mechanika statika dynamika - VŠB-TUO · PDF filedynamika kinematika dynamika jen pohyb pohyb a síly Zabývá-li se dynamika vztahem mezi pohybem a silami, pak je účelné zkoumat

mechanika

dynamikastatika

Předmět Dynamika je součástí většího předmětu Mechanika.I samotný předmět Mechanika můžeme chápat v širším rámci a dělit jej na mechaniku vnějších silnebo též mechaniku tuhých těles (statika a dynamika) a mechaniku vnitřních silneboli mechaniku poddajných (pružnost a pevnost).

Statika se zabývá působením sil na tělesa, která jsou v klidu.

Dynamika se zabývá působením silna pohybující se tělesaa vyšetřováním pohybu tělesv závislosti na působících silách.

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška

mechanika

dynamikastatika

Předmět Dynamika je součástí většího předmětu Mechanika.I samotný předmět Mechanika můžeme chápat v širším rámci a dělit jej na mechaniku vnějších silnebo též mechaniku tuhých těles (statika a dynamika) a mechaniku vnitřních silneboli mechaniku poddajných (pružnost a pevnost).


1. ročník bakalá řského studiaStatika

2. ročník bakalá řského studiaDynamika I

1. ročník navazujícího magisterského studiaAplikovaná mechanika

1. Newtonův zákon - zákon setrvačnosti.

Těleso zůstává v klidu nebo v pohybu rovnoměrném přímočarém,jestliže není přinuceno vnějšími silami tento svůj stav změnit.

2. Newtonův zákon - zákon síly.

Působí-li na těleso vnější síla, je změna rychlosti tělesa přímo úměrná této působící síle,přičemž konstantou úměrnosti je hmotnost tělesa.

Famrr =⋅

hmotnost · zrychlení = síla

3. Newtonův zákon - zákon akce a reakce.

Dvě tělesa, která jsou ve vzájemném kontaktu,na sebe působí silami stejně velkými, opačně orientovanými.

Základy mechaniky položil Isaac Newton (1642-1727)ve svém díle „Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” (1687).Lze je shrnout do čtyř tzv. Newtonových zákonů.

Tento zákon obvykle vyjadřujeme ve formě rovnice :

tedy


Newtonův gravitační zákon.

Dvě tělesa se navzájem přitahují silou, přímo úměrnou hmotnosti obou tělesa nepřímo úměrnou čtverci vzdálenosti mezi oběma tělesy.

m1 m2

r

Gr

Gr

V matematické podobě pak :

221

r

mmG

⋅⋅κ=

κκκκ = 6,67·10-11 kg-1·m3·s-2 - gravitační konstanta,m1 - hmotnost jednoho tělesa,m2 - hmotnost druhého tělesa,r - vzdálenost mezi tělesy.

221 sm 819

rm

g −⋅=⋅κ= ,

gmG ⋅=

m1 = 5,98·1024 kg - hmotnost Země,r = 6 378 km - poloměr Země.

Na povrchu Země pak je :

Přitažlivá (tíhová) síla pak je :

kde g je gravitační zrychlení :


V dynamice se budeme zabývat pohybem tří základních typů objektů.

Je zřejmé, že tento pojem je pojmem abstraktním. Žádné reálně těleso nemůže být skutečně bodem.Přesto je tato abstrakce užitečná a mnoho případů pohybu reálného tělesalze se zanedbatelnou chybou zredukovat na pohyb hmotného bodu.

V mechanice zavádíme předpoklad absolutně tuhého tělesa.To znamená, že deformace tělesa vlivem působících sil je zanedbatelná.Dynamika poddajných těles (jejichž deformace není zanedbatelná) přesahuje rozsah tohoto učebního textu.

Soustavu těles nazýváme mechanismem.

Bod - je objekt, jenž nemá žádné rozměry (ale má jistou hmotnost).

Těleso - je objekt nezanedbatelných rozměrů, nedeformovatelný.

Soustava těles - je objekt, složený z několika těles, jejichž vzájemná poloha se může měnit.


dynamika

dynamikakinematika

jen pohyb pohyb a síly

Zabývá-li se dynamika vztahem mezi pohybem a silami,pak je účelné zkoumat nejprve samotné zákonitosti pohybua teprve pak se ptát na závislost na silách.

Kinematikase zabývá zákonitostmi pohybu.Vztahem mezi základními kinematickými veličinami,t.j. časem, dráhou, rychlostí a zrychlením.

Dynamikase zabývá vztahem mezi základními veličinami dynamiky,t.j. hmotou, pohybem a silami.


Kinematika - nauka o pohybu

Kinematika se zabývá popisem a vyšetřováním pohybu bodu,tělesa nebo soustavy těles.

Pohybem rozumíme změnu polohy v čase.

Polohou je míněna poloha v prostoru, ve kterém se bod nebo těleso nachází.Prostor je spojitý (bod může v prostoru zaujmout jakoukoliv polohu).

Trojrozměrný prostor - směr dopředu-dozadu, doprava-doleva, nahoru-dolů.Dvourozměrný prostor - rovina, obecně však jakákoliv plocha.Jednorozměrný prostor - křivka, ve zvláštním případě přímka.

V trojrozměrném prostoru je poloha bodu jednoznačně určena třemi souřadnicemi.Ve dvourozměrném prostoru je poloha bodu určena dvěma souřadnicemi.V jednorozměrném prostoru je poloha bodu jednoznačně dána jedinou souřadnicí.

Čas je jednorozměrná, spojitá, skalární veličina, jeho změna je nezávislá,plyne rovnoměrně vždy dopředu a je absolutní, tedy pro všechna tělesaa pro všechny pozorovatele společný.


Jedním ze základních pojmů kinematiky a mechaniky je stupeň volnosti.Pohyblivost jakéhokoliv objektu je dána počtem stupňů volnosti.

„Možný pohyb“ - není důležité, zda pohyb skutečně nastane.Důležité je, že může nastat (nic mu nebrání).

„Nezávislý pohyb“- mezi dvěma pohyby,jež představují dva stupně volnosti,nesmí platit žádný explicitní vztah,daný vnějšími okolnostmi.

z

y

x

{ }zyx ,,

x

y

222 Ryx =+22 xRy −±=

φ⋅=φ⋅=

cos

sin

Ry

Rx{ }φ

{ }x

Stupeň volnosti je možný nezávislý pohyb.

Hmotný bod je vázán ke kruhové trajektorii.Vykonává pohyb ve dvou směrech - x a y.Pohyb v jednom směru (např. y) však je určenpohybem v jiném směru (x).Jen jeden z těchto pohybů je nezávislý,bod má jeden stupeň volnosti.

φ

Hmotný bod padá volným pádem v prostoru. Padá svisle dolů.Ale mohl by se pohybovat i ve dvou vodorovných směrech(třeba kdyby zafoukal vítr).Můžetedy vykonávat tři pohyby, má tři stupně volnosti.

{nezávislá souřadnice}


až 6° volnostiposuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os

až 3° volnostipohyb ve třech směrech

v prostoru(3 rozměrný prostor)

až 3° volnostiposuvy ve dvou směrech

a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybu

až 2° volnostipohyb ve dvou směrech

v rovin ě(na ploše)(2 rozměrný prostor)

1° volnostipohyb určitým směrem

na křivce(1 rozměrný prostor)

tělesobod


6 sou řadnicx, y, z a tři úhly natočení, např. α, β, γ

3 sou řadnicex, y, z

v prostoru(3 rozměrný prostor)

3 sou řadnicex, y

a úhel natočení φ

2 sou řadnicex, y

v rovin ě(na ploše)(2 rozměrný prostor)

1 sou řadnicedráha s

na křivce(1 rozměrný prostor)

tělesobod

Okamžitá poloha objektu je jednoznačně určena tolika nezávislými souřadnicemi,kolik stupňů volnosti objekt má.

Objekt má tolik stupňů volnosti,kolik nezávislých souřadnic je zapotřebí k jednoznačnému určení jeho polohy.


Pohyb boduPohyb bodu po dané dráze - základní kinematické veličiny.

čas značíme t z anglického slova timezákladní jednotkou je [s] {sekunda}dalšími jednotkami jsou [min, hod, ...] {minuta, hodina, ...}

dráha, sou řadnice značíme s, x, y, ...základní jednotkou je [m] {metr}dalšími jednotkami jsou [cm, km, ...] {centimetr, kilometr, ...}

rychlost značíme v z anglického slova velocityzákladní jednotkou je [m/s, m·s-1] {metr za sekundu}dalšími jednotkami jsou [km/hod] {kilometr za hodinu}

zrychlení značíme a z anglického slova accelerationzákladní jednotkou je [m/s2, m·s-2] {metr za sekundu na druhou}


s t

sv

∆∆=

⋅ −1secmsecm

,

t

svs ∆

∆=Tuto rychlost nazveme střední rychlostí nebo průměrnou rychlostí.

Okamžitá rychlost - nekonečně malá změna dráhy za nekonečně malý přírůstek času.

sdt

ds

t

sv

0t&==

∆∆=

→∆lim

Tuto limitu definuje matematika jako derivaci.

Okamžitá rychlost je derivace dráhy podle času.

Rychlost vyjadřuje změnu dráhy za čas.


Abychom snadno rozlišovali kladnou a zápornou rychlost,zavádíme pojem orientovaná souřadnice.

A(t) A(t+∆t)

s(t) s(t+∆t)

∆s

∆t

vstř počátek

s

v +

v -

t

svs ∆

∆=

Kladná rychlost v znamená nárůst dráhy (souřadnice),proto je kladná rychlost orientována vždy ve směru nárůstu příslušné souřadnice.


Zrychlení vyjadřuje změnu rychlosti za čas.

s

v v+∆v t

va

∆∆=

⋅ −22 secm

secm

,

Zrychlení je zrychlení průměrné neboli střední.t

vas ∆

∆=

vdt

dv

t

va

0t&==

∆∆=

→∆lim

Okamžité zrychlení je derivace rychlosti podle času.


Kladné zrychlení je orientováno stejně, jako kladná rychlost,tedy ve směru nárůstu souřadnice.

A(t) A(t+∆t) ∆t

počátek

s

v(t) v(t+∆t)

a +

a -

( )t1fs = ( )t2fv = ( )t3fa =

( )s4fv = ( )s5fa =

( )v6fa =Úplné kinematické řešení.

dráha, rychlost a zrychleníjsou funkcíčasu

rychlost a zrychleníjsou funkcí dráhy

zrychlení je funkcí rychlosti


Shrnutí

sdt

dsv &==

vdt

dva &==

sdt

sda

2

2

&&==

ds

dvva ⋅=

( )ds

vd

2

1a

2

⋅=

zrychlení je derivace rychlosti podle času

zrychlení je druhá derivace dráhy podle času

zrychlení je rovno rychlosti,násobené derivací rychlosti podle dráhy

zrychlení je rovno jedné poloviněderivace kvadrátu rychlosti podle dráhy

rychlost je derivace dráhy podle času

toto jsou obecně platnévztahymezi časem, dráhou, rychlostí a zrychlením


Shrnutí

sdt

dsv &==

vdt

dva &==

sdt

sda

2

2

&&==

ds

dvva ⋅=

( )ds

vd

2

1a

2

⋅=

podle toho, jak se dráha, rychlost a zrychlenímění v čase, rozlišujeme tři druhy pohybu :

toto jsou obecně platnévztahymezi časem, dráhou, rychlostí a zrychlením

A) Pohyb rovnoměrný - rychlost je konstantní.

B) Pohyb rovnoměrně zrychlený- zrychlení je konstantní.

C) Pohyb nerovnoměrný.


A) pohyb rovnoměrný : je takový pohyb, jehož rychlost je konstantní v = konst.

0dt

dva ==

s

t

s0

t

sv

∆∆= 0sss −=∆

0ttt −=∆tvs ∆⋅=∆

( )00 ttvss −⋅=−

0stvs +⋅=

rychlost je konstantní, její změna (derivace) je nulová

s - okamžitá dráhas0 - počáteční dráha (v závislosti na volbě

souřadného systému může být nulová)t - okamžitý čast0 - počáteční čas - obvykle volíme t0=0

toto jsou vztahy, platné pouzepro rovnoměrný pohyb (v=konst).


B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst.

shrnutí

0vtav +⋅=

( ) 200 vssa2v +−⋅⋅=

002

21 stvtas +⋅+⋅⋅=

s

t

s0

v

t

v0

v

s

v0

a

vvt 0−=

toto jsou vztahy, platné pouzeprorovnoměrně zrychlený pohyb (a=konst).


B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst.

tav ⋅=

Špičkové sportovní auto zrychluje z klidu na rychlost v = 100 km/hod (27,8 m/s)za čas t = 5 s .

Jeho zrychlení tedy je a = 5,6 m/s2.

221 tas ⋅⋅= Dráha rozjezdu pak je s = 70 m .


φ

v

ry

C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst.

Pohyb harmonický : je takový pohyb, jehož dráha se v čase harmonicky mění.

( )0try φ+⋅ω⋅= sin

π⋅ω=

2f

ωπ⋅== 2

f

1T

r

v=ω

r amplituda [m]

frekvence [Hz]

kruhová frekvence [s-1]

perioda [s]

φ počáteční úhel φ, fázový posuv [-]

r

tT

T

y

φ0

ω

počet cyklů za sekundu

doba jednoho cyklu


φ

v

ry


Pohyb harmonický : je takový pohyb, jehož dráha se v čase harmonicky mění.

( )0try φ+⋅ω⋅= sin

( )0tryv φ+⋅ω⋅ω⋅== cos&

( )ya

trva2

02

⋅ω−=

φ+⋅ω⋅ω⋅−== sin&

r amplituda [m]

max. rychlost [m/s]ω⋅r2r ω⋅ max. zrychlení [m/s2]

t

y

φ0

ω

Je to kmitavý pohyb hmotného objektu na pružném uložení.

r

T

T



Pohyb v odporujícím prostředí : je pohyb bržděný silou, úměrnou rychlosti.

vga ⋅β−=

vgdt

dv ⋅β−=

dtvg

dv =⋅β−

∫∫ =⋅β−

t

0

v

0

dtvg

dv

( )[ ] t

0

v0 tvg

1 =⋅β−⋅β−

ln

Pro jednoduchost provedeme řešení s nulovými počátečními podmínkami.

( ) ( )[ ] tgvg1 =−⋅β−⋅β−

lnln

( )te1g

v ⋅β−−⋅β

=

tvg

11 =

⋅β−⋅

β−ln

tg

vg1 =⋅β−⋅β−

ln

y, v, a




vga ⋅β−=

vgdt

dv ⋅β−=

dtvg

dv =⋅β−

( )te1g

v ⋅β−−⋅β

=Pro čas, narůstající nade všechny meze,se průběh blíží ustálené hodnotě :

( ) ( )

( )β

=−⋅β

=

−⋅β

=

=−⋅β

=−⋅β

=

∞⋅β

∞⋅β−⋅β−

∞→

g01

g

e

11

g

e1g

e1g

v t

tustálená lim

β= g

vustálená

( )tustálená e1vv ⋅β−−⋅=

y, v, a




vga ⋅β−=

vgdt

dv ⋅β−=

dtvg

dv =⋅β−

( )te1g

v ⋅β−−⋅β

=

β= g

vustálená


V ustáleném stavu se rychlost již nebude měnit,bude konstantní (v = vustálená = konst).Zrychlení tedy bude nulové.

0vga ustálená=⋅β−=

β= g

vustálená

y, v, a




vga ⋅β−=

vgdt

dv ⋅β−=

dtvg

dv =⋅β−

( )te1g

v ⋅β−−⋅β

=

β= g

vustálená


v

t

vustálená T

63% vust 95% vust


t=2·T t=4·T t=3·T t=5·T t=T

tečna

β= 1

T časová konstanta [s]y, v, a


( )tustálená e1v

dt

dyv ⋅β−−⋅==



( ) dte1vdy tustálená ⋅−⋅= ⋅β− separace proměnných

( ) ( )∫∫∫ ⋅−⋅=⋅−⋅= ⋅β−⋅β−t

0

tustálená

t

0

tustálená

y

0

dte1vdte1vdy

t

0

tustálená e

1tvy

⋅β−

−⋅= ⋅β−

β−+⋅

β−−⋅= ⋅β− 1

e1

tvy tustálená

( )

−⋅β

−⋅= ⋅β− tustálená e1

1tvy

tvy ustálená⋅=y

t

y, v, a



( ) ( )2

2

22 hR

Rgm

hR

mM

r

mMG

+⋅⋅=

+⋅⋅κ=⋅⋅κ=

κκκκ = 6,67·10-11 kg-1·m3·s-2 - gravitační konstanta,M = 5,98·1024 kg - hmotnost Země,R = 6 378 km - poloměr Země.

Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní.

Gm

Země R

h

na povrchu Země (y=0) :

gmR

mMG

2⋅=⋅⋅κ=

2RgM ⋅=⋅κ

22 sm 819g

R

M,==⋅κ




Gm

Země R

y

v, a

( )2

2

yhR

Rg

dy

dvva

−+⋅=⋅=

( )2

2

yhR

RgmG

−+⋅⋅=

h

volný pád z výšky h

( )∫∫ ⋅−+

⋅=⋅y

02

2v

0

dyyhR

Rgdvv

y

0

2221

yhR

1Rgv

−+⋅⋅=⋅

+−

−+⋅⋅=⋅

hR

1

yhR

1Rgv 22

21




Gm

Země R

y

v, a

( )2

2

yhR

Rg

dy

dvva

−+⋅=⋅=

( ) ( ) ( )hRyhR

Ryg2v

2

y +⋅−+⋅⋅⋅=

( ) hg2v hy ⋅⋅≅=Rh <<

( )2

2

yhR

RgmG

−+⋅⋅=

( ) hR

Rhg2v hy +

⋅⋅⋅==

h

volný pád z výšky h

rychlost dopadu na Zemi :



v, a


G

m

Země R

y

( )2

2

yR

Rga

+⋅−=

( )2

2

yR

RgmG

+⋅⋅=

v0

( )2

2

yR

Rg

dy

dvv

+⋅−=⋅

( ) ( )∫∫∫ ⋅+⋅⋅−=⋅+⋅−=⋅ −

y

0

22y

02

2v

0v

dyyRRgdyyR

Rgdvv

[ ] ( ) y

0

2

y

0

12v

0v2

21

yR

1Rg

1

yRRgv

+⋅⋅=

−+⋅⋅−=⋅

−

svislý vrh vzhůru



v, a


Gm

Země R

y

v0 ( )yR

yRg

R

1

yR

1Rgvv 22

02

21

+−⋅⋅=

−

+⋅⋅=−⋅

yR

yRg2vv 2

0 +⋅⋅⋅−=

20

20

vRg2

Rvh

−⋅⋅⋅=

skm 11Rg2v0 /≅⋅⋅< skm 11Rg2v0 /≅⋅⋅>

( ) Rg2vvv 20y

yustálená ⋅⋅−==

∞→lim( ) 0v hy ==

svislý vrh vzhůru

těleso se zastaví ve výšce h těleso se neustále vzdaluje od Země

( )2

2

yR

RgmG

+⋅⋅=


m – hmotnost [kg]

m a Fi⋅ =∑v r

a – zrychlení [m/s2]

F – síla [N]

základní pohybová rovnice

mF

m = 2 kg

a = 1,5 m/s2

F = 3 N

Dynamika hmotného bodu

a

Základem dynamiky hmotného bodu je druhý Newtonův zákon, zákon síly ... pohybová rovnice.

m·a = F

Základní pohybová rovniceurčuje vztah mezi silami,působícími na hmotný objekt,a pohybem, těmito silami způsobeným.


m a Fi⋅ =∑v r

základní pohybová rovnice

Dynamika hmotného boduZákladem dynamiky hmotného bodu je druhý Newtonův zákon, zákon síly ... pohybová rovnice.

α

fm

G

F

N

Ty

xa

TNFGFam i

rrrrrv +++==⋅ ∑

G, F - akční sílyN - normálová reakceT = f·N - třecí síla

TFGFam xix −α⋅−α⋅==⋅ ∑ cossin

fNFGam ⋅−α⋅−α⋅=⋅ cossin

0FGNFam yiy =α⋅−α⋅−==⋅ ∑ sincosay = 0

ax = a

α⋅+α⋅= sincos FGN

( )α⋅+α⋅⋅−α⋅−α⋅=⋅ sincoscossin FGfFGam

( ) ( )α⋅+α⋅−α⋅−α⋅=⋅ sincoscossin fFfGam

vlastní pohybová rovnice vznikne ze základní vyloučením reakcí

Základní pohybová rovnicemá na pravé straně všechny působící síly.

Vektorovou rovnici rozložíme na složky dle zvoleného souřadného systému.

Vyloučením reakcí získámetzv. vlastní pohybovou rovnici.


m a Fi⋅ =∑v r

Dynamika hmotného boduZákladem dynamiky hmotného bodu je druhý Newtonův zákon, zákon síly ... pohybová rovnice.

přímý (Newtonův) způsob sestavenípohybové rovnice

mF

m = 2 kg

a = 1,5 m/s2

F = 3 N

a

m·a = F

Tomuto způsobu sestavení pohybové rovnice,kdy na levé straně rovniceje součin hmotnosti a zrychlení,a ten je na pravé straněroven součtu působících vnějších sil,říkáme přímý, nebo též Newtonůvzpůsob sestavení pohybové rovnice.


Dynamika hmotného boduAlternativní způsob sestavení pohybové rovnice nabídnul Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783).

m a Fi⋅ =∑v r

0amFi

rvr=⋅−∑

Damrv =⋅−

0DFi

rrr=+∑

d’Alembertův princip

amDvr

⋅−=

0DFi

rrr=+∑amD ⋅=

rovnice rovnováhy

1.

2.

a

mF D

F - D = 0 D = m·am·a = F

Součin hmotnosti a zrychlenípřevedeme na opačnou stranu rovnice.

Zavedeme substituci.

Takto vzniklá rovnicemá formálně charakter rovnice rovnováhy.

Tomuto postupu říkáme d’Alembertův princip.Můžeme jej rozložit do dvou kroků :1. Zavedeme tzv. d’Alembertovu sílu.

Její velikost je rovna součinuhmotnosti a zrychlení.Její směr je opačný než je směr zrychlení.

2. Silová soustava vnějších sil, doplněná od’Alembertovu sílu, je v rovnováze.Rovnováhu vyjádříme rovnicemi rovnováhy.Po dosazeníD=m·apak dostáváme pohybovou rovnici.




amDvr

⋅−=

0DFi

rrr=+∑amD ⋅=

rovnice rovnováhy

1.

2.α

f

y

xa

m

G

F

N

T

D

amD ⋅=amDvr

⋅−=1.

2. 0Fi

rr=∑

0DfNFGDTFGFxi =−⋅−α⋅−α⋅=−−α⋅−α⋅=∑ cossincossin

0Fxi =∑ 0Fyi =∑

0FGNFyi =α⋅−α⋅−=∑ sincos


( ) 0DFGfFG =−α⋅+α⋅⋅−α⋅−α⋅ sincoscossin( ) ( ) 0DfFfG =−α⋅+α⋅−α⋅−α⋅ sincoscossin amD ⋅=( ) ( ) 0amfFfG =⋅−α⋅+α⋅−α⋅−α⋅ sincoscossin


Proti směru zrychlenízavedeme d’Alembertovu sílu.

Sestavíme rovnice rovnováhy.


m a Fi⋅ =∑v r



amDvr

⋅−=

0DFi

rrr=+∑amD ⋅=

rovnice rovnováhy

D - d’Alembertova síla, dynamická síla,doplňková síla, setrvačná síla.

Působí proti směru zrychlení, její velikost je rovna součinu hmotnosti a zrychlení.

1.

2.

mF

a

D

přímý (Newtonův) způsob sestavenípohybové rovnice

F - D = 0 D = m·am·a = F

mF

m = 2 kg

a = 1,5 m/s2

F = 3 N

a

m·a = F

Oba tytopostupy

jsousamozřejmě

správné,ale

nesmí senavzájem

kombinovat!

m·a = F-D



úloha 1. druhu - kinetostatická úloha 2. druhu - dynamická

je dán požadovaný pohyb, zrychlení avypočtěte sílu F=?, potřebnou k dosažení požadovaného pohybu

( )α⋅+α

⋅−α⋅−α⋅=sincos

cossin

f

amfGF

je dána síla F

vypočtěte jak se těleso bude pohybovat a=?

( ) ( )m

fFfGa

α⋅+α⋅−α⋅−α⋅= sincoscossin

amD ⋅=rovnice rovnováhy - algebraické

sa &&=rovnice diferenciální

0Fi =∑

α

m

G

Ff

Na

y

x

Tdva druhy úloh v dynamice

Dynamika hmotného bodu Aplikovaná mechanika, 1. přednáška

m a F⋅ =r r rr

adv

dt=

Fdt

vdm

rr

=⋅

( )d m v

dtF

⋅=

rr

( )d m v F dt⋅ = ⋅r r

( )d m v m v m v F dtm v

m v t

⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅⋅

⋅

∫ ∫r r r r

r

r

0

1

1 00

r rp m v= ⋅

( )r rI F dtt

t

= ⋅∫0

∆r r r rp p p I= − =1 0

hybnost hmoty

impuls síly

[kg·m·s-1]

[N·s ≈ kg·m·s-1]0p

r

pr

∆ppp 01

rrr∆+=

zákon o změně hybnosti

Zákony o změně

Úpravy pohybové rovnice nás přivedouk definování dalších fyzikálních veličin.

Je-li síla konstantní,lze ji z integrálu vytknouta vyjádřit impuls sílyjednodušeji : tFI ⋅=

rr

01 ppprrr

−=∆Změna hybnostiznamená změnu velikosti,změnu směru nebo obojí.

Zde p0 je hybnost na začátku vyšetřovaného děje,p1 je hybnost na konci vyšetřovaného děje.


r r rL r p= ×

( )∫ ⋅=t

0

tM dtMIrr

r r rM r F= ×

moment hybnosti (točivost) [kg·m2·s-1]

impuls momentu [N·m·s ≈ kg·m2·s-1]

moment síly [N·m]

M01 ILLLrrrr

=−=∆ zákon o změně momentu hybnosti

Zákony o změně

rr

polohový vektor [m]


m a F⋅ =r r ( )ds

vd

2

1a

2

⋅=

( )F

ds

vd

2

1m

2

=⋅⋅

( )F

ds

vmd 221

=⋅⋅

( ) dsFvmd 221 ⋅=⋅⋅

( ) ∫∫ ⋅=⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅⋅⋅

⋅⋅ s

202

1212

1

vm

vm

221 dsFvmvmvmd

212

1

202

1

221

K vmE ⋅⋅=

∫ ⋅=s

dsFAr

kinetická energie

práce

[J ≈ kg·m2·s-2]

[N·m ≈ kg·m2·s-2]

AEEE 0K1KK =−=∆

zákon o změně kinetické energie

Zákony o změně

Úpravy pohybové rovnice nás přivedouk definování dalších fyzikálních veličin.

Zde EK0 je kinetická energie na začátku vyšetřovaného děje,EK1 je kinetická energie na konci vyšetřovaného děje.

Je-li síla konstantní,lze ji z integrálu vytknouta vyjádřit prácijednodušeji : sFA

rr⋅=


∫ ⋅=s

dsFAr

skalární součin

δ⋅⋅=⋅= cossFsFArr

Fr

δ sr

NFr

PFr

Fr

δ sr

δ⋅= cosFFP δ⋅= sinFFN

pracovní složka síly nepracovní složka síly

sFsFA P ⋅δ⋅=⋅= cos

°>δ 90

°<δ 90

kladná práce – práce vykonaná

záporná práce – práce spotřebovaná

Zákony o změně

0=δ

°=δ 90

10 =cos

090 =°cos práce se nevykonává

( ) 090 <°>δcos

°=δ 180 1180 −=°cos

práce Práce je skalární součin síly a dráhy, je tedy třeba vzít v úvahu rovněž úhel mezi směrem dráhy a směrem síly :

K vyjádření práce můžeme přistoupit i jinak. Sílu rozložíme na složky ve směru dráhy (pracovní) a kolmo ke směru dráhy (nepracovní) :

0sFA >⋅=→0sFA >δ⋅⋅=→ cos

0A =→0sFA <δ⋅⋅=→ cos

sFA ⋅−=→


PdA

dt

F ds

dtF v= = ⋅ = ⋅

r rr r

výkon

[N·m·s-1 ≈ W]

Zákony o změně

∫ ⋅=s

dsFAr

práce [N·m ≈ kg·m2·s-2]

δ

δ

PFr

NFr

Fr

Fr

vr

vr

δ⋅⋅=⋅= cosvFvFPrr

δ⋅= cosFFP δ⋅= sinFFN

vFvFP P ⋅δ⋅=⋅= cos


potenciální energieAsdFEs

P =⋅= ∫rr

hgmdygmdygmdyFAh

0

h

0

h

0

⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅= ∫∫∫

gmGF ⋅==y 2 31

0EP =zvolíme si tzv. „hladinu nulové potenciální energie“

Zákony o změně

hgmEP ⋅⋅= potenciální energie (polohová)

G

F=Gm

Potenciální energie je rovna práci,kterou musíme vykonat,abychom těleso přemístiliz jedné polohy do druhé.

K přemístění může dojít po různých trajektoriích - integračních cestách. Obecně platí,že hodnota křivkového integrálu závisí na integrační cestě. V případě pohybu v gravitačním polipráce síly F nezávisí na integrační cestě. Při přemístění po jakékoliv trajektorii je práce síly Fvždy stejná. Potenciální energie je rovna této práci.Silové pole, které má tuto vlastnost (práce nezávisí na integrační cestě)nazýváme konzervativní silové pole.

Potenciální energie je spojenas polohou tělesa nad povrchem Země.

G

F=Gm

G

F=Gm


G

F=Gm

Země R

y( ) ( )2

2

22 yR

Rgm

yR

mM

r

mMG

+⋅⋅=

+⋅⋅κ=⋅⋅κ=

κκκκ = 6,67·10-11 kg-1·m3·s-2 - gravitační konstanta,M = 5,98·1024 kg - hmotnost Země,R = 6 378 km - poloměr Země,r - vzdálenost od středu Země,y - výška nad povrchem Země.

0EP =


P =⋅= ∫rr

Zákony o změně

na povrchu Země platí :

22

RgM gmR

mMG ⋅=⋅κ⇒⋅=⋅⋅κ=

Ve skutečnosti tíhová síla G, a tedy ani tažná síla F=G,nejsou konstantní.

( )∫ ⋅=h

0

y dyFA

Práci je tedy třeba určit integrálem.


Země R

y

( ) ( )∫∫ ⋅+⋅⋅κ=⋅=

h

02

h

0

y dyyR

mMdyFA

( ) hR

Rhgm

hRR

hmMA

+⋅⋅⋅=

+⋅⋅⋅⋅κ=0EP =


P =⋅= ∫rr

Zákony o změně

+−⋅⋅⋅κ=

+−⋅⋅⋅κ=

hR

1

R

1mM

yR

1mMA

h

0

E m g hR

R hP = ⋅ ⋅ ⋅+

pro h«R 1hR

R ≅+

hgmEP ⋅⋅≅

potenciální energie (polohová)

AEP =potenciální energie je rovna této práci

Pro malou výšku nad Zemí pak přibližně platí :

G

F=Gm

2RgM ⋅=⋅κ



P =⋅= ∫rr

Zákony o změně

y

F

F = k·y

yFykdyykdyFA 212

21

y

0

y

0

⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅= ∫∫

yFykE 212

21

P ⋅⋅=⋅⋅=

k - tuhost

potenciální energie (deformační)

JE3

Fy

3

⋅⋅⋅= l llll - délka nosníku,

E - modul pružnosti v tahuJ - moment setrvačnosti

3

JE3k

l

⋅⋅=

Potenciální energie nemusí být spojena vždy jens polohou hmotného objektu nad povrchem Země.

Působíme-li na vetknutý nosník silou F, nosník se prohne o průhyb y.Působiště síly se posune a síla F tedy koná práci.

Pro výpočet práce je však třeba mít na paměti, že síla F=k·ynení konstantní.Pro průhyb o první milimetr stačí pouze malá síla F. Na druhý milimetr je již síla F větší.Teprve při úplném prohnutí dosahuje síla F své konečné hodnoty.Práci je tedy třeba určit integrováním :

AEP =Potenciální energie je spojenas deformací poddajného objektu (nosníku).


zákon o zachování celkové mechanické energie

konst=+= PKC EEE

m

h

v0 = 0

EK0 = 0

EP0 = m·g·h

EP1 = 0

EK1 = ½·m·v12

konst=+= PKC EEE

1P1K0P0K EEEE +=+

0vmhgm0 212

1 +⋅⋅=⋅⋅+

hg2v1 ⋅⋅=

v1 ≠ 0

0EP =

Celková mechanická energie se zachovává.

Součet kinetické a potenciální energieje celková mechanická energie.Soustavu, jejíž celková mechanická energie se zachovává, nazýváme konzervativní soustava.

zvolíme si tzv. „hladinu nulové potenciální energie“


zákon o změně celkové mechanické energie

α

v

AEE 0C1C +=

h

s

m

G

F

T N

EP1 = m·g·h

EK1 = ½·m·v12

EP0 = 0

EK0 = ½·m·v02

sTsFvm0vmhgm 202

1212

1 ⋅−⋅α⋅+⋅⋅+=⋅⋅+⋅⋅ cos

hgmsTsFvm0vm 202

1212

1 ⋅⋅−⋅−⋅α⋅+⋅⋅+=⋅⋅ cos

m

hgmsTsFvmv

21

202

1

1 ⋅⋅⋅−⋅−⋅α⋅+⋅⋅= cos

konst≠+= PKC EEE

EC1 EC0 A

α⋅= sinsh

Změna celkové mechanické energie je rovna práci nekonzervativních sil.

Soustavu, jejíž celková mechanická energie se mění, nazýváme nekonzervativní soustava.

(to jest sil, které nevytvářejí potenciální energii)


NfT ⋅=


α

v h

s

m

G

F

T N

m

h

Způsob výpočtu dynamiky,založený na rozboru celkové mechanické energie,se nazývá energetická bilance.


Pohyb bodu v prostoru

Vyšetřujeme-li pohyb bodu po křivočaré trajektorii, musíme se zabývatnejen velikostí ale i směrem kinematických veličin - rychlosti v a zrychlenía.

Rychlost v a zrychlenía jsou vektorové veličiny(podobně jako např. síla nebo intenzita elektrostatického pole).To znamená že mají velikost a směr.

vr

ar

Poloha bodu v prostoru je určena polohový vektorem r.Počáteční bod polohového vektoru leží v počátku souřadného systému(je pevný, nehybný), koncový bod leží v bodě, jehož polohu určuje (pohybuje se).

rr


s - dráha

r – polohový vektor

( ) ( ) rrr ttt

rrr∆+=∆+

Okamžitá rychlost má směr tečny k trajektorii.

rychlost vr

( )ttr ∆+r( )trr

rr

∆

polohový vektor v čase t („teď“)

polohový vektor v čase t+∆∆∆∆t („za chvíli“)

změna polohového vektoru

A(t) bod A v čase t („teď“)

A(t+∆t) bod A v čase t+∆∆∆∆t („za chvíli“)

Dva body na křivce určují sečnu.Jsou-li tyto body nekonečně blízko u sebe („soumezné body“), sečna přechází v tečnu.


A(t)

trajektorie( )ttr ∆+r

( )trr

rr

∆

O

s

A(t+∆t)

∆s

rdt

rd

t

rv

0t

&rrr

r ==∆∆=

→∆lim

sdt

dsv &==

rs0t0t

r∆=∆

→∆→∆limlim

velikost rychlosti


zrychlení ar

( ) ( ) vvv ttt ∆+=∆+rr

vdt

dv

t

va

0t

&rr==

∆∆=

→∆lim

( )ttv ∆+r ( )tvr

vr∆

rychlost v čase t („teď“)

rychlost v čase t+∆∆∆∆t („za chvíli“)

změna rychlosti


vr

∆( )tv

r

( )ttv ∆+

r

A(t)


( )trr

rr

∆

O

A(t+∆t) ( )tvv ∆+r

( )tvr

Zrychlení vyjadřuje změnu rychlosti.Při tom musíme zvlášť brát v úvahu změnu velikosti rychlosti a změnu směru rychlosti.


zrychlení ar

( ) ( ) vvv ttt ∆+=∆+rr

vdt

dv

t

va

0t

&rr==

∆∆=

→∆lim

( )ttv ∆+r ( )tvr

vr∆

rychlost v čase t („teď“)

rychlost v čase t+∆∆∆∆t („za chvíli“)

změna rychlosti

Zrychlení vyjadřuje změnu rychlosti.Při tom musíme zvlášť brát v úvahu změnu velikosti rychlosti a změnu směru rychlosti.Obě složky vektoru změny rychlosti ∆∆∆∆v probereme zvlášť.

smvel vvv ∆+∆=∆smv∆velv∆ změna velikostirychlosti

změna směru rychlosti


A(t)


( )trr

rr

∆

O

A(t+∆t)( )tvr ( )tvv ∆+

r

vr∆

( )tvr

( )ttv ∆+

r

velvr∆

smvr∆


zrychlení ar

( ) ( ) vvv ttt ∆+=∆+rr

vdt

dv

t

va

0t

&rr==

∆∆=

→∆lim

Pozn. Je třeba mít na paměti, že úhel, který spolu svírají vektory v(t) a v(t+∆∆∆∆t), je nekonečněmalý.


( )tvr

( )ttv ∆+

r

velvr

∆Mění se pouze velikost rychlosti, směr zůstává beze změny.Zrychlení má stejný směr jako rychlost - směr tečny.

•

•

( )tvr

( )ttv ∆+

r

smvr

∆Mění se pouze směr rychlosti, velikost zůstává beze změny.Zrychlení má směr kolmý k rychlosti - směr normály.

t

va sm

0tn ∆

∆=→∆

lim

r r ra a at n= +

dt

dv

t

va vel

0tt =

∆∆=

→∆limVelikost tečného zrychlení je :

Velikost normálového zrychleníbude určena zvlášť.

A(t)


( )trr

rr

∆

O

A(t+∆t)( )tvr ( )tvv ∆+

rta

r

t

nnar


zrychlení ar


αααα

Rllll

[ ]st360

R2 α⋅⋅π⋅=l

[ ] α⋅=α⋅= )l RR rad

1 rad = (180/π)º ≅ 57,3 º

V kinematice budeme často používat vyjádření délkyllllkruhového oblouku o poloměru R a vrcholovém úhlu ααααjako součinu poloměru a úhlu, vyjádřeného v radiánech (tzv. „v obloukové míře“).

A(t)


( )trr

rr

∆

O

A(t+∆t)( )tvr ( )tvv ∆+

rta

r

t

nnar


A(t)

A(t+∆t)

∆s

trajektorie

n

∆φ

R

S

n

zrychlení ar


•

•

( )tvr

( )ttv ∆+

r

smvr

∆∆φ

φ∆⋅=∆ vvsm

φ∆⋅=∆ Rs

R

v

R

1

t

sv

t

1

R

sv

t

va

2sm

n =⋅∆∆⋅=

∆⋅∆⋅=

∆∆=

„délka oblouku“„poloměr“

úhel

R

s∆=φ∆

R

s∆=φ∆v

A(t)


( )trr

rr

∆

O

A(t+∆t)( )tvr ( )tvv ∆+

rta

r

t

nnar

poloměrkřivosti


zrychlení ar

( ) ( ) vvv ttt ∆+=∆+rr

vdt

dv

t

va

0t

&rr==

∆∆=

→∆lim


( )tvr

( )ttv ∆+

r

velvr

∆

•

•

( )tvr

( )ttv ∆+

r

smvr

∆

r r ra a at n= +

dt

dvat =

R

va

2

n =

⋅=R

vmF

2

odstř

odstředivá síla Fodstř = m·an

A(t)


( )trr

rr

∆

O

A(t+∆t)( )tvr ( )tvv ∆+

rta

r

t

nnar

tečné zrychlení má směr tečnyk trajektorii,vyjadřuje změnu velikosti rychlosti

normálové zrychlení má směr normályk trajektorii,vyjadřuje změnusměru rychlosti

R - poloměr křivosti trajektorie


trajektorie

t

n

t

n oskulační kružnice

S trajektorie

R

tečna, normála, binormála – přirozený souřadný systém

střed oskulační kružnice S je střed křivosti trajektorie

poloměr oskulační kružnice R je poloměr křivosti trajektorie

Oskulační kružnice je dána třemi soumeznými body trajektorie.

tečna - normála oskulační rovina

normála - binormála normálová rovina

tečna - binormála rektifikační rovina

Tečna t je přímka, daná dvěma soumeznými body trajektorie.

Normála n je kolmice k tečně, ležící v oskulační rovině.

Oskulační rovina je dána třemi soumeznými body trajektorie.

Binormála b je přímka, kolmá k tečně a normále.

tečna

, nor

mála a

binor

mála

tvoří

tzv. „

prův

odní

trojhr

an“


Souřadné systémy

x

y

z

xy

zxrr yr

r

zrr

rr

ir

jr

kr

vr

zvr

yvr

xvr

ar

A

kzjyixrrrr zyx

rrrrrrr⋅+⋅+⋅=++=

( )txx = ( )tyy = ( )tzz =

( )kzjyixdt

dr

dt

rdv

rrr&r

rr ⋅+⋅+⋅===

kvjvivvvvv zyxzyx

rrrrrrr ⋅+⋅+⋅=++=

kzjyixvr

&r

&r

&r ⋅+⋅+⋅=

xdt

dxv x &== y

dt

dyv y &== z

dt

dzvz &== 2

z2

y2

x vvvvv ++==r

kartézský (pravoúhlý) souřadný systém, x, y, z

v

vx=αcosv

vy=βcosv

vz=γcos

směrové úhly, směrové cosiny :

úhel vektoru od osy x úhel vektoru od osy zúhel vektoru od osy y


Souřadné systémy

x

y

z

xy

zxrr yr

r

zrr

rr

ir

jr

kr

vr

zvr

yvr

xvr

ar

A

kzjyixrrrr zyx


( )txx = ( )tyy = ( )tzz =

( )kzjyixdt

dr

dt

rdv

rrr&r

rr ⋅+⋅+⋅===

kvjvivvvvv zyxzyx

rrrrrrr ⋅+⋅+⋅=++=

kzjyixvr

&r

&r

&r ⋅+⋅+⋅=

xdt

dxv x &== y

dt

dyv y &== z

dt

dzvz &== 2

z2

y2

x vvvvv ++==r

kajaiaaaaa zyxzyx


( ) kvjvivkvjvivdt

dv

dt

vda zyxzyx

r&

r&

r&

rrr&r

rr

⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅===

xva xx &&& == yva yy &&& == zva zz &&& == 2z

2y

2x aaaaa ++==

r

kartézský (pravoúhlý) souřadný systém, x, y, z


Souřadné systémy

x

y

z

z

ρrr

rr

ir

jr

kr

A zrr

ρ

φ

A’

x

y

ρ

φ

A≡A’

kzirrr z

rrrrr⋅+⋅ρ=+= ρ

cylindrický (válcový) souřadný systém, ρρρρ, φφφφ, z

( )tρ=ρ ( )tφ=φ ( )tzz =

φ⋅ρ= cosx φ⋅ρ= siny

22 yx +=ρx

yarctan=φ


Souřadné systémy

x

y

z

z

ρrr

rr

ir

jr

kr

A zrr

ρ

φ

A’

x

y

ρ

φ

A≡A’

kzirrr z

rrrrr⋅+⋅ρ=+= ρ

x

y

z

z

zvr

φvr

ρvr

A

ρ

φ

A’

ρvr

φvr

kvjvivvvvv zz

rrrrrrr ⋅+⋅+⋅=++= φρφρ

ρ=ρ &v φ⋅ρ=φ&v zvz &=

2z

22 vvvvv ++== φρr

kajaiaaaaa zz

rrrrrrr⋅+⋅+⋅=++= φρφρ

2a φ⋅ρ−ρ=ρ&&&

φ⋅ρ⋅+φ⋅ρ=φ&&&& 2a

zaz &&=2

z22 aaaaa ++== φρ

r

cylindrický (válcový) souřadný systém, ρρρρ, φφφφ, z

( )tρ=ρ ( )tφ=φ ( )tzz =


Souřadné systémy

sférický (kulový) souřadný systém, ρρρρ, φφφφ, ϑϑϑϑ

x

y

z

rr

irj

r

kr

A

A’

φ

ϑ

ρ

irrrrr

⋅ρ== ρ

( )tρ=ρ ( )tφ=φ ( )tϑ=ϑ

φ⋅ϑ⋅ρ= cossinx ϑ⋅ρ= coszφ⋅ϑ⋅ρ= sinsiny

222 zyx ++=ρx

yarctan=φ

z

yx 22 +=ϑ arctan


Souřadné systémy

sférický (kulový) souřadný systém, ρρρρ, φφφφ, ϑϑϑϑ

x

y

z

rr

irj

r

kr

A

A’

φ

ϑ

ρ

x

y

z

rr

φ

ϑA

ϑvr

φvr

ρvr

A’ ( )φvr

irrrrr

⋅ρ== ρ

( )tρ=ρ ( )tφ=φ ( )tϑ=ϑ

kvjvivvvvvrrrrrrr ⋅+⋅+⋅=++= ϑφρϑφρ

ρ=ρ &v φ⋅ϑ⋅ρ=φ&sinv ϑ⋅ρ=ϑ

&v

222 vvvvv ϑφρ ++==r

kajaiaaaaarrrrrrr

⋅+⋅+⋅=++= ϑφρϑφρ

ϑ⋅ϑ⋅φ⋅ρ⋅+ϑ⋅φ⋅ρ⋅+ϑ⋅φ⋅ρ=φ cossinsin &&&&&& 22a

222 aaaaa ϑφρ ++==r

ϑ⋅ϑ⋅φ⋅ρ−ϑ⋅ρ⋅+ϑ⋅ρ=ϑ cossin22a &&&&&

ϑ⋅φ⋅ρ−ρ=ρ22a sin&&&


Pohyb bodu po kružnici

φ

ρ vρ, aρ

vφ, aφ

R

A

x

y

polární souřadný systém, ρρρρ, φφφφ (rovinná varianta cylindrického souřadného systému)

RRx ,−∈ RRy ,−∈

222 Ryx =+

22 xRy −±=

konst==ρ R ( )tφ=φ

0v =ρ=ρ & φ⋅=φ⋅ρ==φ&& Rvv

222 Ra φ⋅−=φ⋅ρ−=φ⋅ρ−ρ=ρ&&&&& φ⋅=φ⋅ρ⋅+φ⋅ρ=φ

&&&&&& R2a

2Ra φ⋅−=ρ& φ⋅=φ

&&Ra0v =ρ φ⋅==φ&Rvv

Kartézský souřadný systém x-y není pro řešení pohybu po kružnici moc vhodný.

Vhodnější je polární souřadný systém ρρρρ-φφφφ.

Kartézské souřadnice x-y nabývají hodnot v omezeném rozsahu (intervalu).

Kartézské souřadnice x-y nejsou na sobě nezávislé. Musí vždy splňovat rovnici kružnice.

Jedné hodnotě x odpovídají vždy dvě možné hodnoty y.



φ

φ=φ=ω &

dt

d

( )φ

ω⋅=φω⋅ω=φ=φ=ω=ω=ε

d

d

2

1

d

d

dt

d

dt

d 2

2

2&&&

úhlová rychlost [rad/s]

úhel [rad, º] dráha [m] Rs ⋅φ=

Rv ⋅ω=

vRRat && =⋅ω=⋅ε=R

vRa

22

n =⋅ω=

tečné zrychlení [m/s2]

obvodová rychlost [m/s]

úhlové zrychlení [rad/s2] (někdy též označené αααα)

φ

R

A nar

vr

tar

ω, ε

x

y

s

2Ra φ⋅−=ρ& φ⋅=φ

&&Ra0v =ρ φ⋅==φ&Rvv

normálové zrychlení [m/s2]

Aplikovaná mechanika, 1. přednáškaPohyb bodu po kružnici


φ

φ=φ=ω &

dt

d

úhlová rychlost [rad/s]

úhel [rad, º] dráha [m] Rs ⋅φ=

Rv ⋅ω=

obvodová rychlost [m/s]

φ

R

A nar

vr

tar

ω, ε

x

y

s

Úhel může být zadán ve stupních, v radiánech nebo počtem otočení.1 rad = (180/ππππ)º ≅ 57,3º,90º = ππππ/2 rad ≅ 1,57 rad (pravý úhel, čtvrt otáčky),180º = ππππ rad ≅ 3,14 rad (půlkruh, půl otáčky),360º = 2·ππππ rad ≅ 6,28 rad (plný kruh - jedna otáčka).

Místo úhlové rychlosti ωωωω bývají v technické praxi často uváděny otáčky n - otáčky za sekundunebo za minutu.1 ot/s = 60 ot/min = 2·ππππ rad/s ≅ 6,28 rad/s. n2 ⋅π⋅=ω n [ot/s]

n [ot/min] 30

n⋅π=ω

Aplikovaná mechanika, 1. přednáškaPohyb bodu po kružnici

Dynamika soustavy hmotných bodů

m1pohyb

m2

m3

G3

G2G1

N1 N2

T1 T2

S32

S23

S31

S13

S21S12

G1, G2, G3

N1, N2

T1, T2

S12, S21, S13, S31, S23, S32

síly vnějšíGi, Ni, Ti,

síly vnitřníSij

síly akčníGi, S13, S31, S23, S32

síly reakčníNi, Ti, S12, S21

síly pracovníGi, Ti, S13, S31, S23, S32

síly nepracovníN1, N2, S12, S21

jiij SSrr

−=

ext

ern

íin

tern

í jsouspojeny

s vazbou


Vnitřní síly Sij = -Sji (na schématu zelené) jsou vždy v páru a navzájem se vyruší,v součtu pak zůstávají vnější (externí) síly.

m2

m3

G3

G2

N2

T1 T2


a3

a2

a1m1D1 D2

D3 Aplikace d’Alembertova principuv dynamice soustavy hmotných bodů

se nijak neliší od aplikacev dynamice hmotného bodu.Každému bodu přiřadíme d’Alembertovu sílu velikosti D=m·a,proti směru zrychlení.Pak sestavíme rovnice pseudostatické rovnováhy.

amDrr

⋅−=

0DF ii

rrr=+∑∑

Sji

Sij

G1

0DF iiE

rrr=+∑∑

Samozřejmě musí být splněny i momentové rovnice rovnováhy.

0DrFr iiiE

i

rrrrr=×+× ∑∑

Aplikovaná mechanika, 1. přednáškaDynamika soustavy hmotných bodů

m1 m2

m3střed hmotnosti soustavy hmotných bodů

x

y

1rr

3rr

Srr

2rr

∑∑ ⋅

=++

⋅+⋅+⋅=i

ii

321

332211S m

rm

mmm

rmrmrmr

rrrrr

∑= iC mm

C

iiS m

xmx ∑ ⋅

=

C

iiS m

ymy ∑ ⋅

=

C

iiS m

zmz ∑ ⋅

=

S

polohový vektor


m1 m2

m3střed hmotnosti soustavy hmotných bodů

1rr

3rr

Srr

2rr

S

polohový vektor

Střed hmotnostisvou definicí připomíná jiný důležitý bod - těžiště.To je definováno jako působiště výslednice tíhových sil a ve výrazech pro souřadnice těžiště je tedy navíc gravitační zrychleníg.Pokud je gravitační zrychlení ve všech bodech stejné, můžeme je v čitateli i ve jmenovateli vytknout a následně vykrátit.Výrazy pro souřadnice středu hmotnostia těžiště jsou pak shodné.

∑∑ ⋅

=++

⋅+⋅+⋅=i

ii

321

332211S m

rm

mmm

rmrmrmr

rrrrr

V malém prostoru(ve srovnánís rozměry Země), v němž lzegravitační zrychlení pokládatza neměnné (jak co do velikosti,tak co do směru), střed hmotnostia těžiště splývají v jeden bod.

Ve velkém prostoru,v němž je gravitační zrychlenív každém bodě jiné,jsou těžiště a střed hmotnosti dva různé body.

V tomto učebním textubude implicitněuvažován malý prostor,v němž oba tyto bodysplývají v jeden.


pohybm2

m3

G3

G2G1

N1 N2

T1 T2

S

m1

F3

F1 F2

věta o pohybu středu hmotnosti

C

iiS m

rmr ∑ ⋅

=r

r

∑ ⋅=⋅ iiSC rmrm &&r&&r

∑ ⋅=⋅ iiSC amamrr

∑∑∑ +==⋅ jI

jE

jii FFFamrrrr

( )∑ ∑∑∑∑ ++=⋅ jiI

ijIE

ii FFFamrrrr

součet sil na jednom bodu

součet sil přes všechny body

∑=⋅ iE

SC Famrr

= 0

Střed hmotnosti se pohybuje tak,jakoby v něm byla soustředěna hmotnosta působily na něj vnější síly.

ext

ern

í-vnějš

ísíly

inte

rní-

vnitř

nísí

ly

vnitřní síly jsou vždy dvě v páru -

stejně velké, opačněorientované

0FF jiI

ijI

rrr=+


pohybm2

m3

G3

G2G1

N1 N2

T1 T2

S

m1

F3

F1 F2

věta o změně hybnosti soustavy hmotných bodů

C

iiS m

rmr ∑ ⋅

=r

r

∑ ⋅=⋅ iiSC rmrm &r&r

∑ ⋅=⋅ iiSC vmvmrr

∫∫ ⋅+⋅=∆t

0

It

0

Ei dtFdtFp

rrr

∫ ⋅=∆t

0

ES dtFp

rr

( ) ( )∑ ⋅∆=⋅∆ iiSC vmvmrr

∑∆=∆ iS pprr

SCS vmprr

⋅=

Změna hybnosti soustavy hmotných bodůje rovna impulsu vnějších sil.

V součtu přes všechny body se impulsy párových(stejně velkých, opačně orientovaných)vnitřních sil navzájem odečtou.


pohybm2

m3

G3

G2G1

N2

T1 T2

S

m1

F3

F1 F2

věta o změně momentu hybnosti soustavy hmotných bodů

Změna momentu hybnosti soustavy hmotných bodůje rovna impulsu momentu vnějších sil.

x

y

1rr

Srr

2rr

iiiP prLrrr

×=_

( )∫ ⋅=t

0

tM dtMIrr

P

∑= iPP LL _

rr

∑=−=∆ EM0P1PP ILLLrrrr

__

SSSP LvmrLrrrr

+⋅×=- moment hybnosti k počátku P,

- moment hybnosti středu hmotnosti k počátku P,

- moment hybnosti bodů ke středu hmotnosti S.SLr SS vmr

rr⋅×

PLr


m2

m3

G3

G2G1

N1 N2

T1 T2

S

m1

F3

F1 F2

∑ ⋅⋅= 2ii2

1K vmE

∑ ∆⋅==∆ iiKi rFAErr

Sji

Sij( ) ∑∑ ∆=⋅⋅∆=∆ Ki

2ii2

1K EvmE

∑∑ ∆⋅+∆⋅=∆ iiI

iiE

Ki rFrFErrrr

∆r3

∑∑ ∆⋅+∆⋅=∆ iiI

iiE

K rFrFErrrr

∑ ∆⋅==∆ iiK rFAErr

∆r1 ∆r2

2SC2

1K vmE ⋅⋅=

věta o změně kinetické energie soustavy hmotných bodů

Změna kinetické energie je rovna práci všech sil (vnějších i vnitřních).

Narozdíl od impulsu, práce vnitřních silse navzájem neodečtou- každá síla působí na jiné dráze.


m2

m3

G3

G2G1

N1 N2

T1 T2

S

m1

F3

F1 F2

∑ ⋅⋅= 2ii2

1K vmE

∑ ∆⋅==∆ iiKi rFAErr

Sji

Sij( ) ∑∑ ∆=⋅⋅∆=∆ Ki

2ii2

1K EvmE

∑∑ ∆⋅+∆⋅=∆ iiI

iiE

Ki rFrFErrrr

∆r3

∆r1 ∆r2

věta o změně kinetické energie soustavy hmotných bodů

Kinetickou energii soustavy hmotných bodů lze (podobně jako moment hybnosti) vyjádřitjako součet kinetické energie hmotnosti celé soustavy, soustředěné do středu hmotnosti,a kinetické energie rotace hmotných bodů okolo středu hmotnosti.Tato teze bývá obvykle označována jako tzv. Königova věta.

S postupem vyšetřování pohybu rozkladem na posuv ve směru pohybu jistého zvoleného bodua rotaci okolo tohoto bodu se seznámíme později. Nazveme jej základní rozklad.


Documents

mechanika statika dynamika - VŠB-TUO · PDF filedynamika kinematika dynamika jen pohyb pohyb a síly Zabývá-li se dynamika vztahem mezi pohybem a silami, pak je účelné zkoumat