Mecanica de 5 Materiales- Beer Ed

Unidades de uso comn en Estados Unidos y sus equivalencias enunidades del SI

Cantidad Unidades de uso comn Equivalente del SIen Estados Unidos

Aceleracin

reain.2

Energa 1.356 JFuerza kip 4.448 kN

lb 4.448 Noz 0.2780 N

ImpulsoLongitud ft 0.3048 m

in. 25.40 mmmi 1.609 km

Masa oz masa 28.35 glb masa 0.4536 kgslug 14.59 kgton 907.2 kg

Momento de una fuerza

Momento de inerciade un rea in.4de una masa

Potencia 1.356 Whp 745.7 W

Presin o esfuerzo 47.88 Palb/in.2 (psi) 6.895 kPa

Velocidad ft/s 0.3048 m/sin./s 0.0254 m/smi/h (mph) 0.4470 m/smi/h (mph) 1.609 km/h

Volumen, slidosin.3

Lquidos gal 3.785 Lqt 0.9464 L

Trabajo 1.356 Jft lb

16.39 cm30.02832 m3ft3

lb/ft2

ft lb/s1.356 kg m2lb ft s20.4162 106 mm4

0.1130 N mlb in.1.356 N mlb ft

4.448 N slb s

ft lb645.2 mm2

0.0929 m2ft20.0254 m/s2in./s20.3048 m/s2ft/s2

MECNICA DE MATERIALES

MXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALAMADRID NUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO SO PAULOAUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHI

SAN FRANCISCO SINGAPUR SAN LUIS SIDNEY TORONTO

Revisin tcnica:

Jess Manuel Dorador G.Universidad Nacional Autnoma de Mxico

FERDINAND P. BEER (finado)Late of Lehigh University

E. RUSSELL JOHNSTON, JR.University of Connecticut

JOHN T. DEWOLFUniversity of Connecticut

DAVID F. MAZUREKUnited States Coast Guard Academy


Quinta edicin

Director Higher Education: Miguel ngel Toledo CastellanosEditor sponsor: Pablo E. Roig VzquezCoordinadora editorial: Marcela I. Rocha M.Editor de desarrollo: Edmundo Carlos Ziga GutirrezSupervisor de produccin: Zeferino Garca Garca

Traduccin: Jess Elmer Murrieta Murrieta

MECNICA DE MATERIALESQuinta edicin

Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra,por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOS 2010, 2007, 2003, 1993, 1982 respecto a la quinta edicin en espaol por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc.

Prolongacin Paseo de la Reforma Nm. 1015, Torre APiso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe,Delegacin lvaro ObregnC.P. 01376, Mxico, D. F.Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736

ISBN-13: 978-607-15-0263-6(ISBN: 970-10-6101-2 edicin anterior)

Traducido de la quinta edicin en ingls de: Mechanics of Materials, fifth edition. Copyright 2009 by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.ISBN 0-07-722140-0

1234567890 109876543210

Impreso en Mxico Printed in Mexico

Acerca de los autores

Como editores de los libros escritos por Ferd Beer y Russ Johnston, a me-nudo se nos pregunta cmo fue que escribieron juntos sus libros, cuando unode ellos trabaja en Lehigh y el otro en la University of Connecticut.

La respuesta a esta pregunta es sencilla. El primer trabajo docente deRuss Johnston fue en el Departamento de Ingeniera Civil y Mecnica de Lehigh University. Ah conoci a Ferd Beer, quien haba ingresado a ese de-partamento dos aos antes y estaba al frente de los cursos de mecnica. FredBeer naci en Francia y se educ en ese pas y en Suiza. Alcanza el gradode maestro en Ciencias en la Sorbona y el de doctor en Ciencias en el cam-po de la mecnica terica en la Universidad de Ginebra. Lleg a Estados Uni-dos tras servir en el ejrcito francs a comienzos de la Segunda Guerra Mun-dial. Tambin ense durante cuatro aos en el Williams College en elprograma conjunto de arte e ingeniera de Williams-MIT. Russ Johnston na-ci en Filadelfia y obtuvo el grado de licenciado en Ciencias en la Univer-sity of Delaware y el grado de Doctor en Ciencias en el campo de ingenie-ra estructural en el MIT.

Beer se alegr al descubrir que el joven que haba sido contratado prin-cipalmente para impartir cursos de posgrado en ingeniera estructural noslo deseaba ayudarlo a reestructurar los cursos de mecnica, sino que es-taba ansioso por hacerlo. Ambos compartan la idea de que estos cursos de-beran ensearse a partir de algunos principios bsicos y que los estudian-tes entenderan y recordaran mejor los diversos conceptos involucrados sistos se presentaban de manera grfica. Juntos redactaron notas para las c-tedras de esttica y dinmica, a las que despus aadieron problemas que,pensaron, seran de inters para los futuros ingenieros. Pronto tuvieron ensus manos el manuscrito de la primera edicin de Mechanics for Engineers.Cuando apareci la segunda edicin de este texto y la primera edicin deVector Mechanics for Engineers, Russ Johnston se hallaba en el WorcesterPolytechnics Institute. Al publicarse las siguientes ediciones ya trabajabaen la University of Connecticut. Mientras tanto, Beer y Johnston habanasumido responsabilidades administrativas en sus departamentos, y ambosestaban involucrados en la investigacin, en la consultora y en la supervi-sin de estudiantes: Beer en el rea de los procesos estocsticos y de lasvibraciones aleatorias, y Johnston en el rea de la estabilidad elstica y deldiseo y anlisis estructural. Sin embargo, su inters por mejorar la ense-anza de los cursos bsicos de mecnica no haba menguado, y ambos di-rigieron secciones de estos cursos mientras continuaban revisando sus tex-

vii

tos y comenzaron a escribir juntos el manuscrito para la primera edicinde Mechanics of Materials.

Las contribuciones de Beer y Johnston a la educacin en la ingenierales han hecho merecedores de varios premios y honores. Se les otorg el pre-mio Western Electric Fund Award por la excelencia en la instruccin de losestudiantes de ingeniera por sus secciones regionales respectivas de la Ame-rican Society for Engineering Education, y ambos recibieron el Premio alEducador Distinguido (Distinguished Educator Award) de la Divisin de Me-cnica de la misma sociedad. En 1991 Jonhston recibi el Premio al Inge-niero Civil Sobresaliente (Outstanding Civil Engineer Award) de la seccindel estado de Connecticut de la American Society of Civil Engineering, y en1995 Beer obtuvo el grado honorario de doctor en ingeniera por la LehighUniversity.

John T. DeWolf, profesor de ingeniera civil de la University of Con-necticut, se uni al equipo de Beer y Johnston como autor en la segunda edi-cin de Mecnica de materiales. John es licenciado en Ciencias en ingenie-ra civil por la University of Hawaii y obtuvo los grados de maestra ydoctorado en ingeniera estructural por la Cornell University. Las reas de suinters en la investigacin son las de estabilidad elstica, monitoreo de puen-tes y anlisis y diseo estructural. Es miembro de la Junta de Examinadoresde Ingenieros Profesionales del Estado de Connecticut y fue seleccionadocomo miembro del Magisterio de la Universit y of Connecticut en 2006.

David F. Mazurek, profesor de ingeniera civil en la United States CoastGuard Academy, es un autor nuevo en esta edicin. David cuenta con una li-cenciatura en Ingeniera oceanogrfica y una maestra en Ingeniera civil porel Florida Institute of Technology, as como un doctorado en Ingeniera civilpor la University of Connecticut. Los ltimos diecisiete aos ha trabajadopara el Comit de Ingeniera y Mantenimiento de Vas y Caminos Estado-unidenses en el rea de estructuras de acero. Entre sus intereses profesiona-les se incluyen la ingeniera de puentes, el anlisis forense de estructuras yel diseo resistente a las explosiones.

viii Acerca de los autores

Contenido

Prefacio xvLista de smbolos xxi

1INTRODUCCIN. EL CONCEPTO DE ESFUERZO

1

1.1 Introduccin 21.2 Un breve repaso de los mtodos de la esttica 21.3 Esfuerzos en los elementos de una estructura 51.4 Anlisis y diseo 61.5 Carga axial. Esfuerzo normal 71.6 Esfuerzo cortante 91.7 Esfuerzo de apoyo en conexiones 111.8 Aplicacin al anlisis y diseo de estructuras sencillas 121.9 Mtodo para la solucin de problemas 14

1.10 Exactitud numrica 151.11 Esfuerzos en un plano oblicuo bajo carga axial 231.12 Esfuerzos bajo condiciones generales de carga.

Componentes del esfuerzo 241.13 Consideraciones de diseo 27

Repaso y resumen del captulo 1 38

2ESFUERZO Y DEFORMACIN. CARGA AXIAL

462.1 Introduccin 472.2 Deformacin normal bajo carga axial 482.3 Diagrama esfuerzo-deformacin 50

*2.4 Esfuerzo y deformacin verdaderos 552.5 Ley de Hooke. Mdulo de elasticidad 56

ixix

2.6 Comportamiento elstico contra comportamiento plstico de un material 57

2.7 Cargas repetidas. Fatiga 592.8 Deformaciones de elementos sometidas a carga axial 612.9 Problemas estticamente indeterminados 70

2.10 Problemas que involucran cambios de temperatura 742.11 Relacin de Poisson 842.12 Carga multiaxial. Ley de Hooke generalizada 85

*2.13 Dilatacin. Mdulo de elasticidad volumtrico (o mdulo decompresibilidad) 87

2.14 Deformacin unitaria cortante 892.15 Anlisis adicional de las deformaciones bajo carga axial.

Relacin entre E, y G 92*2.16 Relaciones de esfuerzo-deformacin para materiales

compuestos reforzados con fibras 952.17 Distribucin del esfuerzo y de la deformacin bajo

carga axial. Principio de Saint-Venant 1042.18 Concentraciones de esfuerzos 1072.19 Deformaciones plsticas 109

*2.20 Esfuerzos residuales 113Repaso y resumen del captulo 2 121

3TORSIN

1313.1 Introduccin 1323.2 Anlisis preliminar de los esfuerzos en un eje 1343.3 Deformaciones en un eje circular 1363.4 Esfuerzos en el rango elstico 1393.5 ngulo de giro en el rango elstico 1503.6 Ejes estticamente indeterminados 1533.7 Diseo de ejes de transmisin 1653.8 Concentraciones de esfuerzo en ejes circulares 167

*3.9 Deformaciones plsticas en ejes circulares 172*3.10 Ejes circulares hechos de un material elastoplstico 174*3.11 Esfuerzos residuales en ejes circulares 177*3.12 Torsin de elementos no circulares 186*3.13 Ejes huecos de pared delgada 189


4FLEXIN PURA

2084.1 Introduccin 2094.2 Elemento simtrico sometido a flexin pura 2114.3 Deformaciones en un elemento simtrico sometido

a flexin pura 213

n

x Contenido

4.4 Esfuerzos y deformaciones en el rango elstico 2164.5 Deformaciones en una seccin transversal 2204.6 Flexin de elementos hechos de varios materiales 2304.7 Concentracin de esfuerzos 234

*4.8 Deformaciones plsticas 243*4.9 Elementos hechos de material elastoplstico 246

*4.10 Deformaciones plsticas en elementos con un solo plano de simetra 250

*4.11 Esfuerzos residuales 2504.12 Carga axial excntrica en un plano de simetra 2604.13 Flexin asimtrica 2704.14 Caso general de carga axial excntrica 276

*4.15 Flexin de elementos curvos 285Repaso y resumen del captulo 4 298

5ANLISIS Y DISEO DE VIGAS

PARA FLEXIN307

5.1 Introduccin 3085.2 Diagramas de cortante y de momento flector 3115.3 Relaciones entre la carga, el cortante y el momento flector 3225.4 Diseo de vigas prismticas a la flexin 332

*5.5 Uso de funciones de singularidad para determinar el cortante y el momento flector en una viga 343

*5.6 Vigas no prismticas 354Repaso y resumen del captulo 5 363

6ESFUERZOS CORTANTES EN VIGAS

Y EN ELEMENTOS DE PARED DELGADA371

6.1 Introduccin 3726.2 Cortante en la cara horizontal de un elemento de una viga 3746.3 Determinacin de los esfuerzos cortantes en una viga 3766.4 Esfuerzos cortantes txy en tipos comunes de vigas 377

*6.5 Anlisis adicional sobre la distribucin de esfuerzos en una viga rectangular delgada 380

6.6 Corte longitudinal en un elemento de viga con forma arbitraria 388

6.7 Esfuerzos cortantes en elementos de pared delgada 390*6.8 Deformaciones plsticas 392*6.9 Carga asimtrica de elementos de pared delgada.

Centro de cortante 402Repaso y resumen del captulo 6 414

Contenido xi

7TRANSFORMACIONES DE ESFUERZOS

Y DEFORMACIONES422

7.1 Introduccin 4237.2 Transformacin de esfuerzo plano 4257.3 Esfuerzos principales. Esfuerzo cortante mximo 4287.4 Crculo de Mohr para esfuerzo plano 4367.5 Estado general de esfuerzos 4467.6 Aplicacin del crculo de Mohr al anlisis tridimensional

de esfuerzos 448*7.7 Criterios de fluencia para materiales dctiles bajo

esfuerzo plano 451*7.8 Criterios de fractura para materiales frgiles bajo

esfuerzo plano 4537.9 Esfuerzos en recipientes de pared delgada a presin 462

*7.10 Transformacin de deformacin plana 470*7.11 Crculo de Mohr para deformacin plana 473*7.12 Anlisis tridimensional de la deformacin 475*7.13 Mediciones de la deformacin. Roseta de deformacin 478


8ESFUERZOS PRINCIPALES BAJO

UNA CARGA DADA495

*8.1 Introduccin 496*8.2 Esfuerzos principales en una viga 497*8.3 Diseo de ejes de transmisin 500*8.4 Esfuerzos bajo cargas combinadas 508


9DEFLEXIN DE VIGAS

529

9.1 Introduccin 5309.2 Deformacin de una viga bajo carga transversal 5329.3 Ecuacin de la curva elstica 533

*9.4 Determinacin directa de la curva elstica a partir de ladistribucin de carga 538

9.5 Vigas estticamente indeterminadas 540*9.6 Uso de funciones de singularidad para determinar la

pendiente y la deflexin de una viga 5499.7 Mtodo de superposicin 558

xii Contenido

9.8 Aplicacin de la superposicin a vigas estticamenteindeterminadas 560

*9.9 Teoremas de momento de rea 569*9.10 Aplicacin a vigas en voladizo y vigas con cargas

simtricas 571*9.11 Diagramas de momento flector por partes 573*9.12 Aplicacin de los teoremas de momento de rea

a vigas con cargas asimtricas 582*9.13 Deflexin mxima 584*9.14 Uso de los teoremas de momento de rea con vigas

estticamente indeterminadas 586Repaso y resumen del captulo 9 594

10COLUMNAS

60610.1 Introduccin 60710.2 Estabilidad de estructuras 60810.3 Frmula de Euler para columnas articuladas 61010.4 Extensin de la frmula de Euler para columnas con otras

condiciones de extremo 614*10.5 Carga excntrica. Frmula de la secante 62510.6 Diseo de columnas bajo una carga cntrica 63610.7 Diseo de columnas bajo una carga excntrica 652


11MTODOS DE ENERGA

66911.1 Introduccin 67011.2 Energa de deformacin 67011.3 Densidad de energa de deformacin 67211.4 Energa elstica de deformacin para esfuerzos normales 67411.5 Energa de deformacin elstica para esfuerzos cortantes 67711.6 Energa de deformacin para un estado general

de esfuerzos 68011.7 Cargas de impacto 69311.8 Diseo para cargas de impacto 69511.9 Trabajo y energa bajo una carga nica 696

11.10 Deflexin bajo una carga nica por el mtodo de trabajo-energa 698

*11.11 Trabajo y energa bajo varias cargas 709*11.12 Teorema de Castigliano 711*11.13 Deflexiones por el teorema de Castigliano 712*11.14 Estructuras estticamente indeterminadas 716


Contenido xiii

APNDICES735

A Momentos de reas 736B Propiedades tpicas de materiales seleccionados usados

en ingeniera 746C Propiedades de perfiles laminados de acero 750D Deflexiones y pendientes de vigas 762E Fundamentos de la certificacin en ingeniera en Estados

Unidos 763

Crditos de fotografas 765

ndice 767

Respuestas a los problemas 777

xiv Contenido

PREFACIO

OBJETIVOSEl objetivo principal de un curso bsico de mecnica es lograr que el estu-diante de ingeniera desarrolle su capacidad para analizar de una manerasencilla y lgica un problema dado, y que aplique a su solucin unos po-cos principios fundamentales bien entendidos. Este libro se dise para elprimer curso de mecnica de materiales o de resistencia de materialesque se imparte a los estudiantes de ingeniera de segundo o tercer ao. Losautores esperan que la presente obra ayude al profesor a alcanzar esta metaen un curso en particular, de la misma manera que sus otros libros puedenhaberle ayudado en esttica y dinmica.

ENFOQUE GENERALEn este libro el estudio de la mecnica de materiales se basa en la compren-sin de los conceptos bsicos y en el uso de modelos simplificados. Este en-foque hace posible deducir todas las frmulas necesarias de manera lgica yracional, e indicar claramente las condiciones bajo las que pueden aplicarsecon seguridad al anlisis y diseo de estructuras ingenieriles y componentesde mquinas reales.

Los diagramas de cuerpo libre se usan de manera extensa. Losdiagramas de cuerpo libre se emplean extensamente en todo el libro para de-terminar las fuerzas internas o externas. El uso de ecuaciones en dibujotambin permitir a los estudiantes comprender la superposicin de cargas,as como los esfuerzos y las deformaciones resultantes.

Los conceptos de diseo se estudian a lo largo de todo el libroy en el momento apropiado. En el captulo 1 puede encontrarse un an-lisis de la aplicacin del factor de seguridad en el diseo, donde se presen-tan los conceptos tanto de diseo por esfuerzo permisible como de diseopor factor de carga y resistencia.

Se mantiene un balance cuidadoso entre las unidades del SI ylas del sistema ingls. Puesto que es esencial que los estudiantes seancapaces de manejar tanto las unidades del sistema mtrico o SI como las delsistema ingls, la mitad de los ejemplos, los problemas modelo y los pro-blemas de repaso se han planteado en unidades SI, y la otra mitad en unida-

xv

des estadounidenses. Como hay disponible un gran nmero de problemas, losinstructores pueden asignarlos utilizando cada sistema de unidades en la pro-porcin que consideren ms deseable para su clase.

En las secciones opcionales se ofrecen temas avanzados o espe-cializados. En las secciones optativas se han incluido temas adicionales,como esfuerzos residuales, torsin de elementos no circulares y de pared del-gada, flexin de vigas curvas, esfuerzos cortantes en elementos no simtri-cos, y criterios de falla, temas que pueden usarse en cursos con distintos al-cances. Para conservar la integridad del material de estudio, estos temas sepresentan, en la secuencia adecuada, dentro de las secciones a las que por l-gica pertenecen. As, aun cuando no se cubran en el curso, estn altamenteevidenciados, y el estudiante puede consultarlos si as lo requiere en cursosposteriores o en su prctica de la ingeniera. Por conveniencia, todas las sec-ciones optativas se han destacado con asteriscos.

ORGANIZACIN DE LOS CAPTULOSSe espera que los estudiantes que empleen este texto ya hayan completadoun curso de esttica. Sin embargo, el captulo 1 se dise para brindarles laoportunidad de repasar los conceptos aprendidos en dicho curso, mientrasque los diagramas de cortante y de momento flexionante se cubren con de-talle en las secciones 5.2 y 5.3. Las propiedades de momentos y centroidesde reas se describen en el apndice A; este material puede emplearse parareforzar el anlisis de la determinacin de esfuerzos normales y cortantes envigas (captulos 4, 5 y 6).

Los primeros cuatro captulos del libro se dedican al anlisis de los es-fuerzos y las deformaciones correspondientes en diversos elementos estruc-turales, considerando sucesivamente carga axial, torsin y flexin pura. Cadaanlisis se sustenta en algunos conceptos bsicos, tales como las condicio-nes de equilibrio de las fuerzas ejercidas sobre el elemento, las relacionesexistentes entre el esfuerzo y la deformacin unitaria del material, y las con-diciones impuestas por los apoyos y la carga del elemento. El estudio de cadatipo de condicin de carga se complementa con un gran nmero de ejemplos,problemas modelo y problemas por resolver, diseados en su totalidad parafortalecer la comprensin del tema por parte de los alumnos.

En el captulo 1 se introduce el concepto de esfuerzo en un punto, dondese muestra que una carga axial puede producir esfuerzos cortantes as comoesfuerzos normales, dependiendo de la seccin considerada. El que los es-fuerzos dependen de la orientacin de la superficie sobre la que se calculanse enfatiza de nuevo en los captulos 3 y 4, en los casos de torsin y flexinpura. Sin embargo, el anlisis de las tcnicas de clculo como el crculode Mohr empleadas para la transformacin del esfuerzo en un punto sepresenta en el captulo 7, despus de que los estudiantes han tenido la opor-tunidad de resolver los problemas que involucran una combinacin de las car-gas bsicas y han descubierto por s mismos la necesidad de tales tcnicas.

En el captulo 2, el anlisis de la relacin entre el esfuerzo y la defor-macin en varios materiales incluye los materiales compuestos con reforza-miento fibroso. Tambin, el estudio de vigas bajo carga transversal se cubreen dos captulos por separado. El captulo 5 est dedicado a la determinacinde los esfuerzos normales en una viga y al diseo de vigas con base en losesfuerzos normales permisibles en el material empleado (seccin 5.4). El ca-ptulo empieza con un anlisis de los diagramas de cortante y de momento

xvi Prefacio

flexionante (secciones 5.2 y 5.3) e incluye una seccin opcional acerca deluso de las funciones de singularidad para la determinacin del cortante y delmomento flexionante en una viga (seccin 5.5). El captulo termina con unaseccin optativa acerca de vigas no prismticas (seccin 5.6).

El captulo 6 se dedica a la determinacin de los esfuerzos cortantes envigas y elementos de pared delgada bajo cargas transversales. La frmula delflujo por cortante, q = VQ/I, se determina de la manera tradicional. Los as-pectos ms avanzados del diseo de vigas, como la determinacin de los es-fuerzos principales en la unin del patn y el alma de una viga W, se en-cuentran en el captulo 8, un captulo optativo que puede cubrirse despus dehaber estudiado las transformaciones de esfuerzos en el captulo 7. El diseode ejes de transmisin est en ese captulo por la misma razn, as como ladeterminacin de esfuerzos bajo cargas combinadas que ahora puede incluirla determinacin de los esfuerzos principales, de los planos principales, y delesfuerzo cortante mximo en un punto dado.

Los problemas estticamente indeterminados se analizan primero en elcaptulo 2, y despus se manejan a lo largo de todo el texto para las diversascondiciones de carga encontradas. De esta manera, se les presenta a los es-tudiantes, desde una etapa temprana, un mtodo de solucin que combina elanlisis de deformaciones con el anlisis convencional de fuerzas empleadoen esttica. As, se busca que al finalizar el curso el estudiante se encuentrecompletamente familiarizado con dicho mtodo fundamental. Adems, esteenfoque ayuda a los estudiantes a darse cuenta de que los esfuerzos son es-tticamente indeterminados y slo pueden calcularse considerando la corres-pondiente distribucin de deformaciones unitarias.

El concepto de deformacin plstica se introduce en el captulo 2, dondese aplica al anlisis de elementos bajo carga axial. Los problemas que invo-lucran la deformacin plstica de ejes circulares y de vigas prismticas seconsideran tambin en las secciones opcionales de los captulos 3, 4 y 6. Aun-que el profesor puede omitir parte de este material, si as lo cree pertinente,su inclusin en el cuerpo del libro se debi a que se considera til que losestudiantes comprendan las limitaciones de la suposicin de una relacin li-neal entre el esfuerzo y la deformacin unitaria, y servir para prevenirloscontra el uso inapropiado de las frmulas de torsin y de flexin elstica.

En el captulo 9 se estudia la determinacin de la deflexin en vigas. Laprimera parte del captulo se dedica a los mtodos de integracin y de su-perposicin, e incluye una seccin opcional (la seccin 9.6) que se basa enel uso de las funciones de singularidad. (Esta seccin deber usarse nica-mente despus de haber cubierto la 5.5.) La segunda parte del captulo 9 esopcional. Presenta el mtodo de rea de momento en dos lecciones.

El captulo 10 se dedica al estudio de columnas y contiene material acercadel diseo de columnas de acero, aluminio y madera. El captulo 11 cubrelos mtodos de energa, incluyendo el teorema de Castigliano.

ASPECTOS PEDAGGICOSCada captulo comienza con una seccin introductoria que establece el pro-psito y las metas del captulo, y describe en trminos sencillos el materiala ser estudiado y sus aplicaciones a la solucin de problemas de ingeniera.

Lecciones del captulo. El cuerpo del texto se ha dividido en unidades,y cada unidad consta de una o varias secciones de teora seguidas de pro-blemas modelo y de un gran nmero de problemas de repaso. Cada unidad

Prefacio xvii

corresponde a un tema bien definido y, por lo general, puede cubrirse en unasola leccin.

Ejemplos y problemas modelo. Las secciones de teora incluyen muchosejemplos diseados para ilustrar el material que se presenta y facilitar su com-prensin. Los problemas modelo tienen la intencin de mostrar algunas de lasaplicaciones de la teora a la solucin de problemas de ingeniera. Como es-tos problemas se plantean casi de la misma manera que los estudiantes utili-zarn para resolver los ejercicios asignados, los problemas modelo tienen eldoble propsito de ampliar el texto y demostrar el tipo de trabajo limpio y or-denado que los estudiantes debern seguir en sus propias soluciones.

Series de problemas de tarea. La mayor parte de los problemas son denaturaleza prctica y deben resultar atractivos a los estudiantes de ingenie-ra. Sin embargo, se disearon principalmente para ilustrar el material pre-sentado en el texto y para ayudar a los estudiantes a comprender los princi-pios bsicos que se usan en la mecnica de materiales. Los problemas se hanagrupado de acuerdo con las secciones del material que ilustran y se han aco-modado en orden ascendente de dificultad. Los problemas que requieren aten-cin especial se indican con asteriscos. Las respuestas a los problemas se en-cuentran al final del libro, con excepcin de aquellos cuyo nmero se haimpreso en cursiva.

Repaso y resumen del captulo. Cada captulo termina con un repaso yun resumen del material cubierto en el captulo. Se han incluido notas al mar-gen para ayudar a los estudiantes a organizar su trabajo de repaso, y se danreferencias cruzadas para ayudarles a encontrar las partes que requieren aten-cin especial.

Problemas de repaso. Al final de cada captulo se incluye una serie deproblemas de repaso. Estos problemas proporcionan a los estudiantes unaoportunidad adicional de aplicar los conceptos ms importantes presentadosen el captulo.

Problemas de computadora. La disponibilidad de las computadoras per-sonales permite a los estudiantes de ingeniera resolver un gran nmero de pro-blemas complejos. Al final de cada captulo puede encontrarse un grupo de seiso ms problemas diseados para resolverse con una computadora. El desarro-llo del algoritmo requerido para resolver un problema dado beneficiar a losestudiantes de dos maneras distintas: (1) les ayudar a obtener una mejor com-prensin de los principios de mecnica involucrados; (2) les brindar la opor-tunidad de aplicar las habilidades adquiridas en su curso de programacin decomputadoras a la solucin de problemas significativos de ingeniera.

Examen de fundamentos de ingeniera. Los ingenieros que deseen ob-tener una licencia como ingenieros profesionales en Estados Unidos debenpresentar dos exmenes. El primer examen, Fundamentals of EngineeringExamination, incluye temas pertenecientes a la Mecnica de materiales. Enel apndice E de este libro se presenta una lista de los temas de Mecnica demateriales que se cubren en este examen junto con algunos problemas quepueden resolverse para repasar dichos temas.

RECURSOS COMPLEMENTARIOSManual de soluciones del profesor. El Manual de soluciones del pro-fesor que acompaa a la quinta edicin contina una tradicin de exactitud

xviii Prefacio

excepcional y presenta las soluciones contenidas en una sola pgina con elfin de tener una referencia ms sencilla. El Manual tambin contiene tablasdiseadas para ayudar a los profesores en la creacin de un programa de ta-reas para sus cursos. En la tabla I se enlistan los diferentes temas cubiertosen el texto, asimismo se indica un nmero sugerido de sesiones que puedendedicarse a cada tema. En la tabla II se proporciona una descripcin brevede todos los grupos de problemas y una clasificacin de los problemas encada grupo de acuerdo con las unidades. Dentro del manual tambin apare-cen muestras de cmo realizar la programacin de lecciones.

ARIS de McGraw-Hill. Sistema de evaluacin, repaso e instruccin.ARIS (Assesment, Review, and Instruction System) es un sistema completode tutora en lnea, tareas electrnicas y administracin del curso diseadopara que los profesores elaboren y califiquen tareas, editen preguntas y al-goritmos, importen contenidos propios, diseen y compartan materiales declase con otros profesores y publiquen anuncios y fechas de entrega para lastareas. ARIS califica y hace informes automticos de las tareas y exmenesque genera de manera algortmica. Los estudiantes obtienen el beneficio dela prctica ilimitada que les ofrecen los problemas algortmicos. Entre los re-cursos disponibles en ARIS se incluyen archivos en PowerPoint e imgenesextradas del texto. Visite el sitio en www.mhhe.com/beerjohnston.Hands-On Mechanics. Hands-On Mechanics (o mecnica prctica) es unsitio Web diseado por profesores interesados en incorporar ayudas prcticastridimensionales a los temas que imparten durante sus clases. Este sitio, quefue elaborado por McGraw-Hill en sociedad con el Departamento de Inge-niera Civil y Mecnica de la United States Military Academy en West Point,no slo proporciona instrucciones detalladas de cmo construir herramientastridimensionales con materiales que se pueden encontrar en cualquier labo-ratorio o tienda de materiales, sino que tambin proporciona el acceso a unacomunidad donde los educadores pueden compartir ideas, intercambiar susmejores prcticas y enviar sus propias demostraciones para colocarlas en elsitio. Visite www.handsonmechanics.com para ver cmo puede utilizar el si-tio en su saln de clases.

RECONOCIMIENTOSLos autores agradecen a las numerosas empresas que proporcionaron foto-grafas para esta edicin. Tambin desean reconocer el gran esfuerzo y la pa-ciencia de la persona encargada de recopilar las fotografas, Sabina Dowell.Se reconoce, con gratitud, a Dennis Ormand de FineLine Illustrations de Far-mingdale, Nueva York, por las ingeniosas ilustraciones que contribuyeron engran medida a la eficacia del texto.

Un agradecimiento especial para el profesor Dean Updike, del departa-mento de ingeniera mecnica de Lehigh University, por su paciencia y coo-peracin al revisar las soluciones y respuestas a todos los problemas de estaedicin.

Tambin se agradece la ayuda, los comentarios y las sugerencias ofreci-das por los numerosos usuarios de las ediciones previas de Mecnica de ma-teriales.

E. Russell Johnston, Jr.John T. DeWolf

David F. Mazurek

Prefacio xix

a Constante; distanciaA, B, C, . . . Fuerzas; reaccionesA, B, C, . . . Puntos

A, A reab Distancia; anchoc Constante; distancia; radioC Centroide

Constantes de integracinFactor de estabilidad de una columna

d Distancia; dimetro; profundidadD Dimetroe Distancia; excentricidad; dilatacinE Mdulo de elasticidadf Frecuencia; funcin

F FuerzaF.S. Factor de seguridad

G Mdulo de rigidez; mdulo de corteh Distancia; altura

H FuerzaH, J, K Puntos

Momento de inerciaProducto de inercia

J Momento polar de inerciak Constante de resorte; factor de forma; mdulo

volumtrico; constanteK Factor de concentracin de esfuerzos; constante

de resorte de torsinl Longitud; claro

L Longitud; claroLongitud efectiva

m MasaM Par

Momento flectorMomento flector, carga muerta (DCFR)Momento flector, carga viva (DCFR)Momento flector, carga ltima (DCFR)

n Nmero, relacin de mdulos de elasticidad; di-reccin normal

p PresinP Fuerza; carga concentrada

Carga muerta (DCFR)Carga viva (DCFR)PL

PD

MUMLMD

M, Mx, . . .

Le

Ixy, . . .I, Ix, . . .

CPC1, C2, . . .

xxi

Carga ltima (DCFR)q Fuerza cortante por unidad de longitud; flujo cor-

tanteQ FuerzaQ Primer momento de rear Radio; radio de giro

R Fuerza; reaccinR Radio; mdulo de rupturas LongitudS Mdulo elstico de seccint Espesor; distancia; desviacin tangencial

T Momento de torsinT Temperatura

u, v Coordenadas rectangularesu Densidad de energa de deformacinU Energa de deformacin; trabajov VelocidadV Fuerza cortanteV Volumen; cortew Ancho; distancia; carga por unidad de longitud

W, W Peso; cargax, y, z Coordenadas rectangulares; distancia; desplaza-

mientos; deflexionesCoordenadas del centroide

Z Mdulo plstico de seccinngulosCoeficiente de expansin trmica; coeficiente deinfluenciaDeformacin de corte; peso especficoFactor de carga, carga muerta (DCFR)Factor de carga, carga viva (DCFR)Deformacin; desplazamientoDeformacin unitaria normalngulo; pendienteCoseno directorRelacin de PoissonRadio de curvatura; distancia; densidadEsfuerzo normalEsfuerzo cortantengulo; ngulo de giro; factor de resistenciaVelocidad angular

f

t

s

r

n

l

u

d

gL

gD

g

a

a, b, g

x, y, z

PU

Lista de smbolos

Introduccin. El concepto de esfuerzo 1Introduccin. El concepto de esfuerzo

Este captulo se dedica al estudio de los esfuerzos que ocurren en muchos de los elementos contenidos en es-tas excavadoras, como los elementos con dos fuerzas, los ejes, los pernos y los pasadores.

1C A P T U L O

1.1 INTRODUCCINEl objetivo principal del estudio de la mecnica de materiales es suministraral futuro ingeniero los conocimientos para analizar y disear las diversas m-quinas y estructuras portadoras de carga.

Tanto el anlisis como el diseo de una estructura dada involucran la de-terminacin de esfuerzos y deformaciones. Este primer captulo est dedica-do al concepto de esfuerzo.

La seccin 1.2 es un breve repaso de los mtodos bsicos de la estticay de la aplicacin de esos mtodos a la determinacin de las fuerzas en loselementos de una estructura sencilla que se componga de elementos uni-dos entre s por pernos. En la seccin 1.3 se introducir el concepto de es-fuerzo en un elemento de una estructura, y se mostrar cmo puede determi-narse ese esfuerzo a partir de la fuerza en el elemento. Tras una breve revi-sin del anlisis y diseo de ingeniera (seccin 1.4), se abordan, de manerasucesiva, los esfuerzos normales en un elemento bajo carga axial (seccin1.5), los esfuerzos cortantes ocasionados por la aplicacin de fuerzas trans-versales iguales y opuestas (seccin 1.6) y los esfuerzos de apoyo creadospor los pernos y pasadores en los elementos que conectan (seccin 1.7). Estos conceptos sern aplicados en la seccin 1.8 a la determinacin de losesfuerzos en la estructura sencilla que se consider en la seccin 1.2.

La primera parte del captulo termina con una descripcin del mtodoque deber utilizarse en la solucin de problemas propuestos (seccin 1.9) ycon el estudio de la exactitud numrica adecuada para los clculos de inge-niera (seccin 1.10).

En la seccin 1.11, donde un elemento con dos fuerzas bajo carga axialse considera de nuevo, se observar que los esfuerzos en un plano oblicuoincluyen tanto esfuerzos normales como cortantes, mientras que en la sec-cin 1.12 se analizar que se requieren seis componentes para describir el es-tado de esfuerzos en un punto en un cuerpo bajo las condiciones ms gene-rales de carga.

Finalmente, la seccin 1.13 se enfocar a la determinacin, a partir deespecmenes de prueba, de la resistencia ltima de un material dado y al usode un factor de seguridad en el clculo de la carga permisible para un com-ponente estructural fabricado con dicho material.

1.2 UN BREVE REPASO DE LOS MTODOS DE LA ESTTICA

En esta seccin se repasarn los mtodos bsicos de la esttica al mismo tiempo que se determinan las fuerzas en los elementos de una estructura sen-cilla.

Considere la estructura mostrada en la figura 1.1, diseada para sopor-tar una carga de 30 kN. Consta de un aguiln AB con una seccin transver-sal rectangular de y de una varilla BC con una seccin trans-versal circular de 20 mm de dimetro. El aguiln y la varilla estn conectadospor un perno en B y los soportan pernos y mnsulas en A y en C, respecti-vamente. El primer paso ser dibujar el diagrama de cuerpo libre de la es-tructura, desprendindola de sus soportes en A y en C, y mostrando las reac-ciones que estos soportes ejercen sobre la estructura (figura 1.2). Adviertaque el boceto de la estructura se ha simplificado omitiendo los detalles inne-cesarios. En este punto algunos habrn reconocido que AB y BC son elemen-tos con dos fuerzas. Para quienes no lo hayan hecho, se proseguir el anli-sis, ignorando este hecho y suponiendo que las direcciones de las reaccionesen A y en C se desconocen. Cada una de estas reacciones, por lo tanto, ser

30 50 mm

2 Introduccin. El concepto de esfuerzo

representada por dos componentes, Ax y Ay en A, y Cx y Cy en C. Se escri-birn las tres siguientes ecuaciones de equilibrio:

(1.1)

(1.2)

(1.3)

Note que se han encontrado dos de las cuatro incgnitas, pero que no es po-sible determinar las otras dos de estas ecuaciones, y no pueden obtenerseecuaciones independientes adicionales a partir del diagrama de cuerpo librede la estructura. Ahora debe desmembrarse la estructura. Considerando el dia-grama de cuerpo libre del aguiln AB (figura 1.3), se escribir la siguienteecuacin de equilibrio:

(1.4)

Al sustituir Ay de la ecuacin (1.4) en la ecuacin (1.3), se obtiene queExpresando los resultados obtenidos para las reacciones en

A y en C en forma vectorial, se tiene que

Observe que la reaccin en A se dirige a lo largo del eje del aguiln AB yque causa compresin en ese elemento. Al notar que los componentes Cxy Cy de la reaccin en C son respectivamente proporcionales a las compo-nentes horizontal y vertical de la distancia de B a C, se concluye que la reac-cin en C es igual a 50 kN, que est dirigida a lo largo del eje de la varillaBC, y que causa tensin en ese elemento.

A 40 kNS Cx 40 kNd , Cy 30 kNc

Cy 30 kN.

Ay10.8 m2 0 Ay 0g MB 0:

Ay Cy 30 kNAy Cy 30 kN 0c Fy 0:

Cx Ax Cx 40 kNAx Cx 0S

Fx 0:Ax 40 kN

Ax10.6 m2 130 kN2 10.8 m2 0g MC 0:

800 mm

50 mm

30 kN

600 mm

d = 20 mm

C

A

B

Figura 1.1

Figura 1.2

Figura 1.330 kN

0.8 m

Ay By

A BAx Bz

30 kN

0.8 m

0.6 m

B

Cx

Cy

Ay

C

AAx

1.2 Un breve repaso de los mtodos 3de la esttica

Estos resultados podran haberse anticipado reconociendo que AB y BCson elementos con dos fuerzas, es decir, elementos sometidos a fuerzas sloen dos puntos, siendo estos puntos A y B para el elemento AB y B y C parael elemento BC. De hecho, para un elemento con dos fuerzas las lneas deaccin de las resultantes de las fuerzas que actan en cada uno de los dospuntos son iguales y opuestas y pasan a travs de ambos puntos. Utilizandoesta propiedad, podra haberse obtenido una solucin ms sencilla si se con-sidera el diagrama de cuerpo libre del perno B. Las fuerzas sobre el perno Bson las fuerzas FAB y FBC ejercidas, respectivamente, por los elementos AB yBC, y la carga de 30 kN (figura 1.4a). Se dice que el perno B est en equi-librio dibujando el tringulo de fuerzas correspondiente (figura 1.4b).

Ya que la fuerza FBC se dirige a lo largo del elemento BC, su pendientees la misma que BC, es decir, Por lo tanto, puede escribirse la pro-porcin

de la que se obtiene

Las fuerzas y que el perno B ejerce sobre, respectivamente, el agui-ln AB y sobre la varilla BC son iguales y opuestas a FAB y a FBC (figura 1.5).

FBCFAB

FAB 40 kN FBC 50 kN

FAB4

FBC5

30 kN3

34.


Si se conocen las fuerzas en los extremos de cada uno de los elementos,es posible determinar las fuerzas internas de estos elementos. Al efectuar uncorte en algn punto arbitrario, D, en la varilla BC, se obtienen dos porcio-nes, BD y CD (figura 1.6). Como deben aplicarse fuerzas de 50 kN en D aambas porciones de la varilla, para mantenerlas en equilibrio, se concluyeque una fuerza interna de 50 kN se produce en la varilla BC cuando se apli-ca una carga de 30 kN en B. Se constata, de manera adicional, por las direc-ciones en las fuerzas FBC y en la figura 1.6, que la varilla se encuentraen tensin. Un procedimiento similar permitira determinar que la fuerza in-terna en el aguiln AB es de 40 kN y que el aguiln est en compresin.

FBC

Figura 1.4a) b)

FBCFBC

FAB FAB

30 kN

30 kN

35

4B

FBC

F'BC

C

DFBC

F'BCB

D

Figura 1.6Figura 1.5

FAB F'AB

FBC

F'BCB

A B

C

1.3 ESFUERZOS EN LOS ELEMENTOS DE UNA ESTRUCTURA

Si bien los resultados obtenidos en la seccin precedente representan un pri-mer paso necesario en el anlisis de la estructura dada, ellos son insuficien-tes para determinar si la carga puede ser soportada con seguridad. Por ejem-plo, el que la varilla BC pueda romperse o no hacerlo bajo esta carga dependeno slo del valor encontrado para la fuerza interna FBC, sino tambin del reatransversal de la varilla y del material con que sta haya sido elaborada. Dehecho, la fuerza interna FBC en realidad representa la resultante de las fuer-zas elementales distribuidas a lo largo de toda el rea A de la seccin trans-versal (figura 1.7), y la intensidad promedio de estas fuerzas distribuidas esigual a la fuerza por unidad de rea, FBC/A, en la seccin. El hecho de quela varilla se rompa o no bajo la carga dada, depende claramente de la capa-cidad que tenga el material de soportar el valor correspondiente FBC/A de la intensidad de las fuerzas internas distribuidas. Por lo tanto, la resistenciaa la fractura depende de la fuerza FBC, del rea transversal A y del material de la varilla.

La fuerza por unidad de rea, o la intensidad de las fuerzas distribuidasa travs de una seccin dada, se llama esfuerzo sobre esa seccin y se repre-senta con la letra griega (sigma). El esfuerzo en un elemento con rea trans-versal A sometido a una carga axial P (figura 1.8) se obtiene, por lo tanto, aldividir la magnitud P de la carga entre el rea A:

(1.5)

Se emplear un signo positivo para indicar un esfuerzo de tensin (el ele-mento a tensin) y un signo negativo para indicar un esfuerzo compresivo (elelemento a compresin).

Debido a que se emplean unidades del sistema SI en estos anlisis, conP expresada en newtons (N) y A en metros cuadrados (m2), el esfuerzo seexpresar en N/m2. Esta unidad se denomina pascal (Pa). Sin embargo, elpascal es una unidad muy pequea, por lo que, en la prctica, deben emplear-se mltiplos de esta unidad, como el kilopascal (kPa), el megapascal (MPa)y el gigapascal (GPa). Se tiene que

Cuando se utilizan las unidades acostumbradas en Estados Unidos,la fuerza P comnmente se expresa en libras (lb) o kilolibras (kip), y el reatransversal A en pulgadas cuadradas (in.2). El esfuerzo s, en consecuencia,se presenta en libras por pulgada cuadrada (psi) o en kilolibras por pulgadacuadrada (ksi).

1 GPa 109 Pa 109 N/m2

1 MPa 106 Pa 106 N/m2

1 kPa 103 Pa 103 N/m2

s

s PA

s

Las unidades principales SI y americanas utilizadas en mecnica se incluyen en tablas en el in-terior de la cubierta frontal de este libro. De la tabla del lado derecho, se observa que 1 psi es apro-ximadamente igual a 7 kPa, y que 1 ksi se aproxima a 7 MPa.

Figura 1.7

A

FBCFBC A

Figura 1.8a) b)

A

PA

P' P'

P

1.3 Esfuerzos en los elementos 5de una estructura

1.4 ANLISIS Y DISEOConsiderando nuevamente la estructura de la figura 1.1, suponga que la varilla BC es de un acero que presenta un esfuerzo mximo permisible

Puede soportar la varilla BC con seguridad la carga a laque se le someter? La magnitud de la fuerza FBC en la varilla se calcul conanterioridad en un valor de 50 kN. Recuerde que el dimetro de la varilla esde 20 mm, por lo que deber utilizarse la ecuacin (1.5) para determinar elesfuerzo creado en la varilla por la carga dada. As se tiene que

Como el valor obtenido para s es menor que el valor sperm del esfuerzo per-misible del acero utilizado, se concluye que la varilla BC soportar con se-guridad la carga a la que ser sujeta. Para que el anlisis de la estructura da-da sea completo, tambin deber incluirse la determinacin del esfuerzo decompresin en el aguiln AB, as como una investigacin de los esfuerzosproducidos en los pasadores y en sus soportes. Esto se estudiar ms adelan-te en este mismo captulo. Tambin es necesario determinar si las deforma-ciones producidas por la carga dada son aceptables. El estudio de la defor-macin bajo cargas axiales ser el tema del captulo 2. Una consideracinadicional, requerida por los elementos bajo compresin, involucra la estabi-lidad del elemento, es decir, su capacidad para soportar una carga dada sinexperimentar un cambio sbito de configuracin. Este tema se abordar enel captulo 10.

El papel del ingeniero no se restringe al anlisis de las estructuras y m-quinas existentes sometidas a condiciones dadas de carga. Un asunto de ma-yor importancia que interesa a los ingenieros es el diseo de estructuras ymquinas nuevas, es decir, la seleccin de los componentes apropiados paradesempear una tarea dada. Como ejemplo de diseo, vase otra vez la es-tructura de la figura 1.1; suponga que se emplear en ella aluminio, el cualtiene un esfuerzo permisible sperm 100 MPa. Debido a que la fuerza en lavarilla BC ser P FBC 50 kN bajo la carga dada, se emplea la ecuacin(1.5),

y, ya que A pr2,

Se concluye que una varilla de aluminio de 26 mm, o de dimetro mayor, se-r adecuada.

d 2r 25.2 mm

r BAp B

500 106 m2p

12.62 103 m 12.62 mm

sperm PA

A P

sperm

50 103 N100 106 Pa

500 106 m2

s PA

50 103 N314 106 m2

159 106 Pa 159 MPa

A pr2 pa20 mm2b2 p110 103 m22 314 106 m2

P FBC 50 kN 50 103 N

sperm 165 MPa.


1.5 CARGA AXIAL. ESFUERZO NORMALComo ya se ha indicado, la varilla BC del ejemplo considerado en la seccinprecedente es un elemento sometido a dos fuerzas y, por lo tanto, las fuerzasFBC y que actan en sus extremos B y C (figura 1.5) se dirigen a lo lar-go del eje de la varilla. Se dice que la varilla se encuentra bajo carga axial.Un ejemplo real de elementos estructurales bajo carga axial es dado por loselementos de la armadura del puente que se muestra en la figura 1.9.

FBC

Figura 1.9 Esta armadura de puente se compone de elementos de dos fuerzas que pueden estar en tensin o en compresin.

Figura 1.10

P'

Q

A

F

1.5 Carga axial. Esfuerzo normal 7

Retornando a la varilla BC de la figura 1.5, hay que recordar que la es-cisin a la que se le someti para determinar su fuerza interna y su corres-pondiente esfuerzo era perpendicular a su eje; la fuerza interna era, por lotanto, normal al plano de la seccin (figura 1.7) y el esfuerzo correspondien-te se describe como un esfuerzo normal. As, la frmula (1.5) da el esfuerzonormal en un elemento bajo carga axial:

(1.5)

Es preciso advertir que, en la frmula (1.5), s se obtiene al dividir lamagnitud P de la resultante de las fuerzas internas distribuidas en la seccintransversal entre el rea A de la seccin transversal; representa, por lo tanto,el valor promedio del esfuerzo a travs de la seccin transversal, y no el va-lor de un esfuerzo en un punto especfico de la seccin transversal.

Para definir el esfuerzo en un punto dado Q en la seccin transversal,debe considerarse una pequea rea (figura 1.10). Cuando se divide lamagnitud de entre , se obtiene el valor promedio del esfuerzo a tra-vs de . Al aproximar a cero, se halla el esfuerzo en el punto Q:

(1.6)s lmAS0

FA

AAAF

A

s PA

En general, el valor obtenido para el esfuerzo, s, en un punto dado, Q,de la seccin es diferente al valor del esfuerzo promedio dado por la frmu-la (1.5), y se encuentra que s vara a travs de la seccin. En una varilla del-gada sujeta a cargas concentradas, P y , iguales y opuestas (figura 1.11a),la variacin es pequea en una seccin que se encuentre lejos de los puntosde aplicacin de las cargas concentradas (figura 1.11c), pero es bastante no-toria en el vecindario de estos puntos (figuras 1.11b y d).

De la ecuacin (1.6), se deduce que la magnitud de la resultante de lasfuerzas internas distribuidas es

No obstante, las condiciones de equilibrio de cada una de las porciones devarilla mostradas en la figura 1.11 requiere que esta magnitud sea igual a lamagnitud P de las cargas concentradas. Se tiene, entonces,

(1.7)

lo que significa que el volumen bajo cada una de las superficies esforzadasen la figura 1.11 debe ser igual a la magnitud P de las cargas. Esto, sin em-bargo, es la nica informacin que es posible determinar a partir de nuestroconocimiento sobre esttica, con respecto a la distribucin de los esfuerzosnormales en las diversas secciones de la varilla. La distribucin real de losesfuerzos en cualquier seccin dada es estticamente indeterminada. Para sa-ber ms acerca de esta distribucin, es necesario considerar las deforma-ciones que resultan del modo particular de la aplicacin de las cargas en los extremos de la varilla. Esto se explicar con mayor atencin en el cap-tulo 2.

En la prctica, se supondr que la distribucin de los esfuerzos norma-les en un elemento cargado axialmente es uniforme, excepto en la vecindadinmediata de los puntos de aplicacin de las cargas. El valor s del esfuerzoes entonces igual a sprom y puede calcularse con la frmula (1.5). Sin embar-go, hay que darse cuenta de que, cuando se supone una distribucin unifor-me de los esfuerzos en la seccin, es decir, cuando se supone que las fuer-zas internas se encuentran distribuidas uniformemente a travs de la seccin,la esttica elemental dice que la resultante P de las fuerzas internas debeaplicarse en el centroide C de la seccin (figura 1.12). Esto significa que unadistribucin uniforme del esfuerzo es posible slo si la lnea de accin de lascargas concentradas P y pasa a travs del centroide de la seccin consi-derada (figura 1.13). Este tipo de carga se denomina carga cntrica y se su-pondr que tiene lugar en todos los elementos rectos de dos fuerzas que seencuentran en armaduras y en estructuras conectadas con pasadores, como laque se considera en la figura 1.1. Sin embargo, si un elemento con dos fuer-zas est cargado de manera axial, pero excntricamente, como en la figura

P

P dF A

s dA

dF A

s

dA

P


P'

P

P' P' P'

a) b) c) d)

Figura 1.11

C

P

Figura 1.12

Vase Ferdinand P. Beer y E. Russell Johnston, Jr., Mechanics for Engineers, 4a. ed., McGraw-Hill, Nueva York, 1987, o Vector Mechanics for Engineers, 6a. ed., McGraw-Hill, Nueva York, 1996,secciones 5.2 y 5.3.

1.14a, se encuentra que, a partir de las condiciones de equilibrio de la por-cin del elemento que se muestra en la figura 1.14b, las fuerzas internas enuna seccin dada deben ser equivalentes a una fuerza P aplicada al centroi-de de la seccin y a un par M cuyo momento es La distribucin defuerzas y, por lo tanto, la correspondiente distribucin de esfuerzos nopuede ser uniforme. Tampoco la distribucin de esfuerzos puede ser simtri-ca como se muestra en la figura 1.11. Este punto se analizar detalladamen-te en el captulo 4.

1.6 ESFUERZO CORTANTELas fuerzas internas y sus correspondientes esfuerzos estudiados en las sec-ciones 1.2 y 1.3, eran normales a la seccin considerada. Un tipo muy dife-rente de esfuerzo se obtiene cuando se aplican fuerzas transversales P y a un elemento AB (figura 1.15). Al efectuar un corte en C entre los puntosde aplicacin de las dos fuerzas (figura 1.16a), obtenemos el diagrama de laporcin AC que se muestra en la figura 1.16b. Se concluye que deben exis-tir fuerzas internas en el plano de la seccin, y que su resultante es igual aP. Estas fuerzas internas elementales se conocen como fuerzas cortantes, yla magnitud P de su resultante es el cortante en la seccin. Al dividir el cor-

P

M Pd.

1.6 Esfuerzo cortante 9

Figura 1.14

P'

P

C

Figura 1.13

Figura 1.15 Figura 1.16

A B

P'

P

A C

A C

B

P'

P

P'

P

a)

b)

P

P

MCd

P'

d

P'

a) b)

tante P entre el rea A de la seccin transversal, se obtiene el esfuerzo cor-tante promedio en la seccin. Representando el esfuerzo cortante con la le-tra griega t (tau), se escribe

(1.8)

Debe enfatizarse que el valor obtenido es un valor promedio para el es-fuerzo cortante sobre toda la seccin. Al contrario de lo dicho con anteriori-dad para los esfuerzos normales, en este caso no puede suponerse que la dis-tribucin de los esfuerzos cortantes a travs de una seccin sea uniforme.Como se ver en el captulo 6, el valor real t del esfuerzo cortante vara decero en la superficie del elemento hasta un valor mximo tmx que puede sermucho mayor que el valor promedio, tprom.

tprom PA


Figura 1.17 Vista en corte de una conexin con un perno en cortante.

Los esfuerzos cortantes se encuentran comnmente en pernos, pasado-res y remaches utilizados para conectar diversos elementos estructurales ycomponentes de mquinas (figura 1.17). Considere dos placas A y B conec-tadas por un perno CD (figura 1.18). Si a las placas se les somete a fuerzasde tensin de magnitud F, se desarrollarn esfuerzos en la seccin del pernoque corresponde al plano . Al dibujar los diagramas del perno y de laporcin localizada por encima del plano (figura 1.19), se concluye queel cortante P en la seccin es igual a F. Se obtiene el esfuerzo cortante pro-medio en la seccin, de acuerdo con la frmula (1.8), dividiendo el cortante

entre el rea A de la seccin transversal:

(1.9)tprom PA

FA

P F

EEEE

C

D

AF

E'F'

BE

C C

D

F F

PE'

F'

E

a) b)

Figura 1.18 Figura 1.19

1.7 Esfuerzo de apoyo en conexiones 11

KAB

L

E H

G J

C

D

K'

L'

FF'

Figura 1.20

Figura 1.22

K

L

H

J

K'

L'F

FC

FD

FP

P

a) b)

Figura 1.21

Figura 1.23

A d

t

A

C

D

d

t

F

P

F'

El perno que se ha considerado est en lo que se conoce como cortantesimple. Sin embargo, pueden surgir diferentes condiciones de carga. Por ejem-plo, si las placas de empalme C y D se emplean para conectar las placas Ay B (figura 1.20), el corte tendr lugar en el perno HJ en cada uno de los dosplanos y (al igual que en el perno EG). Se dice que los pernos es-tn en corte doble. Para determinar el esfuerzo cortante promedio en cadaplano, se dibujan los diagramas de cuerpo libre del perno HJ y de la porcindel perno localizada entre los dos planos (figura 1.21). Observando que elcorte P en cada una de las secciones es se concluye que el esfuer-zo cortante promedio es

(1.10)

1.7 ESFUERZO DE APOYO EN CONEXIONESLos pernos, pasadores y remaches crean esfuerzos en la superficie de apoyoo superficie de contacto de los elementos que conectan. Por ejemplo, consi-dere nuevamente las dos placas A y B conectadas por un perno CD que seanalizaron en la seccin precedente (figura 1.18). El perno ejerce una fuerzaP sobre la placa A igual y opuesta a la fuerza F ejercida por la placa sobreel perno (figura 1.22). La fuerza P representa la resultante de las fuerzas ele-mentales distribuidas en la superficie interior de un medio cilindro de dime-tro d y longitud t igual al espesor de la placa. Como la distribucin de estasfuerzas, y de los esfuerzos correspondientes, es muy complicada, en la prc-tica se utiliza un valor nominal promedio sb para el esfuerzo, llamado es-fuerzo de apoyo, que se obtiene de dividir la carga P entre el rea del rec-tngulo que representa la proyeccin del perno sobre la seccin de la placa(figura 1.23). Debido a que esta rea es igual a td, donde t es el espesor dela placa y d el dimetro del perno, se tiene que

(1.11)sb PA

Ptd

tprom PA

F2A

F2A

P F2,

LLKK

1.8 APLICACIN AL ANLISIS Y DISEO DE ESTRUCTURAS SENCILLAS

Despus de revisar los temas anteriores, ahora ya se est en posibilidad dedeterminar los esfuerzos en los elementos y conexiones de varias estructurasbidimensionales sencillas y, por lo tanto, de disear tales estructuras.

Como ejemplo, vase la estructura de la figura 1.1, que ya se ha consi-derado en la seccin 1.2, para especificar los apoyos y conexiones en A, B yC. Como se observa en la figura 1.24, la varilla de 20 mm de dimetro BCtiene extremos planos de seccin rectangular de 20 40 mm, en tanto queel aguiln AB tiene una seccin transversal de 30 50 mm y est provistade una horquilla en el extremo B. Ambos elementos se conectan en B por unpasador del que cuelga la carga de 30 kN por medio de una mnsula en for-ma de U. Al aguiln AB lo soporta en A un pasador introducido en una mn-sula doble, mientras que la varilla BC se conecta en C a una mnsula sim-ple. Todos los pasadores tienen 25 mm de dimetro.


a. Determinacin del esfuerzo normal en el aguiln AB y en la va-rilla BC. Como se ha visto en las secciones 1.2 y 1.4, la fuerza en la vari-lla BC es (a tensin) y el rea de su seccin transversal circu-lar es el esfuerzo normal promedio correspondiente es

Sin embargo, las partes planas de la varilla tambin sesBC 159 MPa.A 314 106 m2;

FBC 50 kN

800 mm

50 mm

Q = 30 kN Q = 30 kN

600 mm

20 mm

20 mm

25 mm

30 mm

25 mm

d = 25 mm

d = 25 mmd = 20 mm

d = 20 mm

d = 25 mm

40 mm

20 mm

A

AB

B

B

C

C

B

VISTA FRONTAL

VISTA SUPERIOR DEL AGUILN AB

VISTA DE EXTREMO

VISTA SUPERIOR DE LA VARILLA BCExtremo plano

Extremo plano

Figura 1.24

encuentran bajo tensin y en la seccin ms angosta, donde se encuentra elagujero, se tiene

El valor promedio correspondiente para el esfuerzo, por lo tanto, es

Advierta que ste es slo un valor promedio, ya que cerca del agujero, el es-fuerzo alcanzar en realidad un valor mucho mayor, como se ver en la sec-cin 2.18. Est claro que, si la carga aumenta, la varilla fallar cerca de unode los agujeros, ms que en su porcin cilndrica; su diseo, por lo tanto, po-dr mejorarse aumentando el ancho o el espesor de los extremos planos dela varilla.

Ahora, tome en consideracin al aguiln AB, recordando que en la sec-cin 1.2 se vio que la fuerza en l es (a compresin). Puestoque el rea de la seccin transversal rectangular del aguiln es

el valor promedio del esfuerzo normal en la parteprincipal del aguiln, entre los pasadores A y B, es

Advierta que las secciones de rea mnima en A y B no se encuentran bajoesfuerzo, ya que el aguiln est en compresin y, por lo tanto, empuja sobrelos pasadores (en lugar de jalarlos como lo hace la varilla BC).b. Determinacin del esfuerzo cortante en las distintas conexio-nes. Para determinar el esfuerzo cortante en una conexin como un perno,pasador o remache, primero deben mostrarse con claridad las fuerzas ejerci-das por los distintos elementos que conecta. As, en el caso del pasador C del ejemplo (figura 1.25a), se dibuja la figura 1.25b, que muestra la fuer-za de 50 kN ejercida por el elemento BC sobre el pasador, y la fuerza igualy opuesta ejercida por la mnsula. Al dibujar ahora el diagrama de la por-cin del pasador localizada bajo el plano donde ocurren los esfuerzoscortantes (figura 1.25c), se concluye que la fuerza cortante en ese plano es Como el rea transversal del pasador es

resulta que el valor promedio del esfuerzo cortante en el pasador en C es

Considerando ahora el pasador en A (figura 1.26) se observa que se en-cuentra bajo corte doble. Al dibujar los diagramas de cuerpo libre del pasa-dor y de la porcin del pasador colocada entre los planos y dondeocurren los esfuerzos cortantes, se llega a la conclusin de que yque

tprom PA

20 kN491 106 m2

40.7 MPa

P 20 kNEEDD

tprom PA

50 103 N491 106 m2

102 MPa

A pr2 pa25 mm2b2 p112.5 103 m22 491 106 m2

P 50 kN.

DD

sAB 40 103 N

1.5 103 m2 26.7 106 Pa 26.7 MPa

50 mm 1.5 103 m2,A 30 mm

FAB 40 kN

1sBC2extremo PA 50 103 N

300 106 m2 167 MPa

A 120 mm2 140 mm 25 mm2 300 106 m2

Figura 1.25

50 kN

a)

C

50 kN

b)

FbD'

D

d = 25 mm

50 kN

c)

P

Figura 1.26

a)

40 kN

A

b)

40 kN

Fb

Fb

D'

E'

D

E

d = 25 mm

c)

40 kNP

P

1.8 Aplicacin al anlisis y diseo 13de estructuras sencillas

Al considerar el pasador en B (figura 1.27a), se advierte que el pasadorpuede dividirse en cinco porciones sobre las que actan fuerzas ejercidas porel aguiln, la varilla y la mnsula. Tomando en cuenta, en forma sucesiva,las porciones DE (figura 1.27b) y DG (figura 1.27c), se llega a la conclusinde que la fuerza de corte en la seccin E es mientras que lafuerza de corte en la seccin G es Como la carga del pasadores simtrica, se concluye que el valor mximo de la fuerza de corte en el pa-sador B es y que los mayores esfuerzos cortantes ocurren en las secciones G y H, donde

c. Determinacin de los esfuerzos de apoyo. Para obtener los es-fuerzos nominales de apoyo en A en el elemento AB, se utiliza la frmu-la (1.11) de la seccin 1.7. De la figura 1.24, se tiene que y

Recuerde que se tiene que

Para obtener el esfuerzo de apoyo sobre la mnsula en A, se empleay

Los esfuerzos de apoyo en B en el elemento AB, en B y en C en el ele-mento BC y en la mnsula en C se calculan de manera similar.

1.9 MTODO PARA LA SOLUCIN DE PROBLEMASQuienes estudian este texto deben aproximarse a un problema de mecnicade materiales como lo haran con una situacin ingenieril real. Su propia ex-periencia e intuicin les ayudarn a comprender y formular mejor el proble-ma. Sin embargo, una vez que el problema ha sido planteado con claridad,no es posible solucionarlo utilizando el gusto personal. La solucin de esetipo de problemas debe basarse en los principios fundamentales de la estti-ca y en los principios que se analizan en este curso. Cada paso que se tomedebe justificarse sobre esa base, sin dejar espacio para la intuicin. Des-pus de que se ha obtenido una respuesta, sta deber verificarse. Nuevamen-te, puede utilizarse sentido comn y su experiencia personal. Si no se estsatisfecho por completo con el resultado obtenido, deber revisarse con cui-dado la formulacin del problema, la validez de los mtodos empleados ensu solucin y la exactitud de los clculos.

El planteamiento del problema deber ser claro y preciso. Necesitar in-cluir los datos dados e indicar el tipo de informacin que se requiere. Debe-r incluir un dibujo simplificado que muestre todas las cantidades esencialesinvolucradas. La solucin para la mayora de los problemas que encontrarhar necesario que primero se determinen las reacciones en los apoyos y lasfuerzas y los pares internos. Esto requerir dibujar uno o ms diagramas de

sb Ptd

40 kN150 mm2 125 mm2 32.0 MPa

d 25 mm: 50 mmt 2125 mm2

sb Ptd

40 kN130 mm2 125 mm2 53.3 MPa

P FAB 40 kN,d 25 mm.t 30 mm

tprom PGA

25 kN491 106 m2

50.9 MPa

PG 25 kN,

PG 25 kN.PE 15 kN,


a)

b)

c)

12 FAB = 20 kN

FBC = 50 kN

12 FAB = 20 kN

12 FAB = 20 kN

12 Q = 15 kN

12 Q = 15 kN

12 Q = 15 kN

12 Q = 15 kN

Pasador B

D

D

D

E

E

G

G

PE

PG

HJ

Figura 1.27

cuerpo libre, como ya se hizo en la seccin 1.2, de los que podrn escribir-se las ecuaciones de equilibrio. Estas ecuaciones deben resolverse para co-nocer las fuerzas desconocidas, a partir de las que pueden calcularse los es-fuerzos y deformaciones requeridas.

Despus de haber obtenido la respuesta, deber verificarse cuidadosa-mente. Los errores en el razonamiento pueden encontrarse con frecuenciaanalizando las unidades a travs de los clculos y verificando las unidadesobtenidas para la respuesta. Por ejemplo, en el diseo de la varilla que se es-tudi en la seccin 1.4, se encontr, despus de utilizar las unidades a travsde nuestros clculos, que el dimetro requerido por la varilla se expres enmilmetros, que es la unidad correcta para una dimensin; si se hubiera en-contrado otra unidad, se sabra que se cometi un error.

Los errores de clculo, por lo general, sern evidentes cuando se susti-tuyan los valores numricos obtenidos en una ecuacin que an no ha sidoutilizada y verificando que la ecuacin se satisface. Hay que resaltar que enla ingeniera es muy importante que los clculos sean correctos.

1.10 EXACTITUD NUMRICALa exactitud de la solucin de un problema depende de dos aspectos:1) la exactitud de los datos recibidos y 2) la exactitud de los clculos desa-rrollados.

La solucin no puede ser ms exacta que el menos exacto de estos dosfactores. Por ejemplo, si se sabe que la carga de una viga es de 75 000 lb conun error posible de 100 lb en cualquier sentido, el error relativo que mide elgrado de exactitud de los datos es

Al calcular la reaccin en uno de los apoyos de la viga, sera entonces irre-levante registrarlo como de 14 322 lb. La exactitud de la solucin no puedeser mayor que el 13%, sin importar cun exactos sean los clculos, y el error posible en la respuesta puede ser tan grande como (0.13/100)(14 322 lb)

El registro apropiado de la respuesta sera de 14320 20 lb.En los problemas de ingeniera, los datos rara vez se conocen con una

exactitud mayor del 0.2%. Por lo tanto, rara vez se justifica escribir la res-puesta a dichos problemas con una precisin mayor del 0.2%. Una regla prc-tica es utilizar 4 cifras para registrar los nmeros que comienzan con 1 y3 cifras para todos los otros casos. A menos que se indique lo contrario, losdatos ofrecidos en un problema deben suponerse conocidos con un gradocomparable de exactitud. Una fuerza de 40 lb, por ejemplo, debera leerse40.0 lb, y una fuerza de 15 lb debera leerse 15.00 lb.

Los ingenieros practicantes y los estudiantes de ingeniera emplean congran frecuencia calculadoras de bolsillo y computadoras. La rapidez y exac-titud de estos aparatos facilitan los clculos numricos en la solucin de mu-chos problemas. Sin embargo, los estudiantes no debern registrar ms cifrassignificativas que las que puedan justificarse slo porque pueden obtenersecon facilidad. Como se seal anteriormente, una exactitud mayor que 0.2%es rara vez necesaria o significativa en la solucin de los problemas prcti-cos de ingeniera.

20 lb.

100 lb75,000 lb 0.0013 0.13%

1.10 Exactitud numrica 15

SOLUCINCuerpo libre: soporte entero. Como el eslabn ABC es un elemento con dos

fuerzas, la reaccin en A es vertical; la reaccin en D est representada por sus com-ponentes Dx y Dy. Se escribe:

a) Esfuerzo cortante en el pasador A. Ya que este pasador de in. de di-metro est en cortante nico, se escribe

tA 6 790 psi

b) Esfuerzo cortante en el pasador C. Como este pasador de in. de dime-tro est en cortante doble, se anota

tC 7 640 psi

c) Mximo esfuerzo normal en el eslabn ABC. El mximo esfuerzo se en-cuentra donde el rea es ms pequea; esto ocurre en la seccin transversal en A don-de se localiza el agujero de in. As, se tiene que

sA 2 290 psi

d) Esfuerzo cortante promedio en B. Se advierte que existe adhesin en am-bos lados de la porcin superior del eslabn y que la fuerza cortante en cada lado es

Por lo tanto, el esfuerzo cortante promedio en cada super-ficie es

e) Esfuerzo de apoyo en el eslabn en C. Para cada porcin del eslabn, F1 375 lb y el rea nominal de apoyo es de (0.25 in.)(0.25 in.) 0.0625 in.2.

sb 6 000 psi sb F1A

375 lb0.0625 in.2

tB 171.4 psi tB F1A

375 lb11.25 in.2 11.75 in.2

2 375 lb.F1 1750 lb2

sA FACAnet

750 lb

138 in.2 11.25 in. 0.375 in.2 750 lb

0.328 in.2

38

tC 12 FAC

A

375 lb14p 10.25 in.22

14

tA FACA

750 lb

14p10.375 in.22

38

FAC 750 lb FAC 750 lb tensin

1500 lb 2 115 in.2 FAC 110 in.2 0g MD 0:

16

PROBLEMA MODELO 1.1En el soporte mostrado la porcin superior del eslabn ABC es de in. de grueso ylas porciones inferiores son cada uno de in. de grueso. Se utiliza resina epxica pa-ra unir la porcin superior con la inferior en B. El pasador en A tiene un dimetro de

in. mientras que en C se emplea un pasador de in. Determine a) el esfuerzo cor-tante en el pasador A, b) el esfuerzo cortante en el pasador C, c) el mximo esfuer-zo normal en el eslabn ABC, d) el esfuerzo cortante promedio en las superficies pe-gadas en B y e) el esfuerzo de apoyo en el eslabn en C.

14

38

14

38

5 in.

500 lb

10 in.

A DDx

FAC Dy

EC

in. dimetro

750 lbFAC = 750 lb FAC = 750 lb

14

in. dimetro38

FAC = 375 lb12

FAC = 375 lb12

CA

F1 = F2 = FAC = 375 lb 12

FAC = 750 lb

in. dimetro38

in.

1.25 in.

1.25 in.

1.75 in.

38

FAC

F2 F1

AB

375 lb F1 = 375 lb

in. dimetro14

14 in.

6 in.

7 in.

1.75 in.

5 in.

1.25 in.

10 in.

500 lb

A

B

C

D

E

neto

SOLUCINa) Dimetro del pasador. Debido a que el pasador se encuentra en cortante

doble,

Se usar

En este punto se verifica el esfuerzo de apoyo entre la placa de 20 mm de espesor yel pasador de 28 mm de dimetro.

b) Dimensin b en cada extremo de la barra. Se considera una de las por-ciones de extremo de la barra. Como el espesor de la placa de acero es de y el esfuerzo promedio de tensin promedio no debe exceder los 175 MPa, se escribe

c) Dimensin h de la barra. Recordando que el espesor de la placa de aceroes t = 20 mm, se tiene que

Se utilizar h 35 mm

s Pth

175 MPa 120 kN10.020 m 2h h 34.3 mm

b 62.3 mm b d 2a 28 mm 2 117.14 mm 2

s 12 Pta

175 MPa 60 kN10.02 m 2a a 17.14 mm

t 20 mm

tb Ptd

120 kN10.020 m 2 10.028 m 2 214 MPa 6 350 MPa OK

d 28 mm

t F1A

60 kN14p d2

100 MPa 60 kN14p d2

d 27.6 mm

12 P 60 kN.F1

17

PROBLEMA MODELO 1.2La barra de sujecin de acero que se muestra ha de disearse para soportar una fuerzade tensin de magnitud cuando se asegure con pasadores entre mn-sulas dobles en A y B. La barra se fabricar de placa de 20 mm de espesor. Para el grado de acero que se usa, los esfuerzos mximos permisibles son:

350 MPa. Disee la barra de sujecin determi-nando los valores requeridos para a) el dimetro d del pasador, b) la dimensin b encada extremo de la barra, c) la dimensin h de la barra.

s 175 MPa, t 100 MPa, sb

P 120 kN

A B

b

d

h

t 20 mm

dF1 P

P

F1

F1

12

P

P' 120 kNa

t

a

db

12

P12

P 120 kN

t 20 mm

h

PROBLEMAS

18

1.1 Dos varillas cilndricas slidas AB y BC estn soldadas en B y cargadascomo se muestra. Determine la magnitud de la fuerza P para la cual el esfuerzo detensin en la varilla AB tiene el doble de magnitud del esfuerzo de compresin en lavarilla BC.

1.2 En el problema 1.1, si se sabe que P 40 kips, determine el esfuerzo nor-mal promedio en la seccin media de a) la varilla AB, b) la varilla BC.

1.3 Dos varillas cilndricas slidas, AB y BC, estn soldadas en B y cargadascomo se muestra. Si se sabe que el esfuerzo normal promedio no debe ser mayor que175 MPa en la varilla AB y 150 MPa en la varilla BC, determine los valores mni-mos permisibles de d1 y d2.

1.4 Las varillas cilndricas slidas AB y BC estn soldadas en B y cargadascomo se muestra en la figura. Si se sabe que d1 50 mm y d2 30 mm, encuentreel esfuerzo normal promedio en la seccin media de a) la varilla AB, b) la varilla BC.

1.5 Una galga extensomtrica, localizada en C en la superficie del hueso AB,indica que el esfuerzo normal promedio en el hueso es de 3.80 MPa cuando el huesose somete a dos fuerzas de 1 200 N como se muestra en la figura. Si se supone quela seccin transversal del hueso en C es anular y se sabe que su dimetro exterior esde 25 mm, determine el dimetro interior de la seccin transversal del hueso en C.

1.6 Dos placas de acero deben sujetarse por medio de pasadores de acero dealta resistencia de 16 mm de dimetro que embonan con suavidad dentro de espa-ciadores cilndricos de latn. Si se sabe que el esfuerzo normal promedio no debeexceder 200 MPa en los pasadores y 130 MPa en los espaciadores, determine el di-metro exterior de los espaciadores que ofrece el diseo ms econmico y seguro.

Figura P1.1

Figura P1.6Figura P1.5

Figura P1.3 y P1.4

2 in.3 in.

30 kips

P

30 kips

CA

B

30 in. 40 in.

d2

d1

40 kN

30 kN

B

C

250 mm

300 mm

A

1 200 N

1 200 N

C

A

B

Problemas 19

1.8 Si se sabe que la seccin transversal de la porcin central del eslabn BDtiene un rea de 800 mm2, determine la magnitud de la carga P para la cual el es-fuerzo normal en esa porcin de BD es de 50 MPa.

1.9 Si se sabe que el eslabn DE tiene in. de grosor y 1 in. de ancho, deter-mine el esfuerzo normal en la porcin central de dicho eslabn cuando a) 0, b) 90.

1.10 El eslabn AC tiene una seccin transversal rectangular uniforme de in.de espesor y in. de ancho. Determine el esfuerzo normal en la porcin central dedicho eslabn.

14

116

1.11 La barra rgida EFG est sostenida por el sistema de armaduras que semuestra en la figura. Si se sabe que el elemento CG es una varilla circular slida de0.75 in. de dimetro, determine el esfuerzo normal en CG.

1.12 La barra rgida EFG est sostenida por el sistema de armaduras que semuestra en la figura. Determine el rea de la seccin transversal del elemento AEpara la cual el esfuerzo normal en l es de 15 ksi.

1.7 Cada uno de los cuatro eslabones verticales tiene una seccin transversalrectangular uniforme de 8 36 mm y cada uno de los cuatro pasadores tiene un di-metro de 16 mm. Determine el valor mximo del esfuerzo normal promedio en loseslabones que conectan a) los puntos B y D, b) los puntos C y E.

Figura P1.7 Figura P1.8

Figura P1.9

Figura P1.10

Figura P1.11 y P1.12

0.2 m0.25 m

0.4 m

20 kN

C

B

AD

E

240 lb

240 lb

B

C

A

3 in.

7 in.

30

6 in.

P

1.92 m

0.56 m

A

C

B30

D

r 1.4 m

60 lb

F

D

E

JC D

B

A

8 in.

2 in.

4 in. 12 in. 4 in.

6 in.

3 600 lb

A B C

D E F G3 ft

4 ft 4 ft 4 ft

18

20 Introduccin. El concepto de esfuerzo 1.13 Un par M con magnitud de 1 500 N m se aplica a la manivela de unmotor. Para la posicin mostrada, determine a) la fuerza P requerida para manteneren equilibrio al sistema de la mquina, b) el esfuerzo normal promedio en la bielaBC, la cual tiene una seccin transversal uniforme de 450 mm2.

1.14 La barra de un remolque para aviones se posiciona mediante un cilindrohidrulico sencillo, conectado mediante una varilla de acero de 25 mm de dimetroa las dos unidades idnticas de brazo DEF y a la rueda. La masa de toda la barra delremolque es de 200 kg y su centro de gravedad se localiza en G. Para la posicinmostrada, determine el esfuerzo normal en la varilla.

1.15 Los elementos de madera A y B deben unirse mediante lminas de ma-dera contrachapada que se pegarn por completo sobre las superficies en contacto.Como parte del diseo de la junta y puesto que el claro entre los extremos de los ele-mentos ser de 6 mm, determine la longitud mnima permisible L, si el esfuerzo cor-tante promedio en el pegamento no debe exceder 700 kPa.

1.16 Cuando la fuerza P alcanz 1 600 lb, el elemento de madera mostradofall a cortante a lo largo de la superficie indicada por la lnea punteada. Determineel esfuerzo cortante promedio a lo largo de esa superficie en el momento de la falla.

Figura P1.14

Figura P1.16

Figura P1.13

Figura P1.15

200 mm

80 mmM

P

60 mm

B

A

C

D

B

E

A

Dimensiones en mm

100

450

250

850

1 150

500 675 825

CG

F

0.6 in.

3 in. MaderaAcero

P' P

A

B

L6 mm

75 mm

15 kN

15 kN

Problemas 21

1.18 Una carga P se aplica a una varilla de acero soportada, como se muestraen la figura, por una placa de aluminio en la que se ha perforado un barreno de 12mm de dimetro. Si se sabe que el esfuerzo cortante no debe exceder 180 MPa en lavarilla de acero y 70 MPa en la placa de aluminio, determine la mxima carga P quepuede aplicarse a la varilla.

1.19 La fuerza axial en la columna que soporta la viga de madera que se mues-tra en la figura es P 20 kips. Determine la longitud mnima permisible L de la za-pata de carga si el esfuerzo de apoyo en la madera no debe ser mayor que 400 psi.

1.20 La carga P aplicada sobre una varilla de acero se distribuye hacia unaviga de soporte mediante una arandela anular. El dimetro de la varilla es de 22 mmy el dimetro interior de la arandela es de 25 mm, un poco mayor que el dimetrodel orificio. Determine el mximo dimetro exterior d permisible para la arandela, sise sabe que el esfuerzo normal axial en la varilla de acero es de 35 MPa y que el es-fuerzo de apoyo promedio entre la arandela y la viga no debe exceder 5 MPa.

1.21 Una carga axial de 40 kN se aplica sobre un poste corto de madera, sos-tenido por un basamento de concreto que descansa sobre suelo regular. Determine a)el esfuerzo de apoyo mximo sobre el basamento de concreto, b) el tamao del ba-samento para el cual el esfuerzo de apoyo promedio en el suelo es de 145 kPa.

1.17 Dos planchas de madera, cada una de in. de espesor y 9 in. de ancho,estn unidas por el ensamble pegado de mortaja que se muestra en la figura. Si sesabe que la junta fallar a lo largo de su grano cuando el esfuerzo cortante prome-dio en el pegamento alcance 1.20 ksi, determine la magnitud P de la carga axial quecausar una falla en la junta.

12

Figura P1.18

Figura P1.19

Figura P1.21

Figura P1.20

Figura P1.17

2 in.

2 in.1 in.P'

1 in. 9 in.P

in.58

in.58

P 40 kN

b b

120 mm 100 mm

40 mm

8 mm

12 mm

P

10 mm

6 in.

L

P

P

d

22 mm

22 Introduccin. El concepto de esfuerzo 1.22 Una carga axial P es soportada por una columna corta W8 40 con unrea de seccin transversal A 11.7 in.2 y se distribuye hacia un cimiento de con-creto mediante una placa cuadrada como se observa en la figura. Si se sabe que elesfuerzo normal promedio en la columna no debe exceder 30 ksi y que el esfuerzode apoyo sobre el cimiento de concreto no debe exceder 3.0 ksi, determine el lado ade la placa que proporcionar el diseo ms econmico y seguro.

1.23 Un pasador de 6 mm de dimetro se utiliza en la conexin C del pedalque se muestra en la figura. Si se sabe que P 500 N, determine a) el esfuerzo cor-tante promedio en el pasador, b) el esfuerzo de apoyo nominal en el pedal en C, c)el esfuerzo de apoyo nominal en cada mnsula de apoyo en C.

1.24 Si se sabe que una fuerza P con una magnitud de 750 N se aplica al pe-dal que se muestra en la figura, determine a) el dimetro del pasador en C para elcual el esfuerzo cortante promedio en el pasador es de 40 MPa, b) el esfuerzo deapoyo correspondiente en el pedal en C, c) el esfuerzo de apoyo correspondiente encada mnsula de apoyo en C.

1.25 Una varilla de acero AB con in. de dimetro se ajusta a un orificio re-dondo cerca del extremo C del elemento de madera CD. Para la carga mostrada, de-termine a) el esfuerzo mximo normal promedio en la madera, b) la distancia b parala cual el esfuerzo cortante promedio es de 100 psi sobre las superficies indicadaspor lneas punteadas, c) el esfuerzo de apoyo promedio sobre la madera.

1.26 Dos sistemas idnticos de eslabn y cilindro hidrulico controlan la po-sicin de las horquillas de un montacargas. La carga soportada para el sistema quese muestra en la figura es de 1 500 lb. Si se sabe que el grosor del elemento BD es

in., determine a) el esfuerzo cortante promedio en el pasador de in. de dimetroen B, b) el esfuerzo de apoyo en B en el elemento BD.

12

58

58

1.27 Para el ensamble y la carga del problema 1.7, determine a) el esfuerzocortante promedio en el pasador en B, b) el esfuerzo de apoyo promedio en B en elelemento BD, c) el esfuerzo de apoyo promedio en B en el elemento ABC, si se sabeque este elemento tiene una seccin transversal rectangular uniforme de 10 50 mm.

1.28 El eslabn AB, cuyo ancho es b 50 mm y su grosor t 6 mm, se em-plea para soportar el extremo de una viga horizontal. Si se sabe que el esfuerzo nor-mal promedio en el eslabn es de 140 MPa y que el esfuerzo cortante promedio encada uno de los pasadores es de 80 MPa, determine a) el dimetro d de los pasado-res, b) el esfuerzo promedio de apoyo en el eslabn.

Figura P1.25

Figura P1.26

Figura P1.23 y P1.24

Figura P1.28

Figura P1.22

a aP

9 mm

125 mm

75 mm300 mm

5 mm

A B

CC D

P

DA

CB

b

1 500 lb

750 lb

750 lb

4 in.

1 in.

bd

t

B

A

d

A B

12 in.

12 in.

15 in.

16 in. 16 in. 20 in.

1500 lb

G

D E

C

1.11 ESFUERZOS EN UN PLANO OBLICUO BAJO CARGA AXIAL

En las secciones precedentes, se encontr que las fuerzas axiales ejercidas enun elemento sometido a dos fuerzas (figura 1.28a) causan esfuerzos norma-les en ese elemento (figura 1.28b), mientras que tambin se encontr que lasfuerzas transversales ejercidas sobre pernos y pasadores (figura 1.29a) cau-san esfuerzos cortantes en esas conexiones (figura 1.29b). La razn de quetal relacin observada entre las fuerzas axiales y los esfuerzos normales, poruna parte, y las fuerzas transversales y los esfuerzos cortantes, por la otra,fue que los esfuerzos se determinaron nicamente en los planos perpendicu-lares al eje del elemento o conexin. Como se ver en esta seccin, las fuer-zas axiales causan esfuerzos tanto normales como cortantes en planos que noson perpendiculares al eje del elemento. De manera similar, las fuerzas trans-versales ejercidas sobre un perno o pasador producen esfuerzos tanto norma-les como cortantes en planos que no son perpendiculares al eje del perno opasador.

1.11 Esfuerzos en un plano oblicuo 23bajo carga axial

Considere el elemento de dos fuerzas de la figura 1.28, que se encuen-tra sometido a fuerzas axiales P y Si se realiza un corte en dicho elemen-to, que forme un ngulo con un plano normal (figura 1.30a) y se dibuja eldiagrama de cuerpo libre de la porcin del elemento localizada a la izquier-da de ese corte (figura 1.30b), se encuentra a partir de las condiciones deequilibrio del cuerpo libre que las fuerzas distribuidas que actan en la sec-cin deben ser equivalentes a la fuerza P.

Separando P en sus componentes F y V, que son, respectivamente nor-mal y tangencial al corte (figura 1.30c), se tiene que

F P cos u V P sen u (1.12)

La fuerza F representa la resultante de las fuerzas normales distribuidas a tra-vs de la seccin, y la fuerza V la resultante de las fuerzas cortantes (figura1.30d). Los valores promedio de los esfuerzos normales y cortantes corres-pondientes se obtienen dividiendo, respectivamente, F y V entre el rea de la seccin:

(1.13)

Al sustituir los valores de F y V de la ecuacin (1.12) en la ecuacin (1.13),y observando de la figura 1.30c que o que Au A0cos u,A0 Au cos u,

s FAu t

VAu

Au

u

P.

P'

PP

P' P'

a) b)

Figura 1.29

Figura 1.30

Figura 1.28

P'

P'

P'

P

AA0

P

V

F

P'

a)

c)

b)

d)

P

a)

b)

P

P

P'

P'

P'

donde denota el rea de una seccin perpendicular al eje del elemento, delo que se obtiene

o

(1.14)

De la primera de las ecuaciones (1.14) se observa que el valor del es-fuerzo normal s es el mximo cuando es decir, cuando el plano de laseccin es perpendicular al eje del elemento, y que se aproxima a cero alaproximarse u a 90. Se verifica que el valor de s cuando es

(1.15)

como se encontr en la seccin 1.3. La segunda de las ecuaciones (1.14)muestra que el esfuerzo cortante t es cero para y para y quepara alcanza su valor mximo

(1.16)

La primera de las ecuaciones (1.14) indica que, cuando el esfuerzonormal tambin es igual a

(1.17)

Los resultados obtenidos en las ecuaciones (1.15), (1.16) y (1.17) semuestran grficamente en la figura 1.31. Se observa que la misma carga pro-duce un esfuerzo normal y ningn esfuerzo cortante (figura1.31b), o un esfuerzo normal y un esfuerzo cortante de la misma magni-tud (figura 1.31c y d), dependiendo de la orientacin delcorte.

1.12 ESFUERZOS BAJO CONDICIONES GENERALES DE CARGA. COMPONENTES DEL ESFUERZO

Los ejemplos de las secciones previas estuvieron restringidos a elementos ba-jo carga axial y a conexiones bajo carga transversal. La mayora de los ele-mentos estructurales y de los componentes de maquinaria se encuentran ba-jo condiciones de carga ms complicadas.

Sea un cuerpo sujeto a varias cargas P1, P2, etc., (figura 1.32). Para com-prender la condicin de esfuerzos creada por estas cargas en algn punto Qdentro del cuerpo, primero se efectuar un corte a travs de Q, utilizando unplano paralelo al plano yz. La porcin del cuerpo a la izquierda de la seccinest sujeta a algunas de las cargas originales, y a las fuerzas normales y decorte distribuidas a travs de la seccin. Denotaremos con y res-pectivamente, las fuerzas normales y de corte que actan sobre una pequea

Vx,Fx

s tm P2A0

sm PA0

s PA0

cos2 45 P2A0

P2A0:su 45,

tm PA0

sen 45 cos 45 P2A0

u 45u 90,u 0

sm PA0

u 0

u 0,

s PA0

cos2 u t PA0

sen u cos u

s P cos uA0cos u

t P sen uA0cos u

A024 Introduccin. El concepto de esfuerzo

Figura 1.32

P1P4

P3

P2y

z

x

P'

a) Carga axial

b) Esfuerzos para = 0

m = P/A0

c) Esfuerzos para = 45

d) Esfuerzos para = 45

'= P/2A0

'= P/2A0

m= P/2A0

m= P/2A0

P

Figura 1.31

rea que rodea al punto Q (figura 1.33a). Note que el superndice x seemplea para indicar que las fuerzas y actan sobre una superficieperpendicular al eje x. En tanto que la fuerza normal tiene una direc-cin bien definida, la fuerza cortante puede tener cualquier direccin enel plano de la seccin. Por lo tanto, descomponemos en dos fuerzas com-ponentes, y en direcciones paralelas a los ejes y y z, respectiva-mente (figura 1.33b). Dividiendo ahora la magnitud de cada fuerza entre elrea y haciendo que se aproxime a cero, se definen las tres compo-nentes del esfuerzo mostradas en la figura 1.34:

(1.18)

Se observa que el primer subndice en sx, txy y se emplea para indicarque los esfuerzos bajo consideracin se ejercen sobre una superficie perpen-dicular al eje x. El segundo subndice en y en identifica la direccinde la componente. El esfuerzo normal sx es positivo si la flecha

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