metodika matematike

SVEUCILISTE U ZAGREBUPMF-MATEMATICKI ODJEL

METODIKA NASTAVE

MATEMATIKE II - DIO, zainternu upotrebu

Dio materijala koji se odnosi na vrste nastave, kao sto je heuristicka, problemskanastava, metoda predavanja i metoda rada s tekstom itd, objavljen je u casopisuMatematika i skola, te se ne nalazi u ovim materijalima. Moze se naci na web

stranicama Metodike 2.

Priredila prof. dr. sc. Sanja Varosanec na osnovi svojih predavanja ipredavanja profesora Zdravka Kurnika za potrebe studenata

PMF-Matematickog odjela

Zagreb, 2004.

Sadrzaj

1. CILJEVI, NACELA, OBLICI I METODE NASTAVE MATEMATIKE 2

1.1. Ciljevi nastave matematike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Nacela nastave matematike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Oblici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4. Metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. DIFERENCIRANA NASTAVA 17

2.1. Homogene grupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Grupni rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3. Individualizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3. METODA DIJALOGA 23

4. PROGRAMIRANA NASTAVA 26

5. ISPITIVANJE I OCJENJIVANJE UCENICKIH ZNANJA 30

6. VRSTE NASTAVE 34

1. CILJEVI, NACELA,OBLICI I METODENASTAVE MATEMATIKE

1.1. Ciljevi nastave matematike

Nastava je svrhoviti, dvosmjerni, planski i racionalno organizirani radni procesu kojemu se, pojednostavljeno receno, vrsi prenosenje sintetiziranog iskustva starijihgeneracija na mlade, sa svrhom njihovog osposobljavanja za samostalno i uspjesnosnalazenje u zivotnom okruzenju.

Cilj oznacava ocekivano, zamisljeno buduce stanje koje zelimo postici odredenimaktivnostima i sredstvima (sadrzajima). Ciljevima iskazujemo formulaciju ocekivanihpromjena koje e nastati kod ucenika (pojedinca) nakon sto ovlada sadrzajima kojisu obuhvaceni u odredenom ciklusu skolovanja.

U najnovijem Nastavnom planu i programu za osnovnu skolu za 2006./07.godinu (krace: po HNOS-u) cilj nastave matematike opisan je ovako:

Cilj nastave matematike je stjecanje temeljnih matematickih znanja potreb-nih za razumijevanje pojava i zakonitosti u prirodi i drustvu, stjecanje osnovnematematicke pismenosti i razvijanje sposobnosti i umijeca rjesavanja matematickihproblema.

U prethodnom Nastavnom planu i programu za osnovnu skolu (Prosvjetnivjesnik, 1999.) nalazili su se ovako opisani ciljevi:

Ciljevi nastave matematike u osnovnoj skoli su:

- usvajanje osnovnih matematickih znanja potrebnih za razumijevanje pojavai zakonitosti u prirodi i drustvu,

- stjecanje sire obrazovne osnove potrebne za lakse razumijevanje i usvajanjedrugih sadrzaja prirodnih i drustvenih znanosti,

- osposobljavanje za nastavak skolovanja i primjenu usvojenog znanja u svakod-nevnom zivotu, postupno svladavanje osnovnih elemenata matematickog jezika,

1 Ciljevi, nacela, oblici i metode nastave matematike 3

razvijanje sposobnost izrazavanja opcih ideja matematickim jezikom, razvijanje po-jmovnog i apstraktnog misljenja te logickog zakljucivanja,

- usvajanje metoda matematickog misljenja koje se ocituje u preciznom for-muliranju pojmova i algoritamskom rjesavanju problema

- razvijanje smisla i potrebe za samostalni rad, odgovornost za rad, tocnost,urednost, sustavnost, preciznost i konciznost u pismenom i usmenom izrazavanju.

Nastavni programi za gimnazije (Glasnik Ministarstva kulture i prosvjete,1994.)

Ciljevi nastave matematike u gimnaziji su:

-stjecanje temeljnih matematickih znanja nuznih za nastavak daljnje izobrazbe,praenje suvremenoga drustveno-gospodarskog i znanstveno-tehnoloskog razvoja ibuduce djelatnosti,

-razvijanje logickoga misljenja i zakljucivanja, matematicke intuicije, maste istvaralastva,

-stjecanje navika i umijeca, kao sto su sistematicnost, ustrajnost, preciznost ipostupnost,

-usvajanje metoda matematickog misljenja koje se ocituje u preciznom for-muliranju pojmova i algoritamskom rjesavanju problema,

-stjecanje sposobnosti matematickoga oblikovanja i predocavanja problema naznakovima i jeziku matematike, naglaseno u grafickom smislu.

Odgojno-obrazovni proces podrazumijeva stjecanje znanja, razvijanje vjestinai stjecanje odgojnih navika, pa cemo reci par rijeci o tim kategorijama.

Znanje

Znanje je sustav ili logicki pregled cinjenica i generalizacija o objektivnojstvarnosti koje je covjek usvojio i trajno zadrzao u svojoj svijesti.

Cinjenice su konkretnosti, odnosno pojedinosti o objektivnoj stvarnosti kojecovjek upoznaje perceptivnim putem. Osim cinjenica, znanje obuhvaca i poznavanjegeneralizacija ili apstrakcija kao sto su pojmovi, pravila, nacela, metode, zakoni, ko-relacije, definicije, zakljucci, dokazi, aksiomi, hipoteze, anticipacije, teorije, misli,ideje, simboli, algoritmi, formule, jednadzbe. Apstrakcije ne mozemo vidjeti, opi-pati, okusiti; njih treba shvatiti posredstvom misljenja.

S obzirom na kvalitetu razlikujemo vise stupnjeva znanja:

a) Znanje prisjecanja karakteristicno je po tome da se ucenik samo sjeca nekihsadrzaja, ali nista vise o tome ne zna.


b) Znanje prepoznavanja karakteristicno je po tome da ucenici mogu prepoz-nati neke sadrzaje, znaju na sto se oni odnose, ali ih ne mogu objasniti i obrazloziti.

c) Znanje reprodukcije karakteristicno je po tome da je ucenik u stanjuponoviti, reproducirati neki sadrzaj, ali ga ne zna upotrijebiti u nekoj drugojsituaciji.

d) Operativno znanje karakterizira to da ucenici sigurno vladaju nastavnimsadrzajima, umiju ih objasniti i obrazloziti i umiju primjenjivati u svom svako-dnevnom radu u skoli i izvan nje.

e) Kreativno ili stvaralacko znanje je najvisi stupanj kvalitete znanja i njegovakarakteristika je da covjek na temelju stecenog znanja stvara nova.

U skoli je potrebno da ucenici za vrijeme skolovanja postignu stupanj ope-rativnog znanja, a neki ce krenuti i stupanj vise, tj. znaci da ce dostici ´E stupanjkreativnog znanja.

Primjer 1.1. U petom razredu OS obraduje se pojam simetrale duzine. Ukoliko jeucenik u stanju samo reproducirati definiciju simetrale duzine: ”Simetrala duzine jepravac koji prolazi polovistem te duzine i okomit je na nju”, tada cemo reci da jesamo u stanju reproducirati definiciju tog pojma. Provjeru je li ucenik ovladao timpojmom dobit cemo ako uspjesno rijesi neki od zadataka vezanih uz taj pojam. Naprimjer: Konstruiraj simetralu zadane duzine AB. Ili ako rijesi neki od zadatakaiz zbirke. Na zupanijskom natjecanju 1997. u 5. razredu bio je zadan ovaj zadatak:Nacrtaj tri tocke A, B, C koje ne leze na istom pravcu. Konstruiraj tocku koja jejednako udaljena od svih triju tocaka A, B i C.

Moramo napomenuti da ucenik 5. razreda u tom trenutku jos ne zna nista opojmu kruznice opisane trokutu. Ucenik pri rjesavanju tog zadatka mora primjenitisvojstvo da je svaka tocka simetrale duzine jednako udaljena od rubova duzine, tj.tu je istaknut operativni nivo znanja. Ali, u trenutku kad ucenik zakljuci da jetrazena tocka srediste kruznice koja prolazi kroz sva tri vrha trokuta, tada je onna temelju stecenog znanja o simetrali stvorio novo znanje, konkretno o kruzniciopisanoj trokutu. I to je korak stvaranja.

Primjer 1.2. U svom skolovanju ucenik se susrece s pojmom aritmeticke (prosjekocjena) i geometrijske sredine dva broja (Euklidov poucak) i osnovnom nejednakoscuizmedu tih sredina: A(x, y) ≥ G(x, y) , gdje je A(x, y) = x+y

2i G(x, y) =

√xy.

Procjenu je li ucenik operativno ovladao tim pojmovima dobit cemo ako na primjer,uspjesno rijesi zadatke:

Zadatak. [14, str. 102]Dokazi da za svaka tri pozitivna realna broja a, b, cvrijedi

(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc.

Rjesenje. Vrijedi a+b2

≥√

ab, b+c2

≥√

bc, a+c2

≥√

ac. Kad pomnozimo te trinejednakosti dobivamo upravo trazenu nejednakost.


ili

Zadatak. [14, str. 104] U skupu pravokutnika konstantnog opsega odredite onajcija je povrsina maksimalna.

Rjesenje. Dakle, vrijedi a + b = O2. Iz nejednakosti aritmeticke i geometrijske

sredine vrijedi O4≥

√P pri cemu se jednakost postize ako je a = b. Kako je lijeva

strana konstantna, to je maksimum desne strane upravo O/4 i postize se za a = b.

Kreativno znanje ocituje se u mogucnosti stvaranja novih rezultata: genera-lizacija u kojima se umjesto dva broja pojavljuje n brojeva, generalizacija na tezinskesredine, prosirenje pojma aritmeticke i geometrijske sredine na sredine reda r :

M(x, y) =

(p1x

r + p2yr

p1 + p2

)1/r

, r 6= 0,

te formiranja novih rezultata u vezi s tim sredinama.

Stjecanje znanja o objektivnoj stvarnosti koja se proucava u nastavi nazivamomaterijalni zadatak nastave.

Do potkraj 19. stoljeca vladalo je misljenje da je materijalni zadatak osnovnii jedini zadatak nastave; smatralo se da ce mlada generacija biti bolje pripremljenaza zivot usvoji li sto vecu kolicinu znanja. Ta je koncepcija dobila naziv didaktickimaterijalizam (stara skola). U skolama su se neprestano sirili nastavni sadrzaji, aucenje se svelo na memoriranje brojnih cinjenica i generalizacija. Jasno je da sutakva mehanicki memorirana znanja bila na stupnju reprodukcije, te da ucenicimanedostaje sposobnost primjene tih znanja.

Sposobnosti

Sposobnost je kvaliteta licnosti koja je tako formirana da osoba moze uspjesnoobavljati neku djelatnost. Razlikujemo perceptivne, prakticne i intelektualnesposobnosti, te sposobnosti izrazavanja. Sposobnosti nisu unaprijed dane rodenjem,nego se razvijaju ovisno o naslijedenoj anatomsko-fizioloskoj i psihickoj strukturicovjeka, vanjskoj sredini u kojoj covjek zivi i radi, te o samoj aktivnosti covjeka.

Razvijanje brojnih i raznovrsnih ljudskih sposobnosti cini funkcionalni zadataknastave. Taj zadatak posebno isticu predstavnici tzv. nove skole na prijelazu iz 19.u 20. stoljece i u prvim desetljecima 20. stoljeca. Naime, uocavajuci nedostatke di-daktickog materijalizma, predstavnici nove skole pojam obrazovanja svode na razvi-janje psihofizickih funkcija (didakticki funkcionalizam). Ali i u toj koncepciji otislose u krajnost, te se zapostavlja materijalna strana obrazovanja. U suvremenom


obrazovanju smatramo da treba naglasavati znacenje materijalnog i funkcionalnogzadatka nastave, a ne isticati jedno i zapostavljati drugo.

Formulacije u pripremama za materijalni zadatak glase: upoznati, pokazati,ukazati, uociti, razumjeti, shvatiti, nauciti i sl., a formulacije s obzirom nafunkcionalni zadatak glase: razviti, osposobiti, usavrsiti, formirati, uvjezbati,navikavati, izgradivati, izrazavati, misliti, operirati i sl.

Konkretno, u nastavi matematike1, ucenicima se predaje odgovarajuci sustavmatematickih znanja, umijeca i navika, ovladava se matematickim metodama spoz-naje stvarnosti, minimumom matematickih cinjenica potrebnih za primjenu u zivotute se uci usmena i pismena matematicka rijec sa svim njezinim svojstvima kao stosu jednostavnost, jasnoca, preciznost, punoca i sl. Nadalje, razvija se umijece prim-jene dobivenih znanja, umijece koristenja matematickog pribora i pomagala, umijecesamostalnog stjecanja znanja pomocu strucne i znanstveno popularne literature, teosposobljava za rjesavanje problema koje postavlja tehnicki, ekonomski i socijalnizivot.

Odgoj

Nastava je proces kojim se usvajaju i odgojne vrijednosti - moralne, estetske,fizicke i radne. Time se bavi teorija odgoja. Na primjer, ucenik se odgaja u duhuodgovarajuceg pogleda na svijet, njeguje se stalni interes za ucenje matematike,razvija se matematicko misljenje, sklonost prema istrazivanjima, kreativan i kritickiduh, znanstveni pogled na svijet i ljubav prema istini.

Nastava matematike moze doprinijeti stvaranju potrebnih i korisnih navika,kao sto su: navika koncentracije, pozornosti i intenzivne misaone aktivnosti u re-lativno duzem trajanju, navika jasnog, preciznog i sazetog pismenog ili usmenogizlaganja, navika koristenja literature, navika sudjelovanja u timskom radu.

Jedan od najvaznijih odgojnih ciljeva je svakako i razvijanje pozitivnog stavaprema matematici.

Vazno je naglasiti da doprinos nastave matematike razvoju sposobnosti istvaranju navika i shvacanja manje ovisi o sadrzaju u nastavnom programu, a mnogovise o nastavnim metodama i izboru zadataka za vjezbe.

1.2. Nacela nastave matematike

Pri nastavi, kao i u svakom drugom radu moraju se postivati odredena nacelaili principi.

1Z. Kurnik, Matematicke sposobnosti, Matematika i skola 10(2001), 195-199.


Nacela nastave matematike temeljne su ideje na kojima se i uz pomoc kojihse ureduju uvjeti ucenja u nastavi matematike. To su polazne osnove pri usposta-vljanju, stvaranju, procjenjivanju i vrednovanju cjelokupnog odgojno - obrazovnogprocesa u nastavi. Njima se izrazava koncepcija te nastave, pojavni oblici i konacniucinci. Nacela su rezultat proucavanja nastavne prakse, zakonitosti procesa ucenja,razine i kvalitete psihicke razvijenosti ucenika te prirode nastavnih matematickihsadrzaja.

U osnovi to su smjernice kojih bi se trebao pridrzavati svatko tko organizira iprovodi nastavu matematike. Konacna im je svrha matematicko obrazovanje ucinitimaksimalo efikasnim. Metodika nastave matematike u osnovnoj i srednjoj skoliuspostavlja razna nacela od kojih cemo navesti:

nacelo primjerenosti

nacelo znanstvenosti

nacelo interesa, svjesnosti i aktivnosti

nacelo sistematicnosti i postupnosti

nacelo zornosti i apstraktnosti

nacelo problemnosti

nacelo trajnosti znanja, vjestina i navika

nacelo individualizacije

nacelo ekonomicnosti i racionalizacije

nacelo historicnosti i suvremenosti.

Naravno, nacela nisu medusobno odvojena vec se uzajamno uvjetuju i istovre-meno ostvaruju.

Nacelo primjerenosti

Nacelo primjerenosti zasniva se na spoznaji da se dijete postupno razvija te danastavni rad treba uskladiti sa psihofizickim snagama ucenika. Nastava po sadrzajui nacinu ne smije biti ni prelagana, ni preteska, s proucavanjem pojedinih nastavnihsadrzaja ne treba zapoceti ni prerano ni prekasno, psiho-fizicke osobine ucenika nebi se smjele ni precjenjivati niti potcjenjivati.

Ucenje ne smije biti previse lako zato sto lakoca ucenja ne stvara kod ucenikanavike rada i savladavanja teskoca. S druge strane osim sto se nastava prilagodujeuceniku, nastavni rad treba ici i korak naprijed ispred trenutnog stanja, tj. trebauvesti faktor koji ce angazirati u potpunosti intelektualni potencijal ucenika.

Ponekad se susrecu studenti koji su u srednjoj skoli bili dobri ucenici, a navisim skolama dozivljavaju neuspjeh. Jedan od razloga je i to sto im je nastava


u srednjoj skoli bila suvise laka, a u visoj nisu mogli svladati naviku da rade beznapora.

Nije manje stetan i otklon u drugu krajnost ako su zahtjevi koji se stavljajuucenicima neprimjereni. Tada oni traze povrsne veze ili mnemotehnicka pravilakojima ovladavaju tim gradivom samo prividno. Dobivena znanja su kratkotrajna,neprimjenjljiva, ucenik uci napamet nedovoljno shvaceno gradivo, trazi zaobilazneputeve (prepisivanje, salabahteri), gubi interes za predmet.

Zahtjevi koji se stavljaju pred cijeli razred moraju biti primjereni ( ne suviselaki ) vecini ucenika. Medutim uvijek ce se naci nekoliko ucenika za koje su zahtjeviteski, a takoder i takvi za koje su suvise laki. Prvima treba ukazivati individualnupomoc, a to se najcesce i cini bilo na redovnom satu, bilo na dopunskoj nastavi.Nastavnik cesto ne obraca paznju uceniku koji bez napora dobiva dobre ocjene,to znaci da potencijalne mogucnosti takvih ucenika ostaju neiskoristene, stoga njihtreba dodatno opteretiti usmjeravajuci ih u dublje proucavanje matematike (izbornanastava, grupe naprednih matematicara, dodatni zadaci i literatura).

Dobar nastavnik mora ovladati sposobnoscu drzanja na oku citavog razreda,kako slabe tako i odlicne ucenike i sve njih primjereno opteretiti.

Primjer 1.3. Nacelo primjerenosti ogleduje se i u izgledu nastavnih programa, kakogledanih u cjelini, tako promatranih i po metodickim jedinicama. Na primjer, u 5.razredu OS proucava se skup N i operacije na njemu na intuitivnom nivou, u 4.razredu srednje skole uvodi se aksiom matematicke indukcije, dok se tek na fakultetuskup prirodnih brojeva definira pomocu Peanovih aksioma. Naime, u osnovnoj skoliucenik nije u stanju pojmiti skup prirodnih brojeva kao jednu apstraktnu strukturu,nego iskljucivo kao skup onih brojeva koje dobijemo prebrojavanjem stvari oko sebe.

Primjer 1.4. Evo jos jednog primjera primjene nacela primjerenosti. Jednadzbe seu nastavi pojavljuju na svakom nivou, ali ovisno o znanjima kojima ucenik raspolazemetode rjesavanja su razlicite. U nizim razredima jednadzbe imaju oblik 3+ = 12i rjesavaju se napamet. U 5. razredu se jednadzba 3 + x = 12 rjesava koristeci vezuzbrajanja i oduzimanja, tj. pribrojnik je jednak razlici sume i drugog pribrojnika. U7. razredu, na obje strane dodajemo −3 tj. koristimo zbrajanje suprotnih brojeva.Vise o razlicitim nacinima rjesavanja problemskih zadataka moze se naci u clanku[19].

Nacelo znanstvenosti

Nacelo znanstvenosti2 nastave matematike sastoji se u nuznom skladu nas-tavnih sadrzaja i nastavnih metoda s jedne i zahtjeva i zakonitosti matematike kao

2Z. Kurnik, Nacelo znanstvenosti, Matematika i skola, 13(2002), 102-106


znanosti s druge strane. To znaci da nastavnik matematike treba ucenike upozna-vati s onim cinjenicama i u njihovom misljenju formirati one pojmove koji su danasznanstveno potvrdeni. Nastava mora biti takva da omogucuje daljnja produblji-vanja i prosirivanja gradiva i prirodan nastavak matematickog obrazovanja na visojrazini.

Nastavnik upotrebljava onaj matematicki jezik i simbole koji su uobicajeni umatematici (tg, a ne tan kao oznaku za tangens; decimalnu tocku, a ne decimalnizarez; |AB|, a ne |AB|; oznake za pravi kut; razlomak se skracuje, a ne ponistava isl.). Takoder, dobar nastavnik koristi razlicite znanstvene metode kao sto su analizai sinteza, metoda analogije, metoda indukcije.

Dokazi teorema mogu biti vise ili manje strogi, ali nastavnik mora uvijekimati na umu da ce ucenici prije ili kasnije izici iz te skole i nastaviti skolovanjena visim nivoima. Veoma je lose ako se u skoli ucilo nesto cega se ucenici morajuodvikavati, nesto sto smeta daljnjem napredovanju. Ovdje se ne misli samo napogresne cinjenice vec i na metode. Naime, ako ce nastavnik poucavati samo naprimjerima, tj. uciti metodu rjesavanja nekoliko tipova zadataka, ne akcentirajucitocno sustinu problema, ili npr. primjenjivati teoreme bez obzira na uvjete njihoveprimjenjivosti, to ce biti stvaranje losih navika u matematickom razmisljanju i bitce narusen princip znanstvenosti.

Primjer 1.5. U 5. razredu uci se pravilo komutativnosti zbrajanja prirodnih bro-jeva, ali se ne dokazuje (iz jasnog razloga–u dokazu se koriste Peanovi aksiomi,a dokazuje se metodom indukcije). Ipak treba napomenuti da se to pravilo trebadokazati i da ce to biti ucinjeno u kasnijem skolovanju, tako da je ucenik svjestannedovrsenosti posla.

Primjer 1.6. Cesto se u 2. razredu srednje skole logaritamska jednadzba rjesavaovako:

log(x + 5) + log(x + 3) = log 15

log((x + 5)(x + 3)) = log 15

(x + 5)(x + 3) = 15

x1 = 0, x2 = −8

i oba broja se proglase rjesenjem jednadzbe, a zaboravlja se da se za svaku jednadzbutreba provesti provjera ili napisati uvjeti definiranosti. U ovom slucaju to su uvjeti:x + 5 > 0, x + 3 > 0. Dakle, samo je x = 0 rjesenje jednadzbe.

Primjer 1.7. Sjetimo se koliko smo puta napisali√

x2 = x bez naznake da je xpozitivan broj. Naime, ako je x realan tada vrijedi

√x2 = |x|.


Primjer 1.8. Evo jos nekih mjesta gdje se narusava nacelo znanstvenosti: koristenjekrivih naziva i neprecizno izrecenih teorema kao: crtez je funkcija umjesto crtezje graf funkcije, visine se sijeku u tocki, kvadrat nad hipotenuzom jednak je zbrojukvadrata nad katetama, rjesavanje nepravog integrala mehanicki bez uvodenja limesa,koristenje teorema bez provjere pretpostavki.

Nacelo interesa, svjesnosti i aktivnosti

Nastava mora biti takva da budi interes prema predmetu. Ako nastavni radnije popracen pozitivnim emocionalnim uzbudenjima ucenika, njegov efekt bit ceslab; stecena znanja ostat ce mrtva, pasivna, formalna pa ce se prvom prilikomzaboraviti.

Te povoljne situacije u nastavi stvara nastavnik kao organizator nastavnogprocesa, premda takva situacija mnogo ovisi i o objektivnim uvjetima u kojima radiskola. Npr. nastavnik moze sadrzaje obradivati suhoparno, monotono, nizanjemcinjenica i generalizacija bez vlastitog subjektivnog pozitivnog emocionalnog tona,sto ce kod ucenika imati za posljedicu neugodna emocionalna raspolozenja. Napro-tiv nastavnik moze sadrzaje obraditi kvalitetnije pa ih ucenici ugodno dozivljuju,nastavni ih rad zanese, zagrije, koncentrira, pasionira, odusevi.

Monotoni rad se neugodno emocionalno dozivljava pa se pojavom monotonijeu nastavi smanjuje ucinak. ” Od svih nastavnika najvise se treba bojati dosadnihnastavnika ” ( Rosner). Ta se situacija moze promijeniti ako nastavnik obogacujesvoj nacin rada, unosi smisljene promjene u nastavni proces, tj. jednolicni radpretvara u svestraniji, mrtvilo u zivahnost, staticnost u dinamicnost, dogmaticnostu dijalekticnost, pasivnost u aktivnost.

Aktivnost u nastavi je takoder vazan faktor u razvoju i formiranju licnostiucenika. Postujuci princip aktivnosti treba ucenicima dati da rade, jer znanje se nemoze dobiti, dati, prenijeti, pokloniti, ono se stjece vlastitom aktivnoscu. Kvalitetaznanja ovisi upravo o intenzitetu aktivnosti, pa je uspjeh u nastavi proporcionalanudjelu vlastite aktivnosti.

Nacelo sistematicnosti i postupnosti

Sistematicnost znaci obradivanje nastavnih sadrzaja u odredenom logickompregledu.

Sto je broj cinjenica i generalizacija veci to se intenzivnije namece potrebaza logickim sredivanjem tih sadrzaja. Usvajanje znanstvenih sustava kao rezultatasistematiziranja znanstvenih cinjenica i generalizacija je krajnji cilj do kojega treba


ucenike postupno dovesti, to vise sto su ucenici u razvojnoj fazi pa ne mogu jos svo-jim mentalnim snagama usvajati znanstvene sustave u njihovom punom intenzitetu.

Ta postupnost u radu nastavnika izrazena je pravilima koja glase:

od lakseg k tezem,

od jednostavnog k slozenom,

od blizega k daljem,

od poznatog k nepoznatom,

od konkretnog k apstraktnom.

Nastavnikova je vjestina da pronade takvu postupnost u obradivanju gradivabez prevelikih skokova i preteskih prijelaza.

Primjer 1.9. Sjetimo se kako je organizirano ucenje rjesavanja jednadzbi: u 5.razredu imamo jednadzbe s jednom nepoznanicom koja se nalazi na jednom mjestu:3x + 12 = 15, zatim se uvode kompliciraniji oblici tog tipa jednadzbi uz upotrebuzagrada, ali nepoznanica se jos uvijek nalazi samo na jednom mjestu: 30+(3−x) =21,zatim se nepoznanica pojavljuje na vise mjesta, ali jos uvijek na jednoj strani jed-nadzbe: 3x+5x = 64. U 6. razredu nepoznanice se pojavljuju na razlicitim stranamaznaka jednakosti: 3x+15 = 7x−143, uvode se zagrade, a i koeficijenti jednadzbe nisuvise samo cijeli brojevi. U 7. razredu pojavljuju se i sustavi dviju jednadzbi s dvijenepoznanice. U 1. razredu jednadzbe se dodatno kompliciraju uvodenjem funkcijeapsolutne vrijednosti, a u visim razredima proucavaju se jos slozenije jednadzbe.

Primjer 1.10. Pogledajmo kako je u Zbirci zadataka za 4. razred srednje skole au-tora Dakic-Elezovic obradeno gradivo o binomnom poucku. Prvo se uvodi pojamfaktorijela, te uvjezbava racun s faktorijelama i to prvo s konkretnim brojevima, azatim s izrazima s opcim brojevima. Potom se uvodi pojam binomnog koeficijenta,te se kroz nekoliko pocetnih zadataka uvjezbava izracunavanje konkretnih binomnihkoeficijenata, a zatim se pojednostavnjuju algebarski izrazi u kojima se javljaju bi-nomni koeficijenti. Konacno se pojavljuju zadaci s primjenom binomnog poucka ito prvo oni najjednostavniji u kojima treba samo raspisati potenciju binoma pa dokompliciranijih u kojima se treba odrediti clan razvoja koji ne sadrzi x ili koji sadrzineku konkretnu potenciju varijable x.

Nacelo ekonomicnosti i racionalizacije

Smisao tog nacela je da se postigne najveci moguci ucinak sa sto manjimutroskom vremena, sredstava i snage. Treba imati na umu da svaki nastavni pos-tupak zahtijeva odredeni optimalni utrosak vremena; suvisno trosenje vremena pri-mjenom nekog postupka steti obradivanju ostalih nastavnih sadrzaja. Na pr. sistem


predavanja je ekonomicniji od sistema samostalnog rada, ali se ne smije cijelo vri-jeme upotrebljavati jedna metoda rada, jer se tada njene negativne strane pokazujuu vecoj mjeri nego kada je kombinirana s ostalim metodama.

Nacelo historicnosti i suvremenosti3

Veci dio ucenika nema ni najosnovnije predodzbe o razvoju matematike. Onimisle da je matematika uvijek bila takva kakva je sada. Bilo bi korisno da saznajuda u Euklida nije bilo formula, da su u srednjem vijeku pravila rjesavanja kvadrat-nih jednadzbi bila kompliciranija nego danas (zbog pomanjkanja pojma negativnihbrojeva trebalo je razmatrati mnogo posebnih slucajeva), i izrazavala su se ne for-mulama nego latinskim stihovima, da je sin 90 svaki autor smatrao po svom, naprimjer, ako je radijus bio 10000 onda je i sin 90 bio 10000 i sl.

Saznavsi te cinjenice ucenici ce shvatiti da su se pogledi na jedan te isti pojammijenjali i da su ti pojmovi vremenom postajali jednostavniji.

Oni postaju sposobni cijeniti suvremene matematicke metode i pojmove ishvacaju da njihovo danasnje stanje nije konacno.

Razvoj treba shvatiti ne samo kao nagomilavanje novih cinjenica nego i kaoevoluciju metoda. Nepostojanje dobrog historicizma u nastavi objasnjava se timeda i fakultetski obrazovani matematicari slabo poznaju povijest matematike.

Nastavnik koji u nastavu uvodi elemente historicizma moze ocekivati porastinteresa za predmet, ali treba paziti da uzrocnik interesa ostane sama matematika,a ne prelaziti u krajnosti i pricati samo o cudnim ponasanjima matematicara, aneg-dote o njima, nego uz spominjanje matematicara (na pr. kad je neki teorem vezanimenom uz osobu) spomenuti i vrijeme i podrucje djelovanja te osobe, njena najvecadostignuca i sl. Casopisi Matka i Poucak obiluju takvim podacima, a koristan izvorovakvih informacija je i internet.

Princip suvremenosti odnosi se na neprestano aktualiziranje i osuvremenjivanjenastavnih sadrzaja i unosenje novih znanstvenih spoznaja (oprez da se ne nagomilavanovo znanje), ali i osuvremenjivanje nastavnih pomagala (od logaritamskih tablicapreko sublera do racunala).

Nacelo problemnosti4

Ucenik obicno uci tako da se ne upusta dublje u gradivo, vec ostaje na povrsini,ne zamjecuje nikakve probleme i teskoce, potpuno je zadovoljan i misli da mu je svejasno. Zadatak je nastavnika da taj samouvjereni stav razbije i stavi pred njega

3Z. Kurnik, Historicizam, Matematika i skola 17(2002), 52-58.4Z. Kurnik, Nacelo problemnosti, Matematika i skola 14(2002), 148-152.


problem (prema nacelu primjerenosti ne pretezak ne prelagan) i trazi rjesenje. Nijedan matematicar nema prava za neko podrucje matematike reci ”Ja ga potpunopoznajem”.

Nacelo zornosti i apstraktnosti

Zornost5 znaci cjelovito osjetilno dozivljavanje objekta radi usvajanja cinjenicai formiranje pravilnih predodzaba. Drzati se principa zornosti znaci omogucitiucenicima da u toku nastave osjetilnim organima neposredno zahvacaju stvarnostkoja se u nastavi proucava.

Radi ostvarivanja principa zornosti nastavnici primjenjuju zorne izvore znanja,pocevsi od neposrednog promatranja u izvornoj objektivnoj stvarnosti, preko pro-matranja nastavnih sredstava pa sve do zornog , odnosno slikovitog pripovijedanja,pri cemu se na posredan nacin formiraju adekvatne predodzbe.

U primjeni zornosti ne treba pretjerivati, jer niti je moguce odjedanput usvojitibrojne cinjenice, niti je potrebno da odjednom ucenici usvoje sve cinjenice. U tomegrijese nastavnici koji u razred donesu mnogo zornih sredstava i izmjenjuju ih film-skom brzinom, od cega u svijesti ucenika ostane samo nekoliko povrsnih dojmova,a ne i stvarno upoznavanje i usvajanje cinjenica. Zato treba naglasiti da je zornostpotrebna u tolikoj mjeri da ucenici akumuliraju dovoljnu kvantitetu cinjenica natemelju kojih prelaze dalje na apstrakcije, odnosno generalizacije.

Stjecanja znanja ne iscrpljuje se samo usvajanjem cinjenica posredstvomzornosti nego i na temelju usvojenih cinjenica treba ucenika misaonom aktivnoscudovesti do generalizacija, a to znaci do formiranja pojmova, zakona, principa, pra-vila, aksioma, formula i sl.

Zato zornost u nastavi treba biti spoznajno i psiholoski orijentirana na kretanjeprema izvodenju generalizacija, tj. na temelju zornosti izdvoje se samo one cinjenicekoje su materijalna baza za formiranje odredene vrste generalizacije.

Ponekad nam se cini da, za razliku od drugih prirodnih predmeta, u matem-atici nemamo tolike raznovrsne mogucnosti za zorno prikazivanje i opisivanjematematickih pojmova. Ipak, dobar nastavnik ce koristeci kredu i plocu, grafos-kop i folije, racunalo i odgovarajuce programe, modele od papira i zice, postere iplakate i naravno svoju mastu biti u stanju svoje predavanje uciniti zornim, a samimtime i zanimljivijim. Pogotovo nam geometrija pruza velike mogucnosti za to. Nezaboravimo da cim u geometrijskom zadatku skiciramo sliku, u stvari, primjenju-jemo nacelo zornosti. Isto tako neki algebarki identiteti i tvrdnje mogu se prikazati,pokazati, ”dokazati” koristeci geometrijske slicice. (vidjeti clanak V. Bajrovic, Bil-ten 5, i knjigu [3](racunanje sume 1 + 2 + 3 + . . . + n)

5B. Dakic, Zornost u nastavi matematike


Primjer 1.11. U 5. razredu pri obradi osne i centralne simetrije zadati ucenicimada kod kuce pronadu primjere osnosimetricnog oblika: procelja zgrada, ornamenti pocrkvama, ornamenti u cipki, motivi u reklamama, motivi u automobilskim znakovimaitd. Obavezno treba obraditi zadatak s biljarskim stolom i osnom simetrijom.

Primjer 1.12. Pri obradi mjernih jedinica duljine, povrsine i volumena dobro jezorno pokazati te jedinice: ravnalo, krojacki i zidarski metar, komad papira dimen-zija 1 dm × 1 dm, 1 m × 1 m, posudu dimenzija 1 dm × 1 dm × 1 dm, tj. posuduvolumena 1 litre i sl.

Primjer 1.13. U skoli su velike mogucnosti u radu s modelima koje nastavnik ilisam izraduje ili na nekom od satova zajedno s ucenicima. Na primjer, u 6. razredupri obradi teorema o sumi kutova u trokutu mozemo se posluziti sljedecim modelompri uvjeravanju ucenika u istinitost teorema. Ucenik neka izreze iz komada A3 papiratrokut i kutove neka oznaci slovima α, β i γ. Zatim neka taj trokut izreze na tri dijelarezovima koji ne prolaze kroz vrhove trokuta. Tako dobivene papirnate kutove nekaspoji tako da su im vrhovi zajednicki, a krakovi se diraju. Vanjske granice tih trijupapira zajedno cine jednu duzinu, tj. zbroj kutova je 180◦.

Primjer 1.14. Za trajno pamcenje definicije elipse korisno je provesti njenu vrt-larsku konstrukciju. Isto tako, kada govorimo o kruznici ne zaboravimo je i nacrtatisestarom, a ne ju samo skicirati rukom na ploci.

Primjer 1.15. Kad proucavamo tok kvadratne funkcije u 2. razredu u ovisnosti onjenoj diskriminanti i vodecem clanu, dobro je svaki slucaj popratiti skicom paraboleu odgovarajucem polozaju.

Nacelo individualizacije

Razredna zajednica je skup razlicitih individualiteta. Te su razlike: fizicke,psihicke i moralne.

Zbog tih individualnih razlika treba nastavu individualizirati, tj. psihofizickesposobnosti svakog pojedinca razviti do maksimuma. Individualizacija se provodirazlicitim nacinima diferencirane nastave. Pa cemo o tome vise reci u toj temi.

1.3. Oblici

Oblici nastave matematike ili nacini organizacije nastavnog procesa su:


frontalni oblik nastave

diferencirana nastava

problemska nastava

programirana nastava

egzemplarna nastava

mentorska nastava

laboratorijska nastava

prakticna nastava

demonstracijska nastava.

1.4. Metode

Metode nastave matematike su nacini i sredstva prenosenja odredenog sustavamatematickih znanja, umijeca i realizacije ciljeva nastave matematike. Neke odmetoda su:

predavacka metoda

metoda dijaloga

heuristicka metoda

metoda rada s tekstom

problemska metoda

programirana metoda

demonstracija

eksperimentalna.

Za uspjesnu primjenu neke nastavne metode ili nekog oblika nastave u nas-tavnom procesu nastavnik mora u potpunosti poznavati njezine karakteristike. Topodrazumijeva:

1. razumijevanje b´Eti metode i umijece njezine primjene u razlicitim konkret-nim nastavnim situacijama

2. poznavanje formi iskazivanja te metode koje se najcesce pojavljuju u nas-tavnom procesu

3. poznavanje pozitivnih i negativnih strana tih metoda

4. saznanje koja je pitanja skolske matematike prikladno poducavati tommetodom


5. umijece osposobljavanja ucenika da rade tom metodom u procesu izucavanjaodredenog matematickog sadrzaja.

2. DIFERENCIRANANASTAVA

Diferencirana je nastava jedan od socijalnih oblika nastave koji podrazumi-jeva samostalnu aktivnost ucenika. Diferencirana nastava vodi racuna o konkretnojsituaciji u razredu, uvazava razlike medu ucenicima i nastoji da se optimalno ispoljematematicke i druge sposobnosti ucenika. U njoj se uspostavlja jedinstvo nastavnedjelatnosti nastavnika i skolske djelatnosti ucenika.

Naime, nastavni proces treba pruzati vise od obicne informacije i u tu svrhupotrebno je aktivirati sve ucenike u razredu.

Oblici diferencirane nastave su: HOMOGENE GRUPE, GRUPNI RAD i IN-DIVIDUALIZACIJA.

U nasoj nastavi najcesce se primjenjuje oblik rada u homogenim grupama, dokje najracionalniji oblik kombinacija grupnog i individualnog rada.

2.1. Homogene grupe

Ovaj oblik rada naziva se jos i grupiranje po sposobnostima. Sam naziv kazekakav je to oblik. Nastavnik fiktivno dijeli citav razred na grupe prema predznanjui matematickim sposobnostima tako da razlike unutar grupe budu svedene na naj-manju mogucu mjeru. Obicno se radi o tri grupe: u prvoj grupi su slabiji ucenici,u drugoj dobri, a u trecoj vrlodobri i izvrsni ucenici.

U toku nastavnog procesa nastavnik postavlja pred ucenike svake od ovihgrupa zadatke primjerene upravo njihovom predznanju i sposobnostima. Buducida pri obradi nekog matematickog sadrzaja uvijek ima i laksih i tezih dijelova,moguce je na svakom satu primijeniti rad s homogenim grupama. Cilj nastavnikaje POMICANJE ucenika iz nize u visu grupu.

Prednosti: aktivnost svih ucenika, razvijanje interesa za matematiku, ucenjena satu, zadrzavanje paznje i koncentracije svih ucenika, mogucnost pracenja napre-dovanja ucenika, povecanje efikasnosti nastave, optimalna brzina ucenja.

2 Diferencirana nastava 18

Nedostaci su to sto se ta fiktivna podjela otkriva i kod slabijih ucenika pojacavaosjecaj inferiornosti, nemogucnost komuniciranja s vecim brojem ucenika, tj. ti-jekom sata se komunicira s oko 20% ucenika.

Ovo je opis fiktivne podjele na grupe. Medutim ponekad se ta podjela radi istvarno. Naime, u nekim skolama s vecim brojem ucenika formiraju se razredi u kojese ukljucuju ucenici s natprosjecnim sposobnostima. Takvi razredi imaju pojacanprogram rada bilo samo iz nekih predmeta bilo iz svih. Kriteriji za ovakvo diferen-ciranje su obicno testovi inteligencije nadopunjeni s ranijim ocjenama iz specificnihpredmeta uz nastavnikovu procjenu uspjeha u sljedecem razdoblju i naravno, ovisei o zelji ucenika i roditelja o sudjelovanju u takvom razredu.

Za provedbu ovog oblika rada pretpostavlja se da nastavnik dobro poznaje sveucenike u pogledu nivoa znanja, interesa i sposobnosti.

Primjer 2.1. Rjesavanje kvadratne jednadzbe, II razred SS.

Cilj ove nastavne cjeline je izvodenje formule za rjesenja kvadratne jednadzbe.

Nastavnik definira kvadratnu jednadzbu i pojam rjesenja.

Prva grupa rjesava posebni slucaj kad je c = 0 i to prvo primjer, zatim jed-nadzbu s opcim brojevima.

x2 − 8x = 0

x(x − 8) = 0

x1 = 0 ili x2 = 8.

ax2 + bx = 0

x(ax + b) = 0

x1 = 0 ili x2 = − b

a.

Druga grupa rjesava slucaj kad je b = 0 uz diskusiju o pozitivnosti −c/a.

25x2 − 16 = 0

25x2 = 16

x2 =16

25

x1,2 = ±4

5.

ax2 + c = 0

ax2 = −c

x2 = − c

a

x1,2 = ±√− c

a, ako je − c

a≥ 0,

x1,2 = ±i

√c

a, ako je − c

a≤ 0,

Grupa izvrsnih ucenika dobiva zadatak da rijesi najopcenitiji oblik kvadratne


jednadzbe nadopunom do potpunog kvadrata, pri cemu izvode i formulu za rjesenjakvadratne jednadzbe.

x2 + 6x + 5 = 0

x2 + 6x + 9 − 9 + 5 = 0

(x + 3)2 − 4 = 0

(x + 3)2 = 4

(x + 3)1,2 = ±2

x1 = 2 − 3 = −1,

x2 = −2 − 3 = −5.

ax2 + bx + c = 0

x2 +b

ax +

c

a= 0

x2 +b

ax + (

b

2a)2 − (

b

2a)2 +

c

a= 0

(x +

b

2a

)2

=b2

4a2+

c

a(x +

b

2a

)

1,2

= ±√

b2 − 4ac

4a2

x1,2 =−b ±

√b2 − 4ac

2a

Zatim slijedi uvjezbavanje tih formula gdje sudjeluju sve tri grupe.

Primjer 2.2. Graf inverzne funkcije, II razred SS.

Cilj je ponoviti pojmove: funkcija, bijekcija, inverzna funkcija; provjere bi-jektivnosti; crtanje grafa; izvodenje formule inverzne funkcije, te izvesti vezu grafainverzne funkcije i pocetne funkcije.

Prva grupa: ponavljanje definicije funkcije, bijekcije, inverzne funkcije.

Druga i treca grupa: Na primjeru f : R → R, f(x) = 3x − 6 provjeriti bijek-tivnost. Kod injekcije nema problema, dok se eventualne logicke poteskoce ocekujukod provjere surjektivnosti, tj. da se za dani y0 mora naci odgovarajuci x0 i to cebiti formula za inverznu funkciju .

Druga grupa provjerava vrijede li formule f ◦f−1 i f−1◦f za konkretni primjer.Opet se mogu pojaviti poteskoce na mjestu gdje funkcija djeluje ne na x nego na izraz,tj.

f(f−1(x)) = f(x

3+ 2) = 3(

x

3+ 2) − 6 = x.

Prva grupa crta oba grafa i izvodi zakljucak: Graf inverzne funkcije funkcijef dobiva se iz grafa te funkcije simetrijom s obzirom na simetralu prvog i trecegkvadranta.

Formulu izvodi treca grupa:

f ◦ f−1 = id; f(f−1(x)) = x; 3f−1(x) − 6 = x; f−1(x) =x

3+ 2.


Nakon toga slijede primjeri.

2.2. Grupni rad

Ovaj oblik nastave je vrlo star i postojao je jos prije uvodenja razredne nastave.Grupni rad1 pretpostavlja dijeljenje razreda na grupe koje mogu imati homogen ilinehomogen sastav ucenika. Brojcani sastav moze biti razlicit, a takoder i zadacikoji se daju grupama. Na izbor tog oblika nastave utjecu karakter rada, nastavnasredstva, a takoder i vrijeme koje nastavnik ima na raspologanju.

Principi organizacije:

1. Najkorisnije je sastavljati grupe od 4-6 ucenika.

2. Sastave grupa nije dobro cesto mijenjati.

3. U svakoj grupi bira se jedan ucenik kao voda grupe. Vode grupe se mijenjajuna sljedecem satu.

4. Grupe trebaju raditi priblizno istim tempom.

5. Za izvjesce o radu citave grupe nastavnik odreduje jednog clana grupe, cijiodgovor moze ocijeniti.

6. Nastavnik objedinjuje rad svih grupa i daje ocjenu izvrsenog rada.

7. Za grupni rad nuzno je razmotriti i odgovarajuci raspored klupa u razredu.

Grupni rad ucenika pri rjesavanju nekog nastavnog problema ne iskljucujeindividualni rad svakog od njih, jer grupni rad je u biti objedinjenje individualnihradova svih clanova grupe.

Vazno pitanje u primjeni grupnog rada ucenika je pitanje kontrole rada ucenikai povratna informacija. Kontrolu rada provodi nastavnik u toku citavog nastavnogsata. On postavlja grupi pitanja o temi koja se proucava. Kontrolna pitanja mogupostavljati i sami ucenici, npr. clanovi jedne grupe clanovima druge grupe. Efikasanoblik kontrole i ocjene grupnog rada jest i izvjesce ucenika o radu grupe i diskusija.

Kontrola individualnog rada clanova grupe ostvaruje se u samoj grupi.

Drugo vazno pitanje je ocjena rada ucenika u grupama. Ona predstavljastimulans za razvoj stvaralacke aktivnosti. Postoje nekoliko mogucnosti ocjenjivanjaaktivnosti: ocjena nastavnog sata, ocjena rjesenja nekog posebnog problema, ocjenasamostalnog rada citave grupe, ocjena kratkog testa o proucenoj temi.

Ovaj oblik nastave pogodan je u osnovnoj skoli, posebno pri rjesavanju za-dataka i problema, a posebno na informatici. Postoji opasnost narusavanja nas-

1Z. Kurnik, Grupni rad, Matematika i skola 22(2003), 52-57.


tavnog kolektiva. Ovakav rad podrazumijeva zamor u razredu (u granicama nor-male).

Primjer 2.3. Sto sve moze biti presjek:

A) dvaju trokuta, B) trokuta i cetverokuta, C) dvaju jednakih kvadrata ?

Razred dijelimo na 3 ili 6 grupa. Po dvije grupe dobivaju isto pitanje. Nakon5 minuta rada voditelji cetiriju grupa na ploci zapisuju rjesenja, dok one grupekoje imaju ista pitanja, a nisu prozvane kontroliraju rjesenja. Cijeli razred zapisujeodgovore u biljeznice. Ukupno predvideno vrijeme za ovaj zadatak je 20 minuta.

Primjer 2.4. Rijesite sustav dviju linearnih jednadzbi s dvije nepoznanice

2x − 3y = 5 x + 2y = −2.

Razred dijelimo u 6 grupa. Grupe A i B rjesavaju metodom komparacije, grupC i D metodom supstitucije, a grupe E i F metodom suprotnih koeficijenata. Nakonrada u grupi na plocu se u vertikalne stupce upisuju sva tri nacina rjesavanja,usporeduje se efikasnost tih metoda i komentira se kada upotrijebiti koju metodu(219x − 47y = 50, 102x + 47y = −2297).

Primjer 2.5. Izracunajte vrijednost izraza

x =507.62 · 3

√10.0924

2.83068

logaritmiranjem.

Ovaj problem zadaje se svim grupama, a unutar grupa svaki clan ima svoj diozadatka, napr. jedan racuna log 507.62 itd.

Jedan opis primjene grupnog rada moze se naci u clanku D. Glasnovic,Mnogokuti-rad u parovima, Matematika i skola 13(2002), 121-122.

2.3. Individualizacija

Razmatrajuci nastavu2 kao proces upravljanja dolazimo do zakljucka da je zaostvarenje efikasnog procesa nastave nuzno uvazavati osobine ucenika, a posebno ove:misljenje, pamcenje, sluh, volja, vid, karakter. Kao rezultat razlicitosti javljaju sepotpuno razlicite individualne brzine usvajanja jednog te istog nastavnog materijala.

2Z. Kurnik, Individualizacija, Matematika i skola 25(2004), 196-201.


Individualni pristup susrece se s ozbiljnim teskocama. Poucavajuci na primjer 30ucenika, nastavnik nije u stanju voditi racuna o individualnim brzinama usvajanja.On se neizbjezno orijentira na tzv. prosjecnog ucenika. To dovodi do negativnihposljedica. Slabiji ucenici ne mogu pratiti nastavu, a s druge strane bolji ucenici sepocinju dosadivati.

Idealni uvjet bi bio jedan nastavnik-jedan ucenik. Taj uvjet je ocito nere-alan, pa treba traziti puteve ostvarivanja individualizacije u postojecoj razrednojorganizaciji nastave.

Neke mogucnosti individualizacije nastave su:

programirana nastava

dopunska nastava (slabiji ucenici)

dodatna nastava ( bolji ucenici)

izborna nastava

fakultativna nastava ( bolji ucenici)

matematicke i informaticke grupe

grupni rad

problemska nastava

mentorska nastava.

Boljim ucenicima zadaju se i dodatni zadaci, slabijima dopunski, svi dobivajuzadatke za domaci uradak koji moze biti diferenciran, tj. zadaju se zadaci ra-zlicitih tezina i ucenik sam bira kojeg ce izraditi, daju se dodatni neobavezni zadaciza domaci rad ili cak ucenik sam sastavlja zadatke, izraduje modele, samostalnopriprema i izvodi dio nastavnog sata (seminar, predavanje) .

3. METODA DIJALOGA

Oblik nastave koji smo nazvali diferencirana nastava (homogene grupe) cestose provodi metodom dijaloga ili razgovora. Ova metoda smatra se jednom od efikas-nijih nastavnih metoda. Dijalog se moze uspostaviti izmedu nastavnika i razreda iliizmedu nastavnika i pojedinog ucenika.

Ukoliko zeli neko gradivo obraditi metodom dijaloga, nastavnik se mora dobropripremiti proucivsi temeljito nastavnu temu i uocivsi njezine karakteristike, trebaimati jasnu predodzbu o cilju nastave koja se predvida realizirati metodom dijaloga,utvrditi opseg i sadrzaj nastavnog gradiva koji je vec poznat ucenicima i koji jepotreban za ostvarivanje postavljenog cilja, odrediti u strukturi sata mjesto upotrebedijaloga.

Pri izradi pismene pripreme nastavnik treba tocno formulirati i zapisati os-novna i dopunska pitanja koja namjerava postaviti ucenicima, a nastavnik pocetnikbi trebao zapisati i ocekivane odgovore. Uz ta pitanja treba stajati naznaka i kojegce se ucenika pitati koje pitanje (ili iz koje homogene grupe ocekujemo odgovor),kojeg ce se ucenika prozvati pred plocu, a kojeg ce se pitati na mjestu.

Pitanja moraju biti jasna i kratka i takva da pobuduju interes ucenika premasadrzaju, da su u skladu s opsegom gradiva koji ucenici poznaju, da privlace paznjusvakog ucenika i da sva zajedno otkrivaju temu koja se proucava. Obicno se nepostavljaju sugestivna pitanja, pitanja koja u sebi sadrze dio odgovora, ali nitipitanja ciji odgovor je ”da” ili ”ne”.

Po zavrsetku dijaloga nastavnik obavezno formulira zakljucak u kojem se isticeono glavno zbog cega je i voden razgovor.

Primjer 3.1. Obrada nastavne jedinice ”Teorem o simetrali unutarnjeg kuta trokuta”,I razred SS prema nastavnom programu koji je vrijedio do 1995/96. (2 sata)

Primjer 3.2. Obrada nastavne jedinice ”Srednjica trokuta”, I razred SS, sk. god1996/97, 97/98. (1 sat)

Pripremna faza. Nastavnik u uvodnom dijelu sata treba ponoviti gradivo kojece se koristiti u obradi ove jedinice koristeci razgovor s ucenicima najslabije grupe.

3 Metoda dijaloga 24

Primjeri pitanja: navedi teoreme sukladnosti trokuta, kako glasi teorem o kutovimauz presjecnicu, sto znas o kutovima s paralelnim kracima i sl. Odgovore ucenik mozepopratiti crtezom na ploci.

Nastavnik izrice teorem: Ako se polovistem jedne stranice trokuta nacrtapravac usporedan s drugom stranicom trokuta, onda je presjek pravca i trece stranicetrokuta poloviste te trece stranice trokuta. Duljina duzine sto je na toj uspored-nici odreduju presjeci s prvom i trecom stranicom polovica je duljine druge stranicetrokuta. (udzbenik Durovic - Durovic - Rukavina, Matematika 1 ).

Ucenik iz I ili II grupe radi skicuna ploci. Pitanja:U kojem odnosu su DF i AB?Sto je D ?U kojem odnosu su |AD| i |CD|?Zakljucak: Dakle, poznati podacisu |AD| = |CD| i DF ||AB.Napisi simbolima sto trebadokazati.Odgovor: |BF | = |CF |, |DF | =12|AB|.

Ucenik I. razreda SS jos ne razlikuje sto je pretpostavka, a sto tvrdnja teo-rema, te ako postavimo pitanje: Sto su pretpostavke teorema? vjerojatno nece bitiodgovora. Ako se to desi treba preformulirati pitanje.

Nastavnik zapocinje dokaz povlaceci paralelu tockom D sa stranicom BC ioznacavanjem tocke E.

N: Uocimo trokute AED i DFC. Koje stranice su im jednake? Imaju li istekutove? Ako imaju obrazlozi odgovor.

U: |AD| = |DC|, 6 FDC = 6 DAE, 6 CFD = 6 CBA = 6 DEA, jer su to kutovis paralelnim kracima odnosno kutovi uz transverzalu (presjecnicu)

N: U kakvom su odnosu ta dva trokuta?

U: Sukladni su.

N: Po kojem teoremu?

U: ...

N: Ako su sukladni koji su im jos elementi jednaki?

U: |AE| = |DF |, |DE| = |CF |.N: U kakvom su odnosu trokuti DEF i BFE?

U: Takoder su sukladni.

3 Metoda dijaloga 25

N: Obrazlozi odgovor.

Ucenik obrazlaze.

N: Koje su jos stranice medusobno sukladne?

U: |DF | = |BE|, |DE| = |BF |.N: Pronadite sada tri jednake stranice.

U: |DE| = |CF | = |BF |, |DF | = |AE| = |BE|.N: Pogledajmo prve tri sukladne duzine. Jesmo li dobili trazenu tvrdnju?

U: Jesmo, prvi dio.

N: Kako cemo dobiti drugi dio tvrdnje? Uocite druge tri sukladne stranice.

U: Kako je |AE| = 12|AB| vidim da je |DF | = |AE| = 1

2|AB|.

Cijeli ovaj razgovor popracen je oznacavanjem stranica i kutova na slici u boji,ili folijama u nizu (koje se poklapaju jedna na drugu, a svaka nosi jednu informaciju)

Zakljucak: Time smo pokazali da vrijede obje tvrdnje poucka.

N: Duzine koje spajaju polovista stranica trokuta zovu se srednjice trokuta.U ovom trokutu duzine DE, DF , EF su srednjice trokuta ABC.

Sljedeci korak na tom satu je izricanje obrata teorema. Svaka duzina kojoj sukrajnje tocke polovista stranica trokuta usporedna je s trecom stranicom trokuta, anjezina duljina jednaka je polovici duljine trece stranice trokuta.

Dokaz obrata ostavlja se ucenicima iz III grupe ili za samostalan rad ili zadomaci rad.

Do kraja sata izraduju se primjeri i zadaci.

Dakle, pri stvaranju pripreme za sat nastavnik se sluzi udzbenikom, zbirkom idodatnom literaturom da bi detaljno proucio matematicku pozadinu gradiva (naucioili se prisjetio tog teorema, dokaza itd.) Pri tom proucavanju, nastavnik uocava kojeje predznanje potrebno za obradu doticnog gradiva, koje pojmove i teoreme moraponoviti u uvodnom dijelu sata. Pri pisanju pripreme, tj. pri postavljanju pitanja,mora razmisliti o raznim odgovorima koja moze dobiti na svoja pitanja, mozda ceucenik uociti neki drugi nacin dokaza teorema i sl. Pozeljno je zapisati svaku takvuideju jer se moze desiti da je ekonomicnija nego ona koju je nastavnik zamislio. Zatonakon odrzanog sata nastavnik upotpunjava svoje pripreme upisujuci komentare,reakcije na pitanja, pa ce tijekom vremena izbaciti ona pitanja koja su se pokazalanejasnima, koja nisu dovela do ocekivanih reakcija ucenika i sl.

4. PROGRAMIRANANASTAVA

Poceci programirane nastave javljaju se 1926. godine u SSSR-u i SAD-u.Programirana nastava proizlazi iz zahtjeva suvremenog drustva u kojemu je faktorvrijeme bitna komponenta. Drustvo zahtijeva veliko znanje, a to znaci da trebarazviti takav nastavni proces koji ucenicima nudi veliku kolicinu informacija, ali usto je moguce kracem vremenu.

Bit programirane nastave je podjela nastavnog gradiva na manje dijelovetzv. clanke i kvante, koji su potrebni pri izucavanju odredenih pojmova i tvrdnji.Svaki se korak nadovezuje na prethodne informacije.

Ucenika treba sto aktivnije usmjeriti na kljucni problem unutar kvanta, te sepretpostavlja odredena samostalnost ucenika pri izvodenju ove nastave. Teziste sestavlja na umni i stvaralacki rad ucenika, na direktnu vezu ucenik–gradivo. Da bi semogao savladati naredni kvant potrebna je informacija o savladanom prethodnomgradivu (to se moze ispitati nekom drugom metodom – metoda dijaloga, pismeniuradak). Od ucenika se ocekuje neprekidni aktivni odziv koji omogucuje eksplicitnovjezbanje i provjeravanje svakog koraka.

Programirana nastava provodi se ovako:

0. Ponavljanje, provjera predznanja – metoda dijaloga

1. Svaki ucenik dobiva programirani materijal i upute koju temu trebasamostalno obraditi. Taj materijal moze biti dan u obliku listica, posebnihudzbenika ili na racunalu. Na listicima, odnosno stranicama knjige, napisan jetekst materije koju treba prouciti, a ispod nje pitanja na koja ucenika odgovara.

U ovom uvodnom dijelu rada nastavnik usmeno objasnjava sto ce se raditi usljedecem dijelu sata.

2. Rad prema programiranom materijalu ne treba trajati dulje od 20 – 30minuta. Pokazalo se da ucenici mogu odrzati koncentraciju u tom vremenskomperiodu.

Ucenik radi ”samostalno”, ali ipak pod stalnim nadzorom nastavnika koji cepo potrebi dati upute, razjasniti nejasni dio teksta i sl.

4 Programirana nastava 27

Individualni tempo uvjetuje da pojedini ucenici obrade razliciti opseg predvi-denog materijala. Nedovrseni dio moze se zadati za obradu kod kuce.

3. Sljedeci sat treba provjeriti stupanj usvojenosti gradiva, najcesce putemkratkog pismenog rada ili metodom dijaloga.

U programiranom ucenju duznost je nastavnika objasniti ucenicima kako trebaraditi po programiranoj metodi, navikavati ucenike na pravilan odnos prema radu,tj. samostalno proucavanje materije i da tek poslije toga kontroliraju svoje odgovore(a ne prvo pogledati rjesenja). Nastavnik mora nauciti svakog ucenika pravilnocitati listice, objasniti nerazumljive postupke u radu i sl. Sav ostali rad povjeravase inicijativi ucenika.

Ovom metodom ne moze se zamijeniti bogata pedagoska deskripcija, analizai diskusija problema koja se razvija na satu gdje se primjenjju neke druge metode.Dobar nastavnik ce svoj pedagosko – didakticki savjet dati cak i na pisanju zna-menaka, intonacijom govora, cijelim drzanjem i prilaskom radu, nacinom analize,donosenjem zakljucaka itd, dok se sve te mjere ne mogu provoditi u programiranojnastavi. S druge strane, programirana nastava lako otklanja jednu slabost tradi-cionalne nastave, a to je pomanjkanje povratne informacije o stupnju usvojenostiprijedenog gradiva.

U programiranoj nastavi povratna informacija se dobiva nakon svakog koraka.Provjera usvojenosti gradiva ne mora se odvijati samo pomocu pitanja i zadataka,vec se svaki kvant moze provjeriti kratkim testom znanja.

Programirana nastava je nastava tako koncipirana da se nastavno gradivo dajeu malim kolicinama koje su medusobno logicki povezane u zatvorene odgojne, obra-zovne i logicke cjeline u kojima je ucenik u punoj mjeri aktivan.

Osnovni je problem opseg i sadrzaj kvanta. Oni moraju biti odmjereni takoda postoji velika vjerojatnost pravilnog odgovora.

Skinner je smatrao da se nastavno gradivo mora podijeliti na elementarne di-jelove, sto vise usitniti jer se tako ucenik ne preopterecuje. Ali, pokazalo se da pre-veliko usitnjavanje ne daje najbolje rezultate, tj. javlja se dosada i nezanimljivost.Zato se danas govori o kvantovima optimalne velicine.

Prednosti

1. U prvom planu je aktivnost ucenika. On samostalno produbljuje, uvjezbava,primjenjuje i ucvrscuje novu informaciju. Odreduje vlastiti tempo rada, paznja munije prenapregnuta.

2. Steceno znanje se odmah provjerava, korigira i utvrduje. Javlja se osjecajuspjeha koji i sam dalje aktivira i potice na daljnji rad.

3. Ucenik moze na miru razmisliti o pitanjima, moze ih uskladiti i dobroprocijeniti.


4. Opseg novih informacija nije suvise velik, radni koraci su kratki i prilagodenimogucnostima ucenika. Moguce je u potpunosti diferencirati, individualizirati nas-tavu, tj. slabim ucenicima dati takav materijal koji omogucava usvajanje samonuznog gradiva, a najboljim ucenicima dati kompliciranije zadatke.

5. Direktna veza ucenika i gradiva, bez djelovanja nastavnika.

6. Razvija se samokontrola, jer postoji povratna infomacija.

Nedostaci

1. Krutost – ne mogu se obuhvatiti svi smjerovi razmisljanja pa se razvijajednostrano misljenje. Ovo se moze ublaziti razgranatim programiranjem.

2. Smanjena je odgojna komponenta nastave, jer individualizacija razbijakarakter razreda.

3. Dolazi do povrsnosti u radu, zbog popustanja koncentracije, pa se prelazina sljedeci kvant bez dobrog usvajanja prethodnog ili se nekriticki smatra da jeprethodni kvant dobro naucen, a ustvari nije.

4. Smanjena je uloga nastavnika.

5. Do povratne informacije nastavnik dolazi tek kasnije, a ne odmah kao umetodi dijaloga.

6. Ako je programirani materijal los, ucenik ga tesko uci i taj sat se moraponoviti.

Nastavnik–pocetnik ne treba odmah krenuti na programiranje citavih kom-pleksa gradiva, vec je dobro da prvo programira ponavljanje, vjezbe ili manje nas-tavne cjeline.

Programirana nastava trazi od nastavnika izuzetno dobru i dugotrajnupripremu. Kao i sve druge metode, ne smije postati dominantna, nego ju trebakombinirati. Moze se izvoditi i u grupama.

Kvant se sastoji od

1. informacije koju prenosimo uceniku (teorija, jedan do dva primjera);

2. zadataka vezanih uz informaciju;

3. prostora za unosenje rjesenja;

4. povratne informacije o rjesenju zadataka.


VRSTE PROGRAMIRANJA1

Razlikujemo dvije vrste programiranja nastavnih cjelina:

1. linearno

2. razgranato

1. Linearni model karakterizira napredovanje u jednom smjeru. Pogodan jeza usvajanje i memoriranje pojmova i tvrdnji. Kvanti slijede jedan za drugim ujednoznacno odredenom redoslijedu

2. Razgranati model pogodan je za usporedivanje razlicitih misljenja, za us-mjeravanje na razlicite putove napredovanja ovisno o znanju, sposobnostima iliafinitetu.

U razgranatom modelu cesto se koristi preskakanje clanaka. Naime, ako ucenikrijesi vazan zadatak brzo i dobro, iz cega se vidi da dobro razumije problem, trebamu omoguciti brze napredovanje u programu. Preskakanje clanaka djeluje motivaci-jski pa se cak sugerira i unosenje nepotrebnih grana koje ce gotovo svaki ucenikpreskociti.

U razgranatom modelu moze se uvesti i tzv. retrogradno programiranje. Akose iz odgovora vidi da ucenik nije shvatio bit, moze ga se vratiti nekoliko korakaunatrag.

Isto tako u razgranatom programiranju mogu se pojaviti i dodatne petlje zadodatno uvjezbavanje ili objasnjavanje.

1Muzic, Programirana nastava

5. ISPITIVANJEI OCJENJIVANJEUCENICKIH ZNANJA

Skolsko ispitivanje znanja1 je postupak u kojem se pitanjima upucenim ucenikuizazivaju reakcije znanja. Pitanja mogu biti dana u usmenom ili pisanom obliku isadrze zahtjeve uceniku da odredena znanja koja je prije toga sticao prezentira uodgovorima.

U postupku ocjenjivanja prosuduje se vrijednost ucenikova odgovora. Koris-timo ljestvicu od pet ocjena: nedovoljan (1), dovoljan (2), dobar (3), vrlo dobar (4)i odlican (5).

Ispitivanje i ocjenjivanje dio je obrazovnog procesa. Nastavnici gotovo svakogdana provjeravaju i ocjenjuju znanja svojih ucenika. Pri tome ti postupci imajudvojaku funkciju:

1) omogucuju dobivanje podataka o tome s kakvim uspjehom ucenici stjecu ivladaju predmetnim sadrzajem

2) osiguravaju dobivanje povratne informacije nastavniku o njegovom nas-tavnom radu kako bi ga mogli prikladnije i uspjelije oblikovati i realizirati.

Proucavajuci problematiku ispitivanja i ocjenjivanja istrazivaci posebice upo-zoravaju na utjecaj faktora koje svrstavamo u tri grupe:

• faktori koji sudjeluju pri oblikovanju ucenickih odgovora,

• faktori koji ovise o nastavniku kao mjernom instrumentu,

• faktori koji ovise o tehnici ispitivanja i ocjenjivanja.

1Ovo se poglavlje vecim dijelom temelji na knjizi T.Grgin, Skolska dokimologija, Skolska knjiga,Zagreb, 1986.

9 Ispitivanje i ocjenjivanje ucenickih znanja 31

Faktori koji sudjeluju pri oblikovanju ucenickih odgovora su:

i) nedovoljna jasnoca i neodredenost odgovora,

ii) ucenikove verbalne mogucnosti,

iii) njegove mogucnosti opazanja i vjestog koristenja percipiranim podacima,

iv) cuvstvena otpornost.

Opisimo poblize svaki od tih faktora.

i) Cesto se dogada da ucenik na nastavnikova pitanja daje nepotpune i nejasneodgovore. Nastavnik ih najprije pokusava shvatiti i razumjeti. Prema tome kakoih je uspio razumjeti i interpretirati, donijet ce svoj sud (ocjenu) o ucenikovimznanjima. Ta neodredenost i nedovoljna jasnoca odgovora omogucuje razlicitimnastavnicima da nejednako interpretiraju iste dacke odgovore i da ih razlicito ocjene.Zbog neodredenosti odgovora i isti ce nastavnik, vec prema raspolozenju, razlicitointerpretirati iste odgovore.

ii) U ucenikovu odgovoru na ispitu ocituje se ne samo znanje nego i njegovasposobnost vjestog operiranja govornim simbolima, rjecitost i sposobnost razumije-vanja jezicnih izraza. Na ispitu redovito bolje ocjene dobivaju elokventniji ucenici,dok oni koji se inace tesko izrazavaju i u reprodukciji znanja zapinju, mucaju i sl.dobivaju slabije ocjene. Bolje ocjene na ispitu dobit ce oni ucenici koji se moguizrazavati onako kako to eventualno od njih zahtijeva nastavnik.

iii) Prateci ucenikove odgovore na njegova pitanja na ispitu, nastavnik ho-timicnim ili nehotimicnim reakcijama, iskazanim verbalno, gestama, mimikom lica islicno, daje ”na znanje” uceniku da je ono sto govori, ili na neki drugi nacin izrazava,ispravno, da odobrava, odnosno da nije ispravno i da ne odobrava. Ucenik, dobaropazac koji se vjesto sluzi percipiranim podacima i koji je brz u svojim reakcijamakorigiranja dobit ce na ispitu bolju ocjenu od svojega suucenika koji priblizno jed-nako zna, ali nema takve mogucnosti opazanja i reagiranja.

iv) Ispitna situacija izaziva kod svakog ucenika izvjesnu cuvstvenu uzbudenost.Laka uzbudenost povoljno djeluje na kvalitet odgovora, no jaka emocionalnostblokira slozenije mentalne funkcije pa u tezim slucajevima moze izazvati i djelomicnuamneziju. Otezano rasudivanje, duzi ili kraci zastoji misljenja, djelomican ili potpungubitak sjecanja na sadrzaje prethodnog ucenja, poremecena sabranost i slicno, ana vanjskom, tjelesnom planu,tipicno lagano podrhtavanje, znojenje, bljedilo lica idruge pojave posljedice su jake emocionalne uzbudenosti. Zato se dogada da stabil-niji i cuvstveno otporniji ucenici bolje prolaze na ispitu od onih koji su emocionalnolabilniji.

Ako se odredena intelektualna aktivnost obavlja uz prisutnost veceg brojaosoba, rezultati te aktivnosti kod emocionalno labilnijih osoba su cesto manji negokad obavljanju te aktivnosti prisustvuje samo jedna osoba.

Dakle, nastavnik na ispitu ne moze izbjeci okolnost da mjeri ne samo u tim


odgovorima ocitovana znanja nego i takve ucenikove osobine i sposobnosti koje s nje-govim znanjima nisu usko povezane. Ocjena tako postaje nekakvom jedinstvenommjerom razvijenosti ucenikovih karakteristika. To pak znaci da u postupku ocjenji-vanja nastavnik redefinira i prosiruje predmet mjerenja.

Faktori koji ovise o nastavniku kao mjernom instrumentu su:

i) osobna jednadzba,

ii) halo-efekt,

iii)logicka pogreska,

iv) pogreska sredine,

v) pogreska diferencijacije,

vi) pogreska kontrasta,

vii) tendencija prilagodavanja kriterija ocjenjivanja kvaliteti ucenicke skupine.

i) Osobna jednadzba predstavlja ocjenjivacevu opcu tendenciju da dimenzijeili razvijenost razlicitih olina, koje na subjektivan nacin prosuduje ili precjenjuje ilipotcjenjuje. Osobna se jednadzba ocituje u tendenciji neopravdanog podizanja ilispustanja kriterija procjenjivanja. Ocjenjivace s visokim kriterijem ucenici nazivajustrogim ispitivacima, dok one s niskim kriterijem blagim.

ii) Halo-efekt predstavlja ocjenjivacevu tendenciju da razlicite osobine nekeosobe procjenjuje ili u skladu s opcim stavom koji ima prema toj osobi ili pak uskladu s ocjenom jedne od karakteristika te osobe. Na ispitu ce biti blaze ocijenjenonaj ucenik o kojemu nastavnik ima dobro misljenje, kao i onaj koji ima bolje ocjeneiz drugih predmeta. U obrnutom pak slucaju nastavnik ce biti strog i radije ce davatislabije ocjene.

iii) Logicka se pogreska pojavljuje kad ocjenjivac misli da su neke znacajkekoje procjenjuje logicki povezane pa ih na osnovi takva prosudivanja i jednako proc-jenjuje. To se naprimjer, desava kad nastavnik misli da su odredeni sadrzaji izdvaju skolskih predmeta koje inace predaje ucenicima nuzno povezani, premda takvapovezanost objektivno ne mora postojati ili pak te sadrzaje ucenik ne mora uvijekpodjednako nauciti, pa na temelju takva rasudivanja uceniku za iskazana nejednakaznanja daje jednaku ocjenu.

iv) Pogreska sredine ocituje se u nastavnikovom nastojanju da ucenicka znanjapretezno procjenjuje ocjenama koje na ljestvici zauzimaju sredisnju poziciju.

v) Pogreska diferencijacije jest nastavnikovo nastojanje da ucenicka znanjarazlikuje pretjerano i neopravdano. Takvim ispitivacima nije dovoljna ljestvica odpet ocjena nego uvodi svoje meduocjene, razne oznake (pluseve, usklicnike, tockicei sl) kako bi sto preciznije izmjerili iskazana ucenicka znanja.

vi) Pogreska kontrasta pojavljuje se kad nastavnik pod utjecajem na prethod-


nim ispitima iskazane kvalitete ucenickih odgovora oblikuje mjerilo ocjenjivanja pau nastavljenim ispitima ucenicka znanja procjenjuje u skladu s njim. Dodu li zatimna ispit po znanjima slabiji ucenici, dogodit ce se da ce zbog prije toga formiranamjerila nastavnik potcijeniti njihova znanja.

vii) Tendencija prilagodavanja mjerila kvaliteti ucenicke skupine znaci da nas-tavnik u razredu koji je po znanjima opcenito bolji ima visoko mjerilo ocjenjivanjapa time i vece zahtjeve u pogledu ucenickih znanja na ispitima. U razredu slabijempo znanjima nastavnikov je kriterij ocjenjivanja nizi pa su time i njegovi zahtjevisto se tice znanja na ispitima umanjeni.

Faktori koji ovise o tehnici ispitivanja i ocjenjivanja

Na usmenim ispitima izdvajamo dva krajnja tipa ispitivanja: pasivan i ak-tivan tip. Pri pasivnom tipu ispitivanja nastavnik nakon sto je postavio pitanjeostaje uglavnom pasivan, dok u drugom slucaju razlicitim potpitanjima i dodatnimobjasnjenima navodi ucenika na ispravan odgovor. Pri aktivnom tipu ispitivanjanastavnik redovito precijeni ucenikovo znanje. Na kvalitetu odgovora djeluje i oblikpitanja. Uceniku nije svejedno postavlja li mu se sugestivno ili nesugestivno pitanje.Isto tako, ocjena ovisi i o tome iz kojeg je dijela (lakseg ili tezeg) gradiva pitanjepostavljeno, je li se pitanjem upravo pogodilo ono sto ucenik zna itd.

Ispitivanjem je ustanovljeno da se valjana ocjena na usmenom ispitu dobivakad ispit traje oko sest minuta (u visim razredima osnovne skole).

U usporedbi s usmenim ispitom pismeni ispit ima tu prednost da se svimucenicima zadaju jednaki zadaci (iako i tu postoje odstupanja–razliciti testovi zarazlicite grupe ucenika ). Ispravljanje i ocjenjivanje pismenih radova moguce jeprovesti na vise nacina.

U praksi najcesci, ali zato i najmanje valjan nacin ispravljanja i ocjenjivanja,sastoji se u tome da nastavnik redom pregledava, ispravlja i ocjenjuje ucenickezadace. Pritom ce, ako je ocekivao vecu kvalitetu nego sto su pokazale prve zadace,doci do promjene njegova mjerila ocjenjivanja. Nekoliko ce prvih zadaca, zbog visokakriterija, dobiti nesto nizu ocjenu, dok ce ostale zadace, zbog snizenja mjerila bitiprocijenjene visim ocjenama. Nesto tocniji nacin sastojao bi se u tome da nastavnikprvo pregleda nekoliko zadaca po znanjima najboljih i najslabijih ucenika. Najva-ljaniji nacin bio bi takav gdje bi nastavnik usporedio zadace svaku sa svakom. Onazadaca koja bi u tim usporedbama bila najcesce procijenjena kao bolja zauzela biprvi rang, do nje bi bila zadaca koja je u spomenutom usporedivanju manje putaprocijenjena kao bolja itd.

6. VRSTE NASTAVE

U ovom periodu u hrvatskim skolama nastava matematike se pojavljuje u cetirioblika: redovna nastava, izborna nastava, dopunska, te dodatna nastava.

REDOVNA NASTAVA

Redovnu nastavu matematike obavezni su pohadati svi ucenici. Ona se odvijapo planovima i programima koje propisuje Ministarstvo prosvjete i sporta, a koji seobjavljuju u Glasniku tog Ministarstva. U osnovnoj skoli satnica redovne nastaveje 4 sata tjedno, dok u srednjim skolama ta satnica varira od 3 do 7 sati nastavetjedno, sto je opet propisuje Ministarstvo. Pri izvodenju te nastave nastavnik jeduzan koristiti se propisanim i od Ministarstva odobrenim udzbenicima i zbirkamazadataka, tj. ne smije zahtijevati da ucenici obavezno kupuju neku dodatnu lit-eraturu. Takoder, nastavnik prati rad svakog ucenika, te ga i ocjenjuje (usmeniodgovor, ispiti znanja i drugi elementi) pri cemu se pridrzava Pravilnika o pracenjui ocjenjivanju (vidi prilog). Na kraju prvog i drugog polugodista nastavnik formiracjelokupnu ocjenu iz matematike za svakog ucenika.

IZBORNA NASTAVA

Izbornu nastavu matematike pohadaju oni ucenici koji se na pocetku godineodluce za taj izborni predmet. Odjeljenje za izbornu nastavu se formira ako se prijavibarem 15 ucenika. Jednom kad se odlucio za pohadanje izborne nastave uceniknema pravo odustati od pohadanja izborne nastave. Ona se odvija po planovimai programima koje propisuje Ministarstvo prosvjete i sporta, a koji se objavljuju uGlasniku tog Ministarstva. U osnovnoj skoli satnica izborne nastave je 2 sata tjedno,dok u srednjim skolama ta satnica varira od 1 do 2 sata nastave tjedno, sto je opetpropisuje Ministarstvo. Pri izvodenju te nastave nastavnik se koristiti propisanim iod Ministarstva odobrenim udzbenicima i zbirkama zadataka, ali smije zahtijevatida ucenici nabave i neku dodatnu literaturu. Takoder, nastavnik prati rad svakogucenika, te ga i ocjenjuje (usmeni odgovor, ispiti znanja i drugi elementi) pri cemuse pridrzava Pravilnika o pracenju i ocjenjivanju (vidi prilog). Na kraju prvog idrugog polugodista nastavnik formira cjelokupnu ocjenu iz matematike/informatike

6 Vrste nastave 35

za svakog ucenika.

DOPUNSKA NASTAVA

Dopunska nastava organizira se za ucenike koji nisu na redovnoj nastavibili u mogucnosti savladati gradivo. Toj skupini pripadaju, na primjer, ucenicis teskocama u razvoju, ucenici sa manjkavim predznanjem, ucenici za koje sepokazalo da dio gradiva nisu savladali (na primjer, ako dobiju negativnu ili za njihovemogucnosti losu ocjenu iz testa vezanog uz to gradivo). Ucenik dopunsku nastavumozu pohadati tijekom cijele godine ili po potrebi u dogovoru s nastavnikom. Obicnose odrzava jedan sat tjedno i oblik nastave koju nastavnik koristi je iskljucivo indi-vidualni rad. Grupu dopunske nastave cini najvise 8 ucenika. Ne postoji programkoji propisuje Ministarstvo, niti se ovaj rad ocjenjuje.

DODATNA NASTAVA

Dodatna nastava organizira se za ucenike koji na redovnoj nastavi pokazujuizrazito zanimanje za predmet, koji posjeduju mogucnosti koje se mogu jos viserazviti intenzivnim individualnim radom, tj. za tazv. napredne ucenike. Ucenikdodatnu nastavu mogu pohadati tijekom cijele godine ili po potrebi u dogovoru snastavnikom. Obicno se odrzava 1–2 sata tjedno i oblik nastave koju nastavnik ko-risti je iskljucivo individualni rad. Grupu dodatne nastave cini najvise 8 ucenika. Nepostoji program koji propisuje Ministarstvo, niti se ovaj rad ocjenjuje. Uobicajenoje da se ucenici na toj nastavi pripremaju za natjecanja iz matematike, ali trebaimati na umu da sudjelovanje na natjecanjima nije jedini cilj dodatne nastave.

Literatura

[1] V. Bajrovic, Neke vazne formule-modeli u prostoru, Bilten Seminara iz matem-atike za nastavnike mentore 5, HMD i Element, Zagreb, 1996.

[2] L. Bognar, M. Matijevic, Didaktika, Skolska knjiga, Zagreb, 2002.

[3] B. Dakic, Zornost u nastavi matematike, Skolske novine, Zagreb, 1993.

[4] D. Glasnovic, Mnogokuti-rad u parovima, Matematika i skola 13(2002), 121-122.

[5] T. Grgin, Skolska dokimologija, Skolska knjiga, Zagreb, 1986.

[6] Z. Kurnik, Matematicke sposobnosti, Matematika i skola 10(2001), 195-199.

[7] Z. Kurnik, Nacelo znanstvenosti, Matematika i skola 13(2002), 102-106.

[8] Z. Kurnik, Nacelo problemnosti, Matematika i skola 14(2002), 148-152.

[9] Z. Kurnik, Problemska nastava, Matematika i skola 15(2002), 196-202.

[10] Z. Kurnik, Historicizam, Matematika i skola 17(2002), 52-58.

[11] Z. Kurnik, Grupni rad, Matematika i skola 22(2003), 52-57.

[12] Z. Kurnik, Individualizacija, Matematika i skola 25(2004), 196-201.

[13] V. Muzic, Programirana nastava, Skolska knjiga, Zagreb, 1968.

[14] B. Pavkovic i dr. Male teme iz matematike, HMD, Zagreb, 1994.

[15] M. Pavlekovic, Metodika nastave matematike s informatikom I, Element, Za-greb, 1997.

[16] M. Pavlekovic, Metodika nastave matematike s informatikom II, Element, Za-greb, 1999.

[17] B. Pelle, Tako poucavamo matematiku, Skolske novine i HMD, Zagreb, 2004.

[18] V. Poljak, Didaktika, Skolska knjiga, Zagreb, 1982.

[19] S. Varosanec, Neke metode rjesavanja problemskih zadataka, Poucak br. 13,(2003), 32.-38.

Documents

metodika matematike