7/4/2012 SUGENG2010 1

METODE NUMERIK

JURUSAN TEKNIK SIPIL

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS BRAWIJAYA

Copyright 1996-98 © Dale Carnegie & Associates, Inc.

Kesalahan (ERROR):

Selisih antara

nilai perkiraan dengan

nilai eksak(nilai sesungguhnya)

Jika ã adalah nilai perkiraan (nilai pendekatan)

a adalah nilai eksak

Maka kesalahan atau error adalah :

ε= ã - aatau

ã = a + ε

nilai pendekatan = nilai eksak + kesalahan

sedangkanKesalahan Relatif (εr) adalah

Perbandingan antara kesalahan terhadap nilai

eksak

εr = eksaknilai

error

a

aa

a

~

Contoh soal :

Pada saat mengukur panjang sebuah

jembatan dan sebuah paku masing-

masing 9999cm dan 9cm,jika nilai

eksak masing-masing adalah 10000cm

dan 10cm,hitunglah kesalahan relatif

yang terjadi!

εjembatan

=10000 – 9999 =1cm

εpaku

= 10 – 9 = 1 cm

maka :

εrjembatan =

εrpaku =

%01.010000

1

%1010

1

Soal 2

Berdasarkan deret Maclaurin :

!n

x.........

!3

x

!2

xx1

n32ex =

Hitung e0,5,jika nilai eksak e0,5=1,648721271

Penyelesaian :

Jika kita melakukan pendekatan dengan hanya menggunakan dua suku pertama maka:

ex=1+xe0,5=1+0,5 = 1,5

9,02%11,64872127

1,511,64872127εr

Akar persamaan NonLinear

Pada matematika Rekayasa sering kali kita harusmenentukan akar-akar persamaan sebuah fungsi yangberbentuk f(x)=0,jika dilakukan pendekatan nilai x=smaka f(s)=0 dengan f adalah fungsi yang diberikandan s adalah nilai pendekatan.

Formula yang memberikan nilai-nilai eksak untukmenjawab masalah numerik akan terjadi jikapermasalahan yang ada adalah masalah sederhana.

Pada beberapa kondisi maka diperlukan metode iterasiagar didapatkan hasil pendekatan yang mendekatinilai eksak.

Jadi untuk menentukan nilai x tersebut diatasdilakukan tahap demi tahap mulai darix0,x1,x2,x3,x4……..

Yang perlu dicatat adalah persamaan harus disusunulang menjadi bentuk f(x) = 0

cara yang umum digunakan untuk memecahkan akar-

akar persamaan Non Linier adalah dengan

menggunakan metode :

Newton Raphson

Modified Newton Raphson

Bisection

Secant

Bisection MethodAlgoritma penyelesaian:

• Tetapkan nilai awal xn dan xn+1 dengan syaratf(xn) x f(xn+1) < 0

• Hitung:

• Hitung harga f(xr).Jika,

f(xr) x f(xn) > 0 maka xn = xr

f(xr) x f(xn) < 0 maka xn+1 = xr

• Hitung kesalahan

2

1 nnr

xxx

1

1

n

nn

x

xx

Contoh:

Carilah nilai x yang memenuhi persamaan tan x = 1/x

dengan metode bisection

Jawab:

Susun ulang persamaan menjadi x tan x – 1 = 0

Sehingga f(x) = x tan x – 1

Dicoba nilai awal : xn = 0,5 f(xn) = -0.72685

xn+1 = 1 f(xn+1) = 0,55741

x r = (0,5 + 1 ) / 2 = 0,75 f(xr) = -0,3013

Karena f(xn) x f(xr) > 0 maka xn = 0,75

Cek error:

Ulangi langkah di atas sampai error mendekati nol

25,01

75,011

n

nn

x

xx

Newton-Raphson Method

Algoritma penyelesaian:

• Tetapkan nilai awal x = xn

• Hitung:

• Cek kesalahan:

• Jika kesalahan > toleransi, ulangi langkah di atassampai dengan kesalahan dalam batas toleransi

)('

)(1

n

nnn

xf

xfxx

1

1

n

nn

x

xx

Contoh Soal :

Tentukan besarnya akar positif dari persamaan berikut :

X3 + √3(x2) - 2x =2√3

JAWABAN :

Dengan menggunakan Formula Newton :

)('

)()(

)()1(

n

nnn

xf

xfxx

f(x)= x3 + √3(x2) – 2x - 2√3 = 0

f’(x)= 3x2 + 2√3(x) - 2

coba x(0) = 1,7

f(x0) = 3,0545

f’(x0)= 12,559

46,1559,12

0545,37,1

)('

)()0(

)0(0)1(

xf

xfxx

4,1452,9

42,046,1

)('

)()1(

)1(1)2(

xf

xfxx

coba x(1) = 1,46

f(x1) = 0,42

f’(x1)= 9,452

coba x(2) = 1,4

f(x2) = -0,125

f’(x2)= 8,73

4,173,8

)125,0(4,1

)('

)()2(

)2(2)3(

xf

xfxx

karena x(2) = x(3) maka proses iterasi sudah selesai.

Jika dianggap bahwa akar persamaannya adalah x = 1,4, maka

jika disubtitusikan ke dalam persamaan semula :

f(x) = x3 + √3(x2) – 2x - 2√3 = 0

f(1,4) = (1,4)3 + √3(1,4)2 – 2(1,4) - 2√3

f(1,4) = - 0,125 ~ 0

Catatan : tingkat ketelitian adalah satu angka di belakang koma

Demikian juga jika akan menyelesaikan dua buah persamaan dengan dua

variabel yang tidak diketahui :

f1 (x1,x2) = 0

f2 (x1,x2) = 0

Maka dengan cara yang sama Metode Newton dapat ditulis sebagai berikut

1

)(

2

)(

11

)(

2

)(

11)(

1

)1(

1),(

),(

x

xxf

xxfxx

nn

nnnn

2

)(

2

)1(

12

)(

2

)1(

12)(

2

)1(

2),(

,(

x

xxf

xxfxx

nn

nnnn

2x1 – x2 = -3

x1 – 2x2 = -3

Solusi eksak : x1 = -1

x2= 1

f1(x1,x2) = 2x1 – x2 + 3

f2(x1,x2) = x1 – 2x2 + 3

2

32

2

32

2),(

2),(

)(2

)1(1)(

2)1(

2

)(2

)(1)(

1)1(

1

2

212

1

211

nnnn

nnnn

xxxx

xxxx

x

xxf

x

xxf

Untuk mencoba awal digunakan :

x1(0) = x2

(0) = 0 dan ω = 1,maka :

x1 (1) = -(3/2),x2

(1) = (3/4)

x1(2) = -(9/8),x2

(2) = (15/16)

x1(3) = -(33/32),x2

(3) = (63/64), dst

Sehingga sampai didapat x1(n+1) = x1

(n) = -1

x2(n+1) = x2

(n) = 1 konvergen

Modified Newton-Raphson Method

Untuk sistem persamaan yang panjang,penghitungan nilai turuan yang terus menerusakan menyebabkan proses hitungan dalamiterasi cukup lama.

Modifikasi metode Newton-Raphson dilakukandengan mengambil nilai turunan pada iterasipertama untuk digunakan pada setiap iterasiberikutnya

Misal diambil nilai awal x = x0 mak proses iterasi

menjadi:

)('

)(

0

1xf

xfxx n

nn

Contoh:

Carilah nilai x yang memenuhi persamaan tan x = 1/x

dengan metode modified newton-raphson

Jawab:

Susun ulang persamaan menjadi x tan x – 1 = 0

Sehingga f(x) = x tan x – 1 dan f’(x) = tan x + x sec 2 x

Dicoba nilai awal : x0 = 1 f(x0) = 0,55741

f’(x0) = 4,98293

Proses iterasi selanjutnya menggunakan persamaan

98293,4

1tan1

nnnn

xxxx

Secant MethodAlgoritma penyelesaian:

• Tetapkan nilai awal xn-1 dan xn

• Hitung:

• Hitung kesalahan:

• Jika ε > toleransi, maka xn = xn+1 dan xn-1 = xn

ulangi langkah di atas sampai dengan akarpersamaan x = xn

)()(

))((

1

11

nn

nnnnn

xfxf

xxxfxx

1

1

n

nn

x

xx

Contoh:

Carilah nilai x yang memenuhi persamaan tan x = 1/x

dengan metode secant

Jawab:

Susun ulang persamaan menjadi x tan x – 1 = 0

Sehingga f(x) = x tan x – 1

Dicoba nilai awal : xn = 1 dan xn -1 =1,1

Proses iterasi selanjutnya menggunakan persamaan

1tan1tan

1tan

11

11

nnnn

nnnnnn

xxxx

xxxxxx

stop