Metodi nacrtne geometrije - nasport.pmf.ni.ac.rs

Univerzitet u Nixu,Prirodno-matematiqki fakultet

dr Mi�a Stankovi�

Metodi nacrtne geometrije

Nix, 2019.

SADRЖAJ

1 Uvod 7

2 Perspektivno kolinearno preslikavaƬe 11

3 Ortogonalno projektovaƬe na dve i vixe ravni 13

3.1 Kvadranti i oktanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2 Projekcije taqke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3 Projekcije prave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3.1 Projekcije prave koja zauzimaproizvoƩan poloжaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3.2 Projekcije prave koja zauzimaspecijalan poloжaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3.3 Me�usobni odnos taqke i prave . . . . . . . . . . 21

3.3.4 Me�usobni odnos dve prave . . . . . . . . . . . . . 22

3.3.5 Prodori prave kroz projekcijske ravni . . . . . 23

3.4 Ravan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.4.1 Tragovi ravni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.4.2 Ravni u specijalnom poloжaju . . . . . . . . . . . 27

3.4.3 Tragovi ravni zadate sa dve prave koje se seku 29

3.4.4 Tragovi ravni zadate sa tri nekolinearne taqke 30

3.4.5 Tragovi ravni zadate sa dve paralelne prave . 30

3.4.6 Tragovi ravni koja je odre�ena pravom i taqkom 30

3.5 Prava u ravni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.5.1 Prava u ravni koja je zadata tragovima . . . . . 30

3.5.2 Prava u ravni koja je zadata sa tri taqke . . . . 31

3.5.3 Prava pripada projektnoj ravni . . . . . . . . . . 32

3.5.4 Prava pripada simetralnoj ravni . . . . . . . . . 32

3.5.5 Sutraжnice (paralele) . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.5.6 Nagibnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3

4 SADRЖAJ

3.6 Taqka u ravni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.6.1 Taqka u ravni zadatoj tragovima . . . . . . . . . 39

3.6.2 Taqka u ravni zadatoj dvema pravama . . . . . . . 39

3.6.3 Taqka u simetralnoj ravni . . . . . . . . . . . . . 40

3.7 Me�usobni odnos prave i ravni . . . . . . . . . . . . . . 41

3.7.1 Prava paralelna ravni . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.7.2 Prava normalna na ravan . . . . . . . . . . . . . . 42

3.7.3 Ortogonalni nagibni triedri ravni . . . . . . . 43

3.7.4 Ravan normalna na datu pravu kroz datu taqku 43

3.7.5 Simetralna ravan duжi . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.7.6 Prava u proizvoƩnom poloжaju u odnosu na ravan 45

3.8 Me�usobni odnos dve ravni . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.8.1 Paralelne ravni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.8.2 Ortogonalne ravni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.9 Presek dve ravni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.10 Prodor prave kroz ravan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.10.1 ProizvoƩan poloжaj prave i ravni . . . . . . . . 51

3.10.2 Prava ortogonalna na projekcijsku ravan . . . . 51

3.10.3 Projekcije prave ne seku x-osu na crteжu . . . . 52

3.10.4 Prava paralelna tre�oj projekcijskoj ravni . . 53

3.10.5 Ravan zadata sa tri taqke . . . . . . . . . . . . . . 53

3.10.6 Presek dve ravni koje su date bez tragova . . . . 54

3.10.7 Projekcije taqke na ravan . . . . . . . . . . . . . . 56

3.10.8 Prodor prave kroz simetralnu ravan . . . . . . . 56

3.10.9 Presek ravni i simetralne ravni . . . . . . . . . 57

3.11 Zadaci za veжbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.12 Transformacija - uvo�eƬe novih projekcijskih ravni 70

3.12.1 Transformacija taqke . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.12.2 Transformacija prave i duжi. Prava veliqinaduжi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.12.3 Transformacija ravni i ravnih figura . . . . . 72

3.12.4 Transformacija prostornih geometrijskihfigura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.12.5 Normala iz date taqke na datu pravu . . . . . . . 76

3.12.6 Najkra�e rastojaƬe i zajedniqka normala dvejumimoilaznih pravih . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.13 Rotacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.13.1 Osa rotacije ortogonalna na prvu ili druguprojekcijsku ravan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

SADRЖAJ 5

3.13.2 Osa rotacije paralelna sa prvom ili drugomprojekcijskom ravni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.13.3 Osa rotacije u proizvoƩnom poloжaju . . . . . . 803.13.4 Rotacija prave i duжi . . . . . . . . . . . . . . . . 813.13.5 Prava veliqina duжi . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.13.6 Rotacija ravni i ravnih figura . . . . . . . . . . 843.13.7 Rotacija prostornih figura . . . . . . . . . . . . 86

3.14 ObaraƬe ravni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.14.1 ObaraƬe ravni zadate tragovima . . . . . . . . . 883.14.2 ObaraƬe ravni zadate tragovima sa osnim tragom

van crteжa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.14.3 ObaraƬe ravni koja je zadata sa tri taqke oko

horizontale ili frontale . . . . . . . . . . . . . . 913.14.4 Projekcije ravne figure . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.15 Projekcije nekih prostornih geometrijskih figura . . 983.15.1 Projekcije prizme i piramide . . . . . . . . . . . 993.15.2 Projekcije kupe i vaƩka . . . . . . . . . . . . . . . 1063.15.3 Projekcije sfere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Deo 1

Uvod

Nacrtna geometrija (Descriptive geometry) je nastala krajem XVIIIveka. ƫen tvorac je francuski inжeƬer i matematiqar GasparMonж (Gaspard Monge). On je жiveo od 1746. do 1818. godine.Nacrtna geometrija se bavi prouqavaƬem geometrijskih postupakaza rexavaƬe, konstruisaƬe i oblikovaƬe geometrijskog trodimen-zionog prostora i Ƭegovo predstavƩaƬe u dvodimenzionalnim ravn-ima odgovaraju�im projekcijama.

Izrada crteжa u nacrtnoj geometriji moжe se izvoditi tradi-cionalno - korix�eƬem klasiqnog pribora za crtaƬe i na savre-men naqin korix�eƬem kompjutera, koji je opremƩen odgovaraju�imgrafiqkim softverom. Da bi se prostorni objekti mogli prikazatiu dvodimenzionalnoj ravni (na listu hartije, ekranu raqunara, ...)koristi se projektovaƬe.

ProjektovaƬe je osnovni postupak nacrtne geometrije u kome setrodimenzionalni objekti projektuju pravolinijskim zracima naravan crteжa koju nazivamo projekcijska ravan ili likoravan.

Da bi mogao da se izvede postupak projektovaƬa potrebno je dapostoji (Slika 1.1):

1. objekat (predmet) koji se projektuje,

2. centar projektovaƬa - oqna taqka iz koje se objekat projek-tuje,

3. ravan na koju se izvodi projektovaƬe objekta (likoravan).

Ravan se po pravilu uzima za povrx na koju se formira likobjekta. Ova ravan zove se projekcijska ravan ili likoravan. Oz-naqava se najqex�e sa Π ili L. ProjektovaƬe moжe biti centralno

ili paralelno.

7

8 1. Uvod

Slika 1.1.

Ako je sredixte projektovaƬa konaqna taqka onda se radi ocentralnom projektovaƬu.

Kroz sredixte projektovaƬa prolaze svi zraci projektovaƬa.Oni igraju ulogu svetlosnih zraka. Nazivaju se jox projekcijski

zraci ili vidni zraci. Centralna projekcija taqke jeste taqka u ko-

Slika 1.2.

joj projekcijski zrak prodire projekcijsku ravan (Slika 1.2). Cen-tralna projekcija geometrijske figure (predmeta, objekta) pred-stavƩa skup centralnih projekcija svih taqaka geometrijske fi-gure. U praksi se projekcija geometrijske figure odre�uje nala-жeƬem projekcija karakteristiqnih taqaka posmatrane figure (Sli-ka 1.3).

9

Slika 1.3.

ProjektovaƬe je paralelno kada su projekcijski zraci paralelnime�u sobom. U tom sluqaju, moжe se smatrati da je centar projek-tovaƬa beskonaqno daleka taqka. U odnosu na to pod kojim uglomprojekcijski zraci padaju na projekcijsku ravan razlikujemo dvevrste paralelnog projektovaƬa:

1. koso - kada projekcijski zraci padaju pod oxtrim uglom uodnosu na projekcijsku ravan i

2. ortogonalno - kada projekcijski zraci padaju pod pravimuglom u odnosu na projekcijsku ravan.

10 1. Uvod

Deo 2

Perspektivno kolinearnopreslikavaƬe

11

12 2. Perspektivno kolinearno preslikavaƬe

Deo 3

Ortogonalno projektovaƬena dve i vixe ravni

3.1 Kvadranti i oktanti

Horizontalna ravan deli prostor na dva dela: gorƬi i doƬipoluprostor. Tu ravan se naziva horizontalnica i najqex�e seoznaqava sa H ili π1. Ako horizontalnici dodamo jox jednu ra-van upravnu na Ƭu, ceo prostor bi�e podeƩen na qetiri dela kojise nazivaju kvadranti. Ukoliko je ta pridodata ravan okrenutafrontalno prema posmatraqu onda se ona naziva frontalnica ilidruga projekcijska ravan a najqex�e se oznaqava sa F ili π2. Nu-merisaƬe i obeleжavaƬe kvadranata je stvar dogovora, a mi �emoih numerisati kao na Slici 3.1. Prvi kvadrant (I) je iznad H iispred F , drugi (II) iznad H i iza F , tre�i (III) ispod H i iza Fi qetvrti (IV) ispod H i ispred F .

PostavƩaƬem tre�e ravni koja je upravna na prethodne dve,qitav prostor je podeƩen na osam delova koji se nazivaju oktanti.Ta tre�a ravan naziva se profilnica ili tre�a projekcijska ravana najqex�e se oznaqava sa P ili π3. NumerisaƬe i oznaqavaƬeoktanata je tako�e stvar dogovora, a mi �emo ih oznaqavati kaona Slici 3.2.

Prvi oktant (I) je iznad H ispred F i desno od P , drugi oktant(II) je iznad H iza F i desno od P , tre�i oktant (III) je ispod H izaF i desno od P , qetvrti oktant (IV) je ispod H ispred F i desno odP , peti oktant (V) je iznad H ispred F i levo od P , xesti oktant(VI) je iznad H iza F i levo od P , sedmi oktant (VII) je ispod H

13

14 3. Ortogonalno projektovaƬe na dve i vixe ravni

Slika 3.1.

iza F i levo od P i osmi oktant (VIII) je ispod H ispred F i levood P . U preseku H i F nalazi se x-osa, u preseku H i P y-osa au preseku F i P z-osa. Sa O oznaqavamo koordinatni poqetak kojipredstavƩa zajedniqku taqku ravni H, F i P a samim tim i osa x,y i z. Osa x je pozitivna desno od ravni P a negativna levo odƬe, y-osa je pozitivna ispred ravni F a negativna iza a z-osa jepozitivna iznad H a negativna ispod. Prva projekcija taqke A sedobija Ƭenim ortogonalnim projektovaƬem na H i oznaqava se saA′, druga na F i oznaqava se sa A′′ a tre�a na P i oznaqava se sa A′′′.S obzirom na to da su ravni H, F i P me�usobno normalne vrxise obaraƬe dve od Ƭih u tre�u rotacijom oko odgovaraju�e zajed-niqke ose. Stvar je dogovora u koju �e se ravan oboriti preostaledve. Mi �emo se dogovoriti da zbog frontalnog poloжaja ravniF koju je lako posmatrati, ravni H i P oborimo u F . Ubudu�e,ukoliko se drugaqije ne naglasi podrazumevamo da se ravni H iP obaraju u F . Da bismo H oborili u F obr�emo je oko x-ose usmeru suprotnom od smera kretaƬa kazaƩki na satu posmatrano sadesne (pozitivne) strane x-ose, do poklapaƬa sa F . U tom sluqaju,predƬi deo horizontalnice H se spuxta dole a zadƬi podiжe gore,pri qmu se pozitivni deo y-ose spuxta na dole a negativni diжena gore (Slika 3.3.a).

Da bismo P oborili u F obr�emo je oko z-ose u smeru obrtaƬakazaƩke na satu posmatrano sa pozitivnog del z-ose. U tom sluqaju

3.2. Projekcije taqke 15

Slika 3.2.

predƬi deo ravni P obr�e se ulevo, a zadƬi u desno, pri qemuse pozitivni deo y-ose obr�e ulevo do poklapaƬa sa negativnimdelom x-ose a negativni u desno do poklapaƬa sa pozitivnim delomx-ose. Da bi oznaqavaƬe koordinatnih osa uprostili dogovornooznaqavamo samo pozitivne smerove x, y i z-ose, a pozitivan deoy ose ulevo oznaqavamo sa yo (y oboreno). Suprotne smerove odobeleжenih pozitivnih delova osa smatra�emo negativnim (Slika3.3.b).

3.2 Projekcije taqke

Ortogonalnu projekciju taqke A na neku ravan π dobijamo upreseku prave koja prolazi kroz datu taqku A a ortogonalna jena datu ravan π. Prava ortogonalna na projekcijsku ravan na-ziva se projekcijska prava ili projekcijski zrak, a Ƭen prodorkroz projekcijsku ravan predstavƩa ortogonalnu projekciju odgo-varaju�e taqke. Prva A′, druga A′′ i tre�a projekcija A′′′ taqkeA jesu prodori normala iz taqke A redom na projekcijske ravniH, F i P . Poloжaj prve projekcije A′ odre�en je x i y koordi-


Slika 3.3.

natama, druge projekcije A′′ - x i z koordinatama, a tre�e pro-jekcije A′′′ - yo i z koordinatama. Poloжaj taqke A u prostoru, u

Slika 3.4.

kome je zadat ortogonalni trijedar, odre�en je sa: AA′ = OAz = z,AA′′ = OAy = y i AA′′′ = OAx = x (Slika 3.4.a i 3.4.b). ObaraƬemprojekcijskif ravni H i P u projekcijsku ravan F , zajedno sa pro-jekcijama A′ i A′′′ , dobijamo rasklopƩeni koordinatni trijedarOxyzyo zajedno sa projekcijama A′, A′′ i A′′′ (Slika 3.4.b). Dakle,ako je zadata taqka A(x, y, z) onda je A′(x, y), A′′(x, z) i A′′′(y, z), anajednostavnije je za nanoxeƬe koordinata koristiti redosled x,y, z. U zavisnosti u kom se oktantu nalazi taqka u prostoru dobi-jaju se razliqiti poloжaji Ƭenih projekcija. U slede�oj tabeli

3.2. Projekcije taqke 17

dat je predznak svake koordinate ponaosob neke taqke A u zavis-nosti od toga u kom se oktantu ona nalazi.

Oktant x y z

I + + +II + − +III + − −IV + + −V − + +VI − − +VII − − −VIII − − +

To znaqi da na osnovu predznaka koordinata moжemo odrediti ukom se oktantu taqka nalazi.

Primer 3.2.1. Nacrtati sve tri projekcije taqaka A, B, C, D, E,

F , G i H i odrediti u kom se oktantu nalaze.

Podaci: A(−2; 1; 1), B(3;−2;−3), C(0;−1; 2), D(−6;−3; 0), E(1; 2; 3),F (2; 0;−1), G(3;−1;−2), H(−2;−2;−2).

Projekcije taqaka A, B, C, D, E, F , G i H prikazane su naSlici 3.5.

- Taqka A nalazi se levo od ravni P ispred ravni F i iznadravni H, tj. u V oktantu,

- Taqka B nalazi se desno od ravni P iza ravni F i ispod ravniH, tj. u III oktantu,

- Taqka C nalazi se u ravni P iza ravni F i iznad ravni H,tj. izme�u II i VI oktanta,

- Taqka D nalazi se levo od ravni P iza ravni F i u ravni H,tj. izme�u VI i VII oktanta,

- Taqka E nalazi se desno od ravni P ispred ravni F i iznadravni H, tj. u I oktantu,

- Taqka F nalazi se desno od ravni P u ravni F i ispod ravniH, tj. izme�u III i IV oktanta,

- Taqka G nalazi se desno od ravni P iza ravni F i ispod ravniH, tj. u III oktantu,

- Taqka H nalazi se levo od ravni P iza ravni F i ispod ravniH, tj. u VII oktantu.


Slika 3.5.

3.3 Projekcije prave

3.3.1 Projekcije prave koja zauzima proizvoƩan poloжaj

Poloжaj prave u prostoru je u potpunosti odre�en sa dve Ƭenetaqke. Neka je data prava a koja zauzima proizvoƩan poloжaj premaprojekcijskim ravnima H, F i P , tj. nije ortogonalna niti para-lelna ni sa jednom od projekcijskih ravni. Ortogonalnu projek-ciju prave na neku projekcijsku ravan dobijamo kada kroz pravupostavimo ravan normalno na projekcijsku ravan. Ravan koja sa-drжi posmatranu pravu a normalna je na projekcijsku ravan naziva

3.3. Projekcije prave 19

se projektna ravan. U preseku projekcijske i projektne ravni do-bija se projekcija prave. Na Slici 3.6.a date su projekcije a′, a′′ ia′′′ prave a u sklopu, a na Slici 3.6.b u rasklopu.

Slika 3.6.

3.3.2 Projekcije prave koja zauzima specijalan poloжaj

Sada �emo se pozazabaviti projekcijama pravih koje zauzimajuspecijalne poloжaje prema projekcijskim ravnima ili osama x, yi z koordinatnog trijedra. U zavisnosti od toga kakav specijalanpoloжaj zauzima prava a u prostoru imamo razliqite poloжajeprojekcija a′, a′′ i a′′′ prave a u odnosu na H, F i P i x, y i z-osu.

1. Neka najpre prava pripada nekoj od projekcijskih ravni.

- Na Slici 3.7.(a) date su projekcije prava a koja pripada ho-rizontalnici H. Prva projekcija a′ prave a je proizvoƩna, drugaprojekcija a′′ je na x-osi a tre�a a′′′ na yo-osi.

- Na Slici 3.7.(b) date su projekcije prava b koja pripadafrontalnici F . Druga projekcija b′′ prave b je proizvoƩna, prvaprojekcija je na x-osi a tre�a na z-osi.

- Na Slici 3.7.(v) date su projekcije prava c koja pripada pro-filnici P . Tre�a projekcija c′′′ prave c je proizvoƩna, prva pro-jekcija c′ je na y-osi a druga c′′ na z-osi.

2. Neka je sada prava ortogonalna na neku od projekcijskihravni.


Slika 3.7.

- Na Slici 3.8.(a) date su projekcije prava k koja je ortogo-nalna na horizontalnicu H. Prva projekcija k′ prave k je taqka,druga projekcija k′′ i tre�a projekcija k′′′ paralelne su z-osi.

Slika 3.8.

- Na Slici 3.8.(b) date su projekcije prava l koja je ortogo-nalna na frontalnicu F . Druga projekcija l′′ prave l je taqka,prva projekcija paralelna je y-osi a tre�a paralelna yo-osi.

- Na Slici 3.8.(v) date su projekcije prava m koja je ortogo-nalna profilnici P . Tre�a projekcija m′′′ prave m je taqka, doksu prva projekcija m′ i druga m′′ paralelne x-osi.

3. Jako vaжnu ulogu u nacrtnoj geometriji igraju prave koje suparalelne projekcijskim ravnima

- Pravu h paralelnu horizontalnici H nazivamo horizontalom

ili prvom paralelom. Prva projekcija h′ prave h moжe da imaproizvoƩan poloжaj, druga projekcija h′′ paralelna je x-osi a tre-�a projekcija h′′′ paralelna je yo-osi. Projekcije horizontale h


Slika 3.9.

prikazane su na Slici 3.9 (a).- Pravu f paralelnu frontalnici F nazivamo frontalom ili

drugom paralelom. Druga projekcija f ′′ prave f moжe da ima proizvo-Ʃan poloжaj, prva projekcija f ′ paralelna je x-osi a tre�a pro-jekcija f ′′′ paralelna je z-osi. Projekcije frontale f prikazane suna Slici 3.9 (b).

- Pravu p paralelnu profilnici P nazivamo profilom ili tre-

�om paralelom. Tre�a projekcija p′′′ prave p moжe da ima proizvo-Ʃan poloжaj, prva projekcija p′ paralelna je y-osi a druga projek-cija p′′ paralelna je z-osi. Projekcije profile p prikazane su naSlici 3.9 (v).

3.3.3 Me�usobni odnos taqke i prave

Slika 3.10.


Taqka moжe da pripada pravoj ili ne. Taqka A pripadapravoj a, ako i samo ako prva projekcija A′ taqke A pripada prvojprojekciji a′ prave a a druga projekcija A′′ taqke A pripada drugojprojekciji prave a′′ prave a. U ostalim sluqajevima taqka ne pri-pada pravoj. Na Slici 3.10 taqka A pripada pravoj a, dok taqkeB, C, D i E ne pripadaju pravoj a.

3.3.4 Me�usobni odnos dve prave

Dve prave u prostoru mogu biti paralelne, mogu da se seku ilida budu mimoilazne. Za paralelne prave moжemo smatrati da seseku u beskonaqnosti. Razmotrimo svaki od pomenutih sluqajevaponaosob:

a) Prave koje se seku. Onda projekcije preseqne taqke pripa-daju odgovaraju�im projekcijama obe prave. Na Slici 3.11 pravea i b se seku u taqki A, prave c i d u taqki C a prave e i f utaqki E. U sluqaju pravih e i f za odre�ivaƬe preseqne taqkebila je neophodna i tre�a projekcija.

Slika 3.11.

b) Paralelne prave. Ako su dve prave paralelne, onda su para-lelne i Ƭihove normalne projekcije. Na Slici 3.12 je a ‖ b, c ‖ di e ‖ f .

b) Mimoilazne prave. Mimoilazne prave nemaju zajedniqkihtaqaka. Me�utim, moжe se desiti da neke od Ƭihovih projekcijaimaju zajedniqkih taqaka. To u stvari znaqi da se neke projekcijedveju taqaka sa raznih pravih poklapaju. Na primer, na Slici3.13. (a) prve projekcije A′ i B′ taqaka A ∈ a i B ∈ b se poklapaju,


Slika 3.12.

dok to nije sluqaj sa drugim projekcijama, tj. A′′ 6= B′′, A′′ ∈ a′′

i B′′ ∈ b′′. Znaqi prave a i b nemaju zajedniqkih taqaka. Na istinaqin, prave c, d a tako�e i e if sa Slike 3.13 nemaju zajedniqkihtaqaka a nisu paralelne, tj. mimoilazne su.

Slika 3.13.

3.3.5 Prodori prave kroz projekcijske ravni

Ako prava zauzima proizvoƩan poloжaj prema projekcijskimravnima, onda ona prodire projekcijske ravni, prolazi kroz ra-zliqite oktante i samim tim nije uvek u celosti vidƩiva, tj vi-dƩivost za pojedine oktante joj je razliqita. Oznaqimo sa P1, P2 iP3 prodore prave proizvoƩne prave a redom kroz projekcijske ra-vni H, F i P . Projekcije prave a i Ƭeni prodori kroz projekcijskeravni prikazani su u sklopu na Slici 3.14 i rasklopu na Slici


3.15. Prodor prave kroz horizontalnicu H naziva se prvi prodor

Slika 3.14.

ili prvi trag, kroz frontalnicu F drugi prodor ili drugi trag, akroz profilnicu P tre�i prodor ili tre�i trag. Prvi prodor P1

prave a nalazi se u ravni H, xto znaqi da se on poklapa sa svojomprvom projekcijom, tj. P1 ≡ P ′

1, Ƭegova druga projekcija P ′′

1je na

x-osi a tre�a P ′′′

1na yo-osi. Drugi prodor P2 prave a nalazi se u

ravni F , xto znaqi da se on poklapa sa svojom drugom projekcijom,tj. P2 ≡ P ′

2, Ƭegova prva projekcija P ′

2je na x-osi a tre�a P ′′′

2na

z-osi. Tre�i prodor P3 prave a nalazi se u ravni P , xto znaqi dase on poklapa sa svojom tre�om projekcijom, tj. P3 ≡ P ′′′

3, Ƭegova

prva projekcija P ′

3je na y-osi a druga P ′′

3na z-osi.

Napomenimo, da ako su date prva projekcija a′ i druga a′′ pravea, najpre odre�ujemo sve tri projekcije prvog i drugog prodora, za-tim tre�u projekciju a′′′ prave a spajaƬem tre�ih projekcija prvogi drugog prodora. Tre�a projekcija P ′′′

3tre�eg prodora nalazi se

u preseku tre�e projekcije prave a i normale na z osu u taqki P ′′

3.

Nakon odre�ivaƬa prodora prave kroz sve tri projekcijske ra-vni moжe se odrediti i vidƩivost odgovaraju�ih projekcija. U


Slika 3.15.

prvoj projekciji vidƩivost se odre�uje pogledom sa pozitivnogdela z-ose nadole. VidƩiv je onaj deo prve projekcije koji je iznadhorizontalnice H, tj. bliжi posmatraqu. Taqka u kojoj se meƬavidƩivost prve projekcije a′ je u stvari prvi prodor P ′

1prave a

(Slika 3.15).VidƩivost druge projekcije prave odre�uje se pogledom spreda.

Deo druge projekcije koji je ispred frontalnice F je vidƩiv, dokje deo koji se nalazi iza nevidƩiv. Taqka u kojoj se meƬa vidƩi-vost u drugoj projekciji je drugi prodor P ′′

2.

VidƩivost prave u tre�oj projekciji odre�uje se pogledom sdesna u levo. Taqka u kojoj se meƬa vidƩivost u tre�oj projekcijije tre�i prodor P ′′′

3prave a. Od te taqke prava a je u tre�oj

projekciji vidƩiva desno od profilnice P .

Za odre�ivaƬe kroz koje oktante prolazi prava a dovoƩne suƬena prva i druga projekcija a′ i a′′, pri qemu posmatraƬem uodnosu na koordinatne ose odre�ujemo redosled prodora prave akroz projekcijske ravni H, F i P . U naxem sluqaju prava a najpreprodire F u taqki P ′′

2(Slika 3.15). Pre prodora druga projekcija

prave a je nevidƩiva, tj. nalazi se iza F . Kako je jox taj deo druge


projekcije desno od P i iznad H, prava najpre prolazi kroz IIoktant. Iz II oktanta kroz F moжe pre�i samo u I oktant. Slede�ije prodor P ′

1kroz H. Iz prvog oktanta kroz H prava a moжe pre�i

samo u IV oktant. PosledƬi prodor prave a u ovom sluqaju je krozF , pa je posledƬi oktant kroz koji ona prolazi V III oktant. Znaqiprava a prolazi kroz II, I, IV i V III oktant.

3.4 Ravan

3.4.1 Tragovi ravni

Ravan je u potpunosti odre�ena sa tri svoje nekolinearne taqke.U opxtem sluqaju proizvoƩna ravan α seqe sve tri projekcijskeravni po pravama koje nazivamo tragovima ravni. U preseku ravniα sa horizontalnicom H dobija se prvi trag a1 ravni α, u presekuravni α sa frontalnicom F dobija se drugi trag a2 ravni α dok seu preseku ravni α sa profilnicom P dobija tre�i trag a3 ravni α.Prodorne taqke osa koordinatnog triedra x, y i z i ravni α nazi-vaju se osni tragovi ravni. U prodoru x-ose i ravni α dobija seosni trag αx, u prodoru y-ose i ravni α dobija se osni trag αy dokse u prodoru z-ose i ravni α dobija osni trag αz.

Slika 3.16.

Jasno je da se prvi i drugi trag ravni α seku u osnom tragu αx

koji pripada x-osi, da se prvi i tre�i trag ravni α seku u osnomtragu αy koji pripada y-osi, a da se drugi i tre�i trag ravniα seku u osnom tragu αz koji pripada z-osi. Poloжaj ravni α u

3.4. Ravan 27

prostoru je u potpunosti odre�ena osnim tragovima ravni αx, αy

i αz. To ozna�avamo sa α(αx;αy;αz).Ako se tragovi ravni pribliжavaju sa iste strane osnog traga

kaжemo da se radi o ravni sa konvergentnim tragovima, a akose tragovi ravni pribliжavaju sa suprotnih strana osnog tragakaжemo da se radi o ravni sa divergentnim tragovima. Na Slici3.16 prikazana je ravan u sklopu i rasklopu sa konvergentnim tra-govima αx, αy i αz. Kod ravni sa konvergentnim tragovima u prvoji drugoj projekciji vidi se ista strana ravni.

Slika 3.17.

Na Slici 3.17 prikazana je ravan u sklopu i rasklopu sa diver-gentnim tragovima αx, αy i αz. Kod ravni sa divergentnim trago-vima u prvoj projekciji se vidi jedna strana a u drugoj projekcijidruga strana posmatrane ravni.

3.4.2 Ravni u specijalnom poloжaju

U zavisnosti od toga kakav specijalan poloжaj zauzimaju, raz-likujemo dve vrste ravni: projektne i simetralne.


Projektne ravni

Ravan u specijalnom poloжaju koja je upravna bar na jednu odprojekcijskih ravni nazivamo projektnom ili zraqnom ravni. Zaprojektne ravni razlikujemo dva slu�aja:

- Projektna ravan je paralelna jednoj od projekcijskih ra-vni. Tada je ona upravna na preostale dve projekcijske ravni(Slika 3.18). Osni tragovi ravni α koja je paralelna ravni Hdati su sa α(αx;∞;∞). Osni tragovi ravni α koja je paralelnaravni F dati su sa α(∞;αy;∞). Osni tragovi ravni α koja je pa-ralelna ravni P dati su sa α(∞;∞;αz).

Slika 3.18.

- Projektna ravan je upravna na jednu od projekcijskih ra-vni. U tom sluqaju trag u toj projekcijskoj ravni ima proizvoƩanpoloжaj a preostala dva su upravna na odgovaraju�e koordinatneose (Slika 3.19). Osni tragovi ravni α koja je upravna na hori-zontalnicu H dati su sa α(αx;αy;∞). Osni tragovi ravni α kojaje upravna na frontalnicu F dati su sa α(αx;∞;αz). Osni tragoviravni α koja je upravna na profilnicu P dati su sa α(∞;αy;αz).

Slika 3.19.

3.4. Ravan 29

Simetralne ravni

Ravni koje sadrжe x osu a pritom polove prvi i tre�i odnosnodrugi i qetvrti kvadrant nazivaju se prva odnosno druga sime-

tralna ravan. Kod ovih ravni, prvi i drugi trag se poklapajusa x-osom.

3.4.3 Tragovi ravni zadate sa dve prave koje se seku

Neka je ravan τ zadata pravama p i q koje se seku u taqki A.Prodori P1 i Q1 pravih p i q kroz horizontalnicu H su zaje-dniqke taqke ravni τ i H pa pripadaju Ƭihovom preseku, tj. prvomtragu τ1 ravni τ . Na isti naqin i prodori P2 i Q2 pravih p i q

Slika 3.20.

kroz frontalnicu F su zajedniqke taqke ravni τ i F pa pripadajuƬihovom preseku, tj. drugom tragu τ2 ravni τ . S obzirom na toda znamo da se tragovi τ1 i τ2 seku u osnom tragu τx dovoƩno jeda odredimo projekcije tri od qetiri prodornih taqaka P1, Q1,


P2 i Q2 pravih p i q kroz projekcijske ravni H i F (Slika 3.20).Prema tome, prvi trag τ1 odre�en je prodorima P1 i Q1, drugitrag prodorima P2 i Q2 pri qmu zajedniqka taqka τx tragova τ1 iτ2 pripada x-osi. S obzirom na to da su sada poznati osni tragoviτx, τy i τz tre�i trag τ3 ravni τ u potpunosti je odre�en. Znaqi, zanalaжeƬe tre�eg traga τ3 ravni τ nije neophodno nalaziti tre�eprojekcije pravih p i q i Ƭihove prodore kroz P .

3.4.4 Tragovi ravni zadate sa tri nekolinearne taqke

Neka je ravan τ zadata tri nekolinearne taqke A(Ax;Ay;Az),B(Bx;By;Bz) i C(Cx;Cy;Cz). U ciƩu odre�ivaƬa tragova ravniτ uoqimo pravu p odre�enu taqkama A i B i pravu q odre�enutaqkama A i C. Prave p i q seku se u taqki A, pa se problemnalaжeƬa tragova ravni svodi na prethodni. (Slika 3.20).

3.4.5 Tragovi ravni zadate sa dve paralelne prave

Neka je ravan τ zadata sa dve paralelne prave a i b. Uoqimotaqke A i B na pravoj a i taqku C na pravoj b. Ravan τ je odre�enanekolinearnim taqkama A, B i C pa se problem nalaжeƬa tragovaravni τ svodi na prethodne sluqajeve.

Napomenimo da se tragovi ravni τ mogu na�i i direktno, nala-жeƬem prodora paralelnih pravih a i b.

3.4.6 Tragovi ravni koja je odre�ena pravom i taqkom

Ako je ravan τ odre�ena taqkom A i pravom p, onda biraƬemdveju taqaka B i C sa prave p problem nalaжeƬa tragova svodimona neki od prethodnih.

3.5 Prava u ravni

3.5.1 Prava u ravni koja je zadata tragovima

Neka je data ravan α(αx;αy;αz) i neka je za pravu a ravni αdata Ƭena prva projekcija a′. U preseku prve projekcije prave a′

i prvog traga ravni α1 dobija se prva projekcija A′

1prvog traga

prave a. Druga projekcija A′′

1prvog traga nalazi se u preseku

normale kroz A′

1i x-ose. Tre�a projekcija prvog traga A′′′

1nalazi

se na yo-osi. Prva projekcija A′

2drugog traga prave a nalazi se

3.5. Prava u ravni 31

Slika 3.21.

u preseku prve projekcije prave a i x-ose. Druga projekcija A′′

2

drugog traga nalazi se u preseku normale na x-osu kroz taqku A′

2

i drugog traga α2 ravni α. Tre�a projekcija drugog traga pravea nalazi se na z-osi. Prva projekcija tre�eg traga A′

3nalazi se

na y-osi, druga A′′

3na z-osi a tre�a A′′′

3na tre�em tragu ravni α

(Slika 3.21).

3.5.2 Prava u ravni koja je zadata sa tri taqke

Neka je ravan α zadata taqkama A, B i C i neka je data prvaprojekcija a′ prave a. Drugu projekciju prave a odre�ujemo izuslova da ona pripada ravni α (Slika 3.22).

Oznaqimo sa p i q redom prave odre�ene taqkama A,B i A,C, sa1 preseqnu taqku pravih a i p a sa 2 preseqnu taqku pravih a i q.Tada, prva projekcija 1′ taqke 1 pripada prvim projekcijama a′ ip′ a druga projekcija 1′′ taqke 1 pripada drugim projekcijama a′′ ip′′ pravih a i p. Isto vaжi i za taqku 2. Dakle, druga projekcijaa′′ prave a odre�ena je projekcijama 1′′ i 2′′.

Sluqajevi kada je ravan α zadata sa dve paralelne prave, sa


Slika 3.22.

dve prave koje se seku ili sa pravom i taqkom van Ƭe svode se nasluqaj kada je ravan zadata sa tri taqke.

3.5.3 Prava pripada projektnoj ravni

Ako prava pripada projektnoj ravni onda je bar jedna Ƭena pro-jekcija na odgovaraju�em tragu te ravni. Neka na primer pravaa(a′, a′′) pripada prvoj projektnoj ravni α(α1;α2). Kako je prva pro-jektna ravan ortogonalna na horizontalnicu H, to se prva projek-cija te ravni poklapa sa svojim prvim tragom, xto znaqi da prvaprojekcija prave a pripada prvom tragu ravni α (Slika 3.23).

3.5.4 Prava pripada simetralnoj ravni

U sluqaju kada prava a pripada prvoj simetralnoj ravni ρ,onda su sve Ƭene taqke podjednako udaƩene od horizontalnice H ifrontalnice F pa su prva i druga projekcija prave a simetriqneu odnosu na x-osu. Ukoliko prava b pripada drugoj simetralnojravni σ onda se prva i druga projekcija b′ i b′′ prave b poklapaju.


Slika 3.23.

Na Slici 3.24 prikazane su projekcije prave a u prvoj simetralnojravni i prave b u drugoj simetralnoj ravni.

Slika 3.24.

3.5.5 Sutraжnice (paralele)

Postoje tri vrste sutraжnica (paralela) ravni:

- Prva paralela ravni α.

Ona se naziva se jox prva sutraжnica ili horizontala. Toje prava h koja se dobija kada se ravan α preseqe nekom ravnikoja je paralelna horizontalnici H. Prema tome, horizontalaje specijalna prava ravni α paralelna horizontalnici H. ƫenaprva projekcija h′ paralelna je prvom tragu α1, druga projekcijah′′ paralelna je x-osi a tre�a h′′′ paralelna yo-osi.


Slika 3.25.

Horizontala h nema zajedniqkih taqaka sa ravni H i u opxtemsluqaju prodire ravni F i P redom u taqkama 2 i 3. Ako je ravanα zadata svojim tragovima α1, α2 i α3, onda je svejedno u kojojprojekciji najpre crtamo horizontalu h jer je h′ ‖ α1, h′′ ‖ x ih′′′ ‖ yo, a onda lako odre�ujemo preostale dve. Neka je na primerdata ravan α i prva projekcija h′ horizontale h. Drugu i tre�uprojekciju horizontale h odre�ujemo na osnovu Ƭenih prodora 2 i3 redom kroz ravni F i P (Slika 3.25).

Slika 3.26.

U sluqaju kada je ravan α zadata na neki drugi naqin, onda sobzirom na to da nemamo prvi trag, polazimo od Ƭene druge h′′ ilitre�e projekcije h′′′ korix�eƬem qiƬenica da je h′′ ‖ x, tj. h′′′ ‖ yo.Tako, na primer ako je ravan α zadata sa dve prave a i b koje se


seku u taqki A i ako znamo drugu projekciju h′′ horizontale, prviprojekciju dobijamo spajaƬem prvih projekcija 1′ i 2′ zajedniqkihtaqaka prave h redom sa pravama a i b (Slika 3.26).

- Druga paralela ravni α.

Ona se naziva se jox druga sutraжnica ili frontala. To jeprava f koja se dobija kada se ravan α preseqe nekom ravni kojaje paralelna frontalnici F . Prema tome, frontala je specijalnaprava ravni α paralelna frontalnici F . ƫena druga projekcijaf ′′ paralelna je drugom tragu α2, prva projekcija f ′ paralelna jex-osi a tre�a f ′′′ paralelna z-osi.

Slika 3.27.

Frontala f nema zajedniqkih taqaka sa ravni F i u opxtemsluqaju prodire ravni H i P redom u taqkama 1 i 3. Ako je ravanα zadata svojim tragovima α1, α2 i α3, onda je svejedno u kojojprojekciji najpre crtamo frontalu f jer je f ′ ‖ x f ′′ ‖ α2 i f ′′′ ‖ z,a onda lako odre�ujemo preostale dve. Neka je na primer dataravan α i druga projekcija f ′′ frontale f . Prvu i tre�u projekcijufrontale f odre�ujemo na osnovu Ƭenih prodora 1 i 3 redom krozravni H i P (Slika 3.28).

U sluqaju kada je ravan α zadata na neki drugi naqin, onda sobzirom na to da nemamo drugi trag, polazimo od Ƭene prve projek-cije f ′ ili tre�e projekcije f ′′′ korix�eƬem qiƬenica da je f ′ ‖ x,tj. f ′′′ ‖ z. Tako, na primer ako je ravan α zadata sa dve paralelneprave a i b i ako znamo prvu projekciju f ′ frontale, drugu pro-


jekciju dobijamo spajaƬem drugih projekcija 1′′ i 2′′ zajedniqkihtaqaka prave f redom sa pravama a i b.

Slika 3.28.

- Tre�a paralela ravni α.Naziva se jox tre�a sutraжnica ili profila. To je prava p

koja se dobija kada se ravan α preseqe nekom ravni koja je para-lelna frontalnici P . Prema tome, profila je specijalna pravaravni α paralelna profilnici P . ƫena tre�a projekcija p′′′ para-lelna je tre�em tragu, prva projekcija paralelna je y-osi a drugaz-osi. Zbog qiƬenice da se tre�a paralela mnogo re�e upotreb-Ʃava, ne�emo joj posve�ivati posebnu paжƬu u ovom odeƩku.

3.5.6 Nagibnice

Prva nagibnica

Prva nagibnica g1 je prava koja se dobija kada se proizvoƩna ra-van α preseqe sa ravni koja je ortogonalna na prvi trag α1 ravni α.Prema tome, prva projekcija g′

1prve nagibnice g1 je ortogonalna

na prvi trag ravni α. Druga i tre�a projekcija g′′1i g′′′

1prve nag-

ibnice dobijaju se crtaƬem odgovaraju�ih projekcija prodornihtaqaka prve nagibnice koroz projekcijske ravni (Slika 3.29).

Ukoliko ravan α nije zadata tragovima, ve� na neki druginaqin, onda najpre odre�ujemo horizontalu h ravni α i koris-timo qiƬenicu da je prva projekcija horizontale paralelna pr-vom tragu, odkle sledi da je prva projekcija g′

1prve nagibnice

normalna na prvu projekciju h′ horizontale ravni α. Na Slici3.31 (a) date su projekcije prve nagibnice ravni α koja je odre-�ena sa tri nekolinearne taqke A, B i C.


Slika 3.29.

Druga nagibnica

Druga nagibnica g2 je prava koja se dobija kada se proizvoƩnaravan α preseqe sa ravni koja je ortogonalna na drugi trag α2

ravni α. Prema tome, druga projekcija g′′2druge nagibnice g2 je

ortogonalna na drugi trag ravni α. Prva i tre�a projekcija g′2

i g′′′2

druge nagibnice dobijaju se crtaƬem odgovaraju�ih projek-cija prodornih taqaka druge nagibnice koroz projekcijske ravni(Slika 3.30). Ukoliko ravan α nije zadata tragovima, ve� na neki

Slika 3.30.


drugi naqin, onda najpre odre�ujemo frontalu f ravni α i koris-timo qiƬenicu da je druga projekcija frontale paralelna drugomtragu, odkle sledi da je druga projekcija g′′

2druge nagibnice nor-

malna na drugu projekciju f ′′ frontale ravni α. Na Slici 3.31(b) date su projekcije druge nagibnice ravni α koja je odre�ena satri nekolinearne taqke A, B i C.

Slika 3.31.

Tre�a nagibnica

Tre�a nagibnica g3 je prava koja se dobija kada se proizvoƩnaravan α preseqe sa ravni koja je ortogonalna na tre�i trag α3

ravni α. Prema tome, tre�a projekcija g′′′3

tre�e nagibnice g3 jeortogonalna na tre�i trag ravni α. Prva i druga projekcija g′

3i

g′′3tre�e nagibnice dobijaju se crtaƬem odgovaraju�ih projekcija

prodornih taqaka druge nagibnice koroz projekcijske ravni.

3.6 Taqka u ravni

Ako taqka A pripada ravni α, onda Ƭene projekcije A′, A′′ i A′′′

pripadaju projekcijama a′, a′′ i a′′′ prave a ravni α koja prolazikroz taqku A.

3.6. Taqka u ravni 39

3.6.1 Taqka u ravni zadatoj tragovima

Neka je data ravan α(α1;α2;α3) i prva projekcija A′ taqke A kojapripada ravni α. Drugu projekciju A′′ i tre�u A′′′ taqke A dobi-jamo postavƩaƬem prve projekcije a′ prave a kroz prvu projekcijuA′ taqke A i uz uslov da prava a pripada ravni α odre�ujemo prveprojekcije prodora prave a kroz projekciske ravni. Zatim odred-jujemo prodore u drugoj i tre�oj projekciji a samim tim i drugui tre�u projekciju prave a. Drugu i tre�u projekciju taqke Analazimo na drugoj i tre�oj projekciji prave a (Slika 3.32. (a)).Za pravu a se umesto prave koja zauzima neki opxti poloжaj u ra-vni α naj�ex�e uzima neka od pravih u specijalnom poloжaju, kaoxto su na primer horizontala ili frontala na Slici 3.32. (b).

Slika 3.32.

3.6.2 Taqka u ravni zadatoj dvema pravama

Neka je ravan α zadata dvema pravama. S obzirom na to da sesluqajevi kada je ravan zadata paralelnim pravama ili pravamakoje se seku analogno razmatraju, razmotri�emo samo sluqaj kadaje ravan α zadata pravama a i b koje se seku u taqki S. Ukolikoje data prva projekcija A′ taqke A crtamo najpre prvu projekcijuprave s koja sadrжi taqku A. Najqex�e je to frontala u prvojprojekciji. Drugu projekciju prave s nalazimo iz uslova da pravas ima sa pravama a i b zajedniqke taqke redom 1 i 2. SpajaƬem


drugih projekcija 1′′ i 2′′ dobijamo drugu projekciju s′′ prave s.Druga projekcija A′′ taqke A nalazi se u preseku normale na x-osukroz A′ i druge projekcije s′′ prave s (Slika 3.33).

Slika 3.33.

3.6.3 Taqka u simetralnoj ravni

Sve taqke prve simetralne ravni σ podjednako su udaƩene odprojekcijskih ravni H i P i kako pripadaju prvom i tre�em kvad-rantu, u rasklopu �e x-osa biti simetrala duжi qiji su krajeviprva i druga projekcija taqke. Na Slici 3.34 (a) date su projek-cije taqke A simetralne ravni σ koja se nalazi u prvom kvadrantui taqke B u tre�em kvadrantu.

Slika 3.34.

Sve taqke druge simetralne ravni τ podjednako su udaƩene odprojekcijskih ravni H i P i kako pripadaju drugom i qetvrtom

3.7. Me�usobni odnos prave i ravni 41

kvadrantu, u rasklopu �e se prva i druga projekcija taqke pokla-pati. Na Slici 3.34 (b) date su projekcije taqke C simetralneravni τ koja se nalazi u drugom kvadrantu i taqke D u qetvrtomkvadrantu.

3.7 Me�usobni odnos prave i ravni

Ako prava ne pripada ravni, onda je prodire ili je paralelnasa Ƭom. Prava koja prodire ravan moжe biti ortogonalna na Ƭuili da sa Ƭom gradi oxtar ugao.

3.7.1 Prava paralelna ravni

Prava a je paralelna ravni α ako u ravni α postoji pravab koja je paralelna pravoj a. Neka je data ravan α(αx;αy;αz) itaqka A(A′;A′′) van ravni α. Kroz taqku A postoji beskonaqno mnogopravih paralelnih ravni α. Na Slici 3.35 (a) prava a prolazikroz taqku A i paralelna je proizvoƩnoj pravoj b ravni α koja jezadata tragovima.

Slika 3.35.

Na Slici 3.35 (b) prava a prolazi kroz taqku A i paralelna jeproizvoƩnoj pravoj b ravni α koja je zadata sa tri nekolinearnetaqke E, F i G.


3.7.2 Prava normalna na ravan

Na jednu ravan α moжemo postaviti beskonaqno mnogo pravihnormalnih na Ƭu. Sve te normale n, n1, n2, n3, · · · na ravan α suparalelne me�usobno. Me�utim, kroz jednu taqku A postoji taqnojedna prava n1 normalna na ravan α.

Prava n je normalna na ravan α ako je normalna na sve prave ra-vni α. Prema Koxijevom stavu o normalnosti prave i ravni, da biprava bila normalna na ravan potrebno je i dovoƩno da bude nor-malna bar na dve prave ravni α. Za te dve prave moжemo izabratiprvi i drugi trag α1 i α2 ravni α (Slika 3.36 (a)). Prema tome,

Slika 3.36.

prava n je normalna na ravan α ako i samo ako je prva projekcijan′ prave n normalna na prvi trag α1 ravni α a druga projekcijan′′ prave n normalna na drugi trag α2 ravni α. Na Slici 3.36(b) prava n je normala na ravan α zadatu tragovima u proizvoƩnojtaqki P ravni α a prava n1 je normalna na ravan α i prolazi krozproizvoƩnu taqku A van ravni α.

Ukoliko ravan nije zadata pomo�u tragova, ve� na neki druginaqin, onda zbog paralelnosti horizontale h sa prvim tragom α1

i frontale f sa drugim tragom α2 ravni α, koristimo qiƬenicuda je prva projekcija n′ normale n normalna na prvu projekcijuh′ horizontale h, a druga projekcija n′′ na drugu projekciju f ′′

frontale f (Slika 3.37).

3.7. Me�usobni odnos prave i ravni 43

Slika 3.37.

3.7.3 Ortogonalni nagibni triedri ravni

Prvi ortogonalni nagibni triedar ravni

Kroz taqku A ravni α moжemo nacrtati prvi ortogonalni nag-ibni triedar ravni. ƫega qine horizontala h, prva nagibnica g1koja je ortogonalna na horizontalu i normala n koja je normalnana ravan α pa samim tim i na prave h i g1. Na Slici 3.38 (a)prkazan je prvi ortogonalni nagibni triedar kroz taqku A ravniα(α1, α2).

Drugi ortogonalni nagibni triedar ravni

Drugi ortogonalni nagibni triedar ravni α kroz taqku A qinefrontala f , druga nagibnica g2 koja je ortogonalna na frontalui normala n koja je normalna na ravan α pa samim tim i na pravef i g2. Na Slici 3.38 (b) prkazan je drugi ortogonalni nagibnitriedar kroz taqku A ravni α(α1, α2).

3.7.4 Ravan normalna na datu pravu kroz datu taqku

Ravan α normalna na datu pravu n(n′;n′′) kroz datu taqkuA(A′;A′′) van prave n u potpunosti je odre�ena svojim tragovimaα1 i α2 ili pomo�u dve prave kroz taqku A, na primer horizon-talom h i frontalom f . Najpre nalazimo projekcije horizontale


Slika 3.38.

ili frontale taqke A. Koristimo qiƬenicu da je h′ ⊥ n′ i f ′′ ⊥ n′′.Ako na primer koristim horizontalu h, najpre ucrtavamo Ƭenuprvu projekciju h′ kroz A′ normalno na n′ i drugu projekciju h′′

paralelnu x-osi, a zatim nalazimo prodor 2 horizontale h u prvoji drugoj projekciji kroz F . Prodor 2 ≡ 2′′ horizontale h kroz Fpripada drugom tragu α2 ravni α i pri tome je α2 ‖ f ′′, tj. α2 ⊥ n′′.Prvi trag α1 ravni α nalazimo iz uslova da se tragovi α1 i α2

ravni α seku na x-osi i da je α1 ⊥ n′ (Slika 3.39 (a)).

3.7.5 Simetralna ravan duжi

Ravan koja prolazi kroz sredixte duжi i ortogonalna je na Ƭunaziva se simetralna ravan duжi. Nakon odre�ivaƬa sredixta Sduжi AB problem nalaжeƬa simetralne ravni duжi AB svodi se naproblem nalaжeƬa ravni koja prolazi kroz taqku S i ortogonalnaje na pravu n odre�enu taqkama A i B (Slika 3.39 (b)). U ovomsluqaju poxli smo od frontale f sredixta S duжi AB, naxli Ƭenprvi prodor 1 kroz H i iskoristili to da je 1 ≡ 1′ ∈ α1 i α1 ⊥ n′.Drugi trag α2 prolazi kroz zajedniqku taqku αx prvog traga α1 ix-ose, pri qemu je α2 ⊥ n′′.

3.8. Me�usobni odnos dve ravni 45

Slika 3.39.

3.7.6 Prava u proizvoƩnom poloжaju u odnosu na ravan

Za pravu koja ne pripada ravni i nije niti normalna nitiparalelna sa Ƭom, kaжemo da je u proizvojnom poloжaju u odnosu na

ravan.

3.8 Me�usobni odnos dve ravni

Dve ravni u prostoru mogu biti paralelne ili da se seku ponekoj pravoj. Od ravni koje se seku po nekoj pravoj interesantanje sluqaj normalnih ravni.

3.8.1 Paralelne ravni

Dve paralelne ravni seku tre�u ravan po paralelnim pravama.To znaqi da su odgovaraju�i tragovi α1 i β1, α2 i β2, α3 i β3 me�usobom paralelni jer se dobijaju u preseku paralelnih ravni αi β redom sa projekcijskim ravnima H, F i P (Slika 3.40 (a)).Ukoliko sva tri traga prve ravni nisu paralelna odgovaraju�imtragovima druge ravni, onda te dve ravni nisu paralelne. NaSlici 3.40 (b) tragovi γ1 i γ2 ravni γ paralelni su odgovaraju�imtragovima δ1 i δ2 ravni δ a pri tome ravni γ i δ nisu paralelne.


Slika 3.40.

3.8.2 Ortogonalne ravni

Ravan α je ortogonalna na ravan β ako sadrжi bar jednu pravun koja je ortogonalna na ravan β. S obzirom na to da u prostorupostoji beskonaqno mnogo pravih normalnih na neku ravan, i dakroz svaku normalnu pravu postoji beskonaqno mnogo ravni koje jesadrжe, to znaqi da za svaku ravan postoji beskonaqno mnogo ra-vni ortogonalnih na Ƭu. U ciƩu postavƩaƬa ravni normalnih na

Slika 3.41.

datu ravan α najpre nalazimo prodore 1 i 2 normale n redom krozprojekcijske ravni H i F . Prvi tragovi svih ravni normalnihna ravan α prolaze kroz prvi prodor 1′ ≡ 1 a drugi tragovi krozdrugi prodor 2′′ ≡ 2. Pri tome koristimo qiƬenicu da se prvi

3.9. Presek dve ravni 47

i drugi trag ravni seku na x-osi. Na Slici 3.41 ravni β i γ sunormalne na ravan α.

Slika 3.42.

Me�utim, za datu pravu a koja nije ortogonalna na ravan αpostoji taqno jedna ravan β koja sadrжi pravu a i ortogonalna jena ravan α. Ravan β u potpunosti je odre�ena pravama a i n, priqemu je prava n izabrana tako da bude ortogonalna na ravan α ida prolazi kroz proizvoƩnu taqku A prave a. Promenom izborataqke A na pravoj a ne meƬa se ravan β. Na Slici 3.42 ravan βsadrжi pravu a i normalna je na ravan α. Prvi trag β1 ravni βprolazi kroz prve prodore 1′ ≡ 1 i 3′ ≡ 3 pravih n i a a drugi tragβ2 prolazi kroz druge prodore 2′′ ≡ 2 i 4′′ ≡ 4 pravih n i a.

3.9 Presek dve ravni

Dve ravni koje koje nisu paralelne i ne poklapaju se seku sepo nekoj pravoj. Za nalaжeƬe preseqne prave dveju ravni dovoƩnoje na�i Ƭihove dve zajedniqke taqke. Na Slici 3.43 (a) i (b)date su dve ravni α i β u sklopu i rasklopu. Preseqna prava pje zajedniqka prava ravni α i β pa pripada svakoj od Ƭih. Toznaqi da se prvi prodor P1 prave p istovremeno nalazi na prvimtragovima α1 i β1 ravni α i β. Na isti naqin drugi prodor P2

prave p istovremeno se nalazi na drugim tragovima α2 i β2 ravniα i β. SpajaƬem odgovaraju�ih projekcija prodora P1 i P2 dobijajuse projekcije p′ i p′′ preseqne prave p ravni α i β (Slika 3.43 (b)).


Slika 3.43.

Koriste�i osobinu preseqne prave p kao prave u ravni, kojaprodire projekcijske ravni na tragovima posmatranih ravni, lakomoжemo odrediti preseqnu pravu za ravni koje imaju i razliqitespecijalne poloжaje. Na Slici 3.44 (a) data je svojim projekci-jama p′ i p′′ preseqna prava p proizvoƩne ravni α i prve projektne

ravni β. Ravan β je ortogonalna na H pa je Ƭen drugi trag nor-malan na x-osu.

Na Slici 3.44 (b) data je svojim projekcijama p′ i p′′ preseqnaprava p dve prve projektne ravni α i β. Ravni α i β su ortogonalnena H pa su Ƭihovi drugi tragovi normalni na x-osu, tj. paralelnisu me�u sobom, a Ƭihova preseqna prava p je normalna na H. Toznaqi da je prva projekcija p′ prave p taqka i to bax prvi prodorprave p, tj. preseqna taqka prvih tragova α1 i β1. Druga projekcijap′′ preseqne prave p paralelna je drugim tragovima α2 i β2, tj.ortogonalna je na x-osu.

Na Slici 3.44 (v) data je svojim projekcijama p′ i p′′ preseqnaprava p proizvoƩne ravni α i ravni β koja je paralelna sa H. U tomsluqaju, preseqna prava p je horizontalna, Ƭena druga projekcijap′′ paralelna je x-osi a prva p′ paralelna je prvom tragu α1 ravniα. Druga projekcija ravni β poklapa se sa Ƭenim drugim tragomβ2 pa imamo p′′ ≡ β2 ≡ β′′.

Na Slici 3.44 (g) data je svojim projekcijama p′ i p′′ preseqnaprava p dve tre�e projektne ravni α i β. U tom sluqaju, ravni α

3.9. Presek dve ravni 49

i β su normalne na tre�u projekcijsku ravan P pa je i Ƭihovapreseqna prava p normalna P . Za nalaжeƬe projekcija preseqneprave p ravni α i β kao pomo�nu ravan postavimo prvu projektnuravan γ. Zatim nalazimo preseqnu pravu p1 ravni α i γ i preseqnupravu p2 ravni β i γ. Prave p1 i p2 seku se u taqki P koja pripadaravnima α i β. Dakle, preseqna prava p ravni α i β mora daprolazi kroz taqku P . Kako su ravni α i β paralelne x-osi istovaжi i za Ƭihovu preseqnu pravu p, pa su i Ƭene projekcije p′ i p′′

paralelne x-osi.

Presek proizvoƩne ravni α i druge projektne ravni β, pod uslovom

da su drugi tragovi α2 i β2 paralelni dat je na Slici 3.44 (d).Druga projekcija p′′ preseqne prave p paralelna je tragovima α2 iβ2. Prva projekcija p′ prave p prolazi kroz preseqnu taqku 1 ≡ 1′

prvih tragova α1 i β1 i paralelna je x-osi.

Interesantan je sluqaj ravni α i β kada im se prvi ili drugi

tragovi ne seku na crteжu. Na Slici 3.44 (�) prvi tragovi α1 iβ1 ravni α i β se ne seku na crteжu. U tom sluqaju postavƩamopomo�nu ravan γ paralelnu sa horizontalnicom H. Ravan γ seqeravni α i β po horizontalama h1 i h2. Druge projekcije h′′

1i h′′

2

horizontala h1 i h2 poklapaju se sa drugim tragom γ2 ravni γ iparalelne su x-osi. Prve projekcije h′

1i h′

2horizontala h1 i h2

paralelne su redom prvim tragovima α1 i β1 ravni α i β. U presekupravih h1 i h2 nalazi se taqka A koja pripada preseqnoj pravoj pravni α i β. Preseqna prava p u potpunosti je odre�ena taqkom Ai prodorom 1 qija se druga projekcija 1′′ dobija u preseku drugihtragova ravni α i β a prva projekcija 1′ pripada x-osi.

Ako ravni α i β imaju zajedniqki osni trag αx ≡ βx preseqnupravu p ovih ravni odre�ujemo postavƩaƬem pomo�ne ravni γ kojaje paralelna prvoj projekcijskoj ravni H. U preseku ravni γ redomsa ravnima α i β dobijaju se horizontale h1 i h2 ovih ravni priqemu Ƭihova preseqna taqka A pripada preseqnoj pravoj p. Drugazajedniqka taqka ravni α i β je osni trag αx = βx (Slika 3.44 (e)).Ovaj problem se moжe rexiti i postavƩaƬem pomo�ne ravni kojaje paralena drugoj projekcijskoj ravni, a tako�e postavƩaƬem prveodnosno druge projektne ravni.


Slika 3.44.

3.10. Prodor prave kroz ravan 51

3.10 Prodor prave kroz ravan

3.10.1 ProizvoƩan poloжaj prave i ravni

Svaka prava p koja nije paralelna sa ravni α i koja joj nepripada, prodire tu ravan u nekoj taqki P . Da bismo odrediliprodor prave kroz ravan, postavƩamo pomo�nu ravan β koja sadrжipravu p, nalazimo preseqnu pravu a ravni α i β i na kraju, upreseku pravih a i p dobijamo prodornu taqku P prave p kroz ravanα. Za pomo�nu ravan najqex�e se uzima prva ili druga projektnaravan. Na Slici 3.45 prikazane su u sklopu i rasklopu ravan α i

Slika 3.45.

prava p, koja je prodire u taqki P , pri qemu je data i vidƩivostprave p u odnosu na ravan α.

3.10.2 Prava ortogonalna na projekcijsku ravan

Ukoliko je prava p, qiji prodor kroz ravan α traжimo, orto-gonalna na neku od projekcijskih ravni, onda je projekcija prave pna tu projekcijsku ravan taqka. To je upravo i prva projekcija P ′

taqke prodora prave p kroz ravan α. Kroz tu taqku, s obzirom na toda ona pripada ravni α postavƩamo prvu projekciju horizontaleh ili frontale f ravni α i na normali iz P ′ na x-osu u presekusa drugom projekcijom postavƩene horizontale ili frontale dobi-jamo dobijamo drugu projekciju P ′′ prodorne taqke P prave p krozravan α. Na Slici 3.46 (a) prikazan je prodor prave p ortogonalne


na H kroz ravan α.

Slika 3.46.

3.10.3 Projekcije prave ne seku x-osu na crteжu

Izdvajamo jox i sluqaj kada se projekcije p′ i p′′ prave p, qijiprodor kroz ravan α traжimo, ne seku na crteжu x-osu. Postavimopomo�nu ravan γ koja sadrжi pravu p i ortogonalna je na jednuod projekcijskih ravni H i F . Na Slici 3.46 (b) pomo�na ravanγ ortogonalna je na H. Prvi trag γ1 ravni γ poklapa se sa pr-vom projekcijom p′ prave p i prvom projekcijom a′ preseqne prave aravni α i γ. Za nalaжeƬe druge projekcije a′′ prave a izaberimoproizvoƩnu taqku 1 koja joj pripada. To �emo uraditi tako xtobiramo proizvoƩno 1′ sa a′, zatim postavƩamo prvu projekciju ho-rizontale h kroz 1′, nalazimo drugu projekciju h′′ horizontale ina Ƭoj drugu projekciju 1′′ tako da je 1′1′′ ortogonalna na x-osu.Druga taqka koja pripada pravoj a je Ƭen prodor 3 kroz H. Prvaprojekcija 3′ nalazi se u preseku prvih tragova α1 i γ1 ravni α iγ a druga projekcija 3′′ je na normali iz 3′ u preseku sa x-osom.Taqkama 1 i 3 odre�ena je preseqna prava a ravni α i γ. U presekupravih a i p nalazi se prodorna taqka P prave p kroz ravan α.Druga projekcija P ′′ dobija se u preseku drugih projekcija a′′ i p′′

a prva projekcija P ′ u preseku normale na x-osu iz P ′′ sa prvomprojekcijom p′ prave p.


Slika 3.47.

3.10.4 Prava paralelna tre�oj projekcijskoj ravni

Prodor P prave p, koja je paralelna tre�oj projekcijskoj ravni

P , kroz ravan α zadatu tragovima dat je u dve normalne projekcijena Slici 3.47 (a). U ciƩu nalaжeƬa prodora prave p kroz ravanα postavimo pomo�nu ravan γ koja sadrжi pravu p i koja je odre-�ena horizontalama h1 i h2 koje sadrжe dve proizvoƩne taqke Ai B prave p. S obzirom na to da kroz pravu p moжemo postavitibeskonaqno mnogo ravni, za pomo�nu ravan γ biramo onu ravan qijije prvi trag γ1 paralelan prvom tragu α1 ravni α. U tom sluqaju�e i prve projekcije izabranih horizontala h1 i h2 biti paralelnetragu α1. U preseku ravni α i γ dobija se prava a. Prodornu taqkuP prave p kroz ravan α dobijamo kao preseqnu taqku pravih a i p.

3.10.5 Ravan zadata sa tri taqke

Ako je ravan α zadata sa tri svoje taqke A, B i C onda prodorprave p kroz ravan α odre�ujemo postavƩaƬem pomo�ne ravni γkroz pravu p ortogonalno na jednu od projekcijskih ravni H ili F .Na Slici 3.47 (b) problem je rexen postavƩaƬem pomo�ne ravniγ ortogonalno na F . U tom sluqaju prvi trag γ1 ortogonalan je nax-osu a drugi trag γ2 poklapa se sa drugom projekcijom p′′ prave


p. Da bi odredili preseqnu pravu a ravni α i γ dovoƩno je daodredimo prodorne taqke dveju pravih ravni α kroz ravan γ, naprimer pravih AB i AC. S obzirom na to da je γ druga projektivnaravan to se druge projekcije 1′′ i 2′′ pravih AB i AC kroz ravan γnalaze na drugom tragu γ2 ravni γ. Prve projekcije 1′ i 2′ nalazimona prvim projekcijam A′B′ i A′C ′ u preseku sa normalama iz 1′′ i2′′ na x-osu. Projekcijama 1′ i 2′ odre�ena je prva projekcija a′

preseqne prave a ravni α i γ. U preseku prvih projekcija a′ i p′

dobijamo prvu projekciju P ′ taqke prodora prave P kroz ravan α.Drugu projekciju P ′′ prodorne taqke P dobijamo u preseku drugeprojekcije p′′ i normale iz P ′ na x-osu.

3.10.6 Presek dve ravni koje su date bez tragova

Na Slici 3.48 dat je presek ravni qetvorougla ABCD i tro-ugla EFG bez nalaжeƬa tragova ravni. S obzirom na to da jeravan u potpunosti odre�ena sa tri nekolinearne taqke A, B i Cqetvrtu taqku D biramo tako da pripada ravni trougla ABC. Akoje na primer data prva projekcija D′ taqke D, odre�ujemo prvu pro-jekciju S′ preseka dijagonala AC i BD, a zatim na A′′C ′′ i druguprojekciju S′′. Projekcija D′′ nalazi se u preseku B′′S′′ i normaleiz taqke D′ na x-osu.

Da bismo odredili preseqnu pravu p ravni ABCD i EFG pot-rebno je najpre da odredimo projekcije prodornih taqaka P i Qpravih EF i EG kroz ravan qetvorougla ABCD. Taqke P i Qodre�uju preseqnu pravu ravni ABCD i EFG. Projekcije prodor-nih taqaka P i Q odre�ujemo postavƩaƬem pomo�nih ravni kojesadrжe prave EF i EG a ortogonalne su na F .

S obzirom da se radi o dve figure u prostoru, u nekim delovimajedna zaklaƬa drugu pa je potrebno odrediti vidƩivost. U prvojprojekciji vidƩiva je taqka koja je na ve�oj visini, tj. ona koja jedaƩa od x-ose. U naxme sluqaju, oznaqimo sa 5′ i 6′ preseqnu taqkuprvih projekcija P ′F ′ i B′C ′. Druge projekcije 5′′ i 6′′ pripadajudrugim projekcijama duжi B′′C ′′ i E′′F ′′. S obzirom na to da je udrugoj projekciji 6′′ iznad 5′′ to �e u prvoj projekciji biti vidƩivaduж koja sadrжi taqku 6, tj. vidƩiva je duж P ′F ′. Na isti naqinvidƩiva je i duж Q′G′. S obzirom da su P i Q taqke prodora pra-vih EF i EG kroz qetvorougao ABCD u Ƭima se meƬa vidƩivostduжi EF i EG. Na taj naqin qetvorougao A′B′C ′D′ zaklaƬa deloveduqi E′P ′ i E′Q′. Duж 2′′4′′ u drugoj projekciji nije vidƩiva jer je


Slika 3.48.


u prvoj projekciji najbliжa x osi, tj. najdaƩa od posmatraqa. NaSlici 3.48 odre�ena je vidƩivost trougla i qetvorougla u prvoji drugoj projekciji.

3.10.7 Projekcije taqke na ravan

Problem odre�ivaƬa projekcije date taqke A na datu ravan αsvodi se na odre�ivaƬe prodora prave p kroz ravan α, pri qemuprava p prolazi kroz taqku A. Prava p je projekcijski zrak iukoliko je ona ortogonalna na ravan α radi se o ortogonalnomprojektovaƬu.

3.10.8 Prodor prave kroz simetralnu ravan

Neka je data prava a svojim projekcijama a′ i a′′. ProjekcijeA′ i A′′ prodorne taqke A prave a kroz prvu simetralnu ravan supodjednako udaƩene od x-ose i sa raznih strana su od Ƭe. Prematome, problem nalaжeƬa prodorne taqke svodi se na nalaжƬe taqkesa prave a qije su projekcije simetriqne u odnosu na x-osu. NaSlici 3.49 na�ene su projekcije prodorne taqke A kroz prvu sime-tralnu ravan tako xto je konstruisana prava a′v simetriqna pravoja′. Druga projekcija A′′ traжene taqke dobija se u preseku praviha′v i a′′. Prvu projekciju A′ dobijamo u preseku prve projekcije a′

prave a i normale iz A′′ u odnosu na x-osu.

Slika 3.49.


Za nalaжeƬe prodorne taqke B prave a kroz drugu simetralnu

ravan, koristimo qiƬenicu da se prve i druge projekcije svaketaqke druge simetralne ravni poklapaju me�usobno. Prema tome,dovoƩno je na�i preseqnu taqku prve i druge projekcije a′ i a′′

prave a. ƫihova preseqna taqka predstavƩa prvu i drugu projek-ciju B′ i B′′ traжene prodorne taqke B prave a kroz drugu sime-tralnu ravan.

3.10.9 Presek ravni i simetralne ravni

(i) Na Slici 3.50 (a) odre�ene su preseqne prave p1 i p2 pro-izvoƩne ravni α, koja je zadata svojim tragovima α1 i α2, redomsa prvom i drugom simetralnom ravni. Osni trag αx pripada x-

Slika 3.50.

osi, pa samim tim pripada prvoj i drugoj simetralnoj ravni. Dabismo odredili projekcije preseqnih pravih p1 i p2 dovoƩno je daodredimo projekcije prodornih taqaka A1 i A2 proizvoƩne prave aravni α kroz prvu i drugu simetralnu ravan. Prava p1 odre�enaje taqkama αx i A1 a prava p2 taqkama αx i A2. Umesto proizvoƩneprave a najqex�e se koriste horizontala h ili frontala f i traжise Ƭihov prodor kroz simetralne ravni.

(ii) Ukoliko je ravan α zadata na neki drugi naqin, na primerdvema pravama a i b onda moramo traжiti prodorne taqke obeju


pravih kroz prvu i drugu simetralnu ravan. Sa A1 i A2 oznaqimoprodorne taqke prave a kroz prvu i drugu simetralnu ravan a saB1 i B2 prodorne taqke prave b kroz prvu i drugu simetralnu ra-van. Prva i druga projekcija redom taqaka A1 i B1 su simetriqneu odnosu na x-osu a prva i druga projekcija redom taqaka A2 iB2 se poklapaju (Slika 3.50 (b)). Preseqna prava p1 ravni α iprve simetralne ravni odre�ena je taqkama A1 i B1 dok je prese-qna prava p2 ravni α i druge simetralne ravni odre�ena taqkamaA2 i B2.

3.11. Zadaci za veжbu 59

3.11 Zadaci za veжbu

Zadatak 1. O(1; 10) Dat je trougao ABC i taqka D van ravni datog

trougla. Odrediti tragove ravni α koja prolazi kroz taqku D i

paralelna je ravni trougla ABC.

Podaci: A(8; 0; 3), B(13; 2; 6), C(16; 6; 1) i D(7; 2; 1).

Slika 3.51.

RexeƬe: Oznaqimo sa p i q prave koje prolaze kroz taqku D iredom su paralelne sa AB i AC (Slika 3.51). Prodori 1 ≡ 1′ i3 ≡ 3′ pravih p i q kroz prvu projekcijsku ravan H odre�uju prvitrag α1 traжene ravni α, a prodori 2 ≡ 2′′ i 4 ≡ 4′′ pravih p i q


kroz drugu projekcijsku ravan F odre�uju drugi trag α2 ravni α.Tragovi α1 i α2 seku se u taqki αx koja pripada x-osi.

Zadatak 2. O(10; 10) Odrediti tragove ravni α koja je paralelna pra-

vama a = p(A,C) i b = p(B,D) i prolazi kroz taqku E.

Podaci: A(6; 3; 1, 5), B(7; 4; 1), C(7; 4; 2), D(10; 0; 1) i E(3; 3; 3).

Slika 3.52.

RexeƬe: Nacrtajmo najpre kroz taqku E projekcije pravih a1 ib1 paralelnih redom sa pravama a i b (Slika 3.52). Oznaqimo saA1 i A2 prodore prave a1 kroz prvu i drugu projekcijsku ravan.Prava b1 je paralelna sa prvom projekcijskom ravni pa ima samodrugi prodor. Oznaqimo ga sa B2. Drugi trag α2 ravni α odre�enje drugim prodorima A2 ≡ A′′

2i B2 ≡ B′′

2redom pravih a1 i b1.

U preseku x-se i drugog traga α2 nalazi se osni trag αx ravni α.


Prvi trag α1 ravni α odre�en je osnim tragom αx i prvim prodoromA1 ≡ A′

1prave a1.

Zadatak 3. O(2; 10) Odrediti projekcije prave a koja je paralelna

ravni α prolazi kroz taqku A i seqe pravu b. Prava b odre�ena je

taqkama B i C a ravan α taqkama D, E i F .

Podaci: A(10;−3; 2), B(2; 2; 6), C(4;−1; 4), K(13; 1; 2), L(11; 3; 0)i M(12; 0; 4).

Slika 3.53.

RexeƬe: Drugi trag α2 ravni α odre�en je dugim prodorima M ′′ ≡M i 3′′ ≡ 3 pravih p = p(L,M) i q = p(L,K). U preseku drugogtraga α2 i x-ose nalazi se osni trag αx. Prvi trag α1 odre�en jeprvim prodorom L′ ≡ L prave p = p(L,M) i osnim tragom αx. Dabi prava a bila paralelna ravni α ona mora pripadati pomo�nojravni β koja je paralelna ravni α i prolazi kroz taqku A. UciƩu nalaжeƬa tragova β1 i β2 ravni β najpre moжemo ucrtatihorizontalu h taqke A i nalazimo Ƭen drugi prodor 2′′ ≡ 2 koji �epripadati drugom tragu β2. Za projekcije horizontale h′ i h′′ vaжih′′ ‖ x i h′ ‖ α1 ‖ β1. Drugi trag β2 postavƩamo kroz taqku 2′′ ≡ 2


paralelno drugom tragu α2. U preseku x-ose i drugog traga β2dobija se osni trag βx. Prvi trag β1 prolazi kroz βx i paralelanje sa α1.

Traжena prava a prolazi kroz prodornu taqku P prave b i ravniβ. Postavimo pomo�nu ravan γ koja sadrжi pravu b i ortogonalnaje na H. Tada se prvi trag γ1 ravni γ poklapa sa b′ a drugi tragγ2 ortogonalan je na x-osu. Oznaqimo sa r preseqnu pravu ravni βi γ. U preseku pravih r i b nalazi se taqka P . Prava a odre�enaje taqkama A i P (Slika 3.53).

Zadatak 4. O(2; 10) Odrediti projekcije preseqnih pravih p1 i p2 ra-

vni β, koja je paralelna ravni α i prolazi kroz taqku A, sa prvom i

drugom simetralnom ravni. Ravan α odre�ena je taqkama D, E i F .

Podaci: A(4;−1; 2), K(10; 1; 2), L(8; 3; 0) i M(9; 0; 4).

Slika 3.54.

RexeƬe: Tragove ravni β odre�ujemo kao u Zadatku 3. Na�imoprodornu taqku P1 horizontale kroz prvu simetralnu ravan. Topostiжemo konstrukcijom simetriqne prave h′V prve projekcije ho-rizontale. U preseku h′′ i h′V dobija se P ′′

1. Prva projekcija P ′

1

nalazi se u preseku normale na x-osu i h′. Preseqna prava p1 odre-�ena je sa βx i P1. Projekcije p′

1i p′′

1preseqne prave p1 simetriqne

su u odnosu na x-osu.


Projekcije prodorne taqke P2 horizontale kroz drugu sime-tralnu ravan dobijamo u preseku prve projekcije h′ i druge pro-jekcije h′′ horizontale h. Tada je P ′

2≡ P ′′

2. Preseqna prava p2

odre�ena je sa βx i P2. Projekcije p′2i p′′

2preseqne prave p2 se

poklapaju (Slika 3.54).

Zadatak 5. O(2; 9) Kroz datu pravu a = p(A,B) postaviti ravan βkoja je normalna na datu ravan α.

Podaci: α(17; 12; 5), A(3; 6; 1) i B(9; 1; 4).

Slika 3.55.

RexeƬe: DovoƩno je da ravan β sadrжi bar jednu pravu n nor-malnu na ravan α, pri qemu n prolazi kroz proizvoƩnu taqku C


prave a. Projekcije prave n su normalne na odgovaraju�e tragoveravni α, tj. n′ ⊥ α1 i n′′ ⊥ α2. Prvi prodori 1′ ≡ 1 i 3′′ ≡ 3 praviha i n odre�uju prvi trag β1 a drugi prodori 2′ ≡ 2 i 4′′ ≡ 4 praviha i n odre�uju drugi trag β2 traжene ravni β. Tragovi β1 i β2seku se u taqki βx koja pripada x-osi (Slika 3.55).

Zadatak 6. O(2; 9) Nacrtati tragove ravni α koja je normalna na

ravan trougla ABC i sadrжi pravu AB.

Podaci: A(6; 2; 4), B(8; 3; 2) i C(1; 7; 0).

Slika 3.56.

RexeƬe: DovoƩno je da ravan α sadrжi bar jednu pravu n nor-malnu na ravan trougla ABC, pri qemu n prolazi na primer kroztaqku A. Projekcije prave n su normalne na odgovaraju�e tragoveravni α, tj. n′ ⊥ α1 i n′′ ⊥ α2. Nacrtajmo horizontalu h i frontalu


f taqke B u ravni trougla ABC. Tada je n′ ⊥ h′ i n′′ ⊥ f ′′. PraveAB i n odre�uju traжenu ravan α. Tragovi α1 i α2 odre�eni suodgovaraju�im prodorima pravih AB i n kroz projekcijske ravni(Slika 3.56).

Zadatak 7. O(2; 11) Za tri date ravni α, β i γ na�i zajedniqku taqku.

Podaci: α(8; 5; 9), β(∞; 5; 3) i γ(4;−3; 4).

Slika 3.57.

RexeƬe: Odredimo najpre preseqnu pravu p ravni α i β. Prviprodor 1 ≡ 1′ prave p odre�en je presekom prvih tragova α1 i β1 adrugi 2 ≡ 2′′ presekom drugih tragova α2 i β2 ravni α i β. Pre-seqnu taqku P ravni α, β i γ dobijamo kao prodornu taqku pravep kroz ravan γ. Postavimo pomo�nu ravan δ koja sadrжi pravu p


i ortogonalna je na F . Tada se drugi trag δ2 ravni δ poklapa sadrugom projekcijom p′′ prave p a prvi trag δ1 ortogonalan je nax-osu i u ovom sluqaju poklapa se sa y-osom. U preseku ravni γ iδ dobija se prava q. Zajedniqka taqka P pravih p i q predstavƩapreseqnu taqku ravni α, β i γ.

Zadatak 8. O(10; 11) Date su ravni α i β i taqka A. Kroz taqku Apostaviti ravan γ koja je istovremeno normalna na obe ravni α i β.

Podaci: α(9;−6;−4), β(7; 9; 10) i A(10; 7; 5).

Slika 3.58.

RexeƬe: Ravan γ je u potpunosti odre�ena normalama n1 i n2

kroz taqku A redom na ravni α i β (Slika 3.58). Prvi trag γ1ravni γ odre�en je prvim prodorima 1′ ≡ 1 i 3′ ≡ 3 normala n1 in2 a drugi trag γ2 odre�en je drugim prodorima 2′′ ≡ 2 i 4′′ ≡ 4normala n1 i n2.


Zadatak 9. O(4; 10) Na�i presek izme�u ravni trougla ABC i ravni

α i odrediti vidƩivost.

Podaci: α(11; 7; 8), A(0; 1; 4), B(5, 5; 7; 1) i C(5, 5; 3; 4).

Slika 3.59.

RexeƬe: Preseqnu pravu p ravni trougla ABC i ravni α odre�ujuprodorne taqke P1 i P2 pravih AB i AC kroz ravan α. Za nalaжeƬeprodorne taqke P1 prave AB kroz ravan α postavimo pomo�nu ravanγ koja sadrжi pravu AB i ortogonalna je na H. Tada se prvi tragγ1 ravni γ poklapa sa prvom projekcijom prave AB, a drugi trag γ2


je ortogonalan na x-osu. Preseqna prava p1, odre�ena taqkama 1 i2, u preseku sa pravom AB odre�uje prodornu taqku P1. Prodornutaqku P2 prave AC kroz ravan α dobijamo postavƩaƬem pomo�neravni δ koja sadrжi pravu AC i ortogonalna je na H. VidƩivosttrougla ABC u odnosu na ravan α data je na Slici 3.59.

Zadatak 10. O(3; 13) Na�i presek izme�u ravni paralelograma ABCDi ravni trougla EFG i odrediti vidƩivost smatraju�i da su naprav-

Ʃeni od neprovidnog materijala.

Podaci: A(2; 2; 9), B(3; 6; 5), C(11; 10; 3), E(4; 10; 10), F (13; 9; 11) i

G(7; 2; 1).

RexeƬe: Najpre odredimo projekcije taqke D tako da qetvorougaoABCD bude paralelogram. Odredimo zatim projekcije P i Q re-dom prodornih taqaka pravih EG i EF kroz ravan paralelogramaABCD. Postavimo pomo�nu ravan γ koja sadrжi pravu EG i orto-gonalna je na H (Slika 3.60). ƫen prvi trag γ1 poklapa se saprvom projekcijom E′G′ prave EG. Oznaqimo sa 1′ i 2′ preseqnetaqke traga γ1 redom sa B′C ′ i A′D′. Projekcije 1′′ i 2′′ nalaze seredom na B′′C ′′ i A′′D′′. U preseku 1′′2′′ i E′′G′′ nalazi se drugaprojekcija P ′′ taqke P . Prvu projekciju P ′ dobijamo na normali izP ′′ na x-osu u preseku sa E′G′. Na isti naqin odre�ujemo i pro-jekcije taqke Q. Kao i do sada, za odre�ivaƬe vidƩivosti u prvojprojekciji koristimo drugu i obrnuto za odre�ivaƬe vidƩivostiu drugoj projekciji koristimo prvu projekciju. Na primer E′′P ′′

je vidƩiva u drugoj projekciji jer je u prvoj projekciji E′P ′ is-pred 5′6′. DaƩe, P ′2′ nije vidƩiva. Na Slici 3.60 odre�ena jevidƩivost paralelograma i trougla.


Slika 3.60.


3.12 Transformacija - uvo�eƬe novih

projekcijskih ravni

Usvojen standardni poloжaj projekcijskih ravni H(π1), F (π2)i P (π3), pri qemu one qine ortogonalni trijedar, nije uvek naj-povoƩniji za rexavaƬe postavƩenih zadataka. Iz tog razloga sezadrжava uslov da projekcijske ravni π1 i π2 zadrжe svoj poloжaj,tj. uzajamno su ortogonalne, a tre�u projekcijsku ravan slobodnopomeramo tako da prema jednoj od projekcijskih ravni ostane orto-gonalna a prema drugoj ne. Ovakvo slobodno pomeraƬe tre�e pro-jekcijske ravni naziva se transformacija. Kakav �emo poloжajizabrati za tre�u projekcijsku ravan π3 zavisi od konkretnog za-datka.

Dakle, ako imamo dve orogonalne projekcije nekog predmeta(prva - tlocrt i druga - nacrt), onda tre�u projekcijsku ravanpostavƩamo tako da se u tre�oj projekciji zadatak lakxe rexava.Tre�u projekciju nazivamo stranocrt.

Slika 3.61.

Neka je ravan π3 ortogonalna na projekcijsku ravan π1 (Slika3.61 (a)). Tada ravni π1 i π3 igraju istu ulogu u metodi dvejuortogonalnih projekcija kao ravni π1 i π2. I u ovom sluqaju jedna(π1) je horizontalna a druga (π3) vertikalna. Ukoliko je potrebnomoжe se uvesti qetvrta π4 transformacijska ravan ortogonalna naπ3, peta π5 ortogonalna na π4, itd. Presek ravni π1 i π2 oznaqavamo

3.12. Transformacija - uvo�eƬe novih projekcijskih ravni 71

sa x12, presek π1 i π3 sa x13, presek π3 i π4 sa x34, presek π4 i π4 sax45, itd.

Na kraju, kao xto obaramo prve dve projekcijske ravni jednuu drugu, isto radimo i sa tre�m projekcijskom ravni i obaramoje u onu od projekcijskih ravni na koju je normalna tako xto jeobr�emo za prav ugao u jednom ili drugom smeru oko nove projek-cijske ose x13.

3.12.1 Transformacija taqke

Na Slici 3.61 date su dve normalne projekcije A′ i A′′ taqkeA u sklopu (a) i rasklopu (b). Tre�a projekcijska ravan π3 jepostavƩena ortogonalno na prvu π1. S obzirom na to da su ravniπ2 i π3 normalne na π1 to je rastojaƬe taqke A do π1 jednako ras-tojaƬu druge projekcije A′′ do ose x12 a tako�e i rastojaƬu tre�eprojekcije A′′′ taqke A do ose x13, tj. vaжi AA′ = A′′B = A′′′C.Dakle, da bismo dobili tre�u projekciju A′′′ taqke A u rasklopu,postavimo kroz A′ normalu na x13 i na Ƭoj od taqke C nanesimoduж jednaku A′′B = d1 = A′′′C.

PostavƩaƬe qetvrte transformacijske ravni π4 ortogonalno naπ3 moжemo odrediti qetvrtu projekciju AIV taqke A. S obziromna to da je ravan π3 ortogonalna i na π1 i na π4, to su prva A′ iqetvrta projekcija AIV taqke A podjednako udaƩene od π3, tj. vaжiA′C = d2 = AIV D.

3.12.2 Transformacija prave i duжi. Prava veliqinaduжi

Neka je data prava a svojim projekcijama a′ i a′′ i neka jetre�a projekcijska ravan π3 postavƩena paralelno pravoj a i or-togonalno na π1. U tom sluqaju osa x13 paralelna je prvoj pro-jekciji prave a. U ciƩu nalaжeƬa tre�e projekcije a′′′ prave adovoƩno je da na�emo tre�e projekcije dve proizvojlne taqke Ai B prave a. S obzirom da je tre�a projekcijska ravan π3 para-lelna pravoj a to se duж AB u tre�oj projekciji A′′′B′′′ vidi upravoj veliqini. Trougao ABC sa Slike 3.62 u tre�oj projek-ciji predstavƩa trougao pravih veliqina. Kod Ƭega je A′′′B′′′ pravaveliqina duжi AB a ugao α1 izme�u A′′′B′′′ i ose x13 predstavƩapravu veliqinu ugla prave AB prema prvoj projekcijskoj ravni π1.Sa ∆z oznaqavamo visinsku razliku krajƬih taqaka A i B duжi


AB.

Slika 3.62.

Qetvrtu projekcijsku ravan α4 postavƩamo ortogonalno na tre�uprojekcijsku ravan α3 i istovremeno ortogonalno na pravu a. Toznaqi da osa x13 i tre�a projekcija a′′′ prave a zaklapaju prav ugao,pa je u ovom sluqaju qetvrta projekcija prave a je taqka.

Analogno se razmatra sluqaj kada je tre�a projekcijska ravanπ3 ortogonalna na π2 i paralelna pravoj a. U tom sluqaju se dobijaprava veliqina ugla α2 izme�u prave a i druge projekcijske ravniπ2 kao i prava veliqina duжi AB sa prave a.

Napomenimo da tre�u projekcijsku ravan π3 moжemo postavititako da sadrжi pravu a i da bude ortogonalna na π1 ili π2. I utom sluqaju dobijamo pravu veliqinu duжi AB sa prave a, pravuveliqinu ugla izme�u prave a i projekcijske ravni na koju je π3ortogonalna.

3.12.3 Transformacija ravni i ravnih figura

Ravan α zadatu tragovima transformixemo postavƩaƬem tre�eprojekcijske ravni π3 ortogonalno na ravan α i jednu od projekci-


jskih ravni π1 ili π2. Najpodesnije je izabrati ravan π3 da budeortogonalna na π1 i prvi trag α1 ili pak da π3 bude ortogonalnana π2 i drugi trag α2. Ako je π3 ortogonalna na π1 i α1 onda je

Slika 3.63.

osa x13 ortogonalna na α1 a ako je π3 ortogonalna na π2 i α2 ondaje osa x23 ortogonalna na α2. Na Slici 3.63 projekcijska ravanπ3 ortogonalna je na π1 i prvi trag α1 ravni α. U tom sluqaju π3je ortogonalna na ravan α pa je tre�a projekcija ravni α prava,tj. tre�a projekcija ravni α poklapa se sa Ƭenim tre�im tragomα3. Qetvrtu projekcijsku ravan π3 postavƩamo upravno na π3 a pa-ralelno sa α. Tada je osa x34 paralelna sa tre�im tragom α3. UQetvrtoj projekciji ravan α se vidi u pravoj veliqini. Znaju�iovo, moжemo pre�i na odre�ivaƬe prave veliqine ravnih figura.

Neka je na primer zadat trougao ABC prvim i drugim projek-cijama taqaka A, B i C. Postavimo tre�u projekcijsku ravan π3


Slika 3.64. Prava veliqina trougla


ortogonalno na π1 i ravan trougla ABC. Ravan π3 moжemo iz-abrati da bude ortogonalna na horizontalu h taqke A. Tada je osax13 ortogonalna na prvu projekciju h′ horizontale (Slika 3.64).PostavƩaƬem qetvrte projekcijske ravni ortogonalno na π3 i pa-ralelno sa ravni trougla ABC postiжemo da se u qetvrtoj projek-ciji trougao ABC vidi u pravoj veliqini.

3.12.4 Transformacija prostornih geometrijskihfigura

Slika 3.65.

Razlog transformacije prostornih geometrijskih figura jestetaj xto se u novoj projekciji jasnije sagledavaju osobine razma-trane figure i na taj naqin se ona jasnije moжe zamisliti u pro-


storu. Na Slici 3.65 zadata pravilna qetvorostrana piramidaABCDE svojom prvom i drugom projekcijom. Tre�a projekcijskaravan π3 postavƩena je ortogonalno na π1.U qetvrtoj projekcijidat je pogled koso odozdo na piramidu, dok je u petoj vidimo kosoodozgo. Za odre�ivaƬe vidƩivosti u tre�oj projekciji koristimoprvu projekciju, tj. u tre�oj projekciji je vidƩivo ono xto je uprvoj bliжe posmatraqu. Na primer, duж ED se u tre�oj projek-ciji ne vidi. Za odre�ivaƬe vidƩivosti u qetvrtoj projekcijikoristi se tre�a projekcija a za odre�ivaƬe vidƩivosti u petojkoristimo qetvrtu projekciju.

3.12.5 Normala iz date taqke na datu pravu

Problem nalaжeƬa normale n kroz datu taqku N na datu pravu

a moжe se efikasno rexiti korix�eƬem transformacija. Neka

Slika 3.66.

su taqka N i prava a zadate svojim prvim i drugim projekcijama(Slika 3.66). Na pravoj a odredimo taqke B i C. Tre�u pro-jekcijsku ravan postavimo ortogonalno na π1 paralelno pravoj a.


Tada je osa x13 paralelna prvoj projekciji a′ prave a. U tre�ojprojekciji duж AB se vidi u pravoj veliqini. Trougao A′′′B′′′C ′′′

je trougao pravih veliqina. Qetvrtu projekcijsku ravan π4 pos-tavƩamo ortogonalno na π3 i pravu a. Osa x34 je ortogonalna natre�u projekciju a′′′ prave a. Qetvrta projekcija prave a je taqka,tj. vaжi AIV ≡ BIV ≡ aIV pa je iz tog razloga N IV AIV = dIV prava

veliqina najkra�eg rastojaƬa izme�u taqke N i prave a. U tre�ojprojekciji prav ugao izme�u normale n kroz taqku N na pravu ai prave a se vidi u pravoj veliqini, tj. ugao izme�u n′′′ i a′′′

je prav. Oznaqimo sa M ′′′ preseqnu taqku pravih n′′′ i a′′′. Prvui drugu projekciju podnoжja M normale n iz taqke n na pravu analazimo lako na odgovaraju�im projekcijama prave a. Normala nodre�ena je taqkama M i N .

Slika 3.67.

3.12.6 Najkra�e rastojaƬe i zajedniqka normala dvejumimoilaznih pravih

Neka su svojim prvim i drugim projekcijama date mimoilazneprave a i b (Slika 3.67). Tre�u projekcijsku ravan π3 postavimo


ortogonalno na π1 i paralelno pravoj a. Tada je osa x13 paralelnaprvoj projekciji a′ prave a. Odredimo tre�e projekcije pravih ai b. Qetvrtu projekcijsku ravan π4 postavimo ortogonalno i na πi na pravu a. To znaqi da je x34 ortogonalna na a′′′. U qetvrtojprojekciji prava a se vidi kao taqka. SpuxtaƬem normale nIV izqetvrte projekcije aIV na qetvrtu projekciju bIV prave b dobijamopravu veliqinu dIV odseqka zajedniqke normale n izme�u mimoilaznih

pravih a i b. Oznaqimo sa N IVb preseqnu taqku pravih nIV i bIV .

Lako nalazimo prve tri projekcije taqke Nb. U tre�oj projekci-jskoj ravni π3, projekcija n′′′ gradi prav ugao sa projekcijom a′′′.Podnoжje normale iz N ′′′

b na pravu a′′′ oznaqimo sa N ′′′

a . Lako nalaz-imo prvu i drugu projekciju taqke Na sa prave a. Taqke Na i Nb

odre�uju zajedniqku normalu mimoilaznih pravih a i b.

Na potpuno isti naqin moжemo odrediti i najkra�e rastojaƬe

izme�u dve paralelne prave, samo xto bi se u qetvrtoj projekcijiobe prave videle kao taqke.

3.13 Rotacija

Ortogonalne projekcije geometrijske figure se u mnogim sluqa-jevima jasnije mogu sagledati Ƭenim obrtaƬem oko neke prave zaneki ugao α, pri qemu se zadrжava poloжaj projekcijskih ravniH, F i P . Pravu oko koje vrximo obrtaƬe nazivamo osom rota-

cije a sam postupak obrtaƬa predstavƩa rotaciju oko date ose zadati ugao rotacije. Svaka taqka figure koju rotiramo opisujeneki kruжni luk qiji je centralni ugao jednak α a polupreqniknajkra�e rastojaƬe taqke koju rotiramo do ose rotacije. Ukolikose vrxi rotacija za 360o, onda svaka taqka, koja ne pripada osirotacije, opisuje krug. Pri tome osa rotacije je ortogonalna nakrug rotacije i prolazi kroz Ƭegov centar, a sve taqke sa ose ro-tacije su nepokretne. U zavisnosti od poloжaja ose mogu bitiinteresantni slede�i sluqajevi:

- osa rotacije ortogonalna na neku od projekcijskih ravni,

- osa rotacije paralelna sa nekom od projekcijskih ravni i

- osa rotacije ima proizvoƩan poloжaj.

Razmotrimo ponaosob svaki od Ƭih.

3.13. Rotacija 79

3.13.1 Osa rotacije ortogonalna na prvu ili druguprojekcijsku ravan

Neka je osa rotacije ortogonalna na prvu projekcijsku ravan π1.Tada se krug rotacije k proizvoƩne taqke A u prvoj projekciji

Slika 3.68.

k′ vidi u pravoj veliqini, a u drugoj projekciji k′′ kao duж kojapripada normali na drugu projekciju s′′ ose rotacije s. Na Slici3.68 taqka A rotirana je oko date ose s koja je ortogonalna na prvuprojekcijsku ravan π1 za dati ugao α. Prva projekcija s′ ose s jetaqka, dok je druga projekcija s′′ ose s prava ortogonalna na x12-osu. Prva projekcija A′ taqke A nakon rotacije za ugao α kre�u�ise po krugu k′ prelazi u taqku A′

o. Druga projekcija A′′

o rotiranetaqke Ao nalazi se u preseku druge projekcije k′′ kruga rotacije ki vertikale iz prve projekcije A′

o rotirane taqke Ao.Sluqaj kada je osa rotacije s ortogonalna na drugu projekcijsku

ravan razmatra se analogno.

3.13.2 Osa rotacije paralelna sa prvom ili drugomprojekcijskom ravni

Neka je sada osa rotacije s paralelna sa prvom projekcijskomravni π1 i A proizvoƩna taqka. Krug rotacije k taqke A se u prvojprojekciji k′ vidi kao duж jer je osa s ortogonalna na k a para-lelna sa π1. Druga projekcija kruga rotacije k je elipsa. Pravaveliqina kruga rotacije vidi se u tre�j projekciji, postavƩaƬemtre�e projekcijske ravni π3 ortogonalno na π1 i osu rotacije s.


Tre�a projekcija s′′′ ose s je taqka. Nakon odre�ivaƬa tre�e pro-jekcije A′′′ taqke A i tre�e projekcije s′′′ ose rotacije s, izvrximorotaciju taqke A′′′ oko s′′′ za ugao α. Dobija se taqka A′′′

o . Prvuprojekciju A′

o dobijamo u preseku normale iz A′′′

o na x12-osu i prveprojekcije kruga rotacije k′. Drugu projekciju A′′

o dobijamo na os-novu tre�e projekcije A′′′

o (Slika 3.69).

Slika 3.69.

Sluqaj kada je osa s paralelna sa drugom projekcijskom ravniπ2 razmatra se analogno.

3.13.3 Osa rotacije u proizvoƩnom poloжaju

Ako je osa rotacije s u proizvoƩnom poloжaju, onda su namneophodne dve transformacije da se krug rotacije proizvoƩne taqkevidi u pravoj veliqini. Transformacijsku ravan π3 postavƩamoparalelno pravoj s i ortogonalno na π1. U tom sluqaju, osa x13paralelna je prvoj projekciji s′ ose s. Transformacijsku ravan π4postavƩamo ortogonalno na π3 i na s. Tada je osa x34 ortogonalnana tre�u projekciju s′′′ prave s. U ovom sluqaju krug rotacijeproizvoƩne taqke A oko ose s u prvoj k′ i drugoj projekciji k′′ sevidi kao elipsa, u tre�j k′′′ kao duж a u qetvrtoj kIV kao krug u

3.13. Rotacija 81

pravoj veliqini. Nakon odre�ivaƬa qetvrte projekcije AIV taqkeA i qetvrte projekcije sIV ose s nalazimo qetvrtu projekciju AIV

o

rotirane taqke o. Na poznat naqin, vra�aƬem unatraxke, nalazimo

Slika 3.70.

tre�u A′′′

o , prvu A′

o i drugu A′′

o projekciju taqke Ao (Slika 3.70).

3.13.4 Rotacija prave i duжi

Da bi izvrxili rotaciju prave a oko ose rotacije, dovoƩnoje da za ugao rotacije α zarotiramo dve proizvoƩne taqke A i Bsa prave a. Na Slici 3.71 osa rotacije s ortogonalna je na prvuprojekcijsku ravan π1. Odgovaraju�e projekcije A′

o i B′

o odre�ujuprojekciju a′o dok A′′

o i B′′

o odre�uju projekciju a′′o. Rotacijom duжiAB dobija se duж AoBo.

S obzirom na to da je za rotaciju prave a oko ose s za datiugao α dovoƩno rotirati dve Ƭene taqke A i B, sluqajeve kadaosa s zauzima neke druge poloжaje u ovom odeƩku ne�emo zasebnorazmatrati.


Slika 3.71.

3.13.5 Prava veliqina duжi

Pravu veliqinu duжi AB = d moжemo dobiti rotacijom oko oses koja prolazi kroz jednu od krajƬih taqaka duж, na primer kroztaqku A i ortogonalna je na prvu projekcijsku ravan π1. U tomsluqaju, krug rotacije kB taqke B u prvoj projekciji k′B vidi seu pravoj veliqini a u drugoj projekciji predstavƩa duж k′′B para-lelnu osi x12. Vrximo rotaciju duжi AB oko ose s sve do trenutkakada duж AB zauzme poloжaj paralelan drugoj projekcijskoj ravniπ2. U tom sluqaju, u drugoj projekciji duж A′′

oB′′

o = d′′o se vidi upravoj veliqini (Slika 3.72 (a)). Na Slici 3.72 (b) na�ena jeprava veliqina duжi AB postavƩaƬem kroz taqku A ose rotacije skoja je ortogonalna na drugu projekcijsku ravan π2. U tom sluqaju,prava veliqina duжi AB se vidi u prvoj projekciji A′

oB′

o = d′o.

Na osnovu reqenog, moжemo smatrati da duж AB rotacijom okoose s koja prolazi kroz taqku A i upravna je na prvu projekcijskuravan π1 generixe prav kruжni konus sa vrhom u taqki A i osnovomparalelnom sa π1. Pravu veliqinu duжi AB nalazimo tako xto izA′′ konstruixemo normalu n na x12-osu a iz B′′ pravu b paralelnux12-osi. Oznaqimo sa C presek pravih n i b. Na pravoj b odredimotaqku Bo takvu da je BoC = A′B′. Prava veliqina duжi AB je

3.13. Rotacija 83

Slika 3.72.

Slika 3.73.


duж A′′Bo = do (Slika 3.73 (a)). Analogno, rotiraju�i duж ABoko ose s koja prolazi kroz taqku A i ortogonalna je na druguprojekcijsku ravan π2 dobijamo pravu veliqinu A′Bo = do duжi AB(Slika 3.73 (a)).

3.13.6 Rotacija ravni i ravnih figura

Ravni i ravne figure, kao i taqku, moжemo rotirati oko osekoja je normalna na π1 ili π2, oko ose koja je paralelna sa π1 ili π2ili oko ose koja zauzima proizvoƩan poloжaj prema projekcijskimravnima. Obradi�emo primer rotacije ravni i ravne figure kadaje osa rotacije s normalna na jednoj od projekcijskih ravni.

Slika 3.74.

Rotacija ravni. Ako je ravan α zadata svojim tragovima α1 i

α2 a osa rotacije s ortogonalna na prvu projekcijsku ravan π1 ondanajpre odredimo prodornu taqku P prave s kroz ravan α (Slika3.74). Prva projekcija P ′ taqke P poklapa se sa prvom projekci-jom s′ ose s. Drugu projekciju P ′′ nalazimo pomo�u horizontale h.Prilikom rotacije oko ose s taqka P ostaje nepokretna a ortogo-nalno rastojaƬe d = do projekcije P ′ do prvog traga α1 se ne meƬa,

3.13. Rotacija 85

jer pripada ravni koja je ortogonalna na osu rotacije. Oznaqimosa Q′ podnoжje normale iz taqke P ′ na prvi trag α1. Rotacijom zaugao α prvi trag α1 prelazi u αo

1taqka Q′ u Qo i P ′Qo je ortogo-

nalna na αo1. Znaqi, dovoƩno je da rotiramo taqku Q za ugao α a

rotirani prvi trag αo1dobijamo kao normalu na P ′Qo u taqki Qo.

Oznqimo sa αox preseqnu taqku x12-ose i rotiranog prvog traga αo

1.

Taqka αox predstavƩa osni trag rotirane ravni αo i ne dobija se

Slika 3.75.

rotacijom osnog traga αx oko ose s za ugao α. S obzirom na toda je taqka P nepokretna, tj. P ′ ≡ Po to ona pripada i ravni αo.Prema tome, drugi trag αo

2odre�ujemo korix�eƬem horizontale

ili frontale taqke Po u ravni αo.


Rotacija ravnih figura. Neka je svojim projekcijama dataravna figura, na primer trougao ABC (Slika 3.75). Da bismoizvrxili rotaciju trougla ABC oko ose s koja je ortogonalna naπ1, najpre kroz prvu projekciju ose s′ postavimo pravu f ′ koja jeparalelna sa x12 i oznaqimo sa 1′, 2′ i 3′ podnoжja normala redomiz taqaka A′, B′ i C ′ na pravu f ′. Oznaqimo sa f ′

o rotiranu slikuprave f ′ a sa 1′o, 2

′

0i 3′o rotirane slike redom taqaka 1′, 2′ i 3′ za

ugao α. Na rotiranim normalama u taqkama 1′o, 2′o i 3′o nalazimorotirane slike A′

o, B′

o i C ′

o taqaka A′, B′ i C ′. U preseku vertikalaiz A′

o, B′

o i C ′

o i krugova rotacije k′′A, k′′B i k′′C taqaka A, B i C udrugoj projekciji, dobijaju se druge zarotirane projekcije A′′

o, B′′

o

i C ′′

o .

3.13.7 Rotacija prostornih figura

I prostorne figure moжemo rotirati oko ose koja je normalnana π1 ili π2, oko ose koja je paralelna sa π1 ili π2 ili oko osekoja zauzima proizvoƩan poloжaj prema projekcijskim ravnima.Obradi�emo primer rotacije prostorne figure kada je osa rota-cije s paralelna jednoj od projekcijskih ravni. Neka je svojim pro-jekcijama data kocka i osa rotacije s koja je paralelna sa π1 (Slika3.76). Oznaqimo sa A, B, C, D, A, B, C i D temena kocke. Najpreizvrximo transformaciju date kocke i ose rotacije postavƩaƬemnove projekcijske ravni π3 ortogonalno na π1 i s. To znaqi da jex13 ortogonalno na s′. Zatim rotiramo za ugao α tre�u projekcijudate kocke oko tre�e projekcije ose s′′′ koja se vidi kao taqka. Za-tim, u preseku normala iz temena u obrnutoj tre�oj projekciji sakrugovima rotacije tih temena u prvoj projekciji dobijamo temenakocke u obrnutoj prvoj projekciji. Drugu projekciju u obrnutompoloжaju lako nalazimo korix�eƬem tre�e i prve projekcije uobrnutom poloжaju i osobine transformacije.

3.13. Rotacija 87

Slika 3.76.


3.14 ObaraƬe ravni

Pravu veliqinu ravni, a samim tim i ravnih figura koje jojpripadaju, moжemo dobiti obaraƬem te ravni oko prvog ili drugogtraga dok se ne poklopi sa π1 ili π2, ili Ƭenim obrtaƬem okohorizontale ili frontale dok ne do�e u poloжaj paralelan sa π1ili π2.

3.14.1 ObaraƬe ravni zadate tragovima

Pod obaraƬem ravni α u prvu projekcijsku ravan π1 podrazu-mevamo rotaciju ravni α oko prvog traga α1 do poklapaƬa sa pr-vom projekcijskom ravni π1. Na isti naqin pod obaraƬem ravniα u drugu projekcijsku ravan π2 podrazumevamo rotaciju ravni αoko drugog traga α2 do poklapaƬa sa drugom projekcijskom ravvniπ2. Ravan α u oborenom poloжaju oznaqava�emo sa (α), [α], {α}, ...pravu a sa (a), [a], {a}, ... a taqku A sa (A), [A], {A}, ....

Slika 3.77.

Razmotri�emo sluqaj kada ravan α obaramo oko prvog tragaα1 dok se ne poklopi sa π1 (Slika 3.77). Tada, proizvoƩna taqkaM≡M ′′ sa drugog traga α2 opisuje krug rotacije k1 koji se u prvojprojekciji vidi kao duж k′

1koja je ortogonalna na prvi trag α1

ravni α. Duж M ′′αx sa drugog traga vidi se u pravoj veliqini,odakle sledi da se Ƭena duжina ne meƬa pri obaraƬu ravni. Opi-ximo kruжni luk sa centrom u taqki αx i polupreqnikom M ′′αx ioznaqimo sa (M) Ƭegovu preseqnu taqku sa k′

1. Oboreni drugi trag

(α2) ravni α odre�en je taqkama αx i (M).

3.14. ObaraƬe ravni 89

Slika 3.78.

Primetimo da postoje dve preseqne taqke (M) i [M ] sa raznihstrana ose rotacije α1 pa se i obaraƬe ravni α moжe vrxiti udva smera. Biramo smer obaraƬa koji �e nam maƬe optere�ivaticrteж.

Da bismo dobili oboreni poloжaj (a) proizvoƩne prave a ravniα dovoƩno je uoqiti tragove P1 i P2 prave a i na�i Ƭihove oborenepoloжaje (Slika 3.78).

Za obaraƬe taqke A ravni α potrebno je postaviti proizvoƩnupravu a ravni α koja je sadrжi i na�i Ƭen oboreni poloжaj.

ObaraƬe taqke A ravni α moжemo izvrxiti i korix�eƬem ho-rizontale ili frontale te taqke. Neka je h horizontala taqke Aravni α. Oznaqimo sa 1′ preseqnu taqku prave h′ i x12 ose. U taqki1′ konstruiximo normalu na prvi trag α1. U preseku te normale ioborenog drugog traga (α2) nalazi se taqka (1). Kroz (1) paralelnoprvom tragu, nalazi se oboreni poloжaj horizontale (h). Taqku(A) dobijamo u preseku normale na prvi trag kroz A′ i prave (h).

Oboreni poloжaj (α) i prva projekcija α′ poƩa taqaka ravni αjesu perspektivno afina poƩa taqaka a preslikavaƬe me�u Ƭima jeodre�eno osom α1 i parom odgovaraju�ih taqaka A′ i (A). Prematome, prvu projekciju α′ odre�ujemo iz oborenog poloжaja (α) jed-


nim perspektivno afinim preslikavaƬem. Drugu projekciju lakodobijamo korix�eƬem prve projekcije.

Slika 3.79.

ObaraƬe ravni u drugu projekcijsku ravan π2 vrxi se na sliqannaqin. U tom sluqaju obaramo prvi trag α1 ravni α oko drugogtraga α2. Razmatrana ravan α je bila u kosom poloжaju prema pro-jekcijskim ravnima α1 i α2. Ako je ravan ortogonalna na jednu odprojekcijskih ravni, onda je postupak obaraƬa ravni nexto jed-nostavniji. Na Slici 3.79 (a) ravan ν(ν1, ν2) ortogonalna na π1obarana je u π1. Tada je oboreni drugi trag (ν2) ortogonalan naprvi trag ν1 u osnom tragu νx. Na Slici 3.79 (b) ravan ν obaranaje u π2 i tada se (ν1) poklapa sa x-osom.

3.14.2 ObaraƬe ravni zadate tragovima sa osnim tragomvan crteжa

U sluqaju obaraƬa ravni α(α1, α2) sa osnim tragom van crteжau projekcijsku ravan π1 potrebno je odrediti oboreni poloжaj dvetaqke M ≡ M ′′ i N ≡ N ′′ sa drugog traga (Slika 3.80). PriobaraƬu ravni α oko prvog traga taqke M i N opisiva�e krugovekM i kN koji �e se u prvoj projekciji videti kao prave linije k′Mi k′N ortogonalne na prvi trag α1 redom u taqkama M ′

1i N ′

1. Odre-

dimo prave veliqine [M ]M ′

1i [N ]N ′

1polupreqnika MM1 i NN1.

Taqke (M) i (N) odredimo na k′M i k′N tako da je M ′

1(M) = M ′

1[M ]

i N ′

1(N) = N ′

1[N ]. Taqke (M) i (N) odre�uju oboreni poloжaj (α2)

drugog traga α2 ravni α.


Slika 3.80.

Na isti naqin se ravan α(α1, α2) moжe oboriti u drugu projek-cijsku ravan π2 oko traga α2.

3.14.3 ObaraƬe ravni koja je zadata sa tri taqke okohorizontale ili frontale

Ukoliko je ravan zadata sa tri svoje taqke A(A′, A′′), B(B′, B′′) iC(C ′, C ′′) onda tu ravan moжemo obarati oko horizontale do polo-жaja koji je paralelan sa π1 ili oko frontale do poloжaja par-alelnog sa π2. Konstruiximo horizontalu h taqke A i oko Ƭe obo-rimo ravan ABC do poloжaja paralelnog sa π1. To �emo izvestitako xto postavƩamo transformacijsku ravan π3 ortogonalno na π1


i h (Slika 3.81). Osa x13 �e biti ortogonalna na h′. U tre�oj pro-jekciji h′′′ osa h �e se videti kao taqka a krugovi rotacije taqakaB i C kao krugovi k′′′B i k′′′C . Taqke B i C rotiramo dok duж (B)(C)ne do�e u poloжaj paralelan sa π1. Tada je B′′′

o C ′′′

o paralelna sax13-osom.

Slika 3.81.

Taqka A, pri ovom obaraƬu, ostaje nepokretna jer se nalazi naosi rotacije, tj. (A) = A′. Taqke (A), (B) i (C) odre�uju trougao(A)(B)(C) koji predstavƩa pravu veliqinu trougla ABC i pripadaravni koja sadrжi horizontalu h i paralelna je sa π1.

ObaraƬe ravni trougla ABC oko drugog traga do poloжaja par-alelnog ravni π2 izvodi se na sliqan naqin.


3.14.4 Projekcije ravne figure

Ukoliko je poznat oblik, veliqina i poloжaj neke figure u ra-vni, onda obaraƬem te ravni, korix�eƬem osobina obarƬa ravni iperspektivno afina preslikavaƬa uspostavƩena izme�u oborenihpoloжaja i odgovaraju�e projekcije date figure moжemo konstru-isati Ƭene projekcije. Tako�e, ako je ravna figura zadata svojimprojekcijama, obaraƬem ravni kojoj ona pripada moжemo odreditipravi oblik i veliqinu date figure.

Primer 3.14.2. Konstruisati projekcije jednakostraniqnog trougla

ABC koji pripada ravni α(α1, α2) zadatoj tragovima, pri qemu je poz-

nato jedno teme A(A′, ?) i teжixte T (T ′, ?) trougla.

Slika 3.82.

Druge projekcije taqaka A i T nalazimo pomo�u horizontala.Oborimo ravan α oko prvog traga zajedno sa taqkama A i T . Uoborenom poloжaju konstruiximo krug (k) sa centrom u taqki (T )koji prolazi kroz taqku (A). Na krugu (k) konstruiximo taqke


Slika 3.83.

(B) i (C) takve da je trougao (A)(B)(C) jednakostraniqan. Prvuprojekciju C ′ nalazimo perspektivno afinim preslikavaƬem prave(A)(C). Oznaqimo sa Q′ ≡ (Q) preseqnu taqku prave (A)(C) i ose α1.Prva projekcija C ′ taqke C nalazi se u preseku normale kroz (C) naosu α1 i prave A′Q′. Taqku B′ nalazimo perspektivno afinim pres-likavaƬem prave (B)(C). Druge projekcije taqaka B i C nalazimopomo�u horizontala.

Primer 3.14.3. Konstruisati projekcije kvadrata tako da mu je

centar data taqka S(S′, S′′) a stranica AB pripada datoj pravoj

p(p′, p′′).

Najpre odredimo tragove ravni α koja je odre�ena taqkom S ipravom p (Slika 3.83). Kroz taqku S postavimo pravu q paralelnu


pravoj p. Oznaqimo sa 2 i 4 prve prodore a sa 4 i 5 druge prodoreredom pravih p i q. Taqke 2 ≡ 2′ i 4 ≡ 4′ odre�uju prvi trag α1

ravni α a taqke 3 ≡ 3′ i 5 ≡ 5′ odre�uju drugi trag α2 te ravni.

Slika 3.84.

Ravan α oborimo u π1 a zatim konstruiximo oboreni poloжajtaqke S i prave p. U oborenom poloжaju konstruiximo kvadrat(A)(B)(C)(D) sa sredixtem u taqki (S) i stranicom (A)(B) na pra-voj (p).

Prvu projekciju kvadrata ABCD nalazimo kao perspektivnoafinu sliku kvadrata (A)(B)(C)(D) pri preslikavaƬu sa osom α1 iparom odgovaraju�ih taqaka (S) i S′. Zraci afinosti su upravnina osu α1.

Iz prve projekcije, na normalama u odgovaraju�im taqkama na-lazimo druge projekcije temena kvadrata. Taqke A′′ i B′′ pripadajupravoj p′′ a taqka C ′′ i D′′ su simetriqne redom taqkama A′′ i B′′ uodnosu na taqku S′′.

Primer 3.14.4. Odrediti pravu veliqinu trougla ABC, datog pro-

jekcijama svojih temena koja pripadaju ravni α(α1, α2) ortogonalnoj


na drugu projekcijsku ravan π2.

Prvi naqin. Ravan α obaramo oko prvog traga do poklapaƬa sa π1.Oboreni poloжaj trougla ABC konstruixemo kao perspektivnoafin lik trouglu A′B′C ′. Osa afinog preslikavaƬa je trag α1 azraci afinosti su ortogonalni na Ƭega. Odredimo taqku (A) kojaodgovara projekciji A′ pri obaraƬu ravni α u π1. Napomenimo daje rastojaƬe AP do traga α1 (Slika 3.84 (a)) duж koja je paralelnasa π2, pa je u ravni π2 druga projekcija A′′P ′′ prava veliqina duжiAP , tj. vaжi AP = A′′P ′′ = A′′αx. S obzirom na to da je i oborenipoloжaj (A)(P ) prava veliqina duжi AP sledi da je (A)(P ) = A′′αx.Prema tome, oboreni poloжaj (A) taqke A u π1 dobija se na normaliiz A′ na trag α1, tako xto se najpre opixe kruжni luk sa centromu αx i polupreqnikom αxA

′′, odredi presek sa x-osom taqka A′′

o i izƬe prava paralelna sa tragom α1 na kojoj se nalazi taqka (A).

Napomenimo da smo i taqke (B) i (C) mogli dobiti na istinaqin kao i taqku (A). Afina preslikavaƬa po pravilu koristimokada treba odrediti oboreni poloжaj (ili obratno) ve�eg brojataqaka.

Drugi naqin. Ravan α obaramo oko drugog traga do poklapaƬasa π2. Neka je T ≡ T ′ proizvoƩna taqka sa prvog traga α1 ravni α(Slika 3.84 (b)). Oboreni poloжaj [T ] taqke T dobijamo na normaliiz T ′′ na α2 i [R]R′′ = R′αx, pa je oboreni poloжaj [α1] prvog tragaα1 odre�en taqkama [R] i αx, pri qemu je αx ≡ R′′. OdstojaƬeproizvoƩne taqke ravni α od drugog traga α2 je istovremeno iodstojaƬe od druge projekcijske ravni π2, jer je α ⊥ π2, pa se ono uprvoj projekciji vidi u pravoj veliqini. Na primer, za taqku A jeAA′′ = A′Ax, pa se oboreni poloжaj [A] taqke A dobija na normaliiz A′′ na α2 tako da je [A]A′′ = A′Ax. Na isti naqin odre�uju se itaqke [B] i [C].

Primer 3.14.5. Konstruisati projekcije kruga koji pripada ravni αzadatoj tragovima α1 i α2 tako da mu je centar data taqka S(?, S′′)a polupreqnik data duж r.

Prvu projekciju taqke S odredimo pomo�u horizontale. Obo-rimo ravan α zajedno sa taqkom S u prvu projekcijsku ravan π1. Uoborenom poloжaju ravni (α) sa centrom u taqki (S) konstruiximokrug (k) datog polupreqnika r. Prvu projekciju k′ kruga k nala-zimo kao perspektivno afinu sliku kruga (k) pri preslikavaƬu sa


Slika 3.85.


osom α1 i parom odgovaraju�ih taqaka (S) i S′. Zraci afinosti suupravni na osu α1. Odredimo veliku osu A′B′ i malu C ′D′ elipsek′. Velika osa A′B′ je paralelna osi afinog preslikavaƬa a malaC ′D′ je ortogonalna na Ƭu. Odredimo taqke (A), (B), (C) i (D) nakrugu (k) tako da je (A)(B) ‖ α1 i (C)(D) ⊥ α1. Znaju�i veliku imalu osu A′B′ i C ′D′ moжemo konstruisati elipsu k′ - prvu pro-jekciju kruga k.

Velikoj i maloj osi A′B′ i C ′D′ u drugoj projekciji odgovarapar spregnutih preqnika A′′B′′ i C ′′D′′. Ukoliko se ne zahteva ve�apreciznost za crtaƬe elipse k′′ dovoƩno je znati par spregnutihpreqnika jer su tangente u krajƬim taqkama jednog preqnika para-lelne onom drugom. Me�utim boƩe je odrediti veliku i malu osui elipse k′′.

Velika osa E′′F ′′ elipse k′′ paralelna je drugom tragu a malaG′′H ′′ je ortogonalna na Ƭega. To znaqi da je u oborenom poloжaju(E)(F ) ‖ (α2) i (G)(H) ⊥ (α2), pri qemu su (E), (F ), (G) i (H) taqkekruga (k). Odredimo najpre E′, F ′, G′ i H ′ a zatim E′′, F ′′, G′′ i H ′′

(Slika 3.85).

Primer 3.14.6. Konstruisati projekcije kruga sa centrom u datoj

taqki S(S′, S′′) koji dodiruje datu pravu t(t′, t′′).

Primer 3.14.7. Konstruisati projekcije kruga koji prolazi kroz tri

date taqke A(A′, A′′), B(B′, B′′) i C(C ′, C ′′).

3.15 Projekcije nekih prostornih

geometrijskih figura

S obzirom na to da znamo da konstruixemo:- u bilo kom poloжaju ravne figure date veliqine i oblika,- pravu upravnu na ravan,- pravu pod datim uglom na datu ravan,- pravu veliqinu duжi ili ugla itd.,moжemo konstruisati projekcije raznih prostornih figura u pro-izvoƩnom poloжaju, a tako�e i prostorne figure kojima je zadatpoloжaj, oblik i veliqina.

3.15. Projekcije nekih prostornih geometrijskih figura 99

3.15.1 Projekcije prizme i piramide

Primer 3.15.8. O(1; 13). Dat je trougao ABC Konstruisati pro-

jekcije kocke kojoj je jedna strana upisana u isti krug u koji je upi-

san dati trougao i jedan vrh je taqka A. Podaci: A(1; 4; 5), B(5; 5; 3)i C(7; 3; 6).

Da bismo trougao ABC videli u pravoj veliqini posluжi�emose transformacijama. Prvu transformacijsku ravan π3 postavimoortogonalno na π1 i na ravan trougla ABC (Slika 3.86). U tomsluqaju je osa x13 ortogonalna na prvu projekciju h′ horizontaleh. U tre�oj projekciji se ravan ABC vidi kao prava a trougaoABC kao duж na toj pravoj. Drugu projekcijsku ravan π4 postav-Ʃamo ortogonalno na π3 paralelno ravni trougla ABC. Tada je osax34 paralelna pravoj A′′′B′′′C ′′′. U qetvrtoj projekciji se trougaoABC vidi u pravoj veliqini. Centar OIV opisanog kruga kIV okotrougla AIV BIV CIV pripada duжi AIV CIV . Dakle, ako oznaqimosa AIV

1, BIV

1, CIV

1i DIV

1temena kvadrata upisanog u krug kIV pri

qemu je AIV ≡ AIV1

onda je i CIV ≡ CIV1

. Na poznat naqin nalaz-imo tre�e, prve i na kraju druge projekcije taqaka A1, B1, C1 iD1. Temena A1, B1, C1 i D1 nalaze se na normalama redom kroztaqke A1, B1, C1 i D1 na ravan ABC. Pored horizontale h(h′, h′′),odredimo i frontalu f(f ′, f ′′) taqke A(A′, A′′) ravni ABC. Tada zanormalu n(n′, n′′) na ravan ABC u taqki A vaжi A′ ∈ n′, A′′ ∈ n′′,n′ ⊥ h′ i n′′ ⊥ f ′′. Da bismo odredili taqku A1 ∈ n, rotiramopravu n oko ose rotacije koja sadrжi taqku A1 i ortogonalna je naπ1, dok ne do�e u poloжaj tako da je paralelna sa π2. Oznaqimosa X(X ′, X ′′) proizvoƩnu taqku prave n. Krug rotacije taqke Xu prvoj projekciji se vidi kao krug k′X a u drugoj projekciji kaoprava linija k′′X . Taqku X rotiramo sve dok prava A′X ′

o ne budeparalelna x-osi. Drugu projekciju X ′′

o nalazimo u preseku nor-male iz X ′

o na x-osu i prave k′′X . Na normali u oborenom poloжajun′′

o ≡ A′′X ′′

o odredimo taqku A ′′

1o tako da je duж A′′A ′′

1o jednaka stra-nici a kvadrata AIV

1BIV

1CIV1

DIV1

. Taqku A ′′

1odre�ujemo na n′′ tako

da je A ′′

1A ′′

1o ‖ X ′′

oX′′, a A ′

1na normali iz A ′′

1u preseku sa n′. Prve

projekcije temena B1, C1 i D1 odre�ujemo koriste�i qiƬenicu daje A′

1A ′

1‖ B′

1B ′

1‖ C ′

1C ′

1‖ D′

1D ′

1i A′

1A ′

1∼= B′

1B ′

1∼= C ′

1C ′

1∼= D′

1D ′

1. Na

isti naqin odre�ujemo i druge projekcije temena B1, C1 i D1.


Slika 3.86.


VidƩivost ivica kocke koje nisu konturne u prvoj projekcijiodre�ujemo korix�eƬem druge projekcije kocke i obrnuto. Naprimer ivica A′

1B′

1nije vidƩiva jer je, gledaju�i odozgo ona na-

jdaƩa od posmatraqa xto se vidi iz druge projekcije. Analogno,ivica C ′′

1D′′

1nije vidƩiva, jer gledaju�i spreda ona je najdaƩa od

posmatraqa a to se vidi iz prve projekcije.

Primer 3.15.9. Konstruisati projekcije pravilne qetvorostrane

piramide kojoj je osnova ABCD u ravni α(α1, α2) ako temena osnove Ai B pripadaju datoj pravoj p(p′, ?) a taqka S(S′, ?) je sredixte osnove.

Visina H piramide jednaka je dijagonali d osnove.

Slika 3.87.


S obzirom na to da prava p pripada ravni α, moжemo odred-iti Ƭenu drugu projekciju p′′ odre�ivaƬe drugih projekcija 2′′ i3′′ Ƭenih prodora 2 i 3 kroz projekcijske ravni π1 i π2. Druguprojekciju S′′ tqke S dobijamo, postavƩaƬem horizontale h kroztaqku S (Slika 3.87). Potrebno je odrediti pravu veliqinu os-nove piramide. To postiжemo obaraƬem ravni α oko prvog tragaα1. Oboreni poloжaj (α2) drugog traga ravni α nalazimo obaraƬemtaqke 1 ≡ 1′′ sa drugog traga. Zatim odre�ujemo oborene poloжaje(p) i (S) prave p i taqke S ravni α. U oborenom poloжaju kon-strueximo kvadrat (A)(B)(C)(D) sa sredixtem u taqki (S) takoda taqke (A) i (B) pripadaju pravoj (p). Prve projekcije A′ i B′

nalazimo u preseku normala iz (A) i (B) na prvi trag sa pravom p′.Druge projekcije A′′ i B′′ nalazimo u preseki normala na x-osu izA′ i B′ sa pravom p′′. Prve projekcije C ′ i D′ odre�ujemo tako daje S′ sredixte duжi A′C ′ i B′D′. Analogno odre�ujemo i drugeprojekcije C ′′ i D′′.

Konstruiximo normalu n kroz taqku S na ravan α. Tada prvaprojekcija normale n′ sadrжi taqku S′ i n′ ⊥ α1 a druga projekcijan′′ sadrжi S′′ i n′′ ⊥ α2. Da bi odredili poloжaj vrha V piramiderotiramo normalu n oko ose s koja sadrжi taqku S i ortogonalnaje na π1 dok ne do�e u poloжaj tako da je paralelna sa π2. Oz-naqimo sa X(X ′, X ′′) neku taqku prave n. Krug rotacije taqke Xu prvoj projekciji se vidi kao krug k′X a u drugoj projekciji kaoprava linija k′′X . Taqku X rotiramo sve dok prava S′X ′

o ne budeparalelna x-osi. Drugu projekciju X ′′

o nalazimo u preseku nor-male iz X ′

o na x-osu i prave k′′X . Na normali u oborenom poloжajun′′

o ≡ S′′X ′′

o odredimo taqku V ′′

o tako da je duж S′′V ′′

o jednaka dijago-nali d kvadrata (A)(B)(C)(D). Taqku V ′′ odre�ujemo na n′′ tako daje V ′′

o V′′ ‖ X ′′

oX′′, a V ′ na normali iz V ′′ u preseku sa n′.

Crtamo najpre konture piramide ABCDV u prvoj i drugoj pro-jekciji punim linijama. VidƩivost ivica piramide koje nisu kon-turne u prvoj projekciji odre�ujemo korix�eƬem druge projekcijepiramide i obrnuto. Na primer ivica A′B′ nije vidƩiva jer je,gledaju�i odozgo ona najdaƩa od posmatraqa xto se vidi iz drugeprojekcije. Analogno, ivica C ′′D′′ nije vidƩiva, jer gledaju�ispreda ona je najdaƩa od posmatraqa a to se vidi iz prve projek-cije.

Primer 3.15.10. O(6; 13). Konstruisati projekcije pravilne xe-

stostrane piramide kojoj je jedna osnova u ravni α(4; 6;−3) sa sredix-


tem S(5; 4; ?), polupreqnik osnovi opisanog kruga je r = 3, visina pi-

ramide je H = 8 a osnovna ivica AB je paralelna ravni π2.

Slika 3.88.

Oborimo ravan osnove α oko prvog traga α1 (Slika 3.88). Odre-dimo drugu projekciju taqke S postavƩaƬem Ƭene horizontale. Uoborenom poloжaju, sa centrom u taqki (S) nacrtajmo krug polupre-qnika r = 3. U Ƭega upiximo xestougao (A)(B)(C)(D)(E)(F ) takoda je (A)(B) ‖ (α2). Tada je A′′B′′ ‖ α2, tj. AB ‖ π2. Odredimo najpreprve a onda i druge projekcije taqaka A, B, C, D, E i F . Vrh Vpiramide pripada normali n kroz taqku S na ravan α. Rotacijomprave n oko ose s kroz taqku S, koja je upravna na π2, postiжemo da


se Ƭena prava veliqina vidi u prvoj projekciji u kojoj nanosimovisinu H = 8 i odre�ujemo vrh V . Nakon odre�ivaƬa projekcijavrha V crtamo konture piramide ABCDEFV u obe projekcije i napoznat naqin odre�ujemo vidƩivost.

Primer 3.15.11. O(2; 11). Date su dve normalno mimoilazne prave

m i p. Konstruisati projekcije tetraedra qije dve nesusedne ivice

pripadaju datim pravama m i p.Prava m odre�ena je taqkama M(0; 8; 0) i N(13; 1; 5). Prava p pro-

lazi kroz taqku P (2; 2; 6) i paralelna je sa π1.

S obzirom na to da je prava p horizontalna i da su prave m ip normalno mimoilazne, prve projekcije m′ i p′ grade prav ugao.Zadatak �emo rexavati uvo�eƬem nove transformacijske ravni π3koja je normalna na π1 i pravu p. Tada vaжi x13 ⊥ p′ i x13 ‖ m′.Odredimo tre�e projekcije pravih m i p. Prava p se u tre�ojprojekciji vidi kao taqka (Slika 3.90).

Slika 3.89.

Na Slici 3.89 prikazana je kocka ivice a1 i traedar ivice a,tako da se ivice tetraedra poklapaju sa dijagonalama strana kocke.Naspramne ivice tetraedra pripadaju normalno mimoilaznim pra-vama. Neka na primer ivice AB i CD pripadaju normalno mi-moilaznim pravama m i p. Duж SS1 koja spaja sredixta ivica ABi CD pripada zajedniqkoj normali mimoilaznih pravih m i p ipri tome vaжi da je SS1 jednaka ivici a1 razmatrane kocke. Prematome, ivica tetraedra AB = a jednaka je a1

√2 jer je a dijagonala

kvadrata stranice a1.Tre�a projekcija taqke S1 nalazi se na m′′′ u podnoжju normale

iz S′′′ ≡ P ′′′ ≡ p′′′. U tre�oj projekciji duж SS1 i prava m se vide


Slika 3.90.

u pravoj veliqini. Na Slici 3.89 odre�ena je prava veliqina aivice tetraedra kada je poznato SS1 = a. Sa raznih strana taqkeS′′′

1konstruiximo taqke A′′′ i B′′′ tako da je A′′′S′′′

1= B′′′S′′′

1= a/2.

Prve projekcije A′ i B′ odre�ujemo na m′.

Zbog paralelnosti prave p sa π1 ivica CD se u prvoj projekcijividi u pravoj veliqini a S′ se nalazi u preseku pravih m′ i p′.Taqke C ′ i D′ odre�ujemo na p′ sa raznih strana taqke S′ tako daje S′C ′ = S′D′ = a/2. Druge projekcije taqaka A i B nalaze se nam′′ a taqaka C i D na p′′.

Najpre crtamo konturne ivice i odre�ujemo vidƩivost ostalihivica. Na primer ivica AB se u prvoj projekciji ne vidi jer iz


druge projekcije vidimo da je AB najudaƩenija od posmatraqa kojigleda odozgo. Analogno, ivica CD nije vidƩiva u drugoj projek-ciji.

3.15.2 Projekcije kupe i vaƩka

Primer 3.15.12. Konstruisati projekcije prave kruжne kupe kojoj

je osnova krug u ravni α(α1, α2) sa sredixtem u taqki S(S′, ?) i polu-

preqnikom r, a visina H kupe jednaka je preqniku osnove 2r.

Drugu projekciju taqke S odredimo pomo�u horizontale. Obo-rimo ravan α zajedno sa taqkom S u prvu projekcijsku ravan π1(Slika 3.91). U oborenom poloжaju ravni (α) sa centrom u taqki(S) konstruiximo krug (k) polupreqnika r. Prvu projekciju k′

kruga k nalazimo kao perspektivno afinu sliku kruga (k) pri pres-likavaƬu sa osom α1 i parom odgovaraju�ih taqaka (S) i S′. Zraciafinosti su upravni na osu α1. Odredimo veliku osu A′B′ i maluC ′D′ elipse k′. Odredimo taqke (A), (B), (C) i (D) na krugu (k) takoda je (A)(B) ‖ α1 i (C)(D) ⊥ α1. Znaju�i veliku i malu osu A′B′ iC ′D′ moжemo konstruisati elipsu k′ - prvu projekciju kruga k.

Velikoj i maloj osi A′B′ i C ′D′ u drugoj projekciji odgovarapar spregnutih preqnika A′′B′′ i C ′′D′′. Velika osa E′′F ′′ elipse k′′

paralelna je drugom tragu a mala G′′H ′′ je ortogonalna na Ƭega.To znaqi da je u oborenom poloжaju (E)(F ) ‖ (α2) i (G)(H) ⊥ (α2),pri qemu su (E), (F ), (G) i (H) taqke kruga (k). Odredimo najpreE′, F ′, G′ i H ′ a zatim E′′, F ′′, G′′ i H ′′.

Na normali n(n′, n′′) odredimo taqku V tako da je prava veliqinaduжi SV jednaka 2r. Pravu veliqinu normale odre�ujemo rotaci-jom oko ose normalne na π2 kroz taqku S.

Dodirne taqke T ′

1i T ′

2tangenata iz V ′ nalazimo tako xto na-

jpre odredimo sliku (V ) taqke V ′ pri odgovaraju�em afinom pres-likavaƬu, sa osom α1 i parom odgovaraju�ih taqaka S′ i (S), dvajuravnih poƩa taqaka, iz (V ) konstruixemo tangente (V )(T1) i (V )(T2)na krug (k) a onda odredimo T ′

1i T ′

2. U taqkama T ′

1i T ′

2meƬa se

vidƩivost osnove kupe u prvoj projekciji.

Za odre�ivaƬe konturnih izvodnica V ′′T ′′

3i V ′′T ′′

4u drugoj pro-

jekciji konstruiximo krug [l] sa centrom u [S] i polupreqnikomG′′[S] = r koji prolazi kroz taqku G′′ tako da u Ƭoj ima zajedniqku


Slika 3.91.


tangentu t sa elipsom k′′. Tada pri afinom preslikavaƬu sa osom ti parom odgovaraju�ih taqaka S′′ i [S] elipsi k′′ odgovara krug [l],a taqki V ′′ taqka [V ]. Za nalaжeƬe taqke [V ] koristili smo pravuF ′′V ′′. Odredimo dodirne taqke [T3] i [T4] tangenata iz taqke [V ] nakrug [l] a zatim Ƭima odgovaraju�e taqke T ′′

3i T ′′

4pri razmatra-

nom afinom preslikavaƬu. U taqkama T ′′

3i T ′′

4meƬa se vidƩivost

osnove kupe u drugoj projekciji.

Primer 3.15.13. O(5; 12) Data je ravan τ i prava MN . Konstru-

isati projekcije prave kruжne kupe qija je osnova krug u ravni τ ,jedna izvodnica pripada pravoj MN , a visina kupe je H = 8.

Podaci: τ(16; 9; 1), M(1; 2, 5; 2) i N(12; 8; 7)

Primer 3.15.14. Konstruisati projekcije vaƩka qija je osnova krug

sa centrom u datoj taqki S(S′, S′′) koji dodiruje datu pravu t(t′, t′′).Visina vaƩka H jednaka je preqniku osnove.

Prava t(t′, t′′) i taqka S(S′, S′′) odre�uju ravan osnove vaƩka α.Neka je q(q′, q′′) prava koja sadrжi taqku S i paralelna je pravoj p(Slika 3.92). Tragove α1 i α2 ravni α dobijamo pomo�u prvih idrugih prodora pravih p i q. Ravan α oborimo oko prvog traga α1,a sa Ƭom pravu t i taqku S. Oznaqimo sa (T ) podnoжje normale iztaqke (S) na pravu (t) i konstruiximo krug (k) sa centrom u taqki(S) i polupreqnikom (S)(T ).

Prvu projekciju k′ kruga k nalazimo kao perspektivno afinusliku kruga (k) pri preslikavaƬu sa osom α1 i parom odgovaraju�ihtaqaka (S) i S′. Odredimo veliku osu A′B′ i malu C ′D′ elipsek′. Taqke (A), (B), (C) i (D) na krugu (k) izaberimo tako da je(A)(B) ‖ α1 i (C)(D) ⊥ α1. Znaju�i veliku i malu osu A′B′ i C ′D′

moжemo konstruisati elipsu k′.Velikoj i maloj osi A′B′ i C ′D′ u drugoj projekciji odgovara

par spregnutih preqnika A′′B′′ i C ′′D′′. Velika osa E′′F ′′ elipse k′′

paralelna je drugom tragu a mala G′′H ′′ je ortogonalna na Ƭega.To znaqi da je u oborenom poloжaju (E)(F ) ‖ (α2) i (G)(H) ⊥ (α2),pri qemu su (E), (F ), (G) i (H) taqke kruga (k). Odredimo najpreE′, F ′, G′ i H ′ a zatim E′′, F ′′, G′′ i H ′′.

Pravu veliqinu normale n(n′, n′′) na ravan α(α1, α2) u taqkiS(S′, S′′) odre�ujemo rotacijom oko ose s kroz taqku S normalnena π1 . Na normali n odredimo taqku S tako da je prava veliqinaS′′S ′′

o duжi SS jednaka 2r.


Slika 3.92.


Sada kada imamo projekcije ose vaƩka SS lako moжemo konstru-isati projekcije k

′

i k′′

druge osnove vaƩka koriste�i qiƬenicuda su sve izvodnice vaƩka podudarne i paralelne osi vaƩka. Kon-turne izvodnice prolaze kroz krajƬe taqke velikih osa osnovavaƩka u prvoj i drugoj projekciji.

VidƩivost vaƩka u prvoj projekciji odre�ujemo korix�eƬemƬegove druge projekcije i obrnuto. Na primer izvodnica A′′A

′′

nije vidƩiva jer je, gledaju�i spreda ona najdaƩa od posmatraqaxto se vidi iz prve projekcije. Analogno, izvodnica E′E

′

nijevidƩiva, jer gledaju�i odozgo ona je najdaƩa od posmatraqa a tose vidi iz druge projekcije.

Slika 3.93.


3.15.3 Projekcije sfere

Konstruisa�emo projekcije sfere sa datim centrom S i polu-preqnikom r (Slika 3.93). Veliki krug k1 koji je paralelan pro-jekcijskoj ravni π1 projektuje se na π1 u krug k′

1sa centrom u S′

i polupreqnikom r. Krug k′1predstavƩa konturu prve projekcije

sfere. Druga projekcija kruga k1 je duж sa sredixtem u S′′ para-lelna x-osi duжine 2r.

Veliki krug k2 koji je paralelan projekcijskoj ravni π2 projek-tuje se na π2 u krug k′′

2sa centrom u S′′ i polupreqnikom r. Krug

k′′2predstavƩa konturu druge projekcije sfere. Prva projekcija

kruga k2 je duж sa sredixtem u S′ paralelna x-osi duжine 2r.Ukoliko je data jedna projekcija taqke A koja pripada datoj

sferi, onu drugu projekciju dobijamo presecaƬem sfere pomo�uravni koja sadrжi datu taqku i paralelna je nekoj od projekci-jskih ravni π1 ili π2. Ta ravan seqe sferu po malom krugu sferekoji sadrжi taqku A. Na slici (Slika 3.93) odre�ene su drugeprojekcije A′′

1i A′′

2taqke A(A′, ?) sa sfere. U opxtem sluqaju, kada

je zadata prva projekcija A′ taqke A sa sfere za drugu projekcijuimamo dve mogu�nosti, jer normala na π1 kroz A′ prodire sferu udve taqke. Izuzetak je kada A′ pripada konturnom krugu u prvojprojekciji. Sluqaj kada je poznata druga projekcija A′′ taqke A sasfere razmatra se analogno.

Documents

Metodi nacrtne geometrije - nasport.pmf.ni.ac.rs