MATEMÁTICA - gopem.com.br · PDF fileConsideramos um poliedro convexo, aquele obtido pela reunião de 4 ou mais polígonos convexos e quando o segmento de reta que liga dois pontos

PRÉ-VESTIBULARLIVRO DO PROFESSOR

MATEMÁTICA

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Produção Projeto e Desenvolvimento Pedagógico

Disciplinas Autores

Língua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales Márcio F. Santiago Calixto Rita de Fátima BezerraLiteratura Fábio D’Ávila Danton Pedro dos SantosMatemática Feres Fares Haroldo Costa Silva Filho Jayme Andrade Neto Renato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba CostaFísica Cleber Ribeiro Marco Antonio Noronha Vitor M. SaquetteQuímica Edson Costa P. da Cruz Fernanda BarbosaBiologia Fernando Pimentel Hélio Apostolo Rogério FernandesHistória Jefferson dos Santos da Silva Marcelo Piccinini Rafael F. de Menezes Rogério de Sousa Gonçalves Vanessa SilvaGeografia DuarteA.R.Vieira Enilson F. Venâncio Felipe Silveira de Souza Fernando Mousquer

I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. — Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]

660 p.

ISBN: 978-85-387-0571-0

1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.

CDD 370.71




1EM

_V_M

AT

_029

Geometria espacial e de

posição

A geometria de posição é o ponto inicial para o entendimento da geometria espacial. Com ela temos a melhor percepção das projeções tanto de um ponto na reta como de uma reta no plano, dando início à formação de um sólido. É muito utilizada na astronomia e na computação gráfica.

Postulados (axiomas)Por dois pontos distintos passa uma única 1) reta.

Por três pontos distintos, não-colineares, 2) passa um único plano.

Se uma reta tem dois pontos distintos em um 3) plano, então todos os pontos da reta perten-cem a esse plano.

Um ponto de uma reta divide-a em duas semirre-4) tas, e esse ponto é dito origem das semirretas.

Uma reta de um plano divide-o em dois se-5) miplanos onde tal reta é a origem dos semi--planos.


2 EM

_V_M

AT

_029

Um plano divide o espaço em dois semi-6) espaços, sendo esse plano a origem dos semiespaços.

Duas retas 7) r e s são ditas paralelas quando forem coplanares e a interseção for vazia, ou quando forem coincidentes (r ≡ s). Nesse caso, são ditas paralelas coincidentes.

Por um ponto exterior a uma reta r, passa uma 8) única reta s e paralela a r.

Duas retas paralelas a uma terceira são pa-9) ralelas entre si.

Posições relativasRetas concorrentes – quando a interseção é 1) um ponto.

r s

P

r ∩ s = {P}

Retas reversas – quando a interseção é vazia 2) (não são coplanares e não são paralelas).

Ângulos entre retas reversas – Dadas duas 3) retas reversas r e s e um ponto P, exterior a

r e s, o ângulo entre r e s é dado pelo ângulo entre as concorrentes r1 e s1, que são, res-pectivamente, as paralelas a r e s passando por P.

Uma reta 4) r é secante a um plano α quando a interseção é um ponto. Esse ponto é dito traço da reta no plano.

Pα

Uma reta 5) r é paralela a um plano α quando a interseção for vazia.

r

α

Dois planos são secantes quando a interseção 6) é uma reta e são paralelos quando a interse-ção é vazia.

α

β

rα

β

Secantes Paralelos

Alguns teoremas importantes:

Uma reta e um ponto fora dela determinam 1) um único plano que os contêm.

Duas retas concorrentes determinam um 2) único plano que as contêm.

Duas retas paralelas não coincidentes deter-3) minam um único plano.

Sejam três planos distintos e secantes dois a 4) dois em três retas distintas, sendo que essas retas ou são paralelas duas a duas, ou são concorrentes num mesmo ponto.

Dados dois planos paralelos a 5) α e β, seja γ um terceiro plano secante a α, logo γ também será secante a β e as interações serão paralelas.

Por um ponto exterior a um plano 6) α existe um único plano paralelo a α que contenha tal ponto.


3EM

_V_M

AT

_029

Projeção ortogonal

A projeção ortogonal de um ponto 1) P sobre um plano α é um ponto P, que é a interseção da reta que passa por P e é perpendicular ao plano α.

A projeção ortogonal de uma reta sobre um 2) plano é uma reta ou é um ponto, no caso de r ⊥ α.

Algumas notações:

P → ponto

α → plano

r → reta

⊥ → perpendicular

// → paralela

Poliedros convexosOs poliedros são sólidos delimitados por figuras

planas e muito utilizados por escultores contempo-râneos, pois suas combinações de faces, vértices e arestas expressam bem as três dimensões. Atual-mente, encontramos jogos infantis como o RPG, cujos dados são poliedros. Temos como grande estudioso dos poliedros, Platão.

Consideramos um poliedro convexo, aquele obtido pela reunião de 4 ou mais polígonos convexos e quando o segmento de reta que liga dois pontos do poliedro estiver contido no poliedro. Como exem-plo, podemos destacar uma caixa de sapatos e uma pirâmide.

Exemplo: `

Pontos e partes do poliedroVértices: A, B, C, ...

Arestas: AB, AD, AE, ...

Faces: ABCD, ABFE, …

Diagonal da Face: CF, AF, ...

Diagonal do poliedro: DF, AG...

Existem poliedros não-convexos:

Relação de EulerPara todo poliedro convexo vale a seguinte

relação:

V + F = A + 2

onde:

V = número de vértices •

F = número de faces •

A = número de arestas •

Exemplo: `

V = 5 (A, B, C, D, E)

F = 5 (ABC, ACD, ADE, ABE, BCDE)

A = 8 (AB, AC, AD, AE, BC, CD, DE, BE)

Logo, podemos observar que a relação de Euler é verdadeira.

V + F = A + 2 → (5 + 5 = 8 + 2)

Todo poliedro convexo é euleriano, mas nem todo poliedro euleriano é convexo.


4 EM

_V_M

AT

_029

Dicas para o cálculo do número de arestas

A = n.° de faces x n° de lados de faces2

A = n.° de vértices x n.° de arestas de cada vértice2

Outras relações importantes são:

soma dos ângulos das faces: •

SF = 360º (V – 2)

número de diagonais: •

−= − − Σ

V(V 1)D A df

2

superfície do poliedro convexo aberta: •

V + F = A + 1

Poliedros regularesPoliedro regular é aquele em que todas as faces

são polígonos regulares congruentes, e todos os ân-gulos sólidos são congruentes.

Só existem cinco polígonos regulares:

Tetraedro regular4 faces triangulares equiláteras; •

4 vértices onde chegam 3 arestas; •

6 arestas. •

Hexaedro regular6 faces quadradas; •


12 arestas. •

Octaedro regular8 faces triangulares equiláteras; •


12 arestas. •

Dodecaedro regular12 faces pentagonais regulares; •


30 arestas. •

Icosaedro regular20 faces triangulares equiláteras; •


30 arestas. •

PrismasChama-se prisma a reunião de todos os segmen-

tos paralelos e congruentes a um segmento de reta, que tem uma das extremidades contida num polígono pertencente a um plano, de forma que todos esses segmentos estejam num mesmo semiespaço (assim, as bases são paralelas e iguais).


5EM

_V_M

AT

_029

Elementos:

Fl

al

h = altura

ab = aresta da base

al =aresta lateral

V = vértices

Fl = face lateral

Classificação dos prismasReto: • as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases.

Oblíquo: • as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.

90º

Regular: • é todo prisma reto, cujas bases são polígonos regulares.

SecçãoReta: • é a seção obtida no prisma por um plano perpendicular à aresta lateral.

Transversal: • é a seção obtida no prisma por um plano paralelo aos planos das bases.

Fórmulas:

Área Total (St)

St = 2Sb + SI

Sb = área da base

SI = área lateral

Volume (V)

V = Sb . h

Sb = área da base

h = altura


6 EM

_V_M

AT

_029

CuboÉ um prisma quadrangular regular, com todas

as arestas iguais.

Área Total

St = 6a2

Volume

V = a3

Diagonal

D = a 3Demonstração do cálculo da diagonal

D2 = d2 + a2

D2 = (a 2)2 + a2

D2 = 3a2 D = a 3

Paralelepípedo retângulo: é um prisma reto cujas bases são retângulos.

Área total

St = 2 (ab + ac + bc)

Volume

V = a . b . c

Diagonal

D = a2 + b2 + c2

Demonstração do cálculo da diagonal

d2 = a2 + b2

D2 = d2 + c2

D2 = a2 + b2 + c2

D = a2 + b2 + c2

PirâmidesDado um polígono contido em um plano, se de

um ponto V fora do plano, traçarmos segmentos aos vértices desse polígono, o sólido formado será uma pirâmide.

(α)

V

(α)

Uma pirâmide é regular quando a base é um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice sobre o plano é o centro desta.


7EM

_V_M

AT

_029

Elementos da pirâmideV

h

O a

Ah

A

aA2 = h2 + a2

a = apótema da base

h = altura da pirâmide

A = apótema da pirâmide ou altura da face

O = centro da base

Área e volume

Área lateral (S )

S = p . A

p = semiperímetro da base

A = apótema da pirâmide

Área total (ST)

ST = SB + S

SB = área da base

S = área lateral

Volume (V)

= BS . h

V3

SB = área da base

h = altura

Demonstração do volume

A

D D

B

E E

C

C

F F

A

D

B

E

C

A A

D

B

EE

C C

Caso particular

Tetraedro regular

A

BO

C

D

M

aa

a

h

O = baricentro do triângulo equilátero BCD

h = altura


8 EM

_V_M

AT

_029

BM32BO =

23a

32BO =

33aBO =

33a

A

B o

a h

22

2 h3

3aa +

=

36ah =

Área total (ST)2

T

a 3S = 4.

4→

2

TS = a 3

Volume (V)

BS .hV =

3

2

B

a 3S =

4

3a 2V =

12

2a 3 a 6

4 3V =3

Considere as seguintes sentenças:1.

Se dois planos distintos têm um ponto comum, en-I. tão terão também outro ponto comum distinto do primeiro.

Três pontos distintos determinam um único plano.II.

A distância entre dois pontos de uma reta é um III. número real que depende da unidade da medida escolhida.

Assinale a alternativa correta.

Apenas II é falsa.a)

I e II são falsas.b)

II e III são verdadeiras.c)

I, II e III são falsas.d)

Apenas I é verdadeira.e)

Solução: ` A

II. Falsa, três pontos distintos não colineares determinam um único plano.

(UFF) Marque a opção que indica quantos pares de 2. retas reversas são formados pelas retas suportes das arestas de um tetraedro.

Um par.a)

Dois pares.b)

Três pares.c)

Quatro pares.d)

Cinco pares.e)

Solução: ` C

A

B

CD

AC e BD •

CD e AB •

AD e BC •

Três pares

Num poliedro convexo, 7 faces são quadriláteras e as 3. outras são triângulos. O número de arestas é o dobro do número de faces triangulares. Determine o número de faces, vértices e arestas do poliedro.

Solução: `

7F – 4

xF – 3

A = 2x

A = 7 . 4 + x . 3

2 2

2x = 28 + 3x

2

4x = 28 + 3x

x = 28

F = 7 + 28

F = 35

A = 2 . 28

A = 56

V + F = A + 2

V + 35 = 56 + 2

V = 23


9EM

_V_M

AT

_029

Pedrinho fez um poliedro convexo de origami que tinha 4. 5 faces quadrangulares e 6 faces pentagonais. Calcule o número de vértices desse poliedro.

Solução: `

5F – 4

6F – 5

F = 11

A = 5 . 4 + 6 . 5

2 2

A = 25

V + F = A + 2

V + 11 = 25 + 2

V = 16

Dois blocos de alumínio em forma de cubo, com aresta 5. medindo 10cm e 6cm, são levados juntos à fusão e em seguida o alumínio líquido é moldado como paralelepí-pedo reto de arestas 8cm, 8cm e x cm. Calcule x.

Solução: `

V3 = V1 + V2

8 . 8 . x = 103 + 63

64 x = 1 216

x = 19cm

As faces de um paralelepípedo retângular têm por 6. área 12cm2, 15cm2 e 20cm2. Calcule o volume desse paralelepípedo.

Solução: `

Dado:

a . b = 20a)

a . c = 15b)

b . c = 12c)

a . b . a . c . b . c = 20 . 15 . 12

a2 . b2 . c2 = 20 . 15 . 12

a . b . c = 20 . 15 . 12 = 3 600

a . b . c = 60

Uma caixa cúbica com 10cm de aresta tem o mesmo 7. volume que um litro. Calcule quantos litros tem uma caixa d’água cúbica com 1m de aresta.

Solução: `

1litro = 1 000cm3 = 1dm3

1m3 = 1 000dm3 = 1 000

A figura representa a planificação de uma pirâmide 8. quadrilátera regular, com todas as arestas iguais.

Se OQ vale 3 3cm, calcule o volume da pirâmide:

P Q

Solução: `

P

h

Q

a a

O

23aPQ =

23a33 =

a = 6cm → OQ = 3cm


10 EM

_V_M

AT

_029

h 3 3

O Q

P

2 2 2 3 h ) 3 3 ( + =

2cm3 h =

B

2

B

3

S . hV =

3

6 3 2S = =

3

V = 36 2cm

Calcule o volume do tetraedro regular que tem área total 9. igual a 36 3m2.

Solução: `

3aST2=

3363a2 =

a a

aa = 6m

122aV

3=

1226V

3=

3m218V =Pedro comprou uma barra de chocolate cúbica e pre-10. tende dividi-Ia em pirâmides que tenham como base as faces do cubo. Ouantas pirâmides Pedro pode formar?

Solução: `

Se tomarmos um ponto no interior do cubo, poderemos formar seis pirâmides com vértices nesse ponto e base nas faces do cubo.

Considere as seguintes sentenças:1.

se dois planos distintos têm um ponto comum, en-I. tão terão outro ponto comum, distinto do primeiro.

três pontos distintos determinam um único plano.II.

a distância entre dois pontos de uma reta é um III. número real, que depende da unidade da medida escolhida.

Assinale a alternativa correta.

Apenas II é falsa.a)

I e III são falsas.b)

II e III são verdadeiras.c)

I, II e III são falsas.d)

Apenas I é verdadeira. e)

Qual das afirmações abaixo é verdadeira?2.

Se duas retas distintas não são paralelas, elas são a) congruentes.

Duas retas não-coplanares são reversas.b)

Se a interseção de duas retas é conjunto vazio, elas c) são paralelas.

Se três retas são paralelas, existe um plano que as d) contém.

Se três retas distintas são duas a duas concorren-e) tes, elas determinam um e um só plano.

Em relação ao plano 3. α, os pontos A e B estão no mesmo semiespaço e os pontos A e C estão em semiespaços opostos. Em relação ao plano β, os pontos A e B estão em semiespaços opostos, bem como os pontos A e C. Pode-se concluir que o segmento BC:

é paralelo a a) αÇ β.

encontra b) α e β.

encontra c) α, mas não β.

encontra d) β, mas não α.

não encontra e) α nem β.

A reta r é paralela ao plano 4. α. Então:

todas as retas de a) α são paralelas a r.

a reta r não pode ser coplanar com nenhuma reta b) de α.

existem em c) α retas paralelas e retas reversas em relação a r.

existem em d) α retas paralelas e perpendiculares a r.

todo plano que contém r é paralelo a e) α.

Sejam r, s e t retas no espaço. Se r e s são perpendicu-5. lares a t, então:

r e s são paralelas.a)

r e s são perpendiculares.b)

r e s são reversas.c)

r e s são coplanares.d)

nenhuma das afirmativas acima é verdadeira.e)

Se uma reta a é perpendicular a uma reta b e a reta b é 6. paralela a uma reta c, podemos concluir que:

a a) ∩ c ≠ ∅

a b) ⊥ c

a = cc)


11EM

_V_M

AT

_029

a // cd)

nenhuma das anteriores está correta.e)

Dois planos 7. β e γ se cortam na reta r e são perpendicu-lares a um plano α. Então:

βa) e γ são perpendiculares.

r é perpendicular a b) α.

r é paralela a c) α.

todo plano perpendicular a d) α encontra r.

existe uma reta paralela a e) α e a r.

São dados cinco pontos não-coplanares A, B, C, D, E. 8. Sabe-se que ABCD é um retângulo, AE ⊥ AB e AE ⊥ AD. Pode-se concluir que são perpendiculares as retas:

EA e EB.a)

EC e CA.b)

EB e BA.c)

EA e AC.d)

AC e BE.e)

Das afirmações abaixo:9.

Duas retas perpendiculares a um mesmo plano são I. coplanares.

Duas retas paralelas a um mesmo plano são para-II. lelas entre si.

Se um plano intercepta dois outros planos, em retas III. paralelas, então os dois também são paralelos.

Temos que:

apenas uma é falsa.a)

apenas uma é verdadeira.b)

apenas duas são verdadeiras.c)

todas são falsas.d)

todas são verdadeiras.e)

Determine o número de vértices de um poliedro convexo 10. com 30 faces pentagonais.

Um poliedro convexo possui 6 faces pentagonais e 11. oito faces hexagonais. Determine o número de vértices desse poliedro.

(PUC) O poliedro regular que possui 20 vértices, 30 12. arestas e 12 faces denomina-se:

tetraedro.a)

hexágono.b)

octaedro.c)

icosaedro.d)

dodecaedro.e)

(UFPA) Um poliedro convexo tem 6 faces e 8 vértices. 13. O número de arestas é:

6a)

8b)

10c)

12d)

14e)

(ITA)14. Se um poliedro convexo possui 20 faces e 12 vértices, o número de arestas desse poliedro é:

12a)

18b)

28c)

30d)

32e)

(Mackenzie) Sabe-se que um poliedro convexo tem 8 15. faces e que o número de vértices é maior que 6 e menor que 14. Então, o número de arestas é tal que:

14 20≤ ≤Aa)

14 20≤ <Ab)

13 19< <Ac)

13 19≤ ≤Ad)

12 20≤ ≤Ae)

(Unificado) Um poliedro convexo tem 14 vértices. Em 16. 6 desses vértices concorrem 4 arestas, em 4 desses vértices concorrem 3 arestas nos demais concorrem 5 arestas. O número de faces do poliedro é igual a:

16a)

18b)

24c)

30d)

44e)

(UERJ)17. Com uma chapa plana, delgada, de espes-sura uniforme e massa homogeneamente distribuída, construíram-se duas peças: uma com a forma de um cubo (Fig. A) e a outra com a forma de um poliedro com 9 faces, formado a partir de um outro cubo congruente ao primeiro, onde as três faces menores são quadrados congruentes (Fig. B).

Fig. A Fig. B


12 EM

_V_M

AT

_029

As informações acima possibilitam a seguinte con-clusão:

o peso de A é igual ao de B.a)

o volume de A é igual ao de B.b)

a superfície de A é maior que a de B.c)

a superfície de A é menor que a de B.d)

(UFF)18. O sólido representado abaixo possui todas as arestas iguais a L.

L

Sabendo-se que todos os ângulos entre duas faces adjacentes são retos, pode-se afirmar que o seu volume é:

7La) 3

9Lb) 3

11Lc) 3

19Ld) 3

27Le) 3

(Fuvest)19. O volume de um paralelepípedo reto retângulo é 240cm3. As áreas de duas de suas faces são 30cm2 e 48cm2. A área total do paralelepípedo, em cm2, é:

96a)

118b)

236c)

240d)

472e)

(Unificado)20.

1cm

1cm

2cm 1cm 2cm

4cm

4cm

Na fabricação da peça anterior, de um único material que custa R$5,00 o cm3 deve-se gastar a quantia de:

R$400,00a)

R$380,00b)

R$360,00c)

R$340,00d)

R$329,00e)

(Fuvest)21. Dois blocos de alumínio em forma de cubo, com arestas medindo 10cm e 6cm, são levados juntos à fusão e, em seguida, o alumínio líquido é moldado como um paralelepípedo reto de arestas 8cm e xcm.

O valor de x é:

16a)

17b)

18c)

19d)

20e)

(Unirio) Uma piscina na forma de um paralelepípedo 22. retângulo tem 8m de comprimento, 6m de largura e 3m de profundidade. Um nadador que estava totalmente submerso na piscina verificou que, ao sair, o nível da água baixou 0,5cm.

O volume do nadador, em dm3, é igual a:

480a)

360b)

300c)

240d)

120e)

(Unirio) Um engenheiro vai projetar uma piscina, em 23. forma de paralelepípedo reto retângulo, cujas medidas internas são, em m, expressas por x, 20 – x, e 2. O maior volume que essa piscina poderá ter, em m3, é igual a:

240a)

220b)

200c)

150d)

100e)

(UFF)24. Em um cubo de aresta l, a distância entre o ponto de encontro de suas diagonais internas e qualquer de suas arestas é:

la) 3

lb) 2

lc) 3

2

ld) 2

2

le) 1

2


13EM

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AT

_029

A soma das seis distâncias a cada face de um ponto P, 25. no interior de um cubo, é igual a 6cm. O volume desse cubo é:

1ma) 3

6mb) 3

8mc) 3

64md) 3

216me) 3

(FCC-MG) As dimensões de um paralelepípedo retân-26. gulo são diretamente proporcionais aos números 5, 6 e 8. Se a diagonal desse paralelepípedo mede 25cm, a sua área total, em cm2, é:

590a)

630b)

1 180c)

1 260d)

1 380e)

(FMABC) Sejam a, b, c as dimensões de um paralelepí-27. pedo retângulo, p a soma das dimensões, d a diagonal, k2 a área total e V o volume. Temos:

pa) 2 = d2 + k2

db) 2 = p2 + k2

kc) 2 = p2 + d2

V = pdkd)

pe) 2 = dk

(Vunesp)28. Se dobrarmos convenientemente as linhas tracejadas da figura abaixo, obteremos uma figura es-pacial cujo nome é:

pirâmide de base pentagonal. a)

paralelepípedo.b)

octaedro.c)

tetraedro.d)

prisma.e)

(UfcE)29. A figura abaixo representa um galpão com as medidas indicadas.

4m

8m

5m 5m

20m

O volume total desse galpão é:

880ma) 3

920mb) 3

960mc) 3

1 020md) 3

(Unirio) Um prisma de altura H e uma pirâmide têm 30. bases com a mesma área. Se o volume do prisma é a metade do volume da pirâmide, a altura da pirâmide é:

H/6a)

H/3b)

2Hc)

3Hd)

6He)

(Unirio)31.

Uma pirâmide está inscrita num cubo, como mostra a figura acima. Sabendo-se que o volume da pirâmide é de 6m3, então o volume do cubo, em m3, é igual a:

9a)

12b)

15c)

18d)

21e)

(UFF) A figura abaixo representa a planificação de uma 32. pirâmide quadrangular regular.

P

Q


14 EM

_V_M

AT

_029

Sabendo-se que PQ mede 3 3cm e que as faces laterais são triângulos equiláteros, o volume da pirâmide é:

18 2 3cma)

36 2 3cmb)

48 2 3cmc)

60 2 3cmd)

72 2 3cme)

É possível construir uma pirâmide regular de 7 vértices 33. com todas as arestas congruentes, isto é, de mesma medida? Justifique.

A altura da pirâmide de base ACF contida no cubo de 34. aresta igual a 3 abaixo, é:

A

B CD

G

FE

6a)

3b)

1

3c)

2

2d)

1

3e)

Um tetraedro regular tem área total igual a 35. 6 3 3cm . Então, sua altura, em cm, é igual a:

2a)

3b)

2 2c)

3 2d)

3 3e)

Dado um cubo de aresta, qual é o volume do octaedro 36. cujos vértices são os centros das faces do cubo?

(Cesgranrio) Em um cubo de aresta 37. 63 , considera-se o tetraedro VABC, como o indicado na figura.

V

C

A

B

O volume do tetraedro é:

2a)

2b)

3c)

6

3d)

1e)

(Fuvest) Qual a altura de uma pirâmide quadrangular 38. que tem as oito arestas iguais a 2 ?

1a)

1 5,b)

2c)

2 5,d)

3e)

(Unicamp) Uma pirâmide regular, de base quadrada, 39. tem altura igual a 20cm. Sobre a base dessa pirâmide constrói-se um cubo de modo que a face oposta à base do cubo corte a pirâmide em um quadrado de lado igual a 5cm. Faça uma figura representativa dessa situação e calcule o volume do cubo.

(EsPCEx) Considere as seguintes proposições:1.

Toda reta paralela a um plano é paralela a qualquer I. reta desse plano.

Uma reta e um ponto determinam sempre um único II. plano.

Se uma reta é perpendicular a duas retas concor-III. rentes de um plano, então, ela é perpendicular a esse plano.


15EM

_V_M

AT

_029

Pode-se afirmar que:

só I é verdadeira.a)

só III é verdadeira.b)

só I e III são verdadeiras.c)

só III é falsa.d)

só I e III são falsas.e)

(AFA)2. Os planos α e β são paralelos. A reta r é per-pendicular a α e a reta s é perpendicular a β. Pode-se concluir que r e s são:

coplanares.a)

reversas.b)

ortogonais.c)

perpendiculares.d)

(AFA) Qual é a afirmação verdadeira?3.

Se uma reta é paralela a um plano, ela é paralela a a) todas as retas contidas nesse plano.

Se dois planos são perpendiculares entre si, qual-b) quer outro plano que os corta faz retas perpendi-culares.

Se uma reta e um plano são perpendiculares entre c) si, então o plano contém todas as suas retas per-pendiculares à reta dada pelo seu ponto de inter-secção com o plano dado.

Se duas retas paralelas r e s encontram o plano d) α em A e B, respectivamente, o segmento de reta AB é perpendicular à reta r e s.

(AFA)4. Dado um plano p e dois pontos A e B fora dele, é verdadeiro afirmar que:

nunca se pode passar por A e B um plano paralelo a) a p.

é sempre possível passar por A e B pelo menos um b) plano perpendicular a p.

há no máximo dois planos passando por A e B, per-c) pendiculares a p.

nunca se pode passar por A e B dois planos, sendo d) um paralelo e outro perpendicular a p.

(AFA)5. Qual das afirmações é correta?

Dois planos a) α e β paralelos à mesma reta, são pa-ralelos entre si.

Um plano b) α paralelo a uma reta de um plano β é paralelo a β.

Um plano c) α paralelo a duas retas de um plano β é paralelo a β.

Um plano d) α perpendicular a uma reta de um plano β é perpendicular a β.

(AFA)6. Qual das afirmações abaixo é verdadeira?

Por uma reta dada pode-se conduzir um plano pa-a) ralelo a um plano dado.

Se uma reta é paralela a dois planos, então esses b) planos são paralelos.

Por um ponto qualquer é possível traçar uma reta c) que intercepta duas retas reversas dadas.

Se duas retas concorrentes de um plano são, res-d) pectivamente, paralelas a duas retas de outro pla-no, então estes planos são paralelos.

(AFA) O conjunto de soluções de uma única equação 7. linear a1x + a2y + a3z = b é representado por um plano no sistema de coordenadas retangulares xyz (quando a1, a2, a3 não são todos iguais a zero). Analise as figuras a seguir.

Três planos se cortando numa reta.I.

Três planos se cortando num ponto.II.

Três planos sem interseção.III.

I.

II.

III.

Assinale a opção verdadeira.

A figura I representa um sistema de três equações, a) com uma única solução.

A figura III representa um sistema de três equa-b) ções, cujo conjunto solução é vazio.


16 EM

_V_M

AT

_029Quantos pares de retas reversas existem em um 10. cubo?

Num poliedro convexo, 7 faces são quadriláteras e as 11. outras são triângulos. O número de arestas é o dobro do número de faces triangulares. Determine o número de faces, vértices e arestas do poliedro.

A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo é 12. igual a 5 760º, e ele possui somente faces triangulares e heptagonais. Sendo 28 o seu número de arestas, calcule o número de faces de cada tipo.

(UFF)13. São dados 7 triângulos equiláteros, 15 quadrados e 30 pentágonos regulares, todos de mesmo lado. Utili-zando esses polígonos, o número máximo de poliedros regulares que se pode formar é:

5a)

6b)

7c)

8d)

9e)

(Cesgranrio) O poliedro da figura (uma invenção de Le-14. onardo Da Vinci, utilizada modernamente na fabricação de bolas de futebol) tem como faces 20 hexágonos e 12 pentágonos. O número de vértices do poliedro é:

64a)

90b)

60c)

72d)

56e)

(UERJ)15. Considere a estrutura da figura a seguir como um poliedro de faces quadradas, formadas por 4 cubos de arestas iguais, sendo V o número de vértices distintos, F o número de faces distintas e A o número de arestas distintas.

Se V, F e A são, respectivamente, o número de vértices, faces e arestas desse “poliedro”, temos V + F igual:

A – 4a)

A + 4b)

A – 2c)

A + 2d)

Ae)

(Unirio) Um geólogo encontrou, numa de suas explo-16. rações, um cristal de rocha no formato de um poliedro, que satisfaz a relação de Euler de 60 faces triangulares. O número de vértices desse cristal é igual a:

35a)

34b)

Quatro pontos distintos e não-coplanares determi-9. nam exatamente:

1 plano.a)

2 planos.b)

3 planos.c)

4 planos.d)

5 planos.e)

A figura II representa um sistema de três equações, c) com uma infinidade de soluções.

As figuras I e III representam um sistema de três d) equações, com soluções iguais.

(AFA-SP) Considere as proposições a seguir:8.

se dois planos são paralelos, então toda reta que I. é paralela a um deles é paralela ou está contida no outro;

se uma reta é paralela a um plano, então é paralela II. a todas as retas do plano;

se dois planos são secantes, toda reta de um inter-III. cepta o outro plano.

Pode-se afirmar que as proposições verdadeiras são:

apenas I.a)

I e III.b)

II e III.c)

apenas II.d)


17EM

_V_M

AT

_029

Um poliedro convexo de 16 arestas é formado por faces 21. triangulares e quadrangulares. Seccionando-o por um plano convenientemente escolhido, dele se destaca um novo poliedro convexo, que possui apenas faces quadrangulares. Este novo poliedro possui um vértice a menos que o original e uma face a mais que o número de faces quadrangulares do original. Sendo m e n, res-pectivamente, o número de faces e o número de vértices do poliedro original, então:

m = 9, n = 7a)

m = n = 9b)

m = 8, n = 10c)

m = 10, n = 8d)

m = 7, n = 9e)

Um cubo é formado de 1 000 “cubinhos” congruentes 22. e cinco de suas faces, excetuando-se a base, foram pintadas.

Desmontando-se essa pilha de “cubinhos”, verificamos que há “cubinhos” que estão pintados em uma face, duas faces e três faces. O número de “cubinhos” pintados em apenas duas faces é igual a:

80a)

72b)

68c)

33c)

32d)

31e)

(Enem) Um poliedro convexo possui 11 faces. Sabemos 17. que, de um de seus vértices partem 5 arestas, de 5 ou-tros vértices partem 4 arestas e de cada vértice restante parte 3 arestas. O número de arestas do poliedro é:

20a)

25b)

30c)

37d)

41e)

(ITA) Um poliedro convexo de 10 vértices apresenta 18. faces triangulares e quadrangulares. O número de faces quadrangulares, o número de faces triangulares e o número total de faces formam, nessa ordem, uma progressão aritmética. O número de arestas é:

10a)

17b)

20c)

22d)

23e)

(Mackenzie) Em um poliedro convexo, em 4 de seus 19. vértices concorrem 3 arestas, em outros 5, 4 arestas e nos 3 vértices restantes, 6 arestas. O número de faces do poliedro é igual a:

10a)

11b)

12c)

13d)

15e)

(UERJ) Um icosaedro regular tem 20 faces e 12 20. vértices, a partir dos quais retiram-se 12 pirâmides congruentes. As medidas das arestas dessas pirâmi-des são iguais a 1/3 da aresta do icosaedro. O que resta é um tipo de poliedro usado na fabricação de bolas. Observe as figuras.

Para confeccionar uma bola de futebol, o artesão usa esse novo poliedro, no qual cada gomo é uma face. Ao costurar dois gomos para unir duas faces do poliedro, ele gasta 7cm de linha.

Depois de pronta, o artesão gastou, no mínimo, um comprimento de linha igual a:

7,0ma)

6,3mb)

4,9mc)

2,1md)


18 EM

_V_M

AT

_029

64d)

60e)

Uma barra (paralelepípedo retângulo) de doce de leite 23. com 5cm x 6cm x 7cm foi completamente envolvida por um papel laminado. Se a barra for cortada em cubos de 1cm de aresta, quantos cubos ficarão sem qualquer cobertura de papel laminado?

(UFRJ) Uma caixa sem tampa, completamente cheia de 24. leite, tem a forma de um paralelepípedo retângulo de dimensões internas a = 10cm, b = 7cm e c = 16cm.

Inclina-se a caixa de 60° em relação ao plano horizontal, de modo que apenas uma das menores arestas fique em contato com o plano, como mostra a figura.

a

c

b60

Calcule o volume do leite derramado.

Procura-se construir um cubo grande empilhando cubos 25. pequenos e todos iguais. Quando se coloca um certo número de cubos pequenos em cada aresta, sobram cinco; e se tentasse acrescentar um cubo a mais em cada aresta, ficariam faltando trinta e dois. Quantos são os cubos pequenos?

As medidas das três dimensões de um paralelepípedo 26. retângulo estão em progressão geométrica. Sabendo que a área total e o volume desse paralelepípedo são, respectivamente, 112cm2 e 64cm3, calcule as medidas das suas dimensões.

Um fabricante de embalagens, para fazer caixas de pa-27. pelão, sem tampa, em forma de prisma hexagonal regular (veja figura 1, abaixo), utiliza hexágonos regulares de papelão, cada um deles com lado 30cm. Corta, em cada vértice, um quadrilátero, como o pontilhado na figura 2 e, a seguir, dobra o papelão nas linhas tracejadas.

h= 3 3cm

30cm

Fig. 1 Fig. 2

Sabendo-se que a altura é de 3 3cm , seu volume é:

900cma) 3

2 700 3b) cm3

727 3 3cmc)

776 3 3cmd)

7 776cme) 3

As faces de um paralelepípedo são losangos de lado 28. igual a 2m, sendo a diagonal menor igual ao lado. O volume desse paralelepípedo vale:

32

3ma)

3mb) 3

2 2 3mc)

2md) 3

3 22

3me)

(UFC) A base de um prisma reto é um triângulo isós-29. celes cujos lados iguais medem 2cm e um dos ângulos

internos mede 120°. Se esse prisma tem 6 3cm de altura, o seu volume, em cm3, é:

9 3a)

18b)

18 3c)

21d)

21 3e)

(UFF) A base de um prisma reto é um triângulo de la-30. dos iguais a 5m, 5m e 8m e altura de 3m; o seu volume será:

12ma) 3

24mb) 3

36mc) 3

48md) 3

60me) 3

(Fuvest) Na figura abaixo, X e Y são, respectivamente, 31. os pontos médios das arestas AB e CD do cubo.

A

A razão entre o volume do prisma AXFEDYGH e o do cubo é:

3

8a)


19EM

_V_M

AT

_029

1

2b) 0

2

3c)

3

4d)

5

6e)

(UERJ)32. O menor número de seções planas que se pode fazer em uma peça cúbica de modo a dividi-la em 27 cubos congruentes é:

3a)

4b)

6c)

9d)

27e)

Operários rolam um cubo de granito de 1m de aresta 34. até ele dar uma volta completa.

A distância, em metros, percorrida por um vértice é de:

2 2

2

+( )pa)

2 1

2

+( )pb)

3

2

pc)

3 2

2

pd)

2pe)

A figura mostra a vista de cima de uma pirâmide VA-35. BCD, de base retangular ABCD. A projeção ortogonal do vértice V sobre o plano da base divide a aresta CD ao meio.

A B

D V C

Se AB = 10, BC = 5 e a altura da pirâmide é 5, então o comprimento da aresta VB é:

20

3a)

15

2b)

5 5

2c)

5 2d)

5 3e)

Determine a razão entre o volume de um tetraedro e o 36. volume do octoedro cujos vértices são os pontos médios das arestas do tetraedro.

Considere um tetraedro regular aresta L, altura h e altura 37. de uma face h1. Se k é um ponto interno do tetraedro e x, y, z e w são as distâncias de k a cada uma de suas faces, pode-se afirmar que:

x + y + z + w = La)

x + y + z + w = hb)

Um dado com forma de cubo tem suas faces nume-33. radas arbitrariamente de 1 a 6.

A figura abaixo representa o mesmo dado em duas posições diferentes.

2

54

3

15

Qual a face oposta à face 1?

2a)

3b)

4c)

5d)

6e)


20 EM

_V_M

AT

_029

x + y + z + w = hc) 1

x + y + z + w = 3Ld)

x + y + z + w = 3he) 1

(UERJ) Com os vértices A, B, C e D de um cubo de 38. aresta a, construiu-se um tetraedro regular, como mostra a figura abaixo:

A

D

C

EB

Calcule:

o volume da pirâmide EBCD em função de a) a;

a razão entre os volumes do tetraedro ABCD e do b) cubo.

(UERJ) Um triângulo equilátero ABC (fig. 1) de pape-39. lão foi dobrado na sua altura AH. Apoia-se o papelão dobrado com os lados AB e AC sobre a mesa, de modo que o ângulo BHCˆ tenha 60° (fig. 2).

C

H

B

A

Fig. 1

A

H

C

M

B

Fig. 2

θ

A tangente do ângulo θ que AH faz com o plano da mesa é igual a:

2

2a)

3

2b)

1

2c)

1

3d)

Em um tetraedro OABC, os ângulos entre as arestas 40. que concorrem em O são todos iguais a 90°. Se OA = 3, OB = 5 e OC = 12, o comprimento da maior aresta do tetraedro é:

20a)

13b)

15c)

12d)

252

e)

(UFF) No tetraedro regular representado na figura, 41. R e S

são, respectivamente, os pontos médios de NP e OM.

NM

P

R

0

S

A razão RS

MN é igual a:

3a)

3

2b)

2c)

2

2d)

3 2e)

(UFES) Considere um cubo de aresta igual a 1cm. Sejam 42. ABCD e A’ B’ C’ D’ duas faces opostas desse cubo. Podemos obter uma pirâmide tomando o quadrado ABCD como base e A’ como vértice. A área total dessa pirâmide mede:

1 2+( )a) cm2

2 1 2+( )b) cm2

3 2+( )c) cm2

2 2 2+( )d) cm2

2 2+( )e) cm2

(Ceasesp) Considere um octógono regular, cuja aresta 43. mede 6cm e um de seus vértices V repousa sobre um plano P perpendicular a P em V, até interceptar o plano P, formando uma pirâmide de base quadrangular. Assinale, então, dentre as alternativas a seguir, a única que corres-ponde à área total dessa pirâmide assim construída.


21EM

_V_M

AT

_029

VP

V

9 3a) cm3

36 3b) cm2

144 3 1+( )c) cm2

144 3d) cm2

108 3e) cm2

Em uma pirâmide triangular regular VABC, o triedro de 44. vértice V é trirretângulo, e as arestas VA, VB e VC têm comprimentos iguais. O cosseno do ângulo diedro, for-mado pelas faces ABC e VAB, vale, aproximadamente:

0,33a)

0,50b)

0,58c)

0,71d)

0,84e)

Calcule a aresta do tetraedro que se obtém unindo-se 45. os baricentros das faces de tetraedro regular ABCD de 3cm de aresta.

A

DB

C

Calcule o volume do poliedro ABCDEF, cujas faces são 47. um quadrado ABCD de lado a, dois triângulos equilá-teros ADF e BEC e dois trapézios CDEF e ABEF, ambos com base maior EF = 2a.

(Unificado) Uma folha de papel colorido, com a for-46. ma de um quadrado de 20cm de lado, será usada para cobrir todas as faces e a base de uma pirâmide quadrangular regular com altura de 12cm e apótema da base medindo 5cm. Após se ter concluído essa tarefa, e levando-se em conta que não houve des-perdício de papel, a fração percentual que sobrará dessa folha de papel corresponde a:

20%a)

16%b)

15%c)

12%d)

10%e)


22 EM

_V_M

AT

_029

A1.

B2.

C3.

C4.

E5.

E6.

B7.

D8.

B9.

4710.

2711.

E12.

D13.

D14.

D15.

A16.

A17.

A18.

C19.

B20.

D21.

D22.

C23.

D24.

C25.

C26.

A27.

E28.

A29.

E30.

D31.

B32.


23EM

_V_M

AT

_029

Não, pois as faces laterais seriam 6 triângulos equiláte-33. ros; em torno do vértice da pirâmide teríamos 6 x 60° = 360°; portanto, as faces laterais estariam contidas no plano da base.

B34.

A35.

l3

636.

E37.

A38.

V = 1 000cm39. 3

B1.

A2.

C3.

B4.

D5.

D6.

B7.

A8.

D9.

2410.

F = 3511.

V = 23

A = 56

7 faces triangulares; 5 faces heptagonais.12.

A13.

C14.

B15.

D16.

A17.

C18.

E19.

B20.

B21.

C22.

60 cubos23.

350 33

3cm24.

32 cubos.25.

2cm, 4cm e 8cm.26.

E27.

E28.

B29.

C30.

D31.

C32.

A33.

A34.

E35.

236.

B37.

38.

a3

6a)

13b)

C39.

B40.

D41.

A42.

C43.

C44.

1cm45.

E46.

a3 23

47.


24 EM

_V_M

AT

_029


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MATEMÁTICA - gopem.com.br · PDF fileConsideramos um poliedro convexo, aquele obtido pela reunião de 4 ou mais polígonos convexos e quando o segmento de reta que liga dois pontos