Mata Kuliah:

Aljabar Linear dan Matriks

2. Matriks & Vektor (1)

Aljabar Linear dan Matriks

Dosen Pengampu:Heri Sismoro, M.Kom.

STMIK AMIKOM Yogyakarta

STMIK AMIKOM YOGYAKARTA

Jl. Ringroad Utara Condong Catur Yogyakarta. Telp. 0274 884201 Fax 0274-884208

Website: www.amikom.ac.id

Matrix

• Matrix : kumpulan bilangan yang

disajikan secara teratur dalam baris dan

kolom yang membentuk suatu persegi

panjang, serta termuat diantara panjang, serta termuat diantara

sepasang tanda kurung.

=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

L

MMMM

L

L

21

22221

11211

Atau

=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

L

MMMM

L

L

21

22221

11211

Atau

= n

n

aaa

aaa

AMMMM

L

L

22221

11211

Baris

mnmm aaa L21

KolomUnsur Matrix

Matrix berukuran m x n atau berorde m x n

Jika ( m = n ) dinamakan matrix bujursangkar (square matrix)

Vektor�Vektor : bentuk matrix khusus yang hanya

mempunyai satu baris atau satu kolom.

vektor baris (berbaris tunggal)

vektor kolom (berkolom tunggal)

�Contoh : �Contoh :

[ ][ ]

−=

=

==

9

7

5

2

6

3

kolomVektor

736

542 barisvektor

dc

b

- a

Kesamaan matrix dan vektor• Dua matrix dikatakan sama apabila keduanya berorde sama dan semua

unsur yang terkandung di dalamnya sama (aij = bij, untuk setiap i dan j)

contoh :

C B C, A B, A maka

428

532

428

532

428

532

≠≠=

=

−=

−= CBA

• Dua buah vektor dikatakan sama apabila keduanya sejenis, sedimensi dan

semua unsur yang terkandung di dalamnya sama.

Contoh :

C B C, A B, A maka ≠≠=

[ ]

[ ]532

5

3

2

8

4

2

532

−=

−=

=−=

b

vuaMaka a = b,

u ≠ v, a ≠ u ≠ v

dan b ≠ u ≠ v

• Matrix dapat dikatakan sebagai kumpulan vektor

Amxn adalah matrix A yang merupakan kumpulan dari

m buah vektor baris dan n buah vektor kolom.

merupakan yangmatrix adalah 428

532

−=A

[ ]

[ ]428

4

5,

2

3,

8

2dan 53-2

vektor - vektordarikumpulan

−

Pengoperasian Matrix dan Vektor

• Penjumlahan dan Pengurangan

Dua buah matrix hanya dapat dijumlahkan dan dikurangkan apabila keduanya berorde sama.

A + B = C dimana c = a + bA + B = C dimana cij = aij + bij

• Berlaku kaidah Komutatif : A + B = B + A

• Kaidah Asosiatif : A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C

Perkalian Matrix dengan Skalar

• λA = B dimana

bij = λaij

• Contoh :

=

65

42A

=

===

=

1815

126

6.35.3

4.32.33 maka

3

65

BAAλ

λ

Kaidah Komutatif : λA = A λ

Kaidah Distributif : λ(A+B) = λA + λB

Perkalian Antar Matrix

• Dua buah matrix hanya dapat dikalikan

apabila jumlah kolom dari matrix yang

dikalikan sama dengan jumlah baris dari

matix pengalinya.

• A x B = C• Amxn x Bnxp = Cmxp

=

++++

=

5339

2317

8.47.36.45.3

8.27.16.25.1

86

75

43

21

Kaidah Asosiatif : A(BC) = (AB) C = ABC

Kaidah Distributif : A(B+C) = AB + AC

(A + B) C = AC + BC

Perkalian Matrix dengan Vektor

• Sebuah matrix yang bukan berbentuk vektor hanya

dapat dikalikan dengan sebuah vektor kolom, dengan

catatan jumlah kolom matrix sama dengan dimensi

vektor kolom yang bersangkutan, hasilnya adalah

berupa sebuah vektor kolom baru.berupa sebuah vektor kolom baru.

• Amxn x Bnx1 = Cmx1 n > 1

=

++

=

53

23

8.47.3

8.27.1

8

7

43

21

Bentuk-bentuk Khas Matrix

• Matrix Satuan / Identitas : Matrix

bujursangkar yang semua unsur pada

diagonal utamanya adalah angka 1

sedangkan unsur lainnya nol.sedangkan unsur lainnya nol.

• Contoh

=

=

100

010

001

I 10

01I 32

Matrix Diagonal

• Matrix diagonal adalah matrix

bujursangkar yang semua unsurnya nol

kecuali pada diagonal utama.

• Contoh : Matrix Identitas• Contoh :

10

01

400

030

003

50

03

Matrix Identitas

Matrix Nol

• Matrix nol : Matrix yang semua unsurnya

bernilai nol (0)

• Contoh :

=

=

000

0000

00

000 2x322x

Matrix Ubahan (transpose)

• Matrix ubahan ialah matrix yang

merupakan hasil pengubahan matrix lain

yang sudah ada sebelumnya, dimana

unsur-unsur barisnya menjadi unsur-unsur unsur-unsur barisnya menjadi unsur-unsur

kolom dan sebaliknya.

• Amxn=[aij] matrix ubahannya �A′nxm =[aji]

=

=

43

12'

41

32AA (A′) ′ = A

Matrix Simetrik

• Matrix simetrix adalah matrix

bujursangkar yang sama dengan

ubahannya.

• A = A′• A = A′

=

=

73

31'

73

31AA

AA′ = AA = A2

Matrix simetrik miring (skew symmetric)

• Matrik ini merupakan matrix bujursangkar

yang sama dengan negatif ubahannya.

• A = -A′ atau A′ = -A

−−−

=

−−

−=

−−−

=024

205

450

024

205

450

024

205

450

-A'A'A

Matrix Balikan (inverse matrix)

Matrix balikan : matrix yang apabila

dikalikan dengan suatu matrix bujursangkar

menghasilkan sebuah matrik identitas.

A � balikannya adalah A-1 A � balikannya adalah A-1

AA-1 = I

A-1 = adj.A ÷ |A|

Latihan

Buatlah soal dan pembahasan

dari materi di atas

Bentuk khas yang lain• Matrix skalar : matrix diagonal yang unsurnya

sama atau seragam (λ). Jika λ = 1 � matrix identitas

• Matrix ortogonal : matrix yang apabila dikalikan dengan matrix ubahannya menghasilkan matrix identitas (AA′=I)menghasilkan matrix identitas (AA′=I)

• Matrix singular : matrix bujursangkar yang determinannya sama dengan nol. Matrik semacam ini tidak memiliki inverse

• Matrix non-singular : matrix bujusangkar yang determinannya tidak nol, memiliki balikan (inverse)