Mathematik für Bauingenieure
Doz.Dr.rer.nat.habil. Norbert Koksch
12. Oktober 2004
Kontakt:
• Willersbau C214, Telefon 34257
• Homepage: http://www.math.tu-dresden.de/~koksch
• e-mail: [email protected]
Grundlagen:
• Skripte „Mathematik für Bauingenieure“ für das Bauingenieurfernstudium an der TU
Dresden, Teil 1 und Teil 2, Professor Schirotzek.
• Vorlesung „Höhere Mathematik A“ von Prof.Dr.rer.nat.habil. Peter Beisel an der Ber-
gischen Universität Gesamthochschule Wuppertal, Fachbereich Bauingenieurwesen -
Lehrgebiet Mathematik.
• Vorlesungen der Professoren Riedrich, Schirotzek, Weber, Voigt an der TU Dresden.
Literatur:
• Hofmann: Ingenieur-Mathematik für Studienanfänger: Formeln - Aufgaben -Lösungen,
Teubner Verlag Stuttgart, Leipzig, Wiesbaden
• Fischer/Schirotzek/Vetters: Lineare Algebra: Eine Einführung für Ingenieure und
Naturwissenschaftler, Teubner Verlag Stuttgart, Leipzig, Wiesbaden.
• Meyberg/Vachenauer: Höhere Mathematik 1 - Differential und Integralrechnung,
Vektor- und Matrizenrechnung. Springer Verlag Berlin 1990, ISBN 3-540-51798-7
(Standard-Begleitliteratur, Aufgabenteil ohne Lösungen).
• Burg/Haf/Wille: Höhere Mathematik für Ingenieure, Bände 1+2. Teubner Verlag
Stuttgart 1992, ISBN3-519-22955-2 (viele Beweise, weitergehende Informationen,
viele Beispiele).
• Riedrich/Vetters: Grundkurs Mathematik für Bauingenieure. Teubner Studienbücher
Bauwesen 1999, ISBN 3-519-00217-5 (Aus Lehrveranstaltungen an der TU Dresden
entstanden).
• von Finckenstein/Lehn/Schellhaas/Wegmann: Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieu-
re, Band 1, Teubner Verlag Stuttgart 2000, ISBN 3-519-02966-9
• von Finckenstein/Lehn/Schellhaas/Wegmann: Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieu-
re, Band 2, Teubner Verlag Stuttgart 2002, ISBN 3-519-02972-3
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• Brauch/Dreyer/Haacke: Mathematik für Ingenieure, Teubner Verlag Stuttgart 1995,
ISBN 3-519-46500-0
• . . .
Übungsbücher:
• Wenzel/Heinrich: Übungsaufgaben zur Analysis Ü1, Teubner Verlag Stuttgart
Leipzig 1997, ISBN 3-8154-2099-7 (MINÖL-Reihe, Grundlage für die Übun-
gen!).
• Pforr/Oehlschlaegel/Seltmann: Übungsaufgaben zur linearen Algebra und zur li-
nearen Optimierung, Teubner Verlag Stuttgart Leipzig. (MINÖL-Reihe, Grund-
lage für die Übungen!).
• Merziger/Wirth: Repetitorium der Höheren Mathematik. Binomi Verlag Springer
1999, ISBN 3-923 923-33-3 (reines Übungsbuch, riesige Menge von Beispielen und
Aufgaben mit Lösungen sowie jeweils schlagwortartig die zugrundeliegende Theorie.
Sehr empfehlenswert zum Üben).
• Furlan: Das gelbe Rechenbuch 1+2, Verlag Martina Furlan Dortmund, ISBN 3-
931645-00-2 (reines Rechenbuch, kompakte Theorie, Handlungsanweisungen, Re-
zepte).
• Gärtner/Bellmann/Lyska/Schmieder: Analysis in Fragen und Übungsaufgaben, Teub-
ner Verlag Stuttgart 1995, ISBN 3-8154-2088-1
• . . .
Nachschlagewerke:
• Hackbusch/Schwarz/Zeidler: Teubner-Taschenbuch der Mathematik, Teubner Verlag,
Wiesbaden.
• Rade/Westergren: Springers Mathematische Formeln, Springer Verlag Berlin 1996,
ISBN 3-540-60476-6 (paßt zum Buch von Vachenauer)
• Bronstein/Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harry Deutsch Frank-
furt.
• . . .
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1 Grundlagen
1.1 Logik, Mengen
1.1.1 Gebrauch logischer Symbole
Eine Aussage A ist ein sinnvolles sprachliches Gebilde, das die Eigenschaft hat, entweder
wahr oder falsch zu sein.
Negation: ¬A, Ā, „nicht A“; ist wahr genau dann, wenn A falsch ist.
Konjunktion: A∧B, „A und B“; ist wahr genau dann, wenn A und B beide wahr sind.
Disjunktion: A∨B, „A oder B“; ist wahr genau dann, wenn mindestens eine der beiden
Aussagen A, B wahr ist.
Implikation: A⇒ B, „aus A folgt B“, „A ist hinreichend für B“, „B ist notwendig für A“;
ist genau dann falsch, wenn A wahr und B falsch ist.
Äquivalenz: A⇔ B, „A ist äquivalent zu B“, „A ist hinreichend und notwendig für B“; ist
genau dann wahr, wenn A und B stets zugleich wahr bzw. falsch sind.
Existenz-Quantor: ∃x : P(x), „es existiert ein x mit der Eigenschaft P(x)“.
All-Quantor: ∀x : P(x), „für jedes x gilt P(x)“.
1.1.2 Mengen
Menge: Zusammenfassung gewisser, wohlunterscheidbarer Dinge zu einem neuen Ganzen;
die dabei zusammengefaßten Dinge heißen die Elemente der betroffenen Menge.
Ist a ein Element der Menge M so schreibt man a ∈ M; ist a nicht Element von M, so
schreibt man a 6∈M.
Mengengleichheit: Zwei Mengen M, N sind genau dann gleich, wenn sie die gleichen
Elemente besitzen:
M = N :⇔ (x ∈M ⇔ x ∈ N) .
Schreibweise:
z.B. {a,b,c} für die Menge mit den Elementen a, b, c
und {x : P(x)} für die Menge aller x mit der Eigenschaft P(x).
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1 Grundlagen
Teilmenge: M ⊆ N gilt, wenn jedes Element von M auch Element von N ist:
M ⊆ N :⇔ (x ∈M ⇒ x ∈ N) .
Leere Menge: /0 = {} ist die Menge, die kein Element hat.
Vereinigung: M∪N ist die Menge aller Elemente, die in M oder N liegen:
M∪N := {x : x ∈M∨ x ∈ N} .
Durchschnitt: M∩N ist die Menge aller Elemente, die in M und N zugleich liegen:
M∩N := {x : x ∈M∧ x ∈ N} .
Differenz: M \N ist die Menge aller Elemente, die in M aber nicht in N liegen:
M \N := {x : x ∈M∧ x 6∈ N} .
Komplement: Sei eine Grundmenge X gegeben und sei M ⊆ X . {X M = {M = M ist die
Menge aller Elemente von X , die nicht in M liegen:
{X M = X \M .
Kartesisches Produkt: M×N ist die Menge aller Paare aus M und N:
M×N := {(x,y) : x ∈M∧ y ∈ N} .
Potenzmenge: P(M), 2M ist die Menge aller Teilmengen von M:
2M := {N : N ⊆M} .
Beachte: /0 ∈ 2M, M ∈ 2M.
1.1.3 Zahlenmengen
* Die Menge der natürlichen Zahlen N = {0,1,2,3, . . .}.
* Die Menge der ganzen Zahlen Z = {. . . ,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . .}.
* Die Menge der rationalen Zahlen Q = { pq : p,q ∈ Z, q 6= 0}. Die rationalen Zahlen sind
durch endliche oder periodisch unendliche Dezimalbrüche darstellbar.
* Die Menge der reellen Zahlen R. Die reellen Zahlen sind durch Dezimalbrüche darstell-
bar. Die nicht rationalen reellen Zahlen R\Q heißen irrationale Zahlen.
* Die Menge der komplexen Zahlen C (werden später behandelt). Die komplexen Zahlen
sind durch Paare reeller Zahlen darstellbar.
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1.2 Reelle Zahlen
Es gilt N⊂ Z⊂Q⊂ R⊂ C .
Ist M ⊆ R, dann definieren wir
M>a := {x ∈M : x> a} , M≥a := {x ∈M : x≥ a} , . . . .
Intervalle:
[a,b] = {x ∈ R : a≤ x≤ b} abgeschlossenes Intervall,
]a,b[= (a,b) = {x ∈ R : a< x< b} offenes Intervall,
]a,b] = (a,b] = {x ∈ R : a< x≤ b} links halboffenes Intervall,
[a,b[= [a,b[= {x ∈ R : a≤ x< b} rechts halboffenes Intervall.
1.2 Reelle Zahlen
1.2.1 Eigenschaften
1.2.1.1 Algebraische Eigenschaften
Sei K∈ {Q,R}. Die Addition + und die Multiplikation · besitzen folgende Eigenschaften
(x,y,z ∈K):
x + y = y + x , x · y = y · x (Kommutativgesetze)
x +(y + z) = (x + y)+ z , x · (y · z) = (x · y) · z (Assoziativgesetze)
x · (y + z) = x · y + x · z (Distributivgesetz)
x + 0 = x (0 ist neutral bzgl. Addition)
x ·1 = x (1 ist neutral bzgl. Multiplikation)
∃=1− x ∈K (x +(−x) = 0) (additiv inverse Zahl)
∀x 6= 0∃=1x−1 ∈K (x · x−1 = 1) (multiplikativ inverse Zahl)
Subtraktion und Division sind über Addition bzw. Multiplikation definiert:
x− y := x +(−y) , x : y := x · y−1 .
1.2.1.2 Ordnungseigenschaften
In K ∈ {Q,R} gibt es eine Ordnungsrelation ≤ und eine Relation < definiert durch
x< y :⇔ x≤ y und x 6= y
mit folgenden Eigenschaften (für x,y,z ∈K):
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1 Grundlagen
x≤ x (Reflexivität)
(x≤ y∧ y≤ x) ⇒ x = y (Antisymmetrie)
(x≤ y∧ y≤ z) ⇒ x≤ z (Transitivität)
x≤ y∨ y≤ x (totale Ordnung)
x< y ⇒ ∃u ∈K(x < u< y) (Dichtheit)
x< y ⇔ x + z< y + z (Verträglichkeit mit Addition)
z> 0 ⇒ (x < y⇔ x · z< y · z) (Verträglichkeit mit Multiplikation)
Damit gilt die Trichotomie-Eigenschaft, daß für je zwei Zahlen x,y ∈ K genau eine der
drei Beziehungen
x < y , x = y , x > y .
Eine Zahl x ∈K heißt positiv, nichtnegativ, nichtpositiv bzw. negativ, wenn x> 0, x≥ 0,
x≤ 0 bzw. x < 0.
1.2.1.3 Vollständigkeitseigenschaft von R
Bisher haben wir die gemeinsamen Eigenschaften von Q und R aufgezählt.
Sei wieder K ∈ {Q,R}. Sei M ⊆ R. M heißt
* nach oben beschränkt, wenn ein S ∈ K existiert mit x ≤ S für alle M (S ist eine obere
Schranke von M, Beispiel: ]−∞,1[ mit oberen Schranken 1, 2);
* nach unten beschränkt, wenn ein s ∈ K existiert mit x ≥ s für alle x ∈ M (s ist eine
untere Schranke von M);
* beschränkt, wenn M nach unten und oben beschränkt ist.
Wenn es unter den oberen Schranken von M eine kleinste Zahl in K gibt, so heißt sie
kleinste obere Schranke oder Supremum von M in K und wird mit supM bezeichnet.
Analog ist die größte untere Schranke oder das Infimum infM von M in K definiert.
Im Gegensatz zu Q besitzt R folgende Vollständigkeitseigenschaft: Jede nach oben be-
schränkte Teilmenge M von R besitzt ein Supremum in R.
Sei M = {x ∈K : x≥ 0, x2 < 2} in K ∈ {Q,R}. Diese Menge besitzt kein Supremum in Q
aber in R, nä
