Maturski Rad kompleksni brojevi

Gimnazija ,,Filip Višnjić“

Maturski rad iz matematike

Kompleksni brojevi?

Mentor: Učenik:

Radmila Spasojević, prof Svetislav Pantić, IV-5

Bijeljina, Maj 2013. god.

SADRŽAJStrana

1. Uvod........................................................................................................................................2

2. Kompleksni brojevi.................................................................................................................2

2.1. Поднаслов првог поглавља...........................................................................................22.2. Други поднаслов првог поглавља................................................................................2

3. Наслов другог поглавља.......................................................................................................2

3.1. Први поднаслов другог поглавља................................................................................23.2. Други поднаслов другог поглавља...............................................................................2

4 Треће поглавље.......................................................................................................................2

4.1. Поднаслов трећег поглавља..........................................................................................2

5. Закључак................................................................................................................................2

Прилог........................................................................................................................................2

Прилог 1.................................................................................................................................2

Литература.................................................................................................................................2

2

1. KOMPLEKSNI BROJEVI

Imaginarni brojevi prvi put su se pojavili u 16. vijeku vezano za problem rješavanja kubne jednačine. Njihova upotreba raširila se tokom 19. stoljeća, kad su se pojavile i prve primjene.Najpoznatije primjene vezane su za teoriju elektriciteta i magnetizma (koju bitno pojednostavljuju) te za kvantnu teoriju.

Kao motivacija za uvođenje imaginarnih brojeva obično se uzimaju kvadratne jednačine s realnim koefcijentima. Poznato je da ako je diskriminanta D = b2 - 4ac kvadratne jednadžbe ax2+bx+c = 0 negativna, ta jednadžba nema realnih rješenja. Osnovni primjer takve jednačine je

x2 + 1 = 0:Po dogovoru, ta jednačina (iako nema realnih rješenja jer bi to bio realan x koji kvadriran daje negativan broj -1) ima dva rješenja u kompleksnim brojevima. To su1

i i -i tj. Oba broja (i i -i) su rješenja kvadratne jednačine x2 +1 = 0 (kao što su 1 i -1 rješenja kvadratne jednačine x²-1 = 0). Broj i zove se imaginarna jedinica. Dakle, defnicija imaginarne jedinice je da je to jedan od dva moguća broja koji kvadrirani daju 1:i2 = -1:Isto svojstvo ima i -i: (-i)2 = (-i)(-i) = (-1)2i2 = 1 f (-1) = -1.Kompleksni brojevi se definišu kao sve linearne kombinacije 2 (s realnim koefcijentima)brojeva 1 i i tj. kompleksni brojevi su brojevi oblikaz = x + yis x; y 2 R. Broj x se zove realni dio, a broj y imaginarni dio kompleksnog broja z (dakle: i realni i imaginarni dio kompleksnog broja su realni brojevi). Skup svih kompleksnih brojeva označavamo s C. Skup R je podskup od C jer svaki realni broj x možemo shvatiti kao kompleksni broj x + 0 f 1. Brojeve kojima je realni dio nula zovemo čisto imaginarnima.Napomena 1. Za one koji znaju defniciju dimenzije vektorskog prostora: Po defniciji C je dvodimenzionalni vektorski prostor (nad realnim brojevima). Kako mu bazu čine 1 te i, možemo ga interpretirati kao i svaki drugi realni dvodimenzionalni vektorski prostor: pomoću koordinatnog sustava u ravnini.

1 Oznaka i za imaginarnu jedinicu potiče iz 18. vijeka, koju je uveo švajcerski matematičar L. Euler.

2 Linearne kombinacije su izrazi oblika fx + fy + : : :, gdje su f; f; : : : skalari, a x; y; : : : vektori.

Назив матурског рада Име и презиме ученика, IV-1

1. Kompleksna ravnina

Početkom 19. stoljeća Argand i Gauss uveli su način vizualizacije kompleksnih brojeva. Svaki kompleksan broj z = x + yi možemo poistovjetiti s točkom (x; y) u koordinatnoj ravnini (I obrnuto: svakoj točki odgovara kompleksan broj), uz uobičajeni Cartesiusov koordinatni sustav. Pritom uzimamo da apscise predstavljaju realne, a ordinate imaginarne dijelove pa se koordinatne osi u ovom slučaju zovu realna i imaginarna os. Na realnoj osi tada se nalaze svi realni brojevi (oni kojima je imaginarni dio 0), a na imaginarnoj svi čisto imaginarni (oni kojima je realni dio 0). Prikaz kompleksne ravnine vidljiv je na slici3

1.

Slika 1: Kompleksna ravnina.

3 Slike ovog poglavlja preuzete su s web-stranice http://www.clarku.edu/fdjoyce/complex/

4


2. Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva

Dva kompleksna broja zbrajamo (oduzimamo) tako da im zbrojimo (oduzmemo) realne odnosno imaginarne dijelove:

Primjer 1

(3 + i) + (2i - 1) = 2 + 3i:

Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva imaju sva uobičajena svojstva (komutativnost, asocijativnost, broj nula kao neutralni element, . . . ) tih operacija. U kompleksnoj ravnini zbroj odnosno razlika dva kompleksna broja z i z0 nalazi se na kraju radij-vektora koji se dobije zbrajanjem odnosno oduzimanjem radij-vektora koji pripadaju z i z0: zbrajanje i oduzimanje geometrijski se interpretiraju kao zbrajanje i oduzimanje radij-vektora u kompleksnoj ravnini. Pribrajanje istog broja svim kompleksnim brojevima možemo shvatiti kao translaciju ravnine(vidi sliku 3).Suprotni broj od x+yi je -x-yi. Određivanje suprotnog broja u tom je kontekstu centralna simetrija (inverzija) obzirom na ishodište (vidi sliku 4).

Slika 2: Zbrajanje kompleksnih brojeva.

5


Slika 3: Sabiranje kompleksnog broja kao translacija ravnine.

Slika 4: Suprotni broj kao centralna simetrija.

6


3. Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugovanje

Apsolutna vrijednost kompleksnog broja z = x + iy definiše se kao (biramo pozitivni kvadratni korijen). Geometrijski gledano, to je udaljenost tačke koja predstavlja z do ishodišta (slika 5).

Slika 5: Apsolutna vrijednost kompleksnog broja.

Primjer 2

Ako je z = 3 + 4i, onda je

. Kompleksni brojevi apsolutne vrijednosti 1 nalaze se na jediničnoj kružnici oko ishodišta.Preciznije, u kompleksnoj ravnini jedinična kružnica oko ishodišta ima jednadžbu

Za zbrajanje kompleksnih brojeva vrijedi tzv. nejednakost trougla:

Ona se lako dokazuje pomoću slike br 6. Svakom kompleksnom broju

7


pridružen je njegov kompleksno konjugovan broj

(promijeni se predznak imaginarnog dijela).

Slika 6: Nejednakost trougla.

Primjer 3 Ako je z = 5 - 9i, onda je z = 5 + 9i.U kompleksnoj ravnini kompleksno konjugovani broj od z je njegova zrcalnosimetrična slika obzirom na realnu os (vidi sliku 7). Vrijedi z = z:

8


4. Množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva

Množenje dva kompleksna broja

definisano je formom

Primjer 4

Vrijedi sledeća korisna jednakost:

Dokažimo je. Ako je

onda je

Primjer 5

Kako je -1 = i2, dijeljenjem sa -i dobivamo

Recipročni broj broja z je broj

Tačka koja predstavlja 1/z nalazi se na spojnici ishodišta i z, kako je vidljivo na slici 7.

9


Slika 7: Kompleksno konjugiranje i recipročni brojevi.

Primjer 6 Za z = 3 - 4i imamo

: Dijeljenje je definisano kao množenje recipročnim brojem:

Primjer 7

10


5. Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja

Argument kompleksnog broja z je ugao ө takav da je tg ө = y/x , radi se o uglu koji radij-vektor od z zatvara sa realnom osom.

Primjer 8

Argument svakog pozitivnog realnog broja je 0, a argument svakog čisto imaginarnog broja s

pozitivnim imaginarnim dijelom (npr. broja i) je Kako je svaka tačka u ravnini potpuno određena svojim polarnim koordinatama, a iz gornjeg

se vidi da su polarne koordinate broja z, slijedi da je prikažu z = x + yi (koji odgovara Kartezijevom koordinatnom sistemu) ekvivalentan prikaz

Taj se prikaz zove trigonometrijski oblik kompleksnog broja.

Primjer 9

Trigonometrijski prikaz bitno olakšava množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva. Korištenjem adicionih formula za sinus i kosinus lako je provjeriti da vrijedi za

11


Slika 8: Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja.

Slika 9: Množenje kompleksnih brojeva.

12


Iz posljednje formule se vidi da je argument recipročnog broja 1=z suprotan argumentu odz, kao što je i argument od z. To je objašnjenje već prikazane slike 7.

Primjer 10

Sad se vidi da se množenje geometrijski gledano svodi na kombinaciju rotacije i množenja apsolutnih vrijednosti kompleksnih brojeva: radij-vektor koji predstavlja produkt je po smjeru zarotirani radij vektor jednog broja za kut jednak argumentu drugog, a po duljina je jednak produktu apsolutnih vrijednosti množenih brojeva. Specijalno, množenje kompleksnog broja nekim brojem kojem je apsolutna vrijednost jednaka 1 interpretira se kao rotacija za argument tog drugog broja.

Slika 10: Množenje s i je rotacija za pravi kut.

6. Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva

13


Promotrimo prvo potencije broja i. Imamo:

Dakle, potenciranje broja i na višekratnik od 4 daje 1 i potencije se ciklički ponavljaju nakon svakog višekratnika od 4. Nadalje, potencije od i nalaze se na jediničnoj kružnici kao vrhovi kvadrata. Za potenciranje kompleksnih brojeva na prirodne potencije se koristi de Moivre-ova formula

Primjer 11

Slika 12: Potencije kompleksnog broja (kojem je apsolutna vrijednost manja od 1).

Potencije od z se prema toj formuli dobivaju redom tako da argument povećavamo za argument od z i istovremeno potenciramo apsolutnu vrijednost, što je ilustrirano slikom 12.Korjenovanje je kompliciranije jer svaki kompleksan broj z ima n n-tih korijena (tj. Kompleksnih brojeva w takvih da je wn = z ima n). Geometrijski ti se korijeni nalaze u vrhovima pravilnog n-terokuta na kružnici radijusa npjzj (tu gledamo korijen u smislu njegovog značenja u realnim brojevima) kojoj je središte u ishodištu, s tim da prvi od njih ima

argument fSvi n-ti korijeni dobiju se kao

Primjer 12

14


Četvrti korijeni iz 1 imaju apsolutnu vrijednost , a prvi po redu ima

argument

Svaki sljedeći ima argument veći za te su treći korijeni od i redom1; i;-1;-i.

Primjer 13 Treći korijeni iz i imaju apsolutnu vrijednost , a prvi po redu ima argument

Svaki sljedeći ima argument veći za

te su četvrti korijeni od i redom

15


7. Eulerova formula

Eulerova formula daje jednostavniji oblik trigonometrijskog prikaza kompleksnih brojeva:

Stoga je

Eksponencijalna funkcija u Eulerovoj formuli je eksponencijalna funkcija s bazom e proširena na kompleksne brojeve; ona ima mnoga specijalna svojstva, no osnovne formule za baratanje eksponencijalnim izrazima i dalje vrijede.Specijalno, imamo

Iz Eulerove formule dobiju se još preglednija pravila računa s kompleksnim brojevima:

Zbrojimo li i oduzmemo dobit ćemo i iduće dvije važne formule:

Primjer 14

Tj ii je realan broj!

16


8. Zašto su uvedeni kompleksni brojevi

Uobičajeno je mišljenje da su kompleksni brojevi uvedeni u matematiku da bi svaka kvadratna jednadžba imala rješenje (na primjer, jednadžba x2 + 1 = 0 nema realnih rješenja, a nakon uvođenja kompleksnih brojeva ima dva rješenja: i i -i). To se kasnije podupire još jačim argumentom da svaka algebarska jednadžba stupnja n ima točno n rješenja (uključujući kratnost). Na primjer, jednadžba

x4 - 2x3 + 2x2 - 2x + 1 = 0

ima točno četiri rješenja: dvostruko rješenje 1 i jednostruka rješenja i, -i. To se obrazlaže rastavom na faktore:

x4 - 2x3 + 2x2 - 2x + 1 = (x - 1)2 (x2 + 1)

za svaki realni (odnosno kompleksni) broj x, odnosno rastavom

x4 - 2x3 + 2x2 - 2x + 1 = (x - 1)2 (x - i) (x + i).

Ponekad se uvođenje kompleksnih brojeva obrazlaže Bézoutovim poučkom: Dvije algebarske krivulje reda m, odnosno n, sijeku se u točno mn točaka (računajući kratnosti i točke u beskonačnosti). Takav poučak ne bi vrijedio bez kompleksnih brojeva. Na primjer, pravac ne bi sjekao koniku u točno dvjema točkama i općenito krivulju reda n u n točaka. Na primjer, pravac s jednadžbom y = x + 2 ne siječe kružnicu s jednadžbom x2 + y2 = 1 (ako se razmatraju samo realne točke), međutim, siječe je u točkama

(-1 - √2 / 2 i, 1 - √2 / 2 i) i (-1 + √2 / 2 i, 1 + √2 / 2 i).

Svi ovi (i neki drugi) razlozi matematičarima su dobar povod za uvođenje korijena od negativnih brojeva, a time i kompleksnih brojeva. Međutim, ni u jednome od njih kompleksni brojevi nisu bili nužni.

U vrijeme uvođenja kompleksnih brojeva u matematiku (u 16. stoljeću) kvadratna je jednadžba bila poznata više od 3000 godina. Stari su je matematičari već rješavali i znali su da može imati dva, jedno ili nijedno rješenje i to im je bilo dovoljno. Također se naslućivalo da algebarska jednadžba stupnja n ima najviše n rješenja (tu se misli samo na jednadžbu s realnim koeficijentima i samo na realna rješenja jer za druge nisu ni znali).

Razlogom za uvođenje kompleksnih brojeva mogao je biti samo matematički problem u kojemu se kompleksni brojevi nisu mogli zaobići, a takav se problem pojavio pri rješavanju kubne jednadžbe. O čemu je riječ ukratko ćemo govoriti u nastavku. Kako je poznato, svaka je kubna jednadžba ekvivalentna jednadžbi oblika

x3 + ax2 + bx + c = 0

gdje su a,b,c realni brojevi (danas to mogu biti i kompleksni brojevi ili elementi nekog polja). S takvim su jednadžbama matematičari imali poteškoća više od 3000 godina dok ih u prvom dijelu 16. stoljeća nisu uspjeli "ukrotiti". Neke je od tih jednadžbi lako riješiti; primjerice

17


jednadžba x3 - x = 0 ima rješenja 0, 1, -1. Slično je za svaku kubnu jednadžbu s racionalnim

koeficijentima (tj. jednadžbu za koju je a, b, c ), koja ima bar jedno racionalno rješenje.

Naime, kod takvih jednadžbi u pravilu je lako naći racionalno rješenje r = p / q; p,q . Nakon što jednadžbu pomnožimo sa zajedničkim višekratnikom svih koeficijenata, p mora dijeliti slobodni, a q vodeći koeficijent jednadžbe. Kako ima konačno takvih mogućnosti, načelno možemo doći i do one povoljne. Kad znademo racionalno rješenje r, onda dijeljenjem možemo doći do rastava:

x3 + ax2 + bx + c = (x - r) (x2 + a'x + b')

pa se preostala rješenja početne kubne jednadžbe dobiju rješavanjem kvadratne jednadžbe x2 + a'x + b' = 0. Takve se kubne jednadžbe često pojavljuju u srednjoškolskim zadatcima, a i na sveučilištu. Međutim, što je s jednadžbom

x3 - 6x + 2 = 0 ?

Pokušajte je riješiti! O toj ćemo jednadžbi više reći poslije, a sada se poslužimo sličnim argumentima kao i za kubne jednadžbe s racionalnim koeficijentima i s barem jednim racionalnim rješenjem kako bismo zaključili da svaka kubna jednadžba s realnim koeficijentima ima barem jedno realno rješenje (ukupno 3 kompleksna rješenja, uključujući kratnosti). Izraz x3 + ax2 + bx + c za dovoljno je velike pozitivne x-eve pozitivan, a za dovoljno male negativne x-eve negativan, pa je za neki x jednak nuli. Zaključujemo da jednadžba x3 + ax2 + bx + c = 0 ima bar jedno realno rješenje r. Sada je

x3 + ax2 + bx + c = (x - r) (x2 + a'x + b')

pa mogu nastupiti sljedeće mogućnosti: (i) jednadžba ima 3 realna različita rješenja,

(ii) jednadžba ima 1 realno jednostruko i 1 realno dvostruko rješenje,

(iii) jednadžba ima 1 realno trostruko rješenje,

(iv) jednadžba ima jedno realno i dva konjugirano kompleksna rješenja. U doba otkrivanja formula za rješenje kubne jednadžbe nije bilo kompleksnih brojeva pa su (iv) ondašnji matematičari shvatili kao (iv)' jednadžba ima 1 rješenje.

18


9. Formula za rješenje kubne jednadžbe

Dovoljno je razmatrati jednadžbu x3 + px + q = 0, gdje su p, q realni brojevi (to se dobije

zamjenom x - a/3 x). Ako napišemo x = u + v, uz uvjet uv = -p/3, dolazimo do sustava u3 + v3 = -q,

u3 v3 = -p3/27, odakle je

x = 3√ -q/2 + √(q2/4 + p3/27) + 3√ -q/2 - √(q2/4 + p3/27)

(to je prikaz rješenja x u obliku u + v). Ta se formula zove Cardanova formula (prema talijanskom matematičaru koji je tu formulu objavio 1545. g. u djelu Artis Magnae).

Pogledajmo kako su se matematičari u početku koristili tom formulom.

Primjer 1: x3 + 3x + 2 = 0, p = 3, q = 2.

x = 3√ -1 + √2 + 3√ -1 - √2 = 3√ -1 + √2 - 3√ 1 + √2.

Tada su matematičari znali samo za realne brojeve i tu nije bilo problema:

u = 3√ -1 + √2, v = - 3√ 1 + √2, uv = 3√ -1 + √2 (- 3√ -1 + √2 ) = - 3√-1 = -1

(naime, 3√ je za njih jednoznačna neparna funkcija definirana za sve realne brojeve, a √ je definiran za nenegativne realne brojeve). Tako je dobiveno jedinstveno rješenje početne jednadžbe. To se može i provjeriti. Ta jednadžba ima i dva kompleksno-konjugirana rješenja, međutim, matematičari 16. st. o tome na početku nisu vodili računa, niti im je, u ovom slučaju, to bilo potrebno.

Primjer 2: x3 - 3x = 0.

Za tu jednadžbu ne treba formula. Odmah se vidi da su rješenja x1 = 0, x2,3 = √3. Pokušajmo ipak primijeniti formulu. Tu je p = -3, q = 0, pa je

x = 3√√-1 + 3√-√-1. (*)

Vidimo da nas Cardanova formula, u ovom jednostavnom slučaju, dovodi do teških problema - drugih korijena iz negativnih brojeva. To je navelo matematičare 16. st. da se pozabave i takvim matematičkim objektima. Ako su ovakav slučaj mogli i zanemariti (jer već znaju rješenja: 0, √3, -√3), neke su im jednadžbe stvarale još veće poteškoće.

Primjer 3: x3 - 6x + 2 = 0.

19


Lako se vidi da ta jednadžba nema racionalnih rješenja. Cardanova formula daje sljedeći izraz:

x = 3√ -1 + √-7 + 3√ -1 - √-7. (**)

Sljedeća tablica govori nam da bi ta jednadžba trebala imati tri realna rješenja: x -3 -2 -1 0 1 2 3

x3-6x+2 -7 6 7 2 -3 -2 11

Zaključujemo da je -3 < x1 < -2; 0 < x2 < 1; 2 < x3 < 3.

Za razliku od prethodnog primjera, matematičari 16. st. u početku nisu uspjeli doći do tih realnih brojeva, nego su samo imali izraz (**) u kojemu su morali vaditi korijene iz negativnih brojeva. Pred njima su se pojavila sljedeća pitanja:

1. Kako iz izraza (*) i (**) rekonstruirati 3 realna rješenja jednadžbe? 2. Kako treba na takvim izrazima izvesti operacije da bismo mogli računati uvjet uv = -

p/3 ? 3. Mogu li se u (**) i sličnim izrazima rješenja pripadajuće kubne jednadžbe zapisati bez

korijena iz negativnih brojeva?

Za odgovor na ta pitanja bilo je potrebno uvesti kompleksne brojeve i operacije s njima. Sustavna teorija kompleksnih brojeva prvi se put pojavila 1572. g. u Algebri talijanskog matematičara Raffaela Bombellia. Izrazi (*) i (**) zaista se mogu protumačiti tako da daju

rješenje kubne jednadžbe. Kao što znate, kompleksni brojevi jesu brojevi oblika a + bi, a,b

, dok je imaginarna jedinica i izabrana tako da bude i2 = i i = -1, tj. da bude rješenje jednadžbe x2 = -1. Tada se izraz (*) može zapisati kao

x = 3√i + 3√-i. (*)'

Dakle, umjesto √-1 možemo staviti i. Budući da je -i također rješenje jednadžbe x2 = -1, umjesto √-1 mogli smo staviti -i. U (*) ništa se ne bi promijenilo (3√i prešao bi u 3√-i, a 3√-i u 3√i; zbroj bi ostao isti).

Izraz 3√i ima tri vrijednosti: z1 = √3/2 + 1/2 i, z2 = - √3/2 + 1/2 i, z3 = -i. Naime, ta su tri broja rješenja kubne jednadžbe z3 = i (provjerite).

20


Slično tome, izraz 3√-i ima tri vrijednosti: w1 = i, w2 = - √3/2 - 1/2 i, w3 = √3/2 - 1/2 i.

Od 9 mogućih izbora zi, wi; i = 1,2,3 dobije se 9 mogućih vrijednosti izraza (*)'. Treba

odabrati one za koje je uv = -p/3 = 1, tj. 3√i 3√-i = 1.

21


Napomenimo da, iako kompleksni brojevi imaju svojstva analogna realnim brojevima, ima i

nekih razlika. Osim one da se na kompleksne brojeve ne može proširiti relacija uređaja s (tako da vrijede aksiomi uređenog polja), važna je razlika i u formulama √ab = √a √b; 3√ab = 3√a 3√b i sl. Naime, one se ne mogu doslovno primijeniti na kompleksne brojeve. Na primjer,

kad bi bilo √(-1)(-1) = √-1 √-1, bilo bi √1 = i i, tj. 1 = -1 (Vidi: I.Gusić, Korjenovanje kompleksnih brojeva, Zbornik radova 1. kongresa matematike RH, 2000., 108-111). To se razrješava tako da bude √1 = {-1, 1}, √-1 = {i, -i}, dakle, skupovima brojeva. Prema tome, ako se radi s kompleksnim brojevima, √ nije jednoznačna funkcija nego ima dvije vrijednosti (izuzimajući činjenicu da je √0 = 0). Tada će zaista biti √(-1)(-1) = √-1 √-1 (na desnoj strani

riječ je o umnošku skupova). Slično je 3√z za z 0 tročlan skup itd.

Vratimo se skupovima 3√i i 3√-i i uočimo da je z1w3 = z2w2 = z3w1 = 1 (a da su ostali međusobni

umnošci različiti od 1). Zato izraz x = 3√i + 3√-i, uz uvjet 3√i 3√-i = 1, ima tri vrijednosti: x1 = z1

+ w3 = √3; x2 = z2 + w2 = - √3; x3 = z3 + w1 = 0. Upravo su to rješenja početne kubne jednadžbe x3

-3x = 0. Dakle, uz pravilno uvođenje kompleksnih korijena, formula x = 3√i + 3√-i može se protumačiti kao formula koja daje rješenja kubne jednadžbe x3 - 3x = 0.

Nekima niti to ne bi bio dovoljan razlog za uvođenje kompleksnih brojeva jer već znamo rješenje te jednadžbe. Razmotrimo zato jednadžbu x3 - 6x + 2 = 0, tj. izraz (**) x = 3√ -1 + √-7 + 3√ -1 - √-7. Taj izraz možemo pisati kao

x = 3√ -1 + i √7 + 3√ -1 - i √7, (**)'

gdje je umnožak pribrojnika jednak 2. Pritom treba imati na umu sljedeće: (i) √7 je u (**)' običan realni drugi korijen iz 7, tj. pozitivan broj čiji je kvadrat jednak 7.

(ii) 3√ u oba pribrojnika ima tri vrijednosti, ali ćemo za svaku odabranu vrijednost 3√ -1 + i √7 imati točno jednu vrijednost od 3√ -1 - i √7 za koju će umnožak pribrojnika biti jednak 2. Da bi to pokazali, matematičari 16. st. poslužili su se nečim što danas zovemo trigonometrijskim prikazom broja. Neka je z = -1 + √7 i; w = -1 -√7 i. Tada je z = 2√2 (cos

+ i sin ), gdje je argument broja z.

22


Sada je 3√ -1 + i √7 = {z1, z2, z3},

z1 = √2 (cos ( /3) + i sin ( /3)),

z2 = √2 (cos ( /3 + 120o) + i sin ( /3 + 120o)),

z3 = √2 (cos ( /3 + 240o) + i sin ( /3 + 240o)).

23


Slično je 3√ -1 + i √7 = {w1, w2, w3},

w1 = √2 (cos (120o - /3) + i sin (120o - /3)),

w2 = √2 (cos (240o - /3) + i sin (240o - /3)),

w3 = √2 (cos (360o - /3) + i sin (360o - /3)).

Vidimo da je z1w3 = z2w2 = z3w1 = 2. Naime,

360o - ( /3 + 120o) = 240o - /3,

360o - ( /3 + 240o) = 120o - /3.

Zato su rješenja jednadžbe x3 -6x + 2 = 0 realni brojevi:

x1 = z1 + w3 = 2√2 cos ( /3);

x2 = z2 + w2 = 2√2 cos ( /3 + 120o);

x3 = z3 + w1 = 2√2 cos ( /3 + 240o).

To su tri realna broja dobivena iz Cardanove formule pravilnom uporabom kompleksnih brojeva. Bez kompleksnih brojeva bilo bi gotovo nemoguće doći do tih rješenja. U tim

24


rješenjima pojavljuje se kut koji se može eliminirati ovako: = 180o - arctg(√7) (naime,

tg(180o - ) = √7). Sada je

x1 = 2√2 cos ( /3) = 2√2 cos (60o - arctg(√7) / 3) = 2√2 (1/2 cos (arctg(√7) / 3) + √3/2 sin (arctg(√7) / 3)),

itd.

Slično bi se dobilo za svaku kubnu jednadžbu x3 + px + q = 0, koja ima tri različita realna

rješenja (odnosno za koju je D = q2 / 4 + p3 /27 < 0). Naime, za z = -q/2 + √D i, r = |z|, = arg(z) dobili bismo da je

x1 = 3√r cos ( /3);

x2 = 3√r cos ( /3 + 120o);

x3 = 3√r cos ( /3 + 240o).

Eliminacijom kuta ( = arctg(2√D/(-q)) za q < 0, = arctg(2√D/q) za q > 0 i = 90o za q = 0) dobili bismo da je

x1 = 2 3√r cos (arctg(2√D/(-q)) / 3),

itd. Vidimo da se rješenja mogu dobiti u ovisnosti o koeficijentima p,q jednadžbe, međutim u rješenjima sudjeluju transcendentne funkcije kosinus, sinus, arkus-tangens. Pitamo se mogu li se rješenja zapisati bez takvih funkcija, a i bez kompleksnih brojeva (kad su već realna)? Na primjer, mogu li se rješenja jednadžbe x3 - 6x + 2 = 0 zapisati samo pomoću korijena iz pozitivnih brojeva? Taj slučaj kubne jednadžbe, koji je najviše mučio matematičare 16. st., a i one kasnije, nazvan je nesvodljivim slučajem kubne jednadžbe. Kako smo vidjeli, zbog njega su uvedeni kompleksni brojevi i trigonometrijski prikaz. Tek je metodama Galoisove teorije iz 19. st. dan odgovor na gore postavljeno pitanje. Evo jedne varijante odgovora:

Neka je x3 + px + q = 0; p,q kubna jednadžba za koju je D < 0, koja nema racionalnog rješenja. Tada se rješenja te jednadžbe ne mogu zapisati pomoću realnih radikala (drugih, trećih ili nekih drugih korijena iz pozitivnih racionalnih brojeva).

25


LITERATURA

26

Documents

Maturski Rad kompleksni brojevi