Matematiques funcions varies variables

Matemàtiques II Melanie Nogué Fructuoso

1

RESUM MATEMA TIQUES PARCIAL II

TEMA 4: LÍMITS I CONTINUÏTAT EN FUNCIONS DE DIFERENTS

VARIABLES Límit: punts propers amb imatges properes a un nombre real L el qual és el

límit. Si existeix, aquest és únic.

Si en calcular el límit ens dóna indeterminació, ens acostarem al punt per

trajectòries rectilínies, parabòliques o varies:

- Si troben 2 resultats diferents el límit no existeix.

- Encara que després de varius càlculs ens dóna el mateix no vol dir que sigui el

límit buscat, sinó que és CANDIDAT A LÍMIT (ja que hi ha infinites trajectòries).

Per tant, QUÈ HEM DE FER?

i. Determinar el punt amb indeterminació.

ii. Buscar un candidat amb trajectòries.

iii. Si el límit per diferents trajectòries és:

i. Diferent: NO EXISTEIX EL LÍMIT.

ii. Iguals: no podem assegurar que és el límit. Aleshores haurem

de seguir la definició.

TRAJECTÒRIES RECTILÍNIES

( ) ( ) ( ) ( )

TRAJECTÒRIES PARABÒLIQUES

( ) ( )

( ) ( )

On ens hauria de donar:

(

( ( ))

(

( ( ))

Cal recordar una sèrie d’operacions:

| | | | | | | | | | | | | |

| | |

|

| | | | | |

1. Funcions contínues

Una de les propietats fonamentals és que sumes, productes, restes... de funcions

contínues donaran com a resultat funcions contínues. Per exemple:


2

( ) {

( )

( )

Aquí es pot dir que f(x,y) és contínua a R²\{0,0} perquè és un quocient de

funcions contínues. I què passa a (0,0)?

( ) ( )

( )

Per tant, no és contínua a (0,0).

2. Teorema de Weiestrass

Sigui una funció contínua en un conjunt compacte (tancat i fitat), llavors f assoleix

un valor màxim i mínim absoluts.

Per exemple:

( ) {( )

}

i. F(x,y) és contínua a tot R² ja que és un producte de dues funcions

contínues.

ii. Necessitem saber si el conjunt és compacte. Si representem veiem que

efectivament ho és. Amb això tenim que f(x,y) assoleix un màxim i un

mínim absoluts. Per trobar-los apliquem les corbes de nivell.

En el punt (3,4) trobem el màxim i en (1,1) trobem el màxim. No ens interessa

saber la corba de nivell exacte, sinó el punt on es troben el màxim i el mínim.

TEMA 5: DERIVADES PARCIALS I DIRECCIONALS

1. Derivada direccional

Si tenim:

- Una funció definida en .


3

- Un punt del domini.

La derivada direccional en la direcció donada pel vector v ve donada per:

( )

( ) ( )

No obstant, en dues variables tenim:

- f: , un punt ( ) i un vector ( ) definim la derivada direccional

com:

( )

( ) ( ) ( )

Cal destacar que sempre usarem el vector unitari ||v||=1, el qual es calcula:

|| || (

| |

| |)

Ara bé, aquesta fórmula no l’utilitzarem a no ser que ens preguntin si una funció és

diferenciable.

2. Derivades parcials

Són un cas de les direccionals i segueixen els vectors de la base canònica. Veiem

un exemple:

( )

3. Gradient d’una funció

( )

(

)

( )

4. Derivades parcials a f:

Per exemple, si tenim una funció de R³ a R² com:


4

( ) (

)

Tenim dues components de f que són c1 i c2 i a més, cadascuna d’aquestes té tres

parcials, segons la variable la qual volem calcular la derivada parcial.

5. Matriu Jacobiana

( ) (

)

On el que va dins de la matriu és el vector gradient de cada component transposat.

6. Interpretació de les derivades parcials

Podem fer tres interpretacions:

i. Taxa de variació: ens diu quant varia la funció en patir una certa variació

de la variable en qüestió.

ii.

( ) f és creixent en la direcció positiva de xi.

iii.

( ) f és decreixent en la direcció positiva de xi.

7. Interpretació de les derivades direccionals

Són semblants a les parcials, no obstant totes les variables varien.

i. ( ) f creix en el punt x0 en la direcció donada per v.

ii. ( ) f decreix en el punt x0 en la direcció donada per v.

8. Interpretació econòmica de les derivades parcials

S’anomena MARGINAL i és la taxa de variació d’una funció econòmica.

9. Interpretació geomètrica del gradient

i. Pla tangent.

ii. ( ) és ortogonal a la corba de nivell que passa per (aplicació pel

TFIM).

iii. ( ) indica la direcció de màxim creixement de f.


5

10. Pla tangent

Usarem el gradient per calcular el pla tangent que passa per un punt. Tenim

f: , la qual f(x,y) i un punt P( ), aleshores:

( ) ( )

On l’equació del pla tangent és:

( )( )

( )( )

O és el mateix que:

( ) (

)

11. Funcions diferenciables

Una funció és diferenciable si té una recta tangent que s’apropi a la funció, a més

serà diferenciable si es pot derivar:

- Si té ∞ rectes tangents NO ÉS DIFERENCIABLE

- En funció de varies variables serà diferenciable si hi ha un pla tangent que

s’apropi a f.

La existència de derivades parcials no implica diferenciabilitat. No

obstant, si totes les parcials són contínues implica que la funció és

diferenciable en el punt.

*funcions amb un pla tangent però no són contínues.

**funcions amb derivades parcials contínues les anomenades classe ce-u.

11.1. Conseqüències de les f: diferenciables

i. Aproximació d’imatges pel pla tangent.

No contínues Contínues ** *

Funcions no diferenciables Funcions diferenciables


6

( ) ( )

( )( )

( )( )

On podrem trobar les imatges al voltant de ( )

ii. Càlcul de derivades direccionals:

( ) (

( )

( ))

(

)

O el que és el mateix:

( )

( )

( )

12. Regla de la cadena

Tenim C=C(x, y) i x=x(m1, m2, m3) i y=y(m1, m2, m3). Per saber com varia C en

funció de m1, m2, m3 s’ha de veure que hi h una composició definida per:

Aleshores, hem d’aplicar la regla de la cadena i per a fer-ho ens hem de fer la

pregunta:

Quants camins hi ha per arribar, per exemple a m1?

En el nostre exemple seria:

I trobem que hi ha 2 camins fins arribar a m1.

13. Derivades parcials segones

És derivar parcialment dues vegades una funció. La nomenclatura és:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

M1

M2

M3

X

Y

C


7

S’anomena matriu Hessiana la que recull totes les derivades parcials segones,

essent:

( ) (

)

On yx i xy seran iguals. És a dir, es tracta d’una matriu simètrica.

14. Teorema de Schwartz

Tenim una funció amb derivades parcials segones contínues, aleshores s’anomena

que és una funció de classe C² (classe ce-dos). A més, les derivades parcials

segones creuades són iguals.

TEMA 6: TEOREMA DE LA FUNCIÓ IMPLÍCITA (TFIM) Per saber si existeix una funció ( ) que va de al voltant d’un punt,

definida implícitament diferenciable de manera que la imatge de f(x,y, ( )) és igual

a 0, hem de fer:

i. La funció és de classe ce-u? (les parcials són contínues?)

ii. La funció en el punt és igual a 0?

iii. en el punt és diferent a 0?

Si es compleixen aquests punts podem dir que:

( )

( ) ( ( ))

1. Aplicacions i conseqüències

Tenim f: , un punt ( ) que pertany al domini i una corba de nivell en

aquest punt que l’anomenem K.

Si ( ) ( ) i es verifica el TFIM, tenim que:

i. Pendent de la recta tangent a la corba de nivell en ( ).

( )

ii. El vector gradient és perpendicular al vector director de la recta tangent

(v(b,-a)).


8

2. Teorema de la funció inversa TFIN

Aquí tractarem amb funcions vectorials i no pas amb escalars. Serveix per saber, si

tenim f(x,y)=(u,w) quant variaria u si augmentéssim x o y.

No obstant, amb el teorema trobarem les parcials que busquem però no pas ,

sinó que simplement ens ajudarà. Per tant haurem de calcular:

i. Existeix F en el punt?

ii. Cadascuna de les components de f és de classe ce-u?

iii. El determinant de la matriu Jacobiana de f en el punt és diferent a 0?

Aleshores podrem dir que:

( )

( ) ( ̂ ̂) [ ( ̂ ̂)]

És a dir, per trobar la inversa haurem de fer la inversa de la matriu Jacobiana.

Si tenim:

(

)

| | (

)

Documents

Matematiques funcions varies variables