1

METODE ELIMINASI GAUSS Untuk memecahkan sistem persamaan liner berikut:

nnnnnnn

n

n

b

b

b

x

x

x

aaaa

aaaa

aaaa

.

.

.

..

.........

. . . .

. . . .

.........

.........

2

1

2

1

321

2232221

1131211

yaitu : A.x = b

Jika elemen- elemen matriks b kita tuliskan dalam matriks A , maka kita peroleh

matriks yang diperluas (Augmented Matrix) B untuk system persamaan berikut:

.........

. . . .

. . . .

.........

.........

321

2232221

1131211

nnnnn

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

nb

b

b

.

.

2

1

Eliminasikan elemen-elemen dalam kolom pertama, kecuali elemen a11 ,

dengan jalan mengurangi baris kedua dengan a21/a11 kali baris pertama,

demikian seterusnya.

Langkah ini menghasilkan matriks baru yang berbentuk:

......... 0

. . . .

. . . .

......... 0

.........

32

22322

1131211

nnnn

n

n

ccc

ccc

aaaa

nd

d

b

.

.

2

1

Proses tersebut diulangi lagi untuk mengeliminasi elemen kedua ci2 mulai dari baris

ketiga ke bawah.

2

CONTOH:

Selesakan sistem persamaan berikut:

x1 + 2x2 - 3x3 = 3

2x1 - x2 - x3 = 11

3x1 + 2x2 + x3 = -5

Persamaan ini dapat dituliskan:

5

11

3

.

1 2 3

1 1 2

3 2 1

3

2

1

x

x

x

Matriks yang diperluas menjadi:

1 2 3

1 1 2

3 2 1

5

11

3

Kurangi baris kedua dengan 2/1 kali baris pertama dan baris ketiga dengan 3/1 kali

baris pertama. Langkah ini memberikan:

10 4 0

5 5 0

3 2 1

14

5

3

Kurangi baris ketiga dengan -4/-5 kali baris kedua, matriksnya menjadi:

6 0 0

5 5 0

3 2 1

18

5

3

Akhirnya, letakkan kembali kolom kanan ke posisinya semula:

18

5

3

.

6 0 0

5 5 0

3 2 1

3

2

1

x

x

x

Dengan substutusi mundur mulai dari yang paling bawah, diperoleh:

6x3 = -18; x3 = -3

-5x2 + 5x3 = 5 -5x2 -15 = 5 x2 = -4

x1 + 2x2 -3x3 = 3 x1 -8 + 9 = 3 x1 = 2

3

LATIHAN:

Selesaikan sistem persamaan berikut:

x1 - 4x2 - 2x3 = 21

2x1 + x2 + 2x3 = 3

3x1 + 2x2 - x3 = -2