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MEDIA ARMóNICA La media armónica (H) de una cantidad finita de números, es la reciproca o inverso de la media aritmética de los recíprocos de los números. La media armónica es apropiada para promediar velocidades y otras magnitudes analógicas. Se emplea en los trabajos de la estadística económica para la elaboración de los datos de precios. La media armónica es un tipo de promedio de aplicación restringida, que emplearemos para evitar errores en la elaboración de ciertas clases de datos. La media armónica no está definida en el caso de que exista algún valor nulo, pues hallar el reciproco de cero implica dividir entre cero, lo cual no es válido. La media armónica tiene como particularidad que parte del principio de reciprocidad, el cual tiene que ver con la inversión de la inversión multiplicativa. Esto significa que si tenemos un valor x cualquiera, podemos reconocer su inverso multiplicativo como 1/x. A través del principio de reciprocidad podemos definir también x como el inverso de dicho inverso multiplicativo, es decir, x=1/1/x. Esta operación matemática es bastante útil para hacer operaciones de igualdad o demostración de identidades. Si nos encargamos de resolver el sistema mediante el producto de extremos y producto de medios, conocido coloquialmente como ley de la oreja, se obtiene de nuevo el valor de x. Si aplicamos este principio a la definición básica de la media aritmética, que es la medida más empleada en la estadística, nos encontraríamos con que la armónica o el recíproco de la media, es igual al inverso del inverso de Página 1

Media Armonica

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MEDIA ARMNICALa media armnica (H) de una cantidad finita de nmeros, es la reciproca o inverso de la media aritmtica de los recprocos de los nmeros.La media armnica es apropiada para promediar velocidades y otras magnitudes analgicas. Se emplea en los trabajos de la estadstica econmica para la elaboracin de los datos de precios.La media armnica es un tipo de promedio de aplicacin restringida, que emplearemos para evitar errores en la elaboracin de ciertas clases de datos. La media armnica no est definida en el caso de que exista algn valor nulo, pues hallar el reciproco de cero implica dividir entre cero, lo cual no es vlido.La media armnica tiene como particularidad que parte del principio de reciprocidad, el cual tiene que ver con la inversin de la inversin multiplicativa. Esto significa que si tenemos un valor x cualquiera, podemos reconocer su inverso multiplicativo como 1/x. A travs del principio de reciprocidad podemos definir tambin x como el inverso de dicho inverso multiplicativo, es decir, x=1/1/x. Esta operacin matemtica es bastante til para hacer operaciones de igualdad o demostracin de identidades. Si nos encargamos de resolver el sistema mediante el producto de extremos y producto de medios, conocido coloquialmente como ley de la oreja, se obtiene de nuevo el valor de x. Si aplicamos este principio a la definicin bsica de la media aritmtica, que es la medida ms empleada en la estadstica, nos encontraramos con que la armnica o el recproco de la media, es igual al inverso del inverso de cada X1, multiplicado a su vez por el inverso del tamao muestral. Su frmula es: Si comenzamos a agrupar todos los elementos que tienen como denominador, X1 nos encontramos con que estos se repiten N1 y luego los que terminan o tienen un denominador X2, se repiten N2, y as sucesivamente hasta Nn. Cuando encontramos esto podemos definir la media armnica como la relacin entre el tamao muestral y la sumatoria de Nn sobre cada categora o cada dato, es decir Xn.La media armnica tiene algo particular y es que se requiere una buena cantidad de datos para encontrarse, ya que si se cuentan con pocos la media armnica puede diferir ostensiblemente de los datos que se obtienen a travs de la media aritmtica. Para obtener una media armnica es necesario que no haya una gran concentracin de datos Xn especficos, es decir, que los Xn no vayan a ser demasiado grandes en cierto grupo de datos, o que difieran de manera considerable en las otras categoras. En tres periodos sucesivos se gastaron $300 por periodo en adquirir cierto producto cuyo precio unitario fue de $15, $20 y $30 respectivamente. Se desea saber cul fue el costo promedio del producto.

Esto es as porque el costo promedio debe obtenerse como cociente entre el costo total y la cantidad total comprada.

ANALISIS:Considerando que en tres periodos sucesivos los precios unitarios de un producto x fueron $15, $20 y $30 respectivamente, se pudo determinar mediante la aplicacin de la frmula de la media armnica, que el costo promedio de dicho producto es $ 20.00, que si lo demostramos de otra manera nos dar el mismo resultado.

Si en cada periodo se gastaran distintas cantidades de dinero, por ejemplo $300, $ 500 y $900 respectivamente, habra que calcular una media armnica ponderada:

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA MEDIA ARMONICAVENTAJAS1. Est influenciado por los valores extremos y por cada uno de los datos de la serie al igual que la Media Aritmtica2. Es til en problemas de Fsica, sirve para promediar tasas, y para el clculo o comparacin de salarios reales.3. Destaca la influencia de los valores menores y reduce la influencia de los valores mayores.4. Considera todos los valores de la distribucin y en ciertos casos, es ms representativa que la media aritmtica.

DESVENTAJAS1. Si una de las observaciones es 0 la Media Armnica ser infinita por lo tanto no podra calcularse.2. La influencia de los valores pequeos y el hecho que no se puede determinar en las distribuciones con algunos valores iguales a cero; por eso no es aconsejable su empleo en distribuciones donde existan valores muy pequeos.APLICACIONES DE LA MEDIA ARMNICAEsta medida se emplea para promediar variaciones con respecto al tiempo tales como productividades, tiempos, rendimientos, cambios, etc., tal como se describe a continuacin. PRECIO PROMEDIO Si se compran varios tipos de productos con distintas cantidades de unidades de cada tipo, pero gastando en ellos igual cantidad de dinero, el precio promedio por unidad es igual a la media armnica de los precios por unidad de cada tipo de producto. RENDIMIENTO PROMEDIO DE PRODUCCIN En un grupo puede haber operarios con distinta velocidad para producir un artculo. Si cada una de estas personas tiene que elaborar igual cantidad de artculos, el promedio de velocidad de rendimientos de tal grupo, es igual al promedio armnico de las velocidades de rendimiento de cada una de los operarios que lo integran. RENDIMIENTO PROMEDIO DE LA PRODUCCIN Si v1, v2, vn son las velocidades de rendimiento de cada uno de los operarios, que aunque sea en distinta cantidad de tiempo, producen igual cantidad de productos, el promedio de velocidad de rendimiento del grupo es: H = n / (1/v1 + 1/v2 + 1/vn) donde n es el nmero de operariosEjemplo:Se compra 4 cajas de bolgrafos las cuatro cajas costaron $ 20.00 cada una el precio de cada lpiz es: CajaPrecio de cada lapicero

10.50

21.00

31.25

42.00

Este problema puede ser resuelto por n2 mtodos La cual se los describir a continuacin Primer mtodoPrecio Promedio = Cantidad total gastada / cantidad total de lapiceros compradaNmero de lapiceros = precio de la caja / precio de cada lapicero

CajaPrecio de cada lapiceroNmero de lpices

10.5040

21.0020

31.2516

42.0010

Total gastado = 20.00 / caja * 4 cajas = 80.00 en totalTotal lapiceros comprados = 40+20+16+10 = 86 lapicerosPrecio promedio = 80.00 / 86 lapiceros = 0.93 / cada lapicero

Segunda Forma EstadsticaComo las 20 cajas cuestan 20 dlares, el precio promedio de los lapiceros que contienen es igual al promedio armnico de los precios de los lpices de cada caja.

Media Armnica SimpleEjemplo 2: Hallar la media armnica de los siguientes nmeros: 2,4 y 9

2490.500.250.11

0.86

Calculo de los recprocos de las observaciones

Calcule la media armnica(x) = n/= 3 / 0.86 = 3.48

Ejemplo 1: Evaluar utilizando la media armnica la sucesin 6 : 4 : 3 : 4 es la media armnica .Esta es una Relacin segn la cual deben estar las longitudes de las cuerdas musicales para obtener una nota, la quinta y la octava. En efecto

MEDIA ARMONICA PONDERADASEAN LAS DEL CHOFER VAORES DE LA VARIABLE. Y1 Y 2 Y3EN SUS RESPECTIVAMENTE N1 , N2, N3 ..N1)La reciproco de los valores de la variable y observaciones son:

Los recprocos con las frecuencias absolutas sern:

Por definicin: Pero: Reemplazando tenemos:

Una persona viaja de A a B con una velocidad media de 30 millas por hora (mi/h) y regresa de B a A a una velocidad media de 60 mi / h Hallar su velocidad media en el viaje completo. = 2 x 20 = 40 millas/h

Ejemplo # 2Las ciudades A, B y C son equidistantes entre si un motorista viaja de A a B A 30 Kmts. Por hora, de B a C a 40 Kms/ Hora, De C a 50 Kms/ Hora. Determinar el promedio de la velocidad para el viaje completo. A

Solucin CB

Ejemplo # 3La Formula se aplica en la siguientes formas: Supongamos que un auto recorre 60 kmts . a una velocidad de 100 kmts por hora y otros 40 kmts . A una velocidad de 80 Kmts Por hora; Pregunta Cul ser la Velocidad media?V1 = 100V2 =80S1 = 60S2= 40

RELACIN ENTRE LAS MEDIAS ARITMTICA, GEOMTRICA Y ARMNICALa relacin entre la media armnica, la media geomtrica y la media aritmtica puede expresarse de la siguiente manera: MH MG

La igualdad de los signos se presenta solamente cuando todos los nmeros son idnticos.EJEMPLO:De los nmeros 2, 4,6, 7, 8, 10, 20 encontrar la Media Aritmtica, Geomtrica y Armnica.Media Aritmtica === 8,142857143= 8,14Media Geomtrica

Media Armnica.

En distribuciones simtricas los valores de las medias armnica, aritmtica, geomtrica, son iguales entre s, es decir: MH = MA = MG

Observaciones sobre la media Geomtrica y la media ArmnicaEl empleo de la media geomtrica o de la armnica equivale a una transformacin de la variable en log x o 1/x, respectivamente, y el clculo de la media aritmtica de la nueva variable; por ejemplo, si la variable abarca un campo de variacin muy grande, tal como el porcentaje de impureza de un producto qumico, por lo general alrededor del 0.1%, pero que en ocasiones llega incluso al 1% o ms, puede ser ventajoso el empleo de log x en lugar de x para obtener una distribucin ms simtrica y que se aproxime ms a una distribucin normal. La media aritmtica de log x es el logaritmo de la media geomtrica de x, de forma que la media empleada es equivalente al empleo de la media geomtrica como valor medio de x. Media Armnica para datos simples:Sean los nmeros x1, x2, xn. La media armnica se obtiene con la siguiente ecuacin:

PROPIEDADES DE LA MEDIA ARMONICA

1. La suma algebraica de las desviaciones de los recprocos de la media armnica es nula.

2. Para trminos positivos, la media armnica es menor a la media geomtrica.O sea:

Ejercicio:Supngase que una familia realiza un viaje en automvil a una ciudad y cubre los primeros 100 km a 60km/h, los siguientes 100km a 70 km/h y los ltimos 100 km a 80 km/h. Calcular en esas condiciones, la media armnica. KILMETROS

60

70

80

69.0410959

MEDIA ARMONICA A PARTIR DE DATOS AGRUPADOSSi consideramos los elementos ( X1,X2,X3, . . . , XN) que sepresentan con frecuencias ( f1, f2, f3, . . . , fN) en donde ( f1+ f2+ f3+. . . +fN= N ) representa la frecuencia total; la ecuacin de la Media Armnica para datos agrupados se expresa por:La siguiente formula

Dnde:

H = Media ArmnicaN == Nmerototal defrecuencias = Valor de cada datofi = Frecuencias de clase

EJERCICIO Una flotilla de vehculos muestra la siguiente informacin acerca de la Velocidad promedio en Km/hr que sus vehculos recorren a diario.

Velocidad Promedio en Km/hr

Nmero de vehculos(fi)

4020

5015

7010

9012

100 3

60

Los pasos a seguir sern los siguientes:

ANLISISDespus de analizar las velocidades promedio en Km/hr de la Flotilla Cash S.A de 60 de sus vehculos se pudo verificar que el promedio de la Media Armnica es de 54, 24 Km/hr.

MEDIA ARMONICA A PARTIR DE DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS DE CLASE.Tiene la misma frmula de resolucin que para datos agrupados:

Dnde:

H = Media ArmnicaN == Nmerototal defrecuencias = Marcas de clases de datos agrupadosfi = Frecuencias de clase

EJERCICIOLa siguiente tabla de distribuciones registra las longitudes en centmetros que en una semana tienen 100 plantas de frijol; con la informacin antes mencionada se pide hallar la Media Armnica.

INTERVALOS(LONGITUDES)FRECUENCIAS(N. DE PLANTAS)(fi)

5.4 - 5.7 7

5.8 - 6.116

6.2 - 6.521

6.6 - 6.929

7.0 - 7.318

7.4 - 7.7 9

Para determinar la Media Armnica es necesario construir la siguiente tabla de distribuciones:INTERVALOS(LONGITUDES)MARCA DE CLASE(Xi)FRECUENCIAS(N. DE PLANTAS)(fi)fi/ Xi

5,4 5,75,55 7 1,261261261

5,8 6,15,9516 2,68907563

6,2 6,56,3521 3,307086614

6,6 6,96,7529 4,296296296

7,0 7,37,1518 2,517482517

7,4 7,77,55 9 1,19205298

Sustituyendo los datos anteriores en la correspondiente ecuacin tenemos:

ANLISISDespus de analizar las diferentes longitudes en centmetros de las 100 plantas de frijoles de la hacienda Terranova se pudo constatar que el promedio de la Media Armnica es de 6, 55 centmetros.

APLICACIN DE LA MEDIA ARMONICA EN EXCELMEDIA.ARMO Devuelve la media armnica de un conjunto de datos. La media armnica es la inversa de la media aritmtica de los valores recprocos.SintaxisMEDIA.ARMO (nmero1; nmero2;...)Nmero1, nmero2,... son de 1 a 30 argumentos cuya media desea calcular. Tambin puede utilizar una matriz nica o una referencia matricial en lugar de argumentos separados con punto y coma.Observaciones Los argumentos deben ser nmeros o nombres, matrices o referencias que contengan nmeros. Si el argumento matricial o de referencia contiene texto, valores lgicos o celdas vacas, estos valores se pasan por alto; sin embargo, se incluirn las celdas con el valor cero. Si uno de los puntos de datos 0, MEDIA.ARMO devuelve el valor de error #NUM! La media armnica es siempre inferior a la media geomtrica, que a su vez es siempre inferior a la media aritmtica. La ecuacin para la media armnica es:

Ejemplo: 1

2

3

4

5

6

7

8

A

Datos

4

5

8

7

11

4

3

FrmulaDescripcin (Resultado)

=MEDIA.ARMO(A2:A8)Media armnica del conjunto de datos anterior (5,028376)

Hallar la media armnica de los siguientes nmeros: 2, 4 y 9.

Supngase que una familia realiza un viaje en automvil a una ciudad y cubre los primeros 100 km a 60km/h, los siguientes 100km a 70 km/h y los ltimos 100 km a 80 km/h. Calcular en esas condiciones, la media armnica.

La suma algebraica de las desviaciones de los recprocos de la media armnica es nula Ejemplo:X1

0

4

5

6

7

8

10

Para trminos positivos, la media armnica es menor a la media geomtrica.

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