Metodinė medžiaga matematikos išplėstinio kurso modulių 11–12

Kalba netaisyta

P R O J E K T A S VP1-2.2-ŠMM-04-V-01-001

„MOKYMOSI KRYPTIES PASIRINKIMO GALIMYBIŲ DIDINIMAS 14 –19 METŲ

MOKINIAMS, II ETAPAS: GILESNIS MOKYMOSI DIFERENCIJAVIMAS IR

INDIVIDUALIZAVIMAS, SIEKIANT UGDYMO KOKYBĖS, REIKALINGOS

ŠIUOLAIKINIAM DARBO PASAULIUI“

1.2.2. MODULINIŲ MOKYMO PROGRAMŲ VIDURINIAM UGDYMUI RENGIMAS

Metodinė medžiaga matematikos išplėstinio kurso modulių 11–12

(III – IV gimnazijos) klasėms programoms įgyvendinti

Parengė:

Ekspertų grupės vadovė

Regina Rudalevičienė

Ekspertai: Juozas Juvencijus Mačys,

Rūta Švelnikienė

2014–03–28

Kalba netaisyta

2

Turinys

METODINĖ MEDŽIAGA MATEMATIKOS IŠPLĖSTINIO KURSO MODULIŲ 11–12 (III –

IV GIMNAZIJOS) KLASĖMS PROGRAMOMS ĮGYVENDINTI .................................................. 3

ĮVADAS ................................................................................................................................................... 3

I. MOKINIŲ PASIEKIMŲ APIBENDRINAMOJO VERTINIMO / ĮSIVERTINIMO KRITERIJAI MOKINIAMS (SU

PAVYZDŽIAIS) PAGAL PASIEKIMŲ LYGIUS ............................................................................................... 4

1 modulis. Realieji skaičiai ir reiškiniai............................................................................................. 4

2 modulis. Lygtys, lygčių sistemos. Nelygybės, nelygybių sistemos ................................................. 10

3 modulis. Funkcijos sąvoka. Laipsninė, rodiklinė, logaritminė funkcijos ...................................... 16

4 modulis. Trigonometrija ................................................................................................................ 23

5 modulis. Geometrija ...................................................................................................................... 27

6 modulis. Tikimybių teorija. Statistika ............................................................................................ 32

7 modulis. Diferencialinis skaičiavimas .......................................................................................... 42

8 modulis. Integralinis skaičiavimas. Algebros ir analizės pradmenų žinių sisteminimas .............. 48

9 modulis. Vektoriai. Geometrijos žinių sisteminimas ..................................................................... 53

Pasirenkamasis modulis. Uždavinių sprendimo strategijos ............................................................. 60

II. MODULIŲ, APIMANČIŲ MATEMATIKOS IŠPLĖSTINIO KURSO VEIKLOS SRITĮ „GEOMETRIJA.

VEKTORIAI“, PROGRAMAI ĮGYVENDINTI REIKALINGA METODINĖ MEDŽIAGA ........................................ 66

Planavimo pavyzdžiai ....................................................................................................................... 66

Modulio pradžioje ir pabaigoje siūlomos diagnostinės užduotys, padedančios įvertinti mokinio

daromą pažangą (dalykines ir bendrąsias kompetencijas) bei įsivertinti ........................................ 75

Apibendrinamųjų užduočių, orientuotų į dalykines ir bendrąsias kompetencijas, pavyzdžiai, jų

vertinimo kriterijai (mokytojui ir mokiniui) ................................................................................... 104

III. IKT (INFORMACINIŲ IR KOMUNIKACINIŲ TECHNOLOGIJŲ) PANAUDOJIMO MATEMATIKOS

UŽDAVINIAMS SPRĘSTI METODIKOS PAVYZDŽIAI ................................................................................. 124

IKT taikymas mokant pagal modulio Funkcijos sąvoka. Laipsninė, rodiklinė, logaritminė funkcijos

programą ........................................................................................................................................ 124

IKT taikymas mokant pagal modulio Integralinis skaičiavimas. Algebros ir analizės pradmenų

žinių sisteminimas programą ......................................................................................................... 129

IV. REKOMENDUOJAMA MOKYMO IR MOKYMOSI LITERATŪRA IR ŠALTINIAI MOKYTOJUI ................... 137

V. NAUDOTA LITERATŪRA IR KITI ŠALTINIAI .................................................................................... 138

PRIEDAS ........................................................................................................................................... 139

Projekto mokyklų mokytojų parengtų darbų pavyzdžiai ................................................................ 139

Kalba netaisyta

3

Metodinė medžiaga matematikos išplėstinio kurso modulių 11–12 (III – IV

gimnazijos) klasėms programoms įgyvendinti

Įvadas

Metodinę medžiagą matematikos išplėstinio kurso modulių 11–12 (III–IV gimnazijos)

klasėms programoms įgyvendinti (toliau Metodinė medžiaga) sudaro: mokinių pasiekimų

apibendrinamojo vertinimo / įsivertinimo kriterijai mokiniams (su pavyzdžiais) pagal pasiekimų lygius

visoms modulių (išplėstinio kurso) programoms (pagrindinio lygio pasiekimų reikalavimai apima

patenkinamojo lygio reikalavimus, o aukštesniojo lygio – pagrindinio ir patenkinamojo lygio

reikalavimus); modulių „Geometrija“ ir „Vektoriai. Geometrijos žinių sisteminimas“ programoms

įgyvendinti reikalinga metodinė medžiaga (planavimo pavyzdys; modulio pradžioje ir pabaigoje

siūlomos diagnostinės užduotys, padedančios įvertinti mokinio daromą pažangą (dalykines ir

bendrąsias kompetencijas) bei įsivertinti; apibendrinamųjų užduočių pavyzdžiai ir jų vertinimo

kriterijai (mokytojui ir mokiniui); IKT (informacinių ir komunikacinių technologijų) panaudojimo

matematikos uždaviniams spręsti metodikos pavyzdžiai; rekomenduojama mokymo ir mokymosi

literatūra ir šaltiniai mokytojui.

Metodinė medžiaga parengta, atsižvelgiant į projekte dalyvavusių ir išbandžiusių

matematikos modulių programas mokytojų praktine patirtimi. Priede pateikta projekte dalyvavusių

mokytojų iš Kauno Kovo 11-tosios vidurinės mokyklos, Klaipėdos „Ąžuolyno“ gimnazijos, Panevėžio

profesinio rengimo centro, Alytaus profesinio rengimo centro, Šiaulių profesinio rengimo centro,

Marijampolės „Sūduvos“ gimnazijos, Molėtų gimnazijos, VŠĮ Kauno Juozo Urbšio katalikiškosios

vidurinės mokyklos metodiniai darbai – planavimo pavyzdžiai, apibendrinamųjų darbų su jų vertinimo

instrukcijomis pavyzdžiai, IKT taikymo matematikos pamokose pavyzdžiai.

Parengta Metodinė medžiaga skiriama pagrindiniams modulinio mokymo įgyvendintojams

– mokyklų vadovams ir matematikos mokytojams. Pateiktą metodinę medžiagą mokytojai gali

kūrybiškai papildyti ir taikyti, atsižvelgdami į savo mokinių patirtį, mokymosi gebėjimus, įpročius ir

lūkesčius.

Kalba netaisyta

4

I. Mokinių pasiekimų apibendrinamojo vertinimo / įsivertinimo kriterijai mokiniams (su pavyzdžiais) pagal pasiekimų

lygius

1 modulis. Realieji skaičiai ir reiškiniai

Pasiekimų lygiai

Patenkinamas Pagrindinis Aukštesnysis

1.1. Skaičių priskirti skaičių aibei ir atlikti skaičių aibių veiksmus.

Žino skaičių aibes, iš duotų skaičių moka

išrinkti reikiamos skaičių aibės skaičius.

Paaiškina aibės ir skaičių aibės sąvoką.

Skaičius, priklausančius įvairioms skaičių

aibėms, moka pavaizduoti skaičių tiesėje.

Žino realiųjų skaičių aibės sandarą, žino, kuo viena

skaičių aibė skiriasi nuo kitos.

Moka rasti dviejų skaičių tiesės intervalų

sąjungą ir sankirtą.

Suvokia aibių sąjungą, sankirtą, poaibį, moka rasti

aibės papildinį.

Naudoja aibių ir jų veiksmų simbolius.

Moka spręsti uždavinius nurodytoje skaičių aibėje.

Moka rasti dviejų aibių skirtumą, aibės papildinį.

Moka palyginti realiuosius skaičius:

paprastąsias ir dešimtaines trupmenas,

iracionaliuosius skaičius.

Moka paversti dešimtaines periodines trupmenas

paprastosiomis ir atvirkščiai.

Skaičiuoja skaitinių reiškinių su periodinėmis

dešimtainėmis trupmenomis reikšmes.

Įvertina skaičiavimo rezultatų absoliučiąją ir

santykinę paklaidas.

1.2. Aprašyti paprastas praktines ir matematines situacijas aritmetinėmis ir geometrinėmis progresijomis bei remiantis progresijų savybėmis jas išspręsti,

įvertinti ar patikrinti gautus rezultatus.

Supranta, kas yra seka.

Paprasčiausiais atvejais pastebi skaičių eilutės

dėsningumus.

Moka rasti sumą skaičių, tenkinančių tam tikrą

savybę.

Sprendžia lygtis, kuriose yra progresijų.

Pagal duotą seką užrašo jos n-tojo nario formulę.

Paprasčiausiais atvejais pratęsia skaičių eilutę

pagal pastebėtą dėsningumą.

Randa sekos n-tąjį narį pagal n-tojo nario

formulę.

Moka apskaičiuoti sekos n pirmųjų narių sumą

paprasčiausiais atvejais.

Atkurti seką pagal jos n-tojo nario formulę.

Moka skaičiuoti sekos narius pagal rekurentinę

formulę.

Atkurti seką pagal rekurentinę formulę.

Atpažįsta aritmetinę progresiją. Paprastais Pateikia aritmetinės progresijos pavyzdžių. Moka išvesti, žino ir moka taikyti n-tojo nario ir

Kalba netaisyta

5

atvejais moka rasti aritmetinės progresijos

nežinomą dydį.

Atpažįsta aritmetinę progresiją praktinėse situacijose,

moka rasti nežinomą jos narį, spręsti lygtis, kuriose

yra progresijos sumų.

pirmųjų n narių sumos formules.

Atpažįsta geometrinę progresiją. Paprastais

atvejais moka rasti geometrinės progresijos

nežinomą dydį.

Pateikia geometrinės progresijos pavyzdžių. Atpažįsta

geometrinę progresiją praktinėse situacijose, moka

rasti nežinomą jos narį, spręsti lygtis, kuriose yra

progresijos sumų.

Moka išvesti, žino ir moka taikyti n-tojo nario ir

pirmųjų n narių sumos formules. Sprendžia

uždavinius, kuriuose reikia žinoti abiejų progresijų

savybes.

Paprasčiausiais atvejais moka taikyti

nykstamosios geometrinės progresijos sumos

formulę.

Moka taikyti nykstamosios geometrinės progresijos

sumos formulę paprasčiausiems uždaviniams spręsti.

Moka pagrįsti nykstamosios geometrinės progresijos

sumos formulę.

Pateikia pavyzdžių, iliustruojančių sekos ribos

sąvoką. Žino ir moka paaiškinti, kas yra skaičius e.

Naudojasi paprastųjų ir sudėtinių procentų

formulėmis paprasčiausiuose praktinio turinio

uždaviniuose.

Naudojasi paprastųjų ir sudėtinių procentų formulėmis

spręsdamas paprastus uždavinius.

Naudojasi paprastųjų ir sudėtinių procentų

formulėmis spręsdamas nesudėtingus uždavinius.

1.3. Nesudėtingas situacijas aprašyti algebriniais reiškiniais, apskaičiuoti šių reiškinių skaitines reikšmes ar dydžio reikšmes pagal nurodytą formulę, naudotis

turimomis IKT priemonėmis.

Randa apibrėžimo sritį paprasčiausiais

atvejais, kai yra vardiklių, lyginio ar nelyginio

laipsnio šaknų.

Moka rasti apibrėžimo sritį paprastais atvejais, kai

reiškinys susideda iš kelių dalių.

Supranta ir moka paaiškinti racionaliojo reiškinio ir

iracionaliojo reiškinio sąvokas.

Moka rasti apibrėžimo sritį nesudėtingais atvejais.

Tapačiai pertvarko reiškinius naudodamas

formulę: ( )( ).

Moka tapačiai pertvarkyti racionaliuosius reiškinius,

naudodamasis greitosios daugybos formulėmis:

( )( ),

( ) .

Moka tapačiai pertvarkyti racionaliuosius reiškinius

naudodamasis greitosios daugybos formulėmis

( ) ,

( )( ). Apskaičiuoja paprastų reiškinių su moduliu

reikšmes.

Moka pertvarkyti reiškinius su moduliais, kai x kinta

nurodytoje srityje.

Moka pertvarkyti reiškinius su moduliais, kai x

kitimo sritis nenurodyta.

1.4. Taikyti veiksmų su laipsniais ir veiksmų su n-tojo laipsnio šaknimis savybes sprendžiant skaičiavimo, reiškinių pertvarkymo ir palyginimo uždavinius,

naudotis turimomis IKT priemonėmis.

Žino laipsnių savybes ir taiko jas spręsdamas

paprastus uždavinius. Moka skaičiuoti

paprastų reiškinių su neigiamuoju laipsnio

rodikliu reikšmes.

Žino laipsnių savybes ir taiko jas spręsdamas

nesudėtingus uždavinius.

Moka pagrįsti laipsnio su realiuoju rodikliu savybes.

Paprasčiausiais atvejais moka n-tojo laipsnio

šaknį išreikšti laipsniu su trupmeniniu rodikliu

ir atvirkščiai.

Paprastais atvejais moka n-tojo laipsnio šaknį

išreikšti laipsniu su trupmeniniu rodikliu ir atvirkščiai.

Nesudėtingais atvejais moka n-tojo laipsnio šaknį

išreikšti laipsniu su trupmeniniu rodikliu ir

atvirkščiai.

Skaičiuoja reiškinių su n-tojo laipsnio Prastina reiškinius su laipsniais ir n-tojo laipsnio Moka pagrįsti n-tojo laipsnio šaknų savybes. Prastina

Kalba netaisyta

6

šaknimis reikšmes.

šaknimis.

reiškinius su racionaliaisiais rodikliais naudodamasis

greitosios daugybos formulėmis.

Moka parašyti skaičių standartine išraiška.

Moka atlikti veiksmus su skaičiais, užrašytais

standartine išraiška.

Moka atlikti veiksmus su skaičiais, kurių standartinės

išraiškos yra skirtingos eilės.

1.5. Taikyti skaičiaus logaritmo apibrėžimą ir savybes sprendžiant skaičiavimo, reiškinių pertvarkymo ir palyginimo uždavinius, naudotis turimomis IKT

priemonėmis.

Supranta skaičiaus logaritmo sąvoką. Moka paaiškinti skaičiaus logaritmo sąvoką. Suformuluoja logaritmo apibrėžimą, jį paaiškina.

Moka apskaičiuoti skaičiaus logaritmo

reikšmes paprasčiausiais atvejais.

Žino dešimtainį logaritmą.

Moka apskaičiuoti bet kokio pagrindo logaritmo

reikšmę naudodamasis skaičiuokliu.

Žino ir paaiškina natūraliojo logaritmo apibrėžimą.

Skaičiuoja paprasčiausių logaritminių

reiškinių reikšmes.

Naudojasi logaritmų savybėmis prastindamas

paprastus skaitinius logaritminius reiškinius.

Moka pagrįsti logaritmų savybes.

Moka nustatyti logaritmo ženklą.

Moka nustatyti, tarp kokių gretimų sveikųjų skaičių

yra skaičiaus logaritmo reikšmė.

Naudojasi logaritmų savybėmis prastindamas

nesudėtingus skaitinius logaritminius reiškinius.

Užduočių pavyzdžiai

Žinios ir supratimas Pasiekimų lygiai


1.1. Skaičių priskirti skaičių aibei ir atlikti skaičių aibių veiksmus.

1.1.1. Paaiškinti aibės ir skaičių aibės sąvoką.

Žinoti, kaip skaičių aibės vaizduojamos skaičių

tiesėje.

1.1.2. Žinoti realiųjų skaičių aibės sandarą.

1.1.3. Paaiškinti sąvokas: aibių sąjunga, sankirta,

aibės poaibis, papildinys. Vartoti formaliuosius

aibių ir jų veiksmų simbolius. Rasti dviejų aibių

sąjungą, sankirtą ir skirtumą.

Atskiruose brėžiniuose

spalvindami pavaizduokite: A O;

O∩A; A \O; MA.

Duotos aibės

A = {2; 4; 6; 8; 10}, B = {5; 7; 9;

11}, C = {4; 5; 6; 8; 9}.

Užrašykite:

a) A C;

b) B A;

c) A (B C);

d) kurį nors aibės A poaibį iš 2

elementų.

Pavaizduokite aibės A

dvielemenčius poaibius.

Duotos aibės

A={2; 4; 6; 8; 10}, B ={5; 7; 9;

11}, C = {4; 5; 6; 7; 8; 9}.

Raskite:

a) ;

b) ( ) ;

c) ( ) ;

d) ;

e) ( ) .

Kalba netaisyta

7

1.1.4. Paversti dešimtaines periodines trupmenas

paprastosiomis ir atvirkščiai, palyginti realiuosius

skaičius.

1. Skaičių 3

1užrašykite

dešimtaine periodine trupmena.

2. Skaičius 0,(4) ir 0,(21)

užrašykite paprastosiomis

trupmenomis.

1. Skaičių

užrašykite

dešimtaine periodine trupmena.

2. Išreikškite paprastosiomis

trupmenomis ir apskaičiuokite:

0,(3) + 2,7(2).

Jei iš vieno skaičiaus atimtume, o

prie kito pridėtume 2,47(2), tai

rezultatas būtų toks pat. Padaliję

pirmąjį skaičių iš antrojo,

gautume 1,(45). Raskite tuos du

skaičius.

1.1.5. Paprasčiausiais atvejais įvertinti

skaičiavimo rezultatų absoliučiąją, santykinę

paklaidas.

Detalė, kurios ilgis 54,315 mm,

išmatuota 0,1 mm tikslumu. Gauta

apytikslė detalės ilgio reikšmė

54,3 mm. Apskaičiuokite

santykinę šios reikšmės paklaidą.

Nustatykite, kuris matavimo

rezultatas tikslesnis santykinės

paklaidos prasme: cm² (5

cm² tikslumu) ar cm²

(10 cm² tikslumu).

Skaičius 14,652 suapvalintas su

trūkumu ir su pertekliumi 0,1

tikslumu. Apskaičiuokite

santykines šių apytikslių skaičių

paklaidas 0,01 procento tikslumu.

1.2. Aprašyti paprastas praktines ir matematines situacijas aritmetinėmis ir geometrinėmis progresijomis bei remiantis progresijų savybėmis jas išspręsti, įvertinti

ar patikrinti gautus rezultatus.

1.2.1. Paaiškinti skaičių sekos sąvoką, pateikti

skaičių sekų pavyzdžių, užrašant pirmuosius jos

narius.

Natūraliųjų lyginių skaičių seka 2,

4, 6, 8, ....

Užrašykite nelyginių skaičių sekos

pirmuosius penkis narius.

Pratęskite skaičių seką 1, 4, 9, ... . Pratęskite skaičių seką 0, 3, 8, 15,

... .

1.2.2. Atkurti sekos narius pagal sekos n-tojo

nario formulę ar rekurentinę formulę. Užrašyti

paprastų sekų n-tojo nario formulę.

Parašykite penkis sekos narius, kai

sekos n-tojo nario formulė tokia:

a) = 5 + 2n;

b) = cos(n + 1)π

Parašykite po penkis sekų narius,

kai:

a) = –1, = + 1,5;

b) = 1, = 4; = 9, =

3 – 3 + .

1. Parašykite sekos 2, 4, 6, 8, 10,

... n-tojo nario formulę.

2. Parašykite sekos

n-tojo nario formulę.

1.2.3. Apibrėžti aritmetinę progresiją. Išvesti,

žinoti ir mokėti taikyti n-tojo nario ir pirmųjų n

narių sumos formules sprendžiant nesudėtingus

uždavinius.

1. Apskaičiuokite aritmetinės

progresijos narį , kai = 11,

d = 2.

2 . Apskaičiuokite aritmetinės

progresijos ( na ) pirmųjų 100

narių sumą, kai = 10, =

350.


progresijos narį , kai = 3

1,

d = – 3.

1. Aritmetinės progresijos =

1, d = – 0,5. Apskaičiuokite .


progresijos n nario numerį, jei

šios progresijos = – 12 , = –

10,5 ir = 0.

3. Aritmetinės progresijos =

0,5, = 0,7. Raskite . 4. Duota aritmetinė progresija

1,7; 2; 2,3; ... . Ar skaičius 32

yra šios progresijos narys?

5. Antrasis aritmetinės

1. Žinoma, kad aritmetinės

progresijos = 6,2 ir = 21,2.

Apskaičiuokite šios progresijos

pirmąjį narį ir skirtumą.

2. Įrodykite, kad seka ( ), kurios n-tasis narys = 7 – 3n,

yra aritmetinė progresija.

3. Jei seka , , ,..., yra

aritmetinė progresija, tai . Pagrįskite šį

teiginį.

Kalba netaisyta

8

4. Duota aritmetinė progresija

15, 30, 45, 60, ... . Apskaičiuokite

pirmųjų 22 narių sumą.

progresijos narys lygus – 8,5, o

ketvirtasis narys lygus – 4,5.

Kokia yra pirmųjų šešių narių

suma?

1.2.4. Apibrėžti geometrinę progresiją. Išvesti,

žinoti ir mokėti taikyti n-tojo nario ir pirmųjų n

narių sumos formules sprendžiant nesudėtingus

uždavinius.

1. Parašykite penkis pirmuosius

geometrinės progresijos (bn)

narius, kai = 128,

.

2. Apskaičiuokite geometrinės

progresijos (bn ) pirmųjų 7 narių

sumą, kai = 5, q = 2.

1. Seka ( ) yra geometrinė

progresija. Apskaičiuokite , kai

= 243, q = 3.

2. Apskaičiuokite nežinomus

geometrinės progresijos narius:

625, , , –135, 81, .

3. Parašykite geometrinės

progresijos n-tojo nario formulę,

kai b1= 128, b4 = – 16.

Jei seka , , ,..., yra

geometrinė progresija, tai

( )

.

Įrodykite.

1.2.5. Taikyti nykstamosios geometrinės

progresijos sumos formulę paprasčiausiems

uždaviniams spręsti. Pateikti pavyzdžių,

iliustruojančių sekos ribos sąvoką. Žinoti, kas yra

skaičius e.

Remdamiesi nykstamosios

geometrinės progresijos sumos

formule, skaičių 0,(4) užrašykite

paprastąja trupmena .

1. Remdamiesi nykstamosios

geometrinės progresijos sumos

formule, skaičių 1,2(7) užrašykite

paprastąja trupmena.

2. Apskaičiuokite

+ ...

1. Nustatykite, prie kokio

skaičiaus artėja sekos

nariai, kai .

2. Apskaičiuokite sekos

(

)

narius, kai n = 10000, n

= 10010, n = 10100, n = 11000.

Nustatykite, prie kokio skaičiaus

artėja sekos nariai, kai n→ ∞.

Suformuluokite išvadą.

1.2.6. Sieti progresijas su paprastųjų ir sudėtinių

palūkanų skaičiavimu ir spręsti nesudėtingus

uždavinius. Spręsti dydžio procentinio didėjimo ir

(arba) mažėjimo uždavinius.

Miestelyje gyvena 7800

gyventojų. Per metus gyventojų

skaičius padidėja 2 %. Kiek

gyventojų miestelyje bus po 5

metų?

Kiek eurų reikia įnešti į taupomąją

sąskaitą, kad po 5 metų

susikauptų 10000 eurų, jei

mokama 1,25 % metinių sudėtinių

palūkanų, skaičiuojamų

ketvirčiais?

Gėlininkė kiekvieną pirmadienį

patręšia gėles 10 g biotrąšų.

Žinoma, kad trąšų kiekis vazone

per savaitę sumažėja 25%.

Parašykite formulę, pagal kurią

būtų galima apskaičiuoti trąšų

kiekį vazone po kiekvieno

tręšimo.

1.3. Nesudėtingas situacijas aprašyti algebriniais reiškiniais, apskaičiuoti šių reiškinių skaitines reikšmes ar dydžio reikšmes pagal nurodytą formulę, naudotis

turimomis IKT priemonėmis.

1.3.1. Suprasti, paaiškinti ir vartoti sąvokas:

racionalusis reiškinys ir iracionalusis reiškinys.

Kada reiškiniai turi prasmę: Raskite reiškinio apibrėžimo sritį: Nustatykite reiškinio leistinųjų

reikšmių aibę:

Kalba netaisyta

9

Nustatyti jų leistinųjų reikšmių aibę (apibrėžimo

sritį).

a)

;

b) √ ;

c)

.

a)

;

b) √ .

) √

√ ;

b) √

;

c)

√ .

1.3.2. Tapačiai pertvarkyti racionaliuosius

reiškinius naudojant greitosios daugybos

formules

( ) ,

( )( )

Suprastinkite reiškinį:

a)

;

b) ( ) .


.


( ) ( ) .

1.3.3. Apskaičiuoti paprastų reiškinių su moduliu

reikšmes.

Suprastinkite reiškinį: | |

, kai a > 2.


| | .


√ .

1.4. Taikyti veiksmų su laipsniais ir veiksmų su n-tojo laipsnio šaknimis savybes sprendžiant skaičiavimo, reiškinių pertvarkymo ir palyginimo uždavinius,

naudotis turimomis IKT priemonėmis.

1.4.1. Žinoti laipsnių (su realiuoju rodikliu)

savybes ir jas taikyti paprastiems reiškiniams

pertvarkyti.

Apskaičiuokite reiškinio reikšmę:

((

) )

( ) .

Apskaičiuokite reiškinio reikšmę:

2436 ∙ 27

5: 81

7

Apskaičiuokite reiškinio

reikšmę:

.

1.4.2. n-tojo laipsnio šaknį išreikšti laipsniu su

trupmeniniu rodikliu ir atvirkščiai.

1.4.3. Žinoti veiksmų su n-tojo laipsnio šaknimis

savybes ir mokėti atlikti nesudėtingus veiksmus

su šaknimis.

Pagrįsti n-tojo laipsnio šaknų savybes.

Laipsnį su trupmeniniu rodikliu

išreiškę n-tojo laipsnio šaknimi,

apskaičiuokite reiškinio reikšmę:

a)

;

b) √ √ √

√ .

Išreikškite n-tojo laipsnio šaknimi:

a) √ √

;

b) √ √ √ √ .


reikšmę:

a) √ √ √

;

b)

( )

.

1.4.4. Atlikti veiksmus su standartinės išraiškos

skaičiais.

Apskaičiuokite. Atsakymą

užrašykite standartine išraiška:

a) (9,6 ∙ 103) + (2,9 ∙ 10

3);

b) (8,3 · 10²) – (9,1 · 10²);

c) (7,3 · 104)².

Apskaičiuokite. Atsakymą užrašykite

standartine išraiška:

a) (1,5 ∙ 10–2) : (3 ∙ 10

–2);

b) (3,75 · 10– 5) · (5 · 10

– 5)


reikšmę:

.

1.5. Taikyti skaičiaus logaritmo apibrėžimą ir savybes sprendžiant skaičiavimo, reiškinių pertvarkymo ir palyginimo uždavinius, naudotis turimomis IKT

Kalba netaisyta

10

priemonėmis.

1.5.1. Apibrėžti skaičiaus logaritmą.

1.5.2. Žinoti, kas yra dešimtainis logaritmas.

Žinoti, kas yra natūralusis logaritmas.

Apskaičiuoti dešimtainius ir natūraliuosius

logaritmus.

Apskaičiuokite:

a) ;

b) lg1000.

Apskaičiuokite:

a)

;

b) lg0,01.

1. Tarp kokių sveikųjų skaičių yra

logaritmas ln3?

2. Apskaičiuokite: .

1.5.3. Remiantis logaritmo apibrėžimu ir (arba)

logaritmų savybėmis apskaičiuoti logaritminių

reiškinių skaitines reikšmes, pertvarkyti

nesudėtingus reiškinius. Pagrįsti logaritmų

savybes.

1. Apskaičiuokite: b) ;

c) .

1.Apskaičiuokite:

.

2. Taikydami logaritmų savybes,

pertvarkykite reiškinį

( ).

1. Apskaičiuokite:

.

2. Su kokiomis a reikšmėmis

nelygybė lna > 1 teisinga?

3. Apskaičiuokite reiškinio

( ) reikšmę, kai =

−7.

2 modulis. Lygtys, lygčių sistemos. Nelygybės, nelygybių sistemos

Pasiekimų lygiai


2.1. Spręsti: racionaliąsias ir paprastas iracionaliąsias lygtis, lygtis su moduliu bei lygtis, kurias galima suvesti į pavidalą ( ) ( ) , ( )

( ) , kur ( ),

( ) – ne aukštesnio negu antrojo laipsnio daugianariai.

Žino lygties, lygties sprendinio sąvokas, geba

patikrinti, ar skaičius yra lygties sprendinys.

Geba atlikti ekvivalenčius pertvarkius

spręsdamas tiesinę lygtį, žino ir taiko

kvadratinės lygties sprendimo algoritmą.

Suformuluoja lygties, lygties sprendinio apibrėžimus.

Supranta lygčių ekvivalentumo sąvoką. Geba pagrįsti

lygčių ekvivalentumą.

Suformuluoja lygčių ekvivalentumo apibrėžimą,

pateikia ekvivalenčių lygčių pavyzdžių, geba atrinkti

lygčių sprendinius, tenkinančius tam tikras sąlygas.

Supranta lygties apibrėžimo srities sąvoką. Geba

nustatyti paprastų trupmeninių, iracionaliųjų lygčių

apibrėžimo sritį.

Geba nustatyti bet kokio tipo lygties apibrėžimo sritį.

Geba spręsti bikvadratines lygtis. Supranta lygties sprendimo keičiant nežinomąjį

algoritmą. Geba aukštesnio laipsnio lygtį pertvarkyti į

lygtį f(x) · g(x) = 0.

Pagrindžia įvairių tipų lygčių, sprendžiamų įsivedant

keitinį, sprendimą.

Geba spręsti paprasčiausias racionaliąsias Supranta ir taiko racionaliųjų lygčių sprendimo Geba spręsti sudėtingesnes racionaliąsias lygtis.

Kalba netaisyta

11

lygtis. algoritmus. Geba atrinkti lygtį tenkinančius

sprendinius.

Algebriniu būdu sprendžia paprasčiausias

lygtis |f(x)| = a , kur f(x) – pirmojo laipsnio

daugianaris.

Algebriniu būdu sprendžia paprastas lygtis: |f(x)| = a,

kur f(x) – antrojo laipsnio daugianaris; | ( )| | ( )| , kur f(x) ir g(x) – pirmojo laipsnio

daugianariai.

Grafiniu būdu sprendžia paprastas lygtis: |f(x)| = a,

kur f(x) – antrojo laipsnio daugianaris.

Geba pagrįsti nesudėtingų lygčių su moduliu

algebrinį ir grafinį sprendimą. Geba parinkti

racionaliausią sprendimo būdą.

Žino iracionaliosios lygties sąvoką. Žino

iracionaliosios lygties sprendimo algoritmą ir

jį taiko lygtims √ ( ) √ ( )

√ ( ) ( ), kur f(x), g(x) – ne aukštesnio

negu antrojo laipsnio daugianariai, a –

sveikasis skaičius.

Suformuluoja iracionaliosios lygties apibrėžimą. Geba

spręsti lygtis ( ) √ ( ) √ ( ) ( )

Geba spręsti iracionaliąsias lygtis √ ( ) √ ( ) ( ). Pagrįsdamas išrenka pradinę lygtį tenkinančius

sprendinius.

Geba grafiniu būdu nustatyti lygties f(x) = g(x)

sprendinių skaičių, kur f(x) ir g(x) yra pirmojo

laipsnio daugianariai.

Supranta lygčių grafinio sprendimo esmę. Geba

grafiškai nustatyti lygties f(x) = 0, pertvarkytos į lygtį

g(x) = h(x), sprendinių skaičių,

Argumentuoja lygties f(x) = 0 grafinį sprendimą.

2.2. Spręsti kvadratines ir nesudėtingas racionaliąsias nelygybes, paprastas nelygybes su moduliu.

Naudotis turimomis IKT priemonėmis.

Moka grafiškai iliustruoti nelygybes. Supranta ekvivalenčių nelygybių sąvoką. Suformuluoja nelygybių ekvivalentumo apibrėžimą,

pateikia ekvivalenčių nelygybių pavyzdžių.

Žino, kaip grafiškai iliustruoti nelygybės f(x) *

g(x) sprendinį (* žymi <, >, ≤, ≥; f(x) ir g(x)

yra tiesioginio proporcingumo arba tiesinės

funkcijos). Geba atlikti ekvivalenčiuosius

pertvarkius, spręsdamas tiesines nelygybes,

užrašyti sprendinių aibę intervalu.

Moka grafiškai iliustruoti nelygybės f(x) * g(x) (*

žymi <, >, ≤, ≥ ) sprendinių aibę, f(x) ir g(x) yra

atvirkščiojo proporcingumo, tiesinės, kvadratinės

funkcijos

Sprendžia kvadratines ir racionaliąsias

nelygybes bent vienu būdu. Žino kvadratinių ir

trupmeninių nelygybių sprendimo etapus.

Geba taikyti intervalų metodą. Pavaizduoja

sprendinių aibę skaičių tiesėje.

Supranta kvadratinių, racionaliųjų nelygybių

sprendimo algoritmus, geba juos taikyti. Užrašo

sprendinių aibę intervalu.

Pagrįsdamas parenka kvadratinės ar racionaliosios

nelygybės sprendimo būdą.

Pagrindžia nelygybės su moduliu sprendimo grafinę

interpretaciją.

2.3. Spręsti dviejų nelygybių su vienu nežinomuoju ir lygčių su dviem nežinomaisiais sistemas.

Kalba netaisyta

12

Žino nelygybių sistemos sprendimo etapus.

Geba spręsti tiesinių nelygybių sistemą,

pavaizduoja jos sprendinius skaičių tiesėje.

Supranta nelygybių sistemos sprendimo algoritmą.

Geba jį taikyti sistemoms, kuriose nelygybės ne

aukštesnio negu antrojo laipsnio.

Analizuoja sistemą sudarančių nelygybių tipus,

argumentuotai numato galimą sprendinių aibę ir

pasirenka nelygybių sistemos sprendimo būdą.

Žino lygčių sistemos sąvoką. Geba spręsti

dviejų lygčių, kai viena lygtis netiesinė,

sistemą keitimo būdu.

Supranta lygčių sistemos sprendimo būdų esmę. Geba

taikyti sudėties ir keitimo būdą įvairaus tipo lygčių

sistemoms spręsti.

Suformuluoja lygčių sistemos sprendimo būdų esmę.

Pagrįsdamas numato galimą sprendinių skaičių,

pasirenka racionaliausią būdą lygčių sistemai spręsti.

Supranta lygties su dviem nežinomaisiais ir

lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos

sprendinio sąvokas. Geba pavaizduoti tiesinės

lygties su dviem nežinomaisiais ir lygčių, kai

viena lygtis netiesinė, su dviem

nežinomaisiais sistemos sprendinius

koordinačių plokštumoje.

Suformuluoja lygties su dviem nežinomaisiais

sprendinio ir lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos

sprendinio apibrėžimus.

Geba pavaizduoti lygties su dviem nežinomaisiais ir

lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos sprendinius


Pagrįsdamas pateikia lygties su dviem nežinomaisiais

ir lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos sprendinių

grafinį vaizdą koordinačių plokštumoje.

2.4. Modeliuoti lygtimis, nelygybėmis bei jų sistemomis paprastas matematines ir realias problemas.

Atpažįsta tiesinę lygtį su dviem

nežinomaisiais, pateikia pavyzdžių.

Supranta, kaip sudaryti tiesinę lygtį su dviem

nežinomaisiais, kai žinomi jos sprendiniai.

Supranta, kaip patikrinti, ar plokštumos taškai yra

vienoje tiesėje.

Pagrindžia lygties su dviem nežinomaisiais sudarymo

principus.

Pažymėjęs nežinomą dydį raide, geba sudaryti

lygtį paprasčiausiai situacijai aprašyti.

Geba pasižymėti nežinomus dydžius raidėmis ir

sudaryti lygtį, nelygybę arba sistemą pateiktai

situacijai aprašyti.

Išsamiai analizuoja aprašytą situaciją, pagrįsdamas

parenka racionaliausią realios situacijos aprašymo

lygtimis, nelygybėmis ar jų sistemomis būdą. Gautus

sprendinius sieja su konkrečia situacija.




2.1. Spręsti kvadratines, racionaliąsias ir paprastas iracionaliąsias lygtis, lygtis su moduliu ir lygtis, kurias galima perrašyti kaip ( ) ( ) , ( )

( ) ( ( ),

( ) – ne aukštesnio negu antrojo laipsnio daugianariai).

2.1.1. Paaiškinti, ką reiškia išspręsti

lygtį, ką vadiname jos sprendiniu,

kaip patikrinti, ar skaičius yra lygties

sprendinys, kaip atrinkti lygties

sprendinius tenkinančius tam tikras

Ar lygtys

( ) ( ) ir x – 5 = 3

ekvivalenčios?

Su kuria a reikšme lygtis 3x² + ax + 24

= 0 turi sprendinį, lygų 3? Ar lygtys √ ir

√ √ √ yra

ekvivalenčios?

Kalba netaisyta

13

sąlygas. Paaiškinti, kas yra

ekvivalenčiosios lygtys, pateikti

pavyzdžių.

2.1.2. Nustatyti lygties apibrėžimo

sritį.

Nustatykite lygties apibrėžimo sritį:

Nustatykite lygties apibrėžimo sritį:

a) √ ;

b)

.

Nustatykite galimas x reikšmes:

√ .

2.1.3. Spręsti kvadratines lygtis

įvairiais būdais (taikant Vijeto

teoremą, išskiriant pilnąjį kvadratą).

Išspręskite lygtis, taikydami

sprendinių radimo formules:

a) ;

b) .

Apskaičiuokite kiekvienos lygties

gautų sprendinių sumą ir sandaugą.

1. Išspręskite lygtį, taikydami Vijeto

teoremą: .

2. Lygties vienas

sprendinys 8. Raskite koeficientą b ir

kitą sprendinį.

3. Išspręskite lygtis, išskirdami

dvinario kvadratą: a) ; b) .

1. Įrodykite, kad lygties sprendinių ženklai yra

priešingi.

.

2. Nespręsdami lygčių, nustatykite jų

sprendinių ženklus: a) ; b) .

3. Sudarykite kvadratinę lygtį, kurios

sprendiniai √

√ .

2.1.4. Sprendžiant aukštesniojo

laipsnio lygtis, mokėti keisti

nežinomąjį ir pertvarkyti turimą lygtį

į lygtį ( ) ( ) , ( ( ), ( ) –

ne aukštesnio negu antrojo laipsnio

daugianariai).

Išspręskite lygtį:

.


( ) ( ) .


√ √

2.1.5. Spręsti racionaliąsias lygtis. Išspręskite lygtis:

a)

;

b)

.

Išspręskite lygtis:

a)

;

b)

.


a)

;

b)

.

2.1.6. Grafiniu ir algebriniu būdu

spręsti paprastas lygtis:

axf )( ( f(x) – ne aukštesnio negu

antrojo laipsnio daugianaris),

bxhxg )()( ( g(x), h(x) –

pirmojo laipsnio daugianariai, a ir b –


ax – 9 = 5;

b) |x + 3| 8 = 3,2.


a) x² + x – 1 = 1;

b) 5|x – 3| + x = 6.

1. Išspręskite lygtį x – 1 + x – 3 = 2.

2. Ištirkite, su kuriomis a reikšmėmis

lygtis |x² - 6x + 5| = a turi du

sprendinius.

Kalba netaisyta

14

skaičiai).

2.1.7. Mokėti spręsti iracionaliąsias

lygtis: √ ( ) √ ( )

√ ( ) √ ( ) ( ) √ ( ) (f(x) ir g(x) – ne aukštesnio negu

antrojo laipsnio daugianariai,

a – skaičius);

√ ( ) ( ) ( f(x) – ne aukštesnio

negu antrojo laipsnio daugianaris,

g(x) – pirmojo laipsnio daugianaris);

√ ( ) √ ( ) ( ) ( f(x), g(x) ir

h(x) – pirmojo laipsnio daugianariai).


a) √ ;

b) √ .


a) √ √

b) ( ) √

c) √

d) √ √


a) √ √ ;

b) ( ) √ ;

c) √

;

d)

√ √ .

2.1.8. Mokėti grafiškai spręsti lygtis

( ) ( ) ( ( ), ( ) – ne

aukštesnio negu antrojo laipsnio

daugianariai), mokėti iš anksto

nustatyti jų sprendinių skaičių.

Išspręskite lygtį grafiniu būdu:

.


.


.

2.2. Spręsti kvadratines ir nesudėtingas racionaliąsias nelygybes, paprastas nelygybes su moduliu. Naudotis turimomis IKT priemonėmis.

2.2.1. Paaiškinti, ką reiškia

ekvivalenčios nelygybės, pateikti

pavyzdžių.

2.2.2. Grafiškai iliustruoti nelygybių

f(x) * g(x) (f(x), g(x) – tiesioginio ar

atvirkščiojo proporcingumo funkcijos,

tiesinės funkcijos, kvadratinės

funkcijos, žymi <, , , )

sprendinių aibes.

Skaičių tiesėje pavaizduokite

nelygybės sprendinių aibę.

Atsakymą užrašykite intervalu.

Grafiškai iliustruokite nelygybės

sprendinių aibę:

.

Atsakymą užrašykite intervalu.

Grafiškai išspręskite nelygybę:

.

2.2.3. Spręsti kvadratines ir

racionaliąsias nelygybes, pavaizduoti

sprendinius skaičių tiesėje, užrašyti


Išspręskite nelygybę

.

Sprendinius pavaizduokite skaičių

tiesėje ir užrašykite intervalu.


.

Sprendinių aibę užrašykite intervalu.


.


2.2.4. Grafiškai interpretuoti ir spręsti Išspręskite nelygybę. Išspręskite nelygybę. Išspręskite nelygybę.

Kalba netaisyta

15

nelygybes su moduliu

|f(x)| a ( f(x) – pirmojo laipsnio

daugianaris, žymi <, >, , , a –

skaičius).

| | | | | | .

2.3. Spręsti dviejų nelygybių su vienu nežinomuoju ir lygčių su dviem nežinomaisiais sistemas.

2.3.1. Spręsti, ne aukštesnio kaip

antrojo laipsnio nelygybių sistemas.

Pavaizduoti nelygybių sistemos

sprendinius skaičių tiesėje, užrašyti


Išspręskite nelygybių sistemą, jos

sprendinius pavaizduokite skaičių

tiesėje:

{


Išspręskite nelygybių sistemą, jos

sprendinius pavaizduokite skaičių

tiesėje:

{


Išspręskite nelygybių sistemą:

{


2.3.2. Žinoti, kokie yra lygčių su

dviem nežinomaisiais sistemos

sprendimo būdai. Spręsti lygčių su

dviem nežinomaisiais sistemas, kurių

viena lygtis yra tiesinė, o kita –

kvadratinė arba racionalioji.

Išspręskite lygčių sistemą

{


{


{

2.3.3. Pavaizduoti lygties su dviem

nežinomaisiais ir lygčių su dviem

nežinomaisiais sistemos sprendinius



{

Sprendinius pavaizduokite


Raskite penkis lygties 2x + 5y = 7

sprendinius. Juos pavaizduokite



{ | |

Sprendinius pavaizduokite


2.4. Modeliuoti lygtimis, nelygybėmis bei jų sistemomis paprastas matematines ir realias problemas.

2.4.1. Sudaryti tiesinę lygtį su dviem

nežinomaisiais, kai žinomi du jos

sprendiniai. Mokėti patikrinti, ar duoti

plokštumos taškai (du, trys ir

daugiau) yra vienoje tiesėje.

Kurie iš taškų A(3; 8), B(0; 3), C(0; –

3), D(1; 0) priklauso tiesei

?

Skaičių poros (

) yra tiesinės

lygties su dviem nežinomaisiais

sprendinys. Užrašykite lygtį.

Ar taškai A(1;1), B(7;3), C(–4; –5),

D(5; –2) yra vienoje tiesėje?

2.4.2. Situacijas aprašyti lygtimis,

nelygybėmis bei sistemomis.

Interpretuoti gautus sprendinius.

Vienos klasės mokiniai susiruošė į

kelionę po Panemunės pilis. Klasės

finansininkas apskaičiavo, kad jei

kiekvienas dalyvis duos po 75 Lt, tai

kelionei dar trūks 440 Lt, o jei

kiekvienas duos po 80 Lt, tai liks 40

Triženklis skaičius baigiasi skaitmeniu

3. Šį skaitmenį perkėlus į skaičiaus

pradžią, gautasis skaičius bus 27

vienetais didesnis už pradinį. Koks

pradinis skaičius?

Jaunuolis, nuėjęs

tilto MN, išgirdo

prie tilto 60 km/h greičiu artėjančio

motociklo signalą. Jei jaunuolis bėgtų

atgal, tai motociklą susitiktų tilto

pradžioje M. Jei jis bėgtų pirmyn, tai

Kalba netaisyta

16

Lt. Kiek mokinių susiruošė keliauti? motociklas jį pavytų tilto gale N.

Kokiu greičiu bėga jaunuolis?

3 modulis. Funkcijos sąvoka. Laipsninė, rodiklinė, logaritminė funkcijos

Pasiekimų lygiai


3.1. Taikyti funkcijos savybes sprendžiant paprastus praktinio ir matematinio turinio uždavinius, naudotis turimomis IKT.

Žino funkcijos, funkcijos argumento, funkcijos

reikšmės, funkcijos apibrėžimo srities,

funkcijos reikšmių srities sąvokas.

Taisyklingai vartoja su funkcijos sąvoka

susijusius matematinius simbolius. Geba

skaityti funkcijų grafikus.

Supranta su funkcija susijusias pagrindines sąvokas,

apibrėžimus ir savybes. Taiko funkcijas praktinėse

situacijose.

Suformuluoja funkcijos ir su ja susijusių pagrindinių

sąvokų apibrėžimus, savybes, jas argumentuoja.

Analizuoja ir pagrindžia funkcijos savybes. Be klaidų

taiko apibrėžimus ir savybes tiriant funkciją.

Žino funkcijos reiškimo būdus. Geba išreikšti funkciją įvairiais būdais.

Žino sudėtinės funkcijos sąvoką. Pateikia

sudėtinės funkcijos pavyzdžių.

Supranta sudėtinės funkcijos sąvoką. Geba sudaryti

sudėtinę funkciją.

Geba nurodyti, iš kokių funkcijų sudaryta sudėtinė

funkcija.

Geba iš grafiko nustatyti funkcijos lyginumą,

didėjimo ir mažėjimo intervalus.

Geba iš formulės nustatyti funkcijos lyginumą. Taiko

žinias apie funkcijas didėjimo ir mažėjimo intervalams

nustatyti.

Pagrindžia funkcijos lyginumą remdamiesi

apibrėžimu.

Argumentuotai pagrindžia funkcijos didėjimą ir

mažėjimą apibrėžimo srityje.

Analizuoja nubrėžtą grafiką, remdamiesi juo

nurodo, su kuriomis argumento reikšmėmis:

funkcija įgyja nurodytą reikšmę, funkcijos

reikšmės yra teigiamos (arba neigiamos),

funkcijos reikšmės didesnės ar mažesnės už

nurodytą skaičių.

Naudodamiesi pateikta formule, randa, su kuriomis

argumento reikšmėmis: funkcija įgyja nurodytą

reikšmę, funkcijos reikšmės yra teigiamos (arba

neigiamos), funkcijos reikšmės didesnės ar mažesnės

už nurodytą skaičių.

Randa ir argumentuotai paaiškina, su kuriomis



neigiamos), funkcijos reikšmės didesnės ar mažesnės

už nurodytą skaičių.

Žino, kokia kreivė yra kokios funkcijos

grafikas. Geba nustatyti grafiko susikirtimo su

koordinačių ašimis taškų koordinates, sudaryti

reikšmių lentelę ir nubrėžti grafiką.

Pagal formulę atlieka tyrimą ir nubrėžia grafiko

eskizą.

Atlieka grafikų įvairias transformacijas, pagrindžia jų

atlikimą

Supranta funkcijai atvirkštinės funkcijos sąvoką. Žino

dviejų viena kitai atvirkštinių funkcijų pagrindines

savybes.

Iš grafiko argumentuotai nustato funkcijai atvirkštinės

funkcijos pakankamas egzistavimo sąlygas (didėjanti

arba mažėjanti). Iliustruoja ryšį tarp funkcijos ir jai

Kalba netaisyta

17

atvirkštinės funkcijos grafikų.

Geba užrašyti duotos funkcijos atvirkštinę. Argumentuotai pagrindžia, kodėl dvi funkcijos yra

viena kitai atvirkštinės.

Supranta tolydžiosios funkcijos sąvoką. Iš grafiko

atpažįsta tolydžiąją funkciją.

3.2. Taikyti laipsninės funkcijos ( ) (n – natūralusis skaičius), ( )

, ( ) √ , ( ) √

savybes sprendžiant paprastus įvairaus turinio

uždavinius, naudojantis turimomis IKT priemonėmis.

Žino laipsninės funkcijos sąvoką. Brėžia

paprastų laipsninių funkcijų grafikus.

Suformuluoja laipsninės funkcijos apibrėžimą. Geba

nubrėžti įvairios išraiškos laipsninių funkcijų grafikus.

Atlieka laipsninės funkcijos grafiko transformacijas.

Remdamasis funkcijos grafiku, geba apibūdinti

laipsninę funkciją.

Remdamasis grafiku, pagrindžia laipsninės funkcijos

savybes.

Analizuoja įvairius rodiklinės funkcijos grafikus.

Remdamasis grafiku, nustato funkcijos

lyginumą.

Remdamasis formule nustato funkcijos lyginumą. Pagrindžia funkcijos lyginumą.

Remdamasis duotu grafiku, nurodo intervalus,

kuriuose funkcija įgyja reikalaujamas reikšmes.

Remdamasis funkcijos formule, nurodo intervalus,

kuriuose funkcija įgyja reikalaujamas reikšmes.

3.3. Taikyti rodiklinės funkcijos savybes matematinio ir praktinio turinio uždavinių sprendimui, naudotis turimomis IKT priemonėmis.

Sudaro funkcijos reikšmių lentelę, brėžia

rodiklinės funkcijos grafiką.

Žino rodiklinės funkcijos apibrėžimą, grafiko padėtį

priklausomai nuo laipsnio pagrindo didumo.

Suformuluoja rodiklinės funkcijos apibrėžimą.

Atlieka rodiklinės funkcijos grafiko transformacijas.

Remdamasis grafiku, nusako rodiklinės

funkcijos savybes.

Išvardija rodiklinės funkcijos savybes, jas taiko. Suformuluoja rodiklinės funkcijos savybes, jas

pagrindžia.

Geba išspręsti paprastas rodiklines lygtis ir

nelygybes.

Supranta rodiklinių lygčių ir nelygybių sprendimo

algoritmus, juos taiko.

Komentuoja nesudėtingų rodiklinių lygčių ir

nelygybių sprendimą.

Pagal pateiktą formulę arba grafiką

paprastuose gyvenimiško turinio uždaviniuose

randa rodiklinės funkcijos reikšmę, kai

žinomas argumentas.

Taiko rodiklinių funkcijų savybes sudėtinių procentų

skaičiavimo užduotims atlikti.

Taiko rodiklinės funkcijos savybes populiacijos

augimo, radioaktyviojo skilimo ir kitų procesų

uždaviniams spręsti.

3.4. Taikyti logaritminės funkcijos savybes, naudotis turimomis IKT priemonėmis.

Žino skaičiaus logaritmo sąvoką. Geba

sudaryti logaritminės funkcijos reikšmių

lentelę, nubrėžti grafiką.

Supranta logaritminės funkcijos apibrėžimą. Žino

grafiko pavidalo priklausomybę nuo logaritmo

pagrindo didumo. Brėžia logaritminės funkcijos

grafiką.

Atlieka logaritminės funkcijos grafiko

transformacijas.

Remdamasis grafiku, nusako, žino

logaritminės funkcijos savybes, jas taiko

paprasčiausioms užduotims atlikti.

Suformuluoja logaritminės funkcijos savybes, jas taiko

paprastoms užduotims atlikti.

Pagrindžia logaritminės funkcijos savybes, jas taiko

nesudėtingoms užduotims atlikti.

Kalba netaisyta

18

Sprendžia paprastas logaritmines lygtis ir

nelygybes.

Sprendžia nesudėtingas logaritmines lygtis ir

nelygybes.

Pagrindžia logaritminių lygčių ir nelygybių

sprendimo būdus, parenka tinkamą strategiją.




3.1. Taikyti funkcijos savybes sprendžiant paprastus praktinio ir matematinio turinio uždavinius, naudotis turimomis IKT.

3.1.1. Pakartoti sąvokas: funkcija, funkcijos

argumentas, funkcijos reikšmė, funkcijos

apibrėžimo sritis, funkcijos reikšmių sritis.

3.1.2. Sieti įvairius funkcijų reiškimo būdus.

Nubrėžkite formule išreikštos

funkcijos f(x) = 4 – 3x grafiką, kai

[ ]. Parašykite šios

funkcijos reikšmių sritį.

Funkcija nusakyta žodžiais:

kiekvienam natūraliajam

skaičiui priskiriama jo liekana,

gauta tą skaičių dalijant iš 3.

Sudarykite šios funkcijos

reikšmių lentelę ir nubrėžkite

grafiką, jei = {1, 2, 3, ..., 19,

20}.

Stačiakampio perimetro ilgis 16 cm.

Parašykite stačiakampio plotą kaip

trumpesniosios stačiakampio

kraštinės funkciją. Palyginkite šios

funkcijos apibrėžimo ir jos reikšmių

sritis.

3.1.3. Suvokti sudėtinės funkcijos sąvoką,

pateikti pavyzdžių. 1. Ar funkcija ( ) √ yra

sudėtinė?

2. Kurios iš funkcijų ( ) ,

( ) , ( ) ,

( ) ( ) yra sudėtinės?

Iš funkcijų ( ) ( )

√ sudarykite sudėtines

funkcijas ( ) ( ( )) ir

( ) ( ( )).

Turime sudėtinę funkciją ( ) ( ). Kokios funkcijos sudaro šią sudėtinę funkciją?

3.1.4. Iš grafiko (eskizo) ir formulės nustatyti

funkcijos lyginumą. Mokėti nustatyti funkcijos


1.Nubrėžkite funkcijos

f(x) = –x2 + 4x + 3 grafiką ir

nustatykite funkcijos didėjimo ir

mažėjimo intervalus.

2.

Brėžinį papildykite taip, kad

1. Nubrėžkite funkcijos

f(x) = –x2 + 4x grafiką.

Brėžinį papildykite taip, kad

gautumėte:

a) lyginės funkcijos grafiką;

b) nelyginės funkcijos grafiką.

2. Nustatykite funkcijos f(x) = x2


1. Nurodykite, kurios funkcijos yra

lyginės, kurios – nelyginės:

a) ( ) ;

b) ( )

;

c ) ( ) √ .

2. Įrodykite, kad funkcija ( )

yra didėjanti visoje savo

apibrėžimo srityje.

Kalba netaisyta

19

gautumėte:

a) lyginės funkcijos grafiką;

b) nelyginės funkcijos grafiką.

3.1.5. Mokėti iš pateikto grafiko (eskizo) arba

pateiktos formulės surasti, su kuriomis



neigiamos), funkcijos reikšmės didesnės ar

mažesnės už nurodytą skaičių.

Iš funkcijos y = f(x) grafiko

raskite:

a) argumento reikšmes, su

kuriomis funkcijos reikšmė lygi 0;

b) pastovaus ženklo intervalus;

c) su kuriomis argumento

reikšmėmis funkcijos reikšmė y >

– 1.

Raskite funkcijos ( )

apibrėžimo sritį ir

apskaičiuokite:

a) funkcijos reikšmes tuose iš

taškų x = – 6, 0, 2, kurie

priklauso funkcijos apibrėžimo

sričiai;

b) argumento reikšmes, su

kuriomis f(x) < 2.

Nurodykite argumento reikšmę, su

kuria funkcijos

( ) {

reikšmė lygi –16.

3.1.6. Nubrėžti funkcijos grafiką (eskizą) ir atlikti

jo transformacijas. Turint funkcijos f(x) grafiką,

nubrėžti funkcijų ( ) , ( ) , af(x), f(ax), |f(x)| grafikus.

Nubrėžkite funkcijos

f(x) = x2 – 2x, kurios Df = (–3; 2],

grafiką.

Nubrėžkite funkcijos ( ) grafiką, kai Df = [0;

4].

Atlikite jo transformacijas

( ) , ( ), ( ).


( ) {

grafiką.

Atlikite jo transformacijas: ( ) , ( ), 3f(x), f(1,5x),

|f(x)|.

3.1.7. Iš funkcijos grafiko pasakyti, ar egzistuoja atvirkštinė funkcija. Iliustruoti ryšį tarp funkcijos

ir jai atvirkštinės funkcijos grafikų.

Iliustruokite ryšį tarp funkcijos

( ) √ ir jai atvirkštinės

funkcijos ( ) , kai

, grafikų.

3.1.8. Patikrinti, ar dvi funkcijos yra viena kitai

atvirkštinės. Parašyti duotosios funkcijos

1. Taškai A(0; 2), B(1; 1), C(–1;

1), D(3; –2) priklauso funkcijos

f grafikui. Šiuos taškus ir taškus,

1.Nustatykite, ar funkcija ( ) turi atvirkštinę. Jei turi,

raskite ją.

Kalba netaisyta

20

atvirkštinę.

kurie priklauso atvirkštinės

funkcijos g grafikui,

pažymėkite toje pačioje

koordinačių sistemoje.

2. Raskite funkcijos f(x) = 0,3x –

2 atvirkštinę. Nurodykite abiejų

funkcijų apibrėžimo bei

reikšmių sritis ir nubrėžkite

grafikus.

2. Raskite funkcijos ( ) ( ) atvirkštinę.

Nurodykite funkcijų apibrėžimo bei

reikšmių sritis ir nubrėžkite grafikus.

3.1.9. Iš grafiko,

( ) {

atpažinti, ar funkcija

yra tolydi.

Nubrėžkite funkcijos ( )

{

grafiką. Ar

funkcija tolydi?


( ) {

grafiką. Ar funkcija tolydi taške x =

1?

3.2. Taikyti laipsninės funkcijos ( ) (n – natūralusis skaičius), ( )

, ( ) √ , ( ) √

savybes sprendžiant paprastus įvairaus turinio

uždavinius. Naudotis turimomis IKT.

3.2.1. Brėžti laipsninės funkcijos grafiką (eskizą)

ir atlikti funkcijos grafiko (eskizo)

transformacijas.

Sudarę reikšmių lentelę,

nubrėžkite funkcijos grafiką:

a) √ √ , b) .

Nubrėžkite funkcijos ( ) √

grafiką ir atlikite jo

transformacijas:

( ) , af(x), f(ax), kai a = 2; b

= 1.


grafiką ir atlikite jo

transformacijas:

( ) , af(x), f(ax), |f(x)|, kai a =

2, b = 1.

3.2.2. Iš grafiko nustatyti funkcijos apibrėžimo

bei reikšmių sritis, funkcijos reikšmių didėjimo,

mažėjimo, pastovumo intervalus, didžiausią ar

mažiausią funkcijos reikšmes (nurodytame

intervale).

3.2.3. Nustatyti funkcijos lyginumą.

1. Iš grafiko, raskite funkcijos: a)

apibrėžimo sritį D; b) kitimo sritį

E; c) teigiamųjų ir neigiamųjų

reikšmių intervalus; d) mažiausią

ir didžiausią reikšmę; e) didėjimo

ir mažėjimo intervalus.

1. Nubrėžkite funkcijos ( ) | | grafiką. Nustatykite funkcijos apibrėžimo

bei reikšmių sritis, funkcijos

reikšmių didėjimo intervalus,

didžiausią (mažiausią) funkcijos

reikšmes.

2. Nustatykite, ar funkcija

( ) √

yra lyginė, ar

nelyginė.

1. Nubrėžkite funkcijos | | grafiką intervale [–8; 8]. Iš

grafiko raskite funkcijos: a)

apibrėžimo sritį D; b) kitimo sritį

E; c) nulius; d) pastovaus ženklo

intervalus; e) mažiausią ir

didžiausią reikšmę; f) didėjimo ir


2. Įrodykite, kad funkcija ( ) yra lyginė, ir nustatykite

jos reikšmių sritį.

Kalba netaisyta

21

2.Patikrinkite, ar funkcija

√ lyginė.

3.2.4. Nurodyti intervalus, kuriuose f(x) a (čia žymi <, >, , , a – skaičius), kai funkcija

išreikšta grafiku ir (arba) funkcijos formule.

1.

Iš funkcijos f(x) = x

3 grafiko

nustatykite apytiksles kintamojo x

reikšmes, su kuriomis f(x) > 3.

Nubrėžkite funkcijos f(x) =

2x grafiką. Iš grafiko

nustatykite apytiksles kintamojo x

reikšmes, su kuriomis f(x) < 1.

Kurios funkcijos grafikas yra

aukščiau, kai ( )

( ) √

?

3.3. Taikyti rodiklinės funkcijos savybes sprendžiant matematinio ir praktinio turinio uždavinius, naudotis turimomis IKT.

3.3.1. Brėžti rodiklinės funkcijos grafiką (eskizą)

ir atlikti funkcijos grafiko transformacijas.

3.3.2. Žinoti ir taikyti rodiklinės funkcijos

savybes.

Nustatykite funkcijos ( )

apibrėžimo ir reikšmių sritis,

nubraižykite tos funkcijos grafiko

eskizą.

1. Nubrėžkite funkcijos ( ) grafiką. Nustatykite funkcijos

apibrėžimo sritį ir lyginumą.

2. Grafiškai nustatykite, kiek

sprendinių turi lygtis .

1. Nustatykite funkcijos ( )

√ apibrėžimo sritį ir lyginumą.

2. Grafiškai nustatykite, kiek

sprendinių turi lygtis √ .

3.3.3. Spręsti nesudėtingas rodiklines lygtis ir

nelygybes.

1. ;

2. ;

3. (

)

.

1. ( ) (

)

(

) ;

2. ;

3. ;

4. √( ) (

)

1. ;

2. ;

3. Raskite nelygybės didžiausią

neigiamą sveikąjį sprendinį.

3.3.4. Taikyti rodiklinės funkcijos savybes

sprendžiant uždavinius (populiacijos augimo,

radioaktyviojo skilimo ir kitų procesų, sudėtinių

procentų ir kt.).

Užvirusio ir arbatinuke auštančio

vandens temperatūra T (C)

praėjus x minučių nuo aušimo

pradžios apskaičiuojama pagal

Mėgintuvėlyje yra 15 bakterijų. Jų

skaičius kasdien padvigubėja.

Parašykite formulę, kuri nusakytų,

kiek bakterijų bus mėgintuvėlyje

Radioaktyviųjų medžiagų

kitimą apibūdina laikas, per kurį

suyra pusė pradinės medžiagos.

Tas laikas vadinamas pusėjimo

Kalba netaisyta

22

formulę

.

Apskaičiuokite vandens

temperatūrą praėjus 10 minučių

nuo aušimo pradžios.

po x dienų. trukme. Radioaktyviojo jodo-131

pusėjimo trukmė yra 8 dienos.

Turime 200 g radioaktyviojo jodo.

Parašykite, kaip jo kiekis m

priklauso nuo laiko t.

3.4. Taikyti logaritminės funkcijos savybes, naudotis turimomis IKT.

3.4.1. Brėžti logaritminės funkcijos grafiką

(eskizą) ir atlikti funkcijos grafiko

transformacijas.

3.4.2. Žinoti ir taikyti logaritminės funkcijos

savybes.

1. Nustatykite funkcijos ( ) apibrėžimo sritį ir


eskizą.

2. Kurios iš funkcijų ( ) , ( ) grafiko

eskizas pavaizduotas

paveikslėlyje A? paveikslėlyje B?

1. Nustatykite funkcijos ( ) apibrėžimo sritį ir


eskizą.

2. Remdamiesi grafikais,

palyginkite

ir

reikšmes. b) f(x) = log2 x + 3;

1. Nustatykite funkcijos ( ) ( ) apibrėžimo sritį ir


eskizą.

2. Apskaičiuokite funkcijos

( ) ( ) grafiko ir

ordinačių ašies sankirtos taško

koordinates.

3.4.3. Spręsti nesudėtingas logaritmines lygtis ir 1. Išspręskite lygtis: 1. Išspręskite lygtis: 1. Išspręskite lygtis:

Kalba netaisyta

23

nelygybes. a) ( ) ;

b) ( ) ( ).

2. Išspręskite nelygybę;

( ) .

a) ( ) ( ) ;

b) ;

c) .

2. Išspręskite nelygybę;

( ) .

3. Nurodykite mažiausią

natūralųjį nelygybės

( )

sprendinį.

a) ( ) ;

b) ;

c) ( ) .

2. Išspręskite nelygybes:

a)

√

( )

√

(

);

b)

4 modulis. Trigonometrija

Pasiekimų lygiai


4.1. Taikyti trigonometrinių funkcijų (sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento) savybes, naudojantis turimomis IKT priemonėmis.

Žino radiano sąvoką. Žino sąryšį π rad = 180º.

Žino, kaip radianus išreikšti laipsniais ir kaip

laipsnius išreikšti radianais.

Moka kampo didumą išreikšti radianais. Supranta,

kaip radianai keičiami laipsniais ir atvirkščiai.

Suformuluoja radiano apibrėžimą, pagrindžia

radianinio mato sąryšį su laipsniniu matu.

Žino bet kokio kampo sinuso, kosinuso

tangento sąvokas.

Supranta bet kokio dydžio kampo sinuso, kosinuso,

tangento, kotangento sąvoką, apibrėžia jas taikant

vienetinio apskritimo modelį.

Formuluoja bet kokio dydžio kampo tangento ir

kotangento apibrėžimus. Suvokia bet kokio to paties

kampo tangento ir kotangento sąsajas su sinusu ir

kosinusu ir jas pagrindžia.

Žino tikslias kampų

trigonometrinių

funkcijų reikšmes.

Moka apskaičiuoti kampų

trigonometrinių

funkcijų tikslias reikšmes.

Geba rasti laipsniais išreikšto kampo sinuso,

kosinuso, tangento reikšmes nurodytu

tikslumu.

Geba rasti radianais išreikšto kampo sinuso, kosinuso,

tangento, kotangento reikšmes nurodytu tikslumu.

Geba rasti radianais išreikšto kampo kotangento

reikšmes nurodytu tikslumu.

Brėžia funkcijų y = sinx, y = cosx, y = tgx

grafikus intervale [– 2π; 2π].

Supranta, kaip brėžiami trigonometrinių funkcijų

grafikai, geba juos nubrėžti bet kuriame intervale.

Pagrindžia trigonometrinių funkcijų grafikų brėžimą

bet kuriame intervale, atlieka trigonometrinių funkcijų

grafikų transformacijas. Geba naudotis MKP

grafikams brėžti.

Žino funkcijų y = sinx, y = cosx, y = tgx Supranta trigonometrinių funkcijų y = sinx, y = cosx, y Pagrindžia trigonometrinių funkcijų savybes,

Kalba netaisyta

24

savybes, geba jas apibūdinti naudodamasis

grafikais, nubrėžtais intervale [–2π; 2π].

= tgx , y = ctgx periodiškumo ir lyginumo savybes.

taikydamas vienetinio apskritimo modelį.

Taiko to paties argumento trigonometrinių

funkcijų sąryšius, pertvarkydamas paprastus

trigonometrinius reiškinius.

Taiko to paties argumento trigonometrinių funkcijų

sąryšius, pertvarkydamas nesudėtingus

trigonometrinius reiškinius.

Įrodo to paties argumento trigonometrinių funkcijų

sąryšius.

Žino redukcijos sąvoką, jos prasmę. Supranta, kaip redukuoti trigonometrines funkcijas.

Taiko redukcijos sąryšius nesudėtingų trigonometrinių

reiškinių pertvarkiams.

Pagrindžia redukcijos sąryšius.

Supranta ir taiko dviejų kampų sumos ir skirtumo

sinuso, kosinuso, tangento formules trigonometrinių

funkcijų reikšmėms apskaičiuoti, nesudėtingiems

reiškiniams pertvarkyti.

Įrodo dviejų kampų sumos ir skirtumo sinuso,

kosinuso, tangento formules.

Žino atvirkštinių trigonometrinių funkcijų

sąvokas.

Suvokia atvirkštinių trigonometrinių funkcijų

apibrėžimus, žino pagrindines savybes, apibrėžimo bei

reikšmių sritis.

Brėžia ir skaito atvirkštinių trigonometrinių funkcijų

grafikus. Suformuluoja atvirkštinių trigonometrinių

funkcijų apibrėžimus.

Skaičiuokliu apskaičiuoja atvirkštinių

trigonometrinių funkcijų reikšmes.

Remdamasis trigonometrinių funkcijų reikšmių

lentele, randa atvirkštinės funkcijos reikšmę.

Apskaičiuoja atvirkštinių trigonometrinių funkcijų

( ), ( ), ( ), ( )

reikšmes.

Taiko atvirkštinių trigonometrinių funkcijų

apibrėžimus.

Sprendžia paprastas trigonometrines lygtis. Žino trigonometrinių lygčių sprendinių formules.

Sprendžia nesudėtingas trigonometrines lygtis.

Pagrindžia trigonometrinių lygčių sprendinių

formules.

Naudodamasis grafikais, nurodo

trigonometrinės lygties sprendinius intervale [–

2π; 2π].

Supranta, kaip randami trigonometrinės lygties

sprendiniai intervale.

Moka nustatyti trigonometrinės lygties sprendinių

skaičių nurodytame intervale.

Grafiškai sprendžia trigonometrines nelygybes.

Moka tai daryti, naudodamasis MKP.




4.1. Taikyti trigonometrinių funkcijų (sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento) savybes, naudotis turimomis IKT.

4.1.1. Apibrėžti radianą, išreikšti kampo didumą

radianais; radianus keisti laipsniais ir

1. Pavaizduokite posūkio kampus

395º,

, –120 º. Nurodykite,

Apskritimo spindulys OA,

pasuktas kampu α = 210º apie

koordinačių pradžios tašką O,

Taškas P yra gautas pasukus –120º

kampu vienetinio apskritimo

pradinį spindulį OA. Nustatykite,

Kalba netaisyta

25

atvirkščiai.

4.1.2. Apibrėžti bet kokio didumo kampo

sinusą, kosinusą, taikant vienetinio apskritimo

modelį. Apibrėžti bet kokio didumo kampo

tangentą ir kotangentą.

4.1.3. Apskaičiuoti tikslias kampų


kuriame ketvirtyje yra kiekvienas

pavaizduotasis kampas.

2. Išreikškite radianais: – 45º, 150º,

1080º.

3. Išreikškite laipsniais

.

sutampa su spinduliu OB.

Nurodykite dar du teigiamus ir du

neigiamus posūkio kampus, su

kuriais pradinis spindulys OA

sutampa su tuo pačiu spinduliu

OB.

2. Išreikškite radianais: 56º, 190º,

–1040º.

3. Išreikškite laipsniais: –2,

.

kokiais kampais reikia pasukti

spindulį OA, kad gautume taškus,

simetriškus taškui P abscisių ašies,

ordinačių ašies ir tiesės y = x

atžvilgiu.

4.1.4. Rasti laipsniais ir radianais išreikšto

kampo sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento

reikšmes nurodytu tikslumu.

1. Apskaičiuokite: cos60º – sin30º

+ tg45º.

2. Apskaičiuokite tūkstantųjų

tikslumu: sin49 ; tg34 ; cos76 .

1. Apskaičiuokite:

ctg225º – sin675º – cos495º +

tg765º.

2. Išdėstykite didėjimo tvarka:

.

3. Palyginkite: a) ;

b) ir .

Apskaičiuokite:

( )

.

4.1.5. Brėžti trigonometrinių funkcijų grafikus

(eskizus) ir atlikti jų transformacijas

(naudojantis turimomis IKT).

Nubrėžkite funkcijų grafikus:

a) f(x) = sinx;

b) g(x) = cosx;

c) h(x) = tgx.


a) f(x) = sinx;

b) g(x) = cosx;

c) h(x) = tgx;

d) m(x) = ctgx.

Naudodamiesi nubrėžtais

grafikais, nubrėžkite:

( ) , 2g(x), h(2x).


a) f(x) = sinx;

b) f(x) = cosx;

c) f(x) = tgx;

d) f(x) = ctgx.

Atlikite transformacijas ( ) ( ), 0,5f(x), f(0,5x), |f(x)|.

4.1.6. Žinoti ir taikyti pagrindines

trigonometrinių funkcijų sąvokas (apibrėžimo ir

reikšmių sritis, funkcijos didėjimo ir mažėjimo

intervalai, periodiškumas, lyginumas).

Nubrėžkite funkcijos f(x) = sinx

grafiką intervale [–360º; 360º].

Remdamiesi grafiku, nurodykite:

a) apibrėžimo sritį; b) reikšmių

sritį; c) teigiamųjų ir neigiamųjų

reikšmių intervalus; d) mažiausią ir

didžiausią reikšmę; e) didėjimo ir


f(x) = 2cosx grafiką.

Naudodamiesi grafiku, raskite

funkcijos: a) apibrėžimo sritį D;

b) kitimo sritį E; c) periodą; d)

pastovaus ženklo intervalus; e)

mažiausią ir didžiausią reikšmę; f)


(

) grafiką.

Raskite funkcijos: a) apibrėžimo

sritį D; b) kitimo sritį E; c) nulius;

d) pastovaus ženklo intervalus; e)

periodą.

2. Ištirkite funkcijos f(x) = 2sin²x

Kalba netaisyta

26


didėjimo ir mažėjimo intervalus. savybes ir nubrėžkite grafiką.

4.1.7. Pertvarkant nesudėtingus

trigonometrinius reiškinius taikyti to paties

argumento trigonometrinių funkcijų sąryšius.

Juos įrodyti.

Suprastinkite

sin³α + cos²α∙sinα. Suprastinkite reiškinį

.

Apskaičiuokite ir , kai

.

4.1.8. Redukuoti trigonometrines funkcijas. Apskaičiuokite:

ctg225º – ctg675º – cos495º +

cos765º.

Suprastinkite reiškinį

(

) ( )

( )

Suprastinkite reiškinį

(

)

( )

( )

(

)

.

4.1.9. Trigonometrinių funkcijų reikšmėms

apskaičiuoti, nesudėtingiems reiškiniams

pertvarkyti taikyti dviejų kampų sumos ir

skirtumo sinuso, kosinuso, tangento formules.

Jas įrodyti.

Apskaičiuokite

( )

,

,

Įrodykite dviejų kampų sumos ir

skirtumo sinuso (kosinuso,

tangento) formules.

4.1.10. Žinoti pagrindines funkcijų savybes

(apibrėžimo ir reikšmių sritis, lyginumas),

skaityti pateiktus atvirkštinių trigonometrinių

funkcijų grafikus (eskizus).

Remdamiesi pateiktu grafiku,

nustatykite funkcijos f(x) = arcsinx

apibrėžimo ir reikšmių sritį.

1. Išvardykite arkkosinuso

savybes.

2. Išvardykite arktangento

savybes.

Brėžiniu iliustruokite, kad

funkcijos y = sinx ir y = arcsinx yra

viena kitai atvirkštinės intervale

[

].

Kalba netaisyta

27

4.1.11. Apskaičiuoti atvirkštinių


Apskaičiuokite:

a) (√

) (

);

b) (√

);

c) √ .

Apskaičiuokite:

a) (

) (

√

);

b) (√

) ( √ ).

Apskaičiuokite: ( )

( ( √

)).

4.1.12. Spręsti nesudėtingas trigonometrines

lygtis.

4.1.13. Rasti trigonometrinės lygties

sprendinius duotajame intervale.


a) ,

b) √

,

c) (

) √ .

1. Išspręskite lygtis:

a) (

)

,

b) .

2. Raskite lygties

( ) ( √

) = 0

sprendinius intervale [ ].

1. Išspręskite lygtis:

a) ( )

;

b) ( ) .

2. Kiek sprendinių turi lygtis

intervale

( )?

4.1.14. Grafiškai spręsti trigonometrines

nelygybes f(x) * a (f(x) = sinx, f(x) = cosx, f(x) =

tgx, * žymi <, >, , , a – skaičius),

naudojantis turimomis IKT.

Išspręskite nelygybes:

a) √

;

b)

,

c) √ .

Išspręskite nelygybes:

a) (

) √ ,

b) .

5 modulis. Geometrija

Pasiekimų lygiai


5.1. Taikyti žinias apie plokštumos figūras sprendžiant nesudėtingus įvairių plokštumos figūrų, jų dalių bei junginių elementų ilgių, kampų dydžių, perimetrų ir

plotų, skaičiavimo uždavinius, įrodant teiginius.

Žino centrinio ir įbrėžtinio kampo sąvokas ir Suformuluoja centrinio ir įbrėžtinio kampo Įrodo įbrėžtinio kampo teoremą, kitas įbrėžtinio

Kalba netaisyta

28

sąryšį tarp jų. Geba pavaizduoti centrinį ir

įbrėžtinį kampą, geba apskaičiuoti įbrėžtinį

kampą, kai žinomas centrinis, ir atvirkščiai.

apibrėžimus, supranta įbrėžtinio kampo savybes, geba

ją taikyti paprastiems uždaviniams spręsti.

kampo savybes. Pagrindžia pasirinktą sprendimą,

pasirinkto atlikimo būdo racionalumą.

Žino įbrėžtinio ir apibrėžtinio trikampio,

keturkampio sąvokas. Geba pavaizduoti

apibrėžtinius ir įbrėžtinius trikampį ir

keturkampį. Taiko įbrėžtinio ir apibrėžtinio

keturkampio savybes paprasčiausiems


Supranta ir suformuluoja įbrėžtinio ir apibrėžtinio

trikampio ir keturkampio apibrėžimus, savybes.

Taiko jas nesudėtingiems geometrijos ir praktinio

turinio uždaviniams spręsti.

Žino, kaip nusakomas įbrėžto į trikampį ir apibrėžto

apie trikampį apskritimo centras.

Paaiškina įbrėžto į apskritimą taisyklingojo

daugiakampio ir apibrėžto apie apskritimą

taisyklingojo daugiakampio sąvokas.

Įrodo įbrėžto ir apibrėžto apie apskritimą keturkampio

pagrindines savybes.

Geba analizuoti pateiktą geometrinio turinio tekstą,

argumentuoti pasirinktą sprendimo strategiją.

Taiko figūrų lygumą ir panašumą, sprendžiant

paprastus praktinio ir matematinio turinio

uždavinius.

Taiko figūrų lygumą ir panašumą, sprendžiant

nesudėtingus praktinio ir matematinio turinio

uždavinius.

Geba įrodyti Talio ir jai atvirkštinę teoremą.

5.2. Taikyti trigonometrijos žinias sprendžiant paprastus geometrinius (praktinio bei matematinio turinio) uždavinius.

Užrašo, kas yra stačiojo trikampio smailiųjų

kampų kotangentai.

Suformuluoja smailiojo kampo kotangento

apibrėžimą, geba jį taikyti stačiojo trikampio

elementams rasti.

Geba analizuoti kotangento ir kitų stačiojo trikampio

smailiojo kampo trigonometrinių funkcijų sąryšius.

Žino trikampio ploto formulę

.

Geba ją taikyti paprasčiausiems uždaviniams

spręsti.

Suformuluoja sinusų ir kosinusų teoremas. Taiko jas

trikampio, keturkampio ir taisyklingųjų daugiakampių

elementams rasti.

Įrodo sinusų ir kosinusų teoremas. Taiko jas

matematinėse ir praktinėse situacijose. Argumentuoja

uždavinio sprendimo žingsnius.

Analizuodamas užduoties tekstą, pastebi, kad

uždavinyje kosinusas gali būti neigiamas.

5.3. Taikyti žinias apie erdvės figūras sprendžiant nesudėtingus erdvės figūrų, jų dalių bei junginių elementų ilgių, kampų dydžių, paviršiaus plotų bei tūrio

skaičiavimo uždavinius, įrodant teiginius.

Geba pavaizduoti erdvinių figūrų paprastus

pjūvius (lygiagrečius pagrindui, ašinius).

Atpažįsta ir geba pavaizduoti nupjautinę

piramidę ir nupjautinį kūgį.

Apibūdina nupjautinę piramidę ir nupjautinį kūgį.

Geba pavaizduoti erdvinių kūnų ašinius pjūvius,

lygiagrečius pagrindui pjūvius.

Geba pavaizduoti erdvinių kūnų išklotines.

Modelyje randa dvisienį kampą. Pavaizduoja

dvisienį kampą .

Suformuluoja dvisienio kampo apibrėžimą. Geba jį

taikyti sprendžiant uždavinius.

Argumentuoja uždavinių sprendimus, teisingai

naudoja matematinius simbolius.

Geba stačiakampio gretasienio, kubo

modelyje parodyti atstumą tarp

Paaiškina atstumo tarp prasilenkiančiųjų tiesių,

atstumo tarp lygiagrečiųjų plokštumų, atstumo tarp

Nuosekliai, tiksliai, aiškiai aprašo ir argumentuoja

uždavinio sprendimą.

Kalba netaisyta

29

prasilenkiančiųjų tiesių, atstumą tarp

lygiagrečiųjų plokštumų, atstumą tarp tiesės ir

jai lygiagrečios plokštumos.

tiesės ir jai lygiagrečios plokštumos sąvokas, geba jas

taikyti.

Remdamasis pateikta teoremos formuluote ir

pateiktu brėžiniu, taiko trijų statmenų ir jai

atvirkštinę teoremas.

Suformuluoja ir taiko trijų statmenų ir jai atvirkštinę

teoremą paprastoms užduotims atlikti.

Įrodo ir taiko trijų statmenų ir jai atvirkštinę teoremą

įvairiose praktinėse ir matematinėse situacijose.

Argumentuoja sprendimą.

Žino erdvinių kūnų paviršiaus ploto ir tūrio

sąryšius, juos taiko paprasčiausiai atvejais.

Geba nesudėtingais atvejais apskaičiuoti erdvinių

figūrų elementus, šoninio ir viso paviršiaus plotą, tūrį

bei paprastų jų dalių paviršiaus plotą, tūrį, paprastų

pjūvių plotus.

Argumentuotai, nuosekliai ir tiksliai aprašo užduoties

sprendimą, parenka tinkamą strategiją užduoties

tikslui pasiekti.




5.1. Taikyti žinias apie plokštumos figūras sprendžiant nesudėtingus įvairių plokštumos figūrų, jų dalių ir junginių elementų ilgio, kampų didumo, perimetro ir

ploto skaičiavimo uždavinius, įrodant teiginius.

5.1.1. Žinoti, kas yra apskritimo centrinis ir

įbrėžtinis kampai; rasti vieno jų didumą, kai

žinomas kito didumas; žinoti, kad įbrėžtiniai

kampai, kurie remiasi į tą patį lanką, yra lygūs.

Lankas BC = 40º. Apskaičiuokite

O ir A.

EDC = 70º, EA ir DC

apskritimo skersmenys.

Apskaičiuokite ABC.

Apskritimo stygos AB ir CD

susikerta taške E. Įrodykite, kad

AE · BE = CE · ED.

5.1.2. Nusakyti įbrėžto į trikampį ir apibrėžto apie

trikampį apskritimo savybes, žinoti įbrėžto į

apskritimą ir apibrėžto apie apskritimą keturkampio

pagrindines savybes, mokėti jas įrodyti. Paaiškinti

įbrėžto į apskritimą taisyklingojo daugiakampio ir

apibrėžto apie apskritimą taisyklingojo

daugiakampio sąvokas.

Nubrėžkite smailųjį, statųjį ir

bukąjį trikampius. Apie

kiekvieną jų apibrėžkite

apskritimą. Kokia yra to

apskritimo centro padėtis

trikampių atžvilgiu?

Įrodykite, kad apie kiekvieną

stačiakampį galima apibrėžti

apskritimą.

Įrodykite, kad apie apskritimą

apibrėžto daugiakampio plotas

lygus pusei jo perimetro,

padauginto iš įbrėžtinio

apskritimo spindulio ilgio.

Kalba netaisyta

30

5.1.3. Remtis figūrų lygumu ir panašumu

sprendžiant nesudėtingus praktinio ir matematinio

turinio uždavinius. Mokėti įrodyti Talio teoremą ir

jai atvirkštinę teoremą.

3,6 m ilgio kopėčios stovėjo

atremtos į sieną. Užlipęs jomis

trečdalį ilgio, dažytojas netyčia

išmetė teptuką, kuris nukrito 0,3

m nuo sienos. Koks atstumas nuo

sienos ligi kopėčių pagrindo?

(Apskaičiuokite centimetro

tikslumu.)

Trikampio KLP vidurinė linija

MN lygiagreti kraštinei PL.

Figūros MNLP plotas 48 cm2.

Apskaičiuokite trikampio KLP

plotą.

Įrodykite, kad jei dvi lygiagrečios

tiesės kerta kampo kraštines, tai ir

tų tiesių iškirstų atkarpų kampo

kraštinėse poros yra proporcingos.

5.2. Taikyti trigonometrijos žinias sprendžiant paprastus geometrinius (praktinio ir matematinio turinio) uždavinius.

5.2.1. Žinoti smailiojo kampo kotangento

apibrėžimą ir taikyti jį stačiojo trikampio

elementams rasti.

Trikampis EFG statusis (F =

90º). Išreikškite trikampio

kraštinėmis ctg E ir ctg G.

Trikampis KLM statusis. Statinis

KL = 6 cm, o įžambinė KM = 10

cm. Apskaičiuokite ctg K ir ctg

M tūkstantųjų tikslumu.

Trikampio KLM kampas L –

statusis. Įrodykite, kad tgM · ctgM

= 1.

5.2.2. Įrodyti ir žinoti kosinusų teoremą ir sinusų

teoremą, trikampio ploto formulę

,

taikyti šias žinias trikampio, keturkampio ir

taisyklingųjų daugiakampių elementams ir plotui

rasti.

Žinoma, kad trikampio kraštinė a

= 6 cm, o du jo kampai α = 41°, β

= 79°.

Apskaičiuokite kitus to trikampio

elementus.

ABCD lygiagretainis, kurio AB =

4,9 cm, BC = 5,4 cm, AC = 8,8

cm. Raskite įstrižainės DB ilgį,

kampų BCD ir ABC didumus.

Įrodykite, kad iškilojo

keturkampio plotą S galima

apskaičiuoti pagal formulę

, kur –

įstrižainių ilgiai, o – kampas

tarp įstrižainių.

5.2.3. Suvokti, kad atskirais atvejais taikydami

trigonometriją trikampio uždaviniams spręsti turime

nagrinėti du atvejus (suvokti, kad trikampis gali

turėti bukąjį kampą, o gali jo ir neturėti).

Trikampio plotas lygus 16 dm2,

dvi kraštinės 5 dm ir 8 dm.

Apskaičiuokite trečiosios

kraštinės ilgį.

5.3. Taikyti žinias apie erdvės figūras sprendžiant nesudėtingus erdvės figūrų, jų dalių ir junginių elementų ilgio, kampų didumo, paviršiaus ploto ir tūrio


5.3.1. Atpažinti, apibūdinti ir pavaizduoti

nupjautinę piramidę ir nupjautinį kūgį. Vaizduoti

erdvinių figūrų paprastuosius pjūvius (lygiagrečius

su pagrindu, ašinius) ir išklotines.

Pagaminkite stačiąją keturkampę

prizmę. Nubrėžkite tos prizmės

išklotinę. Turėdami reikiamus

matmenis, apskaičiuokite

prizmės paviršiaus plotą ir tūrį.

Ritinio ašinio pjūvio įstrižainė

lygi 8 cm. Ji sudaro su pagrindo

plokštuma 60º kampą.

Apskaičiuokite ritinio šoninio

paviršiaus plotą.

Piramidės pjūvis, lygiagretus

pagrindui, dalija aukštinę santykiu

2:3 (skaičiuojant nuo viršūnės).

Raskite pjūvio plotą, jei jis

mažesnis už pagrindo plotą 84

cm².

Kalba netaisyta

31

5.3.2. Apibrėžti ir taikyti kampo tarp tiesės ir

plokštumos sąvoką.

5.3.3. Apibrėžti ir taikyti kampo tarp

prasilenkiančiųjų tiesių sąvoką.

5.3.4. Apibrėžti tiesės ir plokštumos statmenumą,

taikyti jų statmenumo požymį.

5.3.5. Apibrėžti ir taikyti kampo tarp plokštumų

(dvisienio kampo) sąvoką.

1. Brėžinyje pavaizduotas kubas.

Remdamiesi brėžiniu,

a) pavaizduokite kampą tarp tiesės BD1 ir plokštumos ABC;

b) nurodykite kampą tarp

prasilenkiančių tiesių AB ir DD1;

c) nurodykite tieses, statmenas

plokštumai ADD1.

1. Duota: plokštumos α β, BD

= α ∩ β, AB α, ABBD, AB =

6 cm, CD β, CD BD, CD = 2

cm, BD = 3 cm. Apskaičiuoti:

AC.

2. Dvisienis kampas lygus 60º.

Vienoje jo sienoje duotas taškas,

nutolęs nuo kitos sienos 6 3 cm.

Apskaičiuokite šio taško atstumą

iki dvisienio kampo briaunos.

Trikampės piramidės aukštinė

eina per įbrėžto į trikampį

apskritimo centrą. Įrodykite, kad

piramidės visos šoninės sienos

pasvirusios į pagrindo plokštumą

tuo pačiu kampu.

5.3.6. Apibrėžti ir erdvinėse figūrose taikyti atstumo

tarp prasilenkiančiųjų tiesių, atstumo tarp

lygiagrečiųjų plokštumų, atstumo tarp tiesės ir

lygiagrečios su ja plokštumos sąvokas.

Trikampio stalelio viršus yra

statusis lygiašonis trikampis. Jo

kojos sutvirtintos skersiniais,

lygiagrečiais su stalelio kraštais.

Kokio didumo kampus sudaro

skersiniai su kiekvienu stalelio

kraštu?

Trapecijos ABCD viršūnės A ir B

yra plokštumoje α, o viršūnės C

ir D nėra joje. Kokia tiesės CD

padėtis plokštumos α atžvilgiu,

jei atkarpa AB yra a) trapecijos

pagrindas; b) trapecijos šoninė

kraštinė?

Duotas kubas ,

kurio briauna lygi 1.

a) Įrodykite, kad atstumas nuo

viršūnės A iki briaunos

vidurio taško E lygus 1,5.

b) Įrodykite, kad piramidės

briaunos AC ir yra

statmenos.

5.3.7. Taikyti trijų statmenų teoremą ir jai

atvirkštinę teoremą. Jas įrodyti.

Stačiojo trikampio ABC statiniai

3 dm ir 4 dm. Iš šio trikampio

stačiojo kampo viršūnės C į

trikampio plokštumą išvestas

statmuo CD = 70 cm.

Apskaičiuokite atstumą nuo

taško D iki įžambinės AB.

Stačiojo trikampio ABC kampas

B = 30º, BC = 2 cm. Iš šio

trikampio stačiojo kampo

viršūnės C į trikampio plokštumą

išvestas statmuo √ cm.

Raskite statmens galų atstumus

iki trikampio įžambinės.

Įrodykite, kad tiesė, išvesta

plokštumoje per pasvirosios

pagrindą ir statmena jos

projekcijai toje plokštumoje, yra

statmena ir pačiai pasvirajai.

5.3.8. Nesudėtingais atvejais apskaičiuoti erdvinių

figūrų elementus, šoninio ir viso paviršiaus plotą,

tūrį ir paprastų jų dalių paviršiaus plotą, tūrį,

paprastųjų pjūvių plotą.

Keturkampės piramidės SABCD

kiekviena briauna lygi 4 cm. Nuo

jos pagrindui lygiagrečia

plokštuma nukirsta piramidė

, kurios kiekviena

briauna lygi 1cm. Koks

1. Piramidės pagrindas – rombas,

kurio įstrižainės lygios 6 m ir 8

m. Piramidės aukštinė eina per

pagrindo įstrižainių susikirtimo

tašką ir lygi 1 m. Raskite

piramidės šoninį paviršių.

Raskite taisyklingosios trikampės

piramidės šoninį paviršių ir tūrį,

jei pagrindo kraštinė lygi 4 cm, o

dvisienis kampas prie pagrindo

yra 45º.

Kalba netaisyta

32

nupjautinės piramidės

paviršiaus

plotas?

2. Keturkampės piramidės visos

briaunos lygios 4 cm. Nuo jos

pagrindui lygiagrečia plokštuma

nukirsta piramidė, kurios

briaunos lygios 1 cm. Koks

gautos nupjautinės piramidės

tūris?

6 modulis. Tikimybių teorija. Statistika

Pasiekimų lygiai


6.1. Nustatyti rinkinio pobūdį bei apskaičiuoti rinkinių skaičių. Taikyti žinias praktinio ir matematinio turinio uždaviniams spręsti.

Žino gretinių ir derinių sąvokas. Pateikia

derinių pavyzdžių.

Skiria derinių ir gretinių sąvokas. Pateikia pavyzdžių. Formuluoja derinių ir gretinių (kėlinių) apibrėžimus.

Žino derinių ir gretinių skaičiaus formules. Jas taiko

paprastiems uždaviniams spręsti.

Supranta ir paaiškina gretinių ir derinių skaičiaus

formules. Pateikia argumentuotus pavyzdžius gretinių

ir derinių skirtumams atskleisti. Taiko gretinių ir

derinių skaičiaus formules nesudėtingoms

problemoms spręsti.

6.2. Taikyti tikimybės skaičiavimui klasikinį tikimybės apibrėžimą, tikimybės savybes taikyti praktinio ir matematinio turinio uždaviniams spręsti.

Užrašo paprasto bandymo baigčių aibę.

Supranta, kaip suskaičiuoti nurodytam įvykiui

palankių baigčių skaičių.

Vaizduoja įvykių sąjungos, sankirtos, skirtumo

veiksmus Veno diagramomis.

Supranta įvykių sąjungos, sankirtos, skirtumo

apibrėžimus. Atlieka įvykių veiksmus.

Pagrindžia elementariųjų įvykių aibės sąvoką.

Suformuluoja įvykių sąjungos, sankirtos, skirtumo

apibrėžimus.

Žino klasikinį įvykio tikimybės apibrėžimą, jį

taiko paprastiems uždaviniams spręsti.

Supranta klasikinį įvykio tikimybės apibrėžimą, jį

taiko nesudėtingoms užduotims atlikti.

Argumentuoja įvykio tikimybės radimą taikant

klasikinį įvykio tikimybės apibrėžimą.

Žino pagrindines tikimybės savybes. Jas taiko

paprasčiausiems uždaviniams spręsti ir

uždavinio atsakymui patikrinti.

Supranta ir taiko tikimybės savybes paprastiems

praktinio ir matematinio turinio uždaviniams spręsti.

Supranta ir taiko tikimybės savybes nesudėtingiems

praktinio ir matematinio turinio uždaviniams spręsti.

Sugeba paaiškinti sprendimą.

Žino įvykiui priešingo įvykio sąvoką. Pateikia

priešingų įvykių pavyzdžių. Paprastais atvejais

apskaičiuoja priešingo įvykio, įvykių sąjungos

ir sankirtos tikimybes.

Supranta, kaip apskaičiuoti priešingo įvykio, įvykių

sąjungos ir sankirtos tikimybes nesudėtingais atvejais.

Suformuluoja įvykiui priešingo įvykio, įvykių

sąjungos ir sankirtos tikimybės apibrėžimus.

Kalba netaisyta

33

Pateikia elementariųjų įvykių pavyzdžių. Supranta, kada elementarieji įvykiai nėra vienodai

galimi.

Argumentuotai pateikia nevienodai galimų

elementariųjų įvykių pavyzdžių.

6.3. Taikyti nesutaikomųjų įvykių sąjungos tikimybės skaičiavimo formulę praktinio ir matematinio turinio uždaviniams spręsti.

Žino nesutaikomų įvykių sąvoką. Pateikia

nesutaikomų įvykių pavyzdžių.

Supranta nesutaikomų įvykių sąvoką. Pateikia

nesudėtingų nesutaikomų įvykių pavyzdžių.

Formuluoja nesutaikomų įvykių apibrėžimą. Pateikia

nesutaikomų įvykių pavyzdžių, juos argumentuoja.

Žino formulę nesutaikomų įvykių sąjungos

tikimybei apskaičiuoti. Paprastais atvejais

apskaičiuoja nesutaikomų įvykių sąjungos

tikimybę.

Teisingai pasirenka ir naudojasi formule nesutaikomų

įvykių sąjungos tikimybei apskaičiuoti.

Pagrindžia įvykių nesutaikomumą. Radę nesutaikomų

įvykių sąjungos tikimybę, daro galutines, tikslias ir

logiškas išvadas.

6.4. Taikyti nepriklausomųjų įvykių sankirtos tikimybės skaičiavimo formulę paprastiems praktinio ir matematinio turinio uždaviniams spręsti.

Žino nepriklausomų įvykių sąvoką.

Pateiktuose pavyzdžiuose atpažįsta

nepriklausomus įvykius.

Formuluoja nepriklausomų įvykių apibrėžimą.

Apžvelgia nepriklausomiems įvykiams būdingus

bruožus. Pateikia nepriklausomų įvykių pavyzdžių.

Pagrindžia nepriklausomiems įvykiams būdingus

bruožus, nustato įvykių sąryšius ir dėsningumus.

Paprastais atvejais apskaičiuoja nepriklausomų

įvykių sankirtos tikimybę.

Nesudėtingais atvejais apskaičiuoja nepriklausomų

įvykių sankirtos tikimybę.

Atrenka ir įvertina duomenis. Pagrindžia

nepriklausomų įvykių sankirtos tikimybės radimo

formulę. Argumentuotai pristato atliktą užduotį.

Supranta vienodų nepriklausomų bandymų seką,

įrodo Bernulio formulę, argumentuoja jos taikymą

tam tikrų įvykių tikimybei apskaičiuoti.

6.5. Vartoti atsitiktinio dydžio sąvoką. Taikyti atsitiktinio dydžio skirstinį bei skaitines charakteristikas praktinio ir matematinio turinio uždaviniams spręsti


Žino atsitiktinio dydžio sąvoką. Įsimena ir

taisyklingai vartoja su atsitiktinio dydžio

sąvoka siejamus simbolius.

Supranta atsitiktinio dydžio sąvoką, sieja ją su

atsitiktiniais įvykiais. Pateikia pavyzdžių.

Paaiškina atsitiktinio dydžio sąvoką. Suformuluoja

atsitiktinio dydžio apibrėžimą. Iliustruoja atsitiktinio

dydžio esmę svarbiais praktiniais ir teoriniais

pavyzdžiais.

Sudaro paprastų atsitiktinių dydžių skirstinius. Sudaro nesudėtingų atsitiktinių dydžių skirstinius

remiantis klasikiniu tikimybės apibrėžimu arba įvykių

nepriklausomumu. Pasitelkia reikalingas formules,

atrenka ir įvertina duomenis.

Pasitelkia reikalingas sprendimo strategijas, atrenka ir

įvertina duomenis, tada sudaro atsitiktinio dydžio

skirstinį.

Žino atsitiktinio dydžio matematinės vilties,

dispersijos, standartinio nuokrypio sąvokas.

Apskaičiuoja atsitiktinių dydžių skirstinio

matematinę viltį, dispersiją bei standartinį

nuokrypį.

Paaiškina atsitiktinio dydžio matematinės vilties bei

dispersijos sąvokas. Nesudėtingais atvejais sudaręs

atsitiktinio dydžio skirstinį, apskaičiuoja matematinę

viltį, dispersiją bei standartinį nuokrypį, daro

reikiamas išvadas.

Suvokia atsitiktinių dydžių skaitinių charakteristikų

prasmę, jų pritaikymą, daro tikslias ir logiškas

išvadas.

6.6. Taikyti teorines statistikos žinias renkant duomenis ir klasifikuoti tiriamus duomenis pagal pasirinktus požymius. Skirti kiekybinius ir kokybinius požymius.

Kalba netaisyta

34

Naudotis turimomis IKT.

Žino pagrindines statistikos sąvokas.

Pateiktuose pavyzdžiuose jas randa ir įvardija.

Supranta pagrindines statistikos sąvokas.

Apžvelgia pagrindinėms statistikos sąvokoms

būdingus bruožus, nustato jų sąryšius ir dėsningumus.

Pagrindžia pagrindinėms statistikos sąvokoms

būdingus bruožus. Pateikia pavyzdžių.

Žino statistinių duomenų rinkimo būdus. Apžvelgia statistinių duomenų rinkimo būdus, daro

išvadas apie jų pasirinkimo tikslingumą konkrečiu

atveju.

Pagrindžia statistinių duomenų rinkimo būdo

pasirinkimo tikslingumą įvairiais atvejais.

Žino, kas yra dažnis ir santykinis dažnis.

Paprastais atvejais sudaro dažnių ir santykinių

(procentinių) dažnių lenteles. Moka surinktus

ir apdorotus duomenis vaizduoti stulpelinėmis

diagramomis.

Naudoja IKT.

Supranta, kas yra dažnis ir santykinis dažnis.

Nesudėtingais atvejais sudaro dažnių ir santykinių

(procentinių) dažnių lenteles. Moka surinktus ir

apdorotus duomenis vaizduoti skritulinėmis

diagramomis. Naudoja IKT.

Aiškiai formuluoja naujas sąvokas, pagrindžia jų

pritaikymo prasmingumą pagal užduoties tikslus,

parodo, kad puikiai supranta matematinę informaciją.

Naudoja MS Excel duomenims apdoroti ir vaizduoti.

Gali apibūdinti ryšį tarp dažnių lentelėse ir

diagramose pateiktų duomenų.

Analizuoja, kaip susiję dažnių lentelėse ir diagramose

pateikti duomenys. Nustato jų sąryšius ir

dėsningumus.

Pagrindžia, kaip susiję dažnių lentelėse ir diagramose

pateikti duomenys. Daro tikslias ir logiškas išvadas.

Moka grupuoti duomenis į nurodyto ilgio

intervalus. Pavaizduoja sutvarkytus duomenis

histograma. Naudoja IKT.

Moka nustatyti, į kokio ilgio intervalus tikslinga

grupuoti duomenis, sudaro sugrupuotų duomenų

dažnių lentelę, iliustruoja sugrupuotus duomenis

histograma. Naudoja IKT.

Pasitelkia reikalingas strategijas pateiktiems

duomenims sutvarkyti, argumentuoja savo

pasirinkimą. Naudoja MS Excel duomenims apdoroti

ir vaizduoti.

Pagal pateiktus klausimus nagrinėja tą pačią

populiaciją skirtingų požymių atžvilgiu.

Analizuoja tą pačią populiaciją skirtingų požymių

atžvilgiu, daro išvadas.

Pagrindžia savo teiginius nagrinėdamas tą pačią

populiaciją skirtingų požymių atžvilgiu. Daro tikslias

ir logiškas išvadas. Naudojasi IKT teikiamomis

galimybėmis.

6.7. Daryti išvadas apie tiriamą surinktų ir apdorotų duomenų požymį, remiantis skaitinėmis charakteristikomis. Naudotis turimomis IKT.

Žino imties skaitines charakteristikas ir moka

jas apskaičiuoti.

Supranta imties skaitinių charakteristikų sąryšius.

Atrenka ir įvertina duomenis. Teisingai pasirenka ir

panaudoja skaitines charakteristikas nesudėtingoms

užduotims atlikti.

Aiškiai formuluoja imties skaitinių charakteristikų

sąryšius. Teisingai pasirenka ir racionaliai

pasinaudoja imties skaitinėmis charakteristikomis.

Paprastais atvejais pagal pateiktus klausimus

nagrinėja, kokią informaciją apie populiaciją

suteikia imties skaitinės charakteristikos.

Nesudėtingais atvejais apžvelgia, kokią informaciją

apie populiaciją suteikia imties skaitinės

charakteristikos.

Atrenka ir įvertina imties skaitines charakteristikas,

argumentuotai pagrindžia, kokią informaciją apie

populiaciją suteikia imties skaitinės charakteristikos.


Kalba netaisyta

35



6.1. Nustatyti rinkinio pobūdį ir apskaičiuoti rinkinių skaičių. Taikyti žinias praktinio ir matematinio turinio uždaviniams spręsti.

6.1.1. Pateikti derinių ir gretinių

(kėlinių) pavyzdžių.

Šaškių turnyre dalyvauja 12 mokinių.

Kiekvienas jų turi sužaisti su kiekvienu

kitu po vieną partiją. Kiek partijų bus

sužaista?

Kiek įstrižainių turi iškilasis

dešimtkampio? Keliuose taškuose

susikerta iškilojo dešimtkampio

įstrižainės?

Kiek keturženklių skaičių galima sudaryti

iš skaitmenų, kurie yra nelygybės

( ( )) natūralieji

sprendiniai?

6.1.2. Suprasti gretinių ir derinių

skaičiaus formules, iliustruojant

pavyzdžiais. Paaiškinti, kuo

skiriasi deriniai ir gretiniai.

1. Gimnazijoje matematikos būrelį

lanko 8 vaikinai ir 6 merginos. Keliais

būdais iš jų galima išrinkti 6

gimnazistus – 2 merginas ir 4

vaikinus – į komandinę regiono

olimpiadą?

2. Vienuoliktokai mokosi 12 dalykų.

Kiekvieną dieną jiems būna po 6

skirtingas pamokas. Kiek skirtingų

vienos dienos tvarkaraščių gali būti?

1. Į sportinių šokių klubą atėjo 9 merginos

ir 12 vaikinų. Keliais būdais iš jų galima

sudaryti šešias šokėjų poras (mergina ir

vaikinas) klubo pristatymo koncertui?

2. Kiekvienas šachmatų turnyro dalyvis su

kiekvienu kitu turi sužaisti po vieną

partiją. Du šachmatininkai, sužaidę tik po

3 partijas, išvyko. Todėl iš viso buvo

sužaistos 84 partijos. Kiek šachmatininkų

pradėjo turnyrą?

6.2. Taikyti tikimybės skaičiavimui klasikinį tikimybės apibrėžimą, tikimybės savybes taikyti praktinio ir matematinio turinio uždaviniams spręsti.

6.2.1. Sudaryti bandymo baigčių

(elementariųjų įvykių) aibę, rasti

nurodytam įvykiui palankių

baigčių skaičių. Atlikti įvykių

veiksmus (sąjungos, sankirtos,

skirtumo), šiuos veiksmus

vaizduoti Veno diagramomis.

Moneta metama tris kartus ir stebima,

kuria puse ji atsivers.

Parašykite šio bandymo baigčių aibę.

Pažymėkite A1 – įvykį „moneta

atsivertė skaičiumi vieną kartą“, A2 –

„moneta atsivertė skaičiumi du kartus“.

Parašykite šių įvykių baigčių aibes.

Standartinis lošimo kauliukas metamas

vieną kartą. Parašykite nurodytųjų

įvykių baigčių aibes:

a) A – „atvirs ne daugiau kaip 5

akutės“; b) B –„atvirs ne mažiau kaip 4

akutės“; c) ; ; A\B; .

Veiksmus vaizduokite Veno

diagramomis.

Keturiose kortelėse po vieną surašyti

skaičiai 1, 2, 3, 4. Iš pradžių ištraukiama

viena kortelė, po jos iš likusių trijų –

kita. Parašykite elementariuosius

įvykius, sudarančius būtinąjį įvykį E.

Elementariųjų įvykių sąjunga išreikškite

šiuos įvykius: a) A – „abu kartus

ištrauktas nelyginis skaičius“; b) B –

„ištraukti skaičiai, kurių suma yra

lyginis skaičius“. Ką reiškia įvykis B\A?

6.2.2. Apskaičiuoti įvykio

tikimybę taikant klasikinį

apibrėžimą.

Iš dviženklių skaičių dėžės ištrauktas

vienas skaičius. Kokia tikimybė, kad jo

pirmas skaitmuo yra 9?

Kubas, kurio visos sienos nudažytos,

supjaustytas į tūkstantį vienodo dydžio

kubelių, kurie sumaišomi. Po to

atsitiktinai traukiamas kubelis. Raskite

tikimybę įvykio, kad ištrauktas kubelis

Dėžėje yra kortelės su pirminiais

skaičiais ne didesniais už 20. Kokia

tikimybė, kad ištrauktą skaičių dalydami

iš 4 gausime liekaną 1?

Kalba netaisyta

36

turi dvi nudažytas sienas.

6.2.3. Žinoti tikimybės savybes

ir jas taikyti.

Įvykio A tikimybė yra lygi 0,75. Kam

lygi įvykiui A priešingo įvykio

tikimybė?

Matematikos vadovėlyje yra 230

puslapių. Atsitiktinai atverčiamas šios

knygos puslapis. Apskaičiuokite

tikimybę: a) įvykio A – „atverstas

puslapis yra 90 kartotinis“; b) įvykiui A

priešingo įvykio tikimybę.

Ant kortelių surašyti skaičiai nuo 100 iki

999. Apskaičiuokite tikimybę, kad

atsitiktinai paimtoje kortelėje sutaps

bent du skaitmenys.

6.2.4. Apskaičiuoti įvykiui

priešingo įvykio, įvykių

sąjungos ir sankirtos tikimybes.

Dėžėje yra 5 mėlyni, 3 raudoni ir 2 žali

rutuliai. Iš dėžės paeiliui imami du

rutuliai. Apskaičiuokite tikimybę išimti:

a) du raudonus rutulius; b) antruoju

ėmimu – raudoną rutulį; c) tos pačios

spalvos rutulius.

6.3. Pateikti vienodai ir nevienodai galimų elementariųjų įvykių pavyzdžių.

6.3.1. Atpažinti

nesutaikomuosius įvykius ir

pateikti jų pavyzdžių.

Nesutaikomų įvykių pavyzdys:

Moneta metama vieną kartą. Įvykis A –

iškrito herbas, įvykis B – iškrito

skaičius.

Pateikite nesutaikomų įvykių pavyzdį,

jei bandymas būtų:

a) vienas baudos metimas krepšinyje;

b) lošimo kauliuko metimas vieną

kartą.

Metamas lošimo kauliukas. Įvykis A –

iškrito nelyginis akučių skaičius, įvykis

B – iškrito 4 akutės.

Pateikite pavyzdį įvykio, nesutaikomo

su įvykiu A, ir įvykio, nesutaikomo su

įvykiu B, pavyzdį.

Pateikite pavyzdį įvykio, sutaikomo su

įvykiu A, ir įvykio, sutaikomo su įvykiu

B, pavyzdį.

Stačiakampis A sudarytas iš 78 kvadratų.

Šiame stačiakampyje nubrėžti du bendrų

taškų neturintys stačiakampiai – B iš 15

kvadratų ir C iš 12 kvadratų. Kokia

tikimybė, kad į stačiakampį A mestas

kamuoliukas pataikys į stačiakampį B

arba į stačiakampį C?

A

B

C

6.3.2. Apskaičiuoti

nesutaikomųjų įvykių sąjungos

tikimybę.

Metamas lošimo kauliukas.

Apskaičiuokite įvykio „iškrito arba

viena, arba dvi, arba trys akutės“

tikimybę.

Kortelės sunumeruotos natūraliaisiais

skaičiais nuo 1 iki 30 imtinai. Įvykis A

– „kortelės numeris 7 kartotinis“, įvykis

B – „kortelės numeris 5 kartotinis“.

Kokia tikimybė, kad atsitiktinai

ištrauktos kortelės numeris bus bent

vieno iš skaičių 5 ir 7 kartotinis?

Žaidžiamas žaidimas, kuriame reikia

atspėti 6 skaičius iš 40. Laimima tada,

kai atspėjami bent 4 skaičiai.

Apskaičiuokite laimėjimo tikimybę.

Kalba netaisyta

37

6.4. Taikyti nepriklausomų įvykių tikimybės skaičiavimo formulę paprastiems praktinio ir matematinio turinio uždaviniams spręsti.

6.4.1. Atpažinti

nepriklausomuosius įvykius ir

pateikti jų pavyzdžių.

1. Ar įvykiai A ir B yra nepriklausomi:

a) A – „pirmadienį Rimas pavėlavo į

mokyklą“; B – „antradienį Rimas

pavėlavo į mokyklą“.

b) A – „šiandien Rimas pavėlavo į

autobusą“;

B – „šiandien Rimas pavėlavo į

mokyklą“.

c) A – „pirmu metimu atvirto 3 akutės“;

B – „antru metimu atvirto 3 akutės“.

Paaiškinkite kodėl?

2. Meskime simetrišką monetą du

kartus ir stebėkime, kuo ji atvirs. Ar

pirmo ir antro metimo metu atsitikę

įvykiai yra nepriklausomi? Kodėl?

1. Meskime simetrišką monetą ir

simetrišką lošimo kauliuką ir stebėkime,

kuo jie atvirs. Ar monetos atsivertimas

priklauso nuo kauliuko atsivertimo?

2. Kurie iš įvykių A ir B yra

nepriklausomi:

a) metama moneta ir lošimo kauliukas.

A – moneta atvirto skaičiumi; B –

kauliukas atvirto šešiomis akutėmis.

b) Iš dėžės, kurioje yra 1 raudonas ir 2

žali rutuliai, traukiami rutuliai.

A – „iš dėžės pirmu traukimu išimtas

žalias rutulys ir negrąžintas į dėžę“; B –

„Iš tos pačios dėžės antru traukimu

išimtas žalias rutulys“.

c) Metamas lošimo kauliukas.

A – „lošimo kauliukas pirmą kartą

atvirto lyginiu skaičiumi“; B – „lošimo

kauliukas antrą kartą atvirto 6

akutėmis“.


nepriklausomųjų įvykių

sankirtos tikimybę.

Krepšininkas mes dvi baudas. Pirmą

baudos metimą jis pataiko su tikimybe

0,6, o antrą – su tikimybe 0,5. Kokia

tikimybė, kad pataikys abu baudos

metimus?

Krepšininkas mes dvi baudas. Pirmą

baudos metimą jis pataiko su tikimybe

0,6, o antrą – su tikimybe 0,5. Kokia

tikimybė, kad bent vienas iš šių metimų

bus taiklus?

Turistas nori užkurti laužą, turėdamas

tik 2 degtukus. Laužas užsikuria nuo

vieno degtuko su tikimybe 0,6. Jei

bandome laužą užkurti dviem kartu

sudėtais degtukais, tai tikimybė, kad

laužas užsikurs, yra 0,83. Kaip geriausia

bandyti užkurti laužą: įbrėžiant abu

degtukus vieną po kito, ar įbrėžiant abu

degtukus iš karto?

6.4.3. Taikyti nepriklausomųjų

Bernulio bandymų schemą.

Šeimoje yra 5 vaikai. Apskaičiuokite

tikimybę, kad tarp jų yra 3 berniukai,

laikydami, kad tikimybė gimti berniukui

lygi 0,5?

6.5. Vartoti atsitiktinio dydžio sąvoką. Taikyti atsitiktinio dydžio skirstinį bei skaitines charakteristikas praktinio ir matematinio turinio uždaviniams spręsti,

Kalba netaisyta

38


6.5.1. Paaiškinti atsitiktinio

dydžio sąvoką, siejant ją su

atsitiktiniais įvykiais. Iliustruoti

pavyzdžiais.

Metamas lošimo kauliukas. Atsitiktinis

dydis X – iškritusių akučių skaičius.

Pateikite atsitiktinio dydžio pavyzdį,

susijusį su IV gimnazijos klasės

mokinio matematikos metinio pažymio

vedimu.

Dėžėje yra 5 mėlyni ir 5 balti rutuliai.

Traukiami 4 rutuliai. Atsitiktinis dydis

X – ištrauktų baltos spalvos rutulių

skaičius.

Metamos dvi monetos 1 Lt ir 2 Lt

vertės. Atsitiktinis dydis Y – atvirtusių

skaičių kvadratų suma. Pateikite dar

bent du su šiuo atsitiktiniu įvykiu

susijusius atsitiktinius dydžius.

6.5.2. Sudaryti nesudėtingų

atsitiktinių dydžių skirstinius

(skirstinio lenteles) remiantis

klasikiniu tikimybės apibrėžimu

ir įvykių nepriklausomumu.

Iš 100 loterijos bilietų 30 laimi po 1 Lt,

10 – po 5 Lt, 2 – po 25 Lt, kiti nieko

nelaimi. Laimėjimo dydis X yra

atsitiktinis dydis. Parašykite jo skirstinį.

Laimės ratas padalytas į 16 vienodų

sektorių. 1 iš jų nudažytas raudonai, 2 –

žalia, 3 – geltonai, 10 – baltai. Išsukus

raudoną sektorių, laimima 10Lt, išsukus

žalią – 5 Lt, išsukus geltoną – 1 Lt,

išsukus baltą – 0 Lt. Bilietas, leidžiantis

sukti ratą vieną kartą, kainuoja 1 Lt.

Atsitiktinis dydis X – išsukto laimėjimo

ir bilieto kainos skirtumas. Sudarykite

skirstinį. Pavaizduokite jį grafiškai.

Meškeriotojas kiekvienu meškerės

užmetimu pagauna žuvį su tikimybe

.

Atsitiktinis dydis X – pagautų žuvų

skaičius 5 kartus užmetus meškerę.

Parašykite atsitiktinio dydžio skirstinį.

6.5.3. Paaiškinti atsitiktinio

dydžio vidurkio (matematinės

vilties) ir dispersijos

(išsibarstymo) sąvokas,

iliustruoti jas pavyzdžiais.

Apskaičiuoti atsitiktinio dydžio

vidurkį, dispersiją ir standartinį

nuokrypį.

Lošimo ratas suskirstytas į 6 vienodo

didumo sektorius, kuriuose surašyti

laimėjimo didumai litais 1, 2, 3, 4, 5, 6.

X – išloštų pinigų kiekis. Sudarykite

atsitiktinio dydžio skirstinio lentelę.

Apskaičiuokite matematinę viltį,

dispersiją ir kvadratinį nuokrypį.

Iš dėžės, kurioje yra 2 balti ir 4 juodi

rutuliai, atsitiktinai ištraukti 4 rutuliai.

Atsitiktinis dydis X yra ištrauktų juodų

rutulių skaičius. Sudarykite atsitiktinio

dydžio X skirstinio lentelę.

Apskaičiuokite matematinę viltį,

dispersiją, vidutinį kvadratinį nuokrypį.

Tikimybė, kad vaistinėje žmogus ras

reikiamų vaistų, lygi 0,8. Mieste yra 3

vaistinės. Žmogus eina į vaistines tol,

kol randa vaistus arba kol apeina visas

vaistines. Atsitiktinis dydis Y – žmogaus

aplankytų vaistinių skaičius. Sudarykite

atsitiktinio dydžio Y skirstinį. Kiek

vidutiniškai vaistinių turėtų aplankyti

žmogus, kad rastų tinkamus vaistus?

Apskaičiuokite dispersiją, vidutinį

kvadratinį nuokrypį.

6.6. Taikyti teorines statistikos žinias renkant duomenis ir klasifikuoti tiriamus duomenis pagal pasirinktus požymius. Skirti kiekybinius ir kokybinius požymius.

Naudotis turimomis IKT.

6.6.1. Žinoti statistikos sąvokas,

pateikti pavyzdžių,

interpretuojančių šias sąvokas.

6.6.2. Žinoti statistinių duomenų

Matuojant dešimties detalių ilgį

(milimetrais ) gauti tokie rezultatai:

4, 8, 9, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 9.

1) Sutvarkykite imtį ir sudarykite

Perskaitykite šį uždavinį nuo pradžios

iki galo ir sudarykite imtį, išrašydami

pirmąsias žodžių raides. Sudarykite

dažnių lentelę, nubrėžkite stulpelinę

Biologijos projektui trys mokiniai

Rokas, Dovilė ir Arnas rinko duomenis

apie medžių aukštį ir gautus duomenis

surašė į lentelę:

Kalba netaisyta

39

rinkimo būdus. dažnių bei santykinių dažnių lenteles.

2) Nubraižykite imties stulpelinę

diagramą.

santykinių dažnių diagramą.

Apskaičiuokite šią dažnių lentelę

vaizduojančios skritulinės diagramos

sektorių centrinius kampus.

R D A

6 3 6

7 5 5

6 ? 4

? 4 3

5 6 5

3 7 ?

4 8 5

5 6 7

6

Vidurkiai

5 5,5 ?

Brūkšniai reiškia, kad tų duomenų

Rokas ir Dovilė iš viso neturėjo.

a) Baikite pildyti lentelę (vietoj

klaustukų įrašykite reikiamus

duomenis), jei žinoma, kad visų

išmatuotų medžių aukščio vidurkis buvo

lygus 5,16 m.

b) Sudarykite imties elementų dažnių

lentelę.

c) Nubraižykite imties diagramą.

6.6.3. Žinoti, kas yra dažnis ir

santykinis dažnis. Sudaryti

dažnių ir santykinių

(procentinių) dažnių lenteles.

Mokėti surinktus ir apdorotus

duomenis vaizduoti

diagramomis.

6.6.4. Žinoti ryšį tarp dažnių

lentelėse ir diagramose pateiktų

duomenų. Mokėti vienas

diagramas pakeisti kitomis.

Bandomajame sklype tiriant morkų

derlingumą, buvo matuojamas morkų

ilgis (mm). Gauti rezultatai pavaizduoti

stulpeline diagrama:

Sudarykite dažnių lentelę.

Mokinio pažymiai ir jų kiekis

pavaizduoti diagrama:

Rasa savo mėnesio darbo užmokestį

paskirsto taip:

a) Žinoma, kad ji maistui išleidžia 600

litų. Koks Rasos atlyginimas?

b) Kiek pinigų ji išleidžia mokesčiams,

0

2

4

6

8

10

150 160 170 180 200

Dažnis

Morkos ilgis

Kalba netaisyta

40

a) Remdamiesi ja, nustatykite, kiek

pažymių gavo mokinys.

b) Kiek ir kokios rūšies pažymių jis

gavo daugiausia?

c) Pavaizduokite imties duomenis

skrituline diagrama.

pramogoms, automobiliui? Kiek sutaupo

pinigų?

c) Pagal duotus duomenis nubraižykite

stulpelinę diagramą.

6.6.5. Grupuoti duomenis į

vienodo ilgio intervalus. Mokėti

surinktus ir apdorotus duomenis

vaizduoti histograma.

Pasverti 26 abrikosai. Jų masė gramais

tokia: 25, 12, 52, 10, 34, 48, 15, 46, 30,

8, 14, 20, 6, 42, 32, 16, 22, 4, 24, 36,

18, 40, 28, 46, 48, 54. Sugrupuokite

šiuos duomenis į intervalus [4; 14), [14;

24), [24; 34), [34; 44), [44; 54] ir

pavaizduokite histograma.

Matuojant penkiolikmečių merginų ūgį,

gauti tokie rezultatai: 158, 160, 172,

151, 158, 172, 163, 168, 174, 178, 182,

178, 157, 181, 155, 165, 170, 171, 167,

164, 150, 162, 159, 165, 159.

Sugrupuokite šiuos duomenis į

intervalus, kurių ilgis yra 5, ir

nubraižykite histogramą.

Mokytoja surašė savo auklėjamosios

klasės mokinių anglų kalbos valstybinio

egzamino rezultatus: 77, 86, 25, 28, 69,

50, 13, 39, 41, 54, 86, 37, 60, 22, 3, 77,

4, 5, 32, 2, 39, 47, 58. Sugrupuokite

duomenis į pasirinkto ilgio intervalus ir

nubraižykite histogramą.

6.6.6. Nagrinėti tą pačią

populiaciją pagal įvairius

požymius.

Mokytoja surašė jos auklėjamosios

klasės mokinių anglų kalbos valstybinio

egzamino rezultatus ir metinius

rezultatus:

Egzaminas:

77, 86, 25, 28, 69, 50, 13, 39, 41, 54,

86, 37, 60, 22, 3, 77, 4, 5, 32, 2, 39, 47,

58.

Kalba netaisyta

41

Metinis: 9A, 8A, 7A, 6A, 9A, 9A, 6A, 7A, 7A,

9A, 9A, 8A, 9A, 7A, 5A, 9A, 5A, 5A,

6A, 4A, 6A, 8B, 9A

Ar yra ryšys tarp metinio pažymio ir

egzamino rezultato?

6.7. Daryti išvadas apie tiriamą surinktų ir apdorotų duomenų požymį, remiantis skaitinėmis charakteristikomis. Naudotis turimomis IKT.

6.7.1. Skaičiuoti skaitines imties

charakteristikas.

6.7.2. Paaiškinti, kokią

informaciją apie populiaciją

teikia imties skaitinės

charakteristikos.

Apskaičiuokite imties 2, 1, 6, 4, 1, 2, 2,

7, 3, 8 vidurkį, dispersiją ir kvadratinį

nuokrypį.

Dovilė lanko muzikos mokyklą. Jos

dviejų dalykų pažymiai yra tokie:

solfedžio : 10, 9, 7, 8, 10, 9, 8, 9, 10,

10, 10;

specialybės: 9, 9, 8, 9, 10, 10, 7, 10, 9,

8, 8, 10.

Apskaičiuokite imčių vidurkius,

dispersijas ir kvadratinius nuokrypius.

Išsiaiškinkite, kurį dalyką Dovilė moka

geriau.

Parduotuvės vadybininkas gavo 2

gamintojų pasiūlymus elektroninių

prietaisų detalėms tiekti. Detalės

supakuotos dėžutėse, ant kurių užrašyta:

„Dėžutėse yra apie 500 varžtų“.

Vadybininkas, norėdamas pagrįstai

apsispręsti, atsitiktinai pasirinko iš

kiekvieno gamintojo po 40 dėžučių ir

suskaičiavo, kiek jose tiksliai yra varžtų.

Gavo tokį rezultatą:

a) Apskaičiuokite, koks yra vidutinis

kiekvieno gamintojo detalių skaičius

pasirinktose dėžutėse.

b) Patarkite vadybininkui, kurį

gamintoją pasirinkti. Atsakymą

pagrįskite naudodamiesi skaitinėmis

imties charakteristikomis.

Kalba netaisyta

42

7 modulis. Diferencialinis skaičiavimas



7.1. Suprasti funkcijos išvestinės sąvoką.

7.1.1. Žinoti, kaip

apskaičiuoti tolydžiosios

funkcijos argumento ir jos

reikšmių pokytį, kaip galima

įvertinti funkcijos kitimo

greitį duotame intervale.

Pavyzdžiais iliustruoti, kad

argumento pokyčiui artėjant

prie nulio tolydžiosios

funkcijos pokytis artėja prie

nulio. Pavyzdžiais iliustruoti

funkcijos ribos sąvoką.

Paprastais atvejais žino kaip ir moka

apskaičiuoti tolydžiosios funkcijos

argumento ir jos reikšmių pokytį.

Supranta ir paaiškina tolydžiosios

funkcijos, argumento pokyčio ir funkcijos

reikšmių pokyčio sąvokas. Nesudėtingais

atvejais moka įvertinti funkcijos kitimo

greitį duotame intervale. Pavyzdžiais

iliustruoja, kad argumento pokyčiui

artėjant prie nulio, tolydžiosios funkcijos

reikšmių pokytis artėja prie nulio.

Pagrindžia tolydžiosios funkcijos sąvoką,

jai būdingas savybes. Apskaičiuoja

apibendrintai pateiktos funkcijos reikšmių

pokytį. Moka apibūdinti funkcijos ribos

sąvoką, ją paaiškina pavyzdžiais.

7.1.2. Žinoti funkcijos

išvestinės apibrėžimą

(prasmę). Paaiškinti

geometrinę ir fizikinę

funkcijos išvestinės

interpretaciją, pateikti

pavyzdžių.

Žino funkcijos išvestinės prasmę.

Žino funkcijos išvestinės geometrinę

ir fizikinę prasmę, užrašo tai

formulėmis.

Formuluoja funkcijos išvestinės

apibrėžimą, žino jos geometrinę ir fizikinę

prasmę. Pateikia pavyzdžių.

Formuluoja funkcijos išvestinės

apibrėžimą, žino ir paaiškina funkcijos

išvestinės geometrinę ir fizikinę prasmę.

7.2. Apskaičiuoti įvairių funkcijų išvestines.

7.2.1. Žinoti ir naudoti

funkcijų, išreikštų

formulėmis ( – bet

koks),

išvestinių skaičiavimo formules.

Žino ir paprastais atvejais naudoja

funkcijų, išreikštų formulėmis (

– bet koks), išvestinių skaičiavimo formules.

Supranta ir nesudėtingais atvejais naudoja

funkcijų, išreikštų formulėmis ( – bet

koks), išvestinių skaičiavimo formules.

Pagrindžia funkcijų, išreikštų formulėmis

( – bet koks), išvestinių skaičiavimo formules. teisingai pasirenka

ir racionaliai naudojasi išvestinių

skaičiavimo formulėmis.

7.2.2. Remiantis išvestinės

apibrėžimu, apskaičiuoti

tiesinės, kvadratinės, kubinės

Remiasi išvestinės apibrėžimu

apskaičiuodamas tiesinės, kvadratinės,

kubinės funkcijų išvestinių reikšmes

Kalba netaisyta

43

funkcijų išvestinių reikšmes

nurodytuose taškuose.

nurodytuose taškuose.

7.2.3. Mokėti taikyti funkcijų

sumos (skirtumo), sandaugos

iš realiojo daugiklio, funkcijų

sandaugos, santykio,

sudėtinės funkcijos išvestinių

skaičiavimo taisykles.

Žino ir paprastais atvejais taiko

funkcijų sumos, skaičiaus ir

funkcijos sandaugos, funkcijų

sandaugos, dalmens išvestinių

skaičiavimo taisykles.

Supranta ir nesudėtingais atvejais teisingai

pasirenka ir taiko funkcijų sumos,

skaičiaus ir funkcijos sandaugos, funkcijų

sandaugos, dalmens išvestinių skaičiavimo

taisykles.

Moka pagrįsti funkcijų sumos (skirtumo),

skaičiaus ir funkcijos sandaugos, funkcijų

sandaugos, santykio, sudėtinės funkcijos

išvestinių skaičiavimo taisykles. Teisingai

pasirenka ir racionaliai naudojasi šiomis

taisyklėmis.

7.2.4. Apskaičiuoti funkcijos

išvestinės reikšmę duotame

taške arba apskaičiuoti x

reikšmes, su kuriomis

išvestinė įgyja nurodytą

reikšmę.

Paprastais atvejais moka apskaičiuoti

išvestinės reikšmę duotame taške.

Nesudėtingais atvejais apskaičiuoja

išvestinės reikšmę duotame taške ir x

reikšmes, kai išvestinė įgyja nurodytą.

Atrenka ir įvertina duomenis, racionaliai ir

pagrįstai pasirenka užduoties sprendimo

kelią.

7.2.5. Apskaičiuoti išvestines,

taikant paprastų algebrinių,

trigonometrinių, rodiklinių

bei logaritminių reiškinių

pertvarkius.

Apskaičiuoja išvestines, taikydamas

paprasčiausių algebrinių ir

trigonometrinių reiškinių

pertvarkius.


paprastų algebrinių, trigonometrinių

reiškinių pertvarkius.


nesudėtingų algebrinių, trigonometrinių,

rodiklinių bei logaritminių reiškinių

pertvarkius. Nuosekliai, tiksliai, aiškiai

užrašo užduoties sprendimą, jį

argumentuoja.

7.3. Nesudėtingais atvejais taikyti funkcijų išvestines matematinio ir praktinio turinio uždaviniams spręsti, naudojantis turimomis IKT.

7.3.1. Sieti funkcijos


taške su funkcijos grafiko

liestinės krypties koeficientu

(y = kx + b, ( ) , kur α – kampo tarp

liestinės ir x ašies didumas) ir

užrašyti funkcijos grafiko

liestinės duotame taške lygtį.

Sprendžiant funkcijos grafiko

liestinės uždavinius taikyti

žinias apie lygiagrečias ir

statmenas tieses.

Paprasčiausiais atvejais geba

pritaikyti išvestinės geometrinę

prasmę, užrašyti liestinės lygtį.

Sieja funkcijos išvestinės reikšmę duotame

taške su funkcijos grafiko liestinės krypties

koeficientu. Nesudėtingais atvejais užrašo

funkcijos grafiko liestinės lygtį duotame

taške.

Pasirenka reikalinga strategiją sprendžiant

funkcijos grafiko liestinės uždavinius,

taiko žinias apie lygiagrečias ir statmenas

tieses.

7.3.2. Žinoti funkcijos Žino funkcijos reikšmių didėjimo Formuluoja funkcijos reikšmių didėjimo Pagrindžia funkcijos reikšmių didėjimo

Kalba netaisyta

44

reikšmių didėjimo

(mažėjimo) požymius ir

taikyti juos funkcijos

reikšmių didėjimo

(mažėjimo) intervalams

nustatyti.

(mažėjimo) požymius ir paprastais

atvejais taiko juos funkcijos

reikšmių didėjimo (mažėjimo)

intervalams nustatyti.

(mažėjimo) požymius ir nesudėtingais

atvejais juos taiko funkcijos reikšmių

didėjimo (mažėjimo) intervalams nustatyti.

(mažėjimo) požymius. Racionaliai jais

naudojasi funkcijos reikšmių didėjimo

(mažėjimo) intervalams nustatyti.

7.3.3. Naudojantis funkcijos

išvestine (kai ji egzistuoja)

rasti funkcijos kritinius

taškus, ekstremumo taškus,

funkcijos ekstremumus,

funkcijos grafiko

ekstremumus, nustatyti, ar tai

minimumo, ar maksimumo

taškai. Gebėti patikrinti, ar

duotasis taškas yra duotos

funkcijos ekstremumo taškas.

Žino sąvokas: kritinis taškas,

ekstremumo taškas, ekstremumas.

Naudodamasis funkcijos išvestine,

paprastais atvejais moka rasti

funkcijos kritinius taškus,

ekstremumo taškus, funkcijos

ekstremumus, funkcijos grafiko

ekstremumus, geba nustatyti, ar tai

minimumo, ar maksimumo taškai.

Apibrėžia sąvokas: kritinis taškas,

ekstremumo taškas, ekstremumas.

Naudodamasis funkcijos išvestine,

nesudėtingais atvejais moka rasti funkcijos

kritinius taškus, ekstremumo taškus,

funkcijos ekstremumus, funkcijos grafiko

ekstremumus, geba nustatyti, ar tai

minimumo, ar maksimumo taškai.

Patikrina, ar duotasis taškas yra duotos


Argumentuotai naudoja sąvokas: kritinis

taškas, ekstremumo taškas, maksimumo

taškas, minimumo taškas, ekstremumas,

maksimumas, minimumas. Teisingai

pasirenka ir racionaliai naudojasi

funkcijos išvestine, tirdami funkcijas.


didžiausią (mažiausią)

reikšmę duotame uždarajame

intervale.

Paprastais atvejais apskaičiuoja

funkcijos didžiausią (mažiausią)

reikšmę duotame uždarajame

intervale.

Nesudėtingais atvejais apskaičiuoja

funkcijos didžiausią (mažiausią) reikšmę

duotame uždarajame intervale.

Argumentuoja sprendimą.

Išsamiai ir nuosekliai tiria funkcijos

kritinius taškus, daro galutines tikslias ir

logiškas išvadas apie funkcijos didžiausią

(mažiausią) reikšmę duotame uždarajame

intervale.

7.3.5. Tirti funkcijas,

išreikštas ne aukštesnio kaip

ketvirtojo laipsnio

daugianariais, ir brėžti jų

grafikų eskizus duotame

intervale.

Pasirenka reikalingas strategijas

konkrečios funkcijos tyrimui, išsamiai,

nuosekliai, argumentuotai tiria funkcijas,

išreikštas ne aukštesnio kaip ketvirtojo

laipsnio daugianariais, ir brėžia jų grafikų

eskizus duotame intervale.

7.3.6. Gebėti nesudėtingą

realią ir matematinę situaciją

modeliuoti funkcija bei

remiantis išvestine

apskaičiuoti šios funkcijos

didžiausią (mažiausią)

reikšmę.

Paprasčiausią realią ar matematinę

situaciją aprašo funkcija ir

remdamasis išvestine apskaičiuoja

šios funkcijos didžiausią (mažiausią)

reikšmę, argumento reikšmę, su

kuria funkcija įgyja didžiausią

(mažiausią) reikšmę.

Paprastą realią ar matematinę situaciją

aprašo funkcija ir remdamasis išvestine

apskaičiuoja šios funkcijos didžiausią

(mažiausią) reikšmę.

Nesudėtingą realią ir matematinę situaciją

modeliuoja funkcija ir remdamasis

išvestine apskaičiuoja šios funkcijos

didžiausią (mažiausią) reikšmę.

Kalba netaisyta

45

7.3.7. Žinoti, kad kelio

funkcijos išvestinė yra

momentinio greičio funkcija,

o momentinio greičio


momentinio pagreičio

funkcija, ir spręsti

nesudėtingus judėjimo

uždavinius.

Žino, kad kelio funkcijos išvestinė

yra momentinio greičio funkcija, o

momentinio greičio funkcijos

išvestinė yra momentinio pagreičio

funkcija, ir sprendžia paprasčiausius

judėjimo uždavinius.

Supranta, kad kelio funkcijos išvestinė yra

momentinio greičio funkcija, o

momentinio greičio funkcijos išvestinė yra

momentinio pagreičio funkcija, ir

sprendžia paprastus judėjimo uždavinius.

Argumentuotai pagrindžia, kad kelio

funkcijos išvestinė yra momentinio greičio

funkcija, o momentinio greičio funkcijos

išvestinė yra momentinio pagreičio

funkcija, ir sprendžia nesudėtingus

judėjimo uždavinius.




7.1. Suprasti funkcijos išvestinės sąvoką.

7.1.1. Žinoti, kaip apskaičiuoti

tolydžios funkcijos argumento ir

jos reikšmių pokytį, kaip galima

įvertinti funkcijos kitimo greitį

duotame intervale. Pavyzdžiais

iliustruoti, kad argumento

pokyčiui artėjant prie nulio

tolydžiosios funkcijos pokytis

artėja prie nulio. Pavyzdžiais

iliustruoti funkcijos ribos sąvoką.

Raskite funkcijos f(x) = 2x – 1 pokytį,

kai argumentas padidėja nuo 3 iki 4. Apskaičiuokite f(x), kai ( ) .

Ištirkite, prie kokio skaičiaus artėja

funkcijos

( )

| | reikšmės, kai .

7.1.2. Žinoti funkcijos išvestinės

apibrėžimą (prasmę). Paaiškinti

funkcijos išvestinės geometrinę ir

fizikinę interpretaciją, pateikti

pavyzdžių.

Kūnas juda pagal dėsnį .

Raskite kūno greitį po 3 sekundžių.

Nustatykite funkcijos f(x) = 2x + 1

liestinės taške x = 1 posvyrį.

Taške x = 1 nustatykite funkcijos f(x) =

x² liestinės posvyrį.

7.2. Apskaičiuoti įvairių funkcijų išvestines.

7.2.1. Žinoti ir naudoti funkcijų,

išreikštų formulėmis ( – bet

koks), išvestinių

Raskite išvestines:

a) ;

b) ;

c) ;

Apskaičiuokite funkcijos išvestinę:

a) ( ) ;

b) ( ) √ ,

Remdamiesi išvestinės apibrėžimu,

raskite funkcijų f(x) = kx + b, f(x) = ax²

+ c, f(x) = ax³ + c išvestines.

Kalba netaisyta

46

skaičiavimo formules.

7.2.2. Remiantis išvestinės

apibrėžimu, apskaičiuoti tiesinės,

kvadratinės, kubinės funkcijų

išvestinių reikšmes nurodytuose

taškuose.

d)

c) ( )

;

d) ( ) ;

e) ( ) .

7.2.3. Mokėti taikyti funkcijų

sumos (skirtumo), sandaugos iš

skaičiaus, funkcijų sandaugos,

santykio, sudėtinės funkcijos

išvestinių skaičiavimo taisykles.

Raskite funkcijos išvestinę:

a) ( ) ,

b) ( )

,

c) ( ) ,

d) ( ) .

1. Raskite funkcijos išvestinę:

a) ( )

;

b) ( ) ;

c) ( )

;

d) ( )

( ).

1. Raskite funkcijos išvestinę:

a) ( ) √

√ ;

b) ( )

( );

c) ( )

;

d) ( ) .



taške; rasti taškus, kuriuose

išvestinė įgyja nurodytą reikšmę.

Apskaičiuokite (

), kai ( )

.

1. Apskaičiuokite (

) (

), kai

( ) .

2. Raskite x reikšmes, su kuriomis

funkcijos f(x) = 2sinx – 1 išvestinė lygi

nuliui.

Su kuriomis argumento reikšmėmis

funkcijos ( ) √ išvestinė

lygi 8?

7.2.5. Apskaičiuoti išvestines,

pertvarkant paprastus

algebrinius, trigonometrinius,

rodiklinius ir logaritminius

reiškinius.

Suprastinę funkcijos išraišką, raskite

( ), kai ( ) ( )( ). Suprastinę reiškinį

, raskite

funkcijos ( )

išvestinę.

Suprastinę reiškinį

, raskite

funkcijos ( )

išvestinę.

7.3. Nesudėtingais atvejais taikyti funkcijų išvestines matematinio ir praktinio turinio uždaviniams spręsti, naudojantis turimomis IKT.

7.3.1. Sieti funkcijos išvestinės

reikšmę duotame taške su

funkcijos grafiko liestinės

krypties koeficientu (y = k x + b,

( ) ; α – kampo

tarp liestinės ir Ox ašies

didumas) ir parašyti funkcijos

grafiko liestinės duotame taške

lygtį. Sprendžiant funkcijos

grafiko liestinės uždavinius,

Tiesė liečia funkcijos ( )

grafiką taške, kurio abscisė .

Raskite lietimosi taško ordinatę ir

liestinės krypties koeficientą.

Raskite kreivės tašką,

per kurį nubrėžta jos liestinė su x ašimi

sudaro 45º kampą. Parašykite liestinės

lygtį tame taške.

1. Duota funkcija ( ) .

Per tašką ( ) nubrėžta liestinė

yra lygiagreti su tiese .

Raskite lietimosi taško koordinates.

2. Įrodykite, kad funkcijos ( ) grafiko liestinės, nubrėžtos

per taškus , yra

statmenos.

Kalba netaisyta

47

taikyti žinias apie lygiagrečiąsias

ir statmenąsias tieses.

7.3.2. Žinoti funkcijos reikšmių

didėjimo (mažėjimo) požymius ir

jais remiantis nustatyti funkcijos

reikšmių didėjimo (mažėjimo)

intervalus.


didėjimo ir mažėjimo intervalus. Raskite funkcijos ( )


Duota funkcija ( ) ( ). Raskite:

1) apibrėžimo sritį;

2) didėjimo ir mažėjimo intervalus.

7.3.3. Naudojantis funkcijos

išvestine rasti funkcijos kritinius

taškus, ekstremumo taškus,

funkcijos ekstremumus,

funkcijos grafiko ekstremumus,

nustatyti, ar tai minimumo, ar

maksimumo taškai. Patikrinti, ar

duotasis taškas yra duotosios


Duota funkcija ( ) . Raskite

funkcijos:


2) išvestinę;

3) kritinius taškus;

4) mažėjimo ir didėjimo intervalus;

5) ekstremumo taškus;

6) ekstremumus.

Duota funkcija ( )

. Raskite

funkcijos:


2) kritinius taškus;

3) mažėjimo (ar didėjimo) intervalą;

4) ekstremumus.

Duota funkcija ( ) . Raskite

funkcijos ekstremumų taškus ir

ekstremumus.

7.3.4. Apskaičiuoti didžiausią

(mažiausią) funkcijos reikšmę

duotame uždarajame intervale.


didžiausią ir mažiausią reikšmę

intervale [0;3]

Raskite didžiausią ir mažiausią

funkcijos ( ) √ reikšmę

intervale [– 4; 3].

Raskite didžiausią ir mažiausią

funkcijos ( ) reikšmę

intervale [

].

7.3.5. Tirti funkcijas, išreikštas

ne aukštesnio kaip ketvirtojo

laipsnio daugianariais, ir brėžti jų

grafikų eskizus duotame

intervale.

Ištirkite funkciją ( )

ir nubraižykite jos grafiką.

7.3.6. Nesudėtingą praktinę ir

matematinę situaciją modeliuoti

funkcija, apskaičiuoti didžiausią

(mažiausią) funkcijos reikšmę

taikant šios funkcijos išvestinę.

Raskite du skaičius, kurių skirtumas

būtų 28, o sandauga būtų didžiausia.

Iš 80 cm ilgio vielos išlankstyto

stačiakampio plotas didžiausias.

Raskite tą plotą.

Reikia pagaminti atvirą ritinio formos

baką, kurio tūris būtų lygus 8 m3. Kokie

turi būti bako pagrindo spindulys x ir

aukštinė H, kad gaminant būtų

sunaudota mažiausiai metalo?

7.3.7. Žinoti, kad kelio funkcijos

išvestinė yra momentinio greičio Taškas juda tiese pagal dėsnį ( ) . Atstumas matuojamas

Materialusis taškas juda pagal dėsnį

( ) . Kokiu laiko

Materialusis taškas juda tiesiaeigiškai

pagal dėsnį ( )

Kalba netaisyta

48

funkcija, o momentinio greičio


momentinio pagreičio funkcija, ir

spręsti nesudėtingus judėjimo

uždavinius.

metrais, laikas – sekundėmis.

Apskaičiuokite taško greitį ir pagreitį po

trijų sekundžių.

momentu jo greitis bus 6 m/s? Koks

pagreitis bus tuo laiko momentu?

(m). Raskite:

a) laiko momentą t (laikas matuojamas

sekundėmis), kai taško pagreitis lygus

nuliui;

b) greitį, kuriuo taškas juda tuo laiko

momentu.

8 modulis. Integralinis skaičiavimas. Algebros ir analizės pradmenų žinių sisteminimas

Pasiekimų lygiai


8.1. Suprasti funkcijos pirmykštės funkcijos apibrėžimą ir apskaičiuoti apibrėžtinį integralą.

Žino pirmykštės funkcijos apibrėžimą.

Paprastais atvejais moka patikrinti, ar viena

funkcija yra kitos pirmykštė.

Supranta, kad kiekviena funkcija turi be galo daug

pirmykščių funkcijų. Nesudėtingais atvejais

pagrindžia, kad viena funkcija yra kitos pirmykštė.

Teisingai naudoja matematinius simbolius.

Argumentuoja pirmykščių funkcijų aibės

daugiareikšmiškumą.

Žino pirmykščių funkcijų radimo taisykles.

Taiko jas paprastais atvejais.

Supranta pirmykščių funkcijų radimo taisykles, moka

jas taikyti nesudėtingais atvejais.

Suformuluoja ir pagrindžia pirmykščių funkcijų

radimo taisykles.

Žino Niutono–Leibnico formulę ir moka ją

taikyti paprastais atvejais.

Supranta sąvokas: kreivinė trapecija, apibrėžtinis

integralas, integravimo rėžiai, integruojamasis

reiškinys.

Žino Niutono–Leibnico formulės geometrinę prasmę.

Nesudėtingais atvejais apskaičiuoja apibrėžtinį

integralą.

Pagrindžia apibrėžtinio integralo ryšį su kreivinės

trapecijos plotu.

Formuluoja apibrėžtinio integralo savybes ir jas

pagrindžia.

8.2. Nesudėtingais atvejais taikyti žinias apie pirmykštę funkciją bei apibrėžtinį integralą matematinio bei realaus turinio problemoms spręsti.

Taiko apibrėžtinius integralus paprastų

kreivinių figūrų plotams apskaičiuoti.

Taiko apibrėžtinius integralus nesudėtingų kreivinių

figūrų plotams apskaičiuoti.

Taiko apibrėžtinius integralus probleminiams


8.3. Taikyti skaičių, veiksmų su skaičiais, vieno ar kelių kintamųjų reiškinių savybes sprendžiant uždavinius, naudotis turimomis IKT.

Žino veiksmų su skaičiais savybes ir moka

jomis naudotis skaičiavimams supaprastinti.

Apskaičiuoja skaitinių reiškinių reikšmes.

Paverčia dešimtaines periodines trupmenas

paprastosiomis ir atvirkščiai, palygina

realiuosius skaičius.

Paprasčiausiais atvejais įvertina skaičiavimo rezultatų

absoliučiąją, santykinę paklaidas. Paaiškina sąvokas:

aibių sąjunga, sankirta.

Paprastais atvejais randa aibių poaibį, papildinį.

Taiko procentus praktinio ir matematinio turinio


Kalba netaisyta

49

Atlieka apytikslius skaičiavimus nurodytu

tikslumu.

Žino skaičiaus modulio apibrėžimą. Taiko jį

pertvarkant paprastus reiškinius.

Sprendžia paprasčiausias lygtis ir

nelygybes su moduliais.

Taiko modulio apibrėžimą ir savybes pertvarkant

nesudėtingus reiškinius.

Sprendžia paprastas lygtis ir nelygybes su moduliais.

Taiko modulio apibrėžimą ir savybes braižant

nesudėtingų funkcijų grafikus.

Sprendžia nesudėtingas lygtis ir nelygybes su

moduliais.

Apskaičiuoja algebrinių reiškinių reikšmes bei

dydžių reikšmes pagal nurodytą formulę.

Atlieka veiksmus su daugianariais

ir algebrinėmis trupmenomis.

Taiko greitosios daugybos formules: ( )

ir .

Taiko formules ( ) ir paprastiems

reiškiniams prastinti.

Taiko formules ( ) ir nesudėtingiems

reiškiniams prastinti.

Atkuria sekos narius pagal sekos n-tojo nario

formulę. Apibrėžia aritmetinę ir geometrinę

progresiją. Žino ir taiko n-tojo nario ir pirmųjų

n narių sumos formules sprendžiant paprastus

uždavinius.

Atkuria sekos narius pagal rekurentinę formulę. Įrodo

n-tojo nario ir pirmųjų n narių sumos formules, taiko

jas sprendžiant nesudėtingus uždavinius.

Užrašo paprastos sekos n-tojo nario formulę. Taiko

nykstamosios geometrinės progresijos sumos formulę.

Sieja progresijas su paprastųjų ir sudėtinių palūkanų

skaičiavimu.

8.4. Taikyti funkcijų savybes matematinio bei realaus turinio problemoms spręsti. Naudotis turimomis IKT.

Nustato funkcijos apibrėžimo sritį, reikšmių

sritį, funkcijos reikšmių didėjimo ir mažėjimo

intervalus, funkcijos lyginumą, ekstremumo

taškus, didžiausią ir mažiausią funkcijos

reikšmę duotajame intervale ir jomis naudojasi

sprendžiant paprastus uždavinius.

Geba paprastais atvejais patikrinti, ar funkcija yra

atvirkštinė duotajai funkcijai.

Taiko ryšį tarp funkcijos ir jai atvirkštinės funkcijos

grafikų, spręsdamas paprastus uždavinius.

Braižo nesudėtingų funkcijų, apibrėžtų baigtiniame

intervale, grafikus ir atlieka funkcijų grafikų

transformacijas. Aprašo nesudėtingas matematines situacijas

naudodamasis funkcijomis.

Taiko rodiklinių ir logaritminių funkcijų

savybes uždavinių sprendimui argumentuoti.

Apskaičiuoja rodiklinių ir logaritminių

Sprendžia paprastas rodiklines ir logaritmines lygtis ir

nelygybes, dviejų lygčių su dviem kintamaisiais

sistemas, kurių viena lygtis yra rodiklinė arba

Sudaro ir sprendžia nesudėtingas rodiklines ir

logaritmines lygtis bei dviejų lygčių su dviem

kintamaisiais sistemas.

Kalba netaisyta

50

funkcijų reikšmes. Sprendžia paprasčiausias

lygtis ir nelygybes. logaritminė.

Apskaičiuoja trigonometrinių funkcijų

reikšmes.

Taiko to paties argumento trigonometrinių

funkcijų sąryšius uždaviniams spręsti.

Apskaičiuoja atvirkštinių trigonometrinių

funkcijų reikšmes.

Redukuoja trigonometrines funkcijas.

Taiko dviejų kampų sumos ir skirtumo sinuso,

kosinuso ir tangento formules bei jų išvadas

nesudėtingiems reiškiniams pertvarkyti,

trigonometrinių funkcijų reikšmėms apskaičiuoti.

Sprendžia paprastas trigonometrines lygtis ir

nelygybes.

Braižo trigonometrinių funkcijų grafikus ir juos

transformuoja.

Įrodo to paties argumento trigonometrinių funkcijų

sąryšius.

Sprendžia nesudėtingas trigonometrines lygtis.

Supranta išvestinę kaip funkcijos reikšmių

kitimo greitį ir taiko šią sampratą

nesudėtingiems uždaviniams spręsti.

Užrašo funkcijos grafiko liestinės taške lygtį.

Taiko laipsninės, rodiklinės, logaritminės,

tiesioginių trigonometrinių funkcijų išvestinių

formules ir funkcijų sumos, skirtumo,

sandaugos, santykio, sudėtinės funkcijos

išvestinių skaičiavimo taisykles.

Užrašo funkcijos grafiko liestinės taške lygtį ir taiko ją


Atlieka funkcijos tyrimą ir jį argumentuoja.

Taiko išvestines braižant funkcijų grafikus ir

sprendžiant paprastas problemas.




8.1. Suprasti funkcijos pirmykštės funkcijos apibrėžimą ir apskaičiuoti apibrėžtinį integralą.

8.1.1. Žinoti, kad duotosios

funkcijos pirmykštės funkcijos

išvestinė lygi duotajai funkcijai.

Suprasti, kodėl pirmykščių

funkcijų aibė yra begalinė.

Raskite funkciją f(x), kai jos pirmykštė:

a) ( ) ;

b) ( ) ;

c) ( )

.

Raskite funkciją f(x), kai jos

pirmykštė:

a) ( ) √ ;

b) F( ) √ ;

c) F(x) =

√ .

Raskite funkciją f(x), kai jos pirmykštė:

a) ( ) √ ;

b) ( ) √ ;

c) F(x) =

.

8.1.2. Žinoti funkcijų, išreikštų

daugianariais, pirmykščių

funkcijų radimo taisykles.

Raskite funkcijos ( ) kurią nors pirmykštę funkciją F(x).

Funkcijos f(x) pirmykštės funkcijos

F(x) grafikas eina per tašką M(0;3).

Raskite F(x), kai ( ) .

Raskite funkcijos ( ) ( )

pirmykštes funkcijas G(x).

Kalba netaisyta

51

8.1.3. Žinoti ir naudoti Niutono

– Leibnico formulę

apibrėžtiniam integralui

apskaičiuoti.

Apskaičiuokite

∫ ( )

.

Apskaičiuokite

∫

.

Apskaičiuokite

∫ √

.

8.2. Nesudėtingais atvejais taikyti žinias apie pirmykštę funkciją bei apibrėžtinį integralą matematinio bei realaus turinio problemoms spręsti.

8.2.1. Taikyti apibrėžtinius

integralus nesudėtingų kreivinių

figūrų plotams apskaičiuoti.

Apskaičiuokite figūros plotą, kai ją

riboja funkcijų ir y = 0

grafikai.

Nubrėžkite brėžinį, apskaičiuokite

figūros plotą, kai ją riboja funkcijų

ir grafikai.

Figūra apribota parabole ir tiese y = 0. Parabolė ( ) figūrą dalija į dvi dalis. Raskite

tų dalių plotų santykį.

8.3. Taikyti skaičių, veiksmų su skaičiais, vieno ar kelių kintamųjų reiškinių savybes sprendžiant uždavinius, naudotis turimomis IKT.

8.3.1. Mokėti atlikti skaičių

aibių veiksmus.

8.3.2. Taikyti aritmetinės ir

geometrinės progresijų savybes

sprendžiant praktinius ir

matematinius uždavinius.

8.3.3. Apskaičiuoti reiškinių

skaitines reikšmes ar dydžio

reikšmes pagal nurodytą

formulę.

8.3.4. Taikyti veiksmų su

laipsniais, veiksmų su n-tojo

laipsnio šaknimis, skaičiaus

logaritmo savybes sprendžiant

skaičiavimo, reiškinių

pertvarkymo ir palyginimo

uždavinius.

1. Suprastinkite reiškinį:

.

2. Apskaičiuokite:

a) √ √

;

b) ;

c) ( )

, kai .


( )

(

( )

)

2. Apskaičiuokite:

( ) ((

) )

( ) √ .

3. Apskaičiuokite:

a) √( √ ) √( √ )

√ ;

b) ( ) ;

c) (

), kai

√

ir

.


)

;

b) √ ( ) √

.

2. Apskaičiuokite:

a) (

√ )

√

√ ;

b) (

)

;

c) √ ( )

.

8.3.5. Mokėti spręsti

kvadratines, racionaliąsias ir

paprastas iracionaliąsias lygtis,

1. Išspręskite lygtis ir lygčių sistemas:

1. Išspręskite lygtis ir lygčių sistemas:

a)

;

Išspręskite lygtis ir lygčių sistemas:

a)

;

Kalba netaisyta

52

lygtis su moduliu ir lygtis,

kurias galima perrašyti kaip

( ) ( ) , ( )

( ) ;

( ), ( ) – ne aukštesnio negu

antrojo laipsnio daugianaris.

8.3.6. Mokėti spręsti kvadratines

ir nesudėtingas racionaliąsias

nelygybes, paprastas nelygybes

su moduliu.

8.3.7. Mokėti spręsti dviejų

nelygybių su vienu nežinomuoju

ir lygčių su dviem

nežinomaisiais sistemas.

8.3.8. Mokėti aprašyti lygtimis,

nelygybėmis ir jų sistemomis

paprastas matematinio ir

praktinio turinio situacijas.

a)

;

b) √ ;

c) {

d) √ √

(

) ;

e) ( ) ;

f)

√ .

2. Išspręskite nelygybes ir nelygybių sistemas:

a) {

;

b) ;

c)

;

d) ( ) .

b) √ ;

c) {

d) | |; e) ;

f) ( )

;

g) .


a)

;

b) | | ;

c) ;

d) ( ) ( ) .

b) √ √ ;

c) {

d) | |

| | ;

e) ;

f)

;

g) .


a)

;

b) | | ;

c) ;

d)

√ ;

e) √ .

8.4.1. Atpažinti funkciją iš

formulės ar grafiko.

8.4.2. Pagrįsti būdingus funkcijų

bruožus, nustatyti jų sąryšius ar

dėsningumus.

8.4.3. Atpažinti funkcijos

{ ( )

( )

grafiko eskizą ir paprastais

atvejais juo remtis

8.4.6. Tikslingai naudotis IKT

teikiamomis galimybėmis.

1. Tiesinės funkcijos

f(x) = – 2,5x + b grafikas eina per

tašką A(–2; 3). Raskite koeficientą b.

2. Raskite funkcijos ( ) ( ) apibrėžimo sritį.

3.Nubrėžkite funkcijos

( ) √ grafiką. Išvardykite jo

savybes.

1. Per tašką A(2; 2) nubrėžta tiesė, lygiagreti

tiesei, einančiai per taškus B(1; 4) ir C(–1; –

2). Užrašykite abiejų tiesių lygtis.

2. Raskite funkcijos ( ) √


3. Raskite funkcijos ( )

atvirkštinę funkciją.

4. Nustatykite funkcijos ( )

lyginumą.

5. Nubrėžkite funkcijos ( ) √

grafiką ir išvardykite jo savybes.

1. Užrašykite lygtį tiesės, kuri eina per

tašką M(– 4; 1) ir yra statmena tiesei y

= 1,2x – 6.




atvirkštinę funkciją.

4. Nustatykite, ar funkcija ( ) yra didėjanti ar mažėjanti.

5. Nubrėžkite funkcijos ( )

√ grafiką ir išvardykite jo

savybes.

8.4.4. Nesudėtingą praktinę ir

matematinę situaciją modeliuoti

funkcija.

8.4.5. Remtis funkcijos ir

1. Raskite išvestinę: ( ) .

2. Funkcijos ( )

grafikui nubrėžta liestinė taške

1. Raskite išvestinę: ( ) √

.

2. Parašykite liestinės lygtį funkcijos

( ) ( ) grafikui taške .


1. Raskite išvestinę: ( ) .

2. Parašykite funkcijos f(x) = ln(3x +

2) grafiko liestinės, lygiagrečios tiesei

y = x + 4, lygtį.

Kalba netaisyta

53

funkcijos išvestinės savybėmis

sprendžiant praktinio ir

matematinio turinio uždavinius.

. Raskite liestinės krypties

koeficientą.

3. Raskite funkcijos

( ) ekstremumus.

4. Skaičių 10 išskaidykite į du

teigiamus dėmenis taip, kad jų

sandauga būtų didžiausia.

ekstremumus.

4. Reikia tvora aptverti 294 m² ploto

stačiakampio formos žemės sklypą ir tvora jį

padalyti į dvi lygias dalis. Kokio ilgio ir

pločio turėtų būti žemės sklypas, kad tvorai

būtų sunaudota mažiausiai medžiagų?


ekstremumus.

4. Reikia pagaminti kūgio formos

piltuvėlį, kurio sudaromoji 15 cm.

Apskaičiuokite, koks turi būti

piltuvėlio aukštis, kad piltuvėlio tūris

būtų didžiausias.

9 modulis. Vektoriai. Geometrijos žinių sisteminimas

Pasiekimų lygiai


9.1. Naudotis vektoriaus sąvoka ir veiksmų savybėmis sprendžiant paprastus bei įrodymo uždavinius.

Suvokia vektorių kaip kryptinę atkarpą.

Nustato vektoriaus, pavaizduoto koordinačių

plokštumoje, koordinates. Pavaizduoja vektorių

koordinačių plokštumoje, kai žinomos

vektoriaus koordinatės.

Supranta vektoriaus ilgį kaip atkarpos ilgį.

Moka apskaičiuoti vektoriaus ilgį, kai žinomos


Sprendžia paprasčiausius uždavinius.

Žino vektoriaus apibrėžimą. Supranta, kas yra

koordinatinis vektorius (koordinačių ašies vienetinis

vektorius), nulinis vektorius, vietos vektorius.

Apskaičiuoja vektoriaus koordinates, kai žinomos

vektoriaus pradžios ir galo taškų koordinatės.

Žino taško ir jo vietos vektoriaus koordinačių ryšį.

Erdvinėje koordinačių sistemoje pavaizduoja vektorių.

Sprendžia paprastus uždavinius.

Laisvai operuoja sąvokomis: vektorius, vektoriaus

koordinatės, vektoriaus ilgis.

Sprendžia nesudėtingus uždavinius.

Grafiškai vaizduoja kolinearius vektorius.

Grafiškai pavaizduoja vektorių sudėtį pagal

lygiagretainio ar trikampio taisyklę.

Žino, kaip užrašomi veiksmai koordinatėmis ir

moka juos atlikti. Sprendžia paprasčiausius

uždavinius.

Grafiškai pavaizduoja vektorių atimtį. Paprastais

atvejais iš brėžinio išreiškia vieną vektorių kitais.

Apibrėžia sąvokas: kolinearieji vektoriai, vienakrypčiai

vektoriai, preišpriešiniai vektoriai, priešingieji

vektoriai, lygūs vektoriai.

Supranta, kad lygių vektorių atitinkamos koordinatės

lygios.

Supranta ir taiko vektorių kolinearumo sąlygą, kai

vektoriai užrašyti koordinatėmis.


Formuluoja vektorių sumos, skirtumo taisykles.

Formuluoja ir pagrindžia vektorių kolinearumo sąlygą.


Supranta kampo tarp vektorių sąvoką.

Žino vektorių skaliarinės sandaugos

apibrėžimą.

Apibrėžia kampą tarp vektorių. Formuluoja vektorių

skaliarinės sandaugos apibrėžimą.

Žino skaliarinės sandaugos savybes, taiko jas

Moka įrodyti vektorių, išreikštų koordinatėmis,

skaliarinės sandaugos radimo taisyklę.

Pagrindžia veiksmų su vektoriais, išreikštais

Kalba netaisyta

54

Moka apskaičiuoti vektorių skaliarinę

sandaugą, kai žinomi tų vektorių ilgiai ir

kampo tarp vektorių didumas.

Moka apskaičiuoti vektorių, išreikštų

koordinatėmis, skaliarinę sandaugą.


paprastiems uždaviniams spręsti. koordinatėmis, taisykles.

Taiko vektorius nesudėtingiems skaičiavimo ir

įrodymo uždaviniams spręsti. Kūrybingai ir originaliai

pasirenka ir derina sprendimo strategijas.

9.2. Taikyti plokštumos geometrijos žinias stereometrijoje.

Žino ir taiko figūrų perimetro ir ploto savybes

sprendžiant uždavinius.

Žino ir taiko trikampio kampų sumos, Pitagoro

ir jai atvirkštinę teoremas.

Apibrėžia trikampių lygumą, panašumą bei

taiko trikampių lygumo ir panašumo požymius


Įrodo trikampio kampų sumos, Pitagoro, sinusų ir

kosinusų teoremas.

Taiko įbrėžto į trikampį ir apibrėžto apie trikampį

apskritimo savybes uždaviniams spręsti.

Įrodo trikampio ploto formules, išreiškiančias plotą

pagrindu ir aukštine arba dviem kraštinėmis ir kampu

tarp jų.

Įrodo trikampio kampų sumos teoremą,

Pitagoro teoremą ir jai atvirkštinę teoremą, trikampio

vidurio linijos savybes, pusiaukraštinių savybes,

pusiaukampinių savybes.

Žino ir taiko trikampio ploto formules,

išreiškiančias plotą pagrindu ir aukštine arba

dviem kraštinėmis ir kampu tarp jų. Žino ir

taiko pagrindines lygiagretainio, rombo,

stačiakampio, kvadrato ir trapecijos savybes ir

jų plotų formules.

Žino įbrėžto į apskritimą ir apibrėžto apie apskritimą

keturkampio pagrindines savybes ir taiko jas


Įrodo pagrindines stačiakampio, kvadrato,

lygiagretainio, rombo ir trapecijos savybes.

Įrodo lygiagretainio, trapecijos ploto formules.

Žino ir paprastais atvejais taiko įbrėžtinių

kampų, centrinių kampų, apskritimo liestinių

savybes.

Įrodo, kad įbrėžtinių kampų, besiremiančių į tą patį

lanką, didumai yra lygūs.

Įrodo, kad įbrėžtinis kampas, kuris remiasi į skersmenį,

yra statusis.

Supranta ir nesudėtingais atvejais taiko įbrėžtinių

kampų, apskritimo stygų, liestinių savybes.

Įgudęs taikyti apskritimo liestinių ir kirstinių savybes.

Žino tiesės ir plokštumos lygiagretumo, tiesės

ir plokštumos bei plokštumų statmenumo,

kampo tarp tiesės ir plokštumos sąvokas,

atstumo tarp taškų, tarp lygiagrečių tiesių ir

plokštumų sąvokas, atstumo tarp taškų, tarp

lygiagrečių tiesių ir plokštumų sąvokas, žino jų

Apibrėžia tiesės ir plokštumos lygiagretumo, tiesės ir

plokštumos statmenumo bei plokštumų lygiagretumo ir

statmenumo, kampo tarp tiesės ir plokštumos sąvokas,

atstumo tarp taškų, tarp lygiagrečių tiesių ir plokštumų

sąvokas, supranta jų savybes ir moka jas taikyti

sprendžiant nesudėtingus uždavinius.

Įrodo trijų statmenų teoremą ir jai atvirkštinę teoremą.

Taiko jas argumentuodamas sprendimo žingsnius.

Apibrėžia tiesės ir plokštumos statmenumo požymį ir

geba jį taikyti sprendžiant uždavinius..

Kalba netaisyta

55

savybes ir moka jas taikyti sprendžiant

paprastus uždavinius.

Paprastais atvejais apskaičiuoja prizmių,

piramidžių, kūgių, ritinių, rutulių paviršių

plotus ir tūrius.

Apskaičiuoja erdvinių kūnų ir paprasčiausių jų

junginių paviršiaus plotą ir tūrį.

Pavaizduoja įvairių kūnų paprastus pjūvius


Teisingai pasirenka reikalingas strategijas, atrenka ir

įvertina pateiktus ir gautus duomenis, nuosekliai ir

išsamiai argumentuoja užduoties sprendimą.

9.3. Taikyti trigonometriją geometrijoje.

Žino ir taiko trikampio ploto formules,

išreiškiančius plotą dviem kraštinėmis ir kampu

tarp jų.

Žino ir paprasčiausiais atvejais taiko sinusų ir

kosinusų teoremas.

Supranta ir taiko sinusų ir kosinusų teoremas. Įrodo trikampio ploto formulę, išreiškiančią plotą

dviem kraštinėmis ir kampu tarp jų.

Įrodo sinusų ir kosinusų teoremas.




9.1. Naudotis vektoriaus sąvoka ir veiksmų savybėmis sprendžiant paprastus bei įrodymo uždavinius.

9.1.1. Apibrėžti vektorių kaip

plokštumos (erdvės) kryptinę

atkarpą. Išreikšti vektorių

koordinatėmis ( ( ),

; ( ),

), apskaičiuoti jo ilgį.

1. Kiek skirtingų vektorių gausite

jungdami rombo viršūnes po dvi?

Pavaizduokite brėžiniu ir išvardykite

vektorius.

2. Apskaičiuokite vektoriaus NM

koordinates ir ilgį, kai M(1; –2), N(–3;

1).

1. kiek viršūnių turi daugiakampis, jei

sujungę jo viršūnių poras gausime 6

vektorius. Išvardykite vektorius

(nepamirškite priešpriešių vektorių).

2. Raskite vektoriaus ilgį, jei

.

1. Pavaizduokite figūrą, sudarytą iš

kvadrato ABCD ir lygiakraščio trikampio

DCE. Surašykite : a) vienakrypčius

vektorius; b) priešpriešius vektorius; c)

lygius vektorius; d) vienodo ilgio

vektorius.

9.1.2. Žinoti, kaip vektorių

veiksmai atliekami geometriškai

(plokštumoje arba erdvėje) ir

kaip užrašomi veiksmai

koordinatėmis. Mokėti užrašyti

ir taikyti vektorių lygiagretumo

1. Atlikite vektorių veiksmus ,

,

1. Duoti vektoriai :

Nubrėžkite vektorius: ,

1.Vektoriai ir yra

nekolinearūs. Nubrėžkite vektorių .

2. Trikampio ABC pusiaukraštinių

vektorius ,

, išreikškite

trikampio kraštinių vektoriais ir .

3. Keturkampio kraštinės sutampa su

vektoriais , , ( ).

Kalba netaisyta

56

(kolinearumo) sąlygą.

2. Parašykite vektoriaus koordinates,

kai ( ).

. 2. Lygiagretainio ABCD taškas K yra

kraštinės BC vidurio taškas, o P –

kraštinės CD vidurio taškas. Vektorių

išreikškite vektoriais ir .

3. Parašykite vektoriaus

koordinates, kai

( ) ( ).

4. Patikrinkite, ar vektoriai

( ) ( ) yra kolinearūs.

5. Raskite tokius skaičius m ir n , kad

vektoriai ( ) ( ) būtų

kolinearūs.

Nustatykite keturkampio rūšį ir

apskaičiuokite su jo įstrižainėmis

sutampančių vektorių koordinates.

4. Su kuriomis m reikšmėmis vektoriai

( ) ir ( ( ) ( ))

yra: a) priešingi? b) priešpriešiai?

9.1.3. Žinoti vektorių skaliarinės

sandaugos savybes, taikyti jas

paprastiems praktinio ir

matematinio turinio uždaviniams

spręsti.

1.Apskaičiuokite vektorių ( ) ir

( ) skaliarinę sandaugą.

Apskaičiuokite kampo tarp vektorių

( ) ir ( ) didumą 1

tikslumu.

Apskaičiuokite kampą tarp vektorių ,

kai | | | |, o vektoriai ir

yra statmeni.

9.1.4. Taikyti vektorius

nesudėtingiems skaičiavimo ir

įrodymo uždaviniams spręsti.

1. Remdamiesi vektoriais, įrodykite, kad

trapecijos vidurinė linija lygiagreti

pagrindams ir lygi jų sumos pusei.

2. Remdamiesi vektoriais, apskaičiuokite

kampo tarp stačiakampio gretasienio

gretimų šoninių sienų įstrižainių, turinčių

bendrą pradžią, sinusą, jei stačiakampio

gretasienio ilgis lygus 7 cm, plotis – 5 cm,

aukštis – 10 cm.

9.2. Taikyti plokštumos geometrijos žinias stereometrijoje.

9.2.1. Nesudėtingais atvejais

taikyti liestinės savybę,

įbrėžtinio ir apibrėžtinio

trikampio ir keturkampio /

taisyklingojo daugiakampio

Sodybos savininkas, norėdamas

nustatyti atstumą tarp dviejų tvenkinio

galų M ir N, išmatavo atstumus, kurie

pavaizduoti brėžinyje. Apskaičiuokite

atstumą MN, jei MNKL.

Vėjas nulaužė 16 m aukščio medį. Šio

medžio viršūnė liečia žemę 8 m atstumu

nuo kamieno pagrindo. Kokiame

aukštyje nulūžo medis?

Per trikampio ABC kraštinės AC tašką V

išvesta atkarpa TVBC ir atkarpa VUAB.

Kalba netaisyta

57

savybes.

9.2.2. Pagrįsti figūrų lygumą ir

panašumą.

9.2.3. Taikyti panašumo sąvoką

sprendžiat įvairius nesudėtingus

uždavinius, pagrindžiant ar

įrodant nesudėtingus teiginius.

9.2.4. Remtis Talio teoremos

įrodymo schema sprendžiant

įvairius nesudėtingus


įrodant nesudėtingus teiginius.

VUC ABC. Jų panašumo

koeficientas k.

a) Įrodykite, kad

.

b) Apskaičiuokite trikampio TBU

plotą, kai ,

.

Keturkampio kampai proporcingi

skaičiams 1, 2, 3, 4. Apskaičiuokite

keturkampio kampų didumus.

Kvadratas KLMN susideda iš vieno

viduryje esančio kvadrato ir keturių

stačiakampių. Kiekvieno stačiakampio

perimetras 400 mm. Kiek kvadratinių

centimetrų turi kvadrato KLMN plotas?

Stačiosios trapecijos vidurinės linijos

ilgis lygus 9 cm. Į trapeciją įbrėžto

apskritimo spindulys lygus 4 cm. Raskite

ilgesniojo trapecijos pagrindo ilgį.

Duoti trys skrituliai, kurių skersmenys 1

cm, 2 cm, 3 cm. Apskaičiuokite

pilkosios srities plotą.

Apvalios staltiesės krašto ilgis 3,454 m.

Apvalaus stalo skersmuo 5dm. Kiek

decimetrų staltiesės kraštai nukabę

žemyn nuo stalo paviršiaus?

(Laikykite, kad .)

Žiedą riboja du koncentriniai apskritimai,

į vidinį apskritimą įbrėžti septyni vienodi

skrituliai, kurių spinduliai r. Žiedo plotas

lygus visų septynių skritulių plotų

sumai. Įrodykite, kad žiedo plotis d lygus

vieno įbrėžtojo skritulio spinduliui r.

Kalba netaisyta

58

9.2.5. Paprastais atvejais

nustatyti/apskaičiuoti erdvinėje

figūroje kampo tarp tiesės ir

plokštumos, kampo tarp dviejų

plokštumų didumą.

9.2.6. Taikyti trijų statmenų

teoremą pagrindžiant teiginius

apie dvisienius kampus ir remtis

šios teoremos įrodymo schema

sprendžiant įvairius


Kampas tarp pasvirosios ir plokštumos

60º, pasvirosios ilgis 10 cm. Raskite

pasvirosios projekcijos ilgį.

Stačiojo trikampio statiniai 30 cm ir 40

cm. Iš šio trikampio stačiojo kampo

viršūnės iškeltas 70 cm statmuo

trikampio plokštumai. Apskaičiuokite

atstumą nuo statmens galo, nesančio

plokštumoje, iki ilgiausios trikampio

kraštinės.

Du lygiašoniai trikampiai KLM ir KMV

turi bendrą pagrindą KM, kurio ilgis 16

cm. Trikampių plokštumos sudaro 60º

kampą, KL = LM = 17 cm, KV VM, A –

atkarpos KM vidurio taškas.

a) Įrodykite, kad LAV = 60º.

b) Apskaičiuokite VM ilgį.

c) Apskaičiuokite atstumą tarp viršūnių

L ir V.

9.2.7. Pavaizduotose erdvinėse

figūrose paprastais atvejais

nustatyti/apskaičiuoti atstumą

tarp prasilenkiančiųjų tiesių,

kampo tarp prasilenkiančiųjų

tiesių didumą, atstumą tarp

tiesės ir jai lygiagrečios

plokštumos, atstumą tarp

lygiagrečių plokštumų.

1. Pavaizduoto kubo briauna 6 cm.

Nustatykite:

a) atstumą tarp lygiagrečių plokštumų

KLM ir ;

b) atstumą tarp tiesės ir

plokštumos KNM;

c) kampo tarp tiesės ir plokštumos

KNM didumą;

d) kampo tarp tiesių ir

didumą.

1. Statusis trikampis ABC yra

lygiašonis, AC = BC = √ . Plokštuma α eina per kraštinę AC. Kraštinė AB su

plokštuma α sudaro 30º kampą. Raskite

atstumą nuo viršūnės B iki plokštumos

α.

1. Per stačiojo trikampio ABC (B = 90º)

kraštinę AB eina plokštuma β, kurios

atstumas nuo taško C lygus 4 cm.

Apskaičiuokite kampą, kurį sudaro β

plokštuma su trikampio ABC plokštuma,

kai BC = 8 cm.

9.2.8. Apskaičiuoti Bendrosiose

programose išvardytų erdvinių

Ritinio, kurio aukštis 4 cm, pagrindo

spindulys 5 cm. Pavaizduokite ritinio

1. Kūgio tūris lygus 100 π dm², o jo pagrindo spindulys lygus 5 dm.

1. Ritinio šoninio paviršiaus išklotinė yra kvadratas. Raskite kampo, kurį

Kalba netaisyta

59

figūrų lygiagrečiųjų / ašinių

pjūvių plotus.

ašinį pjūvį ir lygiagretųjį pjūvį.

Apskaičiuokite gautųjų pjūvių plotus.

Raskite kūgio ašinio pjūvio plotą ir

perimetrą.

2. Taisyklingąją keturkampę piramidę kerta plokštuma, lygiagreti su

pagrindu ir dalijanti aukštinė santykiu

3:1, skaičiuojant nuo viršūnės.

Apskaičiuokite pjūvio plotą, kai

piramidės pagrindo briaunos ilgis 6

cm.

sudaro šio ritinio ašinio pjūvio

įstrižainė su pagrindo plokštuma, dydį.

2. Kūgį kerta pagrindui lygiagreti plokštuma, kurios atstumas nuo kūgio

viršūnės yra d. Kūgio pagrindo

spindulys R, o aukštinė H. Raskite

pjūvio plotą.

9.2.9. Taikyti erdvinių figūrų

paviršiaus ploto ir tūrio

formules.

Yra du stačiakampių gretasienių formos

akvariumai. Pirmojo pagrindas –

kvadratas su 25 cm kraštine. Iš jo

vanduo, kurio lygis buvo 30 cm,

perpiltas į antrąjį akvariumą. Antrojo

akvariumo pagrindo ilgis 50 cm, o

plotis 20 cm. Koks vandens lygis

antrajame akvariume? (Atsakymą

parašykite 1 cm tikslumu.)

Iškastas ritinio formos 30 km ilgio

tunelis, kurio skersmuo 6 m.

Apskaičiuokite, kiek kubinių metrų

grunto buvo iškasta (π 3,14).

Kokio aukščio kūgio formos kalną,

kurio pagrindas 20 ha, būtų galima

supilti iš šio grunto? Atsakymą

parašykite 1 m tikslumu.

2800 cm3 talpos kibiras, iki pusės

pripildytas vandens. Vandens paviršiaus

plotas 225 π cm2. Apskaičiuokite kibiro

viršaus ir dugno skersmenis, jei kibiro

aukštis lygus 12 cm.

Kiek kvadratinių decimetrų skardos buvo

sunaudota darant šį kibirą (atliekos

sudarė 2 paviršiaus ploto)?

9.3. Taikyti trigonometriją geometrijoje.

9.3.1. Įrodyti kosinusų teoremą,

sinusų teoremą, trikampio ploto

formulę

.

9.3.2. Remtis kosinusų, sinusų

teoremų įrodymo būdais


nesudėtingus uždavinius,

pagrindžiant ar įrodant

nesudėtingus teiginius.

Lygiagretainio MNKP įstrižainė MK su

kraštine MN sudaro 45º kampą, o su

kraštinę MP – 30º kampą. Nubrėžkite

brėžinį. Apskaičiuokite NK ilgį, jei MN

= 14 cm.

Kokios rūšies yra trikampis, kurio

kraštinių ilgiai lygūs 8 cm, 10 cm, 16

cm?

1. Duotas trikampis ABC. Įrodykite, kad

lygybė BC² = AB² + AC² – 2AB·AC·cosA

yra teisinga ir tuo atveju, kai kampas A

yra bukasis.

2. Įrodykite, kad lygiagretainio įstrižainių

kvadratų suma yra lygi jo kraštinių ilgių

kvadratų sumai.

Kalba netaisyta

60

Pasirenkamasis modulis. Uždavinių sprendimo strategijos

Pasiekimų lygiai


Gebėjimas: 1.1. Taikyti bendresnio ar dalinio atvejo nagrinėjimo strategiją.

Pagal duotą planą atlieka paprastą tyrimą. Pasitardamas sudaro planą ir atlieka nesudėtingą

tyrimą.

Suplanuoja ir atlieka nesudėtingą tyrimą.

Pateikus tikslingai suformuluotus klausimus,

įžvelgia nagrinėjamų dydžių ryšius.

Paprastais atvejais pastebi ryšius tarp nagrinėjamų

dydžių.

Atlieka išsamią analizę, įžvelgia ryšius tarp

nagrinėjamų dydžių.


pastebi ir parodo vieną nagrinėtiną problemos

atvejį.

Įžvelgia ir parodo bent du nagrinėtinus problemos

atvejus.

Įžvelgia ir parodo visus nagrinėtinus problemos

atvejus.


suskaido uždavinį į atskiras dalis.

Nesudėtingą uždavinį suskaido į atskiras dalis. Neįprasto konteksto uždavinį suskaido į atskiras

dalis.

Su pagalba pasirenka ir pritaiko tinkamą matematinį

modelį.

Paprastais atvejais įžvelgia ir pasirenka tinkamą

matematinį modelį.

Neįprasto konteksto atvejais įžvelgia, pasirenka ir

pritaiko tinkamą matematinį modelį.


argumentuoja kiekvienos uždavinio dalies

sprendimą.

Beveik nuosekliai argumentuoja kiekvienos dalies

nesudėtingo konteksto uždavinio sprendimą.

Nuosekliai argumentuoja neįprasto konteksto

uždavinio kiekvienos dalies sprendimą.

Formuluoja atsakymus į tiesioginius klausimus. Nesudėtingais atvejais formuluoja išvadas, atsako į

pateiktus klausimus.

Neįprastais atvejais formuluoja išvadas ir

atsakymus į klausimus.

Gebėjimas: 1.2. Taikyti įvairias įrodymo strategijas

Padedant taiko analizės metodą paprastais atvejais. Remdamasis pavyzdžiu, paaiškina analizės metodą

ir taiko jį paprastais atvejais.

Paaiškina analizės metodą ir taiko jį paprastose

neįprasto konteksto situacijose.

Paprasto konteksto uždaviniams spręsti sudaro lygtį

ir ją išsprendžia. Su pagalba analizuoja gautą

rezultatą.

Nesudėtingo konteksto uždaviniams spręsti sudaro

lygtį. Pateikus tikslingai suformuluotus klausimus

analizuoja gautą rezultatą pradinės sąlygos

kontekste.

Numato ir analizuoja galimą gauti rezultatą.

Neįprasto konteksto uždaviniams spręsti sudaro

lygtį. Suvokia lygties sprendimą, kaip strategiją

pradėti nuo galo.

Remdamasis pavyzdžiu taiko prieštaros metodą. Paprastais atvejais taiko prieštaros metodą. Paaiškina prieštaros metodą ir taiko jį paprastais

atvejais.

Gebėjimas: 1.3. Taikyti nuoseklaus galimybių perrinkimo strategiją.

Kalba netaisyta

61

Padedant suskaido paprastą uždavinį į lengviau

įveikiamas dalis.

Savarankiškai suskaido įprasto konteksto uždavinį į

lengviau įveikiamas dalis.

Suskaido neįprasto konteksto uždavinį į lengviau

įveikiamas dalis.

Iš nagrinėjamų pavyzdžių supranta, kad uždavinį į

dalis galima suskaidyti ne vienu būdu.

Supranta, kad uždavinį suskaidyti į dalis galima ne

vienu būdu.

Padedant paprastais atvejais pasirenka vieną

nagrinėjamą atvejį.

Pasirenka bent vieną nagrinėjamą atvejį. Tikslingai pasirenka nagrinėtinų atvejų skaičių.

Padedamas paprastais atvejais taiko nuoseklaus

perrinkimo strategiją.

Taiko nuoseklaus perrinkimo strategiją paprastais

atvejais.

Taiko nuoseklaus perrinkimo strategija neįprasto

konteksto atvejais.

Gebėjimas: 1.4. Taikyti pavyzdžių ir priešingų pavyzdžių (kontrapavyzdžių) pateikimo strategiją.

Padedant nagrinėdamas užduočių sprendimus

supranta, kad vienas pavyzdys gali sugriauti teiginį.

Paprastais atvejais sugalvoja pavyzdį, kuris

sugriauna teiginį.

Supranta, kad tinkamai parinktas pavyzdys gali

sugriauti teiginį. Išanalizavęs turimą teiginį,

pateikia jį sugriaunantį pavyzdį.

Pateikus daug pavyzdžių ir vieną priešingą pavyzdį,

supranta, kad pavyzdžiais nepagrįsi teoremos

teisingumo.

Padedant nagrinėdamas pavyzdžius, kurie

pagrindžia teiginio teisingumą arba jį paneigia

suvokia, kad pavyzdžiai neįrodo teoremos.

Suvokia, kad teoremos įrodyme reikia išnagrinėti

apibendrintus atvejus.

Paprastais atvejais su pagalba taiko teiginių

paneigimo sugriovimo metodą.

Paprastais atvejais taiko teiginių paneigimo

sugriovimo metodą.

Nesudėtingais atvejais taiko teiginių paneigimo

metodą.




Gebėjimas: 1.1. Taikyti bendresnio ar dalinio atvejo nagrinėjimo strategiją.

1.1.1. Atlikti nesudėtingą tyrimą.

1. Ar visada ,

kai kampas smailusis?

2. Trikampio kraštinių ilgiai 3, 4, 5. Įrodykite, kad jis status.

3. Nubrėžkite trikampį, jeigu sinα =

0,6.

1. Nustatykite funkcijos ( ) | |

lyginumą ir nubrėžkite jos grafiką.

2. Įrodykite, kad jeigu 23 rutuliai

sudėti į 7 dėžes, tai bent vienoje jų yra

bent 4 rutuliai.

1. Remdamiesi funkcijų ( ) | | ( ) grafikais,

nustatykite, kiek sprendinių

priklausomai nuo a reikšmės turi

lygtis ( ) ( ).

2. Ištirkite, ar taškai A(3; –7; 8), B(–

5; 4;1), C(27; –40; 29) yra vienoje

tiesėje.

1.1.2. Įžvelgti nagrinėjamų dydžių 1. Įrodykite , kad 1. Patikrinkite, ar teisinga lygybė 1. Įrodykite, kad trikampio plotas

Kalba netaisyta

62

sąryšį.

2. Įrodykite, kad rombo įstrižainės

dalija rombo kampus pusiau.

2. Įrodykite, kad lygiagretainio plotas

lygus dviejų kraštinių ir kampo tarp jų

sinuso sandaugai.


sinuso sandaugos pusei.

2. Įrodykite, kad trikampio vidurio

linija yra lygiagreti su trečiąja

trikampio kraštine ir lygi jos pusei.

1.1.3. Įžvelgti ir parodyti visus

nagrinėtinus problemos atvejus.

1. Ištirkite, kada funkcija

( ) yra didėjanti, kada –

mažėjanti.

2. Įrodykite, kad trikampio kampų

suma lygi (išnagrinėkite smailųjį, statųjį ir bukąjį trikampius).

1. Išnagrinėkite, kokios savybės

būdingos lygiagretainių grupės

keturkampių įstrižainėms.

2. Jei kampo kraštines kerta dvi

lygiagrečios tiesės, tai vienoje kampo

kraštinėje atkirstos atkarpos yra

proporcingos kitoje kampo kraštinėje

atkirstoms atkarpoms.

1. Nurodykite sąlygas, kada Vijeto

teorema taikoma kvadratinei lygčiai

spręsti.

2. Išnagrinėkite, kaip kinta vektorių

skaliarinės sandaugos reikšmė

priklausomai nuo kampo tarp vektorių

didumo.

1.1.4. Suskaidyti uždavinį į atskiras dalis.

2. 1. Išspręskite lygtį

.

2. Tiesė eina per tašką (2; –1) ir yra

statmena tiesei Parašykite šios tiesės lygtį.

1. Įrodykite, kad trapecijos plotas

lygus pagrindų sumos pusės ir

aukštinės sandaugai.

2. Kiek lygties

sprendinių tenkina nelygybę

1. Iš vietovės A išėjo pasivaikščioti

mergina. Ji ėjo v km/h greičiu. Kai ji

buvo nuėjusi 6 km, paskui ją dviračiu

išvažiavo jaunuolis. Jo greitis buvo 9

km/h didesnis už merginos greitį. Kai

jaunuolis pavijo merginą, jie apsisuko

ir abu grįžo į vietovę A 4 km/h

greičiu.

Parodykite, kad merginos visą

pasivaikščiojimo laiką galime išreikšti

reiškiniu t =

+

.

2. Į trikampį ABC įbrėžtas

apskritimas. Trys apskritimo liestinės

atkerta trikampius MAN, KBL, PCU,

kurių perimetrai lygūs .

Apskaičiuokite trikampio ABC

perimetrą.

1.1.5. Įžvelgti, pasirinkti ir pritaikyti tinkamą matematinį modelį.

3. Įrodykite, kad su kiekviena

reiškinio ( ) ( )

reikšmė dalijasi iš 12.

1. Apskaičiuokite atstumą tarp šių

parabolių viršūnių:

( ) .

1. Gamybos metu susidaro skardos

atliekos. Šios atliekos yra statieji

trikampiai, kurių statiniai 12cm ir

16cm. Norint sumažinti skardos

Kalba netaisyta

63

2. Stačiakampio gretasienio

pagrindas –

kvadratas, kurio kraštinės ilgis lygus

1. Gretasienio aukštis = 2.

Apskaičiuokite vektorių ir

skaliarinę sandaugą.

2. ( ) , o ( ) ,

apskaičiuokite ( ) atliekų kiekį, reikia iš šių trikampių

iškirsti kuo didesnio ploto

stačiakampius skardos gabalus.

Iškertamo stačiakampio vienos

kraštinės ilgį pažymėję x, parodykite,

kad stačiakampio plotas ( )

. Raskite didžiausią

stačiakampio ploto reikšmę.

2. ( ) ( )

Su

kuriomis y reikšmėmis

( ) ( )?

1.1.6. Nuosekliai argumentuoti

kiekvienos uždavinio dalies

sprendimą.

1. Parodykite, kad nelygybės

intervalas yra

( ) 2. Įrodykite, kad reiškinio

(√ √ √ √ )

reikšmė yra sveikasis skaičius.

Duota funkcija ( ) .

1. Per funkcijos grafiko tašką, kurio

abscisė nubrėžta liestinė. Parodykite, kad tos liestinės lygtis

yra y = 1 x.

2. Apskaičiuokite plotą figūros,

apribotos funkcijos ( )

grafiku, šio grafiko liestine, nubrėžta

per tašką, kurio abscisė ir Oy ašimi.

1. Iš vietovės A išėjo pasivaikščioti

mergina. Ji ėjo v km/h greičiu. Kai ji

buvo nuėjusi 6 km, paskui ją dviračiu

išvažiavo jaunuolis. Jo greitis buvo 9

km/h didesnis už merginos greitį. Kai

jaunuolis pavijo merginą, jie apsisuko

ir abu grįžo į vietovę A 4 km/h

greičiu.

Kokia turi būti v reikšmė, kad mergina

visam pasivaikščiojimui sugaištų

mažiausiai laiko?\

2. Įrodykite, kad reiškinio

( )

( ) reikšmė nepriklauso

nuo kintamojo reikšmės.

1.1.7. Formuluoti išvadas ir atsakymus į klausimus.

1. Skaičių a dalijant iš 14 gaunama

liekana, lygi 3, o skaičių b dalijant iš

14 gaunama liekana, lygi 4.

Patikrinkite, ar a + b dalijasi iš 7 be

liekanos.

Trikampio kraštinių ilgiai yra tokie: a

= 4 cm, b = 6 cm, c = √ cm.

Nustatykite, ar šis trikampis bukasis.

Ar visada racionaliojo ir iracionaliojo

skaičių suma yra iracionalusis

skaičius? Išvadą pagrįskite.

Gebėjimas: 1.2. Taikyti įvairias įrodymo strategijas

1.2.1. Paaiškinti analizės metodą (einant nuo norimo įrodyti prie

1. Įrodykite, kad trikampio plotas

lygus kraštinės ir į ją nubrėžtos

1. Žinoma, kad 70% skaičiaus a lygu 1. Įrodykite, kad jei plokštumos tiesė

yra statmena į plokštumą išvestai

Kalba netaisyta

64

žinomo) ir taikyti jį paprastais

atvejais.

aukštinės sandaugos pusei.

2. Įrodykite, kad jei trikampis yra

statusis, tai jo statinių ilgių kvadratų

suma lygi įžambinės ilgio kvadratui.

√( √ ) √( √ )

.

Raskite skaičių a.

2. Kiekvieno apibrėžtinio keturkampio priešingų kraštinių ilgių

sumos yra lygios.

pasvirajai, tai ji statmena ir

pasvirosios projekcijai toje

plokštumoje.

2. Raskite c reikšmes, su kuriomis

tiesė kerta parabolę dviejuose taškuose.

1.2.2. Lygčių sprendimas kaip strategija pradėti nuo galo.

Nebrėždami grafikų raskite funkcijų

( ) ir g(x) = 3x

susikirtimo taškus.

Parodykite, kad funkcijos f(x) = 1+

2cos(2x) grafikas ir abscisių ašis

intervale [–3π; 3π] turi 12 susikirtimo

taškų.

Nebrėždami grafiko, nustatykite, kiek

susikirtimo taškų turi funkcijos f(x) =

sin(2x) ir g(x) = cosx intervale [–π; π].

1.2.3. Paaiškinti prieštaros metodą ir taikyti jį paprastais atvejais.

1. Įrodykite, kad nėra iškiliojo

daugiakampio, kurio kampų suma lygi

1900 . 2. Įrodykite, kad nėra tokių a ir b

reikšmių, su kuriomis skaičiai 1 ir 1

yra lygties

sprendiniai.

1. Įrodykite, kad kiekviename

trikampyje yra bent du smailieji

kampai

2. Įrodykite: jei tiesė l lygiagreti tiesei

a, esančiai plokštumoje , tai tiesė l lygiagreti ir plokštumai .

1. Įrodykite, kad apskritimo liestinė

yra statmena spinduliui, nubrėžtam į

lietimosi tašką

2. Du apskritimai, kurių spinduliai

lygūs, liečiasi. Įrodykite, kad jų

centrai ir lietimosi taškas yra vienoje

tiesėje.

Gebėjimas: 1.3. Taikyti nuoseklaus galimybių perrinkimo strategiją.

1.3.1. Suskaidyti uždavinį į lengviau įveikiamas dalis.

1. Tiesė, dalijanti pavaizduotą figūrą į

dvi lygiaplotes dalis, yra tiesioginio

proporcingumo funkcijos grafikas.

Užrašykite šią funkciją formule.

2. Jei prie dviženklio skaičiaus iš kairės prirašysime skaitmenį 3,

naujas skaičius bus 11 kartų

didesnis už pradinė. Raskite pradinį

skaičių.

1. Įsitikinkite, kad apie apskritimą

apibrėžto daugiakampio plotas lygus

pusei jo perimetro, padauginto iš

įbrėžtinio apskritimo spindulio ilgio.

2. Įrodykite, kad reiškinio reikšmė dalijasi iš 37.

1. Įrodykite, kad ( ) .

2. Įbrėžtinio ir apibrėžtinio apskritimų

spindulių ilgius išreikškite

taisyklingojo trikampio kraštinės ilgiu

a.

1.3.2. Suprasti suskaidymo dalimis

nevienareikšmiškumą.

Apskaičiuokite trikampio ABC plotą,

žinodami, jeigu tinklą sudaro šeši

Remdamiesi brėžiniu, apskaičiuokite

ir ( ).

Įrodykite, kad plokštumoje esanti tiesė

yra statmena pasvirajai tada ir tik tada,

Kalba netaisyta

65

lygūs kvadratai, kurių kraštinės ilgis

2 cm.

kai ta tiesė statmena pasvirosios

projekcijai.

1.3.3. Racionaliai pasirinkti

nagrinėjamų atvejų skaičių.

Įrodykite, kad trikampio

pusiaukraštinių susikirtimo taškas

dalija jas į atkarpas, kurių ilgių

santykis yra 2:1, skaičiuojant nuo

trikampio viršūnės.

Įrodykite, kad trikampio kraštinių

ilgiai yra proporcingi prieš jas esančių

kampų sinusams.

Įrodykite, kad trikampio kraštinės

ilgio kvadratas lygus kitų dviejų

kraštinių ilgių kvadratų sumai minus

dviguba tų kraštinių ilgių ir kampo

tarp jų kosinuso sandauga.

1.3.4. Taikyti nuoseklaus perrinkimo

strategiją paprastais atvejais.

Raskite dviženklį skaičių, jei to

skaičiaus ir jo skaitmenų suma lygi

36.

Kiek yra keturženklių skaičių, kurių

kiekvienas sekantis skaitmuo didesnis

už prieš jį einantį.

Surašykite visas natūraliųjų skaičių

poras, kurių kvadratų skirtumas lygus

45.

Gebėjimas: 1.4. Taikyti pavyzdžių ir priešingų pavyzdžių (kontrapavyzdžių) pateikimo strategiją.

1.4.1. Suvokti tinkamo pavyzdžio pakankamumą sugriaunant teiginį.

1. Gretutinių kampų suma lygi . Suformuluokite atvirkštinį teiginį. Ar

jis teisingas?

2. Jei a · b > 0, tai a ir b teigiami

skaičiai. Ar šis teiginys teisingas?

Ar teisingas teiginys: „Kvadratinio

trinario , kai ,

reikšmės yra pirminiai skaičiai“?

Patikrinkite jo teisingumą, kai .

Bukajame trikampyje ilgiausia

kraštinė dvigubai ilgesnė už

trumpiausią, kurios ilgis n. Ar gali

trikampio plotas būti didesnis nei

√ ?

1.4.2. Suvokti, jog joks pavyzdžių skaičius negali įrodyti teoremos.

Pagrįskite teiginį: „Jei dviejų

trikampio kraštinių ilgių kvadratų

suma lygi trečiosios kraštinės ilgio

kvadratui, tai trikampis statusis“.

1. Įrodykite, kad lygiagretainio plotas


sinuso sandaugai.

2. Įrodykite, kad trikampio kraštinių

ilgiai yra proporcingi prieš jas esančių

kampų sinusams.

Įrodykite, kad skaičiai √ , √

√ , n – natūralusis skaičius,

niekada nesudaro aritmetinės

progresijos.

1.4.3. Taikyti teiginių paneigimo

metodą.

Kurios lygybės yra teisingos:

A Q ;

B Q Z;

C N Z;

D ;

E I Q.

Jei a > b, tai , su visomis a ir

b reikšmėmis.

1. Įrodykite, kad 1 – √ yra

iracionalusis skaičius.

2. Jei yra lyginis skaičius, tai m –

taip pat lyginis skaičius.

Kalba netaisyta

66

II. Modulių, apimančių matematikos išplėstinio kurso veiklos sritį „Geometrija. Vektoriai“, programai įgyvendinti

reikalinga metodinė medžiaga

Planavimo pavyzdžiai

Modulio „Geometrija“ planavimo pavyzdys [1]

Tikslas:

Apibendrinti geometrijos pagrindinio ugdymo žinias.

Plėtoti matematinę kompetenciją, taikant plokštumos ir erdvės geometriją matematinių ir praktinių problemų sprendimui.

Uždaviniai:

Plėtoti turimas žinias apie plokštumos ir erdvines figūras.

Mokyti taikyti geometrinių figūrų savybes ir trigonometriją, sprendžiant matematines ir praktines problemas, įrodant teiginius.

Vertinimas:

Formuojamasis: diagnostinė užduotis modulio pradžioje, siekiant įvertinti mokinių turimą patirtį taikyti erdvės ir plokštumos geometrijos figūrų

savybes; diagnostinė užduotis modulio gale, sudarant galimybę mokiniams įsivertinti naujai įgytą patirtį taikyti naujai išmoktas geometrinių

plokštumos ir erdvės figūrų savybes sprendžiant praktines ir matematines problemas; neformalus mokinio pasiekimų vertinimas skatinamuoju žodžiu.

Kaupiamasis vertinimas: savarankiški darbai, teorijos atsiskaitymai vertinami taškais, surinkti taškai konvertuojami pažymiu.

Apibendrinamasis vertinimas: kontrolinis darbas pabaigus ir susisteminus modulio medžiagą, vertinamas pažymiu.

Mokymo ir mokymosi turinys:

Gebėjimai Žinios ir supratimas Turinys Vertinimas Pastabos

I ciklas. Plokštumos geometrija ( 8 pamokos)

Įvadas: modulio tikslų, uždavinių turinio apimties, vertinimo kriterijų pristatymas Diagnostinė užduotis

modulio pradžioje

5.1. Taikyti žinias 5.1.1. Įžiūrėti apskritime atitinkamus Įbrėžtinis kampas. Centrinis kampas. Savarankiškas darbas

Kalba netaisyta

67

apie plokštumos

figūras sprendžiant

nesudėtingus

įvairių plokštumos

figūrų, jų dalių ir

junginių elementų

ilgio, kampų

didumo, perimetro

ir ploto skaičiavimo

uždavinius, įrodant

teiginius.

centrinį ir įbrėžtinį kampą, žinoti, kaip

rasti vieno jo didumą, kai žinomas kito

didumas, žinoti, kad įbrėžtiniai kampai,

kurie remiasi į tą patį lanką, yra lygūs.

5.1.2. Nusakyti įbrėžtojo į trikampį ir

apibrėžtojo apie trikampį apskritimo

savybes, įrodyti ir žinoti įbrėžtojo į

apskritimą ir apibrėžto apie apskritimą

keturkampio pagrindines savybes.

Paaiškinti įbrėžtojo į apskritimą

taisyklingojo daugiakampio ir apibrėžto

apie apskritimą taisyklingojo

daugiakampio

sąvokas.

5.1.3. Remtis figūrų lygumu ir panašumu

sprendžiant nesudėtingus praktinio ir

matematinio turinio uždavinius. Mokėti

įrodyti Talio teoremą ir jai atvirkštinę

teoremą.

Pusiaukampinės savybė. Geometrinio

vidurkio savybių taikymas nagrinėjant

statųjį trikampį.

Lygiosios ir panašiosios figūros. Talio

teorema. Simetriškosios figūros.

Įbrėžtųjų į apskritimą ir apibrėžtųjų

apie apskritimą daugiakampių

sąvokos. Įbrėžtųjų į apskritimą ir

apibrėžtųjų apie apskritimą

taisyklingųjų daugiakampių

(trikampių, keturkampių, šešiakampių)

savybės.

ciklo gale.

II ciklas. Trigonometrijos taikymas geometrijoje (6 pamokos)

5.2. Taikyti

trigonometrijos

žinias sprendžiant

paprastus

geometrinius

(praktinio ir

matematinio

turinio) uždavinius.

5.2.1. Žinoti smailiojo kampo kotangento

apibrėžimą ir taikyti

jį stačiojo trikampio elementams rasti.

5.2.2. Įrodyti ir žinoti kosinusų teoremą ir

sinusų teoremą, trikampio ploto formulę

, taikyti šias žinias trikampio,

keturkampio ir taisyklingųjų daugiakampių

elementams ir plotui rasti.

5.2.3. Suvokti, kad atskirais atvejais

taikydami trigonometriją trikampio

uždaviniams spręsti negauname

vienareikšmio atsakymo.

Smailiojo kampo kotangento

apibrėžimas.

Trigonometriniai sąryšiai bet kokio

trikampio elementams apskaičiuoti.

Savarankiškas darbas

ciklo gale.

Smailiojo trikampio sinusas,

kosinusas ir tangentas.

http://mkp.emokykla.lt

/imo/lt/ mo/287/

III ciklas. Erdvės geometrija (16 pamokų)

5.3. Taikyti žinias

apie erdvės figūras

5.3.1. Atpažinti, apibūdinti ir pavaizduoti

nupjautinę piramidę ir nupjautinį kūgį.

Erdviniai kūnai (ir paprastosios jų

dalys). Jų paviršiaus plotas ir tūris.

Savarankiškas darbas

ciklo gale.

Tiesių ir plokštumų tarpusavio

padėtys.

Kalba netaisyta

68

sprendžiant

nesudėtingus

erdvės figūrų, jų

dalių ir

junginių elementų

ilgio, kampų

didumo, paviršiaus

ploto ir tūrio

skaičiavimo

uždavinius,

įrodant teiginius.

Vaizduoti erdvinių figūrų paprastuosius

pjūvius (lygiagrečius su pagrindu, ašinius)

ir išklotines.

5.3.2. Apibrėžti ir taikyti kampo tarp tiesės

ir plokštumos sąvoką.


prasilenkiančiųjų tiesių sąvoką.

5.3.4. Apibrėžti ir taikyti tiesės ir

plokštumos statmenumo požymį.


plokštumų (dvisienio kampo) sąvoką.

5.3.6. Apibrėžti ir taikyti atstumo tarp

prasilenkiančiųjų tiesių erdvinėse figūrose,

atstumo tarp lygiagrečiųjų plokštumų,

atstumo tarp tiesės ir lygiagrečios su ja

plokštumos sąvokas.

5.3.7. Taikyti ir įrodyti trijų statmenų

teoremą ir jai atvirkštinę teoremą.

5.3.8. Nesudėtingais atvejais apskaičiuoti

erdvinių figūrų elementus, šoninio ir viso

paviršiaus plotą, tūrį ir paprastų jų dalių

paviršiaus plotą, tūrį, paprastųjų pjūvių

plotą.

Išklotinės (išskyrus sferą). Nupjautinė

piramidė ir nupjautinis kūgis.

Tiesių tarpusavio padėtis,

susikertančiosios, lygiagrečiosios ir

prasilenkiančiosios tiesės.

Kampai tarp tiesių, statmenos tiesės.

Plokštumų tarpusavio padėtis:

susikertančiosios ir lygiagrečiosios

plokštumos.

Dvisieniai kampai, statmenos

plokštumos.

Tiesės ir plokštumos konkrečiame

geometriniame objekte.

Tiesės ir plokštumos statmenumo

požymis.

Stačiakampio gretasienio ir

taisyklingosios piramidės dvisieniai

kampai.

Trijų statmenų teorema.

Teorijos

atsiskaitymas.

http://mkp.emokykla.lt/

imo/lt/mo/304/

Dvisienis kampas.

http://mkp.emokykla.lt/

imo/lt/mo/317/

Nupjautinė piramidė.


/imo/lt/mo/272/

Sukiniai.


/imo/lt/mo/268/

Taisyklingoji keturkampė

prizmė, pjūviai.

http://mkp.emokykla.lt/imo

/lt/mo/278/

Taisyklingoji trikampė ir

keturkampė piramidė.


/imo/lt/mo/256/

Taisyklingoji trikampė ir

keturkampė prizmė.


/imo/lt/mo/257/

Modulio medžiagos sisteminimas Diagnostinė užduotis

modulio gale

3 pamokos

Apibendrinamasis darbas 2 pamokos

Modulio „Vektoriai. Geometrijos žinių sisteminimas“ planavimo pavyzdys [2]

Modulio trukmė 35 valandos

Tikslas: atskleisti geometrijos teorinių žinių svarbą, šių žinių taikymą sprendžiant matematinius uždavinius ir argumentuojant sprendimo eigą.

modeliuojant teiginių įrodymus.

http://mkp.emokykla.lt/%20imo/lt/mo/304/




http://mkp.emokykla.lt/imo%20/lt/mo/278/

http://mkp.emokykla.lt/imo%20/lt/mo/278/

Kalba netaisyta

69

Uždaviniai: suvokti vektoriaus sąvoką, vektorių taikymo svarbą sprendžiant teorines ir praktines problemas. Ugdyti supratimą, kad sudėtingesnės

problemos yra sprendžiamos skaidant jas į paprastesnes ir taikant žinomas formules.

Vertinimas

Moksleivių pažangos ir pasiekimų vertinimas yra integrali ugdymo proceso dalis. Pagrindinė vertinimo paskirtis – skatinti moksleivio asmenybės

brandą, ugdyti jo gebėjimą racionaliai vertinti savo poreikius, polinkius, galimybes ir remiantis tuo kelti sau prasmingus ateities tikslus.

Diagnostinis vertinimas – vertinimas, kuriuo naudojamasi siekiant išsiaiškinti mokinio pasiekimus ir padarytą pažangą baigus temą ar kurso dalį, kad

būtų galima numatyti tolesnio mokymosi galimybes, suteikti pagalbą įveikiant sunkumus.

Formuojamasis vertinimas – nuolatinis vertinimas ugdymo proceso metu, kuris padeda numatyti mokymosi perspektyvą, pastiprinti daromą pažangą,

skatina mokinius mokytis analizuoti esamus pasiekimus ar mokymosi spragas, sudaro galimybes mokiniams ir mokytojams geranoriškai

bendradarbiauti.

Apibendrinamasis vertinimas – vertinimas, naudojamas baigus programą, kursą, modulį. Jo rezultatai formaliai patvirtina mokinio pasiekimus

ugdymo programos pabaigoje. (Mokinių pažangos ir pasiekimų vertinimo samprata. Patvirtinta Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 2004

m. vasario 25 d. įsakymu Nr. ISAK-256)

Modulio metu taikoma vertinimo sistema:

• Formuojamasis vertinimas – nuolat.

• Diagnostinis vertinimas - diagnostinės užduotys modulio pradžioje, modulio pabaigoje, neformalus vertinimas.

• Kaupiamasis vertinimas – savarankiški darbai, apimantys atskirus modulio ciklus, vertinami taškais, surinkti taškai konvertuojami pažymiu.

• Apibendrinamasis vertinimas – kontrolinis darbas, vertinamas pažymiu, išnagrinėjus ir susisteminus visą modulio medžiagą.

• Galutinis modulio įvertinimas: .

Mokinių pasiekimų vertinimo kriterijai:

Gebėjimai: Naudotis vektoriaus sąvoka ir veiksmų savybėmis sprendžiant paprastus bei įrodymo uždavinius.

Kalba netaisyta

70

9.1.1. Apibrėžti vektorių kaip

plokštumos (erdvės) kryptinę

atkarpą. Išreikšti vektorių

koordinatėmis ( ( ),

; ( ),

),

apskaičiuoti jo ilgį.

Žino vektorių kaip kryptinę atkarpą.

Užrašo vektoriaus , pavaizduoto

koordinačių plokštumoje,

koordinates. Pavaizduoja vektorių

koordinačių plokštumoje, kai

žinomos vektoriaus koordinatės.

Žino vektoriaus ilgio sąvoką. Moka

apskaičiuoti vektoriaus ilgį, kai



Apibrėžia vektoriaus sąvoką. Supranta

sąvokas koordinatinis vektorius, nulinis

vektorius, vietos vektorius.

Apskaičiuoja vektoriaus koordinates, kai

žinomos vektoriaus pradžios ir galo taškų

koordinatės.

Supranta vektoriaus ilgį kaip atkarpos ilgį.

Erdvinėje koordinačių sistemoje

pavaizduoja vektorių.


Laisvai operuoja sąvokomis: vektorius,

vektoriaus koordinatės, vektoriaus ilgis.


9.1.2. Žinoti, kaip atliekami

vektorių veiksmai grafiškai

(plokštumoje arba erdvėje) ir

kaip užrašomi veiksmai

koordinatėmis. Mokėti

užrašyti ir taikyti vektorių

lygiagretumo (kolinearumo)

sąlygą.

Grafiškai vaizduoja kolinearius

vektorius. Grafiškai pavaizduoja

vektorių sudėtį pagal lygiagretainio

ar trikampio taisyklę.

Žino, kaip užrašomi veiksmai

koordinatėmis ir moka juos atlikti.


Grafiškai pavaizduoja vektorių atimtį.

Supranta sąvokas kolinearieji vektoriai,

vienakrypčiai vektoriai, preišpriešiniai

vektoriai, priešingieji vektoriai, lygūs

vektoriai.

Supranta ir taiko vektorių kolinearumo

sąlygą.


Formuluoja vektorių sumos, skirtumo

taisykles.

Formuluoja ir pagrindžia vektorių

kolinearumo sąlygą.


9.1.3.Žinoti vektorių

skaliarinės sandaugos

savybes, taikyti jas

paprastiems praktinio ir

matematinio turinio


Žino vektorių skaliarinės sandaugos

apibrėžimą ir paprasčiausiais atvejais

moka jį taikyti. Žino skaliarinės

sandaugos savybes, taiko jas

paprastiems uždaviniams spręsti.

Moka apskaičiuoti vektorių ,

išreikštų koordinatėmis, skaliarinę

sandaugą.


Apibrėžia kampą tarp vektorių.

Formuluoja vektorių skaliarinės

sandaugos apibrėžimą ir teoremą.


Moka įrodyti vektorių skaliarinės sandaugos

teoremą. Argumentuotai pagrindžia veiksmų

su vektoriais, pateiktais koordinatėmis,

taisykles.

9.1.4.Taikyti vektorius

nesudėtingiems skaičiavimo

ir įrodymo uždaviniams

spręsti.

Taiko vektorius nesudėtingiems skaičiavimo

ir įrodymo uždaviniams spręsti. Kūrybingai ir

originaliai pasirenka strategijas, sprendžia

uždavinius.

Gebėjimai: Taikyti plokštumos geometrijos žinias stereometrijoje. Taikyti trigonometriją geometrijoje

Kalba netaisyta

71

9.2.1. Nesudėtingais atvejais

taikyti liestinės savybę,

įbrėžtinio ir apibrėžtinio

trikampio / taisyklingojo

daugiakampio savybes.

9.2.2. Pagrįsti figūrų lygumą

ir panašumą.

9.2.3. Taikyti panašumo

sąvoką sprendžiat įvairius

nesudėtingus uždavinius,

pagrindžiant ar įrodant


9.2.4. Remtis Talio teoremos

įrodymo schema sprendžiant

įvairius nesudėtingus


įrodant nesudėtingus

teiginius.


nustatyti/apskaičiuoti

erdvinėje figūroje kampo

tarp tiesės ir plokštumos,

kampo tarp dviejų

plokštumų, didumą.

9.2.6. Taikyti trijų statmenų

teoremą pagrindžiant

teiginius apie dvisienius

kampus ir remtis šios

teoremos įrodymo etapais




pavaizduotose erdvinėse

figūrose

nustatyti/apskaičiuoti

Žino ir taiko figūrų perimetro ir

ploto savybes sprendžiant

uždavinius.

Žino ir taiko trikampio kampų

sumos, Pitagoro, sinusų ir kosinusų

teoremas.

Apibrėžia trikampių lygumą,

panašumą bei taiko trikampių

lygumo ir panašumo požymius


Žino ir taiko trikampio ploto

formules išreiškiant jį pagrindu ir

aukštine arba dviem kraštinėm ir

kampu tarp jų.

Įrodo trikampio kampų sumos, Pitagoro,

sinusų ir kosinusų teoremas.

Taiko įbrėžto į trikampį ir apibrėžto apie

trikampį apskritimo savybes uždaviniams

spręsti.

Įrodo Pitagoro, sinusų ir kosinusų teoremas.

Įrodo trikampio ploto formules išreiškiant jį

pagrindu ir aukštine arba dviem kraštinėmis

ir kampu tarp jų.

Įrodo: trikampio kampų sumos teoremą,

Pitagoro teoremą ir jai atvirkštinę teoremą,

trikampio vidurio linijos savybes,

pusiaukraštinių savybes.

Žino ir taiko trikampio ploto

formules išreiškiant jį pagrindu ir

aukštine arba dviem kraštinėmis ir

kampu tarp jų. Žino ir taiko

pagrindines lygiagretainio, rombo,

stačiakampio, kvadrato ir trapecijos

savybes ir plotų formules.

Žino įbrėžto į apskritimą ir apibrėžto apie

apskritimą keturkampio pagrindines

savybes ir taiko uždaviniams spręsti.

Įrodo pagrindines stačiakampio, kvadrato,

lygiagretainio, rombo ir trapecijos savybes.

Įrodo lygiagretainio, trapecijos plotų

formules.

Žino ir paprastais atvejais taiko

įbrėžtinių kampų, centrinių kampų,

apskritimo liestinių savybes.

Įrodo, kad įbrėžtinių kampų,

besiremiančių į tą patį lanką, didumai yra

lygūs.

Supranta ir nesudėtingais atvejais taiko

įbrėžtinių kampų, apskritimo stygų,

liestinių savybes.

Argumentuoja ir taiko apskritimo liestinių ir

kirstinių savybes.

Žino tiesės ir plokštumos

lygiagretumo, tiesės ir plokštumos

bei plokštumų statmenumo, kampo

tarp tiesės ir plokštumos sąvokas,

atstumo tarp taškų, tarp tiesių, tarp

lygiagrečių plokštumų sąvokas,

atstumo tarp taškų, tarp tiesių, tarp

Apibrėžia tiesės ir plokštumos

lygiagretumo, tiesės ir plokštumos bei

plokštumų statmenumo, kampo tarp tiesės

ir plokštumos sąvokas, atstumo tarp taškų,

tarp tiesių, tarp lygiagrečių plokštumų

sąvokas, supranta jų savybes ir moka jas

taikyti sprendžiant nesudėtingus

Įrodo trijų statmenų teoremą ir jai atvirkštinę

teoremą.

Taiko trijų statmenų ir jai atvirkštinę

teoremas pagrįsdamas uždavinių sprendimą.

Kalba netaisyta

72

atstumą tarp prasilenkiančių

tiesių, kampo tarp

prasilenkiančių tiesių

didumą, atstumą tarp tiesės ir

jai lygiagrečios plokštumos,

atstumą tarp lygiagrečių

plokštumų.


Bendrosiose programose

apibrėžtų erdvinių figūrų

lygiagrečių / ašinių pjūvių

plotus.

9.2.9. Taikyti erdvinių figūrų

junginių paviršiaus ploto ir

tūrio formules.

lygiagrečių plokštumų sąvokas, žino

jų savybes ir moka jas taikyti

sprendžiant paprastus uždavinius.

uždavinius.

Paprastais atvejais apskaičiuoja

prizmių, piramidžių, kūgių, ritinių,

rutulių paviršių plotus ir tūrius.

Apskaičiuoja erdvinių kūnų ir

paprasčiausių jų kombinacijų paviršių

plotus ir tūrius.

Pavaizduoja įvairių kūnų paprastus pjūvius


Teisingai pasirenka reikalingas strategijas,

atrenka ir įvertina duomenis, nuosekliai ir

išsamiai argumentuoja užduoties sprendimą.

Mokymo ir mokymosi turinys:

Įvadas: modulio tikslų, uždavinių turinio apimties, vertinimo kriterijų pristatymas ir aptarimas Diagnostinė užduotis modulio pradžioje (1 pamoka)

Gebėjimai Žinios ir supratimas Ciklas, turinys Vertinimas Pamokų

skaičius

Pastabos

Vektorių algebra 7

9.1. Naudotis

vektoriaus

sąvoka ir

veiksmų

savybėmis

sprendžiant

paprastus bei

įrodymo

uždavinius.

9.1.1. Apibrėžti vektorių kaip plokštumos (erdvės)

kryptinę atkarpą. Išreikšti vektorių koordinatėmis

( ( ), ; ( ),

), apskaičiuoti jo ilgį. 9.1.2. Žinoti, kaip atliekami vektorių veiksmai grafiškai

(plokštumoje arba erdvėje) ir kaip užrašomi veiksmai

koordinatėmis. Mokėti užrašyti ir taikyti vektorių

lygiagretumo (kolinearumo) sąlygą.

9.1.3. Žinoti vektorių skaliarinės sandaugos savybes,

Vektoriaus sąvoka ir

žymenys.

2

Vektorių veiksmai:

daugyba iš skaičiaus,

sudėtis ir atimtis.

2 Parodyti, kad vektorių

algebra turi daug

panašumų su įprastine

algebra.

Skaliarinė dviejų

vektorių daugyba.

2

Savarankiškas 1

Kalba netaisyta

73

taikyti jas paprastiems praktinio ir matematinio turinio


9.1.4. Taikyti vektorius nesudėtingiems skaičiavimo ir

įrodymo uždaviniams spręsti.

darbas ciklo

pabaigoje.

Vektoriaus

koordinatės

7

Vektoriai koordinačių

plokštumoje. Vektoriaus

koordinatės.

1

Vektoriaus ilgis.

Veiksmai su vektoriais.

1

Skaliarinė vektorių

daugyba.

2 Skatinti mokinius

palyginti veiksmų su

vektoriais, pateiktais

kryptinėmis atkarpomis

ir koordinatėmis,

pranašumus ir trūkumus,

taikymo galimybes.

Vektoriai erdvėje. 2 Pasiūlyti mokiniams

parinkti kuo įvairesnių

pavyzdžių,

iliustruojančių vektorių

taikymą.

Savarankiškas

darbas ciklo

pabaigoje.

1

Geometrijos žinių

sisteminimas

15

9.2. Taikyti

plokštumos

geometrijos

žinias

stereometrijoje.

9.2.1. Nesudėtingais atvejais taikyti liestinės savybę,

įbrėžtinio ir apibrėžtinio trikampio / taisyklingojo

daugiakampio savybes.

9.2.2. Pagrįsti figūrų lygumą ir panašumą.

9.2.3. Taikyti panašumo sąvoką sprendžiat įvairius

nesudėtingus uždavinius, pagrindžiant ar įrodant


9.2.4. Remtis Talio teoremos įrodymo schema

Planimetrija.

Trikampiai.

3

Planimetrija.

Keturkampiai.

3

Planimetrija.

Apskritimas, skritulys.

1

Erdvės geometrija.

1

Kalba netaisyta

74

sprendžiant įvairius nesudėtingus uždavinius,

pagrindžiant ar įrodant nesudėtingus teiginius.

9.2.5. Paprastais atvejais nustatyti/apskaičiuoti erdvinėje

figūroje kampo tarp tiesės ir plokštumos, kampo tarp

dviejų plokštumų, didumą.

9.2.6. Taikyti trijų statmenų teoremą pagrindžiant

teiginius apie dvisienius kampus ir remtis šios teoremos

įrodymo etapais sprendžiant įvairius


9.2.7. Paprastais atvejais pavaizduotose erdvinėse

figūrose nustatyti/apskaičiuoti atstumą tarp

prasilenkiančių tiesių, kampo tarp prasilenkiančių tiesių

didumą, atstumą tarp tiesės ir jai lygiagrečios

plokštumos, atstumą tarp lygiagrečių plokštumų.

9.2.8. Apskaičiuoti Bendrosiose programose apibrėžtų

erdvinių figūrų lygiagrečių / ašinių pjūvių plotus.

9.2.9. Taikyti erdvinių figūrų junginių paviršiaus ploto ir

tūrio formules.

Erdviniai kūnai. 3

9.3. Taikyti

trigonometriją

geometrijoje

9.3.1. Įrodyti kosinusų teoremą, sinusų teoremą,

trikampio ploto formulę

.

9.3.2. Remtis kosinusų, sinusų teoremų įrodymo

idėjomis sprendžiant įvairius nesudėtingus uždavinius,

pagrindžiant ar įrodant nesudėtingus teiginius.

Trikampiai. Savarankiškas

darbas ciklo gale.

3

Keturkampiai.

Erdvinės figūros.

Diagnostinė

užduotis

modulio gale.

1

Modulio medžiagos sisteminimas 3 pamokos

Apibendrinamasis darbas 2 pamokos

Kalba netaisyta

75

Modulio pradžioje ir pabaigoje siūlomos diagnostinės užduotys, padedančios įvertinti mokinio daromą pažangą (dalykines ir

bendrąsias kompetencijas) bei įsivertinti

Diagnostinės užduoties modulio „Geometrija“ pradžioje pavyzdys [1]

Trukmė: 45 minutės

Tikslas:

Išsiaiškinti mokinių turimų žinių, gebėjimų ir įgūdžių lygį iš geometrijos srities.

Uždaviniai:

Sudaryti galimybę mokiniams įsivertinti turimų žinių, susiformuotų gebėjimų ir įgūdžių lygį:

taikyti žinias apie trikampį, keturkampius ir apskritimą paprastiems ir nesudėtingiems uždaviniams spręsti, nesudėtingiems teiginiams pagrįsti

ar paneigti;

apskaičiuoti žinomų figūrų junginių perimetrą, plotą;

taikyti lygumo, panašumo, ašinės ir centrinės simetrijos sąvokas sprendžiant paprastus uždavinius;

taikyti trigonometrinius ryšius stačiojo trikampio elementams rasti;

taikyti žinias apie erdvės figūras sprendžiant paprastus erdvės figūrų, jų dalių ir junginių elementų ilgio, kampų didumo, paviršiaus ploto ir

tūrio skaičiavimo uždavinius.

Užduotys:

1. Tiesės a ir b lygiagrečios. Raskite kampą x.

2 taškai

Kalba netaisyta

76

2. Aitvaro korpusą sudaro aštuonios dalys. Kvadrato A plotas 36 . SB : SA = 1 : 4.

Koks kvadrato B plotas?

Apskaičiuokite aitvaro perimetrą.

Apskaičiuokite figūros plotą.

Atsakymus pateikite: b) centimetro, c) kvadratinio centimetro tikslumu, skaičiavimams naudokite

.

10 taškų

3. Pagrįskite trikampių KLM ir BLC panašumą. Remdamiesi brėžinio duomenimis ir geometrinių figūrų

savybėmis, apskaičiuokite KM ir BC ilgį.

4 taškai

4. Trikampio ABC pusiaukraštinė AN statmena pusiaukraštinei CM. AN = 2,1 cm, CM = 2,4 cm.

Apskaičiuokite trikampio ABC plotą.

6 taškai

Kalba netaisyta

77

5. Brėžinyje keturkampio kraštinės yra apskritimo liestinės. Nurodyti kraštinių atkarpų iki lietimosi taškų

ilgiai. Apskaičiuokite keturkampio perimetrą.

2 taškai

6. Apskaičiuokite trapecijos plotą (CB || DA), kai jos vidurinė linija 2,4 cm.

3 taškai

7. Brėžinyje nurodyti taisyklingosios piramidės matmenys centimetrais. Apskaičiuokite kampo, kurį su

pagrindu sudaro piramidės šoninė briauna, dydį 1º tikslumu. Apskaičiuokite piramidės viso paviršiaus

plotą ir tūrį.

3 taškai

Kalba netaisyta

78

8. Stalo teniso kamuoliuko skersmuo yra 40 mm. Trys kamuoliukai supakuoti dėžutėje, kaip parodyta

paveiksle. Kokie dėžutės matmenys?

3 taškai

9. Medinis žaisliukas sudarytas iš ritinio ir kūgio. Ritinio pagrindo spindulys 4 cm, o aukštis 2 cm. Kūgio

tūris lygus ritinio tūriui. Apskaičiuokite kūgio aukštį.

3 taškai

Vertinimo instrukcija

Užd.

Nr.

Sprendimas/Atsakymas Taš

kai Vertinimas

1.

, 2 = 130.

x = 2 = 130.

2 1 taškas už teisingai pasirinktą sprendimo būdą.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą x.

Kalba netaisyta

79

2.

, ;

Aitvaro perimetras √ .

Figūros plotas

10

1 taškas už teisingai apskaičiuotą kvadrato B plotą.

1 taškas už teisingai apskaičiuotus kvadratų kraštinių ilgius.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą pusskritulių lankų ilgį (bent už

vieną).

1 taškas už teisingai apskaičiuotą trikampės krašto dalies ilgį.

1 taškas už teisingai apskaičiuotas išpjovų dalies lankų ilgius.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą perimetrą.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą pusskritulių plotą.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą trikampės dalies plotą.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą išpjovų dalies plotą.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą figūros plotą.

3.

Trikampiai panašūs pagal du atitinkamai

lygius kampus: L bendras, KML =

BCL, nes statieji.

KML statusis, L = 30, todėl KM =

4,5.

BCL statusis, CL = 16,

√ .

4

1 taškas už trikampių panašumo pagrindimą.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą KM ilgį.

1 taškas už teisingai pasirinktą sprendimo būdą.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą CB ilgį.

4.

AN ir CM pusiaukraštinės, todėl AO : ON = 2 : 1,

CO : OM = 2 : 1. 2,52 cm².

AN ir CM pusiaukraštinės , todėl taškai M ir N –

ABC kraštinių vidurio taškai, o MN – ABC

vidurinė linija. MNB ABC, panašumo

koeficientas k = 2. Iš čia

.

; ; .


1 taškas už teisingai pritaikytą trikampio pusiaukraštinių savybę.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą keturkampio AMNC plotą.

1 taškas už teisingai pritaikytą panašiųjų trikampių plotų savybę.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą MNB plotą.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą ABC plotą.

5. Pasinaudoję liestinių , išeinančių iš vieno taško savybe, randame keturkampio

kraštinių ilgius: BC = 2 cm, CD = 1,7 cm, AD = 3cm, AB = 3,3 cm. 2 1 taškas už apskritimo liestinių, išeinančių iš vieno taško, savybės

pritaikymą;

Kalba netaisyta

80

1 taškas už teisingai apskaičiuotą keturkampio perimetrą.

6.

Trapecijos vidurinė linija

cm.

CHD – statusis, CDH = 60,

CH = 2sin60 = √ cm.

= 2,4√ cm².

3 1 taškas už teisingai apskaičiuotą trapecijos aukštinę.

1 taškas už trapecijos vidurinės linijos apibrėžimo taikymą.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą trapecijos plotą.

7.

SAO ieškomasis.

ABC statusis, AC = 10√ .

AOS statusis,

√

.

Iš čia SAO 62.

3 1 taškas už teisingai nurodytą kampą, kurį sudaro šoninė briauna

su pagrindo plokštuma.


1 taškas už teisingai surastą kampą.

8.

Dėžutės plotis toks, koks

kamuoliuko skersmuo 40 mm.

Dėžutės aukštis 40 + AH.

ABH statusis, √ mm.

Dėžutės aukštis 40 + √ .


1 taškas už teisingai apskaičiuotą AH ilgį.

1 taškas už teisingai surastus dėžutės matmenis.

9.

.

,

, iš čia H = 6 cm.

3

1 taškas už teisingai apskaičiuotą ritinio tūrį.

1 taškas už teisingai sudarytą lygtį

1 taškas už teisingai apskaičiuotą kūgio aukštį

Užduočių taškų paskirstymas pagal mokinių kognityvinių gebėjimų grupes

Kalba netaisyta

81

Mokinio įsivertinimo lentelė (pildo mokinys)

Užduočių

pasiskirstymas pagal

pasiekimų lygius

Žinios ir supratimas Taikymas Problemų sprendimas

35% 45% 20% Iš viso taškų

Užduočių numeriai ir taškai Užduočių numeriai ir taškai Užduočių numeriai ir taškai

Patenkinamas lygis

30%

1 – 2 taškai

2a – 1 taškas

2b – 3 taškai,

2c – 2 taškai

5 – 2 taškai 9 – 3 taškai

13 (32,5 )

Pagrindinis lygis

40%

2b – 2 taškas,

2c – 1 taškas

7 – 1 taškas

3 – 2 taškai

4 – 2 taškai

6 – 3 taškai

7 – 2 taškai

7 – 3 taškai

16 (40 )

Aukštesnysis lygis

30%

2c – 1 taškas

4 – 1 taškas

3 – 2 taškai

7 – 1 taškas

8 – 3 taškai

4 – 3 taškai

11 (27,5 )

14 (35 ) 17 (42,5 ) 9 (22,5 ) 40

Kalba netaisyta

82

Užduotis Pagrindinės sąvokos

ar veiksmai, kuriuos

reikia žinoti

Atlikau

savarankiškai

Ieškojau

informacijos

matematikos

žinyne

Reikėjo

mokytojo

pagalbos

Ką turiu pakartoti?

1. Tiesės a ir b lygiagrečios. Raskite kampą x.

2. Aitvaro korpusą sudaro aštuonios dalys. Kvadrato

A plotas 36 dm2. SB : SA = 1 : 4.

Koks kvadrato B plotas?

Apskaičiuokite aitvaro perimetrą.

Apskaičiuokite figūros plotą.

Atsakymus pateikite: b) centimetro, c) kvadratinio

centimetro tikslumu, skaičiavimams naudokite

.

3. Pagrįskite trikampių KLM ir

BLC panašumą. Remdamiesi

brėžinio duomenimis ir

geometrinių figūrų savybėmis,

apskaičiuokite KM ir BC ilgį.

4. Trikampio ABC

pusiaukraštinė AN statmena

pusiaukraštinei CM. AN = 2,1

cm, CM = 2,4 cm.

Apskaičiuokite trikampio ABC

plotą.

Kalba netaisyta

83

5. Brėžinyje keturkampio

kraštinės yra apskritimo

liestinės. Nurodyti kraštinių

atkarpų iki lietimosi taškų

ilgiai. Apskaičiuokite

keturkampio perimetrą.

6. Apskaičiuokite trapecijos

(CB || DA) plotą, kai jos

vidurinė linija 2,4 cm.

7. Brėžinyje nurodyti

taisyklingosios piramidės

matmenys centimetrais.

Apskaičiuokite kampo, kurį su

pagrindu sudaro piramidės

šoninė briauna, dydį 1º

tikslumu. Apskaičiuokite

piramidės viso paviršiaus plotą

ir tūrį.

8. Stalo teniso kamuoliuko

skersmuo yra 40 mm. Trys

kamuoliukai supakuoti

dėžutėje, kaip parodyta

paveiksle. Kokie dėžutės

matmenys?

9. Medinis žaisliukas sudarytas

iš ritinio ir kūgio. Ritinio

pagrindo spindulys 4 cm, o

aukštis 2 cm. Kūgio tūris lygus

ritinio tūriui. Apskaičiuokite

kūgio aukštį.

Kalba netaisyta

84

Diagnostinės užduoties modulio „Geometrija“ pabaigoje pavyzdys [2]

(parengtas remiantis projekte dalyvaujančių mokytojų patirtimi)

Tikslas:

Įvertinti mokinių pasirengimą rašyti modulio apibendrinamąjį darbą.

Įsivertinti individualius pasiekimų rezultatus, nustatyti spragas, numatyti jų likvidavimo planą iki apibendrinamojo darbo.

Uždavinys:

Atlikdami užduotis mokiniai įsivertins įgytų žinių ir supratimo, susiformuotų įgūdžių ir gebėjimų lygį:

taikyti žinias apie plokštumos figūras sprendžiant nesudėtingus įvairių plokštumos figūrų, jų dalių ir junginių elementų ilgio, kampų didumo, perimetro

ir ploto skaičiavimo uždavinius, įrodant teiginius;

taikyti trigonometrijos žinias sprendžiant paprastus geometrinius (praktinio ir matematinio turinio) uždavinius;

taikyti žinias apie erdvės figūras sprendžiant nesudėtingus erdvės figūrų, jų dalių ir junginių elementų ilgio, kampų didumo, paviršiaus ploto ir tūrio


Užduotys:

1. Remdamiesi brėžinio duomenimis, apskaičiuokite kampo x dydį.

(1 taškas)

Kalba netaisyta

85

2. Apskaičiuokite trikampio nežinomą kraštinės ilgį ir trikampio plotą.

(2 taškai)

3. Kvadrato kraštinės ilgis 6 cm. Apskaičiuokite į kvadratą įbrėžto apskritimo ilgį.

(2 taškai)

4. Duota kūgio formos taurė, kai pagrindo spindulys 4 cm, o sudaromoji 5 cm.

a) Apskaičiuokite taurės aukštį (nekreipdami dėmesio į kojelės aukštį).

(1 taškas)

b) Apskaičiuokite taurės tūrį.

(1 taškas)

c) Kiek mililitrų sulčių tilps į taurę? (

(1 taškas)

5. Trikampio kraštinių ilgiai yra 5 cm, 6 cm ir 9 cm. Apskaičiuokite apie trikampį apibrėžto apskritimo spindulio ilgį.

(3 taškai)

6. Duota: AC lygiagreti DE, DE : AC = 4 : 7, AD = 8. Rasti BD.

(2 taškai)

7.

8.

Į apskritimą, kurio spindulys lygus 15 cm, įbrėžtas taisyklingasis trikampis. Apskaičiuokite įbrėžto taisyklingojo trikampio perimetrą.

(3 taškai)

Dvisienis kampas lygus 600. Vienoje jo sienoje duotas taškas, nutolęs nuo kitos sienos per √ cm. Apskaičiuokite šio taško atstumą iki dvisienio kampo

Kalba netaisyta

86

9.

briaunos.

(2 taškai)

Lygiakraščio trikampio kraštinė 6 cm. Iš vienos jo viršūnės iškeltas 13 cm ilgio statmuo trikampio plokštumai. Raskite šio statmens galų atstumus iki

kraštinės, esančios prieš tą kraštinę.

(3 taškai)

10. Įbrėžtinio keturkampio ABCD B = 70, o C = 110 . Tada:

A A = 70, D = 110;

B A = 110, D = 70;

C A = D = 70;

D C = D = 110;

E A = D – bet kokie.

(1 taškas)

11. Bokštą sudaro taisyklingoji keturkampė nupjautinė piramidė, kurios pagrindų kraštinės

lygios 12 m ir 10,5 m, o aukštinė 3,8 m. Ant jos pastatyta piramidė, kurios aukštinė 3,4 m.

a) Apskaičiuokite nupjautinės piramidės tūrį.

(2 taškai)

b) Kiek skardos reikėtų visam bokštui padengti, jei atliekoms skiriama 20 % paviršiaus

ploto? Gautą rezultatą pateikite vienetų tikslumu.

(6 taškai)

Kalba netaisyta

87


Užd.

Nr.

Sprendimas/Atsakymas Taškai Vertinimas

Patenkinamas lygis

1 1 Už teisingą atsakymą.

2

, x = 14

√

√

1

1

Už teisingą atsakymą.


3 r = 6 : 2 = 3 arba už pastebėjimą, kad d = a = 6

C = 2 3 = 6.

1

1



4 a) √

b)

c)

1

1

1




Pagrindinis lygis

5. p = 10 cm;

√

Atsakymas. √

cm arba

√ cm.

3 1 taškas už teisingo sprendimo būdo pasirinkimą (nurodyti

formulę).

1 taškas už teisingai apskaičiuotą trikampio plotą.

1 taškas už teisingą atsakymą.

6.

Taikome apibendrintąją Talio teoremą:

. Kadangi

. BD =

x, sudarome lygtį

, kurią išsprendę randame, kad

.

Atsakymas.

.

2

1 taškas už teisingo sprendimo būdo pasirinkimą;

1 tašką už teisingai apskaičiuotą atkarpos ilgį.

Kalba netaisyta

88

7. Atsakymas.

√ cm ir 14 cm

3 1 taškas už teisingai nubrėžtą brėžinį (trijų statmenų

teorema arba kt.)

Po 1 tašką už teisingai apskaičiuotus atstumus.

8. √ cm

Atsakymas. √ cm.

3 1 taškas už teisingai pasirinktą sprendimo būdą (sinusų

teoremą);

1 taškas už teisingai apskaičiuotą trikampio kraštinę;

1 taškas už teisingai apskaičiuotą trikampio perimetrą.

9. Atsakymas. 12 cm. 2 1 taškas už teisingai nubrėžtą brėžinį.

1 taškas už teisingą atsakymą.

10. Atsakymas. A ir D 1 1 taškas už teisingą atsakymą.

Aukštesnysis lygis

11. a)

Apskaičiuojame pagrindų plotus:

, .

( √ ) .

1

1

Už bent vieno nupjautinės piramidės pagrindo ploto

apskaičiavimą.

1 taškas už teisingą nupjautinės piramidės tūrio

apskaičiavimą (jei mokinys padarė skaičiuodamas plotus

klaidą, tai tikrinti su jo gautais skaičiais).

b)

Apskaičiuojame piramidės šoninį paviršių:

√ √

√ m

√ √

Apskaičiuojame reikiamos skardos plotą √ .

3

3

1 taškas už brėžinio nubraižymą arba argumentavimą.

1 taškas už apotemos apskaičiavimą.

1 taškas už Sšon. apskaičiavimą.

1 taškas už 20% Sšon suradimą.

1 taškas už reikiamos skardos ploto suradimą.

1 taškas už gautą atsakymą.

Iš viso 30 taškų

Kalba netaisyta

89


Užduočių pasiskirstymas

pagal pasiekimų lygius




Patenkinamas lygis

30%

1 – 1 taškas

4 a – 1 taškas

2 – 2 taškai

4 b – 1 taškas

3 – 2 taškai

4c – 1 taškas 8 (26,7)

Pagrindinis lygis

40%

5 – 3 taškai

6 – 2 taškai

7 – 3 taškai

8 – 3 taškai

9 – 2 taškai

10 – 1 taškas 14 (46,7)

Aukštesnysis lygis

30%

11 a – 2 taškai 11 b – 5 taškai 11 b – 1 taškas 8 (26,7)

9 (30) 16 (53,3 ) 5 (16,7) 30

Kalba netaisyta

90

Diagnostinės užduoties modulio ,,Vektoriai. Geometrijos žinių sisteminimas“ pradžioje pavyzdys [3]

Trukmė: 30 minučių.

Pastaba. Diagnostinės užduoties metu naudotis literatūra, internetu.

1. Iš formulės išreikškite cosα. 1 taškas

2. Taškas C atkarpą AB dalija santykiu 3:5 skaitant nuo taško A. Išreikškite atkarpos AC ilgį atkarpos AB ilgiu 1 taškas

3. Plokštumoje pažymėti du taškai ( ) ir ( ).

3.1. Apskaičiuokite atstumą tarp plokštumos taškų A(−3; 0) ir B(1; −3 ). Raskite atkarpos vidurio taško koordinates.

3.2. Įrodykite, kad atstumas tarp plokštumos taškų A ir B skaičiuojamas pagal formulę √( ) ( ) .

2 taškai

1 taškas

4. Piramidės SABCD pagrindas − stačiakampis. Šoninė briauna SA statmena pagrindo kraštinėms AB ir AD.

4.1. Įrodykite, kad kampas SAC – status.

4.2. Įrodykite, kad piramidės siena SDC − statusis trikampis

2 taškai

2 taškai

5. Nubraižykite stačiakampį gretasienį . Brėžinyje pažymėkite:

5.1. kampą α − kampą tarp įstrižainės ir šoninės sienos .

5.2. kampą β − kampą tarp tiesių ir .

5.3. kampą γ − kampą tarp šoninės sienos ir pagrindo plokštumos .

1 taškas

1 taškas

1 taškas

6. Apie taisyklingos trikampės prizmės pagrindą apibrėžto apskritimo spindulys lygus 12 cm. Prizmės šoninė briauna lygi 20 cm.

6.1. Įrodykite, kad prizmės pagrindo plotas lygus √ .

6.2. Raskite prizmės tūrį.

2 taškai

1 taškas

7. Medinis rutulys, kurio spindulys 26 cm, perpjautas plokštuma, nutolusia nuo rutulio centro 10 cm atstumu. Abi gauto rutulio

dalys nudažytos. Koks nudažyto paviršiaus plotas?

5 taškai

Kalba netaisyta

91


Užduočių


pasiekimų lygius




Patenkinamas lygis

30%

1 ‒ 1 taškas

3.1. – 1 taškas

7 – 3 taškai

6.2. – 1 taškas

6

(28,57%)

Pagrindinis lygis

40%

2 – 1 taškas

4.1. ‒ 1 taškas

5 (c) – 1 taškas

6.1. – 1 taškas

3.2. – 2 taškas

4.1. ‒ 1 taškas

6.1. – 1 taškas

7 ‒ 1 taškas

9

(42,86%)

Aukštesnysis lygis

30%

7 – 1 taškas 3.1. – 1 taškas

4.2. – 2 taškai

5 (a) ‒ 1 taškas

5 (b) – 1 taškas

6

(28,57%)

Iš viso taškų: 7 (33,33%) Iš viso taškų: 10 ( 47,62%) Iš viso taškų: 4 ( 19,05%) 21


Užd.

Nr.


1.

1 taškas Už teisingą atsakymą.

Kalba netaisyta

92

2.

1 taškas Už teisingą atsakymą.

3.1. AB = 5.

( –1; –1,5).

1 taškas

Už teisingą atstumo AB apskaičiavimą ir atkarpos vidurio

taško koordinačių radimą.

3.2. Stačiojo trikampio statinių ilgiai lygūs .

Remiantis Pitagoro teorema

( ) ( )

, √( ) ( )

.

1 taškas

1 taškas

Už teisingo sprendimo būdo pasirinkimą.

(pavyzdžiui: taškų A ir B pažymėjimą koordinačių

plokštumoje, stačiojo trikampio pastebėjimą ir trikampio

statinių ilgių išraiškas ).

Už pagrįstai gautą išvadą.

4.1.

, , todėl

.

AC priklauso plokštumai ABCD,

todėl pagal tiesės ir plokštumos

statmenumo apibrėžimą .

Vadinasi, kampas SAC − status.

1 taškas

1 taškas

Už išsamų uždavinio sąlygos pavaizdavimą brėžiniu.

Už pagrįstą tiesės ir plokštumos statmenumo apibrėžimo

pritaikymą.

4.2. SD − pasviroji į plokštumą ABCD, AD − pasvirosios projekcija plokštumoje,

CD − plokštumos ABCD tiesė, einanti per pasvirosios pagrindą.

(gretimos stačiakampio kraštinės), todėl remiantis trijų statmenų

teorema . Vadinasi, piramidės siena SDC − statusis trikampis.

1 taškas

1 taškas



5. a) α − kampas A1DB1;

b) β − kampas DB1B arba D1DB1;

1 taškas

1 taškas

už brėžinyje teisingai pažymėtą kampą α.

už brėžinyje teisingai pažymėtą kampą β.

Kalba netaisyta

93

c) γ − kampas AA1B1 arba kampas DD1C1.

1 taškas

už brėžinyje teisingai pažymėtą kampą γ.

6.1. Duota: taisyklingoji trikampė prizmė, pagrindo spindulys R = 12 cm, šoninė

briauna ‒ 20 cm.

Įrodyti: √ .

Vienas iš galimų sprendimo būdų:

Trikampį ABC sudaro trys lygūs lygiašoniai trikampiai, todėl

√ .

1 taškas

1 taškas


Už teisingai apskaičiuotą pagrindo plotą.

6.2. Taisyklingos prizmės šoninė briaunos ir aukštinės ilgiai lygūs, todėl

H = 20 cm.

√ √ .

1 taškas Už teisingai apskaičiuotą tūrį.

7.

1 taškas Už uždavinio sąlygos pavaizdavimą brėžiniu.

Kalba netaisyta

94

Duota: rutulys, R = OA = 26 cm, OC = 10

cm, .

Rasti: S + 2Spj. (S − rutulio paviršiaus

plotas, Spj. − pjūvio plotas).

Iš stataus ∆AOC pagal Pitagoro teoremą AC = 24 cm.

( ).

( ).

( ).

1 taškas

1 taškas

1 taškas

1 taškas

Už rutulio pjūvio spindulio ilgio arba spindulio ilgio

kvadrato teisingą apskaičiavimą.

Už pjūvio ploto teisingą apskaičiavimą.

Už rutulio paviršiaus ploto teisingą apskaičiavimą.

Už nudažyto ploto teisingą apskaičiavimą.

Modulio „Vektoriai. Geometrijos žinių sisteminimas“ diagnostinės užduoties pavyzdys [4]

(Atlikti iš kiekvieno uždavinio po vieną dalį)

Darbo trukmė: 45 minutės

1 uždavinys

Kalba netaisyta

95

1.1. Remdamiesi brėžiniu, pavaizduokite vektorius:

; ; ; ; ; ; .

7 taškai


; ; ; ; ; ;

.

9 taškai


; ;

;

; ;

;

.

10 taškų

2 uždavinys

ABCDA1B1C1D1 − kubas.

2.1. Remdamiesi paveikslu, nurodykite porą vektorių,

kurie būtų:

lygūs;

priešingi;

kolinearūs.

3 taškai

2.2. Remdamiesi paveikslu, raskite vektorių sumas:

;

;

. 5 taškai

2.3. Remdamiesi paveikslu, nurodykite porą vektorių,

kurių:

suma lygi ;

skirtumas lygus ;

suma lygi ;

skirtumas lygus .

6 taškai

3 uždavinys

Kalba netaisyta

96

3.1. Taškas M − atkarpos AB vidurio taškas, O − bet

kuris erdvės taškas. Įrodykite, kad

.

5 taškai

3.2. Taškas M − atkarpos AB taškas, O − bet kuris

erdvės taškas,

AM : MB = 3 : 4. Įrodykite, kad

.

6 taškai

3.3. Tetraedro OABC sienos ABC pusiaukraštinės

susikerta taške M. AA1 − trikampio ABC

pusiaukraštinė.

3.3.1. Įrodykite, kad

.

2 taškai

3.3.2. Įrodykite, kad

.

3 taškai

3.3.3. Vektorių išreikškite vektoriais ,

, .

2 taškai

4 uždavinys

4.1.

Duotas trikampis ABC, AB = 5 cm, ∠A = 45°, ∠C =

30°. Raskite .

3 taškai

4.2.

Trikampio ABC kraštinė

√ cm, ∠B = 120°,

∠C = 45°. Raskite .

4 taškai

4.3.

Duotas trikampis ABC, AC = 10 cm, BC = 6 cm, ∠C

− smailus,

. Raskite .

5 taškai

5 uždavinys

5.1. Duota trikampė prizmė ABCA1B1C1. Nurodykite

vektorių , kurio pradžia ir pabaiga yra prizmės

viršūnės, ir

.

5.2.

Vektoriai ir bei ir yra kolinearūs. Įrodykite,

kad vektoriai ir taip pat kolinearūs.

3 taškai

5.3.

Žinoma, kad | | , | | .

5.3.1. Išanalizuokite galimas vektorių ir

tarpusavio padėtis ir įvertinkite vektoriaus ilgį

| |.

Kalba netaisyta

97

3 taškai

4 taškai

5.3.2. Kuris iš skaičių 2, 5, 7, 10, 12, 17 negali būti

lygus vektoriaus ilgiui | |?

1 taškas


Pasiekimų lygiai




Patenkinamas lygis

1.1. ‒ 7 taškai

3.1. – 1 taškas

2.1. − 3 taškai

3.1. – 3 taškai

4.1. − 2 taškai

5.1. – 1 taškas

3.1. – 1 taškas

4.1. − 1 taškas

5.1. – 2 taškai

21

38,10% 42,86% 19,05%

Pagrindinis lygis

1.2. – 7 taškai

3.2. – 1 taškas

4.2. − 2 taškai

1.2. – 2 taškai

2.2. – 4 taškai

3.2. – 3 taškai

4.2. ‒ 1 taškas

5.2. – 1 taškas

2.2. – 1 taškas

3.2. – 2 taškai

4.2. ‒ 1 taškas

5.2. – 2 taškai

27

37,04% 40,74% 22,22%

Aukštesnysis lygis

1.3. – 7 taškai

3.3.2. – 2 taškai

3.3.3. – 1 taškas

4.3. ‒ 1 taškas

1.3. – 3 taškai

2.3. – 6 taškai

3.3.1. – 1 taškas

3.3.2. – 1 taškas

3.3.3. – 1 taškas

4.3. – 3 taškai

3.3.1. – 1 taškas

4.3. – 1 taškas

5.3. – 5 taškai

33

33,33% 45,45% 21,21%

Kalba netaisyta

98

Vertinimas pažymiu

Patenkinamas lygis

Surinkta

taškų (%)

0 - 8 9 - 17 18 - 28 29 - 39 40 - 49 50 - 58 59 - 68 69 - 79 80 - 90 91 - 100

Surinkta

taškų

0 - 2 3 - 4 5 - 6 7 - 8 9 - 10 11 - 12 13 - 14 15 - 17 18 - 19 20 - 21

Pažymys 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Pagrindinis lygis

Surinkta

taškų (%)

0 - 8 9 - 17 18 - 28 29 - 39 40 - 49 50 - 58 59 - 68 69 - 79 80 - 90 91 - 100

Surinkta

taškų

0 - 2 3 - 5 6 - 8 9 - 11 12 - 13 14 - 16 17 - 18 19 - 21 22 - 24 25 - 27

Pažymys 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Aukštesnysis lygis

Surinkta

taškų (%)

0 - 8 9 - 17 18 - 28 29 - 39 40 - 49 50 - 58 59 - 68 69 - 79 80 - 90 91 - 100

Surinkta

taškų

0 - 3 4 - 6 7 - 9 10 - 13 14 - 16 17 - 19 20 - 22 23 - 26 27 - 30 31 - 33

Pažymys 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Kalba netaisyta

99


Užd.

Nr.


Patenkinamas lygis

1.1.

7 taškai Po vieną tašką už kiekvieną teisingai

pavaizduotą vektorių sumą.

2.1.

3 taškai Po 1 tašką už nurodytą lygių, priešingųjų ir

kolinearių vektorių porą.

3.1.

,

( ),

.

. Įrodyta.

1 taškas

1 taškas

1 taškas

1 taškas

1 taškas


Už vektoriaus OM išreiškimą iš trikampio

OAM.

Už vektoriaus OM išreiškimą iš trikampio

OBM.

Už pastebėjimą, kad vektorių AM ir BM suma

lygi nuliui.

Kalba netaisyta

100


4.1.

| | | | .

Remiantis sinusų teorema

, √ .

1 taškas

1 taškas

1 taškas

Už pastebėjimą, kad vektorių sumos ilgis lygus

trikampio kraštinės ilgiui.


Už gautą teisingą atsakymą.

5.1.

.

1 taškas

1 taškas

1 taškas



Už sprendimo pagrindimą.

Pagrindinis lygis

1.2.

7 taškai

1 taškas

1 taškas

Po 1 tašką už kiekvieną teisingai pavaizduotą

vektorių sumą.

Už bent vieną pavaizduotą skaičiaus 2 ir

vektoriaus sandaugą (pavyzdžiui, 2 ).

Už bent vieną pavaizduotą kokiam nors

vektoriui priešingą vektorių (pvz., ).

Kalba netaisyta

101

2.2.

;

;

.

1 taškas

2 taškai

2 taškai

Už teisingą pirmąją vektorių sumą.

Už pagrįstai gautą antrąją vektorių sumą.

Už pagrįstai gautą trečiąją vektorių sumą.

3.2.

,

( ),

,

( ),

. Įrodyta.

1 taškas

1 taškas

1 taškas

1 taškas

1 taškas

1 taškas


Už vektoriaus išreiškimą iš trikampių OAM

ir OBM.

Už vektoriaus išreiškimą vektoriumi

arba .

Už vektoriaus išreiškimą vektoriumi

arba .

Už vektoriaus arba išreiškimą vektoriais

ir .


4.2.

| | | | .

Remiantis sinusų teorema

√

, √ (cm).

1 taškas

1 taškas

1 taškas

1 taškas

Už pastebėjimą, kad vektorių skirtumo ilgis

lygus trikampio kraštinės ilgiui.


Už lygties sprendimą.


5.2. , kur k ir l − skaičiai.

2 ( ) , (2k − l) − skaičius.

Vadinasi, vektoriai 2 ir yra kolinearūs.

1 taškas

1 taškas

1 taškas

Už dviejų vektorių kolinearumo sąlygos

taikymą.

Už teisingą išvadą.


Aukštesnysis lygis

Kalba netaisyta

102

1.3.

10 taškų

Po 2 taškus už vektorių

pavaizdavimą.

Po 1 tašką už kiekvieno iš likusių vektorių

pavaizdavimą.

2.3.

1 taškas

1 taškas

2 taškai

2 taškai

Už teisingai nurodytą porą vektorių, kurių suma

lygi .

Už teisingai nurodytą porą vektorių, kurių

skirtumas lygus .

Už teisingai nurodytą porą vektorių, kurių suma

lygi .

Už teisingai nurodytą porą vektorių, kurių

skirtumas lygus .

3.3. 3.3.1.

.

1 taškas

1 taškas


Už pagrįstą išvadą.

3.3.2.

AM : MA1 = 2 : 1 (trikampio pusiaukraštinių savybė).

1 taškas

1 taškas

Už trikampio pusiaukraštinių savybės taikymą.


Kalba netaisyta

103

.

1 taškas

Už pagrįstą išvadą.

3.3.3.

Remiantis 3.3.2. dalimi

.

Remiantis 3.3.1. dalimi

(

) .

.

1 taškas

1 taškas



4.3.

| | | | .

Jei C – smailusis ir

.

Remiantis kosinusų teorema AB = 8 (cm).

1 taškas

1 taškas

1 taškas

1 taškas

1 taškas

Už pastebėjimą, kad vektorių skirtumo ilgis

lygus trikampio kraštinės ilgiui.


Už cosC radimą.



5.3. 5.3.1.

Jei , tai | | .

Jei , tai | | .

Jei nėra kolinearūs, tai, remiantis trikampio nelygybe, | | .

1 taškas

3 taškai

Už bent dviejų vektorių tarpusavio

padėčių nurodymą.

Po 1 tašką už kiekvienos vektorių tarpusavio

padėties atveju įvertintą vektoriaus ilgį

| |.

5.3.2.

17 negali būti lygus vektoriaus ilgiui | |.

1 taškas


Kalba netaisyta

104

Apibendrinamųjų užduočių, orientuotų į dalykines ir bendrąsias kompetencijas, pavyzdžiai, jų vertinimo kriterijai (mokytojui ir

mokiniui)

Modulio „Geometrija“ apibendrinamojo darbo pavyzdys [1]

Trukmė: 90 minučių

Patenkinamas lygis Pagrindinis lygis Aukštesnysis lygis

1 užduotis

Lankas BC = 40º. Apskaičiuokite O ir A.

EDC = 70º. EA ir DC apskritimo skersmenys.

Apskaičiuokite kampą ABC.

Apskritimo stygos AB ir CD susikerta taške E.

Įrodykite, kad AE·BE = CE·ED.

2 užduotis

Nubrėžkite smailųjį, statųjį ir bukąjį trikampius. Apie

kiekvieną jų apibrėžkite apskritimą. Kokia yra tų

apskritimų centrų padėtis trikampio kraštinių

atžvilgiu?

Apskaičiuokite keturkampio perimetrą:

Į lygiašonę trapeciją įbrėžtas skritulys. Lietimosi

taškas šoninę kraštinę dalija į dvi atkarpas, kurių

ilgiai m ir n. Apskaičiuokite trapecijos plotą.

3 užduotis

3,6 m ilgio kopėčios stovėjo atremtos į sieną. Užlipęs

jomis du trečdalius ilgio, dažytojas netyčia išmetė

teptuką, kuris nukrito 0,3 m nuo sienos. Koks atstumas

nuo sienos ligi kopėčių pagrindo? (Apskaičiuokite

Trikampio KLP vidurinė linija MN lygiagreti

kraštinei PL. Figūros MNLP plotas 48 cm2.

Apskaičiuokite trikampio KLP plotą.

Įrodykite teiginį: „Jei dvi lygiagrečios tiesės kerta

kampo kraštines, tai atkirstos kampų kraštinių

atkarpų poros yra proporcingos“.

Kalba netaisyta

105

centimetro tikslumu.)

4 užduotis

Žinoma, kad trikampio kraštinė a = 6 cm, o du jo

kampai α = 41°, β = 79°.

Apskaičiuokite kitus to trikampio elementus. Kraštinių

ilgius pateikite šimtųjų tikslumu.

ABCD lygiagretainis, kurio AB = 4,9 cm, BC = 5,4

cm, AC = 8,8 cm. Raskite įstrižainės DB ilgį

milimetrų tikslumu, kampų BCD ir ABC didumus

laipsnio tikslumu.

Trikampio plotas lygus 16 dm2, dvi kraštinės 5 dm ir

8 dm. Apskaičiuokite trečiosios kraštinės ilgį.

5 užduotis

Kampas tarp pasvirosios ir plokštumos 60º,

pasvirosios ilgis 10 cm. Aprašytą situaciją

pavaizduokite brėžiniu. Raskite pasvirosios projekcijos

ilgį.

Stačiojo trikampio statiniai 30 cm ir 40 cm. Iš šio

trikampio stačiojo kampo viršūnės iškeltas 70 cm

statmuo trikampio plokštumai. Apskaičiuokite

atstumą nuo statmens galo, nesančio plokštumoje,

iki ilgiausios trikampio kraštinės. Aprašytą situaciją

pavaizduokite brėžiniu.

Du lygiašoniai trikampiai KLM ir KMV turi bendrą

pagrindą KM, kurio ilgis 16 cm. Trikampių

plokštumos sudaro 60º kampą, KL= LM = 17 cm, KV

VM, A – atkarpos KM vidurio taškas.

d) Įrodykite, kad LAV = 60º.

e) Apskaičiuokite VM ilgį.

f) Apskaičiuokite atstumą tarp viršūnių L ir V.

6 užduotis

Iš stačiakampio gretasienio formos akvariumo, kurio

pagrindas kvadratas su 25 cm kraštine, o vandens lygis

30 cm, vanduo perpiltas į naują akvariumą. Naujojo

akvariumo ilgis 50 cm, o plotis 20 cm. Koks vandens

lygis naujame akvariume? Atsakymą parašykite 1 cm

tikslumu.

Iškastas ritinio formos 30 km ilgio tunelis, kurio

skersmuo 6 m. Apskaičiuokite kiek kubinių metrų

grunto buvo iškasta ( ).

Kokio aukščio kūgio formos kalną, kurio pagrindas

20 ha, būtų galima supilti iš šio grunto? Atsakymą

parašykite 1 m tikslumu.

Ritinio šoninio paviršiaus išklotinė yra kvadratas.

Raskite kampo, kurį sudaro šio ritinio ašinio pjūvio

įstrižainė su pagrindo plokštuma, dydį.


Užduočių


pasiekimų lygius




Patenkinamas lygis

30

1 – 2 taškai

2 – 3 taškai

3 – 1 taškas

4 – 2 taškai

5 – 1 taškas

3 – 1 taškai

4 – 2 taškai

5 – 1 taškas

5 – 1 taškas

3 – 2 taškas

5 – 1 taškas

6 – 1 taškas

18 (30)

Kalba netaisyta

106

Pagrindinis lygis

40

1 – 2 taškai

2 – 2 taškai

4 – 1 taškas

3 – 1 taškas

4 – 2 taškai

5 – 2 taškai

6 – 2 taškai

3 – 2 taškai

5 – 3 taškai

6 – 2 taškai

19(31,66)

Aukštesnysis lygis

30

4 – 1 taškas

5b – 1 taškas

5c – 2 taškai

6 – 1 taškas

1 – 2 taškai

2 – 3 taškas

3 – 2 taškai

4 – 2 taškai

5a – 3 taškai

5c –2 taškai

6 – 1 taškas

1 – 2 taškai

3 – 1 taškas

6 – 1 taškas

23(38,3)

19 (31,67) 27(45) 15(25) 60

Vertinimas pažymiu

Surinkta taškų (%) 0 - 8 9 - 17 18 - 28 29 - 39 40 - 49 50 - 58 59 - 68 69 - 79 80 - 90 91 - 100

Surinkta taškų 0-5 6-10 11-17 18-23 24-29 30-35 36-41 42-47 48-54 55-60

Pažymys 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Kalba netaisyta

107


Užd.

Nr.

Sprendimas/Atsakymas Taš

kai Vertinimas

Patenkinamas lygis

1.

O = BC = 40;

A =

BC = 20.

2 1 taškas už teisingai pritaikytą centrinio kampo

savybę.

1 taškas už teisingai pritaikytą įbrėžtinio kampo

savybę.

2.

3 Po 1 tašką už teisingai nubrėžtą brėžinį ir teisingai

nurodytą apskritimo centro vietą trikampio kraštinių

atžvilgiu.

3.

= 2,4 m,

ABC EBD pagal du kampus,

,

, CB = 0,9 m.


1 taškas už teisingai apskaičiuotą BE ilgį.


1 taškas už gautą teisingą atsakymą.

Kalba netaisyta

108

4.

γ = 180 – α – β = 60,

Trikampiui ABC taikome sinusų teoremą:

,

4 1 taškas už teisingai apskaičiuotą nežinomą kampą.


1 taškas už teisingai apskaičiuotą kraštinę AC.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą kraštinę AB.

5.

AB – pasviroji, AC statmuo į

plokštumą, todėl BC pasvirosios

projekcija.

ABC = 60, ABC statusis, todėl BC

=

AB = 5 cm.

2 1 taškas už teisingai brėžinyje nurodytą kampą tarp

plokštumos ir pasvirosios.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą pasvirosios

projekcijos ilgį.

6.

,

,

.

Iš čia h =18750 : 1000 = 18,750 cm.

Vandens lygis antrajame akvariume

19 cm.

3 1 taškas už teisingai apskaičiuotą vandens tūrį

pirmame akvariume.


1 taškas už teisingai apskaičiuotą vandens lygį

antrame akvariume.

Pagrindinis lygis

Kalba netaisyta

109

1.

EDC = 70, todėl EC = 140;

CA = 180 - 140 = 40.

ABC =

CA = 20.


1 taškas už teisingai apskaičiuotą kampo ABC

didumą.

2.

KL + MN = LM + KN,

x = 4.

P = 18.

2 1 taškas už teisingai pritaikytą apibrėžtinio

keturkampio savybę.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą keturkampio

perimetrą.

3.

MN vidurinė linija, todėl MN || PL, MN =

.

KLP KNM pagal du kampus, panašumo

koeficientas k = 2.

Remiantis panašiųjų trikampių plotų savybe,

turime:

.


1 taškas už panašiųjų trikampių plotų santykio

pritaikymą.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą trikampio KLP

plotą.

4.

ABC taikome kosinusų teoremą:

, ABC

= 117. Tada BCD = 63.

ABD taikome kosinusų teoremą ir

gauname BD² = 28,9, BD 5,4 cm.

3 1 taškas už teisingai pasirinktą sprendimo būdą

nežinomiems kampams apskaičiuoti.

1 taškas už teisingai apskaičiuotus lygiagretainio

kampus.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą įstrižainę DB.

Kalba netaisyta

110

5.

Ilgiausia stačiojo trikampio kraštinė yra

įžambinė. CH – ABC aukštinė, CH – MH

projekcija trikampio plokštumoje. Pagal trijų

statmenų teoremą MH AB, todėl rodo

atstumą nuo M iki AB.

ABC CHA pagal du kampus, todėl

CA² = AB·AH, AH = 18 cm.

ACH statusis, tai CH = 24 cm.

MCH statusis, iš čia MH = 74 cm.

5 1 taškas už teisingai nubrėžtą brėžinį.

1 taškas už teisingai nurodytą ilgiausią kraštinę.

1 taškas už atstumo nuo statmens galo, nesančio

plokštumoje, iki ilgiausios kraštinės pagrindimą.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą CH ilgį.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą atstumą MH.

6.

Kasant ritinio formos tunelį, iškasta grunto:

V = ·3²·30000 847800 m³.

20 ha = 200000 m².

Kūgio formos grunto krūvos aukštis H:

V =

, iš čia H 1272 m.

4 1 taškas už iškasto grunto tūrio apskaičiavimą.

1 taškas už teisingą matavimo vienetų keitimą.

1 taškas už sprendimo būdo parinkimą.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą grunto krūvos

aukštį.

Aukštesnysis lygis

1.

Sujunkime taškus A ir C, bei B ir D.

ACD = ABD, nes įbrėžtiniai ir remiasi į tą

patį lanką AD;

AEC = BED, nes kryžminiai.

Iš to seka, kad ACE DBE pagal du

atitinkamai lygius kampus.

Tada trikampių atitinkamos kraštinės

proporcingos:

, iš čia AE · EB = CE · ED.

4 1 taškas už pastebėjimą, kad įbrėžtiniai kampai lygūs.

1 taškas už pagrindimą, kad trikampiai panašieji.

1 taškas už panašumo panaudojimą proporcingoms

kraštinės surašyti.

1 taškas už gautą teisingą išvadą.

Kalba netaisyta

111

1. 2.

3. 4.

2.

Remiantis liestinių, išeinančių iš vieno

taško savybe: CE = CN = m ir BM = BE

= m; DN = DF = n ir AF = AM = n.

ABCD lygiašonė trapecija, todėl HD =

.

CHD – statusis:

( ) ( ) ,

CH = 2√ .

( )√


1 taškas už teisingai apskaičiuotą trapecijos aukštinę.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą trapecijos plotą.

3.

AE || BD

AC kirstinė, tai CBD = CAE, nes

atitinkamieji;

CE kirstinė, tai CDB = CEA, nes

atitinkamieji.

Tada BCD ACE pagal du atitinkamai

lygius kampus.

Iš trikampių panašumo:

, o tai reiškia, kad atkirstos

atkarpos proporcingos.

3 1 taškas už pasirinktą sprendimo būdą.


1 taškas už atkarpų proporcingumo pagrindimą.

4.

,

sinα = 0,8.

Pritaikę pagrindinę trigonometrinę

tapatybę, gauname: cosα = 0,6 .

Pritaikę kosinusų teoremą, gauname:

AC = 7 arba AC = √ .

3 1 taškas už trikampio ploto panaudojimą kampo

sinusui apskaičiuoti.

1 taškas už teisingai surastą kampo kosinuso

reikšmes.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą kraštinės AC ilgį

(abu atvejai).

Kalba netaisyta

112

5.

a) A – KM vidurio taškas,

KML lygiašonis, tai LA KM;

KVM lygiašonis, tai VA KM;

A – dvisienio kampo (LKMV) briaunos

taškas.

Iš viso to seka, kad LAV = (LKMV) =

60.

b) KVM statusis, lygiašonis KM = 16

cm, todėl VM = √ .

c) Iš KVM: AV = 8 cm,

Iš KML: AL = 15 cm.

LAV taikome kosinusų teoremą:

LV² = 15² + 8² - 2·15·8cos 60 = 169,

LV = 13 cm.

7 a) 2 taškai už pagrindimą, kad dvisienio kampo

tiesinis kampas LAV.

b) 1 taškas už teisingai surastą kraštinę VM.

c) 1 taškas už teisingai parinktą sprendimo būdą

1 taškas už teisingai apskaičiuotą atkarpos AV

ilgį.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą atkarpos AL

ilgį.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą atstumą tarp

viršūnių L ir V.

6.

Ritinio ašinis pjūvis yra stačiakampis, kurio

matmenys AB × AD.

AB = a . Ritinio pagrindo krašto ilgis taip

pat a.

· AD = a, AD =

.

ADC statusis, taikome tangento

apibrėžimą:

tg CAD =

= , iš čia CAD = arctg .

3 1 taškas už pjūvio apibūdinimą.

1 taškas už teisingai pasirinktą sprendimo

būdą.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą kampą, kurį

sudaro pjūvio įstrižainė su pagrindo

plokštuma.

Kalba netaisyta

113

Vertinimo kriterijai mokiniui

Pasiekimų lygiai


Taikyti žinias apie plokštumos figūras sprendžiant nesudėtingus įvairių plokštumos figūrų, jų dalių bei junginių elementų ilgių, kampų dydžių,

perimetrų ir plotų, skaičiavimo uždavinius, įrodant teiginius.

Pavaizduoti centrinį ir įbrėžtinį kampą,

apskaičiuoti įbrėžtinį kampą, kai žinomas

centrinis ir atvirkščiai.

Gebėti taikyti centrinio ir įbrėžtinio kampo

apibrėžimus, įbrėžtinio kampo savybes paprastiems


Įrodyti įbrėžtinio kampo teoremą, ir kitas

įbrėžtinio kampo savybes. Argumentuotai

pagrįsti pasirinktą sprendimą.

Gebėti pavaizduoti apibrėžtinius ir

įbrėžtinius trikampį ir keturkampį. Taikyti

įbrėžto ir apibrėžto keturkampio savybes

paprasčiausiems uždaviniams spręsti.

Taikyti įbrėžtinio ir apibrėžtinio trikampio ir

keturkampio apibrėžimus, savybes nesudėtingiems

geometrijos ir praktinio turinio uždaviniams spręsti.

Žinoti kaip nustatoma įbrėžto į trikampį ir apibrėžto

apie trikampį apskritimo centras.

Įrodyti įbrėžto į apskritimą ir apibrėžto apie

apskritimą keturkampio pagrindines

savybes.

Analizuoti pateiktą geometrinio turinio

tekstą, argumentuoti pasirinktą sprendimo

strategiją.

Taikyti figūrų lygumą ir panašumą,

sprendžiant paprastus praktinio ir

matematinio turinio uždavinius.

Taikyti figūrų lygumą ir panašumą, sprendžiant

nesudėtingus praktinio ir matematinio turinio

uždavinius.

Įrodyti Talio ir jai atvirkštinę teoremą.

Taikyti trigonometrijos žinias sprendžiant paprastus geometrinius (praktinio bei matematinio turinio) uždavinius.

Užrašyti stačiojo trikampio smailiųjų

kampų kotangentus.

Gebėti taikyti smailiojo kampo kotangento apibrėžimą

stačiojo trikampio elementams rasti..

Gebėti analizuoti kotangento ir kitų stačiojo

trikampio smailiojo kampo trigonometrinių

funkcijų sąsajas.

Žinoti trikampio ploto formulę

. Gebėti ją taikyti paprasčiausiems uždaviniams spręsti.

Taikyti sinusų ir kosinusų teoremas trikampio,

keturkampio ir taisyklingųjų daugiakampių

elementams rasti.

Taikyti sinusų ir kosinusų teoremas

matematinėse ir praktinėse situacijose.

Argumentuotai komentuoti užduoties

sprendimą.

Analizuojant užduoties tekstą, atrasti, kad

atskirais atvejais taikant trigonometriją

trikampio uždaviniams spręsti negauname

vienareikšmiško atsakymo.

Taikyti žinias apie erdvės figūras sprendžiant nesudėtingus erdvės figūrų, jų dalių bei junginių elementų ilgių, kampų dydžių, paviršiaus plotų bei

Kalba netaisyta

114

tūrio skaičiavimo uždavinius, įrodant teiginius.

Atpažinti nupjautinę piramidę ir nupjautinį

kūgį.

Pavaizduoti nupjautinę piramidę ir nupjautinį kūgį.

Gebėti pavaizduoti erdvinių kūnų ašinius pjūvius,

pjūvius lygiagrečius pagrindui.

Gebėti pavaizduoti erdvinių kūnų

išklotines.

Pavaizduoti dvisienį kampą . Gebėti taikyti dvisienio kampo sąvoką,

sprendžiant uždavinius.

Gebėti taikyti atstumo tarp prasilenkiančių tiesių

erdvinėse figūrose, atstumo tarp lygiagrečių

plokštumų, atstumo tarp tiesės ir jai lygiagrečios

plokštumos sąvokas.

Nuosekliai, tiksliai, aiškiai, argumentuotai

aprašyti uždavinio sprendimą.

Taikyti trijų statmenų ir jai atvirkštinę teoremą

paprastoms užduotims atlikti.

Įrodyti ir taikyti trijų statmenų ir jai

atvirkštinę teoremą įvairiose praktinėse ir

matematinėse situacijose. Argumentuoti

sprendimą.

Taikyti erdvinių kūnų paviršiaus ploto ir

tūrio radimo sąryšius paprasčiausiai

atvejais.

Gebėti nesudėtingais atvejais apskaičiuoti erdvinių

figūrų elementus, šoninio ir viso paviršiaus plotą, tūrį

bei paprastų jų dalių paviršiaus plotą, tūrį, paprastų

pjūvių plotus.

Argumentuotai, nuosekliai ir tiksliai

aprašyti užduoties sprendimą .

Modulio „Vektoriai. Geometrijos žinių sisteminimas“ apibendrinamojo darbo pavyzdys [2]

Trukmė: 90 minučių

1. Duoti vektoriai . Nubrėžkite vektorius, , ir .

(3 taškai)

2. Suprastinkite .

Kalba netaisyta

115

(1 taškas)

3. Duotas lygiagretainis ABCD, , . Apskaičiuokite lygiagretainio kraštinių ilgį. (4 taškai)

4. Taškai L ir E yra trikampio ABC kraštinėse AB ir BC. Be to, LA = LB, BE : EC = 3 : 5 ir .

4. 1. Įrodykite, kad

. (4 taškai)

4. 2. Išreikškite vektorių vektoriais ir . (2 taškai)

5. Duoti taškai A(3; 5; 4), C(6; −2; 1) ir D(5; −3; 0). Ar taškai A, C ir D yra vienoje tiesėje?

(2 taškai)

6. Apskaičiuokite kampą tarp vektorių ir , kai | | , | | ir √

.

(2 taškai)

7. Su kuriomis m ir n reikšmėmis vektoriai ( ) ir ( ) yra statmeni, jei | | ?

(3 taškai)

8. Apskritimo, kurio centras taške O(0; 0), spindulio ilgis lygus 4 cm. Taškas A priklauso apskritimui, AOB = 120°. Tiesė DE yra

apskritimo liestinė taške A.

8.1. Įrodykite, kad = 30°.

(1 taškas)

8.2. Apskaičiuokite taško D koordinates.

(1 taškas)

8.3. Apskaičiuokite užbrūkšniuotos dalies DCA plotą.

(3 taškai)

8.4. Įrodykite, kad trikampiai DAO ir

OAE yra panašūs, ir raskite panašumo koeficientą.

(2 taškai)

Kalba netaisyta

116

9. Iš taško A, kurio atstumas AD nuo plokštumos lygus √ nuleistos dvi pasvirosios AB

ir AC. Kiekviena pasviroji su plokštuma sudaro 45° kampą, o kampas tarp pasvirųjų 60°.

9.1. Raskite atstumą BC tarp pasvirųjų pagrindų.

(2 taškai)

9.2. Įrodykite, kad trikampis BDC yra statusis.

(1 taškas)

9.3. Apskaičiuokite dvisienio kampo tarp plokštumų ABC ir BDC didumą 1° tikslumu.

(3 taškai)

10. Kūgio pagrindo spindulys lygus pusrutulio spinduliui. Kiek kartų kūgio aukštinė H

turi būti ilgesnė už pusrutulio spindulį R, kad abu kūnai būtų lygiatūriai?

(2 taškai)

11. Turime stačiakampio gretasienio formos medinę kaladėlę. Jos aukštis 8 cm, o pagrindas kvadratas, kurio kraštinė 10 cm. 11.1. Kaladėlėje statmenai pagrindui išgręžiama ritinio formos skylė. Ritinio pagrindo

spindulys − r cm. Kaladėlės su skyle tūris sudaro 56 % viso stačiakampio gretasienio

tūrio. Apskaičiuokite r.

(2 taškai)

11.2. Laikydami, kad

, apskaičiuokite kaladėlės su skyle paviršiaus plotą.

(2 taškai)

12. Taškas E yra kubo briaunos vidurio taškas. Taikydami vektorius, raskite kampo tarp prasilenkiančių tiesių AE

ir BD kosinusą.

(4 taškai)

Kalba netaisyta

117


Užduočių pasiskirstymas

pagal pasiekimų lygius

Žinios ir supratimas Matematikos taikymas Problemų sprendimas

35% 45% 20% Iš viso

taškų

Užduočių numeriai ir

taškai

Užduočių numeriai ir taškai Užduočių numeriai ir taškai

Patenkinamas lygis

30%

1 3 taškai, 2 1 taškas,, 8.2 – 1 taškas

4.2 – 2 taškai

10 – 2 taškai

11.1 – 2 taškai

3 – 3 taškai 14

(31,81 )

Pagrindinis lygis

40%

4.1 – 1 taškas

6 2 taškai 8.3 – 3 taškai

9.1 – 2 taškai

4.1 – 3 taškai

5 – 2 taškai

11.2 – 2 taškai

9.3 – 3 taškai 18

(40,90 )

Aukštesnysis lygis

30%

8.1 – 1 taškas

9.2 – 1 taškas

3 – 1 taškas

7 – 3 taškai

8.4 – 2 taškai

12 – 1 taškas

12 – 3 taškai

12

(27,27 )

15 (34,09 ) 20 (45,45 ) 9 (20,45 ) 44

Vertinimo instrukcija (vertinimo kriterijai mokytojui)

Užduoties Nr. Vertinimas Sprendimas

1. 3

Kalba netaisyta

118

1 taškas už vektoriaus pavaizdavimą;

1 taškas už vektoriaus pavaizdavimą;

1 taškas už vektoriaus pavaizdavimą.

2. 1

1 taškas už sumos vektoriaus radimą.

3. 4

1 taškas už teisingo sprendimo būdo parinkimą;

1 taškas už vektoriaus koordinačių radimą;

1 taškas už vektoriaus koordinačių radimą;

1 taškas už kraštinių ilgių radimą.

{

= (1; −1; 9);

= (3; −7; 5);

√ , AD = √ .

4. 6

4. 1. 1 taškas už teisingai pasirinktą sprendimo būdą;

1 taškas už išsamų pagrindimą;

1 taškas už vektoriaus išreiškimą vektoriais ;

1 taškas už pagrįstai suformuluotą išvadą.

4. 2. 1 taškas už išsamų pagrindimą;

1 taškas už pagrįstai suformuluotą išvadą.

{

Sudėję, gauname:

.

,

Iš čia

;

.

5. 2

Kalba netaisyta

119

1 taškas už vektorių pritaikymą;

1 taškas už pagrįstai suformuluotą teisingą išvadą.

= (3; −7; −3), = (−1; −1; −1).

Vektoriai nekolinearūs, todėl taškai nėra vienoje

tiesėje.

6. 2

1 taškas už vektorių skaliarinės sandaugos formulės pritaikymą;


√

, kur α − kampas tarp vektorių

.

Kampas tarp vektorių lygus 45°.

7. 3

1 taškas už statmenų vektorių savybės pritaikymą;

1 taškas už teisingai pasirinktą sprendimo būdą;


;

{

m = 2, n = 2, arba m = 10, n = −2.

8. 7

8.1. 1 taškas už gautą teisingą išvadą.

8.2. 1 taškas už gautą teisingą atsakymą.

8.3. 2 taškai už išsamų sprendimo užrašymą;


8.4. 1 taškas už įrodymą, kad trikampiai panašūs;

1 taškas už apskaičiuotą panašumo koeficientą.

AOF = 120°, todėl AOD = 60°; ADO −

statusis, tada ADO = 30°;

DO = 2AO (statinio prieš 30° kampą savybė), DO

= 8, D(−8; 0).

S∆DAO = 0,5∙8∙4∙sin 60° = √ cm2,

Sišpj.

cm

2;

Snuspalv. √

cm

2.

D

D−

DAO ir OAE yra panašūs pagal du lygius

kampus;

Iš stataus trikampio DAO turime: DA √ ,

Kalba netaisyta

120

panašumo koeficientas lygus

√

√ .

9. 6

9.1. 1 taškas už teisingai pasirinktą sprendimo būdą;


9.2. 1 taškas už teisingai pritaikytą atvirkštinę Pitagoro teoremą.

9.3. 1 taškas už teisingai pavaizduotą dvisienio kampo tiesinį kampą

α.



AB = 10, AC = 10,

BAC lygiakraštis,

BC = 10.

BD² + DC² = BC².

Iš stačiojo trikampio AHD gauname:

tg α = √ ;

α = 54,73...° ≈ 55°.

10. 2

1 taškas už teisingos lygybės sudarymą;

1 taškas už gautą teisingą išvadą. ;

2 kartus.

11. 4

11.1. 1 taškas už ritinio formos skylės tūrio apskaičiavimą;

1 taškas už skylės spindulio radimą.

11.2. 1 taškas už teisingai pasirinktą sprendimo būdą;


;

√

.

S = 2∙10∙10 + 4∙10∙8 – 2∙π∙r2 + 2πr∙8 cm

2;

√ cm2.

12. 4

Kalba netaisyta

121

1 taškas už kubo pavaizdavimą koordinačių sistemoje.

1 taškas už taškų A, E, B, D koordinačių radimą.

1 taškas už vektorių koordinačių radimą. 1 taškas už gautą teisingą atsakymą.

a − kubo briaunos ilgis,

α − kampas tarp tiesių AE ir BD.

A(a; 0; 0), E(0,5a; 0; a), B(0; 0; 0), D(a; a; 0).

( ), ( ).

√

.

Vertinimo kriterijai mokiniui

Pasiekimų lygiai


Naudotis vektoriaus sąvoka ir veiksmų savybėmis sprendžiant paprastus bei įrodymo uždavinius.

Užrašyti vektoriaus, pavaizduoto koordinačių

plokštumoje, koordinates. Pavaizduoti vektorių

koordinačių plokštumoje, kai žinomos


Mokėti apskaičiuoti vektoriaus ilgį, kai


Apskaičiuoti vektoriaus koordinates, kai žinomos

vektoriaus pradžios ir galo taškų koordinatės.

Grafiškai vaizduoti kolinearius vektorius.

Grafiškai pavaizduoti vektorių sudėtį pagal

lygiagretainio ar trikampio taisyklę.

Žinoti, kaip užrašomi veiksmai koordinatėmis

Grafiškai pavaizduoti vektorių atimtį.

Taikyti vektorių kolinearumo sąlygą sprendžiant

paprastus uždavinius.

Taikyti vektorių kolinearumo sąlygą


Kalba netaisyta

122

ir mokėti juos atlikti sprendžiant

paprasčiausius uždavinius.

Žinoti vektorių skaliarinės sandaugos

apibrėžimą ir paprasčiausiais atvejais mokėti jį

taikyti. Mokėti apskaičiuoti vektorių, išreikštų

koordinatėmis, skaliarinę sandaugą,

sprendžiant paprasčiausius uždavinius.

Žinoti skaliarinės sandaugos savybes, taikyti jas

paprastiems uždaviniams spręsti. Mokėti taikyti

vektorių, išreikštų koordinatėmis, skaliarinę sandaugą.

Argumentuotai taikyti veiksmų su vektoriais,

pateiktais koordinatėmis, taisykles.

Taikyti vektorius nesudėtingiems

skaičiavimo ir įrodymo uždaviniams

spręsti. Kūrybingai ir originaliai

pasirinkti strategijas sprendžiant

uždavinius. Argumentuoti uždavinio

sprendimą.

Taikyti žinias apie plokštumos ir erdvės figūras sprendžiant nesudėtingus figūrų, jų dalių bei junginių elementų ilgių, kampų dydžių, plotų bei

tūrio skaičiavimo uždavinius, įrodant teiginius.

Žinoti ir taikyti figūrų perimetro ir ploto

savybes sprendžiant uždavinius.

Žinoti ir taikyti trikampio kampų sumos,

Pitagoro, sinusų ir kosinusų teoremas.

Taikyti trikampių lygumo ir panašumo

požymius uždaviniams spręsti.

Taikyti įbrėžto į trikampį ir apibrėžto apie trikampį

apskritimo savybes uždaviniams spręsti.

Įrodyti trikampio ploto formules

išreiškiant jį pagrindu ir aukštine arba

dviem kraštinėm ir kampu tarp jų.

Mokėti įrodyti: trikampio kampų

sumos teoremą, Pitagoro teoremą ir

jai atvirkštinę teoremą, trikampio

vidurio linijos savybes,

pusiaukraštinių savybes.

Žinoti ir taikyti trikampio ploto formules

išreiškiant jį pagrindu ir aukštine arba dviem

kraštinėm ir kampu tarp jų. Žinoti ir taikyti

pagrindines lygiagretainio, rombo,

stačiakampio, kvadrato ir trapecijos savybes ir

plotų formules.

Žinoti įbrėžto į apskritimą ir apibrėžto apie apskritimą

keturkampio pagrindines savybes ir taikyti jas


Įrodyti pagrindines stačiakampio,

kvadrato, lygiagretainio, rombo ir

trapecijos savybes.

Įrodyti lygiagretainio, trapecijos

plotų radimo formules.

Žinoti ir paprastais atvejais taikyti įbrėžtinių

kampų, centrinių kampų, apskritimo liestinių

savybes.

Įrodyti, kad įbrėžtinių kampų, besiremiančių į tą

patį lanką, didumai yra lygūs. Suprasti ir nesudėtingais atvejais taikyti įbrėžtinių

kampų, apskritimo stygų, liestinių savybes.

Argumentuoja ir taiko apskritimo

liestinių ir kirstinių savybes.

Žinoti tiesės ir plokštumos lygiagretumo, tiesės

ir plokštumos bei plokštumų statmenumo,

kampo tarp tiesės ir plokštumos sąvokas,

atstumo tarp taškų, tarp tiesių, tarp lygiagrečių

plokštumų sąvokas, žinoti jų savybes ir mokėti

Mokėti taikyti tiesės ir plokštumos lygiagretumo,

tiesės ir plokštumos bei plokštumų statmenumo,

kampo tarp tiesės ir plokštumos sąvokas, atstumo tarp

taškų, tarp tiesių, tarp lygiagrečių plokštumų sąvokas


Taikyti trijų statmenų ir jai

atvirkštinę teoremas uždavinių

sprendimams argumentuoti.

Kalba netaisyta

123

jas taikyti sprendžiant paprastus uždavinius.

Paprastais atvejais apskaičiuoti prizmių,

piramidžių, kūgių, ritinių paviršių plotus ir

tūrius (rutulio tūrį).

Apskaičiuoti erdvinių kūnų ir paprasčiausių jų

kombinacijų paviršių plotus ir tūrius.

Pavaizduoti įvairių kūnų paprastus

pjūvius sprendžiant nesudėtingus

uždavinius.

Gebėti atrinkti ir įvertinti duomenis,

nuosekliai ir išsamiai argumentuoti

užduoties sprendimą.

Vertinimas pažymiu

Taškai (%) < 35 35 44 45 54 55 64 65 74 75 84 85 94 95 100

Surinkta taškų 15 16 19 20 24 25 28 29 33 34 37 38 41 42 44

Pažymys neįskaityta 4 5 6 7 8 9 10

Kalba netaisyta

III. IKT (informacinių ir komunikacinių technologijų) panaudojimo matematikos

uždaviniams spręsti metodikos pavyzdžiai

IKT taikymas mokant pagal modulio Funkcijos sąvoka. Laipsninė, rodiklinė, logaritminė

funkcijos programą

IKT matematikos pamokose naudojama jau suprantamoms procedūroms atlikti su tikslu

supaprastinti ir pagreitinti darbą, vizualizuoti, ir racionaliai naudoti laiko išteklius pamokoje.

Laisvo kodo kompiuterinė programa GeoGebra gali būti naudojama kaip demonstracinis įrankis;

kaip įrankis skirtas braižymui ir modeliavimui; kaip mokomosios medžiagos rengimo įrankis; kaip

matematinių ieškojimų įrankis. Kompiuterinę programą GeoGebra galima taikyti modulio Funkcijos

sąvoka. Laipsninė, rodiklinė, logaritminė funkcijos programos visoms temoms perteikti ir analizuoti.

Yra GeoGebra versija mobiliesiems įrenginiams http://www.geogebra.org/cms/download/.

Tema: Nelygybių sprendimas grafiniu būdu

Tikslas: Įtvirtinti nelygybių sprendimą grafiniu būdu, naudotis kompiuterinės programos GeoGebra

galimybėmis.

Uždaviniai:

mokiniai gebės:

naudoti kompiuterinę programą GeoGebra grafikams brėžti;

skaityti grafikų teikiamą informaciją apie nelygybės sprendinius;

užrašyti nelygybės sprendinių aibę.

Įvadas

1. Mokiniai susipažįsta su kompiuterine programa GeoGebra.

http://www.upc.smm.lt/ugdymas/vidurinis/rekomendacijos/failai/matematika/Programos_GeoGebra_4.

0_panaudojimo_mokomoji_medziaga.pdf arba www.geogebra.org

2. Mokiniams demonstruojamas pavyzdys, kaip naudoti kompiuterinę programą GeoGebra grafikų

brėžimui, sankirtos taškų žymėjimui, nelygybės sprendinių aibės nustatymui, grafikų

transformavimui.

http://www.geogebra.org/cms/download/

http://www.upc.smm.lt/ugdymas/vidurinis/rekomendacijos/failai/matematika/Programos_GeoGebra_4.0_panaudojimo_mokomoji_medziaga.pdf

http://www.upc.smm.lt/ugdymas/vidurinis/rekomendacijos/failai/matematika/Programos_GeoGebra_4.0_panaudojimo_mokomoji_medziaga.pdf

http://www.geogebra.org/

Kalba netaisyta

125

Įvesties lauke užrašoma funkcijos išraiška, paspaudus „Enter“ matomas nubrėžtas grafikas.

Objekto lange matome įvardyta tai, ką parašėme įvesties lauke.

Įrankiu „slankjuostė“ sukuriama koeficientas, kurio reikšmes galima keisti tempiant tašką, esantį

slankiklyje, ir stebėti grafiko judėjimą koordinačių plokštumoje.

3. Mokiniams demonstruojama, kaip naudojantis programa GeoGebra nustatoma nelygybės sprendinių

aibė.

Kalba netaisyta

126

Įvesties lauke užrašoma nelygybė, paspaudus „Enter“ grafikos vaizde matome nuspalvintą sritį, kuri

rodo nelygybės sprendinių aibę.

I. Įgūdžių įtvirtinimo, nelygybes spręsti grafiniu būdu, pratybos

Mokiniai dirba grupėmis po tris.

1 užduotis

Grafiniu būdu išspręskite nelygybes: )

; b) | | ; c)

; d) √

; e)

| | ; f) √ ; g)

; h) ; i) √

.

1. Kompiuterine programa GeoGebra nubrėžia grafikus ( ) ir ( )

:

2. Grupėje analizuoja, kaip grafikų tarpusavio padėtis susijusi su sąlygoje pateiktos nelygybės

kontekstu.

3. Remdamiesi grafikais, užrašo nelygybės sprendinių aibę: ( ) ( ).

4. Pasitikrinimas – lyginami visų darbo grupių rezultatai.

Kalba netaisyta

127

5. Pasitikrinimas naudojant programą GeoGebra (nuspalvinta sritis rodo sprendinių aibę).

2 užduotis

Remdamiesi savo nubraižytu grafiku, išsiaiškinkite, kiek sprendinių gali turėti lygtis:

a) | | , kai a – tam tikras skaičius;

b) | | , kai a – tam tikras skaičius.

Mokiniai dirba grupėmis po 3.

Naudojama kompiuterinė programa GeoGebra:

1. Mokiniai atveria brėžimo langą.

2. Mokiniai brėžimo lauke susikuria slankjuostę, skirtą koeficiento a reikšmėms keisti.

3. Nubrėžia funkcijų ( ) | | ir ( ) grafikus.

4. Slankjuostės pagalba keisdami a reikšmes, tiria lygties sprendinių skaičių.

Išvada. Lygtis sprendinių neturi, kai a < 0.

Kalba netaisyta

128

Išvada. Lygtis turi du sprendinius, kai a = 0 ir a > 4.

Išvada. Lygtis turi tris sprendinius, kai a = 4. Išvada. Lygtis turi keturis sprendinius, kai 0 < a < 4

Kalba netaisyta

129

IKT taikymas mokant pagal modulio Integralinis skaičiavimas. Algebros ir analizės pradmenų žinių sisteminimas programą

(Parengta remiantis projekto mokyklų mokytojų Danutės Augienės, Vidos Bazaravičienės ir Danguolės

Barkauskienės patirtimi)

Tema: Kreivinės trapecijos ploto skaičiavimas

Tikslas: skaičiuoti kreivinės trapecijos plotą naudojant kompiuterinę programą Winplot.

Uždaviniai.

Mokiniai išmoks brėžti grafikus kompiuterine programa Winplot.

Mokiniai pakartos, kaip nustatomi integravimo rėžiai.

Mokiniai sužinos, kaip apskaičiuoti kreivinės trapecijos plotą naudojant kompiuterinę programą

Winplot.

Mokiniai išmoks pasitikrinti ar teisingai apskaičiavo kreivinės trapecijos plotą naudodami kompiuterinę

programą Winplot.

Programa – Winplot atsisiunčiama iš http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html

I. Įvadas

Pažintis su programa Winplot

Atidarome programą:

http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html

Kalba netaisyta

130

Jei norime tinklelio, pasirenkame meniu punktą Rodymas > Koordinačių sistema ir pasirenkame

parinktis

Kalba netaisyta

131

II. Programos Winplot naudojimo pratybos

Užduotis

Apskaičiuokite figūros plotą, kai ją riboja funkcijų grafikai: ir . Nubrėžkite brėžinį.

1. Brėžiame funkcijų grafikus:

Pasirenkame meniu punktą Lygtys > Funkcijos ir įrašome funkcijos formulę:

Galime pakeisti funkcijos grafiko linijos storį bei spalvą.

Analogiškai braižome antros funkcijos grafiką.

Kalba netaisyta

132

Vaizdo mastelis keičiamas klaviatūros klavišais PgUp / PgDn.

Pats vaizdas pernešamas su rodyklių klavišais.

Jei norime redaguoti funkcijas, naudojamės langu , kurį randame meniu punkte Lygtys > Inventorius

2. Randame funkcijų grafikų susikirtimų taškų abscises.

Kalba netaisyta

133

Taško koordinates matysime paspaudę kairiuoju pelės klavišu ant taško (teks užsirašyti).

Antro taško koordinates pažymėsime paspaudę mygtuką Kitas susikirtimas.

3. Skaičiuosime integralą.

Įrašome rėžius.

Kalba netaisyta

134

Atliekame žymėjimus ir gauname atsakymą:

III. Refleksija: Kas yra kreivinės trapecijos plotas?

Nubrėžkime funkcijos ( ) bei tiesės grafikus.

Pasirenkame:

Tieses pažymime dialoginiame langelyje integravimas f-g laukelyje: apat. rėžis

įrašome -3, o virš. rėžis įrašome 1. Laukelyje intervalų sk. įrašome 4 – bus nubraižytos keturios

trapecijos, kai pažymėsime pasirinkimą trapecijos ir spragtelsime mygtuką apibrėžtinis.

Kalba netaisyta

135

Kreivėmis apribotas plotas .

Padidinę trapecijų skaičių, gausime tikslesnį plotą.

Kalba netaisyta

136

.

Dar padidinkime trapecijų skaičių, pvz. iki 1000.

. Gavome dar tikslesnį plotą.

IV. Individualaus darbo pratybos

Užduotis. Apskaičiuokite plotą figūros, kurią apriboja:

1) funkcijos ( ) , OX ašis;

2) funkcijos ( ) , OX ašis ir tiesės

Kalba netaisyta

137

IV. Rekomenduojama mokymo ir mokymosi literatūra ir šaltiniai mokytojui

1. Aleksandras Baltrūnas. Begalybės biografija. Vilnius: Žara, 2004

2. Algirdas Povilas Ažubalis. Logika ir mokyklinė matematika. Monografija. 2008

3. Aida Šimelionienė. Kaip atpažinti vaiko gabumus? Vilnius: ŠAC, 2008

4. Andrew Pollard. Refleksyvusis mokymas. Garnelis, 2002

5. Beth Critchley Charlton. Neformaliojo vertinimo strategijos. Vilnius: Tyto alba, 2007

6. Carl D. Glicman. Lyderystė mokymuisi: kaip padėti mokytojams sėkmingai dirbti. Vilnius:

Švietimo ir mokslo ministerijos Švietimo aprūpinimo centras, 2007

7. Edvard de Bono. Mąstyk kitaip! Vilnius: Alma littera, 2008

8. Harvey F. Silver, Richard W. Strong, Matthew J. Perini. Mokytojas strategas. UAB Rgrupė,

2012

9. Juozas Mačys. Moksleivių matematikos olimpiadų uždaviniai 1986–2002 m. Vilnius: TEV,

2003

10. Meilė Lukšienė. Jungtys. Vilnius: Alma littera, 2013

11. Michael Willers. Kasdienė mūsų algebra arba x ir y greta mūsų. Vilnius: Žara, 2013

12. Nils Magnar Grendstad. Mokytis – tai atrasti. Vilnius: Margi raštai, 1996

13. Paulo Freire. Kritinės sąmonės ugdymas. Tyto alba, 2000

14. Paul Weednet, Jan Winter, Patricia Broadfoot. Vertinimas. Ką tai reiškia mokykloms? Vilnius:

Garnelis, 2005

15. Pedagogo kompetencijų tobulinimas integruojant informacines komunikacines technologijas į

ugdymo procesą. PPRC, 2007

16. Proaktyvus mokymasis. Mokomoji medžiaga. Mokytojų kompetencijos centras, 2007

17. Robert J. Marzano. Naujoji ugdymo tikslų taksonomija. Vilnius: Žara, 2005

18. Stacey K. What is mathematical thinking and why is it important? 2006

19. Susan M. Brookhart. Kaip mokiniams teikti veiksmingą grįžtamąją informaciją. UAB Rgrupė,

2012

20. Vertinimas ugdymo procese. Vilnius: AB Spauda, 2006

21. Vidmantas Pekarskas. Matematika. Kurso kartojimo medžiaga. Kaunas: Šviesa, 2004

22. http://portalas.emokykla.lt/Puslapiai/Sritisugdymui.aspx [žiūrėta 2014-02-09]

23. http://www.upc.smm.lt/ekspertavimas/biblioteka/failai/modelis/Metodika_I_dalis.pdf [žiūrėta

2014-02-09]

24. http://www.upc.smm.lt/ekspertavimas/biblioteka/failai/modelis/Metodika_II_dalis.pdf [žiūrėta

2014-02-09]

25. http://norvaisa.lt/category/matematika/mokykline-matematika/ [žiūrėta 2014-02-09]

26. http://galimybes.pedagogika.lt/ [žiūrėta 2014-02-09]

27. www.geogebra.lt [žiūrėta 2014-02-09]

28. www.nec.lt [žiūrėta 2014-02-09]

29. www.smm.l [žiūrėta 2014-02-09]

http://portalas.emokykla.lt/Puslapiai/Sritisugdymui.aspx

http://www.upc.smm.lt/ekspertavimas/biblioteka/failai/modelis/Metodika_I_dalis.pdf

http://www.upc.smm.lt/ekspertavimas/biblioteka/failai/modelis/Metodika_II_dalis.pdf

http://norvaisa.lt/category/matematika/mokykline-matematika/

http://galimybes.pedagogika.lt/

http://www.geogebra.lt/

http://www.nec.lt/

http://www.smm.lt/

Kalba netaisyta

138

V. Naudota literatūra ir kiti šaltiniai

6. Aida Šimelionienė. Kaip atpažinti vaiko gabumus? Vilnius: ŠAC, 2008

7. Alvyda Ambraškienė ir kt. Matematika. Išplėstinis kursas. Vadovėlis gimnazijos IV klasei. Pirmoji

knyga. Kaunas: Šviesa, 2011

8. Alvyda Ambraškienė ir kt. Matematika. Išplėstinis kursas. Vadovėlis gimnazijos IV klasei. Antroji


9. Alvyda Ambraškienė ir kt. Matematika. Išplėstinis kursas. Vadovėlis gimnazijos III klasei. Pirmoji


10. Alvyda Ambraškienė ir kt. Matematika. Išplėstinis kursas. Vadovėlis gimnazijos III klasei. Antroji


11. Andrew Pollard. Refleksyvusis mokymas. Garnelis, 2002

12. Harvey F. Silver, Richard W. Strong, Matthew J. Perini. Mokytojas strategas. UAB Rgrupė, 2012

13. Carl D. Glicman. Lyderystė mokymuisi: kaip padėti mokytojams sėkmingai dirbti. Vilnius: Švietimo

ir mokslo ministerijos Švietimo aprūpinimo centras, 2007

14. James E. Herring. Informacinių įgūdžių ugdymas mokykloje. Vilnius: Garnelis, 1998

15. Jūratė Gedminienė, Daiva Riukienė. Matematikos valstybiniam brandos egzaminui užduočių

pavyzdžiai. Vilnius, TEV, 2010

16. Matematika 12. Uždavinynas. Vilnius: TEV, 2003

17. Meilė Lukšienė. Jungtys. Vilnius: Alma littera, 2013

18. Paulo Freire. Kritinės sąmonės ugdymas. Tyto alba, 2000

19. Regina Dalytė Šileikienė, Vilija Dabrišienė. Matematika. Išplėstinis kursas. Vadovėlis XII klasei.

Kaunas: Šviesa, 2005

20. Stacey K. What is mathematical thinking and why is it important? APEC Symposium. Innovative

teaching mathematics through lesson study II. 3-4 December 2006

21. Vertinimas ugdymo procese. Vilnius: AB Spauda, 2006

22. http://galimybes.pedagogika.lt/

23. http://www.upc.smm.lt/projektai/sklaida/veiklos.php

24. http://portalas.emokykla.lt/bup/Puslapiai/vidurinis_ugdymas_matematika_bendros_nuostatos.aspx

25. www.nec.lt

26. http://mokomes5-8.ugdome.lt/index.php/leidiniai

27. http://www.geogebra.org/cms/lt/

28. http://mif.vu.lt/lmma/?page_id=28

http://galimybes.pedagogika.lt/

http://www.upc.smm.lt/projektai/sklaida/veiklos.php

http://portalas.emokykla.lt/bup/Puslapiai/vidurinis_ugdymas_matematika_bendros_nuostatos.aspx

http://www.nec.lt/

http://mokomes5-8.ugdome.lt/index.php/leidiniai

http://www.geogebra.org/cms/lt/

http://mif.vu.lt/lmma/?page_id=28

Kalba netaisyta

PRIEDAS

Projekto mokyklų mokytojų parengtų darbų pavyzdžiai

Modulio „Geometrija“ planavimo pavyzdys

(parengtas remiantis Kauno Kovo 11–osios vidurinės mokyklos mokytojos Almos Sotkevičiūtės patirtimi)

1. Bendroji informacija:

Šis modulis privalomas mokiniams, kurie nori baigti vidurinio ugdymo programą arba planuoja laikyti matematikos valstybinį brandos

egzaminą.

Modulio trukmė

Šio modulio trukmė 8–9 savaitės (35 valandos): 30 valandų skirta medžiagos įsisavinimui, 3 valandos – medžiagos apibendrinimui, 2

valandos žinių ir gebėjimų patikrinimui ir įvertinimui.

2. Tikslai:

Įsisavinti svarbiausius plokštumos ir erdvės geometrijos ryšius.

Ugdyti geometrinių figūrų savybių taikymo gebėjimus bei įgūdžius.

3. Uždaviniai:

Siekdami užsibrėžtų tikslų, mokiniai turėtų:

įgyti matematinių žinių iš plokštumos ir erdvės geometrijos;

susisteminti įgytas planimetrijos ir stereometrijos žinias;

įgyti paprasčiausių įgūdžių matematiškai komunikuoti, mąstyti ir spręsti problemas;

atlikti praktines užduotis, nagrinėti ir spręsti praktines problemas matematiniais metodais;

suvokti įgytų matematinių žinių praktinę, istorinę ir mokslinę vertę.

Kalba netaisyta

140

4. Nuostatos:

Suprasti plokštumos ir erdvės geometrinių figūrų klasifikavimo, jų savybių įrodymo ir taikymo svarbą sprendžiant teorines ir praktines

problemas. Suprasti, kad sudėtingesnės problemos yra sprendžiamos skaidant jas į paprastesnes ir taikant žinomas ilgio, perimetro, tūrio,

kampo didumo skaičiavimo formules.

5. Esminiai gebėjimai:

Suvokti geometrijos teorinių žinių svarbą, gebėti taikyti žinias sprendžiant matematinius uždavinius, modeliuojant realiojo turinio uždavinius

ir argumentuojant sprendimo eigą.

6. Mokinių pažangos ir pasiekimų vertinimas:

Modulio vertinimą sudaro:

Formuojamasis vertinimas – nuolat.

Diagnostinis vertinimas – diagnostinės užduotys išnagrinėjus kiekvieną modulio temą. Mokytojas neformaliai įvertina nurodydamas spragas,

mokinys, konsultuojamas mokytojo, sudaro planą, kaip jas užpildys ir jį įgyvendina.

Kaupiamasis vertinimas – savarankiški darbai, apimantys atskiras modulio temas, namų darbai, jų kiekis ir kokybė – vertinami taškais,

surinkti taškai konvertuojami į pažymį.

Apibendrinamasis vertinimas – kontrolinis darbas, vertinamas pažymiu (išnagrinėjus ir susisteminus visą modulio medžiagą).

Galutinis modulio įvertinimas: kaupiamojo ir apibendrinamojo vertinimo aritmetinis vidurkis:

2

vertinimasamasisApibendrinvertinimassKaupiamasi .

Mokinių pasiekimų vertinimo kriterijai sudaromi trimis lygiais. Patenkinamas lygis įvertinamas pažymiu yra orientuotas į 4–5,

pagrindinis – į 6–8, aukštesnysis – į 9–10.

7. Mokymo ir mokymosi priemonės:

1. Autorių kolektyvas. Matematika Tau + 11 kl. Išplėstinis kursas. I dalis. Vilnius TEV, 2011.

Kalba netaisyta

141

2. Autorių kolektyvas. Matematika Tau + 11 kl. Išplėstinis kursas. Uždavinynas. Vilnius TEV, 2011.

3. Autorių kolektyvas. Matematika 11 I ir II dalys. Vilnius, 2002.

4. Autorių kolektyvas. Matematika 11 Uždavinynas. Vilnius, 2002.

5. K. Intienė, J. Intas, V. Vitkus. Matematika 11 Savarankiški ir kontroliniai darbai. Vilnius, 2003.



8. V. Mockus, A. Jocaitė. Mokyklinio geometrijos kurso teminio ir kompleksinio kartojimo medžiaga. Š., 2002.

9. A. Jocaitė, V. Mockus. Mokyklinės matematikos teminio kartojimo uždavinynas. Šiauliai, 2001.

10. J. Gedminienė, D. Riukienė. Matematikos valstybiniam brandos egzaminui užduočių pavyzdžiai. Vilnius, TEV, 2011.

11. J. Gedminienė. Ruošk ir ruoškis matematikos egzaminui. Vilnius, TEV, 2008.

12. V. Mockus. Matematikos kurso teminio kartojimo užduotys besirengiantiems laikyti matematikos valstybinį brandos egzaminą. Šiauliai,

2010.

8. Mokymo ir mokymosi turinys:

Ugdymo turinys:

Tema

(Pamokų

skaičius)

Mokinių

pasiekimai

Pamokų turinys

Vertinimas

Patenkinamas lygis, įvertinant pažymiu, yra

orientuotas į 4–5, pagrindinis – į 6–8,

aukštesnysis į 9–10.

Pas-

ta-

bos

Gebėjimai

Žinios ir

supratimas

Patenkinamas

lygis

Pagrindinis

lygis

Aukštesnysis

lygis

Centriniai ir

įbrėžtiniai kampai, jų

savybės.

(2 p.)


apie plokštumos


nesudėtingus įvairių

plokštumos figūrų,

jų dalių bei junginių

4.1.1. Suvokti,

apskritimo

centrinio kampo ir

įbrėžtinio kampo

atitiktį; žinoti, kaip

rasti vieno jo

Apibrėšime įbrėžtinių

ir centrinių kampų

sąvokas, sužinosime ir

įrodysime jų savybes,

taikysime jas spręsdami

uždavinius.

Paaiškina

centrinio ir

įbrėžtinio

sąvokas, žino

ir taiko jų

savybes

Apibrėžia

centrinius ir

įbrėžtinius

kampus, taiko

jų savybes

spręsdamas

Įrodo

įbrėžtinio

kampo ir

kampų,

besiremianči

ų į tą patį

Kalba netaisyta

142

elementų ilgių,

kampų dydžių,

perimetrų ir plotų,

skaičiavimo


teiginius.

didumą, kai

žinomas kito

didumas; žinoti,

kad įbrėžtiniai

kampai, kurie

remiasi į tą patį

lanką, yra lygūs.

spręsdamas

paprastus

uždavinius.

uždavinius. lanką,

teoremas.

Analizuoja

teorinę

medžiagą,

daro išvadas

apie

sprendimo ar

įrodymo

racionalumą,

pagrindžia

savo

nuomonę.

Įbrėžtiniai ir

apibrėžtiniai

daugiakampiai, jų

savybės.

(2 p.)


apie plokštumos





elementų ilgių,

kampų dydžių,


skaičiavimo


teiginius.

4.1.2. Nusakyti

įbrėžto į trikampį ir

apibrėžto apie

trikampį apskritimo

savybes, įrodyti ir

žinoti įbrėžto į

apskritimą ir

apibrėžto apie

apskritimą

keturkampio

pagrindines

savybes.

4.1.3. Nusakyti

įbrėžto į trikampį ir

apibrėžto apie

trikampį apskritimo

savybes, įrodyti ir

žinoti įbrėžto į

apskritimą ir

apibrėžto apie

apskritimą

keturkampio

pagrindines

savybes. Paaiškinti

1 pamoka

1. Išsiaiškinsime

apibrėžtinių ir

įbrėžtinių

daugiakampių sąvokas

ir jų savybes.

2. Įgytas žinias

taikysime spręsdami

uždavinius.

2 pamoka

1. Apibrėžtinių ir

įbrėžtinių

daugiakampių savybes


uždavinius.

2. Įgytas žinias

taikysime praktinio bei

matematinio turinio


Paaiškina

įbrėžtinių ir

apibrėžtinių

daugiakampių

sąvokas,

nubrėžia juos,

išvardija

savybes,

sprendžia

paprastus

uždavinius.

Apibrėžia

įbrėžtinius ir

apibrėžtinius

daugiakampiu

s, taiko jų

savybes

spręsdami

uždavinius.

Analizuoja

teorinę

medžiagą,

daro išvadas

apie

sprendimo ar

įrodymo

racionalumą,

pagrindžia

savo

nuomonę.

Kalba netaisyta

143

įbrėžto į apskritimą

taisyklingojo

daugiakampio ir

apibrėžto apie

apskritimą

taisyklingojo

daugiakampio

sąvokas.

Lygios figūros.

Simetriškos figūros.

Trikampių lygumo

požymiai ir jų

taikymas.

(1 p.)


apie plokštumos





elementų ilgių,

kampų dydžių,


skaičiavimo


teiginius.

Pakartoti

pagrindinės

mokyklos

matematikos kursą.

4.1.4. Taikyti

figūrų lygumą ir

panašumą,

sprendžiant

nesudėtingus

praktinio ir

matematinio turinio

uždavinius.

1. Prisiminsime, kokias

figūras vadiname

lygiomis.

2. Prisiminsime

trikampio lygumo

požymius.

3. Atpažinsime lygius

trikampius, remdamiesi

trikampių lygumo

požymiais.

4. Spręsdami paprastus

praktinio ir

matematinio turinio

uždavinius, taikysime

trikampių lygumą,

įrodysime teiginius.

5. Prisiminsime, kokios

figūros yra simetriškos.

Patikrinsime, ar duotos

figūros yra simetriškos.

Suformuluoja

lygių figūrų

apibrėžimą,

trikampių

lygumo

požymius,

sprendžia

paprastus

uždavinius.

Atpažįsta

simetriškas

tiesės, taško

atžvilgiu

figūras,

paprasčiausiais

atvejais jas

nubrėžia.

Taiko figūrų

lygumą ir

panašumą,

sprendžiant

paprastus

praktinio ir

matematinio

turinio

uždavinius.

Taiko

trikampių

lygumo

požymius,

pagal pateiktą

tekstą

nubraižo

brėžinius.

Taiko figūrų

lygumą

sprendžiant

nesudėtingus

praktinio ir

matematinio

turinio

uždavinius.

Randa kelis

problemos

sprendimo

būdus,

pagrindžia

savo

nuomonę,

daro išvadas

apie

sprendimo ar

įrodymo

racionalumą.

Panašiosios figūros.

Trikampių panašumo

požymiai ir jų


apie plokštumos


Pakartoti

pagrindinės

mokyklos

1. Prisiminsime, kokias

figūras vadiname

panašiomis, trikampio

Suformuluoja

trikampių

panašumo

Taiko

trikampių

panašumo

Randa kelis

problemos

sprendimo

Kalba netaisyta

144

taikymas.

(1 p.)




elementų ilgių,

kampų dydžių,


skaičiavimo


teiginius.

matematikos kursą.

4.1.3. Taikyti

figūrų lygumą ir

panašumą,

sprendžiant

nesudėtingus

praktinio ir

matematinio turinio

uždavinius.

panašumo požymius.

2. Remdamiesi

trikampių panašumo

požymiais atpažinsime

panašius trikampius.

3. Sprendžiant

paprastus praktinio ir

matematinio turinio


trikampių panašumą,

įrodysime teiginius.

požymius,

sprendžia

paprastus

uždavinius.

požymius,

pagal pateiktą

tekstą

nubraižo

brėžinius.

Taiko figūrų

panašumą,

spręsdamas

nesudėtingus

praktinio ir

matematinio

turinio

uždavinius.

būdus,

pagrindžia

savo

nuomonę,

daro išvadas

apie

sprendimo ar

įrodymo

racionalumą.

Talio teorema ir jos

taikymas.

(2 p.)


apie plokštumos





elementų ilgių,

kampų dydžių,


skaičiavimo


teiginius.

4.1.3. Taikyti

figūrų lygumą ir

panašumą,

sprendžiant

nesudėtingus

praktinio ir

matematinio turinio

uždavinius. Mokėti

įrodyti Talio

teoremą ir jai

atvirkštinę

teoremą.

Suformuluosime,

įrodysime ir taikysime

Talio teoremą.

Suformuluoja

Talio teoremą

ir jai

atvirkštinę

teoremą.

Taiko Talio

teoremą ir jai

atvirkštinę

teoremą

spręsdamas

nesudėtingus

praktinio ir

matematinio

turinio

uždavinius.

Įrodo Talio

teoremą ir jai

atvirkštinę

teoremą.

Kampų ir kraštinių

sąryšiai stačiajame

trikampyje.

(2 p.)

4.2. Taikyti

trigonometrijos


paprastus

geometrinius

(praktinio bei

matematinio turinio)

uždavinius.

Pakartoti

pagrindinės

mokyklos

matematikos kursą.

4.2.1. Žinoti

smailiojo kampo

kotangento

apibrėžimą ir

taikyti stačiojo

trikampio

elementams rasti.

1 pamoka

1. Prisiminsime sinuso,

kosinuso, tangento

apibrėžimus.

2. Apibrėšime

kotangentą.

3. Taikysime

trigonometrines

funkcijas stačiųjų

trikampių sprendimui.

2 pamoka

Apibrėžia

trigonometrine

s funkcijas,

remdamiesi

apibrėžimais

elementariau-

siais atvejais

apskaičiuoja

stačiojo

trikampio

elementus.

Taiko

trigonometri-

nes funkcijas

stačiojo

trikampio

elementams

rasti.

Taiko

trigonometri-

nes funkcijas

praktinio bei

matematinio

turinio

uždaviniams

spręsti,

pagrindžia

savo

nuomonę,

Kalba netaisyta

145

4.2.3. Suvokti, kad

atskirais atvejais

taikant taip pat ir

trigonometriją

trikampio

uždaviniams spręsti

negauname

vienareikšmiško

atsakymo.

Sprendžiant paprastus

praktinio ir

matematinio turinio


trigonometrines

funkcijas.

daro išvadas

apie

sprendimo ar

įrodymo

racionalumą.

Trikampio plotas.

(1 p.)

4.2. Taikyti

trigonometrijos


paprastus

geometrinius

(praktinio bei


uždavinius.

Pakartoti

pagrindinės

mokyklos

matematikos kursą.

4.2.2. Įrodyti ir

žinoti trikampio

ploto formulę

sin2

1abS ,

taikyti šias žinias

trikampio,

keturkampio ir

taisyklingųjų

daugiakampių

elementams bei

plotui rasti.

1. Prisiminsime jau

žinomas trikampių

plotų skaičiavimo

formules.

2. Įrodysime formulę

sin2

1abS .

3. Apskaičiuosime

duotų trikampių ir

kitokių figūrų plotus.

Žino stačiojo

trikampio ir bet

kokio

trikampio ploto

skaičiavimo

formules,

sprendžia

paprastus

uždavinius.

Apskaičiuoja

trikampių

arba kelių

figūrų

junginių

plotus, taiko

formulę

sin2

1abS

.

Įrodo

formulę

sin2

1abS

.

Sinusų teorema.

(1 p.)

4.2. Taikyti

trigonometrijos


paprastus

geometrinius

(praktinio bei


uždavinius.

4.2.2. Įrodyti ir

žinoti sinusų

teoremą, taikyti

šias žinias

trikampio,

keturkampio ir

taisyklingųjų

daugiakampių

elementams bei

plotui rasti.

1. Suformuluosime ir

įrodysime sinusų

teoremą.

2. Spręsdami

uždavinius taikysime

sinusų teoremą.

Suformuluoja

sinusų

teoremą,

sprendžia

paprastus

uždavinius.

Taiko sinusų

teoremą

sprendžiant

paprastus

geometrinius

(praktinio bei

matematinio

turinio)

uždavinius.

Įrodo sinusų

teoremą,

spręsdami

uždavinius

pagrindžia

savo

nuomonę,

daro išvadas

apie

sprendimo ar

įrodymo

Kalba netaisyta

146

racionalumą.

Kosinusų teorema

(1 p.)

4.2. Taikyti

trigonometrijos


paprastus

geometrinius

(praktinio bei


uždavinius.

4.2.2. Įrodyti ir

žinoti kosinusų

teoremą, taikyti

šias žinias

trikampio,

keturkampio ir

taisyklingųjų

daugiakampių

elementams bei

plotui rasti.

1. Suformuluosime ir

įrodysime kosinusų

teoremą.

2. Spręsdami


kosinusų teoremą.

Suformuluoja

kosinusų

teoremą,

sprendžia

paprastus

uždavinius.

Taiko

kosinusų

teoremą

sprendžiant

paprastus

geometrinius

(praktinio bei

matematinio

turinio)

uždavinius.

Įrodo

kosinusų

teoremą,

spręsdami

uždavinius

pagrindžia

savo

nuomonę,

daro išvadas

apie

sprendimo ar

įrodymo

racionalumą.

Trigonometrinių

sąryšių taikymas

sprendžiant

uždavinius.

(3 p.)

4.2. Taikyti

trigonometrijos


paprastus

geometrinius

(praktinio bei


uždavinius.

Pakartoti

pagrindinės

mokyklos

matematikos kursą.

4.2.1. Žinoti

smailiojo kampo

kotangentą ir

taikyti stačiojo

trikampio

elementams rasti.

4.2.2. Įrodyti ir

žinoti kosinusų ir

sinusų teoremas,

trikampio ploto

formulę

sin2

1abS ,

taikyti šias žinias

trikampio,

keturkampio ir

taisyklingųjų

daugiakampių

1 pamoka

Spręsime trikampius,

kai žinomos dvi

kraštinės ir kampas tarp

jų bei kai žinoma

kraštinė ir du kampai

prie jos.

2 pamoka

Spręsime trikampius,

kai žinomos trys

trikampio kraštinės

arba kai žinomos dvi

kraštinės ir kampas

prieš vieną iš jų.

3 pamoka

Taikysime

trigonometrinius

sąryšius praktinio bei

matematinio turinio


Žino

paprasčiausius

trigonometrini

us sąryšius,

sprendžia

paprastus

uždavinius.

Taiko

trigonometrin

ius sąryšius

sprendžiant

paprastus

geometrinius

(praktinio bei

matematinio

turinio)

uždavinius.

Taiko

trigonometrin

es funkcijas

praktinio bei

matematinio

turinio

uždaviniams

spręsti,

pagrindžia

savo

nuomonę,

daro išvadas

apie

sprendimo ar

įrodymo

racionalumą.

Kalba netaisyta

147

elementams bei

plotui rasti.

4.2.3. Suvokti, kad

atskirais atvejais

taikant

trigonometriją

trikampio

uždaviniams spręsti

negauname

vienareikšmiško

atsakymo.

Tiesės ir plokštumos

erdvėje.

(1 p.)



sprendžiant

nesudėtingus erdvės

figūrų, jų dalių bei

junginių elementų

ilgių, kampų dydžių,

paviršiaus plotų bei

tūrio skaičiavimo


teiginius.

4.3.4. Mokėti

apibrėžti ir taikyti

atstumo tarp

prasilenkiančių

tiesių erdvinėse

figūrose, atstumo

tarp lygiagrečių

plokštumų, atstumo

tarp tiesės ir jai

lygiagrečios

plokštumos,

sąvokas.

1. Prisiminsime dviejų

tiesių tarpusavio

padėtis erdvėje, tiesių

pavadinimus, kampo

tarp prasilenkiančių

tiesių radimą.

2. Prisiminsime

galimas tiesės ir

plokštumos tarpusavio

padėtis.

3. Nurodysime

lygiagrečias, statmenas,

susikertančias,

prasilenkiančias tieses

konkrečiame erdvės

objekte.

Nurodo

lygiagrečias,

statmenas,

susikertančias,

prasilenkiančia

s tieses

konkrečiame

erdvės objekte.

Pasako, kur yra

kampas tarp

prasilenkiančių

tiesių.

Taiko žinias

apie tieses ir

plokštumas

erdvėje,

spręsdami

paprastus

uždavinius.

Modeliuoja

aprašytą

situaciją

brėžiniu,

vertina

gautas

išvadas,

remdamiesi

teorijos

teiginiais.


lygiagretumas.

(1 p.)



sprendžiant



junginių elementų



tūrio skaičiavimo


4.3.3. Mokėti


atstumo tarp

prasilenkiančių

tiesių erdvinėse

figūrose, atstumo

tarp lygiagrečių


tarp tiesės ir jai

lygiagrečios

1. Apibrėšime tiesės ir

plokštumos

lygiagretumo sąvoką ir

požymius bei taikysime

tai spręsdami

uždavinius.

2. Nurodysime, kokios

tiesės yra lygiagrečios

duotai plokštumai

konkrečiame

Apibrėžia

tiesės ir

plokštumos

lygiagretumo

sąvoką,

suformuluoja

požymius,

sprendžia

paprastus

uždavinius.

Taiko tiesės ir

plokštumos

lygiagretumo

sąvoką ir

požymius,

spręsdami

uždavinius.

Analizuoja

teorinę

medžiagą,

modeliuoja

aprašytą

situaciją

brėžiniu,

daro išvadas

apie

sprendimo ar

Kalba netaisyta

148

teiginius. plokštumos,

sąvokas.

erdviniame kūne. įrodymo

racionalumą,

pagrindžia

savo

nuomonę.

Plokštumų

lygiagretumas.

Dvisienis kampas.

(1 p.)



sprendžiant



junginių elementų



tūrio skaičiavimo


teiginius.

4.3.2. Mokėti


kampų tarp

plokštumų

(dvisienio kampo)

sąvokas.

4.3.3. Mokėti


atstumo tarp

prasilenkiančių

tiesių erdvinėse

figūrose, atstumo

tarp lygiagrečių


tarp tiesės ir jai

lygiagrečios

plokštumos,

sąvokas.

1. Išsiaiškinsime dviejų

plokštumų tarpusavio

padėties galimus

atvejus, apibrėšime

kampo tarp plokštumų

sąvoką.

2. Apibrėšime

plokštumų

lygiagretumo sąvoką ir

požymį bei taikysime

tai spręsdami

uždavinius.

3. Apibrėšime ir


uždavinius dvisienio

kampo sąvoką.

4. Parodyti kampus tarp

stačiakampio

gretasienio briaunos ir

ją kertančios

įstrižainės, įstrižainės ir

pagrindo, taisyklingos

piramidės šoninės

briaunos ir pagrindo,

dvisienius kampus prie

pagrindo.

Nurodo dviejų

plokštumų

tarpusavio

padėties

galimus

atvejus,

paaiškina,

kokios

plokštumos yra

lygiagrečios.

Nurodo

lygiagrečias,

plokštumas,

dvisienius

kampus

konkrečiame

erdvės objekte.

Geba nubrėžti

dvisienį

kampą.

Apibrėžia

plokštumų

lygiagretumo

sąvoką ir

požymį,

dvisienio

kampo

sąvoką bei

taiko tai

spręsdami

uždavinius.

Analizuoja

teorinę

medžiagą,

modeliuoja

aprašytą

situaciją

brėžiniu,

daro išvadas

apie

sprendimo ar

įrodymo

racionalumą,

pagrindžia

savo

nuomonę.


statmenumas.

(1 p.)



sprendžiant



junginių elementų

1. Apibrėšime ir

spręsdami uždavinius

taikysime tiesės ir

plokštumos

statmenumo sąvoką bei

požymį.

Nurodo tieses,

statmenas

plokštumai,

prasilenkiančia

s tieses,

lygiagrečias

Apibrėžia

tiesės ir

plokštumos

statmenumą,

suformuluoja

tiesės ir

Analizuoja

teorinę

medžiagą,

modeliuoja

aprašytą

situaciją

Kalba netaisyta

149



tūrio skaičiavimo


teiginius.

2. Stačiosios prizmės ar

taisyklingos piramidės

modelyje ir brėžinyje

parodyti lygiagrečias,

statmenąsias,

susikertančiąsias ir

prasilenkiančiąsias

tieses, taip pat

lygiagrečiąsias,

statmenąsias ir

susikertančiąsias

plokštumas.

tieses

konkrečiame

erdvės objekte.

plokštumos

statmenumo

požymį bei

taiko jį

spręsdami

paprastus

uždavinius.

brėžiniu,

daro išvadas

apie

sprendimo ar

įrodymo

racionalumą,

pagrindžia

savo

nuomonę.

Trijų statmenų

teorema.

(1 p.)



sprendžiant



junginių elementų



tūrio skaičiavimo


teiginius.

4.3.4. Įrodyti ir

taikyti trijų

statmenų teoremą

ir jai atvirkštinę

teoremą.

Apibrėšime, įrodysime

ir taikysime spręsdami

uždavinius trijų

statmenų teoremą.

Paprasčiausiu

atveju pritaiko

trijų statmenų

teoremą.

Suformuluoja

ir taiko trijų

statmenų

teoremą ir jai

atvirkštinę

teoremą.

Įrodo trijų

statmenų

teoremą ir jai

atvirkštinę

teoremą.

Modeliuoja

aprašytą

situaciją

brėžiniu,

daro išvadas

apie

sprendimo ar

įrodymo

racionalumą,

pagrindžia

savo

nuomonę.

Kubas, gretasienis,

prizmė.

(1 p.)



sprendžiant



junginių elementų



Pakartoti

pagrindinės

mokyklos

matematikos kursą.

4.3.1. Mokėti

vaizduoti erdvinių

figūrų išklotines,

paprastus pjūvius

1. Prisiminsime

briaunainių sąvoką,

pavadinimus,

elementus.

2. Pavaizduosime

plokštumoje

stačiakampį gretasienį,

kubą, stačiąją prizmę ir

Atpažįsta šiuos

geometrinius

kūnus, geba

juos nubrėžti.

Remdamiesi

formulėmis

apskaičiuoja

kubo,

Nubrėžia

paprastus

kubo,

stačiakampio

gretasienio

pjūvius,

nesudėtingais

atvejais

Modeliuoja

aprašytą

situaciją

brėžiniu,

sprendžia

įrodymo

reikalaujan-

čius

Kalba netaisyta

150

tūrio skaičiavimo


teiginius.

(lygiagrečius

pagrindui, ašinius).

4.3.5.

Nesudėtingais

atvejais

apskaičiuoti

erdvinių figūrų

elementus, šoninio

ir viso paviršiaus

plotą, tūrį bei

paprastų jų dalių

paviršiaus plotą,

tūrį, paprastų

pjūvių plotus.

paprastus pjūvius

(lygiagrečius pagrindui

pjūvius)

3. Aiškinsime, kaip

naudojantis žiniomis

apie plokštumos

figūras, jų lygumo ir

panašumo savybėmis,

žiniomis apie erdvės

objektus nesudėtingais

atvejais apskaičiuosime

stačiosios prizmės

elementus, šoninio ir

viso paviršiaus plotą,

paprastų jo dalių ar

junginių paviršiaus

plotą, tūrį, paprastų

pjūvių plotus.

stačiakampio

gretasienio

paviršiaus

plotą ir tūrį.

apskaičiuoja

stačiosios

prizmės

elementus,

šoninio ir

viso

paviršiaus

plotą,

paprastų jo

dalių ar

junginių

paviršiaus

plotą, tūrį,

paprastų

pjūvių plotus.

uždavinius,

pagrindžia

savo

nuomonę.

Piramidė. Nupjautinė

piramidė.

(3 p.)



sprendžiant



junginių elementų



tūrio skaičiavimo


teiginius.

Pakartoti

pagrindinės

mokyklos

matematikos kursą.

4.3.1. Atpažinti,

apibūdinti ir

pavaizduoti

nupjautinę

piramidę ir

nupjautinį kūgį.

Mokėti vaizduoti

erdvinių figūrų

išklotines,

paprastus pjūvius

(lygiagrečius

pagrindui, ašinius).

4.3.5.

Nesudėtingais

atvejais

1 pamoka

1. Pavaizduosime

plokštumoje

taisyklingąją piramidę

ir paprastus jos pjūvius.

2. Naudodamiesi

žiniomis apie

plokštumos figūras, jų

lygumo ir panašumo

savybėmis, žiniomis

apie erdvės objektus

nesudėtingais atvejais

apskaičiuosime

piramidės elementus,

šoninio ir viso

paviršiaus plotą, tūrį,

paprastų pjūvių plotus.

2 pamoka

1. Pavaizduosime

Atpažįsta šiuos

geometrinius

kūnus, geba

juos nubrėžti.

Remdamiesi

formulėmis

paprasčiausiais

atvejais

apskaičiuoja

piramidės ir

nupjautinės

piramidės

paviršiaus

plotą ir tūrį.

Apibrėžia,

pavaizduoja

piramidę,

nupjautinę

piramidę.

Taiko

paviršiaus

plotų ir tūrių

formules

spręsdami

praktinio

turinio

uždavinius.

Analizuoja

teorinę

medžiagą,

modeliuoja

aprašytą

situaciją

brėžiniu,

daro išvadas

apie

sprendimo ar

įrodymo

racionalumą,

pagrindžia

savo

nuomonę.

Kalba netaisyta

151

apskaičiuoti

erdvinių figūrų

elementus, šoninio

ir viso paviršiaus

plotą, tūrį bei


paviršiaus plotą,

tūrį, paprastų

pjūvių plotus.

plokštumoje nupjautinę

piramidę, paprastus jos

pjūvius,

apskaičiuosime




tūrį, paprastų pjūvių

plotus.

2. Išsiaiškinsime, kaip

susiję panašių objektų

tūriai.

3 pamoka

Įgytas žinias ir

gebėjimus taikysime

spręsdami įvairius

uždavinius.

Sukiniai: ritinys ir

kūgis, jų pjūviai.

Nupjautinis kūgis.

(3 p.)



sprendžiant



junginių elementų



tūrio skaičiavimo


teiginius.

Pakartoti

pagrindinės

mokyklos

matematikos kursą.

4.3.1. Atpažinti,

apibūdinti ir

pavaizduoti

nupjautinę

piramidę ir

nupjautinį kūgį.

Mokėti vaizduoti

erdvinių figūrų

paprastus pjūvius

(lygiagrečius

pagrindui, ašinius)

bei jų išklotines.

4.3.5.

Nesudėtingais

atvejais

apskaičiuoti

1 pamoka

1. Pavaizduosime

plokštumoje ritinį,

kūgį, paprastus pjūvius

(ašinius pjūvius).

2. Naudodamiesi

žiniomis apie

plokštumos figūras, jų

lygumo ir panašumo

savybėmis, žiniomis

apie erdvės objektus

nesudėtingais atvejais

apskaičiuosime ritinio,

kūgio elementus,

šoninio ir viso

paviršiaus plotą, tūrį,

paprastų pjūvių plotus.

2 pamoka

1. Pavaizduosime

plokštumoje nupjautinį

Atpažįsta šiuos

sukinius,

nurodo jų

pavadinimus,

paprasčiausiais

atvejais

apskaičiuoja

ritinio, kūgio

elementus,

šoninio ir viso

paviršiaus

plotą, tūrį.

Pavaizduoja

ašinius

pjūvius,

apskaičiuoja

jų plotus.

Apskaičiuoja

sukinių

junginių

paviršiaus

plotą ir tūrį.

Sprendžia

praktinio

turinio

uždavinius.

Analizuoja

teorinę

medžiagą,

modeliuoja

aprašytą

situaciją

brėžiniu,

daro išvadas

apie

sprendimo ar

įrodymo

racionalumą,

pagrindžia

savo

nuomonę.

Kalba netaisyta

152

erdvinių figūrų

elementus, šoninio

ir viso paviršiaus

plotą, tūrį bei


paviršiaus plotą,

tūrį, paprastų

pjūvių plotus.

kūgį, jo ašinį pjūvį.

2. Apskaičiuosime




tūrį, ašinio pjūvio

plotą.

3 pamoka

Įgytas žinias ir

gebėjimus pritaikysime

spręsdami įvairius

uždavinius.

Sukiniai: rutulys,

sfera

(2 p.)



sprendžiant



junginių elementų



tūrio skaičiavimo


teiginius.

Pakartoti

pagrindinės

mokyklos

matematikos kursą.

4.3.5.

Nesudėtingais

atvejais

apskaičiuoti

erdvinių figūrų

elementus, šoninio

ir viso paviršiaus

plotą, tūrį bei


paviršiaus plotą,

tūrį, paprastų

pjūvių plotus.

1 pamoka

1. Pavaizduosime

plokštumoje sferą ar

rutulį, paprastus

pjūvius (ašinius

pjūvius).

2. Naudojantis žiniomis

apie plokštumos

figūras, jų lygumo ir

panašumo savybėmis,

žiniomis apie erdvės

objektus nesudėtingais

atvejais apskaičiuosime

rutulio elementus ir

paviršiaus plotą,

paprastų jų dalių ar

junginių paviršiaus

plotą, tūrį, paprastų

pjūvių plotus.

2 pamoka

Apskaičiuosime rutulio

nuopjovos ir išpjovos

paviršiaus plotus,

tūrius.

Atpažįsta šiuos

sukinius,

nurodo jų

pavadinimus,

paprasčiausiais

atvejais

apskaičiuoja

sferos plotą ir

rutulio tūrį.

Apskaičiuoja

rutulio

nuopjovos ir

išpjovos

paviršiaus

plotus, tūrius.

Sprendžia

praktinio

turinio

uždavinius.

Analizuoja

teorinę

medžiagą,

modeliuoja

aprašytą

situaciją

brėžiniu,

daro išvadas

apie

sprendimo ar

įrodymo

racionalumą,

pagrindžia

savo

nuomonę.

Kalba netaisyta

153

Apibendrinimas.

Medžiagos

susisteminimas.

(3 p.)

4.1 – 4.3 4.1.1 – 4.1.3

4.2.1 – 4.2.3

4.3.1 – 4.3.5

Pakartosime visas

modulio temas.

Žinių ir supratimo vertinimo lygių aprašymai

pateikti šiame teminiame plane prie konkrečios

temos.

Atsiskaitymas už

modulį.

(2 p.)

4.1 – 4.3 4.1.1 – 4.1.3

4.2.1 – 4.2.3

4.3.1 – 4.3.5

Pagrindinis kontrolinis

darbas – atsiskaitymas

už visas modulio

temas.

9. Integraciniai ryšiai:

1. Visos matematikos veiklos sritys tarpusavyje susijusios vidiniais ryšiais (visose veiklos srityse atliekame skaičiavimus, naudojame

tuos pačius simbolius ir pan.). Matematikos mokymasis neatsiejamas nuo logikos žinių.

2. Mokantis matematikos yra daug galimybių integracijai su kitomis ugdymo turinio sritimis:

su gamtos mokslais – matematiniai gebėjimai plačiai taikomi visuose gamtos moksluose (fizikoje, biologijoje, chemijoje). Gamtos

reiškinių aprašymas matematiniais modeliais, tų pačių sąvokų ar operacijų taikymas gamtos mokslų kontekste išryškina matematikos metodų

universalumą;

su informacinėmis technologijomis – mokoma naudotis informacinėmis komunikacinėmis technologijomis (toliau IKT) teikiamomis

galimybėmis atliekant sudėtingus ir rutininius skaičiavimus, atliekant tarpinius problemos sprendimo etapus, mokantis matematikos

mokomųjų kompiuterinių programų pagalba, ieškant, apibendrinant ir pateikiant informaciją;

su kalbomis – kreipiamas dėmesys į kalbos ir rašto kultūrą, mokoma taisyklingai vartoti matematikos sąvokas ir terminus, teisingai

juos kirčiuoti, diskutuoti ir pagrįsti savo išsakytą nuomonę;

su socialiniais mokslais – ypač ekonomika. Problemų sprendimas ekonomikos srities kontekste išryškina matematikos taikymų

svarbą šiuolaikiniame kasdieniniame gyvenime.

su technologijomis – technologinių objektų aprašymas matematiniais modeliais, matematinių gebėjimų taikymas medžiagų kiekių

apskaičiavimuose, ornamentų ir konstrukcijų braižyme ir t. t.

Kalba netaisyta

Modulio „Geometrija“ apibendrinamojo darbo pavyzdys

(parengta remiantis Marijampolės Sūduvos gimnazijos mokytojos Linos Strumskienės patirtimi)

1. Išpjovos spindulys lygus 6 cm, o lanko ilgis 10π cm. Apskaičiuokite šį lanką atitinkančio

kampo dydį.

2 taškai

2. Raskite nurodytus dydžius:

2.1.

2 taškai

2.2.

2 taškai

3. Kampo B kraštines kerta lygiagrečios tiesės AC ir MN.

3.1. Įrodykite, kad ACB ~ MNB.

2

taškai

3.2. Raskite CN, kai AC = 18 cm, MN = 12 cm ir NB =

20 cm.

2 taškai

4. Trikampio PDE vidurinė linija MN yra 30 cm ilgio, o

trikampio PMN plotas lygus 28 cm2.

4.1. Raskite trikampio PDE kraštinės DE ilgį.

1 taškas

4.2. Raskite trikampio PDE plotą.

3 taškai

5. Trikampio kraštinės yra 13 cm, 14 cm ir 15 cm ilgio. Raskite ilgiausios trikampio aukštinės

ilgį.

3 taškai

6. Trikampio MNK plotas lygus 24√ cm2, NK = 6 cm, kampas N yra bukasis, jo sinusas lygus

√

. Apskaičiuokite trikampio perimetrą.

3 taškai

Kalba netaisyta

155

7. Lygiakraščio trikampio plotas lygus 16√ cm2

. Raskite:

7.1. trikampio perimetrą;

2 taškai

7.2. apie trikampį apibrėžto apskritimo spindulio ilgį.

1 taškas

8. Sodininko sklypas yra stačiakampis, kurio įstrižainė lygi 50 m. Aptveriant sklypą, kiekviena jo

kraštinė buvo sutrumpinta 2 m, o plotas sumažėjo 136 m2. Kokie yra aptvertojo sklypo

matmenys?

4 taškai

9. Lygiagretainio kraštinės yra 10 cm ir 17 cm ilgio,

o įstrižainė, esanti prieš bukąjį lygiagretainio kampą,

lygi 21 cm. Raskite lygiagretainio plotą.

1 taškas

10. Iš taško S į plokštumą išvestos dvi pasvirosios

MS = 17 cm ir KS = 15 cm. Vienos pasvirosios

projekcija 4 cm ilgesnė už kitos pasvirosios

projekciją. Raskite pasvirųjų projekcijas.

3 taškai

11. Per lygiašonio trikampio ABC pagrindą AC = 16

cm išvesta plokštuma . Atstumas nuo taško B iki

plokštumos lygus 3 cm. AB = BC = 10 cm, E –

trikampio ABC kraštinės AC vidurio taškas.

11.1. Įrodykite, kad ED AC.

2 taškai

11.2. Apskaičiuokite atkarpos BE ilgį.

1 taškas

11.3. Apskaičiuokite kampą tarp trikampio ABC

plokštumos ir plokštumos .

2 taškai

Kalba netaisyta

156

12. Stačiosios prizmės pagrindas – statusis trikampis,

kurio įžambinė 20 cm, o vienas statinis 12 cm.

Mažiausios sienos įstrižainė su pagrindo kraštine

sudaro 60° kampą. Apskaičiuokite prizmės:

12.1. aukštinę;

3 taškai

12.2. viso paviršiaus plotą;

1 taškas

12.3. tūrį.

1 taškas

13. Broliai ant laužo išsivirė pusrutulio formos katiliuką žuvienės. Kiek daugiausiai žuvienės

(0,1 litro tikslumu) jie galėjo išsivirti, jei katiliuko skersmuo 20 cm?

2 taškai


Sprendimai Taškai Vertinimo kriterijai

1.

l =

=

=

= 300°.

2

1 t. už teisingą formulės pasirinkimą ir

pritaikymą: l =

.

1 t. už teisingą atsakymą: 300°. 2.

2.1.

=

;

=

√

x = b= √ .

2.2.

b2 = 16

2 +12

2 – 2·12·16 cos120,

b = √ = √ = √ .

4

1 t. už teisingą sinusų teoremos

pasirinkimą ir pritaikymą:

=

=

.

1 t. už teisingą atsakymą: √ .

1 t. už teisingą kosinusų teoremos

pasirinkimą ir pritaikymą:

a² = b²

+ c² – 2bc cosA.

1 t. už teisingą atsakymą: √ .

3.

3.1. Kadangi NMB ir MAC yra atitinkamieji

kampai, todėl jie lygūs, kampas B bendras.

3.2.

=

=

; x = 10 cm.

4 2 t. už teisingą įrodymą.

1 t. už teisingos lygties sudarymą.

1 t. už teisingą atsakymą: 10 cm.

4.

4.1. DE = 30·2 = 60 cm.

4.2. Kadangi MN yra ∆ vidurio linija ir dalija PD

ir PE pusiau, bei MN =

DE, tai ∆ panašūs

pagal tris proporcingas kraštines. MN vidurio

4 1 t. už kraštinės DE suradimą: 60 cm.

1 t. už įrodymą.

1 t. už teisingą formulės pritaikymą

= k².

1 t. už teisingą atsakymą 112 cm².

Kalba netaisyta

157

linija dalina PE pusiau, todėl PE yra dvigubai

didesnė už PN, o PD už PM.

= k

2; S∆PDE = 28 · 4 = 112 cm².

5.

S =√ ( )( )( ) = √ =

84;

·13 · h = 84; h = 12

.

3 1 t. už pagal Herono formulę

apskaičiuotą plotą

S

=

√ ( )( )( ).

1 t. už ploto formulės taikymą aukštinei

apskaičiuoti.

1 t. už teisingą atsakymą: h = 12

.

6.

√ = √

· MN; MN = 14,

√

cos M =

, nes kampas bukasis; MK = 16.

.

4 1 t. už teisingai surastą kraštinę: MN=14.

1 t. už teisingai apskaičiuotą kampo

kosinusą.

1 t. už teisingai surastą kraštinę: MK=16.

1 t. už teisingą atsakymą: P = 36 cm.

7.

7.1.

√

√ ; a = 8.

P = 8 + 8 + 8 = 24.

7.2.

√ .

3 1 t. už teisingai surastą trikampio

kraštinę.

1 t. už teisingai apskaičiuotą perimetrą.

1 t. už teisingai surastą R.

8.

{

( )( )

x = 40 – 2 = 38

y = 30 – 2 = 28.

4 Po 1 t. už kiekvieną teisingai sudarytą

lygtį.

Po 1 t. už kiekvieną teisingai

apskaičiuotą sklypo kraštinę.

9.

S = a·b·sinα = 10·17·

= 168 cm².

1 1 t. už gautą teisingą atsakymą.

10. 15² – x² = 172 – (x + 4)²

x = 6;

x + 4 = 6 + 4 = 10.

3 1 t. už lygties sudarymą.

1 t. už kiekvieną teisingą atsakymą.

11.

11.1. Jei BE – lygiašonio trikampio pusiaukraštinė,

tai ir aukštinė BE AC. Tai pagal trijų statmenų

teoremą DE AC.

11.2. pagal Pitagoro teoremą BE = 6 cm.

11.3. kampas BED = 30 , nes BD = ½ BE.

5 1 lygiašonio trikampio pusiaukraštinės

savybę.

1 t už trijų statmenų teoremos

panaudojimą.

1 t už teisingai apskaičiuotą BE ilgį.

1 t už pastebėjimą BD = ½ BE.

1 t už teisingą atsakymą.

12.

12.1. x2 = 20

2 – 12

2

5 1 t už teisingai apskaičiuotą kito statinio

ilgį.

Kalba netaisyta

158

x = 16.

180o– 90

o – 60

o = 30

o

Statinis, esantis priešais 30⁰ kampą, lygus pusei

įžambinės.

Prizmės šoninės sienos įstrižainė 24,

H = √ = 12√

12.2. S = 12√ ·12 + 16·12√ + 20·12√ + 2·

=576√ .

12.3. V = 12√ ·

= 1152√ .

1 t už teisingai apskaičiuotą įstrižainės

ilgį.

1 t už teisingai apskaičiuotą aukštinės

ilgį.

1 t už teisingai apskaičiuotą paviršiaus

plotą.

1 t už teisingai apskaičiuotą tūrį.

13. V = 4πR³/3, V = 4000π/3, 0,5V = 2000π/3

2000 ∙ 3,14/3 ≈ 2093 cm³ ≈ 2,1 l.

2 1 t už pusės arba viso rutulio tūrio

apskaičiavimą.

1 t už teisingą atsakymą.

Kalba netaisyta

Kompiuterinės programos Winplot taikymo pavyzdžiai

(parengta remiantis VĮ Panevėžio profesinio rengimo centro mokytojos Danutės Augienės patirtimi)

Atidarome programą .

1) Tekstas

Nubraižome grafikus, pav.: ( ) ( ) .

Spragtelime mygtuką lygtis, bus užrašyta braižomos funkcijos formulė:

Šį užrašą į reikiamą vietą perkeliame taip:1) įjungiame parinktį Tekstas (Mgtk > Tekstas); 2) prispaudę

kairiuoju pelės klavišu tekstą tempiame į reikiamą vietą.

Pažymime funkcijų grafikų susikirtimo taškus.

Kalba netaisyta

160

Norėdami pažymėti kitą tašką, spragtelime mygtuką kitas susikirtimas.

Taškų koordinates matysime ir inventoriaus lange, tik kita forma:

Kai įjungta parinktis Tekstas, spragtelime dešiniuoju pelės klavišu ir atsivėrusiame lange

įrašome koordinates. Pasirenkame „gerai“.

Kalba netaisyta

161

Skaičiuosime kreivėmis apribotos figūros plotą:

Pažymėję parinkti trapecijos, gausime neigiamą plotą, nes šiuo atveju skaičiavimas yra atliekamas taip:

∫ ( (

)) ¸ taigi ∫ ( (

)) .

Todėl reikia sukeisti funkcijas vietomis: spragtelime pasirinkimų mygtuką (1), pasirenkame reikiamą

funkciją (2) .

Kalba netaisyta

162

Pakeičiame ir antrą funkciją.

Dar kartą spragtelime mygtuką „apibrėžtinis“ ir jau turėsime teisingą atsakymą.

Norėdami pakeisti užrašo dydį, spalvą, šriftą, spragtelime dešiniuoju pelės klavišu (turi būti įjungtas

Tekstas), atsidariusiame lange įrašome reikiamą tekstą, pasirenkame mygtuką „raidės“, ir vėl naujame

lange atliekame reikiamus nustatymus.

Kalba netaisyta

163

Darbo išsaugojimas:

2) Darbo paįvairinimas

Nubraižome daugiau funkcijų grafikų:

.

Kalba netaisyta

164

Kad visų nematytume, galime kai kurias paslėpti. Tam inventoriaus lange pasirenkame funkciją ir

spragtelime mygtuką „graf“.

Pasirenkame reikalingas funkcijas, tuomet Dvi > Integravimas. Vėl parenkame funkcijas pagal brėžinį.

Pažymime susikirtimo taškus (jų koordinates matysime inventoriaus lange), nurodome rėžius bei

integralo skaičiavimą.

Kalba netaisyta

165

Pakeičiame funkcijas; galima rėžius nurodyti ir kitus (tai turi būti nurodyta uždavinio sąlygoje) ir

skaičiuojame kreivinės trapecijos plotą.

Funkcijos formulės nusakymas remiantis grafiku

Kalba netaisyta

166

Norėdami pasitikrinti, ar teisingai nustatėme formulę, pasirenkame

.

Spragtelime Lygtis > Naujas pavyzdys arba funkcinį klavišą F2 ir vėl turėsime kitą grafiką.

.

Funkcijos tipo keitimas – Lygtis > Žymėti... arba F6

turėsime:

Kalba netaisyta

167

Kalba netaisyta

168

3) Funkcijos savybės

Funkcijos liestinė

Viena > Slankjuostė...

bus nubraižyta funkcijos grafiko liestinė pasirinktame taške x. Jei judinsime slankjuostės mygtuką,

liestinė judės funkcijos grafiku, bus iš karto apskaičiuota y koordinatė.

.

Taip pat galime nubraižyti grafiko kirstinę.

Kalba netaisyta

169

4) Funkcijos nuliai

Viena > Funkcijos nuliai...

Funkcijos nulius sužymime pasinaudodami teksto rašymu ir taško žymėjimu.

5) Funkcijos ekstremumo taškai

Viena > Ekstremumai...

Spragtelime mygtuką „kitas ekstremumas“, bus pažymėtas kitas egzistuojantis ekstremumo taškas,

taip pat matysime jo koordinates.

Kalba netaisyta

170

6) Funkcijos integralo skaičiavimas.

Reikia nurodyti rėžius.

Viena > Apskaičiavimai > Integravimas...

7) Animacija

Nubraižome dviejų funkcijų ( ) ( ) grafikus.

Pasirenkame

Kalba netaisyta

171

Spragtelime pasirinkimų mygtuką, pasirenkame reikiamą parametrą (A, B, ... ar G), su slankjuoste

nustatome reikšmę (arba įrašome). Grafiko vaizdas pakinta.

Parenkame reikalingus parametrus ir vėl galime paskaičiuoti kreivinės trapecijos plotą.

Atliekame reikalingus keitimus ir

Kalba netaisyta

172

Jei spragtelėsime mygtuką „autopos“ arba „autocikl“, tai pradės „judėti“ pagal nurodytą parametrą

(sustabdyti – spausti klavišą Q). Jei norime, kad judėtų pagal visus parametrus iš karto, reikia parengti

sąrašą:

Kompiuterinės programos GeoGebra taikymo pavyzdžiai

(Parengta remiantis Klaipėdos „Ąžuolyno“ gimnazijos mokytojos Vilijos Šileikienės patirtimi)

Trigonometrinių funkcijų transformacijos

Pamokos uždaviniai:

išmokti atlikti trigonometrinės funkcijos ( ) grafiko transformacijas,

naudojantis kompiuterine programa GeoGebra,

stebint grafikų kitimą, tirti funkcijos savybių kitimą.

Užduotis: naudodami kompiuterinę programą GeoGebra atlikite funkcijos ( )

transformacijas:

Kalba netaisyta

173

( ) , ( ) , ( ) ( ), ( ) ( ) , ( ) | |,

( ) , ( ) ( ).

I. Kompiuterinės programos GeoGebra naudojimas grafikams brėžti

Naudosime programą: GeoGebra beta 4.2

1. Teisingam funkcijų surinkimui spaudžiame ekrano dešiniame apatiniame kampe

trikampiuką, atsiveria laukas, kuriame rodoma, kaip teisingai užrašyti funkciją įvesties

lauke:

2. Įvesties lauke surenkame funkcijos ( ) formulę ir paspausti „Enter“.

Vaizdo lauke matome nubrėžtą sinusoidę.

3. Funkcijos ( ) grafiko brėžimo žingsniai:

Kalba netaisyta

174

Spaudžiame mygtuko „a = 2” dešinį apatinį kamputį ir pasirenkame mygtuką

„slankjuostė”.

Paspaudus du kartus pelės kairįjį klavišą, koordinačių plokštumoje pasirodžiusioje

lentelėje pasirinkti „sutinku”.

Surinkti įvesties lauke formulę a*sin(x).

Judinant slankiklio tašką, matome, kaip keičiasi funkcijos grafiko vaizdas

plokštumoje.

4. Funkcijos ( ) grafiko brėžimo žingsniai

Spaudžiame mygtuko „a = 2” dešinį apatinį kamputį ir pasirenkame mygtuką

„slankjuostė”.

Paspaudus du kartus pelės kairį klavišą ant koordinačių plokštumos, atsiradusioje

lentelėje pasirinkti „sutinku”.

Surinkti įvesties lauke formulę sin(x) + b.

Judinant slankiklio tašką, keičiasi funkcijos grafiko padėtis.

Automatiškai keisis funkcijos grafiko padėtis įjungus animaciją (spustelti slankiklį

pelės dešiniu klavišu).

Kalba netaisyta

175

Kalba netaisyta

176

5. Funkcijos ( ) ( ) grafiko brėžimo žingsniai:

Įvedame slankiklius a, b, c.

Įvesties eilutėje užrašome funkciją : a*sin(x - c) + b ir spaudžiame „Enter”.

Judinant slankiklius a, b ir c, gaunamos įvairios grafiko transformacijos.

II. Savarankiško darbo dirbant poromis grafikų braižymo pratybos

Brėžiama funkcijų ( ) ( ), ( ) | |, ( ) , ( ) ( ) grafikai

.

Kalba netaisyta

177

Kalba netaisyta

178

III. Tyrimas: funkcijos savybių kitimas, kintant argumento ir funkcijos koeficientams

Darbas grupėmis po 4.

Užduotis: Braižydami funkcijų ( ) , ( ) , ( ) ( ), ( ) ( ) , ( ) ( ) grafikus stebėkite, kaip kinta funkcijų savybės, keičiant argumento ir

funkcijos koeficientus (

).

Kalba netaisyta

179

Skaičiuoklės MS Excel taikymo pavyzdys

(Parengta remiantis Šiaulių profesinio rengimo centro mokytojos Renatos Nakienės patirtimi)

Tema: Dažnio skaičiavimas naudojantis skaičiuokle (MS Excel)

Tikslas: Parodyti skaičiuoklės galimybes skaičiuojant dažnius.

Uždavinys: Mokiniai išmoks apskaičiuoti imties dažnius naudodami skaičiuoklę MS Excel.

Skaičiuoklės MS Excel taikymas imties dažniui apskaičiuoti

1. Suveskite surinktus duomenis.

2. Norėdami braižyti dažnių lentelę užpildykite pažymių eilutę.

3. Kitoje eilutėje užrašykite žodį dažnis.

4. Pasirinkite funkciją dažnio skaičiavimui.

1.

2.

Kalba netaisyta

180

3.

4.

Skaičiuoklės MS Excel statistiniams skaičiavimams skirtos funkcijos

Funkcija Count – galime naudoti norint suskaičiuoti imties narių skaičių.

Funkcija Average – galime naudoti norint suskaičiuoti vidurkį.

Funkcija Min – išrenka mažiausia reikšmę.

Funkcija MAX – išrenka didžiausia reikšmę.

Funkcija Median – apskaičiuoja medianą.

Documents

Metodinė medžiaga matematikos išplėstinio kurso modulių 11–12