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01Elizabete Alves de Freitas
C U R S O T É C N I C O E M S E G U R A N Ç A D O T R A B A L H O
Razão, proporção e grandezas proporcionais
MATEMÁTICA
Coordenadora da Produção dos Materias Marta Maria Castanho Almeida Pernambuco
Coordenador de Edição Ary Sergio Braga Olinisky
Coordenadora de Revisão Giovana Paiva de Oliveira
Design Gráfico Ivana Lima
Diagramação Ivana Lima José Antônio Bezerra Júnior Mariana Araújo de BritoVitor Gomes Pimentel
Arte e ilustração Adauto HarleyCarolina CostaHeinkel Huguenin
Revisão Tipográfica Adriana Rodrigues Gomes
Design Instrucional Janio Gustavo Barbosa Luciane Almeida Mascarenhas de Andrade Jeremias Alves A. Silva Margareth Pereira Dias
Revisão de Linguagem Maria Aparecida da S. Fernandes Trindade
Revisão das Normas da ABNT Verônica Pinheiro da Silva
Adaptação para o Módulo Matemático Joacy Guilherme de Almeida Ferreira Filho
Revisão Técnica Rosilene Alves de Paiva
equipe sedis | universidade do rio grande do norte – ufrn
Projeto Gráfico
Secretaria de Educação a Distância – SEDIS
Governo Federal
Ministério da Educação
Você verá
por aqui...
1Matemática A01
Olá! Estamos iniciando os nossos estudos em Matemática. Em nosso material impresso, você verá alguns tópicos que lhe darão uma visão panorâmica de várias partes da Matemática, como a Geometria, a Álgebra e a Matemática Financeira, envolvidas em situações comuns da Segurança do Trabalho. Esse conteúdo será apresentado em 12 aulas.
Em nossa primeira aula, vamos abordar os conceitos de razão, proporção e de grandezas proporcionais que aqui se apresentam traduzidos na linguagem matemática para que possamos ampliá-los (inclusive estudando suas propriedades) e utilizá-los na resolução de algumas situações escritas nessa linguagem.
Os conceitos de razão e proporção são utilizados em vários aspectos de nosso cotidiano. Os exemplos aqui desenvolvidos abordarão alguns desses aspectos, porém você poderá enriquecer o seu estudo, pesquisando sobre outras situações, quer sejam na Matemática, quer sejam em outras áreas nas quais esses conhecimentos podem ser aplicados, a exemplo de áreas profissionais como a de Construção Civil.
O estudo das grandezas proporcionais é utilizado quando observamos duas grandezas relacionadas entre si, de modo que, quando uma sofre alguma alteração a outra também varia. De acordo com a lei que define a relação entre essas duas grandezas é que podemos descrevê-las como grandezas diretamente proporcionais ou grandezas inversamente proporcionais.
Na aula 2, você estudará sobre regra de três simples e regra de três composta. Nas aulas 3 e 4, as diversas unidades de medidas. Já na aula 5, você terá a oportunidade de estudar sobre o cálculo de áreas de algumas figuras geométricas e, na aula 6, sobre cálculo de volume de alguns sólidos geométricos. Nas aulas 6 e 7, você verá alguns tópicos de Matemática Financeira, como fazer conversões monetárias, o cálculo de porcentagens, lucro ou prejuízo, acréscimos e descontos sucessivos, como também o cálculo de juros simples e juros compostos. E nas aulas 11 e 12, estudará um pouco sobre funções.
Para exercitar o seu raciocínio, disponibilizamos algumas atividades, ao longo do conteúdo, que servem para você aplicar imediatamente o conhecimento adquirido em cada bloco do assunto estudado. Também disponibilizamos para você uma série de exercícios ao final de todo o conteúdo, envolvendo questões de todo o estudo realizado até aqui, em um só bloco. Se, após resolver todas essas questões, você perceber que há necessidade de rever alguns dos itens estudados, refaça os exercícios nos quais sentiu mais dificuldade e, se for o caso, entre em contato com o tutor em seu pólo de apoio presencial. Ele lhe encaminhará para o atendimento pelo tutor a distância ou pelo professor da disciplina.
�Matemática A01
ObjetivoEntender o que é razão e proporção, aprendendo a identificar seus elementos.
Saber estimar um valor desconhecido de uma proporção, utilizando-se adequadamente de uma ou mais propriedades das proporções.
Entender de que maneira são conceituadas grandezas em diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais.
Aplicar as propriedades das grandezas proporcionais (sejam direta ou inversamente proporcionais) para a resolução de problemas.
É uma questão de proporção?
Quando observamos uma imagem e dizemos que uma de suas partes é muito pequena em
relação às outras, estamos dizendo que suas medidas não são proporcionais.
Observe a desproporcionalidade entre as partes do corpo no quadro Abaporu, de Tarsila do Amaral, apresentada na Figura 1. Essa desproporcionalidade (intencional ou não) é percebida quando, instintivamente, comparamos as medidas dessa imagem com as de outra que tomamos como padrão ou, ainda, quando comparamos as medidas de uma das partes com as de outras partes dessa mesma imagem.
Na maioria dos desenhos de corpo humano, quando proporcionais, pode ser observado que a altura de um corpo adulto é, aproximadamente, sete vezes a altura da cabeça. Já em desenhos de corpos de crianças, a relação entre essas medidas pode variar. A altura total pode ser a de cinco cabeças ou menos, como vemos em alguns desenhos como o “Dexter” e “As Meninas Superpoderosas”, em que observamos que a altura total do corpo corresponde, aproximadamente, à altura de duas cabeças, em cada personagem.
Figura 1 – Abaporu, de Tarsila do Amaral
Font
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008.
�Matemática A01
Conhecendo razão e proporçãoCom as informações apresentadas no texto anterior, observarmos que, no desenho proporcional de um corpo humano, podemos estabelecer uma comparação entre as alturas da cabeça e do corpo.
Razão
Razão entre dois números
Nesse caso, para um corpo humano adulto, temos que a razão entre a altura da cabeça e a altura total do corpo é de 1 para 7, que será escrita como
17
ou 1:7
De uma forma geral, podemos dizer que
A razão do número a para o número b (diferente de zero) é o quociente de a por b.
A razão entre a e b, escrita através de notação matemática, é
a
bou a :b, onde b = 0.
A leitura dessa razão entre a e b é: ‘a para b’ ou ‘a está para b’.
Os números a e b são os termos da razão, na qual a é o antecedente, e b o conseqüente (sendo b ≠ 0).
Na razão 1 : 7, o antecedente é 1 e o conseqüente é 7.
17
→ antecedente→ conseqüente
Legal! Uma razão também pode ser simplificada.
Olhe os exemplos 2 e 3.
�Matemática A01
Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1
A razão de 2 para 5 é 25
ou 2:5.
Exemplo �
A razão de 4 para 20 é 420
=4÷ 420÷ 4
=15
ou 1:5.
Exemplo �
A razão de 12 para 4 é 124
=12÷ 44÷ 4
=31= 3 .
Exemplo �
A razão entre 12
e 9 é
129=
12
· 19=
118
ou 1:18.
Exemplo 5
A razão entre 5 e 213
é5
213
=573
= 5 · 37=
51
· 37=
157
ou 15:7.
5Matemática A01
Razão entre duas grandezas
A razão entre duas grandezas, dadas em certa ordem, é razão entre a medida da primeira grandeza e a medida da segunda (sendo esta última diferente de zero).
Se as grandezas que formam a razão são de uma mesma espécie, devemos apresentá-las em uma mesma unidade. Nesse caso, a razão é um número que não apresenta unidade de medida.
Observe os exemplos:
Exemplo 6A razão entre 12 m e 15 m é 12m15m
=12÷ 315÷ 3
=45
, ou seja, é 4 para 5.
Exemplo 7A razão entre 20 cm e 3 m é 20 cm
3 m=
20 cm
300 cm=
20÷ 10300÷ 10
=2÷ 230÷ 2
=115
, ou seja, é 1 para 15.
Exemplo 8A razão entre 15 minutos e 1 hora é
15min
1 h=
15min
60min=
1560
=15÷ 360÷ 3
=5÷ 520÷ 5
=14
, ou seja, é 1 para 4.
Se as grandezas que formam uma razão não são de uma mesma espécie, a unidade dessa razão vai depender das unidades das grandezas do antecedente e do conseqüente.
Que tal ver mais alguns exemplos?
Exemplo 9
Um torno de madeira, em 5 minutos, produz 3 000 rotações. A razão entre o número de rotações e o tempo gasto para produzi-las é
3 000 rotacoes
5 min= 600 rotacoes/min.
A velocidade média desse torno, nesse período, é de 600 rotações/min.
Responda aqui
Praticando...Escala é uma das razões
entre grandezas de mesma
natureza. Velocidade média
é uma das razões entre
grandezas de naturezas
diferentes.
1
6Matemática A01
Exemplo 10
O deslocamento diário de 140 quilômetros de casa para a fábrica onde trabalha, é percorrido por um operário em 2 horas. A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto em percorrê-la é .
140 km2 h
=1402
km/h = 70 km/h.
Podemos dizer que a velocidade média de seu meio de transporte nesse deslocamento é de 70 km/h.
1. Calcule a razão entre os números:
a) 12 e 21
b) 15 e 105
c) 1,2 e 3
d) 3 e 185
2. Calcule a razão entre as seguintes grandezas:
a) 30 km e 3 l de álcool
b) 120 mm e 4 dm
c) 12 g e 4 cm3
d) 4 200 g e 60 kg
e) 25 d e 1 me 10 d
25 d = 25 dias
1 m = 1 mês
10 d = 10 dias
LEGENDA
7Matemática A01
ProporçãoEm duas filiais de uma mesma empresa, nos serviços de escritório, foi diagnosticada a seguinte situação:
Filial Têm curso de informática completo Total de funcionários
A 6 8
B 9 12
A razão entre os funcionários que apresentam curso completo de informática e o número total de funcionários do escritório de cada filial é:
Filial A: 68=
6÷ 28÷ 2
=34
Filial B: 912
=9÷ 312÷ 3
=34
Quando simplificamos cada uma das razões, encontramos um mesmo número,
logo podemos afirmar que 68=
912
(ou 6 : 8 :: 9 : 12) . A leitura de cada uma dessas
expressões é a mesma: “6 está para 8 assim como 9 está para 12”.
∈ pertence
ℜ* conjunto
dos números reais
diferentes de zero
Assim: a, b, c e d
são números reais
diferentes de zero.
∈ ℜ *
Praticando... �
8Matemática A01
Assim, dados os números 6, 8, 9 e 12, nesta ordem, podemos afirmar que a razão entre os dois primeiros é igual à razão entre os dois últimos.
A igualdade entre duas razões recebe um nome especial. Dizemos que, nessa mesma ordem, os números 6, 8, 9 e 12 formam uma proporção.
De uma forma geral, dados quatro números reais e diferentes de zero (a, b, c e d), em certa
ordem, se a razão entre os dois primeiros for igual à razão entre os dois últimos, ou seja,
se a
b=
c
d, dizemos que os números a, b, c e d, nesta ordem, formam uma proporção.
Termos de uma proporção
Se a, b, c e d ∈ ℜ * e a
b=
c
d, dizemos que:
a, b, c e d são os termos da proporção;
a e c são os antecedentes;
b e d são os conseqüentes;
a e d são os extremos da proporção;
b e c são os meios da proporção.
1. Indique o antecedente e o conseqüente em cada uma das razões a seguir:
a) 12 para 7 b) 3:20
c) 513:125
d) 1825
2. Destaque os extremos com e os meios com em cada proporção a seguir:
a) 1027
=3081
b) 18=
15120
c) 311
=1555
9Matemática A01
Propriedade fundamental das proporçõesPara verificar essa propriedade, devemos realizar algumas operações. Na proporção a
b=
c
d, podemos multiplicar os dois lados da igualdade pelo produto dos conseqüentes
das razões que a formam (b · d ou bd). Assim: a
b· bd = c
d· bd.
Simplificando, temos: a · d = c · b ou a · d = b · c.
Diante desse resultado, podemos afirmar o seguinte:
Em uma proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Aplicando a propriedade fundamental, podemos verificar se duas razões formam uma proporção ou não. É o que faremos nos exemplos a seguir.
Exemplo 11
A expressão 27=
1863 é uma proporção?
O produto dos extremos é: 2 . 63 = 126 .
O produto dos meios é: 7 . 18 = 126.
Podemos observar que 2 . 63 = 7 . 18
Resposta:
A expressão 27=
1863
é uma proporção.
10Matemática A01
Exemplo 1�
A expressão 23=
1824
é uma proporção?
O produto dos extremos é: 2 . 24 = 48.
O produto dos meios é: 3 . 18 = 54.
Observe que 2 . 24 ≠ 3 . 18, logo dizemos que 23= 18
24.
Resposta:
A expressão 23=
1824
não é uma proporção.
Exemplo 1�
Verifique se os números 11, 15, 22 e 30, não obrigatoriamente nessa ordem, formam uma proporção.
Fazendo o produto entre o menor e o maior desses números, temos: 11 . 30 = 330
Fazendo o produto entre os outros dois números, temos: 15 . 22 = 330
Assim: 11 . 30 = 15 . 22.
Comparando a igualdade anterior (11 . 30 = 15 . 22) e o que nos diz a propriedade fundamental das proporções (o produto dos extremos é igual ao produto dos meios), podemos considerar 11 e 30 como sendo os extremos e os outros dois números como os meios dessa proporção.
Dessa forma, a proporção 1115
=1530
é uma das proporções que podem ser
formadas por esses números.
Resposta: Uma das proporções que podemos formar com esses quatro
números, nessa ordem, é 1115
=1530
.
Para descobrir se quatro números, em uma dada ordem, formam uma proporção, observe o que vem a seguir:
11Matemática A01
Recíproca da propriedade fundamental das proporções
Sejam a, b, c e d números reais e diferentes de zero, tais que o produto de dois deles seja igual ao produto dos outros dois, isto é: a · d = b · c.
Dividindo cada membro da igualdade pelo produto b · d, temos que:
ad
bd=
bc
bd
Após a simplificação, temos:
a
b=
c
d
Assim transformamos a igualdade entre dois produtos em uma proporção, como você também verá no exemplo a seguir.
Exemplo 1�
Escreva a igualdade 3 . 35 = 7 . 15 em forma de proporção.
Dividindo ambos os membros da igualdade 3 . 35 = 7 . 15 pelo produto 3 . 35 . 15,
temos: 3 · 3535 · 15
=7 · 1535 · 15
.
Ao simplificarmos essa expressão, obtemos a proporção 315
=735
.
Cálculo de um termo desconhecido
Em uma proporção, é sempre possível determinar o valor de um dos termos, sendo os outros três conhecidos. Basta aplicar a propriedade fundamental das proporções. Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 15
Quando aplicamos a propriedade fundamental na proporção 34=
60x
, temos:
3x = 4 . 60 ⇒ 3x = 240 ⇒ x = 240 ÷ 3 ⇒ x = 80.
1�Matemática A01
Exemplo 16
Na proporção 2x=
15120
, quando aplicamos a propriedade fundamental das
proporções, temos: 15x = 120 . 2 ⇒ 15x = 240 ⇒ x = 240 ÷ 15 ⇒ x = 16.
TransformaçõesTransformar uma proporção é escrevê-la com os mesmos termos em outra ordem, ou seja, é encontrar proporções equivalentes à proporção dada, mudando apenas a ordem dos termos.
Considere a proporção 35=
1220
. Observe que a igualdade entre as razões se mantém quando:
alternamos os extremos: 205
=123
⇒ 20 · 3 = 5 · 12 = 60;
alternamos os meios: 312
=520
⇒ 3 · 20 = 12 · 5 = 60;
invertemos os termos: 53=
2012
⇒ 5 · 12 = 3 · 20;
transpomos as razões: 1220
=35
⇒ 12 · 5 = 20 · 3;
Proporções MúltiplasObserve as razões
614
e1535
. Vemos, após a simplificação, que todas são iguais a 37
.
Logo, podemos escrever 614
=1535
=37
, que é uma proporção múltipla.
1�Matemática A01
Chamamos de proporção múltipla a toda proporção que envolve uma igualdade entre três razões ou mais. Uma proporção múltipla também pode ser chamada de série de razões iguais.
De forma geral:
a
b=
c
d= . . . =
m
n (onde a, b, c,..., n ∈ ℜ*) é uma proporção múltipla.
Propriedade fundamental das proporções múltiplas
Seja a proporção a
b=
c
d= . . . =
m
n. Considerando que cada uma dessas razões é igual
a um mesmo número k. Esse valor k é chamado de coeficiente de proporcionalidade
dessa proporção.
Assim, temos:
a
b= k,
c
d= k, . . .
m
n= k
Quando isolamos o valor de cada antecedente, encontramos:
a = bk,
c = dk,
...,
m = nk
Somando essas igualdades, membro a membro, temos:
a+ c+ . . .+m = bk + dk + . . .+ nk
a + c + . . . + m = k · (b + d + . . . + n)
Dividindo ambos os membros por (b +d + ... + n), temos:
a+ c+ . . .+m
b+ d+ . . .+ n= k, ou seja,
a+ c+ . . .+m
b+ d+ . . .+ n=
a
b=
c
d= . . . =
m
n= k
1�Matemática A01
Assim, em uma proporção múltipla, a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes assim como qualquer antecedente está para seu respectivo conseqüente.
Observe o exemplo a seguir:
Exemplo 17
15=315=525=630⇒
⇒ 1 + 3 + 5 + 65 + 15 + 25 + 30
=15
ou315
ou525
ou630
.
Observe que 15 é o coeficiente de proporcionalidade dessa proporção, pois
todas as razões são iguais a 15
.
Mais algumas propriedades das proporções
Considerando a proporçãoa
b=
c
d, podemos observar as seguintes propriedades:
I) Razão entre a soma dos antecedentes e a soma dos conseqüentes de uma proporção.
A soma dos antecedentes de uma proporção está para a soma dos seus conseqüentes, assim como cada antecedente está para o seu respectivo conseqüente.
a+ c
b+ d=
a
cou
a+ c
b+ d=
c
d
II) Razão entre a diferença dos antecedentes e a diferença dos conseqüentes de uma proporção.
A diferença entre os antecedentes está para a diferença de seus conseqüentes, assim como cada antecedente está para seu respectivo conseqüente.
a− c
b− d=
a
bou
a− c
b− d=
c
d
15Matemática A01
III) Razão entre a soma (ou diferença) dos termos de uma razão e o respectivo antecedente.
A soma dos termos da primeira razão está para seu antecedente, assim como a soma dos termos da segunda razão está para seu respectivo antecedente.
a+ b
a=
c+ d
c
A diferença dos termos da primeira razão está para seu antecedente, assim como a diferença dos termos da segunda razão está para seu respectivo antecedente.
a− b
a=
c− d
c
IV) Razão entre a soma (ou diferença) dos termos de uma proporção e seu respectivo conseqüente.
A soma entre os termos da primeira razão está para seu conseqüente, assim como a soma entre os termos da segunda razão está para seu respectivo conseqüente.
a+ b
a=
c+ d
c
A diferença entre os termos da primeira razão está para seu conseqüente, assim como a diferença entre os termos da segunda razão está para seu respectivo conseqüente.
a− b
b=
c− d
d
Veja a utilização dessas propriedades na resolução dos exemplos a seguir:
Exemplo 18
Determine dois números, sabendo que a sua soma é 54 e que a razão entre eles é 1:2.
Número menor: x
Número maior: y
Dados do problema: x+ y = 54 ex
y=12
Aplicando a Propriedade III na proporção x
y=
12
, temos:
x+ y
x=1 + 21
16Matemática A01
Como x + y = 54 , temos:
54x
=31
Aplicando a propriedade fundamental das proporções e resolvendo a equação resultante, temos:
3 · x = 54 · 1 ⇒ 3x = 54 ⇒ x = 54 ÷ 3 ⇒ x = 18
Para encontrar o valor de y basta substituir o valor de x em qualquer das equações. Substituindo x = 18 na equação x + y = 54, temos:
18 + y = 54⇒ y = 54− 18⇒ y = 36
Resposta: Os números procurados são 18 e 36.
Exemplo 19
Determine dois números sabendo que a diferença entre eles é igual a 12 e que o maior está para o menor assim como seis está para cinco.
Número maior: m
Número menor: n
Dados do problema: m – n = 12 e m
n=
65
Aplicando a propriedade IV na proporção m
n=
65
, temos:
m− nm
=6− 56
Substituindo o valor de m – n e resolvendo 6 – 5, temos: 12m
=16
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos:
m . 1 = 12 . 6
Responda aqui
Praticando... �
17Matemática A01
Ou seja, m = 72 .
Para calcular o valor de n, basta substituir o valor de m na equação m – n = 12.
Assim: 72− n = 12⇒ −n = 12− 72⇒ −n = −60
Multiplicando por (-1) toda a equação, encontramos: n = 60
Resposta: os números procurados são 72 e 60.
1. Verifique se é uma proporção a expressão 213
=1065 .
�. Calcule o valor de x na proporção x
5=
x− 32
.
�. Aplicando as transformações, reescreva de 4 maneiras diferentes a
proporção 215
=860
.
�. Determine os valores de x, y e z, sabendo que x + y + z = 80 e x
2=
y
4=
z
14.
5. Se x – y = 18 e xy=
2519
.
18Matemática A01
Grandezas proporcionaisQuando a variação de uma grandeza provoca uma variação em outra grandeza, dizemos que essas grandezas se relacionam. Como por exemplo, distância percorrida por um automóvel e a quantidade de combustível gasto ou a velocidade média e o tempo gasto para se fazer um determinado percurso. A variação em uma grandeza causa a variação na outra.
De acordo com a relação entre essas duas grandezas, elas podem ser classificadas em grandezas diretamente proporcionais ou grandezas inversamente proporcionais.
Grandezas diretamente proporcionaisSegundo a NR 24, norma do Ministério do Trabalho e do Emprego que regula as condições sanitárias e de conforto nos locais de trabalho, cada empresa deve providenciar, por trabalhador, a quantidade de 60 litros de água para o consumo nas instalações sanitárias.
19Matemática A01
Em uma empresa que obedece a essas normas foi construída a seguinte tabela:
Tabela 1 – Representação da NR 24 implementada em uma empresa
Filial Filial A Filial B Filial C Filial D Matriz
Número de funcionários 12 18 20 30 50
Quantidade mínima necessária de água (em litros)
720 1 080 1 200 1 800 3 000
Note que:
enquanto uma grandeza aumenta, a outra também aumenta;
cada uma das razões entre a quantidade de água mínima necessária (litros) e o número de funcionários de cada unidade da empresa é sempre igual a 60, pois
72012
=1 08018
=1 20020
=1 80030
=3 00050
= 60.
Dizemos, então, que as seqüências de números (720, 1 080, 1 200, 1 800, 3 000) e (12, 18, 20, 30, 50) são diretamente proporcionais e que o coeficiente de proporcionalidade é 60.
Chamando dois valores quaisquer da primeira grandeza a’ e a”, e os valores correspondentes na segunda grandeza de b’ e b” , podemos apresentar a seguinte proporção:
a
b =a
b
Alternando os extremos, obtemos:
b
b =a
a
Ou seja, se duas grandezas são diretamente proporcionais, a razão entre dois valores de uma delas é igual à razão entre os dois valores correspondentes da outra.
As seqüências de números (reais e diferentes de zero) que representam essas grandezas são ditas diretamente proporcionais.
�0Matemática A01
Exemplo �0
As seqüências (5, 6, 7) e (25, 30, 35) são diretamente proporcionais?
Para responder a essa pergunta, temos que formar as razões entre os números correspondentes e compará-las.
As razões são: 525
,630
e735
. Todas iguais a15
.
Como todas as razões entre os termos correspondentes das seqüências são iguais, podemos afirmar que as seqüências acima são diretamente proporcionais.
Exemplo �1
Qual é o coeficiente de proporcionalidade entre as seqüências diretamente proporcionais (5, 8, 12) e (40, 64, 96)?
As razões formadas pelos elementos correspondentes de seqüências diretamente proporcionais são todas iguais a um mesmo número, e esse número é chamado de coeficiente de proporcionalidade.
Como 540
=864
=1296
=18
, temos que o coeficiente de proporcionalidade
é 18
.
Grandezas inversamente proporcionaisEm um serviço de entregas, um veículo de uma transportadora percorre certa distância em 6 horas, a uma velocidade média de 40 km/h.
Se sua velocidade média aumentasse para 80 km/h, o tempo que se levaria para percorrer a mesma distância seria reduzido para 3 horas.
Ou seja:
Velocidade média (km/h) 40 80
Tempo de percurso (h) 6 3
aumenta
diminui
�1Matemática A01
Aumentando em duas vezes a velocidade média, o tempo gasto para fazer o mesmo percurso diminui, é reduzido à metade.
Enquanto uma grandeza aumenta, a outra diminui, ou seja, as grandezas variam em sentido contrário. As grandezas velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionais.
As seqüências (40, 80) e (6, 3) são inversamente proporcionais. Nesse caso, a primeira
seqüência é diretamente proporcional aos inversos dos elementos correspondentes
na segunda seqüência. Ou seja, as seqüências (40, 80) e (16
,13) são diretamente
proporcionais.
Assim: 4016
=8013
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos:
40 · 13= 80 · 1
6.
A proporção formada (já simplificada) é 403
=806
.
Que tal ver mais alguns exemplos?
Exemplo ��
Qual o coeficiente de proporcionalidade entre as seqüências de números inversamente proporcionais (1, 2, 5) e (20, 10, 4)?
Como as seqüências são inversamente proporcionais, temos que:
1120
=2210
=514
= 20 .
Logo, o coeficiente de proporcionalidade é 20.
��Matemática A01
Exemplo ��
Sabendo que as seqüências (m, -4, 1) e (2, n, 4) são inversamente proporcionais, determine os valores de m e n.
Considerando as seqüências inversamente proporcionais, temos:
m12
=−41n
=114
.
A última razão dessa proporção múltipla é
114
= 1 · 41= 4 ,
que é também o coeficiente de proporcionalidade.
Igualando cada proporção ao coeficiente de proporcionalidade, temos:
m12
= 4 ⇒ m · 21= 4 ⇒ 2m = 4 ⇒ m = 2
−41n
= 4⇒ −4 · n1= 4⇒ −4n = 4
Multiplicando por (-1), temos:
4n = – 4 ⇒ n = –1
Assim, temos:
m = 2 e n = –1.
Praticando... �
Responda aqui
��Matemática A01
Indique se são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais as seqüências de números:
a) ( 3, 5, 9) e (115
,19
,15) b) (40, 80, 16) e (2, 1, 5)
Agora que concluiu todas as atividades, você pode testar seus conhecimentos na série de exercícios a seguir, em que são apresentadas questões envolvendo todo o conteúdo da presente aula.
Exer
cíci
os
��Matemática A01
1.Determine a razão entre os números
a) 12 e 36
b) 60 e 15
c) 3 e 2,25
d) 1,05 e 3,5
e) 512
e 2
f) 4 e 315
�. Verifi que se a razão 1025
é igual à razão 210
.
�. Calcule a razão entre as seguintes grandezas:
a) 15 m e 12 cm
b) 20 dam e 3 km
c) 1 g e 5 kg
d) 2 km e 0,5 m3
�. Calcule o valor de x na proporção x
5=
2− x
3.
�5Matemática A01
5. Escreva a razão igual a 4 para 21, cujo antecedente seja igual a 12.
6. Escreva a proporção cujas razões são iguais a 5 para 7 e cujos conseqüentes sejam 3 e 16.
7. Calcule x e y, sabendo que x + y = 300 e xy=
911
.
8. Complete a série B no quadro abaixo sabendo que as séries A e B são
diretamente proporcionais e o coefi ciente de proporcionalidade entre os
seus elementos é 14
.
A B
4
6
12
Auto-avaliação
�6Matemática A01
Leitura complementarSÓ MATEMÁTICA. Disponível em: <www.somatematica.com.br>. Acesso em: 20 jun. 2008.
Na internet, você encontra alguns sites interessantes com conteúdo matemático de qualidade. Um deles é o Só Matemática, que apresenta o conteúdo por tópicos e também por nível de ensino (fundamental, médio e superior). Para acessar livremente todo o conteúdo, você precisa se cadastrar gratuitamente.
Nesta aula, você revisou os conceitos de razões, proporções e de grandezas proporcionais, como seus elementos e propriedades. Também viu alguns exemplos nos quais foram resolvidas algumas aplicações práticas utilizando esses conhecimentos.
Atenção! Se você sentiu dificuldade na resolução de alguma atividade ou exercício, releia esse fascículo e procure refazer seus cálculos. Se você não tem mais dúvida, responda agora a esta auto-avaliação:
Escreva o conceito de razão.
Dê um exemplo de razão e indique o antecedente e o conseqüente.
Const rua uma proporção que tenha coef ic iente de proporcionalidade 0,5.
Como você classifica as grandezas número de dias gastos e o número de operários empregados para a construção de uma casa: diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais? Por quê?
Dê um exemplo de grandezas diretamente proporcionais e um exemplo de grandezas inversamente proporcionais.
1.
�.
�.
�.
5.
Para Consulta
�7Matemática A01
Razão: a:b ou
a
b(lê-se: a está para b), onde a ∈ ℜ e b ∈ ℜ*.
Termos da Razão:
Considerando a razão a
b, a é o antecedente e b é o conseqüente.
Proporção:
É a igualdade entre duas razões. Por exemplo: a
b=
c
d, onde a, b, c e d
são números reais diferentes de zero.
Propriedade fundamental das proporções:
Considerando a proporção a
b=
c
d, temos que a · d = b · c, ou seja, que ‘em
uma proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios’.
Recíproca da Propriedade Fundamental das ProporçõesConsidere a, b, c e d, números reais diferentes de zero. Se a . d = b . c,
temos que ad
bd=
bc
bd, ou seja, que
a
b=
c
d.
Proporção múltipla:a
b=
c
d= . . . =
m
n= k ⇒
⇒ a+ c+ . . .+m
b+ d+ . . .+ n=
a
b=
c
d= . . . =
m
n= k
Outras propriedades das proporções:
I) Razão entre a soma dos antecedentes e a soma dos conseqüentes de uma proporção
a+ c
b+ d=
a
cou
a+ c
b+ d=
c
d
II) Razão entre a diferença dos antecedentes e a diferença dos conseqüentes de uma proporção
a− c
b− d=
a
bou
a− c
b− d=
c
d
�8Matemática A01
III) Razão entre a soma (ou diferença) dos termos de uma razão e o
respectivo antecedente
a+ c
b+ d=
a
cou
a+ c
b+ d=
c
d
V) Razão entre a soma (ou diferença) dos termos de uma proporção e seu respectivo conseqüente
a+ b
b=
c+ d
dou
a− b
b=
c− d
d
ReferênciasCRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira fácil. 11. ed. São Paulo: Saraiva, 1996.
MERCHEDE, Alberto. Matemática financeira para concursos: mais de 1.500 aplicações. São Paulo: Atlas, 2003.
SOUZA, Maria Helena de; SPINELLI, Walter. Razões e proporções. In: ______. Matemática. São Paulo: Ática, 2000. p. 257-274. (Série, 6).
