Mecanica de Materiales Beer C1 Esfuerzo

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Ferdinand

P. Beer

E. Russell Johnston, Jr. . John T. DeWolf

MECNICAde

MATERIALES

Prefijos del SIFactor multiplicativo

Prefijot

Smbolo T G M k h da d c m JL n P f a

l 000 000 000 0001 000 000 000 1 000 000 1 000 100 10 0.1 0.01 0.000001 0.000000001

= 1012= = = = = = = = =109 106 103 102 101 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9

0.001 = 0.0000000000010.000000000000001 0.000000000000000001

= 10-12

= 10-15 = 10-18

tera giga mega kilo hectot decat decit centit mili mlcro nano pico femto ato

t Debe evitarse el uso de estos prefijos, excepto en las medidas de reas y volmenes y para el uso no tcnico del centmetro, como en las medidas referentes a la ropa y al cuerpo.

Principales unidades del SI usadas en mecnica Cantidad Aceleracin ngulo Aceleracin angular elocidad angular Area Densidad Energa Fuerza Frecuencia Impulso Longitud Masa Momento de una fuerza Potencia Presin Tiempo Velocidad Volumen, slidos Lquidos Trabajo Unidad Metro por segundo al cuadrado Radin Radin por segundo al cuadrado Radin por segundo Metro cuadrado Kilogramo por metro cbico Joule Newton Hertz Newton-segundo Metro Kilogramo Newton-metro Watt Pascal Segundo Metro por segundo Metro cbico Litro Joule(1 revolucin = 27T rad = 360).

Smbolo .. . rad .. . .. . ... ... J N Hz . .. m kg .. . W Pa s .. . .. . L J

Frmula mls2

trad/s2 rad/s m2 kg/m3 N'm

kg . mls2S-I kg . mis :j: :j: N'm J/s N/m2 :j: mis m3 10-3 m3 N'm

t

Unidad

suplementaria

:j: Unidad bsica.

Unidades de uso comn en Estados Unidos y sus equivalencias en unidades del SICantidad Aceleracin rea Energa Fuerza Unidades de uso comn en Estados Unidos ft/s2 in.ls2 ft2 in.2 ft. lb kip lb oz lb. s ft in. mi oz masa lb masa slug tonlb

Equivalente del SI 0.3048 mls2 0.0254 mls2 0.0929 m2 645.2 mm2 1.356 J 4.448 kN 4.448 N 0.2780 N 4.448 N . s 0.3048 m 25.40 mm 1.609 km 28.35 g 0.4536 kg 14.59 kg 907.2 kg 1.356 N m 0.1130N. m

Impulso Longitud

Masa

Momento de una fuerza Momento de inercia de un rea de una masa Potencia Presin o esfuerzo Velocidad

. ft

.

lb. in. in.4 lb ft

. .

0.4162X 106mm4S2

ft . Ibishp lb/ft2 Ib/in.2 (psi) ft/s in.ls mi/h (mph) mi/h (mph) ft3 in.3 gal qt ft. lb

Volumen, slidos Lquidos Trabajo

1.356 kg. m2 1.356 W 745.7 W 47.88 Pa 6.895 kPa 0.3048 mis 0.0254 mis 0.4470 mis 1.609 kmlh 0.02832 m3 16.39 cm3 3.785 L 0.9464 L 1.356 J

. ..

Lista de smbolosa

A,B,C,.. .A,B, C,... A,t b e CCI' C2>'"

Cp d D e E f F F.S. G h H H,J,K 1,Ix,. . . l: = 0.90 y factores de carga YD = 1.25 Y YL = 1.6, para calcular la mximacargaque puede colocarse con seguridaden la plataforma. b) Cul es el factor de seguridad correspondiente a la varilla BC?

Figura P1.57

..

1.8 m

r

LFigura P1.58

REPASO Y RESUMEN , DEL CAPITULO 1

Carga axial. Esfuerzo normal

Este captulo se dedic al concepto de esfuerzo y a una introduccin a los mtodos usados para el anlisis y diseo de mquinas y de estructuras portadoras de carga. En la seccin 1.2 se present un breve repaso de los mtodos de esttica y de su aplicacin a la determinacin de las reacciones ejercidas por sus soportes sobre una estructura sencilla que consista de elementos conectados por pasadores. Se puso nfasis en el uso del diagrama de cuerpo libre para obtener las ecuaciones de equilibrio que despus se resolvieron para determinar las reacciones desconocidas. Los diagramas de cuerpo libre tambin se utilizaron para encontrar las fuerzas internas en los diversos miembros de la estructura. El concepto de esfuerzo se introdujo primero en la seccin 1.3 al considerar un elemento con dos fuerzas bajo carga axial. El esfuerzo normal en ese elemento se obtuvo dividiendo la magnitud P de la carga por el rea transversal del elemento (figura 1.8a). Se tuvo P(J=-

A

( 1.5)

A

En la seccin 1.4 se realiz una breve consideracin de dos de las principales tareas del ingeniero: el anlisis y el diseo de estructuras y mquinas. Como se seal en la seccin 1.5, el valor de (j obtenido de la ecuacin (l.5) representa el esfuerzo promedio a travs de la seccin ms que el esfuerzo en un punto especfico Q de la seccin. Considerando una pequea rea M que rodee al punto Q y la magnitud tJ..Fde la fuerza ejercida sobre M, se define el esfuerzo en el punto Q comotJ..F lm ~A-->O AA

(J =Figura 1.8a

(1.6)

En general, el valor obtenido para el esfuerzo (j en el punto Q es diferente del valor del esfuerzo promedio dado por la frmula (1.5) Y puede verse que vara a travs de la seccin. Sin embargo, esta varia4in es pequea en cualquier seccin que se encuentre lejos de los puntos de aplicacin de las cargas. En la prctica, por lo tanto, se supone uniforme la distribucin de los esfuerzos normales en un elemento cargado axialmente, excepto en la cercana inmediata de los puntos de aplicacin de las cargas. No obstante, para que la distribucin de esfuerzos sea uniforme en una seccin dada, es necesario que la lnea de accin de las cargas P y P' pase por el centroide e de la seccin. Tal carga se conoce como carga axial centrada. En el caso de una carga axial excntrica, la distribucin de esfuerzos no es uniforme. Los esfuerzos en los elementos sujetos a carga axial excntrica se estudiarn en el captulo 4.I

38

l

Repaso y resumen del captulo 1

Cuando fuerzas transversales P y P' iguales y opuestas de magnitud P se aplican a un elemento AB (figura 1.16a), se crean esfuerzos cortantes T sobre cualquier seccin localizada entre los puntos de aplicacin de lasdos fuerzas (seccin 1.6). Estos esfuerzos varan mucho a travs de la secciny no puede suponerse que su distribucin sea uniforme. Sin embargo,dividiendo la magnitud de P --conocida como el cortante en la seccin- por el rea A de la seccin transversal, se define el esfuerzo promedio corte sobre la seccin: de PTprom

39

Fuerzas transversales. P A

Esfuerzo cortante

e

B

-

A

( 1.8)

P'Figura 1.16a

Los esfuerzos cortantes se encuentran en pernos, pasadores o remaque ches conectan dos elementos estructurales o componentes de maquinaria.Por ejemplo, en el caso del perno CD (figura 1.18), que se encuentra en cortante nico, se anot P Tprom = F - A

Cortante nico y doble eF E' DFigura 1.18

A

(1.9)

.F'

E ~ B

A

mientrasque, en el caso de los pernos EG y HJ (figura 1.20), que se encuentran ambos en cortante doble, se tuvo que

Tprom =

A-

P

F/2 A

F 2A

(1.10)

E

H K' F

Los pernos, pasadores y remaches tambin crean esfuerzos en los elementosque conectan, a lo largo de la superficie de apoyo o superficie de contacto (seccin 1.7). El perno CD de la figura 1.18, por ejemplo, crea esfuerzos en la superficie semicilndrica de la placa A con la que est en contacto (figura 1.22). Como la distribucin de estos esfuerzos es muy complicada, en la prctica se emplea un valor nominal promedio CTb del esfuerzo, llamado esfuerzo de apoyo, que se obtiene de dividir la carga P entre el rea del rectngulo que representa la proyeccin del perno sobre la seccin de la placa. Si t es el espesor de la placa y d el dimetro del perno, se tiene

.-LF' K GFigura 1.20

L']

Esfuerzo de apoyo

CTb

= A-

P - !... td

(1.11)

En la seccin 1.8, se aplic el concepto introducido en las secciones previasal anlisis de una estructura sencilla que consta de dos elementos conectados por pasadores que soportan una carga dada. Se determinaron, sucesivamente, los esfuerzos normales en los dos elementos, prestando especial atencin a sus secciones ms angostas, los esfuerzos cortantes en los diversos pernos, y el esfuerzo de apoyo en cada conexin. El mtodo que deber seguirse en la solucin de un problema de mecnicade materiales se describi en la seccin 1.9. Su solucin deber comenzarenunciando de manera clara y precisa el planteamiento del problema.Debern entonces dibujarse uno o varios diagramas de cuerpo libre que seemplearn para escribir las ecuaciones de equilibrio. Estas ecuaciones se resuelvenpara determinar las fuerzas desconocidas, de las que pueden calcularselos esfuerzos y deformaciones requeridas. Una vez que se ha obtenidouna respuesta, deber verificarse con cuidado.

Figura 1.22 Mtodo de solucin

40

Introduccin.

El concepto

de esfuerzo

Esfuerzos en una seccin oblicua

P'

P

Figura 1.30a

La primera parte del captulo termin con el estudio de la importancia de la exactitud numrica en la ingeniera. Se enfatiz que la exactitud de una respuesta nunca puede ser mayor que la exactitud de los datos recibidos (seccin 1.10). En la seccin 1.11, se analizaron los esfuerzos creados en una seccin oblicua en un elemento con dos fuerzas bajo carga axial. Se encontr que tanto esfuerzos normales como los cortantes ocurren en tal situacin. Con la denotacin de () para el ngulo formado por la seccin con un plano normal (figura 1.30a) y Ao para el rea de la seccin perpendicular al eje del elemento, se dedujeron las siguientes expresiones para el esfuerzo normal (J y el esfuerzo cortante T sobre la seccin oblicua: P P

(T

=-

cos2 ()

T

=

Ao

- sen Ao

()

cos

()

(1.14)

Se observ, a partir de estas frmulas, que el esfuerzo normal es mximo e igual a (Tm = P1Ao para () = 0, mientras que el esfuerzo cortante es m-

ximo e igual a TmEsfuerzo bajo carga generaly

= PI2Ao (J = 45. Tambin se advirti que T = O para

z Figura 1.36

x

cuando () = O,mientras que (T =