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Mathematik für Bauingenieure - TU koksch/lectures/Bauingenieure/BauIng-Ma1-1-script.pdf · PDF fileVektor- und Matrizenrechnung . Springer Verlag Berlin 1990, ISBN 3-540-51798-7

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  • Mathematik für Bauingenieure

    Doz.Dr.rer.nat.habil. Norbert Koksch

    12. Oktober 2004

  • Kontakt:

    • Willersbau C214, Telefon 34257

    • Homepage: http://www.math.tu-dresden.de/~koksch

    • e-mail: [email protected]

    Grundlagen:

    • Skripte „Mathematik für Bauingenieure“ für das Bauingenieurfernstudium an der TU Dresden, Teil 1 und Teil 2, Professor Schirotzek.

    • Vorlesung „Höhere Mathematik A“ von Prof.Dr.rer.nat.habil. Peter Beisel an der Ber- gischen Universität Gesamthochschule Wuppertal, Fachbereich Bauingenieurwesen - Lehrgebiet Mathematik.

    • Vorlesungen der Professoren Riedrich, Schirotzek, Weber, Voigt an der TU Dresden.

    Literatur:

    • Hofmann: Ingenieur-Mathematik für Studienanfänger: Formeln - Aufgaben -Lösungen, Teubner Verlag Stuttgart, Leipzig, Wiesbaden

    • Fischer/Schirotzek/Vetters: Lineare Algebra: Eine Einführung für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Teubner Verlag Stuttgart, Leipzig, Wiesbaden.

    • Meyberg/Vachenauer: Höhere Mathematik 1 - Differential und Integralrechnung, Vektor- und Matrizenrechnung. Springer Verlag Berlin 1990, ISBN 3-540-51798-7 (Standard-Begleitliteratur, Aufgabenteil ohne Lösungen).

    • Burg/Haf/Wille: Höhere Mathematik für Ingenieure, Bände 1+2. Teubner Verlag Stuttgart 1992, ISBN3-519-22955-2 (viele Beweise, weitergehende Informationen, viele Beispiele).

    • Riedrich/Vetters: Grundkurs Mathematik für Bauingenieure. Teubner Studienbücher Bauwesen 1999, ISBN 3-519-00217-5 (Aus Lehrveranstaltungen an der TU Dresden entstanden).

    • von Finckenstein/Lehn/Schellhaas/Wegmann: Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieu- re, Band 1, Teubner Verlag Stuttgart 2000, ISBN 3-519-02966-9

    • von Finckenstein/Lehn/Schellhaas/Wegmann: Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieu- re, Band 2, Teubner Verlag Stuttgart 2002, ISBN 3-519-02972-3

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  • • Brauch/Dreyer/Haacke: Mathematik für Ingenieure, Teubner Verlag Stuttgart 1995, ISBN 3-519-46500-0

    • . . .

    Übungsbücher:

    • Wenzel/Heinrich: Übungsaufgaben zur Analysis Ü1, Teubner Verlag Stuttgart Leipzig 1997, ISBN 3-8154-2099-7 (MINÖL-Reihe, Grundlage für die Übun- gen!).

    • Pforr/Oehlschlaegel/Seltmann: Übungsaufgaben zur linearen Algebra und zur li- nearen Optimierung, Teubner Verlag Stuttgart Leipzig. (MINÖL-Reihe, Grund- lage für die Übungen!).

    • Merziger/Wirth: Repetitorium der Höheren Mathematik. Binomi Verlag Springer 1999, ISBN 3-923 923-33-3 (reines Übungsbuch, riesige Menge von Beispielen und Aufgaben mit Lösungen sowie jeweils schlagwortartig die zugrundeliegende Theorie. Sehr empfehlenswert zum Üben).

    • Furlan: Das gelbe Rechenbuch 1+2, Verlag Martina Furlan Dortmund, ISBN 3- 931645-00-2 (reines Rechenbuch, kompakte Theorie, Handlungsanweisungen, Re- zepte).

    • Gärtner/Bellmann/Lyska/Schmieder: Analysis in Fragen und Übungsaufgaben, Teub- ner Verlag Stuttgart 1995, ISBN 3-8154-2088-1

    • . . .

    Nachschlagewerke:

    • Hackbusch/Schwarz/Zeidler: Teubner-Taschenbuch der Mathematik, Teubner Verlag, Wiesbaden.

    • Rade/Westergren: Springers Mathematische Formeln, Springer Verlag Berlin 1996, ISBN 3-540-60476-6 (paßt zum Buch von Vachenauer)

    • Bronstein/Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harry Deutsch Frank- furt.

    • . . .

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  • 1 Grundlagen

    1.1 Logik, Mengen

    1.1.1 Gebrauch logischer Symbole

    Eine Aussage A ist ein sinnvolles sprachliches Gebilde, das die Eigenschaft hat, entweder wahr oder falsch zu sein.

    Negation: ¬A, Ā, „nicht A“; ist wahr genau dann, wenn A falsch ist. Konjunktion: A∧B, „A und B“; ist wahr genau dann, wenn A und B beide wahr sind. Disjunktion: A∨B, „A oder B“; ist wahr genau dann, wenn mindestens eine der beiden Aussagen A, B wahr ist.

    Implikation: A⇒ B, „aus A folgt B“, „A ist hinreichend für B“, „B ist notwendig für A“; ist genau dann falsch, wenn A wahr und B falsch ist.

    Äquivalenz: A⇔ B, „A ist äquivalent zu B“, „A ist hinreichend und notwendig für B“; ist genau dann wahr, wenn A und B stets zugleich wahr bzw. falsch sind.

    Existenz-Quantor: ∃x : P(x), „es existiert ein x mit der Eigenschaft P(x)“. All-Quantor: ∀x : P(x), „für jedes x gilt P(x)“.

    1.1.2 Mengen

    Menge: Zusammenfassung gewisser, wohlunterscheidbarer Dinge zu einem neuen Ganzen; die dabei zusammengefaßten Dinge heißen die Elemente der betroffenen Menge.

    Ist a ein Element der Menge M so schreibt man a ∈ M; ist a nicht Element von M, so schreibt man a 6∈M. Mengengleichheit: Zwei Mengen M, N sind genau dann gleich, wenn sie die gleichen Elemente besitzen:

    M = N :⇔ (x ∈M ⇔ x ∈ N) . Schreibweise: z.B. {a,b,c} für die Menge mit den Elementen a, b, c und {x : P(x)} für die Menge aller x mit der Eigenschaft P(x).

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  • 1 Grundlagen

    Teilmenge: M ⊆ N gilt, wenn jedes Element von M auch Element von N ist:

    M ⊆ N :⇔ (x ∈M ⇒ x ∈ N) .

    Leere Menge: /0 = {} ist die Menge, die kein Element hat. Vereinigung: M∪N ist die Menge aller Elemente, die in M oder N liegen:

    M∪N := {x : x ∈M∨ x ∈ N} .

    Durchschnitt: M∩N ist die Menge aller Elemente, die in M und N zugleich liegen:

    M∩N := {x : x ∈M∧ x ∈ N} .

    Differenz: M \N ist die Menge aller Elemente, die in M aber nicht in N liegen:

    M \N := {x : x ∈M∧ x 6∈ N} .

    Komplement: Sei eine Grundmenge X gegeben und sei M ⊆ X . {X M = {M = M ist die Menge aller Elemente von X , die nicht in M liegen:

    {X M = X \M .

    Kartesisches Produkt: M×N ist die Menge aller Paare aus M und N:

    M×N := {(x,y) : x ∈M∧ y ∈ N} .

    Potenzmenge: P(M), 2M ist die Menge aller Teilmengen von M:

    2M := {N : N ⊆M} .

    Beachte: /0 ∈ 2M, M ∈ 2M.

    1.1.3 Zahlenmengen

    * Die Menge der natürlichen Zahlen N = {0,1,2,3, . . .}. * Die Menge der ganzen Zahlen Z = {. . . ,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . .}. * Die Menge der rationalen Zahlen Q = { pq : p,q ∈ Z, q 6= 0}. Die rationalen Zahlen sind durch endliche oder periodisch unendliche Dezimalbrüche darstellbar.

    * Die Menge der reellen Zahlen R. Die reellen Zahlen sind durch Dezimalbrüche darstell- bar. Die nicht rationalen reellen Zahlen R\Q heißen irrationale Zahlen. * Die Menge der komplexen Zahlen C (werden später behandelt). Die komplexen Zahlen sind durch Paare reeller Zahlen darstellbar.

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  • 1.2 Reelle Zahlen

    Es gilt N⊂ Z⊂Q⊂ R⊂ C . Ist M ⊆ R, dann definieren wir

    M>a := {x ∈M : x> a} , M≥a := {x ∈M : x≥ a} , . . . .

    Intervalle:

    [a,b] = {x ∈ R : a≤ x≤ b} abgeschlossenes Intervall, ]a,b[= (a,b) = {x ∈ R : a< x< b} offenes Intervall, ]a,b] = (a,b] = {x ∈ R : a< x≤ b} links halboffenes Intervall, [a,b[= [a,b[= {x ∈ R : a≤ x< b} rechts halboffenes Intervall.

    1.2 Reelle Zahlen

    1.2.1 Eigenschaften

    1.2.1.1 Algebraische Eigenschaften

    Sei K∈ {Q,R}. Die Addition + und die Multiplikation · besitzen folgende Eigenschaften (x,y,z ∈K):

    x + y = y + x , x · y = y · x (Kommutativgesetze) x +(y + z) = (x + y)+ z , x · (y · z) = (x · y) · z (Assoziativgesetze) x · (y + z) = x · y + x · z (Distributivgesetz) x + 0 = x (0 ist neutral bzgl. Addition) x ·1 = x (1 ist neutral bzgl. Multiplikation) ∃=1− x ∈K (x +(−x) = 0) (additiv inverse Zahl) ∀x 6= 0∃=1x−1 ∈K (x · x−1 = 1) (multiplikativ inverse Zahl)

    Subtraktion und Division sind über Addition bzw. Multiplikation definiert:

    x− y := x +(−y) , x : y := x · y−1 .

    1.2.1.2 Ordnungseigenschaften

    In K ∈ {Q,R} gibt es eine Ordnungsrelation ≤ und eine Relation < definiert durch

    x< y :⇔ x≤ y und x 6= y

    mit folgenden Eigenschaften (für x,y,z ∈K):

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  • 1 Grundlagen

    x≤ x (Reflexivität) (x≤ y∧ y≤ x) ⇒ x = y (Antisymmetrie) (x≤ y∧ y≤ z) ⇒ x≤ z (Transitivität) x≤ y∨ y≤ x (totale Ordnung) x< y ⇒ ∃u ∈K(x < u< y) (Dichtheit) x< y ⇔ x + z< y + z (Verträglichkeit mit Addition) z> 0 ⇒ (x < y⇔ x · z< y · z) (Verträglichkeit mit Multiplikation)

    Damit gilt die Trichotomie-Eigenschaft, daß für je zwei Zahlen x,y ∈ K genau eine der drei Beziehungen

    x < y , x = y , x > y .

    Eine Zahl x ∈K heißt positiv, nichtnegativ, nichtpositiv bzw. negativ, wenn x> 0, x≥ 0, x≤ 0 bzw. x < 0.

    1.2.1.3 Vollständigkeitseigenschaft von R

    Bisher haben wir die gemeinsamen Eigenschaften von Q und R aufgezählt.

    Sei wieder K ∈ {Q,R}. Sei M ⊆ R. M heißt

    * nach oben beschränkt, wenn ein S ∈ K existiert mit x ≤ S für alle M (S ist eine obere Schranke von M, Beispiel: ]−∞,1[ mit oberen Schranken 1, 2);

    * nach unten beschränkt, wenn ein s ∈ K existiert mit x ≥ s für alle x ∈ M (s ist eine untere Schranke von M);

    * beschränkt, wenn M nach unten und oben beschränkt ist.

    Wenn es unter den oberen Schranken von M eine kleinste Zahl in K gibt, so heißt sie kleinste obere Schranke oder Supremum von M in K und wird mit supM bezeichnet.

    Analog ist die größte untere Schranke oder das Infimum infM von M in K definiert.

    Im Gegensatz zu Q besitzt R folgende Vollständigkeitseigenschaft: Jede nach oben be- schränkte Teilmenge M von R besitzt ein Supremum in R.

    Sei M = {x ∈K : x≥ 0, x2 < 2} in K ∈ {Q,R}. Diese Menge besitzt kein Supremum in Q aber in R, nä

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