Mathematik fur Maschinenbauer,¨ Bauingenieure und ... Mathematik fur Maschinenbauer,¨ Bauingenieure

  • View
    220

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Mathematik fur Maschinenbauer,¨ Bauingenieure und ... Mathematik fur Maschinenbauer,¨...

  • Mathematik für Maschinenbauer,

    Bauingenieure und

    Umwelttechniker

    Vorlesungsskriptum WS 2001/02 - WS 2002/03

    überarbeitet November 2006

    R. Verfürth

    Fakultät für Mathematik, Ruhr-Universität Bochum

  • Inhaltsverzeichnis

    Vorbemerkung 13

    Kapitel I. Zahlen und Vektoren 15 I.1. Mengen und Abbildungen 15 I.1.1. Mengen 15 I.1.2. Mengenoperationen 15 I.1.3. Abbildungen 16 I.2. Die reellen Zahlen 17 I.2.1. Bezeichnungen 17 I.2.2. Ungleichungen 17 I.2.3. Intervalle 19 I.2.4. Schranken 19 I.2.5. Der Betrag 20 I.2.6. Vollständige Induktion 20 I.2.7. Rekursive Definition 22 I.2.8. Binomialkoeffizienten und Binomische Formel 23 I.3. Die Ebene 24 I.3.1. Kartesische Koordinatensysteme 24 I.3.2. Winkel 25 I.3.3. Sinus, Cosinus 25 I.3.4. Drehungen 26 I.4. Vektoren 28 I.4.1. Vektoren 28 I.4.2. Addition von Vektoren 28 I.4.3. Skalare Vielfache von Vektoren 29 I.4.4. Der Betrag 29 I.4.5. Der Winkel zwischen zwei Vektoren 29 I.4.6. Das Skalarprodukt 30 I.4.7. Das Vektorprodukt 31 I.4.8. Das Spatprodukt 32 I.4.9. Koordinatendarstellungen 33 I.5. Geraden und Ebenen 37 I.5.1. Die Parameterdarstellung einer Geraden 37 I.5.2. Die Koordinatengleichungen einer Geraden 38 I.5.3. Die Momentengleichung einer Geraden 38 I.5.4. Abstand Punkt - Gerade 39 I.5.5. Abstand Gerade - Gerade 40

    3

  • 4 INHALTSVERZEICHNIS

    I.5.6. Die Parameterdarstellung einer Ebene 41 I.5.7. Parameterfreie Darstellungen einer Ebene 41 I.5.8. Die Schnittgerade zweier Ebenen 43 I.5.9. Die Winkel zwischen zwei Ebenen und zwischen einer

    Ebene und einer Geraden 44 I.6. Die komplexen Zahlen 45 I.6.1. Motivation 45 I.6.2. Definition 45 I.6.3. Betrag und Konjugation 45 I.6.4. Addition und Subtraktion 46 I.6.5. Multiplikation und Division 47 I.6.6. Wurzeln komplexer Zahlen 49

    Kapitel II. Lineare Algebra 53 II.1. Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 53 II.1.1. Matrizen 53 II.1.2. Rechenregeln 54 II.1.3. Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 56 II.1.4. Das Gaußsche Eliminationsverfahren 57 II.2. Die Matrixmultiplikation 63 II.2.1. Das Matrixprodukt 63 II.2.2. Die transponierte Matrix 65 II.2.3. Invertierbare Matrizen 66 II.2.4. Das Gaußsche Eliminationsverfahren zur Berechnung

    der inversen Matrix 66 II.2.5. Die LR-Zerlegung 68 II.3. Determinanten 72 II.3.1. Determinanten von 2× 2 und 3× 3 Matrizen 72 II.3.2. Die Determinante einer n× n Matrix 74 II.3.3. Rechenregeln für Determinanten 75 II.3.4. Die Cramersche Regel 76 II.3.5. Kegelschnitte 77 II.4. Eigenwerte und Eigenvektoren 78 II.4.1. Definition 78 II.4.2. Das charakteristische Polynom 79 II.4.3. Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren 80 II.4.4. Numerische Berechnung der Eigenwerte und

    Eigenvektoren∗ 82 II.4.5. Rechenregeln 87 II.4.6. Ähnliche Matrizen 88 II.4.7. Orthogonale Matrizen 89 II.4.8. Symmetrische Matrizen 91 II.4.9. Die Schursche Normalform 92 II.4.10. Hauptvektoren 93 II.5. Quadratische Formen 96

  • INHALTSVERZEICHNIS 5

    II.5.1. Definition 96 II.5.2. Reduktion auf Normalform 98 II.5.3. Normalformen der ebenen Quadriken 99 II.5.4. Normalformen der räumlichen Quadriken 100 II.5.5. Positiv definite Matrizen 101 II.6. Vektorräume und lineare Abbildungen 102 II.6.1. Vektorräume 102 II.6.2. Unterräume 103 II.6.3. Linearkombination und lineare Hülle 103 II.6.4. Lineare Abhängigkeit 104 II.6.5. Basis und Dimension 105 II.6.6. Skalarprodukte 107 II.6.7. Normen 108 II.6.8. Orthogonalität 109 II.6.9. Lineare Abbildungen 111 II.6.10. Matrixdarstellung 111 II.6.11. Komposition linearer Abbildungen 112 II.6.12. Basiswechsel 112

    Kapitel III. Stetigkeit 115 III.1. Folgen 115 III.1.1. Definition 115 III.1.2. Rechenregeln 115 III.1.3. Beschränktheit 115 III.1.4. Monotonie 116 III.1.5. Teilfolgen 116 III.2. Grenzwerte von Folgen 116 III.2.1. Definition 116 III.2.2. Rechenregeln 117 III.2.3. Konvergenzkriterien 118 III.2.4. Die Exponentialfunktion 121 III.2.5. Uneigentliche Grenzwerte 122 III.3. Stetigkeit 123 III.3.1. Definition 123 III.3.2. Rechenregeln 123 III.3.3. Eigenschaften stetiger Funktionen 124 III.3.4. Einseitige Grenzwerte 125 III.3.5. Polynome 126 III.3.6. Rationale Funktionen 128 III.3.7. Trigonometrische Funktionen 129 III.3.8. Exponential- und Logarithmusfunktion 130

    Kapitel IV. Differentiation 133 IV.1. Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion 133 IV.1.1. Definition der Ableitung 133 IV.1.2. Deutungen der Ableitung 134

  • 6 INHALTSVERZEICHNIS

    IV.1.3. Stetigkeit ist notwendig für Differenzierbarkeit 135 IV.1.4. Differentiationsregeln 136 IV.1.5. Differentiation von Polynomen und rationalen

    Funktionen 136 IV.1.6. Differentiation der trigonometrischen Funktionen 137 IV.1.7. Kettenregel 137 IV.1.8. Höhere Ableitungen 139 IV.2. Anwendungen der Differentiation 140 IV.2.1. Maxima und Minima einer Funktion 140 IV.2.2. Der Mittelwertsatz 142 IV.2.3. Wendepunkte 144 IV.2.4. Die Regeln von de l’Hôpital 146 IV.2.5. Die Fixpunktiteration 148 IV.2.6. Das Newtonverfahren 150 IV.3. Umkehrfunktionen 154 IV.3.1. Grundlagen 154 IV.3.2. n-te Wurzel, rationale Exponenten 156 IV.3.3. DieUmkehrfunktionendertrigonometrischenFunktionen158 IV.4. Die Exponential- und Logarithmusfunktion 161 IV.4.1. Die Exponentialfunktion 161 IV.4.2. Die Logarithmusfunktion 164 IV.4.3. Exponential- und Logarithmusfunktionen zu beliebigen

    Basen 165 IV.4.4. Die Hyperbelfunktionen 167

    Kapitel V. Integration 169 V.1. Das bestimmte Integral 169 V.1.1. Definition 169 V.1.2. Elementare Integrationsregeln 170 V.1.3. Differentiation und Integration 171 V.2. Integrationsregeln 174 V.2.1. Linearität 174 V.2.2. Partielle Integration 175 V.2.3. Substitutionsregel 178 V.2.4. Symmetrien 182 V.3. Integration rationaler Funktionen 183 V.3.1. Partialbruchzerlegung 183 V.3.2. Integration 187 V.3.3. Verallgemeinerte rationale Funktionen 189 V.4. Uneigentliche Integrale 193 V.4.1. Definition 193 V.4.2. Ein Konvergenzkriterium 195 V.4.3. Die Eulersche Gammafunktion 196 V.5. Ebene Kurven; Längen- und Flächenmessung 197 V.5.1. Parameterdarstellung 197

  • INHALTSVERZEICHNIS 7

    V.5.2. Tangente und Normale 199 V.5.3. Bogenlänge 200 V.5.4. Krümmung und Krümmungskreis 202 V.5.5. Polardarstellung einer ebenen Kurve 204 V.5.6. Flächeninhalte 206 V.5.7. Volumina von Rotationskörpern 208 V.5.8. Mantelflächen von Rotationskörpern 209 V.6. Numerische Integration∗ 209 V.6.1. Quadraturformeln∗ 209 V.6.2. Zusammengesetzte Quadraturformeln∗ 211 V.6.3. Romberg Verfahren∗ 213

    Kapitel VI. Gewöhnliche Differentialgleichungen I Skalare Gleichungen 217

    VI.1. Einführung 217 VI.1.1. Beispiele 217 VI.1.2. Grundbegriffe 218 VI.1.3. Geometrische Deutung 219 VI.1.4. Eindeutigkeitsfragen 220 VI.2. Differentialgleichungen 1. Ordnung 221 VI.2.1. Trennung der Variablen 221 VI.2.2. Variation der Konstanten 225 VI.2.3. Homogene Differentialgleichungen 229 VI.2.4. Bernoulli-Differentialgleichung 231 VI.2.5. Ricatti-Differentialgleichung 232 VI.3. Differentialgleichungen 2. Ordnung 233 VI.3.1. Lineare Differentialgleichungen mit konstanten

    Koeffizienten 233 VI.3.2. Die homogene Gleichung 233 VI.3.3. Die inhomogene Gleichung 236 VI.3.4. Differentialgleichungen vom Typ y′′ = f(x, y′) 241 VI.3.5. Differentialgleichungen vom Typ y′′ = f(y, y′) 242 VI.4. Numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen∗243 VI.4.1. Motivation∗ 243 VI.4.2. Einschrittverfahren∗ 246 VI.4.3. Runge-Kutta Verfahren∗ 248 VI.4.4. Stabilität∗ 251

    Kapitel VII. Potenzreihen 255 VII.1. Reihen 255 VII.1.1. Definition 255 VII.1.2. Absolute Konvergenz 256 VII.1.3. Konvergenzkriterien 256 VII.1.4. Rechenregeln 259 VII.2. Potenzreihen 260 VII.2.1. Definition 260

  • 8 INHALTSVERZEICHNIS

    VII.2.2. Konvergenzradius 260 VII.2.3. Bestimmung des Konvergenzradius 261 VII.2.4. Differentiation und Integration von Potenzreihen 262 VII.2.5. Potenzreihendarstellung einiger Funktionen 263 VII.2.6. Die Binomialreihe 264 VII.2.7. Potenzreihen mit beliebigem Entwicklungspunkt 265 VII.2.8. Koeffizientenvergleich 266 VII.3. Taylorreihen 267 VII.3.1. Die Taylor-Formel 267 VII.3.2. Die Taylor-Reihe 269 VII.3.3. Methoden der Potenzreihenentwicklung 270 VII.4. Anwendungen 271 VII.4.1. Grenzwertbestimmung 271 VII.4.2. Näherungsformeln 272 VII.4.3. Integration 273 VII.4.4. Lösen von Differentialgleichungen 273

    Kapitel VIII. Differentiation von Funktionen in mehreren Variablen 277

    VIII.1. Kurven im Rn 277 VIII.1.1. Parameterdarstellungen 277 VIII.1.2. Das begleitende Dreibein, Krümmung und Torsion 279 VIII.2. Reellwertige Funktionen mehrerer reeller Veränderlicher283 VIII.2.1. Einige topologische Grundbegriffe 283 VIII.2.2. Reelle Funktionen mehrerer reeller Veränderlicher 284 VIII.2.3. Grenzwerte und Stetigkeit 285 VIII.2.4. Partielle Ableitungen, der Gradient 286 VIII.2.5. Die totale Ableitung und lineare Approximation 289 VIII.2.6. Einfache Anwendungen 290 VIII.2.7. Die Richtungsableitung 292 VIII.2.8. Die Kettenregel 293 VIII.3. Anwendungen der Differentiation 295 VIII.3.1. Richtung des stärksten Anstieges 295 VIII.3.2. Tangenten und Tangentialebene 295 VIII.3.3. Die Taylor-Formel 297 VIII.3.4. Die Hesse-Matrix 299 VIII.3.5. Implizite Funktionen 301 VIII.3.6. Lokale Extrema 305 VIII.3.7. Extrema unter Nebenbedingungen 307 VIII.3.8. Extrema auf kompakten Mengen 312 VIII.4. Vektorwertige Funktionen 314 VIII.4.1. Die Differentiation 314 VIII.4.2. Das Newtonverfahren 316 VIII.4.3. Die Kettenregel 318 VIII.4.4. Räumliche Skalaren- und Vektorfelder 319

  • INHALTSVERZEICHNIS 9

    VIII.4.5. Gradient, Divergenz, Rotation und Laplace Operator 321

    Kapitel IX. Integration von Funktionen in mehreren Variablen 325 IX.1. Parameterintegrale 325 IX