Mecánica de Fluídos [Smits]

http://gratislibrospdf.com/


MECNICA DE FLUIDOSUna introduccin fsica



MECNICA DE FLUIDOSUna introduccin fsicaAlexander J. SmitsDepartamento de Ingeniera Mecnica Universidad de Princeton .

A

Alfaomegahttp://gratislibrospdf.com/

Traduccin al espaol: M en 1 Esteban Barrios Bonilla .Maestra en Ingeniera Mecnica, Termofluidos, UNAM Fundador de la Sociedad Mexicana de Ingenieros Mecnicos, SOMIM Revisin tcnica: Dr. Francisco Solorio Ordaz Doctor en Ingeniera Mecnica, Termoenerga, UNAM Fundador y Expresidente de la Sociedad Mexicana de Ingenieros Mecnicos, SOl\1lM Diagramacin Edimac electrnica:

Primera edicin en espaol: Mxico, mayo 2003 Primera reimpresin: Mxico, noviembre 2005 Segunda reimpresin: Mxico, julio 2006

Versin en espaol de la obra titulada en ingls: A Physical Introduction lo Fluid Mechanics, por Alexander J. Smits, publicada originalmente por John Wiley & Sons, Inc.

2003ALFAOMEGAGRUPOEDITOR,S.A.deC.V.Pitgoras 1139, Col. Del Valle, 03100 Mxico, D.F. Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro No. 2317 Internet: http://www.alfaomega.com.mx E-mail: [email protected] Derechos reservados. Esta obra es propiedad intelectual de su autor y los derechos de publicacin en lengua espaola han sido legalmente transferidos al editor. Prohibida su reproduccin parcial o total por cualquier medio sin permiso por escrito del propietario de los derechos del copyright.

ISBN 970-15-0784-3ISBN 0-471-25349-9, Impreso versin original de John Wiley & Sons, Inc. in Mexico

en Mxico - Printed


CONTENIDOPREFACIO xiiiCAPTULO 1 INTRODUCCI6N

1.1 1.2 l.3

Naturaleza de los fluidos 3 :esfuerzos en los fluidos 5 Presin 6 1.3.1 Presin: direccin de la accin 7 1.3.2 Fuerzas debidas a la presin 8 1.3.3 La presin es isotrpica 9 l.3A Esfuerzos globales y presin del fluido 10 l.3.5 Densidad y gravedad especfica 12 1.3.6 Ley del gas ideal 13 l.3.7 Compresibilidad en los fluidos 14 1.3.8 Presin: su transmisin a travs de un fluido 16 1.3.9 Prensas y elevadores hidrulicos 17 lA Esfuerzos viscosos 22 1.4.1 Esfuerzos viscosos cortantes 23 104.2 Consideraciones sobre energa y trabajo 24 104.3 Esfuerzos viscosos normales 25 10404 Viscosidad 26 1.5 Mediciones de viscosidad 27 1.6 Capas lmite 29 1.7 Flujos laminar y turbulento 32 1.8 **Tensin superficial 33 1.8.1 Gotas y burbujas 34 1.8.2 Formacin de meniscos 35 1.8.3 Capilaridad 36 1.9 Unidades y dimensiones 37 Problemas 39

CAPTULO 2 ESTTICA DE FLUIDOS 43

2.1 2.2 2.3

La ecuacin de la hidrosttica 43 Presin manomtrica y presin absoluta 45 Aplicaciones de la ecuacin hidrosttica 47 2.3.1 Variacin de la presin con la altura y la profundidad 47 2.3.2 Manmetros 49 2.3 .3 Barmetros 50v


2.4

Paredes verticales de anchura constante 53 2.4.1 Solucin mediante presiones absolutas 54 2.4.2 Solucin mediante presiones manomtricas 54 2.4.3 Balance del momento 55 2.4.4 Presin manomtrica o presin absoluta? 56 Paredes inclinadas con anchura constante 62 2.5 2.5.1 Fuerza horizontal 63 2.5.2 Fuerza vertical 64 2.5.3 Fuerza resultante 64 2.5.4 Balance de momentos 65 Fuerzas hidrostticas sobre superficies curvas 68 2.6 2.6.1 Fuerza resultante 68 2.6.2 Lnea de accin 71 Superficies bidimensionales 71 2.7 **Centros de presin, momentos de rea 76 2.8 Principio de arqumedes 78 2.9 **Estabilidad de cuerpos flotantes 80 2.10 **Fluidos en movimiento de cuerpo rgido 80 2.11 2.11.1 Aceleracin vertical 81 2.11.2 Aceleraciones vertical y horizontal 82 2.11.3 Rotacin de cuerpo rgido 83 Problemas 85

CAPTULO

3 INTRODUCCIN AL MOVIMIENTO DE LOS FLUIDOS I

101

3.1 3.2

Introduccin 101 Partculas de fluido y volmenes de control 101 3.2.1 Sistema lagrangiano 101 3.2.2 Sistema euleriano 102 3.2.3 Elementos de fluido 102 3.2.4 Volmenes de control grandes 103 3.2.5 Flujo en regmenes permanente y transitorio 105 3.3 Lneas de corriente y tubos de corriente 105 3.3.1 Lneas de corriente 105 3.3.2 Trayectoria 106 3.3.3 Lneas de emisin 106 3.3.4 Tubos de corriente 107 3.3.5 Lneas de tiempo 109 3.4 Dimensin de un campo de flujo 111 3.5 Conservacin de la masa 112 3.6 Ecuacin de la cantidad de movimiento 114 3.6.1 Fuerzas 114 3.6.2 Flujo unidireccional 115 3.6.3 Flujo bidireccional 117 3.7 Fuerzas viscosas y prdidas de energa mecnica 119 Problemas 1124


CONTENIDO

vii

CAPTULO 4 INTRODUCCIN AL MOVIMIENTO DE LOS FLUIDOS 11 1304.1 4.2 Introduccin 130 Ecuacin de bemoulli 130 4.2.1 Balance de fuerzas a lo largo de lneas de corriente 131 4.2.2 Balance de fuerzas en direccin normal a las lneas de corriente 133 4.3 Presin de estancamiento y presin dinmica 134 4.4 Variacin de la presin y de la velocidad 135 4.5 Aplicaciones de la ecuacin de bemoulli 137 4.5.1 Tubo de Pitot 138 4.5.2 Tubo de Venturi y atomizador 139 4.5.3 Sifn 141 4.6 Ecuacin de bemoulli y drenado de tanques 143 4.7 *Ecuacin de la energa 149 4.7.1 Primera ley de la termodinmica 149 4.7.2 Flujo unidimensional 151 4.7.3 Relacin con la ecuacin de Bemoulli 153 Problemas 155

CAPTULO 5 ECUA CIONES DE MOVIMIENTO EN FORMA INTEGRAL 1685.1 5.2 5.3 Flujo 168 Ecuacin de continuidad 171 Ecuacin de la cantidad de movimiento 178 5.3.1 Trmino transitorio 179 5.3.2 Trmino de t1ujo 179 5.3.3 Fuerza resultante 180 5.4 Teorema del transporte de reynolds 185 5.5 *Ecuacin de la energa 187 Problemas 189

CAPTULO 6 ECUA CIONES DIFERENCIALES Dr..L MO VIMIENTO 2006.1 Rapidez de cambio siguiendo una partcula de fluido 200 6.1.1 Aceleracin en coordenadas cartesianas 203 6.1 .2 Aceleracin en coordenadas cilndricas 203 Ecuacin de continuidad 406 6.2.1 Formas particulares 208 Ecuacin de la cantidad de movimiento 208 6.3.1 Ecuacin de Euler en coordenadas Ci:1tteS'lartas 211il 6.3.2 Ecuacin de Euler en coordenadas cih~d[1cas 211 6.3.3 Ecuaciones de Navieir-Stokes 211 6.3.4 Condiciones de frontera 213

6.2 6.3


viii

CONTENIDO

*Aplicacin al movimiento de cuerpo rgido 215 Flujo unidimensional transitorio 215 6.5 .1 Ecuacin de continuidad 216 6.5.2 Ecuacin de la cantidad de movimiento 217 6.5.3 *Ecuacin de la energa 219 Problemas 221

6.4 6.5

CAPTULO 7 FLUJOS INCOMPRESIBLES IRROTACIONALES 226

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6

V orticidad y rotacin 227 El potencial de velocidad h2, h, = h2 o h; < h2. Cul es la correcta? Al principio, el peso total del agua desplazada es igual al peso de la lancha ms el peso de las barras de acero. Puesto que la densidad del acero es mayor que la del agua (el acero tiene una densidad de 7 850 kg/rrr', en comparacin con la del agua, que es de 998 kg/rrr', de modo que la gravedad especfica del acero es 7.86), el volumen de agua desplazado es mucho ms grande que el del acero. Despus de que la lancha se voltea y las barras de acero se hunden hasta el fondo, el agua que desplaza la lancha es tal que el peso de esa agua iguala al peso de la lancha. Las barras de acero tambin desplazan el agua, pero como stas no flotan, slo desplazan un volumen de agua igual a su propio volumen. Este volumen es mucho menor que el que desplazan las barras de acero cuando flotan, de manera que la respuesta correcta es h > h2 .

EJEMPLO 2.9

La punta de un iceberg

Considere un iceberg flotando en agua, para encontrar la fraccin del volumen del iceberg que sobresale de la superficie del mar. Solucin si el volumen del iceberg es \/ y la fraccin que se observa sobre la superficie es ~ \/, la fuerza de flotacin que acta hacia arriba en el iceberg est dada por p swg(\/ - ~ v), donde p sw es la densidad del agua de mar. Para el equilibrio esttico, sta debe ser igual al peso del iceberg, que est dado por P hielog\/, donde p hielo es la densidad del hielo. Esto es .p swg(\/ - ~ v) = P hielog\/

TFIGURA 2-23

h

Th2

Lancha flotando con barras de acero (izquierda) y vaca (derecha).


80

CAPiTULO 2

ESTTI CA DE FLUIDOS

as que~ V = 1 _ P hielo V P SlV

El hielo tiene una densidad de 920 kg/m 3, y el agua de mar de 1 025 kg/m 3 (tabla A-C.7). Entonces

~V = 0.102V

de modo que slo aproximadamente 10 % del cuerpo del iceberg es visible por encima de la superficie (figura 1-8).

2.10 **ESTABILlDAD DE CUERPOS FLOTANTESLos cuerpos flotantes estn en equilibrio bajo las fuerzas de cuerpo (el peso de la embarcacin) y las fuerzas de flotacin (el peso del fluido desplazado). Las lneas de accin de estas fuerzas determinan la estabilidad del cuerpo (figura 2-24). La fuerza de cuerpo, W, acta a travs del centro de gravedad del cuerpo, CG, y la fuerza de flotacin, F B , se aplica a travs del centroide del volumen del fluido desplazado, es decir, el centro de flotacin, c. El cuerpo es neutralmente estable si las lneas de accin son colineales y estable si producen un momento que tiende a enderezar la embarcacin (figura 2-24a). Es inestable si el momento tiende a voltear la embarcacin (figura 2-24b).

2.11 **FLUIDOS EN MOVIMIENTO DE CUERPO RGIDOAntes establecimos que un fluido en movimiento tambin puede estar en equilibrio esttico, en tanto que todas las partes del fluido se muevan juntas como en un cuerpo rgido. En el movimiento de cuerpo rgido no puede haber movimiento relativo dentro del lquido; ninguna parte del lquido se puede mover con respecto a cualquier otra parte. Cuando el fluido y su recipiente se mueven a velocidad constante, dicho sistema est en una simple translacin y no hay fuerzas adicionales actuando. Sin embargo, cuando este sistema se acelera debe considerarse la fuerza de inercia y es necesario un nuevo anlisis.

FIGURA 2-24

Estabilidad de los cuerpos flotantes: a) estable, b) inestable.


2. 11 FLUIDOS EN MOVIMIENTO DE CUERPO RiGIDO

81

2.11.1 Aceleracin verticalConsidere un recipiente que se mueve en direccin vertical con una aceleracin a z . El fluido est en movimiento de cuerpo rgido. La segunda ley de Newton establece que para una masa fija de fluido que se acelera:{masa de fluido x aceleracin} = {fuerzas debidas a la diferencia de presiones} + {peso del fluido}

Para un elemento pequeo de fluido cuyo volumen es oxoyoz, y en el cual la direccin positiva de z es vertical hacia abajo como en la figura 2-25

(poxoyoz)a z = (p -

dp oz Ihoy _(p + dp oz \XOy + (poxoyoz)gdz2J dz2J

donde se usa una expansin en series de Taylor (seccin A-A. 8.4) para expresar la presin en las caras de encima y abajo en trminos de la presin en el centro del elemento. Por lo tanto

paz =- -+pg dzEsto es, (2.18) Qu pasa cuando el recipiente est en cada libre bajo la gravedad? En este caso, a z = g, ya que z es positiva hacia abajo y las variaciones de la presin hidrosttica en el recipiente tienden a cero. Esto es vlido para todos los fluidos en cada libre. Por ejemplo, el chorro de agua que sale de un tanque estar en cada libre bajo la gravedad y dentro del chorro no habr variaciones de presin hidrosttica. En el espacio, donde la gravedad es cero, dado que la nave espacial est esencialmente en cada libre, la presin de cualquier fluido ser constante y lo nico que mantiene unido al fluido, en un recipiente abierto, es la tensin superficial. En contraste, cuando el recipiente se acelera hacia arriba, las variaciones de presin en el fluido aumentan por encima de sus valores estticos. Los astronautas acelerndose hacia el espacio a "niveles g" altos, deben colocarse en ngulo recto al vector aceleracin de modo que se minimicen las variaciones de presin en sus cuerpos, y sus corazones puedan soportar con la carga extra que imponen los incrementos de las diferencias de presin.

dp

o yI

I

p

I I II

p

O z"" ... ""

/-----X

I

p + --

dpoz dz 2

FIGURA 2-25

Equilibrio esttico de un elemento de fluido bajo la accin de la gravedad y una aceleracin

vertical constante.


82

CAPITU LO 2

ESTTICA DE FLUIDOS

2.11.2 Aceleraciones vertical y horizontalConsidere un recipiente con aceleraciones en las direcciones horizontal y vertical, a x y a z ' respectivamente (figura 2-26). La ecuacin de movimiento en la direccin z (ecuacin 2.19) se expresa como

ap =p(g-a ) az z

(2.19)

Las derivadas parciales son necesarias porque la presin es ahora una funcin de x y z. La ecuacin de movimiento en la direccin x da

(poxoyoz )a x = (p - dp ox dx 2Por lo tanto

)OYOZ _(p + dp ox )OY Z Odx2

ap =- pa ax x

(2.20)

Las ecuaciones 2.19 y 2.20 son ecuaciones diferenciales parciales de primer orden que se pueden resolver como sigue. Integrando la ecuacin 2.19 con respecto a z se obtiene

p=p(g-a z )z + f(x )+C

(2.21)

donde f(x) es una funcin incgnita de x (solamente), y C es una constante de integracin. Integrando la ecuacin 2.20 con respecto a x resulta (2.22) donde g(z) es una funcin incgnita de z (solamente), y C 2 es otra constante de integracin. De las ecuaciones 2.21 y 2.22 se concluye

p = p(g - a z )z - paxx + C

(2.23)

(Cuando se resuelven ecuaciones diferenciales parciales simultneas siempre se recomienda verificar que las ecuaciones originales, en este caso las ecuaciones 2.19 y 2.20, puedan recoblarse derivando las soluciones.)

p+ - -

op O X

O 2 X

p+ - O 2 Z

op 02

FIGURA 2-26 Equilibrio esttico de un elemento de fluido bajo la accin de la gravedad , y aceleraciones constantes vertical y horizontal.


2.11

FLUIDOS EN MOVIM IENTO DE CUERPO RGIDO

83

Para una superficie a presin constante (una superficie isobrica), el lado izquierdo de la ecuacin 2.23 es constante. La pendiente de una superficie isobrica se puede encontrar derivando esta ecuacin, mientras p se conserva constante. Es decir, la pendiente de una superficie isobrica se puede dar comodzdx

ax

g-a z

(2.24)

En la superficie libre, la presin es constante e igual a la presin atmosfrica, as que la ecuacin 2.24 proporciona la pendiente de la superficie libre. De hecho, dado que a x ya z son constantes a travs del fluido, todas las superficies isobricas tienen la misma pendiente, de manera que todas son paralelas a la superficie libre.

2.11.3 Rotacin de cuerpo rgidoUn anlisis similar se aplica a un volumen de fluido que rota a velocidad angular constante, como muestra la figura 2-27. En ese caso, un elemento de fluido experimenta una aceleracin radial V 2 / r, donde V es la componente tangencial de la velocidad y r la distancia desde el eje de rotacin. Tambin hay una aceleracin en la direccin vertical debida a la gravedad, de modo que la presin es una funcin de r y z. Si la rapidez de rotacin es w rad/s, la ecuacin de movimiento en la direccin r quedaBp Br

= p~ = prw2r

(2.25)

Para la direccin z (donde z es positiva hacia abajo) obtenemos la variacin hidrosttica usualBp = pg

BzAl integrar la ecuacin 2.25 con respecto a r se obtienep=1pr2w 2 + f'(z)+C 3

(2.26)

(2.27)

y la ecuacin 2.26 con respecto a zp = pgz

+ g/ex) + C 4

(2.28)

FIGURA 2-27

Fluido en movimiento de cuerpo rgido bajo rotacin.


84

CAP TULO 2

ESTTICA DE FLUI DOS

De las ecuaciones 2.27 y 2.28 (2.29) Para encontrar a e', se requiere conocer la presin en un punto dado. En la superficie libre, la presin es igual a la presin atmosfrica, de manera que p = Pa en r = z = OY (2.30) Sobre el eje, donde r = O, la aceleracin radial es cero y la superficie libre es horizontal. Lejos del eje de rotacin, la superficie est inclinada hacia la horizontal y vemos que la superficie libre forma una parbola de revolucin, como lo hacen todas las superficies isobricas (figura 2-27). Pregunta: Dnde se encuentra la presin mxima dentro de un recipiente cilndrico?

EJEMPLO 2.10 Movimiento de cuerpo rgido

Para el caso de la figura 2-28 encuentre la aceleracin horizontal que hara que el agua se derrame fuera del recipiente.Solucin de la ecuacin 2.24 sabemos que

dx

dz = ~ = ~ g-a z g

ya que a z = O. El fluido se derramar fuera del recipiente cuando

dz .!J. 2 _ =.l...= _ dx 9 2

3"

lo cual requiere de una aceleracin horizontala x = lg 9

TJl~2=h~3;===========~==~ /oh

L

.I,- - - FIGURA 2-28

3" - ----1.1

Fluido en movimiento de cuerpo rgido bajo la accin de la gravedad y una aceleracin horizontal constante.


PROBLEMAS

85

PROBLEMAS2.1 Exprese las presiones siguientes en psi: a) 2.5 x 105 Pa b) 4.3 bar e) 31 pulg Hg d) 20pieHp 2.2 Exprese las siguientes presiones en Pa. a) 3 psia b) 4.3 bar e) 31 pulg Hg d) 8 mHp

2.3 Exprese las siguientes presiones absolutas como presiones manomtricas en unidades SI y BG: a) 3 psia b) 2.5 x 105 Pa e) 31 pulgHg d) 4.3 bar e) 20pieHp 2.4 En una prensa hidrulica se aplica una fuerza de 200 N sobre un pistn pequeo (10 cm2 de rea). Determine la fuerza que aplica el pistn grande (100 cm2 de rea), si los dos pistones estn a la misma altura. 2.5 Cul es la fuerza que produce el pistn grande de la prensa hidrulica del problema anterior, si estuviera a 2 m por encima del pistn pequeo? La densidad del fluido hidrulico es 920 kg/m 3 .2.6 Un aparato consta de un tubo cilndrico aadido a un tanque rectangular que se llena con agua como ilustra la figura P2.6. Ignorando el peso del tanque y del tubo, determine la fuerza total en el fondo del tanque. Compare el peso total del agua con este resultado y explique las diferencias.Pa

FIGURA P2.6

2.7 La presin manomtrica en la superficie del lquido dentro del tanque cerrado de la figura P2.7 es 4.0 psi. Encuentre h si el lquido del tanque es a) agua, b) keroseno, e) mercurio.


86

CAPTULO 2

ESTTICA DE FLUIDOS

Pah

1-----1---.1..

FIGURA P2.7

2.8 Encuentre el dimetro mximo posible del agujero circular de modo que el tanque circular de la figura P2.8 permanezca cerrado; la tapa tiene una masa de 50 kg.100 kPa (presin manomtrica)

/'

1.5mAgua

1

1I

2.0 m

_ i

i=======:9-----,--i

FIGURA P2.8

2.9 Un cilindro hueco con dimetro de 1 m tiene un fondo cerrado que se empuja en una alberca hasta una profundidad de 3 m. El cilindro est abierto a la atmsfera en la parte superior y la alberca est al nivel del mar. a) Encuentre la fuerza que acta en el fondo del cilindro cuando la alberca contiene agua fresca, y la presin del aire es constante en todas partes. b) Cul es la respuesta al inciso a), si la alberca tiene agua de mar? e) Cmo cambia la fuerza del inciso a) si se considera la variacin de la presin del aire dentro del cilindro? d) Las respuestas de los incisos a), b) y c) cambian cuando la alberca se ubica en la cima de una montaa a 5 000 m? 2.10 En el manmetro de la figura P2.1Oambas ramas estn abiertas a la atmsfera y est lleno con los lquidos A y B como se indica. Encuentre la proporcin entre las densidades de los fluidos.

r40"

FI~:oZ.

1f~ FI""O~ J

T1

f

22"

1

FIGURA P2.10


PROBLEMAS

87

2.11 Encuentre la presin a una elevacin de 3 000 m si la temperatura de la atmsfera disminuye c"n una rapidez de 0.006 K por m. La temperatura al nivel del suelo es de 15C, y la lectura del barmetro indica 29.8 pulg Hg. (La constante de gas para el aire es 287.03 m2s2K.) 2.12 En un punto particular del ocano Pacfico la densidad del agua de mar se incrementa con la profundidad de acuerdo con P = Po + mz 2 , donde Po es la densidad en la superficie, z la profundidad debajo de la superficie y muna constante. Desarrolle una ecuacin algebraica para la presin en funcin de la profundidad. 2.13 Si la gravedad especfica del concreto es 2.4, encuentre las reacciones verticales R 1 YR 2 por unidad de ancho del dique de concreto que ilustra la figura P2.13.

FIGURA P2.13

2.14 La compuerta de la figura P2.14 tiene una anchura w y una altura H y est pivotada con una articulacin sin friccin en un punto z* por debajo de la superficie del agua. La parte alta de la compuerta est a nivel con la superficie del agua. La densidad del agua es p , y la presin es uniforme en todas las partes externas del tanque e igual a la presin atmosfrica. a) Encuentre la magnitud de la fuerza resultante, F , sobre la compuerta en trminos de p,g, wyH. b) Encuentre la posicin de la lnea de pivotado z* por debajo de la parte alta de la compuerta, de modo que no haya momento resultante respecto a la articulacin y la compuerta se abra.

Pa

/ Densidad del agua p

Articulacin sin friccin

Pa

!g

FIGURA P2.14


88

CAPTULO 2

ESTTICA DE FLUIDOS

2.15 Una compuerta cuadrada de 3 pie en un dique vertical est expuesta al aire con presin atmosfrica de un lado yagua del otro. La fuerza resultante se aplica a 2 pulg del centro de la compuerta. Qu tan lejos debajo de la superficie del agua est la orilla superior de la compuerta? 2.16 Una compuerta de anchura w permanece de manera vertical en un tanque, como muestra en la figura P2.l6, y se conecta al fondo de ste con una articulacin sin friccin. De un lado, el tanque se llena a una profundidad h l' con un fluido de densidad PI; del otro lado se llena con otro fluido a una profundidad h 2 con densidad P2' Encuentre h 2 / h I en trminos de pzI PI si la compuerta est en equilibrio esttico.

Pa

Fluido con densidad p,

Fluido con densidad

P2

Articulacin

FIGURA P2.16

2.17 El tanque de la figura P2.l7 tiene una compuerta que gira con respecto a una articulacin vertical sin friccin. Encuentre la relacin entre las profundidades del agua h / h 2 en trminos de las densidades PI y P2 cuando la compuerta est en equilibrio esttico.

Articulacin

~w~________ _

l~~__~~-+~~densidad p, densidad

P2

FIGURA P2.17

2.18 Una compuerta rectangular se coloca en el muro de un dique como ilustra la figura P2.l8. El recipiente se llena con un fluido pesado con densidad P2hasta una altura igual a la altura de la compuerta y se cubre con un fluido ms ligero cuya densidad es PI' a) Describa la variacin de la presin para z ::; D y para D ::; z ::; D + L. b) Encuentre la fuerza resultante que acta en la compuerta, debida a los dos fluidos. e) Encuentre el punto donde se aplica esta fuerza resultante.


PROBLEMAS4:

89

_-_ ... _.- x Pl ~._--~_._---- z--.. ... Densidad Densidad P2

T

tL

D

1Compuerta

~FIGURA P2.18

2.19 La figura P2.19 muestra una vlvula de seguridad primitiva en un recipiente a presin para contener lquidos. El lquido es agua, de densidad p, y una profundidad constante H. La presin manomtrica en la superficie del agua es Pw y la presin que acta fuera del recipiente es la atmosfrica. La compuerta es rectangular, de alturaB y anchura W; un resorte en la articulacin ejerce un momento constante en el sentido de las manecillas del reloj Mh' Encuentre Pw para la cual la compuerta est justo en el punto de apertura.r,

FIGURA P2.19

2.20 Una compuerta cuadrada de dimensin b separa dos fluidos de densidades p y P2' como describe la figura P2.20. La compuerta est montada en una articulacin sin friccin. Conforme aumenta la profundidad del fluido de la derecha, la compuerta se abrir. Encuentre la proporcin P2/ pjusto para que la compuerta se abra en trminos de H2, H Y b.

Articulacin

I

1

t

\z

p,

"

t .

r

\

H2

1Compuerta

~-_".-

P2

.........

.

..J/

FIGURA P2.20

2.21 El canal simtrico de la figura P2.21 se usa para contener agua. A lo largo del canal se aaden alambres de acero para sujetar las paredes laterales a una distancia w. Encuentre la magnitud de la fuerza resultante que a cada lado aplica el agua y la magnitud de la tensin en el alambre de acero, ignorando el peso del canal.


90

cAP iTULO 2

ESTTICA DE FLU IDOS

!"'ArticulaCinFIGURA P2.21

2.22 Una compuerta delgada, unifonne y rgida de peso Mg y anchura constante b est pivotada en una articulacin sin friccin como muestra la figura P2.22. La compuerta forma un ngulo con el suelo. La profundidad del agua en el lado izquierdo de la compuerta es H y permanece constante. Del lado derecho de la compuerta el nivel del agua disminuye poco a poco hasta que la compuerta est a punto de abrirse. Encuentre la profundidad D en la que esto ocurre.Articu lacin

e

c----...,----,/AguaH

Ai re a presin atmosfrica

Agua

FIGURA P2.22

2.23 La compuerta rectangular de la figura P2 .23 (w de ancho y Lde longitud) es de un material homogneo, tiene una masa M y est articulada sin friccin en el punto B . Determine la masa necesaria para mantener cen'ada la compuerta cuando la profundidad del agua en el punto B esH.

H

+ ,Agua

FIGURA P2.23

2.24

Una compuerta de anchura constante w est articulada sin fr iccin con una articulacin localizada en el punto O y descansa en el fondo del dique en el punto A, como ilustra la figura P2.24. Encuentre la magnitud y direccin de la fuerza que se aplica al punto A debido a la presin del agua que acta en la compuerta.


PROBLEMAS

91

Agua

Pa Pa

h

A

FIGURA P2.24

2.25 La figura P2.25 muestra un acto de balance muy delicado. En un lado de la cua sin peso hay un fluido con densidad PI' y del otro uno con densidad P2' Si la cua est balanceada justamente, encuentre la fraccin pzI PI en trminos de H1, H2 Y8.

p,

FIGURA P2.25

2.26 Una ventana rectangular con w de ancho se coloca en la pared inclinada de una alberca, como muestra la figura P2.26. Encuentre el punto de accin de la fuerza resultante que se aplica en la ventana.

p" d Agua, densidad p

-J.1)

Id

----1Pa

?------..,

FIGURA P2.26

2.27 Un canal triangular contiene dos fluidos, con densidades PI y P2' Yprofundidades h l Yh 2' respectivamente, como ilustra la figura P2.27. Encuentre la fuerza hidrostrtica resultante que acta en el divisor y dnde se aplica


92

CAPTULO 2

ESTTICA DE FLU IDOS

Divisin_____..

FIGURA P2.27

2.28 Una compuerta bidimensional rgida sin peso y w de ancho separa dos lquidos con densidades PI y P2 respectivamente, como muestra la figura P2.28. La compuerta pivota en una ar' ticulacin sin fricc in y est en equilibrio esttico . Encuentre la proporcin P2 / PI cuando h =b.Po Po

PI

p,

Articulacin sin friccin

FIGURA P2.28

2.29 Una compuerta rectangular de 1 m por 2 m, se instala en una pared con inclinacin de 45 , como describe la figura P2.29, y se mantiene cerrada con una fuerzaF. Si la puerta tiene una masa de 100 kg, encuentre F.

5m

~

_ _ _../ ___ t_

\5

F

FIGURA P2.29

2.30 Una pelota de playa con peso Mg y dimetro D se arroja a una alberca. Si!a pelota apenas flo ta, cul es su dimetro? 2.31 Detennine la fraccin de volumen visible para un cubo de hielo sobre: a) la superficie de un vaso con agua fresca y b) la superficie de un vaso con etanol. Estos resultados cambiaran si estuviramos en la superficie de la Luna? 2.32 A 1 m3 de aluminio de gravedad especfica 2.7 se amarra un pedazo de corcho con gravedad especfica de 0.24, como se ilustra en la figura P2.32. Qu volumen de corcho se requiere para evitar que el bloque de aluminio se hunda en el agua, si ambas masas estn completamente sumergidas por completo?


PROB LEMAS----_~_~ S uperficie

93

del agua

FIGURA P2.32

2.33 Un bloque cbico de concreto de 1 pie por lado descansa en el fondo de un lago. Calcule la fuerza necesaria para mantener el bloque a-una profundidad fija. La densidad del concreto es 2400 kg/m 3 . 2.34 Un prisma simtrico bidimensional flota en agua como muestra la figura P2.34; su base es paralela a la superficie. Si la gravedad especfica del material del prisma es de 0.25, encuentre la fraccin al d.p"

Agua

FIGURA P2.34

2.35 Una lancha rectangular de longitud L flota en el agua (densidad P,J y cuando est vaca se sumerge a una profundidadD, como en la figura P2 .35. Dentro de la lancha se vaca poco a poco aceite con densidad Po' hasta que casi se hunde. Encuentre una relacin de la profundidad del aceite en esta situaCIn en trminos de H , D, P w y Po'

l..':::::::::====;~~Agua " " Lancha vaca

D

FIGURA P2.35

2.36 En el ejemplo de la figura 2.23 , que pasar si los cilindros de acero se reemplazan por bloques de madera? 2.37 Un flotador de corcho con dimensiones A x A x A y densidad relativa de 0.24 se lanza a una alberca con una superficie de agua con rea de 2A x 2A y una profundidad inicial de 2A . Derive una expresin para la presin en el fondo de la alberca.


942.38

CAPiTULO 2

ESTTICA DE FLUIDOS

Un cilindro circular de longitud de 3 pie y dimetro de 6 pulg flota de manera vertical en agua, de forma que slo 6 pulg de su longitud sobresalen del nivel del agua. Si se voltea para flotar horizontalmente, qu tan lejos quedar su eje longitudinal debajo del nivel del agua? Un globo rgido lleno de helio tiene una masa total M y volumen V y flota en equilibrio esttico a una altura dada en la atmsfera. Segn el principio de Arqurnedes describa qu pasa cuando por la borda se arroja un lastre de masa m. Cmo cambia esta pregunta si el globo no es rgido, sino que puede estirar? El cilindro circular de la figura P2.40 tiene una densidad relativa de 0.9. a) Si el sistema est en equilibrio esttico, encuentre la densidad relativa del fluido desconocido. b) Considera que el sistema es estable?

2.39

2.40

1m

Agua Fluido desconocido

2m

i

LFIGURA P2.40

2.41

Un cuerpo rectangular de densidad relativa de 0.8 tiene a de ancho y largo y altura b, como ilustra la figura P2.41, donde a > b. Encuentre la posicin del cuerpo respecto de la interfase entre los fluidos.

p

I-a-J

agua

T b ~-,,-~=-;.tJ...

FIGURA P2.41

2.42

Para abrir una vlvula de drenaje, se usa un sistema de flotador y palanca, como describe la figura P2.42. El flotador tiene un volumen V y una densidad P I: La densidad del agua es Pw Encuentre la fuerza mxima disponible para abrir la vlvula de drenaje, si se desprecia la friccin de la articulacin. Sugerencia: primero considere las fuerzas sobre el flotador y despus el diagrama de cuerpo libre de la compuerta.

Articulacin

FIGURA P2.42


PROBLEMAS

95

2.43 Un flotador de corcho rectangular se aade rgidamente a una compuerta vertical como en la figura P2.43. La compuerta se puede balancear mediante una articulacin sin friccin. Encuentre una expresin para la profundidad del aguaD, donde la compuerta justo se abre, en trminos de a, b, L Yh. El flotador de corcho tiene la misma anchura, w, que la compuerta y la densidad relativa del corcho es de 0.24.

FIGURA P2.43

2.44 La compuerta bidimensional de la figura P2.44 est instalada de forma que se abra cuando el nivel del agua llegue a una profundidad H. Si la compuerta es de un material uniforme con un peso por unidad de rea de mg, encuentre una expresin para H.Pa

1r1=======~~-Articulacin L-Isin friccin

H

Pa

FIGURA P2.44

2.45 Una compuerta rectangular de anchura w y altura h se coloca en la pared lateral vertical de un tanque con agua. La parte alta de la compuerta est al mismo nivel de la superficie del agua; en la compuerta se anexa un recipiente rectangular de achura w y saliente b, como muestra la figura P2.45. Encuentre d, la profundidad del agua que se requiere en el recipiente para que la compuerta est a punto de abrirse, en trminos de h y b. Las caras superiores y laterales del tanque y del recipiente estn abiertas a la presin atmosfrica. Ignore el peso del recipiente.

Superficie del agua

Superficie del agua

FIGURA P2.45


96

CAPTULO 2

ESTTI CA DE FLU IDOS

2.46 Una compuerta rgida de anchura w est articulada sin friccin en un punto H sobre la superficie del agua, como en la figura P2.46. Encuentre la proporcin b / H en la que la compuerta se abre. Desprecie el peso de la compuerta.

~

Articulacin

H

H

FIGURA P2.46

2.4 7 Si la compuerta sin peso que ilustra la figura P2.4 7 est justo en el punto de abertura, encuentre una expresin para B en trminos' de h.

~rticul acin

Po

~

sin friccin [

--------~----~-Agua h

Po

z

FIGURA P2.47

1-13 pie

1 pie

2.48 Considere que hay cierto volumen de agua dentro del recipiente cuadrado de la figura P2.48. Las orillas selladas de la placa inclinada estn en contacto con las paredes del recipiente y la fuerza reactiva normal y paralela a la pared es cero. a) Encuentre la magnitud y direccin de la fuerza individual, F, necesaria para sostener la placa en posicin. Puede despreciar el peso de la placa. b) Dnde acta la fuerza F? e) Si la placa inclinada se reemplaza por una horizontal, encuentre la posicin relativa de la nueva placa si la fuerza que se usa para mantener su posicin tiene la misma magnitud de antes. El volumen del fluido se mantiene igual que el anterior."

Abierto a la / ,atmsfera

2 pie

T

~

~

Abiertoalay atmsfera 1 - 5 p i e - !

FIGURA P2.48

",


PROBLEMAS

97

2.49 La figura P2.49 describe un envase de anchura constante, w, que contiene agua con densidad p. Por encima de la superficie del agua se introduce aire a una presin P l' En el punto O, que se localiza a la misma altura de la superficie del agua, hay un respiradero rectangular de seguridad con tapa de anchura w y longitud t, articulada sin friccin. A qu presin se abrir la tapa? Exprese la respuesta en trminos de w, d, t, Mg, y p.

e

PI

'------...,

ArticU~Od

e

f>

FIGURA P2.49

2.50 Un recipiente de anchura constante, w, se llena con agua; y su superficie est abierta a la presin atmosfrica. De un lado hay una vlvula de alivio, como ilustra la figura P2.50. La vlvula de alivio tiene el mismo ancho que el recipiente y una longitud D. Est articulada sin friccin en el punto A. En el punto B se conecta a la compuerta una masa M para mantenerla cerrada. Encuentre M, en trminos de H, D, y p, donde p es la densidad del agua.

e

H

t~ A~D

-

B/

~M

FIGURA P2.50

2.51 La escotilla submarina de escape rectangular que muestra la figura P2 .51 (de anchura w y longitud L) se abrir cuando la presin constante dentro de la cmara, Pi' exceda un valor crtico, P ic' La escotilla tiene una masa despreciable y est articulada sin friccin en el punto A a una profundidad D debajo de la superficie. Encuentre P ic' en trminos de w, L, D, p, g y e.

Agua densidad p

Pi

Escotilla de escape

Cmara submarina

FIGURA P2.51


98

CAPTULO 2

ESTTICA DE FLUIDOS

2.52 La compuerta AB de la Figura P2.52 es rectangular con longitud L y anchura w en direccin perpendicular a la pgina. La compuerta tiene una articulacin sin friccin en el punto A y se sostiene contra un tope en el punto B con un peso Mg. Despreciando el peso de la puerta, desarrolle una expresin para la altura del agua, h, en la que la compuerta empezar a alej arse del tope.

Po

Pa

h

P = densidad del agua

FIGURA P2.52

2.53 La compuerta de la figura P2.53 tiene una anchura constante, w, en direccin perpendicular a la pgina. La compuerta tiene una articulacin sin friccin en el punto A y se sostiene contra un tope en el punto B. Ignorando el peso de la compuerta, encuentre la magnitud de la fuerza resultante que el agua aplica en la compuerta y la dimensin b para la cual no hay fuerza sobre la compuerta en el punto B.Presin atmosfrica

TAhPresin atmosfricah

-t-.....--..------t- L'====:;-:::::7,

-t-h

h

Agua

t

B

FIGURA P2.53

2.54 Un tanque con agua de densidad p tiene una compuerta simtrica triangular de altura H y anchura mxima de 2a, como muestra la figura P2.54. Calcule la fuerza, F, que el agua ejerce en la compuerta y dnde acta, en trminos de p, g, h, H ya. La presin del aire fuera del tanque es uniforme en todas partes.

y

FIGURA P2.54


PROBLEMAS

99

2.55 Una compuerta rgida bidimensional sin peso de anchura w separa dos lquidos de densidad PI y P2respectivamente. La compuerta tiene una cara parablica, como describe la figura P2.55, y est en equilibrio esttico. Encuentre la razn P2/ PI cuando h = t .y

Densidad del fluido PI Cara parablica Pivote Densidad del fluido P2

FIGURA P2.55

2.56 Una compuerta rgida triangular sumergida est articulada como ilustra la figura P2.56. a) Encuentre la magnitud y direccin de la fuerza total que el agua aplica sobre la compuerta. b) A un brazo de palanca rgido de longitudL, se aplica un peso Mg, para mantenerla cerrada. Cul es el valor de la profundidad del agua D cuando esta compuerta est a punto de abrirse? Puede despreciar el peso de la compuerta misma y el peso del brazo de palanca.Superficie del agua\

L--JSuperficie del agua / Articulacin

Superficie del agua~

1-2b-1 I-b I I!

tFIGURA P2.56

1---.(1)

TaVista posterior

TD

Vista lateral


HIO

CAPTULO 2

ESTTI CA DE FLUIDOS

2.57 Una compuerta circular de radio R se monta a la mitad de una cara vertical del dique de la figura P2.57. El dique est lleno de agua hasta una profundidad h y la puerta pivota sin friccin respecto al dimetro horizontal. a) Detennine la magnitud de la fuerza debida a la presin que acta sobre la compuerta. b) Detennine la magnitud y signo de la fuerza, F, necesaria para evitar que la compuerta se abra.Pa

Pa

I h

-+--Fh 2

..... Articulacin

Vista lateral

FIGURA P2.57

2.58 Un elevador se acelera en fonna vertical hacia abajo con una aceleracin de peso de una persona de 120 lb!, medido durante la aceleracin?

ig. Cul es el

2.59 Un cohete que acelera de manera vertical hacia arriba con una aceleracin a transporta combustible con densidad p en tanques de altura H. La parte superior del tanque est abierto a la atmsfera. Cul es la presin en el fondo del tanque? 2.60 Un automvil acelera de fonna constante desde Omph a 60 mph en lOs. Un manmetro en U con ramas verticales separadas 2 pie, est parcialmente lleno con agua y se usa como un acelermetro. a) Cul es la diferencia de altura en el nivel de agua en las dos ramas? b) A partir del reposo, qu tan rpido podra ir el auto si al final de los lOs la diferencia de niveles fuera de l pulg ms grande? 2.61 El carro de la figura 2.28 ahora se mueve hacia arriba con una inclinacin de 5 y aceleracin constante a . Encuentre el valor de a i' que har que el agua se derrame del recipiente. 2.62 Un cilindro de 10 cm de dimetro contiene inicialmente 10 cm de agua. Luego se gira alrededor de su eje a lma velocidad angular de J. Encuentre el valor de J, para el que el fondo del recipiente est apenas expuesto.


3 INTRODUCCIN A.L MOVIMIENTO DE LOS FLUIDOS ICAPTULO

3.1 INTRODUCCiNEl objetivo principal de los siguientes dos captulos es exponer los principios bsicos del movimiento de los fluidos: ecuaciones de conservacin de masa, cantidad de movimiento y energa. Estos principios se ilustran con ejemplos de flujos unidimensionales en rgimen permanente. En este captulo, se consideran las ecuaciones de conservacin de la masa y de la cantidad de movimiento, pero antes se presentan algunas herramientas para describir el movimiento de los fluidos, incluyendo los conceptos de trayectoria, lneas de corriente, partculas de fluido, elementos de fluido y volmenes de control.

3.2 PARTCULAS DE FLUIDO Y VOlMENES DE CONTROLEn el captulo 2 se analizaron los fluidos en movimiento de cuerpo rgido, pero un fluido rara vez se mueve como cuerpo rgido yen general existen movimientos relativos entre las diferentes partes del fluido. Cmo se describirn los desplazamientos, la velocidad y aceleracin de estas partes? Una posibilidad es hacer una aproximacin de partculafluida o una aproximacin del volumen de control. En la aproximacin de partcula fluida, se identifican y siguen partculas pequeas de masas fijas, como ilustra la figura 3-la; sta tambin se llama aproximacin lagrangiana. En la aproximacin de volumen de control se dibuja una caja imaginaria alrededor del campo de flujo, sta tambin se denomina aproximacin euleriana. La caja puede ser grande o pequea y estar esttica o en movimiento. Es comn que haya fluido que entre y salga a travs de la superficie del volumen de control y el flujo dentro del volumen de control cambie con el tiempo (figura 3-lb).

3.2.1 Sistema lagrangiano En el sistema lagrangiano se usan partculas de fluido, que son elementos de fluido pequeos de masa fija y, se llaman partculas por analoga con la dinmica de los slidos. Se sigue una partcula de fluido individual conforme se mueve a travs del flujo, la cual se identifica por su posicin en algn instante y el tiempo que transcurre hasta ese instante. Si tenemos una velocidad descrita por101


102

cAPiTULO 3

INTRODU CCiN Al MOVIM IENTO DE l OS FLUIDOS I

... ~ --~~a)b)

FIGURA 3-1 fijo (Ve).

a) Seguimiento de una partcula de flu ido en el tiempo, b) uso de un volumen de control

v = ui +vj+wkdonde i, j , k son los vectores unitarios en un sistema cartesiano de coordenadas [x, y, zl entonces, en trminos lagrangianos, la velocidad de una partcula de fluido situada en el punto [x o' Yo ' zo] en el instante t = t o' est dada por V = a(x - x 0)1at y su aceleracin por av l at. Este es el sistema que se usa en la dinmica de cuerpos rgidos, dado que las partculas tienden a ser pocas y se pueden identificar con facilidad. Sin embargo, para describir el flujo de un fluido donde hay movimiento relativo, es necesario seguir muchas partculas, y para resolver los detalles ms pequeos del flujo se requiere seguir un nmero enorme de partculas. El movimiento de cada partcula se describe por separado con una ecuacin diferencial ordinaria (EDO), como la segunda ley de Newton, y cada ecuacin se acopla a todas las dems (es decir, la solucin de una ecuacin depende de la solucin de todas las otras). La solucin de estas EDO acopladas es en general muy dificil de encontrar, de modo que la aproximacin lagrangiana no se emplea con frecuencia en mecnica de fluidos, aunque es ~uy til en algunos tipos de problemas particulares.

3.2.2 Sistema eulerianoEn el sistema euleriano el propsito es encontrar una descripcin que d los detalles del campo de flujo completo en cualquier tiempo y posicin. En lugar de describir el movimiento del fluido en trminos del movimiento de las partculas individuales, lo que se busca es una descripcin de "campo". En otras palabras, para la partcula que est en la posicin [x, y, z] en un tiempo t, se busca una descripcin que proporcione su velocidad, aceleracin, cantidad de movimiento y energa en cualquier otra posicin y tiempo. Por ejemplo, si se diera el campo de velocidad por V = 2x 2 i - 3tj + 4xyk, en cualquier instante conoceramos la velocidad en cualquier punto dentro del flujo. A primera vista, esta aproximacin parece ser muy directa. Sin embargo en un punto dado del flujo, ya no se estn siguiendo de manera explcita las partculas de fluido con masa fija, pues todo el tiempo estn llegando nuevas partculas. Esto hace dificil aplicar la segunda ley de Newton, la cual slo se utiliza con partculas de masa fija. Por lo tanto, necesitamos una relacin que d la aceleracin de una partcula de fluido en trminos del sistema euleriano y con ello, como podremos ver, se complica el anlisis.

3.2.3 Elementos de fluidoAl desarrollar la ecuacin de movimiento, con frecuencia seleccionamos volmenes de control pequeos, fijos, e infinitesimales, similares al elemento de volumen que se us http://gratislibrospdf.com/

3.2

PARTCULAS

DE FLUIDO Y VOlMENES

DE CONTROL

103

\::".5 Co rriente libre

/ Capa lmite

flujo volumtrico = ~ .J2i[(H + b)3/2 - H 3/ 2 ] ==> flujo msico = ~ p.J2i[(H + b)3/2 - H 3/ 2 ]El flujo de cantidad de movimiento est dado por flujo de cantidad de movimiento = (D e . P V)(i . V) dA e= f (i. pVi)V dA e = fpV 2 dA e = f:2pg(H + x)bdx = 2pg(Hb + ~b2)

f

5.2 ECUACiN DE CONTINUIDADConsidere la conservacin de la masa para el volumen de control fijo VC que ilustra la figura 5-4. En cualquier instante, una masa de fluido ocupa el espacio que define VC. Por definicin, la masa total de este fluido (el "sistema" en el lenguaje termodinmico; seccin 4.7) permanece constante. Para aplicar la conservacin de la masa al volumen de control fijo se debe considerar el flujo msico instantneo a travs de su superficie y la rapidez de cambio de la masa en el interior. En la seccin 3.5, se estableci que cuando el flujo es permanente, los flujos msicos de entrada y salida al volumen de control deben ser iguales, de forma que la masa dentro del volumen de control permanezca constante. Sin embargo, cuando el flujo es transitorio, los flujos msicos de entrada y salida son diferentes y la masa total contenida dentro del volumen de control vara con el tiempo. Esto es


172

CAPTULO 5

ECUACIONES DE MOVIMIENTO EN FORMA INTEGRAL

ve

n

Volumen =cN Masa = pcN

rea = dA Flujo volumtrico = n V dA

FIGURA 5-4

Volumen de control fijo para desarrollar la forma integral de la ecuacin de continuidad .

1. Un elemento de fluido con volumen d'd tiene una masa p d'd. Por lo tanto, la masa de fluido dentro del volumen de control en cualquier instante es p d'd. Entonces

f

Rapidez de cambio de la masa en ve =

~

at

fP d'd

(5.1)

La rapidez de cambio de la masa ser negativa si la masa que entra al volumen de control disminuye con el tiempo (es decir, cuando el flujo de salida excede al de entrada). Para destacar lo anterior, se usa la derivada parcial con respecto al tiempo pues, dado que el volumen es fijo en forma y ubicacin, la integral slo es una funcin del tiempo. 2. Para un elemento pequeo de rea superficial dA, el flujo msico que sale a travs de dA por unidad de tiempo = p V . n dA. Por lo tanto flujo msico total que sale de ve =

f n pV dA

(5 .2)

El integrando ser positivo cuando la direccin del flujo est en la misma direccin que el vector normal unitario n que apunta hacia fuera (flujo de salida) y negativo si la direccin del flujo es opuesta a la de n (flujo de entrada). De las ecuaciones 5.1 y 5.2 la conservacin de la masa requiere que

I f,fp dV+ f npV dA=O I

(5.3)

Esta es la forma integral de la ecuacin de continuidad para un volumen de control fijo, en un flujo tridimensional transitorio. En palabras rapidez de incremento de masa} + { flujo msico neto en } = {O} { dentro del volumen de control el volumen de control Cuando la masa dentro del volumen de control es constante

I f n pV dA =0 I

masa constante

(5.4)

Cuando el flujo est en rgimen permanente, sus propiedades no dependen del tiempo y, dado que el volumen de control es fijo


5.2 ECUACiN DE CONTINUIDAD

173

I f n pV dA =0 I

flujo permanente

(5.5)

Las ecuaciones 5.4 Y 5.5 son idnticas, aunque una se aplica cuando la masa dentro del volumen de control es constante y la otra si el flujo es permanente. Estas condiciones tienen distintas implicaciones, dependiendo del flujo. Cuando ste es permanente, por ejemplo, los flujos msicos de entrada y salida, y la masa dentro del volumen de control no cambian con el tiempo. Sin embargo, si la nica restriccin es que la masa dentro del volumen de control es constante con el tiempo, es posible que los flujos msicos de entrada y salida sean transitorios, mientras sean iguales. Por ltimo, para flujo permanente o transitorio con densidad constante

I

fn.VdA=O

flujo de densidad constante

(5.6)

EJEMPLO 5.3 Flujo permanente, unidimensional

La figura 5-5 ilustra un flujo en un conducto divergente. Aplique la ecuacin de continuidad para flujo permanente a travs del volumen de control.Solucin Para el volumen de control que se muestra, hay flujo de entrada en el rea Al y flujo de salida en A 2 . Si el flujo es permanente, entonces

f n . p V dA = f Al n i PI V dA + f A, n 2 . P 2 V2 dA 2 = On i . PI V I = -

Si las velocidades VI y V2 son normales a las reas de entrada y salida, entonces pV' Y n 2 . P2 V 2 = P2 V2 Porlo tanto

-f pVI dA + f P2 V2 dA 2 = O Al A2Si las densidades y velocidades son uniformes en sus respectivas reas, tenemos

-pVIA I +P2V2A2 =0y recobramos el resultado para un flujo unidimensional permanente que primero se obtuvo en la seccin 3.5. EJEMPLO 5.4 Flujo en rgimen permanente bidimensional

En muchos casos la velocidad no es uniforme en las reas de entrada y salida, y no se puede suponer el flujo unidimensional. Sin embargo, las lneas de corriente del flujo que en-

i -- - -V-c- - -- - -- - - - - - - - - - -, ./ BridaBrida

~rI

,~I~': 1:t I

.

t

p,p,:

~VJ

I

---':~1 2 :P2 ~2 y . ,I

Al

- VhI

i

i

I

,---L- ---i,----------;

FIGURA 5-5

Flujo a travs de un conducto divergente.


174

CAPTULO 5


r--------------------------I

: ve,

-

v,

Y

vIII1

=1 -

(y)'-

:

,Y

b

r;~:=--~2b

O,

L:,==---------L-~ p, p,:A,

vm ,

i---~vm2

x , ---------------------------

FIGURA 5-6

Conducto bidimensional que muestra el vol umen de co ntrol.

tran y salen del volumen de control con frecuencia son paralelas y de esta forma es posible suponer que la presin es uniforme en las reas de entrada y salida. (Recuerde: cuando la gravedad no es importante o si las diferencias de presin hidrosttica son despreciables, la presin es constante en direccin normal a las lneas de corriente; seccin 4.2.2.) Considere el flujo permanente en el conducto de la figura 5-6. El conducto tiene una anchura constante, W, y las velocidades de entrada y salida varan en la direccin x y en la direccin y. El flujo es bidimensional, ya que la distribucin de velocidades depende de dos variables espaciales (x y y). Para este problema, la distribucin de velocidad en la entrada es parablica (este es un resultado exacto para el flujo laminar en conductos largos; seccin 9.5.1), y conforme el rea se expande, el perfil se hace lineal en la salida. El flujo es permanente. La presin fuera del conducto es atmosfrica en todas partes y en las reas de entrada y salida las presiones manomtricas son PI y P2' Y las respectivas densidades PI YP 2' Las presiones y las densidades son uniformes en Al y A2 . Encuentre la razn de velocidades Vm2 /VIIII Solucin Considere la conservacin de la masa para flujo permanente.

fn.pVdA = OLa integral es en la superficie completa del volumen de control. Las reas Al y A 2 son los nicos lugares donde hay entrada y salida de masa del volumen de control, y as

f n . P V dA = 0 = f ni' P I VI dA I + f n 2 . P 2 V 2 dA 2De la figura 5-5 tenemos VI = VI i, V 2 = V2 i, ni = - i y n 2 = i. Por lo tanto

f n pV dA = 0 = - i PIVI i dA I + f i P2 V2i dA 2 = f (- PIV)dA + f (+p2 V2)dA 2as que (5.7) Se usan dos sistemas coordenados por separado. Para el rea de entrada el origen del eje y se localiza en el centro del rea Al' que tiene una altura de 2b, y para el rea de salida el origen del eje Yest en el centro del rea A 2, la cual tiene una altura de 2B . Para dA tomamos una banda delgada de altura dyy anchura W, de manera que el flujo msico que entra en el rea Al est dado por http://gratislibrospdf.com/

f

5.2 ECUAC iN DE CONTI NUIDAD

175

ya que la distribucin de velocidad es simtrica. De manera similar, el flujo msico que sale de rea A 2 est dado por

f P2 V2 dA 2 =2f;B (P2 V2)W dYdonde hemos usado simetra para evitar que se escriban integrales separadas para los lmites de -B a O y de O a +B, lo cual sera necesario porque las dos mitades de la distribucin triangular se describen por ecuaciones diferentes. y y1- - Y 1+ -

B

B

para las respectivas mitades de arriba y abajo de A 2 . Al sustituir estos resultados en la ecuacin 5.7 y considerar que las densidades son uniformes en las reas de entrada y salida

P, J:V+ ~( i }y= p,f:Vm{l ~ ~ )dYp,V+ ~ :;, = p,Vm{Y ~ ~2b B P1Vml 3 = P2 Vm2 2

JV,'12Vml

I

I

Por ltimo= 4b

~ 3B P2

EJEMPLO 5.5 Opresin sobre una pelcula de fluido.

En este problema de flujo transitorio un fluido de densidad P que se encuentra entre dos placas experimenta una deformacin simple conforme las placas se aproximan (figura 5-7).1 La placa de arriba se mueve hacia la de abajo a una velocidad Vp (t), y conforme se mueve, se oprime y desplaza el aceite hacia afuera de las placas. Las placas son largas y paralelas de anchura W. Encuentre la velocidad, u, en funcin de la distancia, x, en cualquier instante; el flujo es unidimensional.Solucin Se usarn dos volmenes de control fij os diferentes . Primero, un volumen de control de longitud dx, localizado a una distancia x desde el plano central (Ve! en la figura 5-7). Para aplicar la ecuacin de continuidad, primero se considera el trmino transitorio, es decir

~ fpN

al

I

Este problema y el siguiente son ejemplos adaptados de ElIgineerillg Fluid Mechanics, por Alan Mironer, publicado por McGraw-Hill, 1979.


176

CAPTULO 5

ECUACI ONES DE MOVIMIENTO EN FORMA INTEGRAL

-

b(l)

t

y

1 - x -l dx 1 -

-

FIGURA 5-7

Volm enes de control alternativos para un flujo transitorio.

donde \:j es el volumen de ve l. La integral representa la masa dentro del volumen de control, que es igual a pbW dx. Entonces

ab i.fpdV = i.(PbWdx) = pW dx at at atAhora, ab/ at = db / dt = - Vp ' ya que b slo es una funcin del tiempo y el signo negativo describe el hecho de que la separacin disminuye con el tiempo. As

i.fpdV =- pWV dx at pEnseguida se considera el trmino de flujo msico

(5 .8)

fn . pVdAAqu, V = ui + vj + wk Y A es el rea superficial de ve l. En el lado izquierdo del volumen de control, n = - i Y V = ui. En el lado derecho, n = i Y V = (u + du )i, donde du puede encontrarse con una expansin en series de Taylor (= (au /ax)d.x). Entonces

au ) au f n pV dA =- pbWu + pbW ( u +- dx = pbW - dx ax ax

(5.9)

Al aadir en la ecuacin de continuidad (ecuaciones 5.8 y 5.9) el trmino transitorio y el trmino de flujo msico, se obtieneV +b -= Op

au ax

La solucin ms general para esta ecuacin diferencial parcial es Vp u = -x+ f(t) b La funcin desconocida f (t) se puede encontrar mediante las condiciones de frontera en el plano central, donde x = OY u = O. Entonces, f (t) = O, Y

u = ~vb

p

(5.10)

Segundo, usamos un volumen de control de longitud x, con el lado izquierdo en el plano central, donde x = O(V'e2 en la figura 5-7). Para este volumen de control, tenemos


5.2 ECUACiN DE CONTINUIDAD

177

~fp'/ =pw ab x = at at

pVP

w x

No hay flujo de masa en el lado izquierdo de este volumen de control, y slo hay una salida de flujo por el lado derecho, dada por pubW. La ecuacin de continuidad da-P~

Wx + pubW = 0

Esto es

u = ~Vb

P

como antes (ecuacin 5.10), pero de forma mucho ms directa. Si el volumen de control se selecciona con prudencia, el problema siempre se simplifica. EJEMPLO 5.6 Pistn que se mueve en un cilindro

Un pistn sin fugas se mueve con velocidad V en una jeringa que contiene un lquido de densidad p (figura 5-8). La jeringa tiene un rea de seccin transversal Ac y la aguja un rea de salida de seccin transversal As' Encuentre U, la velocidad en la salida desde la aguja, en cualquier instante; el flujo es unidimensional.Solucin De nuevo se usarn dos volmenes de control diferentes. Primero un volumen de control que contenga al pistn, cilindro y aguja (Vel en la figura 5-8). Se inicia con el trmino transitorio en la ecuacin de continuidad. La masa en el volumen de control es igual a (pAcx + ms )' donde ms' es la masa en la aguja. As

a a ax am .- p'/ =- (pA x+m )=pA -+ - s at at e s e at at La aguja siempre contiene la misma cantidad de masa (aun cuando hay flujo a travs de ella), de maneraqueams lat =0. Tambinaxlat = dxldt = - V, ya que x slo es una funcin de tiempo y el signo negativo describe el hecho de que la longitud del volumen del fluido en la jeringa disminuye con el tiempo. As

f

~ f P '/ = atEl trmino del flujo msico es

pA Ve

fn . pV dA=pUA s

FIGURA 5-8

Volmenes de control alternativos para el flujo transitorio en una jeringa.


178

cAPiTULO 5


ya que el nico lugar donde la masa entra o sale del volumen de control es en el rea de salida de la aguja. Al sumar el trmino transitorio al trmino de flujo msico en la ecuacin de continuidad, se obtiene

U =_ c V As

A

(5 .11)

Segundo, seleccionamos un volumen de control que no contenga al pistn ni al cilindro, slo a la aguja (VC2 en la figura 5-8). As, como la aguja siempre est llena de fluido y la masa de fluido en el volumen de control no cambia con el tiempo, el flujo es permanente para esta seleccin de volumen de control, de modo que

i.fp di! =0

al

De esta forma observamos que en el lado izquierdo del volumen de control hay una entrada de flujo msico y en el lado derecho una salida de flujo, as que

fn.pVdA= f-i'PVidA c + fi'PUidA s =-pVA c +pUA s =0Entonces

U=Ac V Ascomo antes (ecuacin 5.11).

5.3 ECUACiN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTOPara encontrar la forma integral de la ecuacin de cantidad de movimiento tridimensional dependiente del tiempo, se usa el volumen de control fijo, similar al que se emple en el desarrollo de la ecuacin de continuidad (figura 5-9). La cantidad de movimiento de la maS2 de fluido que ocupa al volumen de control en cualquier instante (el "sistema") cambiar bajo la accin de una fuerza resultante de acuerdo con la segunda ley de Newton. Para expresar la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento de esta masa en trminos de un volumen de control fijo , se debe considerar el flujo instantneo de cantidad de movimiento a travs de su superficie y la rapidez con que cambia la cantidad de movimiento del fluido que est dentro.

VC

n

Volumen = eN Masa = peN Peso = pgeN

rea = dA Fuerza = - n pdA

FIGURA 5-9 integral.

Volumen de control para desarrollar la ecuacin de la ca ntidad de movimiento en forma


5.3 ECUAC iN DE LA CANTIDAD DE MOVIM IENTO

179

En el captulo 3 se estableci que la cantidad de movimiento del fluido dentro de un volumen de control fijo puede cambiar debido a un flujo de cantidad de movimiento distinto de cero a travs de la superficie de control. Si el flujo de cantidad de movimiento en la entrada es ms pequeo que el flujo de cantidad de movimiento que sale, hay un flujo de cantidad de movimiento neto positivo a la salida que tender a disminuir la cantidad de movimiento del fluido en el volumen de control. La cantidad de movimiento del fluido dentro del volumen de control en cualquier instante tambin cambiar si su densidad y velocidad cambian con el tiempo. Estos mecanismos son similares a los que rigen la conservacin de la masa, donde un flujo neto saliente de masa lleva a una variacin transitoria de la cantidad de masa dentro del volumen de control. En otras palabras, la suma de la rapidez de cambio de masa en el volumen de control y la salida neta de flujo de masa del volumen de control debe ser cero, ya que la masa se debe conservar. Sin embargo, para la cantidad de movimiento, la suma de la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento en el volumen de control y el flujo neto de la cantidad de movimiento no es necesariamente cero: la cantidad de movimiento no se conserva si hay una fuerza resultante que acta en el fluido. Esto es Rapidez de cambio de la cantidad de movimiento j dentro del volumen de control } jflUjO neto de la Cantidad} jFUerZa resultante que se} de movimiento en el = aplica al fluido en el volumen de control volumen de control

+

La fuerza resultante es igual a la suma de un trmino transitorio y un trmino de flujo. Ahora se considerar cada trmino en este balance de cantidad de movimiento, empezando con el trmino transitorio (el primero de la izquierda).

5.3.1 Trmino transitorioPara la rapidez de cambio de cantidad de movimiento dentro del volumen de control considere un elemento de volumen, N. La masa de este volumen es pN y su cantidad de movimiento, p V N. La cantidad de movimiento total en el volumen de control se encuentra por integracin y su rapidez de cambio con el tiempo se halla por diferenciacin con respecto al tiempo. Es decir { Rapidez de cambio de la cantidad de mOVimiento} = ~ fpV N dentro del volumen de control at

(5.12)

La cantidad es positiva si la cantidad de movimiento dentro del volumen de control aumenta con respecto al tiempo. La derivada parcial con respecto al tiempo se usa para destacar que, puesto que el volumen es fijo en forma y ubicacin, la integral (pero no el integrando) depende slo del tiempo.

5.3.2 Trmino de flujoPara un elemento de rea superficial dA, se tiene un flujo volumtrico n . V dA (seccin 5. 1). El flujo msico se da, entonces, por n . p V dA y el flujo de la cantidad de movimiento por (n . p V )V dA. El flujo es positivo si la velocidad tiene la direccin de n, o sea, cuando es un flujo de salida. As


180

CAPiTULO 5

ECUACION ES DE MOVIMIENTO EN FORMA INTEGRAL

Flujo neto de la cantidad de } { movimiento del volumen de control =

f (n 'pV)V dA

(5 .13)

5.3.3 Fuerza resultanteExisten fuerzas de superficie, de cuerpo y debidas a superficies externas. stas actan en la masa del fluido que coincide con el volumen de control en un instante particular.

1. Las fuerzas de superficie incluyen a las fuerzas viscosas que actan en la superficie del volumen de control y las fuerzas que se producen por las diferencias de presin aplicadas en forma normal a la superficie. Por ahora, la fuerza debida a la friccin viscosa simplemente la representaremos por F v' Respecto a la fuerza que se origina por la diferencia de presiones, considere un elemento de rea superficial dA. La fuerza que se origina por la presin acta con una magnitud p dA. La direccin de la fuerza es normal a la superficie y, por convencin, las fuerzas de presin son positivas si son compresivas, de manera que la fuerza vectorial debida a la presin aplicada en dA es - np dA. Es decirfuerza resultante debida a las diferencias de presin } { aplicadas al fluido dentro del volumen de control=

f -n p dA

(5.14)

2. Las fuerzas de cuerpo incluyen las fuerzas gravitatoria, magntica y elctrica que actan en todo el fluido dentro del volumen de control. La nica fuerza de cuerpo que aqu se considera es la debida a la gravedad. Un elemento de volumen N tiene una masa p N y la fuerza vectorial que produce la gravedad aplicada a esta masa es pg N. Esto es Fuerza resultante debida a la gravedad que acta en el fluido { dentro del volumen de control

tf=

pg N = g p N = mg

f

(5.15)

donde m es la masa total de fluido en el volumen de control. 3. Las fuerzas debidas a superficies externas, F ext' son las fuerzas que aplican al fluido las paredes de un conducto, las superficies de un deflector o las fuerzas que se aplican en el corte que produce el volumen de control en un slido. Un ejemplo de lo ltimo se tiene cuando un volumen de control corta las paredes slidas de un conducto; en el balance de fuerzas sobre el fluido, se deben incluir las fuerzas que ejercen las paredes. (Recuerde: cuando un fluido ejerce una fuerza sobre una superficie slIda, sobre el fluido se aplica una fuerza igual, pero en sentido contrario.) Al combinar los trminos de las ecuaciones 5.13 a 5.15 e incluir las fuerzas viscosas, F v' Y las fuerzas debidas a superficies externas, Fext' se obtiene la forma integral de la ecuacin de la cantidad de movimiento para el volumen de control fijo . (5.16)


5.3 ECUACi N DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

181

Esta es una ecuacin vectorial, por lo que en coordenadas cartesianas tiene componentes en las direcciones x, y y z.EJEMPLO 5.7 Flujo permanente unidimensional

En la seccin 5.2, se consider la ecuacin de continuidad aplicada a un conducto divergente simple (figura 5-5). Ahora se buscar la componente x de la fuerza que el conducto aplica en el fluido. Se considera que el flujo es no viscoso, permanente y horizontal.Solucin Considere la componente x de la ecuacin de la cantidad de movimiento. Esta ecuacin se encuentra tomando el producto punto de la ecuacin 5.16 con el vector unitario en la direccin x, i. O sea

i . Fext

-

i . f op dA + i . f pg d\f = i . f (o . p V) V dA

as queFx - f i opdA + 0 = f (o pV)i V dAdonde Fx es la componente x de la fuerza que el conducto ejerce sobre el fluido y se consider positiva en la direccin x (la direccin actual se obtendr como parte de la solucin: si encontramos que Fx es negativa, esto significa que apunta en direccin x negativa). Recuerde: en el lado derecho el producto punto con el vector unitario va con la segunda V, no con la primera: la primera V est en el trmino del flujo msico y ya forma un producto punto con el vector normal unitario o, de modo que el flujo msico es un escalar. Ahora evaluamos las integrales sobre A y A 2.

a)

- f i . op dA = - f - p dA - f +P2 dA 2= f p dA - f P2 dA 2

b)

f(o . pV)i .VdA

=

f( - p V )(+V )dA + f(P2V2)(+V2)dA2

=- f pV/ dA

+ f pVl dA 2

Por lo tanto

Para un flujo unidimensional, esto se simplifica a

Fx

=

P2A2 - pA + P2V22 A 2 - p V2A

EJEMPLO 5;8 Flujo permanente bidimensional

Considere las fuerzas que actan sobre el fluido en el flujo permanente bidimensional de anchura W que ilustra la figura 5-6.Solucin Si ignoramos la gravedad y la friccin, las nicas fuerzas que actuarn en el fluido sern las debidas a las diferencias de presin y la que el conducto aplique en el fluido. Comenzamos con !a componente x de la ecuacin de la cantidad de movimiento (ecuacin 5.16).


182

CAPTULO 5

ECUACIONES DE MOVIM IENTO EN FORMA INTEGRAL

Esto es

Fx + PI Al - P2 A 2 = f (o pV) V dA= - f pVI dA I

2

2 + f pV2 dA 2

2 = 2W fo pV2 dY - 2W o pV/ dyque se puede usar para encontrar Fx despus de sustituir VI y V2 en trminos de sus respectivas variaciones con y y Y, e integrando. Qu pasa con la direccin y? Vemos que la cantidad de movimiento slo cambia en direccin x y que las fuerzas que producen las diferencias de presin slo se aplican en direccin x. As, la componente y de la fuerza que por el conducto aplica sobre el fluido debe ser cero. EJEMPLO 5.9 Arrastre y sustentacin sobre un ala Considere un ala en un tnel de viento con rea de seccin transversal constante (altura h y anchura W). El flujo es permanente y de densidad constante, y el ala desarrolla una fuerza de sustentacin y una de arrastre (figura 5-10). La fuerza de sustentacin, FL , se define como la fuerza en un cuerpo normal a la direccin del flujo y la fuerza de arrastre, FD ' como la fuerza en la direccin del flujo. El flujo es uniforme a travs del tnel de viento con una velocidad de magnitud VI' pero en una seccin aguas abajo la velocidad vara en la direccin y. La velocidad en la estela del ala es menor que V y, en consecuencia, por conservacin de la masa, la velocidad fuera de la estela debe ser mayor que VI' Tambin hay una diferencia de presin, de forma que P2 es menor que PI ' pero como las lneas de corriente en las secciones 1 y 2 son paralelas, las presiones son constantes en estas secciones (ignoremos la gravedad). Cmo podemos encontrar las fuerzas de sustentacin y arrastre?

+B

f+b

Solucin Empezamos con el balance de la cantidad de movimiento en la direccin x para el volumen de control que describe la figura 5-10

- FD -Fv -fopdA+O = f(o.pV) .VdAdonde - FD es la fuerza que el ala aplica en el fluido. Se ignorar, F v ' la fuerza viscosa que las paredes del tnel ejercen en el fluido. Entonces h/2 2 - FD +(p - P2)hW =- pVI2hW + 2 f o pV2 Wdy

Pb(X)

FIGURA 5-10

Sustentacin y arrastre sobre un ala en un tnel de viento.


5.3 ECUACiN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

183

Para la distribucin de velocidad que ilustra la figura

FD = (PI - P2)hW + pV2hW -tpV2~WhPodemos demostrar que V2m = 2V , mediante la ecuacin de continuidad. Tambin es posible adimensionar la fuerza de arrastre dividindola entre (~pV2Wh) (sta se reconoce como la presin dinmica aguas arriba multiplicada por el rea de la seccin transversal del tnel). Por lo tanto FD 2 _ (p - P2) 2Wh lpV, lpv,2 3 2 2 Al adimensionar se simplifica la expresin final y se revela la presencia de un coeficiente de presin en el lado derecho, similar al que se present en la seccin 4.3, as como un nuevo parmetro adimensionalllamado coeficiente de arrastre, del lado izquierdo definido por

e;,

e'D

=

FD lpV, 2Wh 2

En la forma usual del coeficiente de arrastre, se usa el rea en planta del ala en lugar del rea de la seccin transversal del tnel. Esto es

eD

=-

FD lpV, 2Wc 2

(5.17)

donde c es la longitud de la cuerda del ala (la distancia entre sus bordes de ataque y de salida). Para el balance de la cantidad de movimiento en y-F -f jnpdA +O=f(n .pV)j.VdA L

donde -FL es la fuerza que el ala ejerce sobre el fluido. Como no hay flujo en la direccin y-FL

+ LPb Wdx - LpWdx=OFL =w(LPb dX -ft PtdX )

as que

donde Pb y Pt son las distribuciones de presin en la parte inferior yen la parte superior del volumen de control. Por lo tanto, la fuerza de sustentacin se puede encontrar midiendo la distribucin de presiones en las paredes superior e inferior del tnel. Cuando se divide entre (~pV2Wh), se obtiene1 Py 2Wh-l TT2

FL

-

2

TT2h Py

1

(f bPb dx - ft P.dX)

As se tiene un coeficiente de sustentacin adimensional, e~ en el lado izquierdo. En su forma ms usual, se define con el rea en planta del ala, as que F eL == L (5.18) lpV, 2Wc2


184

CAPTULO 5


u

-, =,v)

P

' ,

: ve

~) -'~ILy

- . . . : _____ ________ 1

FIGURA 5-11

Deflector en movimiento, flujo transitorio.

EJEMPLO 5.10 Flujo transitorio y volmenes de control en movimiento Un chorro de agua en rgimen permanente con velocidad VJ golpea un deflector que se mueve hacia la derecha a velocidad constante, J7, (figura 5-11). El deflector gira el chorro a un ngulo n - (J. Encuentre F, el vector de la fuerza que el fluido aplica al deflector. Suponga que los efectos de la gravedad y la friccin se pueden ignorar. Solucin Lo primero es notar que el problema es transitorio para un observador estacionario, lo cual complica el anlisis de manera considerable, ya que sera necesario usar las formas transitorias de las ecuaciones de continuidad y la cantidad de movimiento y la ecuacin de Bemoulli no se puede emplear. Sin embargo, si el observador se mueve con el deflector, el problema se vuelve permanente y se evitan estas complicaciones. Una transformacin de la velocidad que involucra la superposicin de una velocidad de translacin constante (pero no una velocidad angular) no tiene efecto sobre las fuerzas que actan en un sistema. Esto es, las fuerzas son las mismas si el movimiento se ve en un sistema de coordenadas estacionario o se mueve a velocidad constante. El volumen de control para este flujo permanente se ilustra en la figura 5-12. A lo largo de la superficie del chorro, la presin es constante e igual a la presin atmosfrica. A travs del chorro la presin tambin es constante en las reas de entrada y salida, dado que las lneas de corriente son paralelas y el chorro est en cada libre. Puesto que el flujo es, desde este punto de vista, permanente y no hay friccin, la ecuacin de Bernoulli que se aplica en cualquier lnea de corriente que empieza en la entrada y termina en la salida indica que la magnitud de las velocidades en la entrada y la salida son iguales. El deflector cambia la direccin de la velocidad, pero no su magnitud. Entonces, con base en la ecuacin de continuidad, sabemos que el rea de la seccin transversal del chorro, A, debe permanecer constante.

/ /

.-- _ /

/

vj

-, =1-

: ve1

Vd :

, , l _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ 1

:LYX

FIGURA 5-12

Deflector en movimiento con flujo permanente.


5.4 TEOREMA DEL TRANS PORTE DE REYNOLDS

185

La ecuacin de la cantidad de movimiento da- F- f podA = f(o.pV)VdA

donde +F es la fuerza que el fluido aplica en el deflector y - F es la fuerza que el deflector aplica en el fluido . La presin es constante en todas partes, as que po dA = para el volumen de control que se muestra. En la entrada, la velocidad es (Vj - Vd ) i Y o = - i. En la salida, la magnitud de la velocidad es la misma, pero su direccin es diferente, de modo que la velocidad de salida es (Vj - Vd )( - cos (Ji + sen 8j) y o = - cos 8i + sen 8j. Entonces

f

-F = - p(Vj - Vd )2 iA + p(Vj - Vd )2 (- cos (Ji + sen 8j)A= -

pA(Vj - Vd ) 2((1 +cos8)i -sen 8j)

y as Esta respuesta se puede verificar tomando el lmite cuando Vj = Vd. En este caso, F = 0, como se esperaba.

5.4 TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDSAhora es posible expresar de manera ms general los conceptos de conservacin que incluyen las formas integrales de las ecuaciones de continuidad y la cantidad de movimiento. Lo primero es observar que las ecuaciones de continuidad y la cantidad de movimiento para un volumen de control fijo (ecuaciones 5.3 y 5.16) estn dadas por

: ) p d V + f o pV dA =0y

(5.19)

: ) pV dV + f (o pV)V dA = Fext + F v

-

f opdA + f pg dV

(5.20)

El lado izquierdo de ambas ecuaciones es muy similar. En la ecuacin de continuidad, los trminos del lado izquierdo representan la rapidez total del cambio de la masa de una masa dada de fluido, originada por la rapidez de cambio de la masa dentro del volumen de control, ms el flujo msico neto a travs de la superficie de control. En forma similar, en la ecuacin de la cantidad de movimiento, los trminos del lado izquierdo representan la rapidez de cambio total de la cantidad de movimiento de una masa dada de fluido, que produce la rapidez del cambio de la cantidad de movimiento del fluido dentro del volumen de control, ms el flujo neto de la cantidad de movimiento a travs de la superficie de control. Por lo tanto, el lado izquierdo de las ecuaciones 5.19 y 5.20 describe la rapidez total de cambio en una propiedad del fluido (masa, cantidad de movimiento) dentro de un volumen dado, calculado por los flujos de entrada y salida del volumen de control. En otras palabras, proveen un enlace entre la rapidez de cambio total de una propiedad de una masa dada de fluido y la rapidez de cambio para esa propiedad en un volumen dado de fluido . Por ejemplo, para una masa dada de fluido, la rapidez de cambio de la propiedad llamada masa es obviamente cero. Para un volumen dado de fluido se expresa la misma observahttp://gratislibrospdf.com/

186

cAPITULO 5


cin fsica como balance entre la rapidez de cambio de masa en el volumen de control y la masa que se transporta hacia dentro y hacia fuera sobre la superficie de control. En trminos ms generales, es posible definir una propiedad extensiva del fluido B que puede ser la masa, cantidad de movimiento, energa, etctera. Tambin puede definirse una propiedad intensiva b, que es simplemente la propiedad B por unidad de masa, de manera que

B=mbdonde m es la masa del fluido considerado. El valor de B es directamente proporcional a la cantidad de masa considerada, mientras que el valor de b es independiente de la cantidad de masa. As se tiene

B sis = ve pb \Idonde el subndice sis indica un sistema, es decir, una masa dada de fluido. La pregunta es, por lo tanto, cul es la rapidez de cambio de B sis (siguiendo una masa dada de fluido) en trminos de la rapidez de cambio de B ve ' que es la cantidad de B en el volumen de control en cualquier tiempo. El teorema de transporte de Reynolds para un volumen de control fijo establece que~ = ~+

f

DB. dt

aB at

f (n pV)bdA(5 .21)

y, por tantoDB . a ~=dt at

f pb\l+ f (npV)bdA

La rapidez de cambio de B (siguiendo una masa de fluido) es igual a la rapidez de cambio de B dentro del volumen de control ms el flujo neto de B a travs de la superficie de control. La ecuacin 5.21 proporciona un enlace entre el volumen de control y los conceptos de sistema. La misma funcin sirve para un volumen de control grande, como la derivada total sirve para un volumen de control pequeo (seccin 6.1). Aqu no se aporta una derivacin formal, 2 pero el enlace entre las ecuaciones de continuidad y de la cantidad de movimiento es claro. Por ejemplo, cuando la propiedad B es la masa

B=m,

y

dB b=-=1 dm

y obtenemos la ecuacin de continuidad, ecuacin 5.19. Cuando la propiedad B es la cantidad de movimiento lineal B = mV,y

dB b =- =V dm

y obtenemos el lado izquierdo de la ecuacin de la cantidad de movimiento, ecuacin 5.20.

2Pueden encontrarse derivaciones formales en: White, FIl/id Mechanics, McGraw-HilI, 1986; Shapiro, Elements of Gasdynamics, Wiley, 1962; Munson, Young y Okiishi, Fl/ndamentals ofFll/id Mechanics, Wiley, 1998; y Potter y Wiggert, Mechanics ofFIl/ids, Prentice Hall, 1997.


5.5 ' ECUACiN DE LA ENERGIA

187

La utilidad del teorema del transporte de Reynolds radica en el hecho de que la propiedad B puede ser cualquier cosa que pueda transportar el fluido: masa, cantidad de movimiento lineal, cantidad de movimiento angular, energa cintica, etctera.

5.5 *ECUACIN DE LA ENERGAAhora podemos usar el teorema del transporte de Reynolds para desarrollar la forma tridimensional transitoria de la ecuacin de la energa para un volumen de control fijo. En este caso, la propiedad extensiva es la energa total, E. La primera ley de la termodinmica establece que para una masa dada de fluido rapidez de cambio) {raPidez neta de adicin de ) {raPidez neta de adiCin) de la ene~ga total = energa por transf~rencia + de energa po~ trabajo { de un 'Slstema de calor al flUldo en el flUldo

Esto es-

DE sis Q' . - = sis + W.is Dt

Para un volumen de control fijo conB de Reynolds da

= E = mey b = dB / dm = e, el teorema del transporte

. . a Q + W = at pecN + (o pV)edA

f

f

(5.22)

donde Q y W son la rapidez de transferencia de calor y de trabajo al fluido que est en el volumen de control en el tiempo t. Como en la seccin 4.7.2, el trabajo que se hace sobre el fluido puede separarse de tres maneras..W = Wpresin

.

.

+ W viSCOSO + Wj1echa

donde Wpresin e~ el trabajo sobre la superficie del volumen de control debido a las fuerzas de presjn, W viSCOSO es el trabajo que hacen los esfuerzos viscosos sobre la superficie de control y Wj1echa es el trabajo en la flecha que realiza una mquina en el fluido dentro del volumen de control (una bomba, un ventilador, un pistn, entre otras), todos por unidad de tiempo. Para un elemento de superficie dA, la rapidez con que se hace el trabajo mediante fuerzas de presin est dada por la fuerza que produce la presin multiplicada por la componente de velocidad normal a la superficie del volumen de control. Es decirdWpresin

= - p( o . V) dA

y el trabajo total de presin est dado porWpresin

= - f p(o . V) dA


188

CAPTULO 5

ECUAC IONES DE MOVIMIENTO EN FORMA INTEGRAL

De manera similar, la rapidez con que se hace el trabajo mediante fuerzas cortantes est dada por la fuerza debida al esfuerzo cortante multiplicada por la componente normal a la superficie de control. O sead~iscoso = -

(T . V) dA

y el trabajo de esfuerzos viscosos total est dado por

~iSCOSO

=-

f (T' V) dA

A partir de una seleccin agecuada del volumen de control, el trabajo de esfuerzos viscosos a menudo es cero. Por ejemplo, en una superficie slida la condicin de no deslizamiento hace que la velocidad en la pared sea cero, as que la rapidez del trabajo por fuerzas viscosas tambin es cero. En una entrada o salida, el flujo por lo general se alinea con el vector normal unitario, n, y el trabajo de corte es cero. El trabajo de corte rara vez es importante para volmenes de control grandes, y por ello desde ahora se ignora. As, el trmino del trabajo se reduce a

W = Wjlecha -

f p(n . V) dA

Por lo tanto, la forma integral de la ecuacin de la energa para un volumen de control fijo est dada por .. l} 1 2 J\-I Q + Wjlecha = - 'p(U+"2 V +gZ)uv ltA

+ (n . p V) ( U+ ~ + ~

f

V + gz }A2

(5.23) .

donde la energa especfica total e = + ~ V 2 + gz. Es comn que el trmino del trabaj o de presin se combine con el trmino de flujo de energa. EJEMPLO 5.11Ecuacin de la energa aplicada al flujo en un conducto

u

Un flujo incompresible fluye en rgimen permanente por un conducto de anchura W, como muestra la figura 5-13. La velocidad en la entrada del conducto es uniforme e igual a Va, mientras que la velocidad en la salida vara en forma lineal hasta su valor mximo, que es igual a.va. Encuentre el transporte neto de entalpa afuera del conducto ~n trminos de p, Va, Q, W, y 1 , si se supone que la rapidez de transferencia de calor es Q.

Solucin Puesto que el flujo es permanente yen la flecha no hay trabajo (ignore el trabajo de las fuerzas viscosas), la ecuacin de la energa (ecuacin 5.23) se onvierte en

FIGURA 5-13

1

Volumen de control para el ejemplo 5.11.


PROBLEMAS

189

Q= f(n . pv)(+~ +1 V2

+gZ}A

Sin considerar los cambios de energa potencial, encontramos que

f (n pV)hdA = - f (n pV)V 2 dA

+Q

donde la entalpa h = + pi p. El lado izquierdo representa el transporte neto de entalpa en el conducto, lo cual hace necesario evaluar el lado derecho, que representa el transporte neto de energa cintica ms la rapidez de transferencia de calor neta. Para el volumen de control que se muestra, en el rea de entrada

2 f (n pV)1 V2 dA = (-pVO )V0 WO I 3 =- 1PV0 Wo lEn el rea de salida

f (n pV)tV' dA =f; [-Pv{ ;, )] t v,,(:,='pV';W

J dy W

f;( ;, J

dy

3 = t pVo W0 2Es posible relacionar a 0 1 y O2 con la ecuacin de continuidad, donde, para el flujo permanente

fn.pVdA =0(ecuacin 5.5). Esto es,

-p v,Wo, +As que,

f; pv{;' )w dy=O+Q

Finalmente, 3 flujo de entalpa = f (n pV)hdA =- 1PV0 Wo +tp Vc?W0 2 +Q

3 == -1P V03WO +-!pV0 WO I 3 =- -!pV0 Wo

+Q

Cuando el flujo de entalpa es negativo, representa entrada de flujo.

PROBLEMAS5.1 Escriba la forma integral de la ecuacin de continuidad; para un flujo en rgimen transitorio, explique cada trmino.


190

CAPITULO 5


5.2 Escriba la forma integral de la ecuacin de la cantidad de movimiento, para flujo no viscoso en rgimen transitorio; explique cada trmino. 5.3 La distribucin de velocidad en un flujo bidimensional entre placas paralelas separadas una distancia 2h est dada por V = Vm (1 - y2 / h 2), donde Vm es la velocidad mxima, como ilustra la figura P5.3. Encuentre la velocidad promedio y el flujo msico.

FIGURAP5.3

5.4 Dos conductos rectangulares de aire acondicionado, de anchura constante, W (en direccin perpendicular a la pgina), se unen en ngulo recto como se muestra en la figura P5.4; el flujo es permanente y la densidad, constante. En las reas de salida y entrada, todas las velocidades son normales y los perfiles de velocidad en las estaciones 1 y 2 son parablicos. Encuentre el flujo msico en la seccin 3. Entra o sale?

-- -Um,pyDy py P2Conducto circular

Propulsor

FIGURA P5.17


PROBLEMAS

195

5.18

En un conducto rectangular de anchura Wy alturaD entra aire de densidad constante y velocidad uniforme V;. La pared superior diverge (como muestra la figura P5.18) de modo que la presin permanece uniforme en todas partes. Aguas abajo, en las paredes superior e inferior, los perfiles de velocidad estn dados por la V IV; = (yl g - + u -+---+ u ---=---- g at y ar r ao az r p ar arZ

(6.15)

ue aU e aU e aU aU e uyu 1 ap 1 a1> g - + u - e + ---+ u - + - -e= - - - - g - at y ar r (JO az r pr ao r aoZ

(6.16) (6.17)

au z + u au z + ue au z + u au z al y ar r ao z az6.3.3 Ecuaciones de Navier-Stokes

=_ l

ap _ g a1> g p az az

Ahora se consideran los efectos de la viscosidad. En la seccin 1.4.1 indicamos que el esfuerzo viscoso para un fluido newtoniano est dado por el coeficiente de viscosidad multiplicado por el gradiente de velocidad. Ahora es necesario agregar que esto es cierto, en estricto sentido, slo para flujo incompresible y el desarrollo siguiente tambin est restringido para flujo incompresible. Cuando el nico gradiente de velocidad que acta es el gradiente de la componente x de la velocidad en la direccin y (figura 6-6), el esfuerzo de corte principal es r yx = ..t(au/ ay), donde el subndice yx denota un esfuerzo aplicado en la direccin x, est asociado con un gradiente de velocidad en la direccin y. Cuando la viscosidad es constante, la fuerza resultante que acta en el elemento que ilustra la figura 6-6 debida a este esfuerzo viscoso est dada por

(

r yx + ar yx dY)dx dz - r yx dx dz = ar yx dx dydz = ..t a u dx dy dzay ay ay2

2


212y

CAPiTULO

6

ECUACIONES

DIFERENCIALES

DEL MOVIMIENTO

(

H~

f-dy f----'"dx-

D : /---- (y) U

--FIGURA 6-6 U = U(y), de modo queT

U___ t

dx dz

Flujo viscoso que muestra un elemento sujeto a esfuerzo cortante. Izquierda: la velocidad= T yx; derecha:

notacin para el elemento de fluido.

Esto es, cuando (au/ay)es el nico gradiente de velocidad y fl es constante, la fuerza resultante debida a la friccin viscosa en la direccin x, por unidad de volumen, est dada por! -=flay

ar yx

a2uay2

De esta forma existir una fuerza resultante slo si el esfuerzo viscoso vara en el flujo, es decir, cuando los gradientes del esfuerzo t yx' estn presentes. Si en el flujo el esfuerzo cortante es uniforme, las partculas de fluido se deformarn, pero no habr fuerza resultante por los esfuerzos viscosos. En otras palabras, el esfuerzo viscoso no contribuir a acelerar las partculas de fluido. El esfuerzo normal que origina la rapidez de deformacin elongacional tambin conduce a esfuerzos viscosos (seccin 1.4). Un anlisis similar al antes expuesto demuestra que para un flujo donde (au/ax) es el nico gradiente de velocidad y fl es constante, la fuerza resultante que produce la friccin viscosa en la direccin x, por unidad de volumen, est dada por -=flax

ar xx

a2uax2

En el caso general, donde los gradientes de velocidad se aplican en todas las direcciones, la componente x de la fuerza viscosa por unidad de volumen en coordenadas cartesianas se convierte en

Si los esfuerzos se expresan en trminos de los gradientes de velocidad, de la fuerza viscosa se hace a2u a2u a2u)_ 2 fl -. 2 +-+- 2 -pV u ( ax ay2 az

la componente

x

donde V 2es el opera

Documents

Mecánica de Fluídos [Smits]