Komputasi Terapan
Akar Persamaan Non LinearDr. Ir. Darmadi, MT Suflinur Setiawan,
STTerdapat dua metode utama untuk mencari akar dari suatu persamaan
non linear :
1. Bracketing Method - Bisection - Regula Falsi
2.Open Method - Newton-Raphson - Metode Secant
Object pembahasan : Bisection dan Newton-Raphson
1Akar Persamaan Non LinearBisection Method
Dr. Ir. Darmadi, MT Suflinur Setiawan, STKarakteristik :
KeunggulanKelemahanSederhanaPasti KonvergenTebakan awal terdiri
atas dua buah akar [a,b] dan harus memenuhi f(a)*f(b)< 0Laju
konvergensi relative lebih lambat daripada metode
Newton-Raphson2Akar Persamaan Non LinearAlgoritma
Dr. Ir. Darmadi, MT Suflinur Setiawan, ST1. Tetapkan dua buah
akar, misal xa dan xb2. Check f(a) * f(b) < 0 ; Jika tidak
terpenuhi kembali ke step 13. Hitung xm :
4. Jika f(a) * f(m) < 0 ; akar berada antara xa dan xm. Set
xb = xm, kembali ke step 35. Jika f(a) * f(m) > 0 ; akar berada
antara xm dan xb. Set xa = xm, kembali ke step 36. Iterasi
dihentikan jika terpenuhi : xb-xa < toleransi perhitungan
3Akar Persamaan Non LinearCONTOH SOALDr. Ir. Darmadi, MT
Suflinur Setiawan, STTentukan akar dari persamaan :
Langkah penyelesaian dengan iterasi Bisection :1. Ambil xa=1 dan
xb=62. Cek f(a)*f(b) ; didapat nilai -144, xa dan xb sudah benar3.
Hitung xm dan f(m), didapat xm=3,5 dan f(m)=-2,754. Cek f(a)*f(m) ;
didapat nilai 24,75 Karena f(a)*f(m)>0, maka akar berada antara
xm dan xb Set xa=xm dan ulangi langkah 3
Toleransi perhitungan : 1e-3 (0,001)
4Akar Persamaan Non LinearDr. Ir. Darmadi, MT Suflinur Setiawan,
STResume iterasi :
Step xaf(a)xbf(b)xmf(m)Selisih 1
1.0000-9.00006.000016.00003.5000-2.75005.0000 2
3.5000-2.75006.000016.00004.75005.06252.5000 3
3.5000-2.75004.75005.06254.12500.76561.2500 4
3.5000-2.75004.12500.76563.8125-1.08980.6250 5
3.8125-1.08984.12500.76563.9688-0.18650.3125 6
3.9688-0.18654.12500.76564.04690.28340.1563 7
3.9688-0.18654.04690.28344.00780.04690.0781 8
3.9688-0.18654.00780.04693.9883-0.07020.0391 9
3.9883-0.07024.00780.04693.9980-0.01170.0195 10
3.9980-0.01174.00780.04694.00290.01760.0098 11
3.9980-0.01174.00290.01764.00050.00290.0049 12
3.9980-0.01174.00050.00293.9993-0.00440.0024 13
3.9993-0.00444.00050.00293.9999-0.00070.0012 14
3.9999-0.00074.00050.00294.00020.00110.0006
5Akar Persamaan Non LinearNewton-Raphson
Dr. Ir. Darmadi, MT Suflinur Setiawan, STKarakteristik :
KeunggulanKelemahanHanya butuh satu tebakan awalLaju konvergensi
cepatIterasi adakalanya tidak konvergen, terutama untuk kurva yang
berubah tajam6Akar Persamaan Non LinearAlgoritma
Dr. Ir. Darmadi, MT Suflinur Setiawan, ST1. Tetapkan nilai
tebakan awal, misal xnew2. Tentukan toleransi perhitungan dan
interval differensiasi3. Set xold = xnew dan hitung f(xold)4.
Hitung f(xold)
5. Hitung xnew
6. Jika abs(xnew-xold) > toleransi ; ulangi langkah 37.
Iterasi dihentikan jika abs(xnew-xold) < toleransi
7Akar Persamaan Non LinearCONTOH SOALDr. Ir. Darmadi, MT
Suflinur Setiawan, STTentukan akar dari persamaan :
Langkah penyelesaian dengan iterasi Newton-Raphson:1. Ambil
xnew=12. Set xold=xnew dan hitung f(xold) didapat fold=43. Hitung
f(xold), didapat fold=-44. Hitung xnew, didapat xnew=25. Cek
abs(xnew-xold) ; didapat nilai 1 Karena
abs(xnew-xold)>toleransi, ulangi langkah 2Toleransi perhitungan
: 1e-3 (0,001)Interval differensiasi : 1e-3 (0,001)
8Akar Persamaan Non LinearDr. Ir. Darmadi, MT Suflinur Setiawan,
STResume iterasi :
Step Xoldf(Xold)f(Xold+eps)f(Xold-eps)f'(Xold)XnewSelisih 1
1.00004.0000-14.0040-13.9960-4.00002.00001.0000 2
2.00001.0000-17.0020-16.9980-2.00002.50000.5000 3
2.50000.2500-17.7510-17.7490-1.00002.75000.2500 4
2.75000.0625-17.9380-17.9370-0.50002.87500.1250 5
2.87500.0156-17.9846-17.9841-0.25002.93750.0625 6
2.93750.0039-17.9962-17.9960-0.12502.96870.0313 7
2.96870.0010-17.9991-17.9990-0.06252.98440.0156 8
2.98440.0002-17.9998-17.9997-0.03132.99220.0078 9
2.99220.0001-18.0000-17.9999-0.01562.99610.0039 10
2.99610.0000-18.0000-18.0000-0.00782.99800.0020 11
2.99800.0000-18.0000-18.0000-0.00392.99900.00109Akar Persamaan Non
LinearMATLAB FUNCTIONDr. Ir. Darmadi, MT Suflinur Setiawan, STUntuk
menentukan akar persamaan satu variabel, ada dua mfile yang
disediakan oleh MATLAB, yaitu roots dan fzero
mfileKEUNGGULANKELEMAHANrootsSeluruh akar langsung dapat
diketahui.Tidak memerlukan tebakan awal.Hanya berlaku untuk
polynomialfzeroSolusi bagi seluruh persamaan tak linier satu
variabelHanya satu buah akar yang dapat diketahui.Memerlukan
tebakan awal10Akar Persamaan Non LinearDr. Ir. Darmadi, MT Suflinur
Setiawan, STSyntax roots: r = roots(c)dimana :r : akar persamaanc :
koefisien polynomial, dimulai dari yang tertinggi
Syntax fzero: [x,fx] = fzero(@function,x0)dimana :function :
mfile dari fungsi yang akan dicari akarnyax0 : nilai tebakan
awal
11Akar Persamaan Non LinearCONTOH SOALDr. Ir. Darmadi, MT
Suflinur Setiawan, STTentukan akar dari persamaan :
C = [ 1 2 -3] c =
1 2 -3r=roots(c)ans =
-3 1
Untuk roots, dapat langsung diketikkan di command windows :
12Akar Persamaan Non LinearDr. Ir. Darmadi, MT Suflinur
Setiawan, STUntuk fzero, dibuatkan mfile fungsi fx terlebih dahulu
:
function fx=KT02_Ex1fx(x)
fx = x^2 + 2*x - 3 ;
end
Dari command windows, fungsi dipanggil dengan syntax :
x1=fzero(@KT02_Ex1fx,0)
Hasil :
x1 =
1
13Akar Persamaan Non LinearDr. Ir. Darmadi, MT Suflinur
Setiawan, STUntuk nilai akar kedua :
x2=fzero(@KT02_Ex1fx,-4)
Hasil :
x2 =
-3.0000
14Akar Persamaan Non LinearTUGAS Dr. Ir. Darmadi, MT Suflinur
Setiawan, STDari suatu reaksi kesetimbangan di dapat persamaan
:
Penyelesaian secara manual menggunakan salah satu metode
(minimal 3 kali iterasi).Penyelesaian dengan MATLAB menggunakan 2
buah mfile (mfile eksekusi dan mfile fungsi).mfile Tugas di email
ke [email protected]
Dimana : K = Konstanta kesetimbangan Pt = Tekanan total, atm x =
fraksi molJika diketahui K=0.04 dan Pt=3.5 atm, tentukan nilai x
dengan metode :
15
