Metodi Libro2014 03

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    Appunti per il Corso di

    Metodi Matematici per lIngegneria

    A.A. 2013/2014

    Marco BramantiPolitecnico di Milano

    10 giugno 2014

    Indice

    I Spazi di Lagrange 8

    1 Spazi vettoriali, spazi metrici 81.1 Spazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Spazi metrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    2 Richiami sulla cardinalit di insiemi 16

    3 Convergenza e completezza 183.1 Teoremi di convergenza in R e inRn . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2 Completezza in spazi metrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    4 Successioni di funzioni, spazi di funzioni continue o derivabili 254.1 Successioni di funzioni e convergenza uniforme . . . . . . . . . . 254.2 Spazi di funzioni derivabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.3 Spazi di funzioni innitamente derivabili . . . . . . . . . . . . . . 364.4 Funzioni Lipschitziane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    5 Il teorema delle contrazioni in spazi metrici e le sue applicazioni 395.1 Teorema delle contrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.2 Applicazioni al problema di Cauchy per sistemi di equazioni dif-

    ferenziali ordinarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.3 Equazioni integrali di Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.3.1 Equazione integrale di Fredholm di seconda specie in C0 [a; b] 465.3.2 Il metodo della serie di Neumann e lapprossimazione di

    Born . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.3.3 Applicazione a un modello di diusione . . . . . . . . . . 50

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    6 Esercizi sulla Parte 1 55

    II Misura e integrale di Lebesgue 61

    7 Motivazioni per studiare la teoria della misura e dellintegrazionedi Lebesgue 617.1 Inadeguatezza dellintegrale di Riemann per gli scopi dellanalisi

    funzionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.2 Lidea dellintegrale di Lebegue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.3 Il problema di denire una buona misura . . . . . . . . . . . . 677.4 Sviluppo e impatto della teoria

    della misura e dellintegrale di Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . 70

    8 Teoria della misura e dellintegrale di Leb esgue 71

    8.1 Spazi misurabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718.2 Misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728.3 Costruzione della misura di Lebesgue in Rn . . . . . . . . . . . . 738.4 Restrizione di una misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788.5 Funzioni misurabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798.6 Integrazione astratta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.7 Relazione tra integrale di Riemann

    e integrale di Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888.8 I teoremi di convergenza per lintegrale di Lebesgue . . . . . . . . 938.9 Lo spazioL1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988.10 Il teorema fondamentale del calcolo integrale . . . . . . . . . . . 101

    9 La teoria della misura astratta in probabilit 106

    10 Misure di Hausdor 11110.1 Misura e dimensione di Hausdor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11110.2 La misura(n 1)-dimensionale e il problema isoperimetrico . . . 11710.3 Misure e distribuzioni di carica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

    11 Spazi Lp 12111.1 Gli spaziLp ()per1 < p < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12111.2 Lo spazioL1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12511.3 Inclusioni tra spazi Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12611.4 Approssimazione di funzioniLp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12711.5 Integrali doppi in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12811.6 Convoluzione inRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

    12 Cenni su operatori e funzionali lineari continui 13412.1 Operatori lineari continui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13412.2 Funzionali lineari continui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

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    13 Esercizi sulla Parte 2 14113.1 Soluzioni di alcuni esercizi della Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . 148

    III Spazi di Hilbert 150

    14 Geometria negli spazi di Hilbert 15014.1 Spazi vettoriali con prodotto interno . . . . . . . . . . . . . . . . 15014.2 Spazi di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

    15 Funzionali lineari continui su uno spazio di Hilbert 161

    16 Analisi di Fourier in spazi di Hilbert 165

    17 Esercizi sulla Parte 3 173

    IV Applicazioni dei metodi di ortogonalit 176

    18 Applicazioni allanalisi armonica 17618.1 Il sistema trigonometrico. Serie di Fourier in una o due variabili 17618.2 Base di Haar e wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

    19 Applicazioni dei metodi di ortogonalit a problemi dierenziali18519.1 Separazione di variabili per problemi ai limiti per EDP mediante

    il sistema trigonometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18519.1.1 Diusione del calore in una sbarra . . . . . . . . . . . . . 18519.1.2 Corda vibrante ssata agli estremi . . . . . . . . . . . . . 19119.1.3 Equazione di Laplace sul cerchio . . . . . . . . . . . . . . 195

    19.2 Problemi di Sturm-Liouville e polinomi ortogonali . . . . . . . . 20219.3 Applicazioni dei polinomi ortogonali in problemi ai limiti per

    equazioni a derivate parziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21419.3.1 Laplaciano in coordinate sferiche e polinomi di Legendre . 21419.3.2 Oscillatore armonico quantistico e polinomi di Hermite . . 218

    19.4 Il problema agli autovalori per il laplaciano e le sue applicazioni . 22219.4.1 Separazione di variabili per le equazioni del calore o delle

    onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22219.4.2 Lequazione di Helmholz sul rettangolo . . . . . . . . . . . 22619.4.3 Lequazione di Helmholz sul cerchio . . . . . . . . . . . . 231

    20 Esercizi sulla Parte 4 23720.1 Soluzione di alcuni esercizi sulla Parte 4 . . . . . . . . . . . . . . 239

    V Formulazione debole dei problemi ai limiti per equazioniellittiche 243

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    21 Derivate deboli e spazi di Sobolev 24321.1 Il concetto di derivata debole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

    21.2 Derivata debole, caso unidimensionale . . . . . . . . . . . . . . . 24621.3 Derivata debole, caso multidimensionale . . . . . . . . . . . . . . 24921.4 Spazi di Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

    22 Formulazione debole di problemi ellittici 26022.1 Operatori uniformemente ellittici . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26022.2 Problemi ai limiti e denizione di soluzione debole . . . . . . . . 26222.3 Risultati di esistenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26822.4 Risultati di regolarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27522.5 Problemi ai limiti unidimensionali

    con alcune discontinuit nei coecienti . . . . . . . . . . . . . . . 27622.6 Risoluzione numerica di problemi ai limiti

    i n f orma debol e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

    22.7 Alcuni esempi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

    23 Esercizi sulla Parte 5 29923.1 Soluzioni di alcuni esercizi della Parte 5 . . . . . . . . . . . . . . 302

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    Introduzione al corso di

    Metodi Matematici per lingegneriaIn questo corso, prendendo le mosse dai soli corsi di matematica di base (Anal-isi 1 e 2, Algebra Lineare), si vogliono introdurre alcuni temi, idee e metodidellanalisi matematica moderna e mostrarne alcune applicazioni signicative adiversi settori di grande interesse per le applicazioni alla sica e allingegner-ia: sistemi di equazioni dierenziali ordinarie, analisi di Fourier, equazioni allederivate parziali.

    Nel corso di Analisi 1 lo studente incontra i concetti di base del calcolodierenziale e integrale in una variabile, il cui nascere si accompagnato stori-camente al nascere della scienza moderna (Newton) agli inizi del 18 secolo. InAnalisi 2 si incontrano le equazioni dierenziali ordinarie, strumento fondamen-tale della modellizzazione matematica dei fenomeni sici, e si gettano le basi

    del calcolo dierenziale e integrale in pi variabili, necessari per la formulazionedelle equazioni alle derivate parziali, che modellizzano la sica dei mezzi con-tinui, intensamente studiata nel 19 secolo. Di queste equazioni per non siarriva a parlare se non di sfuggita nel corso di Analisi 2.

    C ancora una lunga e interessante storia da raccontare, quindi, riguardo airapporti tra lanalisi matematica e la sica. Da una parte, ancora nel 19secolo,c un orire di tecniche e strumenti per la risoluzione esplicita di problemi perequazioni alle derivate parziali, quando questo possibile: serie, trasformateintegrali, funzioni speciali vengono utilizzate per risolvere i problemi dieren-ziali che modellizzano fenomeni di diusione del calore, vibrazione di corde emembrane, ricerca del potenziale elettrostatico o gravitazionale in presenza diunassegnata distribuzione di cariche o masse, e cos via.

    Poi, tra la ne del 19 secolo e i primi decenni del 20, sulla spinta di

    problemi sempre pi complessi posti dalle applicazioni, problemi per cui non facile ottenere soluzioni esplicite, ed anche per la tendenza, che intorno al 1900 vaattraversando tutto il mondo matematico, a sviluppare teorie e concetti semprepi generali e astratti, si viene aermando il nuovo punto di vista dellanalisi

    funzionale: la soluzione del problema che si va cercando una funzione che vienevista come un punto di uno spazio astratto, un punto la cui esistenza si cerca didimostrare con ragionamenti sempre pi sosticati. Si assiste cos allo sviluppodi teorie astratte (spazi di Hilbert, spazi di Banach...) e a una vera rivoluzionenel modo di concepire le idee fondamentali dellanalisi: con Lebesgue, intornoal 1910, una nuova teoria dellintegrazione, con gli spazi di Sobolev, intornoal 1930, una nuova idea di derivata, con la teoria delle distribuzioni, 1950, unnuovo concetto di funzione.... Queste idee e teorie astratte si rivelano potenti edecaci nel gettare luce anche sui problemi concreti che la scienza pone, in forma

    sempre pi complessa, e sono fondamentali per capire i metodi matematici oggicomunemente utilizzati nelle applicazioni siche e ingegneristiche.

    In questo corso si far una panoramica su alcune delle idee qui sopra accen-nate, seguendo un percorso che, senza entrare nelle teorie pi impegnative (cherichiederebbero pi tempo a disposizione) e senza nessuna pretesa di sistematic-

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    it, mostri un ventaglio interessante e vario di idee, metodi e problemi, arrivan-do a qualche applicazione signicativa in campi diversi: i sistemi di equazioni

    dierenziali ordinarie, lanalisi di Fourier, i problemi ai limiti per equazioni aderivate parziali da un punto di vista classico e moderno. E un corso rivolto astudenti a cui piace la matematica nel suo intreccio di astratto e concreto.

    Il percorso seguito suggerito dal tentativo di soddisfare due esigenze traloro antagoniste. Ricordiamo ancora infatti che tra il punto di arrivo dei corsidi matematica di base alle applicazioni odierne dei metodi matematici inter-corrono pi di 100 anni di storia, e la matematica generalmente non fa scontisulla consequenzialit logica. Si cercato quindi di arrivare, mediante un per-corso appositamente ritagliato in modo da evitare investimenti teorici troppoonerosi per un corso di 5 crediti, ad almeno alcune idee e tecniche relativamenterecenti, senza per snaturare completamente la consequenzialit logica, e quindipartendo da temi che sviluppano nella direzione dellanalisi funzionale modernai concetti del calcolo dierenziale classico con cui lo studente gi familiare.

    Dal punto di vista matematico, questo si tradotto nel privilegiare sis-tematicamente nel corso il tema della completezza a discapito di quello dellacompattezza, le tecniche di ortogonalit e spazi di Hilbert rispetto a quelle dispazi di Banach; per lo stesso motivo si deciso di non arontare la teoria deglioperatori. Per ridurre al minimo le sovrapposizioni col corso di Analisi Fun-zionale e Trasformate, inne, si anche scelto di non trattare (e non darne perscontata la conoscenza) le trasformate integrali (di Fourier e Laplace), privile-giando, nella risoluzione di problemi ai limiti per equazioni a derivate parziali,i domini limitati su cui si pu applicare il metodo di separazione di variabili egli sviluppi in serie, e non trattare la teoria delle distribuzioni, concentrandosisulla denizione di derivata in senso debole.

    Una panoramica sul corsoLa prima parte del corso tratta gli spazi classici di funzioni continue o deriv-abili; se ne mostra la completezza a partire dalle nozioni di base dellanalisie dallo studio delle propriet della convergenza uniforme di successioni di fun-zioni, e si mostra come queste propriet, grazie al teorema di punto sso in spazimetrici, consenta di ottenere risultati classici di esistenza e unicit per problemidierenziali ed equazioni integrali.

    Successivamente (Parte 2) si presentano le idee fondamentali della teoriadella misura e dellintegrazione di Lebesgue, motivati dalla necessit di ottenerespazi completi di funzioni integrabili. Questa teoria un vero punto di svoltanella matematica di inizio 1900, ed un passaggio imprescindibile per avvicinarsia tutte le idee importanti nelle applicazioni dellanalisi matematica da 100 anni aquesta parte. Gli spazi di funzioni a quadrato integrabile rispetto a una misura,

    in particolare, saranno lesempio e il modello principale di spazio di Hilbert, ilsuccessivo concetto chiave che si introduce nel corso.

    La teoria degli spazi di Hilbert (Parte 3) unisce lidea analitico funzionaledi completezza allidea geometrica di ortogonalit. In questo quadro astrattoviene sviluppata suciente geometria innito dimensionale da permettere disviluppare le idee fondamentali dellanalisi di Fourier in spazi di Hilbert; il tema

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    dei funzionali lineari continui e delle forme bilineari, con gli importanti teoremidi esistenza di Riesz e di Lax-Milgram, fornir invece la strumentazione per

    le applicazioni dellultima parte del corso, ai teoremi di esistenza per proble-mi ai limiti per equazioni a derivate parziali. Nella Parte 4 si vuole mostrarequalche applicazione dellanalisi di Fourier in spazi di Hilbert allanalisi di Fouri-er concreta, con i suoi problemi di approssimazione di segnali periodici monoo multidimensionali. In secondo luogo, si illustrano applicazioni a problemidierenziali classici: problemi ai limiti per le equazioni a derivate parziali del-la sica matematica, in geometrie semplici, che si risolvono per separazione divariabili sfruttando idee di ortogonalit e completezza in spazi di Hilbert.

    La quinta e ultima parte del corso vuole introdurre alla cosiddetta formu-lazione debole dei problemi ai limiti per equazioni a derivate parziali di tipostazionario. Il quadro funzionale quello degli spazi di Sobolev Hilbertiani.Conuisce qui da una parte la teoria della misura e dellintegrazione di Lebesgue,dallaltra la teoria astratta degli spazi di Hilbert, per ottenere una denizionedi soluzione di un problema ai limiti che permetta di dimostrare teoremi di es-istenza e unicit anche in geometrie molto generali, in cui la risoluzione esplicitain termini esatti appare preclusa.

    Maggio 2012

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    Parte I

    Spazi di Lagrange1 Spazi vettoriali, spazi metrici

    Cominciamo con lintrodurre o richiamare alcune strutture astratteche si utiliz-zano per studiare gli spazi di funzioni che sono coinvolti nei problemi analiticiche incontreremo.

    1.1 Spazi vettoriali

    Iniziamo a ricordare la denizione di spazio vettoriale che lo studente ha incon-trato nello studio dellalgebra lineare.

    Denizione 1.1 (Spazio vettoriale) Uno spazio vettoriale sul campo K (= Ro C) un insiemeXsu cui sono denite:

    1. unoperazione + (somma di vettori), che associa ad ogni coppia divettori(x; y) un vettorex + y; loperazione di somma soddisfa le propriet (perognix; y; z2 X):

    -commutativa: x + y= y+ x;-associativa: x + (y+ z) = (x + y) + z;-esistenza dellelemento neutro 0; tale chex + 0 = 0 + x= x;-esistenza delloppostox di ogni elemento x, tale chex + (x) = 0:2. Unoperazione di prodotto tra un vettore e uno scalare, che associa a

    una coppia(; x) con 2 K; x 2 Xun vettore x 2 X; loperazione1 soddisfale propriet (per ognix; y2 X;; 2 K):

    -distribuitva del prodotto per uno scalare rispetto al la somma di vettori: (x + y) = x + y

    -distribuitva del prodotto per uno scalare rispetto al la somma di scalari:( + ) x= x + x;

    -pseudoassociativa: (x) = () x;-lelemento neutro del prodotto tra scalari elemento neutro del prodotto per

    uno scalare: 1 x= x:

    Ricordiamo che uno spazioXha dimensione nita quando esiste un numeronito di elementi e1; e2;:::;en2 Xtali che ogni altro elemento di X combi-nazione lineare di questi. Altrimenti si dice cheXha dimensione innita. Nelcorso di algebra lineare e geometria lo studente ha incontrato soprattutto spazivettoriali di dimensione nita, come sono gli spazi Rn eCn, gli spazi di matrici,

    gli spazi di polinomi di grado minore o uguale di un n ssato. In analisi ciinteressano spazi vettoriali di funzioni, e questi sono solitamente di dimensioneinnita.

    1 Come nellalgebra usuale, il simbolo di prodotto tra vettore e scalare comunementesottointeso.

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    Denizione 1.2 (Spazio di funzioni) Sia un insieme qualsiasi e sia

    F= ff : ! Rg :(Si potrebbero considerare anche funzioni a valori inRn o Cn, ma per semplicitlimitiamoci ora a questo caso).F uno spazio vettoriale suR, con le operazioninaturali di somma di funzioni:

    (f+ g) (x) = f(x) + g (x)

    e prodotto di una funzione per uno scalare:

    (f) (x) = f(x) :

    La verica delle propriet delle operazioni richieste dalla denizione di spaziovettoriale immediata, seguendo queste dalle analoghe propriet delle operazionisu numeri reali.

    Notiamo che se ad esempio = (a; b) R,F ha dimensione innita:non esiste un numero nito di funzioni di cui tutte le altre siano combinazionilineari (ad esempio, le funzioni xn per n = 1; 2; 3;:::sono un esempio di innitefunzioni di cui nessuna combinazione lineare di un numero nito delle altre, enaturalmente esistono funzioni di tipo ancora diverso).

    Di solito si studiano spazi di funzioni con qualche propriet aggiuntiva (adesempio funzioni continue, o integrabili, o derivabili...).

    Esempio 1.3 C0 (a; b) =ff : (a; b) ! R :f continuag uno spazio vettori-ale. Il modo pi semplice di dimostrarlo non vericare daccapo le proprietdelle operazioni, ma vericare che questo sottoinsieme di

    F(a;b) un sottospazio

    vettoriale. Questo consiste nel vericare che la combinazione lineare di due ele-menti diC0 (a; b) ancora un elemento diC0 (a; b), il che segue per le proprietnote delle funzioni continue.

    Puntualizziamo quindi il

    Teorema 1.4 (Criterio di riconoscimento dei sottospazi) Dato uno spaziovettorialeXsuK e un sottoinsiemeX0 X; X0 risulta un sottospazio vettoriale(cio uno spazio vettoriale rispetto alle medesime operazioni) se

    x + y2 X0 per ognix; y2 X0; ; 2 K:

    Esempio 1.5 Applicando il criterio precedente immediato vericare che sono

    spazi vettoriali i seguenti:

    C0 [a; b] ; insieme delle funzioni continue su [a; b]

    C1 [a; b] ; insieme delle funzioni derivabili con derivata continua su [a; b]

    L [a; b] ; insieme delle funzioni limitate su [a; b]

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    e analoghi spazi di funzioni denite su tutto Roppure su un opportuno insieme

    Rn.

    Invece, non uno spazio vettoriale linsieme

    P (R) , insieme delle funzioni periodiche suR,

    in quanto la somma di due funzioni periodiche non sempre periodica, comemostra lesempio

    f(x) = sin x + sin (x) .

    Quando in analisi si parla di spazio di funzioni solitamente si intendeindicare uno spazio vettoriale, i cui elementi sono funzioni (con qualche pro-priet particolare). Nei casi (non cos frequenti) in cui ci interessa considerareun insieme di funzioni che non costituisce uno spazio vettoriale, solitamentesi utilizzano termini come insieme delle funzioni... o classe delle funzioni...,rinunciando cio a usare la parola spazio.

    Come negli spazi Rn esiste il modulo (o norma) di un vettore, cos in moltispazi vettoriali esiste una norma che consente di misurare la grandezza di unvettore e quindi la distanza tra due vettori:

    Denizione 1.6 (Spazio vettoriale normato) Sia X uno spazio vettorialesuK. Si dicenorma suXuna funzione

    kk :X! [0; +1)che ad ogni vettore associa un numero reale non negativo, con le seguenti pro-priet (per ognix; y2 X; 2 K):

    -propriet di annullamento:kxk = 0 () x= 0-omogeneit: kxk = jj kxk-disuguaglianza triangolare:kx + yk kxk + kyk.In questo caso (X; kk) si dicespazio vettoriale normato.

    Esempio 1.7 1. InRn la norma usuale

    jxj =vuut nX

    i=1

    jxij2

    che verica le propriet precedenti. Non lunica norma naturale inRn. Sononorme anche:

    jxj0 = maxi=1;2;:::;n jxij oppure

    jxj1 =n

    Xi=1

    jxij :

    Si pu dimostrare che queste tre norme sono tutte tra loro equivalenti, il chesignica che per certe costantic1; c2> 0 risulta

    c1 jxj0 jxj c2 jxj0

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    e analoghe disuguaglianze permettono di confrontarejxj conjxj1 ejxj0 conjxj1.2. InC0 [a; b] possiamo denire:

    kfkC0[a;b] = maxx2[a;b]

    jf(x)j ,

    che risulta nita per ogni f2 C0 [a; b] in base al teorema di Weierstrass. Eimmediato vericare che valgono le propriet di norma. Analoga norma si pudenire pi in generale inC0 (K) doveK un sottoinsieme chiuso e limitatodiRn.

    3. InC0 [a; b] possiamo denire anche2 :

    kfkL1[a;b]=Z ba

    jf(x)j dx.

    Anche questa risulta una norma su C0 [a; b], pur essendo sostanzialmente di-

    versa dalla normakfkC0[a;b]. Le normekkC0 ekkL1 non sono equivalenti.Vediamo quindi che su uno spazio di funzioni, diversamente che inRn, possonoesistere norme sostanzialmente diverse tra loro.

    4. Se provassimo a denire la normakfkC0 okfkL1 inC0 (a; b) (che pure uno spazio vettoriale), queste norme non risulterebbero nite per ogni f2C0 (a; b), in quantoC0 (a; b)contiene anche funzioni illimitate. Quindi su questospazio queste non sarebbero norme. Vediamo quindi che non in ogni spaziovettoriale esistono norme naturali.

    1.2 Spazi metrici

    Una diversa struttura astratta utile in analisi quello di spazio metrico, che oraintroduciamo.

    Denizione 1.8 (Spazio metrico) Si dice spazio metrico un insiemeXdota-to di una funzionedistanza

    d: X X! [0; 1]che soddisfa le seguenti propriet (per ognix; y2 X):

    -propriet di annullamento: d (x; y) = 0 () x= y-simmetria: d (x; y) = d (y; x)-disuguaglianza triangolare: d (x; y) d (x; z) + d (z; y).Notiamo subito che ogni spazio vettoriale normato uno spazio metrico:

    ponendod (x; y) = kx yk

    si ha che d soddisfa le propriet della distanza. Tuttavia la struttura di spaziometrico non presuppone di per s quella di spazio vettoriale. Ad esempio immediata la seguente:

    2 Lorigine del nome L1 dato a questa norma si chiarir in un prossimo capitolo, parlandodellintegrale di Lebesgue. Per ora solo un simbolo come un altro scelto per denotare questanorma integrale.

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    Proposizione 1.9 Se (X; d) uno spazio metrico eX0 Xun suo sottoin-sieme qualsiasi, anche(X0; d) uno spazio metrico.

    In particolare: qualunque sottoinsieme di uno spazio vettoriale normato uno spazio metrico, pur non essendo pi, in generale, uno spazio vettoriale.

    Esempio 1.10 1. SiaX un qualunque sottoinsieme diRn ed (x; y) = jx yj.Questo uno spazio metrico (e in generale, non uno spazio vettoriale).

    2. X=C0 [a; b] cond (f; g) = kf gkC0 uno spazio metrico, essendo unospazio vettoriale normato.

    3. X =

    f2 C0 [a; b] : kfkC0 1

    con d (f; g) =kf gkC0 uno spaziometrico, essendo sottoinsieme di uno spazio vettoriale normato. Non unospazio vettoriale (combinazione lineare di funzioni che soddisfanokfkC0 1 ingenerale non soddisfa la stessa limitazione).

    4. X=

    ff : R

    !R :fperiodica e limitata

    gcond (f; g) =

    kf

    g

    kC0 uno

    spazio metrico. Infatti, anche se la dierenza tra due funzioni periodiche punon essere periodica, quindiXnon uno spazio vettoriale, comunque vero chela dierenza tra due funzioni periodiche e limitate limitata, quindikf gkC0risulta nita.

    Gli spazi metrici che ci interesseranno nel seguito saranno quasi sempresottoinsiemi di uno spazio vettoriale normato.

    In tutti gli spazi metrici, quindi in particolare negli spazi vettoriali normati,si possono introdurre nozioni topologichein modo analogo a quanto si fa in Rn.Data la somiglianza di questi concetti con quelli che dovrebbero essere gi notiin Rn non ci soermeremo molto nellesemplicare.

    Denizione 1.11 (Intorni sferici) Sia (X; d) uno spazio metrico. Si dicesfera aperta o intorno sferico di centro x02 X eraggio r >0 linsiemeBr(x0) = fx 2 X: d (x; x0)< rg :

    Denizione 1.12 (Punti di un insieme) Sia(X; d)uno spazio metrico eEX. Un punto x 2 X si dice:

    interno adE se esiste un intorno sferico Br(x) E;esterno adEse esiste un intorno sferico Br(x) Ec (il simbolo Ec indice

    il complementare diE; cioEc =Xn E);di frontiera perE se non n interno n esterno. Esplicitamente: x di

    frontiera per E se ogni intorno sferico Br(x) contiene un punto y2 E e unpuntoz =2 E:

    Denizione 1.13 (Tipi di insiemi) Sia(X; d) uno spazio metrico eE X.Si dice che:

    E aperto se ogni punto diE interno adE;E chiuso se il complementare diE aperto.

    Naturalmente un insieme pu non essere n aperto n chiuso.

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    Teorema 1.14 (Operazioni su aperti e chiusi) SiafAg2I una famigliaqualsiasi (cio: anche innita) di aperti. Allora [2IA aperto;

    siafAigni=1 una famiglia nita di aperti. Alloran\i=1

    Ai aperto;

    siafCg2I una famiglia qualsiasi (cio: anche innita) di chiusi. Allora\2I

    C chiuso;

    siafCigni=1 una famiglia nita di chiusi. Alloran[i=1

    Ai chiuso.

    Dimostrazione (traccia). Le prime due propriet si dimostrano direttamentein base alla denizione di aperto e di intorno sferico:

    Siax 2 [2IA; dunquex 2 A per un certo A che aperto, dunque esisteBr(x) A

    [2I

    A; dunquex interno ad[2I

    A e questo aperto.

    Sia x2n\i=1

    Ai; dunque x2 Ai per ogni Ai che aperto, dunque esisteBri(x)Ai per ogni i = 1; 2;:::;n:Posto r = min (ri: i = 1; 2;:::;n) si ha cheBr(x)

    n\i=1

    Ai e questo aperto.

    Le ultime due seguono, in base alla denizione di chiuso come complementaredi un aperto, per dualit, cio ricordando che

    \2I

    C!c = [2I

    Cc n[i=1

    Ci

    !c=

    n\i=1

    Cci :

    Notiamo che invece in generale lunione di una famiglia innita di chiusi punon essere chiuso e lintersezione di una famiglia innita di aperti pu non essereun aperto.

    Esempio 1.15 InR; gli intervalli (a; b) sono aperti, gli intervalli [a; b] sonochiusi. Si osservi che:

    1[n=1

    0; 1 1

    n

    = [0; 1) che non chiuso, e

    1\n=1

    0; 1 +

    1

    n

    = (0; 1] che non aperto.

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    Denizione 1.16 Sia(X; d) uno spazio metrico eE X: Si dice:interno diE, e si indica conE

    , linsieme dei punti interni diE;

    frontiera diE; e si indica con@ E; linsieme dei punti di frontiera diE;chiusura di un insieme, e si indica conE ; linsiemeE[ @E.

    Si vericano facilmente le seguenti propriet (dimostrare per esercizio):

    Teorema 1.17 Per ogniE X:E

    E E;E

    aperto eE chiuso;E aperto se e solo seE= E

    ;E chiuso se e solo seE= E.

    Esempio 1.18 In R2 determinare interno, frontiera, chiusura, interno del lachiusura, dei seguenti insiemi:

    (a) E= (x; y) : 0< x2 + y2

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    per ogni successionefxng1n=1 Ctale chexn! x per qualchex 2 Xsi hachex

    2C:

    Detto altrimenti: un insieme chiuso se e solo se contiene i limiti di tutte leproprie successioni convergenti inX. (Si noti che la successionefxng per ipotesiha limite inX; il punto che questo limite appartenga in eetti al sottoinsiemeC).

    Dimostrazione.1. Proviamo prima che seC chiuso allora vale la propriet.Sia dunquefxng1n=1 C tale che xn! x2 X; e proviamo che x2 C: Perassurdo, sia x2 Cc. PoichC chiuso, Cc aperto, perci x interno a Cc;sia dunque Br(x) Cc. Per denizione di limite, esiste n0 tale che per ognin n0 xn2 Br(x) Cc; assurdo perch questo implicherebbe che innitielementi xn stanno in C

    c; mentre per ipotesi sono tutti elementi di C:2. Proviamo ora che se vale la propriet allora C chiuso. Lo mostriamo

    provando che Cc aperto. Sia dunque x

    2 Cc e proviamo che x interno a

    Cc, cio esiste Br(x) Cc. Per assurdo non sia cos. Allora per ogni n lasferaB1=n(x)non contenuta in C

    c, ossia esistexn2 B1=n(x) \ C. Dunque lasuccessione fxng contenuta in C; e daltro canto converge a x perchd (x; xn) 0gE2 = fx 2 X :f(x)< 0gE3 = fx 2 X :f(x) 6= 0gsono aperti; gli insiemi:E4 =

    fx

    2X :f(x)

    0

    gE5 = fx 2 X :f(x) 0gE6 = fx 2 X :f(x) = 0gsono chiusi.

    Dimostrazione. Proviamo che E1 aperto mostrando che ogni suo punto interno. Siax02 E1;quindif(x0)> 0:Per continuit difesiste alloraBr(x0)

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    in cui f(x) > 0 (lo studente invitato a mostrarlo in dettaglio). DunqueBr(x0)

    E1, edE1 aperto.

    In modo analogo si mostra che E2 aperto. AlloraE3 = E1 [ E2 apertoperch unione di aperti.

    Gli insiemiE4; E5; E6 sono, rispettivamente, il complementare di E1; E2; E3;dunque sono chiusi perch complementare di aperti.

    Esempio 1.24 In uno spazio vettoriale normato (X; kk) gli insiemi

    fx 2 X: kxk = 1g ; fx 2 X: kxk 1g sono chiusi;fx 2 X: kxk >1g aperto.

    Terminiamo con la seguente

    Denizione 1.25 Sia (X; d) uno spazio metrico. Un sottoinsiemeE

    X si

    dice denso in X se E = X. Equivalentemente: E denso in X se per ognix 2 Xesiste una successionefxng1n=1 Etale chexn! x:

    Quindi un sottoinsieme denso, pur possedendo meno elementi di X; consentedi approssimare bene quanto vogliamo qualsiasi elemento di X. Ad esempio, Q denso in R.

    2 Richiami sulla cardinalit di insiemi

    Richiamiamo molto brevemente alcuni fatti che ci serviranno in seguito, riguardan-ti la cardinalit (numerosit) degli insiemi inniti.

    Denizione 2.1 Due insiemiX; Y si dicono avere uguale cardinalit se esisteuna corrispondenza biunivoca traX eY:

    Si dice che cardX

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    Si possono dimostrare i seguenti risultati:

    Teorema 2.5 Gli insiemiN;Z;Q sono numerabili.

    Teorema 2.6 SefEng1n=1 una successione di insiemi tali che ogni En numerabile, anche

    1[n=1

    En numerabile.

    Questo ad esempio signica che una successione a due indici naturali fxn;mg1n;m=1individua un insieme che si pu rappresentare anche come successione a un soloindicefykg1k=1.

    Teorema 2.7 LinsiemeR non numerabile, ed ha la stessa cardinalit del-linsieme delle partiP(N), cio linsieme di tutti i sottoinsiemi diN:

    cardR =cardP(N) :Inoltre, qualunque intervallo non vuoto (e non ridotto a un punto) inR non numerabile.

    Il teorema precedente ci ore il primo esempio di confronto tra cardinalitdiverse di insiemi inniti: Rha cardinalit maggiore del suo sottoinsieme N (edanche del suo sottoinsieme Q); si noti che, invece, R ha la stessa cardinalit delsuo sottoinsieme(0; 1). Si confronti con quanto osservato dopo la denizione diinsieme innito.

    Il teorema aerma anche che cardN

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    3 Convergenza e completezza

    I teoremi di esistenza dellanalisi, per esempio per problemi relativi ad equazionidierenziali o per problemi di minimo, vengono spesso provati costruendo oppor-tune successioni di elementi che dovrebbero approssimare la soluzione desider-ata, e poi sfruttando teoremi che garantiscano la convergenza della successione(o di una sua sottosuccessione). Questi teoremi di convergenza ruotano attornoa due concetti chiave dellanalisi: completezza e compattezza. In questo corsoapprofondiremo ed utilizzeremo solo la prima di queste due nozioni, che la pisemplice e gi consente molte applicazioni interessanti.

    Tutti i teoremi di convergenza di successioni in spazi di funzioni o spazi piastratti, a loro volta, si fondano in ultima analisi su teoremi di convergenzabasici che valgono in R. E naturale quindi partire proprio da qui.

    3.1 Teoremi di convergenza inR e in Rn

    Cominciamo col richiamare la propriet di R che sta alla radice di tutti i teo-remi di esistenza che valgono in Rn e negli spazi di funzioni reali denite susottoinsiemi diRn: la propriet dellestremo superiore, detta anche propriet dicompletezza di R.

    Denizione 3.1 (Maggiorante, massimo, estremo superiore) SiaE R.Si dice che E superiormente limitato se esiste un numero K2 R tale chex K per ognix 2 E. Tale numeroK si dice maggiorante diE. Se ne esisteuno (cio seE superiormente limitato) allora ne esistono inniti (tutti i nu-meri> Ksono a loro volta maggioranti). Se un maggiorante diE appartieneadE, si dice che il massimo diE: Analogamente si deniscono i concetti diinsieme inferiormente limitato, minorante, elemento minimo.

    SeE superiormente limitato e linsieme dei maggioranti ammette elemen-to minimo, questo si chiama estremo superiore di E, e si indica con sup E.Analogamente si denisceinfEcome il massimo dei minoranti diE(se esiste).

    Osserviamo che un insieme ha massimo se e solo se ha estremo superiore equesto appartiene allinsieme stesso. Se esiste sup Ema questo non appartienead E, linsieme non ha massimo.

    La propriet dellestremo superiore aerma quanto segue:

    Proposizione 3.2 SeE R un insieme non vuoto e superiormente limitato,allora esistesup E2 R. (Analogamente, esiste lestremo inferiore di un insiemenon vuoto e inferiormente limitato).

    A seconda della forma logica in cui si presenta la teoria dei numeri reali,ossia in forma assiomatica oppure in forma costruttiva (a partire dalla teoriadei numeri razionali), la proposizione precedente assume lo status di assiomaoppure di teorema.

    Ricordiamo che la denizione assiomatica di R consiste nel dichiarare cheR un campo ordinato che soddisfa la propriet dellestremo superiore. Che

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    questi fatti siano assunti come assiomi o siano dimostrati a partire da fatti pielementari, in ogni caso ci che conta per il seguito del discorso tutto qui.

    Una conseguenza abbastanza semplice della propriet dellestremo superiore il seguente:

    Teorema 3.3 (di monotonia) Siafxng1n=1 una successione di numeri reali,monotona crescente e superiormente limitata. Allora essa ammette limite nito,e il limite lestremo superiore dellinsieme dei valorifxn: n = 1; 2; 3:::g :

    Fin qui abbiamo richiamato fatti che dovrebbero essere ben noti dallAnal-isi 1. Vediamo ora altro sviluppo del discorso che lo studente potrebbe nonconoscere.

    Teorema 3.4 (di Bolzano-Weierstrass) Siafxng1n=1 una successione limi-tata di numeri reali. Allora esiste una sua sottosuccessione

    fxnk

    g

    1k=1 conver-

    gente.

    Quelli appena enunciati sono i due fondamentali teoremi di convergenza inR. Su di essi si basano, ad esempio, i teoremi importanti sulle funzioni continuesu un intervallo.

    Ricordiamo che una sottosuccessione difxng1n=1 una successione estrattada questa, cio del tipo fxnkg1k=1 conn1 < n2 < n3 < :::In altre parole, la suc-cessione degli indici della sottosuccessione monotona, anche se la sottosucces-sione stessa pu non esserla. Esempi di sottosuccessioni sono la sottosuccessionedei termini di indice pari, o di indice dispari, o di indice 3n, e cos via.

    Dimostrazione del Teorema di Bolzano-Weierstrass. Poichfxng1n=1 limitata, sia [a; b] un intervallo chiuso e limitato contenente

    fxn

    g1n=1. Sia

    c = (a + b) =2 il punto medio dellintervallo. Almeno uno dei due sottointer-valli [a; c] ; [c; b] deve contenere termini xn per un numero innito di interi n.Chiamiamo [a1; b1] questo sottointervallo (o uno dei due, se entrambi vannobene), e scegliamo un termine xk12 [a1; b1]. Ora consideriamo il punto medioc1 = (a1+ b1) =2 di [a1; b1]. Almeno uno dei due sottointervalli [a1; c1] ; [c1; b1]deve contenere termini xn per inniti interi n > k1. Chiamiamo[a2; b2] questosottointervallo (o uno dei due, se entrambi vanno bene), e scegliamo un terminexk22 [a2; b2], conk2 > k1. Proseguendo iterativamente a questo modo, costru-iamo una successione di intervalli [an; bn], ognuno contenuto nel precedente edi lunghezza la met del precedente, e una sottosuccessionefxkng1n=1 tale chexkn2 [an; bn]. Valgono dunque le seguenti propriet:

    1.fang1n=1 una successione crescente e contenuta in [a; b] ;2.

    fbn

    g1n=1 una successione decrescente e contenuta in [a; b] ;

    3. bn an= (b a) =2n 8n:4. an< xkn < bn8n:Allora: per (1) e il teorema di monotonia, esiste tale che an! ; inoltre

    per il teorema di permanenza del segno, 2 [a; b]. Analogamente per (2) esiste2 [a; b] tale che bn! . Per (3) = perch an bn! 0. Per (4) e il

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    teorema del confronto, anche xkn! (=). Abbiamo quindi provato che lasottosuccessione

    fxkn

    g1n=1 converge.

    Il teorema precedente si estende a Rn:

    Teorema 3.5 (di Bolzano-Weierstrass in Rn) Siafxkg1k=1una successionelimitata inRn. Allora esiste una sua sottosuccessione

    xkj1j=1

    convergente.

    Dimostrazione. Il teorema si pu dedurre da quello precedente (in R) colseguente argomento, che illustriamo per semplicit nel caso n = 2.

    Siaf(xk; yk)g1k=1 una successione limitata in R2. Allorafxkg1k=1 unasuccessione limitata in R; e per il teorema precedente ammetter una sottosuc-cessione convergente a un certox; chiamiamolafxnkg1k=1. Consideriamo allorala sottosuccessione f(xnk ; ynk)g1k=1, limitata in R2 e tale chexnk! x:Per il teo-rema precedente la successione fynkg1k=1, limitata in R, ha una sottosuccessione

    convergente a un certo y, chiamiamola nynjko1k=1. Alloraynjk ! y e xnjk ! x,essendo

    nxnjk

    o1k=1

    una sottosuccessione difxnkg1k=1 che gi convergeva a x.Ne segue che

    xnjk ; ynjk

    ! (x; y), e il teorema dimostrato.

    Mostriamo subito un esempio di applicazione del teorema di Bolzano-Weierstrassalla dimostrazione di un teorema che lo studente conosce gi:

    Teorema 3.6 (di Weierstrass) SiaK Rn un insieme chiuso e limitato, esiaf :K! R continua. Allorafha massimo e minimo inK.

    Dimostrazione. Sia = sup ff(x) : x 2 Kg, intendendo ora che tale sup puessere nito oppure innito (nel caso fnon fosse limitata inK; eventualit cheescluderemo nel corso della dimostrazione). Distinguiamo due casi.

    1. < 1. Sia allorafxng1n=1 Ktale chef(xn) 1n (per denizionedi estremo superiore, questi valori f(xn) esistono certamente). La successionefxng1n=1 contenuta inKche limitato, quindi limitata. Perci per il teoremadi Bolzano-Weierstrass ammette una sottosuccessione convergente, xkn ! c.Inoltre poich K chiuso, c2 K: Poich f continua in K; f(xn)! f(c).Daltro canto f(xn) 1n implica f(c) per il teorema di permanenzadel segno, ed essendo f(c) per denizione di estremo superiore, si ha chef(c) = , perci c un punto di massimo di f e il massimo.

    2. =1: Sia allorafxng1n=1 K tale che f(xn) n. Di nuovo, lasuccessionefxng1n=1 limitata, perci ammette una sottosuccessione conver-gente, xkn! c2 K: Poich f continua in K; f(xn)! f(c). Daltro cantof(xn)n implica f(xn)! 1; assurdo perch f(c) nito. Quindi il caso 2non pu presentarsi.

    Analogamente si mostra che fammette minimo.Il teorema di Bolzano-Weierstrass in un certo senso caratteristico di Rn.

    Negli spazi vettoriali normati di dimensione innita un analogo teorema nonvale, come mostrano i prossimi esempi.

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    Esempio 3.7 SiaXlo spazio vettoriale normato delle successioni reali limitate:

    X= `1= x= fxng1n=1: kxk`1 = supn

    jxnj < 1 :InXconsideriamo la successionen denita da:

    n=

    0; 0; 0;:::; 0; 1n

    ; 0; 0;:::

    :

    Chiaramente si haknk`1 = 1 per ogni n, dunque questa una successionelimitata in `1, che per non ha alcuna sottosuccessione convergente. (La di-mostrazione di questultima aermazione sar pi facilmente svolta in seguito).Quindi in`1 il teorema di Bolzano-Weierstrass non vale.

    Esempio 3.8 SiaX=C0 [1; 1] con la norma del sup, e sia

    fn(x) = npx sex 0

    npx sex 0Si hakfnkC0[1;1]= 1per ognin, daltro canto la successione converge puntual-mente alla funzione discontinua

    f(x) =

    800 sex = 01 sex

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    3.2 Completezza in spazi metrici

    Torniamo ora nel contesto astratto degli spazi metrici, per dare la seguentedenizione fondamentale.

    Denizione 3.10 (Successione di Cauchy) Sia(X; d)uno spazio metrico efxng1n=1 X: Si dice che questa successione di Cauchy se:

    8" >09n0 : 8n; m n0 si had (xn; xm)< ":

    Detto in modo meno preciso ma pi intuitivo: una successione di Cauchysei suoi termini sono sempre pi vicini tra loro, o anche: se d (xn; xm) ! 0pern; m! 1. Per raronto, si noti che una successione convergente (a x) se isuoi termini sono sempre pi vicini a x. E facile allora capire che:

    Proposizione 3.11 Se una successione converge in(X; d) ; allora di Cauchyin(X; d).

    Dimostrazione. Fissiamo " > 0: Per ipotesi xn! x per un certo x, dunqueesistern0tale che 8n n0si had (xn; x)< "=2:Di conseguenza per 8n; m n0si ha

    d (xn; xm) d (xn; x) + d (xm; x)< ";e la successione di Cauchy.

    Il fatto che una successione sia di Cauchy quindi una condizione necessaria,in ogni spazio metrico, anch la successione sia convergente. Il fatto che unasuccessione sia di Cauchy o meno si pu vericare senza sapere preliminarmentequale sia il candidato limite x, mentre per provare chefxng convergentein base alla denizione di limite occorre gi avere unidea su quale sia il limite

    stesso. Ad ogni modo la condizione necessaria non in generale suciente, comemostra il prossimo

    Esempio 3.12 Siaxn =

    1 + 1nn

    pern = 1; 2; 3;::: E noto chexn! e pern ! 1, e chee un numero irrazionale, mentre tutti i numerixn sono razion-ali. Dunque la successionefxng1n=1 nello spazio metrico Q non convergente.Tuttavia la successione inR convergente, quindi di Cauchy; ma allora di Cauchy anche inQ, perch la distanza usata inQ edR la stessa (quellaeuclidea). Abbiamo quindi un esempio, nello spazio metrico Q, di successionedi Cauchy ma non convergente.

    Il prossimo esempio mostra invece lutilit della condizione di Cauchy perprovare che una successione non converge.

    Esempio 3.13 Dimostriamo rigorosamente laermazione fatta nellEsempio3.7: nello spazio

    `1 =

    x= fxng1n=1: kxk`1 = supn

    jxnj < 1

    :

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    la successionen denita da:

    n= 0; 0; 0; :::; 0; 1n

    ; 0; 0;:::non ammette alcuna sottosuccessione convergente. Infatti, siafkng1n=1 unasua qualsiasi sottosuccessione, e mostriamo che questa non di Cauchy. Infatti(supponendo per ssare le idee che siakn< km):

    kn km =

    0; 0; 0; 1kn

    ; 0;:::; 0; 1km

    ; 0;:::

    kkn kmk`1 = 1 per ognin;m;

    quindi la condizione di Cauchy non vale.

    Proviamo anche la seguente semplice

    Proposizione 3.14 Se una successionefxng1n=1 di Cauchy in(X; d), allora limitata.

    Dimostrazione. Applichiamo la denizione di successione di Cauchy. Fissato" = 1 esiste n0 tale che per ogni n; m n0 d (xn; xm) < 1. In particolarequindi

    d (xn; xn0)< 1 8n n0:I termini della successione che nonsoddisfano la relazione precedente sono soloun numero nito: x1; x2;:::;xn1. Detto

    M= max (1; d (x1; xn0) ; d (x2; xn0) ;:::;d (xn; xn0))

    si had (xn; xn0) M 8n;

    e la successione limitata.Diamo ora la seguente

    Denizione 3.15 (Spazio metrico completo) Uno spazio metrico(X; d) sidicecompleto se ogni successione di Cauchy inX convergente inX.

    Quindi negli spazi metrici completi la condizione di Cauchy risulta equiva-lente alla convergenza. In uno spazio completo se verichiamo che una succes-sione di Cauchy (il che, ricordiamolo ancora, non richiede la previa conoscenzadel candidato limite) ne segue che esisteun elementox

    2Xa cui la successione

    converge. Dunque la completezza dello spazio sar unipotesi importante neiteoremi di esistenza.

    LEsempio 3.12 mostra che lo spazio metrico Q non completo. Vale inveceil seguente fondamentale

    Teorema 3.16 Rn completo.

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    Dimostrazione. Siafxkg1k=1 una successione di Cauchy in Rn. Allora lasuccessione limitata (Proposizione 3.14), quindi per il Teorema di Bolzano-

    Weierstrass ha una sottosuccessionefxikg1k=1 convergente a un certo x. Mos-triamo che, in qualsiasi spazio metrico, se una successione di Cauchy ha unosottosuccessione convergente, allora la successione intera converge (allo stessolimite). Poich la sottosuccessione converge, ssato " > 0 esiste n0 tale che seij n0 allora d

    xijx

    < "=2; poich la successione di Cauchy, esiste n1 tale

    chek; ij n1 implica d

    xk; xij

    < "=2: Quindi per k; ij max(n0; n1)

    d (xk; x) d

    xk; xij

    + d

    xijx

    < ";

    in particolare per k >max (n0; n1) d (xk; x)< "; e la successione converge.Si osservi che nella dimostrazione precedente lunico passaggio che non vale

    in uno spazio metrico qualsiasi lapplicazione del teorema di Bolzano-Weierstrass,che vale in Rn.

    Tornando agli spazi metrici qualsiasi proviamo ora che:

    Teorema 3.17 Se(X; d) uno spazio metrico completo eC X un insiemechiuso. Allora(C; d) uno spazio metrico completo.

    Dimostrazione. Siafxng1n=1 una successione di Cauchy in C. Allora diCauchy anche inX. PoichX completo, la successione converge a un elementox2 X. Daltro canto C chiuso perci x2 C (Teorema 1.21). Dunque lasuccessione converge in C. Perci C completo.

    Denizione 3.18 (Spazio di Banach) Uno spazio vettoriale normato, com-pleto rispetto alla distanza della norma, si dice spazio di Banach.

    Ad esempioRn uno spazio di Banach. La cosa importante per dimostrareteoremi di esistenza per problemi di analisi trovare spazi di funzioni (quindiinnito dimensionali) che siano di Banach.

    Esempio 3.19 Consideriamo lo spazio C0 [1; 1] con la norma integrale:

    kfkL1[1;1]=Z 11

    jf(x)j dx:

    Mostriamo che non completo. Consideriamo la successione:

    fn(x) =

    np

    x sex 0 npx sex 0:

    La successione di Cauchy. Infatti pern > m si ha:

    kfn fmkL1[1;1]=Z 11

    jfn(x) fm(x)j dx= 2Z 10

    np

    x mpx dx= 2

    1

    1 + 1n 1

    1 + 1m

    ! 0 pern; m ! 1:

    24

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    Daltro canto la successione non converge ad alcun elemento del lo spazio. Questaaermazione non facile da giusticare rigorosamente a questo livello del corso.

    In sostanza, tuttavia, il ragionamento il seguente: la successione converge (conquesta norma) alla funzione limite

    fn(x) =

    1 sex >01 sex >0

    che discontinua, ossia non sta nello spazio considerato. Perci, in questospazio, la successione non converge.

    Lesempio precedente mostra che garantire la completezza di uno spazio difunzioni non scontato, e in particolare dipende in modo cruciale dalla nor-ma che si considera. Nel seguito di questo capitolo ci occuperemo di spazi difunzioni continue e derivabili e mostreremo la loro completezza, nella norma

    opportuna. Questi sono gli spazi di Lagrange, in cui ad esempio si ambienta lostudio classico dei sistemi di equazioni dierenziali ordinarie; in questo contestodimostreremo il teorema di esistenza e unicit per un problema di Cauchy. Inseguito ci occuperemo di spazi di funzioni integrabili, gli spazi di Lebesgue, emostreremo come per ottenere spazi di Banach di questo tipo sia stato neces-sario sviluppare un nuovo tipo di integrale. Questo ci porter alla teoria dellamisura e dellintegrazione nata allinizio del 1900, su cui si basa ad esempio lostudio moderno delle equazioni alle derivate parziali, dellanalisi armonica, delcalcolo delle variazioni.

    4 Successioni di funzioni, spazi di funzioni con-tinue o derivabili

    Vogliamo ora studiare gli spazi di funzioni C0 [a; b] ; Ck [a; b] ; o i loro analoghiper funzioni di pi variabili, e provare che sono spazi di Banach. Per far questo necessario uno studio preliminare di certi concetti legati alla convergenza disuccessioni di funzioni, di cui ora ci occuperemo.

    4.1 Successioni di funzioni e convergenza uniforme

    Denizione 4.1 (Convergenza puntuale) Siafn : I! R pern = 1; 2; 3;:::conI R o inRn. Si dice che la successioneffng1n=1 converge inx02 Ise lasuccessione realeffn(x0)g1n=1 convergente; si dice che la successioneffng1n=1converge puntualmente in I se converge inx0 per ognix02 I: In questo casorisulta denita una nuova funzione f : I

    !R, f(x) = limn

    !1fn(x), detta

    limite puntuale della successioneffng1n=1 inI.La nozione di convergenza puntuale semplice ma anche molto debole. Ci

    si rende conto facilmente, infatti, che il limite puntuale di una successione difunzioni talvolta non eredita le buone propriet possedute dalle fn. I prossimiesempi vogliono illustrare i tipi di fenomeni che si possono presentare.

    25

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    Esempio 4.2 Siafn(x) = xn in[0; 1).

    fn(x) ! 8 1:

    La successione converge puntualmente solo nellintervallo [0; 1], in cui risultadenita la funzione limite puntuale

    f(x) =

    0 sex 2 [0; 1)1 sex= 1:

    Osserviamo che in questo caso il limite puntuale una funzione discontinua,sebbene lefn siano tutte funzioni continue.

    Esempio 4.3 Siafn(x) = n

    pjxjsgn(x) in[1; 1].

    fn(x) ! 8

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    Esempio 4.6 Siafn: R ! R denita pern= 1; 2; 3;::: da

    fn(x) = jxj1+1

    n :

    Si ha:fn(x) ! jxj :

    Notiamo che ogni fn derivabile: f0n(x) =

    1 + 1n

    jxj 1n sgn(x), in particolareesistef0n(0) = 0e si hafn2 C1 (R), mentre il limite puntualefnon derivabileinx = 0. Si haf2 C0 (R) n C1 (R) :

    La morale di questi esempi : in generale la convergenza puntuale di unasuccessione di funzioni non permette di aermare che la funzione limite fabbiale buone propriet delle singole fn. Per poter provare dei risultati che per-mettono di trasferire propriet dellefn allaf necessario introdurre e studiare

    una nozione pi forte delle convergenza puntuale: la convergenza uniforme, cheora introduciamo.

    Denizione 4.7 (Convergenza uniforme) Siafn: I! R pern = 1; 2; 3;:::conI Ro inRn. Si dice che la successioneffng1n=1 converge uniformementeinI alla funzionef : I! R se

    supx2I

    jfn(x) f(x)j ! 0 pern ! +1

    ossia se

    8" >09n0 tale chen n0 =) jfn(x) f(x)j < "8x 2 I:

    A titolo di confronto, notiamo che invece aermare chefn! f puntualmenteinIsignica che

    8x 2 I; 8" > 09n0 tale che n n0 =) jfn(x) f(x)j < ":

    Dal punto di vista logico, la dierenza sta tutta nella posizione del quanticatore8x2 I; nel caso della convergenza puntuale, aermare che per ogni x eper ogni " esiste n0 tale che..., implicitamente signica che il numero n0 pudipendere anche dax(oltre che da"); nel caso della convergenza uniforme invecelordine dei quanticatori ci dice che n0 non dipende da x. Questo si traducenel fatto che la distanza tra il graco di fn e quello dif diventa uniformementepiccolo; precisamente, tutto il graco di fn(x) in I compreso nella striscia(f(x) "; f(x) + ")non appena n n0.

    Esempio 4.8 La successionefn(x) = jxj1+1=n converge uniformemente in[1; 1]af(x) = jxj. (Questa aermazione sar provata in un esempio successivo). Il-lustriamo il signicato geometrico di questa aermazione. Tracciamo per prima

    27

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    cosa il graco difinsieme al graco delle primefn:

    Ora tracciamo il graco di f(x) insieme a quello di f(x) + 0:1 e f(x) 0:1;ottenendo cos una striscia in cui devono essere contenuti i graci interi dellefunzionifn; almeno pern abbastanza grande:

    f1 non sta nella striscia f2 non sta nella striscia

    f3 sta nella striscia f4 sta nella striscia, e cos via

    Esempio 4.9 La successionefn(x) = np

    jxjsgn(x) converge a

    f(x) = 8

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    delle primefn:

    Ora tracciamo il graco dif(x) insieme a quello di f(x) + 0:1 e f(x)

    0:1,

    ottenendo cos una striscia in cui devono essere contenuti i graci interi dellefunzionifn; almeno pern abbastanza grande:

    f1 non sta nella striscia f3 non sta nella striscia

    f6 non sta nella striscia f10 non sta nella striscia

    e si capisce che anche aumentando lindicen non possibile che il graco interosia contenuto nella striscia. Infatti il graco di ognifn continuo, perci nonpu entrare nei due pezzi di striscia, che sono tra loro discosti.

    Si noti anche che:

    fn! funiformemente in I() kfn fkC0(I)! 0:In altre parole, la norma C0 (I) la norma della convergenza uniforme. Siosservi tuttavia che la nozione di convergenza uniforme si pu applicare anche

    29

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    a funzioni discontinue. In altre parole qui stiamo usando la norma di C0 (I)percalcolare la distanza tra due funzioni qualsiasi denite su I(e naturalmente tale

    distanza non sempre nita).Vediamo ora alcuni risultati che mostrano come per una successione di fun-

    zioni uniformemente convergente alcune buone propriet dellefnsi trasferiscanoal limitef.

    Teorema 4.10 (Convergenza uniforme e continuit) Siano fn : I! R,con I Rn, funzioni continue per n = 1; 2; 3:::; e supponiamo che fn! funiformemente inI. Alloraf continua inI.

    Dimostrazione. Proviamo che f continua in un generico punto x2 I.Scriviamo anzitutto

    jf(x) f(x)j jf(x) fn(x)j + jfn(x) fn(x)j + jfn(x) f(x)j ;con un n che ora sceglieremo. Per" > 0 ssato, per denizione di convergen-za uniforme esiste n0 tale che per ogni n n0 si hajf(x) fn(x)j < ": Inparticolare allora si ha:

    jf(x) f(x)j " + jfn0(x) fn0(x)j + ":Poich fn0 continua, ssato " > 0 esiste > 0 tale chejx xj < =)jfn0(x) fn0(x)j < ": Allora perjx xj < si ha

    jf(x) f(x)j 3";e f continua in x.

    Teorema 4.11 (Convergenza uniforme e limitatezza) Siano fn :I

    !R,

    con I Rn, funzioni limitate per n = 1; 2; 3:::; e supponiamo che fn! funiformemente inI. Alloraf limitata inI.

    Dimostrazione.Fissato " = 1, per lipotesi di convergenza uniforme esiste n0tale che per ogni n n0 jfn(x) f(x)j

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    E interessante rileggere alla luce di questi teoremi gli esempi presentati inprecedenza: negli esempi 4.2 e 4.3 una successione di funzioni continue converge

    a una funzione discontinua; nellesempio 4.4 una successione di funzioni limitateconverge a una funzione illimitata; nellesempio 4.5 una successione di funzioniRiemann integrabili converge a una funzione non integrabile. Evidentementein tutti questi esempi la convergenza non uniforme. Si invita il lettore arendersene conto ragionando sul graco delle funzioni e sul signicato geometricodi convergenza uniforme.

    Illustriamo ora un criterio che sar utile a provare la completezza degli spazidi funzioni continue.

    Teorema 4.13 (Condizione di Cauchy per la convergenza uniforme) Sianofn : I! R, conI Rn, pern = 1; 2; 3::: e supponiamo che valga la seguentecondizione di Cauchy:

    8" >09n0 tale che8n; m n0; 8x 2 I risultajfn(x) fm(x)j < ": (4.1)Allora la successione fn converge uniformemente in I ad una certa funzionef :I! R. Viceversa, sefn converge uniformemente inIad una certa funzionef :I! R; allora vale la (4.1).

    Lipotesi del teorema si chiama appunto condizione di Cauchy per la conver-genza uniforme, e si pu scrivere anche cos:

    8" >09n0 tale che8n; m n0; 8x 2 Irisultakfn fmk1< ": (4.2)Dimostrazione. Assumiamo che valga la (4.1). Allora per ognix 2 Issato,la successione realeffn(x)g1n=1 risulta di Cauchy. Quindi, per la completezzadi R, fn(x) converge a un limite, che chiameremo f(x). Risulta cos denitauna funzione che limite puntuale delle fn. Dobbiamo provare che anchelimite uniforme. Fissato" >0 applichiamo lipotesi (4.1) e nella disuguaglianzajfn(x) fm(x)j < " passiamo al limite perm ! 1; poichfm(x) ! f(x), peril teorema di permanenza del segno si ha:

    jfn(x) f(x)j " 8x 2 I:Quindi ssato" >0esisten0tale che per ognin n0risulta jfn(x) f(x)j < "per ogni x 2 I, percifn! funiformemente, che la tesi.

    Viceversa, se la successione converge uniformemente, cio converge nellanormakk1 ; allora di Cauchy in normakk1 (stessa dimostrazione vista perprovare che in uno spazio metrico una successione convergente di Cauchy),quindi vale la (4.1).

    Possiamo ora provare il primo risultato fondamentale di completezza di unospazio di funzioni:

    Teorema 4.14 Sia K Rn un insieme chiuso e limitato. Allora lo spaziovettoriale normato C0 (K) (delle funzionif : K! R continue, con la normakkC0(K)) completo, cio uno spazio di Banach.

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    Dimostrazione.Ricordiamo anzitutto che lipotesiKchiuso e limitato serve agarantire che le funzioni in C0 (K)siano limitate (per il teorema di Weierstrass)

    e quindi la loro normakkC0(K) sia nita.Siaffng1n=1 C0 (K) una successione di Cauchy in C0 (K) , e proviamo

    che converge in C0 (K). Dire che di Cauchy nello spazio vettoriale normatoC0 (K) signica dire che vale la (4.2), quindi la (4.1); perci per il Teorema4.13ffng1n=1 converge uniformemente, cio in normakkC0(K), a una certa f.Daltro canto, essendo limite uniforme di funzioni continue, per il Teorema 4.10anche f2 C0 (K). Quindi fn! f in C0 (K), eC0 (K) completo.

    4.2 Spazi di funzioni derivabili

    Vorremmo ora dimostrare che analoghi spazi di funzioni derivabili sono completi.Ragioniamo sullo spazio C1 [a; b], che si pu vedere come sottospazio vettorialedi C0 [a; b]. Sappiamo che un sottoinsieme chiuso di uno spazio metrico com-pleto completo, quindi se mettiamo in C1 [a; b] la normakkC0[a;b] possiamovedere

    C1 [a; b] ; kkC0[a;b]

    come sottoinsieme dello spazio metrico completo

    C0 [a; b] ; kkC0[a;b]

    . Se questo risulta chiuso, allora completo. Non cos

    per, come mostra il prossimo

    Esempio 4.15 Siafn(x) =jxj1+1n in [1; 1] : Si hafn2 C1 [1; 1] pern =

    1; 2; 3;:::;con

    f0n(x) =

    1 +1

    n

    jxj 1n sgn(x) perx 6= 0; f0n(0) = 0:

    Risulta: fn(x)

    ! f(x) =

    jx

    j per x

    ! 1. Si verica inoltre che questa

    convergenza uniforme, infatti:

    maxx2[1;1]

    jfn(x) f(x)j =per simmetria

    = maxx2[0;1]

    x x1+1n

    :

    Ora cerchiamo il massimo dig (x) =

    x x1+1n

    .

    g0 (x) = 1

    1 +1

    n

    x

    1n 0 per

    x 1

    1 + 1n

    n

    maxx2[0;1]

    g (x) = g 1

    1 + 1nn! = 1

    1 + 1nn 1 1

    1 + 1n

    !=

    11 + 1n

    n

    1

    n

    1 + 1n! 1

    en! 0:

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    Pertantofn! funiformemente inC0 [1; 1], ossiafn! fin normaC0 [1; 1] :Tuttavia il limitefnon appartiene aC1 [

    1; 1] (f(x) =

    jx

    jnon derivabile in

    0), quindiC1 [1; 1] non un sottoinsieme chiuso diC0 [1; 1]. Inoltre: poichfn! fin normaC0 [1; 1] ; fn di Cauchy in normaC0 [1; 1] e dunque diCauchy anche in

    C1 [1; 1] ; kkC0[1;1]

    , ma non converge inC1 [1; 1]perch

    f non sta in questo spazio. Pertanto lo spazio

    C1 [1; 1] ; kkC0[1;1]

    non

    completo.

    Si presti attenzione al signicato dellesempio precedente, che mostra duecose distinte:

    1. Lo spazio vettoriale normato

    C1 [1; 1] ; kkC0[1;1]

    non completo.

    2. Lo spazio

    C1 [1; 1] ; kkC0[1;1]

    , visto come sottoinsieme dello spazio

    metrico C0 [1; 1] ; kkC0[1;1], non chiuso.La seconda cosa in un certo senso la giusticazione intuitiva della pri-ma. Una successione di Cauchy in

    C1 [1; 1] ; kkC0[1;1]

    anche di Cauchy

    in

    C0 [1; 1] ; kkC0[1;1]

    , pertanto in questo secondo spazio converge per-

    ch questo spazio completo; il limite sta in C0 [1; 1] ma non necessaria-mente inC1 [1; 1]; in questultimo caso abbiamo una successione di Cauchy in

    C1 [1; 1] ; kkC0[1;1]

    ma non convergente in questo spazio.

    Allorigine di questo problema sta il fatto che stiamo mettendo in C1 [1; 1]la norma sbagliata: quella kkC0[1;1], che d un controllo sulla fma non su f0.Lidea che se vogliamo sperare che uno spazio vettoriale normato di funzioni siacompleto, la norma deve controllare le propriet importanti della funzione chedeterminano lappartenenza allo spazio stesso: se stiamo studiando uno spaziodi funzioni derivabili, anch sia completo sar necessario mettere una normache controlli anche la derivata; se studiamo uno spazio di funzioni integrabili,anch sia completo sar necessario mettere una norma che controlli lintegrale,e cos via.

    Facciamo anche la seguente ulteriore osservazione. Nellesempio appenaconsiderato,fn! funiformemente, ma

    f0n(x) =

    1 +1

    n

    jxj 1n sgn (x) ! sgn (x) (perx 6= 0),

    e questa convergenza non certamente uniforme, dal momento che le f0n sonocontinue mentre il loro limite discontinuo. Questo suggerisce che per conser-vare la derivabilit del limite della successione occorra richiedere la convergenza

    uniforme delle derivate. E quanto aerma il prossimo teorema:

    Teorema 4.16 (Convergenza uniforme e derivabilit) Sia fn : [a; b]!R, fn2 C1 [a; b] e supponiamo che:

    1. La successionef0n converge uniformemente in [a; b] a una certa funzioneg.

    33

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    2. La successionefn converge in almeno un punto x02 [a; b].Allora:

    La successionefn converge uniformemente in[a; b] a una certaf2 C1 [a; b],ef0 = g:

    Dimostrazione.Proviamo anzitutto che ffng converge uniformemente in[a; b]mostrando che soddisfatta la condizione di Cauchy per la convergenza uniforme(4.1). Per far questo applichiamo il teorema di Lagrange alla funzione fn fmsullintervallo[x0; x](dovex0 il punto che compare nellipotesi 2, ex qualsiasipunto in [a; b]). Esiste dunque un punto tn;m;x (cio dipendente da n;m; x) in[x0; x] tale che

    fn(x) fm(x) = fn(x0) fm(x0) + (x x0) [f0n(tn;m;x) f0m(tn;m;x)] :

    Fissato " > 0; per la convergenza uniforme delle f0n (e quindi la condizione di

    Cauchy soddisatta dalle f0n) esisten0 tale che per ogni n; m n0 si hajf0n(tn;m;x) f0m(tn;m;x)j < " per ogni x 2 [a; b] :

    Per lipotesi 2 (e quindi la condizione di Cauchy soddisfatta dalla successionenumericaffn(x0)g), inoltre, esiste n1 tale che per ogni n; m n1

    jfn(x0) fm(x0)j < ":

    Quindi per ogni n; m N= max(n0; n1)si ha

    jfn(x) fm(x)j < " + jx x0j " " (1 + jb aj) per ogni x 2 [a; b] :

    Questo dimostra la condizione di Cauchy per la convergenza uniforme delle fn,

    perci la successionefnconverge uniformemente a una certa f;con f2 C0 [a; b](perch limite uniforme di funzioni continue).

    Mostriamo ora chef derivabile con derivatag. Fissatox 2 [a; b]qualunquee h opportunamente piccolo, consideriamo

    f(x + h)f(x) = [f(x + h) fn(x + h)]+[fn(x + h) fn(x)]+[fn(x) f(x)] :

    Applichiamo il teorema di Lagrange a fnsu [x; x + h]; esistertn;x;h2 [x; x + h]tale che

    fn(x + h) fn(x) = hf0n(tn;x;h) .Per ognix; hssato, la successione ftn;x;hg1n=1 [x; x + h] limitata, quindi peril teorema di Bolzano-Weierstrass ammette una sottosuccessioneftkn;x;hg1n=1convergente a un certo t

    2[x; x + h] : Mostriamo che allora

    f0kn(tkn;x;h) ! g

    t

    :

    Infatti

    f0kn(tkn;x;h) g

    t

    =

    f0kn(tkn;x;h) g (tkn;x;h)

    +

    g (tkn;x;h) g

    t

    :

    34

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    Ora:

    f0kn (tkn;x;h) g (tkn;x;h)

    ! 0 per la convergenza uniforme di f0n a g;

    g (tkn;x;h) g t ! 0perchg continua, in quanto limite uniforme delle f0ncontinue. Passando al limite per n ! 1nellaf(x + h) f(x) = [f(x + h) fkn(x + h)] + [hf0n(tn;x;h)] + [fkn(x) f(x)]

    si ha allora

    f(x + h) f(x) = hg t per un certo t 2 [x; x + h] :Dunque

    f(x + h) f(x)h

    =g

    t ! g (x) per h ! 0;

    perch per h! 0 t! x; e come gi ricordato g continua. Perci esistef0 = g. Gi sappiamo che g continua, percif0 continua, ossia f2 C1 [a; b].

    Possiamo ora dimostrare il seguente risultato fondamentale:

    Teorema 4.17 Lo spazio C1 [a; b] ; con la norma

    kfkC1[a;b]= kfkC0[a;b]+ kf0kC0[a;b] di Banach.

    Dimostrazione. Siaffng1n=1 una successione di Cauchy in C1 [a; b] : Perdenizione di normakfkC1[a;b] ; questo signica che siaffng1n=1 cheff0ng1n=1soddisfano la condizione di Cauchy per la convergenza uniforme; pertanto es-istonof; g2 C0 [a; b] tali che fn! funiformemente e f0n! g uniformementein [a; b] : Per il teorema precedente, questo implica che f2 C1 [a; b] e f0 = g;dunque kfn fkC0[a;b]! 0e kf0n f0kC0[a;b]! 0;ossiafn! f inC1 [a; b].

    Questo risultato si pu generalizzare a funzioni di classe Ck anche in pivariabili. Deniamo quindi con precisione gli spazi vettoriali normati classici difunzioni derivabili:

    Denizione 4.18 (Spazi di Lagrange) SiaRn un aperto limitato. Ri-cordiamo anzitutto la scrittura a multiindice per le derivate parziali di qualsiasiordine di una funzione reale din variabili:

    = (1; 2;:::;n) ; dovei sono interi 0 e poniamo

    j

    j=1+ 2+ ::: + n; allora

    @f(x) = @jjf

    @1x1 @2x2 :::@

    nxn

    (x) :

    Perk = 1; 2; 3;::: deniamo:

    Ck

    =

    f : ! R :f2 C0 e@f2 C0 8 conjj k :35

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    Poniamo

    kfkCk()= kfkC0()+k

    Xj=1

    Xjj=j k@

    fkC0() :

    Osservazione 4.19 (Perch ?) Si noti che mentre lo spazio C0 (K) deni-to con K sottoinsieme chiuso e limitato diRn, perch in base al teorema diWeierstrass questo suciente a garantire la nitezza della normakfkC0(K) ;per calcolare le derivate parziali difabbiamo bisogno di essere in un insiemeaperto; partiamo perci da un insieme aperto e limitato , la cui chiusura un insieme chiuso e limitato; f si suppone denita e continua in; le derivateparziali di f esistono in e si suppone si possano prolungare con continuit

    no al bordo di; a questo modo f e le@fsono continue sul chiuso e limitato; quindikfkCk() nita.

    Vale il seguente risultato:

    Teorema 4.20 Gli spaziCk

    sopra deniti sono di Banach.

    Abbiamo dimostrato questo teorema per k = 1 e n = 1 (Teorema 4.17).La dimostrazione del teorema generale, ad ogni modo, presenta solo qualchecomplicazione notazionale in pi, ma il nocciolo delle idee gi tutto nel teore-ma base che abbiamo dimostrato, perci non aggiungeremo altri dettagli sulladimostrazione.

    Segnaliamo anzi che il risultato precedente si estende senza dicolt aglispazi di funzioni a valori vettoriali

    Ck

    ;Rm

    =

    f : ! Rm :f= (f1; f2;:::;fm) conf1; f2;:::;fm2 Ck

    ;

    munito della norma

    kfkCk(;Rm)=mXj=1

    kfjkCk().

    4.3 Spazi di funzioni innitamente derivabili

    Completiamo il discorso sugli spazi Ck con qualche osservazione sugli spazi difunzioni derivabili innite volte, che pure spesso si usano in analisi.

    Denizione 4.21 Se Rn un aperto limitato, deniamo

    C1 =1

    \k=1 Ck ;cio lo spazio delle funzioni continue e con derivate di qualsiasi ordine continuesu tutto .

    36

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    Questo uno spazio vettoriale, che non ha per una norma naturale.E chiaro infatti che qualunque norma

    kkCk

    (

    )

    ben denita per le funzioni

    di questo spazio, ma nessuna di esse suciente a catturare linformazionesullinnita derivabilit. In altre parole, ci aspettiamo (ed in eetti cos) che

    lo spazio

    C1

    ; kkCk()

    (comunque scelto un intero k ) risulti uno spazio

    vettoriale normato non completo.

    Denizione 4.22 Se Rn un aperto (anche non limitato), deniamo

    C10 () =

    f2 C1 : 9K chiuso e limitato, K : f(x) = 08x =2 K :Le funzioni di questo spazio si dicono di solito funzioni C1 a supporto

    compatto; il supporto linsieme su cui la funzione diversa da zero, e sirichiede che esista un chiuso e limitato (che in Rn sinonimo di compatto,

    termine che per non abbiamo mai usato) che fa da supporto ad f; questosupporto pu essere diverso da funzione a funzione. Poichfe le sue derivatesono diverse da zero solo su un insieme chiuso e limitato, su cui sono continue,sono automaticamente limitate anche se fosse illimitato, perci anche per lefunzioni inC10 ()tutte le norme kkCk() risultano nite. Come per lo spazioC1

    , per, lo spazio

    C10 () ; kkCk()

    uno spazio vettoriale normato

    non completo.Si noti che una funzione C10 () in particolare devessere C

    1 ; quindisulla frontiera del supporto, cio l dove comincia ad annullarsi, deve annullarsif insieme a tutte le sue derivate. Che esistano funzioni di questo tipo non ovvio. Vale la pena quindi fare un

    Esempio 4.23 Siaf : R!R cos denita:

    f(x) =

    ( e

    1

    x21 perx 2 (1; 1)0 altrove.

    La funzionee1

    x21 si annulla con velocit esponenziale perx! 1 e perx!

    1+, e lo stesso fanno le sue derivate di ogni ordine. Perci la funzione si

    raccorda in modo C1 con la costante zero nei punti1, edf risultaC1 (R),con supporto in [1; 1]. Perci f2 C10 (R) o C10 (a; b) per ogni intervallo(a; b) [1; 1].

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    4.4 Funzioni Lipschitziane

    Introduciamo uno spazio di funzioni che pure useremo talvolta, ed uno spaziointermedio traC0 e C1.

    Denizione 4.24 Sia Rn un aperto limitato. Poniamo:

    Lip

    =n

    f : ! R : jfjLip()< 1o

    , con

    jfjLip()= supx;y2;x6=y

    jf(x) f(y)jjx yj ,

    ekfkLip()= kfkC0()+ jfjLip() :

    Le funzioni in Lip (dette Lipschitziane in ) sono automaticamentecontinue; lo spazio Lip uno spazio vettoriale, normato con la normakfkLip(). Si pu dimostrare4 che:

    Teorema 4.25 Lo spazio Lip

    con la normakfkLip() di Banach.

    Rispetto alle funzioni continue, le funzioni lipschitziane in aggiunta han-no rapporto incrementale limitato. Per esempio, in una variabile queste sonofunzioni che non possono avere punti a tangente verticale: la funzionejxj Lipschtziana in [1; 1] ; mentre 3px non lo .

    Le funzioni lipschitziane non sono necessariamente derivabili, come mostragi lesempio jxj, tuttavia si pu dimostrare (Teorema di Rademacher) che sonoderivabili in quasi ogni punto. A questo stadio del corso per non ancora

    possibile spiegare il signicato preciso di questa aermazione. Ci ritorneremoin seguito.

    Si noti invece che le funzioni C1

    sono certamente lipschitziane, come

    conseguenza del teorema di Lagrange. Infatti per ognix; y2 ; x6= y; esisteun puntot 2 [x; y](dove il simbolo[x; y]in questo caso non indica un intervallosulla retta, ma il segmento di estremi x; y in) tale che

    f(x) f(y) = (x y) rf(t) ;

    da cuijf(x) f(y)j jx yj jrf(t)j Kjx yj ;

    in quantojrfj limitato in perch f2 C1

    . Come anticipato, quindi,

    Lip uno spazio di funzioni intermedio tra C0 e C1 ; di funzionipi che continue e quasi derivabili.4 Una traccia di questa dimostrazione sar fornita nellEsercizio 6.31.

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    5 Il teorema delle contrazioni in spazi metrici e

    le sue applicazioni5.1 Teorema delle contrazioni

    Torniamo ora al contesto astratto degli spazi metrici, per presentare un teore-ma, abbastanza semplice nella dimostrazione ma profondo per le conseguenze.Lo utilizzeremo in seguito per dimostrare risultati di esistenza e unicit perproblemi dierenziali.

    Teorema 5.1 (Teorema delle contrazioni, di Banach-Caccioppoli) 5 Sia(X; d) uno spazio metrico completo, e sia

    f :X! X

    una contrazione di X in se stesso, ossia una funzione tale che, per un certo2 (0; 1) sia

    d (f(x) ; f(y)) d (x; y) 8x; y2 X:Allorafammette uno e un solo punto sso, cio elemento x 2 Xtale che

    f(x) = x:

    La funzionefsi pu vedere come una trasformazione geometrica dello spazioX in s. Si dice contrazione perch avvicina i punti: la distanza tra i puntitrasformatif(x) e f(y) sempre strettamente minore della distanza di x day, poich < 1. (Tranne il caso in cui x = y; ovviamente). Il punto x sichiama punto sso, o punto unito, perch non viene spostato da f. Il teoremagarantisce lesistenza e unicit del punto sso di f. Si tratta del primo di unaserie di teoremi di punto sso dellanalisi funzionale, che in contesti di varia ecrescente astrazione garantiscono sotto varie ipotesi lesistenza (e solo talvoltaanche lunicit) di punti ssi. Questi risultati servono a provare teoremi diesistenza per problemi, generalmente non lineari, per equazioni dierenziali ointegrali.

    Dimostrazione. Proviamo lesistenza del punto sso. Sia x02 Xun puntoqualsiasi, e consideriamo la successione delle iterate di fa partire da x0; ossiala successione:

    x1 = f(x0)

    x2 = f(x1)

    :::xn+1= f(xn)

    :::

    5 Risultato ottenuto da S. Banach nel 1922 e R. Caccioppoli nel 1939.

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    Proviamo che la successione fxng1n=1 di Cauchy. Anzitutto si ha, per denizionedi xn e per lipotesi suf:

    d (xj; xj+1) = d (f(xj1) ; f(xj)) d (xj1; xj)e quindi iterativamente

    d (xj ; xj+1) jd (x0; x1) per ogni j:Allora, per ognin; m(con n > m) si ha, per la disuguaglianza triangolare

    d (xn; xm) nX

    j=m+1

    d (xj ; xj1) nX

    j=m+1

    jd (x0; x1)

    =d (x0; x1) m+1

    nm1

    Xj=0 j

    d (x0; x1)

    m+1

    1 essendo 2 (0; 1). Ne segue che d (xn; xm)! 0 per n; m! 1: Dunque lasuccessionefxng1n=1 di Cauchy, perci per la completezza di X esiste x taleche xn! x. Poich f : X! X continua (perch una contrazione) sarf(xn) ! f(x) : Allora passando al limite nellidentit

    xn+1= f(xn)

    si hax= f(x) ,

    ed provata lesistenza del punto sso.Proviamo lunicit. Se esistono x; y tali che

    x= f(x) ; y = f(y)

    allora si ha:d (x; y) = d (f(x) ; f(y)) d (x; y)

    da cui (1 ) d (x; y) 0; perci d (x; y) = 0e x = y, il che prova lunicit.Esempio 5.2 SiaX=C0 [0; 1]. Sappiamo che uno spazio metrico completoconkkC0[0;1]. Sia

    f :X! X

    f(x) (t) =1

    2 Z t

    0

    cos[x (s)] ds:

    Detto in parole, la funzione continuax (t)viene trasformata dafnella funzioneintegrale indicata. La funzione integrale continua, quindi eettivamente f :X! X: Proviamo che una contrazione. Poich

    jcos cos j j j

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    si ha

    jf(x) (t) f(y) (t)j = 12 Z t0 cos[x (s)] cos[y (s)] ds 1

    2

    Z t0

    jcos[x (s)] cos[y (s)]j ds

    12

    Z t0

    jx (s) y (s)j ds

    12

    Z t0

    kx ykC0[0;1] ds= t

    2kx ykC0[0;1] ;

    perci

    kf(x) f(y)kC0[0;1]1

    2kx ykC0[0;1] ;

    ef una contrazione diX in s. Per il teorema precedente, esiste dunque unae una sola funzionex (t) 2 C0 [0; 1] per cui risulti

    x (t) =1

    2

    Z t0

    cos[x (s)] ds per ognit 2 [0; 1] :

    Si noti che determinare esplicitamente questax non banale.

    Osservazione 5.3 Non ostante lambientazione astratta, questo teorema di es-istenza ha un aspetto costruttivo: il punto sso ottenuto come limite di unasuccessione che, almeno in teoria, si pu sempre pensare di costruire, e in questocaso ore anche un algoritmo di calcolo approssimato della soluzione eettiva.In molti casi in realt la forma esplicita delliterata dif cos complicata darendere questo procedimento inutilizzabile. Tuttavia vedremo che questidea dellasuccessione approssimante pu essere eettivamente utile.

    5.2 Applicazioni al problema di Cauchy per sistemi diequazioni dierenziali ordinarie

    Consideriamo un sistema di n equazioni dierenziali ordinarie del primordinein forma normale, ossia: 8>>>:

    y01 = f1(t; y1; y2;:::;yn)y02 = f2(t; y1; y2;:::;yn)

    :::y0n= fn(t; y1; y2;:::;yn)

    (5.1)

    dove le incognite sono lenfunzioniyi(t) ;reali di variabile reale, e sono assegnaten funzioni fi : ! R, con Rn+1.

    Osserviamo che si pu riscrivere in questa forma anche una singola equazionedierenziale ordinaria di ordine n in forma normale:

    y(n) =F

    t ; y; y0; y00;:::;y(n1)

    : (5.2)

    41

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    E suciente infatti porre:

    8>>>>>>>:y01 = y2y02 = y3:::y0n1 = yny0n= F(t; y1; y2;:::;yn)

    col che lequazione (5.2) ha assunto la forma di sistema di n equazioni del 1

    ordine.Questa procedura funziona anche con sistemi di equazioni di ordine superiore

    al primo, scritte in forma normale. Consideriamo, ad esempio, il sistema diequazioni che regge la dinamica di un punto materiale mobile nello spazio R3 inbase alla legge di Newton. Da

    F =ma;

    se (x; y; z) (t) indica la posizione del punto materiale allistante t e la forza Fdipende dal tempo, dalla posizione e dalla velocit del punto, si ha (ponendof=F =m) 8>>

    >>>>>>>>:

    y01 = y2y02 = f1(t; y1; y2; y3; y4; y5; y6)y03 = y4

    y04 = f2(t; y1; y2; y3; y4; y5; y6)y05 = y6y06 = f3(t; y1; y2; y3; y4; y5; y6) :

    Tutto ci per ricordare che i sistemi di equazioni dierenziali ordinarie delprimordine costituiscono un quadro concettuale entro cui si pu studiare unavariet di problemi dierenziali. A sua volta, un sistema (5.1) si pu scrivere informa compatta con notazioni vettoriali:

    y0 = f

    t; y

    dove oraf una funzione vettoriale di variabile reale. Come noto, un sistemadierenziale ha in generale innite soluzioni, mentre possiamo sperare che abbiaununica soluzione un problema di Cauchy associato al sistema, ossia y0 = ft; y

    y (t0) = y0(5.3)

    Anch il problema abbia senso, la funzione f devessere almeno denita e

    continua in un aperto Rn+1 contenente

    t0; y0

    . Risolvere il problema

    42

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    di Cauchy (5.3) signica determinare un intorno I di t0 in R e una funzioney

    2C1 (I; Rn) per cui risulti y 0 (t) =ft; y (t) per ogni t 2 I; e sia soddisfattala condizione iniziale. In particolare Idovr essere abbastanza piccolo da far s

    che

    t; y (t) 2 per ogni t2I, motivo per cui ci si aspetta una soluzione in

    piccolo, cio locale, del problema di Cauchy.Il risultato che vale in proposito il seguente:

    Teorema 5.4 (di esistenza e unicit in piccolo) Sia f: ! Rn con aperto diRn+1; f continua in e localmente lipschitziana in rispetto a y;

    uniformemente rispetto a t, il che signica che per ogni

    t0; y0

    2 esistono

    un intorno U di

    t0; y0

    contenuto in e una costanteKtale che

    f

    t; y

    1 f

    t; y

    2 K

    y1 y

    2 8

    t; y1

    ;

    t; y

    22 U:

    Allora per ogni

    t0; y0

    2 esiste un intorno I= [t0 ; t0+ ] ed esiste una

    funzioney2 C1 (I; Rn)soluzione del problema (5.3). Inoltre la soluzione unicanel senso che coincide con qualunque altra eventuale soluzione nellintervallo incui sono denite entrambe.

    Notiamo che le ipotesi sufsono abbondantemente soddisfatte se ad esempio

    f2 C1 (;Rn).

    Dimostrazione.La dimostrazione si articola in vari passi.1. Per prima cosa riformuliamo il problema di Cauchy sotto forma di

    equazione integrale. Sey2 C1 (I; Rn)risolve il problema (5.3), allora integrandoambo i membri in(t0; t)possiamo scrivere

    6

    :

    y (t) = y0

    +

    Z tt0

    f

    s; y (s)

    ds per ogni t 2 [t ; t + ] : (5.4)

    Viceversa, se una funzione y2 C0 (I; Rn) risolve (5.4), la funzione integrandaf

    s; y (s)

    risulta continua per composizione di funzioni continue, dunque lafunzione integrale risulta derivabile, dunque anche il primo membro y (t)risulta

    derivabile e derivando ambo i membri rispetto a t troviamo y0 (t) = f

    t; y (t)

    per ogni t2 [t ; t + ], ossia la y risolve lequazione. Di pi, essendo y0uguale alla funzione continua f

    t; y (t)

    , in realt y2 C1 (I; Rn). Inne, ancora

    6 Stiamo usando lintegrale di una funzione vettoriale di variabile reale, denita ovviamenteda: Z

    b

    a

    (F1(s) ; F2(s) ;:::;Fn(s)) ds

    =

    Z b

    a

    F1(s)ds;

    Z b

    a

    F2(s) ds;:::;

    Z b

    a

    Fn(s)ds

    :

    43

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    dalla (5.4) per t = t0 leggiamo che y(t0) = y0, e anche la condizione iniziale soddisfatta. Possiamo quindi concludere:

    y2 C0 (I; Rn) risolve (5.4) , y2 C1 (I; Rn) risolve (5.3).

    Nel seguito proveremo quindi esistenza e unicit della soluzione dellequazioneintegrale.

    2. Ambientiamo ora lequazione integrale che vogliamo risolvere in un quadro

    funzionale pi preciso. Fissate le condizioni iniziali

    t0; y0

    2; scegliamo un

    intorno di

    t0; y0

    contenuto in ; del tipo:

    =n

    t; y

    : jt t0j a;y y

    0

    b

    oe poniamo

    M= max

    ft; y ;L= costante di Lipschitz di f in:

    Deniamo ora

    X=

    y2 C0 [t0 ; t0+ ] :

    y y0

    C0[t0;t0+]

    b

    con a da scegliersi in seguito. Si osservi che X un sottoinsieme chiuso(precisamente: una sfera chiusa) dello spazioC0 [t0 ; t0+ ], quindi X unospazio metrico completo, per il Teorema 3.17.

    3. Mostriamo che possibile scegliere sucientemente piccolo in modo che

    la funzione F denita inXda:

    F

    y

    =y0

    +

    Z t0

    f

    s; y (s)

    ds

    risulti una contrazione di X in s. Si osservi che risolvere lequazione integralesignica trovarey per cui sia y=F

    y

    ; cio trovare un punto sso di F:(a) Siay2 X; allora

    Fy (t) y0

    Z tt0

    f

    s; y (s)

    ds

    Mjt t0j ;quindi Fy y0C0[t0;t0+] M;perci

    F

    y 2 X seM b:

    Sotto questipotesi ben denita F :X! X.

    44

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    (b) Siano y1; y22 X; allora

    Fy1 (t) Fy

    2 (t) Z t

    t0

    fs; y1

    (s) fs; y2

    (s) dsZ tt0

    fs; y1

    (s)

    f

    s; y2(s) ds

    per lipotesi di Lipschitzianit

    Z tt0

    Ly

    1(s) y

    2(s) ds Ly1 y2C0[t0;t0+] jt t0j

    quindi

    F

    y1

    F

    y2C0[t0;t0+]

    L

    y1 y

    2C0[t0;t0+];

    perci F una contrazione di Xin s purch

    L

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    Si tratta quindi di un insieme di ingredienti astratti e concreti, alcuni moltoclassici (19 sec.) altri pi moderni (inizio 20 sec.).

    Osservazione 5.6 (Linee integrali di un campo vettoriale) Una classicainterpretazione del teorema di esistenza e unicit per il problema di Cauchy, chepu valer la pena di puntualizzare, riguarda le linee integrali di un campo vettori-ale. Supponiamo, per ssare le idee, di avere un campo di forzeF(x; y; z)deni-to e continuo in un certo aperto A R3. Una linea integrale del campo vettorialepassante per il punto P02 A un arco di curva regolarer : [t0 ; t0+ ] ! R3tale che

    r (t0) = P0

    e per ogni t 2 [t0 ; t0+ ] risulta tangente al campo vettoriale, ossia tale che

    r0 (t) = F(r (t)) :

    Il teorema di esistenza e unicit aerma che per ogni(t0; P0) esiste una e unasola curva con queste caratteristiche, denita almeno in piccolo. La condizionedi regolarit della curva, cio jr0 (t)j 6= 0 vericata se il campo stessoF(x; y; z)non si annulla nella regione considerata.

    Il teorema di esistenza e unicit locale appena dimostrato solo il puntodi avvio della teoria generale dei sistemi di equazioni dierenziali ordinarie. Siapre ora la questione di provare risultati di esistenza e unicit in grande, risul-tati di prolungabilit, di dipendenza continua delle soluzioni dagli ingredientidel problema... Non ci occuperemo tuttavia di questi aspetti, in quanto il nos-tro obiettivo non sviluppare lo studio delle equazioni dierenziali ordinarie mapiuttosto mostrare il ruolo che giocano in questa teoria gli strumenti di anal-isi funzionale illustrati nora. Piuttosto, ci interessa mostrare come gli stessimetodi matematici possano essere utili a risolvere problemi diversi. E quelloche ora esemplicheremo.

    5.3 Equazioni integrali di Fredholm

    5.3.1 Equazione integrale di Fredholm di seconda specie inC0 [a; b]

    Abbiamo visto che per applicare il teorema delle contrazioni alla dimostrazionedel teorema di esistenza e unicit per un problema di Cauchy stato utile ri-formulare il problema sotto forma di equazione integrale. Le equazioni integralicompaiono in vari contesti della matematica e delle sue applicazioni, ed il teo-rema delle contrazioni consente di risolvere altri problemi in questo contesto.Vogliamo qui dare qualche cenno a questo argomento, per illustrare meglio la

    portata dei metodi matematici n qui sviluppati. Segnaliamo anche che fu pro-prio lo studio approfondito delle equazioni integrali compiuto nei primi anni del1900 da parte di Fredholm, Hilbert e altri matematici, a fornire uno dei maggioriimpulsi iniziali allo sviluppo della nascente analisi funzionale.

    46

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    Denizione 5.7 Si dice equazione di Fredholm (di seconda specie) unequazioneintegrale del tipo

    f(x) Z ba

    k (x; y) f(y) dy= g (x) (5.5)

    dove lincognita la funzione f; mentre il nucleo k e il termine noto g sonoassegnati.

    Segnaliamo per completezza che si dice equazione di Fredholm (di primaspecie) unequazione integrale del tipo

    Z ba

    k (x; y) f(y) dy= g (x) :

    Pur essendo pi facile da scrivere