33
Generalitat de Catalunya Departament d'Ensenyament Institut Miquel Martí i Pol Departament de Matemàtiques MATEMÀTIQUES 2n d’ESO Dossier d’estiu per a recuperar la matèria al setembre. S’haurà d’entregar el dia de l’examen. L’examen valdrà un 50% i aquest dossier l’altre 50%. S’han d’escriure tots els procediments. Aquest document pot quedar obsolet un cop imprès Elaborat: Departament Matemàtiques Dossier d’estiu 2n d’ESO Juny 2018 Pàgina 1/1

MATEMÀTIQUES 2n d’ESO - agora.xtec.catagora.xtec.cat/iesmarti-i-pol/wp-content/uploads/usu1292/2018/06/... · les columnes us sobrarà una mica dels 35 cm. Afegiuho a la columna

Embed Size (px)

Citation preview

Generalitat de Catalunya Departament d'EnsenyamentInstitut Miquel Martí i Pol

Departament de Matemàtiques

MATEMÀTIQUES

2n d’ESO

Dossier d’estiu per a recuperar la matèria alsetembre. S’haurà d’entregar el dia de l’examen.

L’examen valdrà un 50% i aquest dossier l’altre 50%.

S’han d’escriure tots els procediments.

Aquest document pot quedar obsolet un cop imprèsElaborat: Departament Matemàtiques Dossier d’estiu 2n d’ESO Juny 2018 Pàgina 1/1

ACTIVITATS DE REFORÇ • MATEMÀTIQUES 2n ESONom: Grup:

Data:

Tema 1. Sistema de numeració decimal i sistema sexagesimal

APROXIMACIÓ DE DECIMALS

L’arrodoniment consisteix a ..............................

EX.: 2,738406 A LES CENTÈSIMES:

A LES MIL·LÈSIMES:

ELS DECIMALS EN LA RECTA NUMÈRICA

Entre dos decimals qualssevol hi ha ............

.....................................................................

PAS D’INCOMPLEX A COMPLEX

EXEMPLE: Passar a hores, minuts i segons 8.084 s.

8084 60 8.084 s 208 134 60 284 14 2 134 min 44 s 44 h min s

PAS DE COMPLEX A INCOMPLEX

EXEMPLE: Passar a segons 1 h 25 min 34 s.

1 h = 1 × 3.600 s =

25 min = 25 × 60 s =

34 s = =

1 h 25 min 34 s

OPERACIONS AMB NOMBRES DECIMALS

SUMA I RESTA

2,41 3,2 + 5,028 – 1,283

MULTIPLICACIÓ

2,05 × 1,7

DIVISIÓ

3,8 0,45

2,39 2,4 2,41

OPERACIONS EN FORMA COMPLEXA

SUMA

13° 24' 38'' + 15° 47' 52’’

° ' ''

° ' ''

RESTA

26° 15' 34'' – 18° 40' 56''

25° 74' 94'' – 18° 40' 56''

° ' ''

QUOCIENT

45° 16' 24'' 8 5° 300' 5° 39' '' ° 316' ° ° 4’

× 60

× 60

SISTEMA SEXAGESIMAL

SISTEMA DE NUMERACIÓ DECIMAL

1’ = 60’’1° = 60’

146

ACTIVITATS DE REFORÇ. TEMA 1

Nom: Grup:

Data:

APLICA. HORARI DE CLASSE

Cada any, dos alumnes de la teva classe confeccionen un horari per ser penjat en el tauler d’anuncis. Enguany t’ha tocat ser un d’ells. Us reuniu la teva companya i tu amb el vostre tutor, que us donarà les indicacions pre-cises per elaborar-lo.

1 «A veure, aquí teniu un esquema, amb algunes mesures, de com ho heu de fer; les altres les haureu de calcular vosaltres»

a) Totes les columnes han de ser igual d’amples. Quant ha de me-surar cada una? (arrodoniu-les a les dècimes)

b) Totes les files han de ser igual d’altes. Quant ha de mesurar ca-da una? Quina altura total tendrà l’horari?»

DL DM DC DJ DV

9-10

13 cm

35 cm

P A T I

2 «Rectifico. Com que segurament començareu a dibuixar l’horari per l’esquerra, en arrodonir la mesura de les columnes us sobrarà una mica dels 35 cm. Afegiu-ho a la columna del divendres. Quant mesurarà ara?»

Una vegada completat l’horari, el professor us demana ajuda amb un altre tema: la cap d’estudis ha d’elaborar un informe i necessita les dades que us demana a continuació.

3 Les sessions de classe estan repartides indicant l’hora inicial i la final, però ella necessita la duració de cada sessió en minuts. Completeu la taula:

8.30 – 9.20

2A SESSIÓ DEL DIA

3A SESSIÓ DEL DIA

PATI

4A SESSIÓ DEL DIA

5A SESSIÓ DEL DIA

1A SESSIÓ DEL DIA

HORARI

9.20 – 10.15

10.15 – 11.10

11.10 – 11.50

11.50 – 12.40

12.40 – 13.35

MINUTS

Nom: Grup:

4 Per poder comparar el temps dedicat a certes assignatures, heu de completar aquesta taula:

LLENGUA I LITERATURA

EDUCACIÓ FÍSICA

CIÈNCIES NATURALS

MATEMÀTIQUES

HORARI

3 dies: 9.20 – 10.15

1 dia: 8.30 – 9.20

2 dies: 10.15 – 11.10

3 dies: 13.35 – 14.30

2 dies: 11.50 – 12.40

2 dies: 12.40 – 13.35

MINUTS HORES I MINUTS

5 La cap d’estudis ha d’indicar quant de temps més correspon a l’assignatura de matemàtiques que a la d’educació física en una setmana. Com que no ha decidit encara com elaborarà finalment l’informe, vol la dada en minuts i en forma complexa. Escriu-la així.

6 Una altra: Quant de temps més hi ha de llengua i literatura que de ciències naturals, en una setmana?

7 «Bé, hem arribat al final. Perquè vegeu que no tot són classes, l’informe també demana unes dades sobre els patis. Necessito que em digueu els minuts que duren tots els patis d’una setmana. I, per si de cas, escriviu-ho també en forma complexa.»

ACTIVITATS DE REFORÇ. TEMA 1

148

Tema 1. Solucionari

APLICA

1 Cada columna ha de mesurar 5,8 cm, i cada fila, 2,6 cm. L’altura total serà de 18,2 cm.

2 6 cm

3

PATI

4A SESSIÓ DEL DIA

5A SESSIÓ DEL DIA

2A SESSIÓ DEL DIA

3A SESSIÓ DEL DIA

1A SESSIÓ DEL DIA

11.10 – 11.50

11.50 – 12.40

12.40 – 13.35

HORARI

9.20 – 10.15

10.15 – 11.10

8.30 – 9.20

40

50

55

MINUTS

55

55

50

4

4

LLENGUA ILITERATURA

E. FÍSICA

CC. NATURALS.

MATEMÀTIQUES

HORARI

3 dies: 9.20 – 10.15

1 dia: 8.30 – 9.20

2 dies: 10.15 – 11.10

3 dies: 13.35 – 14.30

2 dies: 11.50 – 12.40

2 dies: 12.40 – 13.35

MIN

215

110

165

210

H I MIN

3 h 35 min

1 h 50 min

2 h 45 min

3 h 30 min

5 1 h 40 min, és a dir, 100 minuts més a la setmana.

6 Hi ha 50 minuts més.

7 Els cinc patis d’una setmana sumen 200 minuts, que expressats en forma complexa són 3 h 20 min.

ACTIVITATS DE REFORÇ. TEMA 1

ACTIVITATS DE REFORÇ • MATEMÀTIQUES 2n ESONom: Grup:

Data:

Tema 2. Les fraccions RECORDA EL QUE ÉS ESSENCIAL

SIMPLIFICACIÓ DE FRACCIONS

Simplificar una fracció és substituir-la per........

.....................................................................

EXEMPLES: 1520

=

1230

=

PROPIETAT FONAMENTAL DE LES FRACCIONS

Si es multipliquen o es divideixen els dos ter-mes d’una fracció pel mateix nombre, ..............

......................................................................

EXEMPLES: 46

= 4 · 26 · 2

=

46

= 4 : 26 : 2

=

OPERACIONS AMB FRACCIONS

SUMA I RESTA

Per sumar o restar fraccions es redueixen a .......

.........................................................................EXEMPLE:34

+ 45

– 710

=

MULTIPLICACIÓ

a

b · c

d = a · c

b · d

EXEMPLE:25

· 34

=

DIVISIÓ

a

b : c

d = a · d

b · c

EXEMPLE:45

: 310

=

REDUCCIÓ DE FRACCIONS A COMÚ DENOMINADOR

• Es calcula el mínim comú múltiple dels denomi-nadors.

• Es multipliquen els dos membres de cada frac-ció per ........................................................

EXEMPLE: 34

, 45

, 710

8 MCM (4, 5, 10) = 20

3 · 54 · 5

, 4 · 45 · 4

, 7 · 210 · 2

8 1520

, ,

FRACCIONS

POTÈNCIES DE NOMBRES RACIONALS

POTÈNCIA D’UN QUOCIENT

( a

b )n =EXEMPLE: ( 4

2 )3 =

POTÈNCIA D’UN PRODUCTE

(a · b)n =

EXEMPLE: (2 · 4)5 =

QUOCIENT DE POTÈNCIES DE LA MATEIXA BASE

am : an =

EXEMPLE: 36 : 34 =

PRODUCTE DE POTÈNCIES DE LA MATEIXA BASE

am · an =

EXEMPLE: 23 · 25 =

POTÈNCIES D’EXPONENT NEGATIU

a–n =

EXEMPLE: 2–3 =

POTÈNCIA D’UNA POTÈNCIA

(am)n =

EXEMPLE: (52)3 =

150

ACTIVITATS DE REFORÇ. TEMA 2

Nom: Grup:

Data:

APLICA. EL NEGOCI DEL CAFÈ

Enguany participes en la revista del teu institut. T’han encarregat que escriguis un reportatge sobre el món de l’hostaleria i decideixes passar tota una tarda a la cafeteria del costat de casa teva junt amb la Sofia i la Car-me, les propietàries.

1 «I quina de vosaltres tarda més temps a arribar aquí?», els preguntes. «Jo», diu la Sofia, «necessito 16 mi-

nuts per recórrer els 2/3 del trajecte.» «I jo», intervé la Carme, «tardo 18 minuts a recórrer-ne els 4/5.»

«No m’ho podeu dir d’una altra forma?», els comentes. «Va, no et queixis, tu saps respondre la pregunta.»

Quina de les dues tarda més temps a arribar a la cafeteria?

2 El primer client de la tarda els demana un cafè amb llet. «Carme, quant de cafè aboqueu en cada tassa?»,

li preguntes. «El cafè ocupa 1/3 de la capacitat de la tassa», contesta.

a) T’agradaria demanar quina fracció n’ocupa la llet, però prefereixes pensar-ho tu mateix. Quina és aques-

ta fracció?

b) Dius a la Sofia que ja saps les fraccions de cafè i de llet, però necessites la dada en centilitres. Ella et

diu que una tassa conté 12 cl, i que calculis la resta.

3 Després, un client compra 2/5 de quilo de cafè natural i 1/4 de cafè «mescla». «Escolta, i de quin dels dos

tipus n’ha comprat més?», preguntes a la Carme. «T’ho dic si em dius quina fracció de quilo i quants grams

ha comprat en total», et respon. Contesta les dues preguntes que t’ha plantejat.

4 A cap d’una estona reben una telefonada d’un altre client que els demana, en dos paquets separats, les

quantitats de cafè següents. Ara, la Sofia et demana que els diguis quants grams tindrà cada paquet.

PAQUET A: 2/3 de 3/2 de kg

500 g 1.000 g 750 g

PAQUET B: 2/3 de 3/4 de kg

400 g 750 g 500 g

Nom: Grup:

5 Aprofiten una estona en què no tenen clients per resoldre amb tu alguns dubtes. «Escolta, per què no em

dius quant pesen 32 paquets de cafè d’1/4 de kg cada un?», et pregunta la Sofia. Respon-li.

6 Comprovant una caixa d’infusions (te, menta, camamilla), la Sofia observa que se n’han trencat 12 pa-

quets, que representen les 2/7 parts del total. «Quants paquets hi havia a la caixa?», li pregunta la Carme.

Ajuda la Sofia amb la resposta.

7 «Per cert, Sofia, quants diners vau guanyar ahir?», preguntes. «Ahir, deixa’m pensar... Ah, sí. Ahir vam gua-

nyar 520 euros», et contesta. «I avui?» «Fins ara hem venut 1/5 més que ahir; fes-ne tu el compte.»

8 El senyal lluminós de la cafetera s’ha encès, perquè l’aigua està en el nivell mínim: 2/10 de la seva ca-

pacitat. La Carme hi afegeix 4 litres per omplir-la. «I abans que m’ho preguntis tu, ho faig jo: quants litres

d’aigua hi ha al dipòsit ple?»

9 Et fixes que als termos de la llet calenta hi caben 4 litres. La Sofia et diu que cada tassó de llet té una

capacitat d’1/8 de litre. La Carme et diu que fins ara han servit 24 tassons de llet. Davant de tanta dada,

només et queda preguntar quants litres els queden als termos, però com que saps que no et contestaran,

en fas tu el compte. Quants litres de llet hi queden?

ACTIVITATS DE REFORÇ. TEMA 2

152

ACTIVITATS DE REFORÇ. TEMA 2

Tema 2. Solucionari

APLICA

1 La Sofia tarda 24 min, i la Carme, 22,5 min. Per tant, tarda més la Sofia.

2 a) 2/3 b) A la llet li corresponen 8 cl, i al cafè, 4 cl.

3 Ha comprat 400 g de cafè natural, i de «mescla», 250 grams, que són 13/20 de quilo. Ha comprat més cafè

natural que de «mescla».

4 Paquet A: 1.000 g Paquet B: 500 g

5 8 kg

6 A la caixa hi havia 42 paquets.

7 624 €

8 Al dipòsit hi ha 5 litres d’aigua.

9 Hi queda 1 l de llet.

MAGNITUDS INVERSAMENT PROPORCIONALS

EXERCICI:

Tres operaris hi tarden 40 minuts.

Quant tarden vuit operaris?

• RESOLUCIÓ PER REGLA DE TRES

NRE. OPERARIS TEMPS (min)

3 40

8 x

La proporció:

38

= x

40 8 x = ............

MAGNITUDS DIRECTAMENT PROPORCIONALS

EXERCICI:

Quatre quilos costen 12 €.

Quant costen set quilos?

• RESOLUCIÓ PER REGLA DE TRES

PES (kg) COST (€)

4 12

7 x

La proporció:

47

= 12x

8 x = ............

PROPORCIONALITAT

CÀLCUL DEL TERME DESCONEGUT

D’UNA PROPORCIÓ

a

b = c

d 8 a · d = b · c 8 d = b · c

a

EXEMPLE:

12x

= 2135

8 x = ............

PROPORCIÓ

• Una proporció és la igualtat de ...............

..................................................................

a

b = c

d

• Els termes a i d s’anomenen ...................... Els termes b i c s’anomenen ......................

PROBLEMES DE PERCENTATGES

CÀLCUL DEL PERCENTATGE

Total 8 820 Percentatge 8 xPart 8 123

De 820 en prenc 123De 100 en prenc x

CÀLCUL DEL TOTAL

Total 8 x Percentatge 8 15 %Part 8 123

De 100 en prenc 15De x en prenc 123

UN PERCENTATGE ÉS UNA PROPORCIÓ

Per calcular el a % de C: EXEMPLE:

De 100 en prenc aDe C en prenc x 8 100

C = a

x 8 x = a % de C = C · a

100

15 % de 820 =

67

8

67

8

67

8

67

8

67

8

100x

= 15123

8 x = ............

= 8 x = ............

ACTIVITATS DE REFORÇ • MATEMÀTIQUES 2n ESONom: Grup:

Data:

Tema 3. Proporcionalitat i percentatges RECORDA EL QUE ÉS ESSENCIAL

154

ACTIVITATS DE REFORÇ. TEMA 3

Nom: Grup:

Data:

APLICA. LA FÀBRICA D’AUTOMÒBILS

El teu pare treballa en una fàbrica de cotxes, al departament de control de qualitat. La seva tasca és supervisar

totes les fases de la producció, cercar errors i optimitzar els processos. Un cap de setmana t’hi porta perquè

vegis la fàbrica i sàpigues com treballa. Gaudeix de la visita.

1 La primera cosa que t’ensenya és el taller de motors. Hi veus que estan provant un model nou. En aquests

moments el motor va a 3.000 revolucions per minut. «Pare», li preguntes, «i si funciona 4 minuts, quantes

revolucions farà?». «Mira, millor que m’ajudis a omplir aquesta taula que necessito per a un informe, i ho veiem junts», et contesta.

TEMPS (minuts) 0,5 1 2 4 8 10

NRE. DE REVOLUCIONS 3.000

30

«Escolta, pare, el nombre de revolucions i el temps són magnituds directament o inversament proporcio-

nals?», li preguntes. «Tu què creus?», et repta.

2 Després passeu a la cadena de muntatge. Allà, el teu pare ha de controlar uns temps. Comproveu que els dos treballadors tarden 6 minuts a muntar les rodes d’un cotxe. «A veure, jove, quant temps tardaria un treballador a fer la mateixa feina? I si fossin quatre treballadors?», et pregunta el teu pare.

3 El teu pare t’explica que han fabricat un prototip que consumeix 6 litres de gasolina cada 100 km, circulant a 90 km/h. Et demana que completis una taula de dades per passar-la als enginyers.

CONSUM (litres) 3 18

ESPAI (km) 25 100 150 500 600

4 Perquè vegis el nou prototip, aneu al circuit de la fàbrica. Allà, el cotxe roda a 100 km/h. A aquesta veloci-tat, ha tardat 3 minuts a fer una volta completa a la pista. Un dels tècnics està omplint un quadrant amb els temps previstos per fer una volta a la pista segons la velocitat del cotxe. Ajuda el tècnic a completar la taula.

VELOCITAT (km/h) 60 75 100 120 150

TEMPS (minuts) 3

200

Nom: Grup:

5 Més tard, passeu pel departament de planificació. Us diuen que acaben de rebre una comanda de 4.200 cot-xes per a exportació, i necessiten que el teu pare faci un estudi de la producció.

a) Sabent que la fàbrica treballa amb els torns diaris de 7 hores i que té una capacitat de producció de 25 cotxes a l’hora, digues al teu pare quants dies tardaran a cobrir la comanda.

b) Mentre fas els càlculs, tornen a telefonar dient que volen 600 cotxes més. Quantes hores al dia haurà de treballar cada torn per cobrir la nova comanda en el mateix temps previst per a la comanda anterior?

6 Finalment, passeu pel departament de vendes. L’encarregat us diu que, el mes anterior, el nombre de fur-gonetes i de turismes enviats a botigues han estat en proporció de 3/7, i que en total es van vendre 9.000 vehicles.

a) Quin percentatge dels vehicles que van sortir de la fàbrica són furgonetes?

b) Quantes furgonetes i quants de turismes es van vendre?

7 El cap de vendes comenta amb el teu pare que els 9.000 vehicles del mes passat suposen uns bons resul-tats, però que aquest mes esperen vendre’n un 10 % més. Quants vehicles esperen vendre aquest mes?

ACTIVITATS DE REFORÇ. TEMA 3

156

Tema 3. Solucionari

APLICA

1 TEMPS (minuts)

0,5

1

2

4

8

10

NRE. DE REVOLUCIONS

1.500

3.000

6.000

12.000

24.000

30.000

90.00030

Són directament proporcionals.

2 Un treballador tardarà 12 minuts a fer la feina, i quatre treballadors, 3 minuts.

3

CONSUM (litres)

1,5 3 6 9 18 30 36

ESPAI (km)

25 50 100 150 300 500 600

4 VELOCITAT (km/h) 60 75 100 120 150

TEMPS (minuts) 5 4 3 2,5 2 1,5

200

5 a) Tardaran 12 dies a cobrir la comanda.

b) Hauran de treballar en torns de 8 hores.

6 a) El 30 % eren furgonetes.

b) Es van vendre 2.700 furgonetes i 6.300 turismes.

7 Esperen vendre 9.900 vehicles.

ACTIVITATS DE REFORÇ. TEMA 3

ACTIVITATS DE REFORÇ • MATEMÀTIQUES 2n ESONom: Grup:

Data:

Tema 4. Àlgebra RECORDA EL QUE ÉS ESSENCIAL

MONOMIS

POLINOMIS

Un polinomi és la suma..................................

........................................................................

EXEMPLES: • 3x2 – 5x + 7

Dos monomis són semblants quan tenen

.....................................................................

EXEMPLES: 5a2b y 3

4a2 b,

Un monomi és el producte...........................

......................................................................

EXEMPLES: 4xy2,

PRODUCTE DE MONOMIS

El producte de dos monomis és un altre............

.....................................................................

EXEMPLES:

2a2 · 4a =

6x · 2

3x3 =

SUMA I RESTA DE MONOMIS

Dos monomis només es poden sumar o restar si

.....................................................................

EXEMPLES:

3a + 2a =

7x2 – 4x2 =

SUMA I RESTA DE POLINOMIS

A = 5x3 – 6x2 – 4x + 7 B = x3 + 3x – 5

–A 8 5x3 – 6x2 – 4x + 7

–B 8 –x3 – 0x2 – 3x + 5

A – B 8

A 8 5x3 – 6x2 – 4x + 7

B 8 x3 + 0x2 + 3x – 5

A + B 8

PRODUCTES NOTABLES

a + b

Ò a + b

ab + b2

a2 + ab

a2 + 2ab + b2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 =

(a + b) · (a – b) =

PRODUCTE DE POLINOMIS

x2 – 4x + 2

Ò 2x – 3

–3x2 + 12x – 6

158

ACTIVITATS DE REFORÇ. TEMA 4

Nom: Grup:

Data:

APLICA. CALENDARI D’ANIVERSARI

Un alumne de 2n A, en Víctor, proposa un joc a tots els companys i companyes de classe. Els presenta la taula de la pàgina següent i els diu:

«He fet una taula amb tots els que som a classe, ordenant-la segons el lloc que cada un ocupa en la llista de classe. En Max, que ocupava el número 11, no l’he posat perquè va marxar a viure a Berlín el mes passat.

El joc consisteix a esbrinar quin dia va néixer cada un de nosaltres (el mes el deixarem per a un altre joc). Per aconseguir-ho, cal obtenir el valor numèric d’una expressió algebraica per a x igual al número de llista de l’alumne en qüestió. A més, per als nou primers de la llista, l’expressió algebraica no ve donada, sinó que cal obtenir-la traduint enunciats al llenguatge algebraic.

Com a exemples, esbrinarem en quins dies van néixer l’Anna i l’Adrià:

• Anna (núm. 4) 8 El doble del triple del seu número de la llista més la meitat d’aquest.

2 · (3x + x

2 ) 8 2 · 14 = 28

Per tant l’Anna va néixer un dia 28.

• Adrià (núm. 10) 8 15

x + x 8 15

· 10 + 10 = 12

Per tant, l’Adrià va néixer un dia 12.

Per si us serveix d’alguna cosa, us puc donar algunes dades:

• Cinc de nosaltres vam néixer un dia 12 d’un mes determinat, com l’Adrià; per tant, només l’he inclòs a ell com a representant dels cinc.

• Per a la resta, tots els dies són diferents.

• Hi ha, per tant, 21 resultats diferents; els marquem en aquesta taula:

A mesura que aneu trobant els resultats, podeu anar ratllant els números corresponents».

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

26 27 28 29 30

ACTIVITATS DE REFORÇ. TEMA 4

ALUMNE O ALUMNA

NÚM. DE LLISTA

ENUNCIAT O EXPRESSIÓ ALGEBRAICA

DIA DE NAIXEMENT

Irene 1El quadrat del consecutiudel seu número de llista.

Víctor 2La tercera part de sumar 14 al

doble del seu número de llista.

Jaume 3El seu número menys la meitat

de l’anterior, més onze.

Anna 4 El doble de: el triple del seu número

de llista més la meitat d’aquest.2 · (3x +

x

2 ) = 28

Maria 5 El quadrat del seu número de llista

menys el doble del seu número.

Rosa 6 El triple de la meitat del seu número.

Pere 7 La tercera part del resultat de

sumar 8 al seu número de llista.

Marina 8

A la suma del seu número de llista

més el seu consecutiu hi restes

el doble de l’anterior.

Sònia 9El triple del seu número de llista més

la tercera part del número.

Adrià 101

5 x + x

1

5 · 10 + 10 = 12

Sara 12x

2 + 2x –

x

3

Verònica 132x – 5

3

Robert 14 (x : 7) – 1

Sergi 15 2 · (x – 4)

Eduard 16 x3 : x2

Beatriu 17 2x + 3x – 4x

Vicent 18 1 + x – x

2

Hèctor 19 x – 2 – x + 4

Raquel 20 (x : 2) + 1

Manuel 21 [(x : 2) – (x : 6)] + 1

Samuel 22 2 · [(x + 3) : 5] + 9

Nom: Grup:

160

ACTIVITATS DE REFORÇ. TEMA 4

Tema 4. Solucionari

APLICA

13

·

1

NÚM. DE LLISTA

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

DIA DE NAIXEMENT

(x + 1)2 8 22 = 4

13

· (2x + 14) 8 18 : 3 = 6

x – x – 1

2 + 11 8 3 – 1 + 11 = 13

x2 – 2x 8 25 – 10 = 15

3 · x

2 8 3 · 3 = 9

x + 83

8 153 = 5

x + (x + 1) – 2(x – 1) 8 8 8 + 9 – 14 = 3

3x +

x

3 8 27 + 3 = 30

15

· 10 + 10 = 12

122

+ 2 · 12 – 123

= 26

26 – 53

= 7

2 – 1 = 1

2 · 11 = 22

x3 : x2 = x 8 16

2x + 3x – 4x = x 8 17

1 + 18 – 9 = 10

19 – 2 – 19 + 4 = 2

10 + 1 = 11

(10,5 – 3,5) + 1 = 8

10 + 9 = 19

2 · (3x + x

2 ) 8 2 · 14 = 28

ALUMNE O ALUMNA

Irene

Víctor

Jaume

Anna

Maria

Rosa

Pere

Marina

Sònia

Adrià

Sara

Verònica

Robert

Sergi

Eduard

Beatriu

Vicent

Hèctor

Raquel

Manuel

Samuel

RESOLUCIÓ D’EQUACIONS DE SEGON GRAU

ACTIVITATS DE REFORÇ • MATEMÀTIQUES 2n ESONom: Grup:

Data:

Tema 5. Equacions RECORDA EL QUE ÉS ESSENCIAL

EQUACIONS

Resoldre una equació és calcular .................

......................................................................

2x – 4 + x = 11

SOLUCIÓ 8 x = perquè

2 · – 4 + =

NOMENCLATURA

2x – 4 + x = 11

RESOLUCIÓ D’UNA EQUACIÓ DE PRIMER GRAU

AMB DENOMINADORS

x – 1

2 –

x + 13

= 1

6 · ( x – 1

2 – x + 1

3 ) = 6 · 1

3(x – 1) – 2(x + 1) = 6

x =

ELIMINACIÓ DE DENOMINADORS

EN UNA EQUACIÓ

Per eliminar denominadors en una equació,

es multiplica ..................................................

......................................................................

EXEMPLE:

PRIMER MEMBRE

x2 = k

x = ± k

ax2 + c = 0

x =

ax2 + bx + c = 0

x =

ax2 + bx = 0

x(ax + b) = 0

MULTIPLICAR PEL m.c.m.

OPERAR

TREURE PARÈNTESIS

REDUIR

TRASLLADAR

REDUIR

RESOLUCIÓ D’UNA EQUACIÓ DE PRIMER GRAU

5x + 3 – 2x = 7 – 3x + 1

3x + 3 = 8 – 3x

x =

TRANSPOSICIÓ DE TERMES

x + a = b

x =

x – a = b

x =

a · x = b

x =

x

a = b

x =

REDUIR

TRASLLADAR

REDUIR

TRASLLADAR

x – 45

= 2x

3 – 1

m.c.m. (5, 3) = 15

=

=

x =

x =

(x – 45 ) · 15

67

8

162

ACTIVITATS DE REFORÇ. TEMA 5

Nom: Grup:

Data:

APLICA. LES VACANCES D’EN LLUÍS

L’estiu passat, els pares d’en Lluís van llogar un apartament a la platja i se’n van anar de vacances amb els seus tres fills. Enguany, en Lluís és el teu company de pupitre i aprofites per preguntar-li com li han anat les

vacances.

1 «Saps?», li dius, «jo sóc el fill petit. Quines edats tenen en la teva família?» En Lluís, en lloc de contestar-te, et dóna unes pistes que et duran a la resposta.

LLUÍS

MARTA

ÀNGEL

PARE

MARE

El triple de la seva edat menys 10 és igual al doble de la seva edat.

DADES

El doble de la seva edat més

l’edat d’en Lluís és igual a 30.

Fa 12 anys, la seva edat era igual al doble de la que actualment

té en Lluís.

Quan passin 16 anys, la seva edat serà el doble de la que tindrà en Lluís aleshores, menys 10 anys.

Edat del pare: x; 12 anys abans: x – 12

x – 12 = 2 · 14 8 x = 40

EQUACIÓ

14

ANYS

2 «Escolta, i quant us va costar l’apartament?» En Lluís et contesta que es van gastar 190 € per dia. Els seus pares i ell van pagar la tarifa d’adults, i els dos germans, 30 € menys. «Ja, però quant us costava cada dia a cada un?», li preguntes. «Calcula-ho tu, que ja t’he donat totes les dades.»

Tarifa d’adult: x

Tarifa menors de 12 anys: x – 30

Equació:

3 «Estàveu molt lluny de la platja?», preguntes. «Veuràs, si del triple d’aquesta distància en treus quatre-cents metres, obtens el mateix resultat que si del doble en treus tres-cents cinquanta metres.» Ara esbrina-ho tu.

4 Després t’explica que un dia van anar a un parc aquàtic. «I era molt car?», li dius. «No ho sé. Vam pagar 120 € per tres entrades d’adult i dues infantils. Les d’adult costaven el doble que les infantils.» Quant cos-tava cada entrada?

5 En Lluís t’explica que aquell dia els seus pares els van donar 18 € per als tres, que la Marta en va rebre el doble que l’Àngel i en Lluís el triple que el seu germà. «I quant us va tocar a cada un?» No molestis més en Lluís i calcula-ho tu.

Àngel: x euros.

6 «Que graciós», et diu en Lluís. «Un dia el meu germà va preguntar a la meva mare quants dies quedaven de vacances i ella li va contestar: “Si del triple de dies que queden en restes 4, és igual que si al doble hi su-mes 2.” Pobret, vaig haver-lo d’ajudar amb els comptes.» Què va explicar en Lluís al seu germà Àngel?

7 «I què tal la tornada?», preguntes. «Bé. Va ser trist, però ens va passar de seguida, perquè en aturar-nos per descansar vam demanar al meu pare quant quedava, i ell ens va dir:

“Si a la tercera part de la distància a casa hi sumem 20 quilòmetres, obtenim el mateix resultat que si d’aquesta mateixa distància en restem 80 quilòmetres.”

Ens vam passar la resta del viatge fent comptes.» Però ara et toca fer-ho a tu. Quants quilòmetres quedaven?

ACTIVITATS DE REFORÇ. TEMA 5

Nom: Grup:

164

Tema 5. Solucionari

APLICA

1

1

LLUÍS

MARTA

ÀNGEL

PARE

MARE

El triple de la seva edat menys 10 és igual al doble de la seva edat

El doble de la seva edat més l’edat d’en Lluís és igual a 30

Fa 12 anys, la seva edat era igual aldoble de la que

actualment té en Lluís

Quan passin 16 anys, la seva edat serà el

doble de la que tindrà en Lluís aleshores,

menys 10 anys.

DADES

3x – 10 = 2x

2x + 14 = 30

Edat del pare: x 12 anys abans: x – 12

x – 12 = 2 · 14 88 x = 40

x + 16 = 2 · 30 – 10

EQUACIÓ

14

10

8

40

34

ANYS

2 3x + 2(x – 30) = 190

Tarifa d’adult: 50 €

Tarifa per a menors: 20 €

3 50 metres

4 Entrada infantil: 15 €

Entrada d’adult: 30 €

5 Àngel 8 3 €

Marta 8 6 €

Lluís 8 9 €

6 Els quedaven 6 dies de vacances.

7 150 km

ACTIVITATS DE REFORÇ. TEMA 5

ACTIVITATS DE REFORÇ • MATEMÀTIQUES 2n ESONom: Grup:

Data:

Tema 6. Teorema de Pitàgores. Semblança RECORDA EL QUE ÉS ESSENCIAL

TEOREMA DE PITÀGORES

SEMBLANÇA

En un triangle rectangle, l’àrea del quadrat

construït sobre la hipotenusa és igual a la

suma de .................................................

a2 = b2 + c2

APLICACIÓ: càlcul de distàncies.

102 = x2 + 82

x = z102 – 82 = 6

L’escala d’un mapa o d’un pla és el quocient entre cada longitud del mapa (o pla) i la corres-

ponent ............................................................................................................................

EXEMPLE: En un pla a escala 1:25.000, dues poblacions estan a 3 cm de distància. La distància real és de ............ km.

ESCALES

SEMBLANÇA DE TRIANGLESSEMBLANÇA DE TRIANGLES

Dos triangles són semblants si complei-xen una d’aquestes condicions:

• Els angles són ..............................

• Els costats són .................................

^A =

^A'

^B =

^B'

^C =

^C'

a

a' =

b

b' =

c

c' =b

A

B

C

aca'

c'

b'

C'

A'

B'

10

8

x

FIGURES SEMBLANTS

Dues figures són semblants quan només difereixen en ....................... En aquest cas, els segments corresponents són ................................

a

a' = b

b' = c

c' = k

El valor fix k rep el nom

de .......................................

a = a' · k b = b' · c = c' · a

b

c

a'

c'

b'

c2

a2

b2

b

ca

166

ACTIVITATS DE REFORÇ. TEMA 6

APLICA. MESURAMENTS EN L’AULA

Al professor de matemàtiques li encarreguen que faci un estudi de les dependències de l’institut per si es pot optimitzar l’ús de l’espai disponible. Comença la tasca per la vostra aula, on fa classe.

1 Primer vol dibuixar un plànol a escala de la classe, però no té gaire clar quina serà l’escala. Per tant us va

demanant diversos dibuixos per veure quin s’adequa millor als seus interessos. «Aquest rectangle repre-

senta una de les vostres taules», us diu. «Dibuixeu un rectangle semblant que representi la meva taula,

sabent que la raó de semblança entre la meva i les vostres és 2.»

2 Els dibuixos anteriors estan fets a escala 1:20. Quines són les dimensions reals d’una taula d’alumne?

Quines són les dimensions de la taula del professor? «I recordeu posar les dimensions que obtingueu en el

dibuix», us diu el professor.

3 «Com que encara no he decidit l’escala a què dibuixarem el plànol, construïu una figura semblant a la

que representa la vostra taula, la raó de semblança de la qual sigui 1/2. Preneu com a punt de projecció

el vèrtex A».

A

Nom: Grup:

Data:

4 «Representarem la superfície de l’aula a escala 1:100, mitjançant un rectangle de costats 9 cm i 6 cm, respectivament. Quines són les dimensions reals de la classe?»

5 «Hi dibuixarem les finestres. Tingueu en compte que mesuren 100 cm Ò 125 cm. Si utilitzem una escala 1:25, quines seran les seves dimensions en el plànol? Dibuixeu-ne una com a mostra.»

6 «També calcularem l’altura de la classe. A algú se li ocorre com podem fer-ho?», pregunta. L’Aina alça la mà

i contesta: «Podríem utilitzar la semblança de triangles.» «Molt bé, Aina. Utilitzeu el dibuix següent per cal-

cular l’altura que us demano. L’altura de la taula és de 70 cm. A més, BC—

= 20 cm, AC —

= 50 cm i AD—

= 4 m.»

D

E

B

A

C

7 Finalment, calcularem la distància del terra des d’un cantó fins a l’oposat.

– «Podem mesurar amb la cinta mètrica», diu la Rosa.

– «També ho podem calcular utilitzant el teorema de Pitàgores», diu en Lluís.

Bé, ho farem de les dues maneres i així comprovarem que s’obté el mateix resultat. Calcula tu aquesta distància amb les dades disponibles.

ACTIVITATS DE REFORÇ. TEMA 6

Nom: Grup:

168

Tema 6. Solucionari

APLICA

1

2 La taula de l’alumne mesura 70 cm de llarg i 50 cm d’ample. La longitud real de la taula del professor és 1,4 m, i la seva amplada, 1 m.

3

A

4 Les dimensions reals són 9 m de llarg i 6 m d’ample.

5 Les finestres en el pla serien de 4 cm Ò 5 cm.

6 2,3 m

7 La diagonal mesura 10,82 m.

ACTIVITATS DE REFORÇ. TEMA 6

ACTIVITATS DE REFORÇ • MATEMÀTIQUES 2n ESONom: Grup:

Data:

Tema 7. Cossos geomètrics RECORDA EL QUE ÉS ESSENCIAL

GEOMETRIA DE L’ESPAI. POLIEDRES

POLIEDRES

POLIEDRES REGULARS

NOM

PRISMA

h

ALAT

=

ATOTAL

=

TRONC DE PIRÀMIDE

ALAT

=

ATOTAL

=

a

B2

B1

PIRÀMIDE

ALAT

=

ATOTAL

=

a

COSSOS DE REVOLUCIÓ

CILINDRE

h

r ALAT

=

ATOTAL

=

TRONC DE CON

ALAT

=

ATOTAL

=

g

r

r’

h

CON

ALAT

=

ATOTAL

=

gh

r

ESFERA

R A =

CASQUET ESFÈRIC

A =h

ZONA ESFÈRICA

A =h R

170

Nom: Grup:

Data:

ACTIVITATS DE REFORÇ. TEMA 7

APLICA. PASSEIG MATEMÀTIC

La Carme i el seu germà, més gran que ella i estudiant de matemàtiques, tornen a casa junts. Mentre cami-nen, parlen de les matemàtiques i del món real. La Carme es queixa que al carrer no es veuen »matemàti-ques». El germà tracta de fer-li veure que no és així.

1 «Mira, fixa’t, Carme. La casa on vivim és un paral·lelepípede recte de 24 m d’altura, i la base, un rectangle

de 25 m Ò 30 m, no? Amb aquestes dades pots calcular l’àrea lateral de l’edifici, és a dir, la superfície la-

teral de les parets.» «Ja, però això per a què serveix?», contraataca la Carme. «Imagina que haguéssin de

pintar les parets exteriors. No creus que seria important aquesta dada? Va, troba’n la superfície lateral.»

25 m

30 m

24 m

2 «Ara, observa: al terrat hi ha una xemeneia de xapa, de forma cilíndrica, amb un radi de 10 cm i una al-

tura d’1,80 m. I perquè no hi entri l’aigua té una caputxa cònica, amb un radi de 12 cm i una altura de

16 cm.

a) Quina és la superfície del cos de la xemeneia?

b) Quina és la superfície de la caputxa?»

12 cm

16 cm

180 cm

Nom: Grup:

ACTIVITATS DE REFORÇ. TEMA 7

3 «A veure, deixa’m a mi, Ferran», li diu la Carme. «La sala comunitària de l’edifici és un ortoedre que té 2,25 m d’altura. El terra és un rectangle de 6 m Ò 4 m. La porta d’entrada mesura 90 cm d’ample per 2 m d’alt.

Si en volguéssim pintar les parets i el sostre, quants metres quadrats pintaríem?».

4 La Carme li diu: «Ara que m’hi fixo, les claraboies dels patis interiors són piràmides. Segur que pots inventar

un problema amb elles.» «I tant», li contesta, «mesuren 2 m d’altura, i el costat de la base quadrada mesura

4 m. A veure si saps quants metres quadrats de material transparent s’ha necessitat per a cada una?».

5 «No està malament, germaneta, però ara te’n proposo un altre de més difícil: la porta principal de l’edifici és

de 2 m d’altura, i consta de 10 barrots ortoèdrics verticals, amb base quadrada de 9 cm2. Ja l’hem pintada

altres vegades i sabem que es gasten 50 g de pintura per cada mig metre quadrat de superfície. Quants

grams de pintura necessitem per pintar els barrots? I no oblidis comptar-hi les superfícies de les bases», li

diu en Ferran. Ajuda la Carme amb els comptes.

6 «Va, anem cap a casa que ja és hora de dinar. L’últim: a l’entrada de la finca, el número està gravat sobre

una esfera buida de metacrilat, de 30 cm de diàmetre.

Em podries dir quant pesa aquesta esfera, si sabem que la xapa de metacrilat pesa a raó d’1,5 grams el

centímetre quadrat?»

172

ACTIVITATS DE REFORÇ. TEMA 7

Tema 7. Solucionari

APLICA

1 ALAT

= 2.640 m2

2 a) 1,13 m2

b) 753,6 cm2

3 a) En pintaria 67,2 m2.

4 38,63 m2 si es considera la base; i 22,63 m2 si no es compta amb la base.

5 Necessiten 241,8 g de pintura.

6 Pesa 4,239 kg.

ACTIVITATS DE REFORÇ • MATEMÀTIQUES 2n ESONom: Grup:

Data:

Tema 8. Mesura del volum RECORDA EL QUE ÉS ESSENCIAL

PRISMA

V =

PARAL·LELEPÍPEDE

V =

ORTOEDRE

V =

CUB

V =

PIRÀMIDE

V =

CILINDRE

V =

CON

V =

ESFERA

V =

h

la

h

a

l

h

r

h

r

R

h

Dd

c

a

b

a

a

a

MESURA DEL VOLUM

UNITATS DE VOLUM

EXEMPLES:

10 m3 = ………… cm3 7 l = ………… dam3 1 hm3 = ………… dl

dam3

: 103 Ò 103

: 10 Ò 10

m3 dm3

dal l dl

174

Nom: Grup:

Data:

APLICA. ENVASOS PER A REFRESCOS

Avui heu anat a una fàbrica de refrescos perquè vegeu quin és el procés d’elaboració d’aquests productes. Allà

la professora de matemàtiques us ho va explicant tot mentre us fa algunes preguntes per veure si esteu atents

a la visita.

1 «Mireu aquí. Estem veient un dipòsit cilíndric d’1 metre de diàmetre i de 2 m d’altura. Pel que m’han dit, és

ple de refresc de taronja. Quants litres de refresc caben en el dipòsit?»

2 «Els refrescos es comercialitzen en diversos envasos. M’han donat una taula amb els diferents tipus, però

no m’han dit quants envasos de cada tipus es poden omplir amb els litres que heu calculat abans. Ho fa-

rem nosaltres, d’acord?»

NOMBRE D’ENVASOS

CAPACITAT DELS ENVASOS 2 l 1/2 l 40 cl 250 ml 200 ml

3 «Com que ens han vist fer càlculs, m’acaben de demanar que els completem la taula següent: hi ha d’anar

el nombre d’envasos de cada tipus que es necessita per completar un litre de refresc. Som-hi!».

NOMBRE D’ENVASOS

CAPACITAT DELS ENVASOS 200 ml 25 cl 50 cl 1 dm3 100 ml

4 «Per comercialitzar el refresc de llimona, l’envàs que més utilitzen és un cilindre metàl·lic de 33 cm2 de ba-

se i 10 cm d’altura. Quants centilitres caben en cada pot?»

ACTIVITATS DE REFORÇ. TEMA 8

Nom: Grup:

ACTIVITATS DE REFORÇ. TEMA 8

5 Un pot de refresc té 3,25 cm de radi en la base i 10 cm d’altura.

a) Si en dupliquessin el radi i l’altura, per quant quedaria multiplicat el volum?

b) I si rebaixessin a la meitat les mesures anteriors, en quant quedaria reduït el volum?

6 «El suc de taronja el venen envasat en paquets de tres unitats. Cada unitat té la forma d’un ortoedre de di-mensions 5 cm Ò 3,2 cm Ò 12,5 cm. Quants mil·lilitres caben en un paquet?»

7 Per al suc de pinya utilitzen un envàs ortoèdric amb una capacitat de 400 ml. La seva base és un quadrat de 5 cm de costat. Quina és l’altura de l’envàs?

8 «Em diuen que també envasen refresc de fruites amb llet en un recipient cúbic de 6,3 cm d’aresta. Quants

d’aquests cubs necessiten per envasar-ne un litre?»

9 Ara estan investigant la viabilitat d’un envàs en forma de prisma hexagonal regular, amb capacitat per a 1,5 l.

Si l’altura prevista és de 20 cm, quants centímetres quadrats ha de tenir la base?

176

ACTIVITATS DE REFORÇ. TEMA 8

Tema 8. Solucionari

APLICA

1 1.570 litres

2

NRE. D’ENVASOS 785 3.140 3.925 6.280 7.850

CAPACITAT

DELS ENVASOS2 l 1/2 l 40 cl 250 ml 200 ml

3

NRE. D’ENVASOS 5 4 2 1 10

CAPACITAT

DELS ENVASOS200 ml 25 cl 50 cl 1 dm3 100 ml

4 33 cl

5 a) El volum quedaria multiplicat per 8.

b) El seu volum seria 1

8 de l’inicial.

6 600 ml

7 L’envàs té 16 cm d’altura.

8 Es necessiten 4 cubs.

9 75 cm2