Mathevorkurs Skript 4.Auflage V2 2008

Vorkurs Mathematik fur Informatikerund Ingenieure

4. Auflage, Version 2

Stefan Kleiser, Arne Dannenberg und Armin Hornung

Janis Fehr, Sebastian Kupferschmid und Markus Degen

2

Vorkurs Mathematik f ur Informatiker und Ingenieure

4. leichtuberarbeitete Auflage, Oktober 2008Stefan Kleiser,Arne Dannenberg,Susanne Kasprzak,Armin Hornung

Vorkurs Mathematik f ur Informatiker und Ingenieure

3. uberarbeitete Auflage, Oktober 2004Janis Fehr,Markus Degen

Einf uhrung in die Universit atsmathematik fur Erstsemester der Fakultat fur angewandteWissenschaften (FAW)

2. uberarbeitete Auflage, Oktober 2003Janis Fehr,Markus Degen

Einf uhrung in die Universit atsmathematik fur Erstsemester der Fakultat fur angewandteWissenschaften (FAW)

1. Auflage, Oktober 2002Janis Fehr,Sebastian Kupferschmid,Markus Degen

Titelbild: Janis Fehr

Dieser Kurs entstand fur die Erstsemestereinfuhrung der Fachschaft Informatik und MST an derUni Freiburg.http://www.fachschaft.informatik.uni-freiburg.de

[email protected]

Lizenz

Copyright (C) 2002-2008 Janis Fehr, Sebastian Kupferschmid, Markus Degen.Dieses Werk kann durch jedermann gemaß den Bestimmungen der Lizenz fur die freie Nutzung unveranderter Inhalte genutzt werden.Die Lizenzbedingungen konnen unter http://www.uvm.nrw.de/opencontent abgerufen werden.

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Vorwort zur 4. Auflage

Verkriecht Euch nicht hinter diesem Skript, stellt Fragen!Es gibt wirklich keine dum-men Fragen. Seid Euch sicher, dass die meisten anderen auch keine Ahnung haben.Dies gilt nicht nur fur diesen Vorkurs, sondern generell fur alle Vorlesungen im Laufeeures Studiums.Dieses Skript soll weiteruberarbeitet werden. Wenn ihr Lust habt mitzuarbeiten, kommtzur Fachschaftssitzung, meldet euch per Mail oder geht auf:http://fachschaft.informatik.uni-freiburg.de/mathe

Oktober 2008, Arne Dannenberg und Stefan Kleiser


Ein Sprichwort sagt, das einzig Bestandige sei der Wandel. Dies scheint auch fur diesenKurs zu gelten. Dass wir im 3. Jahr seit der Ersterscheinung bereits die 2.Uberarbei-tung vornehmen liegt weniger daran, dass sich am eigentlichen Inhalt dieses Kurses,der Mathematik, Grundlegendes geandert hatte - nein, es sind vielmehr die Rahmenbe-dingungen welche uns wieder zuAnderungen veranlasst haben.Mit der Umstellung der Diplomstudiengange auf das Bachelor/Master System in derInformatik haben sich auch die Studieninhalte verandert. Wahrend fruher die Mathe-matik eine zentrale Rolle im Grundstudium hatte, wird sie inden neuen Studienplanenzum Beifach - mit den entsprechenden Konsequenzen. Um diesem Umstand gerecht zuwerden, haben wir die Themenauswahl dieses Kurses entsprechend angepasst.

Oktober 2004, Janis Fehr


Die Notwendigkeit eines Mathematikvorkurses fur Erstsemester ist angesichts der ho-hen Diskrepanz zwischen der Zahl der Studienanfanger und derer, die aus der Weih-nachtspause wieder den Weg in die Mathematikvorlesungen finden, unbestritten.Mit diesem Kurs geht die Informatik nach langer Kooperationmit der Physik erstmalseigene Wege. Dieses neue Konzept soll die Erstsemester nicht nur auf die anstehendenMathematikvorlesungen vorbereiten, wichtig war uns auch eine fachbezogene Motiva-tion der Inhalte. Es war bisher eher schwer, einen angehenden Informatiker von derNotwendigkeit mathematischer Formalismen anhand von “vomTurm fallender Ku-geln” zuuberzeugen.Durch die Umsetzung in Tutoraten anstelle einer zentralen Vorlesung soll die vertrauteschulische Atmosphare Gruppenarbeit in den Vordergrund stellen. Trotz des oft“intui-tiven” Ansatzes dieser Einfuhrung haben wir uns sehr bemuht, so formal und korrekt zuarbeiten, wie man das in der Mathematik gewohnt ist. Die vielen Verweise auf spatereVorlesungen moge uns der Leser mit Vorfreude auf das Studium verzeihen ;-)Zu danken ist an dieser Stelle vor allem Markus Degen und Sebastian Kupferschmidfur ihre unermudlichen LATEX-Arbeiten (wobei sie sich auch durch großere Katastro-phen nicht frustrieren haben lassen), den Korrekturlesern, der Mensa (!) fur den Kaffeeund allen, die meine andauerndeUbermudung ertragen mussten ;-).

Oktober 2002, Janis Fehr

4

Inhaltsverzeichnis

Vorwort zur 4. Auflage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Vorwort zur 3. Auflage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Vorwort zur 1. Auflage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

0 Einleitung 90.1 Mathematik in der MST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90.2 Informatik = Mathematik der Informationen !? . . . . . . . . .. . . . 90.3 Aufbau dieses Kurses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

0.3.1 Konventionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1 Grundlagen 111.1 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.1 Eigenschaften von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.2 Verknupfung von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.3 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Die naturlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.1 Peano-Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Die reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Die komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.1 Polarformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.2 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5 Zahlensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5.1 Binarzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5.2 Rechnen mit Binarzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5.3 Das Hexadezimalsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5.4 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6 Summennotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.6.1 Rechnen mit Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.6.2 Rechenregeln fur Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.6.3 Produktnotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.6.4 Ubung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.7 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.7.1 Permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.7.2 Kombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.7.3 Der Binomialkoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.7.4 Herleitung der Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . . .251.7.5 Ubung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5

6 INHALTSVERZEICHNIS

2 Lineare Algebra 272.1 Tupel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.1 Die EbeneR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.2 Der RaumR

3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.3 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.1 Nomenklatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.2 Rechenregeln fur Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.3 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3 Lineare Unabhangigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.1 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4 Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.1 Gauß’sches Eliminationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . .312.4.2 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5 Matrizenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.5.1 Konventionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.5.2 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.5.3 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Formalismen und Beweise 353.1 Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.1 “Spielregeln” der Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . 353.1.2 Verknupfung von Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.1.3 De Morgan’sche Regeln... und andere . . . . . . . . . . . . . 373.1.4 Quantoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.1.5 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2 Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2.1 Was ist ein Beweis? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2.2 Wozu Beweise? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2.3 Direkter Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2.4 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.5 Beweis durch Widerspruch (indirekter Beweis) . . . . . .. . 403.2.6 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.7 Vollstandige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2.8 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3 Rekursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3.1 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Analysis 454.1 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1.1 Injektivitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.1.2 Surjektivitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.1.3 Bijektivitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.1.4 Ubung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2 Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2.1 Beispiele fur Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2.2 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2.3 Konvergenz von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2.4 Rechenregeln fur konvergente Folgen . . . . . . . . . . . . . 494.2.5 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

INHALTSVERZEICHNIS 7

4.3 Ableitungen von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.3.1 Schreibweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.3.2 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.3.3 Einige wichtige Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.3.4 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.4 Die Regeln von De L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.4.1 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

A Elementare Rechenregeln 53A.1 Bruchrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53A.2 Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53A.3 Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

B Literatur 55

C Tabellen 57

D Losungen 59

8 INHALTSVERZEICHNIS

Kapitel 0

Einleitung

0.1 Mathematik in der MST

Wie jede Ingenieurwissenschaft ist auch die Mirkrosystemtechnik standig auf mathe-matische ”Werkzeuge” angewiesen. Um Schaltungen zu berechnen, physikalische Mo-delle aufzustellen oder Messungen auszuwerten, kommt man um fundiertes mathema-tisches Wissen nicht herum. Dabei liegt das Augenmerk auf dem sicheren Anwendenmathematischer Methoden und weniger auf dem Beweisen neuerAussagen.Im Bachelorstudiengang stehen die einfuhrenden Vorlesungen Mathematik I+II sowieDifferenzialgleichungen auf dem Studienplan. Die dort erlernte Mathematik wird sichdann in so gut wie jeder anderen Vorlesung wieder finden.

0.2 Informatik = Mathematik der Informationen !?

Die Informatik hat ihre Wurzeln in der Mathematik - bevor dieInformatik in den70ern des letzten Jahrhunderts als Wissenschaft selbstandig wurde, waren es vor allemMathematiker die sich mit den thoeretischen Problemen der Informationsverarbeitungbeschaftigten.Auch heute ist die Mathematik noch wesentlicher Bestandteil der Informatik, insbe-sondere bei den sehr theoretisch ausgerichteten Studiengangen an den Universitaten. Jenach Fachrichtung (Bildverarbeitung, Theoretische Informatik, Softwaretechnik usw.)wird man mit mehr oder weniger Mathematik konfrontiert werden. Eine wissenschaftlicheBetrachtung erfordert in jedem Fall eine formale Darstellung, weshalb man sich oft derMathematik als formale Sprache bedient.

0.3 Aufbau dieses Kurses

Dieses Skript besteht aus vier Hauptkapiteln, im Prinzip eines fur jeden Kurstag.Das erste Kapitel soll essenzielle Grundlagen aus der Schulmathe auffrischen und dieformalen “Locher” zur Uni schließen.Im zweiten Kapitel wird dann die Lineare Algebra aufgefrischt und auf die ersten Wo-chen des Semesters vorbereitet.Der zentrale dritte Teil “Formalismen und Beweise” wird sicherlich die meiste Zeit in

9

10 KAPITEL 0. EINLEITUNG

Anspruch nehmen. Mathematik als formale Sprache und die fundamentalen Prinzipi-en des wissenschaftlichen Arbeitens (Beweisen von Aussagen) bereiten meistens diegroßten Probleme. Ziel ist es, eine Intuition hierfur zu entwickeln.Im vierten Abschnitt beschaftigen wir uns abschließend mit der Analyse kontinuierli-cher Funktionen (so weit wie fur das erste Semester erforderlich).

Die kurzen Unterrichtsabschnitte werden immer mit Prasenzubungen abgerundet, diein Kleingruppen (2-3 Personen) gelost und wenn moglich auch von den Teilnehmernvorgerechnet werden sollen. Zusatzliche Hausaufgaben sollen an denUbungsbetriebheranfuhren und werden im nachsten Kurs besprochen.

0.3.1 Konventionen

Um Missverstandnisse zu vermeiden, “einigen” wir uns zunachst einmal auf ein paarSchreibweisen und Abkurzungen.

‘‘Hinweise zur Aussprache werden so dargestellt’’

gdw genau dann, wenn

Beh. Behauptung

Bew. Beweis

* Optionales Thema/Aufgabe

Kapitel 1

Grundlagen

1.1 Mengen

Der Begriff der Menge ist fur die Mathematik so grundlegend, dass eine weitere Defi-nition zum Beispiel als “Ansammlung” oder “Zusammenfassung” von Objekten nichtweiter sinnvoll erscheint.

So bleibt uns fur eine Definition der MengeM nur der Weguber deren Elemente.

Entweder zahlt man die Elemente der Menge einfach auf

M = a, b, c, ...

oder man definiert eine bestimmte Eigenschaftuber eine bereits existierende Menge

M = x ∈ N| 5 < x < 10

‘‘ M ist die Menge aller Elemente x aus der Menge N f urdie gilt: 5 < x < 10’’

Also M = 6, 7, 8, 9

1.1.1 Eigenschaften von Mengen

Man schreibt:

x ∈ M x ist in der Menge M enthalten

x /∈ M x ist nicht in der Menge M enthalten

Zwei MengenA undB sind gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.

A = B ⇐⇒ (∀x : x ∈ A ⇔ x ∈ B)

‘‘ A = B, gdw f ur alle x gilt: x ist Element von A gdw xist Element von B’’

Alternativ:A = B ⇐⇒ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)

11

12 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN

‘‘ A = B gdw A ist Teilmenge von B und umgekehrt.’’

Eine Menge macht nur eine Aussageuber ihre Elemente, nicht deren Anzahl. Es giltzum BeispielA = a, a undB = a ⇒ A = B.

‘‘Aus A = a, a und B = a folgt A = B’’

Die Richtigkeit dieser Aussage erkennt man leicht durchUberprufung der Gleichheits-eigenschaften (siehe oben).

Die Leere Mengeist die Menge, die kein Element enthalt. Schreibweise:∅ oder.

Teilmengen: A ⊆ B :⇔ (∀x) : x ∈ A ⇒ x ∈ B

‘‘ A ist Teilmenge von B gdw f ur alle x gilt: Aus x ∈ A

folgt x ∈ B’’

Echte Teilmengen: A ⊂ B :⇔ (∀x) : x ∈ A ⇒ x ∈ B ∧ (A 6= B)

‘‘ A ist echte Teilmenge von B gdw f ur alle x gilt: Ausx ∈ A folgt x ∈ B und A ungleich B’’

1.1.2 Verknupfung von Mengen

Differenzmenge: A \ B := x ∈ A|x /∈ B

Sprechweise: ‘‘ A ohne B’’

Ist B ⊂ A, so bezeichnet manA \ B alsKomplement vonB in A.

Durchschnitt: A ∩ B := x|x ∈ A ∧ x ∈ B

Sprechweise: ‘‘ A geschnitten B’’

1.2. DIE NATURLICHEN ZAHLEN 13

Ist A ∩ B = ∅, so sagt man:A undB sinddisjunkt .

Vereinigung: A ∪ B := x|x ∈ A ∨ x ∈ B

Sprechweise: ‘‘ A vereinigt B’’

1.1.3 Ubungen

1) Gebt die Mengen an:

A = 2, 4, 6, 8 ∩ 3, 6, 7, 10B = 1, 3, 4, 8 ∪ 1, 2, 5, 6, 7C = 38, 6,−28 ∪ 7, 3, 5D = Ha, ll, o \ HaE = Ha, ll, o \ l

2) Gebt in Mengennotation an:

A ist die Menge aller ganzzahligenx, die großer sind als 10.

B ist die Menge aller ganzzahligeny, die ein Vielfaches von 5 sind.

3*) Das kartesische Produkt zweier MengenA×B ist eine Menge von Paaren(a, b),wobei a ∈ A, b ∈ B. Zum Beispiel:A = 1, 2, B = 3, 4 ⇒ A × B =(1, 3), (2, 4), (1, 4), (2, 3).Gebt die Definition vonA×B in Mengennotation an.

1.2 Die naturlichen Zahlen

Die MengeN der naturlichen Zahlen hat neben den reellen und komplexen Zahlen(dazu spater mehr) eine zentrale Bedeutung in den Naturwissenschaften. Jeder hat ei-ne gute intuitive Vorstellung von den naturlichen Zahlen, was eine formale Definiti-on eigentlichuberflußig erscheinen laßt. Diese ist aber unabdingbar. Zum einen wirdman sehr schnell feststellen, dass die formale, eindeutigeDefinition von scheinbar of-fensichtlichen Gegebenheiten enorme Probleme bereiten kann1, zum anderen werdenwir uns spater dieser klar definierten Eigenschaften bedienen, um darauf fundamentaleTechniken der Mathematik zu begrunden, zum Beispiel Induktion und Rekursion.

1Man beweise z.B.1 + 1 6= 0


1.2.1 Peano-Axiome

Eine MengeN heißt “Menge der naturlichen Zahlen”, gdw gilt:

1. Es gibt ein Element inN, wir nennen es 0 (“Null”).

2. Zu jedemn ∈ N existiert genau einn+ ∈ N: n+ ist Nachfolger vonn.

3. Es gibt keinn ∈ N mit n+ = 0.

4. Ausn ∈ N, m ∈ N undn+ = m+ folgt n = m.

5. AusA ⊆ N und0 ∈ A sowie fur jedesa ∈ A gilt a+ ∈ A, folgt A = N.

Die Menge der naturlichen Zahlen wird im allgemeinen mitN bezeichnet.

Bemerkung: wahrend in der Mathematik die Null nicht immer Element vonN ist,wird sie in der Informatik meistens und in Ingenieurwissenschaften immer zuN gezahlt(DIN Norm).

An dieser Stelle mag sich der geneigte Leser fragen, was dennein Axiom sei... Nun,in einer Mathematikvorlesung wird man immer wieder Begriffe vorgesetzt bekommen,deren Bedeutung erst sehr viel spater definiert wird und deren wahre Tragweite manmeist erst noch sehr viel spater (manchmal erst nach einigen Semestern) versteht. Indiesem Fall kann man sich aber schon auf die Erlauterung imubernachsten Kapitelfreuen.

Auch wenn die naturlichen Zahlen ausreichen, um viele Sachverhalte zu beschreibenund zu beweisen (Schleifendurchlaufe, Laufzeiten, Komplexitaten, usw.), konnen wirdamit nur sehr beschrankt die “reale Welt” modellieren, was uns unmittelbar zu denreellen Zahlen fuhrt.

1.3 Die reellen Zahlen

Ahnlich wie die naturlichen Zahlen scheint uns die Menge der reellen ZahlenR intui-tiv zuganglich zu sein. Auf eine Herleitung und Definition wie beiN kann an dieserStelle aber verzichtet werden, da sie fur diesen Kurs keine Bedeutung hat und in denAnfangervorlesungen “durchexerziert” wird.

Wir beschranken uns daher auf das intuitive Bild der Zahlengeraden, wobeiR die Men-ge aller Punkte auf der Geraden ist.

−∞ 0 ∞

Das Rechnen mit den reellen Zahlen sollte landlaufig aus der Schule bekannt sein unddie Schwierigkeit der Darstellung von reellen Zahlen im Computer wird hinreichendin der Vorlesung Technische Informatik abgehandelt. Bleibt uns nur festzuhalten, dassdie reellen Zahlen fur viele Problemstellungen der Informatik oder MST leider nichtausreichend geeignet sind. Man verdeutliche sich dies an folgendem kleinen Beispiel:

x2 = −1

1.4. DIE KOMPLEXEN ZAHLEN 15

hat keine Losung inR. D.h.∀x ∈ R : x2 6= −1.

Das scheint nicht weiter schlimm, hat man ja bereits in der Mittelstufe gelernt, dasses Wurzeln von negativen Zahlen einfach nicht gibt ;-). Da sich aber ganze Klassenvon Problemen einer Losung inR entziehen, bedient man sich eines in der Mathema-tik bewahrten Mittels: man verlagert das Problem einfach in einen hoherdimensionalenRaum. Um bei der Vorstellung der Zahlengerade zu bleiben: man benutzt eine Zahle-nebene→ Die komplexen Zahlen.

1.4 Die komplexen Zahlen

Definieren wir uns nun die MengeC der komplexen Zahlen als EbeneR × R :=(a, b)|a, b ∈ R.

b

a

x

D.h. eine komplexe Zahlz ∈ C ist ein Paarz = (a, b) wobeia, b ∈ R die jeweiligen“Koordinaten” darstellen.

Mit diesen Paaren laßt sich jetzt aber eher schlecht rechnen. Daher normiert2 man die“b-Achse” auf die sogenannte“Imagin are Einheit” i=

√−1 und gibt alle Werte dieser

Achse als Vielfaches voni an. In der ersten Schreibweise ware somiti=(0,1) - wobeiman auch vonRealteil (hier die 0) undImaginarteil (hier die 1) von komplexen Zah-len spricht.

i

x

So schreiben wirC = a+ ib|a, b ∈ R

Was bringt uns diese Notation? Durch diese Summenschreibweise lasst sich die Ima-ginareinheit leicht ausklammern :(a+ ib) + (c+ id) = (a+ c) + i(b+ d).

Bemerkung: In den Ingenieurwissenschaften benutzt manj anstatti als Imaginarein-heit, dai bereits als Symbol fur den Strom reserviert ist.

2man begnuge sich mit der Intuition, die Def. der Normuberlassen wir gerne den Einstiegsvorlesungen


So ergibt sich die Addition komplexer Zahlen

(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d)

und die Multiplikation.

(a, b) · (c, d) = (ac− bd, ad+ bc)

Soweit so gut, jetzt konnen wir mit komplexen Zahlen rechnen und es wird sichzeigen, dass sich fast alle Eigenschaften der reellen Zahlen mehr oder weniger direktins Komplexeubertragen lassen. Aber wo liegt nun der Vorteil der komplexen Darstel-lung ?

Wie bereits in der Motivation erwahnt, gibt es viele Gleichungen die im Reellenkeine Losung haben. Nicht so im Komplexen. Hier hat zum Beispiel jedes Polynomvom Gradn auchnNullstellen. Die Losung des Problems zu Beginn dieses Abschnittes

x2 = −1

ist nun ohne weiteres moglich. Wie man leicht nachrechnet, losenx1 = i undx2 = −idie Gleichung.

1.4.1 Polarformen

Neben der bereits vorgestellten Darstellung verwendet manvor allem in der Elektro-technik und Computergraphik komplexe Zahlen in Trigonometrischer oder Exponenti-alform.

Trigonometrische Form

z = r(cos(φ) + i · sin(φ)), wobeir der Betrag vonz undφ ∈ [0, 2π] der Winkelvonz sind.

Im(z)

Re(z)φ

rz = r(cos(φ) + i · sin(φ))

Exponentialform

z = r · eiφ wobei gilt:eiφ = cos(φ) + i · sin(φ)

Im(z)

Re(z)φ

rz = r · eiφ

1.5. ZAHLENSYSTEME 17

Umrechnung von Polar- in Koordinatenform

z = r · eiφ = r · (cos(φ) + i · sin(φ)) = r · cos(φ)︸︷︷︸

x

+i · r · sin(φ)︸︷︷︸

y

= x+ i · y

Umrechnung von Koordinaten- in Polarform

r =√

Im(z)2 +Re(z)2

φ = arctan(

Im(z)Re(z)

)

Bemerkung: Quadranten beachten!

1.4.2 Ubungen

1. Berechnet fur a, b, c, d, e, f ∈ R:

A = (a+ ib) + c

B = (a+ ib) ∗ ((c+ id) + (e+ if))

C = (a+ ib) ∗ (c+ id) ∗ (e+ if)

2. Berechnet die Losungen der quadratischen Gleichung:

x2 + (1 + i)x− 2(1 − i) = 0

3.√−1 ist in C definiert durchi. Zeigt, dassi2 = −1.

1.5 Zahlensysteme

Bisher haben wir uns darum gekummert, in welchen Bereichen wir mit unseren Zahlenrechnen konnen. Jetzt wenden wir uns der Darstellung von Zahlen zu.Seitdem wir (die Menschheit) “von den Baumen gestiegen” sind, haben wir uns beimZahlen immer an unseren zehn Fingern orientiert (mit Ausnahme der Romer, aber diespinnen ja bekanntlich ;-). Wir stellen also Zahlen als Summe von Zehnerpotenzen dar.Zum Beispiel:

138610 = 1 ∗ 103 + 3 ∗ 102 + 8 ∗ 101 + 6 ∗ 100

oder

23, 6810 = 2 ∗ 101 + 3 ∗ 100 + 6 ∗ 10−1 + 8 ∗ 10−2

Diese Darstellung ist uns vertraut, aber der Computer mit seinen “zwei Fingern” (highund low, 0 und 1) kann diese Zahlen nicht verarbeiten.

Im Allgemeinen lassen sich Zahlen zu jeder beliebigen Basis(=“Anzahl der Finger”)darstellen. Man folgt einfach dem Schema:

ab = ak−1bk−1 + ak−2b

k−2 + ...+ a1b+ a0


mit n∈ N, b Basis undk Lange der Darstellung. Zum Beispielb = 2 fur Binarzahlen,b = 8 fur Oktalzahlen undb = 16 im Hexadezimalsystem.

Um die Zahlen unterschiedlicher Systeme unterscheiden zu konnen, hangt man die Ba-sis tiefergestellt an die Zahlen an.

12334 = 3 ∗ 40 + 3 ∗ 41 + 2 ∗ 42 + 1 ∗ 43

= 3 + 12 + 32 + 64

= 11110

123316 = 3 ∗ 160 + 3 ∗ 161 + 2 ∗ 162 + 1 ∗ 163

= 3 + 48 + 512 + 4096

= 465910

1.5.1 Binarzahlen

Zahlen im Rechner werden also zur Basis 2 dargestellt, um rechnen zu konnen. DieSummenglieder sind dann naturlich Zweierpotenzen. Beispiel :

10112 := 20 + 21 + 23 = 1 + 2 + 8 = 1110

Wie man von anderen Zahlensystemen ins Dezimalsystem umrechnet, haben wir nungesehen, aber wie kommt man von Dezimalzahlen zur Binardarstellung?

Algorithmus zur Umrechnung:

1. Eingabe vonn10

2. Bestimme eink ∈ N so, dass2k−1 ≤ n ≤ 2k ist.

3. Fur i = k − 1, k − 2, ...0 wiederhole

a) bestimmer so, dassn = 2i + r mit 0 ≤ r ≤ 2i

b) setzeai := a, wobeia =

a = 1 n ≥ 2i

a = 0 n < 2i

undn := r

4. Ausgabeak−1...a0

Beispiel :35610 soll in das Binarsystemuberfuhrt werden.

1. n = 356

1.5. ZAHLENSYSTEME 19

2. 28 = 256 ≤ 356 ≤ 29 = 512 ⇒ k = 9

3.a 28 = 256 ≤ 356 ⇒ a8 = 1

3.b n = 356 − 256 = 100

3.a 27 = 128 > 100 ⇒ a7 = 0

3.a 26 = 64 ≤ 100 ⇒ a6 = 1

...

1.5.2 Rechnen mit Binarzahlen

Da ein Zahlensystem nur die Darstellung einer Zahl festlegt, kann mit allen Systemen(hier Binarsystem) gerechnet werden wie im Dezimalsystem. Die Rechenregeln (z.B.fur naturliche Zahlen) sind von der Darstellung vollig unabhangig.

+ Addition nach der “Schulmethode”3

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0 Ubertrag1

z.B.1 0 1 1

+ 1110111 0 0 0 0

+ Multiplikation nach der “Schulmethode”

0 ∗ 0 = 0

0 ∗ 1 = 0

1 ∗ 0 = 0

1 ∗ 1 = 1

z.B.

1011 · 101 =

101

000

101

+ 101110111

1.5.3 Das Hexadezimalsystem

Neben der Binardarstellung spielt in der Informatik auch das Hexadezimalsystem einegroße Rolle. Bei einer Basis von 16 reichen die aus den Dezimalsystem bekannten Zif-fern naturlich nicht mehr aus. Durch die Erweiterung auf0, 1, ..., 9, A,B,C,D,E, Fist dieses Problem aber einfach gelost. So ist zum Beispiel

3Es existieren noch effektivere Methoden welche die Eigenschaften der Darstellung ausnutzen


AE16 = A ∗ 161 + E ∗ 160

= 10 ∗ 161 + 14 ∗ 160

= 10 ∗ 16 + 14

= 17410

Wozu hexadezimal?Auf den ersten Blick scheint dieses Zahlensystem keinerleiVor-teile zu bringen, im Gegenteil: durch die ungewohnten Ziffern A-F ist sie wenig intui-tiv. Warum findet man dann so oft Hex-Darstellungen? (z.B. den vielen wohl bekanntenHex-Editor).Der Grund ist hauptsachlich in derUbersichtlichkeit zu suchen. Es ist dem Leser (undselbstverstandlich vor allem der Leserin) sicherlich schon in den Sinn gekommen, dassgroße Binarzahlen durch ihre Lange fur den menschlichen Betrachter schnell unuber-sichtlich werden. Das Rechnen mit “endlosen” Zahlenreihenfuhrt so schnell zu Feh-lern. Man fast so einfach Blocke von jeweils 4 Binarstellen zu einer Hexadezimalstellezusammen.

1001︸︷︷︸

9

11112︸︷︷︸

F

= 9F16

Somit hat man bei einerublichen Darstellung von 32Bit im Rechner nur noch 8 stelligeZahlen. Warum diese Umformung so einfach funktioniert, macht man sich am bestenintuitiv deutlich.

+ eine Stelle im Hexadezimalsystem bietet die Moglichkeit zur Darstellung von 16Zahlen (0...F).

+ mit 4 Binarstellen lassen sich ebenfalls24 = 16 Zahlen darstellen (0000...1111).

1.5.4 Ubungen

1. Rechnet ins Dezimalsystem um :

a) 1011012

b) 1101010112

c) 31025

d)A03F16

e) 1234567

2. Gebt diese Dezimalzahlen im Binarsystem an :

a) 1256

b) 28143

c) 121, 53

1.6. SUMMENNOTATION 21

3. Man berechne :

a) 101002 + 110012

b) 11012 ∗ 1102

c)∗ 1101012 ÷ 1012

4. Uberfuhrt vom Binarsystem in hexadezimal... :

a) 101010102

b) 101112

5. ...und von hexadezimal ins Binarsystem :

a)F316

b)C7D16

1.6 Summennotation

Der Mathematiker an sich zeichnet sich nicht gerade durch ein Ubermaß an korperli-chem Arbeitseifer aus ;-). Diese “Faulheit” zeigt sich vor allem in der mathematischenNotation. “Kein Zeichen zu viel” ist hier das Motto. Und so wird zusammengefasst unddurch Sonderzeichen reprasentiert, was nur geht.

Ein bekanntes Beispiel ist die Summennotation :

n∑

i=0

i := 0 + 1 + 2 + ...+ n mit n ∈ N

Diese Notation ist nicht nur fur das Verstandnis der Mathematikvorlesungen vongroßer Wichtigkeit - wie bereits mehrfach erwahnt, bedient sich die Informatik standigmathematischer Formalismen und Notationen, um informatische Sachverhalte zu be-schreiben. Zum Beispiel ist die formale Darstellung und Analyse von Programmen eingroßes Teilgebiet der Informatik und MSTler werden in Physik oder Meßtechnik auchnicht auf diese Notation verzichten konnen.

for i = 1 to 100 dofor e = 1 to 50 doh = h+ i+ 2e

endend

laßt sich formal alsh =100∑

i=1

50∑

e=1i + 2e schreiben. So konnen wir dann, wie bei diesen

Schleifen, zur weiteren Analyse mathematische Methoden anwenden.


1.6.1 Rechnen mit Summen

Die Summennotation beschrankt sich nicht nur auf Zahlen (ausN,R,C, ...) sondernlaßt sich auch ohne weiteres auf komplexere Strukturen anwenden. Zum Beispiel aufGleichungen und Gleichungssysteme.

h = a1 + a2 + a3 + ...+ an=

n∑

i=1

ai

h1 = a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn

......

...hm = am1x1 + . . . + amnxn

= hi =n∑

j=1

aijxj

Die Notation mit mehrfachen Indizes wirkt anfanglich etwas verwirrend, ist aber gera-de fur die Lineare Algebra essenziell.

1.6.2 Rechenregeln fur Summen

n∑

i=1

ai =

(n−1∑

i=1

ai

)

+ an

Einzelne Glieder konnen aus der Summe herausgezogen werden

µn∑

i=1

ai =n∑

i=1

(µai)

Das Gleiche gilt fur konstante Faktorenn∑

i=1

(µ+ ai) =

n∑

i=1

(ai) + n · µ

Das Gleiche gilt fur konstante Faktoren

Die wohl bekannteste Summenregel ist die des jungen Gauß. Weil er sich im Mathe-matikunterricht langweilte gab ihm sein Lehrer die Aufgabealle Zahlen von 1 bis 100zu addieren - klein Gauß schaffte das in wenigen Sekunden...

Gauß’sche Summenregel (“der kleine Gauß”):n∑

i=1

i = n(n+1)2 = n

2 · (n+ 1)

1.6.3 Produktnotation

Analog zur Summennotation verwendet man auch ein Symbol zurVerkettung von Mul-tiplikationen:

n∏

i=1

ai := a1 · a2 · a3 · . . . · an

1.7. KOMBINATORIK 23

1.6.4 Ubung

1) Berechnet:

a =

5∏

i=2

(3 + i)

b =10∑

i=1

10∑

j=5

(3i+ j)

c = µ6∑

i=3

(ai) + a2 · µ+10∑

i=7

(µai)

2) gebt ein Programm in Pseudocode an, das berechnet:

a =

100∑

i=2

((i · 2) + 10)

b =n∑

i=1

m∑

j=1

(i+ j)

1.7 Kombinatorik

Die Kombinatorik beschaftigt sich mit der Anordnung unspezifischer Elemente. In derInformatik arbeitet man oft mit kombinatorischen Methoden, z.B. zur Organisation vonDaten oder zur Abschatzung der Anzahl moglicher Losungen eines Problems.

1.7.1 Permutation

Eine Menge von Elementen kann beliebig angeordnet werden, z.B. numeriert man dieElemente der Reihe nach durch. Eine solche Anordnung nennt manPermutation. VonInteresse ist meist, wieviele verschiedene Permutationeneiner Menge moglich sind.

Man betrachte die 2-elementige MengeM = 1, 2. Offensichtlich gibt es lediglichzwei moglich Permutationen:

12

21

Nehmen wir aber nur ein weiteres Element hinzu,M = 1, 2, 3, sieht die Sache schon


wesentlich komplizierter aus:

123

132

213

231

312

321

Wenn man sich nun weiter Permutationen fur großere Mengen (4,5,...) aufschreibenwurde, wovon wir hier lieber einmal absehen, wird man feststellen, dass die Anzahlmoglicher Permutationen folgenden Gesetzmaßigkeiten folgt:

P (n) = 1 · 2 · 3 · ... · n =

n∏

i=1

i = n!

Sprechweise: ‘‘ n-Fakult at’’

1.7.2 Kombinationen

Oft mochte man aber nicht nur Aussagenuber die Anordnungsmoglichkeiten ganzerMengen machen, sondern lediglich eine Teilmenge herausgreifen.

Beispiel Lotto: Es gibt 49 verschiedene Elemente (Kugeln), davon werden jeweils 6gezogen. Frage: Wieviele mogliche Kombinationen gibt es oder wie schlecht sind ei-gentlich die Chancen zu gewinnen ? ;-)

Nun, es gibt49! Permutationen in der Ausgangsmenge. Davon werden 6 entnommen,die auf6! verschiedene Weisen angeordnet werden konnen. So bleiben noch43! fur dieverbleibenden. Setzten wir nun die Endsituation mit der Ausgangssituation ins Verhalt-nis, so erhalten wir

49!

6!43!Moglichkeiten.

Es sei an dieser Stelle dem Leseruberlassen, die traurige Wahrheituber die Gewinn-chancen zu errechnen ;-)

Halten wir also fest, dass die Anzahl moglicher Kombinationen einerk-elementigenTeilmenge einern-elementigen Menge mit

Ck(n) =n!

k!(n− k)!

berechnet werden kann.

Dies ware keine essenzielle Formel in der Mathematik, wenn es nicht auch hierfur einekurzere Schreibweise gabe:

Ck(n) =

(n

k

)

Sprich: ‘‘n uber k’’

1.7. KOMBINATORIK 25

1.7.3 Der Binomialkoeffizient

Der Binomische Lehrsatz mit der ersten Binomischen Formel

(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

ist aus der Schule bestens bekannt. Wie sieht es aber mit dem allgemeinen Fall(a+b)n

aus? Die Auflosung in die Summenglieder ist eher intuitiv:

(a+ b)n = an + ν1an−1b1 + ν2a

n−2b2 + ...+ νn−1abn−1 + bn

So gilt es nur noch die Faktorenν1 bis νn−1 zu bestimmen. Diese leiten sich direktaus der Anzahl der moglichen Kombinationen der einzelnen Summenglieder ab, wasgerade

(nk

)ist, wobeik = n− i+1 fur dasi-te Summenglied (von 1 bis n) steht. Somit

gilt:

(a+ b)n =

(n

0

)

an +

(n

1

)

an−1b1 +

(n

2

)

an−2b2 + ...+

(n

n− 1

)

abn−1 +

(n

n

)

bn

1.7.4 Herleitung der Binomialkoeffizienten

Es gibt ein beruhmtes Verfahren zur Bestimmung der Binomialkoeffizienten: DasPas-calsche Dreieck.

Ein Koeffizient berechnet sich aus der Summe der beiden Koeffizienten, die im Dreieckuber ihm stehen. (

n

k

)

+

(n

k + 1

)

=

(n+ 1

k + 1

)

Des weiteren gelten fur Binomialkoeffizienten folgende Aussagen, deren Beweis wirebenso wie die Herleitung den Grundvorlesungenuberlassen wollen.

(n

k

)

=

(n

n− k

)

(n

0

)

=

(n

n

)

= 1

Bemerkung: Daher ruhrt auch die Konvention0! = 1.


1.7.5 Ubung

1) Berechnet folgende Ausdrucke:

a)(64

)

b)(40

)

c)(16

)

2) Berechnet unter der Verwendung der binomischen Formel:

a) (x+ y)7 b) (a− b)6

3) In wieviel unterschiedlichen Sitzordnungen konnen sechs Personen an einemTisch sitzen ?

Kapitel 2

Lineare Algebra

Die lineare Algebra ist einer der grundlegenden Bereiche der Mathematik, der bereitsin der Schule angeschnitten wird. In diesem Kapitel wird Bekanntes aufgefrischt undan den Stoff der ersten Semester Mathematik herangefuhrt (die Vorlesungen werden inder Regel da beginnen, wo wir hier aufhoren).

2.1 Tupel

Die Darstellung von “zusammenhangenden” Zahlen als Tupel ist eine der Grundlagender linearen Algebra.

2.1.1 Die EbeneR2

Wie man sich die reellen Zahlen als Punkte auf der Zahlengeraden vorstellen kann,verdeutlicht man sich Zahlenpaare (analog zu den komplexenZahlen) als Koordinateneines Punktes in der Ebene.Zum Beispiel fur x, y ∈ R ergeben sich die Koordinaten(x, y) eines Punktes. Daxundy reelle Zahlen sind, befindet sich der durch die Koordinaten reprasentierte Punktauf einer reellen Ebene. Man schreibt:

(x, y) ∈ R × R

R × R wird auch alsR2 (Sprechweise: ‘‘R-zwei‘‘ ) bezeichnet.

2.1.2 Der RaumR3

Analog kann man einen Punkt im reellen Raum mit den Koordinaten (x, y, z) ∈ R ×R × R wobeix, y, z ∈ R definieren. Man schreibt(x, y, z) ∈ R

3 (Sprechweise:‘‘R-drei‘‘ ).Dies laßt sich naturlich weiter verallgemeinern, man bezeichnet ein Elementmit nKomponenten alsn-Tupel.

(a1, a2, . . . , an) ∈ R × R × · · · × R︸︷︷︸

n

= Rn wobein ∈ N \ 0

27

28 KAPITEL 2. LINEARE ALGEBRA

2.1.3 Bemerkung

Wenn z.B. die Komponenten nicht aus den reellen, sondern ausden naturlichen Zah-len kommen, so laßt sich diese Tupelnotation analog anwenden. Zum Beispielfur dasTripel (a, b, c), wobeia, b, c ∈ N schreibt man entsprechend(a, b, c) ∈ N

3.

2.2 Vektoren

Im Folgenden bezeichnen wir einn-Tupel mit reellen Komponenten alsn-Vektor .

2.2.1 Nomenklatur

Im Gegensatz zur Schulmathematik verzichtet man an der Universitat meist auf denobligatorischen Pfeil zur Bezeichnung eines Vektors (~x). Man bezeichnet statt dessenVektoren in der Regel mit kleinen Buchstaben, Matrizen mit großen undSkalare (kon-stante, reelle Faktoren) mit griechischen Buchstaben.

2.2.2 Rechenregeln fur Vektoren

• Addition: Fur x, y ∈ Rn mit x =

x1

x2

...xn

undy =

y1y2...yn

gilt:

x+ y =

x1 + y1x2 + y2

...xn + yn

Die Addition ist daher nur moglich, wenn beide Vektoren die gleicheDimension:= Anzahl von Elementen haben.Fur die Addition gilt dasKommutativ- und dasAssoziativ-Gesetz.

– Kommutativit at der Addition: x+ y = y + x

– Assoziativitat der Addition: (x+ y) + z = x+ (y + z)

– Neutrales Element der Addition:x+ 0 = x

wobei0 =

00...0

derNullvektor ist.

– Inverses Element der Addition:x+ (−x) = 0

wobei−x =

−x1

−x2

...−xn

2.2. VEKTOREN 29

• skalare Multiplikation: Fur x ∈ Rn mit x =

x1

x2

...xn

undα ∈ R gilt:

αx =

αx1

αx2

...αxn

Fur die skalare Multiplikation gilt dasKommutativ- , dasAssoziativ- und dasDistributiv-Gesetz.

– Kommutativgesetz der skalaren Multiplikation: α · y = y · α– Assoziativgesetz der skalaren Multiplikation:α · (β · x) = (α · β) · x– Distributivgesetz der skalaren Multiplikation: α · (x+y) = α ·x+α ·y

und(α+ β)x = αx+ βx

– Neutrales Element der skalaren Multiplikation: 1 · x = xwobei1 = 1

• Skalarprodukt: Fur x, y ∈ Rn mit x =

x1

x2

...xn

undy =

y1y2...yn

gilt:

x · y =

x1

x2

...xn

·

y1y2...yn

=

n∑

i=1

xi · yi = x1 · y1 + x2 · y2 + · · · + xn · yn

Fur das Skalarprodukt gilt ebenfalls dasKommutativ- und dasDistributiv-Gesetz.

• Kreuzprodukt: Fur x, y ∈ R3 mit x =

x1

x2

x3

undy =

y1y2y3

gilt:

x× y =

x2 · y3 − x3 · y2x3 · y1 − x1 · y3x1 · y2 − x2 · y1

Fur das Kreuzprodukt gilt (nicht) das Kommutativgesetz.

2.2.3 Ubungen

1. Seiena =

13526

, b =

46157

, c =

15290

, d =

00000

undα ∈ R. Berechnet:


a) a+ b+ c

b) (a+ c) + d · αc) a · α+ (c · α) + a

d) α · (a+ b− c)

e) b · c+ a · d

2.3 Lineare Unabhangigkeit

Definition: n Vektorena1, . . . , an heißenlinear abhangig genau dann, wenn

∃

α1

...αn

∈ R

n \ 0 : α1a1 + α2a2 + · · · + αnan = 0

Diese Aussage laßt sich in der bereits bekannten Summenschreibweisen∑

i=1

αiai = 0

schreiben. Eineahnliche Summennotation hatten wir bereits bei der Einfuhrung desSummensymbols. So konnen wir uns diesen Term als Multiplikation eines skalarenSpaltenvektors1 mit denn Zeilenvektoren2 vorstellen.

↓1

→2 0 = a11α1 + a12α2 + . . . + a1nαn

......

...0 = an1α1 + an2α2 + . . . + annαn

Anschaulich sind z.B. mehrere Vektoren imR3 immer genau dann linear abhangig,wenn sich einer dieser Vektoren durch Addition und/oder skalaren Multiplikation ausden beiden anderen kombinieren laßt (Linearkombination ).

Definition: Vektoren sind genau dann linear unabhangig, wenn sie nicht linear abhangigsind.

Um nun zuuberprufen, ob Vektoren linear abhangig sind, gilt es obiges lineares Glei-chungssystem (LGS) zu losen. Dabei gibt es mehrere Moglichkeiten:

1. Es gibt nur dietriviale Losung. Das heißt, nur der Nullvektor ist Losung.⇒ DieVektoren sind linear unabhangig.

2. Das LGS hat eine nichttriviale Losung.⇒ Die Vektoren sind linear abhangig.

Das fuhrt uns direkt zum Losen von linearen Gleichungssystemen.

2.3.1 Ubungen

1. Stelle den Vektorw jeweils als Linearkombination der Vektorenv1, v2, v3 dar:

a) w =

11225

, v1 =

101

, v2 =

731

, v3 =

258

2.4. GLEICHUNGSSYSTEME 31

b) w =

1−13−1

, v1 =

151

, v2 =

091

, v3 =

3−31

2. Sind folgende Vektoren linear abhangig?

a) a1 =

001

, a2 =

010

, a3 =

100

b) b1 =

001

, b2 =

011

, b3 =

010

c) c1 =

123

, c2 =

456

, c3 =

71115

2.4 Gleichungssysteme

Wie aus der Schule bekannt sein sollte, lassen sich Gleichungssysteme zur besserenHandhabung als Matrizen schreiben. Zum Beispiel entspricht das Gleichungssystem

0 = a11α1 + a12α2 + . . . + a1nαn

......

...0 = an1α1 + an2α2 + . . . + annαn

der Matrix

a11 a12 . . . a1n

......

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣

0...0

2.4.1 Gauß’sches Eliminationsverfahren

Das Eliminationsverfahren von Gauß bietet ein einfaches, aber effizientes Verfahren zurLosung von LGS. Beim Losen eines LGS versucht man einzelne Variablen aus Glei-chungen zu isolieren und so zu berechnen. Dann setzt man diese Ergebnisse wieder indie verbleibenden Gleichungen ein. Der Schritt des Isolierens wird im GaußverfahrendurchUberfuhren der Matrix inStufenform erreicht. Eine Matrix in Stufenform siehtwie folgt aus:

|⊛|⊛

0. ..

|⊛

Beispiele:

(1 −10 1

)

,

(1 1 10 1 2

)

,

1 1 10 1 20 0 7

Eine Matrix wird durch mehrfaches

Anwenden folgender Operationen in Stufenform gebracht.

1. Vertauschen von zwei Zeilen


2. Addition desx-fachen deri-ten Zeile zurk-ten Zeile, wobeii 6= k und x ∈R \ 0.

Die Korrektheit dieser Operationen wird in den Einfuhrungsvorlesungen bewiesen.

2.4.2 Ubungen

a) SeiA =

2 3 2 41 1 1 1

0.5 1 1.5 −0.53 −1 1 2

undb =

77310

.

Lose folgende lineare Gleichung mit dem Gauß’schen Eliminationsverfahren:A ·x = b

2.5. MATRIZENRECHNUNG 33

2.5 Matrizenrechnung

Da wir nun mit Matrizen rechnen wollen, sind einige wichtigeRechenregeln und Kon-ventionen zu erwahnen.

2.5.1 Konventionen

Die Matrix der Form

1 0 . . . 0

0 1.. .

......

.. ... . 0

0 . . . 0 1

heißtEinheitsmatrix .

Um die Große einer Matrix anzugeben, bedient man sich der Schreibweisem × n,wobei einem × n Matrix m Zeilen undn Spalten hat. So kann man z.B. einen Spal-tenvektor alsm× 1 Matrix und einen Zeilenvektor als1 ×m Matrix auffassen.

2.5.2 Rechenregeln

Addition

• SeienA, B ∈ Rm×n. Dann ist der Eintrag in deri-ten Zeile und derj-ten Spalte

vonA + B gleich (A)ij + (B)ij . Hierbei bezeichnet(A)ij den Eintrag in deri-ten Zeile und derj-ten Spalte vonA ((B)ij analog).

• die Addition ist kommutativ:A+B = B +A

• und assoziativ:A+ (B + C) = (A+B) + C

Multiplikation mit einem Skalar

• SeiA ∈ Rm×n undα ∈ R. Dann gilt(αA)ij = α(A)ij

• ν ·A = ν · aij ∀i ∈ N : 0 ≤ i ≤ m,∀j ∈ N : 0 ≤ i ≤ n

• jedes Element der Matrix wird mit dem Skalar multipliziert


Multiplikation

• SeiA ∈ Rm×n undB ∈ R

n×l, dann gilt(A · B)ij =n∑

ν=1

(A)iν(B)νj . Das

Ergebnis ist einem× l Matrix.

•

A

B

A*B

k−te Spalte

i−te Zeilecik

.

•

1 4 3 0

1 1 −1 3

0 −2 −3 2

1 0 3

2 1 −4

1 −2 −6 6

3 17 17 −5

B

A C

2.5.3 Ubungen

a) SeiA =

1 5 21 4 23 2 5

undB =

3 −4 21 −1 0−2 2 −1

. BerechneA ·B.

b) SeiA =

135

undB =(2 4 6

). BerechneA ·B undB ·A.

Kapitel 3

Formalismen und Beweise

3.1 Logik

Wahrend man sich in der Schule hauptsachlich mit dem Erlernen von vorgegebenenVerfahren und deren Anwendung beschaftigt hat, liegt an der Uni der Schwerpunkt imAufstellen von (neuen) Aussagen und deren Beweis. Dabei istes essenziell, dass Aus-sagen so formuliert werden, dass fur jeden, der sich mit ihnen beschaftigt eindeutigklar ist, was diese bedeuten. Gesprochene Sprachen wie Deutsch oder Englisch sindviel zu unprazise, um komplexe Sachverhalte eindeutig und kompakt zu formulieren.Diese Lucke schließt die Logik als formale Sprache der Mathematik,Digataltechnikund Informatik. Daruber hinaus sind die Methoden der Logik auch in vielen Bereichendie Grundlage auf der z.B. die Theorien der kunstlichen Intelligenz oder der Rechner-architektur basieren. Diese formale Logik bereitet aber inden Einfuhrungsvorlesungenoft große Schwierigkeiten, daher werden wir an dieser Stelle etwas weiter “ausholen”.

3.1.1 “Spielregeln” der Aussagenlogik

• AussagenWie bereits angedeutet, beschaftigt man sich in der Aussagenlogik mit Aussagen;-), deren Eigenschaften und Verknupfungen zu neuen Aussagen. Intuitiv ist eineAussage die Beschreibung einer Tatsache wie z.B. “das Haus ist rot”.

• WahrheitswerteAussagen sind entweder wahr oder falsch: “das Haus ist rot” oder es ist es ebennicht. Diese Wahrheitswerte werden meist mit0 und1 oder mitfalseund trueangegeben.

• BelegungJeder Variablen einer Aussage wird genau ein Wahrheitswertzugeordnet.a 7→M = 0, 1 oderA 7→ M = false, true. Man spricht von der Belegung derVariablen (mit einem Wahrheitswert).

3.1.2 Verknupfung von Aussagen

Um mit Aussagen effektiv arbeiten zu konnen, verknupft man bereits bekannte (bewie-sene) Aussagen zu neuen. Die Verknupfungsregel garantiert dabei die Korrektheit derso entstehenden Aussagen.

35

36 KAPITEL 3. FORMALISMEN UND BEWEISE

• NegationUm eine Aussage zu verneinen, bedient man sich der Negation.¬(“das Haus istrot”) bedeutet also, “das Haus ist nicht rot”. Man schreibt fur¬a aucha.

Sprechweise fur¬a: ‘‘nicht a’’ .

Mengenschreibweise: Fur a ∈ 0, 1 : ¬a ist logischaquivalent zu1 − a.

Naturlich gilt: ¬¬a = a.

Wahrheitstabelle:a ¬a0 11 0

• UndDie Und-Verknupfung zweier Aussagen (a undb) wird durch (a∧b) symbolisiert.Fur die Aussage(a∧ b) mit a, b ∈ 0, 1 gilt: (a∧ b) = 1 gdwa = 1 undb = 1.Ein Term aus Und-Verknupfungen, z.B. ((a ∨ b) ∧ (c ∨ d) ∧ e), bezeichnet manalsKonjunktion .

Sprechweise fur a ∧ b: ‘‘ a und b’’ .

Mengenschreibweise: Fur a, b ∈ 0, 1 : (a ∧ b) ist logischaquivalent zumin(a, b) = a · b.

Wahrheitstabelle:

a b a∧ b0 0 00 1 01 0 01 1 1

• OderIm Gegensatz zum umgangssprachlichen “oder” versteht man unter dem logi-schen Oder nicht das “exklusive oder” (vergleiche die Wahrheitstabellen). Fura, b ∈ 0, 1 gilt also (a ∨ b) = 1 gdw a = 1 oderb = 1. Insbesondere gilt:(1 ∨ 1) = 1.Ein Term aus Oder-Verknupfungen, z.B. ((a ∧ b) ∨ (c ∧ d) ∨ e), bezeichnet manalsDisjunktion .

Sprechweise fur a ∨ b: ‘‘ a oder b’’ .

Mengenschreibweise: Fur a, b ∈ 0, 1 : (a ∨ b) ist logischaquivalent zumax(a, b).

Wahrheitstabelle:

a b a∨ b0 0 00 1 11 0 11 1 1

• XOREine Aussage mit “exklusivem oder”,(a ⊕ b) wird also nur wahr, wenn jeweilsnur einer der beiden Operanden wahr ist.

Sprechweise fur a⊕ b: ‘‘ a xor b’’, ‘‘entweder a oder b’’ .

Mengenschreibweise: Fur a, b ∈ 0, 1 : (a⊕ b)) ist logischaquivalent zu(a+ b) mod 2.

3.1. LOGIK 37

Wahrheitstabelle:

a b a⊕b0 0 00 1 11 0 11 1 0

• ImplikationFolgt aus einer Aussagea ∈ 0, 1 direkt die Aussageb ∈ 0, 1, so schreibtmana⇒ b. D.h.b ist wahr, wenna wahr ist.

Sprechweise fura⇒ b: ‘‘ a impliziert b’’ oder ‘‘aus a folgtb’’ .

Mengenschreibweise: Fur a, b ∈ 0, 1 : (a ⇒ b) ist logischaquivalent zu(¬a ∨ b).

Wahrheitstabelle:

a b a⇒ b0 0 10 1 11 0 01 1 1

• Genau dann, wenn (gdw)Oft hat man die Beziehunga gilt gdw b gilt. Man schreibt(a ⇔ b), wenn fura, b ∈ 0, 1 gilt: (a⇒ b) ∧ (b⇒ a).

Sprechweise fur a⇔ b: ‘‘ a gdw b’’ .

Mengenschreibweise: Fur a, b ∈ 0, 1 : (a ⇔ b) ist logischaquivalent zu(a = b).

Wahrheitstabelle:

a b a⇔ b0 0 10 1 01 0 01 1 1

3.1.3 De Morgan’sche Regeln... und andere

Hat man nun logische Verknupfungen von Aussagen mit den oben vorgestellte Ope-ratoren, kann man damit formale Aussagen konstruieren. Oftist es aber notwendig,diese Aussagen in eine gunstigere Form umzuwandeln (z.B. werden Schaltungen oftnur durch NAND-“Gatter” realisiert). Daher ist es wichtig,logische Aussagen umfor-men zu konnen.

• Erste De Morgan’sche Regel:

a ∨ b = (a ∧ b)

Durch diese Regel lassen sich Disjunktionen in Konjunktionen umwandeln.

• Zweite De Morgan’sche Regel:

a ∧ b = (a ∨ b)

Durch diese Regel lassen sich Konjunktionen in Disjunktionen umwandeln.


• Kontrapositionsgesetz:a→ b = (b→ a)

Manche Lokalredakteure missachten diese Regel gerne mal. ;)

• Distributivgesetz:(a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = a ∨ (b ∧ c)

3.1.4 Quantoren

Die Aussagenlogik, wie wir sie kennengelernt haben, hat aber ihre Grenzen. Man kannzum Beispiel keinerlei Aussagenuber Mengen treffen. “Alle Hauser sind rot” oder “Esgibt ein rotes Haus” laßt sich mit dieser Logik nicht formulieren. Daher fuhren wir mitden Quantoren erweiterte Regeln ein, die dies ermoglichen.

• Fur alleMochte man eine Aussageuber alle Elemente einer Menge treffen, so schreibtman:∀m ∈M : ...

Sprechweise:‘‘F ur alle m in M gilt ...’’

Beispiel:∀x ∈ N : x ≥ 0 ‘‘F ur alle x aus N gilt: x ≥ 0’’

• Es existiertMochte man ausdrucken, dass es mindestens ein Element der Menge gibt, furdas eine Aussage zutrifft, so schreibt man:∃m ∈M : ...

Sprechweise:‘‘Es existiert ein m in M f ur das gilt ...’’

Beispiel:∃x ∈ N : x < 10 ‘‘Es existiert ein x in N f urdas gilt: x < 10’’

3.1.5 Ubungen

1) SeiS Menge der Studenten,AMenge der Aufgaben undl(s, a) mit s ∈ S, a ∈ Adie Funktion ”Student lost Aufgabe”.Ubersetze folgende Aussagen:

a) Es gibt einen Studenten, der alle Aufgaben losen kann.

b) Jede Aufgabe kann von mindestens einem Student gelost werden.

c) Es gibt genau zwei Studenten, die keine Aufgabe losen konnen.

d) Alle Studenten konnen entweder alle oder gar keine Aufgaben losen.

2) Stellea⊕ b nur mit Hilfe der ”und” und ”nicht” Verknupfungen dar.

3.2. BEWEISE 39

3.2 Beweise

Wir sind jetzt in der Lage, formale Aussagen zu treffen und somit Behauptungen auf-zustellen. In den meisten Fallen ist es aber notwendig, seine Behauptungen auch zubeweisen.

3.2.1 Was ist ein Beweis?

Um zu zeigen, dass eine aufgestellte Behauptung (z.B. wissenschaftliche Theorie) all-gemein korrekt ist und nicht nur fur Einzelfalle gilt, wendet man auf bereits bekannte(bewiesene) Aussagen allgemeingultige Regeln an und beweist so deren Gultigkeit. EinBeweis ist also eine Folge von Beweisschritten, an deren Ende die zu beweisende Aus-sage steht. Ein Beweisschritt ist das Anwenden einer oder mehrerer bereits bekannterRegeln auf Aussagen.Naturlich muss man mit der Beweiserei irgendwo anfangen und einige wenige Din-ge lassen sich auch nicht herleiten - daher bleibt es uns auchin der Mathematik nichterspart, einige sehr wenige Aussagen als gegeben hinnehmenzu mussen. Solche Aus-sagen nennt manAxiome.

3.2.2 Wozu Beweise?

In der Schule hat man sich meist damit begnugt, Aussagen einfach als gegeben hin-zunehmen und diese lediglich zur Losung von Problemen anzuwenden. An der Uni-versitat hingegen geht es selten darum, etwas auszurechnen, sondern darum neue Aus-sagen (z.B. Rechenvorschriften) zu “entdecken”. Um die Fahigkeit zu erlangen, neueAussagen zu entwickeln, beschaftigt man sich vorerst mit dem Beweisen (nachvollzie-hen) von bereits bekannten Aussagen. Auch in der Informatikist es nicht nur fur wis-senschaftliches Arbeiten wichtig, Beweise zu fuhren, auch in der Berufspraxis werdenoft Korrektheitsbeweise von Programmen gefordert (z.B. Autopilot eines Flugzeugs...).Es gibt viele Ansatze einen Beweis zu fuhren, die wichtigsten werden hier vorgestellt.

3.2.3 Direkter Beweis

Die einfachste Art und Weise, eine Behauptung zu beweisen, ist die direkte Berechnungder Behauptung durch wiederholtes Anwenden und Einsetzen bekannter Regeln aufbekannte Aussagen.

• Beispiel 1: Behauptung:3∑

i=1

i = 6. Beweis:3∑

i=1

i = 1 + 2 + 3 = 6.

• Beispiel 2: Behauptung:n∑

i=1

m∑

j=1

aij =m∑

j=1

n∑

i=1

aij .


Beweis:

m∑

j=1

n∑

i=1

aij =

(n∑

i=1

ai1

)

+

(n∑

i=1

ai2

)

+ ...+

(n∑

i=1

aim

)

= (a11 + a21 + ...+ an1) + ...+ (a1m + a2m + ...+ anm)

= (a11 + a12 + ...+ a1m) + ...+ (an1 + an2 + ...+ anm)

=

m∑

j=1

a1j

+

m∑

j=1

a2j

+ ...+

m∑

j=1

anj

=n∑

i=1

m∑

j=1

aij

Es kommen also auf beiden Seiten allemn Summandenaij , 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤j ≤ m, vor, nur in anderer Reihenfolge. Somit gilt die Behauptungnach demKommutativgesetz der Addition.

3.2.4 Ubungen

Beweise folgende Behauptungen:

a) SeiA ∈ Rn×n undEn dien-dimensionale Einheitsmatrix, dann istA · En = A

b) Ausa+ 1a

= b folgt a3 + 1a3 = b3 − 3b

3.2.5 Beweis durch Widerspruch (indirekter Beweis)

Oftmals ist es jedoch deutlich pragmatischer, eine Aussagea nicht direkt zu beweisen,sondern zu zeigen, dass das Gegenteil¬a nicht eintreten kann(¬¬a → a). Damitdieser “logische Trick” funktioniert, reicht es, ein Gegenbeispiel zu finden, das¬awiderlegt . Um zu zeigen, dass eine allgemeine Aussage nichtstimmt, reicht naturlichauch lediglich ein Gegenbeispiel.

• Beispiel: Behauptung:∀a, b ∈ N : (a+ b) ∈ N.Beweis:Angenommen, dies wurde nicht gelten, dann ware die Aussage¬(∀a, b ∈N : (a+b) ∈ N) wahr. Diese Aussage istaquivalent zu:∃a, b ∈ N : (a+b) /∈ N.Nach der axiomatischen Herleitung der Naturlichen Zahlen gilt fur a ∈ N →

a+ ∈ N. Das bedeutet aber, dassa + b = a

++.+

︸︷︷︸b ∈ N sein muss, somit ist die

negierte Aussage falsch.

3.2.6 Ubungen

Beweise oder widerlege folgende Behauptungen:

a) Jede Zahl, deren Quersumme durch 7 teilbar ist, ist eine Primzahl1.

b) Die Menge der naturlichen Zahlen besitzt kein großtes Element.

1eine Zahl ist prim gdw sie nur durch 1 und durch sich selbst teilbar ist

3.2. BEWEISE 41

3.2.7 Vollstandige Induktion

Viele Probleme sind im Bereich der naturlichen Zahlen angesiedelt. Um eine Aussageuber naturliche Zahlen zu beweisen, kann man sich der besonderen Eigenschaften die-ses Zahlenraumes bedienen. Besonders eine Eigenschaft, die durch das 5. Axiom vonPeano definiert ist, macht man sich zunutze.

AusA ⊆ N und1 ∈ A sowie fur jedesa ∈ A gilt a+ ∈ A folgt A = N.

Intuitiv l aßt sich aus diesem Axiom ableiten, dass es, um die allgemeine Gultigkeiteiner AussageP auf den naturlichen Zahlen zu beweisen, vollig hinreichend ist, dieseAussage fur eine MengeA ⊆ N zu zeigen. Voraussetzung ist, dassP fur 1 ∈ A gilt(P (1), Induktionsanfang2) und∀a ∈ A : P (a) → P (a+) (Induktionsschritt ).Anschaulich laßt sich dies durch das folgende Beispiel verdeutlichen: Angenommenman hat eine Reihe von Dominosteinen aufgestellt. Zu beweisen ist, dass alle Domi-nosteine umfallen, wenn der erste Stein umfallt. Dazu muss naturlich zuerst gezeigtwerden, dass der erste Steinuberhaupt umfallen kann (P (1)). Kann man weiter zei-gen, dass jeder Stein(P (n)) im Fallen seinen Nachfolger ((P (n + 1)) umstoßt, so istbewiesen, dass alle Steine umfallen. Bei dem Beweis darf davon ausgegangen werden,dass dern-te Stein (P (n)) fallt (Induktionsvoraussetzung), da bereits gezeigt wurde,dass der erste Stein (P (1)) fallt (Induktionsanfang) und somit die “Kettenreaktion”gestartet ist.

Beispiel: Behauptung:P (n) =n∑

i=1

i = n(n+1)2

Beweis:

1. Induktionsanfang: Zu zeigen: fur (n = 1) gilt P (1).

1∑

i=1

i = 0 + 1 =1(1 + 1)

2.

2. Induktionsvoraussetzung:Es gelte

n∑

i=1

i =n(n+ 1)

2

fur eingegebenesn.

3. Induktionsschritt: Zu zeigen:(n→ n+ 1) Mit P (n) gilt auch

P (n+ 1) =(n+ 1)((n+ 1) + 1)

2

2Die Induktion beginnt immer mit dem ersten Element, dies muss abernicht unbedingt die eins sein!


n+1∑

i=1

i = (n+ 1) +

n∑

i=1

i

=︸︷︷︸

IV !

(n+ 1) +n(n+ 1)

2

=2(n+ 1)

2+n(n+ 1)

2

=2(n+ 1) + n(n+ 1)

2

=(n+ 1)(2 + n)

2

=(n+ 1)((n+ 1) + 1)

2

Um nochmal zu unserer Anschauung mit den Dominosteinen zuruck zu kommen: Manmuss also zeigen, dassjeder beliebige Steinn seinen Nachfolgern+ 1 umwirft. Dieslasst sich durch Induktion beweisen - aber nicht durch simpleStichproben! Nur weilder erste, zweite, dritte und vierte Stein fallen, beweist das noch lange nicht, dass z.B.der zehnte Stein auch fallt. Ein Beweis durch Beispielist also nicht zulassig!

3.2.8 Ubungen

Beweise folgende Behauptungen

a) n2 ≤ 2n

b)n∑

i=0

12i = 2(1 − 1

2n+1 )

3.3 Rekursion

Die induktive Eigenschaft der naturlichen Zahlen laßt sich noch fur weitere Technikengeschickt nutzen. So kann man, um bei der bildhaften Darstellung der Dominosteinezu bleiben, die Eigenschaften desn-ten Dominosteins durch seine Beziehung zu sei-nem Vorganger (dem(n− 1)-ten Dominostein) angeben. Diese Vorgehensweise ist oftdeutlich pragmatischer als die Methode, fur jeden Stein die Eigenschaften einzeln an-zugeben (da in der Regel ohnehin mit unendlich vielen Steinen gearbeitet wird). Manmuss also lediglich die Beziehung zwischen den Steinen und die Eigenschaft des erstenSteines (Basisfall) angeben, um die Eigenschaft jedes beliebigen Steines schrittweiseberechnen zu konnen. Diesen Schritt der Berechnung vonP (n) durch seinen Vorganger(P (n− 1)) nennt manRekursion.Beispiel: Die Fibonacci-Zahlen sind wie folgt definiert:

F (0) = 1

F (1) = 1 Basisfalle

F (n+ 2) = F (n+ 1) + F (n)

3.3. REKURSION 43

D.h.,F (n) = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ....Mittels der Rekursion konnen auch komplizierte Algorithmen einfach implementiertwerden, was rekursive Programmierung zu einer unverzichtbaren Standardtechnik derInformatik macht.

3.3.1 Ubungen

1) definiert rekursiv die Addition von zwei naturlichen Zahlenadd(a, b) = a + b.Dabei sollen nur die Operationensucc(n) := n + 1 und pre(n) := n − 1verwendet werden.

2) die Ackermann-Funktion ist definiert durch :

a(0, y) = y + 1

a(x, 0) = a(x− 1, 1) fur x > 0

a(x, y) = a(x− 1, a(x, y − 1)) fur x, y > 0

berechnet a(1,1).


Kapitel 4

Analysis

Obwohl einige Inhalte der Analysis bereits in den Vorlesungen im 1. und 2. Semestervermittelt werden, gibt es viele studienrelevante Grundlagen aus diesem Gebiet, diedie Schulbildung vieler Erstsemester mehr als ausreizen. Einige Theorien in den erstenInformatik- und Elektrotechnikvorlesungen beruhen auf kontinuierlichen Phanomenen,die nach dem mathematischen Studienplan erst einige Zeit spater “auftreten” durften.Wir bemuhen uns daher, diese “Lucke” vorubergehend mit einer intuitiven Darstel-lung wichtiger Aussagen zu schließen. Auf formale Herleitungen oder gar Beweisemochten wir daher fast ganzlich verzichten und ein weiteres mal auf die entsprechen-den Vorlesungen verweisen. Zuerst werden wir aber das (hoffentlich noch vorhandene)Schulwissen etwas auffrischen.

4.1 Funktionen

Definition: Unter einer Funktionf : A → B versteht man eine Abbildung von derMengeA auf die MengeB.

A

B

f

Jede Funktion ordnet eindeutigeinem Element aus A ein Element aus B zu.

• Beispiel :f : R → R f ist eine Abbildung von R nach R

• Beispiel :f : x 7→ x2; man schreibt auchf(x) = x2

x

y

45

46 KAPITEL 4. ANALYSIS

• Gegenbeispiel :f(x) = ±√

1 − x2

x

y

Dies ist keine Funktion, da z.B. der Nullstellef(0) = 1 undf(0) = −1 zuge-ordnet wird.

Fur viele Aussagenuber Funktionen ist es von Bedeutung, wie Mengen aufeinanderabbgebildet werden. Z.B. wird auf jedes Element der Zielmenge abgebildet? Man un-terteilt Funktionen nach diesen Eigenschaften ininjektive, surjektive und bijektiveAbbildungen.

4.1.1 Injektivit at

Definition: Eine Funktionf : A→ B nennt man injektivgdw

∀a, a′ ∈ A : f(a) = f(a′) ⇒ a = a′

Fur jedes Elementb in B gibt es also hochstens eina ausA das aufb abgebildet wird(f(a) = b).

x

x

x

x

y

y

y

y

yy

Beispiel:f(x) = x. Gegenbeispiel:f(x) = 2.

4.1.2 Surjektivitat

Definition: Eine Funktionf : A→ B nennt man surjektivgdw

∀b ∈ B ∃a ∈ A : b = f(a).

D.h. auf jedes Element der MengeB wird mindestens ein Element ausA abgebildet.

4.2. FOLGEN 47

x

x

x

x

x

y

y

y

y

y

x

x

4.1.3 Bijektivit at

Definition: Eine Funktionf : A→ B nennt man bijektivgdwf injektiv und surjektivist.

4.1.4 Ubung

Welche dieser Abbildungen sind injektiv, surjektiv oder bijektiv?

*

**

*

**

**

*

**

*

**

**

*

**

*

**

**

*

**

*

**

**

*

**

*

**

**

*

**

*

**

**

a) c)

d) f)e)

b)

4.2 Folgen

Viele Fragestellungen in der Analysis und deren Anwendungen fuhren auf die Betrach-tung von Zahlenfolgen.

Definition: Eine Abbildung der Artf : N\0 → R nennen wir eine Zahlenfolge oderkurz(fn)n∈N. So lassen sich beliebige reelle Zahlen “aufzahlen”, also in eine bestimm-te Reihenfolgebringen, die durch die Zuweisung der naturlichen Zahlen geordnet ist.Bisher haben wir solche Folgen intuitiv veranschaulicht :

f1, f2, f3, f4, ...

Mit fn bezeichnet man das n-teFolgengliedder Folge(fn).

4.2.1 Beispiele fur Folgen

1. 1, 1, 1, 1, 1, 1, . . . (fn) = 1

2. 1, 12 ,

13 ,

14 , . . . (fn) = 1

n

3. 13 ,

12 ,

15 ,

14 ,

17 ,

16 , . . . (fn) =

1

n+2 fur n ungerade1n

sonst

4. − 12 ,

23 ,− 3

4 ,45 , . . . (fn) = (−1)n n

n+1


4.2.2 Ubungen

1) Gebt die ersten Glieder der Folgen(fn) mit n ∈ N \ 0 an :

a) (fn) = n+1n

b) (fn) = sin(

nπ2

)

c) (fn) = nn

2) Gebt diese Folgen in Folgennotation(fn) mit n ∈ N \ 0 an :

a) (fn) = 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

b) (fn) = 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, ...

c) (fn) = 0.5, 3, 1.5, 6, 2.5, 9, 3.5, ...

4.2.3 Konvergenz von Folgen

Fur viele Folgen ist zu beobachten, dass ihre Werte sich einerbestimmten reellen Zahl“immer mehr annahern”, je großer man die Argumente der Folge wahlt. Zum Beispiel“nahert” sich(fn) = ( 1

n) immer mehr der Null, je großer n wird.

Wir werden nun versuchen, diese Beobachtung mathematisch formal zu erfassen.

Definition: Zunachst definieren wir uns eine Umgebung fur eine reelle Zahla ∈ R aufder Zahlengerade.

x

ε

a

a+ εa ε_

Fur den “Radius”ǫ der UmgebungU gelte :ǫ > 0. Als ǫ-Umgebung von a bezeichnenwir so die Menge

U(a, ǫ) := x|(a− ǫ) < x < (a+ ǫ) = x∣∣|a− x| < ǫ

ǫ kann dabei beliebig klein werden.

Definition: Die Zahlenfolge(fn) heißt konvergent mit Grenzwert a, wenn es zu jederǫ-UmgebungU(a, ǫ) eine naturliche Zahln0 gibt, so dass gilt:

fn ∈ U(a, ǫ)∀n ≥ n0

Wenn eine Folge(fn) mit den Grenzwerta konvergiert, so schreiben wir

limn→∞

(fn) = a

Bemerkung: Fur die Grundvorlesungen ist es lediglich von Bedeutung, Grenzwerteberechnen zu konnen. Das Verstandnis, der hier der Vollstandigkeit halber aufgefuhr-ten Herleitung, wird sich (hoffentlich) mit der Analysisvorlesung einstellen. Der Lesersollte sich an dieser Stelle nicht all zu sehr “abschrecken”lassen ;-).

Beispiel:

4.3. ABLEITUNGEN VON FUNKTIONEN 49

• Behauptung:(fn) = ( 1n) konvergiert gegen 0

• Beweis:Gesucht wird zu jedemε > 0 eine naturliche Zahln0, so dass

∣∣∣∣

1

n− 0

∣∣∣∣=

1

n< ǫ fur n ≥ n0

Furn0 laßt sich leicht eine naturliche Zahl finden, fur die gilt:n0 >1ε. Dann gilt

fur allen ≥ n0

1

n≤ 1

n0< ε

Eine Folge die gegen 0 konvergiert nennt manNullfolge.

4.2.4 Rechenregeln fur konvergente Folgen

Sei c ∈ R und limn→∞

(fn) = a, limn→∞

(gn) = b, dann sind die Folgen(fn + gn) und

(c · fn) konvergent und es gilt:

• limn→∞

(fn + gn) = a+ b

• limn→∞

c · (fn) = c · a

• Wenn limn→∞

(fn) = a 6= 0, dann gilt limn→∞

1

(fn)=

1

a

4.2.5 Ubungen

1) gebt an, ob diese Folgen fur n→ ∞ konvergieren.

a)an = αn+βnn2 mit α, β ∈ R

b) bn = n2

n+1

c) cn =n∑

i=1

in2

4.3 Ableitungen von Funktionen

Kaum ein Thema wird in der Schule so intensiv eingeubt wie das Ableiten von Funk-tionen. Daher sollte der Inhalt des folgenden Abschnitts wohlbekannt sein. Wir wollenan dieser Stelle aber nicht nur Altbekanntes auffrischen - die Ableitung einer Funktioneignet sich auch hervorragend, um noch einmal eine Anwendung von Grenzwerten zudemonstrieren.Intuitiv l aßt sich die (erste) Ableitungf ′(a) einer Funktionf im Punkta als Steigungder Tangente ina veranschaulichen.


x

y

a

f(a)

Formal zeigt sich diese Beziehung durch den Grenzwert

limx→a

f(x) − f(a)

x− a= f ′(a)

4.3.1 Schreibweisen

a) Allgemeine Notationen:

f ′(x0) =df(x)

dx

∣∣∣∣x=x0

=df

dx(x0) =

d

dxf(x0)

f ′′(x0) =d2f(x)

dx2

∣∣∣∣x=x0

=d2f

dx2(x0) =

d2

dx2f(x0)

b) In der Physik ubliche Kurzschreibweise bei der Ableitung nach der Zeit:

df(x, t)

dt= f(x, t)

d2f(x, t)

dt2= f(x, t)

Beispielsweise ist die zweite Ableitung der Ortsfunktionx(t) eines Objektesdessen Beschleunigung a:

x = a

b) Partielle Ableitung (bei Funktionen mit mehreren Variablen):

∂f

∂x= fx = ∂xf

Beispiel:SeiV = nRTp

das Volumen eines idealen Gases.So ist die Temperaturabhangigkeit des Volumens:

∂V

∂T=nR

p

Und die Druckabhangigkeit:

∂V

∂p= −nRT

p2

Und die Spaß-am-Mathevorkurs-Abhangigkeit:

∂V

∂s= 0

4.3. ABLEITUNGEN VON FUNKTIONEN 51

4.3.2 Ableitungsregeln

a) Linearit at:

(f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x)

(λf)′(x) = λf ′(x)

b) Produktregel:(fg)′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x).

c) Quotientenregel:

(f

g

)′

(x) =f ′(x)g(x) − f(x)g′(x)

g(x)2

d) Kettenregel:(f g)′(x) = g′(f(x))f ′(x)

4.3.3 Einige wichtige Ableitungen

Um das Ableiten von Funktionen zu erleichtern, hier eine kleine Auflistung gebrauch-licher Ableitungen.

• f(x) = axn ⇒ f ′(x) = (n · a)xn−1

• f(x) = sin(x) ⇒ f ′(x) = cos(x)

• f(x) = cos(x) ⇒ f ′(x) = (−sin(x))

• f(x) = ln(x) ⇒ f ′(x) = 1x

x > 0

• f(x) = ex ⇒ f ′(x) = ex

4.3.4 Ubungen

1) Gib jeweils die Ableitungf ′(x) an:

a)f(x) = (x− 1)(1 − x3)

b) f(x) = x3+3 3√

x

2x2+x

c) f(x) = 1 − cos2x

d) f(x) = (lnx)2

2) Beweise das Cosinus-Additionstheorem durch Differenzieren des Sinus-Additionstheorems:

sin(x) · cos(y) + sin(y) · cos(x) = sin(x+ y)

Fange zum Beispiel an mit:∂∂x

(sin(x) · cos(y) + sin(y) · cos(x))Cosinus-Additionstheorem:cos(x) · cos(y) − sin(y) · sin(x) = cos(x+ y)


4.4 Die Regeln von De L’Hospital

Oft hat man einen Grenzwert der Artlimx→a

f(x)

g(x)zu berechnen. Das Problem dabei ist

oft, dass sowohllimx→a

f(x) = 0 als auchlimx→a

g(x) = 0, bzw. sowohllimx→a

f(x) = ∞

als auchlimx→a

g(x) = ∞ ist. Was ist dann der Grenzwertlimx→a

f(x)

g(x)?

Die Regeln von L’Hospital. Seienf und g fur x > a definiert und differenzierbar.

Gilt auch limx→a

f(x) = limx→a

g(x) = 0 und g(x) 6= 0 so existiertlimx→a

f(x)

g(x)wenn der

Grenzwertlimx→a

f ′(x)

g′(x)existiert und es gilt :

limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x)

Beispiele:

1) limx→0

3x2 + 2x

5x2 − 8x= lim

x→0

6x+ 2

10x− 8= (−1

4)

2) limx→0

x5 + 3x2

9x2= lim

x→0

5x4 + 6x

18x= lim

x→0

20x3 + 6

18=

1

3

4.4.1 Ubungen

1) berechnet :

a)a = limx→0sin(x)

x

b) b = limx→0cos(x)−1

x2

c) c = limx→1ln(x)

(x−1)2

Kapitel A

Elementare Rechenregeln

A.1 Bruchrechnen

• Erweitern:ab

= a·kb·k k ∈ N/0

• Kurzen:ab

= k·ck·d = c

d

• Addition: ab

+ cd

= a·d+b·cb·d

• Multiplikation: ab· c

d= a·c

b·d

• Division: ab

: cd

= ab· d

c= ad

bc

A.2 Potenzen

furm,n ∈ N/0; a, b ∈ R gilt:

• am · an = am+n

• am

an = am−n

• (am)n = (an)m = am·n

• an · bn = (a · b)n

A.3 Wurzeln

furm,n ∈ N/0; a ≥ 0, b ≥ 0 ∈ R gilt:

• n√am = (am)

1n = a

mn = (a

1n )m = ( n

√a)m

• m√

n√a =

m√

a1n = (a

1n )

1m = mn

√a

• n√a · n

√b = (a

1n ) · (b 1

n ) = (ab)1n = n

√ab

• aber: n√a± b 6= n

√a± n

√b

53

54 KAPITEL A. ELEMENTARE RECHENREGELN

Kapitel B

Literatur

Hier einige Standardwerke, an denen wir uns bei der Erstellung dieses Kurses orientierthaben:

Otto Forster Analysis 1 ViewegGerd Fischer Lineare Algebra ViewegUlrich Knauer Diskrete Strukturen SpektrumUwe Schoning Logik fur Informatiker SpektrumLothar Papula Mathematik fur Ingenieure und Naturwis-

senschaftler I-IIIVieweg

55

56 KAPITEL B. LITERATUR

Kapitel C

Tabellen

Zur Orientierung geben wir hier das griechische Alphabet an. Die Symbole, die denlateinischen Buchstabenahnlich sehen, werden dabei nur selten verwendet:

A α Alpha N ν NyB β Beta Ξ ξ XiΓ γ Gamma O o Omikron∆ δ Delta Π π, PiE ǫ, ε Epsilon P ρ, RhoZ ζ Zeta Σ σ, ς SigmaH η Eta T τ TauΘ θ, ϑ Theta Υ υ YpsilonI ι Jota Φ φ, ϕ PhiK κ Kappa X χ ChiΛ λ Lambda Ψ ψ PsiM µ Mu Ω ω Omega

57

58 KAPITEL C. TABELLEN

Kapitel D

Losungen

Die Losungen zu denUbungen aus dem Skript sind nach dem Kurs auf

http://fachschaft.informatik.uni-freiburg.de/ersti

zu finden.

59

Documents

Mathevorkurs Skript 4.Auflage V2 2008