Mathematische Abstraktion Daniel Wickert Proseminar Logik / WS 2003

Mathematische Abstraktion

Daniel WickertProseminar Logik / WS 2003

Gliederung

I. Geometrie und Axiome

II. Der Zahlenbegriff

III. Boole und die Algebra der Logik

IV. Spätere Entwicklungen

Mathematische Abstraktion Daniel Wickert

Geometrie - Elemente I II III IV


Euklids Elemente

•Zusammenfassung geometrischer Erkenntnisse seiner Zeit.•Erkenntnisse abgeleitet von wenigen Grundsätzen und Postulaten (Axiome).

Geometrie - Axiome I II III IV


Axiome der Euklidischen Geometrie

1. Man kann eine gerade Strecke von einem Punkt zu einem anderen Punkt ziehen.

2. Man kann eine Strecke kontinuierlich zu einem Strahl verlängern.

3. Um jeden Punkt kann man einen Kreis mit beliebigem Radius schlagen.

4. Alle rechten Winkel sind einander gleich.



Parallelenaxiom

5. Wenn eine Strecke zwei andere Strecken derart schneidet, so dass die beiden inneren Schnittwinkel auf der einen Seite zusammen kleiner als zwei rechte Winkel sind, dann schneiden sich die beiden Strecken, wenn sie weit genug verlängert werden, auf der Seite, auf der die Schnittwinkel zusammen kleiner als zwei rechte Winkel sind.



Parallelenaxiom II

• Weitgehend abgelehnt

• Versuche der Herleitung aus anderen Axiomen

• Versuche des indirekten Beweises

• Saccheri(1733): Vorform der nicht-euklidischen Geometrie

Geometrie – nicht-euklidische I II III IV


Nicht-euklidische Geometrie

• Gauß, Riemann: Geometrie ohne Parallelenaxiom möglich

• Hilbert: nicht-euklidische Geometrie widerspruchsfrei, falls euklidische Geometrie widerspruchsfrei

• Abbildung der geometrischen Elemente aufeinander

Geometrie – Fazit I II III IV


Fazit

• Abkopplung von räumlicher Vorstellung

• Axiome funktionieren auch ohne Punkt, Linien und Ebenen.

• Weitere Entwicklungen:

– Analytische Geometrie

– Topologie

– Gruppentheorie

Zahlen – Griechen I II III IV


Der Zahlenbegriff

• Griechen: Viel Geometrie, wenig Algebra und Analysis

• Geometrie weniger Abstrakt

• Unscharfer Zahlenbegriff

• Pythagoräer hatten Probleme mit Inkommensurabilität

Zahlen – Entwicklung I II III IV


Entwicklung des Zahlenbegriffs

• Zweck: Konkrete Objekte quantifizieren

• Zuerst Adjektive: „eins“, „zwei“, „drei“ ohne echte Adjektive zu sein.

• Später auch Namen, also Substantive



Entwicklung des Zahlenbegriffs II

• Erweiterung durch Probleme der Arithmetik

• x + 3 = 2 Negative Zahlen

• 2x - 3 = 0 Brüche

• x² - 2 = 0 Irrationale Zahlen

• x² + 1 = 0 Imaginäre Zahlen



Entwicklung des Zahlenbegriffs III

• Loslösung des Zahlenbegriffs vom ursprünglichen Zweck

• Zahlen sind Entitäten in einem Kalkül mit

– Addition und Multiplikation

– Kommutativität

– Assoziativität

– Distributivität

Boole – Kurzbiographie I II III IV


George Boole (1815-1864)

• Sohn eines wissenschaftsbegeisterten Schusters

• Erste Interessen: Optik und Latein später Mathematik

• Erste Veröffentlichung mit 12 Jahren: Übersetzung einer Ode von Horace

• Mit 16 Aushilfslehrer, mit 20 eigene Schule

• 1849 Lehrstuhl am Queens College in Cork (Irland) ohne Akademischen Grad

• Wichtigste Arbeiten:

– Mathematical Analysis of Logic

– Investigation of the Laws of Thought

Boole – Grundüberlegungen I II III IV


Grundüberlegungen

• Gültigkeit der Symbolischen Algebra unabhängig von Interpretation der Symbole

• Gesetze zur Kombination von Symbolen eines wahren Kalküls sind bekannt und allgemeingültig.

• Sein Kalkül der Logik erfüllt diese Bedingungen

Boole – Logik der Klassen I II III IV


Logik der Klassen

• x, y sind Klassen, x = y Klassen haben gleiche Mitglieder

• xy neue Klasse deren Mitglieder sowohl in x als auch in y sind.

• Universalklasse „1“ hat alle betrachteten Elemente als Mitglieder

• Nullklasse „0“ hat kein Element als Mitglied



Logik der Klassen II

• 1x = x und 0x = 0 aber xx = x

• Kein Division-Äquivalent, denn es gilt nicht xz = yz x = y

• Vorschlag: Abstraktion als Division x/y = z

Klasse der Menschen

Klasse der Vernunftbegabten = Klasse der Tiere



Logik der Klassen III

• x + y : entweder x oder y

• Sehr ungünstig da viele praktische Regeln so nicht verwendbar

• (1 - x) : Komplement

• x(1 - x) = 0


Logik der Klassen - Syllogismen

A, E, I und O beschreibbar

Jedes X ist Y x(1 – y) = 0

Kein X ist Y xy = 0

Einige X sind Y xy ≠ 0, bzw. xy = v

Einige X sind nicht Yx(1 – y) ≠ 0, bzw. x(1- y) = v




Logik der Klassen - Gesetze

(1) xy = yx (5) x = y xz = yz

(2) x + y = y + x (6) x = y x + z = y + z

(3) x(y + z) = xy + xz (7) x = y x - z = y – z

(4) x(y - z) = xy – xz (8) x(1 - x) = 0



Logik der Klassen – Gesetze II

• Regeln (1) – (7) entsprechen Algebra mit Zahlen

• Regel (8): x(1 - x) = 0 nicht.

• Hinzunahmen von

(9) Entweder x = 1 oder x = 0

• Booles Konvention

x = 1 Prämisse X ist wahr

x = 0 Prämisse X ist falsch



Logik der Klassen - Entwicklung

• f(x) Abkürzung für Booleschen Ausdruck abhängig von x f(x) = ax + b(1 - x)

• f(1) = a, f(0) = b

• f(x) = f(1)x + f(0)(1 - x)

• Entwicklung von f(x) bezüglich x

• Ergibt Disjunktive Normalform



Logik der Klassen - Techniken

• Reduktion mehrerer Gleichungen zu einer

• Lösung einer Gleichung (Umstellung nach einer Variablen)

• Eliminierung einer Variablen

Werkzeuge für algebraische Repräsentation syllogistischer Schlüsse.

h(1-a) = 0, a(1-m) = 0 h(1-m) = 0

Boole – Fazit I II III IV


Logik der Klassen - Fazit

• Wichtigste Neuerungen:

– Kalkül für Wahrheitsfunktionen

– Disjunktive Normalformen

• Grundlagen späterer Entwicklungen

• Durch einige Annahmen sich selbst Steine in den Weg gelegt

Spätere Entwicklungen I II III IV


Spätere Entwicklungen

• Venn-Diagramme

• J.Venn Bewunderer

Booles

h a

m

*

Spätere Entwicklungen I II III IV


Spätere Entwicklungen II

• Inklusivität von + für DeMorgan-Regel

• DeMorgan, Pierce, Schröder:

Theorie der Relationen

– Einführung von ∑ (einige) und ∏ (alle)

– Vorstufe zur Prädikatenlogik


Fazit

• Axiomatisierung führte zu Abstraktion

• Algebra der Logik Ergebnis der Abstraktion des Zahlenbegriff

• Logikbegriff von Philosophie getrennt, neue Erkenntnisse kamen von Mathematikern


Quellen

•Kneele•http://de.wikipedia.org/wiki/Euklidische_Geometrie•The Calculus of Logic

Cambridge and Dublin Mathematical Journal Vol. III (1848), pp. 183-98 •http://homepages.enterprise.net/rogerp/george/boole.html

http://de.wikipedia.org/wiki/Euklidische_Geometrie

http://homepages.enterprise.net/rogerp/george/boole.html

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