D. Praktische Analysis 285 Z. angew. Math. Yech. Bd. 30 Nr. 8/9 Aug./Flept. 1950

1 3 A,,, = A - ’”’ 111 - 9% 1 - A,,, = A,,,= a y 3! 1 I l l , 1 1 3 BPP, = Bll, = a, 3 Bppp = Bllz = qa;” + (1;’‘

1 3! A,,, = A,,, = a:”

1 Bqgp = B,,, = g a y + 0,;’

p . . . (6)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Methoden der Theorie der Integraltransformationen Von L. Schwarz in Oberwolfach

Wir geben im folgenden, um Einsicht in die funktionentheoretische und algebraische Struktur von Funktionaltransformationen zu erhalten, zwei Methoden an, die geeignet sind, die Losung singularer Integralgleichungen (1. Art) zu erleichtern.

I. Die singulare Integralgleichung b

9(Y) = J a ( Y 9 .)f(s> d s

mit 8(y, z) = a * (y - z)-’ + In Iy - $1 * L(y, s) + M(y, 3); L, M ganz, sei vorgelegt. Betrachtet man die Umlaufrelationen der Integralgleichung beim Umlauf von y in der kom- plexen Zahlenebene um a und b, so wird man auf folgenden Losungsansatz gefuhrt:

b

f ( y ) = J @(Y, $1 9(z) dx

mit 6(y , s) = 2 * (y- x>-1* ~ ( $ 1 ~ ( y ) - l + ~ ( a , b ; x, y) 2(y, + @(y, s) ~ ( z ) ~ ( y ) - l ,

1 $(a, b ; 5, y) = lognat 15 (b- a) (y - z) [w($, y) + ~ ( 2 ) ~(y)1--11.

2 ist losender Kern einer leicht angebbaren Volterraschen Integralgleichung mit dem Kern L, die u. U. leichter zu losen ist als die Ausgangsintegralgleichung. Die Bestimmung von Bbleibt offen. Ganz allgemein empfiehlt sich die Methode der Umlaufrelationen fur verzweigte Kerne und liefert fur den losenden Kern Struktureigenschaften.

11. Die zweite Methode besteht in folgendem: Es sei 8 der Modul der zerfallenden Funk-

tionen 2 fi(y)gc(z), 5Dy der durch D - - und y erzeugte Korper der Differentialoperatoren

in y; entsprechend 9,. Gilt dann y - K(y, z) 3 zs * K(y, %)mod 8, Dy - K(y, z) = N , - K(y, %)mod 8,

wobei N,, N , passende Differentialoperatoren aus !Bz sind und .&, gs ihre Adjungierten, so wird durch die Zuordnung y - t Ma D#+ Nz ein Automorphismus von 9 definiert, der Auto- morphismus des Kerns K ( y, $) oder der zugehorigen Fredholmschen Integraltransformation heiBt. Bekannt ist der Automorphismus der Laplacetransformation (d. h. des Kerns exp (- y z)): y 3 D,, Dy + --2. Der Hintereinanderschaltung zweier Transformationen entspricht das Produkt der Automorphismen, der inversen Transformation der inverse Automorphismus.

Gestattet also eine Fredholmsche Integralgleichung einen Automorphismus, so bestimme man zu dem inversen Automorphismus eine zugehorige Transformation, was sich in Beispielen als nicht allzu schwierig herausgestellt hat, wende sie auf die vorgelegte Integralgleichung an und erhalt so eine Integralgleichung von identischem Automorphismus (y+ s, Dv+ D,), d. h. eine Integralgleichung, deren Typus genau angebbar ist. E s gilt namlich der S a t z: R(y, 2) ist dann und nur dann von identischem Automorphismus, wenn

wobei rp und y den linearen Differentialgleichungen genugen :

n d 1 “ d y

u

K(y, 5) = (y - .)-’&) * y(.) mod 8,

V’(Y) = V(Y> %t(Y), w’(5) = - St(.) +#(.I -

286 E. Nathematik 2. anpew. Math. Mech. Bd. R O Nr.W9 Aiie./SPnt. 1950

Dabei ist 8 eine quadratische Matrix rationaler Funktionen, cp(y) eine Zeile, y ( x ) eine Spalte gleicher Lange und, wie man sieht, adjungiert zu ~ ( x ) .

Die Auflosung der Integralglcichungrn voni ident ischen Autoniorphismus ist ein allgemein noch ungeiostes Problem. hfann kann indessen hier wtrtvolle Aufschliisse rnit Hilfe der ersten Methode gewinnen. Auch fur numtrische Losungen empfiehll sich oft die Reduktion auf eine Integralgleichung von ident ischcni Automorphismus. Kaheres siehc an anderer Stelle.

E. Mathematik Schmiegungsverfahren der konformen Abbildung

\'on J . Heitrhold in Miinchen Unter Schmiegungsfunktionen y,,(zY) verstehen Tvir Funktionen, die 1. im Innern eines im

Einheitskreis der z-Ebene gelegenen schlichten Bereiches F,,, der den Kullpunkt als inneren Punkt enthalt, eindeutige analytische Funktionen von z,, sind und Y,, durch z,,+~ = y,,(z,,) auf einen Bcreich derselben Art in der z,+,-Ebene abbilden, 2. cine in I=,+, I < 1 eindeulige analytische Umkehrfunktion zv = c p ~ l ( ~ ~ ~ ) kesitzen, welche dort den Bedingungrn des Schwarzschen Lemmas geniigt, ~y;l(zl+l)~< 1, vr1(0) = 0, und 3. die Bedingung y;(O) > 0 erfullt.

Aus diesen Bedingungen folgt, daB die Abbildungen zl+, = vl,(zv), v = 0, 1, 2, . . ., aus B0 eine Folge von Bereichen F,, erzeugcn, deren Rander einen Minimalbestand R,, vom NulI- punkt besitzen, der mit v -+ 03 nionoton gegen 1 wachst. Hieraus ergibt sich dann, da13 lim ~ ~ ( p ~ - . ~ (. . . (yo(zo)) . . .)) =f(z) = IL' eine in Itio analytische Funktion von zo ist, die das

Innere von Bo umkehrbar eindeutig und konforni auf das Innere des Einheitskreises der w-Ebene abbildet, so daB das positive Richtungselement im Kullpunkt fest bleibt, woraus die Eindeutigkeit der Losung dieser Abbildungsaufgabe folgt.

Bei der praktischen Anwendung diesrs Schrniegungsverfahrens handelt es sich darum Schrniegungsfunktionen anzugehen, die A. so einfach sind, da13 sie eine bequeme graphische oder numerische Durchfuhrung der Abbildungcn gestatten und mehrmals hintereinander angewandt werden konnen, B. schon nach wenigen Schritten eine brauchbare Annaherung an den Ein- heitskreis liefern, sei es unabhangig von der Art der vorliegenden Bereiche oder durch eine besonders gunstige Anpassung der y, an die auflretenden Bereiche F,.

K o e be1) verwndet beim Beweis des Hiemannschen Abbildungssatzes als Schmiegungs- funktionen p,, die Abbildungen einer zweiblattrigen Einheitskreisscheibe mit einem nicht jm In- nern von @,, gelegenen\'crzwigungspunkt a, auf die einfache Einheitskreisscheibe. Diese Schmie- gungsfunktionen haben die Eigenschaft A, jedorh nicht die Eigenschaft B. Ringlebz) benutzt daher neben den KO e beschen Schmiegungsfunlctionen noch die Abbildungen von Kreissicheln auf den Einheitskreis. Damit die Bedingungen fur Schmiegungsfunktionen erfullt sind, hat man hier die Kreissichel als Teil der Einhcitskreisscheibe so zu wahlen, da13 F,, im Innern der Kreis- sichel gelegcn ist und nach Abbildung der Sichel auf die Einheitskreisscheibe Ietztere noch so auf sich abzubilden, da13 die Zuordnung der Nullpunkte mit den zugehorigen positiven Richtungselementen hergestellt wird.

Durch die Koebeschen Schmiegungsfunktionen wird z. B. der von a,, nach e i a r c a ~ gerad- linig aufggeschlitzte Einheitskreis (&) auf eine Kreissichel abgebildet. Man erhalt eine bessere Annaherung des abzubildenden Bereiches an den Einheitskreis, wenn man (KY) sofort auf den gan-

Zen Einheitskreis abbildet3). Das kann am einfachsten mit Hilfe dcr AbbiIdung w = - z + und ihrer inversen, sowie einer hnlichkeitstransformation geschehen und ist graphisch oder numerisch (unter Benutzung einer Tafel fur den Hyperbelcosinus komplexen Argumentes) bequem durchzufuliren. Man hat dabei, um die Bedingungen fur Schmierungsfunktionen zu erfiillen, den zum Einheitskreis orthogonalen Stache? mit der Spitze a,, so zu wahlen, daB er keine inneren Punkte von P,, enthalt, da sonst der Bereich Yt+l iiher den Einheitskreis hinaustritt4). Durch

2 Y '1

I ) P. Koebe: Abhandiungcn zur Theorie der lioilformcn Abbildung I. J. reine angcw. Math. 145 (1915),

2, Ri ngleb: Numerische und graphische Verfahrcn der konfoimen Abbildung. Habilitat,ionBschrift. S. 177- 195.

Hcidelbrrrr 1939. 3) J. Heinhold : Ein Schrniegungsverfahren der konformen Akbildung. Sitzungsber. Bayer. Akad.

Wiss. Math.-nat. K1. 1948, S. 203-222. *) Auch in einem soIchen Falle Iiefert die Einziehung eines aukrhalb WV gelegenen Geradenstachels

eine Anniiherung der samtlichen Randpunkte des Bereiches 8~ an den Einheitskreis, man kann jedoch keine im AuDeren des Einhritskreises gelegene Stacheln einziehen.