Sveučilište u ZagrebuRudarsko-geološko-naftni fakultet

MEHANIKA KONTINUUMA I REOLOGIJA

Lidija Frgić

Mladen Hudec

Zagreb, 2006.

I

SADRŽAJ

str.

OZNAKE

1. UVOD.............................................................................................................................1

1.1. Pojam kontinuuma..................................................................................................1

1.2. Mjerne jedinice........................................................................................................ 3

1.3. Skalari i vektori....................................................................................................... 3

2. TEORIJA NAPREZANJA............................................................................................ 5

2.1. Tenzor naprezanja....................................................................................................7

2.2. Veze između unutrašnjih sila i komponenata tenzora naprezanja........................... 9

2.3. Simetrija tenzora naprezanja................................................................................. 10

2.4. Statički uvjeti ravnoteže...................................................................................... 11

2.5. Transformacija tenzora naprezanja........................................................................13

2.6. Glavna naprezanja................................................................................................. 15

2.7. Dioba tenzora naprezanja na komponente.............................................................20

3. TEORIJA DEFORMACIJA........................................................................................ 24

3.1. Tenzor deformacija................................................................................................25

3.2. Glavne deformacije...............................................................................................29

3.3. Oktaedarske deformacije...................................................................................... 30

3.4. Ravninsko stanje deformacija................................................................................31

3.5. Brzina deformacije............................................................................................... 32

3.6. Brzina prirasta naprezanja..................................................................................... 32

4. TEORIJA ELASTIČNOSTI......................................................................................... 33

4.1. Veza između komponenata tenzora naprezanja i komponenata tenzora

deformacija................................................................................................................... 33

4.2. Ravninsko stanje naprezanja............................................................................... 39

4.3. Ravninsko stanje deformacija..............................................................................40

5. REOLOŠKI MODELI I MODELIRANJE............................................................... 41

II

5.1. Materijali idealnih svojstava..................................................................................42

5.1.1. Idealno elastičan Hooke-ov materijal..........................................................42

5.1.2. Savršeno plastičan materijal – Saint Venant-ov materijal.......................... 44

5.1.3.Viskozan fluid.............................................................................................. 45

5.2. Reološki modeli s dva elementa............................................................................ 48

5.2.1. Viskoelastičan Kelvin-Voigtov materijal....................................................48

5.2.2. Viskoelastičan Maxwell-ov fluid................................................................ 50

5.2.3. Elastoplastičan materijal............................................................................. 53

5.3. Složeni reološki modeli više elemenata.................................................................54

5.3.1. Bingham-ov model......................................................................................54

5.3.2. Lethersich-ov model....................................................................................55

5.3.3. Schwedoff-ov model................................................................................... 57

5.3.4. Burgerov model...........................................................................................58

6. KONSTITUTIVNI MODELI KONTINUUMA...........................................................61

6.1. OSNOVNE PRETPOSTAVKE ELASTIČNOG MODELA................................ 62

6.2. OSNOVNE POSTAVKE ELASTOPLASTIČNOG MODELA..........................68

6.2.1. Kriterij plastičnosti......................................................................................69

6.2.2. Pravilo tečenja............................................................................................. 71

6.2.3. Pravilo očvršćavanja................................................................................... 71

6.2.4. Kriterij loma................................................................................................ 73

6.2.4.1. Von Misesov kriterij loma.............................................................73

6.2.4.2. Trescin kriterij loma...................................................................... 73

6.2.4.3. Mohr - Coulombov kriterij loma................................................... 73

6.2.4.4. Drucker-Pragerov kriterij loma..................................................... 75

6.2.4.5. Lade-Duncanov kriterij loma........................................................ 76

6.2.4.6. Hoek-Brownov kriterij loma......................................................... 77

6.2.5. Elastoplastični modeli tla............................................................................ 78

6.3. OSNOVE ELASTOVISKOPLASTIČNOG MODELA...................................... 81

LITERATURA..........................................................................................................................84

III

OZNAKE

A površina presjeka [m2]

ai projekcija ubrzanja [m/s2].

ei energija čestica

r razmak između čestica

r intenzitet radijus vektora

r radijus vektor

F intenzitet sile

F vektor sile

AiF , projekcija vektora sile na koordinatne osi

N normalna sila

T2, T3 transverzalne sile u smjeru osi 2 i 3

Mt moment uvijanja (torzije)

M2, M3 momenti savijanja oko osi 2, odnosno 3.

n normala ravnine presjeka

S+ i S- privlačna i odbojna sila između čestica

ix projekcija radijus vektora na koordinatne osi

, Aiα prikloni kut vektora prema koordinatnoj osi

ijε tenzor deformacija

ij

•ε tenzor brzina deformacija

ijσ tenzor naprezanja

ij

•σ tenzor brzine prirasta naprezanja.

σ normalno naprezanje [N/m2]

τ posmično naprezanje [N/m2]

ρ vektor punog naprezanja

iρ projekcija vektora punog naprezanja na koordinatne osi

γ gustoća [kg/m3]

Značenje ostalih simbola, vezano za posebna poglavlja rada, objašnjeno je u samom tekstu gdje su spomenute oznake i navedene.

IV

1

1. UVOD

Literatura iz područja podzemne i nadzemne eksploatacije mineralnih sirovina te iz

područja izgradnje podzemnih prostorija i tunela, isto kao i literatura iz područja inženjerske

geologije i hidrogeologije, poziva se na postavke i rezultate mehanike kontinuuma i reologije.

Isto se tako takvi podaci mogu naći u literaturi o bušenjima na veliku dubinu i primjenama

tekućina s izraženim reološkim svojstvima u naftnom rudarstvu. Sadržaj i nivo predavanja

prilagođen je predznanju slušača iz podurčja matematike i fizičkih disciplina.

Sadržaj predavanja je u detaljima ograničen na čvrsta tijela, iako daje neke od općih

relacija zajedničkih i za čvrsta tijela i za fluide.

1.1. Pojam kontinuuma

Čvrsta tijela i fluidi imaju korpuskularnu strukturu, što znači da se sastoje od

molekula, atoma i subatomskih čestica koje su međusobno manje ili više pokretljive. Između

čestica postoje interkorpuskularne sile elektromagnetskog karaktera, a kojih intenzitet ovisi o

međusobnim razmacima čestica.

Postoji posebna grana mehanike kontinuuma - mikroreologija - koja objašnjava

fenomene promjene volumena i oblika tijela, polazeći od stvarne mikrostrukture i zakona

nuklearne fizike.

Normalno mjerljive veličine u tehnici daleko prelaze dimenzije unutar kojih treba

voditi računa o utjecajima pojedinih čestica, pa se promjene formi i volumena mogu

promatrati makroskopski, prihvaćajući materiju kao neprekidnu sredinu. Govori se tada o

mehanici neprekidnih (neprekinutih) sredina ili mehanici kontinuuma i njezinoj tehničkoj

primjeni makroreologiji ili jednostavno reologiji. U širem smislu tu je obuhvaćena i teorija

elastičnih tijela kao poseban slučaj, isto kao i hidromehanika.

Naziv reologija izveden je iz grčkog glagola ρεω (reo) što znači teći ili protjecati.

Mehanika kontinuuma prihvaća ponašanje materijala kao činjenicu, kao odgovor

materijala na vanjske utjecaje, bez pokušaja objašnjenja, ali na temelju eksperimentalnih

podataka. Stvaraju se tzv. matematski modeli mehaničkih karakteristika materijala.

Da bi se mogla uočiti uzročno posljedična veza vanjskih utjecaja i promjene oblika

neka posluži (opet matematski!) model koji pretpostavljaju Grimsehl i Tomaschek za

kristalinične strukture. U takvim tijelima elementarne čestice osciliraju oko nekog

ravnotežnog položaja.

2

Pretpostavljaju se, naime, privlačne i odbojne sile između dviju čestica, koje u svakom

momentu moraju biti uravnotežene. Za privlačnu silu između dviju čestica vrijedi zakon

sličan općem zakonu gravitacije:

221

re e S ⋅

=+ (1.1)

pri čemu su:

e1 , e2 - energije obiju čestica

r - razmak između čestica.

Odbojne sile rastu brže uz smanjivanje razmaka među česticama, po zakonu:

2.n je gdje ; r

e e S n21 >

⋅=− (1.2)

Slika 1.1

Na slici 1.1 prikazane su obje krivulje, od kojih jedna daje veličinu privlačnih a druga

odbojnih sila između čestica. Krivulja R prikazuje ovisnost rezultirajuće sile među česticama,

kao razliku navedenih krivulja S+ i S- , ovisno o njihovom međurazmaku.

Rezultirajućoj krivulji mogu se dati dva objašnjenja:

a) ako se izvana djeluje na česticu tlačnom silom, onda par čestica reagira

smanjivanjem međurazmaka,

3

b) za razmicanje međurazmaka, tj. povećanje r, potrebna je vlačna sila. Postoji granični međurazmak iza kojeg dolazi do destrukcije materijala.

Kao zaključak treba napomenuti da na svaki vanjski utjecaj materija odgovara

promjenom međurazmaka među elementarnim česticama, a to daje ukupnu promjenu

geometrijske forme, odnosno deformaciju tijela.

U mehanici kontinuuma se rješavaju problemi prostornog djelovanja sila na prostorna

tijela, što je vezano uz dosta složenu matematsku aparaturu. Znatno pojednostavljenje može

kod toga značiti sistematizacija označavanja raznih veličina i pojednostavljenje simbolike.

1.2. Mjerne jedinice

Sve fizičke veličine možemo mjeriti, tj. odrediti njihovu veličinu bez obzira na to radi

li se o dužini, masi, vremenu, toplini itd. Kao rezultat mjerenja dobiva se neka brojna

vrijednost (intenzitet) koji je vezan uz definiciju mjerne jedinice u kojoj se taj intenzitet

izražava npr.:

masa m = 3,62 [kg] (kilograma)

vrijeme t = 12 [s] (sekunda)

dužina d = 2,88 [m] (metara).

Obvezuje nas Međunarodni sustav mjernih jedinica (System International; SI), te će

sve veličine biti uvijek označavane u obveznim jedinicama.

1.3. Skalari i vektori

Nekim veličinama dovoljno je odrediti njihov intenzitet, kao npr.:

temperatura T = 293º [K] (stupnjeva Kelvina).

Istovremeno poznajemo, naročito u mehanici, veličine kojima uz intenzitet treba

odrediti i hvatište i smjer u kojem djeluje ili orijentaciju. Takve orijentirane veličine su npr.:

sile, brzine, ubrzanja, radiusvektori i sl.

Vektore simboliziramo naznakom vektora

radiusvektor r ili r

sila F ili F .

4

Slika 1.2

Kod računskih operacija s vektorima koristimo projekciju vektora na proizvoljno

odabrani koordinatni sustav. U mehanici kontinuuma je, radi jednostavnijeg pisanja formula,

relacija i uvjeta, uveden koordinatni sustav s indeksiranim osima. Koordinatne osi

geometrijskog prostora označavaju se: x1, x2, i x3 odnosno (1), (2) i (3). Tako se radiusvektor r

razlaže na projekcije, prema slici 1.2.

1,2,3 i cos• == ii rx α (1.3)

Analogno se vektor sile AF može razložiti na projekcije

.... C B, A, A 1,2,3 i cosFF A,iAA,i ==⋅= α (1.4)

Već iz ovoga primjera vidi se ekonomičnost oznaka i pisanja izraza. Obratne veze,

pretvaranje vektora izraženog pomoću koordinata znači izračunavanje intenziteta vektora i

priklonih kutova između vektora i koordinatnih osi:

2ixr Σ= i = 1,2,3 (1.5)

rxi

i =αcos (1.6)

Predznacima cosinusa određen je potpuno položaj (orijentacija) vektora u prostoru.

5

2. TEORIJA NAPREZANJA

Ako se tijelo opterećeno vanjskim silama FA, FB, FC, FD i FE nalazi u stanju ravnoteže,

mora i svaki dio toga tijela biti uravnotežen. Ako ravninom π presiječemo tijelo na dva dijela

(sl. 2.1 a) i u presječenoj ravnini nadomještavamo djelovanje jednog (odbačenog) dijela na

drugi unutrašnjim silama LR i DR (sl. 2.1 b)

Slika 2.1

Svaka od tih sila je očigledno jednaka rezultanti svih sila koje djeluju na drugi

odijeljeni dio

CBAL FFFR ++= (2.1)

EDD FFR += (2.2)

Uobičajena je sistematizacija koja se sastoji u postavljanju lokalnog koordinatnog

sustava 321 xxOx u težištu presjeka koji možemo orijentirati kao na sl. 2.1 c. Redukcijom

(paralelnim pomakom) sile LR u ishodište O dobivamo dinamu sila: glavni vektor sila P i

vektor glavnog momenta M , pa projiciranjem vektora na lokalne osi dobivaju se

komponente:

6

k T j Ti NRP 32L ++== (2.3)

k M j Mi MM 32t ++= (2.4)

pri čemu je

N normalna sila (komponenta usmjerena u smjeru vanjske normale n

ravnine presjeka

T2, T3 komponente transverzalne sile u smjeru osi 2 i 3

M1 = Mt moment uvijanja (torzije)

M2, M3 momenti savijanja oko osi 2, odnosno 3.

Slika 2.2

U klasičnoj otpornosti materijala daju se ovisnosti raspodjele unutrašnje sile po

površini poprečnih presjeka za tijela koja imaju oblik štapova. U općem slučaju tijela

podjednakih dimenzija treba zamisliti da se unutrašnja sila RL dijeli na neki način po površini

zamišljenog presjeka, pa na dio površine A otpada dio rezultante ΔR. Smanjujući dimenziju

ΔA do vrlo malih dimenzija dA (slika 2.2) može se za svaku točku presjeka doći do granične

vrijednosti

dARd

AR

A≈

∆∆=

→∆ lim

0ρ ;

2mN

(2.5)

7

Dobivena veličina ρ naziva se punim ili totalnim naprezanjem, to je sila na jedinici

unutarnje površine. Dimenzija naprezanja slijedi iz te definicije i osnovna jedinica prema SI

mjerama je [N/m2]. U rješavanju tehničkih problema primjenjuju se i [kN/m2] ili [MN/m2].

Principijelno je pitanje da li je formalna pretvorba l [N/m2]= l [Pa] (Pascal) adekvatna za

tehničke primjene. Između tlaka tekućine koji se mjeri paskalima i barima i naprezanja u

čvrstim tijelima postoji fizička razlika gotovo ista kao i između energije koja se mjeri Joulima

(1 J = 1 N∙m) i statičkog momenta koji se isto tako dobiva kao N∙m. Zbog toga je uvijek

razumljivije ostati kod dvostrukih dimenzija: sila/površina [N/m2].

Vektor punog naprezanja ρ treba podijeliti na dvije komponente (slika 2.3), za koje će

se vidjeti da drugačije utječu na materijal, i to komponentu koja ima smjer vanjske normale n

i komponentu koja djeluje u ravnini presječne plohe. Definira se:

σ = normalno naprezanje (sigma) i

τ = posmično naprezanje (tau).

Slika 2.3

Komponenta totalnog naprezanja u smjeru normale na presječnu ravninu smatra se

pozitivnom ako je vlačna tj. usmjerena u smjeru vanjske normale n , odnosno negativnom ili

tlačnom ako je suprotnog smjera.

2.1. Tenzor naprezanja

Radi jednostavnosti a i jednoobraznosti, uvodi se desni koordinatni sustav O x1 x2 x3 i

iz napregnutog tijela izdvaja mali kvadar čije su stranice paralelne s koordinatnim ravninama,

8

Slika 2.4

Na kvadru se mogu uočiti tri ravnine čije su normale 321 n i n ; n paralelne s

odgovarajućim koordinatnim osima. Naravno da na svakoj od tih ravnina djeluju različiti

vektori totalnog naprezanja, označeni s 21 , ρρ i 3ρ . Projiciranjem tih vektora u smjerove

odabranog koordinatnog sustava dobivamo komponente koje dobivaju po dva indeksa, kako

je to prikazano na slici 2.4. Kod toga uvijek prvi indeks označava plohu (zapravo smjer

vanjske normale), a drugi smjer u koji se projicira. Iz slike se vidi da komponente koje imaju

po dva ista indeksa σ11, σ22, σ33 predstavljaju normalna naprezanja, a komponente τ12, τ13,

τ21, τ23, τ31, τ32 posmična naprezanja.

U tehničkim primjenama je uobičajeno različito označavanje σ i τ, dok se u teorijskoj

mehanici kontinuuma upotrebljava ili jedna ili druga oznaka za obje vrste naprezanja. Sve

komponente možemo jednostavno označiti kao:

σ ij i = 1,2,3 j = 1,2,3 i upisati u matricu:

=ijσ

333231

232221

131211

στττστττσ

(2.6 )

Ukupno stanje naprezanja u jednoj točki napregnutog tijela opisuje 9 komponenata.

Takav skup komponenata predstavlja tenzor drugog reda, budući da se svaka od komponenata

definira s dvije oznake (indeksa) kojeg nazivamo tenzorom naprezanja.

9

2.2. Veze između unutrašnjih sila i komponenata tenzora naprezanja

U analizi naprezanja služimo se često metodom presjeka. U općem se slučaju u težištu

zamišljenog presjeka nekog tijela javlja dinama sila koja se sastoji od glavnog vektora sila P

i vektora glavnog momenta M (slika 2.5). Pri tome se normala ravnine presjeka n podudara

sa osi x. Projekcije glavnog vektora sila P u smjeru koordinatnih osi su uzdužna sila N i

poprečne sile T2 i T3, a vektora glavnog momenta M , moment uvijanja (torzije) Mt i momenti

savijanja M2 i M3. Na elementarnoj površini dA ucrtane su komponente naprezanja. Kako je

normalno naprezanje dano izrazom

dAdAdN

1111 dN σσ =⇒= (2.7 )

ukupna normalna sila N dobiva se integriranjem po površini presjeka:

∫ ∫ ∫ ∫==A A

dAdNN 11σ (2.8)

Poprečne sile dobivaju se iz definicije posmičnog naprezanja

dAdAdT dT ττ =⇒= (2.9)

pa integriranjem po površini presjeka dobivamo

∫ ∫ ∫ ∫==A A

dAdTT 1222 τ (2.10)

∫ ∫ ∫ ∫==A A

dAdTT 1333 τ (2.11)

Slika 2.5

10

Kako je elementarni moment savijanja dM jednak umnošku elementarne sile σ11dA i njezinog

kraka oko osi možemo napisati

dAzdMMAA

1122 σ∫ ∫∫ ∫ == (2.12)

odnosno dAydMM

AA1133 σ∫ ∫∫ ∫ −== (2.13)

U ovom slučaju je moment elementarne sile oko osi x3 suprotan smjeru djelovanja

momenta M3 pa odatle negativan predznak ispred integrala. Za moment uvijanja možemo

napisati da je jednak

( )∫ ∫∫ ∫ ==AA

tt dAdAydMM 1213 z - ττ (2.14)

2.3. Simetrija tenzora naprezanja

Elementarni kvadar sa slike 2.6 može se na primjer projicirati na ravninu O x1 x2

Slika 2.6

11

Na suprotnim stranicama djeluju istoimene komponente tenzora naprezanja, ali

suprotnog smjera, budući da su normale na te plohe suprotne. Ako se zanemare diferencijalne

veličine višeg reda može se uvjet zbroja momenata oko ishodišta Σ MO = 0 napisati u obliku:

02

)()(2 22211112

1222222111111

2 =⋅τ−⋅⋅τ+⋅⋅σ−⋅σ+σ−σ dxAdxAdx

AAAAdx

(2.15)

Nakon kraćenja ostaje:

22211112 dxAdxA ⋅⋅=⋅⋅ ττ (2.16)

Kako je

A1 = dx2 × dx3 (2.17)

A2 = dx1 × dx3 (2.18)

slijedi da je:

τ12 = τ21 (2.19)

Ovo bi se moglo pokazati za sve parove posmičnih naprezanja, pa se Zakon o

jednakosti posmičnih naprezanja može općenito napisati:

τij = τji (2.20)

Tenzor naprezanja je dakle simetričan, budući da su članovi s jednakim indeksima

jednaki. Treba uočiti da se vektori τij i τji na jednom bridu elementa ili sustižu ili razilaze.

Korištenjem tri uvjeta ravnoteže tipa Σ Mi = 0 smanjen je broj u principu nepoznatih

komponenata tenzora naprezanja s 9 na svega 6, ali je pri tome ostalo samo tri uvjeta

ravnoteže koji se mogu upotrijebiti za pronalaženje 6 preostalih komponenata. Problem

raspodjele naprezanja u tijelu ostaje statički neodređen!

2.4. Statički uvjeti ravnoteže

U općenitom slučaju na element kontinuuma djeluju sile vezane na masu elementa.

To su u prvom redu gravitacijske sile ili inercijske sile. Radi toga moraju komponente tenzora

naprezanja dobiti neki prirast Δσij ako se koordinata xi promijeni za dxi (vidi sliku 2.7).

Uvjet ravnoteže Σ F1 = 0 može se napisati u obliku:

0)()()( 1331313122121211111111 =⋅+⋅τ−τ+τ+⋅τ−τ+τ+⋅σ−σ+σ VfAAA ∆∆∆ (2.21)

Kada se pokrate istoimeni članovi suprotnih predznaka, ostaje:

01331221111 =⋅+⋅τ+⋅τ+⋅σ VfAAA ∆∆∆ (2.22)

12

Slika 2.7

Treba uvrstiti da je:

A1 = dx2 . dx3 A2 = dx1 . dx3 A3 = dx1 . dx2 i V= dx1 . dx2 . dx3 (2.23)

11

1111 dx

x∂σ∂

=σ∆ (2.24)

22

2121 dx

x∂τ∂

=τ∆ (2.25)

33

3131 dx

x∂∂

=∆τ

τ (2.26)

Konačno, kad se pokrati jednadžba s dx1.dx2

.dx3 dobije se konačni uvjet za Σ F1 = 0:

013

13

2

12

1

11 =+∂

τ∂+

∂τ∂

+∂σ∂

fxxx (2.27)

Ovdje je f1 projekcija sile težine ili inercije na os (1), dakle

f1 = ia⋅γ (2.28)

pri čemu je:

γ = gustoća [kg/m3] (2.29)

ai = projekcija ubrzanja [m/s2]. (2.30)

13

Dobiveni uvjeti ravnoteže mogu se napisati i u općem obliku:

013

13

2

12

1

11 =+∂

τ∂+

∂τ∂

+∂σ∂ f

xxx (2.31)

023

23

2

22

1

21 =+∂

τ∂+

∂σ∂

+∂τ∂ f

xxx (2.32)

033

33

2

23

1

13 =+∂σ∂

+∂

τ∂+

∂τ∂

fxxx (2.33)

Postoji i mogućnost skraćenog pisanja. Deriviranje po nekoj koordinati može se

naznačiti samo zarezom:

j

ijjij x∂

σ∂=σ , (2.34)

U tenzorskom računu vrijedi pravilo da ponavljanje indeksa znači sumiranje po tom

indeksu. Na taj način može se dobiveni uvjet ravnoteže napisati u posve skraćenom obliku:

0, =+ ijij fσ i = 1,2,3 j = 1,2,3 (2.35)

U svakoj od triju jednadžbi ravnoteže za smjer "i" postoje tri člana s raznim "j".

Ukupno se mogu napisati samo tri jednadžbe ravnoteže.

2.5. Transformacija tenzora naprezanja

Odabrane geometrijske koordinatne osi su posve proizvoljne, pa mora postojati

mogućnost da se isti tenzor prikaže i u koordinatom sustavu koji je rotiran u odnosu na

prvobitno odabrani. Zadatak se može riješiti tako da se nađu komponente naprezanja na nekoj

proizvoljno orijentiranoj plohi, polazeći od komponenata tenzora izraženom za koordinatni

sustav O x1 x2 x3. Zamislimo elementarni kvadar stranica dx1 dx2 dx3 presječen ravninom kroz

tri vrha, tako da se dobije tetraedar (slika 2.8).

Slika 2.8

14

Normala ravnine presjeka n zatvara sa smjerovima koordinatnih osi kutove koji su

označeni na slici s αi . Ako se kosa površina tetraedra označi s A, onda su trokutne površine

na koordinatnim ravninama projekcije te kose površine:

;cosAA 11 α⋅= ;cosAA 22 α⋅= ;cosAA 33 α⋅= (2.36)

Radi kraćeg pisanja može označiti cosαi = ai pa se može napisati:

ii aAA ⋅= (2.37)

Naravno da pri tome suma kvadrata kosinusa mora zadovoljavati uvjet:

123

22

21 =++ aaa (2.38)

Da bi mogli dobiti naprezanje na kosoj površini, treba iz uvjeta ravnoteže tetraedra

naći vektor totalnog naprezanja na kosoj plohi. Na lijevoj polovini slike 2.9 pokazane su

komponente tenzora naprezanja izražene u koordinatnom sustavu O x1x2x3, a na desnoj

komponente vektora totalnog naprezanja ρ1, ρ2 i ρ3 u smjeru tih koordinatnih osi.

Slika 2.9

Ako za tetraedar, bez djelovanja volumenskih sila, postavimo uvjet ravnoteže npr.

0AAAA 0F 13312211111 =⋅+⋅−⋅−⋅−= ρττσΣ (2.39)

Kada se skrati s A dobije se komponenta totalnog naprezanja:

3312211111 aaa ⋅+⋅+⋅= ττσρ (2.40)

Iz uvjeta ΣF2 = 0 odnosno ΣF3 = 0 dobivaju se preostale dvije komponente punog naprezanja:

3322221112 aaa ⋅+⋅+⋅= τστρ (2.41)

3332231133 aaa ⋅+⋅+⋅= σττρ (2.42)

15

Dobivene projekcije mogu se tek sada razložiti na komponentu koja je u smjeru

normale ravnine presjeka σnn

332211nn aaa ⋅+⋅+⋅= ρρρσ (2.43)

Veličinu posmične komponente τnm moglo bi se dobiti iz rezultirajućeg vektora

naprezanja na kosoj plohi:

22nnnm σ−ρ=τ (2.44)

pri čemu je

23

22

21 ρρρρ ++= (2.45)

S druge strane možemo komponente naprezanja na kosoj plohi podijeliti u dvije

komponente, od kojih je jedna u smjeru normale n , a druga u smjeru osi l okomite na

normalu. Orijentacija osi l mora zadovoljavati uvjet ortogonalnosti s osi n , zbroj kvadrata

kosinusa mora biti jednak jedinici.

123

22

21 =++ bbb (2.46)

Uvjet ortogonalnosti izražen preko kosinusa vektora normale glasi:

0bababa 332211 =⋅+⋅+⋅ (2.47)

Ako u ishodištu, u kojem je zadan tenzor naprezanja s komponentama izraženim preko

osi i, j, k, postavimo novi koordinatni sustav n, l, m, koji je također ortogonalan, možemo

kosinuse smjera između osi n, l, m i osi i, j, k označiti s ai , aj , ak , bi , bj , bk , ci , cj , ck

Koristeći pravilo sumacije izvode se opći izrazi:

jiijnn aa ⋅⋅= σσ (2.48)

jiijnl ba ⋅⋅= στ (2.49)

jiijnm ca ⋅⋅= στ (2.50)

2.6. Glavna naprezanja

Očigledno je da intenziteti komponenata tenzora naprezanja izraženi u raznim

(ortogonalnim) koordinatnim sustavima daju različite vrijednosti za pojedine komponente.

Tražeći ekstremna normalna naprezanja dolazi se do uvjeta da takva naprezanja postoje na tri

16

međusobno okomite osi g1, g2, g3 a da pri tome na plohama paralelnim s tim koordinatnim

osima nema posmičnih naprezanja. Dobiva se tzv. sekularna jednadžba koja naravno ima tri

rješenja. Rješenja te jednadžbe su glavna naprezanja σ1, σ2 i σ3 koja moraju zadovoljiti

jednadžbu:

1,2,3 g 0IIIIII g2g

3g ==−⋅−⋅− σσσ σσσ (2.51)

Kod toga su I σ, II σ i III σ invarijante tenzora naprezanja i iznose:

332211 σ+σ+σ=σI (2.52)

231

223

212113333222211II τττσσσσσσσ −−−⋅+⋅+⋅= (2.53)

=

333231

232221

131211

det IIIστττστττσ

σ (2.54)

Simbol det označava vrijednost determinante matrice komponenata tenzora

naprezanja. Vrijednost invarijanti ne ovisi o prethodnom izboru položaja koordinatnih osi,

nego o stvarnim svojstvima tenzora naprezanja u promatranoj točki.

Vrijednosti glavnih naprezanja dobiju se rješenjem kubne jednadžbe, ona su uvijek

realna, a smjerove iz uvjeta za svaku od glavnih osi:

123

22

21 =++ aaa (2.55)

te iz uvjeta da je projekcija totalnog naprezanja na dvije koordinatne osi jednaka projekciji glavnog naprezanja.

( ) 0aaa 3132121g11 =⋅+⋅+⋅− ττσσ (2.56)

( ) 0aaa 3232g22121 =⋅+⋅−+⋅ τσστ (2.57)

Uvrštavajući redom glavna naprezanja σg = σ1, σ2 i σ3 dobivaju se kosinusi smjerova

svih triju glavnih osi.

Grafički se mogu odnosi naprezanja na raznim plohama povučenim kroz istu točku

napregnutog tijela prikazati pomoću Mohrovih kružnica naprezanja. Za prostorno stanje mogu

se nacrtati tri kružnice kojih su promjeri jednaki razlikama glavnih naprezanja, a središta leže

u aritmetičkim sredinama parova glavnih naprezanja, slika 2.10.

17

Slika 2.10

Smisao traženja glavnih naprezanja je u pronalaženju ekstremnih naprezanja u jednoj

točki. Tenzor naprezanja koji je prvobitno bio definiran komponentama σij u koordinatnom

sustavu i, j, k definira se preko glavnih naprezanja σ1 = σmaks , σ2 i σ3 = σmin , uz zadane

odgovarajuće smjerove glavnih osi. Prikazi istog tenzora naprezanja vidljivi su iz slike 2.11.

Slika 2.11

Prema definiciji na ravninama glavnih (normalnih) naprezanja nema posmičnih

naprezanja.

18

Iz Mohrove kružnice može se vidjeti da najveća posmična naprezanja nastaju na

ravninama koje s ravninama glavnih naprezanja zatvaraju kut π/4 = 45o. Mogu se naći tri

prizme kvadratnog presjeka na čijim ravninama djeluju ekstremna posmična naprezanja.

Intenzitet tih posmičnih naprezanja jednak je polovini razlike glavnih naprezanja, a na istoj

plohi djeluje normalno naprezanje koje je jednako polovini zbroja istih dvaju glavnih

naprezanja.

2

2

2

2

2

2

21l

21l

32n

32n

31m

31

σστ

σσσ

σστ

σσσ

σστ

σσσ

−=

+=

−=

+=

−=

+=m

(2.58)

Pronalaženje glavnih naprezanja i njihovih smjerova je znatno jednostavnije u slučaju

ravninskog stanja naprezanja. Tada je σ33,= τ13 = τ23 = 0 pa sekularna jednadžba dobiva

kvadratnu formu, čija su rješenja:

212

222112211

2,1 22τ

σσσσσ +

−

±+

= (2.59)

Smjer glavnih naprezanja dan je izrazom:

2211

1222 tgσσ

τϕ−

⋅−= (2.60)

Mohrove kružnice svode se na samo jednu, kako je to prikazano na slici 2.12.

Slika 2.12

19

Elementu s komponentama naprezanja zadanim u koordinatnom sustavu O x1 x2

odgovara na istom mjestu element koji je napregnut glavnim naprezanjima, a stranice mu

imaju orijentaciju ϕ. Istovremeno se može nacrtati i element opterećen najvećim posmičnim

naprezanjima (sl. 2.13).

Slika 2.13

Sva tri elementa opterećena su jednim istim tenzorom naprezanja koji je pri tome

prikazan u tri različita koordinatna sustava.

Tenzor naprezanja može se izraziti na razne načine, a da pri tome to predstavlja jedno

isto stanje naprezanja u promatranoj točki napregnutog tijela. Ovo je u principu isto kao da

vektor sile projiciramo u razne koordinatne sustave.

Tenzor naprezanja je izražen komponentama u proizvoljno odabranom koordinatnom

sustavu O x1 x2 x3. Pronalaženjem intenziteta i smjera glavnih naprezanja taj se isti tenzor

izražava komponentama u smjerovima glavnih osi naprezanja g1 g2 g3. Može se, dakle,

izjednačiti:

==

=

3

2

1

333231

232221

131211

000000

σ

σσ

σστττστττσ

σ gij (2.61)

Za ravninsko stanje naprezanja ostaju samo komponente:

=

==

=

m

maksm

2

1g

2221

1211 0

0

σττσ

σσ

σσττσ

σmaks

ij (2.62)

20

2.7. Dioba tenzora naprezanja na komponente

Iako to do sada nije bilo naglašeno, jasno je da se tenzori mogu zbrajati i oduzimati, pa

prema tome i dijeliti na komponente. Pri tome komponente obaju tenzora moraju biti izražene

u istim koordinatama:

'''ijijij σ±σ=σ (2.63)

Bilo kakav tenzor naprezanja može se podijeliti na svoju simetričnu i nesimetričnu ili antimetričnu komponentu, samo su nazivi nešto drugačiji:

- sferna ili izotropna komponenta tenzora naprezanja predstavlja stanje naprezanja kod

kojeg su glavna naprezanja u sva tri smjera ista (simetrično stanje naprezanja). To je,

naprosto, kvazihidrostatsko ili izotropno stanje, kod kojega nema nikakvih posmičnih

naprezanja ni na kojoj kosoj ravnini,

- devijatorska komponenta sadrži ostatak tenzora (nesimetrično ili antimetrično stanje

naprezanja).

Glavna naprezanja u smjerovima osi g1, g2 i g3 dijele se, dakle, na sfernu Sglσ i

devijatorsku Dgσ komponentu:

1,2,3g =+= Dg

Sgg σσσ (2.64)

σ−σσ−σ

σ−σ+

σσ

σ=

σσ

σ=σ

Sg

Sg

Sg

Sg

Sg

Sg

g

3

2

1

3

2

1

000000

000000

000000

Di

Si

D

D

D

Sg

Sg

Sg

g σσσ

σσ

σσ

σσ +=

+

=

3

2

1

000000

000000

(2.65)

Sferna komponenta predstavlja u stvari prosječno normalno naprezanje i može se

izraziti prvom invarijantom naprezanja:

( ) ( )332211321Sg 3

131I

31 σσσσσσσ σ ++=++=⋅= (2.66)

tj. zbrojem normalnih naprezanja na međusobno okomitim ravninama.

21

Obje se komponente mogu pokazati na elementu kojeg su bridovi paralelni s osima

glavnih naprezanja g1, g2 i g3 (sl. 2.14)

Slika 2.14

Ova podjela je proistekla iz analize ekstremnih posmičnih naprezanja. Ta podjela ima

svoj puni fizički smisao kod izučavanja deformacija čvrstih tijela, kao što će se pokazati

kasnije (str. 22).

Iz tijela opterećenog u promatranoj točki glavnim naprezanjima σS i σD može se isjeći

pravilni oktaedar kojeg dijagonale imaju smjerove glavnih osi naprezanja g1, g2 i g3, što je

prikazano na slici 2.15.

Slika 2.15

Sferna komponenta naprezanja daje ista naprezanja na bilo kojoj plohi povučenoj kroz

točku, dakle i na plohama oktaedra. Pri tome takvo stanje naprezanja ne prouzrokuje nigdje

22

posmična naprezanja. Sferna komponenta tenzora naprezanja daje na plohama oktaedra

naprezanja:

Sg

Sokt σσ = (2.67)

0=Soktτ (2.68)

Plohe pravilnog oktaedra imaju kosinuse smjera normala u odnosu na osi g1, g2 i g3

31=im i = 1,2,3 (2.69)

Naravno da je pri tome:

123

22

21 =++ mmm (2.70)

Devijatorska komponenta τokt može se naći iz totalnog naprezanja ρ na oktaedarskoj

plohi, koje iznosi:

3

23

22

21 σ+σ+σ

=ρ (2.71)

pa se odatle dobiva:

( ) 022 =σσ−ρ=τ Dokt

SDokt (2.72)

Nakon što se uvrsti dobivena vrijednost za ρ i izraz sredi, dobiva se konačno:

( ) ( ) ( ) 213

232

2213

1 σ−σ+σ−σ+σ−σ=τ Dokt (2.73)

Ako se, dakle, tenzor naprezanja podijeli na sfernu i devijatorsku komponentu i

promatraju pri tome naprezanja koja se dobivaju na plohama oktaedra, dobivaju se dva stanja

od kojih je prvo izotropno, a drugo predstavlja neku vrstu čistog smicanja:

( )

σσ

σ

τσ

τσσσσ

II3I

32 0

0 I31

31

2Dokt

Dokt

S 321

S

−⋅==

=⋅=++=

(2.74)

Obje komponente oktaedarskih naprezanja pokazane su na slici 2.16 iz koje je vidljivo

da u stvari najopćenitije stanje naprezanja možemo svesti na jedno izotropno stanje pokazano

na lijevom oktaedru i stanje čistog smicanja na plohama tog istog oktaedra. Pri tome ne treba

zaboraviti da dijagonale tog oktaedra predstavljaju glavne osi naprezanja u promatranoj točki.

23

Slika 2.16

Ova dioba tenzora naprezanja ima svoj duboki fizički smisao. Pri povezivanju

naprezanja s pripadnim deformacijama za realne materijale uočava se potpuno drugačije

ponašanje za opterećenje materijala sfernom komponentom tenzora naprezanja u odnosu na

reakciju materijala na opterećenje smicanjem, dakle devijatorskom komponentom tenzora

naprezanja.

24

3. TEORIJA DEFORMACIJA

Pod utjecajem vanjskih sila tijelo će se u općem slučaju pomaknuti iz svojeg

prvobitnog položaja I u položaj II. Na tijelu promatramo točku P i diferencijalnu dužinu ds

koje se pomiču zajedno s tijelom.

Promjenu konfiguracije, koja je pokazana na slici 3.1 može se promatrati na dva načina:

a) pomoću prostornih koordinata u čvrstom koordinatnom sustavu O x1 x2 x3

b) pomoću prostornog koordinatnog sustava O X1 X2 X3 koji se pomiče zajedno s

tijelom, pa su to materijalne ili prirodne koordinate vezane uz tijelo.

P

x

rb

nP`

Rds

ds`

3

x2

x1

X3

X1

X2

0

0

I

II

Slika 3.1

Euler je dao formulaciju za prvi način promatranja. Da bi se mogla naći deformacija

konfiguracije kontinuuma izražava se koordinata u globalnom sustavu xi kao funkcija

prirodne koordinate XL i vremena t:

),( tXxx Lii = (3.1)

Analogno je Lagrange definirao materijalnu koordinatu XL u ovisnosti o globalnoj

koordinati xi i vremenu t:

),( txXX iLL = (3.2)

Dužina uočenog elementa ds može se također izraziti na oba načina. U globalnim

koordinatama:

MLLMMLM

j

L

iijjiij

2 dXdXCdXdXXx

Xxgdxdxgds ⋅⋅=⋅⋅

∂∂

⋅∂∂⋅=⋅⋅= (3.3)

25

te analogno u materijalnim koordinatama:

jiijjij

M

i

LLMMLLM

2 dxdxcdxdxx

XxXGdXdXGds ⋅⋅=⋅⋅

∂∂⋅

∂∂⋅=⋅⋅= (3.4)

Dobiveni izrazi definiraju Green-Cauchy-jevu mjeru deformacije

M

j

L

iijLM X

xXxgC

∂∂

⋅∂∂⋅= (3.5)

j

M

i

LLMij x

XxXGc

∂∂⋅

∂∂⋅= (3.6)

Razlika između deformirane i prvobitne dužine u prostornim koordinatama izražena je

relacijom:

( )ijijij cg21 −⋅=ε (3.7)

a u materijalnim koordinatama:

( )LMLMLM GC21E −⋅= (3.8)

Promjena položaja točke naziva se pomakom, pa se tenzori deformacija mogu izraziti

pomoću pomaka. Tako se za prostorne koordinate dobiva:

∂∂⋅

∂∂+

∂∂

+∂∂=

j

k

i

k

i

j

j

iij x

uxu

xu

xu

21ε (3.9)

Istovremeno u materijalnim koordinatama imamo:

∂∂⋅

∂∂+

∂∂+

∂∂=

L

k

M

k

L

M

M

LLM X

uXu

Xu

Xu

21E (3.10)

Na kraju, ako se radi o malim pomacima tj. pomacima koji su maleni u odnosu na

dimenzije tijela, postaju oba dobivena tenzora jednaka, a produkti u trećim članovima postaju

kao diferencijalne veličine drugog reda zanemarivi:

( )i ,jj ,ii

j

j

iLMij uu

xu

xu

E +=

∂∂

+∂∂

≈≈ε21

21

(3.11)

3.1. Tenzor deformacija

Ove dobivene definicije tenzora deformacija mogu se za male deformacije pokazati i

direktno. Neka se elementarni kvadar deformira kao što je to pokazano na slici 3.2.

26

A B1A 1B

u 2C

u 2A

C

C`

B`uA uB

A`

uC

xu u

1

x2

Slika 3.2

Ako točka A kvadra kojemu promatramo samo pomake u ravnini O x1 x2 ima pomak

Au (vektor!), onda su komponente tog pomaka u1,A i u2,A. Pomaci susjednih točaka B i C mogu

se naći po pravilu totalnog diferencijala - uz zanemarenje viših članova:

jj

ii

i

iAii dx

xu

dxxu

uu∂∂

+∂∂

+= , (3.12)

Ovo se može primijeniti na sve četiri komponente deformacija elementa, kao što je to

pokazano na slici 3.3.

A B B`

1 1

A

C`C

2

dx 2

A

C

B

u =(u -u )1C 1A1

2dx 12

A

C

u =(u -u )2C 2A2

21

dx1

dxdx

dx

Slika 3.3

27

Za produljenje stranica ∆dx1 se dobiva:

1,11

11

1

1111 u

dxx

dxxu

dx uudx 111AB ==ε∂∂

=−=∆

∆∆ (3.13)

Analogno za produljenje ∆dx2

2,22

22

2

2222 u

dxx

dxxu

dx uudx 222AB ==ε∂∂

=−=∆

∆∆ (3.14)

Kutevi zaokreta stranica mogu se dobiti vrlo jednostavno, naravno uz pretpostavku

malih deformacija:

2,12

1

2

112 u

xu

dxu

=∂∂

==ε∆

(3.15)

Isto se tako dobiva:

1,21

2

1

221 u

xu

dxu

=∂∂

==ε∆

(3.16)

Sama promjena jednog od kuteva priklona stranica prema koordinatnoj osi ne

predstavlja karakterističnu deformaciju. Iz slike 3.2 vidi se da se prilikom deformiranja

elementa mijenjaju pravi kutevi u uglovima elementa za kut γ12

Iz slike 3.4 je vidljivo da je

211212 ε+ε=γ (3.17)

12

1212

12

21

12

x1

x2

Slika 3.4

Dobivene komponente deformacija čine tenzor deformacija koji za ravninsko stanje

naprezanja ima članove:

εγγε

=ε

εεεε

=ε2221

1211

2221

12110|| ijij (3.18)

Pri tome treba definirati i veze komponenata tenzora deformacija za koje je dobiveno:

28

1

2

2

12112

2

2

1

111 x

uxu

xu

xu

1222 ∂∂

+∂∂

=ε+ε=γ∂∂

=ε∂∂

=ε (3.19)

Ovo se može poopćiti i napisati:

( )i ,jj ,iij uu +=ε21

(3.20)

Za prostorno stanje deformacija ostaju iste definicije, samo se tenzor proširuje:

εγγ

γεγ

γγε

=ε

333231

232221

131211

21

21

21

21

21

21

ij (3.21)

Treba napomenuti da, osim komponenata koje su ovdje simetrične, postoje i

nesimetrične, odnosno antimetrične.

Kada element samo rotira, a ne kliže kao što je to pokazano na slici 3.4, dolazi do

rotacije elementa (vidi sliku 3.5).

Kut rotacije se može pokazati kao razlika kutova 2

1

xu

∂∂

i 1

2

xu

∂∂

, dakle:

( )2,11,212 21 uu −=ω (3.22)

Ako se, na primjer, kao na slici 3.5 pretpostavi da je element bez kuta klizanja γ12, što

znači da je

1,22,1 uu −= (3.23)

dobiva se:

( ) 1,21,21,212 21 uuu =+=ω (3.24)

21 = u2,1

12 = u1,2

x1

x2

Slika 3.5

29

3.2. Glavne deformacije

U tenzoru deformacija postoje dijagonalni članovi εii koji predstavljaju stvarnu

dilataciju, tj. produljenje jedinične dužine u pojedinim smjerovima. Članovi izvan dijagonale

εij su kutevi klizanja (zapravo polovine tih kutova!).

2ij

ij

γε = (3.25)

Na isti način kao i kod tenzora naprezanja mogu se pomoću sekularne jednadžbe:

1,2,3g 0IIIIII g2g

3g ==+⋅+⋅+ εεε εεε (3.26)

naći glavne deformacije. Pri tome se pojavljuju invarijante tenzora deformacija

321332211 ε+ε+ε=ε+ε+ε=εI (3.27)

231

223

212113333222211II εεεεεεεεεε −−−⋅+⋅+⋅= (3.28)

=

333231

232221

131211

detIIIεεεεεεεεε

ε (3.29)

Proračun veličina glavnih deformacija kao i smjerova u kojem se te deformacije pojavljuju je analogan proračunu glavnih naprezanja. U smjerovima glavnih deformacija nema klizanja. To znači da elementarni kvadar postavljen na stranicama paralelnim sa smjerovima glavnih deformacija zadržava sve prave kuteve, a samo mu se mijenjaju dužine stranica ( iii dsds ⋅=∆ ε ).

Slika 3.6

30

Promjena obujma kvadra prikazanog na slici 3.6 može se naći kao:

( ) ( ) ( )321

321332211

dxdxdxdxdxdxdx 1dx 1dx 1

VV

⋅⋅⋅⋅−+++++== εεε∆θ (3.30)

a odatle:

ε=ε+ε+ε=θ I321 (3.31)

3.3. Oktaedarske deformacije

Kada su pronađene glavne deformacije ε1, ε 2 i ε 3 mogu se, slično kao i kod tenzora

naprezanja, naći deformacije na oktaedru, kojem su dijagonale paralelne sa smjerovima

glavnih deformacija.

I ovdje se može deformacija podijeliti na sferni dio εS - to se ovdje naziva izotropna

deformacija i na distorzioni dio εD, tj. devijatorsku komponentu deformacija. Bez izvoda daju

se konačni izrazi:

( ) εεεεεε I31

31

321oktS ⋅=++== (3.32)

( ) ( ) ( ) 213

232

2213

2 ε−ε+ε−ε+ε−ε=γ=ε oktD (3.33)

Kao objašnjenje treba reći da se ukupna deformacija dijeli na izotropnu, koja

predstavlja čistu promjenu volumena, i na distorzionu, koja predstavlja promjenu oblika, bez

promjena volumena.

Slika 3.7

31

Na slici 3.7 prikazane su obje te deformacije, od kojih se prva ostvaruje bez promjena

kuteva a druga bez promjena volumena.

3.4. Ravninsko stanje deformacija

U nizu slučajeva nema deformacije ε33, jer je npr. ravnina O x1 x2 tako ukliještena u

tijelu da se dvije paralelne ravnine ne mogu međusobno pomicati. Tada su

0231333 =ε=ε=ε (3.34)

Od kompletnog tenzora ostale su samo komponente

εγ

γε=ε

2221

1211

21

21

ij (3.35)

Za razliku od ravninskog stanja naprezanja kod kojega je σ33 = 0, ovdje je ε33 = 0.

Relacije između komponenata tenzora naprezanja mogu se, isto kao i naprezanja,

prikazati pomoću Mohrove kružnice deformacija (slika 3.8). Treba samo upozoriti da su pri

tome osi ε i γ/2.

2

2

1

11

12

2

2

Slika 3.8

32

3.5. Brzina deformacije

Ako se pretpostave male deformacije, može se pojednostavljeno naći:

iii uxx += 0 (3.36)

Odatle se brzina gibanja točke može naći kao:

iii

0ii

i vudt

dudt

dxdtdxx ==+==

••(3.37)

S druge smo strane definirali komponente tenzora deformacije kao:

( )iijiij uu ,,21 +=ε (3.38)

Ako komponente tenzora deformacije deriviramo po vremenu, dobivamo:

∂

∂+∂

∂=

∂∂

+

∂∂=≅

•

dtdu

xdtdu

xxu

dtd

xu

dtd

dtd j

i

i

ji

j

j

iijij

21

21

.

εε (3.39)

Odatle se konačno dobiva:

( )ijjiij vv ,,21 +≈

•ε (3.40)

Ovo je tenzor brzina inifinitezimalnih deformacija.

3.6. Brzina prirasta naprezanja

Na sličan način kao i za brzine deformacija može se pokazati da za tenzor naprezanja

σij postoje i brzine prirasta komponenata tenzora naprezanja ),( txkijij σσ =•

Za male deformacije (kada se koordinate bitno ne mijenjaju) možemo napisati:

dtd ij

ijσ

σ =• (3.41)

33

4. TEORIJA ELASTIČNOSTI

U "Otpornosti materijala" rješavali smo samo najjednostavnije slučajeve tj.

ravne štapove tako da taj dio mehanike čvrstih tijela često nazivamo "Mehanika štapova". U

"Teoriji elastičnosti" također se kao i u "Otpornosti materijala" promatra promjena stanja na­

prezanja i deformacija čvrstog elastičnog tijela pod djelovanje statičkih ili dinamičkih utjecaja

kojima uzroci mogu biti različiti npr. gravitacija, inercija, promjena temperature i drugo. Me­

đutim dok se u "Otpornosti materijala" u tumačenju pojedinih pojava polazi od jednostavnijih

prema složenijim, i od pojedinačnih zaključaka na opće zaključke i pravila, u "Teoriji elastič­

nosti" se iz općih razmatranja i općih zakonitosti ide na rješavanje pojedinačnih slučajeva.

Kao u "Otpornosti materijala", i u "Teoriji elastičnosti" se pretpostavlja da materija ima svoj­

stvo neprekinute sredine tj. da je jednoliko raspodijeljena po obujmu tijela. Kod svih je pro­

blema zajedničko da treba istovremeno zadovoljiti veći broj jednadžbi. Rješavanje problema

postaje teže što je oblik konture tijela i opterećenja na konturi složenije pa se tako više ne

mogu naći točna rješenja nego se zadovoljavamo približnim rješenjima numeričkih metoda

(metode konačnih razlika, metode konačnih elemenata ili metode rubnih elemenata). U nekim

je slučajevima povoljnije probleme rješavati eksperimentalnim putem. Sličnost oblika jed­

nadžbi u teoriji elastičnosti i elektrici omogućuju razne analogije. Ako se utvrde karakteristike

rješenja diferencijalne jednadžbe na temelju analogne električne pojave može se riješiti pro­

blem iz teorije elastičnosti. U rješavanju ravninskih problema neobično se korisnom pokazala

fotoelastičnost, gdje je na modelu izrađenom od posebnog materijala u polariziranom svijetlu

moguće utvrditi stanje naprezanja.

4.1 Veza između komponenata tenzora naprezanja i komponenata tenzora deformacija

Da bismo potpuno odredili stanje naprezanja i deformacija potrebno je neprekinutoj

deformabilnoj sredini (promatranom tijelu) dati određena fizikalna svojstva tj. odrediti veze

između naprezanja i deformacija :

σij = f (εij ) (4.1)

odnosno između komponenata tenzora naprezanja i komponenata tenzora deformacija:

[ ] ijij C εσ = (4.2)

34

pri čemu je [ ]C - matrica elastičnosti.

Inverzna veza između deformacija i naprezanja glasi:

εij = f -1 (σij ) = g (σij ) , (4.3)

odnosno:

[ ] ijij S σε = (4.4)

Općenito se komponente tenzora naprezanja u jednoj točki mogu izraziti kao funkcije

komponenata tenzora deformacija:

σ11= f1 (ε11, ε22, ε33, ε12, ε23, ε31) σ22= f2 (ε11, ε22, ε33, ε12, ε23, ε31)

σ33= f3 (ε11, ε22, ε33, ε12, ε23, ε31) τ12 = f4 (ε11, ε22, ε33, ε12, ε23, ε31)

τ23 = f5 (ε11, ε22, ε33, ε12, ε23, ε31) τ31 = f6 (ε11, ε22, ε33, ε12, ε23, ε31)

τ21 = f7 (ε11, ε22, ε33, ε12, ε23, ε31) τ32 = f8 (ε11, ε22, ε33, ε12, ε23, ε31)

τ13 = f9 (ε11, ε22, ε33, ε12, ε23, ε31) (4.5)

U općem obliku takova se zavisnost kod mnogih tehničkih materijala može prikazati

beskonačnim redom potencija:

σ1 = c10 + c11ε11 + c12ε2 + c13ε33 + c14ε12 + c15ε23 + c16ε31 + c17ε112 + ...........+ c1mε31

n

σ2 = c20 + c21ε11 + c22ε22 + c23ε33 + c24ε12 + c25ε23 + c26ε31 + c27ε112 + ..........+ c2mε31

n

σ3 =c30 + c31ε11 + c32ε2 + c33ε33 + c34ε12 + c35ε23 + c36ε31 + c37ε112 + ..........+ c3mε31

n

τ12 = c40 + c41ε11 + c42ε21 + ... +c46ε31 + c47ε112 + ..........+ c4mε31

n

τ23 = c50 + c51ε11 + c52ε22 + .... +c56ε31 + c57ε112 + ..........+ c5mε31

n

τ31 = c60 + c61ε11 + c62ε22 + …. +c66ε31 + c67ε112 + ..........+ c6mε31

n

τ21 = c70 + c71ε11 + c72ε22 + .... +c76ε31 + c77ε112 + ...........+ c7mε31

n

τ32= c80 + c81ε11 + c82ε22 + .... +c86ε31 + c87ε112 + ...........+ c8mε31

n

τ13 = c90 + c91ε11 + c92ε22 + .... +c96ε31 + c97ε112 + .......... + c9mε31

n (4.6)

Rješavanje problema tako izraženim vezama je isuviše složeno. Kako pri eksploataciji većine

konstrukcija naprezanja i deformacije ostaju u području linearnosti izostavljaju se članovi s

potencijama različitim od 1, i to je tzv. linearna teorija. Početni članovi cm 0 u gore navedenim

izrazima nisu poznati. Oni se mogu mijenjati od točke do točke tijela, a uzrokuju ih različiti

utjecaji: temperatura prije nego što je tijelo uzeto u razmatranje, defekti u strukturi,

35

higrometrijsko stanje i drugo. Pretpostavljamo da ih nema, tj. da su početna naprezanja

jednaka nuli:

cm 0 = σm 0 = 0 (4.7)

Pretpostavljamo također da su deformacije povratne tj. da nakon uklanjanja uzroka

deformiranja, tijelo poprima svoj prvotni oblik. Takovo tijelo od idealno elastičnog materijala

kod kojeg su veze između naprezanja i deformacija linearne nazivamo Hookeovo tijelo.

Danas su već razrađene nelinearne teorije elastičnosti koje uzimaju u obzir

nelinearnost između naprezanja i deformacija (materijalna nelinearnost) ili nelinearnost

između deformacija i derivacija pomaka (geometrijska nelinearnost).

Linearna zavisnost između naprezanja i deformacija te deformacija i derivacija

pomaka dovoljna je ako deformacije nisu suviše velike. Kod većine tehničkih konstrukcija

deformacije ne prelaze 1% pa nas točnost rješenja po linearnoj teoriji malih deformacija može

zadovoljiti.

Veza između komponenata naprezanja i komponenata deformacija po linearnoj teoriji

malih deformacija može se izraziti pomoću 34 = 81 koeficijenata:

=

333231

232221

131211

999897969594939291

898887868584838281

797877767574737271

696867666564636261

595857565554535251

494847464544434241

393837363534333231

292827262524232221

191817161514131211

333231

232221

131211

εεεεεεεεε

στττστττσ

ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc

(4.8)

Kako su posmična naprezanja na međusobno okomitim plohama jednaka (Zakon o

jednakosti posmičnih naprezanja):

, , 23 3213311221 ττττττ === (4.9)

veze između šest komponenata naprezanja i komponenata deformacija izražavamo pomoću

62 = 36 koeficijenata:

36

=

=

31

23

12

33

22

11

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

31

23

12

33

22

11

333231

232221

131211

εεεεεε

τττσσσ

στττστττσ

cccccccccccccccccccccccccccccccccccc

(4.10)

U općem slučaju normalna naprezanja zavise o duljinskim deformacijama ali i o

kutnim deformacijama dok posmična naprezanja ne ovise samo od kutnim nego i duljinskim

deformacijama. Može se pokazati da su koeficijenti matrice [C] izvan dijagonale međusobno

jednaki:

cm n = cn m (4.11)

čime se broj koeficijenata smanjuje na 21. Ako su poznate komponente tenzora deformacija

Hookeovog materijala pune anizotropije, uz poznavanje 21 koeficijenta mogu se odrediti

komponente tenzora naprezanja.

Materijal pune anizotropije je takav materijal koji ima istaknute fizikalne

karakteristike (npr. modul elastičnosti E, Poissonov koeficijent ν) u tri međusobno kosa

smjera (primjer za takav materijal je triklinski kristal). Kod takvog materijala nije moguće

postaviti niti jednu os simetrije i niti jednu ravninu simetrije ili zrcalenja niti za raspored

materijalnih diskretnih čestica niti za mehanička svojstva. Karakteristično je za takve

materijale da čak i u slučaju malih deformacija, komponente naprezanja zavise od svih

komponenata deformacija i obratno.

Kod materijala koji posjeduju osi ili ravnine simetrije ili ravnine rotacije, broj

koeficijenata se smanjuje. Matrica koeficijenata za materijal s tri ortogonalne osi simetrije

(ortotropno tijelo) smanjuje se na 9:

=

31

23

12

33

22

11

66

55

44

332313

232212

131211

31

23

12

33

22

11

000000000000000000000000

εεεεεε

τττσσσ

cc

cccccccccc

(4.12)

Karakteristično je da normalna naprezanja ovise samo o duljinskim (normalnim)

deformacijama, a pomična naprezanja o kutnim (posmičnim) deformacijama.

37

Broj koeficijenata se dalje smanjuje, ako su u istaknutim ortogonalnim smjerovima

elastične karakteristike jednake. Za izotropno tijelo s jednakim karakteristikama u tri

ortogonalna smjera (npr. čelik), broj koeficijenata se smanjuje na 3 te matrica koeficijenata

glasi:

=

31

23

12

33

22

11

44

44

44

111212

121112

121211

31

23

12

33

22

11

000000000000000000000000

εεεεεε

τττσσσ

cc

cccccccccc

(4.13)

Samo za izotropne materijale vrijedi da normalna naprezanja ovise o normalnim

deformacijama, a posmična naprezanja o posmičnim deformacijama.

Može se dokazati da su samo dva koeficijenta c11 i c12 nezavisna, dok je treći c44

zavisan, a izraziti se mogu pomoću tzv. Laméovih koeficijenata elastičnosti λ i µ :

µλ 211 +=c , λ=12c , µ 2 - 121144 == ccc (4.14)

Elastične konstante materijala: modul elastičnosti E , Poissonov koeficijent ν i modul

posmika G , vezane su Laméovim koeficijentima slijedećim relacijama:

( ) ( )21 1E

−+=

ννλ , G=µ (4.15)

Za prostorno stanje veza komponenata tenzora naprezanja i komponenata tenzora

deformacija, jednadžba 4.2 [ ] ijij C εσ = , glasi:

=

31

23

12

33

22

11

τττσσσ

( ) ( )νν 21 1 −+E

−−

−−

−−

)21(000000)21(000000)21(000000)1(000)1(000)1(

νν

νννν

νννννν

31

23

12

33

22

11

εεεεεε

(4.16)

odnosno:

( ) ( ) ( )[ ]33221111 121 1

ν εν εεννν

σ ++−−+

= E(4.17)

38

( ) ( ) ( )[ ]11332222 121 1

ν εν εεννν

σ ++−−+

= E(4.18)

( ) ( ) ( )[ ]22113333 121 1

ν εν εεννν

σ ++−−+

= E(4.19)

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 1212121212 G •21 2

1

2121 1

γεν

εν

εννν

τ =+

=+

=−−+

= EEE(4.20)

2323 G γτ = (4.21)

3131 G γτ = (4.22)

Inverzna je veza komponente tenzora deformacija izražena pomoću komponenata

tenzora naprezanja:

[ ] [ ] [ ] ij-1

ij1 C C C εσ =− (4.23)

[ ] ijijC εσ 1 =− (4.24)

odnosno:

[ ] ijij S σε = (4.4)

Poznavajući koeficijente cij matrice elastičnosti [C] mogu se inverzijom odrediti

koeficijenti sij kvadratne matrice [ S ]:

31

23

12

33

22

11

εεεεεε

=E1

++

+−−

−−−−

)1(000000)1(000000)1(000000100010001

νν

ννν

νννν

31

23

12

33

22

11

τττσσσ

(4.25)

odnosno :

( )332211111 ν σν σσε −−=E

(4.26)

( )113322221 ν σν σσε −−=E

(4.27)

( )221133331 ν σν σσε −−=E

(4.28)

39

( )GGEE12

12121212121212 11 2•2 1 τγττνεγτνε =⇒=+==+= (4.29)

G23

23 τ

γ = (4.30)

G31

31 τ

γ = (4.31)

4.2. Ravninsko stanje naprezanja

σ3 = τ31 = τ32 = 0 (4.32)

( ) ( ) 011 0 11221122333333 ≠−−=−−=⇒≠ ν σν σν σν σσεεEE

(4.33)

( )2211111 ν σσε −=E

(4.34)

( )1122221 ν σσε −=E

(4.35)

12121 τνε

E+= (4.36)

ili inverzna veza:

( )2211211 1ν εε

νσ +

−= E

(4.37)

( )1122222 1ν εε

νσ +

−= E

(4.38)

( )1221212 1

1 1

εν

νεν

τ−

−=+

= EE(4.39)

odnosno u matričnom obliku:

=

12

22

11

τσσ

21 ν−E

− νν

ν

1000101

12

22

11

εεε

(4.40)

40

4.3. Ravninsko stanje deformacija

ε3 = ε31 = ε32 = 0 (4.41)

( ) ( ) ( ) 0 01 0

22113311223311223333

33

σσνσν σν σσν σν σσε

σ

+=⇒=−−⇒=−−=

⇒≠

E(4.42)

Transformacijama se dobivaju izrazi za deformacije:

( )22*

11*112211

2

11 E1

1E1 σνσεσ

ννσνε −=⇒

−−−= (4.43)

( )11*

22*221122

2

22 E1

1E1 σνσεσ

ννσνε −=⇒

−−−= (4.44)

( )12*1212121212

G1

E122

E1 τγτνετνε =⇒+=⇒+= (4.45)

pri čemu je:

2*

1EE

ν−= (4.46)

ννν−

=1

(4.47)

G* = G. (4.48)

Inverzna veza komponenata naprezanja izraženih pomoću komponenata deformacija u matričnom obliku je:

=

12

22

11

τσσ

2*

*

1

E

ν−

− *

*

*

1000101

νν

ν

12

22

11

εεε

(4.49)

Navedeni izrazi su analogni izrazima za ravninsko stanje naprezanja, što omogućuje

analogno rješavanje problema ravninskog stanja naprezanja i ravninskog stanja deformacija.

41

5. REOLOŠKI MODELI I MODELIRANJE

Zadatak reologije je pronalaženje analitičkih veza između komponenata tenzora

deformacija i komponenata tenzora naprezanja. Svrha je posve praktična, što znači da se

dobivene veze koriste u tehnici za zaključivanje o ponašanju materijala i konstrukcija.

Reologija se u prvom redu oslanja na rezultate ispitivanja mehaničkih svojstava pojedinih

materijala s jedne strane, a na postavke i rezultate teorijske mehanike kontinuuma s druge

strane.

Stvarno ponašanje pojedinih materijala ponekad je vrlo složeno, pa su i veze

deformacija i naprezanja složenije. Klasična mehanika kontinuuma poznavala je dvije vrste

materijala - elastična čvrsta tijela i idealne fluide, ali su detaljnija ispitivanja pokazala da u

skupini čvrstih materijala gotovo uvijek ima ili viskoznih ili drugih neelastičnih pojava, pa

sadašnja reologija posebno razmatra upravo takve pojave.

Uz navedena dva idealna tijela - elastično Hookeovo tijelo i Newtonov fluid - postoje i

neka druga tipična ponašanja koja se ne mogu svesti pod ta dva navedena. Tako je uz teoriju

elastičnosti i mehaniku fluida nastala i teorija plastičnosti, čije rezultate koristi statika čeličnih

i betonskih konstrukcija. Kao posebno poglavlje u teoriji plastičnosti uvodi se plastično

ponašanje nekih tijela i tla.

Reologija polazi od najjednostavnijih tijela, čije se ponašanje može idealno prikazati s

jednostavnim matematskim modelima (analitičkim vezama), a pri tome se takav matematski

model vizualizira, tj. daje se modelu fizički smisao. Tako se na primjer ponašanje elastičnog

tijela može simbolizirati ponašanjem elastičnog pera, a da pri tome to pero nema nikakve

veze s promatranim materijalom i problemom koji se razmatra.

Od fizičkih veličina koje treba uzeti u račun imamo:

ijε tenzor deformacija

ij

•ε tenzor brzina deformacija

ijσ tenzor naprezanja

ij

•σ tenzor brzine prirasta naprezanja.

Za sva četiri tenzora treba posebno voditi računa o sfernoj i devijatorskoj komponenti

svakog tenzora.

Ako se istoimenim indeksima označe sferne komponente, a s raznoimenim devijatorske komponente, mogu se napisati osnovne konstitutivne jednadžbe:

42

kk4kk3kk2kk1 CCCC σσεε ⋅+⋅=⋅+⋅••

(5.1)

Dij8

Dij7

Dij6

Dij

.

5 CCCC σσεε ⋅+⋅=⋅+⋅••

(5.2)

pri čemu se pretpostavlja:

7. da je materijal homogen tj. takav kojemu svojstva ne ovise o koordinatama

8. da su deformacije infinitezimalne (u protivnom bi te veze bile složenije)

9. da su veze izotropne tj. da su koeficijenti C1 do C8 skalari odnosno konstante za

linearne veze ili funkcije invarijanata tenzora kada su veze između naprezanja i

deformacija “kvazilinearne”.

Prva jednadžbi naziva se obujamska (volumetrijska) jednadžba i daje vezu između

obujamske deformacije εv i srednjeg normalnog naprezanja σS kao i njihovim derivacijama po

vremenu. Druga distorzijska jednadžba predstavlja vezu između devijatorskog tenzora

deformacije - distorzije i devijatorskog tenzora naprezanja kao i njihovim derivacijama po

vremenu. Sa svake strane po jedan je član različit od nule samo kod osnovnih materijala.

Osnovni idealni materijalu su: idealno elastičan, idealno plastičan i viskozan materijal.

Karakteristična svojstva osnovnih idealnih materijala prikazuje se elementarnim mehaničkim

modelima za slučaj aksijalnog naprezanja uz definiranje veza između naprezanja i

deformacija. Za prikaz ponašanja materijala sa složenim mehaničkim svojstvima

upotrebljavaju se reološki modeli.

5.1. Materijali idealnih svojstava

5.1.1. Idealno elastičan Hooke-ov materijal

Uz pretpostavku idealne linearne veze između deformacija i naprezanja

(C1 = C3 = C5 = C7 = 0) konstitutivne jednadžbe glase:

kk4kk2 CC σε ⋅=⋅ (5.3)

Dij8

Dij6 CC σε ⋅=⋅ (5.4)

Uvodeći obujamski modul kompresije K kao vezu između obujamske deformacije i srednjeg

normalnog naprezanja obujamsku jednadžbu možemo napisati kao:

kkkk Kσε ⋅

⋅=

31

(5.5)

43

pri čemu je:

)21(3EK

ν−⋅= (5.6)

izražen preko modula elastičnosti E i Poissonovog koeficijenta ν.

Za devijatorske komponente modul posmika G je veza između tangencijalnog

naprezanja i kuta klizanja:

Gij

ij

τ=γ (5.7)

pa uz:

2ij

ij

γ=ε (5.8)

distorzijska konstitutivna jednadžba glasi:

G2

DijD

ij ⋅=

σε . (5.10)

Sređivanjem i razvijanjem dobivamo poznate Lame-ove jednadžbe:

ji za 0 j;i za 1 ; 2

ij

ijkkijijij

≠=

==⋅⋅+⋅⋅=

δ

δεδλεµσ(5.11)

U slučaju jednoosnog naprezanja:

( )3322111111 2 εεελεµσ ++⋅+⋅⋅= (5.12)

1212 2 εµσ ⋅⋅= (5.13)

U četvrtom poglavlju detaljno su prikazane veze između komponenata tenzora

naprezanja i komponenata tenzora deformacija za elastična tijela.

Slika 5.1

44

Hooke-ovo tijelo simbolički se u reološkim modelima prikazuje u formi elastičnog

pera (slika 5.1). U reološkim modelima koji radi jednostavnosti prikazuju samo deformaciju

linearnog elementa (npr. vlačnog štapa), može se odnos deformacije i pripadnog naprezanja

pokazati kao:

Eσ=ε (5.14)

Za idealno elastično tijelo pretpostavlja se da deformacija nastupa trenutno i to u konačnom iznosu, pa između komponenata tenzora brzine deformacija i brzine prirasta naprezanja postoje iste veze kao i za odgovarajuća statička stanja. Ponašanje materijala može se prikazati u obliku dijagrama (slika 5.2) koji povezuju deformaciju odnosno naprezanje s vremenom. Na slici a) prikazana je ovisnost deformacije i naprezanja (sile) za stalno opterećenje u trajanju t1, a za rastuće i padajuće naprezanje na slici b). Pri ovakvim se prikazima uvijek pretpostavlja da naprezanja rastu dovoljno sporo da ne izazovu oscilacije.

Slika 5.2

5.1.2. Savršeno plastičan materijal – Saint Venant-ov materijal

Saint Venant je predložio model idealno kruto-plastičnog materijala koji ima svojstva da

ne pokazuje nikakve deformacije ε dok naprezanje σ ne dosegne izvjesnu kritičnu

vrijednost:

0 Y =εσ⟨σ (5.15)

45

Nakon što je dosegnuto kritično naprezanje σy:

0 Y ≠εσ=σ (5.16)

materijal se plastično deformira.

Slika 5.3 Slika 5.4

Veličina deformacije (slika 5.3) pri tome nije određena nikakvim odnosom s intenzitetom naprezanja ili sa vremenom, nego ovisi o proizvedenoj deformaciji ili deformacijama susjednih elemenata. Na slici 5.4 predstavljen je fizički model tijela savršeno plastičnih svojstava, a sastoji se od dviju ploča koje su međusobno pritegnute i među kojima postoji Coulomb-ovo (suho) trenje:

NT RfR ⋅= (5.17)

Sila trenja popušta kada sila F= σ ∙ A pređe graničnu silu trenja.

5.1.3. Viskozan fluid

Da bi definirali Newtonov materijal treba u osnovne konstitutivne jednadžbe uvrstiti

C2 = C4 = C6 = C7 = 0. Za obujamsku jednadžbu to znači da pri izvjesnoj brzini prirasta

sferne komponente tenzora naprezanja postoji odgovarajuća brzina deformacija. Nakon što

prestane prirast naprezanja zaustavlja se i sferni dio deformacije pa jednadžba (5.1) glasi:

kk3kk1 CC••

⋅=⋅ σε (5.18)

odnosno izražena preko modula kompresije K:

kkkkK3

1 ••⋅

⋅= σε . (5.18)

46

Ova jednadžba odnosi se na elastičnu promjenu obujma fluida pod utjecajem hidrostatičkog pritiska. Ova veza kod plinova zamjenjuje se jednadžbom stanja, jer su promjene uslijed temperature značajnije.

Distorzijska konstitutivna jednadžba glasi:

Dij8

Dij5 CC σε ⋅=⋅

•(5.19)

Supstitucijom poznate relacije između brzine prirasta deformacija jiv , i devijatorske komponente tenzora naprezanja D

ijσ za tekućine u jednadžbu (5.19):

j

iDij x

v

∂∂

= µσ (5.20 )

dobiva se:

Dij

Dij

21 σ

µε ⋅

⋅=

•(5.21)

pri čemu je µ Newtonov koeficijent viskoznosti. Utjecaj sferne deformacije je vrlo malen jer

se tekućine smatraju nestišljivim (K = ∞). Uvodeći srednji normalni pritisak iip σ=−31

, uz

0=•

kkε tj. Dij

D

ij εε =•

u izraz za tenzor naprezanja

2p- p Dijij

Dijij

Dij

Sij

•

⋅⋅+⋅=+⋅=+= εµδσδσσσ (5.22)

pri čemu je:

=δ

100010001

ij (5.23)

Ako se u diferencijalnu jednadžbu ravnoteže:

0f ij,ij =⋅+ ρσ (5.24)

uvrste inercijske sile, te izrazi za ubrzanje i brzinu deformacije:

t dv d

faff iiiii +=+= 00 (5.25)

dobiju se Navier-Stokes-ove jednadžbe gibanja viskoznog fluida:

)(,1• t

v,,

0,

iijjjjiiijji vvpfvv ++−=+

∂∂

ρµ

ρ(5.26)

47

Slika 5.5

Mehanički reološki model Newtonovog materijala prikazuje se hidrauličkim

odbojnikom (slika 5.5), probušenim klipom koji se pomiče unutar cilindra ispunjenog

tekućinom. Takav cilindar, kakav je približno amortizer automobila, ponaša se kao viskozno

tijelo pa za linearan slučaj imamo da je:

µσ=

∂ε∂ t

(5.27)

odnosno

t⋅=µσε (5.28)

Idealno viskozno tijelo povećava deformaciju tijekom vremena tako dugo dok traje

opterećenje (slika 5.6). Nakon rasterećenja ostaje trajna, nepovratna deformacija.

Slika 5.6

48

5.2. Reološki modeli s dva elementa

U reologiji treba obuhvatiti materijale sa poznatim mehaničkim-reološkim svojstvima, ma kakvi bili odnosi naprezanja, deformacija i vremena. Očigledno da se ponašanje materijala pod naprezanjima ne može opisati samo sa ova tri osnovna modela. Složeni reološki modeli su tako zamišljeni da mogu pružiti kvalitativnu sliku o ponašanju različitih materijala pod opterećenjem. Radi boljeg opisivanja mehaničkih karakteristika pojedinih materijala međusobno povezujemo dva, tri pa i više osnovnih modela “H”, St. V” i “N”. Uključivanje više elemenata koji ulaze u model ponašanja nekog materijala dovodi do potrebe određivanja većeg broja konstanata koje opisuju djelovanje svakog elementa u sklopu, a time se gubi pouzdanost konačnih rezultata npr. kod numeričkih metoda proračuna a pogotovo iznalaženja analitičkih rješenja. Postoje dva načina na koja se mogu međusobno povezati dva osnovna modela i to su:

2. paralelno jedan kraj drugoga i

3. u seriju jedan za drugim.

U analizi ovih modela polazi se od činjenice da su kod paralelnog spajanja produženja svuda jednaka, dok je ukupno naprezanje jednako zbroju komponentnih naprezanja. Kod serijskog su spajanja naprezanje u svim dijelovima jednaka, dok je produženje jednako zbroju pojedinačnih.

5.2.1. Viskoelastičan Kelvin-Voigtov materijal

Kelvin i Voigt pretpostavljaju materijal koji polagano dosiže konačnu deformaciju, zadržava ju duže vrijeme bez daljnjeg primjetnog povećanja, a prilikom rasterećenja ta deformacija se polagano gubi i tijelo se vraća u prvobitni oblik. Takovo ponašanje materijala može se objasniti istovremenim djelovanjem elastične i viskozne komponente. U trenutku nanošenja opterećenja cijelo opterećenje preuzima samo viskozni element. U svakom trenutku deformacija oba elementa je ista:

NH ε=ε (5.29)

Popuštanjem viskoznog elementa se sve više angažira elastični element, tako dugo dok

na kraju cijelo opterećenje ne preuzme elastični element u modelu. Na slici 5.7 prikazane su

dvije moguće kombinacije paralelnog spajanja osnovnih modela (Hooke-ovog i Newton-

ovog) koji se simbolički označava kao:

K = H || N

49

Slika 5.7

Za ovaj se model može ponašanje prikazati konstitutivnim jednadžbama s time da se u obujamskoj jednadžbi zanemaruje isčezavajuća viskozna promjena obujma, pa je dakle C1

= C3 = 0. U drugoj distorzijskoj jednadžbi otpada promjena naprezanja, pa je samo C7 = 0, te imamo:

kk4kk2 CC σε ⋅=⋅ (5.30)

Dij8

Dij6

Dij5 CCC σεε ⋅=⋅+⋅

•(5.31)

Opće rješenje iz kojega se mogu poslije izvesti i rješenja za neke probleme raspodjele deformacija i naprezanja u viskoelastičnom kontinuumu glasi:

kkkkK3

1 σε ⋅⋅

= (5.32)

Dij

Dij

Dij

G21

Gσεεµ ⋅

⋅=+⋅

•(5.33)

Svedeno na linearni slučaj – aksijalno opterećen štap jednadžba (5.32) nema utjecaj, dok druga daje:

dtd ; E εεεµεσ =⋅+⋅=

••(5.34)

50

Slika 5.8

Pretpostavimo slučaj da puno opterećenje djeluje trenutno u cijelom iznosu i zadržava

se kroz vrijeme t1. Iz općeg se rješenja (5.34) za linearni slučaj dobiva:

µσ

εµ

ε 0E =⋅+•

(5.35)

Rješenje u eksponencijalnom obliku:

−⋅=

×− tE0 e1

E)t( µσ

ε (5.36)

kao rezultat daje asimptotsko približavanje deformacije konačnoj deformaciji koja je jednaka

čistoj elastičnoj deformaciji E

0σ (slika 5.8). Ako se u trenutku t = t1 prekine opterećivanje,

dolazi do postepenog nestajanja deformacije:

( )1

tt•

t t t e1

0

1⟩⋅=

−−µ

σ

εε (5.37)

5.2.2. Viskoelastičan Maxwell-ov fluid

Na slici 5.9 je prikazan Maxwell-ov model koji se sastoji od Hooke-ovog i Newton-

ovog tijela povezanih u seriju i simbolički označenog:

M = N – H

51

Slika 5.9

Maxwell je opisao i dao rješenja za materijal koji ima ograničena elastična svojstva a kojemu deformacije mogu rasti bez ograničenja, budući da ima karakteristike fluida. U obujamskoj konstitutivnoj jednadžbi se isto kao i u prethodnom slučaju konstatira da se obujamska deformacija ostvaruje praktički trenutno, dakle neovisno o brzini prirasta naprezanja. U distorzijskoj jednadžbi treba prikazati da se materijal ponaša kao fluid, što znači da sam tenzor brzine deformacija ovisi o devijatorskom dijelu tenzora naprezanja i o tenzoru brzina prirasta naprezanja. Ovo dovodi do konstitutivnih jednadžbi oblika:

kk4kk2 CC σε ⋅=⋅ (5.38)

Dij8

Dij7

Dij5 CCC σσε ⋅+⋅=⋅

••(5.39)

i njihovog rješenja:

kkkkK3

1 σε ⋅⋅

= (5.5)

Dij

Dij

Dij

21

G21 σ

µσε ⋅

⋅+⋅

⋅=

••(5.40)

Za linearni element – štap može se napisati:

t1E 0

0 ⋅⋅+= σµ

σε (5.41)

Pri tome se zanemaruje prirast naprezanja •σ (kod promatranja statičkih modela

pretpostavlja se da se opterećenje nanosi dovoljno polagano da ne izaziva oscilacije). Na slici

5.10 prikazan je vremenski tijek deformacija Maxwell-ovog tijela, uz pretpostavku da se

cijelo opterećenje nanosi odjednom. Elastična deformacija nastaje odmah, a nakon toga se

tijelo deformira tako dugo dok traje opterećenje. Nakon rasterećenja vraća se samo elastični

dio deformacije, dok viskozni ostaje kao trajna deformacija.

52

Slika 5.10

Maxwell-ovo tijelo pokazuje karakteristično ponašanje prilikom nanašanje određene

deformacije ε0 i zadržavanja te deformacije konstantnom (slika 5.11). Iz jednadžbe (5.41) za

t = 0 početno naprezanje je σ0 = ε0 ∙E. Zbog viskoznih svojstava tijela dolazi do postepenog

rasterećivanja tj. relaksacije. Ako se u vezu deformacije i naprezanja, jednadžbu (5.41) uvrsti

ε = ε0 = konstantno dobivamo:

tE

)t( t1E1

00+

=→

⋅+⋅=µ

µεσµ

σε (5.42)

Nakon vremena t1 preostalo naprezanje iznosi:

1tE

0t

+µµε=σ

(5.43)

dok nakon duljeg vremena (t→∞) naprezanje u tijelu potpuno isčezava. Ovo vrijedi u potpunosti za ponašanje metala prilikom žarenja, a djelomično za beton u području malih deformacija.

53

Slika 5.11

5.2.3. Elastoplastičan materijal

Serijskim spajanje elastičnog Hooke-ovog i idealno plastičnog Saint Venant-ovog

tijela (slika 5.12) dobiva se tijelo svojstava kako su ga definirali Prandtl i Reuss. Simbolička

oznaka takvog modela je:

R = H – St. V

Slika 5.12

Za linearan odnos deformacija i naprezanja tijelo zadržava oba svojstva. Ako je

naprezanje manje od kritičnog deformacije ostaju u granicama Hooke-ovog zakona

σεσσ ⋅=⟨E1 Y (5.44)

Ako je naprezanje jednako kritičnom σY onda se deformacija povećava, i ne ovisi o

intenzitetu naprezanja nego o deformaciji susjednih elemenata. Odnosi naprezanja i

deformacija tijekom vremena za slučajeve σ < σY i σ = σY pokazani su na slici 5.13.

Naprezanje veće od kritičnog σ > σY nije moguće.

54

Slika 5.13

5.3. Složeni reološki modeli više elemenata

U daljnjem tekstu bit će prikazano nekoliko složenih reoloških modela i razmatrat će se linearni odnos deformacija i naprezanja.

5.3.1. Bingham-ov model

Kod Bingham-ovog modela (slika 5.14) paralelno spojeni St. Venant-ov i Newton-ov

model, serijski su spojeni s Hooke-ovim modelom. Shematski se može označiti:

B = H – (St.V || N).

Slika 5.14

55

Slika 5.15

Karakterističan dijagram deformacija i naprezanja u ovisnosti o vremenu prikazan je na slici 5.15. Ponašanje mu se može opisati u dva područja:

Ea Y

σεσσ =⟨ ) (5.45)

tE

)b YY ⋅+==

µσσεσσ (5.46)

U pogledu ponašanja podsjeća na elastoplastičan materijal, ali je trajna deformacija

vezana uz vremensko trajanje opterećenja.

5.3.2. Lethersich-ov model

Elastični “sol” predstavlja materijal u kojem se naprezanja preko viskozne komponente prenose na čvrstu komponentu. Simbolički označen model prikazan na slici 5.16

L = N – ( H || N )

predstavlja serijski spoj Newton-ovog i Kelvinov-og modela (u dijelu literature se naziva

Schofield-ov model ili model Scott Blair-a). Tijek deformacije za stalno opterećenje σ0 u

trajanju t1 prikazan je na slici 5.17. Ukupna deformacija ε jednaka je zbroju Newton-ove i

Kelvinov-e deformacije:

56

−⋅+⋅=

− t•E

1

2e1E

t µσµσε (5.47)

Slika 5.16

Slika 5.17

Kao i kod drugih modela u kojima prevladava viskozna komponenta i ovdje se

prilikom nanašenja određene deformacije te uz njezino zadržavanje ε = ε0 = konst. (slika

5.18), naprezanje pomalo gubi da bi se za t = ∞ asimptotski približavalo nuli prema izrazu:

57

−⋅+

=− t•E

1

0

2e1E1t µ

µ

εσ

(5.48)

Slika 5.18

5.3.3. Schwedoff-ov model

Po svojstvima ovaj model predstavlja tzv. plastičan gel. Pod gelovima se smatraju materijali u kojima prevladava čvrsta faza. Simbolički se može prikazati kao paralelan spoj Saint Venant-ovog i Maxwell-ovog modela, serijski spojen s Hooke-ovim modelom:

S = H – [ St.V || ( H-N )]

Slika 5.19

Ispod kritičnog naprezanja (σ < σY) materijal se ponaša elastično, odnos deformacija i

naprezanja je linearan (slika 5.19) dok pri kritičnom naprezanju σ = σY počinje viskozna

58

deformacija. Nakon rasterećenja povratni je samo elastični dio deformacije dok viskozna

ostaje kao trajna deformacija (slika 5.20).

Slika 5.20

5.3.4. Burgerov model

To je kombinacija Maxwell-ovog i Kelvin-ovog modela serijski spojenih:

B = M – K = ( H1 – N1 ) - ( H2 || N2 )

Slika 5.21

59

Ukupna deformacija jednaka je zbroju:

KM ε+ε=ε (5.49)

odnosno

−⋅+⋅+=

− t•E

211

2

2

e1E

tE

µσµσσε (5.50)

pri čemu se E1 i µ1 odnose na Maxwell-ov, a E2 i µ2 na Kelvin-ov dio modela (slika 5.21).

Tijek deformacija pri konstantnom naprezanju σ0 zadržanom kroz vrijeme t1 prikazan

je na slici 5.22.

Slika 5.22

Ako se pak deformacija zadržava konstantnom ε0 = konst. kroz vrijeme t1 dolazi do

relaksacije tj. postepenog gubljenja naprezanja kao što je prikazano na slici 5.23.

60

Slika 5.23

Reološki modeli za prostorno stanje naprezanja su vrlo složeni, naročito ako veze

deformacija i naprezanja nisu linearne. Postoje međutim i neki jednostavniji modeli za

prostorno naprezanje kao npr. model Anagnostija koji predlaže vezu sfernih dijelova tenzora

naprezanja i deformacija pomoću Kelvin-ovog modela (K = H || N) (slika 5.7), a devijatorskih

Maxwell-ovim modelom (M = N – H) (slika 5.9).

61

6. KONSTITUTIVNI MODELI KONTINUUMA

Mehanika kontinuuma tlo idealizira različitim matematičkim modelima kojima se nastoji jednostavno i sveobuhvatno opisati ponašanje tla.

Propisane veze zavise o fizikalnim svojstvima tla, a ova ne samo o unutrašnjoj strukturi nego i o vanjskim utjecajima. Tako se definiraju idealni materijali koji pod određenim uvjetima manje ili više odražavaju stvarno ponašanje realnih materijala. Osnovna reološka svojstva materijala s kojima se susrećemo u prirodi su: elastičnost, plastičnost i viskoznost (sl. 6.1).

Slika 6.1 Osnovni jednoosni reološki modeli

Razvijene su različite teorije koje u mehanici kontinuuma pomoću konstitutivnih jednadžbi opisuju ponašanje pojedinih vrsta materijala ovisno o dominantnom svojstvu. Na osnovu podudarnosti pojedinih svojstava razlikujemo: elastične, elastoplastične, viskoelastične, viskoplastične, elastoviskoplastične materijale. Razlike u ponašanju materijala ogledaju se u ciklusu opterećenje-rasterećenje-ponovno opterećenje. Dok je kod elastičnih materijala veza naprezanja i deformacija jednoznačna (sl. 6.2a) kod elastoplastičnih materijala naprezanja ne ovise samo o veličini deformacija nego i o čitavom procesu deformiranja (sl. 6.2b).

Matematički modeli opisani teorijom elastičnosti primjenjivani su prvotno i u idealizaciji tla. Kasnije su razrađeni modeli koji na osnovu teorije plastičnosti sveobuhvatnije opisuju ponašanje tla.

62

Slika 6.2 Dijagrami deformiranja idealiziranih materijala u ciklusu:opterećenje-rasterećenje-opterećenje

Konstitutivne jednadžbe izražavaju ovisnost naprezanja o deformacijama, kao i o brzini prirasta deformacija.

6.1. OSNOVNE PRETPOSTAVKE ELASTIČNOG MODELA

Konstitutivna jednadžba elastičnog anizotropnog kontinuuma, kod kojeg svaka od komponenata naprezanja ijσ tenzora ijσ ovisi o svakoj komponenti deformacija klε tenzora klε i obratno, može se izraziti

odnosno

gdje su ijklD - tenzor elastičnosti , i ijklC - tenzor podatljivosti, oba tenzori četvrtog reda. Za elastičan izotropan kontinuum veza polja naprezanja i deformacija definira se pomoću Lameovih koeficijenata λ i µ

odnosno recipročno

pri čemu je:

ij ijkle

kl= Dσ ε⋅ (6.1)

ij ijkl kl= Cε σ⋅ (6.2)

ij kk ij ij= +2σ λ ε δ µ ε (6.3)

( )[ ]ijkkijij 1E1

δσνσνε ⋅⋅−⋅+= (6.4)

63

kk ii= e =ε ε∑ - prva invarijanta deformacijakk 1 ii= I =σ σσ ∑ - prva invarijanta naprezanja

a Croneckerov simbol ijδ tenzor za koji vrijedi:

i = j = 1δi j =0≠ δ (6.5)

Komponente tenzora elastičnosti ijklD za izotropan kontinuum su modul elastičnosti E i Poissonov koeficijent ν . Između E, ν , G modula posmika i K modula volumenske deformacije, koji se u inženjerskoj praksi koriste kao fizikalne konstante kojima se opisuje elastično ponašanje materijala i Lameovih koeficijenata postoje veze, tako da se svaki od koeficijenata dade izraziti pomoću ostalih

Kod rješavanja problema elastičnog kontinuuma uz pretpostavljenu konstitutivnu vezu potrebno je istovremeno zadovoljiti uvjetne jednadžbe: (i) uvjete ravnoteže (ii) uvjete neprekinutosti(iii) uvjete na konturi i druge.

(i) Osnovne jednadžbe koje opisuju ravnotežu za bilo koju točku kontinuuma, izvedene na paralelopipedu diferencijalnih veličina d x , d x d x ,1 2 3i čije su stranice paralelne s koordinatnim osima, mogu se napisati u obliku

što predstavlja sustav Navier - Cauchyevih diferencijalnih jednadžbi pri čemu ijσ označava normalne i posmične komponente tenzora naprezanja ijσ , a iZ zapreminske sile u smjeru

1 2 3x , x xi . U tekstu je upotrebljena Einsteinova notacija pomoću indeksa, a indeks iza zareza uz osnovnu oznaku predstavlja derivaciju po koordinatama.

(ii) St. Venantove jednadžbe kompatibilnosti deformacija

povezuju normalne i posmične komponente tenzora deformacija ijε u tri ravnine.(iii) Ovisno o načinu na koji su zadani uvjeti Φ na plohi Γ , koja predstavlja konturu elastičnog kontinuuma Ω , razlikujemo: - fundamentalni problem I vrste, ako su na konturi zadana naprezanja - fundamentalan problem II vrste, ako su na konturi zadani pomaci.

Rubni uvjeti (sl. 6.3) mogu biti zadani vrijednostima same funkcije Φ (Dirichletov rubni uvjet) na dijelu granične plohe ΦΓ prostora Ω

ij, j i+Z =0 i, j =1,2,3σ (6.7)

ij,kl kl,ij ik, jl jl,ik+ + + = 0 i, j,k,l = 1,2,3ε ε ε ε (6.8)

E = 2 +3+

= E(1+ ) (1- 2 )

µ µ λµ λ

λ λν ν

⋅⋅

ν µ λµ λ

µν

=2 ( + )

= E2 (1+ )

= G⋅ ⋅

K = E3 (1 - 2 )⋅ ν (6.6)

64

ili derivacijom funkcije Φ n, (Neumannov rubni uvjet) na dijelu granične plohe qΓ

Očito je da za konturu Γ elastičnog kontinuuma Ω vrijedi

te da je Φ ( x )i zadani pomak, a Φ n i, ( x ) zadano naprezanje na konturi Γ .

Slika 6.3 Rubni uvjeti kontinuuma

Ovisno o načinu na koji su zadani rubni uvjeti, u rješavanju problema elastičnosti, uzimaju se kao osnovne nepoznate veličine ili naprezanja ili pomaci.

- Ako su na konturi Γ poznate komponente naprezanja, supstitucijom konstitutivnih jednadžbi u jednadžbe neprekinutosti i uz derivirane jednadžbe ravnoteže dobivamo Beltrami - Michellove jednadžbe:

Za prostorne probleme treba postaviti šest uvjeta. Zadatak se pojednostavljuje uvođenjem funkcije naprezanja

Φ Φ Γ Φ= (x ) xi iza ∈ (6.9)

Φ Φ Γn n i i q, = , ( x ) xza ∈ (6.10)

Γ Γ ΓΦ= q∪ (6.11)

ij, kk kk,ij i, j j,i k, k+1

1++( Z + Z )+

1-Z = 0 i, j, k = 1,2,3σ

νσ

νν

(6.12)

65

kao osnovne nepoznate funkcije. G. B. Airy prvi je uveo funkciju naprezanja Φ kod rješavanja ravninskih problema. Komponente naprezanja izražene su kao derivacije funkcije naprezanja

pa su uvjeti ravnoteže a priori zadovoljeni. Za prostorne probleme mogu se komponente tenzora naprezanja izraziti pomoću dvije funkcije naprezanja, dok je za ravninsko stanje naprezanja ili deformacija dovoljna samo jedna. Ispunjavanje uvjeta neprekinutosti deformacija s tako određenim komponentama naprezanja dovodi nas do Maxwell-ove parcijalne diferencijalne jednadžbe

pri čemu je

dvostruka primjena Laplaceovog diferencijalnog operatora 2∆ .

U slučaju zadanih pomaka, rješavanje se svodi na određivanje funkcije pomaka

koja zadovoljava uvjete na konturi Γ .

Supstitucijom konstitutivnih jednadžbi u jednadžbe ravnoteže dobivamo Lameove jednadžbe

Funkcija pomaka mora zadovoljiti diferencijalnu jednadžbu na promatranom području Ω i mora biti kontinuirana funkcija koordinata kako bi i jednadžbe neprekinutosti bile zadovoljene.

6.1.1. Elastični modeli tla

Za anizotropna tla Duncan i Dunlop [1970] predlažu promjenu modula elastičnosti ovisno o kutu β što ga pravac najvećeg glavnog naprezanja zatvara s horizontalom u slijedećem obliku:

h vE Ei su moduli elastičnosti u horizontalnom i vertikalnom smjeru.

Φ Φ= (x ,x ,x )1 2 3 (6.13)

ii jj= ,σ Φ (6.14)ij ij i j j i= - , + Z x + Z x i, j = 1,2,3σ Φ ⋅ ⋅ (6.15)

4 =0∆ Φ (6.16)

4ii2

ii2= , ,∆ ∂ ⋅ ∂

)u,u,u(= 321ΦΦ (6.17)

µ µ λ µ⋅ i, jj i i+( + )e , +Z =0 i, j = 1,2,3 (6.18)

E = E - ( E - E )h h v2⋅ sin β (6.19)

66

Linearno elastično modeliranje materijala u mnogim inženjerskim problemima nije odgovarajuće za opis stvarnog ponašanja materijala, koje je u osnovi nelinearno. Postoje dvije vrste nelinearnosti: materijalna i geometrijska. Materijalna ili fizička nelinearnost proizlazi iz nelinearnosti veze između naprezanja i deformacija, dok geometrijska nelinearnost obuhvaća nelinearne veze između deformacija i pomaka kao i konačne promjene u geometriji deformiranog kontinuuma.

R. L. Kondner [1963] predložio je nelinearan konstitutivan model tla (sl. 6.4) predstavljen jednadžbom hiperbole:

pri čemu je:1σ - veće glavno naprezanje kod triaksijalnog ispitivanja3σ - manje glavno naprezanje, bočni pritisak kod triaksijalnog ispitivanja

1ε - uzdužna deformacijaa bi - konstante materijala čije se vrijednosti mogu odrediti eksperimentalno.

Slika 6.4 Konderov hiperbolični model tla

Konstanta a prema slici 6.4 predstavlja recipročnu vrijednost inicijalnog modula iE , a b recipročnu vrijednost razlike naprezanja ( - )1 3σ σ za beskonačnu deformaciju.Kako se vidi konstanta b može se izraziti iz eksperimentalne krivulje pomoću koeficijenta loma Rf i razlike naprezanja pri slomu odnosno čvrstoće na pritisak ( - )1 3 fσ σ . Ovisno o vrsti tla koeficijent Rf poprima vrijednost od 0,5 do 1,0.

Veza između inicijalnog modula iE i bočnih pritisaka 3σ može se prema N. Janbu [1963] izraziti:

1 31

1

- =a+b

σ σ εε (6.20)

67

gdje je:ap - atmosferski pritisak

K - koeficijent modula primarnog opterećenjan - eksponent modula

Od posebnog značaja je određivanje vrijednosti tangentnog modula elastičnosti:

Usvajanjem Mohr-Coulombovog uvjeta loma (vidi 6.2.4.) dobiva se:

Ponašanje modela u slučaju rasterećenja i ponovnog opterećenja određeno je jedinstvenim modulom urE prema izrazu:

gdje je urK koeficijent modula rasterećenja i ponovnog opterećenja i uvijek je veći od K .

Postoji nekoliko varijanti hiperboličnog modela tla. Na osnovu laboratorijskih triaksijalnih ispitivanja kojima se određuju svojstva, vrši se izbor modela koji uključuju:

(i) promjenljivu vrijednost modula elastičnosti uz konstantnu vrijednost Poissonovog koeficijenta

(ii) promjenljive vrijednosti i modula elastičnosti i Poissonovog koeficijenta(iii) promjenljivu vrijednost modula elastičnosti uz konstantnu vrijednost modula volumenske

deformacije.

6.2. OSNOVNE POSTAVKE ELASTOPLASTIČNOG MODELA

i a

n3

aE = K p

p⋅

σ (6.21)

( )

( )

2

1f31

f

i

i

1

31t

RE1

E1

E

−+

=∂

−∂=

εσσ

εσσ

(6.22)

( ) ( ) n

a

3a

2

3

31ff p

pKsin2cosc2

sin1R1E

⋅⋅

+

−−−=

σφσφ

σσφ(6.23)

⋅

ppK=E

a

3n

aururσ (6.24)

68

Elastično ponašanje materijala može se pretpostaviti samo za djelovanje do nekog određenog ograničenog opterećenja, iznad kojeg nastaju trajne odnosno plastične deformacije.

Prvi teoretski radovi o plastičnom ponašanju materijala vezani su za radove Coulomba, Rankina i Trescae. Eksperimentalnim radovima pridružili su se Saint Venant, von Mises, Hencky, Prandlt, Nadai i drugi što je rezultiralo formuliranjem klasične teorije plastičnosti tridesetih godina ovog stoljeća, objavljene u knjizi R. Hilla [1950].

Po njoj osnovna veza između naprezanja i deformacije predstavlja nepovratan proces deformiranja koji je vremenski neovisan i koji nastupa nakon što je dostignut određen nivo naprezanja.

Ukupna deformacija na granici popuštanja može se prikazati zbrojem elastične i plastične komponente

Analogno elastičnoj konstitutivnoj jednadžbi (6.1)

može se napisati konstitutivna jednadžba elastoplastičnosti

i plastičnosti u slijedećem obliku:

pri čemu se tenzorom plastičnosti ijklpD

opisuje inkrement plastične deformacije.

Osnovni teoretski izrazi kojima se modelira plastično ponašanje materijala su:- kriterij plastičnosti - pravilo tečenja - pravilo očvršćavanjaTenzor plastičnosti ijkl

pD ovisi o kriteriju plastičnosti i pravilima plastičnog popuštanja.

6.2.1. Kriterij plastičnosti

Plastično ponašanje materijala može se opisati skalarnom funkcijom plastičnosti

εεε pij

eij

epij += (6.25)

[ ] kl1e

ijklij D σε ⋅=− (6.26)

[ ] kl1ep

ijklepij D σε ⋅=

− (6.27)

[ ] kl1p

ijklpij D σε ⋅=

− (6.28)

ijklp

ijklep

ijkleD = D - D (6.29)

69

pri čemu uvjet plastičnosti f ovisi o tenzorskim komponentama naprezanja i deformacija, a naprezanje tečenja Y o parametru očvršćavanja (omekšavanja) k, koji uključuje prethodna stanja naprezanja i deformacija.

Slika 6.5 Ploha popuštanja u prostoru glavnih naprezanja

Za elastično stanje funkcija plastičnosti F( , ,k)ij ijσ ε manja je od nule. Uvjet plastičnosti (sl. 6.5) kojim se definira granica između elastičnog i plastičnog ponašanja materijala odnosno ono naprezanje iznad kojeg nastupaju plastične deformacije glasi:

Za izotropan idealno plastičan materijal, kriterij plastičnosti koji ovisi samo o komponentama naprezanja može se prikazati u obliku:

pri čemu su 1 2 3,σ σ σi glavna naprezanja. Površina popuštanja f definirana jednadžbom (6.32) u koordinatnom sustavu 0 1 2 3σ σ σ predstavlja simetrično tijelo obzirom na pravac 1 2 3= =σ σ σ , jer je eksperimentalno dokazano da popuštanje izotropnih materijala ne ovisi o hidrostatskom pritisku odnosno rastezanju.

U devijatorskoj ravnini koja je okomita na pravac 1 2 3= =σ σ σ i prolazi ishodištem, leži krivulja tečenja - presječnica površine popuštanja i devijatorske ravnine. Dvije moguće krivulje u devijatorskoj ravnini 0 s s s1 2 3 su šesterokut odnosno kružnica. Osi 1 2 3s ,s ,s su projekcije glavnih

F( , ,k) = f( , ) -Y(k)ij ij ij ijσ ε σ ε (6.30)

f( , ) -Y(k) = 0ij ijσ ε (6.31)

f( , , )=01 2 3σ σ σ (6.32)

70

naprezanja 1 2 3, ,σ σ σ na devijatorsku ravninu i predstavljaju glavne vrijednosti devijatorskog dijela tenzora naprezanja ijs .

Slika 6.6 Prikaz principa ortogonalnosti kod pravila tečenja

6.2.2. Pravilo tečenja

Pravila tečenja opisuju vezu između inkrementalnih prirasta naprezanja i inkrementalnih prirasta plastičnih deformacija. Plastična deformacija proporcionalna je gradijentu naprezanja plastičnog potencijala Q prema izrazu:

71

pri čemu je koeficijent plastičnosti dλ uvijek pozitivan. Ukoliko je inkrement plastične deformacije u smjeru vanjske normale (princip ortogonalnosti) radi se o pridruženom pravilu tečenja Q F≡ (sl 6.6).

Podudarnost plohe popuštanja i plastičnog potencijala vrijedi za tzv. stabilne materijale za koje je prema Druckerovom postulatu ploha tečenja konveksna i vektor prirasta plastičnih deformacije u regularnoj točki površine tečenja ima smjer vanjske normale čime se osigurava jedinstvenost rješenja problema rubnih uvjeta.

Nepridruženo pravilo tečenja javlja se u slučaju kada je Q F≠ čime se opisuju omekšavajuća ponašanja nestabilnih materijala.

6.2.3. Pravilo očvršćavanja

Pravila očvršćavanja predstavljaju kriterije za nastavak tečenja nakon što je dostignuta granica popuštanja.

Iz uvjeta plastičnosti

da točka u prostoru glavnih naprezanja ne može ležati izvan plohe popuštanja proizlazi da s porastom naprezanja ploha popuštanja mijenja svoj oblik i veličinu. Razlikujemo: (i) izotropno pravilo očvršćavanja (ii) kinematičko pravilo očvršćavanja.

(i) Izotropno pravilo očvršćavanja pretpostavlja da se ploha popuštanja širi jednoliko iz središta prostora naprezanja (sl. 6.7a). Postoje dva osnovna načina povezivanja kritičnog naprezanja Y(k) s razvojem plastičnih deformacija: a) radno očvršćavanje kod kojeg je parametar očvršćivanja k jednak ukupnom plastičnom

radu b) deformaciono očvršćavanje kod kojeg kritično naprezanje Y ovisi o efektivnoj plastičnoj

deformaciji.

Istraživanja se provode u smjeru objedinjavanja oba navedena načina.

(ii) Kinematičko pravilo očvrščavanja pretpostavlja translaciju plohe popuštanja uz zadržavanje prvobitnog oblika (sl. 6.7b). Složenija pravila očvršćavanja pretpostavljaju mogućnost postojanja kombiniranog očvršćavanja, izotropnog i kinematičkog.

d = d Qijp

ijε λ

σ⋅ ∂

∂ (6.33)

0=Y(k)-),f(=k),,F( pijij

pijij εσεσ (6.34)

72

Slika 6.7 Pravila očvršćavanja

6.2.4. Kriterij loma

Kriterijem plastičnosti opisuje se posjedovanje mogućnosti plastičnog deformiranja materijala. Stanje naprezanja u materijalu pri kojem deformacije postaju neograničene predstavlja stanje loma i opisuje se kriterijima loma.

73

Najčešće primjenjivani kriteriji loma izraženi pomoću glavnih naprezanja 1 2,σ σ i 3σ su: (i) Von Misesov (ii) Trescin (iii) Mohr - Coulombov (iv) Drucker - Pragerov

6.2.4.1 Von Misesov kriterij loma

Do plastičnog popuštanja materijala dolazi kada distorzijska energija

dostigne kritičnu vrijednost. U slučaju jednoosnog naprezanja ( = ;1 Yσ σ 2 3= =0)σ σ kritična vrijednost distorzijske energije bit će jednaka

Izjednačavanjem jednadžbi (6.35) i (6.36) dobiva se:

Plohu popuštanja predstavlja kružni valjak koji je okomit na devijatorsku ravninu a presjek s istom daje kružnicu kao krivulju plastičnog tečenja (sl. 6.8).

6.2.4.2 Trescin kriterij loma

Prema ovome kriteriju do plastičnog popuštanja materijala doći će onda kada maksimalno tangencijalno naprezanje dostigne kritičnu vrijednost (sl. 6.8). Matematički se to može formulirati kao

U skladu s konvencijom da je 1 2 3> >σ σ σ ovaj se kriterij može napisati u obliku

( ) ( ) ( )[ ]213

232

221dist E6

1U σσσσσσν −+−+−+= (6.35)

dist Y2U = 1+

3Eν

σ (6.36)

( - ) +( - ) +( - ) = 21 22

2 32

3 12

Y2σ σ σ σ σ σ σ (6.37)

max | - |,| - |,| - | =1 2 2 3 3 1 Yσ σ σ σ σ σ σ (6.38)

1 3 Y- =σ σ σ (6.39)

74

Slika 6.8 Ploha popuštanja po von Misesu i Tresci

Eksperimentalnim istraživanjima Tresca je dokazao da je u stanju plastičnog popuštanja materijala maksimalno tangencijalno naprezanje konstantno u svim točkama i jednako granici popuštanja materijala pri čistom smicanju.

Navedeni kriteriji dobro opisuju ponašanje metala i njihovih legura. Nedostatak spomenutih kriterija je u pretpostavci da srednje normalno naprezanje 2σ nema utjecaja na pojavu plastičnih deformacija u materijalu, što ne vrijedi prvenstveno za stijene i tla.

6.2.4.3 Mohr - Coulombov kriterij loma

Po ovom kriteriju, slično kao u prethodnom, do plastičnog popuštanja materijala dolazi kada maksimalno posmično naprezanje prekorači kritičnu vrijednost i glasi

pri čemu je:τ posmično naprezanje

nσ normalno naprezanje c kohezija ϕ kut unutrašnjeg trenja

Izraz (6.40) predstavlja tangentu na najveću Mohrovu kružnicu za troosno stanje naprezanja kako je prikazano na slici 6.9. Uzevši u obzir da je 1 2 3> >σ σ σ može se izraz (6.40) napisati u obliku:

τ σ ϕ= c + tann ⋅ (6.40)

75

ili nakon sređivanja

Slika 6.9 Prikaz Mohr-Coulombovog uvjeta plastičnosti pomoću Mohrove kružnice

Dok je kod Trescinog kriterija maksimalno tangencijalno naprezanje mjerodavno za nastanak tečenja, konstantno i predstavljeno polumjerom najveće Mohrove kružnice ( - ) / 21 3σ σ , dotle se po Mohrovom kriteriju taj isti polumjer mijenja i funkcija je koordinata središta najveće Mohrove kružnice.

Uvjet plastičnog tečenja (6.42) predstavlja u koordinatnom sustavu glavnih naprezanja σσσ 3210 nepravilnu šesterostranu piramidu kojoj je pravac 1 2 3= =σ σ σ os. Presjek ove

piramide ravninom okomitom na hidrostatsku os daje u devijatorskoj ravnini nepravilan šesterokut (sl. 6.10).

6.2.4.4 Drucker-Pragerov kriterij loma

Drucker-Pragerov kriterij tečenja predstavlja aproksimaciju Mohr-Coulombova kriterija tečenja odnosno modifikaciju von Misesovog. Utjecaj sfernog tenzora naprezanja na pojavu popuštanja u materijalu uzet je u obzir uključivanjem dodatnog člana u von Misesov kriterij tečenja i glasi

1 3 1 3 1 3-2

= c ++2

--2

tanσ σ ϕ σ σ σ σ ϕ ϕ⋅ ⋅

⋅cos sin (6.41)

1 3 1 3+2

- -2

= cσ σ σ σ ϕ ϕ⋅ ⋅sin cos (6.42)

α σ σ σ σ σ σ σ σ σ⋅ ′( + + )+ 16

( - ) +( - ) +( - ) = k1 2 3 1 22

2 32

3 12 (6.43)

76

Slika 6.10 Ploha popuštanja po Mohr-Coulombu i Drucker-Prageru

Parametri α i k' određuju se pomoću Mohr - Coulombovih parametara čvrstoće c i ϕ . Izraz (6.43) predstavlja uspravni stožac u koordinatnom sustavu glavnih naprezanja 0 1 2 3σ σ σ . Ukoliko Drucker-Pragerov stožac dodiruje bridove Mohr-Coulombove šesterostrane piramide izvana, tada parametri α i k' poprimaju slijedeće vrijednosti:

dok u slučaju da stožac dodiruje plašt piramide iznutra parametri α i k' iznose

Kao odgovarajući za opis loma tla koriste se Mohr-Coulombov i Drucker-Pragerov kriterij.

Osim navedenih potrebno je spomenuti Lade-Duncanov i Hoek-Brownov kriterij loma.

6.2.4.5 Lade-Duncanov kriterij loma

Za nekoherentno tlo Lade-Duncan [1975] definirali su plohu popuštanja jednadžbom:

gdje su I i I 31 σσ prva i treća invarijanta tenzora naprezanja ijσ .

α ϕϕ

ϕϕ

= 23 (3 - )

;k = 6c3 (3 - )

sinsin

cossin⋅

′⋅ (6.44)

α ϕϕ

ϕϕ

= 23 (3 + )

;k = 6c3 (3 + )

sinsin

cossin⋅

′⋅ (6.45)

13

3I - k I =0σ ϕ σ⋅ (6.46)

77

Konstanta oblika ϕk funkcija je kuta unutrašnjeg trenja ϕ i određuje oblik plohe popuštanja. U prostoru glavnih naprezanja površina popuštanja ima oblik stošca, kojemu je os hidrostatički pravac (sl. 6.11). Presjek stošca ovisi o vrijednosti konstante ϕk , koja se određuje eksperimentalno.

Slika 6.11 Ploha popuštanja po Lade-Duncanu

6.2.4.6 Hoek-Brownov kriterij loma

Hoek-Brown [1982] predložili su kriterij loma za stijenski masiv (sl. 6.12) oblika:

pri čemu su:1 3 σ σi - veće odnosno manje tlačno glavno naprezanjecσ - jednoaksijalna tlačna čvrstoća stijene

m i s - bezdimenzionalne konstante masiva kojima se definira kompaktnost stijenskog masiva

Razmatranjem jednoaksijalnog tlačnog odnosno vlačnog naprezanja konstante imaju fizikalno značenje i mogu se odrediti eksperimentalno. Za jednoaksijalni tlak kada je 3 = 0σ uz vrijednost s =1 glavno tlačno naprezanje izjednačava se s jednoaksijalnom tlačnom čvrstoćom stijene ( = )1 cσ σ . Iz toga slijedi da je za stijenski masiv bez pukotina s =1 .

Slično se za slučaj jednoaksijalnog vlaka kada je 1 3 t= 0 =σ σ σa može odrediti vrijednost koeficijenta m. Ovisno o raspucalosti stijenskog masiva konstante se kreću u slijedećim relacijama:

1 3 c 3 c2= + m +sσ σ σ σ σ (6.47)

0,05 s 0,90≤ ≤ (6.48)5 m 20≤ ≤ (6.49)

78

Slika 6.12 Hoek-Brownov kriterij loma

Primjena ovog kriterija omogućava uočavanje područja u kojima dolazi do vlačnog loma odnosno klizanja.

6.2.5. Elastoplastični modeli tla

Cam-clay model zadovoljava navedene kriterije i pravila plastičnosti te se uz izbor odgovarajućih parametara upotrebljava za opis ponašanja različitih vrsta tla.

Originalni Cam-clay model (sl. 6.13) definira:(i) Ploha popuštanja izražena jednadžbom:

(ii) Pridruženo pravilo tečenja

(iii) Izotropno pravilo očvršćivanja određeno parametrom ′cp koji ujedno definira plohu popuštanja

pri čemu je:q = -1 3σ σ - devijator naprezanja

q = M ppp

c⋅ ′ ⋅′′ln (6.50)

′ ⋅ ⋅ ⋅ ′ ⋅p d + q d = M p dvp p pε ε ε (6.51)

79

′ ′ ′ ′p = + +3

1 2 3σ σ σ- efektivno hidrostatsko naprezanje

d vpε - inkrement volumenske plastične deformacije

d pε - inkrement posmične plastične deformacijeM - konstanta materijala kojom se definira linija kritičnog stanja

Slika 6.13 Ploha popuštanja za originalni Cam-clay model tla

Vrijednost konstante ovisi o kutu unutrašnjeg trenja prema izrazu:

Prirast volumenske plastične deformacije je:

pri čemu je e koeficijent pora, λ volumenski modul stišljivosti, a κ modul povratne deformacije.

Na osnovu originalnog modela pretpostavljen je čitav niz sličnih. Osnovna razlika između originalnog Cam-clay modela i modificiranog modela (sl. 6.14) je u obliku plohe popuštanja.

Modificirani Cam-clay model definiran je eliptičnom površinom popuštanja

M = 63 -

sinsin

′′

ϕϕ (6.52)

ppd

-e+1=d cp

v ′′

κλε (6.53)

2 2 2 2cq + M p = M p p⋅ ′ ⋅ ′ ⋅ ′ (6.54)

80

i pridruženim pravilom tečenja oblika

Slika 6.14 Ploha popuštanja za modificirani Cam-clay model tla

All-Tabba [1990] pretpostavlja model s dvije plohe popuštanja (sl. 6.15) unutar veće površine popuštanja pretpostavlja manju površinu popuštanja (gnijezdo).

Slika 6.15 Modificirani Cam-clay model tla s dvije plohe popuštanja

Noviji modeli zahtijevaju više parametara za definiranje ponašanja modela, složeniji su od Cam-clay modela, ali bolje opisuju anizotropno popuštanje materijala.

dd

= M p -q2p q

vp

p

2 2 2εε

′′ (6.55)

81

6.3. OSNOVE ELASTOVISKOPLASTIČNOG MODELA

Vremenski neovisne konstitutivne jednadžbe ne mogu na zadovoljavajući način simulirati ponašanje realnih materijala kojima svojstva ovise o vremenu.

Samo u nekim uvjetima plastične deformacije mogu biti vremenski neovisne ali općenito su ovisne. Osim pojave plastičnosti uzrok materijalne nelinearnosti vezan je uz fenomen tečenja materijala, preraspodjela naprezanja odnosno deformacija tokom vremena.

Početak promatranja ponašanja materijala kao jedinstvenog modela kombinirajući efekte plastičnosti i tečenja vezan je uz radove Binghama, Henckya i Pragera. Osnove teorije elasto-visko-plastičnosti postavio je Perzyna [1960].

Model prikazan na sl. 6.16 (jednoosni problem) reagira trenutno elastično, pri čemu viskoplastičan element ostaje neaktivan sve dok je σ σ< Y .

Slika 6.16 Jednoosni reološki elastoviskoplastični model

Viskoplastično ponašanje javlja se nakon pojave popuštanja. Prirast naprezanja uzrokuje pojavu prirasta viskoplastičnih deformacija. Kod viskoplastičnog modela s odloženom plastičnosti ne dozvoljava se znatniji plastični tok.

U elastoviskoplastičnom modelu ukupna deformacija na granici popuštanja sastoji se od elastične i viskoplastične komponente

εεε vpij

eijij += (6.56)

82

Analogno inkrement elastoviskoplastične deformacije možemo izraziti:

Elastične deformacije mogu se izraziti slijedećim oblikom

gdje je ij ij ij ms = -σ δ σ devijatorski dio tenzora deformacija, m kk= / 3σ σ hidrostatsko naprezanje, ijδ Croneckerov simbol prema izrazu 6.5, a G, Eν i konstante materijala.

Prirast elastičnih deformacija može se napisati u obliku

Prirast viskoplastičnih deformacija funkcija je trenutnog stanja naprezanja, a prema P. Perzynu definira se u sličnom obliku pravilom tečenja kao kod elastoplastične teorije

odnosno

vγ - koeficijent plastične viskoznosti, eksperimentalno određen parametar koji kontrolira brzinu viskoplastičnog toka

F - skalarna funkcija plastičnostiQ - funkcija plastičnog potencijalaΦ (F) - pozitivna monotono rastuća funkcija plastičnog toka

Funkcija plastičnosti je oblika

pri čemu su ε vpij viskoplastične deformacije, k parametar očvršćavanja a 0F jednoosno kritično

naprezanje. Elastično stanje je u slučaju da je F <0 .

Ploha popuštanja ovisi o trenutnom stanju naprezanja i mijenja se promjenom viskoplastičnih deformacija.

Kod opisa elastoviskoplastičnog modela potrebno je definirati funkciju plastičnosti F, funkciju plastičnog potencijala Q i funkciju plastičnog toka Φ (F) . U slučaju pridruženog pravila tečenja Q F≡ , pri čemu je funkcija plastičnosti dana gore navedenim izrazom (6.62).

εεε vpij

eijij += (6.57)

σδν

ε mijije

ij E2-1+

2Gs

= (6.58)

δσν

ε ijmije

ij E2-1+

2Gs=

(6.59)

0(F) 0;>F za ;Q>(F)<=ij

vvpij ≠

∂∂ Φ

σΦγε (6.60)

0=(F) 0;F za 0=vpij Φε ≤ (6.61)

0=(k)F-),(F=F 0vpijij εσ (6.62)

83

Prirast viskoplastičnih deformacija uz pretpostavku pridružene viskoplastičnosti u vektorskom obliku glasi:

Vektor tečenja a predstavlja derivaciju funkcije plastičnosti F po vektoru naprezanja σ .

P. Perzyna [1966], D. Owen i E. Hinton [1980] predlažu dva oblika funkcije plastičnog toka:

Φ (F)=e -1MF - F

F0

0

(6.64)

Φ (F) = F - FF

N

0

0

(6.65)

gdje su M i N konstante, tako odabrane da što bolje simuliraju eksperimentom utvrđeno ponašanje materijala.

Na osnovu Perzynove teorije elastoviskoplastičnosti H. Sekiguchi [1985] polazeći od Cam-clay modela predlaže slijedeće izraze za: – funkciju plastičnosti

- i funkciju plastičnog toka

Parametri c0 i m ′ odnose se na viskoplastičnost.Površina popuštanja F kod stacionarne viskoplastičnosti ovisi o trenutnom stanju naprezanja i

mijenja se samo promjenom plastičnih deformacija. Olszak-Perzynova teorija

elastoviskoplastičnosti pretpostavlja nestacionarnu viskoplastičnost što znači da može doći do

promjene plohe popuštanja bez promjena plastičnih deformacija.

a(F)<=F>(F)<=~vv

vpij Φγ

σΦγε

∂∂

(6.63)

F = qM p

ppc⋅ ′

′

′

ln (6.66)

ec=(F) Fm0

′⋅Φ (6.67)

84

LITERATURA

Al Tabbaa A. (1990): Permeability and stress-strain response of speswhite kaolin, Ph. D. Thesis, University of Cambridge.

Bland, D.R. (1960): The theory of linear viscoelasticity, Pergamon Press, Oxford.

Drucker, D.C. and Prager, W. (1952): Soil mechanics and plastic analysis or limit design, Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics,Vol. 10, No. 2, 157-165.

Duncan, J.M. and Chang, C.Y. (1970): Nonlinear analysis of stress and strain in soils, J. Soil Mechanics and Foundation Division, ASCE, Vol. 96, No.SM 5, 495-498.

Findlay, W.N., Lai, J.S. and Onaran, K. (1976): Crep and relaxation of nonlinear viscoelastic materijals, North Holland Publishing-Co.

Hill, R. (1950): The mathematical theory of plasticity, Oxford University Press, Oxford.

Hinton, E. Owen, D.R. (1977): Finite element programing, London Academic Press, London.

Hoek, E. and Brown, E.T. (1982): Underground excavation in rock. Institution of mining and metalurgy, London.

Hudec, M.: Odabrana poglavlja iz mehanike kontinuuma, bilješke

Konder, R.L. (1963): Hyperbolic stress-strain response; Cohesive soils, J. Soil Mechanics and Foundation Division, ASCE, Vol. 89, No. SM 1. Konder, R.L. and Zelasko, J.S. (1963): A hyperbolic stress-strain formulation for sands, Proc. 2nd Panam. CSMFE, Brasil.

Kostrenčić, Z.: Teorija elastičnosti, Školska knjiga, Zagreb 1982.

Kovačić, D. (1977): Nelinearni modeli tla, Građevinar, Vol. 29. No. 3, Zagreb.

Lade, V.P. and Duncan, M.J. (1975): Elastoplastic stress-strain theory for cohesionless soil, J. Geotechn. Engin. Div., Vol. 101 No. 10.

Mohr, O. (1900): Welche Umsaende bedingen die Elastizitaetsgrenze und den Bruch eines Materials, ZS. d. Vereins Deutscher Ingenieure, Vol. 44, 1524-1572.

Naylor, D.J., Pande, G.N., Simpson, B. and Tabb, R. (1981): Finite elements in geotechnical engineering, Pineridge Press, Swanse.

Olszak, W. and Perzyna, P. (1970): Stationary and non-stationary viscoplasticity; Inelastic behavioutr of solis, McGraw-Hill Book Co.

85

Perzyna, P. (1960): The constitutive equations for rate sensitive plastic materials, Arch. Mech. Stos., Vol. 15, 113-130.

Perzyna, P. (1966): Fundamental problems in viscoplasticity. Recent Advances in Applied Mechanics, Academic Press, Vol. 9, 243-377, New York.

Šuklje, L. (1969): Rheological aspects of soil mechanics, John Wiley, London.

Zienkiewicz, O.C., Valliappan S. and King, I.P. (1969): Elastic-plastic solution of enginnering problems; Initial stress. Finite element approach, Inter. J. Numerical method in Engineering, Vol. 1, 75-100.