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Des documents de référence sur le site Eduscol :
http://eduscol.education.fr/cid60323/ressources-pour-le-
lycee.html
Le document « Mesures et incertitudes » (Juin 2012, 38 pages)
Le document « Nombres, mesures et incertitudes » (Aout
2012, 10 pages) = même document que celui de mai 2010 sans mise à
jour des notations
Ce sont des documents pour la formation des professeurs
Un document sur le site de l’académie de Nantes
http://www.pedagogie.ac-nantes.fr/64612998/0/fiche___ressourcepedagogique/&RH=1161013006328
Inspection pédagogique régionale Physique - Chimie 4
Notions et
contenus
Compétences expérimentales
exigibles
Commentaires
Erreurs et
notions
associées
Identifier les différentes sources d’erreur
(des limites du mesurage à la précision des
mesures) lors d’une mesure : variabilités du
phénomène et de l’acte de mesure (facteurs
liés à l’opérateur, aux instruments, etc ,…)
Identifier les composantes de l'erreur :
composantes aléatoires (erreurs de lecture,
erreurs du à l’appareil, …) et les
composantes systématiques ( erreur de
méthode, défaut d’étalonnage, …)
Incertitudes et
notions
associées
Evaluer et comparer les incertitudes
associées à chaque source d’erreur.
Evaluer l’incertitude de répétabilité à l’aide
d’une formule d’évaluation fournie.
Evaluer l’incertitude d’une mesure unique à
l’aide d’un instrument de mesure.
Evaluer, à l’aide d’une formule fournie,
l’incertitude d’une mesure obtenue lors de
la réalisation d’un protocole dans lequel
interviennent plusieurs sources d’erreurs.
Incertitude de type A : utiliser un tableur
ou les fonctions de la calculatrice pour
obtenir l’écart-type expérimental sexp ou
σn-1
puis l’incertitude de répétabilité urép
Incertitude de type B : incertitude associée
à la lecture avec un appareil numérique ou
à graduations, un instrument étalonné, …
Incertitude type composée : formule
fournie obligatoirement
A propos des incertitudes : (Cf. préambule du programme)
Inspection pédagogique régionale Physique - Chimie 5
Notions et
contenus
Compétences expérimentales
exigibles
Commentaires
Expression et
acceptabilité
du résultat
Maîtriser l’usage des chiffres significatifs et
l’écriture scientifique. Associer l’incertitude
à cette écriture.
Exprimer le résultat d’une opération de
mesure par une valeur issue
éventuellement d’une moyenne et une
incertitude de mesure associée à un
niveau de confiance.
Evaluer la précision relative.
Déterminer les mesures à conserver en
fonction d’un critère donné.
Commenter le résultat d’une opération de
mesure en le comparant à une valeur de
référence.
Faire des propositions pour améliorer la
démarche.
Si le résultat est au 1/10ème , l’incertitude
doit être au 1/10ème .
(Si le résultat est au 1/100ème , l’incertitude
doit être au 1/100ème. …)
M = m U(M) où m est la valeur mesurée
ou une valeur moyenne.
L’incertitude de mesure ou incertitude
élargie U(M) dépend du niveau de
confiance. Elle se déduit de l’incertitude-
type u(M) : U(M) = k. u(M) (avec k = 2 pour
un niveau de confiance de 95 %).
Déterminer l’incertitude relative soit le
rapport U(M)/m .
Rejeter les valeurs qui s'écartent trop de la
valeur moyenne et refaire le calcul de la
moyenne (pour un graphique, éliminer les
points trop éloignés de la courbe).
On peut calculer l’écart relatif (exprimé en
%) à la valeur de référence.
Exemples : Le matériel n’a pas été utilisé
correctement (pb d’étalonnage,…)
Le protocole peut être amélioré …
Le nombre de mesures aurait du être plus
important …
Vocabulaire et définitions
Le MESURAGE (mesure) : ensemble des opérations permettant de déterminer
expérimentalement une ou plusieurs valeurs d’une grandeur.
Le MESURANDE : grandeur que l’on veut mesurer (longueur, masse, intensité,
résistance, pression…..)
La VALEUR VRAIE (Mvrai) : valeur du mesurande que l’on obtiendrait si le
mesurage était parfait. Un mesurage n’étant jamais parfait, cette valeur est toujours
inconnue, On parle également de « valeur théorique ».
La GRANDEUR d’influence : grandeur qui n’est pas le mesurande mais qui a un
effet sur le résultat du mesurage.
L’ERREUR de mesure : un mesurage n’étant jamais parfait, il y a toujours une
erreur de mesure ER = m – Mvrai . L’erreur de mesure est la différence entre la
valeur mesurée d’une grandeur et une valeur de référence. Si la valeur de référence
est la valeur vraie du mesurande, l’erreur est inconnue,
Le résultat du mesurage M (résultat de mesure) : ensemble de valeurs attribuées à
un mesurande complété des informations sur l’incertitude de mesure qui permet
d’indiquer l’intervalle des valeurs probables du mesurande.
M = m ± U(m)
La notion d’erreur aléatoire ∆ 𝐨𝐮 ERa
L’erreur aléatoire ou erreur de répétabilité intervient lorsque
l’expérimentateur effectue N mesures exactement dans les mêmes
conditions du mesurande et ne trouve pas à chaque fois la même valeur.
Si on effectue N mesures dans des conditions de répétabilité, le meilleur
estimateur de la valeur du mesurande est la valeur moyenne 𝒎 des N
mesures.
Une mesure 𝒎𝒊 parmi les N mesures est généralement différente de 𝒎 . La
différence ERa = 𝒎𝒊 - 𝒎 est appelée erreur aléatoire ou erreur de
répétabilité.
L’erreur aléatoire ∆ provient essentiellement des variations temporelles et
spatiales non prévisibles des grandeurs d’influence. Il n’est pas possible de
compenser l’erreur aléatoire d’un résultat de mesure, elle peut cependant
être réduite en augmentant le nombre de mesures.
La notion d’erreur systématique 𝜺 𝐨𝐮 ERs
L’erreur systématique 𝜺 se produit sur un résultat de mesure à partir d’un effet
reconnu d’une grandeur d’influence. Cet effet, appelé effet systématique, peut être
quantifié et s’il est significatif par rapport à la précision requise du mesurage, une
correction peut être appliquée au résultat.
Par définition, l’erreur systématique est : ERs = 𝒎 - Mvrai
Comme la valeur vraie du mesurande est toujours inconnue, l’erreur systématique
ERS ne peut pas être connue exactement, Il est seulement possible de déterminer
une estimation de l’erreur systématique.
Lors d’une mesure, l’erreur aléatoire peut prendre, au hasard, n’importe quelle valeur
sur un certain intervalle. Par contre, l’erreur systématique prend la même valeur
(inconnue) lors de chaque mesure.
L’erreur systématique peut être considérée comme une erreur constante qui affecte
chacune des mesures. Elle ne peut pas être réduite en augmentant le nombre de
mesures, mais par application d’une correction.
Pour détecter et évaluer une erreur systématique, on peut mesurer la même
grandeur avec un instrument différent, avec des méthodes différentes, mesurer un
même mesurande dans des laboratoires différents, mesurer avec son instrument de
mesure une grandeur étalon (contrôle de la justesse), …….
Exemples d’erreurs aléatoires :
- Erreurs dues aux appareils de mesure (seuil de mesure, résolution…)
- Erreurs dues aux conditions extérieures (température, pression,
hygrométrie, …)
- Erreurs de lecture
- Parasites
Exemples d’erreurs systématiques :
- défaut d’étalonnage (pH-mètre, conductimètre, spectrophotomètre,…)
- défaut de calibrage, de réglage du zéro de l’appareil, défaut de la mise au
zéro d’une éprouvette graduée, …
- erreur de parallaxe dans la lecture
- erreur de méthode, erreur de concentration, ….
- vieillissement des composants
Fidélité et justesse
La fidélité (Precision) d’un instrument de mesure est son aptitude à donner
des indications très voisines lors de l’application répétée du même mesurande
dans les mêmes conditions. Un instrument fidèle donne des erreurs aléatoires
faibles.
La justesse (Trueness) d’un instrument de mesure est son aptitude à donner
des indications exemptes d’erreur systématique. L’estimation de l’erreur
systématique est appelée biais de mesure ou erreur de justesse.
L’exactitude (Accuracy) : qualité d’un appareil qui est à la fois juste et fidèle
donc exact,
L’ERREUR de MESURE ER
Une erreur de mesure a donc en général, deux composantes : une erreur
aléatoire ERa et une erreur systématique ERS.
L’erreur de mesure est : ER = 𝒎𝒊 – Mvrai = (𝒎𝒊 - 𝒎 ) + (𝒎 - Mvrai )
On obtient donc : ER = ERa + Ers
L’erreur de mesure est donc la somme des erreurs aléatoires et des
erreurs systématiques.
Identification des sources d’erreurs
Pour évaluer les sources d’erreurs, nous pouvons utiliser comme outil le diagramme
de cause-effet ou diagramme d’Ishikawa associé à la méthode des 5 M.
La méthode des « 5 M » permet de ne rien oublier lors de l’inventaire.
- MOYEN : matériel utilisé (verrerie, appareils de mesure, instruments….)
ainsi que les substances chimiques et les réactifs utilisés.
- METHODE : toutes les étapes de l’analyse (prélèvement, pesée, mise en
solution, dilution,…..).
- MATIERE : produit biologique (plasma, urine,…), produit alimentaire
(eau, lait, bière,…..), …. Pouvant contenir des substances responsables
d’interférences lors de la mesure.
- MILIEU : conditions environnementales (température, pression,
hygrométrie,….).
- MAIN D’ŒUVRE : opérateur (technicien, élève, ….) effectuant la mesure
Méthode
Identification des sources d’erreurs par la méthode des 5 M
Exemple : Utilisation d’une pipette jaugée à deux traits pour prélever une solution
Matière Milieu
Moyen Main d’œuvre
Volume V = (m ±U(V)) mL
LA NOTION D’INCERTITUDE DE MESURE
Le mot incertitude signifie doute ; l’incertitude du résultat d’un mesurage reflète
l’impossibilité de connaître exactement la valeur exacte du mesurande.
Le concept d’incertitude est défini à partir du traitement probabiliste de l’erreur.
L’incertitude de mesure U(M) est un paramètre, associé au résultat du mesurage,
qui caractérise la dispersion des valeurs qui pourraient être raisonnablement
attribuées au mesurande.
Il faut donc pouvoir caractériser la dispersion des valeurs que peut prendre la valeur
attribuée au mesurande. Une mesure de cette dispersion peut être obtenue à partir
de l’écart-type de la grandeur aléatoire.
L’écart-type de M est appelé incertitude-type sur le résultat du mesurage, On
note généralement u(M) cette incertitude-type sur M.
L’évaluation des incertitudes par des méthodes statistiques est dite de type A.
Quand la détermination statistique n’est pas possible, on dit que l’évaluation est de
type B. C’est le cas d’une mesure unique réalisée avec un appareil de classe
connue.
L’incertitude-type composée permet de tenir compte à la fois des incertitudes de
type A et de type B qui impactent la valeur obtenue du mesurande.
Mesurage
Incertitude
élargie U
TYPE A TYPE B
1 mesure
Approche probabiliste
Choix de la loi de répartition
incertitude-type
Intervalle de confiance
Incertitude composée u
incertitude-type
Loi normale (ou gaussienne)
Traitement statistique
N mesures
Intervalle de confiance
Incertitude composée u
Incertitude de type A (incertitude de répétabilité)
Un même opérateur effectue n mesures du même mesurande m dans les
mêmes conditions. Si les valeurs mesurées sont différentes, alors il y a une
erreur de répétabilité dont l’origine est souvent inconnue. D’une mesure à
l’autre, cette erreur peut prendre une valeur différente : l’erreur de
répétabilité est une erreur aléatoire. Elle est évaluée par une méthode
statistique.
La meilleure estimation du résultat de la mesure est donnée par la moyenne
arithmétique : m m =
n
kkmn 1
1
On détermine l’écart-type n-1 =
On détermine l’incertitude type de répétabilité u(m) du mesurande m à l’aide
de la relation suivante :
u(m) = 𝝈𝒏−𝟏
𝒏
Comme le nombre de mesures est limité, on introduit le facteur
d’élargissement k (ou coefficient de Student t(n;x%)) qui dépend du nombre de
mesures n et de l’intervalle de confiance (x%) choisi.
L’incertitude élargie sur le mesurande se calcule avec la relation :
U(m) = k × u(m) = t(n ;x%) × u(m)
Application :
On réalise une série de pesées d’un échantillon de masse m avec une balance
électronique. Les résultats sont les suivants :
Essai n° 1 n° 2 n° 3 n° 4 n° 5
m (g) 22,85 22,87 22,81 22,79 22,84
La valeur moyenne de ces mesures =𝟐𝟐,𝟖𝟓+𝟐𝟐,𝟖𝟕+𝟐𝟐,𝟖𝟏+𝟐𝟐,𝟕𝟗+𝟐𝟐,𝟖𝟒
𝟓= 𝟐𝟐, 𝟖𝟑 𝐠
On calcule l’incertitude-type de répétabilité pour cette série de mesure :
u(m) = 𝟏
𝟓×
𝟏
𝟓−𝟏× [ 𝟐𝟐, 𝟖𝟓 − 𝟐𝟐, 𝟖𝟑 𝟐 + 𝟐𝟐, 𝟖𝟕 − 𝟐𝟐, 𝟖𝟐 𝟐 + 𝟐𝟐, 𝟖𝟏 − 𝟐𝟐, 𝟖𝟑 𝟐 + 𝟐𝟐, 𝟕𝟗 − 𝟐𝟐, 𝟖𝟑 𝟐 + 𝟐𝟐, 𝟖𝟒 − 𝟐𝟐, 𝟖𝟑)𝟐]
u(m) = 0,071 g
Pour une série de mesures et un intervalle de confiance de 95 %, le coefficient
d’élargissement (coefficient de Student) vaut t(5 ;95%) = 2,57
L’incertitude élargie de répétabilité de cette série de mesures sera :
U(m) = t(5 ;95%) × u(m) = 2,57× 0,071 = 0,18 g
Conclusion : la masse m de cet échantillon vaut :
M = (22,83 ± 0,18) g soit M = (22,8 ± 0,2)g
Coefficients de Student
Intervalle de confiance
Nombre de mesures
90,0 % 95,0 % 98,0 % 99,0 % 99,9 %
2 2,92 4,30 6,96 9,92 31,60
3 2,35 3,18 4,54 5,84 12,92
4 2,13 2,78 3,75 4,60 8,61
5 2,02 2,57 3,36 4,03 6,87
6 1,94 2,45 3,14 3,71 5,96
7 1,89 2,36 3,00 3,50 5,41
8 1,86 2,31 2,90 3,36 5,04
9 1,83 2,26 2,82 3,25 4,78
10 1,81 2,23 2,76 3,17 4,59
12 1,78 2,18 2,68 3,05 4,32
14 1,76 2,14 2,62 2,98 4,14
17 1,74 2,11 2,57 2,90 3,97
20 1,72 2,09 2,53 2,85 3,85
30 1,70 2,04 2,46 2,75 3,65
40 1,68 2,02 2,42 2,70 3,55
50 1,68 2,01 2,40 2,68 3,50
100 1,66 1,98 2,36 2,63 3,39
10 000 1,64 1,96 2,33 2,58 3,29
Evaluation de l’incertitude de type B L’évaluation de l’incertitude de type B est effectuée par des moyens autres
que l’analyse statistique de série d’observations. Elle est basée sur la
connaissance de la loi de probabilité suivie par le mesurande.
Différents cas peuvent se présenter :
Le constructeur fournit l’incertitude-type u(m). Dans ce cas, on utilise
directement son incertitude.
Pour une mesure avec un instrument à graduation (appareil à cadran, lecture
d’un réglet, d’un thermomètre …), l’incertitude type de lecture est : u = 𝒒
𝟔 , q
étant la résolution.
Pour une mesure avec un instrument à affichage numérique, si la résolution
est q, l’incertitude-type de lecture est donnée par la relation u = 𝒒
𝟐 𝟑
Le constructeur fournit une indication de type ∆𝒄 sans autre information.
Dans ce cas, on prendra pour incertitude-type : u = ∆𝒄
𝟑
Pour un instrument vérifié et conforme à une classe, si la classe est ± a,
l’incertitude-type est : u = 𝒂
𝟑
Si le constructeur ne donne pas d’indications, il faut procéder à l’évaluation
expérimentale de l’appareil.
Dans la majorité des cas, lorsqu’on a une estimation de type B, on
peut montrer que le coefficient d’élargissement k à retenir pour un
niveau de confiance de 95 % est k = 2 et pour un niveau de
confiance de 99 %, k = 3.
L’incertitude élargie U(m) est donnée par la relation :
U(m) = k × u(m)
Exemple 1 :
Un thermomètre à alcool indique une température de 𝜽 = 20,0 °C.
La résolution du thermomètre est de 0,5 °C, elle correspond une
graduation du thermomètre.
L’incertitude-type de lecture vaut : u 𝜽 = 𝒒
𝟔 =
𝟎,𝟓
𝟔 = 0,08 °C
L’incertitude élargie vaut U(𝜽) = k × 𝒖𝒍𝒆𝒄𝒕𝒖𝒓𝒆 𝜽 = 2 × 0,08 = 0,16 °C
pour un niveau de confiance de 95 %.
Si on ne tient compte que de cette incertitude : 𝜽 = (20,0 ± 0,2) °C ; k = 2
Type B LOIS DE PROBABILITE USUELLES
Moyenne = 0 étendue 2a
Loi Allure Écart-
type
Instrument Méthode de
calcul
Remarque(s)
Normale
Instrument à
graduation
si la résolution
est "q", on a :
IGEN en
contradiction
avec les
recommandation
s internationales
Uniforme
ou
rectangle
indicateur
Numérique
Instrument
vérifié et
conforme à
une classe
si la résolution
est q = 2a , on a
:
si la classe est
définie par ± a,
on a :
Affichage
s’ajoute
souvent un
pourcentage
± 0,05 mL >
u=0,03 x 2 (si 2
traits) = 0,06 mL
Dérivée
d’arcsinus
Variation entre
deux valeurs de
façon
sinusoïdale
si les variations sont
± b, on a :
𝒖 = 𝒃
𝟐
Utile pour la
régulation de
température
Exemple 2 :
Une balance numérique au 1/100 de g affiche une masse m = 38,45 g.
La résolution q de la balance est donc q = 1/100 g
L’incertitude-type u(m) = 𝒒
𝟐 𝟑 =
𝟏/𝟏𝟎𝟎
𝟐 𝟑 = 0,003 g
L’incertitude élargie pour un niveau de confiance de 95 % est :
U(m) = 0,003 × 2 = 0,006 g
La masse mesurée est : m = (38,45 ± 0,01) g ; k = 2 (si on ne tient compte
que de cette incertitude)
Exemple 3 :
Un élève mesure un volume d’eau de 40,0 mL avec une burette graduée de
50 mL de classe A (tolérance ± 0,05 mL = ± a)
L’incertitude-type est : u(V) = 𝒂
𝟑 =
𝟎,𝟎𝟓
𝟑 = 0,029 mL
L’incertitude élargie pour un niveau de confiance de 95 % est :
U(V) = 0,003 × 2 = 0,06 mL
Le volume mesuré est : V = (40,0 ± 0,1) mL ; k = 2 (si on ne tient compte
que de cette incertitude)
Exemple 4 :
On mesure avec un voltmètre de classe 2 une tension U = 2,53 V avec le
calibre 20V
L’incertitude-type pour le calibre 20 V sera : u(U) =
𝟐
𝟏𝟎𝟎×𝟐𝟎
𝟑 = 0,23 V
L’incertitude élargie pour un niveau de confiance de 99 % vaut :
U(U) = k × u(U) = 3 × 0,23 = 0,69 V
Si on ne tient compte que de cette incertitude :
U = (2,53 ± 0,69) V ou U = (2,5 ± 0,7) V ; k = 3
Exemple 5 :
Détermination d’une résistance électrique avec le code des couleurs
(R = 80 Ω ; tolérance ± 5 %)
L’incertitude-type u(R) = 𝟎,𝟎𝟓 ×𝟖𝟎
𝟑 = 2,3 Ω
L’incertitude élargie pour un niveau de confiance de 95 % est :
U(R) = 2 ×u(R) = 4,6 Ω
On obtient donc : R = (80 ± 5) Ω ; k = 2
Incertitude-type élargie dans le cas de plusieurs sources d’erreurs
Lors d’un mesurage, nous pouvons évaluer l’incertitude-type élargie de n sources
d’erreurs. L’évaluation peut être du type A, du type B ou les deux mélangées.
Si Ui(m) est l’incertitude élargie d’une source d’erreur, le calcul de l’incertitude élargie
U(m) sur le mesurande m s’effectue à partir des variances en appliquant la formule :
𝑈 𝑚 = 𝑈𝑖(𝑚)2𝑛
𝑖=1
Exemple : On mesure le volume d’une solution avec une pipette jaugée de 10,00 mL à la température de
18 °C. Avec le diagramme d’Ishikawa, trois sources d’erreurs sont identifiées et évaluées :
- Incertitude élargie liée à la classe de la pipette : Uet(V) = 0,023 mL
- Incertitude élargie liée au facteur température : Uθ(V) = 0,0048 mL
- Incertitude élargie de répétabilité liée à la mise en œuvre de la manipulation Urép(V) =
0,012 mL
L’incertitude élargie sur le volume V vaut : 𝑈 V = 0,0232 + 0,00482 + 0,0122 =
0,026 mL
On notera donc V = (10,00 ± 0,03) mL
L’incertitude relative vaut 𝑈(V)
V=
0,03
10,00= 0,003 soit 0,3 %
Incertitude-type élargie dans le cas de plusieurs sources d’erreurs
Lorsque la grandeur évaluée est le résultat d’un calcul où interviennent plusieurs
mesures, on peut évaluer l’incertitude élargie U(m) en utilisant les relations
suivantes :
Si 𝑚 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + … alors 𝑼(𝒎)𝟐 = 𝑼(𝒙)𝟐 + 𝑼(𝒚)𝟐 + 𝑼(𝒛)𝟐 + … .
Si 𝑚 = (𝑥.𝑦
𝑧) alors (
𝑼 𝒎
𝒎)𝟐 = (
𝑼 𝒙
𝒙)𝟐 + (
𝑼 𝒚
𝒚)𝟐 + (
𝑼 𝒛
𝒛)𝟐
Si 𝑚 = 𝑎 × 𝑥 + 𝑏 avec 𝑎 𝑒𝑡 𝑏 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 alors 𝑼 𝒎 = 𝒂 × 𝑼(𝒙)
Exercice : détermination de la résistance d’un conducteur ohmique par mesures de la
tension U et de l’intensité I. Après évaluation des incertitudes élargies pour la tension et pour
l’intensité, nous obtenons :
U = (19,8 ± 0,3) V et I = (0,120 ± 0,005) A
La loi d’Ohm donne 𝑹 = 𝑼
𝑰 donc (
𝑼 𝑹
𝑹)𝟐 = (
𝑼 𝑼
𝑼)𝟐 + (
𝑼 𝑰
𝑰)𝟐 = (
𝟎,𝟑
𝟏𝟗,𝟖)𝟐 + (
𝟎,𝟎𝟎𝟓
𝟎,𝟏𝟐𝟎)𝟐 = 0,02
Or 𝑅 = 19,8
0,120= 165 Ω, ce qui donne 𝑈 𝑅 = 0,02 × 165 = 7,4 Ω
Conclusion : R = (165 ± 7) 𝜴
𝐴𝑣𝑎𝑛𝑡 …𝐶 =𝑛
𝑉 𝑑𝑜𝑛𝑐
𝑑𝐶
𝐶=
𝑑𝑛
𝑛+𝑑𝑉
𝑉 𝑒𝑡
∆𝐶
𝐶=
∆𝑛
𝑛+∆𝑉
𝑛
𝑀𝑎𝑖𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎𝑛𝑡 …𝐶 =𝑛
𝑉 𝑑𝑜𝑛𝑐
𝑈(𝐶)
𝐶=
𝑈(𝑛)
𝑛
2
+ 𝑈(𝑉)
𝑉
2
𝐴𝑣𝑎𝑛𝑡 …𝑈 = 𝑅𝐼 𝑑𝑜𝑛𝑐 ∆𝑈
𝑈=
∆𝑅
𝑅+∆𝐼
𝐼
𝑀𝑎𝑖𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎𝑛𝑡 … 𝑈(𝑈)
𝑈=
𝑈(𝑅)
𝑅
2+
𝑈(𝐼)
𝐼
2
A propos de l’écriture de la concentration en ion oxonium à partir d’une mesure de pH
La fonction de mesure est : pH= - log(x) avec x : concentration en ions 𝐻3𝑂+
On suppose que le pH est affiché avec deux chiffres significatifs et on ne va prendre en compte que l’incertitude lié à la résolution q = 0,1.
L’incertitude-type sur le pH est : 3
05,0)( pHu ,
L’incertitude-type sur x est donc donnée pas la formule déduite des incertitudes composées :
𝒖(𝒙)
𝒙= 𝐥𝐧(𝟏𝟎) × 𝒖(𝒑𝑯) ≈ 2,3 × 𝑢(𝑝𝐻) = 2,3 ×
0,05
3
Rappel : 𝑑𝑝𝐻 = − 1
2,3× 𝑑𝑙𝑛(𝑥) = −
1
2,3×
𝑑𝑥
𝑥 ce qui donne : 𝒖(𝒑𝑯) =
𝟏
𝟐,𝟑×
𝒖(𝒙)
𝒙
Si on passe à l’incertitude élargie U(x), on applique un facteur l’élargissement égal à 2 :
13,03
05,03,22
)(
x
xU
On constate donc que l’incertitude élargie sur la concentration représente 13 % de la concentration. On peut alors considérer que l’on ne peut pas afficher plus de deux chiffres significatifs sur la concentration x ce qui revient à n’afficher qu’un chiffre après la virgule si le premier chiffre est significatif ! Par exemple, si on prend un pH = 5,5 (résolution 0,1), on trouve : x = 3,16 × 10-6 mol/L avec une incertitude élargie de 0,41 × 10-6 mol/L avec les règles habituelles d’arrondi on écrirait donc :
x = (3,2 ± 0,4 ) × 10-6 mol/L
Autre exemple avec un pH = 5,95 et avec le même calcul on a : x = 1,12 × 10-6 mol/L avec une incertitude élargie de 0,15 × 10-6 mol/L avec les règles habituelles d’arrondi on écrirait donc :
x = (1,1 ± 0,2) × 10-6 mol/L
Graduation donc loi normale
On lit L = 17,95 cm avec u(L)= 𝑞
6=
0,05 𝑐𝑚
6 mais on mesure en fait à deux endroits donc
u(L)= 𝑢12 + 𝑢2
2 = 2 × 𝑢(𝐿) et on veut un facteur d’élargissement k = 2 d’où
U(L) =2 2×0,05 𝑐𝑚
6= 0,1 𝑐𝑚
On écrira L = ( 18,0 ± 0,1 ) cm
Type B
GRESP Liban
Instrument vérifié et conforme à une classe donc loi uniforme
Intervalle de tolérance = ± 0,1ml = ± a
u(V) =0,1𝑚𝐿
3= 0,06 𝑚𝐿
Pour k = 1 , on a 57% de probabilité et pour k = 2 , on dépasse l’intervalle ( ! )
V = (100,0 ± 0,1 ) mL si k = 2 … ce qui nous ramène à la précision indiquée !!
Attention, pour une burette, il s’agit d’un instrument gradué (loi normale) et on mesure deux
fois . Il faut aussi rajouter la tolérance de la burette 𝑢𝑡(𝑉) =0,05𝑚𝐿
3= 0,03 𝑚𝐿
ub(V) = 𝑢12 + 𝑢2
2 + 𝑢𝑡2 = = 0,09 mL
U(V) = 0,2 mL … et encore, nous n’avons pas tenu compte des erreurs de répétabilité !!
Si on prend 10 mesures, il nous faut l’écart-type σ. Si on le connaît urépétabilité =𝜎
10.
u(V) = 𝑢𝑏2 + 𝑢𝑟é𝑝
2
Puis U(V) = 2 x u(V) si k = 2
Type B
GRESP Liban
On lit m= 52,45 g
Indicateur numérique donc répartition uniforme (autant de
chances que la valeur soit n’importe où entre 52,44g et 52,46g )
𝑢(𝑚) =0,01𝑔
2 3= 0,003𝑔 donc U(m) = 2 x u(m) = 0,006g
C’est manifestement trop peu : il faut consulter le mode d’emploi
de la balance !
On lit « écart-type = 0,01 g »
Donc U(m) = 0,02 g (avec un facteur d’élargissement k = 2)
Et m = ( 52,45 ± 0,02 ) g
Type B
GRESP Liban
Lecture d’une graduation : Loi normale
𝑢(𝜃) = 0,5°𝐶
6 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑈(𝜃) =
2×0,5°𝐶
6= 0,2°𝐶 pour un intervalle de confiance de 95%
ϴ = (24,0 ± 0,2 )° C
Type B
GRESP Liban
Exemple d’un ohmmètre numérique de précision On lit Ro=0.90097 kΩ -> Ro= 901 La notice du fabricant indique : "accuracy : 0.019% +3d" d est le poids du chiffre le moins significatif lu, ici le dernier 7 dont le poids est 0,00001 kΩ " d =10 mΩ
δRo= (0,019×𝑅0)
100+ 3 × 𝑑 = 201,2 mΩ
𝑢(𝑅0) =δRo
3= 116,2 mΩ
Facteur d'élargissement choisi : k=2 donc U(Ro) = 2 x u(Ro) = 232,3 mΩ Mise en forme des résultats en gardant 2 chiffres significatifs pour l'incertitude élargie :
Ro=(900,97 ± 0,23) Ω
Type B
GRESP Liban
Méthode des droites extrêmes et utilisation de « regressi »
Allongement d’un ressort en fonction de la masse accrochée
La meilleure estimation de la pente est la moyenne des deux pentes : 𝑎 =𝑎𝑚𝑖𝑛 +𝑎𝑚𝑎𝑥
2=
0,06053 𝑚.𝑘𝑔−1
L’incertitude est : 𝑢(𝑎) = 𝑎𝑚𝑖𝑛 − 𝑎𝑚𝑎𝑥
2 3= 0,005 𝑚. 𝑘𝑔−1
L’incertitude élargie avec k = 2 est U(a) = 0,01 𝑚. 𝑘𝑔−1
Finalement a = ( 0,06 ± 0,01) 𝒎.𝒌𝒈−𝟏 GRESP Liban