Material Olimpiadas

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ORGANIZAASOCIACION CASTELLANO Y LEONESA DE EDUCACIN MATEMATICA MIGUEL DE GUZMAN

COMISION ORGANIZADORA PROVINCIAL DE ZAMORA

COLABORAN: JUNTA DE CASTILLA Y LEN Consejera de Educacin y Cultura Direccin Provincial de Educacin de Zamora Centro de Formacin e Innovacin Educativa EXCMA DIPUTACION PROVINCIAL DE ZAMORA CAMPUS VIRIATO CAJA ESPAA CENTRO COMERCIAL VALDERADUEY-EROSKY LIBRERA MACHADO

PRESENTACION

El presente trabajo nace como expresin de una inquietud compartida por quienes ejercemos la docencia en algn nivel educativo y nos hemos comprometido de manera especial con la enseanza de la matemtica. Sin duda habremos cado alguna vez en la cuenta de que no todas las estrategias didcticas mediante las cuales se ha intentado ensear a los alumnos a resolver problemas matemticos conducen certeramente al objetivo propuesto, al menos no en todos los casos; pero tambin es posible que hayamos vivido personalmente la sensacin de incapacidad para responder a situaciones problemticas, con el desencanto de quien habindose sentido capaz en esta materia, descubre grandes limitaciones en su posibilidad de resolver problemas. Mirando hacia atrs vemos un esfuerzo que no ha sido en vano. Hacia delante , un futuro lleno de esperanza, ofreciendo desde ahora el testigo del cambio a nuestros compaeros zamoranos. Nuestro agradecimiento a las muchas personas que ,hoy como ayer, estn dispuestas a utilizar su tiempo y energa, en la organizacin de estas actividades altruistas, en facilitar la relacin y la convivencia. No quiero terminar sin hacer un expreso reconocimiento a las diversas entidades y organismos pblicos y privados, que contribuyen, desinteresadamente para que la Olimpiada de Matemticas en Zamora, sea una realidad. Por ltimo mi aplauso a los protagonistas: profesores y alumnos. Espero que esta recopilacin nos sea de utilidad y que de aqu a prximas ediciones de la Olimpiada Matemtica, puedan aparecer otras revisiones.

Eloy-Luis Bobo Romero Coordinador de la Olimpiada Provincial de Matemticas

INTRODUCCIONEn cualquiera de las ramas o conocimientos matemticos, surge inevitablemente una parte de aplicacin prctica, que se suele llamar problema, y que vara a medida que pasa el tiempo, el lugar o las circunstancias sociales. En matemticas difcilmente se puede tener impresin de dominar la materia, si reiteradamente se fracasa en este terreno de la aplicacin La Resolucin de Problemas promueve un aprendizaje desarrollador, motivo por el cual ha tomado un gran auge en los ltimos tiempos, creciendo su inclusin en planes de estudio y constituyndose casi en una disciplina autnoma dentro de la Educacin Matemtica. La resolucin de problemas se considera la parte ms esencial de la educacin matemtica. Mediante la resolucin de problemas, los alumnos experimentan la potencia y utilidad de las Matemticas en el mundo real. A lo largo de tu vida te encontraras problemas que debers afrontar, tanto dentro, como fuera del Colegio, ya que el ideal de vida sin problemas, no existe. En una conferencia pronunciada en 1968 George Polya deca: Est bien justificado que todos los textos de matemticas, contengan problemas. Los problemas pueden incluso considerarse como la parte ms esencial de la educacin matemtica. M. de Guzmn (1984) comenta que lo que sobre todo deberamos proporcionar a nuestros alumnos a travs de las matemticas es la posibilidad de hacerse con hbitos de pensamiento adecuados para la resolucin de problemas matemticos y no matemticos. De qu les puede servir hacer un hueco en su mente en que quepan unos cuantos teoremas y propiedades relativas a entes con poco significado si luego van a dejarlos all hermticamente emparedados? A la resolucin de problemas se le ha llamdo, con razn, el corazn de las matemticas, pues ah es donde se puede adquirir el verdadero sabor que ha trado y atre a los matemticos de todas las pocas. Del enfrentamiento con problemas adecuados es de donde pueden resultar motivaciones, actitudes, hbitos, ideas para el desarrollo de herramientas, en una palabra, la vida propia de las matemticas. Santal (1985), gran matemtico espaol, interesado en su didctica, seala que ensear matemticas debe ser equivalente a ensear a resolver problemas. Estudiar matemticas no debe ser otra cosa que pensar en la solucin de problemas. El buen resolutor de problemas es el que tiene deseo de afrontarlo, que acepta el desafo con entusiasmo, que est en posesin de tcnicas y estrategias matemticas y por ltimo, el que practica la paciencia y la perseverancia. Cuando se resuelven problemas se aprende fundamentalmente a entender el funcionamiento de nuestro propio razonamiento a dominar nuestros estados de animo y a aumentar la confianza en nosotros mismos, es decir, nuestra autoestima. .Un anlisis histrico del desarrollo de la resolucin de problemas permite caracterizar la misma como una va eficaz para la enseanza de la Matemtica; de ah el inters cada vez ms creciente de pedagogos e investigadores en el estudio y desarrollo de la resolucin de problemas en sus tres funciones fundamentales, como objeto, mtodo y

destreza bsica; aportando diferentes conceptos, paradigmas y modelos que permiten caracterizar didcticamente este complejo e importante proceso.

CMO RESOLVER PROBLEMAS?La pregunta que nos planteamos no es de fcil respuesta como lo marca, en buena medida, nuestra experiencia. La nica forma de resolver problemas, es resolviendo problemas, cada problema al que nos enfrentemos nos ensear a resolver el siguiente, se trata de aprender a aprender. .La simbolizacin de un problema es un aprendizaje constructivo, por lo tanto individual y distinto, en el cual cada uno utiliza sus propias estrategias. La incorporacin de nuevas formas de resolucin de problemas crea un conflicto con los viejos conocimientos, y por ello se tiende a rechazarlas. Ayudar a desarrollar capacidades y aptitudes en los alumnos para que stos puedan resolver con xito situaciones problemticas de distinta ndole es, quiz, uno de nuestros ms complicados desafos. La resolucin de problemas consiste en un conjunto de actividades mentales y conductuales, a la vez que implica tambin factores de naturaleza cognoscitiva, afectiva y motivacional. Si se nos pregunta cun seguros estamos de que nuestra solucin al problema sea correcta, tal actividad sera de tipo afectiva, mientras que resolver el problema, con papel y lpiz, siguiendo un algoritmo hasta alcanzar su solucin, podra servir para ilustrar una actividad de tipo conductual. A pesar de que estos tres tipos de factores estn involucrados en la actividad de resolucin de problemas, la investigacin realizada en el rea ha centrado su atencin, bsicamente, en los factores cognoscitivos involucrados en la resolucin. Segn Andre (1986), el proceso de resolucin de problemas puede describirse a partir de los elementos considerados a continuacin: 1. Una situacin en la cual se quiere hacer algo, pero se desconocen los pasos precisos para alcanzar lo que se desea. 2. Un conjunto de elementos que representan el conocimiento relacionado con el problema. 3. El solucionador de problemas o sujeto que analiza el problema, sus metas y datos y se forma una representacin del problema en su sistema de memoria. 4. El solucionador de problemas que opera sobre la representacin para reducir la discrepancia entre los datos y las metas. La solucin de un problema est constituida por la secuencia de operaciones que pueden transformar los datos en metas. 5. Al operar sobre los datos y las metas, el solucionador de problemas utiliza o puede utilizar los siguientes tipos de informacin: o Informacin almacenada en su memoria de largo plazo en forma de esquemas o producciones. o Procedimientos heursticos. o Algoritmos. o Relaciones con otras representaciones. 6. El proceso de operar sobre una representacin inicial con el fin de encontrar una solucin al problema, se denomina bsqueda. Como parte del proceso de bsqueda de la solucin, la representacin puede transformarse en otras representaciones.

7. La bsqueda contina hasta que se encuentra una solucin o el solucionador de problemas se da por vencido.

ETAPAS EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMASVarios investigadores han analizado la actividad de resolucin de problemas y sealan que tal actividad es un proceso que involucra una serie de etapas. Desde principios de siglo se viene investigando sobre las fases en la resolucin de problemas. Es as como Wallas (1926) seala que stas incluyen las siguientes: 1. La preparacin, es la fase en la cual el solucionador analiza el problema, intenta definirlo en forma clara y recoge hechos e informacin relevante al problema. 2. La incubacin, es la fase en la cual el solucionador analiza el problema de manera inconsciente. 3. La inspiracin, es la fase en la cual la solucin al problema surge de manera inesperada. 4. La verificacin, es la fase que involucra la revisin de la solucin. Otros autores (Andre, 1986; Hayes, 1981) sealan que las etapas en la resolucin de problemas sirven para enfatizar el pensamiento consciente y para aproximarse analticamente a la solucin, as como tambin para ofrecer una descripcin de las actividades mentales de la persona que resuelve el problema. En tal sentido, Andre (1986) propone que las etapas en la resolucin de problemas son: 1. Darse cuenta del problema, de que existe una discrepancia entre lo que se desea y lo que se tiene. 2. Especificacin del problema, se trabaja una descripcin ms precisa del problema. 3. Anlisis del problema, se analizan las partes del problema y se aisla la informacin relevante. 4. Generacin de la solucin, se consideran varias alternativas posibles. 5. Revisin de la solucin, se evalan las posibles soluciones. 6. Seleccin de la solucin, se escoge aqulla que tenga mayor probabilidad de xito. 7. Instrumentacin de la solucin, se implementa la solucin. 8. Nueva revisin de la solucin, de ser necesario.

Por su parte, Polya (1965) seala que un problema puede resolverse correctamente si