MECS Manual

Clemens Guhlke Monica Selva

17. September 2007

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 5

2 Netzwerkgleichungen 7

3 MECS Bedienung 9

3.1 MECS Verzeichnisstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Circuitfile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3 Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.5 DAE-Loser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.5.1 Daen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.5.2 Radau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.5.3 Glimda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.6 Storungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.7 Ausgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Beispiele 19

4.1 Basic Circuit Diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2 Basic Circuit Mosfet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.3 Clipper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.4 Gratzbrucke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.5 Nand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5 Literatur 33

3

Inhaltsverzeichnis

4

1 Einleitung

Mit Hilfe von physikalischen Modellen fur die Netzwerkelemente und der ModifiziertenKnotenanalyse lassen sich elektrische Schaltungen mathematisch beschreiben. Hierdurchentsteht ein System von Algebro-Differentialgleichungen, dessen Index eine wichtige Rol-le fur die erfolgreiche Integration spielt. Zudem ist vom Index die Existenz und Ein-deutigkeit der Losung abhangig, was sich in der Wahl von geeigneten Anfangswertenwiderspiegelt.

Durch die zunehmende Miniaturisierung von Schaltkreisen werden immer genauereModelle fur die Halbleiter benotigt, so dass die Verwendung von Ersatzschaltbildern ineinzelnen Fallen sehr aufwendig oder gegebenenfalls nicht mehr ausreichend ist. So ist dieKopplung der Modifizierten Knotenanalyse mit dem Drift-Diffusions Modell ein Ansatz,der es erlaubt, die Halbleiter des Schaltkreises detailliert zu beschreiben.

Das vorliegende Manual beschreibt ein Matlab-Programm, das eine solche Kopplungfur beliebige Schaltungen ermoglicht. Die Eingabe der Schaltung erfolgt uber Matlab

m-Files, die die Inzidenzmatrizen, Parameter und Eigenschaften der Schaltungselemen-te beschreiben. Ausgehend von einem Circuitfile, das alle Informationen bundelt, kanndie DAE mit verschiedenen Integratoren gelost werden. Vor der Integration erfolgt eineInitialisierung, wofur Teile von Femlab zur Gittergenerierung verwendet werden. DieOrtsdiskretisierung des Drift-Diffusions Modells steht derzeit als eine 1D bzw. 2D Dis-kretisierung mit linearen finiten Elementen zur Verfugung. Fur weitere Diskretisierungs-ansatze ist das Programm so strukturiert, dass es moglich ist, diese ohne viel Aufwandeinzubinden.

Der Abschnitt MECS Bedienung beschaftigt sich mit der Syntax, der Ubergabe undRuckgabe von Parametern und deren Bedeutung. Weiterhin sind die Integratoren undderen Aufruf beschrieben. Im darauffolgenden Kapitel Beispiele werden einige Schal-tungen behandelt. Sie sollen die Funktionfahigkeit des Programms belegen, aber auchaktuelle Schwachen aufzeigen. In der Zukunft, sollten sich die durch geeignete Wahl vonParametern beheben lassen.

Das Programm selbst wurde unter der Leitung von Prof. Dr. Caren Tischendorf, un-ter anderem zur numerischen Untersuchung des Index und Simulation von elektrischenSchaltkreisen, durch Dr. Monica Selva Soto, Michael Helmers und Clemens Guhlke ent-wickelt.

Leider lassen sich Fehler, ob im Programm oder Manual, nicht vermeiden. Falls Fehlergefunden werden oder Unstimmigkeiten auftreten bitte eine Korrektur/Bemerkung anmselva@math.uni-koeln.de . Sollte ein Problem bei einer Simulation auftreten, dann bitteeine Beschreibung dessen mit dem kompletten MECS-Verzeichnis zuschicken.

5

1 Einleitung

6

2 Netzwerkgleichungen

Das zu losende System setzt sich aus den Gleichungen der modifizierten Knotenanalyseund dem skalierten Drift-Diffusions-Modell der Halbleiter zusammen.

Die Anordnung und Struktur wurde so gewahlt, dass sie sich mit der Implementationdeckt. Fur eine detailierte Beschreibung der Gleichungen sei auf [1],[2] verwiesen.

AC

dqC(ATCe, t)

dt= −ARg(A

TRe, t) −ALjL −AV jV −ASjS −AIis (2.1)

dΦL(jL, t)

dt= AT

Le (2.2)

0 = vs −ATV e (2.3)

dqSl

dt= −jSl

−

∫

Γl

k0(Jnl+ Jpl

) · ν χl dσ (2.4)

0 = qSl−

∫

Γl

γ0k0λ2 ∇ψl · ν χl dσ (2.5)

0 = ∇ · (−λ2∇ψl) + nl − pl −Nl (2.6)

−γ0∂tnl = −∇ · Jnl+R(nl, pl) (2.7)

γ0∂tpl = −∇ · Jpl−R(nl, pl) (2.8)

0 = ψl − ψbi + ωl(e) auf Γl,O (2.9)

0 = nl −1

2

(√

N2

l + 4n2

i +Nl

)

auf Γl,O (2.10)

0 = pl −1

2

(√

N2

l + 4n2i −Nl

)

auf Γl,O (2.11)

0 = ∇ψl · ν auf Γl,I (2.12)

0 = Jnl· ν auf Γl,I (2.13)

0 = Jpl· ν auf Γl,I (2.14)

0 = ∇ψl · ν −εSiOx

h εSi(−ψF − ϕG − ψl + ωl(e)) auf Γl,MI (2.15)

0 = Jnl· ν auf Γl,MI (2.16)

0 = Jpl· ν auf Γl,MI (2.17)

7

2 Netzwerkgleichungen

mit

Jn = µn(∇n− n∇ψ)

Jp = −µp(∇p+ p∇ψ)

R(n, p) =np− n2

i

τn(p+ ni) + τp(n+ ni)

Die gesuchten Funktionen sind e, jL, jV , jS , jiS , ψl, nl und pl (l = 1, . . . , nS , nS =#Halbleiter). Es ist zu beachten, dass sich jS aus jS1

, ..., jSnSzusammensetzt. Hier be-

schreibt e die Knotenpotentiale, jL die Strome durch Induktivitaten, jV die Stromedurch Spannungsquellen, jS die Strome durch die Halbleiter, jSl

den Strom durch den l-ten Halbleiter, dqSl

/dt den Verschiebestrom des l-ten Halbleiters, ψl das elektrostatischePotential, nl die Elektronendichte und pl die Locherdichte.

Die Inzidenzmatrizen AC , AR, AL, AV , AS und AI beschreiben den Schaltungs-graphen. Das Verhalten der Netzwerkelemente Kondensator, Widerstand, Induktivitat,Stromquelle und Spannungsquelle wird durch die Funktionen qC(.), g(.), ΦL(.), is undvs beschrieben.

Die Gleichungen 2.4–2.17 beschreiben die Halbleiter, wobei die ersten beiden Zeilenden Strom definieren. Die Verteilung von Elektronen und Locher (Dotierung) wird mitHilfe von Nl festgelegt. Bei λ2, µn, µp, k0, γ0, τn, τp, ni, εSiOx und εSi handelt es sich umNatur- oder Skalierungskonstanten. Der Parameter h bezeichnet die Dicke des Silizium-oxids am Gate-Kontakt. Die Funktionen ωl und χl dienen zur kompakten Schreibweiseder Gleichungen und geben an, welche Potentiale an den Kontakten anliegen bzw. welcherStrom durch die Kontakte fließt.

Der Rand Γ des Halbleiters laßt sich in ΓO∪ΓI∪ΓMI zerlegen, hierbei steht O fureinen Ohmschen Kontakt, I fur einen nichtleitenden Kontakt (Isolator) und MI fur denUbergang zwischen Siliziumoxid und Silizium (Gate- Kontakt Mosfet).

8

3 MECS Bedienung

In diesem Kapitel soll die Bedienung von MECS beschrieben werden, um die Moglich-keiten und Grenzen aufzuzeigen. Es wird der Weg von der Beschreibung der Schaltunghinzu dessen Simulation dargestellt.

Bemerkung: Fur den Entwurf neuer Schaltungen erweist es sich als sinnvoll, eine exist-ierende Vorlage seinen Wunschen entsprechend anzupassen, da sich oft nur geringfugigetwas andert.

3.1 MECS Verzeichnisstruktur

Der Ubersicht zugunsten ist MECS in verschiedene Verzeichnisse unterteilt.Im MECS-Verzeichnis selbst befinden sich die Startdatei mecs.m. In den Unterver-

zeichnissen befinden sich die Diskretisierungen der Halbleiter, die Integratoren, Hilfsroutin-en und die Parameterdateien fur die Netzwerkelemente. Folgende Verzeichnisse sind vor-gesehen

/circuitfiles – Netzlisten;/mainfiles – Integratoren, Assemblierung, Routinen fur Ortsdiskretisierung/perturbation – Storungen;/postprocessing – Postroutinen;/resistance – Widerstande;/voltagesource – Spannungsquellen;/currentsource – Stromquellen;/capacitance – Kapazitaten;/inductance – Induktivitaten;/semiconductors – Dioden und Mosfets.

3.2 Circuitfile

Das Circuitfile, eine Matlab-Funktion, beschreibt den Graphen der Schaltung und dieverwendeten Netzwerkelemente.

Der Aufbau der Schaltung wird mit Hilfe der Inzidenzmatrizen (AR, AC , AS , etc.)festgelegt und die Netzwerkelemente durch Funktionen beschrieben.

Alle schaltungsbeschreibenden Elemente werden in einer Strukturvariable cparams (cir-cuit parameters) gespeichert.

Der Funktionskopf eines Circuitfiles lautet

function cparams = circuitname(cparams)

9

3 MECS Bedienung

Die Dimensionen der Schaltung werden durchcparams.nN = #Knoten,cparams.nC = #Kapazitaten,cparams.nL = #Induktivitaten,cparams.nV = #Spannungsquellen,cparams.nR = #Widerstande,cparams.nI = #Stromquellen undcparams.nS = #Halbleiter festgelegt.

Die entsprechenden Inzidenzmatrizen werden incparams.Ac fur Kapazitaten,cparams.Al fur Induktivitaten,cparams.Av fur Spannungsquellen,cparams.Ar fur Widerstande,cparams.Ai fur Stromquellen undcparams.As fur die Halbleiter gespeichert.

Die Namen der Typen von Strom-, Spanungsquellen, Kapazitaten, Induktivitaten undWiderstanden und deren Ableitungen, werden als Strings in den Variablencparams.ifunc = Stromquellen is,cparams.vfunc = Spannungsquellen vs,cparams.gfunc = Widerstande gcparams.qfunc = Kapazitaten qCcparams.phifunc = Induktivitaten ΦL

abgelegt. Falls eines der Bauelemente nicht vorkommt, sind die entsprechenden Variablenmit ’emptyfunc’ zu belegen.

Fur die Halbleitermodelle sind die Namen der Parameterdateien an die Cellarray-Variable cparams.semdevfunc zu ubergeben, d.h. cparams.semdevfunci entsprichtdem i-ten Halbleiter.

Zusatzliche Informationen zur Beschreibung der Schaltungselemente (z.B. fur Sinus-Spannungsquellen die Anzahl von Perioden) konnen in der Variablencparams.additionalinfo gespeichert werden, diese wird allen Funktionen ubergeben.

3.3 Halbleiter

Ein wichtiger Bestandteil der Schaltung stellen die Halbleitermodelle dar. Sie werdennach der Ortsdiskretisierung des Drift-Diffusionsmodells in die DAE eingebunden. Hier-durch ist es notwendig, nicht nur die Modellparameter (Naturkonstanten, Geometrie,Dotierung usw.), sondern auch die Diskretisierungsparameter (Skalierung, Netzweitenusw.) festzulegen. Diese werden in einer gemeinsamen Funktion angegeben, zudem isthier die Skalierung vorzunehmen. (Es ist vielleicht nicht die richtige Stelle fur das Skalie-ren der Halbleiter, aber es hat sich im Laufe der Programmentwicklung so herausgebildetund ist somit als ein kleineres Ubel dem Nutzer uberlassen.)

10

3.3 Halbleiter

Zunachst werden gemeinsame Parameter von den Dioden und Mosfets aufgefuhrt. Inden darauf folgenden Abschnitten Dioden, Mosfets und Dotierung werden die jeweiligenspezifischen Halbleiterdaten sowie die Dotierung beschrieben.

Der Funktionskopf eines solchen Files ist

function dparams = semiconductor(ts);

alle Konstanten, Parameter und Funktionsnamen werden in der Strukturvariablen dpa-rams (device parameters) gespeichert und zuruckgegeben. Der Wert ts dient zur Zeit-skalierung, falls dieser vom Benutzer angegeben wird, ansonsten wird die Skalierung derZeit durch die Halbleiterdiskretisierung bestimmt.

Fur beide Halbleiterelemente (Diode und Mosfet) sind folgende unskalierte Konstantenanzugeben. Die eingetragenen Werte sind WIAS-TeSCA [10] entnommen.

xdim=5e-4; ydim=2e-4; zdim=1e-2; %Dimensions, in cm

dparams.k=1.38e-23; %Boltzmann constant

dparams.T=300; %Temperature

dparams.q=1.6021892e-19; %Elementary charge

dparams.UT=dparams.k*dparams.T/dparams.q; %Boltzmann voltage

mun=1252; mup=407; %electrons and holes mobilities

dparams.epsilon=8.854187818e-14; %Dielectric constant

ni=1.45e10; %intrinsic concentration

taun=2.0e-4; taup=2.0e-6; %lifetime of electrons and holes

Die fur die Skalierung benotigten Werte sind

dparams.xs=xdim; %f"ur Ortskalierung

dparams.mu0=max(mun,mup); %f"ur Skalierung der Mobilit"aten

dparams.C0=Cmax; %f"ur Skalierung der Dotierung, z.B. max(C)

if ~isempty(ts)

dparams.ts=ts;

else

dparams.ts=dparams.xs^2/dparams.mu0/dparams.UT;

end

Die Skalierung des Modells erfolgt durch den Funktionsaufruf

dparams=scaling(dparams,xdim,ydim,zdim,mun,mup,taun,taup,ni,ts);

Weiterhin sind folgende Informationen mitzuteilen

dparams.numofcontacts = %Number of contacts of the ...

%semiconductor device

dparams.refcontact = %Reference contact, ’Bulk’, ...

%’Source’, ’Drain’, ’Anode’, ’Cathode’

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3 MECS Bedienung

dparams.dopfile = %Doping function

dparams.semfile = %Name of the file where the semiconductor device ...

%model is written as femlab structure

dparams.psiequation = %Equation for psi to be used, ...

%psiequation \in ’poisson’,’energy’

dparams.model = %’stationary’ or ’non-stationary’ model

Die Variable dparams.psiequationwird zur Zeit nicht in allen Diskretisierungen beruck-sichtigt. Das dparams.semfile ist nicht unbedingt notwendig, es wird aber fur einigeHeuristiken und Postfunctions verwendet.

Es sollten noch Zusatzinformationen angegeben werden, um das verwendete Modellgenauer zu beschreiben. Diese Informationen dienen dem Benutzer als Orientierung fureine spatere Auswertung der Simulation. Sie haben aber keinen Einfluß auf diese.

dparams.specialcomment % z.B. ’tesca parameter’

dparams.element % ’mosfet’ oder ’diode’

dparams.modeldimension % = 1 oder = 2;

dparams.discretization % z.B. ’standard’, ’finit volumen’;

Diode 2D

Fur das Dioden-Modell ist es moglich die Breite der Kathode anzugeben. Hierzu ist

cc = 1e-4; % in cm

zu belegen. Die Skalierung erfolgt wie bei den anderen Geometriegroßen durch xs

dparams.cc = cc/dparams.xs;

Das Gitter kann mit Hilfe von

dparams.hmax

dparams.hmaxAnode

dparams.hmaxKathode

verfeinert werden. Die globale Gitterweite wird durch hmax bestimmt und hmaxAnode

bzw. hmaxKathode beziehen sich auf die Gitterweiten an den Kontakten.

Geometrie des Dioden-Modells

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3.3 Halbleiter

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1Diode

xd

yd

Kathode

Anode

Mosfet 2D

Analog zum Dioden-Modell kann beim Mosfet die Breite der Kontakte, sowie die Git-terweite definiert werden.

Die Kontaktbreite fur das Gate wird bestimmt durch

gl = 1e-4; gr = xdim-gl; % in cm

und von Source und Drain durch

kt = 0.05*1e-3; % in cm

Zudem muß noch die Dicke des Oxidbereichs angegeben werden

hk = 0.01*1e-3; % in cm

Die Skalierung erfolgt in

dparams=scaling(dparams,xdim,ydim,zdim,mun,mup,taun,taup,ni,ts,gl,gr,hk,kt);

Das Gitter wird verfeinert mit Hilfe von

dparams.hmax

dparams.hmaxSource

dparams.hmaxGate

dparams.hmaxDrain

dparams.hmaxBulk.

Geometrie des Mosfet-Modells

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3 MECS Bedienung

−0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1Mosfet

xd

yd

Source Gate Drain

Bulk

Dotierung 2D

Die physikalischen Eigenschaften der Halbleiter werden durch die Dotierung bestimmt.Diese hangt im Allgemeinen nur vom Ort ab, somit werden den Dotierfunktionen nochGeometrie spezifische Daten mit ubergeben. Die Dotierung fur die Diode besitzt folgen-den Funktionskopf

function N = dotjunction(x,y,xd,yd,cc,C0)

wobei x die x-Koordinate, y die y- Koordinate, xd die Breite der Diode, yd die Hoheder Diode, cc die Breite des Kathodenkontaktes und C0 der Skalierungsparameter derDotierung sind, wie sie zuvor fur die Halbleiter angegeben wurden.

Analog ist die Dotierfunktion fur das Mosfet aufgebaut

function N = dotjunction(x,y,xd,yd,gl,gr,kt,C0)

Bemerkung: Es ist darauf zu achten, dass der Wert der Dotierung N skaliert zuruck ge-geben wird.

3.4 Simulation

Die Simulation der Schaltung, welche durch das Circuitfile und die jeweiligen Funktionenbeschrieben wird, erfolgt durch Aufruf der Funktion mecs. Die Simulation erfolgt in zweiTeilen, der Initialisierung und Integration, diese konnen getrennt ausgefuhrt werden.

Die Initialisierung umfasst die Auswertung des Circuitfiles und der Parameterdateien,die Gittergenerierung, die Berechung des Equilibriums und eines Anfangswertes. Samtli-che Informationen, die die Schaltungs-DAE beschreiben, werden in der cparams Strukturgespeichert.

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3.5 DAE-Loser

Durch help mecs wird eine detaillierte Beschreibung zum Aufruf ausgegeben. Trotz-dem soll kurz der Aufruf beschrieben werden. Im Allgemeinen erfolgt dieser durch

cparams = mecs(tspan,circuitf,solver,...

meshgenerator,sresults,tscale,perturbations,atol,rtol,h0,calcconsist)

wobei nur die Werte tspan und circuitf angegeben werden mussen, alle weiteren sindoptional. Die Bezeichnungen stehen fur

tspan – Zeitintervall,circuitf – Circuitfile,solver – DAE-Loser,meshgenerator – Programm fur das Gitter-Generierung,sresults – Speicherung der Initialisierung oder der Ergebnisse,tscale – Zeitskalierung,pertubations – Storungen,atol – Absoluter Fehler,rtol – Relativer Fehler,h0 – Startwert, eventuell Schrittweite,calcconsist – Berechnung konsistenter Anfangswerte.

Die Reihenfolge ist bindend, falls einer der Parameter nicht verwendet wird kann dieserdurch einen entsprechenden Platzhalter [] oder ’’ ersetzt werden, so dass die Standard-werte verwendet werden.

Falls es notig ist, die Initialisierung von der Integration zu trennen, so kann dies uberden Flag sresults geschehen. Wird ’init’ angegeben so wird nur die Initialisierungdurchgefuhrt und die cparams-Struktur zuruckgegeben. Durch ’init+save’ werden dieDaten zusatzlich gespeichert. Die Ausgabedatei wird mit einem Vermerk init versehen.Um nun eine Simulation zu starten, ist nur die Struktur der Funktion mecs zu ubergeben.

Bemerkung: Die Strukturen der Initialisierung sind nicht untereinander kompatibel, dafur die Integratoren teilweise unterschiedliche Informationen benotigt werden.

Zum numerischen Losen der Algebro-Differentialgleichung sind verschiedene Integrato-ren eingebunden, diese sollen es ermoglichen, DAEs vom Index 1 bzw. 2 zu losen.

Alle Integratoren wurden auf die vorliegenden Strukturen angepasst. Dies betrifft vorallem den Umgang mit Sparse-Strukturen in Matlab und das Losen des Gleichungs-systems.

3.5 DAE-Loser

Als DAE-Loser kann man zwischen Daen, Radau und Glimda wahlen.

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3 MECS Bedienung

3.5.1 Daen

Daen ist ein BDF-Verfahren mit variabler Schrittweitensteuerung und BDF-Ordnung.Die hier verwendete Version ist eine Matlab-Implementation von Michael Hanke [12].

Die zur Verfugung stehenden Optionen konnen in settimeintegrationoptions fest-gelegt werden und sind dort erklart. Eine detaillierte Beschreibung kann durch help daenew

aufgerufen werden, hierzu muß das Verzeichnis nach /mainfiles/daen gewechselt wer-den.

Bemerkung: Aufgrund von Konvergenzproblemen bei unseren Modellen, wurde dieBerechnung der konsistenten Anfangswerte mit dem Impliziten Euler-Verfahren aus-kommentiert.

3.5.2 Radau

Es kann ein Radau IIA Verfahren mit proper formuliertem Hauptterm zur Integrationverwendet werden. Die Implementation beruht auf der Arbeit von Susann Tegtmeier[13], die infolge ihrer Diplomarbeit entstand. Alle Optionen sind in ihrer Diplomarbeitbeschrieben und es sollen hier nur die Wichtigsten erwahnt werden.

options.s = 1 – 3, Stufenzahloptions.sws = 0 – 3, Schrittweitensteuerungoptions.rtol = relative Fehlertoleranzoptions.atol = absolute Fehlertoleranzoptions.hstart = Startwert fur Schrittweite

Hier sei nur angemerkt, dass fur konstante Schrittweiten sws gleich 0 gewahlt werdenmuß. Als Schrittweite wird dann der Wert von options.hstart verwendet.

Bei konstanter Schrittweite sollte das Newton-Verfahren angepasst werden, um einbesseres Konvergenzverhalten zu erzielen. Hierzu sollte options.maxIter erhoht undoptions.evalJac auf ’yes’ gesetzt werden. Durch options.evalJac = ’yes’ wird injedem Newtonschritt eine neue Jacobi-Matrix verwendet.

Die Optionen report, LU und useSamePath konnen wie bei Dassl oder Daen gewahltwerden.

Bemerkung: Es steht nur der Fehlerschatzer options.ferr = 0 zur Verfugung, fallsnotig sollen weitere folgen.

3.5.3 Glimda

Glimda basiert sich auf verallgemeinerte lineare Verfahren (General linear methods).Die Matlab-Version von Glimda wurde von H. Rabus aus der Fortran-Version von S.Voigtmann entwickelt.

16

3.6 Storungen

3.6 Storungen

Da MECS unter anderem zur Untersuchung des Index des gekoppelten Systems dienensoll, konnen einzelne Komponenten des Gleichungssystems gestort werden.

Die Storung des Systems erfolgt durch eine Funktion, die die Dimensionen der jewei-ligen Komponenten erhalt.

function val = perturbation(t,nN,nL,nV,nS,nsnS)

Hierbei bezeichnet t den aktuellen Zeitschritt, nN die Anzahl der Knoten (ohne Masse),nL die Anzahl der Induktivitaten, nV die Anzahl der Spannungsquellen, nS die Anzahlaller Halbleiter und nsnS die Anzahl der nicht stationaren Halbleiter der aktuellen Schal-tung.

Zuruckgegeben wird der Vektor der Storungen val zum aktuellen Zeitschritt. DieLange von val ist entsprechend der Modellgroße mit nN+nL+nV +nS+nsnS+3 ·nSfestgelegt. Die Reihenfolge der Komponenten des Systems entspricht der im AbschnittGleichungen.

Bemerkung: Die Matlab-Funktion zum Storen des Systems wird als Funktionsnamedem cs-File ubergeben, siehe Abschnitt Simulation. Die Funktion selber sollte im Ver-zeichnis perturbation abgelegt werden.

3.7 Ausgabe

Die Ausgabe der Simulationsdaten erfolgt uber die Struktur cparams, in ihr sind alleInititalisierungswerte und Ergebnisse abgespeichert. Die Struktur wird direkt aus demcs-File ubergeben und je nach Option gespeichert.

Die von der Integration gelieferten Ergebnisse werden in die einzelnen Komponenten,also Knotenpotentiale (e), Strome der Spannungsquellen (jV), Strome der Induktivtaten(jL), Strome der Halbleiter (js), Verschiebestrome der Halbleiter (qs) und Halbleiter-daten zerlegt und abgespeichert, so dass auf diese direkt zugegriffen werden kann. DieHalbleiterdaten werden in die entsprechenden Strukturen (semstruct) und dort in dieVariable sol geschrieben. Somit konnen sie mit Hilfe von Femlab-Funktionen, direktdargestellt werden (postplot, postmovie etc.).

Es stehen einige Postroutinen zur Verfugen zur graphischen Ausgabe von Simulations-ergebnissen. Im nachsten Abschnitt Postprocessing sollen sie beschrieben werden, wobeider Umgang mit der cparams-Struktur erklart wird.

17

3 MECS Bedienung

18

4 Beispiele

Die nachfolgenden Beispiele befinden sich im MECS-Verzeichnis und konnen von dortaufgerufen werden.

Bei allen Beispielen wurden die gleichen Parameter fur das Dioden- bzw. Mosfetmodellverwendet, diese sind im Kapitel Halbleiter angegeben. Die Abbildungen 1-4 zeigen dieTriangulierung und Dotierung der Halbleiter. Es ist zu beachten, dass alle Großen inskalierter Form angegeben wurden.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.45

−0.4

−0.35

−0.3

−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

Abbildung 1: Triangulierung Diode mit 1402Knoten und 2542 Elementen

Abbildung 2: Dotierungsprofil Diode

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

Abbildung 3: Triangulierung Mosfet mit 2192Knoten und 4000 Elementen

Abbildung 4: Dotierungsprofil Mosfet

Die Dotierung des Mosfets entspricht der gespiegelten Diode. Somit werden die nach-folgenden Simulationen mit einem selbstsperrenden n-Kanal Mosfet durchgefuhrt. Desweiteren wird dieser, der Einfachheit wegen, nur mit Mosfet bezeichnet.

19

4 Beispiele

4.1 Basic Circuit Diode

Eine einfache Schaltung mit einer Diode stellt die folgende dar.

−

Vs

+

e1 S e2

R

Wir erhalten die Inzidenzmatrizen

AV =

[

10

]

; AR =

[

01

]

; AS =

[

1−1

]

In unserem Beispiel wurde die Kathode als Referenzkontakt gewahlt, somit fließt derStrom von der Anode zur Referenz.

Die Schaltung wird durch das cs-File basic_circuit_diode beschrieben. Es soll ei-ne Sinus-Spannungsquelle mit einer Amplitude von 5V und einer Frequenz von 10kHzverwendet werden. Der Wert des Widerstandes ist mit 100Ω festgelegt. Durch den Aufrufcparams = mecs([0 1e-4],’basic_circuit_diode’) wird die Simulation gestartet.

Die Simulationsdauer betrug 78 Sekunden auf einem 3GHz Rechner mit 1GByteHauptspeicher. Die Anzahl der Unbekannten setzt sich aus 4208 fur die Diode und3 fur die restliche Schaltung zusammen. Die nachfolgenden Grafiken 5-8 zeigen dieSimulationsergebnisse.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x 10

−4

−5

0

5

time (s)

volta

ge (

V)

Abbildung 5: Knotenpotential an e1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x 10

−4

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

time (s)

curr

ent (

A)

Abbildung 6: Stormfluß durch die Diode

20

4.1 Basic Circuit Diode

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x 10

−4

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8x 10−6

time (s)

curr

ent (

A)

Abbildung 7: Verschiebestrom durch die Diode

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

voltage (V)

curr

ent (

A)

Abbildung 8: Kennlinie der Diode

Es zeigt sich, dass das verwendete Modell das qualitativ Verhalten einer Diode wieder-spiegelt. Steigt die Spannung uber einen Schwellwert von ca. 0.6V so steuert sie durch,andernfalls sperrt sie.

Der Verschiebestrom liefert bei diesen Frequenzen nur einen geringen Beitrag zumGesamtstrom. Zu beobachten ist, dass er im zweiten Teil um ein Vielfaches hoher ist.

Die letzte Grafik zeigt die Kennlinie der Diode. Es ist gut zu erkennen, dass es sichbei der Diode um ein nichtlineares Bauelement handelt. Steigt die Spannung uber ihrenSchwellwert, so nimmt der Storm gegenuber der Spannung exponentiell zu.

Bemerkung: Die durch ein Simulation erzeugte Struktur cparams enthalt alle Simula-tionsdaten. Die Losung wird in die einzelnen Komponenten (Knotenpotentiale, Stromeusw.) zerlegt, siehe Abschnitt Ausgabe. Somit kann zum Beispiel das Knotenpotentialan e1 durch den Befehl plot(cparams.tout,cparams.e(:,1)) dargestellt werden, sieheAbbildung 5.

Fuhrt man die gleiche Simulation mit hoheren Frequenzen im Gigahertz-Bereich durch,so kommt es zu dem Effekt, dass die Diode nur noch bedingt oder gar nicht mehr sperrt.Die Abbildungen 9 und 10 zeigen die Ergebnisse fur 1GHz und 10GHz.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x 10

−9

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

time (s)

curr

ent (

A)

Abbildung 9: Stromfluß durch die Diode bei einerFrequenz von 1GHz

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x 10

−10

−0.02

−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

time (s)

curr

ent (

A)

Abbildung 10: Stormfluß durch die Diode beieiner Frequenz von 10GHz

21

4 Beispiele

Bemerkung: Verkleinert man die Dimension der Diode um den Faktor 103, so ist dieLosung der Simulation mit 10GHz identisch zu der mit 10kHz. Dieses Phanomen laßtsich leicht erklaren, wenn man die Skalierung beider Systeme betrachtet, siehe [6]. DerFaktor 103 spiegelt sich in der Zeitskalierung als 106 wider und bei den anderen Großenkurzt sich dieser heraus, wodurch beide Systeme nach der Skalierung gleich sind.

Zum Abschluß sind das elektrostatische Potential, die Elektronendichte und die Locher-dichte dargestellt. Auch diese Großen spiegeln das qualitative Verhalten wider. Die Er-gebnisse beziehen sich auf die Simulation mit 10kHz. Die Zeitpunkte fur die Plots sindin der Abbildung 11 im Spannungsverlauf markiert.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x 10

−4

−5

0

5

time (s)

volta

ge (

V)

Abbildung 11: Spannungsverlauf mit Markierungen derZeitpunkte

Bei der Elektronendichte ist zu erkennen, dass es zu Stabilitatsproblemen im Bereichder Kathode kommt, vor allem, wenn die Diode sperrt. Der Vergleich der Abbildungen12 und 13 zeigt, dass durch ein feineres Gitter die Storungen verschwinden.

Abbildung 12: Elektronendichte (DetailansichtKathode), t = 7.47e-5s, verwendete Triangulie-rung siehe Abbildung 1

Abbildung 13: Elektronendichte (DetialansichtKathode), t = 7.58e-5s, verwendete Triangulie-rung verfeinert an der Kathode, Knoten 6693 undElemente 12444

22

4.1 Basic Circuit Diode

elektrostatisches Potential, t = 0s elektrostatisches Potential, t = 2.46e-5s

elektrostatisches Potential, t = 5.09e-5s elektrostatisches Potential, t = 7.47e-5s

elektrostatisches Potential, t = 1e-4s

23

4 Beispiele

Elektronendichte, t = 0s Elektronendichte, t = 2.46e-5s

Elektronendichte, t = 5.09e-5s Elektronendichte, t = 7.47e-5s

Elektronendichte, t = 1e-4s

24

4.1 Basic Circuit Diode

Locherdichte, t = 0s Locherdichte, t = 2.46e-5s

Locherdichte, t = 5.09e-5s Locherdichte, t = 7.47e-5s

Locherdichte, t = 1e-4s

25

4 Beispiele

4.2 Basic Circuit Mosfet

Als nachstes wollen wir eine Schaltung mit einem Mosfet, zwei Spannungsquellen undeinem Widerstand betrachten.

−

VG+ e2

e3+

VD−

e1

R

Die Inzidenzmatrizen sind gegeben durch

AV =

0 01 00 1

; AR =

100

; AS =

1 0 00 1 00 0 1

wobei als Referenz der Bulk-Kontakt definiert ist.

Um die Kennlinien des Mosfets zu ermitteln, wurden mehrere Simulationen mit Dassldurchgefuhrt. Die durchschnittliche Simulationsdauer betrug 90s auf einem 3GHz Rech-ner mit 1GByte Hauptspeicher. Durch das relativ feine Gitter ist die Dimension des zulosenden Systems 6587, wobei 6582 Unbekannte auf den Mosfet entfallen.

Der Wert des Widerstandes wurde mit 1Ω festgelegt, die Spannungsquelle VS wurde li-near von 0V auf 15V erhoht und VG konstant gewahlt von 1V bis 5V. In den Abbildungen14 und 15 sind die Kennlinien abgebildet.

Die Schaltung tragt den Namen basic circuit mosfet und das zugehorige m-File befin-det sich im MECS-Ordner circuitfiles. Der Aufruf

cparams = mecs([0 1e-4],’basic_circuit_mosfet’,’save’)

startet die Simulation, wobei der Flag save bewirkt, dass die Ergebnisse gespeichertwerden.

26

4.2 Basic Circuit Mosfet

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4x 10−3

UGS

(V)

I D (

A)

Abbildung 14: UGS -ID- Kennlinie

0 2 4 6 8 10 12 14 16−1

0

1

2

3

4

5x 10−3

UDS

(V)

I D (

A)

Abbildung 15: UDS-ID- Kennlinien

Es ist erkennbar, dass das Verhalten eines Mosfets qualitativ wiedergegeben wird. Bei derUDS-ID-Kennlinie fallt auf, dass der Ubergang vom ohmschen Bereich zum Abschnurbe-reich nicht besonders stark ausgepragt ist. Zudem ist die Krummung der Kennlinie beikleinen Exponentialunterschieden zwischen Gate und Source entgegengesetzt.

Am Drain-Kontakt lassen sich Oszillationen beobachten, vor allem am Ubergang zwi-schen Kontakt und Isolator. Durch verfeinern des Gitters konnen sie eingeschrankt wer-den, siehe Abbildung 16 und 17.

Abbildung 16: Detailansicht der Elektronendichteam Drain-Kontakt, VG = 1V und VD = 10V ,verwendetes Gitter siehe Abbildung 3

Abbildung 17: Detailansicht der Elektronendichteam Drain-Kontakt, VG = 1V und VD = 10V ,Gitter wurde am Drain-Kontakt verfeinert

Die letzten vier Bilder zeigen die Elektronendichte und wie sich der Elektronenkanalausbildet.

27

4 Beispiele

Elektronendichte bei VG = 0V und VD = 10V Elektronendichte bei VG = 1V und VD = 10V

Elektronendichte bei VG = 2V und VD = 10V Elektronendichte bei VG = 3V und VD = 10V

4.3 Clipper

Ein einfache Anwendung mit zwei Dioden stellt der Clipper da.

−

Vs

+

e1 R e2

D1

e3+

Vmax

−

D2

e4−

Vmin

+

Diese Schaltung ist nutzlich zum Aufbau von Schutzschaltungen, da sie die Eingangs-spannung Vs durch die Spannungsquellen Vmin bzw. Vmax begrenzt. Solange die Span-

28

4.3 Clipper

nung von Vs kleiner ist als Vmax + 0.6V (0.6V Schwellwert der Diode) so sperrt D1 undes liegt an e2 das gesamte Potential von Vs an. Steigt Vs weiter, so dass D1 durchsteuert,so fallt die Spannungdifferenz zwischen Vs und Vmax+0.6V uber den Widerstand ab undes liegt an e2 der Wert von Vmax+0.6V an. Analog verhalt es sich mit Vmin wenn Vs fallt.

Fur die Simulation wahlen wir als Eingangssignal eine Sinusquelle mit einer Amplitudevon 5V und einer Frequenz von 10kHz, 10MHz bzw. 100MHz. Wir wollen das Signal bei4V und -3V clippen, dazu wahlen wir Vmax = 3.4V und Vmin = 2.4V . Den Widerstandwahlen wir hinreichend groß mit 10kΩ.

Die Simulation wird gestartet durch cparams = mecs([0 1e-4],’clipper’). DieAbbildungen 18-20 zeigen die Ergebnisse.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x 10

−4

−5

0

5

time (s)

volta

ge (

V)

Abbildung 18: Spannungsverlauf 10kHz

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x 10

−7

−5

0

5

time (s)

volta

ge (

V)

Abbildung 19: Spannungsverlauf 10MHz

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x 10

−8

−5

0

5

time (s)

volta

ge (

V)

Abbildung 20: Spannungsverlauf 100MHz

Wie wir schon wissen, versagt die Diode bei hoheren Frequenzen, so dass ab 100Mhz dasqualitative Verhalten der Schaltung nicht erkennbar ist.

Die Dauer der einzelnen Simulation betrug ca. 4 Minuten auf einem 3GHz Rechnermit 1GByte Hauptspeicher. Die Anzahl der Unbekannten betragt 8423, wobei 4208 aufje eine Diode entfallen.

29

4 Beispiele

4.4 Gratzbrucke

Eine weitere Anwendung fur die Diode ist die Gratzbrucke (Bruckengleichrichter). DerName des Circuitfiles ist graetzbruecke.m und eine Simulation mit Radau IIA wirddurch cparams = mecs([0 1e-4],’graetzbruecke’,’radau’) gestartet.

e2

D2

e3

D3D4

e1

D1+

Vs

−

R

Sei Vs eine Sinusspannungsquelle mit einer Amplitude von 5V und einer Frequenz von20kHz und R ein 10kΩ Widerstand. Die Abbildungen 21-22 zeigen das Eingangs- undAusgangssignal.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x 10

−4

−5

0

5

time (s)

Vs (

V)

Abbildung 21: Eingangssignal Vs

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x 10

−4

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

time (s)

e 3−e 1 (

V)

Abbildung 22: Potential e3 − e1

Die Simulationsdauer mit Dassl betrug 10 Minuten auf einem 3GHz Rechner. Die Di-mension des dazugehorigen Gleichungssystem betragt 16836 Unbekannte.

4.5 Nand

Wir wollen als nachstes eine Nand-Schaltung betrachten.

30

4.5 Nand

e1

e3

+

V2

−

+

V1

−

e2

e5

C

R

e6

+

VDD

−

−

VBB

+

e4

M1

M2

Liegen an den Gates der Mosfets hinreichend große Spannungen an, so fließt ein Stromdurch die Halbleiter. Hierdurch fallt das Potential an e5. Sperrt einer der beiden Mosfetsso liegt an e5 das Potential von VDD an.

Fur die Eingangssignale wahlen wir Impulsspannungsquellen, siehe Abbildung 23. DieVersorgungsspannungen legen wir mit VDD = 5V und VBB = 2.5V fest. Der Widerstandsei mit 1/8 kΩ festgelegt und die Kapazitat mit 5 pF . Fur die Simulation des Systems(Dassl) mit 13174 Variablen wurde rund 45 Minuten benotigt, das Ergebnis ist in Ab-bildung 23 zu sehen. Der Aufruf einer der Simulation mit dem Loser DAEN erfolgt mitcparams = mecs([0 1e-4],’nand’).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x 10

−4

0

1

2

3

4

5

time (s)

volta

ge (V

)

Abbildung 23: V1 (blau), V2 (rot) und e5 (schwarz).

31

4 Beispiele

32

5 Literatur

[1] Selva Soto M. und Tischendorf C., Numerical Analysis of DAEs from CoupledCirciut and Semiconductor Simulation, Preprint Humboldt-Universitat zu Berlin,2003

[2] Tischendorf C., Coupled Systems of Differential Algebraic and Partial Diffenti-al Equations in Circuit and Device Simulation, Habilitationsschrift Humboldt-Universitat zu Berlin, 2003

[3] Montrone F., Ein robustes adaptives Verfahren zur numerischen Losung partiellerDifferentialgleichungen bei elektrischen Bauelementen in drei Raumdimensionen,Dissertation Technischen Universitat Munchen, 1995

[4] Gajewski H., Analysis und Numerik von Ladungstransport in Halbleitern, ReportNo. 6, Berlin 1993

[5] Carsten C., Numerik partieller Differentialgleichungen Finite Elemente, Skript,2004

[6] Schulz S., Modellierung eines Mosfet mit Femlab, 2002

[7] Schulz S., Beschreibung der Funktion assemble im Femlab-Paket, 2003

[8] MatlabDocumentation Version May 06, 2004

[9] Femlab-Handbuch Version 2.3

[10] Weierstraß-Institut fur Angewandte Analysis und Stochastik, WIAS-TeSCA Mo-dellierung und Simulation von Halbleiterbauelementen,http://www.wias-berlin.de/software/tesca

[11] Petzold L., Differential Algebraic System Solver, DASSL,http://www.engineering.ucsb.edu/

[12] Hanke M., DAEN, KTH Stockholm Schweden

[13] Tegtmeier S., Numerische Losung von Algebro-Differentialgleichungen mit pro-per formuliertem Hauptterm durch Runge-Kutta Verfahren, Diplomarbeit an derHumboldt-Universitat zu Berlin, 2002.

[14] Voigtmann S., General Linear Methods for Integrated Circuit Design, Doktorarbeitan der Humboldt Universitat zu Berlin, 2006.

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