Rezolvarea problemelor de maxim şi minim. Optimizări

Motto: “Problemele de maxim şi minim idealizează o înclinaţie a naturii şi a noastră înşine de a obţine

efecte optime cu eforturi, cheltuieli minime.”G. Polya, matematician şi pedagog

În această lucrare mi-am pus ca scop să rezolv un şir de probleme de algebră,

planimetrie şi stereometrie, folosind cercetarea unei funcţii cu ajutorul derivatei. Aflarea punctelor de extrem şi a extremelor funcţiei cu ajutorul derivatei ne permit rezolvarea multor probleme de optimizare din diferite domenii.

În acelaşi timp, avem un prilej deosebit de a exemplifica forţa metodelor analizei matematice la rezolvarea unor probleme de modelare matematică din algebră, geometrie, fizică, economie etc., a căror rezolvare nu este întotdeauna posibilă, dacă sunt aplicate doar metodele algebrei sau geometriei elementare.

Curriculum modernizat la matematică presupune crearea la elevi a unui sistem integrat de cunoştinţe, capacităţi, deprinderi şi atitudini, dobindite de elev prin invăţare, în vederea rezolvării unor probleme cu care acesta se poate confrunta în viaţa reală.

Următoarele competenţele specifice ale disciplinei Matematică: utilizarea conceptelor matematice, a metodelor, algoritmilor, proprietăţilor,

teoremelor studiate in contexte variate de aplicare; Integrarea achiziţiilor matematice dobindite cu alte cunoştinţe, inclusiv din

fizică, chimie, biologie, informatică, pentru rezolvarea problemelor in situaţii reale şi/sau modelate;

ne mobilizează să căutam diferite probleme pentru ca elevul să aibă posibilitatea de-a aplica practic cunoştinţele teoretice, dobîndite prin învăţare.Pentru crearea următoarelor subcompetenţe:

3.2 aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferenţial in rezolvarea unor probleme şi cercetarea unor procese reale şi/sau modelate;3.7 analiza rezolvării unei probleme, situaţii-problemă ce ţin de utilizarea derivatelor, diferenţialelor in contextul corectitudinii, al simplităţii, al clarităţii şi al semnificaţiei rezultatelor;3.8 aplicarea derivatelor in studiul proceselor fizice, sociale, economice prin intermediul rezolvării unor probleme de maxim şi/sau minim

propun profesorilor să rezolve cu elevii un şir de probleme de maxim sau minim din diferite domenii.

Pentru a determina valoarea maximă sau minimă a unei mărimi, vom exprima valorea acesteia (dacă e posibil) printr-o funcţie şi apoi vom studia variaţia funcţiei obţinute cu ajutorul derivatei.

Page 1 of 13

Pentru a transpune rezolvarea problemei de maxim sau minim în limbajul matematic cu ajutorul unei funcţii de o singura variabilă ne vom folosi de următorul algoritm:

1. Vom alege un parametru convenabil (de exemplu x) şi vom exprima marimele din această problemă prin x

2. Pentru mărimea, ce trebuie să atingă valoarea maximă sau minimă, vom alcătui o funcţie de variabila x

3. Vom găsi intervalul pe care funcţia trebuie să atingă valoarea maximă (sau minimă)

4. Cu ajutorul derivatei vom determina punctele de maxim sau minim pe intervalul obţinut.

5. Vom afla mărimea necunoscută din problema şi dacă se cere şi valoarea maximă sau minimă.

Remarcă:- dacă intervalul este deschis (x (a,b)) şi pe acest interval funcţia are un

număr finit de puncte de maxim (sau minim), atunci valoarea cea mai mare (sau cea mai mică ) funcţia o atinge într-un punct de maxim ( sau punct de minim)

Nu întotdeauna e convinabil de-a nota prin x mărimea necunoscută a problemei.Se notează prin x acea mărime, pentru care funcţia obţinută să fie uşor de cercetat cu ajutorul derivatei.

Exemple:Problema 1 De găsit aşa un număr strict pozitiv x, pentru care diferenţa dintre x şi cubul său x3 să fie maximă. De aflat diferenţa maximă.

RezolvareFie că acest număr este x, atunci cubul său va fi x3, diferenţa (x-x3). Pentru diferenţă am obţinut o funcţie d(x) = x-x3 , unde x (0, +∞)Pentru a afla valoarea lui x, unde diferenţa îşi atinge valoarea maximă, vom cerceta această funcţie cu ajutorul derivatei.(cu ajutorul metodelor algebrei elementare e destul de anevoios de aflat valoarea lui x, pentru care diferenţa (x-x3) să fie maximă)

1. Aflăm = -3x2 + 1

2. Rezolvăm ecuaţia = 0 -3x2 + 1=0 x2 =

3. Aflăm sgn -?

Deoarece trecînd prin îşi

schimbă semnul de la + la – rezultă, că

Page 2 of 13

x= unicul punct de maxim pe intervalul (0, +∞) . Deci diferenţa îşi atinge

valoarea maximă în punctul x= , iar diferenţa maximă dintre x şi cubul său este

d( ) = - ( )3 =

Răspuns: numărul este , iar diferenţa maximă este

Problema 2Într-o piramidă hexagonală regulată lungimea muchiei laterale este de 1 cm. Care trebuie să fie lungimea laturii bazei pentru ca volumul piramidei să fie maxim. Aflaţi volumul maxim al piramidei

Rezolvare:I metodă Fie că înălţimea piramidei H= VO=x, atunci R= . Deoarece într-un hexagon regulat lungimea laturii este egală cu R

=a6=R= .

Volumul piramidei este egal cu

VVABCDEF= Abazei ∙ H =

Deci am obţinut funcţia V(x) = , unde x (0, 1)

Cercetăm această funcţie cu ajutorul derivatei:1. Calculăm

2. Rezolvăm ecuaţia =0

3. Aflăm sgn -?

Deoarece trecînd prin îşi schimbă semnul de la + la – rezultă, că

x= este unicul punct de maxim pe intervalul (0, 1) . Deci piramida va avea

volumul maxim pentru x= , iar volumul maxim va fi

Page 3 of 13

Însă H=x, deci înălţimea piramidei este de şi putem afla lungimea laturii bazei

a6 =R =

Răspuns: Lungimea laturei bazei este de , iar volumul maxim este de

II metodă Fie că notăm prin x lungimea laturii bazei (mărimea necunoscută din problemă).

R=a6 =x H =

Vpiramidei = Abazei ∙ H =

Am primit funcţia V(x)=

1. aflăm derivata -?

2. Rezolvăm ecuaţia:

x(2-3x2)=0

3. Aflăm sgn -?

Deoarece trecînd prin îşi schimbă semnul de la + la – rezultă, că

x= este unicul punct de maxim pe intervalul (0, 1) . Deci piramida va avea

volumul maxim pentru x= , iar volumul maxim va fi de

V( )=

Comparînd aceste 2 metode observăm, că notînd înalţimea prin x, s-a obţinut o funcţie mai uşor de derivat şi de aflat punctul de maxim, pe cînd în al doilea caz s-a obţinut o funcţie mai greu de derivat şi de aflat punctul de maxim.

Page 4 of 13

Concluzie: nu intotdeauna se notează prin x mărimea necunoscută din problemă.Se notează acea mărime, pentru care se obţine o funcţie mai uşor de cercetat cu ajutorul derivatei.

Problema 3De găsit aşa un numar strict pozitiv, care sa fie mai mare decît patratul său cu o valoare maxim posibilă.

Rezolvare: Fie că acest număr este x, atunci patratul său va fi x2, iar diferenţa (x-x2). Pentru diferenţă am obţinut o funcţie d(x) = x-x2 , unde x (0, +∞)Putem afla valoarea lui x pentru care d(x) să fie maximă prin 2 metode:I metodă - folosim proprietăţile funcţiei de gradul II

d(x) = -x2 +x funcţia d – funcţie de gradul II, graficul căreia este o parabolă

cu ramurile în jos va fi unicul punct de maxim,

în care diferenţa îşi atinge valoarea maximă

şi x (0, +∞)

Deci x= - punct de maxim, diferenţa d( )=

II metodă vom cerceta funcţia d(x) cu ajutorul derivatei.1. Aflăm

= -2x + 1

2. Rezolvăm ecuaţia = 0 -2x + 1=0 x =

3. Aflăm sgn -?

Deoarece trecînd prin îşi schimbă semnul de la + la – rezultă, că

x= unicul punct de maxim pe intervalul (0, +∞) . Deci diferenţa îşi atinge

valoarea maximă în punctul x= , iar diferenţa maximă dintre x şi patratul său este

d( ) =

Răspuns: numărul este , iar diferenţa maximă este

Observăm că această problemă poate fi rezolvată prin 2 metode:- utilizînd proprietăţile funcţiei de gradul II- cu ajutorul derivatei

Page 5 of 13

Problema 4Într-un triunghi dreptunghic cu lungimea ipotenuzei de 24 cm şi măsura unui unghi ascuţit de 60o este înscris un dreptunghi, baza caruia se află pe ipotenuză. Care sunt lungimile laturilor dreptunghiului, pentru ca aria dreptunghiului să fie maximă.

Se da: ABC-

dreptunghic m(<B)= 600

m(<A)= 900

= 24 cm MNPQ- dreptunghi inscris in ABC Adr.MNPQ- maxima___________________________________ -? -?

Rezolvare: Deoarece ABC – drept.

m(<B)= 600 m(<C)= 300 =12 cm

= 12 cm

Fie , iar ∙ cos300 = 2x ∙ = x

Cercetam BMN- dreptunghic

MN = x

Deci

Atunci AMNPQ = MN ∙ MQ = x( 24 –

Am obtinut: a(x) = , unde a- functie de gradul II

Page 6 of 13

Deoarece x > 0 , x < ,

x (0; 6 );

1. Aflăm a'(x) -?

a'(x) =

2. Rezolvăm ecuaţia = 0 =0;

;

x = 24 ∙ ;

x = 3

3. Aflăm sgn -?

Deoarece trecînd prin 3 îşi schimbă semnul de la + la – rezultă, că

x= 3 este unicul punct de maxim pe intervalul (0; 6 ). Deci îşi atinge

valoarea maximă în punctul x= 3 , iar aria maximă a dreptunghiului va fi

a(3 ) = 36

Deci

= 24 – 3 – 9 = 12

Raspuns: Laturile dreptunghiului sunt de 3 cm si 12cm, iar aria maximă

a dreptunghiului este 36 ( cm2).Problema 5

Într-un trapez isoscel, laturile laterale sunt congruente cu baza mică a trapezului, lungimea caruia este a(m).Care este lungimea bazei mari a trapezului, pentru ca aria trapezului să fie maximă.

Se da: ABCD – trapez isoscel AABCD – maxima_____________________ AD - ?

Rezolvare :

Page 7 of 13

AABCD = ; h - ?

Fie h = x

AABCD = , unde x (0; a)

Cercetam functia A(x) = pe intervalul x (0; a);

(x)=0 = 0

a2 - x2 ≠ 0

=

a2 ∙ (a2 – x 2) =(2 x2 - a 2 )2

a2 ∙ (a2 – x 2) = 4 x4 - 4 x 2a 2 + a4

a4 - a2 x2 = 4 x4 - 4 x 2a 2 + a4

4 x4 - 3 x2 a2 = 0

x2 ( 4 x2 – 3 a2 ) =0

4x2 - 3∙a2 = 0 4x2 = 3∙a2 x2 = x =

Aflăm sgn A' (x) - ?

x = - este unicul punct de maxim pe intervalul (0; a) h =

A ( ) = - aria maxima a trapezului

iar

Raspuns : A = - aria maxima a trapezului

Problema 6 De descompus numărul 180 în sumă de 3 termeni, în aşa fel ca raportul a 2 termeni să fie 1:2, iar produsul lor să fie maxim.

Page 8 of 13

Fie termenii a, b şi c, astfel încît a+b+c=180,

Fie = = = x c = 180 - 3x

Produsul va fi funcţia P(x) = x ∙ (2x) ∙ (180 - 3x) = 2x2 (180-3x) = 360 x2 - 6x3.Deci am obţinut funcţia P(x) = - 6x3 + 360x2 , x (0;180).Aflăm derivata P'(x) = -180x2+720x = -18x(x-40)

P'(x) = 0 x = 0 x = 40

x = 0 (0;180) x = 40 - unicul punct critic pe intervalul (0;180) sgn P'(x) -?

Deoarece derivata P'(x) îşi schimbă semnul de la + la – în p. x = 40

x = 40 este unicul punct de maxim pe intervalul (0;180) P(40)= 192000 -valoarea maxima a produsului.

Deci: a = 40 b =2x =80; c =180-3x =180-120 =60.Verificare: 40+80+60 = 180.

Raspuns: Numerele sunt 40; 80; 60.

Problema 7Într-o prismă triunghiulară regulată, distanţa de la centrul bazei pînă la un vîrf al celeilalte baze este . Care este lungimea înălţimei prismei, volumul căreia este

maxim. Aflaţi volumul maxim.

Rezolvare:Vprismei= Abazei ∙ hFie = h = x

=

a =

Abazei =

V(x)= x (0, )

Cercetăm funcţia V(x) cu ajutorul derivatei

1. Calculăm

Page 9 of 13

2. Rezolvăm ecuaţia =0

3. Aflăm sgn -?

Deoarece trecînd prin îşi schimbă semnul de la + la – rezultă, că

x= unicul punct de maxim pe intervalul (0, ) . Deci prizma va avea volumul

maxim pentru x= , iar volumul maxim va fi de

V(x)=

Răspuns: Lungimea înălţimei prismei este de , iar volumul maxim este de

Problema 8Se dă o sferă de raza R, în care e înscris un cilindru cu aria suprafeţei laterale maximă. De aflat înălţimea cilindrului.

Rezolvare:Fie , atunci =

2

Alat cilin = 2 x ∙ 2 = 4 x ∙ , unde x (0,R)Cercetăm funcţia A(x) cu ajutorul derivatei:

1. Calculăm

= 4 ( ) =

= 4 ∙ = 4 ∙

=0 x =±

4. Aflăm sgn -?

Page 10 of 13

Deoarece trecînd prin punctul îşi schimbă semnul de la + la – rezultă,

că x= unicul punct de maxim pe intervalul (0, R) . Deci cilidru va avea aria

suprafeţei laterale maximă pentru x=

H = 2

Aria suprafeţei laterale maximă va fi de:

A(x)= 2

Răspuns: Lungimea înălţimei cilindrului este de , iar aria suprafeţei laterale maxime este de Problema 9Într-o sferă e înscris un con cu volumul maxim. De aflat raportul dintre raza sferei şi înălţimea conului.

Fie raza sferei este R, iar = Hconului= = +R

Atunci volumul conului va fi:

Vcon= Abazei∙ H = x2 ∙ ( +R) =

= ∙x2∙( +R)

Am obţinut funcţia:

V(x) = ∙x2∙( +R), unde x (0,R)

Cercetăm funcţia V(x) cu ajutorul derivatei:

1. Calculăm V'(x) -?

V'(x) = (x2 +x2R)' = ( 2x +x2∙ +2xR) =

= ( ) = ∙ =

= x

2. Rezolvăm ecuaţia V'(x) =0 ;

2R = 3x2-2R2 4R2(R2-x2) =(3x2-2R2)2

4R4 - 4R2x2 = 9x4 - 12x2 R2 + 4R4 = 9x4 - 8x2 R2 = 0

X2 (9x2 -6R2) =0

Deci x= - punct de maxim, H=

Page 11 of 13

Luăm raportul :

Răspuns:

Explicînd rezolvarea acestor 9 probleme, sper că am iniţiat cititorul în metodica rezolvării problemelor de maxim sau minim.În continuare propun un şir de probleme, ce pot fi rezolvate asemănător. Probleme de maxim şi minim, care pot fi rezolvate cu ajutorul derivatei:

(propuse pentru rezolvare)Problema 1 Presupunem că puterea P(t) emisă la descărcarea unui dispozitiv electronic la fiecare moment t>0 este P(t)=t3 ∙ e -0.2 ∙ t (puterea fiind măsurată în watz, iar timpul în secunde).Să se afle:

a) La ce moment puterea va fi maximăb) Între ce limite (margini) variază puterea P(t) în intervalul de timp t€ [10, 20]

Problema 2 Să se determine punctul de pe graficul funcţiei f(x)=2∙ aflat la distanţa minimă de punctul A(2,0).

Problema 3 Într-o sferă de raza R este înscris un con, cu aria suprafeţei laterale maximă. Aflaţi aria suprafeţei laterale a acestui con.

Problema 4 Într-o sferă este înscris un cilindru cu aria suprafeţei laterale maximă. De aflat raportul dintre raza sferei şi raza bazei acestui cilindru

Problema 5 Într-o sferă este înscris un cilindru cu volumul maxim. De cîte ori volumul sferei e mai mare decît volumul acestui cilindru.

Problema 6 Într-o sferă de raza R este înscris un cilindru cu aria suprafeţei laterale maximă. De aflat volumul acestui cilindru. Problema 7 Într-un con este înscris un cilindru cu aria suprafeţei laterale maximă. De aflat raportul dintre lungimea înălţimii conului la lungimea înălţimei acestui cilindru.

Problema 8 Într-un con este înscris un cilindru cu volumul maxim. De aflat raportul dintre lungimea razei bazei conului la lungimea razei bazei cilindrului.

Problema 9 Prin punctul N(2; 4) este dusă o dreapta. Punctele de intersecţie a dreptei cu axele sistemului de coordonate (x>0 şi y>0) impreună cu originea sistemului de coordonate formează un triunghi dreptunghic. Care este lungimea celei mai mari catete ale acestui triunghi, pentru ca aria triunghiului să fie minimă

Page 12 of 13

Problema 10 Volumul unei prisme triunghiulare regulate este egală cu V. Să se afle lungimea laturei bazei prismei, astfel încît aria totală a prismei să fie minimă.

Problema11Aflaţi laturile unui dreptunghi, perimetrul căruia este de 72 cm, iar aria dreptunghiului este maximă.

Problema 12 O cutie are forma unui cilindru a carui volum este de 1 dm3 .Care este lungimea razei bazei pentru ca aria suprafeţei totale sa fie minima.

Lista de probleme propuse spre rezolvare ar putea să continue.Aplicaţiile derivatei la rezolvarea problemelor de maxim şi minim este foarte benefică. Presupun că obiectuvul propus a fost realizat şi că am intrigat cititorul să rezolve problemele propuse.

Profesor Raisa Miron, grad didactic superior la matematică şi informatică

Literatura :

1. Ion Achiri Vasile Ciobanu Petru Efros Valentin Garit Vasile Neagu Nicolae Prodan Dumitru Taragan Anatol Topală

Matematica, manual pentru clasa XI, editura Prut Internaţional, 20032. Ion Achiri Maria Efros Petru Efros Valentin Garit Ana Popa Valeriu Popa Nicolae Prodan

Parascovia Sârbu

Culegere de exerciţii şi probleme pentru clasa XI3. Victor Iavorschi

Matematica, culegere de exerciţii şi probleme, clasa X- XII

4. В М Говоров, П Т Дыбов, Н В Мирошин, С Ф Смирнова Сборник конкурсных задач по математике

5. Сборник задач по математике для поступающих во втузы под редакцией М. И. Сканави

Page 13 of 13