43
MATEMATIKA 4 METODE NUMERIK PADA PERSAMAAN INTEGRAL Bagus Hario Setiadji Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Diponegoro

Metode Numerik Pada Persamaan Integral

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

MATEMATIKA 4

METODE NUMERIK PADA PERSAMAAN INTEGRAL

Bagus Hario Setiadji

Jurusan Teknik Sipil

Fakultas Teknik Universitas Diponegoro

Page 2: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

DEFINISI

• Numerical Integration adalah suatu tool yang digunakan untuk memperoleh jawaban perkiraan (approximate answer) dari suatu integral tertentu (definite integral) yang tidak dapat diselesaikan secara analitis.

• Tujuan dari numerical integration adalah untuk menyelesaikan suatu persamaan integral tertentu f(x) pada suatu interval [a, b] dengan melakukan evaluasi terhadap f(x) pada sejumlah titik sampel N.

• Ada 2 metode yang digunakan disini, yaitu:

– Penjumlahan luas (Riemann sum)

– Quadrature formula

Page 3: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

METODE PENJUMLAHAN RIEMANN

• Menghitung luasan yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x

• Luasan dibagi menjadi N bagian pada interval [a, b], dimana a = x0 < x1 < … < xn = b dan xi = xi – xi-1; i = 1, 2, …, N

• Hitung luas Li, dimana Li = f(xi) . xi

x0 x1 x2 x3 x4 xn

y = f(x)

L0 L1 L2

x1 x2

Page 4: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

METODE PENJUMLAHAN RIEMANN

• 3 pendekatan pada metode penjumlahan Riemann:

– Persegi panjang kiri (left sum), yaitu apabila sudut kiri atas masing-masing persegi panjang menyentuk kurva

– Persegi panjang kanan (right sum), yaitu apabila sudut kanan atas masing-masing persegi panjang menyentuk kurva

– Persegi panjang tengah (middle sum), yaitu apabila titik tengah sisi atas masing-masing persegi panjang memotong kurva

Left sum Right sum Middle sum

Page 5: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

METODE PENJUMLAHAN RIEMANN

• Persamaan umum penjumlahan Riemann:

L = L1 + L2 + L3 + … + Ln

= f(x1).x1 + f(x2).x2 + f(x3).x3 + … + f(xn).xn

= dimana xi = x1 = x2 = … = xn = = h

Maka: L = dan xi = a + ih

– Untuk left sum, L =

– Untuk right sum, L =

– Untuk middle sum, L =

N

i

ii xxf1

.N

ab

b

a

N

i

ixfhdxxf

b

a

N

i

ixfhdxxf1

0

b

a

N

i

ixfhdxxf1

b

a

N

i

ii xxfhdxxf

1

1

2

Page 6: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

METODE PENJUMLAHAN RIEMANN

• Contoh 1 Penjumlahan Riemann:

Hitung luas yang dibatasi oleh y = x2 pada interval [0, 1] dengan N = 10

Solusi:

Hitung nilai x = h = = 0.1

Maka:

Untuk Left Sum, L = dan xi = 0 + i (0.1) = 0.1i

L = L0 + L1 + L2 + … + L9 = 0.1 {(0)2 + (0.1)2 + (0.2)2 + … + (0.9)2}

= 0.1 (2.85) = 0.285

10

01

9

0

21

0

1.0i

i

N

i

i xxfh

Page 7: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

METODE PENJUMLAHAN RIEMANN

Untuk Right Sum, L = dan xi = 0 + i (0.1) = 0.1i

L = L1 + L2 + L3 + … + L10 = 0.1 {(0.1)2 + (0.2)2 + (0.3)2 + … + (1.0)2}

= 0.1 (3.85) = 0.385

Untuk Middle Sum, L =

dan xi = 0 + i (0.1) = 0.1i

L = L1 + L2 + L3 + … + L10 = 0.1 {0.5(0.1+0)2 + 0.5(0.2+0.1)2 + 0.5(0.3+0.2)2 + … + 0.5(1.0+0.9)2}

= 0.1 (3.325) = 0.3325

10

1

2

1

1.0i

i

N

i

i xxfh

210

1

1

1

1

21.0

2

i

iiN

i

ii xxxxfh

Page 8: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

METODE PENJUMLAHAN RIEMANN

Solusi eksak y =

Galat/error:

Dengan left sum = 0.333 – 0.285 = 0.048

Dengan right sum = 0.333 – 0.385 = -0.052

Dengan middle sum = 0.333 – 0.3325 = 0.0005

333.03

1

0

31

0

2 x

dxx

Page 9: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

METODE PENJUMLAHAN RIEMANN

• Contoh 2 Penjumlahan Riemann:

Tentukan solusi hampiran untuk y = 1/x + e-2x pada interval [1, 5] dengan N = 10

Solusi:

Hitung nilai x = h = = 0.4 dan xi = 1 + i (0.4) = 1 + 0.4i

Maka:

Untuk Left Sum, L =

L = L0 + L1 + L2 + … + L9

10

15

ix

i i

N

i

i ex

xfh 29

0

1

0

14.0

8803.12175.0...5829.07751.01353.14.0

6.4

1...

8.1

1

4.1

114.0 2.96.38.22

eeee

Page 10: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

METODE PENJUMLAHAN RIEMANN

Untuk Right Sum, L =

L = L1 + L2 + L3 + … + L10

Untuk Middle Sum, L =

L = L1 + L2 + L3 + … + L10

ix

i i

N

i

i ex

xfh 210

11

14.0

5602.12000.0...4668.05829.07751.04.0

5

1...

2.2

1

8.1

1

4.1

14.0 104.46.38.2

eeee

10

1

5.02

11

1

5.0

14.0

i

xx

ii

N

i

iiie

xxxfh

6691.12084.0...5183.06658.09241.04.0

6.455.0

1...

8.12.25.0

1

4.18.15.0

1

14.15.0

1

4.06.455.028.12.25.02

4.18.15.0214.15.02

ee

ee

Page 11: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

METODE PENJUMLAHAN RIEMANN

Solusi eksak y =

Galat/error:

Dengan left sum = 1.6771 – 1.8803 = -0.2032

Dengan right sum = 1. 6771 – 1.5602 = 0.1709

Dengan middle sum = 1. 6771 – 1.6691 = 0.0080

Kesimpulan:

Galat/error terkecil umumnya diperoleh dengan menggunakan middle sum

6771.12

ln1

5

1

25

1

2

x

x exdxe

x

Page 12: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

QUADRATURE FORMULA

• Anggaplah a = x0 < x1 < … < xN = b. Persamaan dengan bentuk

dimana:

disebut sebagai numerical integration atau quadrature formula.

N

k

NNkk xfwxfwxfwxfwfQ0

1100 ...

b

a

fEfQdxxf

Page 13: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

DEFINISI

• E [f] disebut sebagai truncation error atau kesalahan pemotongan yaitu kesalahan yang diperoleh dikarenakan tidak melakukan hitungan sesuai dengan prosedur yang benar (misalnya pada proses tidak berhingga diganti dengan proses berhingga)

disebut sebagai quadrature nodes. Besarnya nodes ini bisa bervariasi. Misalnya pada aturan trapezoidal, aturan Simpson dan aturan Boole, besarnya nodes ini adalah sama. Sedangkan untuk Gauss-Legendre quadrature, besarnya nodesnya ini adalah sama dengan nol (untuk Legendre polynomial tertentu).

disebut sebagai weight atau bobot.

Niix 0

Niiw

0

Page 14: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

NEWTON-COATES QUADRATURE

• Penurunan kuadratur formula didasarkan pada interpolasi polynomial. Jika terdapat persamaan polynomial PM (x) berderajat (degree) M melalui M + 1 titik-titik yang berjarak sama . Jika polynomial ini digunakan untuk menghampiri persamaan f(x) pada rentang [a, b], dan integral dari persamaan f(x) dihampiri oleh integral dari PM (x), maka persamaan yang dihasilkan disebut sebagai persamaan Newton-Coates Quadrature.

• Apabila titik-titik sampel x0 = a dan xm = b digunakan, maka persamaan tersebut disebut sebagai persamaan Closed Newton-Coates.

Miii xfx

0,

Page 15: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

NEWTON-COATES QUADRATURE

• Persamaan-persamaan Closed Newton-Coates dengan derajat M = 1, 2, 3, 4 pada interval [x0, xM] adalah sebagai berikut.

Step size, h = dan xi = x0 + ih

M = 1, trapezoidal rule dengan h = b - a

M = 2, Simpson’s rule dengan h =

M = 3, Simpson’s rule dengan h =

M = 4, Boole’s rule

dengan h =

102

1

0

ffh

dxxf

x

x

210 43

2

0

fffh

dxxf

x

x

8

3 3210 338

3

3

0

ffffh

dxxf

x

x

43210 7321232745

2

4

0

fffffh

dxxf

x

x

M

ab

2

ab

3

ab

4

ab

Page 16: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

NEWTON-COATES QUADRATURE

Trapezoidal rule y = P1(x) pada [x0, x1) = [0.0, 0.5]

Simpson’s rule y = P2(x) pada [x0, x1) = [0.0, 1.0]

Simpson’s 3/8 rule y = P3(x) pada [x0, x1) = [0.0, 1.5]

Boole’s rule y = P4(x) pada [x0, x1) = [0.0, 2.0]

Page 17: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

NEWTON-COATES QUADRATURE

• Pembuktian persamaan Newton-Coates Quadrature

Untuk M = 1, Lagrange interpolating polynomial untuk P1(x) adalah

dengan [x0, xM] = [0, 1]

f0 dan f1 diasumsikan konstan, dan digunakan relasi berikut untuk x dan xi:

x = x0 + ht dan dx = h dt; xi = x0 + ih sehingga x1 = x0 + h, maka:

01

01

10

101

xx

xxf

xx

xxfxP

dthh

htfdth

h

thf

110

dtthfdtthf 11

0

1

1

0

0

dthxhx

xhtxfdth

hxx

hxhtxfxP

00

001

00

0001

10

1

0

2

1

1

0

2

0222

ffht

hft

thf

Page 18: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

NEWTON-COATES QUADRATURE

Untuk M = 2, Lagrange interpolating polynomial untuk P2(x) adalah

dengan [x0, xM] = [0, 2]

f0 , f1 dan f2 diasumsikan konstan, dan digunakan relasi berikut untuk x dan xi:

x = x0 + ht dan dx = h dt; xi = x0 + ih sehingga x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h, maka:

1202

102

2101

201

2010

2102

xxxx

xxxxf

xxxx

xxxxf

xxxx

xxxxfxP

Page 19: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

NEWTON-COATES QUADRATURE

22

2

2

2

2

0000

00002

0000

00001

0000

000002

dthhxhxxhx

hxhtxxhtxf

dthhxhxxhx

hxhtxxhtxfdth

hxxhxx

hxhtxhxhtxfxP

210210 433

2

23

4

3

2

2 fff

hf

hhff

h

2

1

2

2

21 210 dth

hh

thhtfdth

hh

thhtfdth

hh

ththf

2

2 232

2

0

2

2

2

0

2

1

2

0

2

0 dtttfh

dttthfdtttfh

23232

2

3

32

2

0

23

2

2

0

23

1

2

0

23

0

ttf

ht

thft

ttf

h

1202

102

2101

201

2010

2102

xxxx

xxxxf

xxxx

xxxxf

xxxx

xxxxfxP

Page 20: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

NEWTON-COATES QUADRATURE

Silakan dicoba untuk M = 3 dan M = 4.

Untuk M = 3, Lagrange interpolating polynomial untuk P3(x) adalah

dengan menggunakan relasi berikut untuk x dan xi:

x = x0 + ht dan dx = h dt; xi = x0 + ih sehingga x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h,

dan x3 = x0 + 3h.

231303

2103

321202

3102

312101

3201

302010

32103

xxxxxx

xxxxxxf

xxxxxx

xxxxxxf

xxxxxx

xxxxxxf

xxxxxx

xxxxxxfxP

Page 21: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

• Contoh 1 Closed Newton-Coates:

Hitung luas yang dibatasi oleh y = x2 pada interval [0, 1]

Solusi:

Untuk M = 1, Trapezoidal’s rule, h = b – a = 1 – 0 = 1

xi = x0 + ih sehingga x0 = 0 dan x1 = 1

Untuk M = 2, Simpson’s rule, h =

xi = x0 + ih sehingga x0 = 0, x1 = 0.5 dan x2 = 1

NEWTON-COATES QUADRATURE

5.0102

1

2

22

10

1

0

21

0

xfxfh

dxxdxxf

x

x

5.0

2

01

2

ab

333.015.0403

5.04

3

222

210

1

0

22

0

xfxfxfh

dxxdxxf

x

x

Page 22: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

Untuk M = 3, Simpson’s rule, h =

xi = x0 + ih sehingga x0 = 0, x1 = 0.333, x2 = 0.666 dan x3 = 1

Untuk M = 4, Boole’s rule, h =

xi = x0 + ih sehingga x0 = 0, x1 = 0.25, x2 = 0.5, x3 = 0.75 dan x4 = 1

NEWTON-COATES QUADRATURE

333.0

3

01

3

ab

8

3

333.01667.03333.030

8

333.03

338

3

2222

3210

1

0

23

0

xfxfxfxfh

dxxdxxf

x

x

25.0

4

01

4

ab

333.01775.0325.01225.03207

45

25.02

7321232745

2

22222

43210

1

0

24

0

fffffh

dxxdxxf

x

x

Page 23: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

NEWTON-COATES QUADRATURE

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

f(x)

x

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

f(x)

x

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

f(x)

x

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

f(x)

x

Trapezoidal rule Simpson’s rule

Simpson’s 3/8 rule Boole’s rule

Page 24: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

Galat/error:

Dengan Penjumlahan Riemann left sum = 0.333 – 0.285 = 0.048

Dengan Penjumlahan Riemann right sum = 0.333 – 0.385 = -0.052

Dengan Penjumlahan Riemann middle sum = 0.333 – 0.3325 = 0.0005

Dengan Trapezoidal Rule = 0.333 – 0.500 = -0.167

Dengan Simpson’s Rule = 0.333 – 0.333 = 0.000

Dengan Simpson’s 3/8 Rule = 0.333 – 0.333 = 0.000

Dengan Boole’s Rule = 0.333 – 0.333 = 0.000

NEWTON-COATES QUADRATURE

Page 25: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

• Contoh 2 Closed Newton-Coates:

Tentukan solusi hampiran untuk y = 1/x + e-2x pada interval [1, 5]

Solusi:

Untuk M = 1, Trapezoidal’s rule, h = b – a = 5 – 1 = 4

xi = x0 + ih sehingga x0 = 1 dan x1 = 5

Untuk M = 2, Simpson’s rule, h =

xi = x0 + ih sehingga x0 = 1, x1 = 3 dan x2 = 5

NEWTON-COATES QUADRATURE

6708.25

1

1

1

2

4

2 e

1 5212

10

5

1

2x-1

0

eexfxfh

dxx

dxxf

x

x

2

2

15

2

ab

7858.1

5

1

3

14

1

1

3

24

3

1 523212

210

5

1

22

0

eeexfxfxfh

dxex

dxxf x

x

x

Page 26: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

Untuk M = 3, Simpson’s rule, h =

xi = x0 + ih sehingga x0 = 1, x1 = 2.333, x2 = 3.667 dan x3 = 5

Untuk M = 4, Boole’s rule, h =

xi = x0 + ih sehingga x0 = 1, x1 = 2, x2 = 3, x3 = 4 dan x4 = 5

NEWTON-COATES QUADRATURE

333.1

3

15

3

ab

8

3

7343.1

5

1

667.3

13

333.2

13

1

1

8

333.13

338

3

x

1

52667.32333.2212

3210

5

1

23

0

eeee

xfxfxfxfh

dxedxxf x

x

x

1

4

15

4

ab

6877.1

5

17

4

132

3

112

2

132

1

17

45

12

7321232745

2

x

1

)5(2)4(2)3(2)2(2)1(2

43210

5

1

24

0

eeeee

fffffh

dxedxxf x

x

x

Page 27: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

NEWTON-COATES QUADRATURE

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6

f(x)

x

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6

f(x)

x

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6

f(x)

x

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6

f(x)

x

Trapezoidal rule Simpson’s rule

Simpson’s 3/8 rule Boole’s rule

Page 28: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

Galat/error:

Dengan Penjumlahan Riemann left sum = 1.6771 – 1.8803 = -0.2032

Dengan Penjumlahan Riemann right sum = 1. 6771 – 1.5602 = 0.1709

Dengan Penjumlahan Riemann middle sum = 1. 6771 – 1.6691 = 0.0080

Dengan Trapezoidal Rule = 1.6771 – 2.6708 = -0.9937

Dengan Simpson’s Rule = 1.6771 – 1.7858 = -0.1087

Dengan Simpson’s 3/8 Rule = 1.6771 – 1.7343 = -0.0572

Dengan Boole’s Rule = 1.6771 – 1.6877 = -0.0106

Kesimpulan:

Metode Newton-Coates Quadrature mempunyai kelemahan dalam menghampiri persamaan yang kompleks.

NEWTON-COATES QUADRATURE

Page 29: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

• Seperti telah disebutkan, bahwa permasalahan utama dari Newton-Coates Quadrature adalah apabila digunakan untuk menghampiri fungsi y = f(x) yang kompleks.

• Untuk mengatasi hal ini, maka pendekatan yang dapat dilakukan adalah mendekati fungsi y = f(x) yang berinterval [a, b] tersebut dengan sejumlah bentuk trapezoidal.

• Anggap bahwa interval [a, b] dibagi menjadi M subinterval [xi, xi+1] dengan step size h = (b – a)/M, dengan menggunakan titik-titik yang berjarak sama xi = a + ih, untuk i = 0, 1, …, M.

COMPOSITE TRAPEZOIDAL RULE

Page 30: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

• Composit Trapezoidal Rule dengan subinterval M dapat dinyatakan dalam tiga bentuk sebagai berikut.

Bentuk 1:

atau

Bentuk 2:

atau

Bentuk 3:

COMPOSITE TRAPEZOIDAL RULE

M

i

ii xfxfh

hfT1

12

,

MMM ffffffh

hfT 12210 22...222

,

1

12,

M

i

ixfhbfafh

hfT

Page 31: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

• Dari contoh 2 :

Tentukan solusi hampiran untuk y = 1/x + e-2x pada interval [1, 5]

Solusi: Asumsikan nilai M = 5, maka h =

xi = a + ih sehingga x0 = 1, x1 = 1.8, x2 = 2.6, x3 = 3.4, x4 = 4.2 dan x5 = 5

Gunakan bentuk 3 dari Composite Trapezoidal Rule

COMPOSITE TRAPEZOIDAL RULE

8.0

5

15

M

ab

432150

1

1 22, xfxfxfxfhxfxf

hxfhbfaf

hhfTdxxf

M

i

i

b

a

7394.12383.02952.03901.05828.08.02000.01353.14.0

2.4

1

4.3

1

6.2

1

8.1

18.0

5

1

1

1

2

8.0

2.424.326.228.12

5212

eeee

ee

Page 32: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

Dicoba dengan menggunakan M = 10, maka h =

xi = a + ih sehingga x0 = 1, x1 = 1.4, x2 = 1.8, x3 = 2.2, x4 = 2.6, x5 = 3,

x6 = 3.4, x7 = 3.8, x8 = 4.2, x9 = 4.6, dan x10 = 5

Gunakan bentuk 3 dari Composite Trapezoidal Rule

COMPOSITE TRAPEZOIDAL RULE

4.0

10

15

M

ab

432150

1

1 22, xfxfxfxfxfxf

hxfbfaf

hhfTdxxf

M

i

i

b

a

6933.12175.02383.0...5829.07751.04.02000.01353.12.0

6.4

1

2.4

1...

8.1

1

4.1

14.0

5

1

1

1

2

4.0

6.422.428.124.12

5212

eeee

ee

Page 33: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6

f(x)

x

COMPOSITE TRAPEZOIDAL RULE

Comp. Trapezoidal Rule, M = 5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6

f(x)

x

Comp. Trapezoidal Rule, M = 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6

f(x)

x

Trapezoidal rule

Page 34: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

COMPOSITE TRAPEZOIDAL RULE

Galat/error: Dengan Penjumlahan Riemann left sum = 1.6771 – 1.8803 = -0.2032 Dengan Penjumlahan Riemann right sum = 1. 6771 – 1.5602 = 0.1709 Dengan Penjumlahan Riemann middle sum = 1. 6771 – 1.6691 = 0.0080 Dengan Trapezoidal Rule = 1.6771 – 2.6708 = -0.9937 Dengan Composite Trapezoidal Rule (M = 5) = 1. 6771 – 1.7394 = -0.0623 Dengan Composite Trapezoidal Rule (M = 10) = 1. 6771 – 1.6933 = -0.0162 Kesimpulan: Composite Trapezoidal Rule memberikan perbaikan terhadap pendekatan Trapezoidal Rule, walaupun galat yang diberikan masih relatif cukup besar. Penghalusan (refinement) bisa dilakukan dengan meningkatkan nilai M.

Page 35: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

• Anggap bahwa interval [a, b] dibagi menjadi 2M subinterval [xi, xi+1] dengan step size h = (b – a)/2M, dengan menggunakan titik-titik yang berjarak sama xi = a + ih, untuk i = 0, 1, …, 2M.

• Composit Simpson’s Rule dengan subinterval 2M dapat dinyatakan dalam tiga bentuk sebagai berikut.

Bentuk 1:

atau

Bentuk 2:

atau

Bentuk 3:

COMPOSIT SIMPSON’S RULE

M

i

iii xfxfxfh

hfS1

21222 43

,

MMM fffffffh

hfS 212223210 42...4243

,

1

1

12

1

1

23

4

3

2

3,

M

i

i

M

i

i xfh

xfh

bfafh

hfS

Page 36: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

• Dari contoh 2 :

Tentukan solusi hampiran untuk y = 1/x + e-2x pada interval [1, 5]

Solusi: Asumsikan nilai 2M = 10, maka h =

xi = a + ih sehingga x0 = 1, x1 = 1.4, x2 = 1.8, x3 = 2.2, x4 = 2.6, x5 = 3,

x6 = 3.4, x7 = 3.8, x8 = 4.2, x9 = 4.6, dan x10 = 5

COMPOSITE SIMPSON’S RULE

4.0

10

15

2

M

ab

Page 37: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

Gunakan bentuk 3 dari Composite Simpson’s Rule

COMPOSITE SIMPSON’S RULE

1

1 1

1223

4

3

2

3,

M

i

M

i

ii

b

a

xfh

xfh

bfafh

hfSdxxf

97531

8642

3

4

3

2

3

xfxfxfxfxfh

xfxfxfxfh

bfafh

6779.1

2175.0...7751.05333.02383.0...5829.02667.0)2000.01353.1(333.1

6.4

1

8.3

1

0.3

1

2.2

1

4.1

1

3

4.04

6.4

1

4.3

1

6.2

1

8.1

1

3

4.02

5

1

1

1

3

4.0

6.428.320.322.224.12

6.424.326.228.12

5212

eeeee

eeee

ee

Page 38: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

Galat/error:

Dengan Penjumlahan Riemann left sum = 1.6771 – 1.8803 = -0.2032

Dengan Penjumlahan Riemann right sum = 1. 6771 – 1.5602 = 0.1709

Dengan Penjumlahan Riemann middle sum = 1. 6771 – 1.6691 = 0.0080

Dengan Composite Trapezoidal Rule (M = 10) = 1. 6771 – 1.6933 = -0.0162

Dengan Simpson’s Rule = 1.6771 – 1.7858 = -0.1087

Dengan Composite Simpson’s Rule = 1.6771 – 1.6779 = -0.0008

Kesimpulan:

Composite Simpson’s Rule memberikan perbaikan yang signifikan terhadap pendekatan Simpson’s Rule. Dan galat yang diberikan jauh lebih baik dibandingkan dengan metode Penjumlahan Riemann maupun Composite Trapezoidal Rule.

COMPOSITE SIMPSON’S RULE

Page 39: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

• Contoh 3 :

Bandingkan solusi hampiran yang diberikan Composite Trapezoidal Rule dan Composite Simpson’s Rule untuk y = 2 + pada interval [1, 6] dengan nilai M = 10 (Composite Trapezoidal Rule) dan M = 5 atau 2M = 10 (Composite Simpson’s Rule).

Mohon dicek jawabannya dan penyelesaian dengan Penjumlahan Riemann!

COMPOSITE SIMPSON’S RULE

x2sin

Page 40: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

• Solusi dengan Composite Trapezoidal Rule.

h =

xi = 1 + 0.5h sehingga x0 = 1, x1 = 1.5, x2 = 2.0, x3 = 2.5, x4 = 3.0, x5 = 3.5,

x6 = 4.0, x7 = 4.5, x8 = 5.0, x9 = 5.5, dan x10 = 6

COMPOSITE SIMPSON’S RULE

5.010

16

921100

1

1

...2

2

, xfxfxfhxfxfh

xfhbfafh

hfTM

i

i

5.5...25.1612

fffhffh

0002.10287.11083.12432.14353.16831.19793.13081.26382.25.0

0174.19093.22

5.0

1939.84244.145.0 9267.3.250

Page 41: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

• Solusi dengan Composite Simpson’s Rule.

h =

xi = 1 + 0.5h sehingga x0 = 1, x1 = 1.5, x2 = 2.0, x3 = 2.5, x4 = 3.0, x5 = 3.5,

x6 = 4.0, x7 = 4.5, x8 = 5.0, x9 = 5.5, dan x10 = 6

COMPOSITE SIMPSON’S RULE

05.020

01

2

M

ab

975313

48642

3

261

3

3

4

3

2

3,

1

1 1

122

fffffh

ffffh

ffh

xfh

xfh

bfafh

hfSdxxfM

i

M

i

ii

b

a

0002.11083.14353.19793.16382.2

3

5.04

0287.12432.16831.13081.23

5.020174.19093.2

3

5.0

1830.81613.83

22630.6

3

19267.3

6

1

Page 42: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

METODE PENJUMLAHAN RIEMANN

Solusi eksak y =

(lihat http://integrals.wolfram.com/index.jsp untuk mencari solusi eksak)

Galat/error:

Dengan Composite Trapezoidal Rule = 8.1835 – 8.1939 = -0.0104

Dengan Composite Simpson’s Rule = 8. 1835 – 8.1830 = 0.0005

1835.8

2

2sin2cos22sin2

5

1

6

1

x

xxxdxx

Page 43: Metode Numerik Pada Persamaan Integral

AKHIR MATERI METODE NUMERIK

TERIMA KASIH.