Embed Size (px)
Citation preview
Treball estiu curs 2012/13 Primer BATX CCSS 1
Departament de MATEMÀTIQUES
Matemàtiques Aplicades CCSS 1r. Batxillerat B
Curs 2012-2013
TREBALL D’ESTIU 2013
Nom alumne/a:
Grup curs 2012/2013:
Professor/a 2012/2013:
Respon aquestes preguntes en aquest mateix dossier (pots imprimir-lo o copiar-lo a
mà).
Si has de recuperar el curs de primer d’ESO és imprescindible que lliuris els exercicis
el mateix dia de la prova (2 de setembre de 2013). La nota obtinguda en el treball
formarà part de la recuperació.
Si has aprovat primer de Batxillerat, has de lliurar el treball el primer dia de classe (16 o
17 de setembre) al teu nou professor de Matemàtiques. La nota obtinguda es tindrà en
compte en l’avaluació del primer trimestre.
Treball Estiu primer d’ESO curs 2011/12 2
Primer trimestre
1.- Calcula el resultat de l’operació
de la forma més exacta possible.
2.- Una pastilla conté un 20% d’aspirina, un 40% de vitamina C i la resta és excipient. Si té una massa
de 2,5 mil·ligrams, quants mil·ligrams conté de cada component?
3.- Volem comprar un cotxe que val 15000€ ,IVA del 21% a part. Hem de pagar l’impost de
matriculació que es calcula fent el 5% del preu real, i també un recàrrec del 0,1% del preu real en
concepte de taxa. El concessionari ens fa un descompte de l’1% del preu total ja que paguem al
comptat. Quant hem hagut de pagar pel cotxe?
4.- Solucionar les equacions següents:
1.- (2x – 1)2 – (2x + 1)
2 = 24
2.-
3.- 7x2 + 15x = 0
4.-
5.- x4 – 13x
2 + 36 = 0 6.- (x
2 – 4)
2 = 1
5.- Expressa en forma d’una sola arrel:
a) 33 5·3 b) 5·2 2
1
c) 3
3
4
12 d) 13 e) 3 2aa
6.- Expressa de la manera més senzilla possible:
a) 102
110210 b) c) 34 2·5
7.- Simplificar les expressions següents el màxim que es pugui, expressant-les en forma d’una sola
potència:
a)
xxx
xxx
1:·
:·
2
532
b) 5·3·2 c) 32 2·2·2
d) 3 233 3·3·3 e) 54 3 2:2 f) 5
25
4 3 5:5
g) 5
3
8
42
37752123
Treball Estiu primer d’ESO curs 2011/12 3
8.- Calcula de la forma més exacta possible (sense decimals):
a)
5
2
6
73,13
6,15:5,01
b)
3
7
12
54
31
1
9.- Utilitza la calculadora i aproxima a les centèsimes aquests nombres irracionals:
a) 103 b) 5 76,2 c) 4
1
d) 7 42
10.- Expressa en forma d’una sola arrel:
a) 33 5·3 b) 5·2 2
1
c) 3
3
4
12 d) 13
11.- Expressa de la manera més senzilla possible: 102
110210
b)
12.- Racionalitzar les expressions següents:
a) 5
1 b)
2
12 c)
d)
13.- Busca l’interval solució de l’inequació: 3x + 5 > 2
14.- Les solucions d’una inequació es troben a l’inteval [-5, 2), i les d’una altra inequació, a l’interval
[0 , 4). Expressa mitjançant un sol interval les solucions comunes a totes dues inequacions.
15.- Efectua les operacions següents amb l’ajut de la calculadora:
a ) 2,5 · 104 + 10
5 – 6,25 · 10
3 b)
c) 2
d)
16.- Una estrella es troba a 4 anys llum de la Terra. Quina és la distància en quilòmetres que la separa
del nostre planeta? Un any llum és la distància que recorre la llum en un any a la velocitat de 300 000
km/s.
17.- Un mol d’àtoms de ferro conté 6,023 · 1023
àtoms d’aquest metall. Diluïm un mol en 100 gotes
d’aigua i agafem una sola gota de la dilució amb un comptagotes. En aquesta gota s’hi troben 6,023 ·
1021
àtoms de ferro. La diluïm en unes altres 100 gotes d’aigua. D’aquesta segona dilució agafem una
sola gota (el nombre d’àtoms ha baixat en la mateixa proporció que abans) i tornem a repetir el procés
de dilució i extracció sis vegades més (en total ho haurem fet 8 vegades des del començament, doncs).
Quants àtoms cal esperar que hi haurà en una gota de la vuitena dilució?
37752123
Treball Estiu primer d’ESO curs 2011/12 4
18.- Determinar els valors numèrics en el casos que s’indica:
a) P(x) = x3 – x
2 + 2x -12
, quan x =
b) P(a,b) = ab-3a2 -5b
, quan a = -2 i b = -1
c) P(x) = ax2 – ax + a
, quan x = 4
d) P(z) = 5z4 -25z
2 + 12 , quan z = -2
19.- Siguin els polinomis A(x) = x3 –x
2 –x -1 ; B(x) = -x
2 +x -5 i C(x) = x
3 + 4x – 10.
Determinar:
a) A(x) · B(x)
b) 4·C(x) – 2·B(x)
c) [2·A(x) + 3·C(x)] · B(x)
d) [B(x) – A(x)] · [C(x) + B(x)]
e) -5·C(x) - [2·A(x) + 3·B(x)]
20.- Factoritzar els polinomis:
A(x) = x3 + 8x
2 +21x +18 B(x) = x
4 -10x
2 + 9
C(x) = x3 – 5x
2 +2x +8 D(x) = x
4 -5x
3 +2x
2 +8x
21.- Quan ha de valer el paràmetre k, en cada cas, perquè la divisió sigui exacta?
a) (x3 +5x
2 -20x +k) : (x -3)
b) (2x2 + kx + 1 ) : (x -1)
22.- Determina quin polinomi té x = 2 com a arrel doble , i x = -1 com a arrel simple, si a més sabem
que el coeficient del terme de major grau és -2.
23.- Troba el domini de les funcions següents:
a) xx
y
2
3 b)
32
12
xx
y c) xy 3 d) 322 xxy
24.- Ens donen les funcions f(x) = x2 – x + 4 ; g(x)= x i h(x)= x -2 . Es demana buscar:
a) ))(( xgf b) ))(( xhg c) ))(( xhfg
Treball Estiu primer d’ESO curs 2011/12 5
25.- En un institut es van fer 1500 fotocòpies en els cinc primers dies lectius d’un mes i 5400
fotocòpies vint dies més tard. Utilitza la interpolació lineal per estimar el nombre de fotocòpies que
s’havien fet al institut quan havien transcorregut els dotze primers dies lectius d’aquest mes.
26.- Determina una recta que sigui paral·lela a la recta xy 34 .
Segon trimestre
1.- Sabem que una paràbola passa pels punts A ( 0 , -1 ); B ( -2 , 7) i C ( 2, -17 ).
Determinar la fórmula de la paràbola i caracteritzar-la.
2.- La cotització de les accions d’una empresa va seguir l’any 1999 una evolució que, aproximadament,
seguia aquesta funció: , on t és el temps expressat en mesos .
a) caracteritzar la funció i fer-ne un dibuix aproximat.
b) En quin mes es va assolir la màxima cotització? Quina va ser?
c) Calcula el percentatge de benefici que hauria tingut un inversor que hagués comprat accions
d’aquesta empresa en el moment de mínima cotització , i les hagués venut en el moment de màxima
cotització.
3.- Es calcula que el nombre d’habitants d’una comunitat urbana variarà durant els propers vint anys
d’acord amb la funció:
, on x expressa el temps en anys.
a) es pot determinar el nombre d’habitants que té aquesta comunitat en l’actualitat?. En cas afirmatiu,
quina és aquesta quantitat?
b) Quants habitants tindrà quan finalitzi el període de validesa de la relació expressada a la funció?
4.- Un cotxe triga 4 hores a recórrer un determinat trajecte a una velocitat mitjana de 25 km/h.
a) Quan trigaria a recórrer el mateix trajecte a una velocitat mitjana de 60 km/h.
b) Representant amb x el temps en hores utilitzat a recórrer el trajecte, i amb y la velocitat mitjana del
cotxe en quilòmetres per hora, escriu l’equació de la funció y= f(x).
5.- Calcular el terme 30a en una progressió aritmètica en la qual d= 7 i 55a = 232
6.- Col·loca 5 termes entre l’1 i el 19 de manera que es formi una progressió aritmètica.
7.- En una progressió aritmètica 12a = 42 i d = 2. Determinar el primer terme.
8.- Calcula la suma de tots els nombres imparells de tres xifres.
9.- Escriu el terme general de la successió que formen els múltiples de 5. El nombre 60000, és una fita
superior d’aquesta successió?
10.- Esbrina si és certa l’afirmació: “ 2 és una fita inferior de la successió
“.
Treball Estiu primer d’ESO curs 2011/12 6
11.- Calcular els límits següents (sempre n ):
a) )32lim( n b) 37
3lim
n
n c) )37lim( 2 n
d) 34
9lim
n
n e) n4·3lim f)
n25,0lim
g) 68
4lim
n
n h) )
32lim(
n i) )
1lim( 2
nn
j) 52
12
2
)3
12lim(
n
n
n
n k)
15
35lim
3
23
nn
nn l) n300lim
12.- Resoldre les equacions següents:
a) 3x+1
= 150 b)
c) 2x + 2
x+1 = 384 d)
e)
13.- Després de ser utilitzades durant x anys, el percentatge de bateries d’automòbil que es mantenen
en funcionament sense necessitat de ser carregades ve donat per l’expressió: f(x) = 100 · 0,8x.
a) Quin percentatge de bateries es troba en bon estat després de 3 anys de funcionament?
b) Quants anys han de transcórrer per tal que es deteriori el 75% de les bateries?
14.- Un cultiu de bacteris creix segons la fórmula
, ( y = milers de bacteris; x = hores):
a) Quants milers de bacteris hi havia en el moment inicial?
b) Quants milers de bacteris hi havia a les 10 hores?
c) Quant de temps ha de passar per tenir 80 000 bacteris? (vigilar amb les unitats).
15.- Determinar en quin punt la gràfica de la funció , talla els eixos de
coordenades.
16.- Determinar el valor “x” en cada una de les expressions:
a) 72187log x b) 2log8 x c) x5 = 1024 d) 2
x = 0,03125
17.- Desenvolupar la fórmula següent aplicant logaritmes decimals:
2
4 3
M
Mp
Treball Estiu primer d’ESO curs 2011/12 7
18.- Treure els logaritmes per arribar a la fórmula original:
5
log2log3log
HNP
19.- Troba el resultat de les expressions següents:
a)
b)
20.- Resoldre les equacions següents:
a) 2·log x = log(3 – x ) + log 4 b)
c) d)
21.- Una raqueta de tennis valia, al començament de la temporada, 28€. Al llarg de l’any va sofrir les variacions
següents: es va apujar un 20%, es va abaixar un 25%, es va apujar un 5% i es va abaixar un 12%. Quant valia
al final de la temporada?
22.- Quin valor efectiu aconseguirem al descomptar una lletra de canvi, de valor nominal 1800 €, 60 dies abans
del seu venciment si el banc ens ofereix una taxa d’interès del 6,5%?
23.- Per una lletra de canvi de 7500 € amb venciment al cap de 30 dies s’abonen 7425 €. Quina taxa d’interès
s’ha cobrat?
24.- Calcula el tant per cent anual a que s’han de col·locar 600€ perquè en dos anys es converteixin en 650 €.
25.- Dipositem 32 500€ en un banc durant un any i mig i es converteixen en 32 720€. Quin tant per cent
mensual ens dóna el banc?
26.- Un capital col·locat al 15% anual durant quatre anys, s’ha convertit en 5596,82€. A quant ascendia aquest
capital?
27.- A quina taxa anual d’interès compost s’han d’ingressar 250€ perquè en 6 anys produeixin uns interessos de
59,10€?
28.- Quant de temps triga a duplicar-se un capital que s’inverteix al 2,5% anual?
Treball Estiu primer d’ESO curs 2011/12 8
Tercer trimestre
1.- Trobar la TAE equivalent a un rèdit anual del 8%, amb pagament mensual d’interessos.
2.- Calcula el tant per cent anual a que s’han de col·locar 600€ perquè en dos anys es converteixin en 699,84€.
3.- Dipositem 32 500€ en un banc durant un any i mig i es converteixen en 32 720€. Quin tant per cent mensual
ens dóna el banc?.
4.- Un capital col·locat al 15% anual durant quatre anys, s’ha convertit en 5596,82€. A quant ascendia aquest
capital?.
5.- En quant es transforma un capital de 3500€ dipositats durant tres mesos al 8,5% anual?
6.- Quant de temps ha de passar per tal que 3000€ es transformin en 4800€, si la taxa d’interès és del 4%
nominal i l’operació es fa amb capitalització semestral?
7.- A quina taxa anual d’interès compost s’han d’ingressar 250€ perquè en 6 anys produeixin uns interessos de
59,10€?
8.- A interès compost, quant de temps triga a duplicar-se un capital que s’inverteix al 5% anual?
9.- La taula mostra les qualificacions de la primera avaluació de dos grups diferents d’alumnes en una
matèria concreta, prenent com a mostra 10 alumnes de cada grup:
Grup A 0 1 1 3 5 5 6 8 8 9
Grup B 2 2 4 4 4 5 5 6 6 8
a) Determina les mesures de centralització (mitjana, mediana i moda) de cada grup d’alumnes.
b) Determina la desviació típica de cada grup d’alumnes
10.- Un fabricant vol comprar una màquina que li produeixi 100 peces en una hora. Amb la màquina
que li proporciona l’empresa A fa deu proves i obté: 106, 98, 100, 99, 103, 96, 102, 100, 103 i 93. Amb
la màquina que li ofereix l’empresa B també fa 10 proves i obté: 103, 102, 98, 97, 96, 98, 99, 101, 104,
i 102. Quina de les dues màquines li interessa més comprar? Justifica la resposta.
Treball Estiu primer d’ESO curs 2011/12 9
11.- Considera el diagrama de freqüències següent:
a) A quantes persones se’ls va prendre les pulsacions?
b) Quin és el nombre mitjà de pulsacions?
c) Quin percentatge de persones té un nombre de pulsacions major que 80?
d) Quina és la desviació mitjana del nombre de pulsacions?
12.- Una empresa ha estudiat la correlació lineal entre les seves despeses en publicitat (x), mesurades
en milers d’euros, i els seus ingressos per vendes (y), mesurats també en milers d’euros. La recta
resultant és : y = 7,096x + 2780,2 , mentre que el coeficient de correlació és 0,97.
Es demana:
a) Quina despesa en publicitat cal fer per poder esperar uns ingressos de 3 milions d’euros?
(recordeu que les dades estan en milers d’euros)
b) Quins ingressos s’esperen per a una despesa de 2000€ (recordeu que la despesa també es
mesura en milers).
13.- S’han estudiat els errors comesos per un grup de 117 persones en una prova d’ortografia x i en una
altra de càlcul numèric, y. Els resultats es recullen a la taula següent:
a) Calcular el coeficient de correlació lineal entre les variables
estudiades, i fer-ne una interpretació.
b) determinar la recta de regressió
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 20 40 60 80 100 120
no
mb
re d
e p
ers
on
es
pulsacions
Prova x
0 1 2 3 4
Pro
va
y
0
24 6 1 0 0
1
11 19 2 3 0
2
7 8 6 2 0
3
2 3 3 7 1
4
1 0 2 4 5
Treball Estiu primer d’ESO curs 2011/12 10
14.- Una distribució bidimensional en la qual els valors de x són 12, 15, 17, 21, 22 i 25 , té una
correlació r = 0,99 i la seva recta de regressió és y = 10,5 + 3,2x.
a) Es demana calcular quins valors de y s’obtenen per a x=13; x=20; x=30 ; x=100.
b) Quines de les estimacions anteriors són fiables, quines poc fiables i quina no s’hauria de fer?
15.- En la taula següent es mostren els valors de temperatura (x) i pressió atmosfèrica (y) durant 7 dies
en una població:
T (ºC) 15 16 17 20 18 16 12
P(mmHg) 800 810 800 820 810 780 750
Es demana:
a) representar el núvol de punts
b) Buscar la recta de regressió
c) Representar la resta de regressió 16.- Calcula el tant per cent anual a que s’han de col·locar, a interès compost, 600€ perquè en dos anys es
transformin en 699,84€.
17.- Un capital determinat col·locat a al 15% anual durant tres anys, a interès compost, s’ha convertit en
5596,82€. Quin era el capital inicial?.
18.- S’ha recollit la dada “nombre de pulsacions” d’un grup d’atletes en acabar una cursa.
Es demana buscar:
a) la moda b) la mediana c) la mitjana aritmètica d) la variància e) la desviació típica
Pulsacions Nombre d’atletes
70,74 3
74,78 3
78,82 7
82,86 10
86,90 12
90,92 8
19.- En quatre viatges del trajecte Barcelona-Girona un conductor ha observat les velocitats mitjanes i els
consums de gasolina següents:
X velocitat
(km/h)
105 117 90 120
Y consum
(litres)
6.5 7.5 6 8.2
a) calcula les variàncies de les variables x i y , la covariància i el coeficient de correlació b) Escriu la recta de regressió d’ y sobre x . c) Quin consum es pot esperar d’un viatge fet a 110 km/h de mitjana?
