Metoda konacnih elemenata

1/123

Metoda konačnih elemanata (MKE)

engl. finite element method (FEM)

posebna varijanta Galerkinove i Rayleigh-Ritzove metode

R. Courant

rješenje torzijskog problema primjenom diskretizirane domene i polinomne aproksimacije

časopis Bulletin of the American Mathematical Society (1943)

Naziv metodi dao R. W. Clough (1960)

2/123

Praktična primjena MKE-a:

50-e godina XX. stoljeća

avio industrija → razvoj delta krila

dotadašnja rješenja, temeljena na teoriji grednih nosača, nisu davala zadovoljavajuća rezultate

3/123

J. H. Argyris & S. Kelsey

časopis Aircraft Engineering (1954, 1955)

M. J. Turner, R. W. Clough, H. C. Martin & L. J. Topp

časopis Journal of the Aeronautical Sciences (1956)

O. C. Zienkiewicz & Y. K. Cheung

knjiga The Finite Element Method in Structural and Continuum

Mechanics (McGraw-Hill, London, 1967)

4/123

MKE se temelji na diskretizaciji kontinuuma (konstrukcije) na odgovarajući broj podkontinuuma ili konačnih elemenata (engl. finite elements)

Konačni elementi međusobno su povezani pomoću jednog ili više čvorova

(engl. nodes) u mrežu (engl. mesh) konačnih elemenata

5/123

Ravninska konstrukcija:

XY

Z

F q

Q

6/123

Ravninska konstrukcija: diskretizirani model (mreža konačnih elemenata)

F

1 2 3 4 5 6 7 89

10

11

1213

14

15

1 2 3 4

5 67

8

9

10

1112

13

FZ14

Z3

i .... broj čvora ( )

XY

Z

FY14

FZ5FZ6

FZ7 FZ8 FZ9

FY1

FZ1

FZ13FZ15

W1= V1 = 0

V13= 0 W15= 0

FY13

W13=

i .... broj konačnog elementa

globalni

sustav

koordinatni

7/123

Primjer 1: Diskretizirani modeli

8/123

Vrste konačnih elemenata:

linijski ili 1-D elementi

plošni ili 2-D elementi

3-D elementi

9/123

Linijski (1-D) elementi:

z

x y

F ,

A

B

zA wA

F ,zB wB

l

F , A

B

zA wA

F ,zB wB

l

F ,yA vA

F ,yB vB

M ,xAϕ

xA

M ,xBϕ

xB

polje konačnogelementa


z

x y

F ,

B

zA wA

F ,zB wB

lF ,yA vA

F ,yB B

M ,xAϕ

xA

M ,xBϕ

xB

M ,zAϕ

zA

M ,yAϕ

yA

F ,xA uA

M ,zBϕ

zB

M ,yBϕ

yB

F ,xB uB

=

BF ,zB wB

l

F ,yB B

M ,xBϕ

xB

M ,zBϕ

zB

M ,yBϕ

yB

F ,xB uB

z

x y

F , AzA wA

F ,yA vA

M ,xAϕ

xA

M ,zAϕ

zA

M ,yAϕ

yA

F ,xA uA

A

v

v

10/123

Plošni (2-D) elementi – ravninski:

xy


vA

uA

vB

uB

vC

uC

uA

vA

uB

vB

uC

vCvD

uD

F ,yC

F ,xC

F ,yB

xBF ,

F ,xA

F ,yA

F ,yA

F ,xA

F ,xD

F ,yD

yBF ,

xBF ,

xCF ,

F ,yC

v

u

v

u

C

AB A

D C

B

11/123

Plošni (2-D) elementi – prostorni:

zx

y

tt

t t

12/123

3-D elementi:

x

yz

13/123

Primjenom određenih aproksimacija (npr. polinomima) dovode se u vezu pomaci (sile) u polju (engl. field) konačnog elementa s pomacima (silama) u čvorovima konačnog elementa.

Primjenom ravnotežnih uvjeta ili energijskih principa dovode se u vezu čvorni

pomaci i čvorne sile.

14/123

Osnovna jednadžba konačnog elementa:

{ } { }e e ek u f =

{ }eu → vektor čvornih pomaka e-tog konačnog elementa (engl. nodal

displacement vector)

{ }ef → vektor čvornih sila e-tog konačnog elementa (engl. force

displacement vector)

ek → matrica krutosti e-tog konačnog elementa (engl. element

stiffness matrix)

15/123

Združivanjem (engl. assembling) osnovnih jednadžbi svih konačnih elemenata diskretizirane konstrukcije dobiva se jednadžba konstrukcije:

[ ]{ } { }K U F=

{ }U → vektor čvornih pomaka konstrukcije

{ }F → vektor čvornih sila konstrukcije

[ ]K → matrica krutosti konstrukcije

16/123

1. Matrica polja i matrica interpolacijskih funkcija

xy

AB


C

F ,yA vA

F ,xA uA

F ,yB v

F ,xB uB

F ,yC vC

F ,xC uC

v

uF , A

B

zA wA

F ,zB wB

F ,yA vA

F ,yB vB

M ,xAϕ

xA

M ,xBϕ

xB

M ,zAϕ

zA

M ,yAϕ

yA

F ,xA uA

M ,zBϕ

zB

M ,yBϕ

yB

F ,xB uB

z

x yl

vu

wB

Vektor pomaka u polju konačnog elementa

{ }( , , )

( , , )

( , , )

x y z

u x y z

x y z

= =

u u

v v

w w

(1)

17/123

Pomaci u polju konačnog elementa najčešće se aproksimiraju algebarskim

polinomima (punim ili reduciranim).

Pascalov trokut (a) i tetraedar (b):

z

1

x

x

x

x

x

y

y

y

y

y

yx

yx yx

yx yx yx

yx yx yx yx

2

3

4

5

2

3

4

5

2 2

3 2 2 3

4 3 2 2 3 4

1

yx

y2

x 2 z 2

yx zy

zx

x 3

y3

z 2

yx2

zy2

zx2

yx 2zy 2

zx 2

0

1

2

3

4

5

red polinoma

yx z

a) b)

18/123

1-D problemi – puni polinom n-tog reda:

n

2 in 1 2 3 i 1

i 0

( )P x x x xα α α α +=

= + + + =∑…

2-D problemi – puni polinom 1. i 2. reda:

1 1 2 3( , )P x y x yα α α= + +

2 22 1 2 3 4 5 6( , )P x y x y x xy yα α α α α α= + + + + +

3-D problemi – puni polinom 1. i 2. reda:

1 1 2 3 4( , )P x y x y zα α α α= + + +

2 2 22 1 2 3 4 5 6 7 8( , )P x y x y x xy y yz zα α α α α α α α= + + + + + + +

19/123

Nepotpune (reducirane) aprosimacije:

dvodimenzijski problemi – bilinearna aproksimacija:

1 2 3 4( , )P x y x y xyα α α α= + + +

trodimenzijski problemi – bikvadratna aproksimacija:

2 2 2 2 2 21 2 3 4 5 6 7 8 9( , )P x y x y x xy y x y xy x yα α α α α α α α α= + + + + + + + +

20/123

Pascalov trokut – nepotpuna aproksimacija:

1

x

x

x

x

x

y

y

y

y

y

yx

yx yx

yx yx yx

yx yx yx yx

2

3

4

5

2

3

4

5

2 2

3 2 2 3

4 3 2 2 3 4

bilinearna aproksimacija

bikvadratna aproksimacija

0

1

2

3

4

5

red polinoma

21/123

Polinomna aproksimacija → pomak u polju konačnog elementa

{ } [ ]{ }u a α= (2)

[ ]a → matrica polja ili matrica polinoma

{ }α → vektor konstanti ili vektor generaliziranih koordinata

22/123

Rubni (konturni) uvjeti:

{ } { } { }k eu u u= = (3a)

[ ] ka a = (3b)

k → kontura = čvor

{ } { }k eu u= → vektor čvornih pomaka e-tog konačnog elementa

23/123

Iz izraza (2) i (3):

{ } { }e ku a α =

{ } { }1 1k e k ka u a a α− −

=

{ } { }1k ea uα−

= (4)

24/123

Izraz (4) → izraz (2):

{ } [ ]{ }eu N u= (5)

[ ]N → matrica interpolacijskih funkcija

[ ] [ ] 1kN a a−

= (6)

Matrica [ ]N sadrži interpolacijske funkcije (engl. shape functions).

Pomoću interpolacijskih funkcija pomaci u polju konačnog elementa izražavaju se preko čvornih pomaka.

25/123

2. Osnovna jednadžba konačnog elementa

Metode:

direktna metoda

metode minimizacije težinskih ostataka

varijacijske metode

metode virtualnih radova

26/123

Direktna metoda:

temelji se na ravnotežnim jednadžbama mehanike čvrstog tijela

zbog svoje ograničenosti koristi se samo u jednostavnijim slučajevima

27/123

Metode minimizacije težinskih ostataka:

rabe se onda kada se izvođenje jednadžbe konačnog elementa temelji na rješavanju diferencijalne jednadžbe razmatranog problema

Galerkinova metoda

28/123

Varijacijske metode:

temelje se na principu stacionarnosti funkcionala

varijacija funkcionala po:

� pomacima (metode pomaka)

� silama (metode sila)

� pomacima i silama (mješovite metode)

varijacijski principi:

� princip (teorem) o minimumu totalnog potencijala

� princip (teorem) o minimumu komplementarnog potencijala

� Hu-Washizyjev princip

� Hellinger-Reissnerov princip

29/123

Metode virtualnih radova:

princip virtualnih radova

princip komplementarnih virtualnih radova

30/123

Princip virtualnih radova:

δ δ=U WU WU WU W (7)

31/123

Virtualni rad unutrašnjih sila (virtualna potencijalna energija deformiranja):

{ } { } { } [ ]{ }T Tδ δ d δ d

V V

V C Vε σ ε ε= =∫ ∫UUUU (8)

{ }σ → tenzor naprezanja

{ }ε → tenzor deformacije

[ ]C → tenzor elastičnosti

32/123

Tenzor deformacije:

{ } { }T

ij x y z xy yz zxε ε ε ε ε γ γ γ= =

x xy

y yz

z zx

x y x

y z y

z z x

ε γ

ε γ

ε γ

∂ ∂ ∂= = +∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂= = +∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂= = +∂ ∂ ∂

u u v

v v w

w u w

{ } [ ]{ }d uε = (9)

33/123

[ ]d → matrica diferencijalnih operatora:

[ ]T

0 0 0

0 0 0

0 0 0

x y z

dy x z

z y x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(10)

34/123


{ } [ ]{ } { } [ ]T Te eB u u Bε = = (11)

[ ] [ ][ ]B d N= (12)

35/123

Tenzor naprezanja:

{ } { }T

ij x y z xy yz zxσ σ σ σ σ τ τ τ= =

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

x x x z xy xy xy

y y x z yz yz yz

z z x y zx zx zx

1 ,1 1 2 2 1

1 ,1 1 2 2 1

1 ,1 1 2 2 1

E Ev v G

v v

E Ev v G

v v

E Ev v G

v v

σ ε ε ε τ γ γν



= − + + = = + − +

= − + + = = + − +

= − + + = = + − +

{ } [ ]{ } [ ][ ]{ }eC C B uσ ε= = (13)

36/123

Izrazi (11) i (13) → izraz (8):

{ } [ ] [ ] [ ] { }T Te eδ d

V

u B C B V u= δ ∫UUUU (14)

Virtualni rad vanjskih (čvornih) sila:

{ } { }Te eδ δu f=WWWW (15)

37/123

Izrazi (14) i (15) → izraz (7) → osnovna jednadžba konačnog elementa:

{ } { }e e ek u f = (16)

ek → matrica krutosti konačnog elementa

(engl. finite element stiffness matrix)

[ ] [ ][ ]Te dV

k B C B V = ∫ (17)

38/123

3. Transformacijska matrica

Izraz (16) definiran je u odnosu na lokalni koordinatni sustav e-tog konačnog elementa.

Radi združivanja u jednadžbu konstrukcije, izraz (43) potrebno je transformirati u globalni koordinatni sustav.

39/123

Lokalni koordinatni sustav (x, y, z) i globalni koordinatni sustav (X, Y, Z):

Y

X

Z

0

v

z

y

x

40/123

Vektor v�

u lokalnom koordinatnom sustavu (x, y, z):

{ }x

y

z

= =

v

v v

v

v

�

Vektor v�

u globalnom koordinatnom sustavu (X, Y, Z):

{ }X x

Y y

Z z

= = =

v

v v

v v v

v v

�

41/123

Veza između tih projekcija vektora v�:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

x y z

x y z

x y

x

y

z z

cos , cos , cos ,

cos , cos , cos ,

cos , cos , cos ,

X Y Z

X Y Z

x x x

y y y

z z zX Y Z

= + +

= + +

= + +

v

v

v

v v v

v v v

v v v

42/123

Matrični oblik:

{ } [ ]{ }0t=v v (18)

[ ]0t → osnovna transformacijska matrica

[ ]( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

0

cos , cos , cos ,

cos , cos , cos ,

cos , cos , cos ,

x x x

y y y

z

X Y Z

t Y

Y z z

X Z

X Z

=

(19)

43/123

Osnovna transformacijska matrica pripada klasi ortogonalnih matrica:

[ ] [ ]1 T

0 0t t− = (20)

44/123

Transformacijska matrica e-tog konačnog elementa:

e0

e e0

. .

. .

. .

t

t t

=

⋱

(21)

Vektor čvornih pomaka i vektor čvornih sila e-tog konačnog elementa:

{ } { }e e eu t u = (22a)

{ } { }e e ef t f = (22b)

45/123

Izrazi (22) → izraz (16):

{ } { }e e e e ek t u t f =

{ } { }1 1e e e e e e et k t u t t f− −

=

{ } { }Te e e e et k t u f =

{ } { }e e ek u f = (23)

Te e e ek t k t = (23)

46/123

4. Jednadžba konstrukcije

Nakon združivanja (engl. assembling) osnovnih jednadžbi iz izraza (23) svih konačnih elemenata, slijedi jednadžba diskretizirane konstrukcije:

[ ]{ } { }K U F= (24)

[ ]K → matrica krutosti konstrukcije (globalna matrica krutosti):

[ ] e

e

K k = ∑ (25)

47/123

{ }U → vektor čvornih pomaka konstrukcije:

{ } { }e

e

U u=∑ (26)

{ }F → vektor opterećenja konstrukcije (vektor čvornih sila

konstrukcije). Iz uvjeta ravnoteže:

{ } { }e

e

F f=∑ (27)

48/123

5. Gredni konačni element

Ravninski gredni konačni element:

F , A

B

zA wA

F ,zB wB

l

F ,yA vA

F ,yB vB

M ,xAϕ

xA

M ,xBϕ

xBz

x y

49/123

Vektor čvornih pomaka:

{ } { }{ } { } { }

eTAe e

A A xA B B xBeB

,u

u uu

ϕ ϕ = =

w v w v (28a)

Vektor čvornih sila:

{ } { }{ } { } { }

eTAe e

zA yA xA zB yB xBeB

,f

f f F F M F F Mf

= =

(28b)

50/123

Prostorni gredni konačni element:

F , A

B

zA wA

F ,zB wB

lF ,yA vA

F ,yB vB

M ,xAϕ

xA

M ,xBϕ

xB

M ,zAϕ

zA

M ,yAϕ

yA

F ,xA uA

M ,zBϕ

zB

M ,yB yB

F ,xB uB

=

z

x y

51/123

Vektor čvornih pomaka:

{ } { }{ }

{ }{ }{ }{ }

eA

eeAAe

e eB B

eB

u

uu

u u

ϕ

ϕ

= =

{ } { }TeA A A zA xA yA B B B zB xB yBu ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= w u v w u v (29a)

52/123

Vektor čvornih sila:

{ } { }{ }

{ }{ }{ }{ }

eA

eeAAe

e eB B

eB

F

Mff

f F

M

= =

{ } { }TezA xA yA zA xA yA zB xB yB zB xB yBf F F F M M M F F F M M M=

(29b)

53/123

Translatorni pomaci točaka nosača koje leže na uzdužnoj osi nosača (osi z):

0 0 0 0 0 0( ), ( ), ( )z z z= = =w w u u v v (30a)

Kut uvijanja (kut torzije):

z z( )zϕ ϕ= (30b)

engl. rigid-body displacements

54/123

Polje pomaka poprečnog presjeka grednog nosača:

y

xz

z

w

trag poprečnogpresjeka

A B

= w0

y

x

x

y

O

zr

rv

u

poprečni presjek

uvijanje aksijalno opterećenje

55/123

Polje pomaka poprečnog presjeka grednog nosača - nastavak:

y

xz

z

zd vd

elastična linija

w

y

v0

0


x

z

z

zd ud

elastična linija

w

x

u0

0


y

A B A B

..

0 0x y

d dEuler-Bernoulijeva teorija savijanja & mali pomaci: ;

d dz zϕ ϕ= − =v u

savijanje u ravnini (z, y) savijanje u ravnini (z, x)

56/123

Polje pomaka poprečnog presjeka:

stvarno

0 00

0 z

0 z

d d

d dy x

z z

y

x

ϕ

ϕ

= − −

= −

= +

v u

w w

u u

v v

(31)

virtualno:

0 00

0 z

0 z

d d

d dy x

z z

y

x

ϕ

ϕ

δ δδ = δ − −

δ = δ − δ

δ = δ + δ

v u

w w

u u

v v

(32)

57/123

Polje deformacije poprečnog presjeka:

stvarno

2 20 0 0

z 2 2

zzx

zzy

d d d

d d d

d

d

d

d

y xz z z z

yz x z

xz y z

ε

ϕγ

ϕγ

∂= = − −∂∂ ∂= + = −∂ ∂∂ ∂= + =∂ ∂

w v uw

u w

v w

(33)

virtualno:

2 20 0 0

z 2 2

zzx

zzy

d d d,

d d d

d,

d

d

d

y xz z z z

yz x z

xz y z

ε

ϕγ

ϕγ

δ δ δ∂δδ = = − −∂

δ∂δ ∂δδ = + = −∂ ∂

δ∂δ ∂δδ = + =∂ ∂

w v uw

u w

v w

(34)

58/123

Virtualni rad unutrašnjih sila:

( ) ( )

( )

z z zx zx zy zy z z zx zx zy zy

0

2 20 0 0 z

z z z zy zx2 20

δ δ δ δ d δ δ δ d d

d d d dd d d d d

d d d d

l

V A

l

A A A A

V A z

A y A x A x y A zz z z z

σ ε τ γ τ γ σ ε τ γ τ γ

ϕσ σ σ τ τ

= + + = + + =

δ δ δ δ= − − + −

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫w v u

UUUU

2 2

0 0 0 zz x y z2 2

0

d d d dδ d

d d d d

l

F M M M zz z z z

ϕ δ δ δ δ= − + + ∫

w v u

UUUU (35)

59/123

Ravnotežne jednadžbe:

0 zz z t t

2 20 0

x x y y2 2

d d,

d d

d d,

d d

F N E A M M GIz z

M EI M EIz z

ϕ= = = =

= − =

w

v u

(36)


2 2 2 2

0 0 0 0 0 0 z zx y t2 2 2 2

0

d d d d d d d dδ d

d d d d d d d d

l

E A EI EI GI zz z z z z z z z

ϕ ϕ δ δ δ δ= + + + ∫

w w v v u u

UUUU

(37)

60/123

Aksijalno opterećenje:

zx

y

F ,

A B

zA wAF ,

zB wB

l

z

{ } Aew

B

u

=

w

w

{ } zAew

zB

Ff

F

=

aksijalni (uzdužni) pomak u polju konačnog elementa:

[ ]{ }0 1 2 z aα α α= + =w (38)

matrica polja i vektor konstanti:

[ ] [ ] { } { }T

1 21 ,a z α α α= = (39)

61/123

rubni (konturni) uvjeti u čvorovima A i B:

{ }0 1 A A 1ew

B 20 1 2 B

0 1 0

1

zu

z l l l

α ααα α

= = = = = = = + =

⇒→→

w w w

ww w

(40a)

vektor čvornih pomaka:

{ } { }e kwu a α = (40b)

vektor konstanti:

{ } { }1k ewa uα

− = (40c)

aksijalni (uzdužni) pomak u polju konačnog elementa:

[ ] { } [ ]{ }1k e e0 w w wa a u N u

− = = w (41)

62/123

matrica interpolacijskih funkcija:

[ ] [ ] [ ]1kw w1 w2 1

z zN a a N N

l l

− = = = − (42)

zx

y

F ,

A B

zA wAF ,

zB wBl

1

1

z

Nw1

Nw2

63/123

derivacija pomaka:

[ ]{ } [ ]{ }e e0w w w w

d d

d dN u B u

z z= =w

(43)

[ ] [ ] w1 w2w w

d dd 1 1

d d d

N NB N

z z z l l

= = = − (44)

64/123

potencijalna energija deformiranja:

{ } [ ] [ ] { } { } [ ] { }

0 0 0 0

0 0

T TTe e e ew w w w w w2

0 0

d d d dδ d d

d d d d

1d 1 1 d

1

l l

l l

E A z E A zz z z z

E AEA B B z u u z u

l

δ δ= = =

− = δ = δ −

∫ ∫

∫ ∫

w w w w

u

UUUU

{ } { }Te e ew w wδ u k u = δ UUUU (45)

matrica krutosti konačnog elementa:

ew

1 1

1 1E A

kl

− = −

(46)

65/123

Savijanje u ravnini (z,y):

zx

y

A B

l

z{ }

A

xAev

B

xB

u

ϕ = ϕ

v

v{ }

yA

xAev

yB

xB

F

Mf

F

M

=

F ,yA vA

M ,xAϕ

xAM ,xB

ϕxB

F ,yB vB

progib i nagib u polju konačnog elementa:

[ ]{ }2 3

0 1 2 3 4

20x 2 3 4

d2 3

d

z z z a

z zz

α α α α α

ϕ α α α

= + + + =

= − = + +

v

v (47)

66/123


[ ] { } { }T2 31 2 3 41 ,a z z z α α α α α = = (48)


00 1 0A 2 xA

2 3 200 1 2 3 4 0B 2 3 4 xB

d0 ,

d

d, 2 3

d

zz

z l l l l l lz

α α ϕ

α α α α α α α ϕ

= = = = = −

= = + + + = = + + =

→

→ −

v

v v

v

v v

(49)

67/123


{ }A 1

xA 2ev 2 3

B 32

xB 4

1 0 0 0

0 1 0 0

1

0 1 2 3

ul l l

l l

αααα

ϕ − = =

ϕ − − −

v

v

(50a)

{ } { }e kvu a α = (50b)

vektor konstanti:

{ } { }1k eva uα

− = (51)

68/123

progib u polju konačnog elementa:

[ ] { } [ ]{ }1k e e0 v v va a u N u

− = = v (52)


[ ] [ ] [ ]1kv v1 v2 v3 v4

2 3 2 3 2 3 2 3

2 3 2 2 3 2

3 2 2 3 2 1

N a a N N N N

z z z z z z z zz

l l l l l l l l

− = = =

= − + − + − − −

(53)

69/123

zx

y

l

1

1

z

Nv1

F ,yA vA

M ,xAϕ

xA

M ,xBϕ

xB

F ,yB vB

1

1

Nv2

Nv3

Nv4

A B

70/123

derivacija progiba:

[ ]{ } [ ]{ }2 2

e e0v v v v2 2

d d

d dN u B u

z z= =v

(54)

[ ] [ ]

2 2 2 22v1 v2 v3 v4

v v2 2 2 2 2

2 3 2 2 3 2

d d d dd

d d d d d

6 12 4 6 6 12 2 6

N N N NB N

z z z z z

z z z z

l l l l l l l l

= = =

= − + − − −

(55)

71/123


{ } [ ] [ ] { } { } { }

2 2 2 20 0 0 0

x x2 2 2 20 0

T TTe e e e ev x v v v v v v

0

d d d dδ d d

d d d d

d

l l

l

EI z EI zz z z z

u EI B B z u u k u

δ δ= = =

= δ = δ

∫ ∫

∫

v v v v

UUUU

{ } { }Te e ev v vδ u k u = δ UUUU (56)

72/123


x x x x3 2 3 2

x x x x2 2

ev

x x x x3 2 3 2

x x x x2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

EI EI EI EI

l l l lEI EI EI EI

l l l lkEI EI EI EI

l l l lEI EI EI EI

l l l l

− − − −

= −

−

(57)

73/123

Aksijalno opterećenje & savijanje u ravnini (z,y):


e eAA ABe e e

w v e eBA BB

0 0 0 0

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0

0 0

a a

b c b ck kc d c e

k k ka a k k

b c b c

c e c d

− − − −

− = + = = − − −

(58a)

x x x x3 2

12 6 4 2, , , ,

EI EI EI EIE Aa b c d e

l l l l l= = = = = (58b)

74/123

Savijanje u ravnini (z,x):

x

y

l

z A

yAϕ

yAM , z

uxAF ,

A

B

ϕM ,yB yB

BxBF ,u

{ }A

yAeu

B

yB

u

ϕ = ϕ

u

u{ }

xA

yAeu

xB

yB

F

Mf

F

M

=

progib i nagib u polju konačnog elementa:

[ ]{ }2 3

0 1 2 3 4

20y 2 3 4

d2 3

d

z z z a

z zz

α α α α α

ϕ α α α

= + + + =

= = + +

u

u (59)

75/123


[ ] { } { }T2 31 2 3 41 ,a z z z α α α α α = = (60)


00 1 0A 2 yA

2 3 200 1 2 3 4 0B 2 3 4 yB

d0 ,

d

d, 2 3

d

zz

z l l l l l lz

α α ϕ

α α α α α α α ϕ

= = = = =

= = + + + = = + + =

→

→

u

u u

u

u u

(61)

76/123


{ }A 1

yA 2eu 2 3

B 32

yB 4

1 0 0 0

0 1 0 0

1

0 1 2 3

ul l l

l l

αααα

ϕ = =

ϕ

u

u

(62a)

{ } { }e kuu a α = (62b)

vektor konstanti:

{ } { }1k eua uα

− = (63)

77/123

progib u polju konačnog elementa:

[ ] { } [ ]{ }1k e e0 u u ua a u N u

− = = u (64)


[ ] [ ] [ ]1ku u1 u2 u3 u4

2 3 2 3 2 3 2 3

2 3 2 2 3 2

3 2 2 3 2 1

N a a N N N N

z z z z z z z zz

l l l l l l l l

− = = =

= − + − + − − +

(65)

78/123

zA B

l

1

1

z

Nu1

F ,xA uA

M ,yAϕ

yA

M ,yBϕ

yB

F ,xB uB

1

1

Nu2

Nu3

Nu4

79/123

derivacija progiba:

[ ]{ } [ ]{ }2 2

e e0u u u u2 2

d d

d dN u B u

z z= =u

(66)

[ ] [ ]

2 2 2 22u1 u2 u3 u4

u u2 2 2 2 2

2 3 2 2 3 2

d d d dd

d d d d d

6 12 4 6 6 12 2 6

N N N NB N

z z z z z

z z z z

l l l l l l l l

= = =

= − + − + − − +

(67)

80/123


{ } [ ] [ ] { } { } { }

2 2 2 20 0 0 0

y y2 2 2 20 0

T TTe e e e eu y u u u u u u

0

d d d dδ d d

d d d d

d

l l

l

EI z EI zz z z z

u EI B B z u u k u

δ δ= = =

= δ = δ

∫ ∫

∫

u u u u

UUUU

{ } { }Te e eu u uδ u k u = δ UUUU (68)

81/123


y y y y

3 2 3 2

y y y y

2 2eu

y y y y

3 2 3 2

y y y y

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

EI EI EI EI

l l l lEI EI EI EI

l l l lkEI EI EI EI

l l l lEI EI EI EI

l l l l

−

−

= − − − −

(69)

82/123

Uvijanje (torzija):

zx

yA B

l

z

{ } zAe

zB

Mf

Mϕ

=

=

M ,zBϕ

zBM ,zAϕ

zA { } zAe

zB

uϕϕϕ

=

kut uvijanja (kut torzije) u polju konačnog elementa:

[ ]{ }z 1 2 z aϕ α α α= + = (70)


[ ] [ ] { } { }T

1 21 ,a z α α α= = (71)

83/123


{ }z 1 zA zA 1e

zB 2z 1 2 zB

0 1 0

1

zu

z l l l

ϕ α ϕ ϕ αϕ αϕ α α ϕ ϕ

= = = = = = = + =

→→

⇒

(72a)


{ } { }e ku a αϕ = (72b)

vektor konstanti:

{ } { }1k ea uα−

ϕ = (72c)

kut uvijanja u polju konačnog elementa:

[ ] { } { }1k e ez a a u N uϕ

−

ϕ ϕ ϕ = = (73)

84/123


[ ] 1k1 2 1

z zN a a N N

l l

−

ϕ ϕ ϕ = = = −

(74)

zx

yA B

l

1

1

z

N 1ϕ

N 2ϕ

M ,zBϕ

zBM ,zAϕ

zA

85/123

derivacija pomaka:

{ } { }e ezd d

d dN u B u

z z

ϕϕ ϕ ϕ ϕ = = (75)

1 2d dd 1 1

d d d

N NB N

z z z l lϕ ϕ

ϕ ϕ = = = −

(76)

86/123


{ } { } { } [ ] { }

z z z zt t

0 0

T TTe e e ett 2

0 0

d d d dδ d d

d d d d

1d 1 1 d

1

l l

l l

GI z GI zz z z z

GIu GI B B z u u z u

l

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

δ δ= = =

− = δ = δ −

∫ ∫

∫ ∫

UUUU

{ } { }Te e eδ u k uϕ ϕ ϕ = δ UUUU (77)


e t1 1

1 1

GIk

lϕ

− = −

(78)

87/123

Matrica krutosti prostornog grednog elementa:

1 1 1 1

2 2 2 2

2 2 2 2

1 1 1 1e

1 1 1 1

2 2 2 2

2 2 2 2

1 1 1 1

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

a a

b c b c

b c b c

t t

c d c e

c d c ek

a a

b c b c

b c b c

t t

c e c d

c e c d

−

−− − −

−−

− = −

− − −−

−−

−

(79a)

88/123

y yx x1 2 1 23 3 2 2

y y tx x1 2 1 2

12 612 6, , , ,

4 24 2, , , ,

EI EIEI EIEAa b b c c

l l l l l

EI EI GIEI EId d e e t

l l l l l

= = = = =

= = = = =

(79b)

89/123

Transformacijska matrica – prostorni gredni element:

Y

X

Z

0

Wi

UiVi

yi

zi

xi

Φ

Φ

Φ

Pomaci i-tog čvora u lokalnomkoordinatnom sustavu

Pomaci i-tog čvora u globalnomkoordinatnom sustavu

( , , ) - lokalni koordinatni sustav

Z( , , ) - globalni koordinatni sustavX YA

B

C

x

y

z

z x y

i i

i = A ili B

wi

ϕzi

ϕyi

vi

ui

xiϕ

90/123

e0

e0e

e0

e0

. . .

. . .

. . .

. . .

t

tt

t

t

=

(80a)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

e0

cos , cos , cos ,

cos , cos , cos ,

cos , cos , cos ,

Z z X z Y z

t Z x X x Y x

Z y X y Y y

=

(80b)

91/123

Transformacijska matrica – ravninski gredni element:

z

y

Z

X

Y0

Φ

Φ

Čvorni pomaci u lokalnomkoordinatnom sustavu

Čvorni pomaci u globalnomkoordinatnom sustavu

A

B

wA

wB

vA

vBxA

xB

A

B

XA

XB

VA

VBWA

WB

x

α−

α−

α+

92/123

e0e

e0

.

.

tt

t

=

(81a)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

e0

cos , cos , cos ,

cos , cos , cos ,

cos , cos , cos ,

Z z Y z X z

t Z y Y y X y

Z x Y x X x

=

( )( )

o o

e o o0

o o o

cos cos 90 cos90

cos 90 cos cos90

cos90 cos90 cos0

t

α α

α α

− − = + −

e0

cos sin 0

sin cos 0

0 0 1

t

α αα α

− =

(81b)

93/123

Vektor ekvivalentnog opterećenja:

zx

y

l

FyA

MxA

MxB

FyB

l

qy

⇒

( )z ekv

ekv

ekv

ekv

A B A B

uvjet ekvivalentnosti virtualnih radova:

{ } { }Te ey 0 v ekv

0

δ ( ) dl

q z z u f= δ = δ∫ vWWWW (82)

[ ]{ } { } [ ]T Te e0 v v v vN u u Nδ = δ = δv

94/123

{ } [ ] { } { }T TTe e ev y v v ekv

0

( ) dl

u q z N z u fδ = δ∫

{ } { } [ ]Teekv ekv y v

0

( ) dl

qf f q z N z= = ∫ (83)

za qy = const.

{ }

2 3y

2 3

ekv 22 3yA yekv 2xA

ekv yekv 2 3yxB 0

ekv 2 3xB

22 3y

2

3 21

2

2

12d3 2

2

12

lq

q lz z

l lF q lz z

zM l lf q z

q lF z z

M l l

q lz z

l l

− +

− + − − = = =

− −

∫ (84)

95/123

Primjer 2: Ravninski okvir

C

D E

XY

Z

F

q

L

H

F=100 310⋅ N

q=500 N/cm

H=120 cm

L =80 cm

E=210 510⋅ N/cm2

A=200 cm2,

I = Ix =6667 cm4

96/123

Diskretizirani model okvirnog nosača iz primjera 5:

XY

Z

1

32

1

2

qH

F

1

3

2

FZC

FYC2

qH2

MXC

qH12

2

qH12

2

1

2

zy

z

y

Φ

W1

W2W3

V1

V2 V3

Φ

Φ

X1

X2 X3

= 0

= 0= 0

čvorne sile čvorni pomaci

97/123

Vektor čvornih sila konstrukcije:

{ }{ }{ }{ }

Z1 ZC

Y1 YC2

X1 XC

1 Z2

2 Y2

23 X2

Z3

Y3

X3

2

12

0

2

12

0

0

F F

F F qH

M M qH

F F

F F F qH

F M qH

F F

F

M

+ − = = =

−

{ }rF

{ }mF

98/123

Vektor čvornih pomaka konstrukcije:

{ }{ }{ }{ }

1

1

X1

1 2 2

2 2 2

3 X2 X2

3 3

3 3

X3 X3

0

0

0

W

V

U W W

U U V V

U

W W

V V

Φ

Φ Φ

Φ Φ

= = =

{ } { }r 0U =

{ }mU

99/123

Transformacijske matrice:

element 1 o( ) :0α =

[ ]101 1

0 310

1 0 0., 0 1 0

. 0 0 1

tt t I

t

= = =

element 2 o9( ) :0α = −

202 2

020

0 1 0., 1 0 0

. 0 0 1

tt t

t

= = −

100/123

Matrice krutosti:

element 1:

1 11 1AA ABAA AB1 1

1 1 1 1BA BB BA BB

,k kk k

k kk k k k

= =

1 11 1 1 1AA AA 1 1 AB AB 1 1

1 1 1 1

1 11 1 1 1BA BA 1 1 BB BB 1 1

1 1 1 1

0 0 0 0

0 , 0

0 0

0 0 0 0

0 , 0

0 0

a a

k k b c k k b c

c d c e

a a

k k b c k k b c

c e c d

− = = − = = − −

−

− = = − = =

−

x x x x1 1 1 1 13 2

12 6 4 2, , , ,


H H H H H= = = = =

101/123

element 2:

2 22 2AA ABAA AB2 2

2 2 2 2BA BB BA BB

,k kk k

k kk k k k

= =

2 2 2 2T T2 2 2 2 2 2 2 2

AA 0 AA 0 2 AB 0 AB 0 2

2 2 2 2

2 2T T2 2 2 2 2 2 2

BA 0 BA 0 2 BB 0 BB

2 2

0 0

0 0 , 0 0

0 0

0

0 0 ,

0

b c b c

k t k t a k t k t a

c d c e

b c

k t k t a k t k

c e

− = = = = −

−

− − = = − =

2 220 2

2 2

0

0 0

0

b c

t a

c d

− = −

x x x x2 2 2 2 23 2

12 6 4 2, , , ,


L L LL L= = = = =

102/123

Matrica krutosti konstrukcije:

[ ]

1 1AA AB

1 1 2 2BA BB AA AB

2 2BA BB

.

.

k k

K k k k k

k k

= +

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 2 2 2 2rr rm

1 1 1 2 1 2mr mm

1 1 2 1 1 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

a a

b c b c

c d c e

a a b c b cK K

K b c b a c aK K

c e c c d d c e

b c b c

a a

c e c d

− − − −

− − + − = =− + − − + − − − −

− −

103/123

Jednadžba konstrukcije:

{ }{ }

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

r rr rm r

m mr mm m

F K K U

F K K U

=

{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }r rr r rm m rm mF K U K U K U= + =

{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }m mr r mm m mm mF K U K U K U= + =

104/123

Nepoznati pomaci čvora 2 i 3:

{ } [ ] { }1

m mm mU K F−=

{ } { }{ }

2

2

2 X2 3m

3 3

3

X3

2,85714

503,975

7,8853210

755,581

503,975

10,1709

W

V

UU

U W

V

Φ

Φ

−

−

− = = = ⋅ −

−

105/123

Nepoznate reakcije čvora 1:

{ } [ ]{ }r rm mF K U=

{ } { }3

Z13

r 1 Y12 6

X1

100 10

2 30 10

5 12 11 10

F F

F F F qH

M F L qH

⋅ = = = − = − ⋅ + ⋅

Z1 ZC

Y1 YC2

X1 XC

2

12

F F

F F qH

M M qH

= + −

3ZC

3YC

2 2 2 6XC

0 100 10

2 2 60 10

5 12 12 2 11 10

F F F

F qH qH qH

M F L qH qH F L qH

⋅ = − − = − = − ⋅ + − + ⋅

106/123

+

+

Mfa) D( ) (kNm) Qb) D( ) (kN)

Nc) D( ) (kN) d) deformirani oblik nosača (mm)

7,56

5,045,04

100

6011,6

8

8

100

107/123

Y

Z

2

zy

A

B

1z

yA B

F ,yA vA

F ,yA vA

F ,zA wA

F ,zA wA

M ,xAϕ

xA

M ,xAϕ

xA

F ,yB vB

F ,yB vB

F ,zB w

F ,zB w

M ,xBϕ

xB

M ,xBϕ

xB

B

B

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

108/123

Čvorni pomaci konačnih elemenata:

element 1:

{ } { }{ }

{ }{ }

1 1A 0 11

1120B

.

.

u t Uu

Utu

= =

{ } { }1A

1 1 1A 0 1 A

1xA

0

0

0

u t U

ϕ

= = =

w

v

{ } { }1B

1 1 3 1B 0 2 B

1xB

2,85714

503,975 10

7,88532

u t U

ϕ

−

−

= = ⋅ = −

w

v

109/123

element 2:

{ } { }{ }

{ }{ }

2 2A 0 22

2230B

.

.

u t Uu

Utu

= =

{ } { }2A

2 2 3 2A 0 2 A

2xA

503,975

2,85714 10

7,88532

u t U

ϕ

−

= = ⋅ = −

w

v

{ } { }2B

2 2 3 2B 0 3 B

2xB

503,975

755,581 10

10,1709

u t U

ϕ

−

= = ⋅ = −

w

v

110/123

Čvorne sile konačnih elemenata:

element 1:

{ } { } { }1 1 1ekvqf k u f = −

{ } { }{ }

1 3 3zA

31 3 3yA

1 61 6 6A1 xA

1 31zBB

31 3yB

61 6xB

0100 10 100 10

30 1030 10 60 10

0,6 1011 10 11,6 10

0100 10 1

30 1030 10

0,6 107,4 10

F

Ff M

fFfF

M

⋅ ⋅ ⋅− ⋅ − ⋅

− ⋅ ⋅ ⋅ = = = − = − ⋅ −

⋅⋅

⋅− ⋅

3

6

00 10

0

8 10

⋅

− ⋅

111/123

element 2:

{ } { }2 2 2f k u =

{ } { }{ }

2zA

32yA

2 62A2 xA

22zBB

32yB2xB

0

100 10

8 10

0

100 10

0

F

Ff M

fFfF

M

− ⋅

⋅ = = =

⋅

112/123

Primjer 3: Progib točke C kupolnog okvirnog nosača

X

Z

Y

X

24,38 m

12,19

1,5

5

4,5

5

10,

88

6,285

21,

11 m

12,57

1.2

2 m

0,7

C

12,38 MN

C

E = 20690 MNm-2

G = 8830 MNm-2

113/123

12,38 MN 12,38 MN

n = 13 čvorovae = 18 elemenata

n = 31 čvore = 36 elemenata

4 10 13 17

12

65

8

2

9

3

1123

283 9 2718 31 1019 4

2625

7

1

16

8

2

17

1314

15

11

5

12

6

22 24

302920 21

114/123

Vertikalni pomak točke C (oba modela)

linearni slučaj:

[ ]{ } { } [ ] [ ]E,K U F K K= = → C 86,03 mmW = −

115/123

nelinearni (elasto-plastični) slučaj – sila: λ= ×123,8 MN:

inkrementalna forma → [ ]{ } { } [ ] [ ] [ ] [ ]T T E G P,K U F K K K K∆ = ∆ = + −

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Vertical apex deflection (m)

Lo

ad fa

cto

r λ

elasticelastic-plastic

Park & Lee (N = 8)Park & Lee (N = 4)

116/123

Primjer 4: Zakrivljeni konzolni nosači – nelinearna statika:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6W / R

F R

2 / (E

Ix)

Nonlinear

Linear

117/123

Primjer 5: Granična nosivost kupolnog okvirnog nosača

118/123

Primjer 6: Mreža i naprezanje kod ploče (stijene) s kružnim otvorom

119/123

Primjer 7: Izvijanje (gubitak stabilnosti) prostornog okvira

{ } [ ] [ ]( ){ } { } { } { }G G E G krˆ ˆ0; 0F K K K K U F F ∆ = = Λ + Λ→ ∆ = = Λ →

120/123

Primjer 8: Lateralno izvijanje L-okvira

Fkr

121/123

Primjer 9: Izvijanje ploče (stijene)

122/123

Primjer 10: Elektromagnetizam – magnetsko polje elektromotora

123/123

Primjer 11: Elektromagnetizam – širenje elektromagnetskih valova po oplati

aviona

Documents

Metoda konacnih elemenata