materi aljabar linear

7/23/2019 materi aljabar linear

1/14

MAKALAH MATERI

ALJABAR LINEAR

Disusun oleh :

Muhammad Riza Al Firdaus

UNIVERSITAS ISLAM MAJAPAHIT


2/14

KATA PENGANTAR

Dengan mengucapkan Alhamdulillah dan puji syukur kehadirat

Tuhan Yang Maha Esa, akhirnya Tugas Materi Makalah Aljabar

Linear ini dapat diselesaikan dengan penuh kesungguhan. Buku

ini merupakan rangkuman kegiatan perkuliahan dari penulis

selama penulis menuntut ilmu di Universitas Islam

Majapahit(UNIM), Mojokerto. Tujuan dari pembuatan buku ini

adalah supaya pembaca bisa memahami materi tentang aljabar

linier materi materi lain yang menggunakan aljabar linear.

Penulis menyadari bahwa buku ini massih belum sempurna dan

masih banyak kesalahan kesalahan yang terjadi. Untuk itu, perlu

adanya saran da kritik dari pembaca untuk perbaikan makalah ini.

Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada pihak pihak yangikut berpartisipasi dalam pembuatan buku ini. Kita semua

berharap semoga Materi Makalah aljabar linear ini bisa

bermanfaat bagi kita semua.

Mojokerto, 17 juli 2012


3/14

Penulis

DAFTAR ISI

1. VEKTOR...............................................................0

1

2. MATRIKS DAN OPERASINYA.............04


4/14

BAB 1

VEKTORDefinisiVektor didefinisikan sebagai besaran yang memiliki arah. Kecepatan, gaya

dan pergeseran merupakan contoh contoh dari vektor karena semuanya

memiliki besar dan arah walaupun untuk kecepatan arahnya hanya positif

dan negatif. Vektor dikatakan berada di ruang n ( Rn ) jika vektor

tersebut mengandung n komponen. Jika vektor bearada di R2

maka dikatakan vektor berada di bidang, sedangkan jika vektor berada diR3 maka dikatakan vektor berada di ruang. Secara geometris, di bidang

dan di ruang vektor merupakan segmen garis berarah yang memiliki titik

awal dan titik akhir. Vektor biasa dinotasikan dengan huruf kecil tebal atau

huruf kecil dengan ruas garis .

Contoh :4.1.1

Dari gambar diatas terlihat beberapa segmen garis berarah ( vektor )

seperti AB , AC dan AD dengan A disebut sebagai titik awal ,

sedangkan titik B, C dan D disebut titik akhir. Vektor posisi didefinisikan

sebagai vektor yang memiliki titik awal O ( untuk vektor di bidang , titik O

adalah ( 0,0 )).

Operasi operasi pada vektor

A. Penjumlahan dua vektor

Misalkan u dan v adalah vektor vektor yang berada di ruang yang

sama , maka vektor ( u + v ) didefinisikan sebagai vektor yang titik

awalnya = titik awal u dan titik akhirnya = titik akhir v .

Contoh 4.2.1


5/14

Perhatikan gambar pada contoh 4.1.1 . Misalkan u = AB dan v BC ,

jika vektor w didefinisikan sebagai w = u + v , maka w akan memiliki

titik awal = A dan titik akhir = C, jadi w merupakan segmen garis berarah

AC.

B. Perkalian vektor dengan skalar

Vektor nol didefinisikan sebagai vektor yang memiliki panjang = 0.

Misalkan u vektor tak nol dan k adalah skalar , k R . Perkalian vektor u

dengan skalar k , k u didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya u

kali panjang u dengan arah : Jika k > 0 searah dengan u Jika k < 0

berlawanan arah dengan u

Contoh :4.2.1

C. Perhitungan vektor

Diketahui a dan b vektorvektor di ruang yang komponen komponennya

adalah a = ( a1,a2,a3 ) dan b = ( b1,b2,b3 )

Maka

a + b = (a1 +b1, a2+b2, a3+b3 )a b = (a1 b1, a2 b2, a3 b3 )

k . a = ( ka1, ka2, ka3 )

Jika c = AB kemudian titik koordinat A = ( a1,a2,a3 ) dan B = ( b1,b2,b3

)

maka

c= (b1 a1 , b2 a2, b3 a3 )


6/14

Hasil kali titik , panjang vektor dan jarak antara dua vektor

Hasil kali titik dua vektor jika diketahui komponennya Diketahui

a = ( a1,a2,a3 ) dan b = ( b1,b2,b3 ) , Hasil kali titik antara vektor

a dan b didefinisikan sebagai :

a . b =(a1.b1)+ (a2.b2) +(a3.b3)

Hasil kali titik dua vektor jika diketahui panjang vektor dan sudut

antara

dua vektor

Diketahui a dan b dua buah vektor yang memiliki panjang berturut turut

a dan b sedangkan sudut yang dibentuk oleh kedua vektor adalah,

sudut ini terbentuk dengan cara menggambarkan kedua vektor pada

titik awal yang sama.

Hasil kali titik antara vektor a dan b didefinisikan sebagai :

a . b = a b cos , [ 0, ]

Jadi hasil kali titik dua buah vektor berupa skalar.

Dengan mengetahui besarnya , akan diketahui apakah hasil kali titikakan bernilai positif atau negatif

a . b > 0 lancip , 0 < 90o

a . b = 0 = 90o , a dan b saling tegak lurus

a . b < 0 tumpul, 90o


7/14

Panjang ( norm ) vektor dan jarak antara dua vektor Panjang vektor

Dengan menggunakan operasi hasil kali titik jika diketahui komponen

a = ( a1,a2,a3 ) didapatkan bahwa

Dari definisi hasil kali titik lainnya , didapatkan bahwa

, dalam hal ini sudut antara dan pastilahbernilai 0 karena keduanya

saling berhimpit.

Dari persamaan 1 dan 2 , didapatkan persamaan berikut :

Jarak antara dua vektor

Jarak antara vektor adan b didefinisikan sebagai panjang dari vektor

dan biasa dinotasikan dengan

Secara geometris , dapat digambarkan seperti berikut ini :

Misalkan , maka jarak antara dan merupakan

panjang dari ruas garis berarah .

Contoh 4.3.2

Diketahui = ( 2,1,1 ) dan = ( 1,1,2 ) Tentukan besar sudut yangdibentuk oleh dan !

Jawab


8/14

Jadi sudut yang dibentuk antara dan adalah 60

0

Beberapa sifat yang berlaku dalam hasil kali titik

Proyeksi orthogonal

Diketahui vektor a dan b adalah vektor vektor pada ruang yang sama

seperti terlihat pada gambar dibawah ini :

Vektor a disusun dari dua vektor yang saling tegak lurus yaitu dan

, jadi dapat dituliskan ,Dari proses pembentukannya

juga disebut sebagai vektor proyeksi orthogonal terhadap

karena merupakan hasil proyeksi secara orthogonal vektor terhadap

, sedangkan disebut sebagai komponen dari a yang tegak lurus

terhadap . Karena merupakan hasil proyeksi di maka dapat

dituliskan , nilai k ini akan menentukan arah dan panjang dari

. Jika sudut antara dan adalah tumpul , maka tentunya nilai k

akan negatif ini juga berarti arah akan berlawanan dengan arah .

Menghitung

Untuk menghitung , harus dihitung terlebih dahulu nilai k. Dengan


9/14

menggunakan aturan hasil kali titik , diperoleh :

Perkalian silang vektor

Sebelum membahas ke masalah perkalian silang dari dua buah vektor,

akan dijelaskan beberapa definisi terlebih dahulu

Vektor satuan

Vektor satuan didefinisikan sebagai vektor yang memiliki panjang satu

satuan. Di bidang , vektor satuan yang searah dengan sumbu x dan y

dinyatakan sebagai = ( 1,0 ) dan = ( 0,1 ), sedangkan pada ruang (

R3) , vektor satuan yang searah sumbu x,y dan z adalah = ( 1,0,0 ) ,

= ( 0,1,0 ) dan = ( 0,0,1 ). Penulisan komponen dari vektor juga dapatmenggunakan vektor satuan .

Misalkan

Perkalian silang antara dua vektor di R3

Diketahui dan


10/14

Perkalian silang antara dan didefinisikan sebagai :

Hasil kali silang dari dua buah vektor akan menghasilkan suatu vektor

tegak lurus terhadap dan . Sedangkan untuk mengetahui panjang

dari vektor ini, akan dilakukan analisa yang lebih jauh untuk

mengetahuinya .

Kuadrat dari norm adalah

Atau

Nilai ini merupakan luas segi empat yang dibentuk dan seperti

ditunjukkan dari gambar berikut :


11/14


12/14

BAB 2

MATRIKS DAN

OPERASINYA

1. PENJUMLAHAN MATRIKS

CONTOH PROGRAM

#include #include #include int A[2][2],B[2][2],C[2][2];void inputmatriksA()

{cout


13/14

void tampilB(){cout


14/14

cout

Documents

materi aljabar linear