MEDIA ARMóNICA

La media armónica (H) de una cantidad finita de números, es la reciproca o inverso de la media aritmética de los recíprocos de los números.

La media armónica es apropiada para promediar velocidades y otras magnitudes analógicas. Se emplea en los trabajos de la estadística económica para la elaboración de los datos de precios.

La media armónica es un tipo de promedio de aplicación restringida, que emplearemos para evitar errores en la elaboración de ciertas clases de datos.

La media armónica no está definida en el caso de que exista algún valor nulo, pues hallar el reciproco de cero implica dividir entre cero, lo cual no es válido.

La media armónica tiene como particularidad que parte del principio de reciprocidad, el cual tiene que ver con la inversión de la inversión multiplicativa. Esto significa que si tenemos un valor x cualquiera, podemos reconocer su inverso multiplicativo como 1/x. A través del principio de reciprocidad podemos definir también x como el inverso de dicho inverso multiplicativo, es decir, x=1/1/x. Esta operación matemática es bastante útil para hacer operaciones de igualdad o demostración de identidades. Si nos encargamos de resolver el sistema mediante el producto de extremos y producto de medios, conocido coloquialmente como ley de la oreja, se obtiene de nuevo el valor de x.

Si aplicamos este principio a la definición básica de la media aritmética, que es la medida más empleada en la estadística, nos encontraríamos con que la armónica o el recíproco de la media, es igual al inverso del inverso de cada X1, multiplicado a su vez por el inverso del tamaño muestral.

Su fórmula es: H= 1

1N∑j=1

N1X j

= N

∑ 1X

Si comenzamos a agrupar todos los elementos que tienen como denominador, X1

nos encontramos con que estos se repiten N1 y luego los que terminan o tienen un denominador X2, se repiten N2, y así sucesivamente hasta Nn. Cuando encontramos esto podemos definir la media armónica como la relación entre el tamaño muestral y la sumatoria de Nn sobre cada categoría o cada dato, es decir Xn.

La media armónica tiene algo particular y es que se requiere una buena cantidad de datos para encontrarse, ya que si se cuentan con pocos la media armónica

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puede diferir ostensiblemente de los datos que se obtienen a través de la media aritmética. Para obtener una media armónica es necesario que no haya una gran concentración de datos Xn específicos, es decir, que los Xn no vayan a ser demasiado grandes en cierto grupo de datos, o que difieran de manera considerable en las otras categorías.

En tres periodos sucesivos se gastaron $300 por periodo en adquirir cierto producto cuyo precio unitario fue de $15, $20 y $30 respectivamente. Se desea saber cuál fue el costo promedio del producto.

H= 31

15+

120

+1

30

H= 3(0.067+0.05+0.0333)

=20

Esto es así porque el costo promedio debe obtenerse como cociente entre el costo total y la cantidad total comprada.

H= 90030015

+30020

+30030

= 900

300(1

15+

120

+1

30)= 3

115

+1

20+

130

ANALISIS:Considerando que en tres periodos sucesivos los precios unitarios de un producto x fueron $15, $20 y $30 respectivamente, se pudo determinar mediante la aplicación de la fórmula de la media armónica, que el costo promedio de dicho producto es $ 20.00, que si lo demostramos de otra manera nos dará el mismo resultado.

H= 90030015

+30020

+30030

= 900

300(1

15+

120

+1

30)= 3

115

+1

20+

130

Si en cada periodo se gastaran distintas cantidades de dinero, por ejemplo $300, $ 500 y $900 respectivamente, habría que calcular una media armónica ponderada:

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H= 170030015

+50020

+90030

=22.67

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA MEDIA ARMONICA

VENTAJAS

1. Está influenciado por los valores extremos y por cada uno de los datos de la serie al igual que la Media Aritmética

2. Es útil en problemas de Física, sirve para promediar tasas, y para el cálculo o comparación de salarios reales.

3. Destaca la influencia de los valores menores y reduce la influencia de los valores mayores.

4. Considera todos los valores de la distribución y en ciertos casos, es más representativa que la media aritmética.

DESVENTAJAS

1. Si una de las observaciones es 0 la Media Armónica será infinita por lo tanto no podría calcularse.

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2. La influencia de los valores pequeños y el hecho que no se puede determinar en las distribuciones con algunos valores iguales a cero; por eso no es aconsejable su empleo en distribuciones donde existan valores muy pequeños.

APLICACIONES DE LA MEDIA ARMÓNICA

Esta medida se emplea para promediar variaciones con respecto al tiempo tales como productividades, tiempos, rendimientos, cambios, etc., tal como se describe a continuación.

PRECIO PROMEDIO

Si se compran varios tipos de productos con distintas cantidades de unidades de cada tipo, pero gastando en ellos igual cantidad de dinero, el precio promedio por unidad es igual a la media armónica de los precios por unidad de cada tipo de producto.

RENDIMIENTO PROMEDIO DE PRODUCCIÓN

En un grupo puede haber operarios con distinta velocidad para producir un artículo. Si cada una de estas personas tiene que elaborar igual cantidad de artículos, el promedio de velocidad de rendimientos de tal grupo, es igual al promedio armónico de las velocidades de rendimiento de cada una de los operarios que lo integran.

RENDIMIENTO PROMEDIO DE LA PRODUCCIÓN

Si v1, v2, …vn son las velocidades de rendimiento de cada uno de los operarios, que aunque sea en distinta cantidad de tiempo, producen igual cantidad de productos, el promedio de velocidad de rendimiento del grupo es:

H = n / (1/v1 + 1/v2 + …1/vn) donde n es el número de operarios

Ejemplo:

Se compra 4 cajas de bolígrafos las cuatro cajas costaron $ 20.00 cada una el precio de cada lápiz es:

Caja Precio de cada lapicero

1 0.502 1.00

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3 1.254 2.00

Este problema puede ser resuelto por n2 métodos

La cual se los describiré a continuación

Primer método

Precio Promedio = Cantidad total gastada / cantidad total de lapiceros comprada

Número de lapiceros = precio de la caja / precio de cada lapicero

Caja Precio de cada lapicero

Número de lápices

1 0.50 402 1.00 203 1.25 164 2.00 10

Total gastado = 20.00 / caja * 4 cajas = 80.00 en total

Total lapiceros comprados = 40+20+16+10 = 86 lapiceros

Precio promedio = 80.00 / 86 lapiceros = 0.93 / cada lapicero

Segunda Forma Estadística

Como las 20 cajas cuestan 20 dólares, el precio promedio de los lapiceros que contienen es igual al promedio armónico de los precios de los lápices de cada caja.

MH= n

[( 1P1 )+( 1

P2 )+( 1P3 )+( 1

P4 )]MH= 4

[( 10.50 )+( 1

1.00 )+( 11.25 )+( 1

2.00 )]Página 5

MH=$ 0.93cadauno−lapices

Media Armónica Simple

Ejemplo 2: Hallar la media armónica de los siguientes números: 2,4 y 9

X1 1/X i

249

0.500.250.11

0.86

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Calculo de los recíprocos de las observaciones

1X1

=12=0.50

1X2

=14=0.25

1X3

=19=0.11

Calcule la media armónica

M−1(x) = n/∑x1

1 = 3 / 0.86 = 3.48

M−1 ( x )=3.48

Ejemplo 1: Evaluar utilizando la media armónica la sucesión 6 : 4 : 3 : 4 es la media armónica .

Esta es una Relación según la cual deben estar las longitudes de las cuerdas musicales para obtener una nota, la quinta y la octava. En efecto

M−1 (X )=N

∑ 1/X1

= 30.86

=3.48

M−13/+1

4+ 1

3+ 1

12

¿3∗12/9

¿4 : .M−1 ( X )=4

MEDIA ARMONICA PONDERADA

SEAN LAS DEL CHOFER VAORES DE LA VARIABLE…. Y1 Y 2 Y3

EN SUS RESPECTIVAMENTE N1 , N2, N3 …………..N1)

La reciproco de los valores de la variable y observaciones son:

1Y 1

,1Y 2.

,……,1Y n

Los recíprocos con las frecuencias absolutas serán:

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1Y 1

n1 ;1Y 2.

n2 ;…;1Y m

nm

Por definición: 1y= n

1Y 1

n1+1Y 2.

n2+…+1Y m

nm

Pero: 1y=M−1 (Y )=Media Armonica

Reemplazando tenemos:

M−1 (Y )= n1Y 1

n1+1Y 2.

n2+…+1Y m

nm

= n

∑i=1

m¿yi

M−1 ( y )=n /∑ ¿yi

Una persona viaja de A a B con una velocidad media de 30 millas por hora (mi/h) y regresa de B a A a una velocidad media de 60 mi / h Hallar su velocidad media en el viaje completo.

Vm= 21

30+

160

= 22+160

= 23

60

Vm=2 x 603

= 2 x 20 = 40 millas/h

Vm=40mi /h

Ejemplo # 2

Las ciudades A, B y C son equidistantes entre si un motorista viaja de A a B A 30 Kmts. Por hora, de B a C a 40 Kms/ Hora, De C a 50 Kms/ Hora. Determinar el promedio de la velocidad para el viaje completo.

Vm= 3

( 130 )+( 1

40 )+( 150

)= 3

0,078=38,46k . p . h

Solución Vm=38,46k . p . h

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A

CB

Ejemplo # 3

La Formula se aplica en la siguientes formas: Supongamos que un auto recorre 60 kmts . a una velocidad de 100 kmts por hora y otros 40 kmts . A una velocidad de 80 Kmts Por hora;

Pregunta ¿Cuál será la Velocidad media?

V1 = 100V m=

10060100

+4080

= 1000,6+0,5

=1001,1

=90,9km /h

V2 =80

S1 = 60

S2= 40

RELACIÓN ENTRE LAS MEDIAS ARITMÉTICA, GEOMÉTRICA Y ARMÓNICA

La relación entre la media armónica, la media geométrica y la media aritmética puede expresarse de la siguiente manera:

La igualdad de los signos se presenta solamente cuando todos los números X1 , X2 ,….. X N son idénticos.

EJEMPLO:

De los números 2, 4,6, 7, 8, 10, 20 encontrar la Media Aritmética, Geométrica y Armónica.

Media Aritmética

X=∑i−1

N

Xi

N

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MH ≤ MG ≤ X

X=2+4+6+7+8+10+20

7

X= 8,142857143

X= 8,14

Media Geométrica

X G= n√x1∗x2∗….. xn

X G= 7√2∗4∗6∗7∗8∗10∗20

X G= 7√537600

X G=6,586232189

X G=6,59

Media Armónica.

H= n

∑i=1

n

[ 1x i

]H= 7

12+

14+

16+

17+

18+

110

+1

20

H= 70,5+0,25+0,166666666+0,142857142+0,125+0,1+0,05

H= 71,334523808

H=5,245316688

H=5,25

En distribuciones simétricas los valores de las medias armónica, aritmética, geométrica, son iguales entre sí, es decir:

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MH = MA = MG

Observaciones sobre la media Geométrica y la media Armónica

El empleo de la media geométrica o de la armónica equivale a una transformación de la variable en log x o 1/x, respectivamente, y el cálculo de la media aritmética de la nueva variable; por ejemplo, si la variable abarca un campo de variación muy grande, tal como el porcentaje de impureza de un producto químico, por lo general alrededor del 0.1%, pero que en ocasiones llega incluso al 1% o más, puede ser ventajoso el empleo de log x en lugar de x para obtener una distribución más simétrica y que se aproxime más a una distribución normal. La media aritmética de log x es el logaritmo de la media geométrica de x, de forma que la media empleada es equivalente al empleo de la media geométrica como valor medio de x.

Media Armónica para datos simples:

Sean los números x1, x2,… xn. La media armónica se obtiene con la siguiente

ecuación:

H= n

∑i=1

n1x1

= n

( 1x1

+…+1xn

)

PROPIEDADES DE LA MEDIA ARMONICA

1. La suma algebraica de las desviaciones de los recíprocos de la media armónica

es nula.

H= 1210+…

110

H=0

2. Para términos positivos, la media armónica es menor a la media geométrica.

O sea:

H ( x )≤MG ( x )≤ x

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Ejercicio:

Supóngase que una familia realiza un viaje en automóvil

a una ciudad y cubre los primeros 100 km a 60km/h, los

siguientes 100km a 70 km/h y los últimos 100 km a 80

km/h. Calcular en esas condiciones, la media armónica.

H= 31

60+

170

+1

80

H= 30.04345238

H=¿69.0410959

MEDIA ARMONICA A PARTIR DE DATOS AGRUPADOS

Si consideramos los elementos ( X1, X2, X3, . . . , XN) que se presentan con frecuencias ( f 1, f 2, f 3, . . . , fN) en donde ( f 1+ f 2+ f 3+. . . +fN= N ) representa la frecuencia total; la ecuación de la Media Armónica para datos agrupados se expresa por:La siguiente formula

Dónde:

H = Media ArmónicaN =∑ f= Número total de frecuencias X i= Valor de cada dato

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KILÓMETROS

6070

80

fi = Frecuencias de clase

EJERCICIO

Una flotilla de vehículos muestra la siguiente información acerca de la Velocidad promedio en Km/hr que sus vehículos recorren a diario.

Velocidad Promedio en Km/hr(X i)

Número de vehículos

(fi)

40 2050 1570 1090 12

100 3 ∑60

Los pasos a seguir serán los siguientes:

H= 602040

+1550

+1070

+1290

+3

100

H= 600,5+0,3+0,142857142+0,133333333+0,03

H= 601,106190475

H=54,24020669

Página 13

H=54,24

ANÁLISIS

Después de analizar las velocidades promedio en Km/hr de la Flotilla “Cash S.A” de 60 de sus vehículos se pudo verificar que el promedio de la Media Armónica es de 54, 24 Km/hr.

MEDIA ARMONICA A PARTIR DE DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS DE CLASE.

Tiene la misma fórmula de resolución que para datos agrupados:

Dónde:

H = Media ArmónicaN =∑ f= Número total de frecuencias X i= Marcas de clases de datos agrupadosfi = Frecuencias de clase

EJERCICIO

La siguiente tabla de distribuciones registra las longitudes en centímetros que en una semana tienen 100 plantas de frijol; con la información antes mencionada se pide hallar la Media Armónica.

INTERVALOS FRECUENCIAS

Página 14

(LONGITUDES)(Nº. DE PLANTAS)

(fi)5.4 - 5.7 75.8 - 6.1 166.2 - 6.5 216.6 - 6.9 297.0 - 7.3 187.4 - 7.7 9

∑ 100

Para determinar la Media Armónica es necesario construir la siguiente tabla de distribuciones:

INTERVALOS(LONGITUDES)

MARCA DE CLASE

(Xi)

FRECUENCIAS(Nº. DE PLANTAS)

(fi)fi/ Xi

5,4 – 5,7 5,55 7 1,2612612615,8 – 6,1 5,95 16 2,689075636,2 – 6,5 6,35 21 3,3070866146,6 – 6,9 6,75 29 4,2962962967,0 – 7,3 7,15 18 2,5174825177,4 – 7,7 7,55 9 1,19205298

∑ 100 ∑ 15,2632553Sustituyendo los datos anteriores en la correspondiente ecuación tenemos:

H= 10015,2632553

H=6,551682328

H=6,55

ANÁLISIS

Después de analizar las diferentes longitudes en centímetros de las 100 plantas de frijoles de la hacienda “Terranova” se pudo constatar que el promedio de la Media Armónica es de 6, 55 centímetros.

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APLICACIÓN DE LA MEDIA ARMONICA EN EXCEL

MEDIA.ARMO

Devuelve la media armónica de un conjunto de datos. La media armónica es la inversa de la media aritmética de los valores recíprocos.

Sintaxis

MEDIA.ARMO (número1; número2;...)

Número1, número2,...     son de 1 a 30 argumentos cuya media desea calcular. También puede utilizar una matriz única o una referencia matricial en lugar de argumentos separados con punto y coma.

Observaciones

Los argumentos deben ser números o nombres, matrices o referencias que contengan números.

Si el argumento matricial o de referencia contiene texto, valores lógicos o celdas vacías, estos valores se pasan por alto; sin embargo, se incluirán las celdas con el valor cero.

Si uno de los puntos de datos ≤ 0, MEDIA.ARMO devuelve el valor de error #¡NUM!

La media armónica es siempre inferior a la media geométrica, que a su vez es siempre inferior a la media aritmética.

La ecuación para la media armónica es:

Ejemplo:

  1

2

3

4

A

Datos

4

Página 16

5

6

7

8

5

8

7

11

4

3

Fórmula Descripción (Resultado)

=MEDIA.ARMO(A2:A8)Media armónica del conjunto de datos anterior (5,028376)

Hallar la media armónica de los siguientes números: 2, 4 y 9.

Supóngase que una familia realiza un viaje en automóvil a una ciudad y cubre los primeros 100 km a 60km/h, los siguientes 100km a 70 km/h y los últimos 100 km a 80 km/h. Calcular en esas condiciones, la media armónica.

Página 17

La suma algebraica de las desviaciones de los recíprocos de la media armónica es

nula

Ejemplo:

X1

0

4

5

6

7

8

10

Para términos positivos, la media armónica es menor a la media geométrica.

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Página 19