Matemàtiques 1r Batxillerat Els nombres .Matemàtiques 1r Batxillerat Els nombres complexos 2 e)

  • View
    259

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Matemàtiques 1r Batxillerat Els nombres .Matemàtiques 1r Batxillerat Els nombres complexos 2 e)

Matemtiques 1r Batxillerat Els nombres complexos 1

ELS NOMBRES COMPLEXOS

A. INTRODUCCI

A 4t dESO ja heu treballat a fons la descomposici factorial de polinomis i la

resoluci dequacions. Per resoldre lequaci cbxaxy 2 podem

prescindir del mtode de Ruffini utilitzant la frmula a

acbbx

2

42 .

Els algebristes dels segles XV i XVI en resoldre equacions de segon grau

del tipus x2 -4x +13 = 0 i arribar a lexpressi 2

364 x deien No s

possible extreure larrel quadrada dun nombre negatiu i per tant lequaci no t soluci. Per en algun moment els algebristes es van decidir a operar amb aquestes expressions, com si es tracts de nombres reals.

Podem imaginar per un moment, que 1 existeix, dissimular una mica, aplicar la frmula i trobar desprs solucions a equacions que s existeixen de deb.

1322

164

2

1364

2

364

I continuaven operant amb 1 com si es tracts dun nombre real. Leibnitz (1646-1716) era molt hbil amb aquests tipus de malabarismes

matemtics. Si tenia una equaci de la que no podia trobar la soluci, lnic que havia de fer era imaginar

per un moment que 1 existeix. Per aquesta poca, ja podeu suposar que, a base dimaginar tant, el nom que rebien les arrels negatives eren justament nombres imaginaris. Leibnitz, matemtic, filsof i teleg deia: els nombres imaginaris sn una espcie dssers amfibis a mig cam entre la existncia i la no existncia que recorden, en aquest aspecte, a lEsperit

Sant. Tal era el seu entusiasme que va escriure una carta als jesutes missioners recomanant utilitzar aquest argument per convertir al cristianisme a lemperador xins que mostrava certes inclinacions cientfiques. Al 1777 tot i que es continuava considerant que les arrels negatives no existeixen el seu s en determinades tcniques matemtiques era molt

ests. Euler, per facilitar la tasca va introduir la notaci 1i A.1 Resol les segents equacions utilitzant la lletra i per expressar les arrels negatives

a) x2 + 1 = 0 b) x2 + 4 = 0 c) x2 + 25 = 0 d) x2 + 2 = 0

Matemtiques 1r Batxillerat Els nombres complexos 2

e) x2 + 2x + 2 = 0 f) x2 + x + 1 = 0 g) x2 1 = 0

Notaci

La incorporaci dels nombres imaginaris ens porta a crear un nou conjunt de nombres anomenats nombres complexos, C.

babiaC ,/ Direm que a s la component real i b la component imaginria del complex z = a + bi En particular, si b = 0 el complex z ser un nombre real s a dir C i si b 0 lanomenarem nombre imaginari, en el cas en que a ms a = 0 es tractar dun imaginari pur. Per exemple, les solucions dels 4 primers exercicis sn imaginaris purs doncs la seva soluci depn sols duna arrel negativa. Els apartats e i f, per, tenen una soluci de la forma a + bi amb una part real a i un altra part imaginria b, per tant es tracta de nombres imaginaris. Les solucions de lltima equaci sn nombres reals i en qualsevol cas totes les solucions de totes les equacions sn nombres complexos. La paraula complex no t aqu un significat de difcil, sin de barreja. A.2 Classifica els segents nombres indicant quin dells s complex, quin real, quin imaginari i quin imaginari pur, digues quina s la part real i quina la part

imaginria.

i35 ; i3

4

2

1 ;

7

3; i5 ; i

2

57 ; i3 5 ; 0; i; i3

4

7 ; - 11

A.3 Durant el teu aprenentatge escolar has anat aprenent i descobrint tots els conjunts de nombres. De petit sols hi havia nombres per comptar, ms tard vareu

descobrir que tamb hi havia decimals, a la ESO ja vareu veure lexistncia de

negatius,etc

Avui s un dia important a la teva vida perqu ja has aprs tots els conjunts diferents

de nombres que existeixen: N, Z, Q, R i C. Escriu el nom de cadascun daquests

conjunts i fes una petita descripci de cadascun dells.

A.4 La unitat imaginria s clau per entendre tot el que hi ha al darrera dels complexos. En particular, saber manipular les seves potncies s determinant per

poder gaudir del seu mn. Per tant, calcula:

i0 = i

1 = i

2 = i

3 = i

4 = i

5=

i6 = i

7 = i

8 = i

9 = i

10 = i

11=

i20

= i40

= i41

= i42

= i43

= i44

=

i57

= i79

= i241

= i9326

= i1078

= i98

=

i4n

= i4n+1

= i4n+2

= i4n+3

=

Matemtiques 1r Batxillerat Els nombres complexos 3

Ms notacions

Considerem dos nombres complexos a + bi i a + bi

Dos nombres complexos sn iguals quan tenen iguals les seves parts reals i tenen iguals les seves parts imaginries. s a dir, si a = a, b = b

Dos nombres complexos sn conjugats si les seves parts reals sn iguals, i les seves parts imaginries iguals per de diferent signe. s a dir, a = a, b = b, per exemple 2+3i i 2-3i. Al conjugat dun

complex z sel denota per z . Si z = 2+3i aleshores z = 2-3i

Dos nombres complexos sn oposats si tant les seves parts reals com les imaginries sn iguals, per de signe diferent: s a dir, a = a, b = b. Per exemple 2+3i i -2-3i

A.5 Escriu el conjugat i loposat dels nombres complexos segents:

i35 ; i3

4

2

1 ;

7

3; i5 ; i

2

57 ; i3 5 ; 0; i; i3

4

7 ; - 11

B. Operacions amb nombres complexos.

Amb els nombres complexos, com amb qualsevol altre conjunt numric, es poden fer tota mena doperacions. Ms endavant veurem que els nombres complexos es poden representar de diferents formes, la que coneixeu fins ara, a + bi sanomena forma binmica perqu t laspecte dun polinomi de grau 1 de dos termes. Pel que fa a les operacions, un complex en forma binmica, se suma, resta i multiplica prcticament igual que un polinomi. La divisi ser un mica diferent, aix com les potncies i les arrels.

Suma i resta de complexos

Per sumar complexos, s procedeix duna manera similar als polinomis, cal sumar la part real amb la part real i la part imaginria amb la part imaginria, per restar sols cal sumar loposat. B.1 Calcula

a) (-2+4i) + (8 9i) = b) (5+8i) (6 7i) = c) 9 + (3 i) = d) 6 (i 5) =

e)

ii

6

5

4

3

3

4

2

1=

f) ii 1032

57

=

Matemtiques 1r Batxillerat Els nombres complexos 4

Producte de nombres complexos

El producte de dos complexos es fa igual que en els polinomis, per ara cal

tenir en compte que 12 i . Per exemple: (3 + 5i)(2 6i) = 6 18i + 10i 30i

2 = 6 8i 30(-1) = 6 8i + 30 = 36 8i

B.2 Calcula a) (-2+4i)(8 6i) = b) (5+8i)(6 7i) = c) 9(3 i) = d) 6i(i 5) =

e)

ii

6

5

4

3

3

4

2

1

f) (a + bi)(c + di) = B.3 Calcula

a) (2 + 3i)(2 3i) = b) (a + bi)(a bi) = c) (6 + i) (6 i) = d) (4 3i)(4 + 3i) = e) (3 + 5i)2 = f) (6 2i)2 = g) (a + bi)2 = h) (1+4i)3 =

Divisi entre nombres complexos

A lexercici anterior haurs vist que el producte dun complex amb el seu conjugat

dona un nombre real, en llenguatge simblic: zz . Aprofitarem aquest fet per

fer la divisi de polinomis. Per dividir polinomis multiplicarem numerador i

denominador pel conjugat del denominador, daquesta manera convertim el

denominador en un nombre real. Observa lexemple:

iiiiiiii

ii

ii

i

i

26

1

26

21

52

2

52

42

52

242

52

30201812

3616

30201812

6464

6453

64

53 2

B.4 Calcula

a) i

i

83

26

=

b) i

i

48

3

=

c) i1

6=

d) i

i

4

2 =

e)

8

416 i

f)

i

i

2

13

3

Matemtiques 1r Batxillerat Els nombres complexos 5

Operacions de complexos amb calculadora

La calculadora Casio fx 82ES s un model extraordinari per la ESO per comena a quedar una mica petita pel batxillerat (tot i que encara s vlida). Els models segents casio fx 350ES, Casio fx 570ES i superiors incorporen algunes funcions ms apropiades pel batxillerat una delles s la possibilitat de treballar amb nombres complexos amb lopci dintroduir nombres de la forma a + bi i poder fer operacions amb ells. Les calculadores grfiques possiblement serien les ideals pel batxillerat per si disposeu dordinador per fer grfics la necessitat duna calculadora grfica s ja discutible. B.5 Agafeu alguna calculadora dun alumne de la classe que tingui incorporada la possibilitat de fer complexos i comproveu com fa algunes de les sumes, restes,

multiplicacions i divisions dels exercicis anteriors.

C. Representaci grfica del nombres complexos

Ja hem dit que aquests nombres no deixaven de ser una mena de cosa estranya que no existien a la realitat per que eren tils per resoldre determinat tipus de problemes. Euler, lany

1777 va tenir la idea de posar el nom 1i . Aquest fet no va fer canviar gaire lopini dels matemtics sobre la natura intrnseca dels nombres imaginaris, per uns anys desprs al 1798 Caspar Wessel va donar el pas definitiu, senzillament se li va ocorre representar grficament aquests nombres i com que veure s creure a partir daquest moment ning