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Dr. Hempel – Mathematische Grundlagen, Matrizen und Determinanten
Seite 1
Matrizen und Determinanten
Im Abschnitt „Vektoralgebra – Rechenregeln für Vektoren“ (Multiplikation - Skalarprodukt, Vektor-
produkt, Mehrfachprodukte) wurde in einem Vorgriff bereits eine interessante mathematische Kon-
struktion benutzt - die Matrix.
Eine Matrix ist dabei ein rechteckiges Schema, dessen Elemente meist Zahlen sind.
Elemente der Matrix können aber auch Variable oder Funktionen sein.
Eine Matrix besteht aus m Zeilen und n Spalten und wird ),( nm -Matrix genannt.
Die Dimension einer Matrix mit m Zeilen und n Spalten ist nm .
Die Position eines Elementes ija wird mit einem Doppelindex gekennzeichnet.
Der erste Index i gibt dabei die Zeile, der zweite Index j die Spalte an des Elements an.
Beispiel: )3,2( -Matrix, also 2 Zeilen und 3 Spalten; das Element ist beispielsweise 421 a
654
321A
Merkregel Indexreihenfolge: zuerst die Zeile, die Spalte später
- als Schreibweise hat sich eine Anordnung in Zeilen und Spalten zwischen großen Klammern
(meist runde Klammern) durchgesetzt.
Die Matrix selbst wird durch Großbuchstaben bezeichnet.
- einzelne Zeilen und Spalten der Matrix werden oft als Spalten- oder Zeilenvektoren bezeichnet:
2221
1211
aa
aaA Spaltenvektoren:
21
11
a
a und
22
12
a
a
Zeilenvektoren: 1211 aa und 2221 aa
- die Dimension einer Matrix ergibt sich aus der Anzahl ihrer Zeilen und Spalten - z.B. wird einer
nm -Matrix die Zeilendimension m und die Spaltendimension n zugeschrieben.
- Bei einer quadratischen Matrix stimmen Zeilen- und Spaltenanzahl überein.
- Hat die Matrix nur eine Spalte, nennt man sie einen Spaltenvektor; hat sie nur eine Zeile, nennt
man sie einen Zeilenvektor.
Matrix nm :
ija n Spalten, Index j
m Zeilen,
Index i
mna
aaa
aaa
aaa
....
.....
..
..
..
333231
232221
131211
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Besondere Matrizen
Einige Matrizen haben eine besondere Gestalt und werden mit ihrer besonderen Struktur gern in
Rechnungen benutzt:
quadratische Matrix
besitzt die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten )( nm
häufig benutzt werden die 22 - und 33 -Matrix
2221
1211
aa
aaA
die Elemente mit ji bilden die Hauptdiagonale der Matrix
Nullmatrix
alle Elemente der Matrix sind gleich Null
00
00A - hier: 2x2-Nullmatrix.
Einheitsmatrix
die Elemente der Hauptdiagonalen sind gleich Eins und alle anderen Elemente sind Null
10
01A
Diagonalmatrix
alle Elemente - außer den Elementen der Hauptdiagonalen – sind gleich Null
20
03A
Einheitsmatrix und Nullmatrix sind spezielle Formen der Diagonalmatrix
obere Dreiecksmatrix
alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen sind gleich Null
300
410
123
A
untere Dreiecksmatrix
alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen sind gleich Null
341
012
003
A
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Determinante einer Matrix
- Häufig finden wir im Zusammenhang mit dem Begriff „Matrix“ auch den Begriff „Determinante“
Determinanten sind reelle (oder auch komplexe) Zahlen,
die eindeutig einer quadratischen Matrix zugeordnet sind.
- So ist die Determinante n-ter Ordnung der Matrix )( mnaA vom Typ ),( mm zugeordnet.
1. Determinante einer 2x2 Matrix - die Zuordnung geschieht folgendermaßen:
2221
1211
aa
aaA 21122211
2221
1211det aaaa
aa
aaAA
Beispiel:
23
54A 2335)2(4
23
54det
AA
2 Bemerkungen:
Für nichtquadratische Matrizen ist die Determinante nicht definiert.
Die Determinante ist eindeutig, d.h. jeder quadratischen Matrix wird genau
eine Determinante (Zahl) zugeordnet.
2. Determinante einer 3x3 Matrix - die Zuordnung geschieht folgendermaßen:
122133112332132231322113312312332211
333231
232221
131211
det
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
AA
Mit der „Regel von Sarrus“ wird der Versuch unternommen, mittels eines Schemas
dieses „Ausmultiplizieren“ übersichtlicher zu gestalten:
- die Produkte der „Hauptdiagonalen“ (rot) gehen positiv,
die der „Nebendiagonalen“ (blau) negativ in das Ergebnis ein.
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3. Determinante einer mm -Matrix – hier ist die Zuordnung komplizierter:
mmmm
m
m
aaa
aaa
aaa
AA
21
22221
11211
det
hier hilft der LAPLACEschen Entwicklungssatzes:
- Durch Entwicklung in Unterdeterminanten reduziert man den Rang, bis die Berechnung
(z.B. für eine 3x3-Matrix) möglich ist.
Dazu legt man eine Zeile oder Spalte (was immer bequemer ist) fest, welche die sogenannten
Pivot-Elemente enthält. Legen wir beispielsweise die 2. Zeile fest, sind maaa 22221 ...,,, diese
Pivot-Elemente.
Die Unterdeterminanten zu diesen Pivot-Elementen erhält man, indem man in der
Ausgangsmatrix jeweils die entsprechende Spalte und Zeile „streicht“.
So heißt beispielsweise die Unterdeterminante zum Pivot-Element a21 :
mmmm
m
m
aaa
aaa
aaa
AA
32
33332
11312
2121 det
Die Determinante von A lässt sich nun aus einer Summe von Produkten darstellen.
Jeder Summand setzt sich dabei folgendermaßen zusammen:
Summand (ij) = Pivot-Element (ij) vorzeichenbestimmender Faktor Unterdeterminante (ij).
Entwickelt man nach der i -ten Zeile ( i wird festgehalten) ergibt sich die Determinante A zu:
m
j
ij
ji
ij AaA1
)1(det
Entwickelt man nach der j -ten Spalte ( j wird festgehalten) ergibt sich die Determinante A zu:
m
i
ij
ji
ij AaA1
)1(det
Die Strategie bei der Berechnung der Determinante einer mm -Matrix ( 3m ) ist also die
Entwicklung nach einer Spalte bzw. Zeile, um die Dimension der Matrix, deren Determinante
man berechnen soll, sozusagen Schritt für Schritt zu „reduzieren“.
Anmerkungen:
Der Wert einer Determinante ist unabhängig von der Auswahl der Entwicklungszeile/-spalte
Eine Determinante ist gleich Null, wenn
- eine Zeile/Spalte aus lauter Nullen besteht
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- zwei Zeilen/Spalten gleich sind
- eine Zeile/Spalte eine Linearkombination anderer Zeilen/Spalten ist
TAA detdet - die Determinanten der Matrix A und der transponierten Matrix TA sind
gleich
Vertauschung zweier benachbarter Zeilen oder Spalten ändert das Vorzeichen der Determinante
Falls k eine Zahl ist und A vom Typ ),( mm , dann gilt:
AkkA m det)det(
Nützlich sind Determinanten in vielfältiger Weise.
Beispiel:
Lösung eines Gleichungssystems mit n unabhängigen Gleichungen und n Unbekannten.
Solche Gleichungssysteme kommen beispielsweise bei der Analyse von Stromkreisen mit den
Kirchhoffschen Gesetzen vor.
Cramersche Regel
Im wichtigen Spezialfall, in dem die Anzahl der Unbekannten mit der Anzahl der Gleichungen in
nnnnnn
nn
nn
axaxaxa
axaxaxa
axaxaxa
...
.......................................
...
...
2211
22222121
11212111
übereinstimmt und die Koeffizienten-Determinante nicht verschwindet, d.h.
0det
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
AD
kann die Lösung des inhomogenen Gleichungssystems explizit und eindeutig angegeben werden:
;......;;; 22
11
D
Dx
D
Dx
D
Dx n
n
nDDD ...,,, 21 bezeichnet dabei Determinanten, die entstehen, wenn jeweils die i -te Spalte der
Ausgangsdeterminante D durch den Vektor mit den Komponenten der rechten Seite des Glei-
chungssystems ersetzt wird.
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So ist beispielsweise
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
1
2221
1111
2 (Spalte 2 ist ersetzt durch:
na
a
a
2
1
)
Ist 0D jedoch nicht alle 0iD , dann ist das Gleichungssystem unlösbar.
Im Falle 0D und aller 0iD für ni ....1 , ist es möglich, dass eine Lösung existiert.
Diese ist aber nicht eindeutig.
Beispiel:
823
205
112
32
2
321
xx
x
xxx
10
230
050
121
D
10
238
0520
1211
1
D 40
280
0200
1111
2
D 20
830
2050
1121
3 D
111
D
Dx 42
2 D
Dx 23
3 D
Dx
Hinweis:
Für die praktische Lösung von linearen Gleichungssystemen höherer Dimensionen ist die CRAMER-
sche Regel nicht geeignet. Der Rechenaufwand übersteigt mit wachsender Dimension sehr schnell
alle Vorstellungen.
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Rechnen mit Matrizen
Addition / Subtraktion
Voraussetzung:
Matrizen lassen sich nur addieren bzw. subtrahieren, wenn die beteiligten Matrizen jeweils die
gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten besitzen.
Beispiel:
232221
131211
aaa
aaaA ;
232221
131211
bbb
bbbB
A und B lassen sich addieren bzw. subtrahieren, da Zeilen- und Spaltenzahl übereinstimmen.
Beispiel:
232221
131211
aaa
aaaA ;
2221
1211
bb
bbB
A und B lassen sich nicht addieren bzw. subtrahieren, da Zeilen- und Spaltenzahl nicht überein-
stimmen.
Wie addiert / subtrahiert man Matrizen?
indem man die sich entsprechenden Einträge der Ausgangsmatrizen addiert / subtrahiert
Ergebnis ist eine Summen- oder Differenzmatrix
Summen- oder Differenzmatrix haben die gleiche Dimension, wie A und B ( nm ).
Beispiel:
2221
1211
aa
aaA ;
2221
1211
bb
bbB ;
22222121
12121111
baba
babaBA
43
21A ;
54
32B ;
97
53BA
Rechenregeln
es gilt das Kommutativgesetz ABBA
es gilt das Assoziativgesetz )()( CBACBA
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Multiplikation
Voraussetzung
Matrizen lassen sich nur dann miteinander multiplizieren, wenn die Spaltenanzahl der ersten
Matrix mit der Zeilenanzahl der zweiten Matrix übereinstimmt.
A und B müssen zueinander passen!
Beispiel:
3231
2221
1211
232221
131211
)2,3()3,2(
bb
bb
bb
aaa
aaaBA
A und B lassen sich multiplizieren, da die Zeilenzahl von A der Spaltenzahl von B entspricht
Beispiel:
3121
1211
232221
131211
)2,2()3,2(bb
bb
aaa
aaaBA
A und B lassen sich nicht multiplizieren, da die Zeilenzahl von A der Spaltenzahl von B nicht ent-
spricht
Wie multipliziert man Matrizen?
Bei der Multiplikation einer Matrix A mit einem Skalar werden alle Elemente der Matrix mit
dem Skalar k multipliziert.
AkB mit
2221
1211
2221
1211
akak
akak
bb
bbkB
Zwei Matrizen A und B werden multipliziert BAC , indem das Element
ikc in der i -ten Zeile und k -ten Spalte vonC durch eine Produktsumme der
i -ten Zeile von A und der k -ten Spalte von B gebildet wird:
m
j
jkijik bac1
Dimensionsbetrachtung:
Die Multiplikation von einer nm -Matrix A mit einer ml -Matrix B
(Spaltenzahl von A ist m , Zeilenzahl von B ist m - A und B passen zueinander!)
ergibt BA - eine nl -Matrix.
Das Matrixprodukt BAC hat so viele Zeilen wie die Matrix A und so viele Spalten
wie die Matrix B .
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Beispiel:
Multiplikation einer 23 -Matrix mit einer 34 -Matrix 24 -Matrix
)4,2()4,3()3,2( CBA
24232221
14131211
34333231
24232221
14131211
232221
131211
cccc
cccc
bbbb
bbbb
bbbb
aaa
aaa
Multiplikation einer 32 -Matrix mit einer 23 -Matrix 22 -Matrix
2835
1020
26850963514
23820933211
29
83
01
654
321
zur Berechnung kann man zwei Finger zu Hilfe nehmen:
der linke die fährt die entsprechende Zeile von A entlang,
der rechte die entsprechende Spalte von B ;
die Summe der Produkte steht dann auf der Position );( SpalteZeilec
Rechenregeln
die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ: ABBA
die Matrizenmultiplikation ist distributiv: )()()( CABACBA
)()()( CBCACBA
die Matrizenmultiplikation ist assoziativ: )()( CBACBA
Transponieren einer Matrix
Voraussetzung
Es gibt keine Voraussetzungen. Jede beliebige Matrix lässt sich transponieren.
Wie transponierte man eine Matrix?
eine transponierte Matrix TA erhält man durch Vertauschen der Zeilen und Spalten
der Matrix A .
aus den Zeilen macht man Spalten oder umgekehrt:
654
321A ;
63
52
41TA
das Gleiche erreicht man durch Spiegelung an der Hauptdiagonalen mit den Elementen
...,, 2211 aa
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Rechenregeln
TTA )( Zweimaliges Transponieren einer Matrix
führt wieder zur ursprünglichen Matrix. TTT BABA )( Die Transponierte einer Summe von Matrizen
entspricht der Summe aus den Transponierten der Matrizen. TTT ABBA )( Die Transponierte eines Matrizenproduktes
entspricht dem Produkt der transponierten Matrizen
- in umgekehrter Reihenfolge (!).
Symmetrische und antisymmetrische Matrizen
- gilt TAA bzw. kiik aa , so handelt es sich bei A um eine symmetrische Matrix.
- gilt TAA bzw. kiik aa , so ist die Matrix antisymmetrisch
für alle Elemente auf der Hauptdiagonalen einer antisymmetrischen Matrix muss
daher 0iia gelten.
Vektoren
- wie leicht vorzustellen, lassen sich auch Vektoren in Form einer Matrix darstellen
- häufig begegnen uns dabei die Begriffe Spaltenvektor bzw. Zeilenvektor:
)( zyx
z
y
xT
hat man 2 Spaltenvektoren a und b der Länge (Dimension) n , so ist ein Matrixprodukt
der Form ba nicht definiert.
Die beiden „Matrizen“ a und b passen nicht zueinander; die Spaltenanzahl von a und
die Zeilenanzahl von b stimmen nicht überein.
definiert sind dagegen die Produkte baT und Tba
baT : Xbababa
b
b
b
aaabaT
332211
3
2
1
321 )(
Ta sei ein Zeilenvektor mit n Spalten; b sei ein Spaltenvektor mit n Zeilen
die Matrizen „passen zueinander“
Ergebnis ist eine 11 -Matrix (eine Zahl), das Skalarprodukt
Tba :
332313
322212
312111
321
3
2
1
)(
bababa
bababa
bababa
bbb
a
a
a
ba T
a sei ein Spaltenvektor mit n Zeilen; Tb sei ein Zeilenvektor mit n Spalten
die Matrizen „passen zueinander“
Ergebnis ist eine nn -Matrix, das dyadische Produkt oder Tensorprodukt
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Invertieren einer Matrix
Multipliziert man eine Zahl mit ihrem Kehrwert, lautet das Ergebnis stets 1.
Das sollte so auch für Matrizen gelten!
Multipliziert man eine Matrix A mit ihrer inversen Matrix 1A , ergibt sich die Einheitsmatrix.
Beispiel:
EAA
100
010
001
521
421
210
110
221
0121
Wir sehen hier eine „fertige“ inverse Matrix.
Leider lässt die sich nicht so einfach ermitteln, wie der Kehrwert einer Zahl.
Im Lichte der Matrixmultiplikation betrachtet besteht die Ermittlung der Komponenten der
inversen Matrix darin, ein Gleichungssystem aus 9 Gleichungen mit 9 Unbekannten zu lösen.
Das ist langwierig.
Zur Berechnung hat man sich daher Verfahren erdacht, die z.T. noch langwieriger sind:
mit Hilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus
mit Hilfe der Adjunkten
mit Hilfe der Cramerschen Regel
Voraussetzung für die Existenz einer Inversen
Nur quadratische Matrizen können eine Inverse besitzen.
nicht für jede quadratische Matrix existiert allerdings eine Inverse
existiert für A die Inverse 1A , so heißt die Matrix regulär - andernfalls heißt sie singulär
Oft lohnt es sich, zu prüfen, ob eine inverse Matrix existiert!
Matrizen, deren Zeilen oder Spalten linear abhängig sind (Determinante = 0) haben keine
inverse Matrix; Voraussetzung also 0)det( A
Wie berechnet man eine inverse Matrix?
wir betrachten ein Vorgehen nach der Cramerschen Regel
Beispiel:
Gegeben ist eine Matrix A . Berechne die Inverse!
E
xxx
xxx
xxx
AA
100
010
001
110
221
012
333231
232221
131211
1
wir schauen uns die Multiplikation an:
Dr. Hempel – Mathematische Grundlagen, Matrizen und Determinanten
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1)1,1( E ergibt sich aus: 12 2111 xx
0)1,2( E ergibt sich aus: 022 312111 xxx
0)1,3( E ergibt sich aus: 03121 xx
wenden man die Cramersche Regel auf das Gleichungssystem an, ergibt sich:
A
x110
220
011
11
; A
x100
201
012
21
; A
x010
021
112
31
; 1
110
221
012
A
analog verfahren wir mit der 2. Spalte und erhalten 12x , 22x und 32x
sowie der 3. Spalte und erhalten 13x , 23x und 33x
die Komponenten der inversen Matrix
333231
232221
131211
1
xxx
xxx
xxx
A berechnen sich damit:
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
A
110
021
012
010
121
012
010
021
112
110
201
002
100
211
002
100
201
012
111
220
010
110
221
010
110
220
011
333231
232221
131211
1
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110
021
012
010
121
012
010
021
112
110
201
002
100
211
002
100
201
012
111
220
010
110
221
010
110
220
011
11
AA
Rechenregeln
Die Inverse eines Matrizenproduktes entspricht dem Produkt der jeweiligen Inversen.
111)( ABBA
(Reihenfolge bei der Multiplikation beachten!)
Die Inverse der transponierten Matrix entspricht der Transponierten der inversen Matrix.
TT AA )()( 11
Die Inverse einer Matrix ist ebenfalls invertierbar.
Die Inverse der Inversen ist wieder die Matrix selbst.
AA 11)(
Multipliziert man die inverse Matrix mit einem Skalar 0k , so gilt
111)( AkAk
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Seite 14
Anwendungen; Gauß-Jordan-Verfahren
- oben wurde bei der Lösung verschiedener Probleme (insbesondere das Lösen von linearen
Gleichungssystemen) auf die Cramersche Regel zurückgegriffen
- gern wird zur Lösung derartiger Probleme auch der Gauß-Jordan-Algorithmus verwendet
- mit dem nach Carl Friedrich Gauß und Wilhelm Jordan benannten Verfahren lässt sich die
Lösung eines linearen Gleichungssystems berechnen; es erweitert das nach Gauß benannte
Eliminationsverfahren.
es sei beispielsweise folgendes Gleichungssystem gegeben:
339
124
0
zyx
zyx
zyx
Mit den Koeffizienten wird eine s.g. erweiterte Koeffizientenmatrix des gebildet:
1. Spalte: Faktoren von x , 2. Spalte: Faktoren von y , 3. Spalte: Faktoren von z
4. Spalte: rechte Seite des Gleichungssystems.
3
1
0
139
124
111
umformen mit dem Ziel, im linken Teil die Einheitsmatrix zu erhalten:
zu Zeile 2 addieren wir ( 14 Zeile ); zu Zeile 3 addieren wir ( 19 Zeile )
3
1
0
860
320
111
Zeile 2 dividieren wir durch ( 2 ); zu Zeile 3 addieren wir ( 23 Zeile )
0
2/1
0
100
2/310
111
zu Zeile 1 addieren wir ( 31 Zeile ); zu Zeile 2 addieren wir ( 32/3 Zeile )
0
2/1
0
100
010
011
zu Zeile 1 addieren wir ( 21 Zeile )
0
2/1
2/1
100
010
001
Diese Matrix stellen wir wieder als Gleichungssystem dar: 0;2/1;2/1 zyx
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Seite 15
Adjunkte einer Matrix
Die Adjunkte einer Matrix ist die Transponierte der Kofaktormatrix.
TACofAAdj )()(
nun wissen wir es genau! Aber keine Angst - Ähnliches ist uns schon begegnet:
beim Entwicklungssatz nach Laplace
Die Formel für den Kofaktor lautet
ij
ji
ij DA )1(
der Kofaktor ijA ergibt sich durch Multiplikation eines Vorzeichenfaktors ji )1(
mit einer Unterdeterminante ijD
ijD ergibt sich, wenn man die i -te Zeile und die j -te Spalte der Matrix A streicht.
Adjunkte berechnen – Beispiel:
Gegeben ist die Matrix A
75
34A
Zu berechnen ist die Adjunkte )(AAdj der Matrix A .
1. Kofaktoren berechnen:
mit ij
ji
ij DA )1( erhalten wir ( ijD ist die entsprechende Unterdeterminante):
2. Kofaktormatrix aufstellen
43
57)(
2221
1211
AA
AAACof
3. Kofaktormatrix transponieren
Die Adjunkte einer Matrix ist die Transponierte der Kofaktormatrix.
45
37)()(
2212
2111
AA
AAACofAAdj T
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Seite 16
Invertieren einer Matrix mit Hilfe der Adjunkten
die Formel zur Berechnung der inversen Matrix mit Hilfe der Adjunkten lautet
)(11 AAdjA
A
die Adjunkte ist die Transponierte der Kofaktormatrix (siehe oben);
es folgt also für die Berechnung der inversen Matrix:
TACofA
A )(11
Beispiel 1: wir verwenden die Matrix aus dem Abschnitt „Adjunkte“:
75
34A
135374)det( AA
43
57)(
2221
1211
AA
AAACof - siehe oben
45
37)()(
2212
2111
AA
AAACofAAdj T - siehe oben
45
37
13
1)(
11 AAdjA
A
Beispiel 2: wir verwenden die Matrix aus dem Abschnitt „Invertieren“:
110
221
012
A
1414)det( AA
542
221
110
)(
333231
232221
131211
AAA
AAA
AAA
ACof - selbst rechnen
521
421
210
)()( TACofAAdj - selber prüfen
521
421
210
)(11 AAdjA
A - stimmt! Lösung siehe oben
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Seite 17
Orthogonale Matrix Q
Eine orthogonale Matrix ist eine quadratische, reelle Matrix, deren Zeilen- und Spaltenvektoren
paarweise orthonormal zueinander sind.
Wann sind Vektoren orthonormal zueinander?
- die Vektoren stehen senkrecht aufeinander - rechnerisch sind zwei Vektoren orthogonal,
wenn ihr Skalarprodukt gleich Null ist.
- die Vektoren sind normiert; sie haben die Länge 1; es sind Einheitsvektoren.
Es folgt also:
Bilden die Spalten einer quadratischen Matrix ein System zueinander orthogonaler
Einheitsvektoren, so heißt diese Matrix orthogonale Matrix.
Eigentlich müsste man die beschriebene Matrix orthonormale Matrix nennen.
Dieser Begriff ist aber unüblich.
Eigenschaften
- die Inverse einer orthogonalen Matrix ist gleichzeitig ihre Transponierte.
TQQ 1
- die transponierte Matrix TQ ist ebenfalls eine orthogonale Matrix
- das Produkt einer orthogonalen Matrix mit ihrer Transponierten ergibt die Einheitsmatrix.
EQQ T
- das Produkt zweier orthogonaler Matrizen ist wieder orthogonal
- eine orthogonale Matrix ist über den komplexen Zahlen diagonalisierbar
- die Determinante einer orthogonalem Matrix hat entweder den Wert +1 oder -1.
- eine orthogonale Matrix mit der Determinante +1 beschreibt eine Drehung.
Man spricht dann auch von einer eigentlich orthogonalen Matrix.
- eine orthogonale Matrix mit der Determinante -1 beschreibt eine Drehspiegelung.
Man spricht dann auch von einer uneigentlich orthogonalen Matrix.
- eine orthogonale Matrix, die die Drehung eines Vektors beschreibt, heißt Drehmatrix
Anwendungen
Multiplikation mit einer orthogonalen Matrix dreht oder spiegelt Vektoren.
Länge und Winkel zwischen den Vektoren bleibt erhalten.
Solche Abbildungen heißen Kongruenzabbildungen
Beispiele orthogonaler Matrizen
1. Die orthogonale Matrix
01
10Q
beschreibt eine Spiegelung an der Geraden xy .
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Seite 18
Diese Spiegelung vertauscht die 1x - und 2x -Komponente eines Vektors:
1
2
2
1
01
10
x
x
x
xxQ
2. Gegeben ist die Matrix A . Prüfen Sie diese auf Orthogonalität!
2
3
2
12
1
2
3
),(21
21
21yy
xxaaA
2/1
2/31a ; 1)2/1()2/3( 22
1 a
2/3
2/12a ; 1)2/3()2/1( 22
2 a
0)2/3()2/1()2/1()2/3(, 21 aa
Die Vektoren der Matrix haben einen Betrag von 1 – sie sind normiert.
Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander – die Matrix ist orthogonal.
Auf Orthogonalität prüfen
will man prüfen, ob eine Matrix orthogonal ist, ist es am einfachsten, die Eigenschaft EQQ T
zu prüfen.
Beispiel
Handelt es sich bei der Matrix
01
10A um eine orthogonale Matrix?
Wir prüfen...
EAA T
10
01
01
10
01
10
...und kommen zu dem Ergebnis, dass es sich bei der Matrix A um eine orthogonale Matrix han-
delt.
Dr. Hempel – Mathematische Grundlagen, Matrizen und Determinanten
Seite 19
Drehmatrix
- bereits oben erwähnt wurde:
eine orthogonale Matrix, die die Drehung eines Vektors beschreibt, heißt Drehmatrix
diese Drehmatrix hat die Determinante +1.
oft nennt man sie auch Rotationsmatrix.
Drehmatrix im 2R
- im zweidimensionalen Raum lautet die Rotationsmatrix
cossin
sincosR
- die Drehung eines Vektors r
im mathematisch positiven Sinn (gegen den Uhrzeigersinn) um
einen Winkel erreicht man mit
''
'
cossin
sincos
cossin
sincosr
y
x
yx
yx
y
xrR
die Komponenten des Bildvektors 'r
ergeben sich demnach zu
sincos' yxx
cossin' yxy
Beispiel
Der Vektor
1
2r
soll um 30° Grad gedreht werden.
1
2
30cos30sin
30sin30cos30 rR
mit 23,130sin130cos2' x
87,130cos130sin2' y
Ergebnis
87,1
23,1'
1
2
30cos30sin
30sin30cos30 rrR
Dr. Hempel – Mathematische Grundlagen, Matrizen und Determinanten
Seite 20
Drehmatrix im 3R
- eine Drehung im 3-D-Fall ist schwieriger zu beschreiben, als im zweidimensionalen Fall.
- dreht sich der Körper nur um einen festen Punkt, so genügen zur eindeutigen Lagebeschreibung
drei voneinander unabhängige Winkel
- die Drehung kann als Hintereinanderschaltung von elementaren Drehungen um Achsen des
körperfesten Systems aufgefasst werden
dabei ist die Reihenfolge der Drehungen von besonderer Bedeutung
- relativ einfach gestaltet sich die Drehung um jeweils eine Achse:
Drehung um die x -Achse
cossin0
sincos0
001
)(xR
Drehung um die y -Achse
cos0sin
010
sin0cos
)(yR
Drehung um die z -Achse
100
0cossin
0sincos
)(
zR
die dabei verwendeten Drehwinkel werden als „Kardan-Winkel“ bezeichnet eine Drehung um alle 3 raumfesten Achsen nacheinander in der Reihenfolge zyx ,,
ergibt eine Drehmatrix
coscossinsincoscossincossincossinsin
cossinsinsinsincoscoscossinsinsincos
sinsincoscoscos
100
0cossin
0sincos
cos0sin
010
sin0cos
cossin0
sincos0
001
R
Führt man die Elementardrehungen nacheinander um die
momentanen Achsen aus
- zuerst um die z -Achse,
dann die gedrehte x -Achse und
dann wieder um die (nun gedrehte) z -Achse,
so heißen die Drehwinkel „Euler-Winkel“ ,,
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die entsprechende Drehmatrix lautet:
coscossinsinsin
sincoscoscoscossinsinsincoscoscossin
sinsincoscossinsincossincossincoscos
100
0cossin
0sincos
cossin0
sincos0
001
100
0cossin
0sincos
R
die Eulerwinkel sind also ein Satz dreier unabhängiger Parameter, mit denen die Orientierung
eines festen Körpers im dreidimensionalen Raum beschrieben werden kann.
die Drehlage wird aus einer beliebigen Lage durch eine Abfolge dreier Drehungen um spezielle
Achsen erzeugt
- die erste Drehachse ist eine raumfeste Achse, die beiden anderen sind vorher schon
mitgedrehte Achsen
Euler-Winkel dienen u.a. dazu bekannten Koordinaten eines Ortsvektors in die zu einem verdreh-
ten Koordinatensystem gehörenden umzurechnen
Bezeichnungen: raumfestes oder Labor-System und körperfestes oder Körper-System
die Umrechnung erfolgt mit Hilfe der ober gezeigten Drehmatrix, mit der der Ortsvektor zu
multiplizieren ist
die umgekehrte Umrechnung von körperfesten in raumfeste Koordinaten wird analog durchzu-
führen
- die dafür notwendige Drehmatrix lässt sich aus der Drehmatrix der Vorwärts-Drehung
bestimmen
- die Matrix für die Rückdrehung ist die transponierte zur Matrix der Vorwärts-Drehung
- oft finden sich auch Begriffe wie „passiven Drehung“ bzw. „Koordinatentransformation“
(dabei wird das Koordinatensystem gedreht) oder
„aktive Drehung“ (dabei wird der Ortsvektor gedreht; man erhält einen neuen Ortsvektor),
das Koordinatensystem bleibt dabei unverändert
Wie berechnet man eine passive Drehung?
- man benutzt die Inverse der Drehmatrix 1R
- wegen ERRT gilt: 1 RRT
- wir müssen die Drehmatrizen nur transponieren (nicht invertieren), um von einer aktiven
auf eine passive Drehung zu kommen.
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Bild einer Matrix
- ein weitere Begriff in Verbindung mit Matrizen ist der Begriff "Bild einer Matrix"
- was ist das und wie wird es ermittelt?
Das Bild einer Matrix ist gleich den linear unabhängigen Spalten.
betrachten wir die Multiplikation einer Matrix A mit einem Vektor x :
mmmmmm
m
m
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
2
1
2
1
21
22221
11211
Ergebnis ist ein Vektor b
damit ergibt sich die Frage, welche Menge an Vektoren b als Lösungen auftreten können.
bei Funktionen läge x im Definitionsbereich, für b ergäbe sich der Wertebereich
bei Matrizen wird uns das durch das Bild der Matrix gegeben.
das Bild gibt also den ‚Wertebereich der Matrix‘, die Menge an Vektoren b als Lösung, an
wie berechnet man den Wertebereich der Matrix, das Bild einer Matrix?
Beispiel:
653
442
231
A
- wir multiplizieren diese Matrix nacheinander mit den drei Einheitsvektoren des 3R :
3
2
1
0
0
1
653
442
231
;
5
4
3
0
1
0
653
442
231
;
6
4
2
1
0
0
653
442
231
wir erhalten die drei Spaltenvektoren unserer Matrix A
diese drei Vektoren sind ein Bild, d.h. ein Teil der Wertemenge, der Matrix A ;
man schreibt:
6
4
2
;
5
4
3
;
3
2
1
)(Aimg
- es gibt noch mehr Bilder (unendlich viele); multiplizieren wir z.B. mit irgendeinem Vektor:
12
8
4
2
0
0
653
442
231
auch dieser Vektor gehört zum Bild der Matrix.
Dr. Hempel – Mathematische Grundlagen, Matrizen und Determinanten
Seite 23
12
8
4
;
6
4
2
;
5
4
3
;
3
2
1
)(Aimg
wir bemerken:
- dass es unendlich viele Bilder einer Matrix gibt
- alle Vektoren, die aus der Multiplikation der Matrix A mit einem beliebigen Vektor
hervorgehen, gehören zum Bild der Matrix
- alle Linearkombinationen dieser Vektoren gehören auch zum Bild der Matrix
wir können damit den vierten Vektor aus dem Bild streichen,
da der dritte Vektor diesen gewissermaßen einschließt.
- Achtung: der dritte Vektor ist ein Vielfaches des ersten Vektors!
wir können auch den 3. Vektor streichen!
5
4
3
;
3
2
1
)(Aimg
- die verbleibenden Vektoren sind linear unabhängig
das Bild lässt sich nicht weiter vereinfachen, ohne einen Teil der Lösungsmenge, des
Wertebereichs zu verlieren
die Lösungsmenge besteht also aus 2 Vektoren sowie ihren Linearkombinationen
Das Bild einer Matrix ist gleich den linear unabhängigen Spalten. (siehe oben)
Interpretation der Lösung
Da sich zwei Vektoren in der Lösungsmenge befinden, hat das Bild unserer Matrix die Dimension 2.
damit haben wir auch direkt den Rang der Matrix berechnet;
der Rang einer Matrix entspricht der Dimension des Bildes
2))(dim()( AimgArang
Verfahren, um die linear unabhängigen Spalten einer Matrix zu berechnen werden hier nicht
vorgestellt. Dazu wird auf die Literatur verwiesen.
Dr. Hempel – Mathematische Grundlagen, Matrizen und Determinanten
Seite 24
Rang einer Matrix
- eben fiel der Begriff „Rang einer Matrix“;
darunter versteht man die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten- bzw. Zeilenvektoren.
(In einer Matrix ist die größte Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren stets gleich der größ-
ten Anzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren)
Beispiel (von oben)
653
442
231
A
- wir hatten gesehen: die Vektoren sind linear abhängig;
die 3. Spalte ist ein Vielfaches der 1. Spalte
- die 1. und 2. Spalte sind linear unabhängig, der Rang dieser Matrix ist gleich 2:
2)( Arang ;
Spezialfall: Rang einer quadratischen Matrix
entspricht der Rang einer quadratischen Matrix ihrer Zeilen- oder Spaltenzahl,
wird sie reguläre Matrix genannt
reguläre Matrizen sind invertierbar, d.h. es lässt sich eine inverse Matrix berechnen
Beispiel einer regulären Matrix
quadratische Matrizen sind regulär, wenn ihre Determinante von Null verschieden ist
10
741
442
231
A
die quadratische Matrix hat 3 Zeilen bzw. 3 Spalten; ihre Determinante ungleich Null
die Matrix den Rang 3.
Beispiel einer singulären Matrix
ist die Determinante einer quadratischen Matrix gleich Null,
wird sie singuläre Matrix genannt;
singuläre Matrizen besitzen keine Inverse
0
653
442
231
A
was ist aber mit dem Rang?
- zum Rang dieser Matrix lässt sich die Aussage treffen, dass er kleiner als 3 ist
- wie aber lässt er sich ermitteln?
Dr. Hempel – Mathematische Grundlagen, Matrizen und Determinanten
Seite 25
das ist nicht ganz einfach zu überschauen;
vielleicht ist es einfacher, den Rang mit Hilfe des Begriffs der Unterdeterminante festzulegen:
der Rang einer Matrix ist die Anzahl der Zeilen (oder Spalten, resp.) der Determinante
oder der größten Unterdeterminante mit Nicht-Null-Wert
Beispiel:
der Rang einer 3 x 3 -Matrix ist 3)()( ArankArg , wenn 0A ;
falls die Determinante 0A , sucht man die größte Unterdeterminante.
0
653
442
231
A ; 465
4411 A ; 0
63
4212 A ; 2
53
4213 A
sowohl 011 A , als auch 013 A
die Matrix hat den Rang 2; 2)()( ArankArg
Spur einer Matrix
Als Spur einer quadratischen nn -Matrix bezeichnet man die Summe der Diagonalenelemente:
nn
n
j
jj aaaaASpur ...)( 2211
1
wozu auch noch diese Größe?
- z.B. zur Kontrolle unserer Rechnungen
- (für später:) die Spur einer diagonalisierbaren Matrix ist gleich der Summe der Eigenwerte
