Faktorisasi Matriks

Matriks

Modul 7,

FAKTORISASI MATRIKS

Penguraian Nilai Singular/ Singular Value

Decomposition(SVD)

Teorema 1 :

Jika A suatu matriks berukuran m xn

Dengan rank r >0, terdapat matriks

orthogonal Pmxm dan Qn x n,

sehingga A=PDQT dan D=PT AQ dimana

matriks D berukuran m xn diberikan oleh :

a) jika r = m = n

b) jika r = m < n

a) jika r = n < m

d)

jika r < m, r < n

Dimana merupakan matriks diagonal berukuran r x r,

dengan elemen diagonalnya positif.

Elemen diagonal dari matriks 2 merupakan eigen

value positif dari A TA dan AAT

)0(

)0(

)0()0(

)0(

AKIBAT 1.

Jika A matriks berukuran m x n dengan

Rank r>0, maka terdapat matriks P1

berukuran m x r dan Q berukuran n x r

Sedemikian hingga P1’.Q1=Ir dan A=P1Q1’

dimana matriks diagonal r x r dengan

Elemen diagonalnya positif

catatan

P merupakan eigen vektor dari AA’

Q eigen vektor A’A

P, Q merupakan E.Vektor yang

ternormalisasi

Contoh 1Jika A matriks simetris dan definit positif

matrix U dapat dihitung melalui :

◦ V dapat dihitung melalui :

21,

21,

21,

2110,120det

111

111

11

31

13

131

113

131

113

2121

TTT

T

uuIAA

AAA

305,

302,

301,0,

51,

52,

61,

62,

61

0,10,120det

242

4100

2010

131

113

11

31

13

131

113

321

321

TTT

T

T

vvv

IAA

AAA

V dapat dihitung melalui :

305,

302,

301,0,

51,

52,

61,

62,

61

0,10,120det

242

4100

2010

131

113

11

31

13

131

113

321

321

TTT

T

T

vvv

IAA

AAA

Lanjutan... Dengan 2

1=12 and 22=10, maka singular value decomposition

(SVD) dri A adalah :

Sehingga U, V and dihitung melalui nilai eigen dari

AAT dan ATA

Sembaramg matriks matriks dapat ditemtukan SVD akan tetapi hanya matriks definit positive yamg memiliki dekomposisi eige

0,5

1,5

2

21

21

106

1,6

2,6

1

21

21

12

131

113A

Latihan :

Tentukan SVD dari

11

66A

3 1 1

1 3 1A

Petunjuk.Tentukan

1. rank dari matriks A

2. A’A

3. eigen value dan eigen vektor dari A’A

4. AA’

5. eigen value dan eigen vektor dari AA’

6. 2 (matriks diagonal dengan elemen diagonal eigenvalue positif dari A’A dan AA’)

7. (matriks diagonal, dengan elemen diagonal akarpositif dari 2 )

8. Buat matriks P (eigen vektor ternormalisai dari AA’)

9. Buat matriks Q (eigen vektor ternormalisasi dari A’A)

Dekomposisi Spectral

Teorema 2 :

Jika A suatu matriks simetri berukuran m x m

dengan eigen value 1,2,...,m dan asumsikan

x1,x2,...,xm adalah himp orthonormal eigenvektor

yang bersesuaian dengan nilai eigen valuenya.

Jika =diag(1,2,.. m) dan X=(x1,x2,..,xm) maka

Berlaku

A=XXT

m

i

Ti

xi

xi1

Akar

Jika Am xm matrik definit positif dengan

menggunakan decomposisi spektral :

A=XXT

m

i

Ti

xi

xi1

Dimana XXT’= X

T X=I dan x1,x2,...,xm adalah

himp orthonormal eigenvektor yang bersesuaian

dengan nilai eigen valuenya

Jika =diag(1,2,.. m) dan X=(x1,x2,..,xm)

maka

i >0

Sehingga :

A-1

=X-1

XT

m

i

Ti

xi

x

i1

1

----Karena

(X-1

XT) XX

T =(XX

T )X

-1X

T= XX

T=I

Jika kita ambil 1/2

merupakan matriks

diagonal dengan elemen diagonal ke i adalah

(i)1/2

Matriks

m

i

XXTi

xi

xi

T

1

2/1 merupakan akar

dari matriks A

Dinotasikan A1/2

Dengan Sifat-sifat :

1. (A1/2

)T= A

1/2

2. A1/2

A1/2

=A

3. (A1/2

)-1

m

i

Ti

xi

x

i1

1

= X

-1/2X

T

4. A1/2

A-1/2

=A-1/2

A1/2

=I dan A-1/2

A-1/2

=A-1

,

dimana A-1/2

=(A1/2

)-1

Jika tidak A tidak nonnegative definit, maka

A1/2

matriks komplek jika beberapa eigen value

dari A negative

Perluasan jika A1/2

bukan matriks simetri

Pertimbangkan sembarang matriks A1/2

yang

memenuhi

A= A1/2

A1/2

Jika Q matriks orthogonal berukuran m x m ,

maka A1/2

=XA1/2

QT

Yang juga merupakan akar dari matriks

karena :

A1/2

(A1/2

)T= XA

1/2Q

T Q A

1/2X

T= XA

1/2I

A1/2

XT= XA

1/2 A

1/2X

T= XAX

T=A

Jika A1/2

matriks segitiga bawah dengan elemen

diagonal non negative, maka faktorisasi A=A1/2

(A1/2

)T dikenal sebagai Cholesky

Decomposition dari A