Matemàtiques (equivalent4tESO).pdf

4B deESOMATEMTICAS

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I.S.B.N.13:9788469702758I.S.B.N.10: 8469702750


Autor:PacoMoya

Revisores:JavierRodrigoySergioHernndezIlustraciones:PacoMoyayBancodeImgenesdeINTEF

MATEMTICAS:4BESOCaptulo1:

Nmerosreales

Matemticas4BdeESO.Captulo1:Nmerosreales Autor:PacoMoya/Revisor:SergioHernndezwww.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones:PacoMoyayBancodeImgenesdeINTEF

4 Nmerosreales.4BdeESOndice

1.NMEROSRACIONALESEIRRACIONALES1.1.EXPRESIONESDECIMALESFINITASOPERIDICAS1.2.FORMADEFRACCINDEUNAEXPRESINDECIMAL1.3. 2 NOESUNNMEROESRACIONAL:1.4.DISTINTOSTIPOSDENMEROS

2.APROXIMACIONESYERRORES.2.1.ERRORABSOLUTO2.2.ERRORRELATIVO

3.REPRESENTACINENLARECTAREALDELOSNMEROSREALES:3.1.DENSIDADDELOSNMEROSREALES3.2.REPRESENTACINENLARECTAREALDELOSNMEROSREALES: I.REPRESENTACINENLARECTADELOSNMEROSRACIONALES

II.REPRESENTACINENLARECTADELASRACESCUADRADAS:UNEJEMPLODEINTERSMATEMTICO,NATURALYARTSTICO:ELNMERODEORO

4.INTERVALOS,SEMIRRECTASYENTORNOS:4.1.INTERVALOS4.2.SEMIRRECTAS4.3.ENTORNOS

ResumenYa conoces los nmeros naturales, los nmeros enteros y los nmeros racionales. En este captulovamosaestudiarlosnmerosrealesqueestnformadosporlosnmerosracionalesylosirracionales.Portanto,conalgunosnmerosrealesirracionalesyatehabasencontrado,con 2 ,conPerohaymuchos,muchosms.Haymuchosmsnmerosirracionalesqueracionales.Ytepreguntars,cmopuededeciresosisoninfinitos?Resultaquehayinfinitosmsgrandesqueotros.Alinfinitodelosnmerosnaturalesseledenominainfinitonumerable.Resultaqueeldelosnmerosenterosydelos nmeros racionales tambin es infinito numerable, pero el de los nmeros reales ya no esnumerable,esmuchomayor,se ledenominalapotenciadelcontinuo.Unadesuspropiedadesmsimportantesessurelacinconlospuntosdeunarecta,porloqueaprenderemosarepresentarlosenlarectarealenlaquenodejanagujeros.Como losnmeros irracionalestienen infinitascifrasdecimalesnoperidicasescomplicadoutilizarlostalcual,asqueaprenderemosaaproximarlosycalcularelerrorqueporeso,cometemos.


5 Nmerosreales.4BdeESO1.NMEROSRACIONALESEIRRACIONALESTerecordamoslosdistintostiposdenmerosqueyaconoces:

NaturalesN ={0,1,2,3,}Son los nmeros que se usan para contar y ordenar. El 0 puede incluirse o no, depender de tuprofesor.

EnterosZ ={,3,2,1,0,1,2,3,}Son losnmerosnaturalesysusopuestos.Notienenpartedecimal,deahsunombre. Incluyena losNaturales.AlosnmerosquesepuedenexpresarenformadecocientededosnmerosenterosselesdenominanmerosracionalesyselesrepresentaporlaletraQ.Portanto

RacionalesQ = }0,,;{ bZbZaba

Losnmerosracionalesincluyenalosenteros.Tambin contienen a los nmeros que tienen expresindecimal exacta (0,12345) y a los que tienen expresindecimalperidica(7,01252525)comoveremos.1.1.ExpresionesdecimalesfinitasoperidicasRecuerdaque:

Sieldenominador(delafraccinirreducible)slotienecomofactoresprimospotenciasde25laexpresindecimalesexacta.

Ejemplo:

Asporejemplo 32 3 23 3

1 105 10 0, 025; 52 5 2 5

ya que ,yestoesgeneralyaquesiemprehabrunapotenciade10que seamltiplodeldenominador siste slocontienedosesocincos.Fjatequeelnmerodedecimaleseselmayordelosexponentesde2y5.

Sieldenominador(delafraccinirreducible)tienealgnfactorprimoquenosea2ni5lafraccintendrunaexpresindecimalperidica.

Sisuponemosunnmeronconfactoresprimosdistintosde2y5,entonces1 1010

aam m

n n ,

peroeldenominadornopuededaruncocienteexactoaldividiralnumerador,puestoque10slotienelosfactores2y5.Ellonosdemuestraquelaexpresindecimalnopuedeserexacta.

Veamosqueesperidica:Ejemplo:

Notacin:

" "" "

s i g n i f i c a " i n c l u i d o "s i g n i f i c a " I n t e r s e c c i n "

s i g n i f i c a p e r t e n e c es i g n i f i c a U n i n


6 Nmerosreales.4BdeESOConunejemplonosbastar,sidividimos1entre23obtenemosunprimerrestoquees10,luegootroquees8y seguimos,pero,se repetiralgunavezel restoypor lo tanto lascifrasdelcociente?, larepuestaesques,seguroques, losrestossonsiempremenoresqueeldivisor,enestecasodel1al22, siyoobtengo22 restosdistintos (comoesel caso)al sacarunoms tieneque repetirse!,eselllamadoPrincipiodelPalomar.Yapartirdeahlosvaloresdelcocienteserepiten.Por lotanto laexpresindecimalesperidicayelnmerodecifrasdelperiodoescomomximounaunidadinferioraldenominador(nosiempreocurreestopero1/23tieneunperiodode22cifras,1/97lotienede96cifras,sinembargo1/37tieneunperiododeslo3cifras,unapista:37esdivisorde999).

Todaslasfraccionestienenexpresindecimalexactaoperidica.Actividadespropuestas1. Mentalmentedecideculesdelassiguientesfraccionestieneunaexpresindecimalexactaycules

latienenperidicaa)2/3 b)3/5 c)7/30 d)6/25 e)7/8 f)9/11

2. Calculalaexpresindecimaldelasfraccionesdelejercicioanteriorycompruebasitudeduccineracorrecta

3. Calculalaexpresindecimaldelasfraccionessiguientes:a)1/3 b)1/9 c)7/80 d)2/125 e)49/400 36/11

1.2.FormadefraccindeunaexpresindecimalRecuerdaelprocedimiento:ActividadesresueltasClculodelaformadefraccindea)0,175; b)1,7252525a) Expresin decimal exacta: 175 70,175

1000 40 , se divide entre 10 elevado al nmero de cifras

decimales.b)Expresindecimalperidica:Tenemosque conseguir2nmeros con lamismapartedecimalparaqueal restardesaparezcan losdecimales.

1,7252525...1000 1725,2525...10 17,2525...

1708 854:990 1708990 495

NNN

Si restamos N N

Primeronosllevamoslacomaalfinaldelprimerperiodo(fjatequeelanteperiodoyelperiodojuntostienen3 cifras),despusalprincipiodelprimerperiodo (elanteperiodo tiene1 cifra).Tenemosdos


7 Nmerosreales.4BdeESOexpresionesconlamismapartedecimalporloquealrestar,esosdecimalessevan,sloquedadespejarN.Todaexpresindecimalexactaoperidicasepuedeponercomofraccin.Actividadespropuestas4. Escribeen formade fraccin lassiguientesexpresionesdecimalesexactasyredcelas,comprueba

conlacalculadoraqueestbien:a)7,92835; b)291,291835; c)0,23

5. Escribe en forma de fraccin las siguientes expresiones decimales peridicas, redcelas ycompruebaqueestbien:a)2,353535.. b)87,2365656565.c)0,9999.. d)26,5735735735..

1.3. 2 noesunnmeroesracional:VamosautilizarunmtododedemostracinmuyhabitualenMatemticasquesellamaReduccinalAbsurdoqueconsisteen:

Si slo hay 2 posibilidades para algo que llamamos A y noA y queremos demostrar A,empezamossuponiendoquesecumplenoA,hacemosalgnrazonamientodondesellegaaunacontradiccin(Absurdo)ydesechamosnoA,teniendoquecumplirseportantoA.

Msfcildeentender:supnqueslohay2posiblescaminospara llegaraunsitio.Tirasporunodeellosydescubresquenollegaaningunaparte,puestienequeserelotro.Vamosaello:QueremosdemostrarA:

2 nopuedeponersecomofraccin.SuponemosciertosucontrarionoA:

2 sipuedeponersecomofraccin.Entonces 2 a

b ,fraccinirreducible.Elevamosalcuadradoenlos2miembros

22 2

22 2a a bb

luego 2a esparypor lotantoatambin loes (elcuadradodeunnmero imparessiempre impar),ponemosa=2kysustituimos:

2 2 2 2 2 22 2 4 2 2k b k b b k luego 2b esparyportantobtambinloser.Endefinitiva:aybsonlos2nmerospares.CONTRADICCIN,absurdo,hemosdichoquelafraccinerairreducible,luegoaybnopuedenserambosmltiplosde2.


8 Nmerosreales.4BdeESOPortantorechazamosnoAynosquedamosconqueAescierta.Esteprocedimientosirveigualparatodaslasracesnoexactas,decualquierndice.Pero no vale para todos los irracionales, para demostrar que es un nmero irracional hay queestudiarmucho.FuedemostradoafinalesdelsigloXVIIIporLambert.Hastaesemomentotodavaseseguancalculandodecimalesparaencontrarunperiodoquenotiene.1.4.DistintostiposdenmerosTodosestosnmeroscomo ,...3,2 juntocon losnmerosracionales formanelconjuntode losnmeros reales. Y a los nmeros reales que no son nmeros racionales se les llama nmerosirracionales.Portanto

IrracionalesI=Q. Son nmeros irracionales los nmeros que no son racionales y por tanto aquellos nmeros que nopuedenponersecomofraccindenmerosenteros.Haymsde loquepodraparecer(dehechohayms que racionales !), son todos aquellos que tienen una expresin decimal que no es exacta niperidica, es decir, infinitas cifras decimales y sin periodo. Ejemplos: 17,6766766676 queme loacabodeinventaro0,1234567891011queseloinventCarmichael.Invntateuno,buscaenInternetysinoloencuentras,puesestuyo(porahora)

Reales=QI.Eslaunindelosnmerosracionalesydelosirracionales.

Tenemosportantoque: N Z Q . I Sonestostodoslosnmeros?

No,losrealesformanpartedeunconjuntomsamplioqueeseldelosNmerosComplejosC(en1debachilleratoseven,enlaopcindeCiencias).


9 Nmerosreales.4BdeESO

Actividadespropuestas6. CopiaentucuadernolatablaadjuntaysealaconunaXaquconjuntospertenecenlossiguientes

nmeros:Nmero N Z Q I 2,01 3 4

0,121212 3 1000

1,223334 4

12

7. Copiaentucuadernoelesquemasiguienteymetelosnmerosdelejercicioanteriorensulugar:



8. Puedesdemostrarque4,99999=5?,cuntovale2,5999?9. Demuestraque 3 7 esirracional.10. Cuntascifraspuedetenercomomximoelperiodode 1

47?

11. Cuntosdecimalestiene 7 412 5 ?,teatrevesadarlarazn?12. Hazladivisin999999:7ydespushaz1:7.Sercasualidad?13. Ahoradivide999entre37ydespus1:37,escasualidad?


11 Nmerosreales.4BdeESO2.APROXIMACIONESYERRORES.Aunqueenestecursovamosatrabajaren lamedidade loposibleconvaloresexactos( 3 nosesustituyepor1,73ni por3,1416)hayvecesenqueesnecesariohaceraproximacionespormotivosprcticos (no levamosadeciraltenderoquenosd2 metrosdecuerdaporlacuentaque nos trae) y a trabajar con nmeros aproximados por entre otrosmotivosnoconocerlosvaloresexactos.Asporejemplo,sinospesamosesunabsculaymarca65,4Kg,cuntopesamosexactamente?Nosepuedesaber,esimposible,lomximoquepodemosdeciresquenuestropesoestentre65,3y65,5Kgsielerrormximoesde100g.2.1.ErrorAbsoluto.SedefineelErrorAbsoluto(EA)comoEA= valor real valor aproximado .Lasbarras significan valor absolutoque ya sabesquequieredecirqueen casode sernegativo loconvertimosapositivo.Ejemplo:Siaproximamos 3,1416 tendremosqueelEA= 3,1426 0,0000073... 0,0000073 unas7millonsimas.CotadelErrorAbsoluto:Ansinconocerconexactitudelvalorexacto,siemprepodemosponerunacota(unvalormximo)alerror absoluto slo teniendo en cuenta el orden de aproximacin, as, si hemos redondeado en lasdiezmilsimas(comoenelejemplo)siemprepodemosafirmarqueelEA 0,00005,esdecir,menoroigualquemediaunidaddelvalordelacifraderedondeoo5unidadesdelasiguiente(5cienmilsimas),queeslomismo.Actividadesresueltas

Calculalacotadelerrorabsolutode:N 2,1 0,05EA

600 50N EA sisuponemosquehemosredondeadoenlascentenas.Cundo no se conoce el valor real, no puede conocerse el valor absoluto, pero si una cota. Si uncronmetrotieneunaprecisindedcimasdesegundodiremosqueelEA 0,05s(mediadcima5centsimas)SitenemosunnmeroAy lacotadelerrorabsolutoes A (se lee incrementodeA)sueleponerseA A sobretodoenlasCienciasExperimentales.2.2.ErrorRelativo.ParacompararerroresdedistintasmagnitudesonmerossedefineelErrorRelativo(ER)como:

ER= EAValor real


12 Nmerosreales.4BdeESOquesuelemultiplicarsepor100parahablarde%deerrorrelativo.Si no se conoce el valor real se sustituye por el valor aproximado (la diferencia normalmente espequea).Actividadesresueltas

Siaproximamosrazde3por1,73,elerrorrelativocometidoes:0, 00213 1, 73 0, 0021 0, 00121 0,121%

3EA ER

Sienlaltimadivisinponemoselvaloraproximado1,73elERsaleaproximadamente0,121%. En las aproximaciones A = 5,2 con EA 0,05 y B = 750 con EA 5 , en cul estamos

cometiendoproporcionalmentemenorerror?Calculamosloserroresrelativos:

AER 0, 05 0, 0096 0,96%5, 2

ER ER

BER 5 0,0067 0,67%750

ER ER EsmejoraproximacinladeB.

Controldelerrorcometido:No hay nada ms ignorante matemticamente hablando que utilizar demasiadas cifras decimalestrabajando en problemas prcticos.Decir que en unamanifestacin participaron aproximadamente51226personasdaaelsentidocomn.Tambinesunagamberradadecirque laestimacindevotoparaelpartidoAesdel25,6%devotossielerrorpuedeserdel3%(cosaquenosuelemencionarse).Ponercomonotadeunexamenun6,157esalmenoscuriosoporsuaparenteprecisin.Actividadesresueltas

Tenemosdosnmerosredondeadosalasdcimas:A=2,5yB=5,7Vamosahaceroperacionesconelloscontrolandoloserrores.Como el EA 0,05 (recuerda: si redondeamos en las dcimas el error ser inferior o igual a 5centsimas)tenemosqueApuedeestarentre2,45y2,55;igualmenteBestarentre5,65y5,75.

Suma:Elvalormspequeoser2,45+5,65=8,1;elvalormximoser2,55+5,75=8,3.Sirestamosda0,2.Si tomamoscomovalorde lasuma8,2,quees lamedia,ahoraelEA0,1 (lamitadde ladiferenciaentreelmximoyelmnimo, fjateenque8,2estadistancia0,1de8,1yde8,3)cuandoanteserainferiora0,05.Yanopodemosestarsegurosdelltimodecimal.Conlarestapasalomismo.Mnimo5,652,55=3,1(OjO!,elmenormenoselmayor).Mximo5,752,45=3,3.Lamediaes3,2ycomo(3,33,1):2=0,1elEA0,1Encadasumaorestaelerrorabsolutoeslasumadeloserroresabsolutos(demustralo).Sihacemosvariassumasyrestas,puesaumentarpeligrosamente.


13 Nmerosreales.4BdeESOProducto:

Valormspequeo2,455,65=13,8425;valormximo2,555,75=14,6625.Ladiferenciaesahorade0,82. Si tomamos como producto 14,25 tenemos que EA 0,41; se hamultiplicado por 8. Ya nodebemosestarsegurosnidelasunidades,podraser14o15.SimultiplicamosA(conEA=a)conB(conEA=b)obtenemosunEA=aB+bA.NtesequedependedelosvaloresdeAyB.Nota:LafrmulaEA=aB+bAsaledehacer(A+a)(B+b)(Aa)(Bb)ydividirentre2.Comprubala.Sihacemos(aB+bA)/(AB)obtenemos(a/A)+(b/B),esdecir:Loserroresrelativossesumanalmultiplicardosnmeros.

Divisin:Elvalormspequeoposibleseobtienededividirelmspequeoentreelmsgrande:

5,65:2,55=2,22;elmsgrandealrevs(elmsgrandeentreelmspequeo):

5,75:2,45=2,35.PortantoEA0,065.AhorasaleaproximadamenteEA= 2 a B b AB

,quesiBesgrandehacequesalgareducido,perosiBes

pequeonosdaunaingratasorpresa.Actividadesresueltas

ClculodelerrorabsolutoyrelativosiA=5;a=0,05;B=0,5;b=0,05A/B=10conEA1,1,un11%deerrorrelativo.

No todo sonmalas noticias. Si dividimos un nmero aproximado entre un nmero exacto el errorabsolutodisminuyesieldivisoresmayorque1.Porejemplo (5 0,5) : 20 0,25 0,025 .Sinembargo

elerrorrelativopermaneceigual(prubalo).Potencia:

Puederayarlacatstrofe.Compruebaqueelmnimosale158yelmximo218.EA 30.Estoes 5,7 0,05(2,5 0,05) 188 30 loquerepresentaun16%deerrorrelativo.

Nota:Estafrmulasaledehacer A a A a

B b B b ydividirentre2,despreciamos

2b frentea 2B .Nohayquesabrsela.


14 Nmerosreales.4BdeESOCuriosamente188noes 5,72,5 quevale185,5aproximadamente,188eslamediaentreelmnimoyelmximo.ActividadesresueltasMedimoselradiodeunacircunferenciaconunareglamilimetradaymarca7,0cm.Queremoscalcularelreadelcrculo.Elerrormximoenelradioesde0,05cm luegopuedeestarentre6,95y7,05.Siaplicamos la frmula 2r paraestosvaloresobtenemos151,7y156,1,queson losvaloresmnimoymximo.Ladiferenciaes4,4ysumitades2,2queeslacotadeerrorabsoluto.Diremosque

A=153,9 2,2 2cm .Lacotadelerrorrelativo 2, 2 100

153,9=1,4%.

Elradiotenaunacotade(0,05:7)100=0,71%,luegohemosperdidoprecisin.Sioperamosconnmerosaproximados,ypeoran,silohacemosenrepetidasocasiones,loserroressevanacumulandohastaelpuntodepoderhacerseintolerables.Noseasdemasiadoprecisosilosdatosdepartidanosonfiables.Actividadespropuestas14. Redondea1 5

2 hastalascentsimasyhallaloserroresabsolutoyrelativocometidos.

15. Hallaunacotadelerrorabsolutoenlassiguientesaproximaciones:a) 2,1b) 123c) 123,00d) 4000conredondeoenlasdecenas.

16. Unabalanzatieneunerrorinferioroiguala50gensusmedidas.Usamosesabalanzaparaelaborar10paquetesdeazcarde1Kgcadaunoquesonunlote.Determinaelpesomnimoymximodellote.Culeslacotadelerrorabsolutoparaellote?

17. LosnmerosA=5,5yB=12hansidoredondeados.Hallaunacotadelerrorabsolutoydelerrorrelativopara:

a) A+Bb) ABc) B/Ad) BA

Nota:DeterminalovaloresmximoymnimodeAyB.Despuslosvaloresmximosymnimosdecadaapartado(recuerdaquelarestayladivisinfuncionandistinto)18. Cmomedirel grosordeun folio conunerror inferior a0,0001 cm con la ayudadeuna regla

milimetradayladeel/laordenanzadelinstituto?,hazlo.


15 Nmerosreales.4BdeESO3.REPRESENTACINENLARECTAREALDELOSNMEROSREALES:3.1.DensidaddelosNmerosReales:Los nmeros reales son densos, es decir, entre cada dos nmeros reales hay infinitos nmeros enmedio.Esoesfcildededucir,sia,bsondosnmeroscona


16 Nmerosreales.4BdeESOPararepresentarlaslonostenemosqueirdondedicelaparteentera(3)ylaunidadsiguiente(laquevadel3al4)ladividimosen3partesigualesytomamos2.

Otroejemplo:17 32

7 7 ,puesladivisinda2decocientey3deresto.

Nosvamosal2,dividimoslaunidadsiguiente(del2al3)en7partesigualesytomamos3.

En caso de ser negativa: 11 3 32 24 4 4

, se har igual pero contando hacia laizquierda.Nosvamosal2, launidadquevadel2al3sedivideen4partesytomamos 3(perocontandodel2al3claro!).

Recuerdaque:

Paradividirunsegmentoenparteiguales:ParadividirelsegmentoABenporejemplo6partes iguales, trazamosporAuna lneaoblicuacualquiera,abrimoselcompsunaaberturacualquiera y marcamos 6 puntos en la rectaanterior adistancia igual.Unimoselltimopuntocon B y trazamos paralelas que pasen por lospuntos intermedios de la recta oblicua. Por elTeorema de Tales, el segmento AB ha quedadodivididoen6partesiguales.Normalmentenoteexigirnquelohagastanexacto,loharsdeformaaproximada,perotencuidadoenquelaspartesparezcaniguales.

II.Representacinenlarectadelasracescuadradas:Para representar races cuadradasusamoselTeoremadePitgoras. Sienun tringulo rectngulo lahipotenusaeshyloscatetossona,btenemosque 2 2 2 2 2h a b h a b .Actividadesresueltas

Representaenlarecta 2


17 Nmerosreales.4BdeESOSia=b=1tenemosque 2h .Slotenemosqueconstruiruntringulorectngulodecatetos1y1,suhipotenusamide 2 , (ladiagonaldelcuadradode lado1mide 2 ).Ahorautilizandoelcomps,llevamosesadistanciaalejeX(verfigura).

Representaenlarecta 5 Como 2 25 2 1 slo hay que construir un tringulorectngulodecatetos2y1,ysuhipotenusamide 5 .Has pillado el truco?, el radicando hay que expresarlo comosuma de 2 cuadrados. El tringulo rectngulo tendr comocatetosesosdosnmeros.

As,para representar 13 ,expresamos13como sumade 2 cuadrados: 2 2 2 213 9 4 3 2 13 3 2 luego en un tringulo rectngulo de lados 3 y 2 lahipotenusaser 13 .

Pero,y sielnmeronopuedeponersecomo sumade 2 cuadrados?, por ejemplo el 11 (siemprecomplicandolascosas!).

Habrquehacerloen2pasos.11=2+9,hayalgnnmerocuyo cuadrado sea2?,por supuestoque s, 2 .Por tanto

2 211 2 3 , tenemos que hacer un tringulorectngulodecatetos 2 y3.Paraelloprimeroseconstruye

2 comoantesy se trazaunaperpendicularde longitud3(verfigura).Puedendibujarse ya as todas las races?,no.Hay algunaspara las que hay que hacer ms pasos ( 7 por ejemplorequiere3),peromejorlodejamosaqu,no?Actividadespropuestas22. Representaenlarectanumricadeformaexactalossiguientesnmeros:

7 17; ;2,375; 3,66 4

23. Representaenlarectanumricadeformaexacta:

1 520; 8; 14;2


18 Nmerosreales.4BdeESOUnejemplodeintersmatemtico,naturalyartstico:Hasodohablardelnmerodeoro?El Nmero de Oro (o Razn urea o ProporcinArmnicaoDivinaProporcin)esiguala 1 5

2

Actividadesresueltas Cmolorepresentamosenlarecta?

Slo hay que construir 5 como arriba, sumar 1(trasladamos1unidadconelcomps)ydividirentre2hallandoelpuntomedio(conlamediatriz),hecho.

Otraformadistinta:Construimosuncuadradode lado1 (unqu?,unlo que quieras!). Hallamos el punto medio del ladoinferior(M)yllevamosladistanciaMAconelcompsalejehorizontal,OFeselnmerodeoro.Veamos:

221 1 5 51 1

2 4 4 2MA

1 1 52 2

OF MA Un ejemplo de la aplicacin de la razn urea paraconstruirunaespiral(imagendewikipedia).Actividadespropuestas24. Buscarectnguloureoyespiralurea.25. Ya de paso busca la relacin entre elNmero de

OroylaSucesindeFibonacci.26. Buscaenyoutubealgopasaconphiymecuentas.

Espiralurea.Wikipedia


19 Nmerosreales.4BdeESO4.INTERVALOS,SEMIRRECTASYENTORNOS:Como ya sabemosentredosnmeros realeshay infinitosnmeros.Hayunanotacinespecialparareferirseaesosinfinitosnmerosquedebersdominarparasteyfuturoscursos.4.1.Intervalos(Dellat.intervallum):2.m.Conjuntode los valoresque tomaunamagnitudentredos lmitesdados.RAE.I.IntervalosAbiertos:Si nos queremos referir al conjunto de los nmeros que hay entre dos valores pero sin contar losextremos,usaremosunintervaloabiertoEjemplo:Losnmerossuperioresa2peromenoresque7serepresentanpor(2,7)yseleeintervaloabiertodeextremos2y7.Alpertenecen infinitosnmeroscomo2,001;3,5;5;6,999;peronosondeesteconjuntoniel2niel7.Esorepresentanlosparntesis,queentrantodoslosnmerosdeenmedioperonolosextremos.Ejemplo:Losnmerospositivosmenoresque10,serepresentanpor(0,10),elintervaloabiertodeextremos0y10.Fjateque0noespositivo,por loquenoentrayel10noesmenorque10,por loquetampocoentra.Nota:Noseadmiteponer(7,2),elmenorsiemprealaizquierda!Tambinhayquedominarlaexpresindeestosconjuntosusandodesigualdades,preprate:

(2,7)={x/2


20 Nmerosreales.4BdeESO*Nota:Enalgunostextoslosintervalosabiertosserepresentanas]2,7[locualtienenalgunasventajascomo que los estudiantes con confundan el intervalo (3 , 4) con el punto del plano (3 , 4), queaseguramosquehaocurrido(perotnosersunodeellosno?),olafastidiosanecesidaddeponer(2,3;3,4)porque(2,3,3,4)noloentenderaniGauss.II.IntervalosCerrados:Igualquelosabiertosperoahoraspertenecenlosextremos.Ejemplo:Elintervalodelosnmerosmayoresoigualesque2peromenoresoigualesque5.Ahorael2yel5sentran.Sehaceigualperoponiendocorchetes[2,5].Enformadeconjuntoseescribe:[2,5]={x;2x5}.Fjatequeahoraponemos quesignificamenoroigual.Ejemplo:El intervalode losnmeroscuyocuadradonoessuperiora4.Si lopiensasunpocoversqueson losnmerosentreel2yel2,ambosincluidos(nosuperior menoroigual).Portanto:

[2,2]={x;2x2}.La representacin grfica es igual pero poniendopuntosrellenos.III.IntervalosSemiabiertos(osemicerrados,aelegir)Por supuesto que un intervalo puede tener un extremo abierto y otro cerrado. La notacin ser lamisma.Ejemplo:

Temperaturanegativaperonopordebajode8C: [ 8,0) / 8 0x x

Nmerossuperioresa600peroquenoexcedande1000.

(600,1000] / 600 x 1000x .4.2.SemirrectasMuchasveceselconjuntodeintersnoestlimitadoporunodesusextremos.


21 Nmerosreales.4BdeESOEjemplo:

Losnmerospositivos:Nohayningnnmeropositivoqueseaelmayor.Serecurreentoncesalsmboloyseescribe 0, / 0x x .

Ntesequeesequivalenteponerx>0queponer07: 7, / 7x x

Nota:Elextremonoacotadosiempreseponeabierto.Noqueremosveresto:(7,+]4.3.EntornosEsunaformaespecialdeponerlosintervalosabiertos.Sedefineelentornodecentroay radio rysedenotaE(a , r) (otra formausuales ( )rE a )comoelconjuntodenmerosqueestnaunadistanciadeamenorquer.Conunejemploloentiendesmejor:Ejemplo:Elentornode centro5 y radio2 son losnmerosqueestnde5unadistanciamenorque2. Si lopensamosunpoco,sernlosnmerosentre52y5+2,esdecir,elintervalo(3,7).Escomocogerelcompsyconcentroen5marcarconabertura2.Fjatequeel5estenelcentroyladistanciadel5al7yal3es2.

E(a,r)=(ar,a+r)Ejemplo:E(2,4)=(24,2+4)=(2,6)Esmuyfcilpasardeunentornoaunintervalo.Vamosahacerloalrevs.


22 Nmerosreales.4BdeESOEjemplo:Sitengoelintervaloabierto(3,10),cmoseponeenformadeentorno?Hallamoselpuntomedio 3 10 13

2 2 =6,5queserelcentrodelentorno.Nosfaltahallarelradio:

(103):2=3,5eselradio(lamitaddelancho).Portanto(3,10)=E(6,5;3,5)Engeneral:

Elintervalo(b,c)eselentorno ,2 2

b c c bE .Ejemplo:

Elintervalo(8,1)= 8 1 1 ( 8)( , ) ( 3,5;4,5)2 2

E E Tambinexistenlosentornoscerradosperosondeusomenosfrecuente.Actividadespropuestas27. Expresa como intervaloo semirrecta,en formade conjunto (usandodesigualdades) y representa

grficamente:a) %superioral26%.b) Edadinferioroiguala18aos.c) Nmeroscuyocuboseasuperiora8.d) Nmerospositivoscuyaparteenteratiene3cifras.e) Temperaturainferiora25C.f) Nmerosparalosqueexistesurazcuadrada(esunnmeroreal).g) Nmerosqueestnde5aunadistanciainferiora4.

28. Expresaenformadeintervalolossiguientesentornos:

a)E(1,5)b)E(2, 8

3)

c)E(10;0,001)29. Expresaenformadeentornolossiguientesintervalos:

a)(4,7)b)(7,4)c)(3,2)

30. Los sueldos superiores a 500 pero inferiores a 1000 se pueden poner como intervalo de

nmerosreales? *Pista:600,222333puedeserunsueldo?


23 Nmerosreales.4BdeESOCURIOSIDADES.REVISTA

Foliosy 2Ya sabemos que un cuadrado de lado L tiene una diagonal quevale 2 L,veamosalgoms:LaimagenrepresentaunfolioconlanormaDIN476queeslamsutilizadaanivelmundial.EstanormaespecificaqueunfolioDINA0tieneunasuperficiede1m2yquealpartirlopor lamitadobtendremosunDINA1quedebeserunrectngulosemejantealanterior.PartiendoelA1en2igualesobtenemoselDINA2,despuselDINA3yelDINA4queeselmsusado.Todossonsemejantesalosanteriores.Qusignificasersemejante?Puesque AD AB

AB AM ,peroAM=AD/2luego

2 21 22 2

ADAB AD AB AD AB PorlotantoenlosfoliosDIN476:laraznentreellargoyanchoes 2 .No queda aqu la cosa, fjate que al partir el folio en 2 partesigualeselnuevofoliotieneelladomayorquecoincideconelladomenor del original: AB es ahora el lado mayor y antes era elmenor,comoAB=AD/ 2 resultaque larazndesemejanzaes

2 .Esdecir,parapasardeunfolioA0aotroA1dividimossusladosentre 2 .Lomismoparalossiguientes.Calculemoslasdimensiones:ParaelA0tenemosqueelreaesADAB=1m2

2 4 1 2 2 22

AD AD AD AD 1,189m;

AB=4 22 0,841m.ParaobtenerlasmedidasdelA4

dividiremos4vecesentre 2 :Largo=

4

42

2 0,297m=29,7cm

Ancho=Largo/ 2 0,210m=21,0cm

Largo (cm) Ancho (cm) rea (cm2)A0 118,92 84,09 10000 A1 84,09 59,46 5000 A2 59,46 44,04 2500 A3 42,04 29,83 1250 A4 29,73 21,02 625 A5 21,02 14,87 415,2

Unatabla

1) Compruebalosvaloresdelatablaanterior(hayalmenosdosvaloresequivocados)2) CuntosfoliosA4cabenenunfolioA0?3) CulessonlasdimensionesdelA6?,ydelA7?

Cuestiones:



Elnmerodeoro

El nmero de Oro (o Razn Area) llamado (fi) es precisamente el valor de esaproporcin,as:

Yatenemosdoscuriosidades:

DondeFneselnsimoNmerodeFibonacci.Estosnmerosson1,1,2,3,5,8,13,21,34dondecadatrminoapartirdelterceroseobtienesumandolosdosanteriores.MsrelacionesentreelNmerodeOroylaSucesindeFibonacci:a)Sivamosdividiendounnmerode lasucesinentresuanteriorobtenemos:1/1=1;2/1=2;3/2=1,5;5/3=1,666;8/5=1,6;13/8=1,625Comopuedeverse,nosacercamosrpidamentealvalordelnmerodeOro,primeropordebajo,despusporarriba,pordebajo,alternativamente.b)FormuladeBinet:Para calcular un nmero de Fibonacci, por ejemplo el que ocupa el lugar 20 hay quecalcularlos19anteriores.Estono tienequesernecesariamenteas,puesBinetdedujoesta frmula,queparaelautoresunadelasmsbonitasdelasmatemticas.

21; 1 1 0

1 5 1,6180342

a a b ab a b

2 11 1

2

3

4

1

12 13 2

... n n nF F

1 2

1

5

nn

nF

Actividades:a)CalculaF31yF30conlafrmuladeBinet.b)HazelcocienteymirasiesunabuenaaproximacindelNmerodeOro.

Dividimosunsegmentoendospartesdeformaquesidividimoslalongituddelsegmentototalentrelapartemayor debe de dar lomismo que al dividir la partemayorentrelapartemenor.Tenemosque(a+b)/a=a/b.

Siporejemplosustituimosnpor20obtenemosF20=6765.Realmentepodemosprescindirdel2trminodelnumerador,paran>3sehacemuchomspequeoqueelprimero.Porejemplo,paran=6,sihacemos

6

5 obtenemos8,0249queredondeadoes8,elvalorcorrecto.



ElpentgonoregularyelNmerodeOro.

Enunpentgonoregularlaraznentreunadiagonal y el lado es . Como sabemosconstruir , la construccin de unpentgonoregulaesmuysencilla:Si AB va a ser un lado de nuestropentgono, construimos el punto FalineadoconAyBquecumplaAF/ABigualaFi(seindicacmohacerloeneltexto).Entonces,ABserelladoyAFlamedidadeladiagonal.Trazamos la mediatriz de AB y unacircunferencia de centro A y radio AF. Secortan en D que es un vrtice delpentgono.Trazamos ahora una circunferencia concentroByradioAB,secortaconlaanterioren C que es otro vrtice del pentgono.SloquedahallarEqueesmuyfcil.Elpentgonoregularconsusdiagonalesseconoce como Pentagrama Mstico yparece ser que volva loquitos a lospitagricos,enlelnmerodeOroaparecedeformadesmesurada.Del Pentagrama hemos sacado estetringulo, llamado Tringulo ureo quepermite obtener ms tringulos ureoshaciendo labisectrizenunode losngulosigualesyformarestaespiral.Estaespiralesparecida a la Espiral urea, a la deFibonacciyalaespirallogartmicaqueesla

l i h


26 Nmerosreales.4BdeESORESUMEN

EjemplosConjuntosdenmeros

Naturales N ={0,1,2,3,};Enteros Z ={,3,2,1,0,1,2,3,}Racionales Q = }0,,;{ bZbZa

ba

; Irracionales I = Q;= QI

Fraccionesyexpresindecimal

Todas las fraccionestienenexpresindecimalexactao peridica. Toda expresin decimal exacta operidicasepuedeponercomofraccin.

175 70,1751000 40

X=1,7252525=854/495

2 irracional 2 nopuedeponersecomofraccin. ErrorAbsoluto ErrorAbsoluto(EA)= valor real valor aproximado 3 1,73:EA0,0021.Cotadelerror Hallamoslacotacalculandounvalormayor EA0,003ErrorRelativo

ER= EAValor real

ER=3

0021,0 0,00121

Controldelerror Encadasumaorestaelerrorabsolutoeslasumadeloserroresabsolutos.Loserroresrelativossesumanalmultiplicardosnmeros.

Densidad Losnmerosrealesylosnmerosracionalessondensos.Entrecadadosnmeros,siemprepodemosencontraraotro.

Representacinenlarectareal

Fijado un origen y una unidad, existe una biyeccinentrelosnmerosrealesylospuntosdelarecta

Intervaloabierto Intervalo abierto en el que los extremos nopertenecenalintervalo

(2,7)={x/2


27 Nmerosreales.4BdeESOEJERCICIOSYPROBLEMAS.

1. Laimageneslarepresentacindeunnmeroirracional,cul?

2. Representadeformaexactaenlarectanumrica:3,375;3,6663. Representadeformaexactaenlarectanumrica: 108; 2 5;

2

4. Hallaelvalorexactode 0,40,4

sincalculadora.

5. Diculesdeestasfraccionestienenexpresindecimalexactayculesperidica:

9 30 37 21; ; ;40 21 250 15

6. Halla3fraccionesa,b,ctalque 3 19

4 25a b c

7. Hazentucuadernounatablaydiaquconjuntospertenecenlossiguientesnmeros:2,73535; 2 ; 5 32 ; 2

0;10100;102

34;2,5;0,1223334444

8. Contestaverdaderoofalso,justificandolarespuesta.

a)Q( Q)={0}b)ZQc)Larazcuadradadeunnmeronaturalesirracional.d) 7 Qe)1/47tieneexpresindecimalperidica.

9. Ponejemplosquejustifiquen:

a)Lasumaylarestadenmerosirracionalespuedeserracional. b)Elproductoodivisindenmerosirracionalespuedeserracional.10. Quserlasumadenmeroracionalconotroirracional?(Piensaensuexpresindecimal)


28 Nmerosreales.4BdeESO11. Lasumade2nmerosconexpresindecimalperidicapuedeserunentero?12. Expresaconpalabraslossiguientesintervalososemirrectas:

a. (7,7]b. / 3 5x x c. d. (2,+)

13. Cuntosmetroshaydediferenciaalcalcularelpermetrode laTierraponiendo 3,14en

lugardesuvalorreal?,esmuchoopoco?Bsicamentetienesquehallarelerrorabsolutoyelrelativo.*Radioaproximadamente6370km

14. 12)LosantiguoshicieronbuenasaproximacionesdePi,entreellascitemosaArqumedes(sigloIIIa.C)con211875/67441yaPtolomeo(sigloIId.C,)con377/120.Culcometimenorerrorrelativo?

15. LosiguienteesunPitexto:Soyyseratodosdefinible,minombretengoquedaros,cociente

diametralsiempreinmediblesoydelosredondosaros.(ManuelGolmayo)Cuentayapuntaelnmerodeletrasdecadapalabrayversdedondevienesunombre.Inventaunafraseconlamismapropiedad,noesnecesarioqueseatanlargo(almenos10palabras)

16. Halla:

a) (3,5]U(4,6]b) (3,5](4,6]c) (,2](2, )

17. Puedeexpresarsecomoentornounasemirrecta?

18. Expresacomoentornosabiertoslossiguientesintervalos:a. (0,7)b. (8,2)c. (2, )

19. Expresacomointervalosabiertoslossiguientesentornos:a) E(2,2/3)b) E(7,1/2)


29 Nmerosreales.4BdeESO20. UnnumeroirracionaltanimportantecomoPieselnmeroe. 2,718281828...e queparece

peridico,perono,no loes.Sedefinecomoelnmeroalqueseacerca 11n

n cuandonse

hacemuy,peroquemuygrande.Cogelacalculadoraydaleanvalorescadavezmayores,porejemplo:10,100,1000,Apuntalosresultadosenunatabla.

21. Otraformadedefinirees 1 1 1 11 ...

1! 2! 3! 4!e

Quedirs t quesonesosnmeros tanadmirados!,se llama factorialyesmuysencillo:4!=4321=24,semultiplicadesdeelnmerohastallegara1.Porejemplo:6!=654321=720.Notepreocupes,quelatecla!estenlacalculadora.Puedescalcularecon6cifrasdecimalescorrectas?*Nota:Fjatequeahoralaconvergenciaesmuchomsrpida,slohastenidoquellegarhastan=?

Ahora trabajamos con valores exactos, ni las fracciones ni los irracionales se sustituyen por su

expresindecimal,ejemplos:34 5 500

3 33 2 2 2 5 2

22. Hallaelreayelpermetrodeunrectngulodelados 2 8y m.23. Hallaelreayelpermetrodeuncuadradocuyadiagonalmide2m.

24. Hallaelreayelpermetrodeunhexgonoregulardelado 3 m.25. Hallaelreayelpermetrodeuncrculoderadio 10 m.

26. Hallaelreatotalyelvolumendeuncubodelado 3 7 m.27. Porqunmerohemosdemultiplicar los ladosdeunrectnguloparaquesureasehagael

triple?


30 Nmerosreales.4BdeESO28. Cuntodebevalerelradiodeuncrculoparaquesureasea1m2?29. Tenemos una circunferencia y un hexgono inscrito en ella. Cul es la razn entre sus

permetros?(Raznesdivisinocociente)30. Qunmerosalcuadradodan7?31. Qunmerosrealesalcuadradodanmenosde7?32. Qunmerosrealesalcuadradodanmsde7?

33. Medirel tamaode laspantallasenpulgadas ()yanoparecemuybuena idea.Lamedidase

refierea la longitudde ladiagonaldelrectngulo,as,unatelevisinde32serefiereaque ladiagonalmide32.Esonodamucha informacinsinosabemos laproporcinentre los lados.Lasmsusualesenlaspantallasdetelevisinyordenadorson4:3y16:9.Siunapulgadason2,54cm,culessernlasdimensionesdeunapantallade32conproporcin4:3?,ysilaproporcines16/9?Cultienemayorsuperficie?


31 Nmerosreales.4BdeESOAUTOEVALUACIN

1) Sabesaquconjuntospertenecenlosdistintosnmeros.

Indicaenunatablaoundiagrama(comoeldeltexto)aquconjuntosnumricospertenecenlossiguientesnmeros:0;2;3/4,7,3;6,252525, 2 ; 3 4 ; 4 16 ;1,123124125;2,999

2) Sabesredondearconunnmeroadecuadodecifrasycalculaselerrorrelativoparacompararaproximaciones.Sabeshallarunacotaparaelerrorabsolutoyelrelativo.

a) Lossiguientesnmerossehanredondeado,hallaunacotadelerrorabsolutoydelerrorrelativo:a_1)3,14a_2)45600conredondeoenlascentenas.

b) Sitomamos 210 3,16 0,673

y encualdelasaproximacionescometemosproporcionalmentemenorerror?

3) Sabescuandounafraccintieneexpresindecimalexactaoperidicasinhacerladivisin.

Prubaloconestas:30/150;30/21

4) Sabespasardedecimalafraccinparatrabajarconvaloresexactos:Halla:0,72525+0,27474

5) SabesrepresentarnmerosracionaleseirracionalesdeformaexactaRepresentadeformaexacta 21 30; ; 10; 7

9 7

6) Dominaslasdistintasformasynotacionesdeunintervaloosemirrecta(intervalo,conjuntocondesigualdadesygrfica).Expresa en forma de intervalo (o semirrecta), en forma de desigualdad y representagrficamente:

a) Nmerosrealesinferioresoigualesque1b) Nmerosrealescomprendidosentre4y2,incluidoel1peronoel2.

7) Sabespasardeunentornoaunintervaloyviceversa.

a) Escribecomointervalo:E(2,2/3)b) Escribecomoentornoelintervalo(5/2,7/3)

8) Sabesresolverproblemastrabajandoconcantidadesexactas.

Hallaelrea,elvolumenyladiagonalprincipaldeunortoedrodelados 5 ;2 5 3 5y m.


Autor:JOSEANTONIOENCABODELUCAS

Revisora:NievesZuastiIlustraciones:BancodeImgenesdeINTEF


POTENCIASYRACES

Matemticas4deESO.Captulon2:Potenciasyraces Autor:JosAntonioEncabodeLucas Revisora:NievesZuastiwww.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones:BancodeImgenesdeINTEF

33 Potenciasyraces.4BdeESOndice

1.POTENCIASDEEXPONENTEENTERO.1.1.POTENCIASDEEXPONENTENATURAL1.2.POTENCIASDEEXPONENTENEGATIVO

2.PROPIEDADESDELASPOTENCIAS.EJEMPLOS3.POTENCIASDEEXPONENTERACIONAL.RADICALES

3.1.POTENCIASDEEXPONENTERACIONAL.DEFINICIN3.2.RADICALES.DEFINICION.EJEMPLOS.3.3.POPIEDADESDELOSRADICALES.EJEMPLOS

4.OPERACIONESCONRADICALES.RACIONALIZACION4.1.OPERACIONES.DEFINICIN.EJEMPLOS4.2.RACIONALIZACION.EJEMPLOS4.3.EJEMPLOSPARARESOLVER.

5.NOTACIONCIENTFICA.5.1.DEFINICIN.EJEMPLOS.5.2.OPERACIONESCONNOTACIONCIENTFICA.

ResumenEn este captulo vamos a estudiar las potencias deexponentenaturalyenteroconsuspropiedades.Aprenderemos a operar con las potencias aplicando suspropiedades.Estudiaremos laspotenciasdeexponenteracional,quesonlos radicales, sus propiedades y as como las operacionesquepodemosrealizarconellos.Nos detendremos en la racionalizacin, que es unaoperacin muy utilizada en matemticas que lanecesitaremosparaoperarconradicales.Enelfinaldelcaptuloestudiaremoslanotacincientfica,laspropiedadesparapoderoperarconestetipodenotacinyaprenderemosaoperarconestanotacin.


34 Potenciasyraces.4BdeESO1.POTENCIASDEEXPONENTEENTERO.PROPIEDADES1.1.Potenciasdeexponentenatural.Recuerdaque:Dadoa,unnmerocualquiera,yn,unnmeronatural,lapotenciaaneselproductodelnmeroaporsmismonvecesEn formadesarrollada, lapotenciadebaseayexponentenseescribe:an=a a a a,nveces,siendoacualquiernmeroynunnmeronaturalEjemplo:35=33333, 5veces(3)5=(3)(3)(3)(3)(3),5veces. Labaseapuedeserpositivaonegativa.Cuando labaseespositivael resultadoessiemprepositivo.Cuandolabaseesnegativa,sielexponenteesparelresultadoespositivo,perosiesimparelresultadoesnegativo.Sicalculamoslosejemplosdearribatendremos:35=3 3 3 3 3=243.Resultadopositivoporquemultiplicounnmeropositivo5veces.(3)5 = (3) (3) (3) (3) (3) =243.Multiplicounnmeronegativounnmeroimpardeveces,porloqueelresultadoesnegativo.Cadavezquemultiplicamosdosvecesdosnmerosnegativosnosdaunopositivo,comotenemos5,quedaraunsignomenossinmultiplicar,luego(+)()=().Recuerdaque:Actividadesresueltas: Calculalassiguientespotencias:

a)(3)5=(3)(3)(3)(3)(3)=243b)24=2222=16c)(2)4=(2222)=16Actividadespropuestas:1. Calculalassiguientespotencias:

a)x3 b)(x+1)3 c)(2x)2

Basepositiva:resultadosiemprepositivo.Basenegativayexponentepar:resultadopositivo.Basenegativayexponenteimpar:resultadonegativo


35 Potenciasyraces.4BdeESO1.2. Potenciasdeexponentenegativo:Definicindepotenciadeexponentenegativonybasea:

an=1/anEstosejustificayaquesedeseaquesesiganverificandolaspropiedadesdelaspotencias:

am/an=amn.am/am+n=am(m+n)=an=1/an.

Ejemplo:52eslomismoque(1/5)2. 1/2.PROPIEDADESDELASPOTENCIAS.EJEMPLOS:Laspropiedadesdelaspotenciasson:

a) Elproductodepotenciasdelamismabaseesigualaotrapotenciadelamismabaseycomoexponentelasumadelosexponentes.

anam=am+nEjemplo:3234=(33)(3333)=34+2=36

b) Elcocientedepotenciasdelamismabaseesigualaotrapotencia que tiene como base la misma, y comoexponenteladiferenciadelosexponentes.

an:am=anmEjemplo:55/53=(55555)/(555)=553=52

c) La potencia de una potencia es igual a la potencia cuyo exponente es el producto de losexponentes.

(an)m=anmEjemplo:(72)3=(77)(77)(77)=76

d) Elproductodepotenciasdedistintabase conelmismoexponentees igualaotrapotenciacuyabaseeselproductodelasbasesycuyoexponenteeselmismo:

anbn=(ab)n


36 Potenciasyraces.4BdeESOEjemplo:3252=(33)(55)=(35)(35)=(35)2

e) Elcocientedepotenciasdedistintabaseyelmismoexponentees igualaotrapotenciacuyabaseeselcocientedelasbasesycuyoexponenteeselmismo.

an/bn=(a/b)nEjemplo:83/73=(888)/(777)=(8/7)(8/7)(8/7)=(8/7)3Todas estas propiedades de las potencias que se han citado para los exponentes naturales siguensiendovlidasparaotrosexponentes:negativos,fraccionariosActividadesresueltas:

Calculalassiguientesoperacionesconpotencias:a)3592=35(32)2=3534=39b)(23)3=233=29c)53/50=530=53d)34/35=34(5)=34+5=39

Actividadespropuestas:2. Efectalassiguientesoperacionesconpotencias:

a)(x+1)(x+1)3 b)(x+2)3:(x+2)4 c){(x1)3}4 d)(x+2)(x+1)3

3.POTENCIASDEEXPONENTERACIONAL.RADICALES3.1.Potenciasdeexponenteracional.Definicin.Sedefinelapotenciadeexponentefraccionarioybaseacomo: Ejemplo:Exponentesfraccionarios:

4 34/3 16)16( Las propiedades citadas para las potencias de exponente entero son vlidas para las potencias deexponentesfraccionariosEjemplo:

46488 33 23/2

ar/s= s ra


37 Potenciasyraces.4BdeESO3.2.Radicales.Definicin.EjemplosSedefineraznsimadeunnmeroa,comoelnmerobqueverificalaigualdadbn=a.

ban bn=aSiendo:neselndice,aeselradicandoybeslaraznsimadea

Importante:nsiempreespositivo.Noexistelaraz5.Observaquesepuededefinir:a1/n= n a yaque:(a1/n)n=a(1/n)n=a1=a.Comoa1/nsatisfacelamismapropiedadquebdebenserconsideradoscomoelmismonmero.

Ejemplos:82)2(2)2(16)16( 34/124 1234 44 34/3

82/3= 4648 33 2

3.3.Propiedadesdelosradicales.Ejemplos.Laspropiedadesde laspotenciasenunciadasanteriormenteparaelcasodeexponentesfraccionarios,tambinsepuedenaplicaralasraces:

a) Simultiplicamoselndicedeunaraznporunnmeroc,yalavezelevamoselradicandoaesenmerocelvalordelaraznovara.

Severifica 0c severificaque:pn pn aa . .

La radicacin de ndice n es la operacin inversa de lapotenciacindeexponenten.Porladefinicinderaznsimadeunnmeroaseverificaquesibesraz,entonces:

ban bn=a


38 Potenciasyraces.4BdeESODemostracin:

nnnpp

pn p aaaa 1

.. Ejemplo:

63 255 .Severificapuestoquesegnacabamosdever: 62.3 2 255 b) Paramultiplicarracesdelmismondice,semultiplicanlosradicandosysehallalarazdendice

comn:nnn baba .. .

Segnlaspropiedadesdelaspotenciasdeexponentesenterosseverificaque:nnnnnn babababa

111

)( c) Paradividirracesdelmismondicesedividenlosradicandosysehallalarazdelndicecomn.

Suponemosqueb0paraquetengasentidoelcociente.n

n

n

ba

ba

.Siescribimos:

n

n

n

nnn

ba

b

aba

ba 1

11

)( .

Ejemplo:

aaaaa

aa 3 33 473 4

7

3 4

3 7

d) Paraelevarunradicalaunapotenciabastaconelevarelradicandoadichapotencia:n mmn aa )(

Estapropiedadlapodemosdemostrarcomosigue:

n mmnmmnmn an

aaaa

1

1

e) Larazdeunarazesigualalarazcuyondiceeselproductodelosndices:nmm n aa .

Severificaque:


39 Potenciasyraces.4BdeESOnmmn

mnm n aaaa

11

1

Ejemplo:23015301515 30153 5 3015 15

1151

151

)()()( yxyxyxyxyx Actividadesresueltas:

Reduceandicecomnlossiguientesradicales: 23 70;536 ;)672(672536 6 233 33

6 3332 75275270 .

Sacafactoresfueradelaraz:

222 222 322 3633233232108 Ponerlossiguientesradicalescomounasolaraz:

66 263

43

6 3

6 26 3

6

3

183.23.22.3

3.24.3

244.3

Actividadespropuestas:3. Calcula:

a) 23 96 ).( ba b) 3343.

32 c) 212 3 ))1(( x

4. Halla:

a) 4 22 43:

5 yx

yx b)

32:

35

5. Realizalassiguientesoperacionesconradicales:a) 4

24

3:5 y

xyx b)( 35 2 ))3( x


40 Potenciasyraces.4BdeESO4.OPERACIONESCONRADICALES:RACIONALIZACION.4.1.Operaciones.Definicin.EjemplosSumayrestaderadicales:

Parasumarestosradicaleshayquesumarsusexpresionesaproximadas.Sinembargolaexpresin:

517551157 sisepuedesumaryrestarpuestoquesusradicalessonidnticosEjemplo:

.5.223.21250818 432 Porlaspropiedadesdelosradicalespodemossacarfactoresdelradicaldejandoquetodoslosradicalesseanidnticos:

2302)2523(225222325522235522232 2222 Productoderadicales:Paramultiplicarradicalesdebemosconvertirlosenradicalesdeigualndiceymultiplicarlosradicandos:

15 5915 53315 5335 727)2(7878

RECUERDA:Parasumaryrestarradicalesestosdebendeseridnticos:

1.Calculamoselm.c.m.delosndices2.Dividimoselm.c.mentre cada ndicey lomultiplicamosporelexponentedel radicandoysimplificamos

PARAPODERSUMARORESTARRADICALESES NECESARIOQUETENGANELMISMONDICEYELMISMORADICANDO.SOLOCUANDOESTOSUCEDEPODEMOSSUMARORESTARLOSCOEFICIENTES O PARTE NUMERICA DEJANDO EL MISMORADICAL


41 Potenciasyraces.4BdeESODivisinderadicales:Paradividirradicalesdebemosconseguirquetengan igual ndice,comoenelcasoanteriorydespusdividirlosradicales.Ejemplo:

66 126 343

63

2236

23

6

3

182.33.22.3

3.2)2.(3

244.3

244.3

Razdeunaraz:Es larazcuyo ndiceeselproductode los ndices (segnsedemostren lapropiedade),ydespussimplificamosextrayendofactoresfueraelradicalsisepuede.Ejemplo:

3 57 yx = 6 57 yx = 6 56 516 yxxyxx Ejemplo:

Extraefactoresdelradical:

yyxx

yx

yx

22222

232

52

3

5

53572

5372

7528 =

Losfactoresquepodramosextraerseranel2,xyel5,delasiguientemanera:Dividimoselexponentedelax,5,entre2,yaqueelndicedelarazes2,ytenemosdecociente2yderesto1,porloquesaldrndosxyqueda1dentro.Deigualformaparalay,dividimos3entre2yobtenemos1decocienteyunoderesto,porloquesale1yysequedaotradentro.Veamos:

RECUERDA:Paraextraer factoresdel radical sedebecumplirqueelexponentedel radicando seamayorqueelndicedelaraz.2opciones:

Se divide el exponente del radicando entre el ndice de la raz, el cocienteindicaelnmerodefactoresqueextraigoyelrestolosquesequedandentro.

Sedescomponenlosfactoresdelradicandoelevndolosalmismondicedelaraz, cada exponente que coincida con el ndice, saldr el factor y los quesobrensequedandentro


42 Potenciasyraces.4BdeESOyy

xyy

xyy

xx335

52

375

5.2

53572 22

122

2.22

Actividadespropuestas:6. Escribebajounsoloradicalysimplifica:2 2 2 2 2 2 86.5.4.3.2 7. Calculaysimplifica:

6 45

3 544 33

.

...

yxyxyx

8. Realizalasiguienteoperacin:

xxx 73 16 9. Calculaysimplifica:

432

259

83 x

x 4.2.Racionalizacin.Ejemplos.Racionalizarunafraccinalgebraicaconsisteenencontrarotraequivalentequenotengaradicaleseneldenominador.Paraello,hayquemultiplicarnumeradorydenominadorporlaexpresinadecuada.Cuandoenlafraccinsolohaymonomios,semultiplicaydividelafraccinporunmismonmeroparaconseguircompletareneldenominadorunapotenciadelmismoexponentequeelndicedelaraz.Ejemplo:

4 36x

.

Multiplicamos y dividimos por 4 x para obtener en el denominador una cuarta potencia y quitar elradical.

44 4

4

4 3

4

4

4

4 3

44

3 616666 xxx

xxx

xxx

Cuandoen la fraccinapareceneneldenominadorbinomiosconracescuadradas,semultiplicaysedivideporunfactorqueproporcioneunadiferenciadecuadrados,estefactoreselfactorconjugadodeldenominador.

ba ( ,suconjugadoes: ba ( ).


43 Potenciasyraces.4BdeESOOtroejemplo: )( ba suconjugadoes: )( ba

Ejemplo:

53

23

Multiplicamosporelconjugadodeldenominadorqueenestecasoes: 53

53)53(23

53)(53()53(23

5323

Actividadespropuestas:10. Racionalizalaexpresin:

yxyx2

3

11. Racionaliza:232.23.3

12. Racionaliza:25

2.25.5


44 Potenciasyraces.4BdeESO5.NOTACIONCIENTFICA.5.1.Definicin.Ejemplos.Lanotacincientficaseutilizaparaescribirnmerosmuygrandesomuypequeos.Laventajaquetienesobrelanotacindecimalesquelascifrassenosdancontadas,conloqueelordendemagnituddelnmeroesevidente.Ejemplos:

2,481014(=248000000000000):Nmerogrande. 7,5611018(=0,000000000000000007561):Nmeropequeo.

5.2.OperacionesconnotacincientficaParaoperarconnmerosdadosennotacincientficaseprocededeformanatural,teniendoencuentaquecadanmeroestformadopordosfactores:laexpresindecimalylapotenciadebase10.Elproductoyelcocientesoninmediatos,mientrasquelasumaylarestaexigenprepararlossumandosdemodoquetenganlamismapotenciadebase10y,aspodersacarfactorcomn.Ejemplos:a)(5,24106)(6,3108)=(5,246,3)106+8=33,0121014=3,30121015

Unnmeropuestoennotacincientficaconstade: Una parte entera formada por una sola cifra que no es el cero.(la de las

unidades) Elrestodelascifrassignificativaspuestascomopartedecimal Unapotenciadebase10quedaelordendemagnituddelnmero.N=a,bcd...10nsiendo:asuparteentera(solounacifra)bcdsupartedecimal10nLapotenciaenteradebase10Sinespositivo,elnmeroNesgrandeYsinesnegativo,entoncesNespequeo


45 Potenciasyraces.4BdeESOb)

1314)8(68

6

10317,8108317,010)3,6:24,5(103,61024,5

c)5,83106+6,93210127,51010=5,83109+693210975109=(5,83+6,93275)109==6862,83109=6,862831012

Actividadespropuestas:13. Calcula:a)(7,83105)(1,841013) b)(5,2104):(3,2106)

14. Efectayexpresaelresultadoennotacincientfica:a)

56

45

10.51010.710.3

b) 7

3

4

102,310.5

10.35,7 15.Realizalassiguientesoperacionesyefectaelresultadoennotacincientfica:a)(4,31037,2105)2b)(7,8107)3

RECUERDA: Para multiplicar nmeros en notacin cientfica, se multiplican laspartesdecimalesysesumanlosexponentesdelapotenciadebase10.

Para dividir nmeros en notacin cientfica, se dividen las partesdecimalesyserestanlosexponentesdelapotenciadebase10.

Si hace falta semultiplica o se divide el nmero resultante por unapotencia de 10 para dejar la parte decimal con una sola cifra en laparteentera

RECUERDA: Parasumarorestarnmerosennotacincientfica,hayqueponerlosnmerosconlamismapotenciadebase10,multiplicandoodividiendoporpotenciasdebase10.

Se saca factor comn la potencia de base 10 y despus se suman o restan los nmerosdecimalesquedandounnmerodecimalmultiplicadoporlapotenciade10.

Porltimosihacefaltasemultiplicaosedivideelnmeroresultanteporunapotenciade10paradejarlapartedecimalconunasolacifraenlaparteentera


46 Potenciasyraces.4BdeESOCURIOSIDADES.REVISTA

POTENCIASDE11Laspotenciasde11Las potencias enteras de 11 no dejan de llamarnuestraatencinypuedenser incluidasentre losproductoscuriosos:

11x11=12111x11x11=1331

11x11x11x11=14641Disposicin no menos interesante presentan losnmeros 9, 99, 999, etc. cuando son elevados alcuadrado:

92=81992=9801

9992=99800199992=99980001

Valelapenaobservarqueelnmerodenuevesdelaizquierdaesigualalnmerodecerosdeladerecha,quesesitanentrelosdgitos8y1.


47 Potenciasyraces.4BdeESO

NMEROSGRANDESLosprimerosnmerosqueseacercananuestradefinicindeloque es infinito los podemos tomar de la misma naturaleza,contandoelementosmuypequeosqueexistenenabundancia,comosonlasgotasdelmar(1x1025gotas),losgranosdearenaentodaslasplayasdelmundo(5,1x1023granos)oelnmerodeestrellasde todoelUniverso conocido (3x1023estrellas).Podemosinclusotomarelnmerodepartculaselementalesdeluniverso(1x1080)siqueremosobtenerunnmeromsgrande.

SiqueremoshallarunnmeromsgrandeGoogol,acuadoporunniode9aosen1939,posee100ceros,yfuecreadocon el objetivo de darnos una aproximacin hacia lo quesignifica el infinito. Pero hoy en da se conocen cantidades(mucho)msgrandesqueelGoogol.

Tenemos por ejemplo, los nmeros primos de la forma deMersenne, que han podido ser encontrados gracias a lainvencinde las computadoras.En1952,elnmeroprimodeMersennemsgrandeera(21017)1,unnmeroprimocon39dgitos, y esemismo ao, las computadoras probaron que elnmero (210521)1 es tambin primo, y que dicho nmeroposee 157 dgitos, siendo este mucho ms grande que unGoogol


48 Potenciasyraces.4BdeESORESUMEN:

EjemplosPotenciasdeexponentenaturalyentero

an=1/an

(3)2=(3).(3)=9( 4)2()

21 22

Propiedadesdelaspotencias

an.am=am+nan:am=anm(an)m=an.man.bn=(a.b)nan/bn=(a/b)n

(3)3(3)3=(3)3+3=(3)653:52=521=51(35)2=(3)5.2=(3)10(2)3(5)3=((2)(5))334/24=(3/2)4

Potenciasdeexponenteracional.Radicales a

r/s= s ra 4 34/3 16)16(

Propiedadesdelosradicales

pn pn aa . nnn baba ..

nn

n

ba

ba

n mmn aa )( nmm n aa .

62.3 2 255 3333 62332

aaaaa

aa 3 33 473 4

7

3 4

3 7

5 335 2)2(

6233 2 555 Operacionesconradicales

Suma y resta de radicales: Para sumar y restarradicalesestosdebendeseridnticos:Productoycocientederadicales:Paramultiplicarodividir radicales debemos convertilos en radicalesde igual ndice y multiplicar o dividir losradicandos:Razdeunaraz:Eslarazcuyondiceeselproductodelosndicesydespussimplicamosextrayendofactoresfueraelradicalsisepuede.

5.1755.115 1515 53315 5335 27.)2(7.87.8 66

3

436

3

2236

23

6

3

33.22.3

3.2)2.(3

244.3

244.3

3 57 .yx = 6 57 . yx =6 56 516 .... yxxyxx

Racionalizacinderadicales

Se suprimen las races del denominador. Se multiplicanumerador y denominador por la expresin adecuada(conjugadodeldenominador,radicaldelnumerador,etc.) 5

55.5

551

251 3

33 2

3

3 23


49 Potenciasyraces.4BdeESO

2235

)3(535

)35).(35(35

351

22

Notacincientfica

5,83109+6,93210127,51010=5,83109+693210975.109=(5,83+693275)109=6862,83109=6,862831012

(5,24106)(6,3108)=33,0121014=3,320121015

1314

)8(68

6

10.317,8108317,0

10)3,6:24,5(103,61024,5


50 Potenciasyraces.4BdeESOEJERCICIOSYPROBLEMAS:

Potencias:1. Expresaenformaexponencial:

a)641 b) 5t

t c) 2)1

1( z d) 52

8127

e) 48

72

..

yxyx

2. Calcula:

a) 21

4 b)125 31

c)625 65

d)(64 65

32

) e)(8 52

34

)

Radicales:3. Expresarenformaderadical:

a)x 97

b)( 31

35 )nm c)[(x 51

31

2 ]) d)a 31

21

b 4. Expresarenformaexponencial:

a) 53 2 )( x b) 613

aa c) n m ka d) 3 )15( xx e) 4 )23(2 )( xx f) 3 4 2 5

12 )(x

5. Expresacomopotencianica:

a) 23 8

aa b)

3 25125 c)

aaa.

3 2 d)2 341 e)a.

a1 f) 4 22

21 g)

aa

aa 33

3 2

Propiedadesdelosradicales:6. Simplifica:

a) 9 64 b)2165 c)

33

4 53

..cbacba d) 3 4 75xx e) 8)2( f)

6 45

4 3 5433

.

yx

yxyx g) 5 10 322 .3 xxx

7. Extraerfactoresdelradical:

a) 3 432x b) 3 5381 cba c) 10)2( d) 4 6225

cba d) 4

58ba e)

3

5

7528

yx f) 4

3

4532

ba

8. Introducirfactoresenelradical:

a)2.23 b)3.

32 c)2. 3

41 d) 4

125.2 e) 12

21 f) 3

49

32


51 Potenciasyraces.4BdeESOOperacionesconradicales:9. a) 3 23 43 23 . bbaa b) abaaba 8105 3 c)

4

6

1020 d) 44

320:

125 e)

32:

23 f)

243

10. Efecta:

a) 825018 b) aa 1850 c) 50080320 d)47

647

e) 5323965 f) 33

85

8135 g) 2454150

Racionalizar11. Racionalizalosdenominadores:

a)3 25 b)

323 c) 23

4 d) 23

6 e) 32

3 f) 35

35

12. Racionalizaysimplifica:

a)352

11 b) 322

2 c) 5`6

523 d)

223223

e)

752212154

f)

11

2 xx

13. Efectaysimplifica:

a)3636(

)(3+2 2 b) 53

15)15( 2

c)(131

31(:)31

3

Notacincientfica:14. La masa del Sol es 330000 veces la de la Tierra,

aproximadamente, y esta es 5,981021 t. Expresa en notacincientficalamasadelSol,enkilogramos.

15. Elservivomspequeoesunvirusquepesadelordende1018 g y elms grande es laballenaazul,quepesa, aproximadamente,138 t. Cuntos virus serannecesarios para conseguir el pesodelaballena?.


52 Potenciasyraces.4BdeESO16. Los cinco pasesms contaminantes delmundo (Estados Unidos,China,Rusia,JapnyAlemania)emitieron12billonesdetoneladasdeCO2enelao1995,cantidadquerepresentael53,5%delasemisionesdetodoelmundo. Qu cantidad de CO2 se emiti en el ao 1995 en todo elmundo?17. Expresaennotacincientfica:a)Recaudacindelasquinielasenunajornadadela

ligadeftbol:1628000b)ToneladasdeCO2queseemitieronalaatmsferaen1995enEstadosUnidos5228,5milesdemillones.c)Radiodeltomodeoxigeno:0,000000000066m18. Efectayexpresaelresultadoennotacincientfica:a)(3107)(81018)b)(41012)(5103)c)(51012):(2103)d)3,11012+21010e)(4105)219. Expresaennotacincientficaycalcula:a)(75800)4:(12000)4b)

00302,0152000010318000000541,0 c)(0,0073)2(0,0003)2d)

00015,000003,0130000002700000

20. Efectayexpresaelresultadoennotacincientfica:a)

56

45

10510107103

b) 7

3

4

102,3105

1035,7 c)(4,31037,2105)21. Queresultadoescorrectodelasiguienteoperacinexpresadaennotacincientfica:(5,24.106)(8,32105):

a)4,359681012 b)43,59681013 c)4,359681011 d)4,359681013


53 Potenciasyraces.4BdeESOAUTOEVALUACION

1.Elnmero83/4vale:a)undieciseisavo b)Dos c)Uncuarto d)Unmedio.2. Expresa como potencia de base 2 cada uno de los nmeros que van entre parntesis y efectadespuslaoperacin: )

81)(4)(16( 64/1 .Elresultadoes:

a)21/3 b)25/4 c)25/3 d)253.Elnmero: 3 3 864 esiguala:a)61/4 b)21/3 c)25/661/9 d)2

4.Culeselresultadodelasiguienteexpresinsilaexpresamoscomopotencianica?:3

3

168

a)3 2.21 b)

3 222 c)

3 232 d) 3 2

5.Simplificandoyextrayendofactoreslasiguienteexpresintieneunvalor: 2 676 ..625 cba a) 4 223 ....5 cbacba b) 4 2322 ....5 cbacba c) 4 323 .....5 cbacba d) 4 232 .....5 cbacba 6.Culdelossiguientesvaloresesigualaa3/2?.a)a1/2a2 b)a5/2.a1 c)(a2)2 d)a3.a2

7.Culeselresultadodeestaoperacinconradicales?:311228

2563

a)2 7 b) 7811 c) 7.

32 d) 7.

52

8.Unaexpresinconunnicoradicalde: )1()2(2 4 33 xx estdadapor:a) 6 2 )1)(2.( xxx b) 8 32 )1.()2.( xxx c) 12 698 )1.()2.( xxx d) 12 32 )1.()2.( xxx

9.Pararacionalizarlaexpresin:532

32

hayquemultiplicarnumeradorydenominadorpor:

a) 53 b)2 53 c)2+ 5 d) 35 10.Culeselresultadoennotacincientficadelasiguienteoperacin?:5,83109+6,93210127,51010a)6,86283.1012 b)6,862831013 c)6,86231011 d)6,86281012

11.Culeselresultadodelasiguienteoperacinexpresadoennotacincientfica?: 710

103,61024,5

a)0,8317.1017 b)8,3171016 c)8,3171015 d)83,17.1016


Autor:EduardoCuchilloIbezRevisor:JavierRodrigo

Ilustraciones:BancodeImgenesdeINTEFycommons.wikimedia


Expresionesalgebraicas.Polinomios.

Matemticas4BdeESO.Captulon3:Expresionesalgebraicas.Polinomios Autor:EduardoCuchilloIbez Revisor:JavierRodrigowww.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones:BancodeImgenesdeINTEF

55 Expresionesalgebraicas.Polinomios.4BESOndice

1.INTRODUCCIN.EXPRESIONESALGEBRAICAS1.1.INTRODUCCIN1.2.EXPRESIONESALGEBRAICAS

2.POLINOMIOS.SUMAYPRODUCTO2.1.MONOMIOS.POLINOMIOS2.2.SUMADEPOLINOMIOS2.3.PRODUCTODEPOLINOMIOS

3.DIVISINDEPOLINOMIOS3.1.INTRODUCCINALASFRACCIONESPOLINMICAS3.2.DIVISINDEPOLINOMIOS3.3.OPERACIONESCONFRACCIONESALGEBRAICAS

4.DESCOMPOSICINFACTORIALDEUNPOLINOMIO4.1.FACTORIZACINDEUNPOLINOMIO4.2.RACESDEUNPOLINOMIO4.3.REGLADERUFFINI4.4.CLCULODELASRACESDEUNPOLINOMIO4.5.FACTORIZACINDEPOLINOMIOSYFRACCIONESALGEBRAICAS4.6.PRODUCTOSNOTABLESDEPOLINOMIOS

Resumen

Enmultitudde situacionesel serhumano seveobligadoa cuantificar,amanejar cantidades,datos,nmeros, ya sea para explicar algo ocurrido en el pasado, algn hecho que est sucediendo en laactualidad,oparapredeciropronosticarelcomportamientodedeterminado fenmenoenel futuro.Pese a la dificultad que puedan encerrar esas justificaciones, algunas herramientas son de carctersencillo, como las operaciones usuales de suma, resta, producto y divisin. En ocasiones hay quemanejar datos an no conocidos, por lo que aparecen indeterminadas o variables. La mezcla denmerosrealesylascitadascuatrooperacionesbsicasnosllevaalasexpresionesalgebraicasy,dentrodeellas,destacanunasexpresionesconcretaspor suabundanteusoy simplicidaddeexposicin, lospolinomios.


56 Expresionesalgebraicas.Polinomios.4BESO1.INTRODUCCIN.EXPRESIONESALGEBRAICAS1.1.IntroduccinNohace falta imaginar situaciones rebuscadasparaque,a lahorade realizarun razonamiento,nostopemos con alguna de las cuatro operacionesmatemticas bsicas: suma, resta,multiplicacin odivisin.Ejemplos:

Tres amigos han realizado un viaje de vacaciones. A la vuelta, hansumadolosgastosefectuadosystosasciendena414euros.Elgastorealizadoporcadaunohasidode

3414 euros,esdecir,138euros.

Sivamosacomprarmandarinasauna fruteraen laqueelpreciodeunkilogramoesde125euros, resulta habitual que, segn vamos introduciendo la fruta en una bolsa, vayamostanteandoelimportefinal.Paraellopodemoscolocarvariasveceslabolsasobreunabalanzay,

trasobservarelpeso,realizamoslaoperacinx25'1

donde x eslacantidaddekilogramosquenoshaindicadolabalanza.Despusdecadapesada,el resultadodeesamultiplicacin reflejaelimportedelasmandarinasque,enesemomento,contienelabolsa.

Supongamos que tenemos un contrato con una compaa de telefona mvil por el quepagamos5cntimosdeeuroporminuto,ascomo12cntimosporestablecimientodellamada.Conesatarifa,unallamadade3minutosnoscostar:

27'012'015'012'0)305'0( eurosPero cul es el precio de una llamada cualquiera? Comodesconocemossuduracin,nosencontramosconunacantidadnodeterminada,o indeterminada,por loqueencualquier respuestaquedemosa lapreguntaanteriorseapreciar laausenciadeesedato concreto. Podemos decir que el coste de una llamadacualquieraes

12'005'012'0)05'0( xx eurosdonde x sealasuduracin,enminutos.

Actividadespropuestas1. Afinalesdecadameslaempresadetelefonamvilnosproporcionala

facturamensual.Enellaaparecemucha informacin,enparticular,elnmero totalde llamadasrealizadas (N)ascomo lacantidad totaldeminutos de conversacin (M). Con los datos del anterior ejemplo,justificaqueelimportedelasllamadasefectuadasduranteesemeses:

NMNM 12'005'0)12'0()05'0( euros


57 Expresionesalgebraicas.Polinomios.4BESOEjemplo:

Es bien conocida la frmula del rea de un tringulo de base b y alturaasociadah:

2hb

Entodosestosejemploshansurgidoexpresionesalgebraicas.1.2.ExpresionesalgebraicasLlamamosexpresinalgebraicaacualquierexpresinmatemticaqueseconstruyaconnmerosrealesy las operaciones matemticas bsicas: suma, resta, multiplicacin y/o divisin. En una expresinalgebraica puede haber datos no concretados; segn el contexto, recibirn el nombre de variable,indeterminada,parmetro,entreotros.Sienunaexpresinalgebraicanohayvariables,dichaexpresinnoesmsqueunnmeroreal:Ejemplo:

2313

22

23151

23151

215211

152211

1510

1512

211

5352

3534

211

32

54

)7(3

Alfijarunvalorconcretoparacadaindeterminadadeunaexpresinalgebraicaapareceunnmeroreal:elvalornumricodeesaexpresinalgebraicaparatalesvaloresdelasindeterminadas.Ejemplo:

Elvolumendeuncilindrovienedadoporlaexpresinalgebraicahr 2

enlaquereselradiodelcrculobaseyhessualtura.Deestemodo,elvolumendeuncilindrocuyabase tieneun radiode10 cmydealtura15cmesiguala:

32 15001510 cm La expresin algebraica que representa el producto de los cuadrados de dos nmeroscualesquiera x e y sesimbolizapor 22 yx .

Sienlaexpresin

zyxx 6

27 3

particularizamoslastresvariablesconlosvalores4x , 1y ,

21z


58 Expresionesalgebraicas.Polinomios.4BESOsurgeelnmeroreal

7124272/1

6)1(4247 3

En una expresin algebraica puede no tener sentido otorgar algn valor a cierta indeterminada. Enefecto,enelltimoejemplonoesposiblehacer 0z .Actividadespropuestas2. Recuerdalaexpresinalgebraicaquenosproporcionalalongituddeuna

circunferencia.3. Escribeenlenguajealgebraicolossiguientesenunciados,referidosadosnmeroscualesquiera x e

y :a)Lamitaddelopuestodesusuma.b)Lasumadesuscubosc)Elcubodesusumad)Elinversodesusumae)Lasumadesusinversos

4. Unatiendaderopaanunciaensusescaparatesqueestderebajasyquetodossusartculosestnrebajadosun20% sobreelprecio impresoen cadaetiqueta.Escribe loquepagaremosporunaprendaenfuncindeloqueapareceensuetiqueta.

5. El anterior comercio, en los ltimos das del periodo de rebajas,deseadeshacersede susexistenciasyparaellohadecididoaumentareldescuento.Mantiene el 20% para la compra de una nica prenda y, apartirde lasegunda,eldescuentototalaumentaun5%porcadanuevapiezaderopa,hastaunmximode10artculos.Analizacuntopagaremosalrealizarunacompraen funcinde lasumatotalde lascantidadesquefiguranenlasetiquetasydelnmerodeartculosqueseadquieran.

6. Calculaelvalornumricode las siguientesexpresionesalgebraicasparaelvalorovaloresque seindican:a)x2+7x12parax=0.b)(a+b)2(a2+b2)paraa=3yb=4.c)a25a+2paraa=1.

7. Indica,encadacaso,elvalornumricodelasiguienteexpresin:10x+20y+30za)x=1,y=2,z=1b)x=2,y=0,z=5c)x=0,y=1,z=0.


59 Expresionesalgebraicas.Polinomios.4BESO2.POLINOMIOS.SUMAYPRODUCTO

2.1.Monomios.PolinomiosUnasexpresionesalgebraicasdegranutilidadson lospolinomios,cuyaversinmssimpley,a lavez,generadoradeellos,sonlosmonomios.Unmonomiovienedadoporelproductodenmerosrealeseindeterminadas.Llamaremoscoeficientedeunmonomioalnmerorealquemultiplicaalaindeterminada,oindeterminadas;laindeterminada,oindeterminadas,conformanlaparteliteraldelmonomio.Ejemplos:

Laexpresinquenosproporcionaeldobledeunacantidad, x2 ,esunmonomioconunanicavariable, x ,ycoeficiente2.

El volumen de un cilindro, hr 2 , es un monomio con dos indeterminadas, r y h , ycoeficiente . Suparteliterales hr 2 .

Otrosmonomios: 3274 yx , zyx 225

Laexpresin xxyxy 237 2 estformadaportrestrminos,tresmonomios.Cadaunotieneuncoeficienteyunaparteliteral:Enelprimero, 27xy ,elcoeficientees7 ylaparteliteral 2xy Elsegundo, xy3 ,tieneporcoeficiente3 yparteliteral xy Yeneltercero, x2 ,elcoeficientees 2 ylaparteliteral x

Atendiendo al exponente de la variable, o variables, adjudicaremos un grado a cadamonomio conarregloalsiguientecriterio:

Cuando haya una nica indeterminada, el grado del monomio ser el exponente de suindeterminada.

Siaparecenvarias indeterminadas,elgradodelmonomio ser la sumade losexponentesdeesasindeterminadas.

Ejemplos:

x2 esunmonomiodegrado1enlavariable x . hr 2 esunmonomiodegrado3enlasindeterminadas r yh . 32

74 yx esunmonomiodegrado5en x e y .

zyx 225 esunmonomiodegrado4en x , y y z .


60 Expresionesalgebraicas.Polinomios.4BESOUnnmerorealpuedeserconsideradocomounmonomiodegrado0.Unpolinomioesunaexpresinconstruidaapartirdelasumademonomios.Elgradodeunpolinomiovendrdadoporelmayorgradodesusmonomios.Ejemplos:

2751 32 xx esunpolinomiodegrado3enlavariable x .

xxy 283 24 esunpolinomiodegrado4enlasindeterminadas x e y . 232 374 yyx esunpolinomiodegrado5en x e y . zyx 62 esunpolinomiodegrado1en x , y y z .

Tantoenestaseccincomoenlasiguientenoslimitaremos,bsicamente,aconsiderarpolinomiosconunanica variable. Eshabitual escribir losdiferentesmonomiosde unpolinomiode formaque susgradosvayanendescensopara,conestecriterio,apreciarensuprimermonomioculeselgradodelpolinomio.Elaspectogenricodeunpolinomioenlavariable x es

012

21

1 ...... axaxaxaxan

nn

n dondeloscoeficientes ka sonnmerosreales.Decimosqueunpolinomioesmnicocuandoelcoeficientedesutrminodemayorgradoesiguala1.Ejemplos:

2513 24 xx esunpolinomiodegrado4enlavariable x .

734 3 yy esunpolinomiodegrado3enlaindeterminada y . 1232 zz esunpolinomiodegrado2en z .Adems,esunpolinomiomnico. 93 x esunpolinomiodegrado1en x .

Comoocurre con cualquierexpresin algebraica, si fijamos,oescogemos,un valor concretopara lavariable de un polinomio aparece un nmero real: el valor numrico del polinomio para ese valordeterminadodelavariable.Sihemosllamado p aunpolinomio,alaevaluacinde p en,porejemplo,elnmero 3 ladenotamospor )3(p , y leemos pdemenos treso penmenos tres.Conestecriterio,si p esunpolinomiocuya indeterminadaes lavariable x ,podemosreferirnosalcomo p o

)(xp indistintamente.


61 Expresionesalgebraicas.Polinomios.4BESODe esta forma apreciamos que un polinomio puede ser entendido como unamanera concreta deasignaracadanmerorealotronmeroreal.Ejemplos:

Sievaluamoselpolinomio 2513 24 xxp en 5x nosencontramosconelnmero

186871875256253255153)5( 24 p

Elvalordelpolinomio 734)( 3 yyyq para 1y es1410473)1(47)1(3)1(4)1( 3 q

Alparticularizarelpolinomio 1232 zzr en 0z resultaelnmero 12)0( r .2.2.SumadepolinomiosComounpolinomioesunasumademonomios,lasumadedospolinomiosesotropolinomio.Alahoradesumardospolinomiosprocederemosasumarlosmonomiosdeigualparteliteral.Ejemplos:

Lasumadelospolinomios 2513 24 xx y 654 24 xxx eselpolinomio

455214)62(54

51)13(

)62(5451)3()654(2

513

2424

22442424

)(

)()(

xxxxxx

xxxxxxxxxx

66)71()43()5()74()135( 22222 xxxxxxxxxx 142)4()12( 3443 xxxxxx 11)2()9( 33 xx 3xy+5xy+2x=8xy+2x

Enelsiguienteejemplosumaremosdospolinomiosdisponindolos,adecuadamente,unosobreotro.Ejemplo:

22523

635474524

345

235

2345

xxxx

xxxxxxxxx


62 Expresionesalgebraicas.Polinomios.4BESOPropiedadesdelasumadepolinomiosPropiedadconmutativa.Sipyqsondospolinomios,noimportaelordenenelqueloscoloquemosalahoradesumarlos:

pqqp

Ejemplo:855)17()32()4()13()724( 23223232 xxxxxxxxxxxxx 855)71()23()4()724()13( 23223223 xxxxxxxxxxxxx

Propiedad asociativa. Nos seala cmo se pueden sumar tres o ms polinomios. Basta hacerloagrupndolosdedosendos:

)()( rqprqp Ejemplo:

245)6()855()6()13724()6()13()724(

2323

232232

xxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Tambin:

245)52()724()613()724()6()13()724(

23232

232232

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Actividadespropuestas8. Realizalassiguientessumasdepolinomios:

)222()132()( 2322 xxxxxxx )52()453()32( 3234 xxxxxxx

Elemento neutro. Hay un polinomio con una propiedad particular: el resultado de sumarlo concualquierotrosiempreessteltimo.Setratadelpolinomiodadoporelnmero0,elpolinomiocero.Ejemplo:

7370)737()737(0 333 xxxxxx


63 Expresionesalgebraicas.Polinomios.4BESOElementoopuesto.Cadapolinomio tieneasociadootro,alque llamaremossupolinomioopuesto, talque la suma de ambos es igual al polinomio cero. Alcanzamos el polinomio opuesto de uno dado,simplemente,cambiandoelsignodecadamonomio.Ejemplo:

Elpolinomioopuestode 722 34 xxxp es 722 34 xxx ,alquedenotaremoscomo"" p .Ratifiquemosquesusumaeselpolinomiocero:

0)77()22()()22()722()722( 33443434 xxxxxxxxxxxx Actividadespropuestas9. Escribeelpolinomioopuestodecadaunodelossiguientespolinomios:

1453 234 xxxx x7 24 3xx

10. Considera lospolinomios 253 xxp , 133 2 xxq ,ascomoelpolinomiosuma qps .Hallalosvaloresqueadoptacadaunodeellospara 2x ,esdecir,calcula )2(p , )2(q y )2(s .Estudiasiexistealgunarelacinentreesostresvalores.

11. Obtnelvalordelpolinomio 253 xxp en 3x .Quvalortomaelpolinomioopuestode pen 3x ?

2.3.Productodepolinomios

Otraoperacinquepodemosrealizarconpolinomioseslamultiplicacin.El resultado del producto de polinomios siempre ser otro polinomio. Aunque en un polinomiotenemosuna indeterminada,ovariable,comoella tomavaloresen losnmeros reales,a lahorademultiplicarpolinomiosutilizaremoslaspropiedadesdelasumayelproductodelosnmerosreales,enparticular lapropiedaddistributivadelproductorespectode lasuma;as, todoquedaen funcindelproductodemonomios,cuestinqueresolvemosconfacilidad:

mnmn abxbxax Ejemplos:

64242 102)5(2)5( xxxx 333 20)4(5)4(5 xxx 234222222 18126)63()43()23()642(3 xxxxxxxxxxx


64 Expresionesalgebraicas.Polinomios.4BESO xxxxxxxxxxx 262)2()1()2()3()2()()2()13( 2433 )1082()15123()54()2()54()3()54()23( 223222 xxxxxxxxxxxxx

10714310)815()212(3 23223 xxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxx 1226)122()6()2()6()6()2()6( 23423433

Tambinpodemosmaterializarelproductodepolinomiostalycomomultiplicamosnmerosenteros:Ejemplo:

41162

421236

42

1342

2345

235

24

3

2

3

xxxxx

xxxxxxxx

xxxx

Recordemosqueelpolinomioopuestodeotro seobtiene simplemente cambiandoel signode cadamonomio.Estaaccinsecorrespondeconmultiplicarporelnmero 1 elpolinomiooriginal.Deestaformaelpolinomioopuestode pes

pp )1( En estemomento aparece demanera natural la operacin diferencia, o resta, de polinomios. Ladefinimosconlaayudadelpolinomioopuestodeunodado:

qpqpqp )1()( Ejemplo:

4382)62(3)35(2)632()235()632()235(

2342234

23422342

xxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Actividadespropuestas12. Efectalossiguientesproductosdepolinomios:

)3()24( 23 xxx )43()2( 4 xxx


65 Expresionesalgebraicas.Polinomios.4BESO )3()2( 223 xxxxx )1347()1( 23 xxx

13. Realizalassiguientesdiferenciasdepolinomios: )3()24( 23 xxx )43()2( 4 xxx )2()3( 232 xxxxx

14. Multiplicacadaunodelossiguientespolinomiosporunnmerodetalformaquesurjanpolinomiosmnicos: xxx 234 23 12 4 xx 72 xx

15. Calculaysimplificalossiguientesproductos:a) )642(3 2 xxx b) )64()43( xx

c) )34()52( 32 abba d) )29()28()63( aaa PropiedadesdelproductodepolinomiosPropiedadconmutativa.Sipyqsondospolinomios,noimportaelordenenelqueloscoloquemosalahorademultiplicarlos:

pqqp

Ejemplo:2342334232323 7927722)(7)(2)()72( xxxxxxxxxxxxxxx

23423342323 7927272)72()72()72()( xxxxxxxxxxxxxx Propiedad asociativa.Nos seala cmo se puedenmultiplicar tres oms polinomios.Basta hacerloagrupndolosdedosendos:

)()( rqprqp Ejemplo:

xxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxx266184122266441212

)()26412()()13()24(234563243546

32332


66 Expresionesalgebraicas.Polinomios.4BESOTambin:

xxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxx266184122266441212

)33()24()()13()24(234563243546

324232

Actividadespropuestas16. Realizalossiguientesproductosdepolinomios:

322 2)132( xxxx )()453()32( 2 xxxx

Elementoneutro.Hayunpolinomioconunapropiedadparticular:almultiplicarloporcualquierotrosiemprenosdasteltimo.Setratadelpolinomiodadoporelnmero1,elpolinomiounidad.Ejemplo:

3251)325()325(1 333 xxxxxx Propiedad distributiva de lamultiplicacin respecto de la suma.Cuando enunamultiplicacindepolinomiosunodelosfactoresvienedadocomolasumadedospolinomioscomo,porejemplo, )4()72()3( 32 xxxxx tenemosdosopcionesparaconocerelresultado:a)realizarlasumay,despus,multiplicar

xxxxxxxxxxx

xxxxxxxxx7271837621183

76)3()4()72()3(234524235

3232

b)distribuir,aplicar,lamultiplicacinacadaunodelossumandosy,despus,sumar: xxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxx727183)4123()72216(

)4()3()72()3()4()72()3(23452435223

32232

Comprobamosqueobtenemoselmismoresultado.Engeneral,lapropiedaddistributivadelamultiplicacinrespectodelasumanosdiceque

rpqprqp

Conviene comentar que la anterior propiedad distributiva leda en sentido contrario, de derecha aizquierda,esloquecomnmentesedenominasacarfactorcomn.Ejemplo:

2232345 2)1923(21846 xxxxxxxx Actividadespropuestas17. Decadaunodelossiguientespolinomiosextraealgnfactorqueseacomnasusmonomios:

xxx 102015 23 24 3024 xx


67 Expresionesalgebraicas.Polinomios.4BESO3.DIVISINDEPOLINOMIOS

3.1.Introduccinalasfraccionespolinmicas

Hastaestemomentohemosestudiadovariasoperacionesconpolinomios:suma,restayproducto.Encualquiera de los casos el resultado siempre es otro polinomio. Cuando establecemos una fraccinpolinmicacomo,porejemplo,

3232

3

xxxx

lo que tenemos es una expresin algebraica, una fraccin algebraica, la cual, en general, no es unpolinomio.Sapareceunpolinomioenelmuyparticularcasoenelqueeldenominadoresunnmerorealdiferentedecero,estoes,unpolinomiodegrado0.Es sencillo constatar que la expresin anterior no es un polinomio: cualquier polinomio puede serevaluadoencualquiernmeroreal.Sinembargoesaexpresinnopuedeserevaluadapara 1x ,yaquenosquedaraelnmero0eneldenominador.Podramoscreerquelasiguientefraccinpolinmicasesunpolinomio:

352352352 22323

xxxx

xx

xx

xxxx

Laexpresinde laderechasesunpolinomio,puessetratadeunasumademonomios,pero lade laizquierdano loesyaquenopuedeserevaluadaen 0x .Noobstante,esa fraccinalgebraicayelpolinomio,cuandosonevaluadosencualquiernmerodiferentedecero,ofrecenelmismovalor.Sonexpresionesequivalentesalldondeambastienensentido.

3.2.Divisindepolinomios

Aunque, como hemos visto en el apartado anterior, una fraccin polinmica, en general, no es unpolinomio,vamosaadentrarnosenladivisindepolinomiospuesesunacuestinimportanteytil.Analicemos con detenimiento la divisin de dos nmeros enteros positivos. Cuando dividimos dosnmeros,D(dividendo)entred (divisor,distintode0),surgenotrosdos,elcociente (c)yelresto (r).Ellosseencuentranligadosporlallamadapruebadeladivisin:

rcdD Alternativamente:

drc

dD

Adems,decimosqueladivisinesexactacuando 0r .Elconocidoalgoritmodeladivisinpersigueencontrarunnmeroentero,elcocientec,talqueelrestorseaunnmeromenorqueeldivisord,ymayoroigualquecero.Fijmonosenque,sinestaexigenciaparaelrestor,podemosescogerarbitrariamenteunvalorparaelcocientecelcualnossuministrasuvalorasociadocomorestor.Enefecto,sitenemoscomodividendoD=673ycomodivisord=12,siqueremosqueelcocienteseac=48surestoasociadoes


68 Expresionesalgebraicas.Polinomios.4BESO975766734812673 cdDr

ylaconexinentreestoscuatronmeroses974812673

Esta ltima lectura de la divisin de nmeros enteros va a guiarnos a la hora de dividir dospolinomios.Dadosdospolinomios )(xp y )(xq , ladivisinde )(xp ,polinomiodividendo,entre )(xq ,polinomiodivisor,nosproporcionarotrosdospolinomios,elpolinomiocociente )(xc yelpolinomioresto )(xr .Tambinaqupesarunaexigenciasobreelpolinomioresto:sugradodebersermenorqueelgradodelpolinomiodivisor.Larelacinentreloscuatroser,naturalmente,

)()()()( xrxcxqxp Tambinescribiremos

)()()(

)()(

xqxrxc

xqxp

aunque,entalcaso,seremosconscientesdelascautelassealadasenelapartadoanteriorencuantoalasequivalenciasentrepolinomiosyotrasexpresionesalgebraicas.Al igualqueocurre conel algoritmode ladivisinentera,el algoritmode ladivisindepolinomiosconstadevariasetapas,decarcter repetitivo,encadaunade lascualesaparecenunospolinomioscocienteyrestoprovisionalesdeformaqueelgradodeesospolinomiosrestovadescendiendohastaquenostopamosconunocuyogradoesinferioralgradodelpolinomiodivisor,loqueindicaquehemosconcluido.Veamosesteprocedimientoconunejemploconcreto.Ejemplo:Vamosadividirelpolinomio 2356)( 234 xxxxxp entreelpolinomio 32)( 2 xxxq .Comoelpolinomiodivisor, )(xq ,esdegrado2,debemosencontrardospolinomios,unpolinomiocociente

)(xc ,yunpolinomioresto )(xr degrado1o0,talesque)()()()( xrxcxqxp

o,comoigualdadentreexpresionesalgebraicas,

)()()(

)()(

xqxrxc

xqxp

A la vista de los pol

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