A s + As + s2 3 2

t-3 t-3= A Au + s + As + s = A u + A s + As + s

))))t 2 t-1u = A u + I + A + A + ... + A s))))u = A u + I + A + A + ... + A s

Birinci sıradan homojen olmayan doğrusalBirinci sıradan homojen olmayan doğrusal

biçimde de çözebiliriz. Homojen

sapmaları dikkate alarak homojene

t t-1u = Au + s

t t-1

* *

u = Au + s

u = Au + s

(((( )))) (((( ))))

* *u = Au + s

(((( )))) (((( ))))* *

t t-1 t t-1u - u = A u - u z = Az

tz

t-1z

1212

doğrusal fark denklemini farklı birdoğrusal fark denklemini farklı bir

olmayan bu sistemi, dengeden

dönüştürürüz:

))))))))* *

t t-1 t t-1u - u = A u - u z = Az→→→→

Şimdi yeniden birinci sıradan homojenŞimdi yeniden birinci sıradan homojen

çözümüne bakalım. Bunun için karakteristik

Fark denklemleri sistemini matris biçimde

1t tx xa b −−−−

====1

1

t t

t t

x xa b

y yc d

−−−−

−−−−

==== 1t tc d −−−−

A

Bunun çözümünü de şöyle belirlemiştik

A

t

t 0u = A u

t 0u = A u

1313

homojen doğrusal fark denkleminihomojen doğrusal fark denklemini

karakteristik köklerden yararlanacağız.

biçimde yeniden tanımlayalım.

u = Aut t-1

u = Auya da

belirlemiştik:

A matrisinin karakteristik kökleriA matrisinin karakteristik kökleri

denklem sisteminin çözümüne

köşegenleştirme yapalım.

2 -1 -1b 0

D = = V AV V DV = A

(((( )))) ((((

1

D = = V AV V DV = A0 b

(((( )))) ((((2 -1 -1 -1 2A = V DV V DV = V D V

(((( )))) ((((2 -1 2 -1 -1 3A = V D V V DV = V D V(((( )))) ((((����

t -1 tA = V D V

1414

kökleri ve vektörlerini kullanarak, farkkökleri ve vektörlerini kullanarak, fark

çözümüne ulaşmak için, ilk olarak

-1 -1D = = V AV V DV = A→→→→

))))

D = = V AV V DV = A→→→→

))))2 -1 -1 -1 2A = V DV V DV = V D V

))))2 -1 2 -1 -1 3A = V D V V DV = V D V))))

t -1 tt -1 tA = V D V

t -1 t

t 0 0u = A u = V D Vu

-1 10

u = V Vu , V = v v

tb -1 1

t 0

2

0u = V Vu , V = v v

0 t

b

b

Buna göre (belirli olmayan) genel çözümBuna göre (belirli olmayan) genel çözüm

1 2

t 1 1 2 2u = v v

b bt tA b A b++++

1515

t 0 0u = A u = V D Vu

b bu = V Vu , V = v v 1 2b b

t 0u = V Vu , V = v v

çözüm:çözüm:

Genel çözümdeki A1 ve A2 terimleriGenel çözümdeki A1 ve A2 terimleri

belirsiz genel çözüm de diyebilirizbelirsiz genel çözüm de diyebiliriz

belirleyebiliriz.

1 2 1 2u = v v , 0 u = v vb b b bt tA b A b t A A+ = → ++ = → ++ = → ++ = → +1 2 1 2

t 1 1 2 2 0 1 2u = v v , 0 u = v v

b b b bt tA b A b t A A+ = → ++ = → ++ = → ++ = → +

1 2 1 2b b

0 1 2u = v v v v V

b bA A + = =+ = =+ = =+ = =

1 -1A

====1 -1

0

2

V uA

A

====

2

terimleri belirli olmadığından, bu çözüme

1616

terimleri belirli olmadığından, bu çözüme

diyebiliriz. t=0 alarak, bu terimleridiyebiliriz. t=0 alarak, bu terimleri

1 2 1 2u = v v , 0 u = v vb b b b

A b A b t A A+ = → ++ = → ++ = → ++ = → +1 2 1 2

t 1 1 2 2 0 1 2u = v v , 0 u = v v

b b b bA b A b t A A

A A

+ = → ++ = → ++ = → ++ = → +

1 2 1 2 1 1b b

2 2

u = v v v v VA A

A A

+ = =+ = =+ = =+ = =

2 2A A

ÖrnekÖrnek 33::ÖrnekÖrnek 33::

18

t t tx x y++++ = − − += − − += − − += − − +

1

1

8

4 0.3 0.9

t t t

t t t

x x y

y x y

++++

++++

= − − += − − += − − += − − +

= − += − += − += − +1

0 0

4 0.3 0.9

2 , 8

t t ty x y

x y

++++ = − += − += − += − +

= == == == =0 0

2 , 8x y= == == == =

Bu, birinci sıradan homojen olmayan

Bunu homojen hale dönüştürmek için,Bunu homojen hale dönüştürmek için,

* *

1 1,

t t t tx x x y y y+ ++ ++ ++ += = = == = = == = = == = = =

1717

4 0.3 0.9t t t

y x y4 0.3 0.9t t t

y x y

olmayan bir fark denklemi sistemidir.

için, dengeden farkını alalım.için, dengeden farkını alalım.

* *

1 1t t t tx x x y y y+ ++ ++ ++ += = = == = = == = = == = = =

18

t t tx x y++++ = − − += − − += − − += − − +

1

* * *

8

8

t t tx x y

x x y

++++ = − − += − − += − − += − − +

= − − += − − += − − += − − +

(((( ))))

* * *

* * *

8x x y= − − += − − += − − += − − +

− = − − + −− = − − + −− = − − + −− = − − + −(((( ))))* * *

1t t tx x x x y y++++ − = − − + −− = − − + −− = − − + −− = − − + −

4 0.3 0.9y x y= − += − += − += − +1

4 0.3 0.9t t t

y x y++++ = − += − += − += − +

* * *4 0.3 0.9y x y= − += − += − += − +

((((* * *

10.3 0.9

t t ty y x x y y++++ − = − − + −− = − − + −− = − − + −− = − − + −((((1t t t++++

1818

(((( ))))* * *− = − − + −− = − − + −− = − − + −− = − − + −(((( ))))* * *

t t tx x x x y y− = − − + −− = − − + −− = − − + −− = − − + −

y x yt t t

y x y

)))) (((( ))))* * *0.3 0.9t t t

y y x x y y− = − − + −− = − − + −− = − − + −− = − − + −)))) (((( ))))t t t

Bu durumda her iki fark denklemi

İkinci aşamada bu sistemi matris

kökleri ve vektörleri araştıralım.

(((( ))))* * *

1t t tx x x x y y++++ − = − − + −− = − − + −− = − − + −− = − − + −(((( ))))

((((* * *

10.3 0.9

t t ty y x x y y++++ − = − − + −− = − − + −− = − − + −− = − − + −((((1

0.3 0.9t t t

y y x x y y++++ − = − − + −− = − − + −− = − − + −− = − − + −

* *

1

* *

1 1t t

x x x x++++ −−−−− −− −− −− −

==== −−−−− −− −− −− −* *

10.3 0.9

t ty y y y++++

==== −−−−− −− −− −− −

A

denklemi de homojen hale dönüşmüştür.1919

biçimiyle yazalım ve karakteristik

(((( ))))* * *

t t tx x x x y y− = − − + −− = − − + −− = − − + −− = − − + −(((( ))))

)))) (((( ))))* * *0.3 0.9

t t ty y x x y y− = − − + −− = − − + −− = − − + −− = − − + −)))) (((( ))))0.3 0.9

t t ty y x x y y− = − − + −− = − − + −− = − − + −− = − − + −

* *

* *

1 1t t

x x x x − −− −− −− −

− −− −− −− −* *0.3 0.9t t

y y y y

− −− −− −− −

Karakteristik kökler:

1 1−−−− ====

1 1A

0.3 0.9

−−−− ====

−−−−

1 1b

− −− −− −− − ====

1 1A - bI

0.3 0.9

b

b

− −− −− −− − ====

− −− −− −− −

1 1b

− −− −− −− −= = + − == = + − == = + − == = + − =

1 1A - bI 0.1 0.6 0

0.3 0.9

b

b

− −− −− −− −= = + − == = + − == = + − == = + − =

− −− −− −− −

1 2

0.3 0.9

0.7262 , 0.8262

b

b b

− −− −− −− −

= = −= = −= = −= = −1 2

0.7262 , 0.8262b b= = −= = −= = −= = −

2020

b

= = + − == = + − == = + − == = + − =2A - bI 0.1 0.6 0b bb

= = + − == = + − == = + − == = + − =

0.7262 , 0.8262

b

0.7262 , 0.8262

Karakteristik vektörler:

10.7262b ====

(((( )))) ((((

10.7262

A I v 0 A 0.7262I v 0b b

b

b

====

− = → − =− = → − =− = → − =− = → − =(((( )))) ((((1 1

1A I v 0 A 0.7262I v 0

b bb− = → − =− = → − =− = → − =− = → − =

1

11.7262 1 0b

v −−−− ====

1

1

20.3 0.1738 0b

v

v

====

−−−−

1 11.7262 0b b

v v − + =− + =− + =− + = 1 1

1 1

1 21.7262 0

0.3 0.1738 0b b

v v

v v

− + =− + =− + =− + = − + =− + =− + =− + =

1 1

1 20.3 0.1738 0

b bv v − + =− + =− + =− + =

2121

))))A I v 0 A 0.7262I v 0b b− = → − =− = → − =− = → − =− = → − =))))1 1A I v 0 A 0.7262I v 0b b− = → − =− = → − =− = → − =− = → − =

1.7262 1 0 ====

0.3 0.1738 0

====

1’e normalleştirme1’e normalleştirme

1 1

2 11 0.5793

b bv v= → == → == → == → =

20.8262b = −= −= −= −

(((( )))) ((((2 2

2A I v 0 A 0.8262I v 0

b bb− = → + =− = → + =− = → + =− = → + =(((( )))) ((((2

A I v 0 A 0.8262I v 0

0.1738 1 0b

b

v

− = → + =− = → + =− = → + =− = → + =

−−−− 2

2

1

2

0.1738 1 0

0.3 1.7262 0

b

b

v

v

−−−− ====

−−−− 2

20.3 1.7262 0v−−−−

2 2

1 20.1738 0

b bv v − + =− + =− + =− + =

2 2

1 20.3 1.7262 0

b bv v

− + =− + =− + =− + =

2222

))))2 2A I v 0 A 0.8262I v 0b b− = → + =− = → + =− = → + =− = → + =))))A I v 0 A 0.8262I v 0

0.1738 1 0

− = → + =− = → + =− = → + =− = → + =

0.1738 1 0

0.3 1.7262 0

====

0.3 1.7262 0

2 2

2 11 5.7537

b bv v

= → == → == → == → = 2 2

2 11 5.7537v v= → == → == → == → =

0.5793 5.7537 1 2

0.5793 5.7537V v v

1 1

b b = == == == =

1 1

0tb

-11

t 0

2

0u V V u

0

t

t

b

b

====

(((( ))))

20

0.7262 0t

b

(((( ))))

((((t 0

0.7262 0u V V u

0 0.8262

t ==== −−−−((((

t 0

0 0.8262 −−−−

0 0 02 , 8 ux y= = → == = → == = → == = → =

0 0 0

2323

0.5793 5.7537 0.5793 5.7537

1 1

1 1

0.7262 0

))))-1

t 0

0.7262 0u V V u

0 0.8262t

−−−− ))))

t 0

0 0.8262t −−−−

−−−−0 0 0

4.42 , 8 u

12.8

−−−− = = → == = → == = → == = → =

−−−− 0 0 0

12.8 −−−−

((((*

10.7262 0

u V Vtx x++++

−−−− = == == == =

1

t *

1

u V V0 0.8262

t

ty y

++++

++++

= == == == = −−−−

0.5793 5.7537 0.193 1.11 0.5793 5.7537 0.193 1.11V , V

1 1 0.193 0.11

= == == == = 1 1 0.193 0.11

((((*

17.75 0.7262 3.35 0.8262

tx x++++

− + −− + −− + −− + − −−−− ====

((((

((((1

*

1 13.38 0.7262 5.83 0.8262

t

t

x x

y y

++++

++++

−−−− ====

−−−− − + −− + −− + −− + −

2424

))))-1

0.7262 0 4.4u V V

t −−−−

(((( ))))-1

u V V12.80 0.8262

t

−−−− −−−−

0.5793 5.7537 0.193 1.11−−−− 10.5793 5.7537 0.193 1.11

V , V1 1 0.193 0.11

−−−−−−−−

= == == == = −−−− 1 1 0.193 0.11−−−−

)))) (((( ))))7.75 0.7262 3.35 0.8262t t − + −− + −− + −− + −

)))) (((( ))))

)))) (((( ))))13.38 0.7262 5.83 0.8262t t

− + −− + −− + −− + −

(((( ))))* 7.75 0.7262 3.35 0.8262t t

x x− = − + −− = − + −− = − + −− = − + −(((( ))))

(((( ))))

*

1

*

7.75 0.7262 3.35 0.8262

13.38 0.7262 5.83 0.8262

t

t t

x x

y y

++++ − = − + −− = − + −− = − + −− = − + −

− = − + −− = − + −− = − + −− = − + −(((( ))))*

113.38 0.7262 5.83 0.8262

t t

ty y++++ − = − + −− = − + −− = − + −− = − + −

Denge değerlerini de (x*, y*) belirleyerek,

18

t t tx x y++++ = − − += − − += − − += − − +

= − += − += − += − +1

4 0.3 0.9t t t

y x y++++ = − += − += − += − +

= = = == = = == = = == = = =* *

1 1,

t t t tx x x y y y+ ++ ++ ++ += = = == = = == = = == = = =

* * *8x x yx y

= − − += − − += − − += − − + = − += − += − += − +* * *

4 0.3 0.9

x y

y x y= − += − += − += − +

2525

(((( ))))7.75 0.7262 3.35 0.8262t t

− = − + −− = − + −− = − + −− = − + −(((( ))))

(((( ))))

7.75 0.7262 3.35 0.8262

13.38 0.7262 5.83 0.8262t t

− = − + −− = − + −− = − + −− = − + −

− = − + −− = − + −− = − + −− = − + −(((( ))))13.38 0.7262 5.83 0.8262t t

− = − + −− = − + −− = − + −− = − + −

belirleyerek, sistemin grafiğini çizebiliriz.

= = = == = = == = = == = = =* *

t t t tx x x y y y= = = == = = == = = == = = =

* *6.4 , 20.8x y= == == == =6.4 , 20.8x y= == == == =

(((( ))))17.75 0.7262 3.35 0.8262 6.4

t t

tx ++++ = − + − += − + − += − + − += − + − +(((( ))))

(((( ))))

1

1

7.75 0.7262 3.35 0.8262 6.4

13.38 0.7262 5.83 0.8262 20.8

t

t t

t

x

y

++++

++++

= − + − += − + − += − + − += − + − +

= − + − += − + − += − + − += − + − +(((( ))))113.38 0.7262 5.83 0.8262 20.8

ty ++++ = − + − += − + − += − + − += − + − +

Yukarıdaki sonuç, sistemin belirli genel

aşağıdaki 7.1a ve 71.b grafiklerinden

gerçekleşmesini görebilmekteyiz.

2626

(((( ))))7.75 0.7262 3.35 0.8262 6.4t t

= − + − += − + − += − + − += − + − +(((( ))))

(((( ))))

7.75 0.7262 3.35 0.8262 6.4

13.38 0.7262 5.83 0.8262 20.8t t

= − + − += − + − += − + − += − + − +

= − + − += − + − += − + − += − + − +(((( ))))13.38 0.7262 5.83 0.8262 20.8= − + − += − + − += − + − += − + − +

genel çözümüdür. Bu sisteme ilişkin

grafiklerinden de yakınsama sürecinin

Şekil 7.1a. Fark Denklemlerinin Yakınsama SüreciŞekil 7.1a. Fark Denklemlerinin Yakınsama SüreciŞekil 7.1a. Fark Denklemlerinin Yakınsama SüreciŞekil 7.1a. Fark Denklemlerinin Yakınsama Süreci

25

1ty ++++

= − + − += − + − += − + − += − + − +

20

1ty ++++

= − + − += − + − += − + − += − + − +

15

5

10

1tx ++++ = − + − += − + − += − + − += − + − +

0

5

-5

01 10

-5

2727

ekil 7.1a. Fark Denklemlerinin Yakınsama Süreciekil 7.1a. Fark Denklemlerinin Yakınsama Süreciekil 7.1a. Fark Denklemlerinin Yakınsama Süreciekil 7.1a. Fark Denklemlerinin Yakınsama Süreci

(((( )))) (((( ))))13.38 0.7262 5.83 0.8262 20.8t t

= − + − += − + − += − + − += − + − +(((( )))) (((( ))))13.38 0.7262 5.83 0.8262 20.8= − + − += − + − += − + − += − + − +

x(t)y(t)y(t)

(((( )))) (((( ))))7.75 0.7262 3.35 0.8262 6.4t t

= − + − += − + − += − + − += − + − +

t19 28

t

Şekil 7.1b. Fark Denklemlerinin Yakınsama SüreciŞekil 7.1b. Fark Denklemlerinin Yakınsama SüreciŞekil 7.1b. Fark Denklemlerinin Yakınsama SüreciŞekil 7.1b. Fark Denklemlerinin Yakınsama Süreci

25.0 ( )y t

20.020.8

••••

15.0

10.0

5.0

0.0

-4 -2 0

2828

ekil 7.1b. Fark Denklemlerinin Yakınsama Süreciekil 7.1b. Fark Denklemlerinin Yakınsama Süreciekil 7.1b. Fark Denklemlerinin Yakınsama Süreciekil 7.1b. Fark Denklemlerinin Yakınsama Süreci

••••

18

t t tx x y++++

= − − += − − += − − += − − +1

14 0.3 0.9

2 , 8

t t t

t t ty x y

x y

++++

++++= − += − += − += − +

= == == == =

( )x t

0 02 , 8x y= == == == =

••••2 4 6 8

( )x t

6.4••••

Sistemdeki değişken sayısı üçe çıktığında

t -1 tA = V D V

t -1 t

A = V D V

u = A u = V D Vut -1 t

t 0 0u = A u = V D Vu

1

-1

0 0

u = V 0 0 Vu , V = v v v

t

t

b

b

-1

t 2 0

3

u = V 0 0 Vu , V = v v v

0 0

t

t

b

b

3

0 0 b

1 2

t 1 1 2 2 2 2u = v v v

b bt t tA b A b A b+ ++ ++ ++ +t 1 1 2 2 2 2

u = v v vA b A b A b+ ++ ++ ++ +

2929çıktığında.

bb bu = V 0 0 Vu , V = v v v 31 2 bb bu = V 0 0 Vu , V = v v v

3

t 1 1 2 2 2 2u = v v v

bt t tA b A b A bt 1 1 2 2 2 2

u = v v vA b A b A b

ÖrnekÖrnek 44::ÖrnekÖrnek 44::

1 1 12

t t t tx x y z− − −− − −− − −− − −= + += + += + += + +

1 1 12

t t t tx x y z

y x y

− − −− − −− − −− − −= + += + += + += + +

= − += − += − += − +1 1

3 6

t t ty x y

z x y z

− −− −− −− −= − += − += − += − +

= − −= − −= − −= − −1 1 1

3 6

3 , 4 , 3

t t t tz x y z

x y z

− − −− − −− − −− − −= − −= − −= − −= − −

= = − == = − == = − == = − =0 0 0

3 , 4 , 3x y z= = − == = − == = − == = − =

Bu, birinci sıradan homojen doğrusal

Bunu ilk olarak matris biçimde tanımlayalım

karakteristik kökler ve vektörleri belirleyerekkarakteristik kökler ve vektörleri belirleyerek

3030

1 1 11 1 1

z x y z1 1 1

3 , 4 , 3

t t t tz x y z− − −− − −− − −− − −

= = − == = − == = − == = − =3 , 4 , 3= = − == = − == = − == = − =

doğrusal bir fark denklemi sistemidir.

tanımlayalım. Sonraki aşamalarda,

belirleyerek çözüme ulaşalım.belirleyerek çözüme ulaşalım.

1 2 1x x 1 2 1

1 1 0

t t

t t

x x

y y

= −= −= −= − 1 1 0

3 6 1

t t

t t

y y

z z

= −= −= −= − − −− −− −− −

1 2 1

t t

b

−−−− 1 2 1

A - bI 1 1 0

b

b

−−−−

= − −= − −= − −= − − 3 6 1

− − −− − −− − −− − −

(((( 2A - bI 2 0b b b= − − == − − == − − == − − =((((A - bI 2 0

1 , 0 , 2 ,

b b b

b b b

= − − == − − == − − == − − =

= − = == − = == − = == − = =1 2 3

1 , 0 , 2 ,b b b= − = == − = == − = == − = =

3131

1 2 1x x 1

1

1 2 1

1 1 0

t t

t t

x x

y y

−−−−

−−−−

1

1

1 1 0

3 6 1

t t

t t

y y

z z

−−−−

−−−−

− −− −− −− − 1

1 2 1

t t −−−−

1 2 1

A - bI 1 1 0b

3 6 1 b − − −− − −− − −− − −

))))A - bI 2 0= − − == − − == − − == − − =))))A - bI 2 0

1 , 0 , 2 ,b b b

= − − == − − == − − == − − =

= − = == − = == − = == − = =1 2 3

1 , 0 , 2 ,b b b= − = == − = == − = == − = =

11b = −= −= −= −

(((( )))) ((((1 1

1

A I v 0 A ( 1)I v 0b b

b− = → − − =− = → − − =− = → − − =− = → − − =(((( )))) ((((1 1

1A I v 0 A ( 1)I v 0b− = → − − =− = → − − =− = → − − =− = → − − =

1

1

12 2 1 0

1 2 0 0

b

b

v

v

− =− =− =− = 1

1

2

3

1 2 0 0

3 6 0 0

b

b

v

v

− =− =− =− =

−−−−

1 1 1

33 6 0 0

2 2 0b b b

v

v v v

−−−−

+ + =+ + =+ + =+ + =1 1 1

1 2 32 2 0

2 0 1 , 3

b b b

b b b b b

v v v

v v v v v

+ + =+ + =+ + =+ + =

− + = = = = −− + = = = = −− + = = = = −− + = = = = −1 1 1 1 1

1 2 1 2 32 0 1 , 3

3 6 0

b b b b b

b b

v v v v v

v v

− + = = = = −− + = = = = −− + = = = = −− + = = = = −

− =− =− =− =1 1

1 23 6 0

b bv v − =− =− =− =

3232

))))1 1A I v 0 A ( 1)I v 0b b− = → − − =− = → − − =− = → − − =− = → − − =))))1 1A I v 0 A ( 1)I v 0− = → − − =− = → − − =− = → − − =− = → − − =

1’e normalleştirme

}}}} 12 0 1 , 3

b b b b bv v v v v− + = = = = −− + = = = = −− + = = = = −− + = = = = −}}}}1 1 1 1 1

1 2 1 2 3

12 0 1 , 3

2

b b b b bv v v v v− + = = = = −− + = = = = −− + = = = = −− + = = = = −

20b ====

(((( )))) ((((2 2

2

A I v 0 A (0)I v 0b b

b− = → − =− = → − =− = → − =− = → − =(((( )))) ((((2 2

2A I v 0 A (0)I v 0b− = → − =− = → − =− = → − =− = → − =

2

2

11 2 1 0

1 1 0 0

b

b

v

v

− =− =− =− = 2

2

2

3

1 1 0 0

3 6 1 0

b

b

v

v

− =− =− =− =

− −− −− −− −

2 2 2

33 6 1 0

2 0b b b

v

v v v

− −− −− −− −

+ + =+ + =+ + =+ + =2 2 2

1 2 32 0

0 1 1 , 3

b b b

b b b b b

v v v

v v v v v

+ + =+ + =+ + =+ + =

− + = = = = −− + = = = = −− + = = = = −− + = = = = −2 2 2 2 2

1 2 1 2 30 1 1 , 3

3 6 0

b b b b b

b b b

v v v v v

v v v

− + = = = = −− + = = = = −− + = = = = −− + = = = = −

− − =− − =− − =− − =2 2 2

1 2 23 6 0

b b bv v v − − =− − =− − =− − =

3333

))))2 2A I v 0 A (0)I v 0b b− = → − =− = → − =− = → − =− = → − =))))2 2A I v 0 A (0)I v 0− = → − =− = → − =− = → − =− = → − =

1’e normalleştirme

}}}}0 1 1 , 3b b b b b

v v v v v

− + = = = = −− + = = = = −− + = = = = −− + = = = = − }}}}2 2 2 2 2

1 2 1 2 30 1 1 , 3

b b b b bv v v v v

− + = = = = −− + = = = = −− + = = = = −− + = = = = −

32b ====

(((( )))) ((((3 3

3

A I v 0 A (2)I v 0b b

b− = → − =− = → − =− = → − =− = → − =(((( )))) ((((3 3

3A I v 0 A (2)I v 0b− = → − =− = → − =− = → − =− = → − =

3

3

11 2 1 0

1 1 0 0

b

b

v

v

−−−−

− − =− − =− − =− − = 3

3

2

3

1 1 0 0

3 6 3 0

b

b

v

v

− − =− − =− − =− − =

− −− −− −− − 33 6 3 0

2 0b b b

v

v v v

− −− −− −− −

− + + =− + + =− + + =− + + =3 3 3

1 2 32 0

0 1 1 , 3

b b b

b b b b b

v v v

v v v v v

− + + =− + + =− + + =− + + =

− − = = = − =− − = = = − =− − = = = − =− − = = = − =3 3 3 3 3

1 2 1 2 30 1 1 , 3

3 6 3 0

b b b b b

b b b

v v v v v

v v v

− − = = = − =− − = = = − =− − = = = − =− − = = = − =

− − =− − =− − =− − =3 3 3

1 2 23 6 3 0

b b bv v v − − =− − =− − =− − =

3434

))))3 3A I v 0 A (2)I v 0b b− = → − =− = → − =− = → − =− = → − =))))3 3A I v 0 A (2)I v 0− = → − =− = → − =− = → − =− = → − =

1’e normalleştirme

}}}}0 1 1 , 3b b b b b

v v v v v

− − = = = − =− − = = = − =− − = = = − =− − = = = − = }}}}3 3 3 3 3

1 2 1 2 30 1 1 , 3

b b b b bv v v v v

− − = = = − =− − = = = − =− − = = = − =− − = = = − =

1 1 1 1 2

1 1 1

v 0.5 , v 1 , v 1b b

= = = −= = = −= = = −= = = − 3 3 3 − −− −− −− −

1

1 1 1 0 2 0.67 3−−−−

= − = = −= − = = −= − = = −= − = = −1V 0.5 1 1 , V 0.5 2 0.5 , u 4

3 3 3 0.5 0 0.167 3

−−−− = − = = −= − = = −= − = = −= − = = − − −− −− −− −

(((( ))))

3 3 3 0.5 0 0.167 3

t

− −− −− −− −

(((( ))))

(((( ))))-1

1 0 0

u = V 0 0 0 Vu

t

tt

x

y

−−−− ==== (((( ))))

((((

-1

t 0u = V 0 0 0 Vu

0 0 2

t

t

t

y

z

====

((((0 0 2tz

3535

1 1 1 3

1 1 1

v 0.5 , v 1 , v 1b

= = = −= = = −= = = −= = = − 3 3 3

1 1 1 0 2 0.67 3− −− −− −− −

= − = = −= − = = −= − = = −= − = = −0

V 0.5 1 1 , V 0.5 2 0.5 , u 4

3 3 3 0.5 0 0.167 3

= − = = −= − = = −= − = = −= − = = − 3 3 3 0.5 0 0.167 3

1 0 0

u = V 0 0 0 Vu

(((( ))))t 0

u = V 0 0 0 Vu

0 0 2t

(((( ))))0 0 2

(((( )))) (((( ))))6 1 2 2t t

x = − += − += − += − +(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

6 1 2 2t t

t

t t

x = − += − += − += − +

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

3 1 2 2t t

ty = − −= − −= − −= − −

(((( )))) (((( ))))18 1 6 2t t

tz = − − += − − += − − += − − +

3636

Şekil 7.2. Fark Denklemlerinin Iraksama SüreciŞekil 7.2. Fark Denklemlerinin Iraksama SüreciŞekil 7.2. Fark Denklemlerinin Iraksama SüreciŞekil 7.2. Fark Denklemlerinin Iraksama Süreci

200000

250000

150000

200000

100000

0

50000

-50000

0

0 5

x(t)

y(t)

-100000

y(t)

Z(t)

3737

ekil 7.2. Fark Denklemlerinin Iraksama Süreciekil 7.2. Fark Denklemlerinin Iraksama Süreciekil 7.2. Fark Denklemlerinin Iraksama Süreciekil 7.2. Fark Denklemlerinin Iraksama Süreci

10 15

Şu ana kadar fark denklemleriŞu ana kadar fark denklemleri

doğrusal bağımsız öz-vektörlerinden

sürecinde kullandığımız A ve V’nin

tanımlayalım.tanımlayalım.

-1 -1V AV J A VJ V

t t≡ → =≡ → =≡ → =≡ → =

t t-1 t 0 t 0

V AV J A VJ V

u Au u A u u VJ V u

≡ → =≡ → =≡ → =≡ → =

= → = → == → = → == → = → == → = → =t t-1 t 0 t 0

u Au u A u u VJ V u

0 0tb

= → = → == → = → == → = → == → = → =

����1

2

0 0

0 0J

t

t

t

b

b

====

����

����2

0 0J t b ====

����

� � �� � �� � �� � �

0 0 t

nb

����

3838

sistemini çözerken, A matrisininsistemini çözerken, A matrisinin

vektörlerinden (V) yararlandık. Çözüm

’nin Jordan biçimini sistematik olarak

-1 -1V AV J A VJ V

t t≡ → =≡ → =≡ → =≡ → =

-1

t t-1 t 0 t 0

V AV J A VJ V

u Au u A u u VJ V ut t

≡ → =≡ → =≡ → =≡ → =

= → = → == → = → == → = → == → = → =t t-1 t 0 t 0

u Au u A u u VJ V u= → = → == → = → == → = → == → = → =

Buna göre, fark denklemleri sistemininBuna göre, fark denklemleri sisteminin

yapmamız gereken, J ve V matrisleriniyapmamız gereken, J ve V matrislerini

b1, b2,…,bn A matrisinin farklı öz-değerleriyse,

doğrusal bağımsız olan v1, v2,…,v

değerler (karakteristik kökler)

doğrusal bağımsızlığı ortadan kalkar

yapılamaz. Bununla birlikte, çözümün

bir sahte köşegenleştirme olanaklıdırbir sahte köşegenleştirme olanaklıdır

3939

sisteminin çözümüne ulaşabilmek içinsisteminin çözümüne ulaşabilmek için

matrislerini bulmaktır.matrislerini bulmaktır.

değerleriyse, bu durumda birbirinden

vn öz-vektörleri belirlenebilir. Öz-

tekrar ediyorsa, öz-vektörlerin

kalkar. Yani köşegenleştirme işlemi

çözümün elde edilmesine olanak sağlayan

olanaklıdır.olanaklıdır.

Şimdi farklı kökler, tek kök ve sanalŞimdi farklı kökler, tek kök ve sanal

bir fark denklemi (2x2 matris) için özetleyelimbir fark denklemi (2x2 matris) için özetleyelim

b 1-1

1V AV J

0

b ≡ =≡ =≡ =≡ =

0

1b

-1

2

1V AV J

0

b

b

≡ =≡ =≡ =≡ =

0 b

α + βα + βα + βα + β -1

3V AV J

0

α + βα + βα + βα + β ≡ =≡ =≡ =≡ =

0

4040

sanal kökler durumlarını, iki değişkenlisanal kökler durumlarını, iki değişkenli

özetleyelim.özetleyelim.

0

2

0

b

2

1

b

1

b

0

b

i

α + βα + βα + βα + β 0

0

i

i

α + βα + βα + βα + β

α − βα − βα − βα − β 0 iα − βα − βα − βα − β

Sistemin çözümünü belirlediktenSistemin çözümünü belirledikten

inceleriz. Bunun için sistemin aşamainceleriz. Bunun için sistemin aşama

dönüşüm yapalım.dönüşüm yapalım.

u = Aut t 1

-1

u = Au

u = V AV Vz

−−−−

====-1

tu = V AV Vz

u = Vz AVz V Vz V AVz

t====

= → == → == → == → =t 1 1

u = Vz AVz V Vz V AVzt t t t

b

− −− −− −− −= → == → == → == → =

1

1z Jz ,

0t t

bJ

b−−−−

= == == == =

0 b

4141

belirledikten sonra, kararlı olup olmadığınıbelirledikten sonra, kararlı olup olmadığını

aşama grafiğini bize sağlayacak olan biraşama grafiğini bize sağlayacak olan bir

-1 -1u = Vz AVz V Vz V AVz= → == → == → == → =-1 -1

t 1 1u = Vz AVz V Vz V AVz

0

t t t t− −− −− −− −= → == → == → == → =

2

0

b

2

b

z =Jz , u =Au ifadesinin temelzt=Jzt-1 , ut=Aut-1 ifadesinin temel

maktadır. Çeşitli dönüştürme işlemleriylemaktadır. Çeşitli dönüştürme işlemleriyle

biçimin çözümü de şöyledir:biçimin çözümü de şöyledir:

1

0 0 0 0

0z J z z , z V u

t

t

t

b = = == = == = == = = 0 0 0 0

2

z J z z , z V u0

t tb= = == = == = == = =

1 1010

0

tt

t

z zb

z zb

====

2 2020

tt

z zb====

4242

ve sade biçimi olarak tanımlan-ve sade biçimi olarak tanımlan-

işlemleriyle elde ettiğimiz bu sadeişlemleriyle elde ettiğimiz bu sade

-1

0 0 0 0z J z z , z V u= = == = == = == = =

0 0 0 0z J z z , z V u= = == = == = == = =

(z / z ) oranına bakarak, sistemin(z2t / z1t) oranına bakarak, sistemin

söyleyebiliriz.söyleyebiliriz.

t t= == == == =1 1 10 2 2 20

,t t

t tz b z z b z= == == == =

2 2 20 202

tt

tz b z zb

= == == == = 1 1 101 10

t

tz b zb z

= == == == =

Buna göre, sistemin kararlılığı, (b2 /

sayısal büyüklüğüne bağlıdır. Bunları

4343

kararlı hareket edip etmeyeceğinikararlı hareket edip etmeyeceğini

t t

1 1 10 2 2 20

t tz b z z b z

2 2 20 20z b z z

1 1 10

z b z

/ b1) oranının hem işaretine hem de

Bunları özetleyelim:

İkiİki farklıfarklı reelreel kökkök durumundadurumunda sisteminsistemin

1. |b1|<1 ve |b2|<1 ise, sistem kararlıdır

2. | b1|>1 ve | b2|>1 ise, sistem kararsızdır1 2

3. | b1|>1 ve | b2|<1 ise, sistem kararsızdır3. | b1|>1 ve | b2|<1 ise, sistem kararsızdır

TekTek reelreel kökkök durumundadurumunda sisteminsistemin kararlılığıkararlılığı

1. |b|<1 ise, sistem asimptotik olarak

2. |b|>1 ise, sistem asimptotik olarak2. |b|>1 ise, sistem asimptotik olarak

4444sisteminsistemin kararlılığıkararlılığı::

kararlıdır.

kararsızdır.

kararsızdır.kararsızdır.

kararlılığıkararlılığı::

olarak kararlıdır.

olarak kararsızdır.olarak kararsızdır.

ÖrnekÖrnek 55:: İkiİki FarklıFarklı ReelReel KökKök DurumuDurumu

0.85078x x y= − −= − −= − −= − − 1

1

0.85078

2.35078

t t t

t t t

x x y

y x y

++++

++++

= − −= − −= − −= − −

= += += += + 12.35078

0.85078 1

t t ty x y

x x

++++ = += += += +

− −− −− −− − 1

1

0.85078 1

1 2.35078

t t

t t

x x

y y

++++

++++

− −− −− −− − ==== 1 1 2.35078

0.85078 1

t ty y++++

− − −− − −− − −− − − 0.85078 1(A - bI) 0 0

1 2.35078

− − −− − −− − −− − − = → == → == → == → =

(((( )))) (((( ))))0.85078 2.35078 1 0 2 , 0.5b b b b

− − − + = → = = −− − − + = → = = −− − − + = → = = −− − − + = → = = −(((( )))) (((( ))))0.85078 2.35078 1 0 2 , 0.5b b b b− − − + = → = = −− − − + = → = = −− − − + = → = = −− − − + = → = = −

4545DurumuDurumu

* 0x x x = = == = == = == = =*

1

*

1

0

0

t t

t t

x x x

y y y

++++

++++

= = == = == = == = =

= = == = == = == = = 10

t ty y y

x x

++++ = = == = == = == = =

t t

t t

x x

y y

0.85078 1

t ty y

b

− − −− − −− − −− − − 0.85078 1(A - bI) 0 0

1 2.35078

b

b

− − −− − −− − −− − − = → == → == → == → =

−−−−

1 20.85078 2.35078 1 0 2 , 0.5b b b b

− − − + = → = = −− − − + = → = = −− − − + = → = = −− − − + = → = = −1 2

0.85078 2.35078 1 0 2 , 0.5b b b b− − − + = → = = −− − − + = → = = −− − − + = → = = −− − − + = → = = −

Belirlediğimiz birinci kökü kullanarak,

12b ====12

(A - I)v 0 (A - 2I)v 0b b

b

b

====

= → == → == → == → =1 1

1(A - I)v 0 (A - 2I)v 0

b bb = → == → == → == → =

1

12.85078 1 0b

v − −− −− −− −

1

1

21 0.35078 0b

v

1 1

1 22.85078 0

b bv v − − =− − =− − =− − =

1 1

1 22.85078 0

0.35078 0b b

v v

v v

− − =− − =− − =− − = + =+ =+ =+ =

1 1

1 20.35078 0

b bv v + =+ =+ =+ =

4646kullanarak, birinci öz-vektörü bulalım.

(A - I)v 0 (A - 2I)v 0b b= → == → == → == → =1 1(A - I)v 0 (A - 2I)v 0b b= → == → == → == → =

1

12.85078 1 0b

v ====

1

1

21 0.35078 0b

v====

1 1

1 21 , 2.8508

b bv v

= = −= = −= = −= = −

Benzer şekilde ikinci kökü kullanarak,

20.5b = −= −= −= −

2 2

2(A - I)v 0 (A ( 0.5)I)v 0

b bb = → − − == → − − == → − − == → − − =

2(A - I)v 0 (A ( 0.5)I)v 0

0.35078 1 0b

b

v

= → − − == → − − == → − − == → − − =

− −− −− −− − 2

2

10.35078 1 0

1 2.85078 0

b

b

v

v

− −− −− −− −

2

21 2.85078 0v

2 2

1 20.35078 0

b bv v − − =− − =− − =− − =

2 2

1 22.85078 0

b bv v

+ =+ =+ =+ =

4747kullanarak, ikinci öz-vektörü bulalım.

2 2(A - I)v 0 (A ( 0.5)I)v 0b b= → − − == → − − == → − − == → − − =(A - I)v 0 (A ( 0.5)I)v 0

0.35078 1 0bv

= → − − == → − − == → − − == → − − =

2

2

10.35078 1 0

1 2.85078 0

b

b

v

v

====

2

21 2.85078 0v

2 2

1 21 , 2.8508

b bv v

= = −= = −= = −= = − 2 2

1 21 , 2.8508v v= = −= = −= = −= = −

Şimdi, yukarıdaki öz-vektörleri bir arada

1 2.8508 = == == == =1 2

1 2.8508v , v

2.8508 1

b b = == == == =

−−−− 2.8508 1

1 2.8508V

−−−−

−−−− ====

1 2.8508V

2.8508 1

−−−− ====

−−−−

Vektörlerden birisi kararlı yolu, diğeriVektörlerden birisi kararlı yolu, diğeri

tedir. Hangisinin kararlılık yolunu

sistemi sade (kanonik) biçimde yeniden

dönüştürme işlemini şöyle yapmıştıkdönüştürme işlemini şöyle yapmıştık

4848arada yazalım.

1 2.8508−−−− 1 2.8508

2.8508 1

−−−− 2.8508 1

diğeri de kararsız yolu göstermek-diğeri de kararsız yolu göstermek-

yolunu gösterdiğini belirleyebilmek için,

yeniden tanımlayalım. Kanonik biçime

yapmıştık:yapmıştık:

-1

1 1z V u

t t+ ++ ++ ++ +====1 1z V u

t t+ ++ ++ ++ +====

Dönüştürme işlemini birinci öz-vektör

elde edelim.

10.14 0.40

V−−−−− −− −− −− −

==== 1

0.14 0.40V

0.40 0.14

−−−−− −− −− −− −

==== − −− −− −− −

-1 -1

1 1 0 0z V u z V u

t t+ ++ ++ ++ += → == → == → == → =1 1 0 0

z V u z V u

0.14 0.40 1 0

t t+ ++ ++ ++ += → == → == → == → =

− −− −− −− − 0

0.14 0.40 1 0z

0.40 0.14 2.8508 1

− −− −− −− − = == == == =

− − −− − −− − −− − − 0

0.40 0.14 2.8508 1 − − −− − −− − −− − −

4949

vektör için yapalım ve kanonik çözümü

0.14 0.40

0.14 0.40

0.40 0.14

-1 -1

1 1 0 0z V u z V u= → == → == → == → =

1 1 0 0z V u z V u

0.14 0.40 1 0

= → == → == → == → =

0.14 0.40 1 0

0.40 0.14 2.8508 1

= == == == =

− − −− − −− − −− − − 0.40 0.14 2.8508 1 − − −− − −− − −− − −

1 1 10 12 1 2t t t

t tz b z z= → = == → = == → = == → = =

((((2 2 20 2

t

t tz b z z= → = − == → = − == → = − == → = − =

Benzer biçimde, ikinci öz-vektörleriBenzer biçimde, ikinci öz-vektörleri

leri elde ederiz.

1 1 10 12 0 0

t t

t tz b z z= → = == → = == → = == → = =

((((

1 1 10 12 0 0

t t

t

z b z z

z b z z

= → = == → = == → = == → = =

= → = − = −= → = − = −= → = − = −= → = − = −((((2 2 20 2

t

t tz b z z= → = − = −= → = − = −= → = − = −= → = − = −

5050

(((( ))))2 1 2t t t= → = == → = == → = == → = =

(((( )))) (((( ))))0.5 0 0t

= → = − == → = − == → = − == → = − =

vektörleri kullanarak, diğer kanonik çözüm-vektörleri kullanarak, diğer kanonik çözüm-

(((( ))))2 0 0t t= → = == → = == → = == → = =(((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

2 0 0

0.5 1 0.5t t

= → = == → = == → = == → = =

= → = − = −= → = − = −= → = − = −= → = − = −(((( )))) (((( )))) (((( ))))0.5 1 0.5t t

= → = − = −= → = − = −= → = − = −= → = − = −

İlk olarak birinci kanonik çözümlereİlk olarak birinci kanonik çözümlere

kararsız yollarından hangisi olduğunu

olmaktadır. Bu durum, vektörünün,1vb

söylemektedir. Diğer vektör ( )2vb

z2t→0 iken, t →+∞ olmaktadır. Bu durum,

temsil ettiğini söylemektedir. Sistemdeki

diğeri de kararsız yol olduğundan, bir

5151

çözümlere bakarak, sistemin kararlı ya daçözümlere bakarak, sistemin kararlı ya da

olduğunu görelim. z1t→+∞ iken, t →+∞

vektörünün, kararsız yolu temsil ettiğini

için de aynı sınamayı yapalım. Yani

durum, vektörünün, kararlı yolu2vb

Sistemdeki öz-vektörlerden biri kararlı

bir eyer dengesi vardır.

| b |=2>1 | b |=0.5<Bu örnekte | b1|=2>1 ve | b2|=0.5<

Kararsız yol, sistemin başat durumunu

noktasının seçimi önemlidir. Aşağıdaki

olarak (1, −2.8508)’in seçilmesi, kararlı

Ancak t=10’dan ötede bir başlangıç

kararsız hareket etmesine neden olur

5252

<1<1 olduğundan, sistem kararsızdır.

durumunu belirler. Ancak başlangıç

Aşağıdaki şekillerde, başlangıç noktası

kararlı bir dinamik sürece yol açar.

başlangıç noktasının belirlenmesi, sistemin

olur.

Şekil 7.2a. Örnek 5’te Kararlı YolŞekil 7.2a. Örnek 5’te Kararlı YolŞekil 7.2a. Örnek 5’te Kararlı YolŞekil 7.2a. Örnek 5’te Kararlı Yol

(1, 2.8508)−−−−••••(1, 2.8508)−−−−

-4 -3 -2 -1-4 -3 -2 -1

5353

ekil 7.2a. Örnek 5’te Kararlı Yolekil 7.2a. Örnek 5’te Kararlı Yolekil 7.2a. Örnek 5’te Kararlı Yolekil 7.2a. Örnek 5’te Kararlı Yol

1.2

0.8

1.0

1.2

0.6

0.8

0.2

0.4

-0.2

0.0

0.2

-1 0 1 2••••

-0.4

-0.2-1 0 1 2

-0.6

Şekil 7.2b. Örnek 5’te Kararsız YolŞekil 7.2b. Örnek 5’te Kararsız YolŞekil 7.2b. Örnek 5’te Kararsız YolŞekil 7.2b. Örnek 5’te Kararsız Yol

0.0

-500.0

0.0

0 200 400

-1500.0

-1000.0

-2000.0

-1500.0

-2500.0

-2000.0

-3500.0

-3000.0

-3500.0

5454

ekil 7.2b. Örnek 5’te Kararsız Yolekil 7.2b. Örnek 5’te Kararsız Yolekil 7.2b. Örnek 5’te Kararsız Yolekil 7.2b. Örnek 5’te Kararsız Yol

600 800 1000 1200

Şekil 7.2c. Örnek 5’te Kararlı ve Kararsız YolŞekil 7.2c. Örnek 5’te Kararlı ve Kararsız YolŞekil 7.2c. Örnek 5’te Kararlı ve Kararsız YolŞekil 7.2c. Örnek 5’te Kararlı ve Kararsız Yol

-500

0

1 6

-1000

-500

-1500

-1000

-2000

-2500

-3500

-3000

( )x t-3500 ( )x t

5555

ekil 7.2c. Örnek 5’te Kararlı ve Kararsız Yolekil 7.2c. Örnek 5’te Kararlı ve Kararsız Yolekil 7.2c. Örnek 5’te Kararlı ve Kararsız Yolekil 7.2c. Örnek 5’te Kararlı ve Kararsız Yol

6 11

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

x(t)

-1.0

-0.5y(t)

( )y t -1.0( )y t

TekTek ReelReel KökKök DurumuDurumu::

Karakteristik denklemin çözümünde

olduğunda, genel olarak şu çözümü

1 2

1 1 1 2 2 1

b bt t

tx A b v A b v = += += += +

1 2

3 2 2 4 2 2

b bt t

ty A b v A b v

= += += += + 3 2 2 4 2 2t

Karakteristik denklemin çözümündenKarakteristik denklemin çözümünden

her bir denklemde ayrıca Antbn

ulaşmıştık. Şimdi bir denklem sistemi

görelim ve genel çözüme nasıl ulaşabileceğimizi

5656

çözümünde elde edilen reel kök sayısı iki tane

çözümü yazıyorduk:

u A v A vt tb b

= += += += + 1 1 1 2 2 2u A v A vt t

tb b

= += += += +

çözümünden tek reel kök elde edildiğinde,çözümünden tek reel kök elde edildiğinde,

terimini de ekleyerek çözüme

sistemi için bunun yeterli olmayacağını

ulaşabileceğimizi belirleyelim.

İlk olarak Antb terimini deneyelim.İlk olarak Antb terimini deneyelim.

u v , u = Au , 0ttb b= ≠= ≠= ≠= ≠

(((( ))))

1 t 1 tu v , u = Au , 0t

ttb b++++= ≠= ≠= ≠= ≠

(((( )))) 1

1 1 1 11 v A v , v vt tt b tb A b+++++ = =+ = =+ = =+ = =

1

1 1v 0 , 0 , v 0tb b++++ = ≠ ≠= ≠ ≠= ≠ ≠= ≠ ≠

1 1v 0 , 0 , v 0b b= ≠ ≠= ≠ ≠= ≠ ≠= ≠ ≠

b≠0 ve v ≠0 olması nedeniyle, A tbb≠0 ve v1≠0 olması nedeniyle, Antb

deneyelim:

1 2u v vt t

ttb b= += += += +

1 2t

5757

u v , u = Au , 0tb b= ≠= ≠= ≠= ≠1 t 1 t

u v , u = Au , 0tb b= ≠= ≠= ≠= ≠

1 1 1 11 v A v , v vt b tb A b+ = =+ = =+ = =+ = =

1 1v 0 , 0 , v 0= ≠ ≠= ≠ ≠= ≠ ≠= ≠ ≠

1 1v 0 , 0 , v 0= ≠ ≠= ≠ ≠= ≠ ≠= ≠ ≠

tb çözüm değildir. Şimdi şu çözümütb çözüm değildir. Şimdi şu çözümü

1 2u v vt ttb b= += += += +

1 2

u v v , u = Au , 0t ttb b b= + ≠= + ≠= + ≠= + ≠

(((( ))))

1 2 t 1 t

1 1

u v v , u = Au , 0

1 v v A v A v

t t

t

t t t t

tb b b

t b b tb b

++++

+ ++ ++ ++ +

= + ≠= + ≠= + ≠= + ≠

+ + = ++ + = ++ + = ++ + = +(((( )))) 1 1

1 2 1 21 v v A v A vt t t tt b b tb b+ ++ ++ ++ ++ + = ++ + = ++ + = ++ + = +

1 1 2 2Av v , Av vb b= == == == =

2 2 1 2 1Av v v A I v vb b b b− = → − =− = → − =− = → − =− = → − =

Bu çözüm, doğrusal fark denklemiBu çözüm, doğrusal fark denklemi

genel çözümü yazalım.

((((1 1 2 1 2u A v A v vt t t

tb tb b= + += + += + += + +((((1 1 2 1 2

u A v A v vt

b tb b= + += + += + += + +

5858

u v v , u = Au , 0tb b b= + ≠= + ≠= + ≠= + ≠1 2 t 1 t

u v v , u = Au , 0

1 v v A v A vt t t t

tb b b

t b b tb b

++++= + ≠= + ≠= + ≠= + ≠

+ + = ++ + = ++ + = ++ + = +1 2 1 2

1 v v A v A vt t t tt b b tb b+ + = ++ + = ++ + = ++ + = +

(((( ))))

1 1 2 2Av v , Av v

(((( ))))2 2 1 2 1Av v v A I v vb b b b− = → − =− = → − =− = → − =− = → − =

sisteminin çözümüdür. Buna göre,sisteminin çözümüdür. Buna göre,

))))1 1 2 1 2u A v A v vt t tb tb b= + += + += + += + + ))))1 1 2 1 2u A v A v vb tb b= + += + += + += + +

ÖrnekÖrnek 66:: TekTek ReelReel KökKök DurumuDurumu

14

t t tx x y++++ = + −= + −= + −= + − 1

1

4

20 3

t t t

t t t

x x y

y x y

++++

++++

= + −= + −= + −= + −

= − + += − + += − + += − + + 120 3

1 1 4

t t ty x y

x x

++++ = − + += − + += − + += − + +

−−−− 1

1

1 1 4

1 3 20

t t

t t

x x

y y

++++

++++

−−−− = += += += +

−−−− 1 1 3 20

1 1

t ty y

b

++++ −−−−

− −− −− −− − 1 1(A - bI) 0 0

1 3

b− −− −− −− − = → == → == → == → =

(((( )))) (((( ))))

1 3

1 3 1 0 2b b b b b

− − + = → = = =− − + = → = = =− − + = → = = =− − + = → = = =(((( )))) (((( ))))1 3 1 0 2b b b b b− − + = → = = =− − + = → = = =− − + = → = = =− − + = → = = =

5959DurumuDurumu

* 12x x x = = == = == = == = =*

1

*

1

12

4

t t

t t

x x x

y y y

++++

++++

= = == = == = == = =

= = == = == = == = = 1

1 1 4

t t++++

1 1 4

1 3 20

−−−− 1 3 20

1 1

−−−−

− −− −− −− − 1 1(A - bI) 0 0

1 3 b

− −− −− −− − = → == → == → == → =

−−−− 1 3

1 3 1 0 2

b

b b b b b

−−−−

− − + = → = = =− − + = → = = =− − + = → = = =− − + = → = = =1 2

1 3 1 0 2b b b b b− − + = → = = =− − + = → = = =− − + = → = = =− − + = → = = =

Belirlediğimiz tek reel kökü kullanarak,

1 22b b b= = == = == = == = =

1 22

(A - I)v 0 (A - 2I)v 0b b

b b b

b

= = == = == = == = =

= → == → == → == → =(A - I)v 0 (A - 2I)v 0b bb = → == → == → == → =

11 1 0bv − −− −− −− −

==== 1

21 1 0bv

====

1 20b bv v − − =− − =− − =− − = 1 2

1 2 1

01 , 1 , v

0

b b

b b

v vv v

v v

− − =− − =− − =− − = = − = == − = == − = == − = =

+ =+ =+ =+ = 1 20b bv v + =+ =+ =+ =

6060kullanarak, birinci öz-vektörü bulalım.

(A - I)v 0 (A - 2I)v 0b b= → == → == → == → =(A - I)v 0 (A - 2I)v 0b b= → == → == → == → =

1−−−− 1 2 1

11 , 1 , v

1

b bv v−−−−

= − = == − = == − = == − = = 1

Şimdi ikinci öz-vektörü bulalım.

(((( ))))A I v vb b− =− =− =− =(((( )))) 2 1A I v vb b− =− =− =− =

1 11 1 1 12 v

v v− − −− − −− − −− − − = → = == → = == → = == → = =

2 2

2 v1 1 1 0v v

= → = == → = == → = == → = =

Buna göre, tüm vektörleri ve JordanBuna göre, tüm vektörleri ve Jordan

1 1 1 2 1−−−− 1 2

1 1 1 2 1V v v , J

1 0 0 0 2

−−−− = = = == = = == = = == = = =

1 0 0 0 2

6161

1 1

2

1 1 1 12 v

v v = → = == → = == → = == → = = 2

2 2

2 v1 1 1 0v v

= → = == → = == → = == → = =

Jordan matrisini bir arada yazalım.Jordan matrisini bir arada yazalım.

1 1 1 2 1b 1 1 1 2 1V v v , J

1 0 0 0 2

b

b

= = = == = = == = = == = = =

1 0 0 0 2b

x ve y terimlerinden oluşan doğrusalx y

denklemini, Jordan matrisini kullanarak,

dönüştürelim.

-1

0u = VJ V ut

t 0

1 12 2

t

t t t tb tb t− −− −− −− − 1 12 2J

0 0 2

t t t t

t

t t

b tb t

b

− −− −− −− − = == == == = 0 0 2b

0 0z J z z zt

t t= → == → == → == → =

6262doğrusal ikinci sıra homojen olmayan fark

kullanarak, kanonik biçime (z)

1 12 2t t t tb tb t− −− −− −− − 1 12 2

0 0 2

t t t t

t t

b tb t− −− −− −− −

1

0 0 2

2 2t tt −−−−

1

0 0

2 2z J z z z

0 2

t t

t t t

t −−−− = → == → == → == → =

0 2t

12 2t tz z t z−−−−= += += += + 1

1 10 202 2

2

t t

t

t

z z t z

z z

−−−−= += += += +

====2 202t

tz z====

Bu çözümden görülebileceği gibi,Bu çözümden görülebileceği gibi,

koşulu ne olursa olsun t →+∞ olmaktadırkoşulu ne olursa olsun t →+∞ olmaktadır

7.3a ve 7.3b’de de görebiliriz.

kanonik biçimden, normal biçimine

(((( ))))12 11.9 2 7.9 2t t

tx t= − += − += − += − +

(((( ))))4 3.9 2 7.9 2t t

ty t= − −= − −= − −= − −(((( ))))

6363

z →+∞ ve z →+∞ iken, başlangıçz1t→+∞ ve z2t→+∞ iken, başlangıç

olmaktadır. Bu kararsız süreci, Şekilolmaktadır. Bu kararsız süreci, Şekil

Ayrıca, fark denklemi çözümünü

dönüştürelim.

(((( ))))12 11.9 2 7.9 2t tx t= − += − += − += − +

(((( ))))4 3.9 2 7.9 2t ty t (((( ))))

Şekil 7.3a. Örnek 6’da Kararsız SüreçŞekil 7.3a. Örnek 6’da Kararsız SüreçŞekil 7.3a. Örnek 6’da Kararsız SüreçŞekil 7.3a. Örnek 6’da Kararsız Süreç

90000

100000

(((( ))))12 11.9 2 7.9 2t t

tx t= − += − += − += − +

70000

80000

90000 (((( ))))

(((( ))))

12 11.9 2 7.9 2

4 3.9 2 7.9 2

t

t t

t

x t

y t

= − += − += − += − +

= − −= − −= − −= − −

50000

60000

70000 (((( ))))4 3.9 2 7.9 2t

y t= − −= − −= − −= − −

30000

40000

50000

20000

30000

0

10000

1 3 51 3 5

6464

ekil 7.3a. Örnek 6’da Kararsız Süreçekil 7.3a. Örnek 6’da Kararsız Süreçekil 7.3a. Örnek 6’da Kararsız Süreçekil 7.3a. Örnek 6’da Kararsız Süreç

(((( ))))12 11.9 2 7.9 2t tx t= − += − += − += − + (((( ))))

(((( ))))

12 11.9 2 7.9 2

4 3.9 2 7.9 2t t

x t

y t

= − += − += − += − +

x(t)y(t)

(((( ))))4 3.9 2 7.9 2y t

7 9 117 9 11

Şekil 7.3b. Örnek 6’da Kararsız SüreçŞekil 7.3b. Örnek 6’da Kararsız SüreçŞekil 7.3b. Örnek 6’da Kararsız SüreçŞekil 7.3b. Örnek 6’da Kararsız Süreç

0

0 10000 20000 30000

-20000

-100000 10000 20000 30000

-40000

-30000

-60000

-50000

-40000

-80000

-70000

-60000

-100000

-90000

-80000

( )y t-100000 ( )y t

6565

ekil 7.3b. Örnek 6’da Kararsız Süreçekil 7.3b. Örnek 6’da Kararsız Süreçekil 7.3b. Örnek 6’da Kararsız Süreçekil 7.3b. Örnek 6’da Kararsız Süreç

40000 50000 60000 70000 80000

( )x t

40000 50000 60000 70000 80000

KarmaşıkKarmaşık KöklerKökler DurumuDurumu::KarmaşıkKarmaşık KöklerKökler DurumuDurumu::

Karakteristik kökler karmaşık sayıKarakteristik kökler karmaşık sayı

kanonik biçim şöyle yazılacaktır.

0h vi++++ 0J , J

0

th vi

h vi

++++ = == == == =

−−−−

(((( ))))

(((( ))))

((((0 0

z J z z0

t

t

t

h vi

h vi

++++ = == == == = −−−−((((

0 0z J z z

0t

h vi= == == == =

−−−−

6666

sayı olduğunda, Jordan matrisi vesayı olduğunda, Jordan matrisi ve

(((( )))) 0t

h vi ++++(((( ))))

(((( ))))

0J , J

0

t

t

h vi

h vi

++++ = == == == = −−−− (((( ))))0 h vi −−−−

))))0 0

0z J z z

th vi

−−−− ))))

0 0z J z z

th vi −−−−

(((( )))) ((((cos sint tz h vi z R t i t = + = θ + θ= + = θ + θ= + = θ + θ= + = θ + θ (((( )))) ((((

(((( )))) ((((

1 10cos sin

t

tz h vi z R t i t = + = θ + θ= + = θ + θ= + = θ + θ= + = θ + θ

(((( )))) ((((2 20cos sin

t t

tz h vi z R t i t = − = θ − θ= − = θ − θ= − = θ − θ= − = θ − θ

2 2R h v= += += += +2 2R h v= += += += +

Karakteristik köklerin sanal sayı

salınımlı olmasına neden olacaktır.

aralığında salınım gösterirler. t →+

terimine bağlıdır.terimine bağlıdır.

6767

)))) (((( ))))cos sinz h vi z R t i t = + = θ + θ= + = θ + θ= + = θ + θ= + = θ + θ )))) (((( ))))

)))) (((( ))))

cos sinz h vi z R t i t = + = θ + θ= + = θ + θ= + = θ + θ= + = θ + θ

)))) (((( ))))cos sinz h vi z R t i t = − = θ − θ= − = θ − θ= − = θ − θ= − = θ − θ

olması, fark denklemi sisteminin

. sin ve cos fonksiyonları, +1 ile -1

→+∞ iken z1t ve z2t ’nin limitleri, |R|t

1. |R|<1 ise sistem asimptotik olarak

2. |R|=1 ise sistem denge değeri etrafında2. |R|=1 ise sistem denge değeri etrafında

3. |R|>1 ise sistem kararsızdır.

6868

olarak kararlıdır.

etrafında sürekli salınır.etrafında sürekli salınır.

ÖrnekÖrnek 77:: KarmaşıkKarmaşık KöklerKökler DurumuDurumu

10.5 0.3

t t tx x y++++ = += += += +

1t t ty x y++++

= − += − += − += − +

0 0

10 , 5x y

= == == == =

1 0.5 0.3

1 1

t tx x

y y

++++ ====

−−−− 1 1 1

0.5 0.3

t ty y

b

++++

−−−−

−−−− = → == → == → == → =

0.5 0.3(A - bI) 0 0

1 1

b−−−− = → == → == → == → =

− −− −− −− −

21.5 0.8 0b b− + =− + =− + =− + =

1 20.75 0.49 , 0.75 0.49b i b i= + = −= + = −= + = −= + = −

6969DurumuDurumu

*

= = == = == = == = =*

1

*

1

0

0

t t

t t

x x x

y y y

++++

++++

= = == = == = == = =

= = == = == = == = = 10

t ty y y++++ = = == = == = == = =

0.5 0.3b−−−− = → == → == → == → =

0.5 0.3(A - bI) 0 0

1 1

b

b

−−−− = → == → == → == → =

− −− −− −− −

0.75 0.49 , 0.75 0.49b i b i= + = −= + = −= + = −= + = −

���� ���� ����1 20.75 0.49 , 0.75 0.49

h v h v

b i b i= + = −= + = −= + = −= + = −

((((2 2R h v R= + → = + == + → = + == + → = + == + → = + =((((2 2R h v R= + → = + == + → = + == + → = + == + → = + =

|R|=0.89<1 olduğundan, sistem kararlıdır|R|=0.89<1 olduğundan, sistem kararlıdır

y*=0) herhangi bir şekilde uzaklaşıldığında,y*=0) herhangi bir şekilde uzaklaşıldığında,

dönülmektedir. Örneğin başlangıçdönülmektedir. Örneğin başlangıç

seçtiğimiz grafikte, yakınsak süreci

7070

���� ����0.75 0.49 , 0.75 0.49h v h v

b i b i= + = −= + = −= + = −= + = −

(((( )))) (((( ))))2 2

0.75 0.49 0.89= + → = + == + → = + == + → = + == + → = + =(((( )))) (((( ))))2 2

0.75 0.49 0.89= + → = + == + → = + == + → = + == + → = + =

kararlıdır. Denge noktasından (x*=0 ,kararlıdır. Denge noktasından (x*=0 ,

uzaklaşıldığında, yeniden denge noktasınauzaklaşıldığında, yeniden denge noktasına

başlangıç noktasını x0=10 , y0=10 olarakbaşlangıç noktasını x0=10 , y0=10 olarak

süreci izleyebiliriz (Şekil 7.4a ve 7.4b).

Şekil 7.4a. Örnek 7’de KararlıŞekil 7.4a. Örnek 7’de KararlıŞekil 7.4a. Örnek 7’de KararlıŞekil 7.4a. Örnek 7’de Kararlı

10.0 ( )y t

5.0

0.0 ••••

-5.0

0.0

-10 -5 0••••

-10.0

-5.0

-10.0

-15.0

7171

ekil 7.4a. Örnek 7’de Kararlıekil 7.4a. Örnek 7’de Kararlı--Dalgalı SüreçDalgalı Süreçekil 7.4a. Örnek 7’de Kararlıekil 7.4a. Örnek 7’de Kararlı--Dalgalı SüreçDalgalı Süreç

••••(((( ))))0 0

,x y

( )x t

••••

5 10 15

Şekil 7.4b. Örnek 7’de KararlıŞekil 7.4b. Örnek 7’de KararlıŞekil 7.4b. Örnek 7’de KararlıŞekil 7.4b. Örnek 7’de Kararlı

12

10

12

6

8

4

6

0

2

-2

01 10

7272

ekil 7.4b. Örnek 7’de Kararlıekil 7.4b. Örnek 7’de Kararlı--Dalgalı SüreçDalgalı Süreçekil 7.4b. Örnek 7’de Kararlıekil 7.4b. Örnek 7’de Kararlı--Dalgalı SüreçDalgalı Süreç

x(t)y(t)y(t)

19 28

Şimdi bu fark denkleminin çözümünüŞimdi bu fark denkleminin çözümünü

görelim. Ancak unutmayalım ki, farkgörelim. Ancak unutmayalım ki, fark

çözümü ile kanonik biçimdeki çözümününçözümü ile kanonik biçimdeki çözümünün

aynıdır.aynıdır.

Yukarıda karakteristik kökleri belirlemiştikYukarıda karakteristik kökleri belirlemiştik

karakteristik vektörleri (öz-vektörleri)

7373

çözümünü açık olarak x ve y cinsindençözümünü açık olarak x ve y cinsinden

fark denkleminin x ve y cinsindenfark denkleminin x ve y cinsinden

çözümünün kararlılık davranışlarıçözümünün kararlılık davranışları

belirlemiştik. Bu kökleri kullanarakbelirlemiştik. Bu kökleri kullanarak

vektörleri) bulalım.

1

1(A - I)v 0

bb ====

(((( ))))((((

0.5 0.75 0.49 0.3i − +− +− +− +

(((( ))))((((

0.5 0.75 0.49 0.3

1 1 0.75 0.49

i− +− +− +− +

− +− +− +− +

(((( )))) 1 1

1 20.25 0.49 0.3 0

b bi v v− − + =− − + =− − + =− − + =(((( ))))

(((( ))))

1 20.25 0.49 0.3 0

b b

i v v− − + =− − + =− − + =− − + =

+ − =+ − =+ − =+ − =(((( ))))1 1

1 20.25 0.49 0

b bv i v+ − =+ − =+ − =+ − =

1 1

1 21 0.83 1.63

b bv v i==== ⇒⇒⇒⇒ = += += += +

1 2

7474

(((( ))))

1

10.5 0.75 0.49 0.3 0b

v ==== (((( )))) 1

1

2

0.5 0.75 0.49 0.3 0

1 1 0.75 0.49 0b

v

i v

====

− +− +− +− +

1 10.25 0.49 0.3 0b b

i v v− − + =− − + =− − + =− − + =0.25 0.49 0.3 0i v v− − + =− − + =− − + =− − + =

0.25 0.49 0

1 0.83 1.63v v i

2

2(A - I)v 0

bb ====

(((( ))))((((

0.5 0.75 0.49 0.3i − −− −− −− −

(((( ))))((((

0.5 0.75 0.49 0.3

1 1 0.75 0.49

i− −− −− −− −

− −− −− −− −

(((( )))) 2 2

1 20.25 0.49 0.3 0

b bi v v− + + =− + + =− + + =− + + =(((( ))))

(((( ))))

1 20.25 0.49 0.3 0

b b

i v v− + + =− + + =− + + =− + + =

+ + =+ + =+ + =+ + =(((( ))))2 2

1 20.25 0.49 0

b bv i v+ + =+ + =+ + =+ + =

2 2

1 21 0.83 1.63

b bv v i==== ⇒⇒⇒⇒ = −= −= −= −

1 2

7575

(((( ))))

2

10.5 0.75 0.49 0.3 0b

v ==== (((( )))) 2

1

2

0.5 0.75 0.49 0.3 0

1 1 0.75 0.49 0b

v

i v

====

− −− −− −− −

2 2

1 20.25 0.49 0.3 0

b bi v v− + + =− + + =− + + =− + + =

1 20.25 0.49 0.3 0i v v− + + =− + + =− + + =− + + =

0.25 0.49 0

1 0.83 1.63v v i

1 2 1 1b bv v

= == == == =1 2

1 2

1 1

2 2

1 1V

0.83 1.63 0.83 1.63b b

v v

v v

= == == == =

+ −+ −+ −+ − 2 2

0.5 0.26 0.31

v v

i i

+ −+ −+ −+ − -10.5 0.26 0.31

V0.5 0.26 0.31

i i

i i

+ −+ −+ −+ − ====

−−−−

((((

0.5 0.26 0.31i i−−−−

((((1

0.75 0.49 00J

0 0 0.75 0.49

t

t

t

b

b

++++ = == == == = 2

J0 0 0.75 0.49

tb= == == == =

7676

1 1 1 1

0.83 1.63 0.83 1.63i i

+ −+ −+ −+ −

0.5 0.26 0.31i i

0.5 0.26 0.31

0.5 0.26 0.31

i i

i i

))))

0.5 0.26 0.31

t

i i

))))

(((( ))))

0.75 0.49 0

0 0.75 0.49

t

t

i

i

−−−−(((( ))))0 0.75 0.49

ti −−−−

0 0 010 , 5 , ux y= = = == = = == = = == = = =

1 -1

0u = VJ V u

t t

t

x

y

++++ ==== 0

1

u = VJ V ut

ty ++++

====

(((( )))) ((((

(((( )))) ((((1

0.66 2.36 0.75 0.49 0.66 2.36 0.75 0.49

4.39 0.90 0.75 0.49 4.39 0.90 0.75 0.49

ti i i ix

y i i i i

++++ + − + − ++ − + − ++ − + − ++ − + − + ==== + − + − ++ − + − ++ − + − ++ − + − + (((( )))) ((((1 4.39 0.90 0.75 0.49 4.39 0.90 0.75 0.49t

y i i i i++++

==== + − + − ++ − + − ++ − + − ++ − + − +

7777

6.58u −−−− 01

02

6.58

4.39

u

u

−−−− = = = == = = == = = == = = =

02 4.39u

)))) (((( )))) (((( ))))

)))) (((( )))) (((( ))))

0.66 2.36 0.75 0.49 0.66 2.36 0.75 0.49

4.39 0.90 0.75 0.49 4.39 0.90 0.75 0.49

t t

t t

i i i i

i i i i

+ − + − ++ − + − ++ − + − ++ − + − + + − + − ++ − + − ++ − + − ++ − + − +)))) (((( )))) (((( ))))4.39 0.90 0.75 0.49 4.39 0.90 0.75 0.49

t ti i i i + − + − ++ − + − ++ − + − ++ − + − +

ÖrnekÖrnek 88:: KarmaşıkKarmaşık KöklerKökler DurumuDurumu

12

t t tx x y++++ = += += += +

1

1

t t t

t t ty x y

++++

++++

= − += − += − += − + 1

1 1 2

t t t

t tx x

++++

++++

====

1

1

1 2

1 1

t t

t t

x x

y y

++++

++++

====

−−−−

1 2(A - bI) 0 0

1 1

b−−−− = → == → == → == → =

− −− −− −− −

2

(A - bI) 0 01 1

2 3 0b b

= → == → == → == → = − −− −− −− −

− + =− + =− + =− + =2 2 3 0b b− + =− + =− + =− + =

= + = −= + = −= + = −= + = −1 2

1 2 , 1 2b i b i= + = −= + = −= + = −= + = −

7878DurumuDurumu

*

10

t tx x x++++ = = == = == = == = =

1

*

1

0

0

t t

t t

x x x

y y y

++++

++++

= = == = == = == = =

= = == = == = == = =

1 2(A - bI) 0 0

1 1

b

b

= → == → == → == → =

− −− −− −− − (A - bI) 0 0

1 1 b= → == → == → == → =

− −− −− −− −

= + = −= + = −= + = −= + = −1 2 , 1 2b i b i= + = −= + = −= + = −= + = −

Şekil 7.5a. Örnek 8’de KararsızŞekil 7.5a. Örnek 8’de KararsızŞekil 7.5a. Örnek 8’de KararsızŞekil 7.5a. Örnek 8’de Kararsız

1000.0 ( )y t

500.0

(((( )))),x y0.0

-500 0 500 1000••••(((( ))))0 0

,x y

-1000.0

-500.0

-1500.0

-1000.0

-2000.0

-1500.0

-2000.0

7979

ekil 7.5a. Örnek 8’de Kararsızekil 7.5a. Örnek 8’de Kararsız--Dalgalı SüreçDalgalı Süreçekil 7.5a. Örnek 8’de Kararsızekil 7.5a. Örnek 8’de Kararsız--Dalgalı SüreçDalgalı Süreç

( )x t

1000 1500 2000 2500

( )x t

Şekil 7.5b. Örnek 8’de KararsızŞekil 7.5b. Örnek 8’de KararsızŞekil 7.5b. Örnek 8’de KararsızŞekil 7.5b. Örnek 8’de Kararsız

150

50

100

150

-50

0

50

1

-100

-501

-200

-150

-300

-250

8080

ekil 7.5b. Örnek 8’de Kararsızekil 7.5b. Örnek 8’de Kararsız--Dalgalı SüreçDalgalı Süreçekil 7.5b. Örnek 8’de Kararsızekil 7.5b. Örnek 8’de Kararsız--Dalgalı SüreçDalgalı Süreç

1010

x(t)y(t)y(t)

ÖrnekÖrnek 99:: KarmaşıkKarmaşık KöklerKökler DurumuDurumu

10.5 0.5

t t tx x y++++ = += += += + 1

1

0.5 0.5t t t

t t t

x x y

y x y

++++

++++

= += += += +

= − += − += − += − + 1

1 0.5 0.5

t t t

t t

y x y

x x

++++

++++

= − += − += − += − +

====

1

1

0.5 0.5

1 1

t t

t t

x x

y y

++++

++++

====

−−−−

0.5 0.5(A - bI) 0 0

−−−− = → == → == → == → =

− −− −− −− −(A - bI) 0 0

1 1= → == → == → == → =

− −− −− −− −

− + =− + =− + =− + =21.5 1.25 0

0.75 0.66 , 0.75 0.66

b b

b i b i

− + =− + =− + =− + =

= + = −= + = −= + = −= + = −1 2

0.75 0.66 , 0.75 0.66b i b i= + = −= + = −= + = −= + = −

8181DurumuDurumu

*

10

t tx x x++++ = = == = == = == = =

1

*

1

0

0

t t

t t

x x x

y y y

++++

++++

= = == = == = == = =

= = == = == = == = =

0.5 0.5(A - bI) 0 0

b−−−− = → == → == → == → =

− −− −− −− −(A - bI) 0 0

1 1 b= → == → == → == → =

− −− −− −− −

0.75 0.66 , 0.75 0.66b i b i= + = −= + = −= + = −= + = −0.75 0.66 , 0.75 0.66b i b i= + = −= + = −= + = −= + = −

0.75 0.66 , 0.75 0.66b i b i= + = −= + = −= + = −= + = −1 2

0.75 0.66 , 0.75 0.66b i b i= + = −= + = −= + = −= + = −

2 2R h v R= + → = + == + → = + == + → = + == + → = + =

|R|=1 olduğundan, sistem belirsizdir|R|=1 olduğundan, sistem belirsizdir

Denge noktasından (x*=0 , y*=0) herhangiDenge noktasından (x*=0 , y*=0) herhangi

denge noktasına yeniden dönülememekte,denge noktasına yeniden dönülememekte,

etrafında aynı salınım yinelenmektedir

x0=5 , y0=5 olarak seçtiğimiz grafikte,

(Şekil 7.6a ve 7.6b).

8282

0.75 0.66 , 0.75 0.66b i b i= + = −= + = −= + = −= + = −0.75 0.66 , 0.75 0.66b i b i= + = −= + = −= + = −= + = −

(((( )))) (((( ))))2 2

0.75 0.66 1= + → = + == + → = + == + → = + == + → = + =

belirsizdir (ne ıraksak ne de yakınsak).belirsizdir (ne ıraksak ne de yakınsak).

herhangi bir şekilde uzaklaşıldığında,herhangi bir şekilde uzaklaşıldığında,

dönülememekte, başlangıç noktasınındönülememekte, başlangıç noktasının

yinelenmektedir. Örneğin başlangıç noktasını

grafikte, tekrarlı dalgalı süreci izleyebiliriz

Şekil 7.6a. Örnek 9’da BelirsizŞekil 7.6a. Örnek 9’da BelirsizŞekil 7.6a. Örnek 9’da BelirsizŞekil 7.6a. Örnek 9’da Belirsiz

8.0

10.0

4.0

6.0

8.0

0.0

2.0

4.0

-2.0

0.0

-6 -4 -2 0

-6.0

-4.0

-10.0

-8.0

8383

ekil 7.6a. Örnek 9’da Belirsizekil 7.6a. Örnek 9’da Belirsiz--Dalgalı SüreçDalgalı Süreçekil 7.6a. Örnek 9’da Belirsizekil 7.6a. Örnek 9’da Belirsiz--Dalgalı SüreçDalgalı Süreç

( )y t

••••(((( ))))0 0

,x y

( )x t

••••

••••

0 2 4 6

( )x t

Şekil 7.6b. Örnek 9’da BelirsizŞekil 7.6b. Örnek 9’da BelirsizŞekil 7.6b. Örnek 9’da BelirsizŞekil 7.6b. Örnek 9’da Belirsiz

10

12

6

8

4

6

0

2

-2

01 10

8484

ekil 7.6b. Örnek 9’da Belirsizekil 7.6b. Örnek 9’da Belirsiz--Dalgalı SüreçDalgalı Süreçekil 7.6b. Örnek 9’da Belirsizekil 7.6b. Örnek 9’da Belirsiz--Dalgalı SüreçDalgalı Süreç

x(t)y(t)y(t)

19 28

FarkFark DenklemiDenklemi SistemininSisteminin SüreçSüreçFarkFark DenklemiDenklemi SistemininSisteminin SüreçSüreç

Aşağıdaki fark denklemi sistemini dikkateAşağıdaki fark denklemi sistemini dikkate

1 0 1 2 1 1t t t t t tx x y x x x+ + ++ + ++ + ++ + +∆ = α + α + α ∆ = −∆ = α + α + α ∆ = −∆ = α + α + α ∆ = −∆ = α + α + α ∆ = −

1 0 1 2 1 1t t t t t ty x y y y y+ + ++ + ++ + ++ + +∆ = β + β + β ∆ = −∆ = β + β + β ∆ = −∆ = β + β + β ∆ = −∆ = β + β + β ∆ = −

Şimdi bu sistemi denge değerlerindenŞimdi bu sistemi denge değerlerinden

tanımlayalım. Dengede,

* *

1 1,

t t t tx x x y y y+ ++ ++ ++ += = = == = = == = = == = = =

1 1,

t t t tx x x y y y+ ++ ++ ++ += = = == = = == = = == = = =

8585

SüreçSüreç GrafikleriyleGrafikleriyle GösterilmesiGösterilmesiSüreçSüreç GrafikleriyleGrafikleriyle GösterilmesiGösterilmesi

dikkate alalım.dikkate alalım.

1 0 1 2 1 1,

t t t t t tx x y x x x+ + ++ + ++ + ++ + +∆ = α + α + α ∆ = −∆ = α + α + α ∆ = −∆ = α + α + α ∆ = −∆ = α + α + α ∆ = −

1 0 1 2 1 1,

t t t t t ty x y y y y+ + ++ + ++ + ++ + +∆ = β + β + β ∆ = −∆ = β + β + β ∆ = −∆ = β + β + β ∆ = −∆ = β + β + β ∆ = −

değerlerinden sapmalar olarak yenidendeğerlerinden sapmalar olarak yeniden

* *

1 1,

t t t tx x x y y y+ ++ ++ ++ += = = == = = == = = == = = =

1 1,

t t t tx x x y y y+ ++ ++ ++ += = = == = = == = = == = = =

x x x y− = α + α + α− = α + α + α− = α + α + α− = α + α + α1 0 1 2t t t t

x x x y

y y x y

++++ − = α + α + α− = α + α + α− = α + α + α− = α + α + α

− = β + β + β− = β + β + β− = β + β + β− = β + β + β1 0 1 2t t t t

y y x y++++ − = β + β + β− = β + β + β− = β + β + β− = β + β + β

* *

0 1 20 x y= α + α + α= α + α + α= α + α + α= α + α + α

* *

0 1 20 x y= β + β + β= β + β + β= β + β + β= β + β + β

((((

0 1 2

((((1 0 1 2t t tx x x y y++++∆ = α + α − + α −∆ = α + α − + α −∆ = α + α − + α −∆ = α + α − + α −

((((1 0 1 2t t ty x x y y++++∆ = β + β − + β −∆ = β + β − + β −∆ = β + β − + β −∆ = β + β − + β −((((1 0 1 2t t t++++

8686

x x x y− = α + α + α− = α + α + α− = α + α + α− = α + α + α1 0 1 2t t t t

x x x y

y y x y

− = α + α + α− = α + α + α− = α + α + α− = α + α + α

− = β + β + β− = β + β + β− = β + β + β− = β + β + β1 0 1 2t t t t

y y x y− = β + β + β− = β + β + β− = β + β + β− = β + β + β

* *x y

* *x y

)))) (((( )))))))) (((( ))))* *

1 0 1 2t t tx x x y y∆ = α + α − + α −∆ = α + α − + α −∆ = α + α − + α −∆ = α + α − + α −

)))) (((( ))))* *

1 0 1 2t t ty x x y y∆ = β + β − + β −∆ = β + β − + β −∆ = β + β − + β −∆ = β + β − + β −)))) (((( ))))1 0 1 2t t t

Dikkate aldığımız fark denklemiDikkate aldığımız fark denklemi

kısıtlamalar koyarak, süreç grafiklerini

1 0 1 2 1 2t t tx x y++++∆ = α + α + α α α >∆ = α + α + α α α >∆ = α + α + α α α >∆ = α + α + α α α >

1 0 1 2 1 2

1 0 1 2 1 2

t t t

t t ty x y

++++

++++∆ = β + β + β β > β <∆ = β + β + β β > β <∆ = β + β + β β > β <∆ = β + β + β β > β <1 0 1 2 1 2t t t++++

−α−α−α−α1

0t t t

x y x++++

−α−α−α−α∆ =∆ =∆ =∆ = ⇒⇒⇒⇒ = −= −= −= −

α αα αα αα α α αα αα αα α

10

t t ty y x++++

−β−β−β−β∆ =∆ =∆ =∆ = ⇒⇒⇒⇒ = −= −= −= −

β ββ ββ ββ β 1

0t t t

y y x++++∆ =∆ =∆ =∆ = ⇒⇒⇒⇒ = −= −= −= − β ββ ββ ββ β

8787

denklemi sisteminin katsayılarına çeşitlidenklemi sisteminin katsayılarına çeşitli

grafiklerini (phase diagrams) çizebiliriz.

1 0 1 2 1 2, , 0

t t tx x y∆ = α + α + α α α >∆ = α + α + α α α >∆ = α + α + α α α >∆ = α + α + α α α >

1 0 1 2 1 2

1 0 1 2 1 2, 0 , 0

t t t

t t ty x y∆ = β + β + β β > β <∆ = β + β + β β > β <∆ = β + β + β β > β <∆ = β + β + β β > β <

1 0 1 2 1 2t t t

−α−α−α−α αααα0 1

2 2

t t tx y x

−α−α−α−α αααα= −= −= −= −

α αα αα αα α 2 2α αα αα αα α

0 1

t t ty y x

−β−β−β−β ββββ= −= −= −= −

β ββ ββ ββ β 2 2

t t ty y x= −= −= −= −

β ββ ββ ββ β

∆xt+1=0 ve ∆yt+1=0 için elde ettiğimiz∆xt+1=0 ve ∆yt+1=0 için elde ettiğimiz

nasıl gelişeceğini belirlemede kullanacağımız

(isoclines). Bunların üstünde ve

belirleyerek, bu referanslar dışındaki

görebiliriz.görebiliriz.

00 , , 0x y x −α−α−α−α

∆ >∆ >∆ >∆ > ⇒⇒⇒⇒ > − α α >> − α α >> − α α >> − α α > 0

1 1 2

2 2

0 , , 0t t t

x y x++++

−α−α−α−α∆ >∆ >∆ >∆ > ⇒⇒⇒⇒ > − α α >> − α α >> − α α >> − α α >

α αα αα αα α

−α−α−α−α0

1 1 20 , , 0

t t tx y x++++

−α−α−α−α∆ <∆ <∆ <∆ < ⇒⇒⇒⇒ < − α α >< − α α >< − α α >< − α α >

α αα αα αα α 2 2

++++α αα αα αα α

8888

ettiğimiz xt ve yt denklemleri, süreçlerinettiğimiz xt ve yt denklemleri, süreçlerin

kullanacağımız eş-denge eğrileridir

ve altındaki diğer vektörleri de

dışındaki süreçlerin de nasıl oluşacağını

10 , , 0x y x αααα

> − α α >> − α α >> − α α >> − α α > 1

1 1 2

2 2

0 , , 0t t t

x y x αααα

> − α α >> − α α >> − α α >> − α α > α αα αα αα α

αααα1

1 1 20 , , 0

t t tx y x

αααα< − α α >< − α α >< − α α >< − α α >

α αα αα αα α 2 2α αα αα αα α

0

1 1 20 , 0 , 0

t t ty y x++++

−β−β−β−β∆ >∆ >∆ >∆ > ⇒⇒⇒⇒ < − β > β << − β > β << − β > β << − β > β <

β ββ ββ ββ β1 1 2

2 2

0 , 0 , 0t t t

y y x++++∆ >∆ >∆ >∆ > ⇒⇒⇒⇒ < − β > β << − β > β << − β > β << − β > β < β ββ ββ ββ β

0 −β−β−β−β

∆ <∆ <∆ <∆ < ⇒⇒⇒⇒ > − β > β <> − β > β <> − β > β <> − β > β <0

1 1 2

2 2

0 , 0 , 0t t t

y y x++++

−β−β−β−β∆ <∆ <∆ <∆ < ⇒⇒⇒⇒ > − β > β <> − β > β <> − β > β <> − β > β <

β ββ ββ ββ β 2 2

Birinci eş-denge eğrisinin eğiminin

pozitif olacağına dikkat edelim. Bunapozitif olacağına dikkat edelim. Buna

grafiklerini Şekil 7.7a ve 7.7b olarakgrafiklerini Şekil 7.7a ve 7.7b olarak

8989

1

1 1 20 , 0 , 0

t t ty y x

ββββ< − β > β << − β > β << − β > β << − β > β <

β ββ ββ ββ β1 1 2

2 2

0 , 0 , 0t t t

y y x< − β > β << − β > β << − β > β << − β > β < β ββ ββ ββ β

1 ββββ

> − β > β <> − β > β <> − β > β <> − β > β <1

1 1 2

2 2

0 , 0 , 0t t t

y y x ββββ

> − β > β <> − β > β <> − β > β <> − β > β < β ββ ββ ββ β 2 2

eğiminin negatif, ikincinin eğiminin de

Buna göre, eş-denge eğrileri ve süreçBuna göre, eş-denge eğrileri ve süreç

olarak çizdik.olarak çizdik.

Şekil 7.7a. Süreç GrafiğŞekil 7.7a. Süreç GrafiğŞekil 7.7a. Süreç GrafiğŞekil 7.7a. Süreç Grafiğ

ve Eşve Eş--Denge EDenge E

ty

ty

10

tx ++++∆ <∆ <∆ <∆ <

00

9090ekil 7.7a. Süreç Grafiği (ekil 7.7a. Süreç Grafiği (Phase DiagramPhase Diagram) ) ekil 7.7a. Süreç Grafiği (ekil 7.7a. Süreç Grafiği (Phase DiagramPhase Diagram) )

Denge EğrileriDenge Eğrileri

0x∆ >∆ >∆ >∆ >1

0t

x ++++∆ >∆ >∆ >∆ >

0x∆ =∆ =∆ =∆ =

tx

10

tx ++++∆ =∆ =∆ =∆ =

tx

Şekil 7.7b. Süreç GrafiğŞekil 7.7b. Süreç Grafiğ

ve Eşve Eş--Denge EDenge E

ty

ty

10

ty ++++∆ <∆ <∆ <∆ <

10

ty ++++∆ <∆ <∆ <∆ <

00

9191ekil 7.7b. Süreç Grafiği (ekil 7.7b. Süreç Grafiği (Phase DiagramPhase Diagram) )

Denge EğrileriDenge Eğrileri

0y∆ =∆ =∆ =∆ =1

0t

y ++++∆ =∆ =∆ =∆ =

0y∆ >∆ >∆ >∆ >1

0t

y ++++∆ >∆ >∆ >∆ >

xt

x

Şekil 7.7a ve 7.7b olarak çizdiğimiz

dengesi biçiminde oluştuğunu göstermektedir

dengeden uzaklaşma, y vektörüne

konusudur. Şimdi her iki vektörü

üstünde gösterelim ve süreç kuvvetleriniüstünde gösterelim ve süreç kuvvetlerini

ile çizdik.ile çizdik.

9292

çizdiğimiz süreç grafikleri, dengenin eyer

göstermektedir. x vektörüne göre

vektörüne göre de dengeye yaklaşma söz

vektörü (eş-denge eğrilerini) tek grafik

kuvvetlerini de belirtelim. Bunu Şekil 7.8kuvvetlerini de belirtelim. Bunu Şekil 7.8

Şekil 7.8. Süreç Grafiği ve Vektörel KuvvetlerŞekil 7.8. Süreç Grafiği ve Vektörel KuvvetlerŞekil 7.8. Süreç Grafiği ve Vektörel KuvvetlerŞekil 7.8. Süreç Grafiği ve Vektörel Kuvvetler

ty

ty

Kararlı YolKararlı Yol

••••*y

0 *x

9393

ekil 7.8. Süreç Grafiği ve Vektörel Kuvvetlerekil 7.8. Süreç Grafiği ve Vektörel Kuvvetlerekil 7.8. Süreç Grafiği ve Vektörel Kuvvetlerekil 7.8. Süreç Grafiği ve Vektörel Kuvvetler

10

ty ++++∆ =∆ =∆ =∆ =

Kararsız Yol

10

tx ++++∆ =∆ =∆ =∆ =

tx

ÖrnekÖrnek 1010::

112 0.3 3

t t tx x y++++∆ = − + +∆ = − + +∆ = − + +∆ = − + +

1

1

12 0.3 3

4 0.25 1.5

t t t

t t t

x x y

y x y

++++

++++

∆ = − + +∆ = − + +∆ = − + +∆ = − + +

∆ = + −∆ = + −∆ = + −∆ = + −1

4 0.25 1.5t t t

y x y++++∆ = + −∆ = + −∆ = + −∆ = + −

10 4 0.1

t t tx y x++++∆ =∆ =∆ =∆ = ⇒⇒⇒⇒ = −= −= −= −

10 2.67 0.17

t t ty y x++++∆ =∆ =∆ =∆ = ⇒⇒⇒⇒ = += += += +

İlk olarak sistemi, bu denge değerlerindenİlk olarak sistemi, bu denge değerlerinden

çözümünü elde edelim. Ardından daçözümünü elde edelim. Ardından da

9494

* *0 4 0.1

5 , 3.5t t t

x y xx y

= == == == =

* *5 , 3.50 2.67 0.17

t t t

x yy y x

= == == == =

değerlerinden sapmalara göre yazalım vedeğerlerinden sapmalara göre yazalım ve

da dinamik davranışını belirleyelim.da dinamik davranışını belirleyelim.

1 112 0.3 3

t t t t tx x x x y+ ++ ++ ++ +∆ = − = − + +∆ = − = − + +∆ = − = − + +∆ = − = − + +

1 1

112 1.3 3

t t t t t

t t tx x y

+ ++ ++ ++ +

++++ = − + += − + += − + += − + +1

* * *12 1.3 3

t t t

x x y

++++

= − + += − + += − + += − + +

(((( )))) ((((* * *

11.3 3

t t tx x x x y y++++ − = − + −− = − + −− = − + −− = − + −(((( )))) ((((1

1.3 3

4 0.25 1.5

t t tx x x x y y

y y y x y

++++ − = − + −− = − + −− = − + −− = − + −

∆ = − = + −∆ = − = + −∆ = − = + −∆ = − = + −1 1

4 0.25 1.5

4 0.25 0.5

t t t t ty y y x y

y x y

+ ++ ++ ++ +∆ = − = + −∆ = − = + −∆ = − = + −∆ = − = + −

= + −= + −= + −= + −1

* * *

4 0.25 0.5

4 0.25 0.5

t t ty x y

y x y

++++ = + −= + −= + −= + −

= + −= + −= + −= + −

(((( )))) ((((

* * *

* * *

4 0.25 0.5

0.25 0.5

y x y

y y x x y y

= + −= + −= + −= + −

− = − − −− = − − −− = − − −− = − − −(((( )))) ((((* * *

10.25 0.5

t t ty y x x y y++++ − = − − −− = − − −− = − − −− = − − −

12 0.3 3t t t t t

x x x x y∆ = − = − + +∆ = − = − + +∆ = − = − + +∆ = − = − + +9595

t t t t t

t t tx x y

t t t

)))) (((( ))))* * *1.3 3t t t

x x x x y y− = − + −− = − + −− = − + −− = − + −)))) (((( ))))1.3 3

4 0.25 1.5

t t tx x x x y y

y y y x y

− = − + −− = − + −− = − + −− = − + −

∆ = − = + −∆ = − = + −∆ = − = + −∆ = − = + −4 0.25 1.5t t t t t

y y y x y

y x y

∆ = − = + −∆ = − = + −∆ = − = + −∆ = − = + −

t t ty x y

y x y

)))) (((( ))))* * *0.25 0.5

y x y

y y x x y y− = − − −− = − − −− = − − −− = − − −)))) (((( ))))* * *0.25 0.5t t t

y y x x y y− = − − −− = − − −− = − − −− = − − −

Buna göre, denge değerleri yakınındaBuna göre, denge değerleri yakınında

sistemin dengeden sapmalarına

katsayılarının oluşturacağı matris ile

1 3 3A

. ====

−−−−A

0 25 0 5. .====

−−−−

Öz-değerleri bulalım.

−−−−1 3 3A - bI 0 8 1 4

0 25 0 5

. b

. . b

−−−−= = − −= = − −= = − −= = − −

− −− −− −− −0 25 0 5

1 65 0 85

. . b

b . , b .

− −− −− −− −

= = −= = −= = −= = −1 2

1 65 0 85b . , b .= = −= = −= = −= = −

9696

yakınında sistemin dinamik davranışı,yakınında sistemin dinamik davranışı,

göre belirlediğimiz denklemlerin

ile belirlenecektir.

21 3 3

A - bI 0 8 1 40 25 0 5

b . b .. . b

= = − −= = − −= = − −= = − −− −− −− −− −0 25 0 5

1 65 0 85

. . b− −− −− −− −

1 65 0 85

Şimdi de öz-vektörleri belirleyelim.

11 65b .====

0 35 3A - I

.b

−−−−====

1

0 35 3A - I

0 25 2 15

.b

. .

−−−−====

−−−−

0 35 3 0A - I v 0

b.

b−−−−

= → == → == → == → =

v

1

1

0 35 3 0A - I v 0

0 25 2 15 0

b.

b. .

−−−− = → == → == → == → =

1 10 35 3 0b b

. v v − + =− + =− + =− + =1 1

1 20 35 3 0

b b

. v v

v , v .

− + =− + =− + =− + =− =− =− =− =1 1

1 20 25 2 15 0

b b. v . v − =− =− =− =

9797

1

10 35 3 0b. v

= → == → == → == → =

1vb

1

1

2

0 35 3 0

0 25 2 15 0b

. v

. . v

= → == → == → == → =

−−−−

1 1

2 11 8 6

b bv , v .= == == == =

0 85b .= −= −= −= −2

0 85b .= −= −= −= −

2

2 15 3A - I

0 25 0 35

.b

. .====

2A - I

0 25 0 35b

. .====

2

2

2 15 3 0A - I v 0

0 25 0 35 0

b.

b. .

= → == → == → == → =

2

A - I v 00 25 0 35 0

b. .

= → == → == → == → =

2 2

1 22 15 3 0

b b. v v + =+ =+ =+ =

2 2

1 20 25 0 35 0

b b. v . v

+ =+ =+ =+ = 1 2

0 25 0 35 0. v . v+ =+ =+ =+ =

9898

2

12 15 3 0

0 25 0 35 0

b

b

. v

. . v

= → == → == → == → =

2

20 25 0 35 0b. . v

= → == → == → == → =

1 1 4b b

v , v .

= = −= = −= = −= = − 2 2

2 11 1 4

b bv , v .

= = −= = −= = −= = −

8 6 1 4. . 1 2

8 6 1 4V v v

1 1

b b. .

= == == == =

Ayrıca Jordan matrisini de yazalım.

(((( ))))10

tb

= == =(((( ))))

(((( ))))1

1

0J

0

t

t

b

b

= == == == = (((( ))))1

0 b

u0 için rasgele değerler alarak sistemin

0

1u

2

====

02

9999

8 6 1 4. .−−−− 8 6 1 4

1 1

. .−−−−

(((( ))))1 65 0t

. (((( ))))

(((( ))))

1 65 0

0 0 85t

.

.

−−−− (((( ))))0 0 85.−−−−

sistemin çözümü bulalım.

-1u VJ V u

t tx

= == == == = -1

0u VJ V u

t t

t

ty

= == == == =

(((( )))) ((((2 26 0 85 3 26 1 65t t

tx . . . .= − − += − − += − − += − − +(((( )))) ((((

(((( )))) ((((

2 26 0 85 3 26 1 65

1 62 0 85 0 38 1 65

t

t t

x . . . .

y . . . .

= − − += − − += − − += − − +

= − += − += − += − +(((( )))) ((((1 62 0 85 0 38 1 65t t

ty . . . .= − += − += − += − +

Sistemin çözümünü bu şekilde elde

dinamik davranışlarını inceleyelimdinamik davranışlarını inceleyelim

eğrilerini belirlemiştik. Bunları yenideneğrilerini belirlemiştik. Bunları yeniden

bölgelerindeki davranışların (vektörsel

bakalım.

100100

(((( ))))2 26 0 85 3 26 1 65t t

x . . . .(((( ))))

))))

2 26 0 85 3 26 1 65

1 62 0 85 0 38 1 65t t

x . . . .

y . . . . ))))1 62 0 85 0 38 1 65t t

y . . . .

elde ettikten sonra, süreç grafikleriyle

inceleyelim. Örneğin en başında eş-dengeinceleyelim. Örneğin en başında eş-denge

yeniden yazalım ve bunların üst ve altyeniden yazalım ve bunların üst ve alt

(vektörsel kuvvetlerin) ne olacağına

4 0.1y x= −= −= −= −4 0.1

2.67 0.17

t ty x

y x

= −= −= −= −

= += += += +2.67 0.17

0 4 0.1

t ty x

x y x

= += += += +

∆ >∆ >∆ >∆ > ⇒⇒⇒⇒ > −> −> −> −1

0 4 0.1

0 4 0.1

t t tx y x

x y x

++++∆ >∆ >∆ >∆ > ⇒⇒⇒⇒ > −> −> −> −

∆ <∆ <∆ <∆ < ⇒⇒⇒⇒ < −< −< −< −1

0 4 0.1t t t

x y x++++∆ <∆ <∆ <∆ < ⇒⇒⇒⇒ < −< −< −< −

10 2.67 0.17

t t ty y x++++∆ >∆ >∆ >∆ > ⇒⇒⇒⇒ > +> +> +> +

10 2.67 0.17

t t ty y x++++∆ <∆ <∆ <∆ < ⇒⇒⇒⇒ < +< +< +< +

Eş-denge eğrileri ve vektörsel kuvvetler,

101101

0 4 0.1x y x> −> −> −> −0 4 0.1

0 4 0.1

t t tx y x

x y x

> −> −> −> −

< −< −< −< −0 4 0.1t t t

x y x< −< −< −< −

0 2.67 0.17t t t

y y x> +> +> +> +

0 2.67 0.17t t t

y y x< +< +< +< +

kuvvetler, Şekil 7.9’da çizilmiştir.

Şekil 7.9. Süreç Grafiği ve Vektörsel KuvvetlerŞekil 7.9. Süreç Grafiği ve Vektörsel KuvvetlerŞekil 7.9. Süreç Grafiği ve Vektörsel KuvvetlerŞekil 7.9. Süreç Grafiği ve Vektörsel Kuvvetler

ty

ty

Kararlı Yol

4

••••3 5*y .====

2 67.

0 5*x ====

ği ve Vektörsel Kuvvetlerği ve Vektörsel Kuvvetler102102

ği ve Vektörsel Kuvvetlerği ve Vektörsel Kuvvetler

10

ty ++++∆ =∆ =∆ =∆ =

Kararsız YolKararsız Yol

10

tx ++++∆ =∆ =∆ =∆ =

10

tx ++++∆ =∆ =∆ =∆ =

tx

Şekil 7.9’da da kararlı sürecin yalnızcaŞekil 7.9’da da kararlı sürecin yalnızca

olanaklı hale geldiği görülebilmektedirolanaklı hale geldiği görülebilmektedir

üzerinde bulunmadığı diğer tüm

dengeden uzaklaşan) bir dinamik davranış

103103

yalnızca kararlı yol üzerindeykenyalnızca kararlı yol üzerindeyken

görülebilmektedir. Başlangıç noktasının bu yolungörülebilmektedir. Başlangıç noktasının bu yolun

durumlar, sistemin kararsız (yani

davranış izlemesine neden olacaktır.

EkonomideEkonomide İçİç veve DışDış DengeDengeEkonomideEkonomide İçİç veve DışDış DengeDenge

Ekonomide aynı anda iç dengenin tamEkonomide aynı anda iç dengenin tam

düzeyi ve dış dengenin de ödemelerdüzeyi ve dış dengenin de ödemeler

amaçlandığı bir politika karması düşünelimamaçlandığı bir politika karması düşünelim

iki farklı politikanın gerçekleştirilebilmesi

duyulur. Birincisi iç dengenin

harcama politikası, ikincisi dış dengenin

yurt dışı sermaye akışlarını etkileyecek

politika aracını, dengeden sapmalarapolitika aracını, dengeden sapmalara

104104

tam istihdamı karşıladığı reel GSYİHtam istihdamı karşıladığı reel GSYİH

ödemeler bilançosu dengesi ile sağlamanınödemeler bilançosu dengesi ile sağlamanın

düşünelim. Tinbergen’e göre (1956),düşünelim. Tinbergen’e göre (1956),

gerçekleştirilebilmesi için, iki farklı araca gerek

gerçekleştirilebilmesi için kamu

dengenin gerçekleştirilebilmesi için,

etkileyecek olan faiz oranı. Şimdi bu iki

sapmalara göre tanımlayalım.sapmalara göre tanımlayalım.

((((∆ = − = − <∆ = − = − <∆ = − = − <∆ = − = − <((((1 1 1 1t t t t tg g g k g g k+ ++ ++ ++ +∆ = − = − <∆ = − = − <∆ = − = − <∆ = − = − <

((((1 1 2 2t t t t tr r r k r r k+ ++ ++ ++ +∆ = − = − <∆ = − = − <∆ = − = − <∆ = − = − <((((1 1 2 2t t t t t+ ++ ++ ++ +

Burada , t dönemindeki hedeflenen*

tg

dönemindeki hedeflenen faiz oranıdır

Bunu sayısal değerleri dikkate alarakBunu sayısal değerleri dikkate alarak

İç ve dış dengenin (bir modeldenİç ve dış dengenin (bir modelden

tanımlanmış olduğunu varsayalım.

))))*∆ = − = − <∆ = − = − <∆ = − = − <∆ = − = − <

105105

))))*

1 1 1 1, 0

t t t t tg g g k g g k∆ = − = − <∆ = − = − <∆ = − = − <∆ = − = − <

))))*

1 1 2 2, 0

t t t t tr r r k r r k∆ = − = − <∆ = − = − <∆ = − = − <∆ = − = − <))))1 1 2 2t t t t t

hedeflenen kamu harcamaları düzeyi; , t*

tr

oranıdır.

alarak çözelim.alarak çözelim.

modelden hareketle) aşağıdaki gibimodelden hareketle) aşağıdaki gibi

3.925 0.5r g= − += − += − += − +3.925 0.5

7.958 0.186

t tr g

r g

= − += − += − += − +

= += += += +

İç Denge :

7.958 0.186t t

r g= += += += +Dış Denge :

İç ve dış dengenin oluştuğu durumlarda,

*7.85 2

t tg r= += += += +

* 7.958 0.186

t t

t tr g= += += += +7.958 0.186

t tr g= += += += +

Buna göre, iç ve dış dengedeki değişimlerin

kamu harcama politikası ve faiz politikasınıkamu harcama politikası ve faiz politikasını

3.925 0.5r g= − += − += − += − +

106106

3.925 0.5

7.958 0.186

t tr g

r g

= − += − += − += − +

= += += += +7.958 0.186t t

r g= += += += +

durumlarda, şunlar sağlanmış olmalıdır:

7.85 2t t

g r= += += += +

7.958 0.186

t t

t tr g= += += += +7.958 0.186

t tr g= += += += +

değişimlerin sağlanması için gereken

politikasını yazabiliriz.politikasını yazabiliriz.

(((( 7.85 2 , 0g k g r k∆ = − − <∆ = − − <∆ = − − <∆ = − − <((((

((((

1 1 17.85 2 , 0

7.958 0.186 , 0

t t tg k g r k

r k r g k

++++∆ = − − <∆ = − − <∆ = − − <∆ = − − <

∆ = − − <∆ = − − <∆ = − − <∆ = − − <((((1 2 27.958 0.186 , 0

t t tr k r g k++++∆ = − − <∆ = − − <∆ = − − <∆ = − − <

Bu iki denklemi ∆gt+1=0 ve ∆rt+1=0Bu iki denklemi ∆gt+1=0 ve ∆rt+1=0

(isoclines) bulabiliriz. Elde edeceğimiz

yurt içi ve yurt dışı dengeyi sağlamaktadır

çözümüyle elde edilecek olan g* ve

aynı anda sağlanabileceği denge kamu

oranını gösterecektir.oranını gösterecektir.

))))7.85 2 , 0g k g r k∆ = − − <∆ = − − <∆ = − − <∆ = − − <

107107

))))

))))

1 1 17.85 2 , 0

7.958 0.186 , 0

t t tg k g r k

r k r g k

∆ = − − <∆ = − − <∆ = − − <∆ = − − <

∆ = − − <∆ = − − <∆ = − − <∆ = − − <))))1 2 27.958 0.186 , 0

t t tr k r g k∆ = − − <∆ = − − <∆ = − − <∆ = − − <

0 için çözerek, eş-denge eğrilerini0 için çözerek, eş-denge eğrilerini

edeceğimiz bu referans vektörler sırasıyla

sağlamaktadır. Her iki denklemin eşanlı

ve r* değerleri de, iç ve dış dengenin

kamu harcama düzeyi ile denge faiz

3.925 0.5r g= − += − += − += − + 3.925 0.5

7.958 0.186

t t

t t

r g

r g

= − += − += − += − +

= += += += +

Kuvvet vektörlerini de aşağıya yazarak,

7.958 0.186t t

r g= += += += +

Kuvvet vektörlerini de aşağıya yazarak,

çizelim.çizelim.

10 3.925 0.5 , .

t t t tg r g r art++++∆ >∆ >∆ >∆ > ⇒⇒⇒⇒ > − +> − +> − +> − +

10 3.925 0.5 , .

t t t tg r g r azal++++∆ <∆ <∆ <∆ < ⇒⇒⇒⇒ < − +< − +< − +< − +

∆ >∆ >∆ >∆ > ⇒⇒⇒⇒ < − +< − +< − +< − +1

0 7.958 0.186 , .

0 7.958 0.186 , .

t t t tr r g r art

r r g r azal

++++∆ >∆ >∆ >∆ > ⇒⇒⇒⇒ < − +< − +< − +< − +

∆ <∆ <∆ <∆ < ⇒⇒⇒⇒ > − +> − +> − +> − +1

0 7.958 0.186 , .t t t t

r r g r azal++++∆ <∆ <∆ <∆ < ⇒⇒⇒⇒ > − +> − +> − +> − +

108108

* *37.84 , 15g r= == == == =

yazarak, süreç grafiğini Şekil 7.10’dayazarak, süreç grafiğini Şekil 7.10’da

0 3.925 0.5 , .t t t t

g r g r artıyor> − +> − +> − +> − +

0 3.925 0.5 , .t t t t

g r g r azalıyor< − +< − +< − +< − +

< − +< − +< − +< − +0 7.958 0.186 , .

0 7.958 0.186 , .

t t t tr r g r artıyor

r r g r azalıyor

< − +< − +< − +< − +

> − +> − +> − +> − +0 7.958 0.186 , .t t t t

r r g r azalıyor> − +> − +> − +> − +

Şekil 7.10. Ekonomide İç ve DıŞekil 7.10. Ekonomide İç ve Dı

Grafiği ve Kuvvet VektörleriGrafiği ve Kuvvet VektörleriGrafiği ve Kuvvet VektörleriGrafiği ve Kuvvet Vektörleri

rt

r

I İç DengeI

••••15*r ==== ••••15*r ====

2 67.

IVIV

0 37 84*g .====

İç ve Dış Denge İçin Süreç İç ve Dış Denge İçin Süreç

i ve Kuvvet Vektörlerii ve Kuvvet Vektörleri

109109

i ve Kuvvet Vektörlerii ve Kuvvet Vektörleri

10

tg ++++∆ =∆ =∆ =∆ =

II

0r∆ =∆ =∆ =∆ =

İç Denge II

10

tr ++++∆ =∆ =∆ =∆ =

Dış Denge

III

tg37 84g .

İç dengeyi gösteren eş-denge eğrisininİç dengeyi gösteren eş-denge eğrisinin

bölgeler) gt artıyor (yatay kuvvet vektörlerit

sağ yöne doğru çizilmiştir), sağ alt

gt azalıyor (yatay kuvvet vektörleri

doğru çizilmiştir). Benzer şekilde

eğrisinin sol üst kısmında (yani I.eğrisinin sol üst kısmında (yani I.

kuvvet vektörleri bunu gösterecekkuvvet vektörleri bunu gösterecek

çizilmiştir), sağ alt kısımda (yani III

kuvvet vektörleri bunu gösterecek

çizilmiştir).

110110

eğrisinin sol üst kısmında (yani I. ve IV.eğrisinin sol üst kısmında (yani I. ve IV.

vektörleri bunu gösterecek biçimde

alt kısımda (yani II. ve III. bölgeler)

vektörleri bunu gösterecek biçimde sol yöne

şekilde dış dengeyi gösteren eş-denge

. ve II. bölgeler) r azalıyor (dikey. ve II. bölgeler) rt azalıyor (dikey

gösterecek biçimde aşağı yöne doğrugösterecek biçimde aşağı yöne doğru

III. ve IV. bölgeler) rt artıyor (dikeyt

gösterecek biçimde yukarı yöne doğru

Dengeden sapma karşısında değiştirebileceğimizDengeden sapma karşısında değiştirebileceğimiz

değişiminin duyarlılık katsayısı (değişiminin duyarlılık katsayısı (

katsayısına (k2) sayısal değerler vererek,katsayısına (k2) sayısal değerler vererek,

yörüngeyi de görebiliriz. Şu değerleri

1 20 5 0 75k . , k .= − = −= − = −= − = −= − = −

1 20 5 0 75k . , k .= − = −= − = −= − = −= − = −

((((10.5 7.85 2

t t tg g r++++∆ = − − −∆ = − − −∆ = − − −∆ = − − −

((((10.75 7.958 0.186

t t tr r g++++∆ = − − −∆ = − − −∆ = − − −∆ = − − −

111111

değiştirebileceğimiz kamu harcamadeğiştirebileceğimiz kamu harcama

(k ) ile, faiz politikası duyarlılık(k1) ile, faiz politikası duyarlılık

vererek, dinamik sürecin izleyeceğivererek, dinamik sürecin izleyeceği

değerleri dikkate alalım:

0 5 0 75k . , k .0 5 0 75k . , k .

))))0.5 7.85 2t t t

g g r∆ = − − −∆ = − − −∆ = − − −∆ = − − −

))))0.75 7.958 0.186t t t

r r g∆ = − − −∆ = − − −∆ = − − −∆ = − − −

13.93 0.5

t t tg g r++++ = + += + += + += + +

= + += + += + += + +1

5.97 0.14 0.25

20 , 9

t t tr g r

g r

++++ = + += + += + += + +

= == == == =0 0

20 , 9g r= == == == =

Bu sistemi ve başlangıç değerlerini

grafikleri Şekil 711a ve Şekil 7.11b

süreç grafiğinde olduğu gibi, sistemsüreç grafiğinde olduğu gibi, sistem

durumdan (g0=37.84, r0=15) , dengeyedurumdan (g0=37.84, r0=15) , dengeye

tadır.

112112

5.97 0.14 0.25t t t

r g r

değerlerini dikkate alan kararlı süreç

b ile gösterilmiştir. Şekil 7.11’deki

sistem kararlı davranarak, denge dışı birsistem kararlı davranarak, denge dışı bir

dengeye (g*=37.84, r*=15) dönüş yapmak-dengeye (g*=37.84, r*=15) dönüş yapmak-

Şekil 7.11a. Ekonomide İç ve DıŞekil 7.11a. Ekonomide İç ve Dı

DavranıDavranıDavranıDavranı

60

70

50

60

40

50

20

30

10

20

0

10

1 101 10

113113ekil 7.11a. Ekonomide İç ve Dış Dengenin Kararlı ekil 7.11a. Ekonomide İç ve Dış Dengenin Kararlı

DavranışıDavranışıDavranışıDavranışı

tr

tgt

r

19 28

t19 28

Şekil 7.11b. Ekonomide İç ve DıŞekil 7.11b. Ekonomide İç ve Dı

DavranıDavranıDavranıDavranı

19.0t

r

17.0

19.0

13.0

15.0

11.0

13.0

••••7.0

9.0 (((( ))))0 0g ,r••••

5.0

7.0

15 20 25 3015 20 25 30

114114ekil 7.11b. Ekonomide İç ve Dış Dengenin Kararlı ekil 7.11b. Ekonomide İç ve Dış Dengenin Kararlı

DavranışıDavranışıDavranışıDavranışı

(((( ))))* *g ,r••••(((( ))))* *g ,r

35 40 45 50t

g35 40 45 50

Şimdi bu örneğe tam tersi bir şekildeŞimdi bu örneğe tam tersi bir şekilde

sağlamak, kamu harcamalarını

kullanalım.

3.925 0.5t t

r g= − += − += − += − +İç Denge :

7.958 0.186

t t

t tr g= += += += +Dış Denge : 7.958 0.186

t tr g= += += += +

* = − += − += − += − +*3.925 0.5

t tr g= − += − += − += − +

* 42.785 5.376t t

g r= − += − += − += − +

115115

şekilde yaklaşım. Faiz oranını iç dengeyişekilde yaklaşım. Faiz oranını iç dengeyi

da dış dengeyi sağlamak için

3.925 0.5t t

r g= − += − += − += − +

7.958 0.186

t t

t tr g= += += += +7.958 0.186

t tr g= += += += +

= − += − += − += − +3.925 0.5t t

r g= − += − += − += − +

42.785 5.376t t

g r= − += − += − += − +

(((( )))) ((((* 3.925 0.5 , 0r k r r k r g k∆ = − = + − <∆ = − = + − <∆ = − = + − <∆ = − = + − <(((( )))) ((((

(((( )))) ((((

*

1 3 3 33.925 0.5 , 0

t t t t tr k r r k r g k++++∆ = − = + − <∆ = − = + − <∆ = − = + − <∆ = − = + − <

(((( )))) ((((*

1 4 4 4t t t t tg k g g k g r k++++∆ = − = + − <∆ = − = + − <∆ = − = + − <∆ = − = + − <

Bu iki denklemi ∆gt+1=0 ve ∆rt+1=0Bu iki denklemi ∆gt+1=0 ve ∆rt+1=0

(isoclines) bulabiliriz. Elde edeceğimiz

yurt içi ve yurt dışı dengeyi sağlamaktadır

çözümüyle elde edilecek olan r* ve

aynı anda sağlanabileceği denge faiz

düzeyini gösterecektir.düzeyini gösterecektir.

))))3.925 0.5 , 0r k r r k r g k∆ = − = + − <∆ = − = + − <∆ = − = + − <∆ = − = + − <

116116

))))

))))

1 3 3 33.925 0.5 , 0

t t t t tr k r r k r g k∆ = − = + − <∆ = − = + − <∆ = − = + − <∆ = − = + − <

))))1 4 4 442.785 5.376 , 0

t t t t tg k g g k g r k∆ = − = + − <∆ = − = + − <∆ = − = + − <∆ = − = + − <

0 için çözerek, eş-denge eğrilerini0 için çözerek, eş-denge eğrilerini

edeceğimiz bu referans vektörler sırasıyla

sağlamaktadır. Her iki denklemin eşanlı

g* değerleri de, iç ve dış dengenin

faiz oranı ile denge kamu harcama

3.925 0.5t t

r g= − += − += − += − + 3.925 0.5

7.958 0.186

t t

t t

r g

r g

= − += − += − += − +

= += += += +

Kuvvet vektörlerini de aşağıya yazarak,

7.958 0.186t t

r g= += += += +

Kuvvet vektörlerini de aşağıya yazarak,

çizelim.

10 3.925 0.5 , .

t t t tr r g r art++++∆ >∆ >∆ >∆ > ⇒⇒⇒⇒ < − +< − +< − +< − +

10 3.925 0.5 , .

t t t tr r g r azal++++∆ <∆ <∆ <∆ < ⇒⇒⇒⇒ > − +> − +> − +> − +

0 7.958 0.186 , .g r g g art∆ >∆ >∆ >∆ > ⇒⇒⇒⇒ > − +> − +> − +> − +1

0 7.958 0.186 , .

0 7.958 0.186 , .

t t t tg r g g art

g r g g azal

++++∆ >∆ >∆ >∆ > ⇒⇒⇒⇒ > − +> − +> − +> − +

∆ <∆ <∆ <∆ < ⇒⇒⇒⇒ < − +< − +< − +< − +1

0 7.958 0.186 , .t t t t

g r g g azal++++∆ <∆ <∆ <∆ < ⇒⇒⇒⇒ < − +< − +< − +< − +

117117

* *37.84 , 15g r= == == == =

yazarak, süreç grafiğini Şekil 7.12’deyazarak, süreç grafiğini Şekil 7.12’de

0 3.925 0.5 , .t t t t

r r g r artıyor< − +< − +< − +< − +

0 3.925 0.5 , .t t t t

r r g r azalıyor> − +> − +> − +> − +

0 7.958 0.186 , .g r g g artıyor> − +> − +> − +> − +0 7.958 0.186 , .

0 7.958 0.186 , .

t t t tg r g g artıyor

g r g g azalıyor

> − +> − +> − +> − +

< − +< − +< − +< − +0 7.958 0.186 , .t t t t

g r g g azalıyor< − +< − +< − +< − +

Şekil 7.12. Ekonomide Şekil 7.12. Ekonomide

Eyer DengesiEyer DengesiEyer DengesiEyer Dengesi

tr

tr

İç Denge

I

••••15*r ====

I

E

••••15*r ====

2 67.

IVIV

0 37 84*g .====

ekil 7.12. Ekonomide İç ve Dış Denge:ekil 7.12. Ekonomide İç ve Dış Denge:

Eyer DengesiEyer Dengesi

118118

Eyer DengesiEyer Dengesi

10

tr ++++∆ =∆ =∆ =∆ =

II

Kararsız Yol

10

tg ++++∆ =∆ =∆ =∆ =

İç Denge II

1t ++++

Dış Denge

IIIIII

g

Kararlı Yol

tg37 84g .

I. bölgede faiz oranı azalırken, kamuI. bölgede faiz oranı azalırken, kamu

de faiz oranı artarken, kamude faiz oranı artarken, kamu

başlangıçta kararlı yol üzerindeki birbaşlangıçta kararlı yol üzerindeki bir

bir eyer dengesi süreci yaşanır. Başlangıçbir eyer dengesi süreci yaşanır. Başlangıç

ise, sistem kararsız bir davranış sergileyecek,

giderek uzaklaşacaktır. II. ve IV

uzaklaşılacak başlangıç noktalarına

119119

kamu harcamaları artıyor; III. bölgedekamu harcamaları artıyor; III. bölgede

harcamaları azalıyor. Ekonomiharcamaları azalıyor. Ekonomi

bir konumdaysa, kararlı yol boyuncabir konumdaysa, kararlı yol boyunca

Başlangıç noktası kararlı yolun dışındaBaşlangıç noktası kararlı yolun dışında

sergileyecek, yani ekonomi dengeden

IV. bölgelerin tamamı dengeden

noktalarına sahiptir.

Lucas’ınLucas’ın RasyonelRasyonel BeklentilerBeklentilerLucas’ınLucas’ın RasyonelRasyonel BeklentilerBeklentiler

Bu bölüm, ekonomide beklentilerinBu bölüm, ekonomide beklentilerin

oluşturulduğunda, eyer çözümünün

Uyarlamacı beklenti yaklaşımında ekonomikUyarlamacı beklenti yaklaşımında ekonomik

dönemlerdeki (gerçekleşmiş) enflasyonu

yönelik bir enflasyon beklentisi

Rasyonel beklenti modeli ise, ekonomikRasyonel beklenti modeli ise, ekonomik

oluştururken, yanılma payını en aza

mevcut bilgileri kullandıklarınımevcut bilgileri kullandıklarını

getirmektedir. Eğer ekonomik karar

tam yararlanıyorlarsa, ileriyi iyi görebilmelerinin

ğini kabul edeceğiz.ğini kabul edeceğiz.

120120

ModeliModeliModeliModeli

beklentilerin rasyonel bekleyişe uygun olarakbeklentilerin rasyonel bekleyişe uygun olarak

çözümünün elde edileceğini göstermektedir.

ekonomik karar birimlerinin, geçmişekonomik karar birimlerinin, geçmiş

enflasyonu dikkat alarak geleceğe

oluşturdukları varsayılmaktadır.

ekonomik karar birimlerinin beklentiekonomik karar birimlerinin beklenti

aza indirecek şekilde ellerindeki tüm

varsayarak farklı bir yaklaşımvarsayarak farklı bir yaklaşım

karar birimleri bu mevcut bilgilerden

görebilmelerinin mümkün olabilece-

Lucas’ın rasyonel beklentiler modeli,Lucas’ın rasyonel beklentiler modeli,

mevcut bilgiyle tam öngörü yapabildiklerini

İlk olarak beklenti kavramını tanımlamaya

İki kavrama gereksinim duymaktayızİki kavrama gereksinim duymaktayız

oluşturulduğu, ikincisi beklentinin

ğu. Örneğin bir ekonomik karar biriminin

bir beklenti oluşturmasını şöyle tanımlayabilirizbir beklenti oluşturmasını şöyle tanımlayabiliriz

beklenti bir dönem ileriye dönük

dönük ise E X . Ya da E X , X ’indönük ise EtXt+2 . Ya da Et-1Xt+1 , X ’in

1 döneminde oluşturulmuş olan beklenti

kenimiz enflasyon (π) ise, t+1 dönemi

oluşturulan beklentisini şöyle yazabilirizoluşturulan beklentisini şöyle yazabiliriz

121121

modeli, ekonomik karar birimlerininmodeli, ekonomik karar birimlerinin

yapabildiklerini varsaymaktadır.

tanımlamaya çalışalım.

duymaktayız: Birincisi beklentinin ne zamanduymaktayız: Birincisi beklentinin ne zaman

hangi zamana yönelik oluşturuldu-

biriminin X değişkeni için t döneminde

tanımlayabiliriz: Et . Benzer biçimde,tanımlayabiliriz: Et . Benzer biçimde,

yapılırsa, EtXt+1 ; iki dönem ileriye

’in t+1 dönemindeki değerine ilişkin, t-’in t+1 dönemindeki değerine ilişkin, t-

beklenti anlamına gelmektedir. Değiş-

dönemi enflasyonunun t döneminde

yazabiliriz: Etπt+1 .yazabiliriz: Etπt+1 .

Fiyatlar genel düzeyi genellikleFiyatlar genel düzeyi genellikle

tanımlandığından, Etπt+1 ifadesini, şöyle

1 1t t t t tE E p p+ ++ ++ ++ +π = −π = −π = −π = −

Lucas’ın rasyonel beklentiler yaklaşımını

alacağız:alacağız:

0 1 0 1( ) , 0 , 0

d

t t t ty a a m p a a= + − + ε > >= + − + ε > >= + − + ε > >= + − + ε > >

0 1 0 1

1 1 1

( ) , 0 , 0

( ) , 0

t t t t

s

t n t t t t

y a a m p a a

y y b p E p b−−−−

= + − + ε > >= + − + ε > >= + − + ε > >= + − + ε > >

= + − + ν >= + − + ν >= + − + ν >= + − + ν >1 1 1( ) , 0

t n t t t t

d s

t t t

y y b p E p b

y y y

−−−−= + − + ν >= + − + ν >= + − + ν >= + − + ν >

= == == == =

(((( )))) (((( ))))2 20, , 0,

t t t

N Nε υε υε υε υε σ ν σε σ ν σε σ ν σε σ ν σ∼ ∼∼ ∼∼ ∼∼ ∼(((( )))) (((( ))))

122122

genellikle doğal logaritma biçimindegenellikle doğal logaritma biçiminde

şöyle de yazabiliriz:

t t t t tE E p pπ = −π = −π = −π = −

yaklaşımını şu model çerçevesinde ele

0 1 0 1( ) , 0 , 0y a a m p a a= + − + ε > >= + − + ε > >= + − + ε > >= + − + ε > >

0 1 0 1

1 1 1

( ) , 0 , 0

( ) , 0t n t t t t

y a a m p a a

y y b p E p b

= + − + ε > >= + − + ε > >= + − + ε > >= + − + ε > >

= + − + ν >= + − + ν >= + − + ν >= + − + ν >1 1 1( ) , 0

t n t t t ty y b p E p b= + − + ν >= + − + ν >= + − + ν >= + − + ν >

))))2 2

ε υε υε υε υ ))))

Modeldeki değişkenlerin anlamları şöyledirModeldeki değişkenlerin anlamları şöyledir

: t dönemindeki toplam talep düzeyid

ty

: t dönemindeki toplam arz düzeyi

: t dönemindeki nominal para

s

ty

tm : t dönemindeki nominal para

: t dönemindeki fiyatlar genel

: milli gelirin doğal düzeyi (logaritmik)

tm

tp

y : milli gelirin doğal düzeyi (logaritmik)n

y

Modelde dikkati çeken birkaç noktaModelde dikkati çeken birkaç nokta

arz denklemleri deterministik değil,

değişken (ya da şok) eklenerekdeğişken (ya da şok) eklenerek

Toplam arz eğrisinin tanımlandığı ikinci

biçimdeki Phillips eğrisini göstermektedirbiçimdeki Phillips eğrisini göstermektedir

düzeyi, gerçekleşen fiyatlar genel

sapmasına göre düzeltilmektedir.

123123

şöyledir:şöyledir:

düzeyi (logaritmik)

düzeyi (logaritmik)

arzı (logaritmik)arzı (logaritmik)

düzeyi (logaritmik)

(logaritmik)(logaritmik)

nokta vardır: Birincisi toplam talep venokta vardır: Birincisi toplam talep ve

değil, normal dağılıma sahip birer rassal

stokastik biçimde tanımlanmıştır.stokastik biçimde tanımlanmıştır.

ikinci denklem, Lucas’ın tanımladığı

göstermektedir; yani, milli gelirin doğalgöstermektedir; yani, milli gelirin doğal

genel düzeyinin beklenen değerden

Toplam talep ve arz denklemlerindekiToplam talep ve arz denklemlerindeki

terimler birer şok görevi görürler

varyansı da sabittir.

İlk olarak modeli beklentilerin sabitİlk olarak modeli beklentilerin sabit

alalım. Bu durumda model şöyle oluşacaktır

1 0 1t t t ty a p a a m+ = + + ε+ = + + ε+ = + + ε+ = + + ε

1 1 1t t n t t ty b p y b E p−−−−− = − + ν− = − + ν− = − + ν− = − + ν

0 111 t t t

y a a ma + + ε+ + ε+ + ε+ + ε ====

0 11

1 11

1

1

t t t

t n t t t

y a a ma

p y b E pb

+ + ε+ + ε+ + ε+ + ε ====

− + ν− + ν− + ν− + ν−−−−

124124

denklemlerindeki normal dağılıma sahip rassaldenklemlerindeki normal dağılıma sahip rassal

görürler. Bu şokların ortalaması sıfır,

sabit olduğu varsayımı altında elesabit olduğu varsayımı altında ele

oluşacaktır:

t t t t+ = + + ε+ = + + ε+ = + + ε+ = + + ε

t t n t t ty b p y b E p− = − + ν− = − + ν− = − + ν− = − + ν

0 1t t ty a a m+ + ε+ + ε+ + ε+ + ε

0 1

1 1

t t t

t n t t t

y a a m

p y b E p−−−−

+ + ε+ + ε+ + ε+ + ε

− + ν− + ν− + ν− + ν

Bu matrisi y ve p için çözelim.Bu matrisi yt ve pt için çözelim.

0 1 1 1 1 1 1 1 1 1n t t t t ta b a y a b m a b E p b a

y+ ε + ν+ ε + ν+ ε + ν+ ε + ν

= + + += + + += + + += + + +0 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

n t t t t t

t

a b a y a b m a b E p b ay

a b a b a b a b

+ ε + ν+ ε + ν+ ε + ν+ ε + ν= + + += + + += + + += + + +

+ + + ++ + + ++ + + ++ + + +

0 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

n t t t t t

t

a y a m b E pp

a b a b a b a b

−−−−− ε − ν− ε − ν− ε − ν− ε − ν= + + += + + += + + += + + +

+ + + ++ + + ++ + + ++ + + +1 1 1 1 1 1 1 1

a b a b a b a b+ + + ++ + + ++ + + ++ + + +

Bu denklemler, fiyat beklentilerininBu denklemler, fiyat beklentilerinin

oluşturduğumuz indirgenmiş denklemlerdir

aşamasında pt için beklentiyi t-1 dönemi

a y a E m b E p E E− ε − ν− ε − ν− ε − ν− ε − ν0 1 1 1 1 1 1

1

1 1 1 1 1 1 1 1

n t t t t t t t t

t t

a y a E m b E p E EE p

a b a b a b a b

− − − −− − − −− − − −− − − −−−−−

− ε − ν− ε − ν− ε − ν− ε − ν= + + += + + += + + += + + +

+ + + ++ + + ++ + + ++ + + +1 1 1 1 1 1 1 1

125125

0 1 1 1 1 1 1 1 1 1n t t t t ta b a y a b m a b E p b a−−−−+ ε + ν+ ε + ν+ ε + ν+ ε + ν

= + + += + + += + + += + + +0 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

n t t t t ta b a y a b m a b E p b a

a b a b a b a b

−−−−+ ε + ν+ ε + ν+ ε + ν+ ε + ν= + + += + + += + + += + + +

+ + + ++ + + ++ + + ++ + + +

0 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

n t t t t ta y a m b E p

a b a b a b a b

−−−−− ε − ν− ε − ν− ε − ν− ε − ν= + + += + + += + + += + + +

+ + + ++ + + ++ + + ++ + + +1 1 1 1 1 1 1 1

a b a b a b a b+ + + ++ + + ++ + + ++ + + +

beklentilerinin dışsal olduğu varsayımı altındabeklentilerinin dışsal olduğu varsayımı altında

denklemlerdir. Bu sürecin bir sonraki

dönemi için yazalım.

a y a E m b E p E E− ε − ν− ε − ν− ε − ν− ε − ν0 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

n t t t t t t t ta y a E m b E p E E

a b a b a b a b

− − − −− − − −− − − −− − − −− ε − ν− ε − ν− ε − ν− ε − ν= + + += + + += + + += + + +

+ + + ++ + + ++ + + ++ + + +1 1 1 1 1 1 1 1

Rassal terimlerin (şokların) ortalamasıRassal terimlerin (şokların) ortalaması

varsayıldığı için, t-1 dönemine yönelik

0E Eε = ν =ε = ν =ε = ν =ε = ν =1 1

0 1 1 1 1

0t t t t

n t t t t

E E

a y a E m b E pE p

− −− −− −− −

− −− −− −− −

ε = ν =ε = ν =ε = ν =ε = ν =

−−−−= + += + += + += + +0 1 1 1 1

1

1 1 1 1 1 1

n t t t t

t t

a y a E m b E pE p

a b a b a b

− −− −− −− −−−−−

−−−−= + += + += + += + +

+ + ++ + ++ + ++ + +

0

1 1

1

n

t t t t

a yE p E m

a− −− −− −− −

−−−−= += += += +

Bu çözümü, indirgenmiş denklemdeki

1a

((((1 1 1t t t

t n

a b m E my y

a b a b

−−−−−−−−= + += + += + += + +

+ ++ ++ ++ +1 1 1 1

0 1 1 1n t t t t t

a b a b

a y a m b E mp

+ ++ ++ ++ +

− − ε − ν− − ε − ν− − ε − ν− − ε − ν= + += + += + += + +0 1 1 1

1 1 1 1 1

n t t t t t

t

a y a m b E mp

a a b a b

− − ε − ν− − ε − ν− − ε − ν− − ε − ν= + += + += + += + +

+ ++ ++ ++ +

126126

ortalaması (E) tüm dönemler için sıfırortalaması (E) tüm dönemler için sıfır

yönelik pt beklentisi:

0 1 1 1 1n t t t ta y a E m b E p− −− −− −− −= + += + += + += + +0 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

n t t t ta y a E m b E p

a b a b a b

− −− −− −− −= + += + += + += + ++ + ++ + ++ + ++ + +

t t t tE p E m

denklemdeki yerine yazalım ve düzenleyelim.

))))1 1 1 1 1t t t t ta b m E m b a

a b a b

−−−− ε + νε + νε + νε + ν= + += + += + += + +

+ ++ ++ ++ +1 1 1 1

0 1 1 1n t t t t t

a b a b

a y a m b E m−−−−

+ ++ ++ ++ +

− − ε − ν− − ε − ν− − ε − ν− − ε − ν= + += + += + += + +0 1 1 1

1 1 1 1 1

n t t t t ta y a m b E m

a a b a b

−−−−− − ε − ν− − ε − ν− − ε − ν− − ε − ν= + += + += + += + +

+ ++ ++ ++ +

Şimdi para arzının sabit, bekleyişlerinŞimdi para arzının sabit, bekleyişlerin

alarak, enflasyon oranı ile para arzı

amaçla ilk olarak enflasyon oranınıamaçla ilk olarak enflasyon oranını

1t t tp p −−−−π = −π = −π = −π = −

1

0 1 1 1

t t t

n t t t t t

t

p p

a y a m b E mp

−−−−

−−−−

π = −π = −π = −π = −

− − ε − ν− − ε − ν− − ε − ν− − ε − ν= + += + += + += + +

+ ++ ++ ++ +1 1 1 1 1

tp

a a b a b

a y a m b E m

= + += + += + += + ++ ++ ++ ++ +

− − ε − ν− − ε − ν− − ε − ν− − ε − ν0 1 1 1 2 1 1 1

1

1 1 1 1 1

n t t t t t

t

a y a m b E mp

a a b a b

− − − − −− − − − −− − − − −− − − − −−−−−

− − ε − ν− − ε − ν− − ε − ν− − ε − ν= + += + += + += + +

+ ++ ++ ++ +

(((( )))) ((((1 1 1 1 2 1 1 1t t t t t t t t t t

t

a m m b E m E m

a b a b

− − − − − −− − − − − −− − − − − −− − − − − −− − − ε − ε − ν − ν− − − ε − ε − ν − ν− − − ε − ε − ν − ν− − − ε − ε − ν − νπ = +π = +π = +π = +

+ ++ ++ ++ +1 1 1 1

ta b a b

π = +π = +π = +π = ++ ++ ++ ++ +

127127

bekleyişlerin doğru olduğu durumu dikkatebekleyişlerin doğru olduğu durumu dikkate

arzı arasındaki bağlantıyı görelim. Bu

tanımlayalım.tanımlayalım.

n t t t t t− − ε − ν− − ε − ν− − ε − ν− − ε − ν

+ ++ ++ ++ +1 1 1 1 1

a a b a b+ ++ ++ ++ +

− − ε − ν− − ε − ν− − ε − ν− − ε − ν0 1 1 1 2 1 1 1

1 1 1 1 1

n t t t t t

a a b a b

− − − − −− − − − −− − − − −− − − − −− − ε − ν− − ε − ν− − ε − ν− − ε − ν= + += + += + += + +

+ ++ ++ ++ +

)))) (((( )))) (((( ))))1 1 1 1 2 1 1 1t t t t t t t t t ta m m b E m E m

a b a b

− − − − − −− − − − − −− − − − − −− − − − − −− − − ε − ε − ν − ν− − − ε − ε − ν − ν− − − ε − ε − ν − ν− − − ε − ε − ν − νπ = +π = +π = +π = +

+ ++ ++ ++ +1 1 1 1

a b a bπ = +π = +π = +π = +

+ ++ ++ ++ +

Şimdi para arzının sabit, bekleyişlerinŞimdi para arzının sabit, bekleyişlerin

dikkate alarak denklemi yeniden tanımlayalım

,m m E m E m= == == == =

(((( )))) ((((

1 1 2 1,

t t t t t tm m E m E m− − − −− − − −− − − −− − − −

− −− −− −− −

= == == == =

ε − ε − ν − νε − ε − ν − νε − ε − ν − νε − ε − ν − ν(((( )))) ((((1 1

1 1

t t t t

ta b

− −− −− −− −ε − ε − ν − νε − ε − ν − νε − ε − ν − νε − ε − ν − νπ =π =π =π =

++++

Eğer rassal şoklar yoksa:

0 , 0 0− −− −− −− −ε = ε = ν = ν = → π =ε = ε = ν = ν = → π =ε = ε = ν = ν = → π =ε = ε = ν = ν = → π =1 1

0 , 0 0t t t t t− −− −− −− −ε = ε = ν = ν = → π =ε = ε = ν = ν = → π =ε = ε = ν = ν = → π =ε = ε = ν = ν = → π =

İkinci olası durum, para arzının sabit

lerin doğru olmasıdır.

1 1 2 1,

t t t t t tm m E m E m− − − −− − − −− − − −− − − −− = λ − = λ− = λ − = λ− = λ − = λ− = λ − = λ

(((( )))) ((((

1 1 2 1

1 1 1 11 1

,t t t t t t

t t t t t t t t

m m E m E m

a b

− − − −− − − −− − − −− − − −

− − − −− − − −− − − −− − − −

− = λ − = λ− = λ − = λ− = λ − = λ− = λ − = λ

ε − ε − ν − ν ε − ε − ν − νε − ε − ν − ν ε − ε − ν − νε − ε − ν − ν ε − ε − ν − νε − ε − ν − ν ε − ε − ν − νλ − λλ − λλ − λλ − λπ = + → π = λ +π = + → π = λ +π = + → π = λ +π = + → π = λ +

(((( )))) ((((1 1 1 11 1

1 1 1 1 1 1

t t t t t t t t

t t

a b

a b a b a b

− − − −− − − −− − − −− − − −λ − λλ − λλ − λλ − λπ = + → π = λ +π = + → π = λ +π = + → π = λ +π = + → π = λ +

+ + ++ + ++ + ++ + +

128128

bekleyişlerin doğru olduğu varsayımınıbekleyişlerin doğru olduğu varsayımını

tanımlayalım.

m m E m E m

))))

1 1 2 1t t t t t tm m E m E m− − − −− − − −− − − −− − − −

− −− −− −− −ε − ε − ν − νε − ε − ν − νε − ε − ν − νε − ε − ν − ν ))))1 1t t t t− −− −− −− −ε − ε − ν − νε − ε − ν − νε − ε − ν − νε − ε − ν − ν

0 , 0 0ε = ε = ν = ν = → π =ε = ε = ν = ν = → π =ε = ε = ν = ν = → π =ε = ε = ν = ν = → π =0 , 0 0t t t t t

ε = ε = ν = ν = → π =ε = ε = ν = ν = → π =ε = ε = ν = ν = → π =ε = ε = ν = ν = → π =

sabit bir hızla büyüdüğü ve öngörü-

− = λ − = λ− = λ − = λ− = λ − = λ− = λ − = λ

)))) (((( )))) (((( ))))1 1 1 1t t t t t t t t− − − −− − − −− − − −− − − −

− = λ − = λ− = λ − = λ− = λ − = λ− = λ − = λ

ε − ε − ν − ν ε − ε − ν − νε − ε − ν − ν ε − ε − ν − νε − ε − ν − ν ε − ε − ν − νε − ε − ν − ν ε − ε − ν − νπ = + → π = λ +π = + → π = λ +π = + → π = λ +π = + → π = λ +

)))) (((( )))) (((( ))))1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

t t t t t t t t

t ta b a b a b

− − − −− − − −− − − −− − − −π = + → π = λ +π = + → π = λ +π = + → π = λ +π = + → π = λ +

+ + ++ + ++ + ++ + +

Eğer rassal şoklar yoksa:Eğer rassal şoklar yoksa:

1 1 10 , 0

t t t t t t t− − −− − −− − −− − −ε = ε = ν = ν = → π = − = λε = ε = ν = ν = → π = − = λε = ε = ν = ν = → π = − = λε = ε = ν = ν = → π = − = λ

Bu durumda enflasyon oranı , para arzı

Lucas’ın rasyonel beklentiler modelinden

1. Kısa dönemde talep ya da arz yanlı1. Kısa dönemde talep ya da arz yanlı

gelir (yt) doğal düzeyinden (yn) sapma

2. Bu sapmalar yalnızca rassal değişkenlerin

zamanda ekonomik sistemin parametrelerine,

uygulayacağı para politikalarının

bağlıdır.

3. Para arzı beklenenden yüksek olursa

129129

1 1 1t t t t t t tm m− − −− − −− − −− − −ε = ε = ν = ν = → π = − = λε = ε = ν = ν = → π = − = λε = ε = ν = ν = → π = − = λε = ε = ν = ν = → π = − = λ

arzı artış hızına eşitlenmektedir.

modelinden şu sonuçları çıkarabiliriz:

yanlı şoklara bağlı olarak, reel milliyanlı şoklara bağlı olarak, reel milli

sapma gösterebilir.

değişkenlerin düzeyine değil, aynı

parametrelerine, parasal yetkililerin

politikalarının doğru öngörülebilme derecesine

olursa (mt>Et-1mt) yt , pt ve πt artar.

4. p öngörü hatalarına sahip olsa4. pt öngörü hatalarına sahip olsa

ortalaması sıfırdır. Yani sistematik

((((1 1

1

t t t

t t t

a m E mp E p

a b a b

−−−−

−−−−

−−−−− = +− = +− = +− = +

+ ++ ++ ++ +1

1 1 1 1

t t tp E p

a b a b−−−−− = +− = +− = +− = +

+ ++ ++ ++ +

Para arzı sabitse (m =E m )Para arzı sabitse (mt=Et-1mt)

öngörülürse (Et-1mt=mt) tamamen

Bu durumda koşullu bekleyişi şöyleBu durumda koşullu bekleyişi şöyle

(((( ))))(((( ))))E Eε − νε − νε − νε − ν

(((( ))))(((( ))))

1

1 1

t t

t t t

E EE p E p

a b−−−−

ε − νε − νε − νε − ν− = =− = =− = =− = =

++++

130130

olsa da, rassallıktan dolayı hatalarınolsa da, rassallıktan dolayı hataların

sistematik öngörü hatası yoktur.

))))1 1t t t t ta m E m

a b a b

ε − νε − νε − νε − ν− = +− = +− = +− = +

+ ++ ++ ++ +1 1 1 1

a b a b− = +− = +− = +− = +

+ ++ ++ ++ +

ya da para arzı düzeyi doğruya da para arzı düzeyi doğru

tamamen bir rassal değişkene dönüşür.

şöyle belirleriz.şöyle belirleriz.

(((( ))))E Eε − νε − νε − νε − ν(((( ))))

1 1

0t t

E E

a b

ε − νε − νε − νε − ν− = =− = =− = =− = =

++++

Şimdi bir aktif para politikasınınŞimdi bir aktif para politikasının

inceleyelim. Aktif politika kuralında,

dönem gelişmelerine bağlıdır. Bu amaçladönem gelişmelerine bağlıdır. Bu amaçla

gibi, MB tarafından kontrol edilebilen

alalım. Ayrıca q, ekonomiyi temsil edenalalım. Ayrıca q, ekonomiyi temsil eden

sin. Sırasıyla aktif ve pasif politika kurallarını

(((( ))))1 1,q

t t tm f x − −− −− −− −====

(((( ))))1t tm g x −−−−====

Her iki fonksiyon da stokastik değildir

düzeyinin belirlendiği denklemi dikkate

((((1 1 1t t t

t n

a b m E my y

a b a b

−−−−= + += + += + += + +

+ ++ ++ ++ +1 1 1 1

t ny y

a b a b= + += + += + += + +

+ ++ ++ ++ +

131131

politikasının ekonomi üzerine etkilerinipolitikasının ekonomi üzerine etkilerini

kuralında, t dönemindeki politikalar önceki

amaçla para tabanı ya da faiz oranıamaçla para tabanı ya da faiz oranı

edilebilen bir politika aracını (x) dikkate

eden değişkenler vektörünü göster-eden değişkenler vektörünü göster-

kurallarını şöyle yazabiliriz:

değildir. Yeniden ekonominin reel gelir

dikkate alalım.

))))1 1 1 1 1t t t t ta b m E m b a

a b a b

−−−−−−−− ε + νε + νε + νε + ν= + += + += + += + +

+ ++ ++ ++ +1 1 1 1

a b a b= + += + += + += + +

+ ++ ++ ++ +

Bu denkleme baktığımızda, gelirinBu denkleme baktığımızda, gelirin

sapabileceğini söyleyebiliriz:

1. m ’nin E m ’den sapması1. mt ’nin Et-1mt ’den sapması

2. Talep ya da arz yanlı şokların oluşması

Para politikasının etkilerini incelemekPara politikasının etkilerini incelemek

üzerinde duralım ve politika kurallarını

(((( )))) ((((

(((( )))) (((( ))))

1 1 1 1 1 1 1,q ,q 0

t t t t t t t t t tE m E f x f x m E m− − − − − − −− − − − − − −− − − − − − −− − − − − − −= = → − == = → − == = → − == = → − =

(((( )))) (((( ))))1 1 1 1 1t t t t t t t tE m E g x g x m E m− − − − −− − − − −− − − − −− − − − −= = → − == = → − == = → − == = → − =

Bu sonuç, politika kuralının aktif

olmadığını göstermektedir. Sapmalar,

politikayı yanlış algıladığı sürece pozitif

kamuoyuna açıklama yapmaksızın uygulandığındakamuoyuna açıklama yapmaksızın uygulandığında

132132

gelirin doğal düzeyinden şu iki nedenlegelirin doğal düzeyinden şu iki nedenle

oluşması.

incelemek istediğimizden, birincisininincelemek istediğimizden, birincisinin

kurallarını yeniden tanımlayalım.

))))1 1 1 1 1 1 1,q ,q 0

t t t t t t t t t tE m E f x f x m E m− − − − − − −− − − − − − −− − − − − − −− − − − − − −= = → − == = → − == = → − == = → − =

1 1 1 1 10

t t t t t t t tE m E g x g x m E m− − − − −− − − − −− − − − −− − − − −= = → − == = → − == = → − == = → − =

ya da pasif olmasının bir önemi

Sapmalar, ekonomik karar birimleri

pozitif olacaktır. Özellikle de politika

uygulandığında ortaya çıkar.uygulandığında ortaya çıkar.

Ancak rasyonel beklentiler teorisinde,Ancak rasyonel beklentiler teorisinde,

uygulanmakta olan iktisat politikasını

yanıgılarını en aza indirdikleri varsayılmaktadıryanıgılarını en aza indirdikleri varsayılmaktadır

kurallarını deterministik biçimde yazdık

ortalaması sıfır varyansı da sabit olanortalaması sıfır varyansı da sabit olan

ve sapmalara bakalım.

(((( ))))1 1,q

t t t tm f x w− −− −− −− −= += += += +

(((( ))))

(((( ))))

1t t tm g x w−−−−= += += += +

(((( ))))

(((( )))) (((( ))))

1 1 1 1 1 1 1 1,q ,q

t t t t t t t t t t t t tE m E f x E w f x m E m w− − − − − − − −− − − − − − − −− − − − − − − −− − − − − − − −= + = → − == + = → − == + = → − == + = → − =

= = → − == = → − == = → − == = → − =(((( )))) (((( ))))1 1 1 1 1t t t t t t t t tE m E g x g x m E m w− − − − −− − − − −− − − − −− − − − −= = → − == = → − == = → − == = → − =

133133

teorisinde, ekonomik karar birimlerinin,teorisinde, ekonomik karar birimlerinin,

politikasını çok kısa sürede öğrendikleri ve

varsayılmaktadır. Yukarıda politikavarsayılmaktadır. Yukarıda politika

yazdık. Şimdi her ikisine de birer

olan birer rassal değişken ekleyelimolan birer rassal değişken ekleyelim

(((( ))))(((( ))))1 1 1 1 1 1 1 1,q ,q

t t t t t t t t t t t t tE m E f x E w f x m E m w− − − − − − − −− − − − − − − −− − − − − − − −− − − − − − − −= + = → − == + = → − == + = → − == + = → − =

= = → − == = → − == = → − == = → − =1 1 1 1 1t t t t t t t t t

E m E g x g x m E m w− − − − −− − − − −− − − − −− − − − −= = → − == = → − == = → − == = → − =

Deterministik durumda da stokastik

aynı olduğu görülmektedir. Yani reel

sından etkilenmemekte, yalnızca şoklardan

t ny y− =− =− =− =Deterministik durum:

t ny y− = +− = +− = +− = +Stokastik durum:

134134

stokastik durumda da gelir dinamiğinin

reel gelirdeki sapmalar para politika-

şoklardan etkilenmektedir.

ε + νε + νε + νε + ν1 1

1 1

t t

t n

b ay y

a b

ε + νε + νε + νε + ν− =− =− =− =

++++1 1a b

a b w b a

++++

ε + νε + νε + νε + ν1 1 1 1

1 1 1 1

t t t

t n

a b w b ay y

a b a b

ε + νε + νε + νε + ν− = +− = +− = +− = +

+ ++ ++ ++ +