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Eine o r t h o g on a 1 e Transformation lakt alle Vektoren der Lange nach invariant.

Baud 11, Heft 6 Dezeinber 1931 Vortrbge d.er Hauptversaminlung in Bad EIster

Fur sie ist kennzeichnend

. . . . . . . . . . . . . . . . . . I g = 9 2

A = @ Aus (19,) folgt u. a., dak eine orthogonale Transformation als reelle Eigenwerte nur f 1

Die C a y 1 e y sche Darstellung einer orthogonalen Matrix ergibt sich aus der geometrischen liaben kann.

Tatsache, dak die Diagonalen im Rhombus aufeinander senkrecht stehen. Aus (19,) folgt

g z - i f = (g - 9) (g + 9) =o . . . . . . . . . . . . . . (20). Wenn also die n-Vektoren a i - bi oder ai + bi linear unabhangig sind, so ist die

Transformation, die den Vektoren der einen Schar die der andern zuordnet, schiefsymmetrisch. Der Fall, in dem beide Scharen einen Rang < m haben und der der algebraischen Behand- lung grobe Schwierigkeiten machte, ist geometriscli naturlich auch leicht zu ubersehen.

Es sei zum Schluk noch darauf hingewiesen, da6 bei Wahl einer orthogonalen Basis (J = 3) (E Einheitsmatrix) stets gilt A = B. Insbesondere folgt Iiir eine orthogonale Trans- formation aus (15)

A A'= E = B R' . . . . . . . . . . . . . . . . . (211, d. h. bei orthogonaler Basis ist die A- und B-Matrix einer orthogonalen Transformation im gewohnlichen Sinn orthogonal.

Es wurde in dem Vortrage zum SchluG auf einige AnGendungen verwiesen. Sei ein Vektorfeld gegeben, u, . . u, seien beliebige in der Umgebung eines Punktes eindeutig und stetig differenzierbare Koordinaten. Jedem Punkt a (u, . . u,,J sei ein Vektor b (ul . . t 4 J zugeordnet.

5. Anwendungen.

Die Differentiale

bestinlnien eine infinitesimale lineare Transformation. Die gem&& (1 1) und (12) ihr zugeordneten Invariant,en sind koordinatenunabhangige geometrische GriShen des Vektorfeldes ; insbesondere wird in der Vektoranalysis des dreidimensionalen Raumes als Divergenz, [D] bzw. seine Erganzung als Rotation bezeichnet. Diese koordinatenunabhangige Darstellung der Vektor- funktionen gibt auch den leichtesten Zugang zum Verstiindnis und Beweis der verallgemeinerten Satze von G a u S und S t o k e s .

6. Flachentheorie. Man ordne jedem Punktvektor a der (n - 1) dimensionalen Flache den Normalenvektor n, jedem Punkt der nicht auf der Flache liegt, den Vektor ,,Null" zu. d a und d n ergeben, in beliebigen Koordinaten, eine infinitesimale ausgeartete lineare Trans- formation, die, wie man leicht zeigt, symmetrisch ist. Die skalaren evtl. von Null verschiedenen Invarianten sind, in beliebigen Koordinaten, die synimetrischen Funktionen der Haupt. krummungen. 231, 13

13. Mathematische Untersuchungen uber die Verteilung der Strome und Verluste in der gegenseitigen Blechisolation von Transformatoren.

Von G. Steim.

Die Eisenverluste sind mitbestimmend fur die Betriebskosten und den Anschaffungspreis eines Transformators. Sie setzen sich aus Hysterese- und Wirbelstromverlusten zusammen. Der Transformatorkern besteht zur Verineidung hoher Wirbelstromverluste aus dunnen gegen- einander elektrisch isolierten Blechen. Die Abhangigkeit jener Verluste von der Isolation sol1 hier untersuclit werden.

Der Kernquerschnitt besitzt eine aus Rechtecken zusamniengesetzte Form. In ein solches aus sehr vielen Blechen bestehendes Rechteck von der Breite 6 und der Hohe h sind bei der schematischen Darstellung (Abb. 1) nur wenige eingezeichnet. Sie werden gleichma6ig vom magnetischen Wechselfluh durchsetzt. Die Ruckwirkung der Wirbelstromverteilung auf das

Zischr. f. angew. 434 Vortrage lder Hauptversammlung in Bald Elster Math. uud Mech.

Magnetfeld und sein Anteil in der Isolationsschiclit sind vernachlassigt. p und bezeichnen die spezifischen Widerstande des Eisens und der Isolation, 6 und di die zugehorigen Schicht- starken. Fur pi +w existiert nach Abb. 1 in jedem Blech eine lineare Verteilung J,. Sie er- re& bei endlichem ei ein sich uberlagerndes zur Rechteckmitte symnietrisches Stromfeld, namlich in der Isolationsschicht i und im Eisen 3, so dab dort J = S + J , fliefit. Hierbei strome i in der F., 3 in der pRichtung eines in der Mitte des linken Blechrandes liegenden Koordinatensystems ,r, 9, da nur diese Komponenten u-egen der Ubergangsbedingungen am Eisenrande und wegen e < < pz einen nennenswerten Beitrag zu den Verlusten liefern konnen. Wegen 6; < < 6 ersetzen wir ,pi durch einen spezifischen fibergangswiderstand 1 von Blech zu Blech. Die Spannung i - 1 zwischen 2 benachbarten Blechrandern errechnet sich wegen der Wirbelfreiheit des elektrischen Feldes in der Isolation durch Integration uber 9 der zwischen jenen Randern auftretenden Feldstarken-Differenzen. Diese sind nach Abb. 1 gleicli der Abnahme von p J,, und der Zunahrne von p 3 in einem Blech und kiinnen wegen 6<<h und b nach einein

Grenzubergang gleich + e 6 geschrieben werden. Deshalb latit sieh

a (3 - Jd a E

- - b/K

Abb. 'L. Bereich der Fimktioii ?' ( 3 )

6- t__- ___ IRAe,r,azzJ

Abb. 1 . Schematische Darstellung des elektrischen Feldes i i i einem rechteckigen Paketquerschnitt

auf Abb. 1 im Eisen die sprungweise Anderung von J , formal durch einen stetigen Verlauf J;((E) ersetzen, dem ein Gesamtstrom J"=S - J," entspricht. In ahnlicher Weise bestimmt man wegen der Quellenfreiheit des gesaniten elektrischen Feldes 3 durch Integration uber 9 der sich von Blech zu Blech ergebenden Veranderungen von i. Physikalisch ersetzen wir hiermit das Blechpaket durch eirien hornogenen anisotropen Korper, welcher in der pRichtung

den sehr grofien spezifischen elektrischen Widerstand ~, in der pKichtung den sehr kleinen

spezifischen Widerstand e besitzt. In dem vereinfachten' Falle J = J , findet man einen oberen Wert in fur i, aus welchem sich unter der Annahme, daLi das ganze i,, in einem einzigen Bleche zuruckstrome, ein oberer Wert 3E fur 3 ergibt. Im allgemeinen Falle hingegen folgen fur:

1 6

!Lx* I

die Differentialgleichungen :

a J " d J * ~ + ~ - ~ = 0 ; Quellenfreiheit 39 ax

-0 ; Wirbelfreiheit in der Isolation, d J * 3 . P x 2 _---

a h 39 deren Liisung uiir durch die Substitution :

in ein gewiihnliches Potentialfeld :

Vortrage der Hauptvemammlung in Bad Elster 43 6 Band 11, Heft 6 Dezernber 19.71

b uberfuhren. Der.Bereich hat sich nach Abb. 2 in ein Recliteck von den Seitenlangen - und x h versndert. Als R.andbedingungen ergeben sich :

' y h Die Bedingung I ist damit identiscli dab i auf den Randern eines Halb.

streifens von der Breite - verschwindet, dessen Basis in die x-Achse fallt, und wird so durch eine partikalare Lbsung

b x 1

3-2 45 I I , = A , * cos (211.1 - 1) x

erfullt, welche den ('2 'YYL - 1) ten, nach Abb. 2 z. B. den 3 ten oder 5 ten Teil- streifen auf die obere Halbebene abbildet. Zur Erfiillung der Randbedingung I1 wird

o gar qrn 403 qw 40s ao6 407 403 40s qw qn gincm-

Ahb. 3. Verteilung der Isolationsstrome an den Seitenrliiderii eines rechteckigen Paketquerschnittes

v = 2 ( m ) wm

gebildet, worauf sie :

.I ,fi = - c m __ h,

&o\ - ( h - 1 ) - Blx 2 n

liefert. Hierin ist nach in der AEG To Transformatorenfabrik vorgenommenen Messungen von il grobenordnungsmabig :

b/x = 102 + 103. h.

Es kommt also von den einzelnen Streifen .in der y-Richtung nur ein sehr schma.ler Bereich in Frage, so dab selbst om!m Qoz Oo3 Offl Om 4@ OaS qwmgn eine grijbere Verschiebung der recbten

am linken Rechteckrand keinen merk- baren Einfluh hat, b aus der Rechnung herausfallt, ~ ( w z ) w, sehr schlecht konvergiert und durcli ein Integral mit der Integrationsvariablen :

pincm-

Abb. 4. Vertnilnng der Uberlagerungsstrome an den Seitenrlndern eiiies rechteckigen Paketqnerschnittes Streifenrander auf den Funktionsverlauf

ersetzt werden kann. Unter Zusammenfassung von :

findet man so speziell fiir:

Ztschr. f . angew. 436 Vortrage der Hauptversammlung in Bad Elster Math. und Mech.

Die Auswertung dieser Integrale ist auf Abb. 3 und 4 fur verschiedene spezifische Graben:

in Abhangigkeit von z eingetragen. In diesem Bereiche von 0 steigt i nach Abb. 3 bereits in 3 Randbleclien gegen i,, wahrend 3 auf Abb. 4 in gleiclier Weise gegen Null geht und so zu vernaclilassigen ist. Demnach kehrt das parallel zur z-Achse fliekende i erst in den aukersten Randblechen um, so dab die Zusatzverluste Wi infolge der Isolationsstrome im ganzen Rechteck Ahb. 1 a.us der Verteilung i, berechnet werden konnen. Wi wird alsdann im Verhaltnis zu den von J , herriihrenden ideellen Wirbelstromv~rlusten U;, :

In derselben Naherung bestimmt man die Verluste in einem aus mehreren Rechtecken bestehenden Kernquerschnitt durch Suinmierung der hier bereclineten Verluste in den Einzel- rechtecken.

131, betragt je nach der Blechsorte untl Blechstarke 20 bis 40 vH der gesamten Eisen- verl u s t e . 231, 14

14. Beschrankte Funktionen und Wechselstromschaltungen. Von W. Cuuer in Gottingen.

Der Stromverlauf in einer aus Induktivitaten, Gegeninduktivitaten, positiven Ohmschen Widerstanden und Kapazitaten bestehenden Schaltung wird durch ein System von Differential- gleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten beschrieben, dessen n-Unbekannte die Elektrizitatsmengen (und ihre Differentialquotienten, die Strome) sind, und das dieselbe Form besitzt, wie die Differentialgleichungen eines kleine Schwingungen ausfuhrenden mechanischen Systems. Wahrend die Losung eines eolchen Differentialgleichungssystems wohlbekannt ist, hat man sich bis vor kurzeni init der mathematischen Behandlung der folgenden umgekehrten Aufgabe, die fur die Elektrotechnik sehr wichtig ist, kaum befakt : ,, Gegeben einige Strbme als Funktion der Zeit bei gegebenen elektromotorischen Kraften und Anfangsbedingungen, zu finden ist eine Schaltnng, d. h. ein Differentialgleichungssystem der beschriebenen Art, derart, dab die Losungen (Strbme) den Vorschriften entsprechen. '' Geht man zu den F o u r i e r schen Transformierten der elektromotorischen Krafte und Strome uber, so entsteht das aquivalente Problem : ,,Eine Schaltung rnit vorgeschriebenen Frequenzcharak- teristiken zu konstruieren," d. h. eine Schaltung, deren fur rein periodische Wechselstrdme giiltige Charakteristiken in vorgeschriebener Weise von der Frequenz des Wechselstroms abhangen. Die matheniatische Behandlung dieser Aufgabe fiihrt u. a. auf einen ganz natur. gemaiben Zusammenhang mit den beschrankten analytischen Funktionen. Man wird auf das folgende Problem gefuhrt, das in rein niathematischer Terininologie formuliert werden moge :

seien drei nicht negative quadratische Formen in rz-Variabeln, bzw. mit den Matrizen L, R, D. Man bilde, wenn il eine komplexe Variable bedeutet, die Matrizensumme A = 1 L + R + ilk' Dl) und hierzu die inverse Matrix A-l. Welches sind die notwendigen und hinreichenden Be- dingungen dafur, dafj eine gegebene quadratische symmetrische Matrix B mit hochstens %-

Zeilen, deren Elemente Funktionen von Iz. sind, als Hauptminor irgendeiner A-' aufgefafjt werden kann? Eine in solcher Weise durch L, R, D darstellbare Matrix B moge kurz als ,,darstellbar" bezeichnet werden.

1.4; sei iiicht identisch Nnl l .