Upload
voliem
View
346
Download
7
Embed Size (px)
Citation preview
1
1
Mehanika deformabilnih tijela
8. dio
2
Tehni�ka mehanika=
Mehanika apsolutno krutih tijela (statika)
+
Mehanika deformabilnih tijela
3
Mehanika deformabilnih tijela
Otpornost materijala
Nauka o �vrsto�i
4
Sadržaj
1. Uvod
2. Geometrijske karakteristike
popre�nih presjeka nosa�a
3. Temelji i potporni zidovi
4. Analiza naprezanja
5. Analiza deformacije
5
6. ����usobna ovisnost naprezanja i deformacija
7. Veze izme�u komponenata unutarnjih sila i komponenata tenzora naprezanja
8. Eksperimentalna metode analize naprezanja i deformacija 6
7. Osnovni na�ini optere�enja štapa
8. Rastezanje štapa N>0 (vlak)
9. Izvijanje štapa N<0 (tlak)
10. Uvijanje štapa Mt
11. �isto savijanje štapa My
12. Savijanje štapa s popre�nim silama
My i Tz
2
7
Podjela mehanike
8
Idealizacija realnog �vrstog tijela u mehanici
9
Odre�ivanje stanja naprezanja i deformacija:
a) Analiti�kim metodamab) Numeri�kim metodamac) Eksperimentalnim
metodama
10
a) Analiti�ka metoda:
Provjera rezultata prora�una:b) Numeri�kim metodamac) Eksperimentom
U praksi zadovoljavaju�a odstupanja do 5%)
11 12
Teorijski ili matemati�ki pristup�odre�ivanju naprezanja i deformacija u tijelima proizvoljnog oblika vrlo je složen, u op�em slu�aju zahtijeva uporabu složenog matemati�kog aparata i mukotrpno se dolazi do egzaktnih rješenja.
3
13
U svakodnevnoj praksi za rješavanje problema koristimo se inženjerskim pristupom.
Uvode se pretpostavke:- o svojstvima materijala. - o deformiranju tijela, i- o raspodjeli naprezanja po
presjeku tijela.14
Statika - pretpostavke:1. Kontinuum2. Apsolutno kruto tijelo
Otpornost materijala – pretpostavke: 1. Kontinuum2. Deformabilno �vrsto tijelo
15
KontinumKod kontinuuma je materija tijela jednoliko ineprekinuto raspodijeljena po �itavom obujmu tijela.(Prirodno �vrsto tijelo je diskretni sustav materijalnih
to�aka, t.j. sastavljeno je od malih �estica – molekula.)
Deformabilno tijelo
je �vrsto tijelo koje se pod djelovanjem siladeformira, mijenja svoj oblik i obujam. 16
Pretpostavke:
1. Pretpostavka o svojstvima materijala
2. Pretpostavka o deformiranju
3. Pretpostavka o raspodjeli naprezanja popresjeku tijela
17
1. Pretpostavka - o svojstvima materijala
Razmatraju se �vrsta tijela idealiziranihsvojstava:
• (Kontinuum)• Homogen• Izotropan• Idealno elasti�an
18
Homogen
Svojstva materijala su u svim to�kama jednaka.
na primjer: gusto�a ρ (kg/m3)
homogen - �elik
4
19
Izotropan
Elasti�na, mehani�ka, toplinska i drugafizi�ko-mehani�ka svojstva materijala su u svim smjerovima. na primjer: modul elasti�nosti E (N/m2).izotropan: �elik
E = Ex = Ey = Ez
E = 21.000 kN/cm2
20
Idealno elasti�an materijal
Tijelo od idealno elasti�nog materijala se
nakon rastere�enja vra�a u prvobitno
stanje poprima prvobitni oblik i obujam.
na primjer – �elik – napregnut do granice
elasti�nosti
21
Homogen – �elikHeterogen – beton (smjesa agregata i
cementne paste)Izotropan – �elik E = 21.000 kN/cm2
Anizotropno: drvo – (ortotropno)E|| = 1.000 kN/cm2 i E�= 30 kN/cm2
Elasti�no tijelo – �elikPlasti�no tijelo Viskoelasti�no tijelo
22
Plasti�no tijelo
U plasti�nom tijelima nakon rastere�enja
deformacije tijela ne iš�eznu potpuno, ve�
zaostaju tzv. trajne ili plasti�ne deformacije.
na primjer: nisko-uglji�ni (meki) gra�evinski �elik poslije granice elasti�nosti
23
Viskoelasti�no tijelo
Viskoelasti�ni materijali imaju svojstva elasti�nih tijela i viskoznih teku�ina.
Viskoelasti�na tijela karakteriziraju pojave:1. puzanja (beton) i2. relaksacije (polimeri)
24
Puzanje je pojava porasta deformacija tijekom vremena pri konstantnom naprezanju (na pr. beton).
Relaksacije je pojava opadanja naprezanja kod konstantne deformacije tijekom vremena. (na pr. polimerni materijali, asfalt, metali pri povišenim temperaturama)
5
25
2. Pretpostavka - o deformiranju:
1. deformacije tijela su male u odnosu na dimenzije tijela
2. usvajamo na�elo po�etnih dimenzija3. vrijedi linearna proporcionalnost izme�u
optere�enja i pomaka-elasti�no podru�je4. vrijedi zakon superpozicije - elasti�no
podru�je26
1. deformacije tijela su male u odnosu na dimenzije tijela
2. usvajamo na�elo po�etnih dimenzija a, l
Progib w << a, l, b, h
Popre�ni presjek:
27
3. vrijedi linearna
proporcionalnost
izme�u optere�enja i
pomaka - elasti�no
podru�je
28
4. Zakon superpozicije: progib wk= wk1+ wk2
29
3. Pretpostavka – o raspodjeli naprezanja po presjeku tijela
Postoji jednozna�na ovisnost izme�u naprezanja i deformacijaHookeov zakon:
- za normalno naprezanje:
- za posmi�no naprezanje: γτ ⋅= G
εσ ⋅= E
30
Pretpostavke - ponavljanje
1. Pretpostavka o svojstvima materijala: kontinuum, homogen, izotropan i idealno elasti�an
2. Pretpostavka o deformiranju: slu�aj malih deformacija, na�elo po�etnih dimenzija i zakon superpozicije
3. Pretpostavka o raspodjeli naprezanja po presjeku tijela: Hookeov zakon
6
31
1. Gusto�a ρ [kg/m3]
2. Modul elasti�nosti E [kN/m2]
3. Poissonov koeficijent ν [-]
4. Modul posmika G [kN/m2]
5. Obujamski modul elasti�nosti K [kN/m2](bulk modul, modul kompresije)
6. Koeficijent linearnog toplinskog
rastezanja αt [ / 0C]
Fizikalno-mehani�ke karakteristike materijala:
32
Otpornost materijala
Prou�ava:
• 1. �vrsto�u, • 2. krutost i • 3. elasti�nu stabilnost
konstrukcija i dijelova konstrukcija.
33
�vrsto�a
• �vrsto�a konstrukcije je sposobnost
elemenata konstrukcije prijenosa
optere�enja bez pojave loma, bez
trajnih plasti�nih deformacija ili
ošte�enja (pukotine).
34
�vrsto�a
• Uvjet �vrsto�e za:
Normalno naprezanje σ < σdop
Posmi�no naprezanje τ < τdop
35
�vrsto�a
Najve�a naprezanja u elementima konstrukcije ne smiju biti ve�a od neke normativne vrijednosti - dopuštenog naprezanja ���� ������������������ ��se odre�uju normiranim ispitivanjima na ispitnim uzorcima (epruvetama) od tog materijala. Ispitivanja se obavljaju u ovlaštenom laboratoriju.
36
Krutost
• Krutost konstrukcije je otpornost konstrukcije
prema deformiranju (t.j. promjeni oblika i
dimenzija pod optere�enjem).
Uvjet krutosti:
• Progib nosa�a kod savijanja
• Kut uvijanja
dopww ≤
dopϑ≤ϑ
7
37
Krutost
• Pri zadanom optere�enju deformacije ne smiju biti ve�e od dopuštenih, jer bi moglo do�i u pitanje iskorištavanje elementa ili �itave konstrukcije u primjeni
dopk ww ≤
38
Elasti�na stabilnost
Elasti�na stabilnost konstrukcije je
sposobnost konstrukcije da kod
optere�ivanja zadrži po�etni
ravnotežni oblik
Izvijanje ravnog štapa
39
Elasti�na stabilnost
• Gubitak elasti�ne stabilnosti ravnog štapa zovemo izvijanje.
• Dugi i vitki štapovi podvrgnuti velikom osnom optere�enju na sabijanje mogu izgubiti svoj prvobitni pravocrtni oblik.
• Eksperimentalna i teorijska ispitivanja pokazuju da pojava nestabilnog ravnotežnog oblika elementa ili konstrukcije neizbježno vodi do potpunog uništenja (kolapsa) konstrukcije.
40
Tenzori 2. reda
• Tenzor naprezanja • Tenzor deformacija
���
�
�
���
�
�
=
zzyzx
yzyyx
xzxyx
ij
σσσσσσσσσ
�
�
�
���
�
�
=
zzyzx
yzyyx
xzxyx
ij
εεεεεεεεε
ε
41
Naprezanja
1. Normalno naprezanje σ2. Posmi�no naprezanje τ
presjeka popre�nog tikakarakteris kageometrijspresjeku popre�nom u sila unutarnja
naprezanje =
42
Tenzori 2. reda
• Tenzor naprezanja • Tenzor deformacija
���
�
�
���
�
�
στττστττσ
=σ
zzyzx
yzyyx
xzxyx
ij
������
�
�
������
�
�
=
zzyzx
yzyyx
xzxyx
ij
εγγ
γεγ
γγε
ε
21
21
21
21
21
21
8
43
Tenzornaprezanja
{ j,iσ i – normala ravnine presjeka na kojem djeluje komponenta naprezanja
j – koordinatna os s kojom je komponenta naprezanja paralelna44
Sustav mjernih jedinica SI
Papaskalnaprezanje, tlak
Nnjutnsila, težina
ssekundavrijeme
kgkilogrammasa
mmetarduljina
������������Naziv jediniceNaziv veli�ine
45
Jedinica za naprezanje:
2
2
kN/cm 1PaM 10
N/mm 1PaM 1
=
=Ve�a jedinica je megaPaskal
2N/m 1Pa 1 =
46
Normalno naprezanje σ
• Normalno naprezanje σ uzrokuju promjenu obujma t.j. utje�e na promjenu duljina:
l1 =
l l1
47
Posmi�no naprezanje τ• Posmi�no naprezanje τ utje�u samo na
promjenu oblika tijela.
48
Duljinska deformacija εεεε• Duljiska deformacija εεεε je relativna
promjena neke duljine tijela koje se deformira
ll∆=ε
l1 =
9
49
Kutna deformacija tijela γKutna deformacija γγγγ je promjena pravogkuta (π/2) tijela koje se deformira(promjena oblika).
50
Kutna deformacija tijela γ• Kutna deformacija γγγγ javlja se kod uvijanja
štapa kao zakreti presjeka štapa uslijed djelovanja momenta uvijanja Mt
51
Povijest - otpornosti materijala
• Leonardo da Vinci• Galileo Galilei• Robert Hooke• Jakob Bernoulli• L. Euler• C. A. Coulomb• T. Young• L. Navier• A. L. Cauchy i drugi.
52
1. Leonardo da Vinci - eksperimentalna istraživanja proste grede i konzole
2. Galileo Galilei – mehanika deformabilnih tijela
3. Robert Hooke - mehanika elasti�nih tijela
4. Jakob Bernoulli - hipoteza ravnih presjeka
5. L. Euler - stabilnost pritisnutih štapova
6. C. A. Coulomb - uvijanje okruglog štapa
7. T. Young - posmi�no naprezanje, modul E
8. L. Navier - op�e jednadžbe ravnoteže
9. A. L. Cauchy - zakon o uzajamnosti posmi�nih naprezanja
53
• Leonardo da Vinci (1452-1519) bavio se prou�avanjem �vrsto�e tehni�kih konstrukcija, eksperimentalnim istraživanjima proste grede i konzole.
• Galileo Galilei (1564-1642) prvi je primjetio da mehanika krutih tijela nije dovoljna za rješavanje mnogih problema sigurnosti konstrukcija te da se moraju uzeti u obzir fizikalna svojstva materijala. Njegova publikacija "Discorsi e Dimostrazionimatematiche intorio a due nuove scienze" prva je na podru�ju znanosti o otpornosti materijala i ozna�ava po�etak povijesnog razdoblja mehanike deformabilnih tijela.
54
• Robert Hooke (1635-1703) prou�ava elasti�na svojstva materijala. Eksperimentalnim ispitivanjima na oprugama, žicama i drvenim konzolama pronalazi Zakon o linearnoj ovisnosti optere�enja i deformacija pri rastezanju, na kojoj je kasnije izgra�ena mehanika elasti�nih tijela.
• Jakob Bernoulli (1654-1705) prou�avao je oblik savijene grede i postavio jednu od važnijih hipoteza u znanosti o otpornosti materijala - hipotezu ravnih presjeka.
10
55
• L. Euler (1700-1783) istraživao jestabilnost pritisnutih štapova.
• C. A. Coulomb (1785-1806) prou�ava me�u prvima torziju okruglog štapa, mehani�ka svojstva materijala, odredio granicu elasti�nosti za neke materijale, dao to�no rješenje savijanja konzole.
56
• T. Young (1773-1829) dao je matemati�ku formulaciju Hookeovog zakona i uveo pojam modula elasti�nosti E pri rastezanju i pritisku, koji se naziva Youngovim modulom. Uvodi i pojam posmi�nog naprezanja. Prvi je po�eo prou�avanje djelovanje dinami�kog optere�enja.
57
• L. Navier (1785-1836) izdaje 1862. prvi udžbenik o otpornosti materijala. Za razliku od ostalih istraživa�a, koji su tražili optere�enje koje dovodi do rušenja konstrukcije, on je tražio optere�enje do kojeg se konstrukcija ponaša potpuno elasti�no bez najave trajnih deformacija. Prvi je formulirao op�e jednadžbe ravnoteže.
• A. L. Cauchy (1789-1857) uvodi pojam glavnih naprezanja i glavnih deformacija te dokazuje zakon o uzajamnosti posmi�nih naprezanja. 58
• Ostali istraživa�i su:
• Poisson (koeficijent ν),
• Lame (koeficijenti λ i µ),
• Mohr (kružnice naprezanja),
• Saint-Venant (teorija plasti�nosti),
• Huber, Mises, Hencky (HMH teorija loma),
• Rankin, Maxwell, Clapeyron, Castiglian, Betti,
Prandtl, Timošenko, Mushelšvilia, Ostrogradski i
drugi.